绪论2--数值分析第二次课

再由 Ax =b，得到 || b||= || Ax || ≤||A || ||x||
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于是，由 || △x ||≤||A-1 || ||△b||
及 ||b || ≤||A || ||x||
1 x
A b
得到解的相对误差为 x A x
x x
A
1
b b
令 Cond(A)=||A || ||A-1 || ,并称其为矩阵A的条件数。 这时
欧氏范数
向量2-范数： 向量∞-范数：
x
2
n 2 xi i 1
1 i n
x
max xi
最大范数
容易验证，以上三种范数都满足向量范数的三个条件。 例6.1 设x＝（1，－3，2，0）T，求向量范数|| x ||p， P＝1，2，∞。
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2 30 4 0
10
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此方程的根为矩阵ATA的特征值，解得
1 15 221
因此
A
2
15

2 15 221
221

1 2
5.46
在线性方程组的研究中，经常遇到矩阵与向量的乘积 运算，若将矩阵范数与向量范数关联起来，将给问题的分 析带来许多方便。设||· ||是一种向量范数，由此范数派生的 矩阵范数定义为 Ax A max x 0 x 注意，此式左端||A||表示矩阵范数，而右端是向量Ax 和 x 的范数，利用向量范数所具有的性质不难验证，由上式 定义的矩阵范数满足矩阵范数的条件。
由于
1 3 1 2 10 A A 4 3 4 14 2 则它的特征方程为:
T
A max | 1 | | 2 |, | 3 | | 4 | 7
14 20
I A A
T
10 14 14 20
x
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(k )
x x
*
|| x ( k ) x || max | x (jk ) x j |
1 j n
(k ) i
x , i 1,2,, n
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二、矩阵的范数
矩阵范数是反映矩阵“大小”的一种度量，具体定义如下。 定义6.3 设||· ||是以n阶矩阵为变量的实值函数，且满足 条件： （1）|| A ||≥0，且|| A ||＝0时，当且仅当A＝0 （2）||αA||＝|α| || A||，α∈R （3）||A＋B|| ≤ || A ||＋|| B || （4）|| AB ||≤|| A || || B || 则称|| A ||为矩阵A的范数。
系数矩阵和逆矩阵分别为
1 A 1 1 , 1.0001 x1 1.0001 x2 2
1
A
1 104 4 10
104 4 10
可以求得 Cond ( A) A A1 2.0001 (1 104 ) 2 104 条件数比较大，可见该方程组为病态方程组。
（6.1）
设n阶矩阵A的n个特征值为λ1,λ2，…λn。称
( A) max i
1 i n
为矩阵A的谱半径，从（6.1）式得知，对矩阵A的任何一 种相容范数都有 ρ(A)≤||A|| （6.2）
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另一个更深刻的结果,对于任意的ε＞0，必存在一种相 容的矩阵范数，使 || A ||≤ ρ(A) ＋ε （6.3） 式（ 6.2）和（ 6.3）表明，矩阵 A的谱半径是它所有相 容范数的下确界。
Ax
Frobenius范数:
p
A
p
n
x p,
n
p 1,2,
|| A ||F
2 | a | ij (向量2-范数直接推广) i 1 j 1
可以证明,对方阵A R nn 和x R n 有: || Ax ||2 || A ||F || x ||2
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(k ) ), k 1, 2, 定义6.4 设有n×n矩阵序列 A( k ) (aij 方阵A＝（aij）, 如果 (k ) lim || A A || 0
, n 和 n阶
k
（k）＝A，或 A（k）→A。 记作 lim A 称{ A（k）}收敛于A， k
(k ) (k ) A ( a 定理：设有n×n矩阵序列 ij ), k 1,2, , 收敛于
Cond ( A) b b
可见，求解线性方程组所产生的误差与系数矩阵的条件数 有关。
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对于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵的条件数 Cond(A)=||A || ||A-1 || 太大，则称该方程组为病态方程组。 病态现象是方程组的固有属性，无法改变，因此在求 解时为了不至于产生太大的误差，应该尽量减少原始数据 A、b 的误差，或者用高精度的计算机计算。 x1 x2 2 例如：对于方程组
x1 2, x2 0
解对原始数 据变化敏感
扰动(改变量)
x1 1, x2 1
如何定量描述这种现象？扰动（误差）对解的影响 有多大？
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引进了矩阵的度量标准 —— 范数，就可以对方程组求 解进行误差分析，对于方程组 Ax =b 如果常数项产生了误差△b, 并设求解时产生的误差为△x， 则有 A(x + △x) =b+ △b 两式相减得到 A △x = △b 当系数矩阵可逆时 绝对误差 △x = A-1△b 取范数 ||△x|| = ||A-1△b|| ≤||A-1 || ||△b||
可定义矩 阵极限
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设 n 阶矩阵 A＝（aij），常用的矩阵范数有：
矩阵1-范数：
A
1
max
1 j n
T
| a
i 1
n
ij
1 2
|
列和
矩阵2-范数： A = ( A A的最大特征值) 2 矩阵∞-范数： A

谱范数. 不好 算理论上重要
max
1 i n
| a
解:对于 向量 x＝(1，－3，2，0)T ，根据定义 可以计算出：
|| x||1＝| 1 |＋|－3 |＋| 2 |＋| 0 |＝6
x
2
1 3 2
2 2

2
0
2

1 2

14
x

max 1 , 3 , 2 , 0
3
由此例可见，向量不同范数的值不一定相同，但这并不 影响对向量大小做定性的描述，因为不同范数之间存在如 下等价关系。
及向量
如果
* * * T x * ( x1 , x2 ,, xn )lຫໍສະໝຸດ m xk (k )
x 0
*
收敛与取哪种范数无关
则称向量序列 x(k) 收敛于向量 x* 。记作
lim x
k
(k )
x
*
或
x
* i
(k )
x
*
向量序列 {x(k)} 收敛于向量 x*，当且仅当它的每一 个分量序列收敛于xi*的对应分量，即
绪论2 向量和矩阵的范数
1 2 3 向量的范数 矩阵的范数 谱半径和条件数
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求解线性方程组的数值解除了使用直接解法，迭代解 法也是经常采用的一种方法，这种方法更有利于编程计 算，本章将介绍这种方法。
§1 向量和矩阵的范数
为了对线性方程组数值解的精确程度，以及方程组 本身的性态进行分析，需要对向量和矩阵的“大小”引 进某种度量，范数就是一种度量尺度，向量和矩阵的范 数在线性方程组数值方法的研究中起着重要的作用。
多大算病态没有标准。如果主元很小或者元素数量级相差大，可能是病态
cond ( A) A A1 AA 1 1
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一、向量的范数
定义6.1设||· ||是向量空间Rn上的实值函数，且满足条件
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（1）非负性：对任何向量 x，
|| x ||≥0，且|| x ||＝0当且仅当x＝0 （2）齐次性：对任何实数和向量x
|| α x||＝| α | || x || （3）三角不等式：对任何向量x和y，都有
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定理6.1 （范数的等价性）对于Rn上任何两种范数 ||· ||α和||· ||β，存在着正常数 m，M，使得：
m x x

M x , x R n
范数的等价性表明，一个向量若按某种范数是一个 小量，则它按任何一种范数也将是一个小量。容易证明， 常用的三种向量范数满足下述等价关系。 || x ||∞ ≤|| x ||1 ≤ n|| x ||∞
|| x＋y ||≤|| x ||＋|| y ||
可引进极限
则称 ||· || 为 Rn 空间上的范数，|| x ||为向量 x 的范数。 理论上存在多种多样的向量范数，但最常用的是如下 三种。 设向量x＝（x1，x2，…，xn）T，定义
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向量1-范数：
x
1


i 1
n
xi
1 2
1 n
|| x ||∞ ≤|| x ||2 ≤
n
|| n x ||∞
|| x || 2≤|| x ||1 ≤n|| x ||2
1
例如： x
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x i n max xi n x
i 1
1 i n

Rn 上一切范数都等价。
6
定义6.2 对于向量序列
(k ) (k ) (k ) T x ( k ) ( x1 , x2 ,, xn ) , k 1,2,,
n×n矩阵A＝（aij）的充要条件为
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k
(k ) lim aij aij , i , j 1,2 , , n
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四、矩阵的条件数
方程组 Ax b 中扰动对结果的影响
x1 x2 2 x1 1.0001 x2 2
x1 x2 2 x1 1.0001 x2 2.0001
j 1
n
ij
|
行和
以上三种范数都满足矩阵范数的条件，通常将这三种 矩阵范数统一表示为|| A ||p，P＝1，2，∞。
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例6.2 设矩阵
1 A 3
2 4
求矩阵A的范数|| A ||p，P＝1，2，∞。 解 根据定义 A 1 max | 1 | | 3 |, | 2 | | 4 | 6
三、矩阵的谱半径
矩阵范数同矩阵特征值之间有密切的联系，设λ是矩 阵A相应于特征向量x的特征值，即 Ax＝λx,于是利用 向量-矩阵范数的相容性，得到 =|| Ax|| ≤ || A || ||x|| |λ| || x ||＝||λx|| 从而，对A的任何特征值λ均成立 |λ|≤|| A ||
谱半径上界
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通过向量范数定义的矩阵范数，满足不等式关系：
Ax A x , x R n
通常将满足上式的矩阵范数称为与向量范数相容的矩阵范 数(也称为A的算子范数)。 可以证明，前述的三种矩阵范数|| A ||p，P＝1，2，∞， 就是由向量范数|| x ||p派生出的矩阵范数，即 Ax p A p max , p 1,2, x 0 x p 均为相容范数，即