数值分析习题课
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因为 y’(x)＝-e-x，y"(x)＝ e-x ，所以
例2(t15)证明：对于f ( x)以x0 , x1为节点的一次插值多项式p( x)， 插值误差为
f ( x) p( x) ( x1 x0 )2 max f ( x)
8
x0 x x1
证明：根据插值余项定理，对于一次插值多项式
误差余项为
2、 Hermite插值多项式的构造与插值余项估计， 带导数条件的插值多项式的构造方法，基于承袭性的
算法，基函数法， 重节点差商表的构造； 3、分段插值及三次样条插值的构造
4、最小二乘拟合
• 掌握Lagrange 插值多项式的构造方法及具体结构 • 掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和证明方法 • 掌握Newton插值多项式的形式及误差 • 掌握差商表的构造过程
N n (x2)(x f1()x( 0x)92()(xxx30) )f0[.5x(0x, x11])( x 2)( x 3)( x 4) f (1.5) N(4(x1.5)x0 )3(2x0.x218)1f25[ x0 , x1 , x2 ]
( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1 , , xn ]
相对误差限为
0.005 0.23%
x* 2.18
二、有效数字
定义 设数 x 的近似值可以表示为
x* 0.12 n 10m
其中 m 是整数,αi (i=1,2, …, n) 是0到9 中的一个数字， 而α1 ≠ 0. 如果其绝对误差限为
x x* 1 10mn 2
则称近似数 x* 具有 n 位有效数字。
也可以通过绝对误差限来判断。
x x* 1 10mn
已 知
x1 x1
1 2
而
x 1
0.87540 105
有5位有效数字。同理可以写出
2
所以 x1 x1
1 1055 2
x2 x2
1 101 2
x3 x3
1 105 2
x2 0.8754105 x3 0.345102
x2 x2
1 1054 2
解：由于
e
e1
0.0000001
0.0000005
1 2
106
而 e1 2.718282 0.2718282101
所以
e e1
0.0000001
0.0000005
1 106 2
1 1017 2
e1有7位有效数字。同理：
e e2
0.0000008
0.000005
1 105 2
结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数 字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。
例1-2 下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试 判定它们各有几位有效数字：
x1* =87540，x2*=8754×10, x3*=0.00345, x4*= 0.3450 ×10-2
解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，
数值分析 复习
第一章 绪论
§1 绪论：数值分析的研究内容 §2 误差的来源和分类 §3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
一、误差的分类（绝对误差，相对误差）
例1-1 设 x*=2.18是由精确值x 经过四舍五入得到的 近似值。问 x的绝对误差限ε和相对误差限η各是 多少？
解：因为 x=x * ±0.005 ， 所以绝对误差限为ε=0.005
关于离散数据：
xi x0 x1 xn yi y0 y1 yn
构造了lagrange插值多项式：
Ln( x)
n
j0
n
i0 i j
x xi x j xi
yj
Rn( x)
f (
(n1) ( )
n 1)!
n1
(
x
),
(a,b)
得N到ew：tNo4n(插x) 值 0多 2项( x式 1：) 4( x 1)( x 2)
就在上表中增加一行计算差商
4 42 30 10 2
5 116 74 22 4 0.5
6 282 166 46 8 1 0.1
由Newton公式的递推式得到：
N5( x) N4( x) 0.1( x 1)( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 得到：
f (1.5) N5(1.5)
R(x)=f ( x) p( x)
1 1016 2
e2 只有6位有效数字。
三、算法设计的若干原则
• 1：两个很接近的数字不做减法: • 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)
练习： 求方程 x2-56x+1=0 的两个根，使它们至少具有四
位有效数字 3132 55.964 .
第二章 插值与拟合
1、Lagrange插值多项式,Newton插值多项式的构造与 插值余项估计，及证明过程。
例1-3 已知f(x) 的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、 (5,116),求 N4 (x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)，
并计算 N4(1.5)、N5(1.5).
解：先由前五组数据列差商表
10
22 2
如果，再增加一点(6, 282),
3 12 10 4
4.三次样条函数的定义、构造过程
5.数据拟合的最小二乘法（可化为直线拟合的非线性 拟合的处理方法）
二、典型例题分析
例1. 令x0＝0， x1＝1，写出y(x)＝e-x的一次插值多项式
L1(x) ,并估计插值误差．（P55,t14题）
解： 记x0＝0， x1＝1 , y0＝e-0＝1，y1＝e-1; 则函数y＝e-x以x0、 x1为节点的一次插值多项式为
x3 x3
1 10-23 2
x4 x4
1 106 2
xFra Baidu bibliotek 0.3450 102
x4 x4
1 1024 2
可以得出 x2 , x3 , x4 各具有4、3、4 位有效数字。
例1-3 已知 e =2.718281828……, 试判断下面两个近似 数各有几位有效数字？
e1 2.718282 , e2 2.718281
N4(1.5) 0.1(1.5 1)(1.5 2)(1.5 3)(1.5 4)(1.5 5) 0.28125 0.328125 0.609375
1. 高次插值的Runge 现象，应如何避免？ 2.分段性插值有何优缺点？误差估计？（插值节点的选择） 3. Hermite插值的构造, 误差估计
例2(t15)证明：对于f ( x)以x0 , x1为节点的一次插值多项式p( x)， 插值误差为
f ( x) p( x) ( x1 x0 )2 max f ( x)
8
x0 x x1
证明：根据插值余项定理，对于一次插值多项式
误差余项为
2、 Hermite插值多项式的构造与插值余项估计， 带导数条件的插值多项式的构造方法，基于承袭性的
算法，基函数法， 重节点差商表的构造； 3、分段插值及三次样条插值的构造
4、最小二乘拟合
• 掌握Lagrange 插值多项式的构造方法及具体结构 • 掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和证明方法 • 掌握Newton插值多项式的形式及误差 • 掌握差商表的构造过程
N n (x2)(x f1()x( 0x)92()(xxx30) )f0[.5x(0x, x11])( x 2)( x 3)( x 4) f (1.5) N(4(x1.5)x0 )3(2x0.x218)1f25[ x0 , x1 , x2 ]
( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1 , , xn ]
相对误差限为
0.005 0.23%
x* 2.18
二、有效数字
定义 设数 x 的近似值可以表示为
x* 0.12 n 10m
其中 m 是整数,αi (i=1,2, …, n) 是0到9 中的一个数字， 而α1 ≠ 0. 如果其绝对误差限为
x x* 1 10mn 2
则称近似数 x* 具有 n 位有效数字。
也可以通过绝对误差限来判断。
x x* 1 10mn
已 知
x1 x1
1 2
而
x 1
0.87540 105
有5位有效数字。同理可以写出
2
所以 x1 x1
1 1055 2
x2 x2
1 101 2
x3 x3
1 105 2
x2 0.8754105 x3 0.345102
x2 x2
1 1054 2
解：由于
e
e1
0.0000001
0.0000005
1 2
106
而 e1 2.718282 0.2718282101
所以
e e1
0.0000001
0.0000005
1 106 2
1 1017 2
e1有7位有效数字。同理：
e e2
0.0000008
0.000005
1 105 2
结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数 字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。
例1-2 下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试 判定它们各有几位有效数字：
x1* =87540，x2*=8754×10, x3*=0.00345, x4*= 0.3450 ×10-2
解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，
数值分析 复习
第一章 绪论
§1 绪论：数值分析的研究内容 §2 误差的来源和分类 §3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
一、误差的分类（绝对误差，相对误差）
例1-1 设 x*=2.18是由精确值x 经过四舍五入得到的 近似值。问 x的绝对误差限ε和相对误差限η各是 多少？
解：因为 x=x * ±0.005 ， 所以绝对误差限为ε=0.005
关于离散数据：
xi x0 x1 xn yi y0 y1 yn
构造了lagrange插值多项式：
Ln( x)
n
j0
n
i0 i j
x xi x j xi
yj
Rn( x)
f (
(n1) ( )
n 1)!
n1
(
x
),
(a,b)
得N到ew：tNo4n(插x) 值 0多 2项( x式 1：) 4( x 1)( x 2)
就在上表中增加一行计算差商
4 42 30 10 2
5 116 74 22 4 0.5
6 282 166 46 8 1 0.1
由Newton公式的递推式得到：
N5( x) N4( x) 0.1( x 1)( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 得到：
f (1.5) N5(1.5)
R(x)=f ( x) p( x)
1 1016 2
e2 只有6位有效数字。
三、算法设计的若干原则
• 1：两个很接近的数字不做减法: • 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)
练习： 求方程 x2-56x+1=0 的两个根，使它们至少具有四
位有效数字 3132 55.964 .
第二章 插值与拟合
1、Lagrange插值多项式,Newton插值多项式的构造与 插值余项估计，及证明过程。
例1-3 已知f(x) 的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、 (5,116),求 N4 (x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)，
并计算 N4(1.5)、N5(1.5).
解：先由前五组数据列差商表
10
22 2
如果，再增加一点(6, 282),
3 12 10 4
4.三次样条函数的定义、构造过程
5.数据拟合的最小二乘法（可化为直线拟合的非线性 拟合的处理方法）
二、典型例题分析
例1. 令x0＝0， x1＝1，写出y(x)＝e-x的一次插值多项式
L1(x) ,并估计插值误差．（P55,t14题）
解： 记x0＝0， x1＝1 , y0＝e-0＝1，y1＝e-1; 则函数y＝e-x以x0、 x1为节点的一次插值多项式为
x3 x3
1 10-23 2
x4 x4
1 106 2
xFra Baidu bibliotek 0.3450 102
x4 x4
1 1024 2
可以得出 x2 , x3 , x4 各具有4、3、4 位有效数字。
例1-3 已知 e =2.718281828……, 试判断下面两个近似 数各有几位有效数字？
e1 2.718282 , e2 2.718281
N4(1.5) 0.1(1.5 1)(1.5 2)(1.5 3)(1.5 4)(1.5 5) 0.28125 0.328125 0.609375
1. 高次插值的Runge 现象，应如何避免？ 2.分段性插值有何优缺点？误差估计？（插值节点的选择） 3. Hermite插值的构造, 误差估计