河北省石家庄市2015-2016学年高一数学上册期末检测考试题

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河北省石家庄市一中2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试卷

则，. . 直线的斜率与直线的斜率的成绩为，即, 化简得，代入式得，解得又即，故. 综上，直线在轴上的截距的取值范围是. 22. 解：（1）当，函数得极大值---4 （2）
---12
16．已知函数，其图与轴切于非原点的一点，且，那么切点坐标为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．
性别
是否需要志愿男女
需要 40 30
不需要 160 270
计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
D.
7.已知点是抛物线上一点，设到此抛物线准线的距离是，到直线的距离是，则的最小值是
B.
C.
D．3
8．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如下：
由表中样本数据得回归方程为，则点与直线的位置关系是
石家庄市第一中学
201—2016 学年第学期高年级试题：
审核人：
第卷（选择题，共分）
一、选择题本题共小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B．命题：存在，使得，则：任意，都有
C．且为假命题，则，均为假命题
A.
B．
C．
D．
第卷（非选择题，共分）、题本题共小题，每小题分，共分．
14．已知,则等于
15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数 1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第 1 个五角形数记作，第 2 个五角形数记作，第 3 个五角形数记作，第 4 个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，得数列，则；对，．

河北省石家庄市高一上学期期末数学试卷

河北省石家庄市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·马山期中) 若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∪B等于（）A . {x|﹣1＜x＜1}B . {x|﹣2＜x＜1}C . {x|﹣2＜x＜2}D . {x|0＜x＜1}2. （2分）下列各组函数中表示同一函数的是（）A . 与B . 与C . 与D . 与3. （2分）正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1和S2,则（）A . S1＝2S2B . S1＝3S2C . S1＝4S2D . S1＝2S24. （2分）已知直线经过点与点，则该直线的倾斜角为（）A . 150°B . 75°D . 45°5. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 函数f（x）= 的定义域为（）A . （0，1）B . （1，2）C . （0，1）∪（1，2）D . （0，2）6. （2分） (2017高一上·西安期末) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A . 20πB . 24πC . 28πD . 32π7. （2分） (2019高一上·石河子月考) 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A .B .D .8. （2分）右图是函数的图像，它与x轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数在区间（）上的零点.A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·番禺月考) 下列关于命题的说法错误的是（）．A . “ ”是“函数最小正周期为”的充要条件B . 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”C . 命题“若随机变量，，则”为真命题D . 若命题，，则，10. （2分）对于直角坐标平面xoy内的点A(x,y)（不是原点），A的“对偶点”B是指：满足|OA||OB|=1且在射线OA上的那个点. 则圆心在原点的圆的对偶图形（）A . 一定为圆B . 一定为椭圆C . 可能为圆，也可能为椭圆D . 既不是圆，也不是椭圆11. （2分）曲线y＝1＋与直线y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高三上·太原期末) 已知函数f（x）=x2﹣ax+b（a＞0，b＞0）有两个不同的零点m，n，且m，n和﹣2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的值为（）A . 7B . 8C . 9D . 10二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）某种病毒经分钟繁殖为原来的倍，且知病毒的繁殖规律为 (其中为常数，表示时间，单位：小时，表示病毒个数)，则 ________，经过小时，个病毒能繁殖为________个．14. （1分）已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=4，点P（0，5），则过P作圆C的切线有且只有________条．15. （1分） (2016高一上·天河期末) 已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列四个结论中，正确的有________（填写所有正确结论的编号）①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若a∥β，m⊂α，则m∥β；④若m⊥n．m⊥α，n∥β，则α⊥β16. （1分） (2015高二上·孟津期末) 设f（x）=x3+x，x∈R，当0≤θ≤π时，f（mcosθ）+f（sinθ﹣2m）＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共45分)17. （10分） (2016高一上·浦城期中) 已知集合A={x|2≤2x≤16}，B={x|log3x＞1}．（1）分别求A∩B，（∁RB）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．18. （5分） (2016高一上·上饶期中) 试讨论函数f（x）= 在区间[0，1]上的单调性．19. （10分）(2016·湖南模拟) 如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．20. （5分） (2016高二上·赣州开学考) 在直角坐标系xOy中，已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，点P 是直线l：x﹣2y﹣2=0上的任意点，过P作圆的两条切线PA，PB，切点为A、B，当∠APB取最大值时．（Ⅰ）求点P的坐标及过点P的切线方程；（Ⅱ）在△APB的外接圆上是否存在这样的点Q，使|OQ|= （O为坐标原点），如果存在，求出Q点的坐标，如果不存在，请说明理由．21. （15分） (2019高二下·安徽期中) 已知函数，x R其中a>0.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(-3,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t),记,求函数g(t)在区间[-4,-1]上的最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、第11 页共11 页。

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。

$\{1\}$ B。

$\{3,5\}$ C。

$\{1,3,4,5\}$ D。

$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。

$22$ B。

$10$ C。

$8$ D。

$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。

$-\frac{3}{4}$ B。

$-\frac{4}{3}$ C。

$\frac{3}{4}$ D。

$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{4}$ B。

$\frac{\pi}{3}$ C。

2015-2016学年河北省石家庄市第一中学高一上学期期末考试数学试题 word版

石家庄市第一中学2015—2016学年第一学期期末考试高一年级数学试题试卷Ⅰ（共 60 分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．1．设{|4}P x x =<, 2{|4}Q x x =<，则A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P Q ⊆ðD ．R Q P ⊆ð2．sin20°cos10°-cos160°sin10°=A． BC ．12-D ．123．设12322()log (1)2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(2)]f f = A ．0 B ． C ． 2 D ．34．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位 C ．向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2π个长度单位 5．若非零向量,a b 满足(),20a b a b b =+= ，则a 与b 的夹角为 A ． 300 B ． 600 C ．1200 D ．15006．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，a ，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定7．在ABC ∆中，若222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则角A 的取值范围是A ．(0,]2πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ 8．若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间A ．（0，1）B ．（1，1.25）C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2）9．设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B,则实数,a b 必满足A ．||3a b +≤B ．||3a b +≥C ．||3a b -≤D ．||3a b -≥10．若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+ ，则MA MB ⋅= A ．2- B ．49 C ．89- D ．2113611．设函数141()log ()4x f x x =-,2141()log ()4x f x x =-的零点分别为12,x x ，则 A ．1201x x << B ． 1212x x << C ． 121x x = D ． 122x x ≥12．定义域为],[b a 的函数()f x 的图象的左、右端点分别为A 、B ，点),(y x M 是)(x f 的图象上的任意一点，且b a x )1(λλ-+= (λ∈R ）．向量)1(λλ-+=，其中O 为坐标原点．若k ≤||恒成立，则称函数)(x f 在],[b a 上“k 阶线性相似”．若函数232y x x =-+在[1,3]上“k 阶线性相似”，则实数k 的取值范围为A ．),0[+∞B ．[1,)+∞C ．3[,)2+∞ D ．1[,)2+∞ 试卷II （90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．13．若函数()ln(f x x x =+为偶函数，则a = ．14．记cos(80)k -︒=,那么tan100︒= ．15．如右图，在直角梯形ABCD 中，AB //DC ，AD AB ⊥，2AD AB ==，4DC =，点M 是梯形ABCD 内或边界上的一个动点，点N 是DC 边的中点，则AM AN ⋅ 的最大值是．16．在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知集合{21A x x =-<<-或}0x >，{}2|0B x x ax b =++≤，若{}|02A B x x =<≤ ， {}|2A B x x =>- ，求实数a 、b 的值．18．（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．（Ⅰ）求A （Ⅱ）若2a =，ABC ∆的面积为3，求,b c ．19．（本小题满分12分）已知函数21()sin 22x f x x ωω=-+(0ω>)的最小正周期为π．（I ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知在等边三角形ABC 中，点P 为边AB 上的一点，且AP AB λ= （01λ≤≤）．（I ）若等边三角形边长为6，且13=λ，求CP ；（Ⅱ）若CP AB PA PB ⋅≥⋅ ，求实数λ的取值范围．21．（本小题满分12分）已知向量2(3,1),(,)a x b x y =-=- ，（其中实数y 和x 不同时为零），当||2x <时，有a b ⊥ ，当||2x ≥时，//a b ．（I ）求函数式()y f x =；（Ⅱ）若对任意的(],2x ∈-∞-[2,)+∞ ，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意的实数,x y ，有(1)(1)()()f x y f x y f x f y ++=-+-；②(1)2f =；③()f x 在[0,1]上为增函数.（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（Ⅱ）设,,a b c 为周长不超过2的三角形三边的长，求证：(),(),()f a f b f c 也是某个三角形三边的长；（Ⅲ）解不等式()1f x ．石家庄市第一中学2015—2016学年第一学期期末考试高一年级数学答案一、选择题：BDCBC ACDDC AB二、填空题：13． 1 ．14．15． 12 ． 16．．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知集合{21A x x =-<<-或}0x >，{}2|0B x x ax b =++≤，若{}|02A B x x =<≤ ，{}|2A B x x =>- ，求实数a 、b 的值．解：{21A x x =-<<-或}0x >，又∵ {}|02A B x x =<≤ ，且{}|2A B x x =>- ，∴ [1,2]B =-，∴ 1-和2是方程20x ax b ++=的根，由韦达定理得：{1212a b -+=--⨯=，∴{12a b =-=-． 18．（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，cos sin 0a C C b c --=（1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c 。

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石家庄市2017-2018学年第一学期期末检测试题高一数学一、选择题1-6 BCABCA 7-12CBCDB普通C示范D二、填空题普通1 示13. 14.（答案不唯一） 15. 16.范三、解答题（Ⅰ），，……2分17.解析：，；……4分（Ⅱ），……6分证明：，证毕.……10分18.解析：（Ⅰ）由已知：……2分……4分又，最小正周期为.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，当时，，，……8分此时. ……10分所以当时，……12分19.解：依题意，可令，，，代入式子得：，……2分解得……6分又若代入式子得则……8分∴……10分答：降温到95F约需要25.9分钟.……12分20（Ⅰ）……3分因为最小正周期为，所以，又，，解得，……4分令，解得所以的单调减区间是……6分（Ⅱ）所以……8分解得……10分所以……12分21. 解析：（Ⅰ）由已知，……2分因为，所以，即（，解得：.……4分（Ⅱ）由已知，，因为的周长是2，所以，变形可得：，……6分，……8分令，则原式，……10分的夹角为.……12分22.解析：（Ⅰ）存在..……2分证明：因为，所以.若为奇函数，须满足，即也就是恒成立所以.……4分检验：当时，是奇函数.证毕. ……6分（Ⅱ）由题意得：当时，，即单调递减，所以即只要……8分令，则在单调递增……10分当时，不成立；当时，不成立；当时，不成立；当时，不成立；当时，成立，所以正整数的最小值是5.……12分。

2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题及参考答案

2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.下列图形中，表示⊆M N 的是（ ▲ ）2.120cos ︒= （ ▲ ） A.12-B.12C.32-D.223.下列命题正确的是（ ▲ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量；B ．若,a b 都是单位向量,则a b =；C ．若AB =DC ,则A B CD 、、、四点构成平行四边形； D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同. 4.45154515cos cos sin sin ︒︒-︒︒= （ ▲ ）A.22 B.32C.12D.12-5.如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，向量AB a =，AC b =，那么向量BD 可表示为（ ▲ ） A.b a 1122- B.a b 12-C.b a 12-D.a b 12-6.函数2212()()=+-+f x x a x 在区间(],4-∞上是递减的，则实数a 的取值范（ ▲ ） A.3≤-a B.3≥-a C.5≤a D.5≥a 7.已知指数函数()xf x a =和函数2()g x ax =+，下列图象正确的是（ ▲ ）A. B. C. D.8.已知平面向量,a b ，8a =||，4||=b ，且,a b 的夹角是150︒，则a 在b 方向上的射影是（ ▲ ）A.4-B.43-C.4D.439.要得到函数2sin 2=y x 的图像，只需将2sin(2)6π=-y x 的图像（ ▲ ）A.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位10.若平面向量(3,4)b =与向量(4,3)a =，则向量,a b 夹角余弦值为（ ▲ ）A.1225 B. 1225- C. 2425- D.2425 11.设()338x f x x =+-,用二分法求方程(),338012xx x +-=∈在内近似解的过程中得()()(),.,.,101501250f f f <><则方程的根落在区间（ ▲ ）A ．(,.)1125B ．(.,.)12515C ．(.,)152D ．不能确定12.若函数tan ,0(2)lg(),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则(2)(98)4f f π+⋅-= （ ▲ ）A.12B.12- C.2 D.2-二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13.函数212()log ()=-f x x 的定义域是 ▲ ．14.有一半径为4的扇形，其圆心角是3π弧度，则该扇形的面积是 ▲ ． 15.已知平面向量(4,3)a =-和单位向量b ，且b a ⊥，那么向量b 为 ▲ ． 16.关于函数sin (()42)3f x x ＝＋π，(R)x ∈有下列命题： ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =可改写为cos (6)42y x ＝-π； ③()y f x =的图象关于(0)6-，π对称； ④()y f x =的图象关于直线6x =-π对称；其中正确的序号为 ▲ ．M N D.N M C. M N B. MN A. o 2 1 y x2 1 oy x2 1 oyx2 1 oy xD C AB 第5小题三、解答题（共6小题，共计70分） 17.化简或求值：(1)log lg lg 223212732548--⨯++ (2)已知3sin ,054x x =<<π,求cos 2cos()4xx +π. 18.已知全集U R =，集合{}A x x =<<17，集合{}B x a x a 125=+<<+，若满足A B B =，求（1）集合U C A ；（2）实数a 的取值范围．19.若平面向量(1,2)a =，(3,2)b =-， k 为何值时: （1）()(3)ka b a b +⊥-；（2）//()(3)ka b a b +-？20.设函数()2sin(2)(0)f x x =+<<ϕϕπ，()y f x =图象的一个对称中心是(,0)3π.（1）求ϕ；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在(0,)2x ∈π的图象；（3）求函数()1()f x x R ≥∈的解集21.已知函数2()3sin 22cos f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式．22.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分）CAACC ADBDD BC二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 2{|>x x ,且3}≠x 或者填(2,3)(3,)+∞ ．14.83π. 15.34(,)55和 34(,)55--.16. ② ③ .三、解答题（共6小题，共计70分） 17.（本小题满分8分）解：（1）原式=()lg lg 2193549-⨯-++=()lg 1931009-⨯-+=()19329-⨯-+=1113（2）3sin ,054x x π=<<2cos 1sin xx ∴=-=45227cos 2cos sin cos sin 72552222cos()cos sin 42222x x x x x x x x π-+∴====+-18.（本小题满分10分）解；（1）(,][,)U C A =-∞+∞17（2）A B B =B A ∴⊆（i ）当B φ=时，由a a 251+≤+得a 4≤-（ii ）当B φ≠时，由a a a a 11257125+≥⎧⎪+≤⎨⎪+<+⎩解得a 01≤≤a ∴的取值范围是(,][,]401-∞-.19.（本小题满分12分）解：（1）a b (1,2),(3,2)==- ka b k k (3,22)∴+=-+ a b 3(10,4)-=-()(3)ka b a b +⊥-(k 3)10(2k 2)(4)0∴-⨯++⨯-=解得 k 19=（2）由（1）及//()(3)ka b a b +-得(k 3)(4)(2k 2)100-⨯--+⨯=解得 1k 3=-20.（本小题满分14分）解：（1）(,)π03是函数()y f x = 的图像的对称中心sin()πϕ∴⨯+=2203()k k Z πϕπ∴+=∈23()k k Z πϕπ∴=-∈23(,)πϕπϕ∈∴=03()sin()f x x π∴=+223（2）列表：（3）()f x ≥1即sin()x π+≥2213sin()x π+≥1232解得,k x k k Z πππππ+≤+≤+∈5222636亦即,k x k k Z ππππ-+≤≤+∈124所以，()f x ≥1的解集是[,],k k k Z ππππ-++∈12421.（本小题满分12分）解：（1）依题意，得f x x x =++()3sin 2cos 21x x =++312(sin 2cos 2)122x π=++2sin(2)16将()y f x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数f x x x ππ=-++=+1()2sin[2()]12sin 21126的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为π2，则得g x x =+()2sin 1 （2）函数f x ()的最小正周期为T π=，（3）当,k x k k Z πππππ-≤+≤-∈222262时，函数单调递增，解得,k x k k Zππππ-≤≤+∈36∴函数的单调递增区间为 [,],k k k Z ππππ-+∈36. 22.（本小题满分14分）解：（1）由题设，需(),,()xxa f a f x +-==∴=∴=+112001212经验证，()f x 为奇函数，a ∴=1xπ12π3 π712 π56πx π+23 π3π2 ππ32π2π73 ()f x32-23（2）减函数.证明：任意,,,x x R x x x x ∈<∴->1212210由（1）得()()()()()x x x x x x x x f x f x --⨯--=-=++++2112212121121222212121212 ,x x x x x x <∴<<∴-<121212022220，()()x x ++>2112120()()f x f x ∴-<210所以，该函数在定义域R 上是减函数（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得f t t f t k -<--22(2)(2)()f x 是奇函数∴f t t f k t -<-22(2)(2)，由（2），()f x 是减函数. ∴原问题转化为t t k t ->-2222，即t t k -->2320对任意t R ∈恒成立.∴k ∆=+<4120，解得k <-13即为所求.。

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3.已知命题 p : "x 0,总有2x 1"，总有 y2 8x ，则 p 为
A. x 0,总有2x 1 B. x 0,总有2x 1
C. x0 0, 使得2x0 1 D. x0 0, 使得2x0 1
4. " p q "为真命题是" p q "为真命题的
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 5.阅读右侧程序框图，为使输出的数据为 15，则①处应填的数字为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
D1F DA 0, D1F DE 0 D1F DA, D1F DE ……………………………………………………………………4 分又 DA DE D,
DA,
DE
平面ADE
， D1F
平面ADE
…………………………………………6
分
（Ⅱ）由（1）可知平面 ADE 的法向量 n D1F (0,1, 2) …………7 分
为
. 14.在两个袋内，分别装着写有 0,1,2,3,4,5 六个数字的 6 张卡片（卡片大小形状均相同），
今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于 5 的概率为
.
15.已知空间四点 A(0,3,5), B(2,3,1), A(4,1,5), A(x,5,9) 共面，则 x
.
16.已知两定点 M (2, 0), N (2, 0) ，若直线 kx y 0 上存在点 P，使得 PM PN 2 ,
（Ⅱ）由
y2 4x x my
6
可得，
y2
4my
24
0
，
6
设
A(
x1 ,
y1 ),
B( x2,
y2 )

【精品】2015-2016年河北省石家庄市正定中学高一(上)期末数学试卷带解析

2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．（5.00分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx≥0}，则A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜1}D．∅2．（5.00分）定义在R的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=﹣x2+x，则f（2）等于（）A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣63．（5.00分）已知向量=（1，2），2+=（3，2），则（）A．=（1，﹣2）B．=（1，2）C．=（5，6）D．=（2，0）4．（5.00分）已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x ﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）5．（5.00分）下列函数中，既在定义域上是增函数且图象又关于原点对称的是（）A．y=﹣B．y=lg（﹣1） C．y=2x D．y=2x+2﹣x6．（5.00分）函数f（x）=x5+x﹣3的零点所在的区间是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[2，3]D．[3，4]7．（5.00分）若α，β都是锐角，且，则cosβ=（）A．B．C．或D．或8．（5.00分）若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则φ=（）A．B．﹣C．D．9．（5.00分）函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣1，+∞）10．（5.00分）已知=（2，m），=（﹣1，m），若（2﹣）⊥，则||=（）A．2 B．3 C．4 D．511．（5.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．B．C．D．12．（5.00分）已知函数f（x）=若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．（5.00分）若a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c的大小关系（由小到大是）．14．（5.00分）化简2sin15°sin75°的值为．15．（5.00分）若tanα，tanβ是方程x2﹣3x+4=0的两个根，则tan（α+β）=．16．（5.00分）在菱形ABCD中，对角线AC=4，E为CD的中点，则=．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（10.00分）已知坐标平面上的直线与x，y轴分别相交于A（3，0），B（0，3）两点，点C（cosα，sinα），其中．（1）若，求角α的值；（2）若，求sin2α的值．18．（12.00分）已知（ω＞0），记f（x）=．且f（x）的最小正周期为π．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x的集合；（2）求f（x）在区间上的取值范围．19．（12.00分）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当x∈（0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A（10，80），过点B（12，78）；当x∈[12，40]时，图象是线段BC，其中C（40，50）．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（1）试求y=f（x）的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．20．（12.00分）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），且f（1）=a＞0．（1）求f（）及f（）；（2）证明f（x）是周期函数．21．（12.00分）已知函数f（x）=log a（a＞0，且a≠1）（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若对于x∈[2，4]，恒有f（x）＞log a成立，求m的取值范围．22．（12.00分）函数．（1）当m=时，求g（θ）的单调递增区间；（2）若g（θ）+1＜0恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．（5.00分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx≥0}，则A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜1}D．∅【解答】解：∵A={y|y=2x+1}=（1，+∞），B={x|lnx≥0}=（1，+∞），∴A∩B=（1，+∞）．故选：B．2．（5.00分）定义在R的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=﹣x2+x，则f（2）等于（）A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=﹣x2+x，∴f（2）=﹣f（﹣2）=﹣[﹣（﹣2）2﹣2]=6，故选：B．3．（5.00分）已知向量=（1，2），2+=（3，2），则（）A．=（1，﹣2）B．=（1，2）C．=（5，6）D．=（2，0）【解答】解：设=（x，y），向量=（1，2），2+=（3，2），可得（2+x，4+y）=（3，2），解得x=1，y=﹣2．∴=（1，﹣2）．故选：A．4．（5.00分）已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x ﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）【解答】解：∵函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x ﹣1）＜f（），∴0≤2x﹣1＜，解得≤x＜，故选：D．5．（5.00分）下列函数中，既在定义域上是增函数且图象又关于原点对称的是（）A．y=﹣B．y=lg（﹣1） C．y=2x D．y=2x+2﹣x【解答】解：由于y=﹣在定义域{x|x≠0}上没有单调性，故排除A；由于y=lg（﹣1）的定义域不关于原点对称，故它不是奇函数，故它的图象一定不关于原点对称，故排除B；由于y=2x在定义域R上是单调递增函数，且是奇函数，故它的图象关于原点对称，故满足条件；由于y=2x+2﹣x是偶函数，它的图象关于y轴对称，故不满足条件，故选：C．6．（5.00分）函数f（x）=x5+x﹣3的零点所在的区间是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[2，3]D．[3，4]【解答】解：由函数f（x）=x5+x﹣3可知函数f（x）在R上单调递增，又f（1）=1+1﹣3=﹣1＜0，f（2）=25+2﹣3＞0，∴f（1）f（2）＜0，因此函数f（x）在（1，2）上存在唯一零点．故选：B．7．（5.00分）若α，β都是锐角，且，则cosβ=（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵α，β都是锐角，且，∴cosα==，cos（α﹣β）==，则cosβ=c os[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=+=，故选：A．8．（5.00分）若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则φ=（）A．B．﹣C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，∴φ=﹣，故选：D．9．（5.00分）函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣1，+∞）【解答】解：由题意得：﹣x2﹣2x+8＞0，解得：﹣4＜x＜2，∴函数的定义域是（﹣4，2），令t（x）=﹣x2﹣2x+8，对称轴x=﹣1，∴t（x）在（﹣1，2）递减，∴函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的单调递减区间是（﹣1，2），故选：B．10．（5.00分）已知=（2，m），=（﹣1，m），若（2﹣）⊥，则||=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：2﹣=2（2，m）﹣（﹣1，m）=（5，m），∵（2﹣）⊥，∴（5，m）•（﹣1，m）=0，即5﹣m2=0，即m2=5，故||==3；故选：B．11．（5.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知A=2，，故ω=2，又，所以，故，又，所以．故选：B．12．（5.00分）已知函数f（x）=若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）=．∴x∈（﹣∞，log23）时，f（f（x））=∈[0，3]，令f（f（x））=2，解得x=log2（1+log23）．同理可得：x∈[log23，2）时，=2，解得x=．x∈时，=2，解得x=．时，=2，解得x=1+．综上可得：函数g（x）=f[f（x）]﹣2的x零点个数为4．故选：B．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．（5.00分）若a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c的大小关系（由小到大是）b＜a＜c．【解答】解：∵0＜a=0.32＜1，b=log20.3＜log21=0，c=20.3＞20=1，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．14．（5.00分）化简2sin15°sin75°的值为．【解答】解：2sin15°sin75°=2sin15°sin（90°﹣15°）=2sin15°cos15°=sin30°=．故答案为：．15．（5.00分）若tanα，tanβ是方程x2﹣3x+4=0的两个根，则tan（α+β）=．【解答】解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+4=0的两个根，∴tanα+tanβ=，tanα•tanβ=4，∴tan（α+β）=．故答案为：．16．（5.00分）在菱形ABCD中，对角线AC=4，E为CD的中点，则=12．【解答】解：设菱形的边长为a，由=+，可得2=2+2+2•，即有16=2a2+2•，即a2+•=8，则•=（+）•（+）=（+）•（+）=2+2+•=（a2+•）=×8=12．故答案为：12．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（10.00分）已知坐标平面上的直线与x，y轴分别相交于A（3，0），B（0，3）两点，点C（cosα，sinα），其中．（1）若，求角α的值；（2）若，求sin2α的值．【解答】解：（1）∵，=（cosα﹣3，sinα ），=（cosα，sinα﹣3），∴（cosα﹣3）2+sin2α=cos2α+（sinα﹣3）2．化简可得cosα=sinα．又，∴α=．（2），则（cosα﹣3）cosα+sinα （sinα﹣3）=﹣1，化简可得（cosα+sinα ）=．平方可得1+sin2α=，∴sin2α=﹣．18．（12.00分）已知（ω＞0），记f（x）=．且f（x）的最小正周期为π．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x的集合；（2）求f（x）在区间上的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=====．∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴=π，解得ω=1，∴f（x）=sin（2x）．∴f（x）的最大值为，此时，即．∴使f（x）取得最大值时x的集合为{x|}；（2）由（1）得f（x）=sin（2x）．∵0，∴，∴，因此0≤，即f（x）的取值范围为[0，]．19．（12.00分）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当x∈（0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A（10，80），过点B（12，78）；当x∈[12，40]时，图象是线段BC，其中C（40，50）．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（1）试求y=f（x）的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．【解答】解：（1）当x∈（0，12]时，设f（x）=a（x﹣10）2+80…（1分）过点（12，78）代入得，则…（3分）当x∈[12，40]时，设y=kx+b，过点B（12，78）、C（40，50）得，即y=﹣x+90…（6分）则的函数关系式为…（7分）（2）由题意得，或…（9分）得4＜x≤12或12＜x＜28，4＜x＜28…（11分）则老师就在x∈（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．…（12分）20．（12.00分）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），且f（1）=a＞0．（1）求f（）及f（）；（2）证明f（x）是周期函数．【解答】解；（1）∵f（1）=f（+）=f（）•f（）=f2（）=a，∴f（）=±又∵f（）=f（+）=f2（）＞0，∴f（）=同理可得f（）=（2）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）又∵f（x）关于x=1对称，∴f（x）=f（2﹣x）∴f（x）=f（﹣x）=f[2﹣（﹣x）]=f（2+x）（x∈R）这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．21．（12.00分）已知函数f（x）=log a（a＞0，且a≠1）（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若对于x∈[2，4]，恒有f（x）＞log a成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）因为＞解得x＞1或x＜﹣1，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），函数f（x）为奇函数，证明如下：由（I）知函数f（x）的定义域关于原点对称，又因为f（﹣x）=log a=log a=log a（）﹣1=﹣log a=﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数…（4分）（2）若对于x∈[2，4]，f（x）＞log a恒成立即log a＞log a对x∈[2，4]恒成立当a＞1时，即＞对x∈[2，4]成立．则x+1＞，即（x+1）（7﹣x）＞m成立，设g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，因为x∈[2，4]所以g（x）∈[15，16]，则0＜m＜15，同理当0＜a＜1时，即＜对x∈[2，4]成立．则x+1＜，即（x+1）（7﹣x）＜m成立，设g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，因为x∈[2，4]所以g（x）∈[15，16]，则m＞16，综上所述：a＞1时，0＜m＜15，0＜a＜1时，m＞16 …．（12分）22．（12.00分）函数．（1）当m=时，求g（θ）的单调递增区间；（2）若g（θ）+1＜0恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）令t=cosθ∈[0，1]，可得：，记，可得：g（t）在上单调递增，在上单调递减．又t=cosθ在上单调递减．令，解得，故函数f（x）的单调递增区间为．…（6分）（2）由g（θ）＜﹣1得（2﹣cosθ）m＞2﹣cos2θ，即：，∵，∴2﹣cosθ∈[1，2]，∴，等号成立时cosθ=2﹣．故：4﹣[（2﹣cosθ）+]的最大值是4﹣2．从而m＞4﹣2．…（12分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。

2015-2016年河北省石家庄市高一下学期期末数学试卷及答案

2015-2016学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共13小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线l的倾角为45°，且过点（0，﹣1），则直线l的方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+1=02．（5分）若两直线l1：x+2y﹣1=0，l2：mx﹣y+2m=0互相平行，则常数m等于（）A．﹣ B．﹣2 C．D．23．（5分）一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数是（）A．45°B．30°C．60°D．90°4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果b2+c2﹣a2﹣bc=0，那么角A的值为（）A．30°B．60°C．120° D．150°5．（5分）在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的石子可以排成一个正三角形（如图），则第八个三角形数是（）A．35 B．36 C．37 D．386．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n（n∈N*），则a9的值为（）A．9 B．8 C．7 D．67．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，b=3，c=，则△ABC的面积是（）A．2 B．2 C．D．8．（5分）已知直线l、m、n与平面α、β，给出下列四个命题（）①若m∥l，n∥l，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α．其中假命题是（）A．①B．②C．③D．④9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（）A．B．2πC．3πD．4π10．（5分）点P（﹣2，﹣1）到直线l：（1+3λ）x+（1+2λ）y=2+5λ的距离为d，则d的取值范围是（）A．0≤d＜B．d≥0 C．d＞D．d≥11．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）A．B．C．D．12．（5分）若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜4内有解，则实数a 的取值范围是（）A．a＜﹣4 B．a＞﹣4 C．a＞﹣12 D．a＜﹣1213．当x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，3]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）14．（5分）已知m+4n=4（m＞0，n＞0），则mn的最大值是．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=45°，c=2，b=，那么角A=．16．（5分）[示范高中]设x，y满足的约束条件为，若目标函数z=4ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a2+b2的最小值为．17．已知实数x、y满足，则x+2y的最大值是．18．（5分）等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是（填序号）．三、解答题（共7小题，满分70分）19．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．20．（12分）已知过A（﹣1，2）点的一条入射光线l经x轴反射后，经过点B （2，1）．（1）求直线l的方程；（2）设直线l与x轴交于点C，求△ABC的面积．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC﹣ccos （A+C）=3acosB．（1）求cosB的值；（2）若•=2，且b=3，求a，c的值．22．（12分）[示范高中]设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，集合N=[1，4]，且M⊆N，求实数a的取值范围．23．[普通高中]设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为非空数集M，且M⊆[1，4]，求实数a的取值范围．24．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB（2）证明：平面PMB⊥平面PAD．25．（12分）设不等式组，所表示的平面区域为D，记D n内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f（n）（n∈N*）．（1）求f（1），f（2），f（3）的值及f（n）的表达式（不需证明）；（2）设b n=2n f（n），且S n为数列{b n}的前n项和，求S n．2015-2016学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共13小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线l的倾角为45°，且过点（0，﹣1），则直线l的方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+1=0【解答】解：∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，又∵过点（0，﹣1），∴直线l的方程为y+1=x，整理为一般式可得x﹣y﹣1=0，故选：B．2．（5分）若两直线l1：x+2y﹣1=0，l2：mx﹣y+2m=0互相平行，则常数m等于（）A．﹣ B．﹣2 C．D．2【解答】解：由题意，，∴m=﹣．故选：A．3．（5分）一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数是（）A．45°B．30°C．60°D．90°【解答】解：一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，组成立体图形后，可得△ABC的各边均为正方形的对角线长，△ABC为等边三角形，∴∠ABC的度数为60°．故选：C．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果b2+c2﹣a2﹣bc=0，那么角A的值为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：∵b2+c2﹣a2﹣bc=0，∴cosA===，∵A∈（0°，180°），解得A=60°．故选：B．5．（5分）在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的石子可以排成一个正三角形（如图），则第八个三角形数是（）A．35 B．36 C．37 D．38【解答】解：发现后一个数等于前一个数加它自己的序号，故前8个数为：1，3，6，10，15，21，28，36．故选：B．6．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n（n∈N*），则a9的值为（）A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：当n=1时，a1=S1=﹣8，=（n﹣1）2﹣9（n﹣1）=n2﹣11n+10，当n≥2时，S n﹣1a n=S n﹣S n﹣1，=n2﹣9n﹣n2+11n﹣10，=2n﹣10，当n=1时成立，∴a n=2n﹣10，当n=9时，a9=2×9﹣10=8，故选：B．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，b=3，c=，则△ABC的面积是（）A．2 B．2 C．D．【解答】解：cosC==，C∈（0，π），∴C=．===．∴S△ABC故选：D．8．（5分）已知直线l、m、n与平面α、β，给出下列四个命题（）①若m∥l，n∥l，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α．其中假命题是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①若m∥l，n∥l，则m∥n，由公理4知，①对；②若m⊥α，m∥β，过m的平面为γ，令γ∩β=l，则m∥l，即有l⊥α，l⊂β，α⊥β，故②对；③若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，故③错；④若m⊥β，α⊥β，则在α内作一条直线l垂直于α，β的交线，则l⊥β，m∥l，故有m∥α，或m⊂α，m⊥β．故④对．故选：C．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（）A．B．2πC．3πD．4π【解答】解：由已知中三视图可得该几何体为一个圆锥又由正视图与侧视图都是边长为2的正三角形故底面半径R=1，母线长l=2则这个几何体的侧面积S=πRl=2π故选：B．10．（5分）点P（﹣2，﹣1）到直线l：（1+3λ）x+（1+2λ）y=2+5λ的距离为d，则d的取值范围是（）A．0≤d＜B．d≥0 C．d＞D．d≥【解答】解：直线l：（1+3λ）x+（1+2λ）y=2+5λ可化为：（x+y﹣2）+λ（3x+2y﹣5）=0∴，∴∴直线l恒过定点A（1，1）（不包括直线3x+2y﹣5=0）∴∵PA⊥直线3x+2y﹣5=0时，点P（﹣2，﹣1）到直线的距离为∴点P（﹣2，﹣1）到直线l：（1+3λ）x+（1+2λ）y=2+5λ的距离为故选：A．11．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”设AB的中点为N，根据题目条件可知△PAN≌△CBN∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”故动点M的轨迹肯定过点D和点N而到点P与到点N的距离相等的点为线段PC的垂直平分面线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线故选：A．12．（5分）若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜4内有解，则实数a 的取值范围是（）A．a＜﹣4 B．a＞﹣4 C．a＞﹣12 D．a＜﹣12【解答】解：原不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0化为：a＜2x2﹣8x﹣4，只须a小于y=2x2﹣8x﹣4在1＜x＜4内的最大值时即可，∵y=2x2﹣8x﹣4在1＜x＜4内的最大值是﹣4．则有：a＜﹣4．故选：A．13．当x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，3]【解答】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x﹣1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）14．（5分）已知m+4n=4（m＞0，n＞0），则mn的最大值是1．【解答】解：∵m+4n=4（m＞0，n＞0），∴mn=•m•4n≤（）2=×4=1，当且仅当m=2，n=时取等号，∴mn的最大值是1，故答案为：115．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=45°，c=2，b=，那么角A=75°或15°．【解答】解：∵B=45°，c=2，b=，∴sinC===，∴解得：C=60°或120°，∴A=180°﹣B﹣C=75°或15°．故答案为：75°或15°．16．（5分）[示范高中]设x，y满足的约束条件为，若目标函数z=4ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a2+b2的最小值为2．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由z=4ax+by（a＞0，b＞0），得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时最大值8，由，解得，即A（1，4），代入目标函数得4a+4b=8，即a+b=2，a2+b2的几何意义为直线上点到圆的距离的平方，则圆心到直线的距离d=，则a2+b2的最小值为d2=2；故答案为：2．17．已知实数x、y满足，则x+2y的最大值是4．【解答】解：已知实数x、y满足在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A（0，1），B（1，0），C（2，1），由图可知，当x=2，y=1时x+2y的最大值是4．故答案为：418．（5分）等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是①②④（填序号）．【解答】解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0所以a8﹣a7=d＜0①正确②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以②正确③由于d＜0，所以a1最大③错误④由于a7＞0，a8＜0，s7最大，所以④正确故答案为：①②④三、解答题（共7小题，满分70分）19．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．【解答】解：设{a n}的公比为q，由题意得：，解得：或，当a1=3，q=2时：a n=3×2n﹣1，S n=3×（2n﹣1）；当a1=2，q=3时：a n=2×3n﹣1，S n=3n﹣1．20．（12分）已知过A（﹣1，2）点的一条入射光线l经x轴反射后，经过点B （2，1）．（1）求直线l的方程；（2）设直线l与x轴交于点C，求△ABC的面积．【解答】解：（1）B（2，1）关于x轴的对称点为B’（2，﹣1）…（3分）∴，即直线L的方程为x+y﹣1=0．（6分）（2）由（1）知点C（1，0），…（8分）∴|AC|==，B点到直线l的距离为，…（10分）∴（12分）21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC﹣ccos （A+C）=3acosB．（1）求cosB的值；（2）若•=2，且b=3，求a，c的值．【解答】解：（Ⅰ）∵bcosC﹣ccos（A+C）=3acosB，由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=sinA=3sinAcosB，∵sinA＞0．∴cosB=．（Ⅱ），∴ac=6．∴，解得a=2，c=3或a=3，c=2．22．（12分）[示范高中]设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，集合N=[1，4]，且M⊆N，求实数a的取值范围．【解答】解：因为不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，N=[1，4]；当△=4a2﹣4（a+2）＜0，即﹣1＜a＜2时，M=∅，满足题意；…（2分）当△=0，a=﹣1，M={﹣1}不合题意，a=2时，M={2}满足题意；…（4分）当△＞0时，即a＞2或a＜﹣1时，令f（x）=x2﹣2ax+a+2，要使M⊆[1，4]，只需，解得2＜a≤；9．分综上，a的取值范围是﹣1＜a≤．（12分）23．[普通高中]设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为非空数集M，且M⊆[1，4]，求实数a的取值范围．【解答】解：由题意知，解得．故a的取值范围为[2，]．24．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB（2）证明：平面PMB⊥平面PAD．【解答】解：（1）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．．（2），又因为底面ABCD是∠A=60°，边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD．又AD∩PD=D，所以MB⊥平面PAD．．25．（12分）设不等式组，所表示的平面区域为D，记D n内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f（n）（n∈N*）．（1）求f（1），f（2），f（3）的值及f（n）的表达式（不需证明）；（2）设b n=2n f（n），且S n为数列{b n}的前n项和，求S n．【解答】解：（1）由不等式组，可得f（1）=3，f（2）=6，f（3）=9；∴f（n）=3n．（2）由题意知：，∴…①∴…②∴①﹣②得=3（21+22+23+…+2n）﹣3n•2n+1==3（2n+1﹣2）﹣3n•2n+1，∴．。

河北省石家庄市第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试理数试题Word版含解析

河北省石家庄市第一中学2015-2016学年高一期末考试理数试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 A ．M N B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧【答案】B 【解析】试题分析：{5}MN =，(){1,2}U C M N =，故选B ．考点：集合的运算． 2．若2sin 3α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于A ．5 B ．2- C ．2．5- 【答案】D考点：同角间的三角函数关系．【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．3．设0a b <<，则下列不等式中正确的是 A．2a b a b +<<<B．2a ba b +<< C．2a b a b +<< D2a ba b +<<【答案】B 【解析】试题分析：取4,16a b ==8==，4161022a b ++==，只有B 符合．故选B ．考点：基本不等式．4．已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是A ．若,//,//ααn m 则n m //B ．若,,αα⊂⊥n m ，则n m ⊥C ．若,,n m m ⊥⊥α则α//nD ．若,,//n m m ⊥α，则α⊥n 【答案】B考点：空间直线与平面的位置关系，平行与垂直的判断．5．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】试题分析：由等比数列的性质知44123845()10a a a a a a ==，所以128lg lg lg a a a +++4128lg()lg104a a a ===．故选C考点：等比数列的性质，对数的运算．6．已知函数()()()()cos 0260x x f x f x x ππ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩，则()2013f -等于 A ．12 B ．12- C．2 D．2-【答案】B【解析】试题分析：(2013)(2013)cos(2013)26f f ππ-==⨯+cos(1006)26πππ=++cos()26ππ=+sin 6π=-12=-．考点：分段函数，诱导公式．7．几何体的三视图(单位：cm)如右上图所示，则此几何体的表面积是A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2【答案】A考点：三视图，体积．8．已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为A ．22(1)18x y ++= B ．18)1(22=+-y x C ．18)1(22=++y x D ．18)1(22=-+y x 【答案】A 【解析】试题分析：易知(2,1)P -关于直线1y x =+的对称点为(0,1)-，即(0,1)C -，圆心到直线34110x y +-=的距离为3d ==，所以r ==22(1)18x y ++=．故选A ．考点：圆的标准方程．9．设2212()cos (1)sin cos 3sin f x a x a x x x =+-+（22120a a +≠），若无论x 为何值，函数()f x 的图象总是一条直线，则12a a +的值是A ． 0B ．1-C ．4D ．256 【答案】C 【解析】试题分析：由题意12310a a =⎧⎨-=⎩，所以124a a +=．故选C ．考点：恒等式，同角间的三角函数关系．．10．设1m >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为A．(1,1+ B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 【答案】A考点：简单线性规划的参数问题．11．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r =A ．．5 C ．3 D 【答案】D考点：直线与圆的位置关系．【名师点睛】直线与圆、直线与圆锥曲线相交时一般设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，由直线方程与圆（圆锥曲线）方程组消元后，可得1212,x x x x +，然后再对条件进行计算并把1212,x x x x +代入运算求解，本题中圆的圆心在原点，直线2y x =-+与直线y x =垂直，其交点关于直线y x =对称，实际上这两个点的横纵坐标互换，因此我们直接解方程组得出两交点坐标，并求出C 点坐标，代入圆方程可解得r ．因此解题时要灵活运用所学知识，选用恰当的方法，适合的就是最好的．12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4【答案】A【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤02c a <≤．故选A ．考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．第II 卷（非选择题，共90分）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于．【答案】32-考点：向量垂直的坐标表示，向量的坐标运算．14．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =_____．【答案】8 【解析】试题分析：由椭圆定义知221212440AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==，所以8AB =．考点：椭圆的定义．15．等差数列}{n a 中12016a =，前n 项和为n S ,10121210S S -2-=，则2016S 的值为__________．【答案】2016 【解析】试题分析：由{}n a 是等差数列，则112n S n a d n -=+，101211119()()2121022S S a d a d d -=+-+==-，20162016201520162016(2)20162S ⨯=⨯+⨯-=．考点：等差数列的前n 项和．【名师点睛】等差数列的前n 项和公式是1(1)2n n n S na d -=+，由此知1(1)2n S da n n =+-⋅，这说明数列{}n S n 是等差数列，因此此题可以这样解：设数列{}n Sn的公差为d ，则1012221210S S d -==-，1d =-，又120161S =，所以20161201520162015(1)120161S S d =+=+⨯-=，所以20162016S =． 16．定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)(2),f x f x f x f x -=--=+且(1,0)x ∈-时，1()2,5x f x =+则2(log 20)f =__________．【答案】－1考点：函数的周期性．【名师点睛】当函数具有性质：对一切实数x ，()()f x T f x +=恒成立，则函数()f x 是周期函数，T 是它的一个周期，同样若函数满足下列条件之一时，它也是周期函数：（1）()()f x a f x +=-，2T a =；（2）1()()f x a f x +=±，2T a =；（3）()()f x a f x a +=-，2T a =；（4）1()()1()f x f x a f x -+=+，4T a =．三、非选择题：本题共6小题，共70分．17．(本小题满分10分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a b ==求ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）2．【解析】试题分析：（Ⅰ）由两向量平行的坐标运算列出三角形边角关系的等式，再由正弦定理化边为角，可求得角A ；（Ⅱ）由余弦定理（选用角A 的等式），求出边c ，再选用公式1sin 2S bc A =可得三角形面积．试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<<所以3A π=．考点：向量平行的坐标运算，正弦定理，余弦定理，三角形面积．18．(本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为n S ，t a =1，121()n n a S n *+=+∈N ．（Ⅰ）当t 为何值时，数列}{n a 是等比数列;（Ⅱ）在（I ）的条件下，若等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，且153=T ，又11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，求n T ．【答案】（Ⅰ）1t =；（Ⅱ）2205n T n n =-【解析】试题分析：（Ⅰ）要说明数列{}n a 是等比数列，一般根据等比数列的定义，证明数列的后项与前项之比为同一常数，为此由已知121n n a S +=+，再写一个2n ≥时，1121n n a S ++=+，两式相减后得13(2)n n a a n +=≥，这样有13(2)n n a n a +=≥，因此要使数列为等比数列，只要213aa =即可，从而得1t =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得123,,a a a ，利用等差数列的前3项和315T =可得25b =，可设135,5b d b d =-=+，利用11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，可求得公差d ，最后由等差数列的前n 项和公式可得n T ．试题解析：（I ）由121+=+n n S a ，可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即，∴当2≥n 时，}{n a 是等比数列， ……… 3分要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需31212=+=tt a a ，从而1=t ．5分考点：等比数列的判断，等比数列的性质，等差数列的前n 项和．【名师点睛】判定数列为等比数列的常见方法(1)定义法:=q (q 是不等于0的常数,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列;也可用=q (q 是不等于0的常数,n ∈N *,n ≥2) ⇔{a n }是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只是n 的初始值不同.(2)中项公式法:=a n ·a n+2(a n ·a n+1·a n+2≠0,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.19．(本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C C AB -A B 中，侧面11CC A A 与侧面11C C BB 都是菱形，111CC CC 60∠A =∠B =，C 2A =．()I 求证：11CC AB ⊥； ()II 若1AB =11C -AB -A 的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）－105．试题解析：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则 △ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形．取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． …4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1＝3，又AB 1＝6，所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系，则C (0，－1，0)，B 1(3，0，0)，A (0，0，3)， …6分设平面CAB 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，因为AB 1→＝(3，0，－3)，AC →＝(0，－1，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×x 1＋0×y 1－3×z 1＝0，0×x 1－1×y 1－3×z 1＝0，取m ＝(1，－3，1)． …8分设平面A 1AB 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，因为AB 1→＝(3，0，－3)，AA 1→＝ (0，2，0)，所以⎩⎨⎧3×x 2＋0×y 2－3×z 2＝0，0×x 1＋2×y 1＋0×z 1＝0，取n ＝(1，0，1)． …10分则cos m ，n ＝m ·n |m ||n |＝25×2＝105，因为二面角C -AB 1-A 1为钝角，所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为－105．考点：线面垂直的判断与性质，二面角．【名师点睛】求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.同样求异面直线所成的角可从两个不同角度求异面直线所成的角.一是把角的求解转化为向量运算,二是体现传统方法(三步:作,证,算),应注意体会两种方法的特点.“转化”是求异面直线所成角的关键,可平移线段或化为向量的夹角.一般地,异面直线AC ,BD 的夹角β的余弦值为cos β=.20．(本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（Ⅰ）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）3=y 或者01243=-+y x ；（Ⅱ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0试题解析：(Ⅰ)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为1 ∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx ∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k ∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x (Ⅱ)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4)则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x 又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上即:圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a 由08852≥+-a a 得R x ∈由01252≤-a a 得5120≤≤x 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 考点：圆的标准方程，两圆的位置关系．21．（本题满分12分）已知3a ≥，函数()2m i n (21,242),F x x x a x a =--+-其中(),m i n ,,p p q p q q p q≤⎧=⎨>⎩. （Ⅰ）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a ；（ii ）求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a .【答案】（Ⅰ）[2,2]a ；（Ⅱ）（i ）()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩；（ii ）()348,342,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，22(242)212(1)(2)0x ax a x x a x -+---=+-->，当1>时，2(242)21(2)(2)x ax a x x x a -+---=--．所以使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[2,2]a ．（II ）（i ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则 ()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即 ()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩ （ii ）当02x ≤≤时，()()()(){}()F max 0,22F 2x f x f f ≤≤==，当26x ≤≤时， ()()()(){}{}()(){}F max 2,6max 2,348max F 2,F 6x g x g g a ≤≤=-=．所以，()348,342,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩．考点：新定义，函数的最值．22．(本小题满分12分）定圆M：(2216x y ++= ，动圆N 过点F )且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ．（I ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC |=|CB |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）y=x 或y=﹣x ．试题解析：（Ⅰ）因为点F在圆22:(16M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M ，因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N 的轨迹E 为椭圆，且24,a c ==b=1，所以轨迹E 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）（i ）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时12ABC S OC AB ∆==2．（ii ）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y=kx ，联立方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22414A x k =+，222414A k y k =+，所以222224(1)14A Ak OA x y k +=+=+．由|AC|=|CB|知，△ABC 为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC ⊥AB ，所以直线OC 的方程为1y x k =-，同理得2222214(1())4(1)1414()k k OC k k+-+==++-，22ABC OAC S S OA OC ∆∆====，222(14)(4)5(1)22k k k ++++≤=，所以85ABC S ∆≥，当且仅当1+4k 2=k 2+4，即k=±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85，因为825>，所以△ABC 面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y=x 或y=﹣x ．考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题．。

2015~2016学年第一学期期末高一数学试题与答案

（D）12
C
A
B
( ) ( ) （12）定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x)＝f (x＋3)，当 x∈ 0，23
时，f (x)＝sin πx，且 f
3 2
＝0，则
函数 f (x)在区间[－6，6]上的零点个数是
（A）18
（B）17
（C）9
（D）8
高一数学试卷 A 卷第 1 页（共 4 页）
（A） 2
（B）
3
（C）
6
（D）1π2
( ) （10）已知函数
f
(x)＝Asin(ωx＋φ)（A＞0，ω＞0，|φ|＜
2
）的部分图象如图所示，且
f
(0)＝f
3
，
则（A）f (x)的最小正周期为 2π （B）f (x)的图象关于直线 x＝56π对称
y 2
5
[ ] （C）f (x)在区间 0，4 上是增函数
（A）{3，4} （B）{2，4} （C）{0，3，4} （D）{0，2，4}
（2）sin 660＝
（A）
1 2
（B）－
1 2
（C）
3 2
（3）下列函数中与函数 y＝x 为同一函数的是
（A）y＝ x2
（B）y＝lg 10x （C）y＝xx2
（4）函数
f
(x)＝
2 x
－log3
x
的零点所在的一个区间是
（Ⅰ）若 λ＝3，试用→ CA ，→ CB 表示→ CP ；（Ⅱ）若|→ CA |＝4，|→ CB |＝2，且→ CP ·→ AB ＝－6，求 λ 的值．
B P
C
A
得分评卷人
（20）（本小题满分 12 分）已知函数 f (x)＝l－og(2xx＋，1)2＋4p，xx≥＜11，，且 f [f ( 2)]＝47．

河北省石家庄市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含答案

2016-2017学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共13小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|2≤2x≤4}，B={x|0＜log2x＜2}，则A∪B=（）A．[1，4]B．[1，4） C．（1，2）D．[1，2]2．下列说法中正确的是（）A．奇函数f（x）的图象经过（0，0）点B．y=|x+1|+|x﹣1|（x∈（﹣4，4]）是偶函数C．幂函数y=x过（1，1）点D．y=sin2x（x∈[0，5π]）是以π为周期的函数3．若函数y=（a2﹣1）x在R上是减函数，则有（）A．|a|＜1 B．1＜|a|＜2 C．1＜|a|＜ D．|a|＞4．三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．已知α∈（0，π）且，则cosα的值为（）A．B．C．D．6．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2=+，且||=||，则•=（）A．1 B．2 C．D．7．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度8．已知向量，不共线，且向量=λ+，=+（2λ﹣1），若与反向，则实数λ的值为（）A．1 B．﹣ C．1或﹣ D．﹣1或﹣9．设f（x）=﹣，若规定＜x＞表示不小于x的最小整数，则函数y=＜f（x）＞的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}10．如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为30°，与的夹角为90°，且||=2，||=2，||=2，若=λ+μ，（λ，μ∈R）则（）A．λ=4，μ=2B．λ=4，μ=1C．λ=2，μ=1D．λ=2，μ=211．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B． C．πD．2π12．已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．213．已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）14．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=x，则f（2011.5）=．15．已知函数f（x）=2x+x﹣5在区间（n，n+1）（n∈N+）内有零点，则n=．16．已知向量=（6，2）与=（﹣3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是．17．计算：=．18．的值等于．三、解答题（共6小题，满分70分）19．（10分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）当m=3时，求集合（∁U A）∩B；（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．21．（12分）已知函数f（x）=log a（a x﹣1）（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2若函数f（x）的函数值大于1，求x的取值范围．22．（12分）如图△ABC，点D是BC中点，=2，CF和AD交于点E，设=a，=b．（1）以a，b为基底表示向量，．（2）若=λ，求实数λ的值．23．（12分）如图，点A，B是单位圆O上的两点，A，B点分别在第一，而象限，点C是圆O与x轴正半轴的交点，若∠COA=60°，∠AOB=α，点B的坐标为（﹣，）．（1）求sinα的值；（2）已知动点P沿圆弧从C点到A点匀速运动需要2秒钟，求动点P从A点开始逆时针方向作圆周运动时，点P的纵坐标y关于时间t（秒）的函数关系式．24．（12分）定义在区间D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，都存在常数M≥0，有|f（x）|≤M，则称f（x）是区间D上有界函数，其中M称为f（x）上的一个上界，已知函数g（x）=log为奇函数．（1）求函数g（x）在区间[，]上的所有上界构成的集合；（2）若g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，求m的取值范围．2016-2017学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共13小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|2≤2x≤4}，B={x|0＜log2x＜2}，则A∪B=（）A．[1，4]B．[1，4） C．（1，2）D．[1，2]【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的并集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：21≤2x≤22，解得：1≤x≤2，即A=[1，2]，由B中不等式变形得：log21=0＜log2x＜2=log24，解得：1＜x＜4，即B=（1，4），则A∪B=[1，4），故选：B．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．下列说法中正确的是（）A．奇函数f（x）的图象经过（0，0）点B．y=|x+1|+|x﹣1|（x∈（﹣4，4]）是偶函数C．幂函数y=x过（1，1）点D．y=sin2x（x∈[0，5π]）是以π为周期的函数【考点】函数奇偶性的判断．【分析】A，奇函数f（x）=的图象不经过（0，0）点，；B，y=|x+1|+|x﹣1|（x∈（﹣4，4]）的定义域不关于原点对称，不是偶函数；C，幂函数y=x过（1，1）点，正确；D，y=sin2x（x∈[0，5π]）不满足f（x+π）=f（x），不是以π为周期的函；【解答】解：对于A，奇函数f（x）=的图象不经过（0，0）点，故错；对于B，y=|x+1|+|x﹣1|（x∈（﹣4，4]）的定义域不关于原点对称，不是偶函数，故错；对于C，幂函数y=x过（1，1）点，正确；对于D，y=sin2x（x∈[0，5π]）不满足f（x+π）=f（x），不是以π为周期的函，故错；故选：C【点评】本题考查了命题真假的判断，涉及到了函数的性质，属于基础题．3．若函数y=（a2﹣1）x在R上是减函数，则有（）A．|a|＜1 B．1＜|a|＜2 C．1＜|a|＜ D．|a|＞【考点】函数单调性的性质．【分析】令0＜a2﹣1＜1，解出a的范围．【解答】解：∵函数y=（a2﹣1）x在R上是减函数，∴0＜a2﹣1＜1，∴1＜a2＜2．∴1＜|a|＜．故选C．【点评】本题考查了指数函数的性质，一元二次不等式的解法，属于基础题．4．三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】指数函数单调性的应用．【分析】将a=0.32，c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x，y=2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=log20.3，抽象为对数函数y=log2x，利用其图象可知小于零．最后三者得到结论．【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选C【点评】本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质．5．已知α∈（0，π）且，则cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据同角的三角形关系求出sin（α+）=，再根据cosα=cos（α+﹣），利用两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（，），∵，∴sin（α+）=，∴cosα=cos（α+﹣）=cos（α+）cos+sin（α+）sin=×+×=，故选：C．【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式，培养了学生的转化能力和计算能力，属于基础题．6．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2=+，且||=||，则•=（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，知O是BC的中点，由△ABC的外接圆的圆心为O，知BC是圆O的直径，从而求得AB⊥AC，另由||=||，可得∠ABC=60°，故利用向量数量积的定义可以求得【解答】解：∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2=+，∴O是BC的中点，且BC是圆O的直径，∴AB⊥AC，AO=1，BC=2，∵||=||，∴AB=1，∴∠ABC=60°，∴•=1×2×cos60°=1，故选A．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及直角三角形有关的性质，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．7．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x ﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．已知向量，不共线，且向量=λ+，=+（2λ﹣1），若与反向，则实数λ的值为（）A．1 B．﹣ C．1或﹣ D．﹣1或﹣【考点】平行向量与共线向量．【分析】由题意存在实数k使λ+=k[+（2λ﹣1）]，k＜0，由向量，不共线，得2λ2﹣λ﹣1=0，由此能求出结果．【解答】解：∵向量，不共线，且向量=λ+，=+（2λ﹣1），与反向，∴存在实数k使=k（k＜0），于是λ+=k[+（2λ﹣1）]．整理得λ+=k+（2λk﹣k）．由于向量，不共线，所以有，整理得2λ2﹣λ﹣1=0，解得λ=1或λ=﹣．又因为k＜0，所以λ＜0，故λ=﹣．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用．9．设f（x）=﹣，若规定＜x＞表示不小于x的最小整数，则函数y=＜f（x）＞的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}【考点】函数的值域．【分析】先求出y的值域，再根据新的定义“＜x＞表示大于或等于x的最小整数”的意义，再利用x≤＜x＞＜x+1即可解出本题．【解答】解：f（x）=﹣=﹣=﹣，∵3x+1＞1，∴0＜＜1，∴﹣1＜＜0，∴﹣＜﹣＜，∵规定＜x＞表示不小于x的最小整数，∴x≤＜x＞＜x+1，∴﹣1≤＜f（x）＞＜1∴函数y=＜f（x）＞的值域为{0，﹣1}，故选：B【点评】本题是新定义问题，解题的关键在于准确理解新的定义“＜x＞表示大于或等于x的最小整数”的意义，得到x≤＜x＞＜x+1，属于难题．10．如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为30°，与的夹角为90°，且||=2，||=2，||=2，若=λ+μ，（λ，μ∈R）则（）A．λ=4，μ=2B．λ=4，μ=1C．λ=2，μ=1D．λ=2，μ=2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】以OC为对角线，以OA，OB方向为邻边作平行四边形，求出平行四边形OA方向上的边长即可得出答案．以OC为对角线，以OA，OB方向为邻边作平行四边形，求出平行四边形OA方向上的边长即可得出答案．【解答】解：过点C作CE∥OB交OA的延长线于点E，过点C作CF∥OA交OB的延长线于点F，则=+．∴∠OCE=∠COF=90°，∵∠COE=30°，∴CE=OE，∵CE2+OC2=OE2，∴CE=2，OE=4．∵OA=2，=λ+μ，（λ，μ∈R）．∴λ==2，μ===1，故选：C【点评】本题考查了平面向量的基本定理，向量运算的几何意义，属于基础题．11．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B． C．πD．2π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】化f（x）为正弦型函数，令f（x）=1求出x的值，利用曲线y=f（x）与直线y=1的交点中相邻交点距离的最小值为，得出ω|x2﹣x1|=﹣，从而求出ω和f（x）的最小正周期T．【解答】解：函数f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），令f（x）=1，得sin（ωx+）=，∴ωx+=+2kπ，k∈Z，或ωx+=+2kπ，k∈Z；又在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为，∴ω|x2﹣x1|=﹣，即ω=，解得ω=2，∴f（x）的最小正周期为T==π．故选：C．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．12．已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x），得到x1，x2关于x=﹣1对称，x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作函数f（x）的图象如右，∵方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，∴x1，x2关于x=﹣1对称，即x1+x2=﹣2，0＜x3＜1＜x4，则|log2x3|=|log2x4|，即﹣log2x3=log2x4，则log2x3+log2x4=0即log2x3x4=0则x3x4=1；x1+x2+=﹣1．故选：B．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．13．（2016秋•石家庄期末）已知函数f（x）=，若方程f （x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1]【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【分析】作出函数f（x），得到x1，x2关于x=﹣1对称，x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作函数f（x）的图象如右，∵方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，∴x1，x2关于x=﹣1对称，即x1+x2=﹣2，0＜x3＜1＜x4，则|log2x3|=|log2x4|，即﹣log2x3=log2x4，则log2x3+log2x4=0即log2x3x4=0则x3x4=1；当|log2x|=1得x=2或，则1＜x4＜2；＜x3＜1；故x3（x1+x2）+=﹣2x3+，＜x3＜1；则函数y=﹣2x3+，在＜x3＜1上为减函数，则故x3=取得最大值，为y=1，当x3=1时，函数值为﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1）．故选：B．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）14．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=x，则f（2011.5）=﹣0.5．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】求出函数为奇函数，再求出函数的周期为2，问题得以解决．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是定义在R上的奇函数，∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）的周期为2，∴f（2011.5）=f（2×1006﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5，故答案为：﹣0.5．【点评】本题考查函数周期、对称、奇偶性等性质问题，属中等题．15．已知函数f（x）=2x+x﹣5在区间（n，n+1）（n∈N+）内有零点，则n=2．【考点】二分法的定义．【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．【解答】解：由f（2）=4+﹣5=﹣＜0，f（3）=8+﹣5＞0及零点定理知，f（x）的零点在区间（2，3）上，两端点为连续整数，∴零点所在的一个区间（n，n+1）（k∈Z）是（2，3）∴n=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查函数零点的概念、函数零点的判定定理与零点定理的应用，本题的解题的关键是检验函数值的符号，属于容易题．16．已知向量=（6，2）与=（﹣3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是{k|k ＜9且k≠﹣1} ．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由题意得•＜0，求出k的取值范围，并排除反向情况．【解答】解：∵向量=（6，2）与=（﹣3，k）的夹角是钝角，∴•＜0，即6×（﹣3）+2k＜0，解得k＜9；又6k﹣2×（﹣3）=0，得k=﹣1，此时与反向，应去掉，∴k的取值范围是{k|k＜9且k≠﹣1}；故答案为：{k|k＜9且k≠﹣1}．【点评】本题考查了向量夹角的求解问题，解题时转化为数量积小于0，注意排除反向的情形，是基础题．17．计算：=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用倍角公式、诱导公式即可得出．【解答】解：原式====．故答案为：．【点评】本题考查了倍角公式、诱导公式，属于基础题．18．（2016秋•石家庄期末）的值等于．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】切化弦，利用差角的正弦公式，即可得出结论．【解答】解：=﹣====．故答案为：．【点评】本题考查差角的正弦公式，考查学生的技术能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）19．（10分）（2016秋•石家庄期末）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）当m=3时，求集合（∁U A）∩B；（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）求出A中不等式的解集确定出A，把m的值代入B确定出B，求出A补集与B的交集即可；（2）由题意得到B为A的子集，分B为空集与不为空集两种情况求出m的范围即可．【解答】解：（1）集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0}={x|（x+2）（x﹣5）＜0}={x|﹣2＜x＜5}，…（2分）当m=3时，B={x|4≤x≤5}；…（3分）所以∁R A={x|x≤﹣2或x≥5}；…（4分）所以（∁R A）∩B={x|x=5}={5}；…（2）因为A∩B=B，所以B⊆A；…①当B=∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2，此时B⊆A；…（7分）②当B≠∅时，应满足，解得2≤m＜3，此时B⊆A；…（9分）综上所述，m的取值范围是{m|m＜3}．…（10分）【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．20．（12分）（2016秋•石家庄期末）已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx+1=sin（2ωx+）+1，因为f（x）最小正周期为π，所以=π，解得ω=1，所以f（x）=sin（2x+）+1，f（）=sin（+）+1=（sin cos+cos sin）+1=．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题．21．（12分）（2016秋•石家庄期末）已知函数f（x）=log a（a x﹣1）（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2若函数f（x）的函数值大于1，求x的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）利用真数大于0，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的函数值大于1，分类讨论求x的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知a x﹣1＞0，a x＞1…（2分）当a＞1时，x＞0，所以f（x）的定义域为（0，+∞）…（4分）当0＜a＜1时，x＜0，所以f（x）的定义域为（﹣∞，0）…（2）log a（a x﹣1）＞1，当a＞1时，a x﹣1＞a，x＞log a（a+1），…（8分）当0＜a＜1时，a x﹣1＜a，x＞log a（a+1），…（10分）因为f（x）的定义域为（﹣∞，0），所以0＞x＞log a（a+1）…（12分）【点评】本题考查函数的定义域，考查不等式的解法，考查对数函数的性质，正确转化是关键．22．（12分）（2016秋•石家庄期末）如图△ABC，点D是BC中点，=2，CF和AD交于点E，设=a，=b．（1）以a，b为基底表示向量，．（2）若=λ，求实数λ的值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据向量的加减的几何意义即可求出，（2）根据向量共线定理即可求出．【解答】解：（1）因为点D是BC中点，所以2=+，即=2﹣，所以=﹣=2﹣﹣=2﹣，（2）=λ=（+）=+，因为点C，E，F共线，所以+λ=1，所以λ=．【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，考查学生的计算能力，比较基础．23．（12分）（2016秋•石家庄期末）如图，点A，B是单位圆O上的两点，A，B点分别在第一，而象限，点C是圆O与x轴正半轴的交点，若∠COA=60°，∠AOB=α，点B的坐标为（﹣，）．（1）求sinα的值；（2）已知动点P沿圆弧从C点到A点匀速运动需要2秒钟，求动点P从A点开始逆时针方向作圆周运动时，点P的纵坐标y关于时间t（秒）的函数关系式．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）利用点B的坐标，根据三角函数的定义可知sin∠COB=，cos∠COB=﹣，进而可求sinα=sin（∠COB﹣60°）=；（2）根据动点P沿圆弧从C点到A点匀速运动至少需要2秒钟，∠COA=60°，可求ω=，进而可求点P到x轴的距离d关于时间t的函数关系式．【解答】解：（1）∵点B的坐标为（﹣，），∴sin∠COB=，cos∠COB=﹣，…（2分）∴sinα=sin（∠COB﹣60°）=…（Ⅱ）∵动点P沿圆弧从C点到A点匀速运动需要2秒钟，∠COA=60°∴ω=…（8分）∴点P的纵坐标y关于时间t（秒）的函数关系式为y=sin（t+）（t≥0）…（12分）【点评】本题是基础题，考查三角函数的定义，解答变换的技巧，考查函数模型的构建，属于中档题．24．（12分）（2016秋•石家庄期末）定义在区间D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，都存在常数M≥0，有|f（x）|≤M，则称f（x）是区间D上有界函数，其中M称为f（x）上的一个上界，已知函数g（x）=log为奇函数．（1）求函数g（x）在区间[，]上的所有上界构成的集合；（2）若g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，求m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；对数函数的图象与性质．【分析】（1）利用奇函数的性质，求出函数的解析式，利用单调性求函数g（x）在区间[，]上的所有上界构成的集合；（2）若g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，有﹣1＜m2﹣1＜1﹣m＜1，即可求m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数g（x）=log为奇函数．∴g（﹣x）=﹣g（x），即log=﹣log…（1分）∴=，1﹣x2=1﹣a2x2得出；a=±1，而a=1时不符合题意，故a=﹣1，…（3分）函数g（x）=log（﹣1）是减函数，在区间[，]上是单调递减，…（4分）g（）=﹣1，g（）=﹣2，|g（x）|≤2所以g（x）在区间[，]上的所有上界构成的集合[2，+∞）…（Ⅱ）g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，g（1﹣m）＜g（m2﹣1），…（7分）g（x）为减函数，…（8分）所以有﹣1＜m2﹣1＜1﹣m＜1，解得0＜m＜1，故不等式的解集{m|0＜m＜1}．…（12分）【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查学生解不等式的能力，正确转化是关键．。

河北石家庄市2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题

河北省石家庄市2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 化简=--+CD AC BD ABA.0；B.BC ；C.0；D. ；2. 函数1f (x )lg x=+ A.(0，2] B.(0，2) C.(01)(12],, D.(2],-∞3. 已知集合{}1,0,1P =-,{}cos ,Q y y x x R ==∈,则P Q =A.PB.QC.{}1,1-D.{}0,1 4. 在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是 A.23BG BE = B.2CG GF = C.12DG AG = D.121332DA FC BC += 5.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，2()2sin f x x x =-，则当0<x 时，)(x f =A ．22sin x x --B ．22sin x x -+C ． 22sin x x +D ．22sin x x -6sin()cos()4242.x x k Z y ππ∈=++设，函数的单调增区间为 A.1[(),(1)]2k k ππ++ B.[(21),2(1)]k k ππ++ C.1[,()]2k k ππ+ D. [2,(21)]k k ππ+ 7.设,cos sin )cos (sin αααα⋅=+f 则)6(sin πf 的值为 A. ;83 B. ;81 C. ;81- D. ;83- 8.若α是第一象限角，则sin cos αα+的值与1的大小关系是A.sin cos 1αα+>B.sin cos 1αα+=C.sin cos 1αα+<D.不能确定9.函数sin(2)3y x π=+的图象可由函数cos y x =的图象A.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍,再向左平移6π个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位 C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位 D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位 201011()()log ()03()x f x x x f x x x f x =-<<10.已知函数，若实数是函数的零点，且，则的值A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于011．已知tan tan ，αβ是方程240x ++=的两根，且2222，ππππαβ-<<-<<，则αβ+是 222333333A ．或 B ． C ．或 D ．ππππππ---- 12. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当[]0,2-∈x 时，若在区间)6,2(-内关于x 的方程0)2(lo g )(=+-x x f a ,恰有4个不同的实数根，则实数a )1,0(≠>a a 的取值范围是 B.(1,4) C. (1,8) D.)(8,+∞第II 卷（非选择题，共70分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13,2,3,32a b a b a b a b λλ⊥==+-．已知且与垂直，则实数的值为______；14. 已知40παβ<<<,1312)cos(=-βα,且54)sin(=+βα,则sin 2α的值为_______； 15.在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP =，则AB AD = ．16．已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，则实数b 的取值范围为．三、解答题：本题共6小题，共70分。

2015-2016学年河北省石家庄二中高一(上)期末数学试卷

2015-2016学年河北省石家庄二中高一（上）期末数学试卷一、选择题：1．（5分）若（4k+1）•180°＜α＜（4k+1）•180°+60°（k∈Z），则α所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为（）A．{0}B．{0，3}C．{1，3，4}D．{0，1，3，4}3．（5分）若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．4．（5分）不等式组的解集是{x|x＞2}，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣6 B．a≥﹣6 C．a≤6 D．a≥65．（5分）已知角α的终边与圆心为原点的圆交于点P（1，2），那么sin2α的值是（）A．B．C．D．6．（5分）设a=cos420°，函数，则f（）+f（﹣2）的值为（）A．2 B．6 C．D．﹣7．（5分）已知向量，的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．B．2C．3D．48．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期为π，则（）A．f（x）的图象过（0，）B．f（x）在[，]上是减函数C．f（x）的一个对称中心是（，0）D．将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=2sinωx的图象9．（5分）已知函数f（x）和g（x）的定义如表一，二：表一：x 1 2 3f（x） 2 3 1表二：x 1 2 3g（x） 3 2 1则方程g（f（x））=x的解集是（）A．∅B．{3}C．{2}D．{1}10．（5分）平面上的向量与满足||2+||=4，且=0，若点C满足=+，则||的最小值为（）A．1 B．C．D．11．（5分）已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，f（x）递减，都有f（x）≥0，则a=f（2010），b=f（），c=﹣f（）的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c12．（5分）已知函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：13．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=sin（x+φ）+k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为．14．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，则f（﹣1）=．15．（5分）已知函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ），则=．16．（5分）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）三、解答题：17．（10分）集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，集合B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．18．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．19．（12分）已知=（cosx﹣sinx，2sinx），=（cosx+sinx，cosx），并且f（x）=•．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若且，求sin2x的值．20．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？21．（12分）设函数f（x）=x+（x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞））的图象为c1，c1关于点A（2，1）的对称图象为c2，c2对应的函数为g（x）．（1）求函数g（x）的解析式，并确定其定义域；（2）若直线y=b与c2只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标．22．（12分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．2015-2016学年河北省石家庄二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）（2015秋•石家庄校级期末）若（4k+1）•180°＜α＜（4k+1）•180°+60°（k∈Z），则α所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵（4k+1）•180°＜α＜（4k+1）•180°+60°（k∈Z），∴2k•360°+180°＜α＜2k•360°+180°+60°（k∈Z），∴α所在象限为第三象限角，故选：C．2．（5分）（2014•福州模拟）设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为（）A．{0}B．{0，3}C．{1，3，4}D．{0，1，3，4}【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0得：x=4或1，∴B={1，4}，解方程x2﹣（a+3）x+3a=0得：x=3或a，∴A={3}或{3，a}，∵1+4+3=8，∴A={3}或{3，0}或{3，1}或{3，4}．∴a=0或1或3或4．故选：D．3．（5分）（2014•河东区一模）若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y=2在（﹣∞，0）上有交点，故正确．故选D．4．（5分）（2015秋•石家庄校级期末）不等式组的解集是{x|x＞2}，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣6 B．a≥﹣6 C．a≤6 D．a≥6【解答】解：由2x＞4，得x＞2；由2x2﹣3x﹣2＞0，解得或x＞2；由3x+a＞0，得x．∵不等式组的解集是{x|x＞2}，∴，即a≥﹣6．故选：B．5．（5分）（2015秋•石家庄校级期末）已知角α的终边与圆心为原点的圆交于点P（1，2），那么sin2α的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，|OP|=，∴sinα=，cosα=，∴sin2α=2sinαcosα=2××=，故选：B．6．（5分）（2015秋•石家庄校级期末）设a=cos420°，函数，则f（）+f（﹣2）的值为（）A．2 B．6 C．D．﹣【解答】解：∵a=cos420°=cos60°=，函数，∴f（）+f（﹣2）=+（）﹣2=2+4=6．故选：B．7．（5分）（2015•嘉峪关校级三模）已知向量，的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．B．2C．3D．4【解答】解：因为向量，的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，所以42﹣4•+2=10，即||2﹣2||﹣6=0，解得||=3或||=﹣（舍）．故选：C．8．（5分）（2015秋•石家庄校级期末）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期为π，则（）A．f（x）的图象过（0，）B．f（x）在[，]上是减函数C．f（x）的一个对称中心是（，0）D．将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=2sinωx的图象【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），它的周期为π，∴T=π，∴ω=2，∵函数的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=kπ﹣，∵﹣＜φ＜，∴φ=．∴函数f（x）=2sin（2x+）．x=0时，f（0）=1，A不正确；x=时，f（）=2，B不正确；x=时，f（）=2sinπ=0，∴C正确．将f（x）的图象向右平移||个单位得到函数y=2sin（2x﹣）的图象，D不正确．故选：C．9．（5分）（2015秋•石家庄校级期末）已知函数f（x）和g（x）的定义如表一，二：表一：x 1 2 3f（x） 2 3 1表二：x 1 2 3g（x） 3 2 1则方程g（f（x））=x的解集是（）A．∅B．{3}C．{2}D．{1}【解答】解：∵f（1）=2，f（2）=3，f（3）=1，g（f（1））=2，g（f（2））=1，g（f（3））=3，∴只有g（f（3））=3满足，因此方程g（f（x））=x的解集是{3}．故选：B．10．（5分）（2015秋•石家庄校级期末）平面上的向量与满足||2+||=4，且=0，若点C满足=+，则||的最小值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵平面上的向量与满足|MA|2+|MB|=4，且=0，不妨设A（x，0），B（0，y）（x，y≥0）．则x2+y=4．∵=+=+=，∴||===，当且仅当y=，x=时取等号．故选：B．11．（5分）（2015秋•石家庄校级期末）已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，f（x）递减，都有f（x）≥0，则a=f（2010），b=f（），c=﹣f（）的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：由y=f（x+1）是奇函数，得f（﹣x+1）=﹣f（x+1），则令x取x+1代入上式得，f（﹣x）=﹣f（x+2），∵y=f（x）是偶函数，∴f（x+2）=﹣f（﹣x）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的一个周期函数，则a=f（2010）=f（4×502+2）=f（2）=﹣f（0），b=f（）=f（﹣+2）=﹣f（），c=﹣f（），∵0，且对任意0≤x≤1，f（x）递减，∴，则，即a＜c＜b，故选：C．12．（5分）（2015•烟台一模）已知函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：（1）∵函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，∴|f（x）|=|a|log2x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；①不对（2）∵F（﹣x）==F（x）∴函数F（x）是偶函数；故②正确（3）∵当a＜0时，若0＜m＜n＜1，∴|log2m|＞|log2n|∴a|log2m|+1＞a|log2n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）﹣F（n）＜0成立；所以③正确（4）∵f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，∴x＞0时，（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增∴x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，故x＞0时，F（x）与y=﹣2有2个交点，∵函数F（x）是偶函数∴x＜0时，F（x）与y=﹣2有2个交点故当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．所以④正确，二、填空题：13．（5分）（2015秋•石家庄校级期末）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=sin（x+φ）+k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为4．【解答】解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时，函数取最小值y min=﹣1+k=2，解得k=3，∴y=sin（x+φ）+3，∴当sin（x+φ）取最大值1时，函数取最大值y max=1+3=4，故答案为：4．14．（5分）（2013秋•东城区期末）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，则f（﹣1）=﹣3．【解答】解：∵y=g（x）=f（x）+x2是奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），即f（﹣x）+x2=﹣f（x）﹣x2，即f（﹣1）+1=﹣f（1）﹣1，∴f（﹣1）=﹣f（1）﹣2，∵f（1）=1，∴f（﹣1）=﹣1﹣2=﹣3．故答案为：﹣3．15．（5分）（2015秋•石家庄校级期末）已知函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ），则=．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sinx，则=sin=，故答案为：16．（5分）（2015•南昌校级二模）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）【解答】解：①f（x）=，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间；③f（x）=|x2﹣1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．三、解答题：17．（10分）（2015秋•石家庄校级期末）集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，集合B={x|m+1≤x ≤2m﹣1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．【解答】解：因为x2﹣3x﹣10≤0，所以（x+2）（x﹣5）≤0，解得﹣2≤x≤5．所以A={x|﹣2≤x≤5}．（1）当m+1＞2m﹣1即m＜2时，B=∅满足B⊆A；（2分）当m+1≤2m﹣1即m≥2时，要使B⊆A成立，则解得2≤m≤3．综上所述，当m≤3时有B⊆A．（6分）（2）因为x∈R，且A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，则①若B=∅，即m+1＞2m﹣1，得m＜2时满足条件；（8分）②若B≠∅，则要满足条件解得m＞4；或无解．综上所述，实数m的取值范围为m＜2或m＞4．（12分）18．（12分）（2014秋•西城区期末）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．【解答】（Ⅰ）解：当α=30°时，=（，），所以，+=（，），所以，|+|==．（Ⅱ）证明：由向量=（cosα，sinα），=（﹣，），得+=（cosα﹣，sinα+），﹣=（cosα+，sinα﹣），由，得向量+，﹣均为非零向量．因为（+）•（﹣）=﹣=（cos2α+sin2α）﹣（+）=0，所以向量+与向量﹣垂直．（Ⅲ）解：因为||=||=1，且向量与夹角为60°，所以=||•||•cos60°=，所以，即．因为，所以，所以，即．19．（12分）（2015秋•石家庄校级期末）已知=（cosx﹣sinx，2sinx），=（cosx+sinx，cosx），并且f（x）=•．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若且，求sin2x的值．【解答】解：（1）由已知得f（x）且==，…（3分）f（x）的最小正周期．…（4分）令，k∈Z，可得，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为（k∈Z，）．…（6分）（2）由得，…（7分）由，可得，所以，…（9分）所以=．…（12分）20．（12分）（2014•碑林区校级一模）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【解答】解：（1）f（x）=k1x，，，，（x≥0），（x≥0）（2）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．（0≤x≤20）令，则==所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，y max=3万元．21．（12分）（2015秋•石家庄校级期末）设函数f（x）=x+（x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞））的图象为c1，c1关于点A（2，1）的对称图象为c2，c2对应的函数为g（x）．（1）求函数g（x）的解析式，并确定其定义域；（2）若直线y=b与c2只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标．【解答】解：（1）设函数g（x）的图象上任一点P（x，y），且P关于A（2，1）的对称点P'（x'，y'）；则，解得；∵点P'在函数f（x）=x+的图象上，∴2﹣y=（4﹣x）+，∴y=2﹣（4﹣x）﹣=x﹣2+，即g（x）=x﹣2+，（x≠4）；（2）当x﹣4＞0时，即x＞4，（x﹣4）+≥2，当且仅当x=5时取“=”；此时g（x）取到最小值4，∵直线y=b与C2只有一个公共点，∴b=4，且交点坐标是（5，4）；当x﹣4＜0时，即x＜4，﹣[（x﹣4）+]≥2，即（x﹣4）+≤﹣2，此时g（x）取到最大值0，当且仅当x=3时取“=”；∵直线y=b与C2只有一个公共点，∴b=0，且交点坐标是（3，0）；综上，b的值及交点坐标分别为4，（5，4）或0，（3，0）．22．（12分）（2012•梁子湖区校级模拟）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，可k﹣1=0，即k=1，故f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0，且a≠1）∵f（1）＞0，∴a﹣＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．f′（x）=a x lna+∵a＞1，∴lna＞0，而a x+＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增原不等式化为：f（x2+2x）＞f（4﹣x），∴x2+2x＞4﹣x，即x2+3x﹣4＞0∴x＞1或x＜﹣4，∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣4}．（2）∵f（1）=，∴a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣（舍去）．∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数∵x≥1，∴t≥f（1）=，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥）若m≥，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去综上可知m=2．参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；清风慕竹；394782；sxs123；zlzhan；qiss；沂蒙松；gongjy；sdpyqzh；w3239003；maths；caoqz；wkl197822；刘长柏；豫汝王世崇；742048（排名不分先后）菁优网2016年12月5日。

2015-2016学年河北省石家庄市高一上学期期末数学试卷(带解析)

绝密★启用前2015-2016学年河北省石家庄市高一上学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：151分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、（2015秋•石家庄期末）已知函数f （x ）=若a 、b 、c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则a+b+c 的取值范围是（）A ．（1，2015）B ．（1，2016）C ．（2，2016）D ．[2，2016]2、（2015秋•石家庄期末）f （x ）=，则f （2014）+f（2015）+f （2016）=（） A ．1+B ．C ．1﹣D ．﹣3、（2015秋•石家庄期末）设f （sinα+cosα）=sin2α（α∈R ），则f （sin ）的值是（）A ．B ．C ．﹣D ．以上都不正确4、（2015秋•石家庄期末）已知f （x ）=Asin （ωx+φ），（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则f （x ）解析式是（）A ．f （x ）=2sin （x ﹣）B ．f （x ）=2sin （x+）C ．f （x ）=2sin （2x ﹣）D ．f （x ）=2sin （2x+）5、（2015秋•石家庄期末）为得到函数y=sin2x 的图象，只需将函数y=cos （2x+）的图象（） A ．向左平移个单位长度 B ．向左平移个单位长度 C ．向右平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度6、（2015秋•石家庄期末）函数f （x ）=lnx+2x ﹣7的零点所在的区间为（） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）7、（2015秋•石家庄期末）若sin （α+）=，且α∈（，），则cosα=（）A ．﹣B ．C ．D ．﹣8、（2015秋•石家庄期末）三个数0.90.3，log 3π，log 20.9的大小关系为（） A ．log 20.9＜0.90.3＜log 3π B ．log 20.9＜log 3π＜0.90.3C．0.90.3＜log20.9＜log3πD．log3π＜log20.9＜0.90.39、（2015秋•石家庄期末）下列函数在区间（0，+∞）上，随着x的增大，函数值的增长速度越来越慢的是（）A．y=2x B．y=x2 C．y=x D．y=log2x10、（2015秋•石家庄期末）已知向量=（1，﹣），=（﹣2，0），则与的夹角为（）A． B． C． D．11、（2015•信阳模拟）下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A． B． C．y=x3 D．y=tanx12、（2015秋•石家庄期末）函数f（x）=lg（4﹣x2）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）13、（2015秋•石家庄期末）已知集合A={x|x≥3}，B={1，2，3，4，5}则A∩B=（）A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{1，2，3，4，5}第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）14、（2015秋•石家庄期末）已知f（x）=x3+ln，且f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0，则实数a的取值范围是．15、（2015秋•石家庄期末）已知函数f（x）=x3+x，且f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0，则实数a的取值范围是．16、（2015秋•石家庄期末）已知Rt△ABC三个顶点的坐标分别为A（t，0），B（1，2），C（0，3），则实数t的值为．17、（2015秋•石家庄期末）若角α的终边经过点P（﹣1，2），则sin2α=．18、（2015秋•玉林期末）已知幂函数y=xα的图象过点，则f（4）= ．三、解答题（题型注释）19、（2015秋•石家庄期末）对于函数f（x）=log x﹣a•log2x2，x∈[1，4]，a∈R．（1）求函数f（x）的最小值g（a）；（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①m＞n≥0；②当函数g（a）的定义域为[n，m]时，值域为[﹣m，﹣n]，若存在，求出所有满足条件的m、n的值；若不存在，说明理由．20、（2015秋•石家庄期末）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若不等式f（x）﹣m+1＜0在[，]上恒成立，求实数m的取值范围．21、（2015秋•石家庄期末）已知函数f （x ）=1﹣，判断f （x ）的单调性并运用函数的单调性定义证明．22、（2015秋•石家庄期末）如图，在△ABC 中，已知AB=3，BC=4，∠ABC=60°，BD 为AC 边上的中线．（1）设=，=，用，表示向量；（2）求中线BD 的长．23、（2015秋•石家庄期末）已知向量=（1，sinα），=（2，cosα），且∥，计算：．24、（2015秋•石家庄期末）全集U=R ，若集合A={x|2≤x ＜9}，B={x|1＜x≤6}．（1）求（C R A ）∪B ；（2）若集合C={x|a ＜x≤2a+7}，且A ⊆C ，求实数a 的取值范围．参考答案1、C2、D3、C4、B5、C6、C7、D8、A9、D10、C11、B12、B13、C14、（，）15、（﹣∞，）16、﹣1或﹣3．17、﹣．18、219、（1）当t=a，即x=2a时，f（x）min=g（a）=﹣a2．（2）m=n=1，这与m＞n≥0矛盾．故满足条件的m，n不存在．20、（1）函数f（x）的单调递增区间是[，+kπ]，k∈Z．（2）实数m的取值范围是（2，+∞）．21、f（x）在（0，+∞）递增．22、（1）=（+）=（+），（2）．23、﹣5．24、（1）（C R A）∪B={x|x≤6或x≥9}；（2）1≤a＜2．【解析】1、试题分析：0≤x≤1，可得sinπx∈[0，1]，且x∈时，函数f（x）=sinπx单调递增；x∈时，函数f（x）=sinπx单调递减．x＞1，log2015x＞0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1．不妨设0＜a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），可得a+b=1，2015＞c＞1，即可得出．解：∵0≤x≤1，∴sinπx∈[0，1]，且x∈时，函数f（x）=sinπx单调递增，函数值由0增加到1；x∈时，函数f（x）=sinπx单调递减，函数值由1减少到0；x＞1，∴log2015x＞0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1．不妨设0＜a＜b＜c，∵f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=1，2015＞c＞1，∴a+b+c的取值范围是（2，2016）．故选：C．考点：分段函数的应用．2、试题分析：根据分段函数的表达式进行转化求解即可．解：由分段函数得f（2014）=sin（1007π+）=sin（π+）=﹣sin=﹣，f（2015）=sin（1007π++）=sin（π++）=﹣sin（+）=﹣cos=﹣，f（2016）=f（2016﹣4）=f（2012）=sin（1006π+）=sin=，则f（2014）+f（2015）+f（2016）=﹣+=﹣，故选：D考点：函数的值．3、试题分析：令t=sinα+cosα，则t2=1+sin2α，求得f（t）的解析式，可得f（sin）的值．解：令t=sinα+cosα，则t2=1+sin2α，∴sin2α=t2﹣1．由f（sinα+cosα）=sin2α，可得f（t）=，∴f（sin）=f（）==﹣，故选：C．考点：三角函数的化简求值；函数的值．4、试题分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解：根据f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象，可得A=2，•=﹣，∴ω=，再根据五点法作图，可得+φ=π，φ=，∴f（x）=2sin（x+），故选：B．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．5、试题分析：由条件利用诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：将函数y=cos（2x+）的图象向右平移个单位，即可得到函数y=cos[2（x﹣）+]=cos（2x﹣）="sin2x" 的图象，故选：C．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．6、试题分析：根据函数的单调性，零点的存在性定理求解特殊函数值即可判断．解：∵函数f（x）=lnx﹣7+2x，x∈（0，+∞）单调递增，f（1）=0﹣7+2=﹣5，f（2）=ln2﹣3＜0，f（3）=ln3﹣1＞0，∴根据函数零点的存在性定理得出：零点所在区间是（2，3）．故选：C．考点：二分法的定义．7、试题分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+），再利用两角差的余弦公式求得cosα的值．解：∵sin（α+）=，且α∈（，），∴α+∈（，π），则cos（α+）=﹣=﹣，∴c osα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=﹣•+•=﹣，故选：D．考点：两角和与差的余弦函数．8、试题分析：由于0＜0.90.3＜1，log3π＞1，log20.9＜0，即可得出．解：∵0＜0.90.3＜1，log3π＞1，log20.9＜0，∴log20.9＜0.90.3＜log3π，故选：A．考点：对数值大小的比较．9、试题分析：根据基本指数函数，幂函数，对数函数的图象和特点即可判断．解：y=2x，y=x2，随着x的增大，函数值的增长速度越来越快，y=x随着x的增大，函数值的增长速度保持不变，y=log2x随着x的增大，函数值的增长速度越来越慢，故选：D．考点：函数的图象．10、试题分析：由题意和向量的夹角公式可得夹角余弦值，则两向量夹角可求．解：∵向量=（1，﹣），=（﹣2，0），设与的夹角为θ，∴由夹角公式可得cosθ===，又θ∈[0，π]，可得夹角θ=．故选：C．考点：平面向量数量积的运算．11、试题分析：根据函数的奇函数的性质及函数的单调性的判断方法对四个选项逐一判断，得出正确选项．解：A选项的定义域不关于原点对称，故不正确；B选项正确，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减；C选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增；D选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增．故选B考点：奇偶性与单调性的综合．12、试题分析：由对数式的真数大于0，然后求解一元二次不等式得答案．解：由4﹣x2＞0，得x2＜4，即﹣2＜x＜2．∴函数f（x）=lg（4﹣x2）的定义域为（﹣2，2）．故选：B．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．13、试题分析：进而根据集合交集及其运算，求出A∩B即可．解：∵集合A={x|x≥3}，B={1，2，3，4，5}，则A∩B={3，4，5}，故选：C．考点：交集及其运算．14、试题分析：根据条件先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化求解即可．解：由＞0，得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），f（x）=x3+ln=x3+ln（x+1）﹣ln（1﹣x），则函数f（x）为增函数，∵f（﹣x）=﹣x3+ln（﹣x+1）﹣ln（1+x）=﹣[x3+ln（x+1）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，则不等式f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0等价为f（3a﹣2）＜﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），则不等式等价为，即，得＜a＜，故答案为：（，）考点：奇偶性与单调性的综合．15、试题分析：求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化进行求解即可．解：函数的导数为f′（x）=3x2+1＞0，则函数f（x）为增函数，∵f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣（x3+x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，则f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0等价为f（3a﹣2）＜﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），则3a﹣2＜1﹣a，即a＜，故答案为：（﹣∞，）考点：奇偶性与单调性的综合．16、试题分析：由题意画出图形，分类利用向量数量积为0求得实数t的值．解：如图，由图可知，角B或角C为直角．当B为直角时，，，由得，﹣（t﹣1）﹣2=0，即t=﹣1；当C为直角时，，由得，t+3=0，即t=﹣3．故答案为：﹣1或﹣3．考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的斜率．17、试题分析：利用三角函数的定义，计算α的正弦与余弦值，再利用二倍角公式，即可求得结论．解：由题意，|OP|=，∴sinα=，cosα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2××（﹣）=﹣，故答案为：﹣．考点：任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦．18、试题分析：把幂函数y=xα的图象经过的点代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．解：∵已知幂函数y=xα的图象过点，则2α=，∴α=，故函数的解析式为y f（x）=，∴f（4）==2，故答案为2．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．19、试题分析：（1）利用换元法求函数的最值．（2）根据二次函数图象和性质，结合定义域和值域之间的关系进行讨论即可．解：（1）设t=log2x，∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]，f（x）=t2﹣2at=（t﹣a）2﹣a2，当t=a，即x=2a时，f（x）min=g（a）=﹣a2．（2）∵m＞n≥0，∴g（a）=﹣a2在[0，∞）上为减函数，…（8分）又∵g（a）的定义域为[n，m]，值域为[﹣m，﹣n]，∴﹣n2=﹣n，﹣m2=﹣m，∴m=n=1，这与m＞n≥0矛盾．故满足条件的m，n不存在．考点：对数函数的图象与性质．20、试题分析：（1）利用倍角公式、和差公式可得：f（x）=2．再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间．（2）由x∈[，]，可得∈．可得取值范围．根据不等式f（x）﹣m+1＜0在[，]上恒成立，可得m＞[f（x）+1]max．解：（1）f（x）=﹣﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2．由≤≤2kπ+，k∈Z，解得：≤x≤+kπ，∴函数f（x）的单调递增区间是[，+kπ]，k∈Z．（2）由x∈[，]，则∈．∴∈[0，1]．∴f（x）∈[0，1]．∵不等式f（x）﹣m+1＜0在[，]上恒成立，∴m＞[f（x）+1]max=2．∴实数m的取值范围是（2，+∞）．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数恒成立问题．21、试题分析：根据函数的单调性的定义证明即可．证明：函数f（x）的定义域是：{x|x＞0}，设x1＞x2，则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣（1﹣）=﹣=＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增．考点：函数单调性的判断与证明．22、试题分析：（1）根据向量的平行四边形的法则即可求出，（2）根据向量的模的计算和向量的数量积即可求出．解：（1）∵设=，=，BD为AC边上的中线．∴=（+）=（+），（2）∵=（+），AB=3，BC=4，∠ABC=60°，∴||2=（||2+||2+2•）=（||2+||2+2||•||cos60°）=（9+16+2×3×4×）=，∴||=，故中线BD的长为．考点：平面向量数量积的运算．23、试题分析：根据向量平行建立方程关系，代入进行化简即可．解：∵∥，∴2sinα﹣cosα=0，即cosα=2sinα，则===﹣5．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数基本关系的运用．24、试题分析：（1）根据全集与补集、并集的定义，进行化简、计算即可；（2）根据子集的概念，列出不等式组，求出a的取值范围．解：（1）∵全集U=R，集合A={x|2≤x＜9}，∴∁R A={x|x＜2或x≥9}，又B={x|1＜x≤6}，∴（C R A）∪B={x|x≤6或x≥9}；（2）∵集合A={x|2≤x＜9}，集合C={x|a＜x≤2a+7}，且A⊆C，∴，解得1≤a＜2，∴实数a的取值范围是1≤a＜2．考点：交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．。

2015-2016学年河北省石家庄市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共13小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x≥3}，B={1，2，3，4，5}则A∩B=（）A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{1，2，3，4，5}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】进而根据集合交集及其运算，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x≥3}，B={1，2，3，4，5}，则A∩B={3，4，5}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．函数f（x）=lg（4﹣x2）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由对数式的真数大于0，然后求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由4﹣x2＞0，得x2＜4，即﹣2＜x＜2．∴函数f（x）=lg（4﹣x2）的定义域为（﹣2，2）．故选：B．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．3．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．B． C．y=x3D．y=tanx【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】阅读型．【分析】根据函数的奇函数的性质及函数的单调性的判断方法对四个选项逐一判断，得出正确选项．【解答】解：A选项的定义域不关于原点对称，故不正确；B选项正确，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减；C选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增；D选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增．故选B【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，求解本题的关键是掌握住判断函数的奇偶性的方法与判断函数的单调性的方法，本题中几个函数都是基本函数，对基本函数的性质的了解有助于快速判断出正确选项．4．已知向量=（1，﹣），=（﹣2，0），则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意和向量的夹角公式可得夹角余弦值，则两向量夹角可求．【解答】解：∵向量=（1，﹣），=（﹣2，0），设与的夹角为θ，∴由夹角公式可得cosθ===，又θ∈[0，π]，可得夹角θ=．故选：C．【点评】本题考查利用数量积求向量的夹角，属基础题．5．下列函数在区间（0，+∞）上，随着x的增大，函数值的增长速度越来越慢的是（）A．y=2x B．y=x2C．y=x D．y=log2x【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据基本指数函数，幂函数，对数函数的图象和特点即可判断．【解答】解：y=2x，y=x2，随着x的增大，函数值的增长速度越来越快，y=x随着x的增大，函数值的增长速度保持不变，y=log2x随着x的增大，函数值的增长速度越来越慢，故选：D．【点评】本题考查了基本初等函数的增加程度，关键是掌握基本函数的图象和性质，属于基础题．6．三个数0.90.3，log3π，log20.9的大小关系为（）A．log20.9＜0.90.3＜log3πB．log20.9＜log3π＜0.90.3C．0.90.3＜log20.9＜log3πD．log3π＜log20.9＜0.90.3【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由于0＜0.90.3＜1，log3π＞1，log20.9＜0，即可得出．【解答】解：∵0＜0.90.3＜1，log3π＞1，log20.9＜0，∴log20.9＜0.90.3＜log3π，故选：A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若sin（α+）=，且α∈（，），则cosα=（）A．﹣B．C． D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+），再利用两角差的余弦公式求得cosα的值．【解答】解：∵sin（α+）=，且α∈（，），∴α+∈（，π），则cos（α+）=﹣=﹣，∴cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=﹣•+•=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．8．函数f（x）=lnx+2x﹣7的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】二分法的定义．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的单调性，零点的存在性定理求解特殊函数值即可判断．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣7+2x，x∈（0，+∞）单调递增，f（1）=0﹣7+2=﹣5，f（2）=ln2﹣3＜0，f（3）=ln3﹣1＞0，∴根据函数零点的存在性定理得出：零点所在区间是（2，3）．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理，难度不大，属于中档题．9．为得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=cos（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=cos（2x+）的图象向右平移个单位，即可得到函数y=cos[2（x﹣）+]=cos（2x﹣）=sin2x 的图象，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．已知f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则f （x）解析式是（）A．f（x）=2sin（x﹣）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x﹣）D．f（x）=2sin（2x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象，可得A=2，•=﹣，∴ω=，再根据五点法作图，可得+φ=π，φ=，∴f（x）=2sin（x+），故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．11．设f（sinα+cosα）=sin2α（α∈R），则f（sin）的值是（）A．B． C．﹣D．以上都不正确【考点】三角函数的化简求值；函数的值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令t=sinα+cosα，则t2=1+sin2α，求得f（t）的解析式，可得f（sin）的值．【解答】解：令t=sinα+cosα，则t2=1+sin2α，∴sin2α=t2﹣1．由f（sinα+cosα）=sin2α，可得f（t）=，∴f（sin）=f（）==﹣，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的求值问题，属于基础题．12．f（x）=，则f+fA．1+B．C．1﹣D．﹣【考点】函数的值．【专题】函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式进行转化求解即可．【解答】解：由分段函数得f=sin（π+）=﹣sin=﹣，f=sin（π++）=﹣sin（+）=﹣cos=﹣，f=f=sin=，则f+f已知函数f（x）=若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2015）B．（1，2016）C．（2，2016）D．[2，2016]【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】0≤x≤1，可得sinπx∈[0，1]，且x∈时，函数f（x）=sinπx单调递增；x∈时，函数f（x）=sinπx单调递减．x＞1，log2015x＞0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1．不妨设0＜a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），可得a+b=1，2015＞c＞1，即可得出．【解答】解：∵0≤x≤1，∴sinπx∈[0，1]，且x∈时，函数f（x）=sinπx单调递增，函数值由0增加到1；x∈时，函数f（x）=sinπx单调递减，函数值由1减少到0；x＞1，∴log2015x＞0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1．不妨设0＜a＜b＜c，∵f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=1，2015＞c＞1，∴a+b+c的取值范围是（2，2016）．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性与值域，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）14．已知幂函数y=xα的图象过点，则f（4）=2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】把幂函数y=xα的图象经过的点代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点，则2α=，∴α=，故函数的解析式为y f（x）=，∴f（4）==2，故答案为2．【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求函数的值，属于基础题．15．若角α的终边经过点P（﹣1，2），则sin2α=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】利用三角函数的定义，计算α的正弦与余弦值，再利用二倍角公式，即可求得结论．【解答】解：由题意，|OP|=，∴sinα=，cosα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2××（﹣）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的定义，考查二倍角公式，属于基础题．16．已知Rt△ABC三个顶点的坐标分别为A（t，0），B（1，2），C（0，3），则实数t的值为﹣1或﹣3．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的斜率．【专题】计算题；转化思想；向量法；直线与圆．【分析】由题意画出图形，分类利用向量数量积为0求得实数t的值．【解答】解：如图，由图可知，角B或角C为直角．当B为直角时，，，由得，﹣（t﹣1）﹣2=0，即t=﹣1；当C为直角时，，由得，t+3=0，即t=﹣3．故答案为：﹣1或﹣3．【点评】本题考查两直线垂直的关系，考查了向量数量积判断两直线的垂直，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．17．已知函数f（x）=x3+x，且f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：函数的导数为f′（x）=3x2+1＞0，则函数f（x）为增函数，∵f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣（x3+x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，则f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0等价为f（3a﹣2）＜﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），则3a﹣2＜1﹣a，即a＜，故答案为：（﹣∞，）【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．18．已知f（x）=x3+ln，且f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0，则实数a的取值范围是（，）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据条件先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：由＞0，得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），f（x）=x3+ln=x3+ln（x+1）﹣ln（1﹣x），则函数f（x）为增函数，∵f（﹣x）=﹣x3+ln（﹣x+1）﹣ln（1+x）=﹣[x3+ln（x+1）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，则不等式f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0等价为f（3a﹣2）＜﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），则不等式等价为，即，得＜a＜，故答案为：（，）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．三、解答题（共6小题，满分70分）19．全集U=R，若集合A={x|2≤x＜9}，B={x|1＜x≤6}．（1）求（C R A）∪B；（2）若集合C={x|a＜x≤2a+7}，且A⊆C，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】（1）根据全集与补集、并集的定义，进行化简、计算即可；（2）根据子集的概念，列出不等式组，求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵全集U=R，集合A={x|2≤x＜9}，∴∁R A={x|x＜2或x≥9}，又B={x|1＜x≤6}，∴（C R A）∪B={x|x≤6或x≥9}；（2）∵集合A={x|2≤x＜9}，集合C={x|a＜x≤2a+7}，且A⊆C，∴，解得1≤a＜2，∴实数a的取值范围是1≤a＜2．【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，也考查了不等式组的解法与应用问题，是基础题目．20．已知向量=（1，sinα），=（2，cosα），且∥，计算：．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数基本关系的运用．【专题】定义法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】根据向量平行建立方程关系，代入进行化简即可．【解答】解：∵∥，∴2sinα﹣cosα=0，即cosα=2sinα，则===﹣5．【点评】本题主要考查三角函数式的化简和求值，根据向量共线的等价条件进行等量代换是解决本题的关键．比较基础．21．如图，在△ABC中，已知AB=3，BC=4，∠ABC=60°，BD为AC边上的中线．（1）设=，=，用，表示向量；（2）求中线BD的长．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）根据向量的平行四边形的法则即可求出，（2）根据向量的模的计算和向量的数量积即可求出．【解答】解：（1）∵设=，=，BD为AC边上的中线．∴=（+）=（+），（2）∵=（+），AB=3，BC=4，∠ABC=60°，∴||2=（||2+||2+2•）=（||2+||2+2||•||cos60°）=（9+16+2×3×4×）=，∴||=，故中线BD的长为．【点评】本题考查了向量的加减几何意义以及向量的模的计算和向量的数量积公式，属于基础题．22．已知函数f（x）=1﹣，判断f（x）的单调性并运用函数的单调性定义证明．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的单调性的定义证明即可．【解答】证明：函数f（x）的定义域是：{x|x＞0}，设x1＞x2，则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣（1﹣）=﹣=＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增．【点评】本题考查了通过定义证明函数的单调性问题，是一道基础题．23．已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若不等式f（x）﹣m+1＜0在[，]上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数恒成立问题．【专题】综合题；数形结合；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得：f（x）=2．再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间．（2）由x∈[，]，可得∈．可得取值范围．根据不等式f（x）﹣m+1＜0在[，]上恒成立，可得m＞[f（x）+1]max．【解答】解：（1）f（x）=﹣﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2．由≤≤2kπ+，k∈Z，解得：≤x≤+kπ，∴函数f（x）的单调递增区间是[，+kπ]，k∈Z．（2）由x∈[，]，则∈．∴∈[0，1]．∴f（x）∈[0，1]．∵不等式f（x）﹣m+1＜0在[，]上恒成立，∴m＞[f（x）+1]max=2．∴实数m的取值范围是（2，+∞）．【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数求值、恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．对于函数f（x）=log x﹣a•log2x2，x∈[1，4]，a∈R．（1）求函数f（x）的最小值g（a）；（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①m＞n≥0；②当函数g（a）的定义域为[n，m]时，值域为[﹣m，﹣n]，若存在，求出所有满足条件的m、n的值；若不存在，说明理由．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用换元法求函数的最值．（2）根据二次函数图象和性质，结合定义域和值域之间的关系进行讨论即可．【解答】（本题满分为12分）解：（1）设t=log2x，∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]，f（x）=t2﹣2at=（t﹣a）2﹣a2，当t=a，即x=2a时，f（x）min=g（a）=﹣a2．…（2）∵m＞n≥0，∴g（a）=﹣a2在[0，∞）上为减函数，…又∵g（a）的定义域为[n，m]，值域为[﹣m，﹣n]，∴﹣n2=﹣n，﹣m2=﹣m，∴m=n=1，这与m＞n≥0矛盾．故满足条件的m，n不存在．…【点评】本题考查了函数与方程的关系，同时考查了换元法求函数的最值，要求熟练掌握二次函数的图象和性质，属于中档题．2016年3月7日。