数值分析习题课
数值分析习题课PPT资料43页
历年考题
1、设，取x0=4,x1=9,x2=6.25,则差商 -0.0080808 。 （结果保留5位有效数字）
2、给定如下数据： xi 1 2 3 4
f xi 0 5 6 3
试列出三阶差商表，求出f(x)的三次牛顿插值多项式， 并利用该多项式计算f(0)的值。（保留三位有效数字）
0.9456909
由复合辛卜生公式可得如下计算公式
S4
1f(0)f(1)2(f(0.25 )f(0.5)f(0.75 ))
24
4(f(0.12)5 f(0.37)5 f(0.62)5 f(0.87)5)
0.9460832
（积分准确值I=0.9460831）
这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计
将区间逐次分半,令区间长度
hba (k0,1,2, ) 2k
计算
T2n
Tn 2
hn1
2k0
f(xk1 2
)
(n 2k )
③ 按加速公式求加速值
梯形加速公式：
Sn
T2n
T2n Tn 3
辛卜生加速公式：
Cn
S2n
S2n Sn 15
龙贝格求积公式：
Rn
C2n
C2n Cn 63
熟练掌握本课程重点方法计算过程） （注3：考试需携带计算器）
1、引论
误差与有效数字（重）p6：例1,2 数值运算的误差估计 算法稳定性与病态条件数 p11：例6-8
作业 1、课本（清华版）p19，习题3、4. 2、知近似值x1=1.42，x2=-0.0184，x3=184*10-4
历年考题
1、已知 f( 1 )2 , f(1 ) 1 , f(2 ) 1 ，求f(x)的二次拉 格朗日插值多项式，并利用该多项式计算的值 。（保留三位有效数字）
数值分析_期末总复习-习题课.
2 0 2
矩阵A的特征值为 1 0, 2 1, 3 3
所以谱半径 A max0,1,3 3
简述题
1. 叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则 是什么？
解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概 率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。
误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远 远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数 相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化 计算步骤，减少运算次数。
,
(
x( A) 2
0).
1. 下列各数
都是经过四舍
五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，
并给出其误差限与相对误差限。
解： 有 5 位有效数字，其误差限
，相对
误差限
有 2 位有效数字，
有 5 位有效数字，
例2 设有三个近似数 a 2.31，b 1.93，c 2.24，
它们都有三位有效数字。试计算 p=a+bc 的误差界， 并问 p 的计算结果能有几位有效数字？
n
Ln( x） f (xk) l k( x) k0
Rn(x)
f (x) Ln(x)
f (n1) ( ) (n 1)!
n1(
x),
其中lk(x)
n
j0
x xj xk xj
(k 0,1,...n)
jk
显然，如此构造的L(x) 是不超过n次多项式。当n=1时，称为线性插值。当n=2时，
称为抛物线插值。
解 pA 2.311.93 2.24 6.6332, 于是有误差界
（pA）
（a
A）
（bAc
）
A
（aA） bA （cA） cA （bA）
0.005 0.00（ 5 1.93 2.24） 0.02585
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
数值分析习题课
例1-3 已知f(x) 的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、 (5,116),求 N4 (x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)， 并计算 N4(1.5)、N5(1.5). 解：先由前五组数据列差商表 1 0 2 2 2 如果，再增加一点(6, 282), 3 12 10 4 就在上表中增加一行计算差商 4 42 30 10 2 5 116 74 22 4 0.5 0.1 6 282 166 46 8 1
结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数 字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。
1 mn x x 10 2
*
例1-2 下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试 判定它们各有几位有效数字： x1* =87540，x2*=8754×10, x3*=0.00345, x4*= 0.3450 ×10-2 解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数， 1 也可以通过绝对误差限来判断。 x x 10
解: 记f(x)以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式为 L3(x)．由插值余项定理有
所以
例4．证明由下列插值条件 所确定的拉格朗日插值多项式 是一个二次多项式． x0 x2 x4
该例说明了什么问题?( t8) 解: 以x0，x2，x4为插值节点作f(x)的2次插值多项式p(x)，则
容易验证 因而6个点(xi, yi)，i＝0 1,…,5均在二次曲线p(x)＝x2-1 上． 换句话说，满足所给插值条件的拉格朗日插值多项式 为 p(x)＝x2-1.
f ( ) 1 R( x ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) f ( ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3! 6 1 max f ( ) max ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) x0 x x 2 6 x0 x x 2
数值分析课程第五版课后习题答案
数值分析课程第五版课后习题答案课后习题一：a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。
解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。
对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 2。
选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。
迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。
b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。
解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。
矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。
c) 使用插值方法求解函数的近似值。
解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。
其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。
对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠ i。
课后习题二：a) 解决数值积分问题。
解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。
矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。
b) 使用迭代方法求解线性方程组。
解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。
数值分析(课后习题答案详解).ppt
x x 41 2 0 . 25 0 . 5451 1 1 再解 3 x 0 . 875 ，得 x 1 . 2916 2 2 2 0 3 1 . 7083 . 5694 x x 3 3
4 41 2 T 故得 GG 分解： A 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 16 11 4 2 T 3 1 LDL 分解为： A 1 4 4 1 2 3 1 1 9 1 2 2
一.习题1（第10页）
1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分 别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.
x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.
解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4, 3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 . 相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有
2 11 2 1 2 故得 Crout 分解： A 4 3 13 6 12 1 1
1 2 11 2 1 2 LDM 分解为： A 21 13 3 3 4 1 1 1
几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析课后习题与解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是3位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2.在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3.若，求和.解：由均差与导数关系于是4.若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5.求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6.已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7.给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析习题(含标准答案)
]第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）~解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
《数值分析》习题课
1 1 1 = 1− + − +L 4 3 5 7
∑ ( −1)
k =1
n
k −1
1 | S n − |≤ 4 2n + 1
π
1 2k − 1
10/18
应用牛顿迭代法于方程 x3 – a = 0, 导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性 并讨论其收敛性。 导出求立方根的迭代公式 并讨论其收敛性。2-6* * Nhomakorabea*
13/18
练习1 练习 将割线法修改为单点迭代公式 f ( xn ) x n+1 = x n − ( x n − x0 ) f ( xn ) − f ( x0 ) 试分析该算法的收敛性. 试分析该算法的收敛性
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练习2 设计多项式乘积(卷积 卷积)算法 练习 设计多项式乘积 卷积 算法 Pn(x)=a1xn + a2xn-1+ ···+ anx + an+1 Pm(x)=b1xm + b2xm-1+ ···+ bmx + bm+1 表示P 用 [a1 a2 ··· an an+1] 表示 n(x) 用 [b1 b2 ··· bm bm+1] 表示 m(x) 表示P 用 [c1 c2 ··· cn+m cn+m+1] 表示 Pn(x)×Pm(x)
2k
1 f ( x) = − a = 0 x
1 − axk = (1 − ax0 )
1 2k x k = [1 − (1 − ax 0 ) ] a
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所以,当 迭代公式收敛。 所以 当| 1 – a x0| < 1 时，迭代公式收敛。
的二重根,分析牛顿迭代法的 例5. 若 x*是f(x)=0的二重根 分析牛顿迭代法的 的二重根 收敛性？ 收敛性？ 解: 由于 f(x)=(x – x*)2g(x)
数值分析课后题
故
有
A B C 4 2 1dx 2 2 A( ) B 0 C (C A) 0 2xdx A( ) 2 B 0 2 C 2 ( A C ) 2 16 2 x 2 dx 3 2 2 A( ) 3 B 0 3 C 3 (C A) 3 0 x 3 dx 2 2 64 4 4 4 4 4 A( ) B 0 C ( A C ) 5 2x dx 2 A( ) 5 B 0 5 C 5 (C A) 5 0 x 6 dx 2
1 2 1 1 1 2 [ ] x 4 dx 3 4 4 3 5 1
得 数 值 积 分 公 式
2
2
f ( x)dx Af ( ) Bf (0) Cf ( ) 为 Gauss 型公式。
2 2
[解]要使数值积分公式 f ( x)dx Af ( ) Bf (0) Cf ( ) 为 Gauss 型公式，则 其具有 2n 1 5 次代数精度。依次将 f ( x) 1, x, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 代入都应精确成
1
0
f ( x)dx Af (0) Bf ( x1 ) Cf (1) 具有尽可能高的代数精度。此时的代数精度是
多少？它是否是 Gauss 型公式？ [解]依次将 f ( x) 1, x, x 2 , x 3 代入求积公式，得到：
A B C 1 11dx A B C 1 0 1 1 Bx1 C 1 A 0 Bx C 1 Bx C xdx 1 1 2 2 0 ， 即 1 ， 解 得 2 1 1 Bx1 C 3 A 0 2 Bx12 C 12 Bx12 C x 2 dx 3 0 Bx3 C 1 1 1 3 3 3 3 3 1 A 0 Bx C 1 Bx C x dx 1 1 4 4 0 1 x1 2 B 2 3 ，从而求积公式为 1 f ( x)dx 1 f (0) 2 f ( 1 ) 1 f (1) ，令 f ( x) x 4 代 0 6 3 2 6 C 1 6 1 A 6 入得到：
数值分析 第一次习题课
第一次习题课
1、 已知函数)(x f y =的数据如下表
试作一个三次插值多项式P 3(x ),利用P 3(x )计算3。
2、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3）和（2，2）构造出的三次插值多项式(x)的x 3的系数是6，试确定数据y 。
3、求一个次数不高于4次的多项式()p x ,使它满足: (0)0p =，'(0)0p =，
(1)1p =，'(1)1p =，(2)1p =，并写出其余项表达式。
4、 已知
010()n
i
i i x x l x x x =-=-∏
，i
x 互异，证明：
1
00
1
1
()1k
n j k j j x x l x x
x -==+-=+-∑
∏。
5、 求区间[]0,1 上，带权函数(x)lnx ρ=-的正交多项式序列的前三项。
6、 求函数432()251f x x x x =+++在[]1,1-上的3次最佳一致逼近多项式。
7、 求函数()f x =[]0,1上的一次最佳平方逼近多项式。
8、已知(),(i 1,2,3,4)i i x y =的观测值为
用最小二乘法求这些数据拟合的二次曲线2012()b f x
b x b x =++ 9、用最小二乘法求一个形如 y A e B x =的经验公式，使与下列数据相拟合
值。
数值分析ex12-13《数值分析》习题课 II
J
1
1
2 1
2 2
假设
则有
J
k
k
k
k
k 1 k
k 1 k
k 1 1
k ( k 1 ) k 1
(3)对矩阵序列{ Xk }，有误差估计式
|| X
k
A
1
||
1 1 q
|| X
k 1
X
k
||
18/20
| a kk |
|a
j1 j k
n
kj
|
这与主对角占优矛盾, 故det(A) ≠0。
Ex2.设A对称且a11≠ 0,经过高斯消元法一步后,A约
化为
a 11 0
a 11 A 1
1
T
A2
m1
1 a 11
1
证明A2 也是对称矩阵。 证明:设
T 1
|(D– L ) – U | = 0
a 12
行列式对应的矩阵为
a 11 a 21 C ( ) a n1
a 22
a n2
a 1n a 2n a nn
当| | > 1时，利用A矩阵的主对角占优性质，得
1 a 11
T
所以, A2 = A2T
思考:
1.若A是对称正定矩阵,经高斯消元一步后,右下角 子矩阵A2也是对称正定矩阵; 2.若A为对角占优矩阵，经过高斯消元法一步后， 右下角子矩阵A2也是对角占优矩阵。
5/20
Ex3.对任何一种矩阵的算子范数,证明矩阵A的谱半
数值分析第三版课本习题与答案
数值分析第三版课本习题与答案第⼀章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数,即误差限不超过最后⼀位的半个单位,试指出它们是⼏位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?4. 利⽤公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多⼤误差?7. 求⽅程25610x x -+=的两个根,使它⾄少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分⼤时,怎样求211Ndx x +∞+?9. 正⽅形的边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝210. 设2⽽相对误差却减⼩.11. 序列{}n y 满⾜递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利⽤下列等式计算,哪⼀个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤?若改⽤另⼀等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多⼤?14. 试⽤消元法解⽅程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只⽤三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三⾓形⾯积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c 证明⾯积的误差s ?满⾜.s a b cs a b c ≤++2.2)定义的德蒙⾏列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的⼆次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 0.54 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究⽤线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)()(0,1,,);nkkj jj x l x x k n =≡=∑ii)x l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8maxmax a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若⽤⼆次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使⽤函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ?及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +?=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==?=--?∑∑13. 证明n j n j y y y -=?=?-?∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f及0182,2,,2f.17. 证明两点三次埃尔⽶特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.19. 试求出⼀个最⾼次数不⾼于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满⾜以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造⼀个台阶形的零次分段插值函数()n x ?并证明当n →∞时,()n x ?在[],a b 上⼀致收敛到()f x .21.设2()1/(1)f x x=+,在55x-≤≤上取10n=,按等距节点求分段线性插值函数()hI x,计算各节点间中点处的()hI x与()f x的值,并估计误差.22.求2()f x x=在[],a b上的分段线性插值函数()hI x,并估计误差.()f x x=在[],a b上的分段埃尔⽶特插值,并估计误差.24.给定数据表如下:试求三次样条插值并满⾜条件i)(0.25) 1.0000,(0.53)0.6868; S S'='=ii)(0.25)(0.53)0. S S"="=25.若[]2(),f x C a b∈,()S x是三次样条函数,证明i)[][][][] 222()()()()2()()()b b b ba a a af x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-";ii)若f x S x i n==,式中ix为插值节点,且01na x x x b=<<<=,则[][][]()()()()()()()()()b a S x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'.26.编出计算三次样条函数()S x系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x可⽤(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1.(a)利⽤区间变换推出区间为[],a b的伯恩斯坦多项式.(b)对()sinf x x=在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做⽐较.2.求证:(a)当()m f x M≤≤时,(,)≤≤. (b)当()f x x=时,(,)nB f x x=.3.在次数不超过6的多项式中,求()sin4f x x=在[]0,2π的最佳⼀致逼近多项式.4.假设()f x在[],a b上连续,求()f x的零次最佳⼀致逼近多项式.5.选取常数a,使301maxxx ax≤≤-达到极⼩,⼜问这个解是否唯⼀?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳⼀次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳⼀次逼近多项式. 8. 如何选取r ,使()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x . 11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利⽤插值极⼩化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极⼩化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ?=-----,试将()x ?降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利⽤幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dxπ+-?()(,)()();()(,)()()()();bbaaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+??问它们是否构成积?19. ⽤许⽡兹不等式(4.5)估计6101x dx x +?的上界,并⽤积分中值定理估计同⼀积分的上下界,并⽐较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最⼩值:1122211(),x ax dx x ax dx----??.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1?=?=,分别在1?、2?上求出⼀个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平⽅逼近,并⽐较其结果.22.()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ?=上的最佳平⽅逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第⼆类切⽐雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开,求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切⽐雪夫级数.26. ⽤最⼩⼆乘法求⼀个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均⽅误差.28. 在某化学反应⾥,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:⽤最⼩⼆乘拟合求.29. 编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出⼀记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试⽤改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量⾼,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:。
本数值分析习题课
L2 ( x) ( x 1)(x 4)(x 7) 1 ( x 1)(x 3)(x 7) 5 4 3 ( x 1)(x 3)(x 4) 1 6
① x f (x ) 1阶差商 i i 0 1 1 2 2 3 1 1
2阶差商
0
N2 ( x) 1 1 ( x 0) 0 ( x 0)(x 1)
2.正方形的边长约为10cm,问测量边长的 绝对误差多大时才能保证面积的误差不 超过0.1cm2。
f ( x) x 2 解：
y f ( x)x 2 xx 0.1
0.1 3 x 5 10 cm 2 10
9.已知 A 2 1 ，取 2 1.4 ，利用下列各 式计算，问哪一个得到的计算结果最好。
L2 (131 11.34 )
f ( x) x
3 8
5 2
f (3) ( ) n R2 ( x) x xi 3! i 0 M n x xi 3! i 0
3(11) 2.5 (131 121 131 144)(131 169) )( 8 3! 2.638
( x 3)(x 4)(x 7) ( x 1)(x 4)(x 7) 0 2 ② L2 ( x) (1 3)(1 4)(1 7) (3 1)(3 4)(3 7) ( x 1)(x 3)(x 7) ( x 1)(x 3)(x 4) 15 12 (4 1)(4 3)(4 7) (7 1)(7 3)(7 4)
① L2 ( x)
( x 1)(x 2) ( x 0)(x 2) ( x 0)(x 1) 1 2 3 (0 1)(0 2) (1 0)(1 2) (2 0)(2 1)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析课后习题及答案
数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。
[解]。
3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。
若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。
[解]由，可知，，余项为，故。
2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理，有，从而。
5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。
[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。
第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。
又，，，故法方程为，解得。
均方误差为。
27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。
，。
又，，，故法方程为，解得。
故直线运动为。
补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。
[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。
应用最小二乘原理，求R使得达到最小。
对求导得到：。
令，得到电阻R为。
2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。
[解]令，求x使得达到最小。
对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。
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就在上表中增加一行计算差商
4 42 30 10 2
5 116 74 22 4 0.5
6 282 166 46 8 1 0.1
由Newton公式的递推式得到：
N5( x) N4( x) 0.1( x 1)( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 得到：
f (1.5) N5(1.5)
1 1016 2
e2 只有6位有效数字。
三、算法设计的法: • 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)
练习： 求方程 x2-56x+1=0 的两个根，使它们至少具有四
位有效数字 3132 55.964 .
第二章 插值与拟合
1、Lagrange插值多项式,Newton插值多项式的构造与 插值余项估计，及证明过程。
因为 y’(x)＝-e-x，y"(x)＝ e-x ，所以
例2(t15)证明：对于f ( x)以x0 , x1为节点的一次插值多项式p( x)， 插值误差为
f ( x) p( x) ( x1 x0 )2 max f ( x)
8
x0 x x1
证明：根据插值余项定理，对于一次插值多项式
误差余项为
R(x)=f ( x) p( x)
结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数 字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。
例1-2 下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试 判定它们各有几位有效数字：
x1* =87540，x2*=8754×10, x3*=0.00345, x4*= 0.3450 ×10-2
解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，
x3 x3
1 10-23 2
x4 x4
1 106 2
x4 0.3450 102
x4 x4
1 1024 2
可以得出 x2 , x3 , x4 各具有4、3、4 位有效数字。
例1-3 已知 e =2.718281828……, 试判断下面两个近似 数各有几位有效数字？
e1 2.718282 , e2 2.718281
解：由于
e
e1
0.0000001
0.0000005
1 2
106
而 e1 2.718282 0.2718282101
所以
e e1
0.0000001
0.0000005
1 106 2
1 1017 2
e1有7位有效数字。同理：
e e2
0.0000008
0.000005
1 105 2
N4(1.5) 0.1(1.5 1)(1.5 2)(1.5 3)(1.5 4)(1.5 5) 0.28125 0.328125 0.609375
1. 高次插值的Runge 现象，应如何避免？ 2.分段性插值有何优缺点？误差估计？（插值节点的选择） 3. Hermite插值的构造, 误差估计
相对误差限为
0.005 0.23%
x* 2.18
二、有效数字
定义 设数 x 的近似值可以表示为
x* 0.12 n 10m
其中 m 是整数,αi (i=1,2, …, n) 是0到9 中的一个数字， 而α1 ≠ 0. 如果其绝对误差限为
x x* 1 10mn 2
则称近似数 x* 具有 n 位有效数字。
也可以通过绝对误差限来判断。
x x* 1 10mn
已 知
x1 x1
1 2
而
x 1
0.87540 105
有5位有效数字。同理可以写出
2
所以 x1 x1
1 1055 2
x2 x2
1 101 2
x3 x3
1 105 2
x2 0.8754105 x3 0.345102
x2 x2
1 1054 2
关于离散数据：
xi x0 x1 xn yi y0 y1 yn
构造了lagrange插值多项式：
Ln( x)
n
j0
n
i0 i j
x xi x j xi
yj
Rn( x)
f (
(n1) ( )
n 1)!
n1
(
x
),
(a,b)
得N到ew：tNo4n(插x) 值 0多 2项( x式 1：) 4( x 1)( x 2)
4.三次样条函数的定义、构造过程
5.数据拟合的最小二乘法（可化为直线拟合的非线性 拟合的处理方法）
二、典型例题分析
例1. 令x0＝0， x1＝1，写出y(x)＝e-x的一次插值多项式
L1(x) ,并估计插值误差．（P55,t14题）
解： 记x0＝0， x1＝1 , y0＝e-0＝1，y1＝e-1; 则函数y＝e-x以x0、 x1为节点的一次插值多项式为
2、 Hermite插值多项式的构造与插值余项估计， 带导数条件的插值多项式的构造方法，基于承袭性的
算法，基函数法， 重节点差商表的构造； 3、分段插值及三次样条插值的构造
4、最小二乘拟合
• 掌握Lagrange 插值多项式的构造方法及具体结构 • 掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和证明方法 • 掌握Newton插值多项式的形式及误差 • 掌握差商表的构造过程
例1-3 已知f(x) 的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、 (5,116),求 N4 (x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)，
并计算 N4(1.5)、N5(1.5).
解：先由前五组数据列差商表
10
22 2
如果，再增加一点(6, 282),
3 12 10 4
数值分析 复习
第一章 绪论
§1 绪论：数值分析的研究内容 §2 误差的来源和分类 §3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
一、误差的分类（绝对误差，相对误差）
例1-1 设 x*=2.18是由精确值x 经过四舍五入得到的 近似值。问 x的绝对误差限ε和相对误差限η各是 多少？
解：因为 x=x * ±0.005 ， 所以绝对误差限为ε=0.005
N n (x2)(x f1()x( 0x)92()(xxx30) )f0[.5x(0x, x11])( x 2)( x 3)( x 4) f (1.5) N(4(x1.5)x0 )3(2x0.x218)1f25[ x0 , x1 , x2 ]
( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1 , , xn ]