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数学九年级下第二十八章 锐角三角函数 28.2 综合训练

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人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)综合复习题(含解析)

人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)综合复习题(含解析)

第二十八章 锐角三角函数 综合复习题一、单选题1．（重庆梁平·九年级期末）点()sin 60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（ ）．A ．12⎛- ⎝B ．1,2⎛ ⎝C ．⎛ ⎝D ．2．（重庆梁平·九年级期末）式子2cos30tan 45︒-︒的值是（ ）A ．0B ．C ．2D ．2-3．（重庆潼南·九年级期末）如图，O 的半径为6，将劣弧沿弦AB 翻折，恰好经过圆心O ，点C 为优弧AB 上的一个动点，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（重庆万州·九年级期末）在Rt ABC 中，9054C AB BC ∠=︒==,,，那么下列各式中不正确的是（ ）A ．3cos 5A =B ．4sin 5A =C ．4tan 3A =D ．cosB 35=5．（重庆市育才中学九年级期末）已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，则cos B 的值为（ ）A B C ．23D ．136．（重庆南岸·九年级期末） sin30°的值为（ ）A ．12BC ．1D 7．（重庆·巴川初级中学校九年级期末）小华同学在数学实验活动中是测量自己学校门口前路灯的高度，如图，校门E 处，有一斜坡EB ，斜坡EB 的坡度i =1∶2.4；从E 点沿斜坡行走了4.16米到达斜坡顶的B处．在B 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米在D 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（ ）tan35°≈0.7，tan65°≈2.1A ．5.5米B ．4.8米C ．4.0米D ．3.2米8．（重庆沙坪坝·九年级期末）某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G 基站．如图，某处斜坡CB 的坡度（或坡比）为i ＝1∶2.4，通讯塔AB 垂直于水平地面，在C 处测得塔顶A 的仰角为45°，在D 处测得塔顶A 的仰角为53°，斜坡路段CD 长26米，则通讯塔AB 的高度为（ ）（参考数据：4sin535︒≈，3cos535︒≈，4tan533︒≈）A ．774米B ．772米C ．56米D ．66米9．（重庆·西南大学附中九年级期末）在矩形ABCD 中，连接AC ，过点B 作BH AC ⊥于点H 交AD 于点I ，AE 平分BAC ∠分别交BH 、BC 于点P 、E ，BF 平分IBC ∠分别交AC 、DC 于点G 、F ，已知4AB =，1tan 2BAE ∠=，对下列说法中，①ABP ≌AGP ；②四边形BPGE 的面积是165；③4sin 5HPG ∠=；④2FC FD =．⑤连接FH ，则//FH BC ，正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．510．（重庆南岸·九年级期末）公园的健身步道，其中一处阶梯的形状如图所示，其中线段AB ＝BC ＝6m ，AB 部分的坡角为45°，BC 部分的坡角为30°，如果每一个台阶的高度不超过20cm ，那么这一阶梯的台阶数最少为（ ）（最后一个台阶的高度不足20cm ≈1.41）A ．36B ．37C ．47D ．4811．（重庆市育才中学九年级期末）如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）A 3π-B 3πC 23πD ．23π12．（重庆黔江·九年级期末）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点B 处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30︒，已知斜坡的斜面坡度i =A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是（ ）A ．()20mB ．()10mC ．D ．40m二、填空题13．（重庆荣昌·九年级期末）在边长为OABC 中，D 为边BC 上一点，且2CD =，以O 为圆心，OD 为半径作圆，分别与OA 、OC 的延长线交于点E 、F ，则阴影部分的面积为 _____．14．（重庆八中九年级期末）如图，在ABC 中，6AB =，BC =，AC =ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到BA C ''△，点A 经过的路径为弧AA '，点C 经过的路径为弧CC '，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）15．（重庆南开中学九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，30BAC ∠=︒，AB =B 为圆心，BC 为半径画弧交矩形的边AB 于点E ，交对角线AC 于点F ，则图中阴影部分的面积为______．16．（重庆·西南大学附中九年级期末）计算：()022tan 45π1-+︒--=______．17．（重庆云阳·九年级期末）如图，在平行四边形ABNM 中，30MAB ∠=︒，8AB =，以AB 为直径作O ，点M 恰好在O 上，则图中阴影部分的面积为__________．18．（重庆忠县·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，7AB =，3AD =，120A ︒∠=，以点B 为圆心，BC 为半径的圆弧交AB 于点E ，连接DE ，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留π）三、解答题19．（重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，A B C A →→→是湿地公园里的一条环形跑道，B 在A 的正南方．一天，李老师从起点A 出发开始跑步，此时他发现公园中心塔C 在他的东南方向，他以每分钟80米的速度，沿AB 方向跑了15分钟后到达健身跑道的B 处，此时他发现公园中心塔C 在他的南偏东75°方向．（A ，B ，C 1.414= 1.732=）(1)求BC 的长；（结果保留整数）(2)为了满足市民健身的要求，政府决定对健身跑道进行扩建．计划将跑道AB 段继续向正南方向延伸至D 处，再将DC 连接起来组成新的环形跑道．若在D 处测得C 在D 的北偏东60°方向．若预计修建跑道的成本为每米60元，政府拨付改建费20万元，则此次政府拨付改建费用是否足够？请通过计算说明理由．20．（重庆巴南·九年级期末）在△ABC 中，AB = BC ，∠ABC =90°．(1)如图1，已知DE ⊥BC ，垂足为D ，若∠DBE =60°，AC =BD AE 的长；(2)如图2，若点D 在△ABC 内部，点F 是CD 的中点，且∠BAD =∠CBF ，求证：∠DBF =45°；(3)如图3，点A 与点'A 关于直线BC 对称，点D 是△'A AC 内部一动点，∠ADC =90°．若AC =4，则线段'A D 的长是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．21．（重庆荣昌·九年级期末）在△ABC 与△DEF 中，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，且AB ＝AC ，DE DF =．(1)如图1，若点D 与A 重合，AC 与EF 交于P ，30CAE ∠=︒，CE ＝EP 的长；(2)如图2，若点D 与C 重合，EF 与BC 交于点M ，且点M 是线段BC 的中点，连接AE ，且∠CAE ＝∠MCE ，求证：C MF E E +=；(3)如图3，若点D 与A 重合，连接BE ，且BE 平分ABC ∠，连接BF ，CE ，当BF CE +最小时，直接写出的2·BE BF CE值．22．（重庆一中九年级期末）ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ︒∠=，AB AC =，点D 为BC 的中点，连接AD ，在线段AD 上有一点M ，连接CM ，以AM 为直角边，点A 为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN ．(1)如图1，若1sin 3MCD ∠=，4CD =，求线段MN 的长；(2)如图2，将等腰直角三角形AMN 绕点A 顺时针旋转(045)<αα︒︒︒︒<，连接CM 、DM 、CN ，若DM CN ∥，求证：2224DM CN CM +=；(3)如图3，线段MN 交线段AC 于点E ，点P 、点Q 分别为线段BC 、线段AC 上的点，连接PM 、QN ，将DPM ∆沿PM 翻折得到D PM '∆，将EQN ∆沿QN 翻折得到E QN '∆，若3AM DM =，8BC =，在线段BC 上找一点F ，连接FD '、FE '，请直接写出FD FE ''+的最小值．23．（重庆南开中学九年级期末）如图1，在集美景与科技于一体的重庆融创渝乐小镇，有一座号称“山城之光”的摩天轮建在山体上．如图2，小北在山体底部A 处测得摩天轮顶端D 的仰角为52°，然后乘坐扶梯到达山体平台B 处，已知AB 坡度i ＝3：4，且80AB =米，BC ＝50米，CD ⊥BF 于点C （A ，B ，C ，D ，E ，F 均在同一平面内，AE ∥BF ）．(1)求平台上点B 到山体底部地面AE 的距离；(2)求摩天轮顶端D 到山体平台BF 的距离CD 的长．（精确到1米，参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3）24．（重庆黔江·九年级期末）如图，在ABC 中，cos A =45B ∠=︒，AC =(1)用尺规作图法作出AB 边的高CD ．（保留作图痕迹，不写作法）(2)求AB 的长．25．（重庆万州·九年级期末）如图，等腰直角三角形ABC ，90C ∠=︒，4CA CB ==，延长CB 至E ，使得14BE BC =，以BE 为直角边作Rt DEB ，90E ∠=︒，60DBE ∠=︒．(1)若DEB 以每秒1个单位的速度沿BC 向右运动，当点E 到达点C 时停止运动，直接写出在运动过程中DEB 与ACB △重叠部分面积S 与运动时间t （单位：秒）的函数关系式；(2)点M 为线段AB 的中点，当（1）中DEB 的顶点E 运动到点C 后，将DEB 绕着点C 继续顺时针旋转90︒得到'' D EB ，点P 是直线B D ''上一动点，连接MP ，求12'+MP D P 的最小值．26．（重庆八中九年级期末）如图1，在等腰Rt ABC △中，AB BC =，D 是BC 的中点，E 为边AC 上任意一点，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接EF ，交AB 于点G ．(1)若6AB =，AE =ED 的长；(2)如图2，点G 恰好是EF 的中点，连接BF ，求证：CD =；(3)如图3，将BDF V 沿DF 翻折，使得点B 落在点P 处，连接AP 、EP ，若6AB =，当AP DP +最小时，直接写出AEP △的面积．27．（重庆实验外国语学校九年级期末）如图，ABC 为等腰直角三角形，90CBA ∠=︒，以斜边AC 为腰作等腰CAD ，使AC AD =，点E 为CD 边中点，连接AE ．(1)如图1，当A 、B 、D 三点共线时，若AE 与BC 相交于点F ，求证：BF BD =．(2)如图2，射线BM 是ABC ∠的外角CBG ∠的角平分线，当点D 恰好落在射线BM 上时，请求出CAE ∠的度数．(3)如图3，连接BD ，以BD 为斜边做Rt BQD △，连接EQ ，若AC =EQ 的最大值．28．（重庆南岸·九年级期末）为了测量旗杆AB 的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD ，EF 是两个长度为2m 的标杆．(1)如果现在测得∠DEC ＝30°，EG ＝4m ，求旗杆AB 的高度；）(2)如果CE 的长为x ，EG 的长为y ，请用含x ，y 的代数式表示旗杆AB 的高度．29．（重庆梁平·九年级期末）如图是重庆欢乐谷的一个大型娱乐设施——“重庆之眼”摩天轮，它是全球第六、西南最高的观光摩天轮．如图2，小嘉从摩天轮最低处B 出发先沿水平方向向左行走37米到达点C ，再经过一段坡度为1:2.4i =，坡长为26米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向左行走50米到达点E ．在E 处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E 的正上方点F 时，测得点D 处的俯角为58︒，摩天轮最高处A 的仰角为24︒．AB 所在的直线垂直于地面，垂足为O ，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 在同一平面内，求AB 的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin 580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan 58 1.60︒≈，sin 240.40︒≈，cos 240.91︒≈，tan 240.45︒≈）10参考答案：1．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y 轴对称的坐标即可．【详解】解：∵sin60°，cos30°∴y轴对称的点的坐标是（．故选：C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．2．A【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式21=11)---11-=0故选：A ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．3．C【分析】如图，过点C 作CT ⊥AB 于点T ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点K ，连接AO 、AK ，解直角三角形求出AB ，求出CT 的最大值，可得结论．【详解】解：如图，过点C 作 CT ⊥AB 于点T ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点K ，连接AO 、AK ，由题意可得AB 垂直平分线段OK ，∴AO =AK ，OH =HK=3，∵OA =OK ，∴OA =OK =AK ，∴∠OAK =∠AOK =60°，∴AH =OA ×sin ∵OH ⊥AB ，∴AH =BH ，∴AB =2AH ∵OC +OH ⩾CT ，∴CT ⩽6+3=9，∴CT 的最大值为9，∴△ABC 的面积的最大值为192⨯故选：C.【点睛】本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT 的最大值，属于中考常考题型．4．D【分析】利用勾股定理求出AC =3，根据锐角三角函数的定义，分别计算∠A 的三角函数值即可．【详解】解：如图所示：∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴3AC === ，∴cos A =35，故A 正确，不符合题意；sin A =45，故B 正确，不符合题意；tan A =43，故C 正确，不符合题意；cos B =45，故D 错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．A【分析】根据勾股定理，可得AB 的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，由勾股定理，得ABcosB ＝BC AB =故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理求出斜边，再利用余弦等于邻边比斜边．6．A【分析】根据特殊锐角三角函数值求解即可．【详解】解：sin30°=12，故选：A ．【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数的值是前提．7．B【分析】过点O 作OF ⊥EC 于点F ，交BD 延长线于点G ，可得矩形ABDC 和矩形CDGF ，斜坡EB 的坡度i =1：2.4，EB =4.16，根据勾股定理可得，AB =1.6，AE =3.84，然后根据锐角三角函数即可求出DG 和OG 的长，进而可得路灯顶端O 到地面的距离．【详解】解：如图，过点O 作OF ⊥EC 于点F ，交BD 延长线于点G ，可得矩形ABDC 和矩形CDGF ，斜坡EB 的坡度i =1：2.4，EB =4.16，即AB ：AE =1：2.4，∴AE =2.4AB ，根据勾股定理可得：222AE AB BE +=，解得AB =1.6，AE =3.84，根据题意可知：AC =BD =3，FG =CD =AB =1.6，在Rt △BOG 中，tan ∠OBG =3OG OG BG DG =+，即tan35°≈0.7= 3OG DG+，在Rt △ODG 中，tan ∠ODG =OG DG ，即tan65°≈2.1=OG DG ，∴OG =2.1DG ，∴0.7= 2.13DG DG+，解得DG =1.5∴OG =2.1DG ≈3.15，∴OF =OG +GF =3.15+1.6≈4.75≈4.8（米）．所以路灯顶端O 到地面的距离约为4.8米．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形求解．8．B【分析】通过作辅助线，利用斜坡CB 的坡度为1:2.4i =，13CD =，由勾股定理可求出DM 的长，设出DE 的长，根据坡度表示BE ，进而表示出CF ，由于ACF ∆是等腰直角三角形，可表示BE ，在ADE ∆中由锐角三角函数可列方程求出DE ，进而求出AB ．【详解】解：如图，延长AB 与水平线交于F ，过D 作DM CF ⊥，M 为垂足，过D 作DE AF ⊥，E 为垂足，连接AC ，AD ，斜坡CB 的坡度为1:2.4i =，∴152.412DM CM ==，设5DM k =米，则12CM k =米，在Rt CDM ∆中，26CD =米，由勾股定理得，222CM DM CD +=，即222(5)(12)26k k +=，解得2k =，10DM ∴=（米)，24CM =（米)，斜坡CB 的坡度为1:2.4i =，设12DE a =米，则5BE a =米，45ACF ∠=︒ ，(2412)AF CF CM MF a ∴==+=+米，241210(1412)AE AF EF a a ∴=-=+-=+米，在Rt ADE ∆中，12DE a =米，(1412)AE a =+米，4tan tan 533AE ADE DE ∠==︒≈ ，∴14124123a a +=，解得72a =，1242DE a ∴==（米)，141256AE a =+=（米)，3552BE a ==（米)，35775622AB AE BE ∴=-=-=（米)，答：基站塔AB 的高为772米．故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．9．C【分析】先证△ABF ≌△AGF （ASA ），再证△ABP ≌△AGP （SAS ），可判断①正确；求出 PE =2MEBG =2BM ，利用菱形面积公式求S 四边形BPGE =11625BG PE ⋅==可判断②正确；根据∠PBF =∠EBF ，1tan ==tan 2GH HBG BAE BH ∠∠=，可得2BH GH =，在Rt △BHG 中，根据勾股定理222BG BH GH =+， 求出85GH =，利用三角函数定义845sin 25GH HPG PG ∠===，可判断③正确；证明△GEC ∽△HBC ，EC GE BC BH =，求出EC =103，BC =1016233BE EC +=+=，CF =83，再求DF=CD-CF=4-8433=，可判断④正确；根据勾股定理CH6415==，AC=203==，AH=AC-CH=20643631515-=，可求CH:AH=6436:16:92:11515=≠，可判断⑤不正确；【详解】解：∵4AB=，1tan2BAE∠=∴1tan422BE AB BAE=∠=⨯=，∵AE平分BAC∠，BF平分IBC∠，∴∠BAE=∠CAE，∠PBF=∠EBF，∵BH AC⊥，∴∠ABH+2∠BAE=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABH+2∠EBM=90°∴∠BAE=∠EBM，∵∠BAE+∠BEM=90°，∴∠EBM+∠BEM=90°，∴∠BME=90°，∴在△ABM和△AGM中，BAM GAMAM AMBMA GMA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△AGF（ASA），∴AB=AG，BM=GM，∴在△ABP和△AGP中，AB AGBAP GAPAP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△AGP（SAS），故①正确；∵△ABP≌△AGP，∵BF =GM ，AE ⊥BG ，∴BE =GE ，在△PBM 和△EBM 中PBM EBM BM BMBMP BME ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PBM ≌△EBM （ASA ），∴PB =EB =PG =EG ，∴四边形BEGP 为菱形，在Rt △ABE 中，AE==∵1122AB BE AE BM ⋅=⋅，∴BM=AB BE AE ⋅==∵∠BAE =∠EBM ，∴1tan tan 2EM EBM BAE BM∠=∠==，∴EM=12BM =∴PE =2MEBG =2BM，∴S 四边形BPGE=11625BG PE ⋅==，故②正确；∵∠PBF =∠EBF ，∴1tan ==tan 2GH HBG BAE BH ∠∠=，∴2BH GH =，在Rt △BHG 中，根据勾股定理222BG BH GH =+，即()2222GH GH =+，解得85GH =，∴845sin 25GH HPG PG ∠===，∴1625BH GH ==，∵四边形PBEG 为菱形，∴EG ∥BH ，∴△GEC ∽△HBC ，∴EC GE BC BH =，即21625EC EC =+，∴EC =103，∴BC =1016233BE EC +=+=，∴1tan ==tan 1623CF CF CBF BAE BC ∠∠==，∴CF =83，∴DF =CD -CF =4-8433=，∴2FC FD =，故④正确；在Rt △BCH 中，根据勾股定理CH6415==，AC203==，∴AH =AC -CH =20643631515-=，∴CH :AH =6436:16:92:11515=≠，∴FH 与AD 不平行，∴HF 与BC 不平行，故⑤不正确；故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线性质，线段垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形判定与性质，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，平行线判定，掌握矩形的性质，角平分线性质，性的平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形判定与性质，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，平行线判定是解题关键．10．B【分析】先解直角三角形求得,CE BD 的长，进而根据CE BD +的长除以0.2即可求解【详解】解：依题意，sin BD AB A AB =⋅==1sin 32CE BC CBE BC =⋅∠==37.23BD CE ∴+=≈7.230.236÷≈又因为最后一个台阶的高度不足20cm ，则至少需要37个台阶故选B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数关系是解题的关键．11．A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD =30°，利用在Rt △ABC 中，AC =AB tan B =Rt △AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可．【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt △ABC 中，AC =AB tan B =在Rt △AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯，11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯=∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°，∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形．故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．12．A【分析】过D 作DF BC ⊥于F ，DH AB ⊥于H ，得到DH BF =，BH DF =，设DF x =m ，CF =m，根据勾股定理得到220()CD x m ==，求得10BH DF m ==，CF =，30)(10)AH m =+=+，于是得到结论．【详解】解：过D 作DF BC ⊥于F ，DH AB ⊥于H ，DH BF ∴=，BH DF =，斜坡的斜面坡度i =∴DF CF=设DF x =m ，CF =m ，220()CD x m ∴===，10x ∴=，10BH DF m ∴==，CF =，30)DH BF m ∴==，30ADH ∠=︒ ，30)(10)AH m ∴=+=+，(20AB AH BH m ∴=+=+，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．4123π-【分析】设圆与AB 边交于点G ，先利用正切三角函数可得30COD ∠=︒，再根据三角形全等的判定定理证出Rt COD Rt AOG ≅ ，根据全等三角形的性质可得30COD AOG ∠=∠=︒，Rt COD Rt AOG S S = ，然后根据阴影部分的面积等于OABC Rt COD Rt AOG ODG S S S S --- 扇形即可得出答案．【详解】解：如图，设圆与AB 边交于点G ，则OD OG =，四边形OABC 是边长为90OA OC OCB AOC OAB ∴==∠=∠=∠=︒，2CD = ，∴在Rt COD 中，tan 4CD COD OD OC ∠====，30COD ∴∠=︒，在Rt COD 和Rt AOG 中，OC OA OD OG =⎧⎨=⎩，()Rt COD Rt AOG HL ∴≅ ，30COD AOG ∴∠=∠=︒，Rt COD Rt AOG S S = ，30DOG ∴∠=︒，则阴影部分的面积为OABC Rt COD Rt AOG ODGS S S S --- 扇形21304222360π⨯=⨯⨯⨯-4123π=-，故答案为：4123π-．【点睛】本题考查了正切三角函数、正方形的性质、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握扇形的面积公式和正确找出两个全等三角形是解题关键．14．27π65-##2765π-+【分析】设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，根据勾股定理逆定理可得ABC 为直角三角形，根据三边关系可得1tan 2CAB ∠=，根据题意及等角对等边得出DE EB =，在Rt AED 中，利用正弦函数可得2BE DE ==，结合图形，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可得．【详解】解：设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，∵6AB =，BC =，AC =∴222AB BC AC =+，∴ABC 为直角三角形，∴1tan 2BC CAB AC ∠==，∵ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到''BA C ，∴45ABA ∠='︒，∴45ABA EDB ∠=∠='︒，∴DE EB =，在Rt AED 中，1tan 2DE CAB AE ∠==，∴2AE EB =，∴36AE BE BE +==，∴2BE DE ==，162ABD S AB DE =⨯⨯= ，245693602ABA S ππ'︒⨯==︒扇形，2455936010CBC S ππ'︒⨯⎝⎭==︒扇形，9927662105ABD ABA CBC S S S S πππ''=-+=-+=- 阴影扇形扇形，故答案为：2765π-．【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，旋转的性质，等角对等边的性质，正切函数，扇形面积等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．15．512π【分析】连接BF 如下图，把阴影部分的面积转化2()ABC BFC EBC EBF S S S S =+-+ 扇形扇形，先得出BCF △为等边三角形，依次求出转化中涉及的部分面积，再计算即可．【详解】解：连接BF 如下图，30BAC ∠=︒，tan BC BAC AB ∴∠==解得：BC =，30BAC ∠=︒9060ACB BAC ∴∠=︒-∠=︒BC BF = ，60CFB ∴∠=︒，BCF ∴ 为等边三角形，根据阴影部分的面积2()ABC BFC EBC EBF S S S S =+-+ 扇形扇形，12ABC S == ，∴21544EBC S ππ=⨯⨯=扇形，215=1212EBF S ππ⨯⨯=扇形，1=2BFC S ∴根据阴影部分的面积2()ABC BFC EBC EBF S S S S =+-+ 扇形扇形，552(412ππ=+-，5546ππ=+-5546ππ=+-512π=，故答案是：512π．【点睛】本题考查了阴影部分面积的求法，矩形的性质、等边三角形面积、扇形面积的求法，解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形面积的和差情况．16．14##0.25【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：()22tan 45π1-+︒--1114=+-14=．故答案为：14．【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，属于基础题．17．83π-【分析】连结OM ，过点M 作MC ⊥AB 于C ，根据圆周角定理得出∠MOB =2∠MAB =60°，由8AB =得出OA =OB =OM =4，根据扇形面积公式求得26048=3603OMB S ππ⨯=扇形，在Rt △OMC 中，利用三角函数求得MC =OM sin ∠MOC =4=，利用割补法求阴影部分面积即可．【详解】解：连结OM ，过点M 作MC ⊥AB 于C ，∴∠MOB =2∠MAB =60°，∵8AB =，∴OA =OB =OM =4，26048=3603OMB S ππ⨯=扇形，在Rt △OMC 中，MC =OM sin ∠MOC =4=，∴S 平行四边形ABNM =AB·MC =8×=S △MAO =11422AO MC ⋅=⨯⨯=∴S 阴影部分= S 平行四边形ABNM - S △MAO -8833OMB S ππ-=扇形，故答案为：83π-．【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，平行四边形的面积，三角形面积，扇形面积，掌握圆周角定理，锐角三角函数，平行四边形的面积，三角形面积，扇形面积是解题关键．1832π【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据正弦定义解得CH 的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，在平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒18012060B ∴∠=︒-︒=︒=sin sin 603CH BC B AD ∴⋅=⨯︒==平行四边形ABCD 的面积为：7AB CH ⨯=图中黑色阴影部分的面积为：()2216016037323602360BC AE CH ππ⋅⨯⋅⋅-=⨯--=32π-，32π-．【点睛】本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．19．(1)跑道BC 的长为1697米(2)此次改建费用足够，理由见解析【分析】（1）作BH AC ⊥构造直角三角形后，利用特殊角的三角函数求解即可．（2）先画出图形，再通过构造直角三角形进行求解，得出需要修建的跑道总长，计算出总费用进行比较即可．【详解】（1）由题意得：45BAC ∠=︒，754530ACB DBC ︒︒︒∠=∠=-=，15801200AB =⨯=米过点B 作BH AC ⊥于点H ，∴90AHB CHB ∠=∠=︒，在Rt ABH △中，45A ∠=︒，∴·sin 45BH AB AB ︒===在Rt CBH △中，30ACB ∠=︒，∴21697CB BH ==≈（米）答：跑道BC 的长为1697米．（2）如图，过点B 作BG DC ⊥于点G ，∴90DGB CGB ∠=∠=︒，∵60BDC ︒∠=，∴30DBG ︒∠=∴在Rt CGB △中，45CBG ∠=︒，∴45BCG ︒∠=∴cos 45·1200CG BC BC ︒===，1200BG CG ==．在Rt BDG △中，60BDG ∠=︒，∴tan 60BG DG ︒===2BD DG ==，∴总道路长为1200BD CD +=+∴总共花费：(120060************+⨯≈<．答：此次改建费用足够．【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，解题关键是能正确理解题意，做出辅助线，构造直角三角形，并解直角三角形．20．(1)(2)见解析(3)2【分析】（1）如图1中，过点E 作EQ AB ⊥，交AB 延长线于点Q ，则四边形BQED 是矩形，解直角三角形求出AQ ，QE 即可解决问题．（2）如图2中，在BF 上取一点M ，使得BM AD =，并且延长MF 至点H ，使MF FH =，连接CM ，DH ．利用全等三角形的性质证明H FMC DBH ∠=∠=∠，再证明290DBH ∠=︒即可解决问题．（3）如图3中，取AC 的中点F ，连接A F '，DF ，过点F 作FT AB ⊥于T ．解直角三角形求出DF ，FA '，判断出当A '，D ，F 共线时，DA '的值最小于是得到结论．(1)解：如图1中，过点E 作EQ AB ⊥，交AB 延长线于点Q ，则四边形BQED 是矩形，BD QE ∴=，在Rt BQE ∆中，30QBE ∠=︒，2BE BD ∴==3BQ =，在Rt ABC ∆中，2AB BC ===，5AQ ∴=，在Rt AQE ∆中，AE ==(2)如图2中，在BF 上取一点M ，使得BM AD =，并且延长MF 至点H ，使MF FH =，连接CM ，DH ．在BAD ∆和CBM ∆中，AB BC BAD CBM AD BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CBM SAS ∴∆≅∆，BD CM ∴=，ABD BCM ∠=∠，F 是CD 的中点，DF CF ∴=，在DFH ∆和CFM ∆中，MF HF MFC HFD DF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DFH CFM SAS ∴∆≅∆，DH CM ∴=，H FMC ∠=∠，DH BD ∴=，H FMC DBH ∠=∠=∠，又FMC ∠ 是BMC ∆的外角，FMC BCM MBC ABD MBC ∴∠=∠+∠=∠+∠，90ABD MBC DBF ∠+∠+∠=︒ ，290DBF ∴∠=︒，45DBF ∴∠=︒；(3)如图3中，取AC 的中点F ，连接A F '，DF ，过点F 作FT AB ⊥于T ．AB BC = ，90ABC ∠=︒，4AC =，AB BC AC ∴===，45BAC ∠=︒，2AF FC == ，FT AB ⊥，AT FT AF ∴==AB BA ='=BT AT ∴==，A T '=A F ∴'==90ADC ∠=︒ ，AF CF =，122DF AC ∴==，DA A F DF ''- …，2DA ∴'-…，∴当A '，D ，F 共线时，DA '的值最小，此时2DA '=，故线段A D '的长最小值是2．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．21．(1)(2)证明见解析【分析】（1）如图1，作PM EC ⊥，垂足为M ，3045EPM CPM ∠=︒∠=︒，，∵tan 60PM EM MC =︒⨯=，EM MC +=EM 的值，由2sin 30EM EP EM ==︒即可求出EP 的值．（2）如图2，在EC 上截取EN AE =，连接AN ，AM ，由题意知BM CM AM ==，45MAC ACM MEC ∠=∠=∠=︒，由MAC MEC ∠=∠可知A M C E 、、、四点共圆，有90AEN AEM MEC ∠=∠+∠=︒，45EAN ENA ∠=∠=︒，可知AN =；由NAC NCA ∠=∠，知AN CN =，由CAE CM MCE E ∠=∠=∠，可得EM EC CF ==，AME MCF ∠=∠，然后证明AME MCF ≌，得到AE MF EN ==，从而可证明CE MF =+．（3）如图3，将AEC △绕点A 逆时针旋转90︒到AFM △，由旋转可知CE FM =，BF CE BF FM +=+，90MAC CAF MAF ∠=∠+∠=︒，故当BF CE +最小时有B F M 、、三点共线，即F M 、均在直线AB 上，此时图形如图4，点E 在∠ABC 的平分线与AC 的交点处，过点E 作EM ⊥BC ，设ME 的长为a ，有AE ME AF a ===，CE ==，AB AC a ==+，2BF AB AF a =+=，在Rt ABE 中，由勾股定理知222BE AB AE =+，将,,BE BF CE 均用含a 的式子表示，然后求比值即可．(1)解：如图1，作PM EC ⊥，垂足为M由题意得45B C AEF F ∠=∠=∠=∠=︒∴75EPC AEP CAE ∠=∠+∠=︒∴18060PEC EPC C ∠=︒-∠-∠=︒∴3045EPM CPM ∠=︒∠=︒，∵tan 60PM EM MC =︒⨯==，EM MC +=∴EM =解得)1EM ===∵2sin 30EM EP EM ===︒∴EP 的长为-．(2)解：证明：如图2，在EC 上截取EN AE =，连接AN ，AM ，由题意知BM CM AM ==，45MAC ACM MEC F ∠=∠=∠=∠=︒∵MAC MEC∠=∠∴A M C E 、、、四点共圆∴45AEM ACM ∠=∠=︒∴90AEN AEM MEC ∠=∠+∠=︒∴45EAN ENA ∠=∠=︒∴sin 45AE AN ==︒∵CAE MCE ∠=∠，NAC CAE EAN NCA MCE ACM∠=∠-∠∠=∠-∠，∴NAC NCA∠=∠∴AN CN=又∵CAE CME∠=∠∴CME MCE∠=∠∴EM EC CF==∵90AME EMC MCF MCE∠+∠=︒=∠+∠∴AME MCF∠=∠在AME △和MCF △中45AME MCF AEM MFC EM CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AME MCF AAS ≌∴AE MF EN==∴CE CN EN MF=+=+∴CE MF =+得证．(3)解：如图3，将AEC △绕点A 逆时针旋转90︒到AFM△由旋转可知CE FM=∴BF CE BF FM+=+∵90MAF CAE EAF BAC ∠=∠∠=∠=︒，，,BAC BAE CAE EAF CAE CAF∠=∠+∠∠=∠+∠∴BAE CAF∠=∠∴90MAC CAF MAF ∠=∠+∠=︒∴当BF CE +最小时有B F M 、、三点共线，即F M 、均在直线AB 上∴此时图形如图4，点E 在∠ABC 的平分线与AC 的交点处，过点E 作EM ⊥BC ，设ME 的长为a由角平分线的性质和等腰直角三角形的性质得AE ME AF a===由题意可知△CME 、△BAC 均为等腰直角三角形∴CE ==，AB AC a ==+，2BF AB AF a =+=在Rt ABE 中，由勾股定理知()22222BE AB AE a a =+=+∴2BE BF CE ==⋅∴2BE BF CE⋅．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，四点共圆，三角形全等，旋转，角平分线的性质，等腰三角形等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．22．(1)2MN=(2)见解析(3)min()1FD FE''+=【分析】（1）设MD a=，3MC a=，根据勾股定理求出MD的长，再利用解直角三角形得出结果；（2）延长CM至点K，使CM MK=，连接BM、BK，先证AMB ANC∆≅∆，得出BM CN=，ABM ACN∠=∠，进而得出90KBM︒∠=，再根据勾股定理得出结果；（3）过点D¢作D''关于BC对称，得出当点D''，F，E'共线时，D F E F D F E F D E''''''''+=+=最小，最后利用勾股定理得出结果．(1)AB AC=，90BAC︒∠=，点D为BC的中点，AD BC∴⊥，4AD BD DC===在Rt CDM∆中，90CDM︒∠=，1sin3MDMCDMC∴∠==，4DC∴===，a=MD∴=4AM AD DM∴=-=在等腰直角三角形AMN中，45AMN︒∠=，2cos45AMMN︒∴===(2)如图，延长CM至点K，使CM MK=，连接BM、BK，AB AC=，90BAC︒∠=且AM AN=，90MAN︒∠=，∵∠BAM=90°-∠MAC，∠NAC=90°-∠MAC，BAM NAC∠∠∴=，在AMB∆和ANC∆中AB ACBAM NACAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AMB ANC∆≅∆，BM CN∴=，ABM ACN∠=∠，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC=45MBD ABM ︒-∠∴∠=，45A B N N C C ︒∠∠=+，CM MK = ，CD DB =，∴DM 是△CBK 的中位线，2DM KB ∴=，DM KB ∥，∵MD CN∥KB MD CN ∴∥∥，180KBD NCB ︒∴+∠=∠，即180KBM DBM NCB ︒∠+∠+∠=，∵45A D M M B B ︒∠∠=-，45A B NN C C ︒∠∠=+90KBM ︒=∴∠，在Rt KBM ∆中，90KBM ︒∠=，222KB BM KM ∴+=，∵2DM KB =，BM CN =，CM MK =，∴2224DM CN CM +=；(3)过点D ¢作D ''关于BC 对称，∵点D ¢是以M 为圆心，1为半径的圆上运动，∴点D ''是以T 为圆心，1为半径的圆上运动，∵E '以N ∴连接NT ，当点D ''，F ，E '共线时，D F E F D F E F D E ''''''''+=+=最小，在Rt △ANT 中，NT =∴1E D '''=1∴min ()1FD FE ''+．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质及最小值的问题，正确作出辅助线是解题的关键．23．(1)48米(2)100米【分析】（1）过点B 作BG AE ⊥，根据AB 坡度3:4i =，且80AB =米，设3BG k =，则4AG k =，进而求得5AB k =，即可求得k ，进而求得BG ；（2）延长DC 交AE 于点H ，解直角三角形AHD ,进而即可求得HD ,DC（1）解：如图，过点B 作BG AE ⊥， AB 坡度3:4i =，且80AB =米，34BG AG ∴=设3BG k =，则4AG k =，5AB k ∴=80165k ∴==41664AG ∴=⨯=米，31648BG =⨯=米48BG ∴=米即平台上点B 到山体底部底面AE 的距离为48米；（2）解：如图，延长DC 交AE 于点H ， CD BF ⊥,BG AE ⊥，AE BF ∥∴四边形CBGH 是矩形则48CH BG ==米，50GH BC ==米，6450114AH AG GH ∴=+=+= 在山体底部A 处测得摩天轮顶端D 的仰角为52°，即52DAE ∠=︒，∴在Rt ADH 中，tan 114 1.3148DH AH DAE =⋅∠=⨯≈米∴14848100BC BH BG =-=-=米即摩天轮顶端D 到山体平台BF 的距离CD 的长为100米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数是解题的关键．24．(1)见解析(2)3+【分析】（1）以C 为圆心，一定长度为半径画弧，与AB 有交点，作这两个交点确定的线段的垂直平分线即可；（2）过点C 作CD AB ⊥于D ．在ACD ∆中，根据90ADC ∠=︒，cos A AC =3AD =，利用勾股定理CD =BCD ∆中，BD CD =，即可求解．(1)解：如图所示：(2)解：如图，过点C 作CD AB ⊥于D ．在ACD ∆中，90ADC ∠=︒，cos A =AC =cos 3AD AC A ∴=⋅==，CD ==．在BCD ∆中，=90BDC ∠︒ ，45B ∠=︒，BD CD ∴==，3AB AD BD ∴=+=【点睛】本题考查了作高，锐角三角函数求边长，解题的关键是掌握锐角三角函数解直角三角形．25．(1)()())2220111121445t t t S t t <≤+-<≤+=+<≤⎪+<<⎪⎩52+【分析】（1）根据运动重合部分不同情况分四种情况讨论，①当01t <≤时，②当11t <≤③当14t <≤时，④当45t <<时，根据三角形的面积公式求函数解析式即可．（2）作E 关于B D ''的对称点E '，连接D E ''，过点P 作PR D E ''⊥于点R ，过点M 作MT BC ⊥于点T ，设MN 交BD '于点S ,交B D ''于点Q ，则12'+MP D P 的最小值即为MN 的长，进而解直角三角形,,SD N MTS BMT ' ,即可求得MN 的长，即12'+MP D P 的最小值（1）等腰直角三角形ABC ，90C ∠=︒，4CA CB ==， 14BE BC =，45,1ABC EB ∴∠=︒=在Rt DEB ，90E ∠=︒，60DBE ∠=︒。

人教版九年级数学下第二十八章 锐角三角函数单元练习题(含答案)含答案

人教版九年级数学下第二十八章 锐角三角函数单元练习题(含答案)含答案

人教版九年级数学下第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）含答案一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A．4B．2C．D．2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则sin A等于()A．B．C．D．3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，则∠A等于()A．30°B．45°C．60°D．90°4.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A．B．C．D．h·cosα5.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是()A．5米B．6米C．6.5米D．12米6.Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin B的值为()A．B．C．D．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝4，则cos A的值是()A．B．C．D．8.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，C离海岸线l的距离(即CD的长)为2，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则AB的长()A．2 kmB．(2＋)kmC．(4－2) kmD．(4－) km9.在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是() A．100tanα米B．100cotα米C．100sinα米D．100cosα米10.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值()A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定二、填空题11.若2cosα－＝0，则锐角α＝____________度．12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A ＝；④tan B＝，其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)13.如图，已知点A(0,1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则sin ∠BAC＝____________.14.已知∠A的补角是120°，则tan A＝________.15.如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是____________．16.汽车沿着坡度为1∶7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了____________米．17.已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜O)，则m的取值范围是__________．18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sin A＝，那么AB＝__________.19.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin ∠ABC＝________.20.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：≈1.73)三、解答题21.如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°.朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为(即AB∶BC＝)，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．(测量器的高度忽略不计)22.南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)?(参考数据：cos 75°＝0.2588，sin 75°＝0.9659，tan 75°＝3.732，＝1.732，＝1.414)23.如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30 cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．(结果精确到0.1 cm)(参考数据：sin 15°≈0.259，cos 15°≈0.966，tan 15°≈0.268，≈1.414)24.小明周日在广场放风筝，如图，小明为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为20米，小明的身高AB为1.75米，请你帮小明计算出风筝离地面的高度．(结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73)25.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数)；(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．(参考数据：sin 53°＝0.80，cos 53°＝0.60，tan 53°＝0.33，＝1.41)26.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．27.如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A 到地面CD的距离(精确到0.1 m)．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)28.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，求sin A，sin B的值．答案解析1.【答案】A【解析】如图，∵∠C＝90°，∴cos B＝，∴BC＝AB cos B＝6×＝4，故选A.2.【答案】B【解析】sin A＝＝，故选B.3.【答案】A【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，∴tan A＝＝.∴∠A＝30°，故选A.4.【答案】B【解析】∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos ∠BCD＝，∴BC＝＝，故选B.5.【答案】A【解析】在如图AC＝13，作CB⊥AB，∵cosα＝＝，∴AB＝12，∴BC＝＝＝5，∴小车上升的高度是5 m.故选A.6.【答案】A【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，∴sin B＝＝.故选A.7.【答案】B【解析】cos A＝＝＝.故选B.8.【答案】C【解析】在CD上取一点E，使BD＝DE，可得∠EBD＝45°，AD＝DC＝2，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC.设AB＝x，则DE＝BD＝AD－AB＝2－x，∴EC＝BE＝BD＝(2－x)，∵DE＋EC＝CD，∴2－x＋(2－x)＝2，解得x＝4－2，即AB＝4－2.故选C.9.【答案】B【解析】∵∠BAC＝α，BC＝100 m，∴AB＝BC·cotα＝100cotαm.故选B.10.【答案】A【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，故锐角A的余弦函数值也不变．故选A.11.【答案】45°【解析】∵2cosα－＝0，∴cosα＝，又∵cos 45°＝，∴锐角α＝45°.12.【答案】②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故①错误；∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴cos B＝cos 60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tan A＝tan 30°＝，故③正确；∵∠B＝60°，∴tan B＝tan 60°＝，故④正确．故答案为②③④.13.【答案】【解析】∵A(0,1)，B(0，－1)，∴AB＝2，OA＝1，∴AC＝2，由勾股定理，得OC＝＝，∴在Rt△AOC中，sin ∠OAC＝sin ∠BAC＝＝.14.【答案】【解析】∵∠A的补角是120°，∴∠A＝180°－120°＝60°，∴tan A＝tan 60°＝.15.【答案】5∶12【解析】如图所示，由题意可知，PM＝13 m，MC＝5米，∴PC＝＝12，∴MC∶PC＝5∶12，故答案为5∶12.16.【答案】5【解析】∵坡度为1∶7，∴设坡角是α，则sinα＝＝，∴上升的高度是50×＝5(米)．17.【答案】＜m＜【解析】∵0°＜θ＜30°，∴sin 0°＜sinθ＜sin 30°，即0＜km＋＜，∴＜km＜，∴＜m＜.18.【答案】18【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，sin A＝＝，∴AB＝3×6＝18.19.【答案】【解析】∵小正方形边长为1，∴AB2＝8，BC2＝10，AC2＝2；∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°，∴sin ∠ABC＝＝＝.20.【答案】208【解析】由题意可得：tan 30°＝＝＝，解得：BD＝30，tan 60°＝＝＝，解得DC＝90，故该建筑物的高度为BC＝BD＋DC＝120≈208(m)．21.【答案】解∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，∴四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，∵＝，AB＝2，∴BC＝2，在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝x－2，∴AF＝＝＝(x－2)，∵AF＝BE＝BC＋CE.∴(x－2)＝2＋x，解得x＝6.答：树DE的高度为6米．【解析】由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，得到＝，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF＝BC ＋CE即可求出x的长．22.【答案】解过B作BD⊥AC，∵∠BAC＝75°－30°＝45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，由勾股定理，得BD＝AD＝×20＝10(海里)，在Rt△BCD中，∠C＝15°，∠CBD＝75°，∴tan ∠CBD＝，即CD＝10×3.732＝52.77048，则AC＝AD＋DC＝10＋10×3.732＝66.91048≈67(海里)，即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．【解析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直角三角形BCD中，求出CD的长，由AD＋DC求出AC的长即可．23.【答案】解过O点作OD⊥AB交AB于D点．在Rt△ADO中，∵∠A＝15°，AO＝30，∴OD＝AO·sin 15°≈30×0.259≈7.77(cm)AD＝AO·cos 15°≈30×0.966≈28.98(cm)又∵在Rt△BDO中，∠OBC＝45°，∴BD＝OD＝7.77(cm)，∴AB＝AD＋BD＝36.75≈36.8(cm)．答：AB的长度为36.8 cm.【解析】过O点作OD⊥AB交AB于D点，根据∠A＝15°，AO＝30可知OD＝AO·sin 15°，AD＝AO·cos 15°，在Rt△BDO中根据∠OBC＝45°可知，BD＝OD，再根据AB＝AD＋BD即可得出结论．24.【答案】解∵在Rt△CBE中，sin 60°＝，∴CE＝BC·sin 60°＝20×≈17.3 m，∴CD＝CE＋ED＝17.3＋1.75＝19.05≈19.1 m.答：风筝离地面的高度是19.1 m.【解析】先根据锐角三角函数的定义求出CE的长，再由CD＝CE＋ED即可得出结论．25.【答案】解(1)如图，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA＝100，∠PAC＝53°，∴PC＝PA·sin ∠PAC＝100×0.80＝80，在Rt△PBC中，∵PC＝80，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴PB＝PC＝1.41×80≈113，即B处与灯塔P的距离约为113海里；(2)∵∠CBP＝45°，PB≈113海里，∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．【解析】(1)根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点B，作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC＝PA·sin ∠PAC＝80，再解Rt△PBC，得出PB＝PC＝1.41×80≈113；(2)由∠CBP＝45°，PB≈113海里，即可得到灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．26.【答案】解∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°，∴∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，∴MN＝＝，∴cos B＝cos ∠AMN＝＝.【解析】根据“同角的余角相等”，可得∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，由勾股定理得MN ＝，故cos B＝cos ∠AMN.27.【答案】解作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1 m，答：端点A到地面CD的距离是1.1 m.【解析】作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，求出AF、EF即可解决问题．28.【答案】解在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，由勾股定理，得AB＝＝＝25，sin A＝＝，sin B＝＝.【解析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．人教版九年级数学下第二十八章锐角三角函数单元复习卷（含答案）一、选择题1.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A的值为()A．B．C．D．2.某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50 m至D处，测得最高点A的仰角为60°.问摩天轮的高度AB约是()(结果精确到1 米，参考数据：≈1.41，≈1.73)A．120米B．117米C．118米D．119米3.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，AC＝1，那么∠A的正切tan A等于()A．B．2C．D．4.如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为()A．B．C．D．不能确定5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，则tan A·tan B等于()A．0B．1C．－1D．不确定6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B，则sin A的值是()A．B．C．D．17.如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4∶3，背水坡BC的坡比为1∶2，大坝高DE ＝20 m，坝顶宽CD＝10 m，则下底AB的长为()A．55 mB．60 mC．65 mD．70 m8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，那么cosα的值是()A．B．C．D．9.当锐角a＜60°，sin a的值()A．小于B．大于C．小于D．大于10.在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，若BC∶AC＝3∶4，BD平分∠ABC交AC于点D，则tan∠DBC 的值为()A．B．C．D．二、填空题11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是________．12.某船自西向东航行，在A处测得某岛B在北偏东60°的方向上，前进8海里后到达C，此时，测得海岛B在北偏东30°的方向上，要使船与海岛B最近，则船应继续向东前进____________海里．13.△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3，那么sin B＝________.14.在Rt△ABC中，斜边AB的长是8，cos B＝，则BC的长是__________．15.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为__________ n mile.(结果取整数，参考数据：≈1.7，≈1.4)16.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1.则BC的长____________．17.在△ABC中，∠ACB＝90°，若tan A＝，则cos A＝__________.18.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin ∠ABC＝________.19.已知0＜α＜90°，且tanα＝，则∠α＝________.20.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4BC，则sin A＝__________.三、解答题21.如图，两座建筑物的水平距离BC＝30 m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．22.在锐角△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求：(1)tan C的值；(2)sin A的值．23.如图，某同学在测量建筑物AB的高度时，在地面的C处测得点A的仰角为30°，向前走60米到达D处，在D处测得点A的仰角为45°，求建筑物AB的高度．24.如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70 nmile，若该渔船由西向东航行30 nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．25.我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．(1)求B点到直线CA的距离；(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)26.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tan B的值．27.如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)28.小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米．(1)求出大厦的高度BD；(2)求出小敏家的高度AE.答案解析1.【答案】D【解析】如图，∵tan A＝＝，∴设BC＝x，则AC＝3x，∴AB＝＝x，∴cos A＝＝＝.故选D.2.【答案】C【解析】在Rt△ABC中，由∠C＝45°，得AB＝BC，在Rt△ABD中，∵tan ∠ADB＝tan 60°＝，∴BD＝＝＝AB，又∵CD＝50 m，∴BC－BD＝50，即AB AB＝50，解得AB≈118.即摩天轮的高度AB约是118米．故选C.3.【答案】B【解析】∵∠C＝90°，AB＝，AC＝1，∴BC＝＝2，则tan A＝＝2，故选B.4.【答案】B【解析】如图，连接AC，根据勾股定理可以得到AC＝AB＝，BC＝2.∵()2＋()2＝(2)2.∴AC2＋AB2＝BC2.∴△CAB是等腰直角三角形．∴∠ABC＝45°，∴∠ABC的正弦值为.故选B.5.【答案】B【解析】根据正切函数的定义，利用△ABC的边表示出两个三角函数，即可求解．tan A·tan B＝·＝1，故选：B.6.【答案】B【解析】∵∠C＝90°，∠A＝∠B，∴∠A＝45°，∴sin 45°＝.故选B.7.【答案】C【解析】∵DE＝20 m，DE∶AE＝4∶3，∴AE＝15 m，∵CF＝DE＝20 m，CF∶BF＝1∶2，∴BF＝40 m，∴AB＝AE＋EF＋BF＝15＋10＋40＝65 m.故选C.8.【答案】D【解析】过A作AB⊥x轴于B，∵A(4,3)，∴PB＝3，OB＝4，由勾股定理得OA＝＝5，所以cosα＝＝.故选D.9.【答案】A【解析】∵sin 60°＝，a＜60°，∴sinα＜sin 60°＝.故选A.10.【答案】B【解析】作DE⊥AB于E，在Rt△ABC中，设BC为3x，则AC为4x，根据勾股定理，AB＝5x，设CD为a，BD平分∠ABC，则DE＝CD＝a，AD＝4x－a，AE＝5x－3x＝2x，在Rt△ADE中，AD2＝DE2＋AE2，即(4x－a)2＝a2＋(2x)2，解得a＝x，∴tan∠DBC＝＝＝，故选B.11.【答案】【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∴cos A＝＝.12.【答案】4【解析】根据题意画出图形，过B作BD⊥AD，如图所示，∵∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，且∠BCD为△ABC的外角，∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝30°，∴∠CAB＝∠CBA，又AC＝8海里，∴AC＝BC＝8海里，在直角三角形BCD中，BC＝8海里，∠BCD＝30°，∴CD＝BC＝4海里，则要使船与海岛B最近，则船应继续向东前进4海里．13.【答案】【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3，∴AB＝＝＝，∴sin B＝＝＝.14.【答案】【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝8，cos B＝，∴＝，∴BC＝.15.【答案】102【解析】过P作PD⊥AB，垂足为D，∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处，∴∠MPA＝∠PAD＝60°，∴PD＝AP·sin ∠PAD＝86×＝43，∵∠BPD＝45°，∴∠B＝45°.在Rt△BDP中，BP＝＝＝43×≈102(n mile)．16.【答案】2＋1【解析】∵在△ABC中，AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，∠C＝45°，∴∠DAC＝45°，∴DC＝AD＝1，在Rt△ABD中，sin B＝，AD＝1，∴sin B＝＝，即AB＝3，根据勾股定理，得BD＝＝2，则BC＝BD＋DC＝2＋1.17.【答案】【解析】∵tan A＝，∴设b＝x，则a＝2x，根据a2＋b2＝c2，得c＝x.∴cos A＝＝＝.故答案为.18.【答案】【解析】∵小正方形边长为1，∴AB2＝8，BC2＝10，AC2＝2；∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°，∴sin ∠ABC＝＝＝.19.【答案】30°【解析】∵tanα＝，0＜α＜90°，∴α＝30°.20.【答案】【解析】因为Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4BC，所以AC＝＝BC，所以sin A＝＝＝.21.【答案】解延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在Rt△AED中，AE＝BC＝30 m，∠EAD＝30°，∴ED＝AE tan 30°＝10m，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝30 m，∴AB＝30m，则CD＝EC－ED＝AB－ED＝30－10＝20m.【解析】延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC－ED求出DC 的长即可．22.【答案】解(1)过A作AD⊥BC于点D.∵S△ABC＝BC·AD＝84，∴×14×AD＝84，∴AD＝12.又∵AB＝15，∴BD＝＝9.∴CD＝14－9＝5.在Rt△ADC中，AC＝＝13，∴tan C＝＝.(2)过B作BE⊥AC于点E.∵S△ABC＝AC·EB＝84，∴BE＝，∴sin ∠BAC＝＝＝.【解析】(1)过A作AD⊥BC于点D，利用面积公式求出高AD的长，从而求出BD、CD、AC 的长，此时再求tan C的值就不那么难了．(2)同理作AC边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sin A的值．23.【答案】解设建筑物AB的高度为x米．在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝x.∴BC＝DB＋CD＝x＋60.在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∴tan ∠ACB＝，∴tan 30°＝，∴＝，3x＝(x＋60)＝x＋60，(3－)x＝60，x＝＝30＋30，∴x＝30＋30.经检验，x＝30＋30是分式方程的解．∴建筑物AB的高度为(30＋30)米．【解析】设建筑物AB的高度为x米，在Rt△ABD中可得出AB＝DB＝x，在Rt△ABC中根据tan ∠ACB的值可求出x的值．24.【答案】解过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD＝30°，设BC＝x，则：在Rt△BCD中，BD＝BC·sin 30°＝x，CD＝BC·cos 30°＝x；∴AD＝30＋x，∵AD2＋CD2＝AC2，即＋＝702，解之得x＝50(负值舍去)，答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．【解析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD＝30°，设BC＝x，解直角三角形即可得到结论．25.【答案】解(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，∵∠MBC＝60°，∴∠CBA＝30°，∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠BCA＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°，∴BH＝BC×sin ∠BCA＝150×＝75(海里)．答：B点到直线CA的距离是75海里；(2)∵BD＝75海里，BH＝75海里，∴DH＝＝75海里，∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，在Rt△ABH中，tan ∠BAH＝＝，∴AH＝25海里，∴AD＝DH－AH＝(75－25)(海里)．答：执法船从A到D航行了(75－25)海里．【解析】(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，根据三角函数可求BH的长即为所求；(2)根据勾股定理可求DH，在Rt△ABH中，根据三角函数可求AH，进一步得到AD的长．26.【答案】解如图，过点A作AD⊥BC的延长线于D，S△ABC＝BC·AD＝×6×AD＝12，解得AD＝4，在Rt△ABD中，BD＝＝＝4，tan B＝＝＝.【解析】过点A作AD⊥BC的延长线于D，利用三角形的面积求出AD，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．27.【答案】解由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.又∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°.∴∠DBE＝∠BDE.∴BE＝DE.设EC＝x m，则DE＝BE＝2EC＝2x m，DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x m，BC＝＝＝x，由题意知，∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝DC.∴x＋60＝3x，解得x＝30＋10，2x＝60＋20.答：塔高约为(60＋20)m.【解析】先求出∠DBE＝30°，∠BDE＝30°，得出BE＝DE，然后设EC＝x m，则BE＝2x m，DE ＝2x m，DC＝3x m，BC＝x m，然后根据∠DAC＝45°，可得AC＝CD，列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度．28.【答案】解(1)如题图，∵AC⊥BD，∴BD⊥DE，AE⊥DE，∴四边形AEDC是矩形，∴AC＝DE＝20米，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∴BC＝AC＝20米，在Rt△ACD中，tan 30°＝，∴CD＝AC·tan 30°＝20×＝20(米)，∴BD＝BC＋CD＝20＋20(米)；∴大厦的高度BD为(20＋20)米；(2)∵四边形AEDC是矩形，∴AE＝CD＝20米．∴小敏家的高度AE为20米．【解析】(1)易得四边形AEDC是矩形，即可求得AC的长，然后分别在Rt△ABC与Rt△ACD 中，利用三角函数的知识求得BC与CD的长，继而求得答案；(2)结合(1)，由四边形AEDC是矩形，即可求得小敏家的高度AE.人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试一、选择题1、3tan60°的值为（）A． B． C． D．32、sin45°的值等于（）A． B．1 C． D．3、在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=4、在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（）A． B． C．2 D．5、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（）A． B． C． D．6、在Rt△ABC中，∠C=90º，，则的值为A． B．C．D．7、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A．4 B．6 C．8 D．108、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A． 3cm B． 6cm C．cm D．cm9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里二、填空题10、计算：= .11、如下图：直角三角形纸片的两直角边长分别为4，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是．12、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=__________]m．13、．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为．14、如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是米．15、全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外，如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD＝10米，则此塑像的高AB约为___米．(参考数据：tan78°12′≈4.8)16、如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．三、计算题17、计算：3tan30°﹣2tan45°+2sin60°+4cos60°．18、计算：．四、简答题19、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝3∶4，求∠A的三个三角函数值．20、如图，九（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线，求旗杆的高度．21、小刚学想测量灯杆AB的高度，结果他在D处时用测角仪测灯杆顶端A的仰角∠AEG=30°，然后向前走了8米来到C处，又测得A的仰角∠AFG=45°，又知测角仪高1.6米，求灯杆AB的高度．（结果保留一位小数；参考数据：≈1.73）22、如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A．C之间选择一点B（A．B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．23、山西绵山是中国历史文化名山，因春秋时期晋国介子推携母隐居于此被焚而著称，如图1，是绵山上介子推母子的塑像，某游客计划测量这座塑像的高度，由于游客无法直接到达塑像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的高度；如图2，在塑像旁山坡坡脚A处测得塑像头顶C的仰角为75°，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得塑像头顶C的仰角刚好为45°，已知山坡的坡度i=1：3，且O，A，B在同一直线上，求塑像的高度．（侧倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，tan75°≈3.7，≈1.4，≈1.7，≈3.2）24、如图，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，桥DC与桥EF的长相等．（1）求点D到直线AB的距离；（2）现在从A地到B地可比原来少走多少路程？（结果保留小数点后一位．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．25、甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．26、如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在北偏东60°方向上，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在北偏东45°方向上，问客轮不改变方向继续前进有无触礁危险？参考答案一、选择题1、D【考点】特殊角的三角函数值．【分析】把tan60的数值代入即可求解．【解答】解：3tan60°=3×=3．故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．2、D【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值得出即可．【解答】解：sin45°=，故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．3、C【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，则A、cosA=，故本选项错误；B、tanA=，故本选项错误；C、sinA=，故本选项正确；D、cosA=，故本选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．4、C【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．【解答】解：由图可得，tanα=2÷1=2．故选C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．5、C【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据在直角三角形中，余弦为邻边比斜边，可得答案．【解答】解：△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，得cosB==，故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6、B7、D【考点】解直角三角形．【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6，∴AB===10，故选D8、D9、D二、填空题10、；11、12、 5.513、．考点：解直角三角形；特殊角的三角函数值．分析：重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AB，再求出面积．解答：解：∵AC=，∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：×1=．故答案为：．14、．【解析】试题分析：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，∴BC：A C=1：，∵堤高BC=5米，∴坝底AC=米．故答案为：．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．15、58_16、【考点】正方形的性质；轴对称的性质；锐角三角函数的定义．【分析】M、N两点关于对角线AC对称，所以CM=CM，进而求出CN的长度．再利用∠ADN=∠DNC 即可求得tan∠ADN．【解答】解：在正方形ABCD中，BC=CD=4．∵DM=1，∴CM=3，∵M、N两点关于对角线AC对称，∴CN=CM=3．∵AD∥BC，∴∠ADN=∠DNC，∵tan=∠DNC==，∴tan∠ADN=．故答案为：．三、计算题17、原式=2．18、.解：原式=1+﹣1+2﹣=2四、简答题19、20、AB＝13.5 m21、【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】设AG的长为x米，根据正切的概念分别表示出GF、GE的长，计算即可得到AG，求出AB即可．【解答】解：设AG的长为x米，在Rt△AGE中，EG==x，在Rt△AGF中，GF=AG=x，由题意得，x﹣x=8，解得，x≈10.9，则AB=AG+GB≈12.5米，答：灯杆AB的高度约为12.5米．22、解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，∵AB=40m，∠A=30°，∴BE=AB=20m，AE==20m，即点B到AD的距离为20m；（2）在Rt△ABE中，∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°，∴DE=EB=20m，则AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m），在Rt△ADC中，∠A=30°，∴DC==（10+10）m．答：塔高CD为（10+10）m．23、【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，设PE=x，则AE=3x，在Rt△AEP中根据勾股定理可得PE=，则AE=3，设CF=PF=m米，则OC=（m+）米、OA=（m﹣3）米，在Rt△AOC中，由tan75°=求得m的值，继而可得答案．【解答】解：过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，∵i=1：3，AP=10，设PE=x，则AE=3x，在Rt△AEP中，x2+（3x）2=102，解得：x=或x=﹣（舍），∴PE=，则AE=3，∵∠CPF=∠PCF=45°，∴CF=PF，设CF=PF=m米，则OC=（m+）米，OA=（m﹣3）米，在Rt△AOC中，tan75°==，即m+=tan75°•（m﹣3），解得：m≈14.3，∴OC=14.3+≈17.5米，答：塑像的高度约为17.5米．24、【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，根据平行四边形的判定得出DCBG为平行四边形，在Rt△DGH中，根据DH=DG•sin37，即可求出点D到直线AB的距离；（2）根据（1）先求出GH、AD和AH的长，再根据两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，代值计算即可得出答案．【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形．∴DC=GB，GD=BC=11．在Rt△DGH中，DH=DG•sin37°≈11×0.60=6.60，∴点D到直线AB的距离是6.60km；（2）根据（1）得：GH=DG•cos37°≈11×0.80≈8.80，在Rt△ADH中，AD=DH≈1.41×6.60≈9.31．AH=DH≈6.60，∵两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，∴AD+DG﹣AG=（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．25、【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】（1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．（2）根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同，可以求出甲轮船从B到C所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．【解答】解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．26、解：过P作PC⊥AB于C点，如图，据题意知AB＝9×＝3，∠PAB＝90°－60°＝30°，[ ∠PBC＝90°－45°＝45°，∠PCB＝90°，∴PC＝BC.在Rt△APC中，tan 30°＝＝＝，即＝，∴PC＝海里＞3海里，∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》综合测试卷 (含答案)

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》综合测试卷 (含答案)

人教版数学九年级下册 第28章 锐角三角函数综合测试卷（时间90分钟，满分120分）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．cos60°的值为( ) A.12 B.22 C.32 D.322．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于( ) A. 12 B. 22C.32D ．1 3．如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到点D ，使BD ＝AB ，连结CD.若tan ∠BCD ＝13，则tan A＝( )A.13B.23 C ．1 D.324．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的长是( ) A ．3B ．6C ．8D ．95．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( ) A.12 B.13C.14D.246. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于( ) A.200 B.300 C.400 D.5007．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ：AD=1：4，则tan ∠BCD 的值是( )A. 14B. 13C. 12D ．28．某铁路路基的横截面为等腰三角形，已知路基高5 m ，坡长10 m ，则坡度为( ) A ．1∶2 B ．1∶12C ．1∶ 3D ．1∶339．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( ) A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°10．如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝12，D 是AC 上一点，∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD 等于( ) A.35 B.105 C.310 D.31010二．填空题（共8小题，3*8=24） 11．在△ABC 中，若│sinA -1│+（32-cosB ）=0，则∠C=_______度．12．如图，一架梯子斜靠在墙上．若梯子底端到墙的距离AC ＝3 m ，cos ∠BAC ＝34，则梯子长AB ＝_______ m.13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M ，N 两点关于对角线AC 所在的直线对称，若DM ＝1，则tan ∠ADN ＝________.14. cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ ；15．如图所示，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=13，BC=10，则AB 的长为________．16．如图，在高度是21 m 的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD ＝____________.(结果保留根号)17．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB ＝12米，背水坡面CD ＝123米，∠B ＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，tanE ＝3133，则CE 的长为________米．18．一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的解析式为___________________．三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 已知tanα的值是方程x 2－x －2＝0的一个根，求式子3sinα－cosα2cosα＋sinα的值．20．(8分) 如图，海面上B ，C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向．一艘船从A 岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C 岛，此时测得B 岛在C 岛的南偏东43°.求A ，B 两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里)(参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93)21．(8分) 如图，房屋顶呈人字形(等腰三角形)，AC ＝BC ＝8 m ，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于点D.(1)求∠ACB 的大小； (2)求AB 的长度．22．(10分)在△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝83，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝36，∠A＝45°，求∠B，b，c.23．(10分) 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标为O(0，0)，A(23，0)，B(23，2)，把矩形OABC绕点O按逆时针方向旋转α度，使点B正好落在y轴正半轴上，得到矩形OA1B1C1.(1)求角α的度数；(2)求直线A1B1的函数关系式，并判断直线A1B1是否经过点B，为什么？24．(10分) 如图，为了测量山顶铁塔AE 的高，小明在27 m 高的楼CD 底部D 测得塔顶A 的仰角为45°，在楼顶C 测得塔顶A 的仰角为36°52′.已知山高BE 为56 m ，楼的底部D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)25．(12分) 如图，四边形ABCD 为正方形，点E 为BC 上一点．将正方形折叠，使点A 与点E 重合，折痕为MN.若tan ∠AEN ＝13，DC ＋CE ＝10.(1)求△ANE 的面积； (2)求sin ∠ENB 的值．参考答案：1-5 AADBB 6-10CCCDA 11. 60 12. 4 13. 4314. 0 15．3+ 3 16. (73＋21)m 17.818. y ＝23x －3 19. 解：解方程x 2－x －2＝0 得x 1＝2，x 2＝－1. 又∵tanα＞0，∴tanα＝2， 又∵tanα=sinαcosα，∴原式＝3tanα－12＋tanα＝3×2－12＋2＝5420. 解：由题意，得AC ＝18×2＝36(海里)，∠ACB ＝43°.在Rt △ABC 中， ∵∠A ＝90°，∴AB ＝AC•tan ∠ACB ＝36×0.93≈33.5(海里)． 故A ，B 两岛之间的距离约为33.5海里． 21. 解：(1)∵AC ＝BC ＝8 m ，∠A ＝30°， ∴∠B ＝∠A ＝30°，∴∠ACB ＝120°. (2)∵AB ＝AC ，CD ⊥AB ， ∴AD ＝BD ，AD ＝AC·cos30°＝8×32＝4 3(m)，∴AB ＝2AD ＝8 3 m. 22. 解：(1)∵∠C ＝90°，∠A ＝60°， ∴∠B ＝30°.∵sin A ＝a c ，sin B ＝bc ，∴a ＝c·sin A ＝83×32＝12. b ＝c·sin B ＝83×12＝4 3.(2)∵∠C ＝90°，∠A ＝45°， ∴∠B ＝45°. ∴b ＝a ＝3 6. ∴c ＝a 2＋b 2＝6 3.23. 解：(1)∵OA 1＝23，A 1B 1＝2，∴tan ∠A 1OB 1＝223＝33，∴锐角∠A 1OB 1＝30°，∴∠α＝60°(2)由点A 1(3，3)，B 1(0，4)得直线A 1B 1表达式为y ＝－33x ＋4， 当x ＝23时，y ＝－33×23＋4＝2， ∴点B(23，2)在直线A 1B 1上24．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.设塔高AE ＝x m ，由题意得EF ＝BE －CD ＝56－27＝29(m)，AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m. 在Rt △AFC 中，∠ACF ＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ， 则CF ＝AFtan 36°52′≈x ＋290.75＝43x ＋1163(m)，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝(x ＋56)m ， 则BD ＝AB ＝(x ＋56)m ， ∵CF ＝BD ，∴x ＋56≈43x ＋1163，解得x≈52.答：该铁塔的高AE 约为52 m.25. 解：(1)∵tan ∠AEN ＝tan ∠EAN ＝13，故若设BE ＝a ，则AB ＝3a ，CE ＝2a.∵DC ＋CE ＝10，∴3a ＋2a ＝10，∴a ＝2.∴BE ＝2，AB ＝6，CE ＝4. ∵AE ＝AB 2＋BE 2＝4＋36＝2 10，∴AG ＝10.∵tan ∠EAN ＝NG AG ＝13，∴NG ＝103.∴AN ＝⎝⎛⎭⎫1032＋（10）2＝103.∴S △ANE ＝12AN·BE ＝12×103×2＝103(或S △ANE ＝12AE·GN ＝12×2 10×103＝103)．(2)sin ∠ENB ＝EB NE ＝2103＝35.。

人教版九年级数学下册 第28章 锐角三角函数 综合训练(含答案)

人教版九年级数学下册 第28章 锐角三角函数 综合训练(含答案)

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数综合训练一、选择题1. sin60°的值等于()A. 12B.22C.32D. 32. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是()A. 34 B.43 C.35 D.453. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝45，AC＝6 cm.则BC的长度为()A. 6 cmB. 7 cmC. 8 cmD. 9 cm4. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是()A. 12B. 1C. 3D. 25. 一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要()A.4sinθ米2B.4cosθ米2C. (4＋4tanθ) 米2D. (4＋4tanθ) 米26. 如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 3 m，则鱼竿转过的角度是()A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°7. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( ) A . 30.6 B . 32.1 C . 37.9 D . 39.48. 如图，AB 是⊙O的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为( ) A . 12 B . 22 C . 32 D . 339. 如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( ) A . (sin α，sin α) B . (cos α，cos α) C . (cos α，sin α) D . (sin α，cos α)10. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C ＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A.11－sinαB.11＋sinαC.11－cosαD.11＋cosα二、填空题11. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝3 2，则t的值是________．12. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为________cm(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.结果精确到0.1 cm，可用科学计算器)．13. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)14. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)15. 齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的边缘光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1 m，则该车大灯照亮的宽度BC是________m．(不考虑其他因素，参考数据：sin8°＝425，tan8°＝17，sin10°＝910，tan10°＝528)三、解答题16. 如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500 m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°.求隧道AB的长．(参考数据：3≈1.73)17. 如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．(参考数据：3≈1.73)18. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．19. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数综合训练-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】A3. 【答案】C4. 【答案】D5. 【答案】D6. 【答案】C7. 【答案】D8. 【答案】A 解图∴∠ACO ＝∠A ＝30°，∴∠COE ＝∠ACO ＋∠A ＝30°＋30°＝60°，∴∠E ＝180°－∠OCE －∠COE ＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt △COE 中，sin ∠E ＝sin30°＝12.9. 【答案】C10. 【答案】A二、填空题11. 【答案】9212. 【答案】14.113. 【答案】2.9 14. 【答案】20815. 【答案】1.4三、解答题16. 【答案】解：由已知条件可知：△COB为等腰直角三角形，∴OB＝OC＝1500.在Rt△COA中，∠ACO＝90°－60°＝30°，∴OA＝OC·tan30°＝1500×33＝5003，∴AB＝OB－OA＝1500－5003≈1500－500×1.73＝635.所以隧道AB的长约635米．17. 【答案】解：不会有触礁危险．理由如下：如解图，过点P作PC⊥AB，由题意可得，∠PAB＝30°，∠PBC＝45°，(2分) 设PC＝x，则BC＝x，∴tan∠PAC＝tan30°＝PCAC＝x8＋x＝33，解得x＝833－3＝43＋4≈10.92>10，(4分)∴不会有触礁的危险．(6分)18. 【答案】解：∵tan∠OBC＝tan30°＝OCBC＝33，∴OC＝33BC，(2分)∵sin∠OAC＝sin75°＝OCOA≈0.97，∴33BC40≈0.97，(6分)∴BC≈67.1(cm)．(8分)19. 【答案】解：(1)∵在教学楼B点处观测旗杆底端D处的俯角是30°，∴∠ADB＝30°，(1分)在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4(米)，(2分)∴AD＝ABtan∠ADB＝4tan30°＝43(米)．(3分)答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(4分)(也可先求∠ABD＝60°，利用tan60°去计算得到结论)(2)∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4 3 米，(5分) ∴CD＝AD·tan60°＝43×3＝12(米)．(7分)答：旗杆CD的高度是12米．(8分)。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》全章综合能力训练卷(含详解)

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》全章综合能力训练卷(含详解)

九年级数学人教版下册第28章《锐角三角函数》全章综合能力训练卷一、单选题1．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，则cos A 的值是（ ）A ．35B ．45C ．34D ．522．已知在Rt ABC 中，90︒∠=C ，B β∠=，5AB =，那么AC 的长为（ ）A ．5cos βB ．5sin βC ．5cos βD ．5sin β3．一船向东航行，上午8时到达B 处，观测到有一灯塔在它的南偏东60°且距离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，此时观测到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）A ．18海里/小时B ．183海里/小时C ．36海里/小时D ．363海里/小时4．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ）A ．13B ．35C ．23D ．125．如图，AC 、BD 是⊙O 的两条相交弦，∠ACB ＝∠CDB ＝60°，AC ＝23，则⊙O 的直径是（ ）A ．2B ．4C ．3D ．236．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ．下列四个选项中，不正确的是（ ） A ．32AC AB = B ．32BC CD = C ．33BD CD = D ．33BCAC 7．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE CF =；②75AEB ∠=︒；③BE DF EF +=；④正方形对角线：13AC =+，其中正确的序号是（ ）A ．①②④B ．①②C ．②③④D ．①③④ 8．如图，已知ABC 外接圆的直径为4，120ABC ∠=︒，那么AC 的长度为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．439．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC =且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（ ）A ．4B ．5C ．163D ．8310．在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O 重合，顶点A 、B 恰好分别落在反比例函数1(0)y x x =-<、4(0)y x x=>的图像上，则cos ABO ∠的值为（ ）A ．12B ．233C ．255D ．14二、填空题11．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是______．12．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD 中，10AB =，12BC =，5CD =，3tan 4B =，那么边AD 的长为______．13．如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1:0.75，那么该大坝迎水坡AB 的长度为______米．14．如图，点D 是ABC 内一点，且90BDC ∠=︒，2AB =，3AC =，30BAD CBD ∠=∠=︒，AD =________．15．如图，已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，点G 是ABC 的重心，2CG =，4BC =，那么cos GCB ∠=______．16．如图，在ABC 中，120ABC ∠=︒，12AB =，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，4sin 5ADE ∠=，5ED =，如果ECD 的面积是6，那么BC 的长是_____．三、解答题17．计算：22sin 60tan 45sin 45cos 45cos30︒-︒+︒+︒︒． 18．如图，已知AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，42AC =，2BC =．（1）求sin ABC ∠；（2）求CD 的长．19．如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得电线杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°．（1）求证：PQ BQ =；（2）求该电线杆PQ 的高度（结果精确到1m ，备用数据：3 1.7≈，2 1.4≈）． 20．如图，开口向下的抛物线2y ax 2x c =++与y 轴的交点为点A ，与x 轴的两个交点分别为点B ，C （点B 在点C 的左边）抛物线的顶点为D ，且点D 的横坐标为1．（1）若点A 的坐标为()0,3，求抛物线的解析式；（2）若BCD △为等边三角形，试确定c 的值．21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，OE BC ⊥于点H ，交⊙O 于点E ，点D 为OE 的延长线上一点，DC 的延长线与BA 的延长线交于点F ﹐且BOD BCD ∠=∠，连结BD 、AC 、CE ．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）过E 作EG FD ⊥于点G ，求证：CHE CGE △≌△；（3）如果1AF =，3sin 3FCA ∠=，求EG 的长．22．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ． （1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值；（3）当AG AE =时，求CD 的长．23．如图1，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，AE BD＝ ； ②当α＝180°时，AE BD ＝ ； （2）拓展探究试判断当0°＜α＜360°时，AE BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决当CDE △绕点C 逆时针旋转至A ，B ，E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．参考答案1．B解：在Rt△ABC中，2．B解：在Rt△ABC中，sinβ∴AC=AB•sinβ=5sinβ，3．B∵此船从上午8时的B处向东航行2小时后到C处，且从C观测处到灯塔A在它的正南方向，∴∠BCA＝90°，60°且距离为72海里∴∠ABC＝30°，AB=72海里，∴在Rt△ABC中,∵∠A=60°，，速度为()363108183÷-=海里/小时，4．D解：如图，连接BD ，根据图象可知454590ADB ∠=︒+︒=︒，则有2222112,2222BD CD =+==+=，所以21222BD tan ACB CD ∠===． 5．B解∶如图，在⊙O 中 ，连接OC ，作OE ⊥AC 于E ，则CE=12AC∵∠A ，∠BDC 所对的弧是BC ，∴∠A=∠BDC=60°，∵∠ACB=∠BDC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠30°，，=2，∴⊙O的直径是4，6．B∴AB=2BC，∴∠BCD+∠∵∠A+∠∴∠∴BC=2BD，设BD=x，则BC=2x，AB=4x，3．7．A解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90B D ∠=∠=︒，∵AEF 是等边三角形，∴AE AF =，在Rt ABE △和Rt ADF 中，AE AF AB AD =⎧⎨=⎩， ∴()Rt ABE Rt ADF HL ≅△△，∴BE DF =，∵BC CD =， ∴BC BE CD DF -=-，即CE CF =，故①正确；∵CE CF =，90C ∠=︒，∴45CEF ∠=︒，∵60AEF ∠=︒，∴180604575AEB ∠=︒-︒-︒=︒，故②正确；如图，连接AC ，交EF 于点G ，∵AE AF =，CE CF =，∴AC 是EF 的垂直平分线，∵CAF DAF ∠≠∠，∴DF FG ≠，同理BE EG ≠，∴BE DF EF +≠，故③错误；∵AEF 是边长为2的等边三角形，ACB ACD ∠=∠，∵AC EF ⊥，EG FG =，∴3sin 60232AG AE =⋅︒=⨯=，112CG EF ==， ∴13AC AG CG =+=+，故④正确．8．B解：如图，连接OA 、OC ，过点O 作OF ⊥AC ，在优弧AC 上任取点D ，连接DA 、DC∵120ABC ∠=︒，∴18060D ABC ∠=︒-∠=︒， ∴2120AOC D ∠=∠=︒，∵OF ⊥AC∴60AOF ∠=︒，AC=2AF∵ABC 外接圆的直径为4，∴2OA =，∴sin 3AF OA AOF =⋅∠=，∴223AC AF ==9．C解：如图，过D 作DP CE ⊥于,P,DE DC =,EP CP EDP CDP ∴=∠=∠， ,DEC DCE ∠=∠90,AED DCB ∠=︒=∠90,AEF DEC DCE BCG DEC EDP ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠2,BC x AD ∴==()()()2222255,x x ∴=++2325250,x x ∴--=553x ∴=或5x =-（舍去）5585533DE ∴=+=，,EDP BCG ∠=∠1,2EPDP ∴=设,EP m = 则2,DP m =()22285+2,3m m ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭83m ∴=（负根舍去）162.3EC EP ∴==10．C解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，∵点A在反比例函数1(0)y xx=-<上，点B在4(0)y xx=>上，∴S△AOD＝12，S△BOE＝2，又∵∠AOB＝90°,∠ADO=∠BEO=90°∴∠AOD+∠BOE＝90°∠OBE+∠BOE＝90°，∴∠AOD=∠OBE,∴△AOD∽△OBE，∴21()4AODBOESAOBO S==△△，∴12AOBO=设OA＝a，则OB＝2a，AB＝22(2)5a a a+=，在RtAOB中，cos∠ABO＝255BOAB=11．22解：在Rt ABC中，90C∠=︒，设BC=x，则AB=3x，12．9解：如图，连接AC BC于E点，AE=3x，BE=4x，解得x=2，则AE=6，BE=8，，AD于F点，DF=3，CF=4，．故答案为：9．13．15过点B 作BC ⊥AC 于C ，∵迎水坡的坡度为1:0.75，∴tan ∠BAC=43=BC AC ， ∵BC=12米，∴AC=9米，∴AB=22AC BC +=22912+=15(米)，故答案为：15．．14．52如图过点A 作线段AB 的垂线，过点D 作线段AD 的垂线，两垂线交于点E ，连接BE ．则90ADE ∠=︒，90BAE ∠=︒ ∵30BAD CBD ∠=∠=︒，90BDC ∠=︒∴60DAE BCD ∠=∠=︒．∴BCD EAD ．15．23解：如图，延长CG 与AB 交于点D ，过D 作DE ⊥CB 于点E ，∵G 是△ABC 的重心，∴CG=2GD ，∵CG=2，∴GD=1，∴CD=2+1=3，∵∠ACB=90°，∴AC ⊥CB ，∴AC ∥DE ，∵D 是AB 中点，∴E 是CB 中点，∴CE=122CB =，∴cos ∠GCB=23CE CD =， 16．936-解；过点F AC于F，CD=，3过点A作BC的垂线交CB的延长线于点H，在CEF△和ACH 中，tanEF AHACHCF CH∠==即4636CH=93CH=936BC CH BH=-=-17．1解：原式=2232221=1-1+1=12232⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．（1）22sin3ABC∠=；（2）823．解：（1）∵AB是O的直径，42AC=，2BC=，∴90ACB∠=︒，22236AB AC BC=+=，∴6AB=，22sin3ABC∠=；（2）∵CD AB⊥，∴CE DE=，由三角形的面积公式得:1122AC BC AB CE ⨯⨯=⨯⨯, ∴423CE =， ∴8223CD CE ==． 19．（1）证明：如图，延长PQ 交直线AB 于点E ，∴PE AB ⊥，∴90PEB ∠=︒，由题意知60PBE ∠=︒，30QBE ∠=︒，∴30PBQ PBE QBE ∠=∠-∠=︒，180BPE PEB PBE ∠=︒-∠-∠180906030=︒-︒-︒=︒．∴PBQ BPQ ∠=∠．∴PQ BQ =．（2）解：设()m PQ x =，则()m BQ PQ x ==．20．解：（1（2）由（1如图，过D 作DE BC ⊥，垂足为E ．∴1DE c =+，1BE c =+．当BCD △为等边三角形时，60DBE ∠=︒，由tan 60DEBE ︒=，得131c c +=+，解得：2c =．21．（1）证明：如图，连结OC ，∵OE⊥BC，∴∠OHB=90°，∴∠OBH+∠BOD=90°，∵OB=OC，∴∠OBH=∠OCB，∵∠BOD=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∵点C为⊙O上一点，∴DF为⊙O的切线；（2）解：∵∠OCD=90°，∴∠ECG+∠OCE=90°，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∴∠ECG+∠OEC=90°，∵∠OEC+∠HCE=90°，∴∠ECG=∠HCE ，在△CHE 和△CGE 中，∴△CHE ≌△CGE （AAS ）；（3）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∵DF 为⊙O 的切线，∴∠OCA+∠FCA=90°，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∴∠FCA=∠ABC ，AB=3a ，∵∠FCA=∠ABC ，∠AFC=∠CFB ，∴△ACF ∽△CFB，∵AF=1，∴∴BF-AF=AB=1，∵OE⊥BC，∴∵△CHE≌△CGE，∴22．解：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴，设CD=x，则AD=12-x，在△ADE中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²，在△BFE中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²，在△ABE中，AE⊥BE，∴AB²=AE²+BE²，即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=72，∴正方形CDEF的面积=CD²=72×72=494；（2）如图：延长ED交AB于H，∵△BEH∽△ABG，且∠ABG=∠EBH，∴∠BEH=∠BAG，∵DE∥EF，∴∠BEH=∠EBF，∴∠BAC=∠EBF，设边长为x，则tan∠EBF=5xx+，tan∠BAC=512，令5xx+=512，则x=257,∵25125971284 HD AH ADBC AB AC-====，∵59767138484AH=⋅=，∴BH=13-AH=32584，HD=5929558484⋅=，∴HE=HD+x=59584，过H作HM，与BE相交于M，5sin sin13BM AGHE∠=∠=,595sin84s951419165in81332HM HE HEMABEBH BH⨯⋅∠∠====；（3）∵DE//BC,∴△BCG∽△EDG，设边长为x，∴5DE DG xBC GC==，∵DG+GC=x，∴DG=25xx+，GC=55xx+，则22512125(12)x AG GC x AE x x ⎧=-=-⎪+⎨⎪=-+⎩，令AG=AE ， 则CD=x=2+1942或x=21942-（舍去）． 23．解：（1）①当α＝0°时，∵Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∴AC ＝22AB BC +＝2224+＝25，∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴AE ＝12AC ＝5，BD ＝12BC ＝1， ∴AE BD＝5． ②如图1中，当α＝180°时，可得AB∥DE，∵ACAE＝BCBD，∴AEBD＝ACBC＝5．故答案为：①5，②5．（2）如图2，当0°≤α＜360°时，AEBD的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵ECDC＝ACBC＝5，∴△ECA∽△DCB，∴AEBD＝ECDC＝5．（3）①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，在Rt△BCE中，CE＝5，BC＝2，∴BE＝22EC BC-＝54-＝1，∴AE＝AB+BE＝5，∵AEBD＝5，∴BD＝55＝5．②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，BE＝22EC BC-＝54-＝1，AE＝AB-BE =4﹣1＝3，∵AEBD＝5，∴BD综上所述，满足条件的BD。

人教版九年级数学下册第二十八章： 锐角三角函数 练习(含答案)

人教版九年级数学下册第二十八章： 锐角三角函数 练习(含答案)

第二十八章 锐角三角函数一、单选题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 2．（2016甘肃省兰州市）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35，BC =6，则AB =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．103．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=513，则tanA 的值为（ ） A ．513 B ．1213 C ．512 D ．1254．Rt ABC 中，C 90∠=，若BC 2=，AC 3=，下列各式中正确的是 ( ) A ．2sinA 3= B ．2cosA 3= C ．2tanA 3= D ．2cotA 3= 5．如图，过点C （﹣2，5）的直线AB 分别交坐标轴于A （0，2），B 两点，则tan ∠OAB=（ ）A ．25B ．23C ．52D ．326．如图，某超市自动扶梯的倾斜角 为 ，扶梯长 为 米，则扶梯高 的长为（ ）A．米B．米C．米D．米7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ＝1，点D，C，B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为(参考≈3.162)()A．15.81米B．16.81米C．30.62米D．31.62米8．若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是（）A．100 αm B．100sinαm C．100cosαm D．100 αm9．某水坝的坡度i=1，坡长AB=20米，则坝的高度为（）A．10米B．20米C．40米D．2010．如图，两建筑物的水平距离为32 m，从点A测得点C的俯角为30°，点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为()A．14 m B．17 m C．20 m D．22 m二、填空题11．2sin45°+2sin60°﹣＝_____． 12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sin A = ．13．某同学沿坡比为1： 的斜坡前进了90米,那么他上升的高度是______米14．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.三、解答题15．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π0． 16．如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°．求该建筑物的高度AB ．（结果保留根号）17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．18．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据： 53°≈0.8， 53°≈0.6， 53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．答案1．D2．D3．D4．C5．B6．A7．A8．A9．A10．A1112．3513．4514．215．|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π﹣ ）0 =2﹣2×12+6﹣1 =6．16．解：设AM x =米，在Rt AFM ∆中，45AFM ︒∠=，∴FM AM x ==，在Rt AEM ∆中，AM tan EMAEM ∠=，则tan AM EM x AEM ==∠， 由题意得，FM EM EF -=，即40x x -=，解得，60x =+，∴61AB AM MB =+=+答：该建筑物的高度AB为(61+米．17．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。

九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典题(含答案)

九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典题(含答案)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图，已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为120°、半径长为6，圆锥的高与母线的夹角为α，则（ ）A ．圆锥的底面半径为3B ．2tan 2α=C ．该圆锥的主视图的面积为82D ．圆锥的表面积为12π2．已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm ，此时小球距离桌面的高度为5cm ，则这个斜坡的坡度i 为（ ）A ．2B ．1：2C ．1：2D ．1：33．如图，在O 中，E 是直径AB 延长线上一点，CE 切O 于点E ，若2CE BE =，则E ∠的余弦值为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．434．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m 高的天桥两端分别修建了50m 长的斜道．用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（ ）A ．sin0.2=B ．2ndF sin0.2=C ．tan0.2=D ．2ndF tan0.2=5．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，延长PO 交⊙O 于点C ，若60APB ∠=︒，6PC =，则AC 的长为（ ）A ．4B ．22C ．23D ．336．如图，旗杆AB 竖立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为65米，坡度为125i =小明从与点C 相距115米的点D 处向上爬12米到达建筑物DE 的顶端点E ，在此测得放杆顶端点A 的仰角为39°，则旗杆的高度AB 约为（ ）米．（参考数据：sin390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan390.81︒≈）A ．12.9B ．22.2C ．24.9D ．63.17．下列计算中错误的是( ) A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒ B ．22sin 45 cos 451︒+︒= C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，点E 是边BC 上一动点，B 关于AE 的对称点为B ′，过B ′作B ′F ⊥DC 于F ，连接DB ′，若△DB ′F 为等腰直角三角形，则BE 的长是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．2﹣6 9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（ ）A ．a•tanαB ．a•cotαC ．a•sinαD ．a•cosα10．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为3B ′的坐标为（ ）A ．(63,2)-B ．(63,23)-C ．()6,2-D ．(63,2)-11．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，点P 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），C 、D 分别是弦AP ，BP 的中点．若33CD =，则扇形AOB 的面积为（ ）A ．12πB ．2πC ．4πD ．24π12．如图，等边ABC 边长为a ，点O 是ABC 的内心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①ODE 形状不变；②ODE 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；③四边形ODBE 的面积始终不变；④BDE 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．113．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A 、1122D E E B 、2222A B C D 、2343D E E B 、3333A B C D …按如图所示的方式放置，其中点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2C 、3E 、4E 、3C …在x 轴上，已知正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ∠=︒，112233B C B C B C …则正方形2019201920192019A B C D 的边长是（ ）A ．201812⎛⎫⎪⎝⎭B ．201912⎛⎫⎪⎝⎭C ．201933⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．201833⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为（ ） A ．513B ．1213C ．512D ．125二、填空题15．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，AB ＝m ，那么边AB 上的高为___． 16．如图ABC 的内接圆于O ，45C ∠=︒，4AB =，则O 的半径为______．17．如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K ．若正方形ABCD 边长为3，则AH=__．18．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB AC =，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60︒时，两梯角之间的距离BC 的长为2m ．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60︒，后又调整α为45︒，则梯子顶端A 离地面的高度下降了___________m ．19．已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,3A ，且抛物线上任意不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y -->；当120x x <<时，()()12120x x y y --<．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，ABC ∆有一个内角为60︒，则抛物线的解析式为______．20．如图，在2×2的网格中，以顶点O 为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A ，则tan ∠ABO 的值为_____．21．计算：112tan 6032()2-+---____．22．如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，点E 在AC 上，AE 23=AC ，D 是BC 延长线上一点，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°得到线段FE ，当AF ∥BD 时，线段AF 的长为____．23．如图，已知直线l ：y ＝33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为_____．24．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果tan ∠A 3cos ∠B =_____． 25．在△ABC 中，若()21cos 1tan 02A B -+-=，则∠C=____________． 26．如图，在ABC ∆中10AB AC ==，以AB 为直径的圆O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且12CBF A ∠=∠，1tan 3CBF ∠= ，则BC 的长为__________．三、解答题27．（1）计算：|﹣1|﹣（3﹣π）0+16+（﹣12）-1+2cos60°； （2）解方程：2x （x ﹣1）＝x ﹣1．28．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点E ，过点E 作BE 的垂线交AB 于点F ，O 是BEF 的外接圆．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ，求证：CD HF =． （3）若1CD =，3EH =，求BF 及AF 长．29．如图，一次函数y ＝kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的图象与反比例函数15y x=-的图象交于A 、B 两点，且与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，A 点的横坐标与B 点的纵坐标都是3．（1）求一次函数的表达式； （2）求△AOB 的面积； （3）求sin ∠OAB 的值．30．如图，在△CFE 中，CF ＝6，CE ＝12，∠FCE ＝45°，以点C 为圆心，以任意长为半径作AD ，再分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 长为半径作弧，交EF 于点B ，AB //CD ．（1）求证：四边形ACDB为菱形；（2）求四边形ACDB的面积．【参考答案】一、选择题1．C2．D3．B4．B5．C6．C7．A8．D9．B10．D11．A12．A13．D14．B二、填空题15．msinαcosα【分析】利用直角三角形中的余弦三角函数的定义求得AC的长度然后利用三角形的面积公式求得AB边上的高的长度【详解】如图所示：根据题意可得：AC＝mcosαBC＝msinα∴AC•BC16．【分析】连接OAOB根据圆周角定理易知：∠AOB=90°即△AOB是等腰直角三角形；已知了斜边AB的长可求出直角边即半径的长【详解】解：如图连接OAOB由圆周角定理知∠AOB=2∠C=90°；∵OA17．1【分析】连接BH证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL）得出∠ABH=30°在Rt△ABH中解直角三角形即可【详解】解：连接BH如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形∴∠BAH=∠AB18．m【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判断出是等边三角形根据等边三角形的三边相等得出BC=AB=AC=2米在Rt中根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值由AD=即可求出AD的长同理算出进而19．【分析】由A的坐标确定出c的值根据已知不等式判断出y1-y2＜0可得出抛物线的增减性确定出抛物线对称轴为y轴且开口向下求出b的值如图1所示可得三角形ABC为等边三角形确定出B的坐标代入抛物线解析式即20．2+【分析】连接OA过点A作AC⊥OB于点C由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB﹣OC=2﹣在Rt△ABC中根据tan∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA过点A 作AC⊥OB于点21．【分析】先利用特殊的三角函数值计算再利用绝对值和负指数得出结论【详解】解:原式=故答案为：【点睛】本题涉及特殊角的三角函数值绝对值负整数指数幂3个考点在计算时需要针对每个考点分别进行计算然后根据实数22．1【分析】过点E作EM⊥AF于M交BD于N根据30°直角三角形的性质求出AM=1再根据∠60°的三角函数值求出EN的长再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN据此可得当AF∥BD时线段AF的23．（0256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到的坐标利用规律直接得到答案【详解】解：∵l：y＝x∴l与x轴的夹角为30°∵AB∥x轴∴∠ABO＝30°∵OA＝1∴AB＝∵A1B ⊥l ∴∠ABA1＝624．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=30°进而得出∠B 的度数进而得出答案【详解】∵tan ∠A=∴∠A=30°∵∠C=90°∴∠B=180°﹣30°﹣90°=60°∴cos ∠B=故答案为：【点25．75°【分析】根据非负数性质得根据三角函数定义求出∠A=60°∠B=45°根据三角形内角和定理可得【详解】因为所以所以所以∠A=60°∠B=45°所以∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：7526．【分析】连接AE 根据AB 是直径得出AE ⊥BCCE=EB 依据已知条件得出∠CBF=∠EABFB 是圆的且线进而得出CB 的长【详解】解：连接AE ∵AB 为直径∴AE ⊥BC ∵AB=AC ∴∠EAB=∠CABEB三、解答题 27． 28． 29． 30．【参考解析】一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，可知2πr ＝180n l，求出r 以及圆锥的母线l 和高h 即可解决问题． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ．A 选项，由题意：2πr ＝1206180π⨯⨯，解得r ＝2，故错误；B 选项，h ＝226242-=，所以tanα＝22442=，故错误； C 选项，圆锥的主视图的面积＝12×4×42＝82，故正确； D 选项，表面积＝4π+2π×6＝16π，故错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查圆锥的有关知识，记住圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，即2πr ＝180n lπ，圆锥的表面积＝πr 2+πrl 是解决问题的关键，属于中考常考题型． 2．D解析：D 【分析】过B 作BC ⊥桌面于C ，由题意得AB=10cm,BC=5cm,再由勾股定理得AC=53然后由坡度的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，过B 作BC ⊥桌面于C ， 由题意得：AB ＝10cm ，BC ＝5cm ， ∴AC=222210553AB BC -=-=，∴这个斜坡的坡度i ＝BC AC ＝553＝1：3 ，故选：D ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理;熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．3．B解析：B 【分析】连接OC ，则∠OCE=90°，设OC=OB=x ，22CE BE k ==，根据勾股定理即可列出方程222(2)()x k x k +=+，解得32x k =，再根据余弦的定义即可求得答案． 【详解】解：如图，连接OC ，∵CE 切O 于点E ，∴∠OCE=90°，设OC=OB=x ，22CE BE k ==，∵在Rt OCE △中，222OC CE OE +=，∴222(2)()x k x k +=+， 解得32x k =， ∴52OE OB BE k =+=， ∴24cos 552CE k E OE k ===， 故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理以及锐角三角函数，熟练掌握切线的性质以及勾股定理是解决本题的关键．4．B解析：B【分析】 先利用正弦的定义得到10sin 0.250A ==，然后利用计算器求锐角∠A ． 【详解】∵ 10sin 0.250A ==， ∴ 用计算器求值的顺序为20.2ndFsin =，故选：B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数及计算器的应用，掌握科学计算器的应用是解决本题的关键． 5．C解析：C【分析】如图，设CP 交⊙O 于点D ，连接OA 、AD ．由切线的性质易证△AOP 是含30度角的直角三角形，所以该三角形的性质求得半径=2；然后在等边△AOD 中得到AD=OA=2；最后通过解直角△ACD 来求AC 的长度．【详解】解：如图，设CP 交⊙O 于点D ，连接OA 、AD ．设⊙O 的半径为r ．∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∠APB=60°，∴OA ⊥AP ，∠APO=12∠APB=30°． ∴OP=2OA ，∠AOP=60°，∴PC=2OA+OC=3r=6，则r=2，易证△AOD 是等边三角形，则AD=OA=2，又∵CD 是直径，∴∠CAD=90°，∴∠ACD=30°，∴AC=tan 30?AD =23 故选：C ．【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．6．C解析：C【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．【详解】解：过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，过点E 作EG ⊥BF ，垂足为G ，在Rt △BCF 中，由斜坡BC 的坡度i=125，得，BF FC =125， 又BC=65，设BF=12x ，FC=5x ，由勾股定理得，（12x ）2+（5x ）2=652，∴x=5，∴BF=60，FC=25，又∵DC=115，∴DF=DC-FC=115-25=90=EG ，在Rt △AEG 中，AG=EG•tan39°≈90×0.81=72.9，∴AB=AG+FG-BF=72.9+12-60=24.9（米），故选：C ．【点睛】本题考查坡度、仰角以及直角三角形的边角关系，理解坡度、仰角和直角三角形的边角关系式解决问题的关键．7．A解析：A【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得．【详解】A、11sin 60sin 303022︒-︒==︒=，此项错误； B、222211sin 45 cos 4512222⎛⎫⎛︒+︒=+=+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，此项正确； C、sin 602tan 601sin 302︒︒===︒sin 60tan 60sin 30︒︒=︒，此项正确； D、cos302tan 601cos 602︒︒===︒cos30tan 60cos60︒︒=︒，此项正确； 故选：A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．8．D解析：D【分析】根据 B 关于 AE 的对称点为 B′，可得2AB AD '=，1AB D ∴等腰直角三角形，可得D B E '、、三点共线，可求出BE 的长．【详解】 解：26,62,2AB AB AB AD AD ==='∴=', 又△DB′F 为等腰直角三角形，045FDB ∴∠=,又在矩形 ABCD ，090ADF ∠=,045ADB ∴='∠,又22AB AD '=， AB D ∴'等腰直角三角形, 090AB D ∴='∠,090AB E ∠=',D BE ∴'、、三点共线，在等腰直角△RCE ，CE=CD=6,∴BE=BC-CE=626-,故选D..【点睛】本题考查三角形的性质及解直角三角形，找出D B E '、、三点共线是解题关键． 9．B解析：B【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝a ，∵cotαAC BC=， ∴AC ＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.10．D解析：D【详解】如解图，过点A 作AC x ⊥轴，过点A '作A D x '⊥轴，∵AOB 是等边三角形，∴4AO BO ==，60AOB ∠=︒，∴30AOC ∠=︒，∴·cos 23CO OA AOC ==2AC =，∴(3,2)A -，∵30AOD AOC ∠'=∠=︒，3OD =∴·t 34343an A D OD A OD ⨯=∠'=='，∴(43,4)A '-，∴点A '是将点A 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∴点B '也是将点B 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∵()0,4B ，∴B '的坐标为(63,2)-．11．A解析：A【分析】如图，作OH ⊥AB 于H ．利用三角形中位线定理求出AB 的长，解直角三角形求出OB 即可解决问题．【详解】解：如图作OH ⊥AB 于H ．∵C 、D 分别是弦AP 、BP 的中点．∴CD 是△APB 的中位线，∴AB ＝2CD ＝63∵OH ⊥AB ，∴BH ＝AH ＝33∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，∴∠AOH ＝∠BOH ＝60°，在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH AO， ∴AO ＝336sin 3AH AOH ==∠， ∴扇形AOB 的面积为：2120612360ππ=， 故选：A ．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．12．A解析：A【分析】连接OB 、OC ，利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ，从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ，利用锐角三角函数可得OH=12OE 和OE ，然后三角形的面积公式可得S △ODE2，从而得出OE 最小时，S △ODE 最小，根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值，然后证出S 四边形ODBE =S △OBC2即可判断②和③；求出BDE 的周长=a ＋DE ，求出DE 的最小值即可判断④．【详解】解：连接OB 、OC∵ABC 是等边三角形，点O 是ABC 的内心，∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO ，BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ∴∠OBA=∠OBC=12∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=12∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ，∠BOC=180°－∠OBC －∠OCB=120°∵120FOG ∠=︒∴∠=FOG ∠BOC∴∠FOG －∠BOE=∠BOC －∠BOE∴∠BOD=∠COE在△ODB 和△OEC 中BOD COE BO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ODB ≌△OEC∴OD=OE∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，∴ODE 形状不变，故①正确；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形∴∠ODE=∠OED=12（180°－120°）=30° ∴OH=OE·sin ∠OED=12OE ，EH= OE·cos ∠∴∴S △ODE =12DE·OH=34OE 2 ∴OE 最小时，S △ODE 最小， 过点O 作OE′⊥BC 于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值∴BE′=12BC=12a 在Rt △OBE′中 OE′=BE′·tan ∠OBE′=12a 33 ∴S △ODE 的最小值为34OE′2=2348a ∵△ODB ≌△OEC ∴S 四边形ODBE =S △ODB ＋S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC =1223 ∵2348=1423 ∴S △ODE ≤14S 四边形ODBE 即ODE 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一，故②正确； ∵S 四边形ODBE =2312a ∴四边形ODBE 的面积始终不变，故③正确；∵△ODB ≌△OEC∴DB=EC∴BDE 的周长=DB ＋BE ＋DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE∴DE 最小时BDE 的周长最小 ∵3OE∴OE 最小时，DE 最小而OE 的最小值为3 ∴DE 33=12a∴BDE 的周长的最小值为a ＋12a =1.5a ，故④正确； 综上：4个结论都正确， 故选A ．【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．13．D解析：D【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【详解】解：∵∠B 1C 1O=60°，B 1C 1//B 2C 2//B 3C 3，∴∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°= 12， 则B 2C 2= 2230B E cos= 1= 1， 同理可得：B 3C 3= 13= 2， 故正方形A n B n C n D n的边长是：13n -． 则正方形2019201920192019A B C D 的边长是：2018)3． 故选D ．【点睛】 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键.14．B解析：B【分析】先根据勾股定理求出BC=12，再利用余弦函数的定义即可求解.【详解】解：在Rt △ABC 中，由勾股定理得，BC 12，∴sin A ＝1213BC AB ， 故选：B ．【点睛】 此题考查勾股定理以及锐角三角函数的定义，解题关键在于计算出BC 的长度.二、填空题15．msinαcosα【分析】利用直角三角形中的余弦三角函数的定义求得AC 的长度然后利用三角形的面积公式求得AB 边上的高的长度【详解】如图所示：根据题意可得：AC ＝mcosαBC ＝msinα∴AC•BC解析：m sinαcosα【分析】利用直角三角形中的余弦三角函数的定义求得AC 的长度，然后利用三角形的面积公式求得AB 边上的高的长度．【详解】如图所示：根据题意可得：AC ＝m cosα，BC ＝m sinα， ∴12AC •BC ＝12mh ，即h ＝m sinαcosα， 故答案是：m sinαcosα．【点睛】考查了解直角三角形．解题关键利用了三角函数的定义求得直角三角形两条直角边的长． 16．【分析】连接OAOB 根据圆周角定理易知：∠AOB=90°即△AOB 是等腰直角三角形；已知了斜边AB 的长可求出直角边即半径的长【详解】解：如图连接OAOB 由圆周角定理知∠AOB=2∠C=90°；∵OA解析：2【分析】连接OA 、OB ，根据圆周角定理，易知：∠AOB=90°，即△AOB 是等腰直角三角形；已知了斜边AB 的长，可求出直角边即半径的长．【详解】解：如图，连接OA 、OB ，由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=90°；∵OA=OB ，∴△AOB是等腰直角三角形；则2sin454222OA AB=⋅=⨯=，故答案为：22．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17．1【分析】连接BH证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL）得出∠ABH=30°在Rt△ABH中解直角三角形即可【详解】解：连接BH如图所示：∵四边形ABCD 和四边形BEFG是正方形∴∠BAH=∠AB解析：1【分析】连接BH，证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），得出∠ABH =30°，在Rt△ABH中解直角三角形即可．【详解】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，∵BH=BH，AB=EB，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=12∠ABE=30°，∴AH=AB•tan∠33，故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形．能正确作出辅助线得出Rt △ABH ≌△Rt △EBH ，从而求得∠ABH =30°是解题关键．18．m 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判断出是等边三角形根据等边三角形的三边相等得出BC=AB=AC=2米在Rt 中根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值由AD=即可求出AD 的长同理算出进而 解析：()32-m ． 【分析】根据有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形判断出ABC 是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出BC=AB=AC=2米，在Rt ABD 中根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AD=AB?sin60︒即可求出AD 的长，同理算出11A D ，进而根据AD-11A D 即可得出答案．【详解】解：如图1，由题意可得：∵∠B=∠C=60︒，AB=AC∴ABC 是等边三角形BC=AB=AC=2米 在Rt ABD 中：23AD 2sin6032=︒== 如图2，由题意可得：∵∠B 1=∠C 1=45︒，A 1B 1=A 1C 1=2m在111Rt A B D 中：11222sin452A D =︒== ∴(1132AD A D -=m ． 故答案为：(32m ． 【点睛】此题主要考查锐角三角函数定义、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值，正确理解锐角三角函数定义是解题关键． 19．【分析】由A 的坐标确定出c 的值根据已知不等式判断出y1-y2＜0可得出抛物线的增减性确定出抛物线对称轴为y 轴且开口向下求出b 的值如图1所示可得三角形ABC 为等边三角形确定出B 的坐标代入抛物线解析式即解析：2233=-+y x 【分析】由A 的坐标确定出c 的值，根据已知不等式判断出y 1-y 2＜0，可得出抛物线的增减性，确定出抛物线对称轴为y 轴，且开口向下，求出b 的值，如图1所示，可得三角形ABC 为等边三角形，确定出B 的坐标，代入抛物线解析式即可．【详解】解：∵抛物线过点A （0，3），∴c=3，当x 1＜x 2＜0时，x 1-x 2＜0，由（x 1-x 2）（y 1-y 2）＞0，得到y 1-y 2＜0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，同理当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y 轴，且开口向下，即b=0，∵以O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，如图所示，∴△ABC 为等腰三角形，∵△ABC 中有一个角为60°，∴△ABC 为等边三角形，且OC=OA=3，设线段BC 与y 轴的交点为点D ，则有BD=CD ，且∠OBD=30°，333cos30sin 302︒︒∴=⋅==⋅=BD OB OD OB ∵B 在C 的左侧，∴B 的坐标为3332⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∵B 点在抛物线上，且c=3，b=0，327432∴+=-a 解得：23a =- 则抛物线解析式为2233=-+y x故答案为: 2233=-+y x ． 【点睛】 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．20．2+【分析】连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点C 由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB ﹣OC=2﹣在Rt △ABC 中根据tan ∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点解析：2+3．【分析】连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC=22OA AC -=3、BC=OB ﹣OC=2﹣3，在Rt △ABC 中，根据tan ∠ABO=AC BC 可得答案．【详解】如图，连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt △AOC 中，222221OA AC -=-3∴BC=OB ﹣OC=23∴在Rt △ABC 中，tan ∠ABO=23AC BC =-3 故答案是：3【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键． 21．【分析】先利用特殊的三角函数值计算再利用绝对值和负指数得出结论【详解】解:原式=故答案为：【点睛】本题涉及特殊角的三角函数值绝对值负整数指数幂3个考点在计算时需要针对每个考点分别进行计算然后根据实数 解析：43【分析】先利用特殊的三角函数值计算，再利用绝对值和负指数得出结论．【详解】解:原式=23+2322332243=+=+故答案为：43+．【点睛】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂3个考点．在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果．22．1【分析】过点E作EM⊥AF于M交BD于N根据30°直角三角形的性质求出AM=1再根据∠60°的三角函数值求出EN的长再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN据此可得当AF∥BD时线段AF的解析：132 +．【分析】过点E作EM⊥AF于M，交BD于N，根据30°直角三角形的性质求出AM =1，再根据∠60°的三角函数值求出EN的长，再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN32=，据此可得，当AF∥BD时，线段AF的长为132 +.【详解】如图过点E作EM⊥AF于M，交BD于N．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°．∵AE23=AC，∴AE=2，EC=1．∵AF∥BD，∴∠EAM=∠ACB=60°．∵EM⊥AF，∴∠AME=90°，∴∠AEM=30°，∴AM12=AE=1．∵AF∥BD，EM⊥AF，∴EN⊥BC，∴EN=EC•sin60°32=，∵∠EMF =∠END =∠FED =90°，∴∠MEF +∠MFE =90°，∠MEF +∠DEN =90°，∴∠EFM =∠DEN ．∵ED =EF ，∴△EMF ≌△DNE （AAS ），∴MF =EN =∴AF =AM +MF =12+．故答案为：1． 【点评】 本题主要考查了直角三角形的性质、特殊角的三角函数值和全等三角形的判定的综合运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，熟记特殊角的三角函数值. 23．（0256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到的坐标利用规律直接得到答案【详解】解：∵l ：y ＝x ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB ＝∵A1B ⊥l ∴∠ABA1＝6解析：（0，256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到12,A A 的坐标，利用规律直接得到答案．【详解】解：∵l ：y ＝3x ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB∵A 1B ⊥l∴∠ABA 1＝60°∴AA 1＝3∴A 1（0，4）同理可得A 2（0，16）…∴A 4纵坐标为44＝256∴A 4（0，256）故答案为：（0，256）．【点睛】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x 轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到123,,A A A …的点的坐标是解决本题的关键．24．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=30°进而得出∠B 的度数进而得出答案【详解】∵tan ∠A=∴∠A=30°∵∠C=90°∴∠B=180°﹣30°﹣90°=60°∴cos ∠B=故答案为：【点 解析：12【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A =30°，进而得出∠B 的度数，进而得出答案．【详解】∵tan ∠A =3， ∴∠A =30°，∵∠C =90°，∴∠B =180°﹣30°﹣90°=60°，∴cos ∠B =12． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的计算公式是解题关键． 25．75°【分析】根据非负数性质得根据三角函数定义求出∠A=60°∠B=45°根据三角形内角和定理可得【详解】因为所以所以所以∠A=60°∠B=45°所以∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：75解析：75°【分析】 根据非负数性质得1cos 0,1tan 02A B -=-=，根据三角函数定义求出∠A=60°，∠B=45°，根据三角形内角和定理可得.【详解】 因为()21cos 1tan 02A B -+-= 所以1cos 0,1tan 02A B -=-= 所以1cos ,tan 12A B == 所以∠A=60°，∠B=45°所以∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：75°【点睛】考核知识点：特殊锐角三角函数．熟记特殊锐角三角函数值是关键．26．【分析】连接AE根据AB是直径得出AE⊥BCCE=EB依据已知条件得出∠CBF=∠EABFB是圆的且线进而得出CB的长【详解】解：连接AE∵AB为直径∴AE⊥BC∵AB=AC∴∠EAB=∠CABEB解析：210【分析】连接AE，根据AB是直径，得出AE⊥BC，CE=EB，依据已知条件得出∠CBF=∠EAB，FB是圆的且线，进而得出CB的长.【详解】解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴∠EAB=12∠CAB，EB=CE=12CB，∵∠CBF=12∠CAB，tan∠CBF=13，∴∠CBF=∠EAB，tan∠EAB=EBAE =13，∴∠CBF+∠ABC=∠EAB+∠ABC=90°，∴FB是⊙O的切线，∴FB2=FD•FA，在RT△AEB中，AB=10，∴10，∴10，故答案为：10.【点睛】此题考查圆周角的性质，解直角三角形，求得FB是圆的切线是解题的关键．三、解答题27．（1）3；（2）x 1＝1，x 2＝0.5．【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】（1）原式＝1﹣1+4+（﹣2）+2×12＝3； （2）∵2x （x ﹣1）＝x ﹣1．∴2x （x ﹣1）﹣（x ﹣1）＝0，∴（x ﹣1）（2x ﹣1）＝0，则x ﹣1＝0或2x ﹣1＝0，解得x 1＝1，x 2＝0.5．【点睛】本题主要考查实数的运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 28．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10BF =，54AF =． 【分析】（1）连接OE ，由于BE 是角平分线，则有∠CBE=∠OBE ；而OB=OE ，就有∠OBE=∠OEB ，等量代换有∠OEB=∠CBE ，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE ∥BC ；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC 是⊙O 的切线；（2）连结DE ，先根据AAS 证明△CDE ≌△HFE ，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF ．（3）先证得△EHF ∽△BEF ，根据相似三角形的性质求得BF=10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE=5，进一步求得OH ，然后解直角三角形即可求得OA ，得出AF ．【详解】解：（1）证明：如图，连接OE ．∵BE EF ⊥，∴90BEF ∠=︒，∴BF 是圆O 的直径．∵BE 平分ABC ∠，∴CBE OBE ∠=∠，∵OB OE =，∴OBE OEB ∠=∠，∴OEB CBE ∠=∠，∴//OE BC ，∴90AEO C ∠=∠=︒，∴AC 是O 的切线．（2）如图，连结DE ．∵CBE OBE ∠=∠，EC BC ⊥于C ，EH AB ⊥于H ，∴EC EH =．∵180CDE BDE ∠+∠=︒，180HFE BDE ∠+∠=︒，∴CDE HFE ∠=∠．在CDE △与HFE 中，90CDE HFE C EHF EC EH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴CDE HFE ≅△△，∴CD HF =．（3）由（2）得CD HF =，又1CD =，∴1HF =，在Rt HFE中，EF ==，∵EF BE ⊥，∴90BEF ∠=︒，∴90EHF BEF ∠=∠=︒，∵EFH BFE ∠=∠，∴EHF BEF △△， ∴EF HF BF EF == ∴10BF =， ∴152OE BF ==，514OH =-=， ∴Rt OHE △中，4cos 5EOA ∠=， ∴Rt EOA △中，4cos 5OE EOA OA ∠==，∴545OA =， ∴254OA =， ∴255544AF =-=． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．29．（1）2y x =--；（2）8；（3）17． 【分析】解：（1）先根据A 、B 两点在反比例函数15y x =-的图象上，求出两点坐标，然后将A ，B 点代入y ＝kx+b ，即可求出解析式；（2）先求出C 点坐标，然后即可求出面积；（3）先求出D 点坐标，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，根据 C （﹣2，0），D （0，﹣2），得出△OCD 是等腰直角三角形，求出OE ，再求出OA ，然后即可求出答案．【详解】解：（1）∵A 、B 两点在反比例函数15y x =-的图象上， ∴153x=-， 解得：x ＝﹣5，1553y =-=-， 故B （﹣5，3），A （3，﹣5），把A ，B 点代入y ＝kx+b 得：5335k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得：12k b =-⎧⎨=-⎩， 故直线解析式为：y ＝﹣x ﹣2；（2）y ＝﹣x ﹣2，当y ＝0时，x ＝﹣2，故C 点坐标为：（﹣2，0），则△AOB 的面积为：12×2×3+12×2×5＝8； （3）当x ＝0时，y ＝﹣2∴D 点坐标为（0，﹣2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，∵ C （﹣2，0），D （0，﹣2），∴△OCD 是等腰直角三角形∴OE=OD·sin45°2, 又∵223534OA +=，∴sin ∠OAB=21734OE OA ==． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，等腰三角形的定义，勾股定理，锐角三角函数，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 30．（1）见解析；（2）四边形ACDB 的面积为82【分析】（1）根据已知得出AC CD =，AB DB =，ACB DCB ∠=∠，求出 AC AB =，根据菱形的判定得出即可；（2）根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可．【详解】（1）证明：由已知得：AC CD =，AB DB =，由已知尺规作图痕迹得：BC 是FCE ∠的角平分线，ACB DCB ∴∠=∠，又//AB CD ，ABC DCB ∴∠=∠，ACB ABC ∴∠=∠，AC AB ∴=，又AC CD =，AB DB =，AC CD DB BA ，∴四边形ACDB 是菱形，。

2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合练习试卷(含答案详细解析)

2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合练习试卷(含答案详细解析)

人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A1B．2C．1D12、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折起，使顶点C落在C′处，若AB = 4，DE = 8，则sin∠C′ED为（）A．2 B．1C D23、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A 至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是（）A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④4、在ABC中，(22cos1tan0A B+-=，则ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形5、tan30︒的相反数是（）A．B．C．D．6、已知，在矩形ABCD中，DE AC⊥于E，设ADEα∠=，且35=cosα，4AB=，则AD的长为（）A．3B．163C．203D．1657、如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为13BC=m，则AB的长度为（）A．6m B．C．9m D．8、如图所示，点C是⊙O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C所走过的路程为x，BC的长为y，根据函数图象所提供的信息，∠AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是（）A B．150°，2 C D．120°，29、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米10、在正方形网格中，ABC的位置如图所示，点A、B、C均在格点上，则cos B的值为（）A．12B．22C．32D．24第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、△ABC中，∠B为锐角，cos B，AB，AC＝2，则∠ACB的度数为________．2、正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，求EFGH=____________3、如图，是拦水坝的横断面，堤高BC为6米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为_______米．4、在△ABC中，（2cos A2+|1﹣tan B|＝0，则△ABC一定是：_____．5、如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠C＝__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：221cot 60cos30tan 60sin 453⋅-+． 2、如图，某学校新建了一座雕塑CD ，小林站在距离雕塑3.5米的A 处自B 点看雕塑头顶D 的仰角为60°，看雕塑底部C 的仰角为45°，求雕塑CD 的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：1.7）3、计算：2sin30°﹣3tan45°•sin 245°+cos60°．4、（1）计算：11()2tan 452sin 60|12--︒+︒-． （2）如图，在菱形ABCD 中，DE AB ⊥于点E ，8BE =，12sin 13A =，求菱形的边长．5、某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高80m BC =，点C 、A 与河岸E 、F 在同一水平线上，从山顶B 处测得河岸E 和对岸F 的俯角分别为45DBE ∠=︒，31DBF ∠=︒．若在此处建桥，求河宽EF 的长．（结果精确到1m ）[参考数据：sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.60︒≈]---------参考答案-----------一、单选题1、B【分析】作出图象，把实际问题转化成数学问题，求出弦心距，再用半径减弦心距即可．【详解】如图，正方形ABCD 是圆内接正方形，4BD =，点O 是圆心，也是正方形的对角线的交点，作OF BC ⊥，垂足为F ，∵直径4BD=，∴2OB=，又∵BOC是等腰直角三角形，由垂径定理知点F是BC的中点，∴BOF是等腰直角三角形，∴sin45OF OB=°∴2x EF OE OF==-=故选：B．【点睛】此题考查了垂径定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是根据题意作出图像，把实际问题转化成数学问题．2、B【分析】由折叠可知，C′D=CD=4，再根据正弦的定义即可得出答案．【详解】解：∵纸片ABCD是矩形，∴CD=AB，∠C=90°，由翻折变换的性质得，C′D=CD=4，∠C′=∠C=90°，∴41 sin82C DC EDED''∠===．故选：B．【点睛】本题可以考查锐角三角函数的运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．3、D【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，得∠EDF＝∠EFD ＝∠DEF＝60°，即可得出结论①正确；②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；③通过等量代换即可得出结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，从而得出结论④正确；【详解】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE为等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE ＝∠EFC ，故结论①正确；②如图，连接OE ，由①得AD ＝OD ，DF ＝DE ，∠ODA ＝60°，∠EDF 60°，∴∠ADF ＝∠ODE ，在△DAF 和△DOE 中，{AD ODADF ODE DF DE∠∠=＝＝，∴△DAF ≌△DOE （S A S ），∴∠DOE ＝∠DAF ＝60°，∵∠COD ＝180°﹣∠AOD ＝120°，∴∠COE ＝∠COD ﹣∠DOE ＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE ＝∠DOE ，在△ODE 和△OCE 中，{OD OCCOE DOE OE OE=∠∠=＝∴△ODE ≌△OCE （SAS ），∴ED ＝EC ，∠OCE ＝∠ODE ，故结论②正确；③ 由②得∠ODE＝∠ADF，∠OCE＝∠ODE，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝∴点E运动的路程是故结论④正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，解题的关键是熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识．4、D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得(32cos 0A =，1tan 0B -=，从而得cos A =tan 1B =，根据特殊角度三角函数的性质，得45A ∠=︒，45B ∠=︒；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】解：∵(32cos 1tan 0A B +-=∴(32cos 0A =，1tan 0B -=∴02cos A =，1tan 0B -=∴cos A tan 1B = ∴45A ∠=︒，45B ∠=︒∴18090C A B ∠=︒-∠-∠=︒，BC AC = ∴ABC 一定是等腰直角三角形故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．5、C【分析】先计算tan30︒ 【详解】∵tan30︒故选C．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，相反数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．6、B【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC，再利用勾股定理求出BC，然后根据矩形的对边相等可得AD=BC．【详解】解：∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠CAD=90°，∵∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ACD=∠ADE=α，∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵cosα=35，∴35 ABAC=，∴AC=53×4=203，由勾股定理得，BC=163，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=163．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键．7、A【分析】根据迎水坡AB 的坡比为1BC AC =AC 的长度，运用勾股定理可得结果． 【详解】解：迎水坡AB 的坡比为1BC AC ∴=，即3AC = 解得，AC =由勾股定理得，()6AB m ==，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，熟知坡比的意义是解本题的关键．8、D【分析】观察图象可得：y 的最大值为4，即BC 的最大值为4，当x ＝0时，y ＝AB ＝C ′是AB 的中点，连接OC ′交AB 于点D ，则OC ′⊥AB ，AD ＝BD AOB ＝2∠BOC ′，利用三角函数定义可得∠BOC ′＝60°，即可求得答案．【详解】解：由函数图象可得：y 的最大值为4，即BC 的最大值为4，∴⊙O 的直径为4，OA ＝OB ＝2，观察图象，可得当x ＝0时，y ＝∴AB ＝如图，点C ′是AB 的中点，连接OC ′交AB 于点D ，∴OC ′⊥AB ，AD ＝BD AOB ＝2∠BOC ′，∴sin∠BOC ′＝BD OB ∴∠BOC ′＝60°，∴∠AOB ＝120°，∵OB ＝OC ′，∠BOC ′＝60°，∴△BOC ′是等边三角形，∴BC ′＝OB ＝2，即点C 运动到弧AB 的中点时所对应的函数值为2．故选：D【点睛】本题主要考查了垂径定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．9、C【分析】过点O 作OE ⊥AC 于点F ，延长BD 交OE 于点F ，设DF ＝x ，根据锐角三角函数的定义表示OF 的长度，然后列出方程求出x 的值即可求出答案．【详解】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝OF DF，∴OF＝x tan65°，∴BF＝3+x，∵tan35°＝OFBF，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形的应用，根据题意构建直角三角形是解本题的关键．10、B【分析】如图所示，过点A作AD垂直BC的延长线于点D得出△ABD为等腰直角三角形，再根据45°角的余弦值即可得出答案．【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，∵AD=BD=4，∠ADB=90°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠B=45°∴cos B=故选B．【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，解题的关键在于根据根据题意构造直角三角形求解．二、填空题1、60°或120°【解析】【分析】根据题意，由于BC的长没有确定，故分类讨论，分ACB∠是锐角和钝角两种情况画出图形，解直角三角形即可【详解】解：①如图，当ACB⊥于点D，∠是锐角时，过点A作AD BCcos B ，AB AC ＝2，cos BD B AB ∴==7AB =2BD ∴==AD ∴=2AC =sin AD ACB AC ∴∠==60ACB ∠=︒∴①如图，当ACB ∠是钝角时，过点A 作AD BC ⊥的延长线于点D ，cos B ，AB AC ＝2，cos BE B AB ∴== 7AB =2BE ∴=AE ∴2AC =sin AE ACE AC ∴∠==60ACE ∴∠=︒120ACB ∴∠=︒ 故答案为：60︒或120︒【点睛】本题考查了解斜三角形，构造直角三角形并分类讨论是解题的关键．2【解析】【分析】如图，连接AC 、BD 、OF ，设⊙O 的半径是r ，则OF =r ，据题意可得出∠COF ＝60°，进而解直角三角形求得,,,FI EF OI CI ，证明CGF CBD ∽，根据相似三角形的高的比等于相似比得出答案即可．【详解】解：如图，连接AC 、BD 、OF ，CF ，设⊙O 的半径是r ，则OF =r ，设,EF AC 交于点I根据圆，正方形，正三角形的对称性可知AC是公共的对称轴，∴AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴∠OFA=∠OAF=30°，∴∠COF=30°+30°=60°，COF∴是等边三角形CO OF r∴==∴FI=r⋅，1cos602 OI r r =⋅︒=则CO=2OI，∴OI=12r CI=，AC平分EAF∠，AE AF=2EF IF∴=，AC EF⊥∴EF2⨯=，,AC BD AC EF⊥⊥//BD EF∴CGH CBD∴∽∴12 GH CIBD CO==，∴11222GH BD r r==⨯=，∴EFGH==即则EF GH【点睛】本题考查了正多边形与圆，正多边形的半径，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．3、【解析】【分析】由斜面坡度为1:2有12BC AC =，解得AC =12，再由勾股定理求得AB 即可． 【详解】∵斜面坡度为1:2 ∴12BC AC = ∴212AC BC ==∵ACB △是直角三角形，故有AB====故答案为：本题考察了直角三角形应用题，解直角三角形应用题的一般步骤（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形；（3）寻找直角三角形，并解这个三角形．4、等腰直角三角形【解析】【分析】根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出角A 和角B ，进而确定三角形的形状．【详解】解：因为（2cos A 2+|1﹣tan B |＝0，所以2cos A 0，且1﹣tan B ＝0，即cos A tan B ＝1， 所以∠A ＝45°，∠B ＝45°，所以90C ∠=︒所以△ABC 是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值以及三角形的判定，掌握特殊锐角的三角函数值是正确判断的前提．5、2√55##25√5 【解析】【分析】如图所示，连接BE ，先计算出CE 、BE 、BC 的长，即可利用勾股定理的逆定理得到∠CEB =90°，由此求【详解】解：如图所示，连接图中BE，由勾股定理得：CC=√42+22=2√5，CC=√12+22=√5，CC=√32+42=5，∴CC2+CC2=(2√5)2+(√5)2=25=CC2，∴△CEB是直角三角形，∠CEB=90°，∴cos C=CCCC =2√55，故答案为：2√55．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，余弦，解题的关键在于能够找到E点构造直角三角形．三、解答题1、0【解析】【分析】先将特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，即可求解．【详解】解：2213=⨯+原式 11122=-+ =0【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角锐角三角函数值是解题的关键． 2、 2.5CD ≈米【解析】【分析】首先分析图形：根据题意构造两个直角三角形DEB ∆、CEB ∆，再利用其公共边BE 求得DE 、CE ，再根据CD DE CE =-计算即可求出答案．【详解】解：在Rt DEB 中， 3.5 5.95tan 30BE DE ==≈︒米， 在Rt CEB 中，tan 45 3.5CE BE =︒=米，则 5.95 3.5 2.45 2.5CD DE CE =-=-=≈米．故塑像CD 的高度大约为 2.5CD ≈米．【点睛】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是要先将实际问题抽象成数学模型．分别在两个不同的三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系．3、0【解析】【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．【详解】解：22sin303tan45sin 45cos60︒-︒⋅︒+︒21123122=⨯-⨯⨯+⎝⎭ 111322=-⨯+ 0=．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．4、（1）1；（2）13【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂及实数的绝对值的含义即可完成；（2）根据菱形的性质可得AB =AD ，再由已知条件设12DE k =，13AD k =，则由勾股定理可得AE ，则由BE =8建立方程即可求得k ，从而求得菱形的边长．【详解】解：（1）原式22121)=-⨯+221=-1=.（2）四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=.DE AB ∵⊥，12sin 13DE A AD ==， ∴设12DE k =，13AD k =，则5AE k =，13588BE k k k ∴=-==，1k ∴=，∴13AD =，即菱形的边长为13.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂及实数的绝对值，菱形的性质、三角函数及勾股定理，灵活运用这些知识是关键．5、河宽EF 的长约为53m【解析】【分析】根据等腰三角形的判定可得80m CE BC ==，在Rt BCF 中，由三角函数的定义求出CF 的长，根据线段的和差即可求出EF 的长度．【详解】解：在Rt BCE 中，80m BC =，45BEC DBE ∠=∠=︒，∴45CBE ∠=︒，∴45BEC CBE ∠=∠=︒，∴80m CE BC ==.在Rt BCF 中，80m BC =，31BFC DBF ∠=∠=︒，tan BC BFC CF ∠=， ∴800.60CF ≈，∴133.3CF ≈，∴133.38053.353(m)EF CF CE =-=-=≈.答：河宽EF 的长约为53m ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用---仰角俯角问题，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．。

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数全章训练题含答案

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数全章训练题含答案

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数全章训练题含答案1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假定将各边长度都扩展为原来的2倍，那么∠A 的正弦值( D )A ．扩展2倍B ．增加2倍C ．扩展4倍D ．不变2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝45，那么AC ∶BC ∶AB ＝( A )A ．3∶4∶5B ．4∶3∶5C ．3∶5∶4D ．5∶3∶43. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，假定AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD 的值为( A ) A.53 B.255 C.52 D.234．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，那么tan A ＝( D )A.35B.45C.34D.435．计算sin30°·tan45°的结果是( A )A.12B.32C.36D.246．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，那么以下结论正确的选项是( D )A ．sin A ＝32B ．tan A ＝12C ．cos B ＝32D ．tan B ＝ 3 7．如图，AC 是电杆的一根拉线，测得BC ＝6米，∠ACB ＝52°，那么拉线AC 的长为( D )A.6sin52°米B.6tan52°米 C ．6·cos52°米 D.6cos52°米 8．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，那么斜坡AB 的长为( B )A ．43米B ．65米C ．125米D ．24米9．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝34，那么cos B 的值是( C ) A.45 B.34 C.35 D.4310．如图，渔船在A 处看到灯塔C 在北偏东60°方向上，渔船向正西方向飞行了12海里抵达B 处，在B 处看到灯塔C 在正南方向上，这时渔船与灯塔C 的距离是( D )A ．123海里B ．63海里C ．6海里D ．43海里11．如图，为测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝100米，那么B 点到河岸AD 的距离为( B )A ．100米B ．503米 C.20033米 D ．50米 12．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( B )A ．(600－2503)米B ．(6003－250)米C ．(350＋3503)米D ．5003米13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设AC ＝3，AB ＝5，那么cos B 的值是 __45__． 14．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝23，那么AC 的长是__5__． 15．如图，在空中上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，那么树高BC 为__7tan α__米．(用含α的代数式表示),第13题图) ,第14题图) ,第16题图) ,第17题图)16．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4 cm ，tan B ＝32，那么△ABC 的面积是__12__cm 2.17．在△ABC 中，假定∠A ，∠B 满足|cos A －12|＋(sin B －22)2＝0，那么∠C ＝__75°__．18．长为4 m 的梯子搭在墙上与空中成45°角，作业时调整为60°角(如下图)，那么梯子的顶端沿墙面降低了__(23－22)__m.19．如图，在修建平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯角为30°，平台CD 的高度为5 m ，那么大树的高度为3)__m ．(结果保管根号)20．规则：sin (－x)＝－sin x ，cos (－x)＝cos x ，sin (x ＋y)＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y.据此判别以上等式成立的是__②③④__．(写出一切正确的序号)①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24；③sin2x ＝2sin x ·cos x ； ④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y . 21．计算：(1)sin 230°＋cos 245°＋3sin60°·tan45°；解：94(2)cos 230°＋cos 260°tan60°·tan30°＋sin 245°. 解：3222．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，c ＝20，解这个直角三角形． 解：∠A ＝30°，∠B ＝60°，b ＝10 323．假设是我国某海域内的一个小岛，其平面图如图甲所示，小明据此结构出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝15千米，CD ＝32千米．求∠ACD 的余弦值．解：衔接AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝152千米，在Rt △ACD 中，cos ∠ACD ＝CD AC ＝32152＝15，∴∠ACD 的余弦值为1524．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tan B ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD .求AC 的长和cos ∠ADC 的值．解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tanB ＝12，∴AC ＝4.设AD ＝x ，那么BD ＝x ，CD ＝8－x ，由勾股定理，得(8－x)2＋42＝x 2.解得x ＝5.∴cos ∠ADC ＝DC AD＝3525．如图，A ，B ，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB ，BC 表示衔接缆车站的钢缆．A ，B ，C 所处位置的海拔AA 1，BB 1，CC 1区分为160米，400米，1000米，钢缆AB ，BC 区分与水平线AA 2，BB 2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB 和BC 的总长度．(结果准确到1米)解：依据题意知BD ＝400－160＝240米，CB 2＝1000－400＝600米，在Rt△ADB 中，sin30°＝BD AB ，∴AB ＝BD sin30°＝480米，在Rt △BB 2C 中，sin45°＝CB 2BC ，∴BC ＝CB 2sin45°＝6002米，AB ＋BC ＝(480＋6002)米≈1329米 26．如图，某高速公路树立中需求确定隧道AB 的长度．在离空中1500 m 的高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A ，B 两点处的俯角区分为60°和45°.求隧道AB 的长．(3≈1.73) 解：∵OA ＝1500×tan30°＝5003，OB ＝OC ＝1500，∴AB ＝1500－5003≈1500－865＝635(m)。

人教版九年级数学下《第28章锐角三角函数》专项训练含答案

人教版九年级数学下《第28章锐角三角函数》专项训练含答案

第28章锐角三角函数专项训练专训1“化斜为直”构造直角三角形的方法名师点金：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解．无直角、无等角的三角形作高1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．(第1题)有直角、无三角形的图形延长某些边2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．(第2题)有三角函数值不能直接利用时作垂线3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin∠BCD＝13，求tan A的值．(第3题)求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝12∠BAC，求tan∠BPC的值．(第4题)专训2巧用构造法求几种特殊角的三角函数值名师点金：对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算．巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值1．求sin15°，cos15°，tan15°的值．巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值2．求tan22.5°的值．巧用折叠法求67.5°角的三角函数值3．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值．(第3题)巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值4．求sin18°，cos72°的值．巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值5．求sin75°，cos75°，tan75°的值．专训3应用三角函数解实际问题的四种常见问题名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．定位问题1．某校兴趣小组从游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC.(3取1.73，结果保留整数)(第1题)坡坝问题2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F 处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度 .(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(第2题)测距问题3．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B，C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C 的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离．(结果保留根号)测高问题4．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度．(结果保留根号)(第4题)专训4利用三角函数解判断说理问题名师点金：利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：其关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题．航行路线问题1．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．(第1题)工程规划问题2．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心、45千米为半径的圆，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．问连接A，B两市的高速公路会穿过风景区吗？请说明理由．(第2题)拦截问题3．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离．(结果不取近似值)(第3题)台风影响问题4．如图所示，在某海滨城市O附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200 km的海面P处，并以20 km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为60 km，且圆的半径以10 km/h的速度不断扩大．(1)当台风中心移动 4 h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到________km；当台风中心移动t(h)时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到____________km.(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否会侵袭这座海滨城市？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)专训5三角函数在学科内的综合应用名师点金：1.三角函数与其他函数的综合应用：此类问题常常利用函数图象与坐标轴的交点构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标．2．三角函数与方程的综合应用：主要是与一元二次方程之间的联系，利用方程根的情况，最终转化为三角形三边之间的关系求解．3．三角函数与圆的综合应用：主要利用圆中的垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一直角三角形的边角关系求解．4．三角函数与相似三角形的综合应用：此类问题常常是由相似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数．三角函数与一次函数的综合应用1．如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于B，C两点，tan∠OCB＝1 2 .(1)求点B的坐标和k的值；(2)若点A(x，y)是直线y＝kx－1上的一个动点(且在第一象限内)，在点A 的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式．(第1题)三角函数与二次函数的综合应用2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴直线x ＝1交x轴于点B，连接EC，AC，点P，Q为动点，设运动时间为t秒．(1)求点A的坐标及抛物线对应的函数解析式；(第2题)(2)如图，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？三角函数与反比例函数的综合应用3．如图，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB＝3 2 .(1)求k的值；(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE对应的函数解析式；(3)若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论，并说明理由．(第3题)三角函数与方程的综合应用4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.已知a，b是关于x 的一元二次方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，且9c＝25a sin A.(1)试判断△ABC的形状；(2)△ABC的三边长分别是多少？5．已知关于x的方程5x2－10x cosα－7cosα＋6＝0有两个相等的实数根，求边长为10 cm 且两边所夹的锐角为α的菱形的面积．三角函数与圆的综合应用6．如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点C 为圆心、CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B ＝∠CAE ，EF FD ＝4 3.(1)求证：点F 是AD 的中点； (2)求cos ∠AED 的值；(3)如果BD ＝10，求半径CD 的长．(第6题)7．如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于N.(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ； (2)求证：AD 2＝AM²AB；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．(第7题)三角函数与相似三角形的综合应用8．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是边AD 上一点，连接FE 并延长交BC 的延长线于点G ，连接BF ，BE ，且BE ⊥FG.(1)求证：BF ＝BG ；(2)若tan ∠BFG ＝3，S △CGE ＝63，求AD 的长．(第8题)专训6全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．其主要考点可概括为：2个概念，1个运算，2个应用，2个技巧．2个概念概念1：锐角三角函数1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的三个三角函数值．(第1题)概念2：解直角三角形2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝35，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝9，求BE，CE的长．(第2题)1个运算——特殊角的三角函数值与实数运算3．计算：(1)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°；(2)14tan245°＋1sin230°－3cos230°＋tan45°cos60°－sin40°cos50°.2个应用应用1：解直角三角形在学科内应用4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP＝a.(1)当点P在线段BC上时(点P与点B，C都不重合)，试用含a的代数式表示CE的长；(2)当a＝3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；(3)当tan∠PAE＝12时，求a的值．(第4题)应用2：解直角三角形的实际应用5．如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A ，B 间的距离．一小船在点P 处测得A 在正北方向，B 位于南偏东24.5°方向，前行1 200 m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏西49°方向，B 位于南偏西41°方向．(1)线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由．(2)求A ，B 间的距离(参考数据cos 41°≈0.75)．(第5题)6.如图，为了测量山顶铁塔AE 的高，小明在27 m 高的楼CD 底部D 测得塔顶A 的仰角为45°，在楼顶C 测得塔顶A 的仰角为36°52′.已知山高BE 为56 m ，楼的底部D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)(第6题)2个技巧技巧1：“化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧 7．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝32，AC ＝23，求AB 的长．(第7题)技巧2：“割补法”构造直角三角形求解的技巧8．如图所示，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥AB，CD⊥BC，AB＝303，BC＝503，求四边形ABCD的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)(第8题)答案专训11．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD²tan B＝x²tan60°＝3x.在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°，∴∠C＝∠CAD，∴CD＝AD＝3x.∵BC＝1＋3，∴3x＋x＝1＋3，解得x＝1，即BD＝1.在Rt△ABD中，∵cos B＝BD AB ，∴AB＝BDcos B＝1cos60°＝2.(第1题)(第2题)2．解：如图，延长BC ，AD 交于点E. ∵∠A ＝60°，∠B ＝90°，∴∠E ＝30°. 在Rt △ABE 中，BE ＝AB tan E ＝2tan 30°＝23， 在Rt △CDE 中，EC ＝2CD ＝2， ∴DE ＝EC²cos 30°＝2³32＝ 3. ∴S 四边形ABCD ＝S Rt △ABE －S Rt △ECD＝12AB²BE－12CD²ED＝12³2³23－12³1³3＝332. 点拨：本题看似是四边形问题，但注意到∠B ＝90°，∠A ＝60°，不难想到延长BC ，AD 交于点E ，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．3．解：如图，过点B 作BE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E. ∵点D 是AB 的中点，∴AD ＝DB.又∵∠ACD ＝∠BED ＝90°，∠ADC ＝∠BDE ， ∴△ACD ≌△BED ，∴CD ＝DE ，AC ＝BE.在Rt △CBE 中，sin ∠BCE ＝BE BC ＝13，∴BC ＝3BE. ∴CE ＝BC 2－BE 2＝22BE ， ∴CD ＝12CE ＝2BE ＝2AC.∴tan A ＝CD AC ＝2AC AC＝ 2. 方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．(第3题)(第4题)4．解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵AB ＝AC ＝5，∴BE ＝12BC ＝12³8＝4，∠BAE ＝12∠BAC.∵∠BPC ＝12∠BAC ，∴∠BPC ＝∠BAE.在Rt △BAE 中，由勾股定理得 AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3， ∴tan ∠BPC ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝43.专训21．解：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∠C ＝90°，延长CA 到D ，使AD ＝AB ，则∠D ＝15°，设BC ＝a ，则AB ＝2a ，AC ＝3a ，∴AD ＝2a ，CD ＝(2＋3)a.在Rt △BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝a 2＋（7＋43）a 2＝(6＋2)a. ∴sin 15°＝sin D ＝BC BD ＝a （6＋2）a ＝6－24；cos15°＝cos D＝CDBD＝（2＋3）a（6＋2）a＝6＋24；tan15°＝tan D＝BCCD＝a（2＋3）a＝2－ 3.(第1题)(第2题)2．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CA到D，使DA＝AB，则∠D＝22.5°，设AC＝BC＝a，则AB＝2a，∴AD＝2a，DC＝(2＋1)a，∴tan22.5°＝tan D＝BCCD＝a（2＋1）a＝2－1.3．解：∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°，∴∠FAB＝67.5°.设AB＝x，则AE＝EF＝2x，∴tan∠FAB＝tan67.5°＝FBAB＝2x＋xx＝2＋1.4．解：如图，作△ABC，使∠BAC＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC 于D点，过点A作AE⊥BC于E点，设BC＝a，则BD＝AD＝a，易得△ABC∽△BCD，∴ABBC＝BCCD，∴ABa＝aAB－a，即AB2－a²AB－a2＝0，∴AB＝5＋12a(负根舍去)，∴sin18°＝sin∠BAE＝BEAB＝5－14，cos72°＝cos∠ABE＝BEAB＝5－14.(第4题)(第5题)5．解：方法1：利用第1题的图形求解．易知∠CBD ＝75°， ∴sin 75°＝CD BD ＝（2＋3）a （6＋2）a ＝6＋24，cos 75°＝BC BD＝a （6＋2）a ＝6－24，tan 75°＝CD BC＝（2＋3）aa＝2＋ 3. 方法2：如图，作△ABD ，使∠ADB ＝90°，∠DAB ＝30°，延长BD 到C ，使DC ＝DA ，过B 作BE ⊥AC 于E ，则∠BAE ＝75°，设AD ＝DC ＝a ，则AC ＝2a ，BD ＝33a ，AB ＝233a ，∴BC ＝BD ＋CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋1a.则CE ＝BE ＝BC²sin 45°＝6＋326a ，∴AE ＝AC －CE ＝32－66a ，∴sin 75°＝sin ∠BAE ＝BEAB ＝32＋66a 233a ＝6＋24， cos 75°＝cos ∠BAE ＝AE AB ＝6－24，tan 75°＝tan ∠BAE ＝BE AE＝2＋ 3.专训3(第1题)1．解：根据题意可知AB ＝300 m .如图所示，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D.在Rt △ADB 中，因为∠BAD ＝30°，所以BD ＝12AB ＝12³300＝150(m )．在Rt △CDB 中，因为sin ∠DCB ＝BD BC ，所以BC ＝BD sin ∠DCB ＝150sin 60°＝3003≈173(m )． 答：此时游轮与望海楼之间的距离BC 约为173 m .点拨：本题也可过C 作CD ⊥AB 于D ，由已知得BC ＝AC ，则AD ＝12AB ＝150m ，所以在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos 30°＝15032≈173(m )．所以BC ＝AC ≈173 m .2．解：在Rt △ABE 中，∠BEA ＝90°，∠BAE ＝45°，BE ＝20米， ∴AE ＝20米．在Rt △BEF 中，∠BEF ＝90°，∠F ＝30°，BE ＝20米， ∴EF ＝BE tan 30°＝2033＝203(米)．∴AF ＝EF －AE ＝203－20≈20³1.732－20＝14.64≈15(米)． AF 的长度约是15米． 3．解：分两种情况：(1)如图①，在Rt △BDC 中，CD ＝30千米，BC ＝60千米． ∴sin B ＝CD BC ＝12，∴∠B ＝30°. ∵PB ＝PC ，∴∠BCP ＝∠B ＝30°.∴在Rt △CDP 中，∠CPD ＝∠B ＋∠BCP ＝60°，∴DP ＝CD tan ∠CPD ＝30tan 60°＝103(千米)．在Rt △ADC 中，∵∠A ＝ 45°， ∴AD ＝DC ＝30千米．∴AP ＝AD ＋DP ＝(30＋103)千米．(第3题)(2)如图②，同理可求得DP ＝103千米，AD ＝30千米． ∴AP ＝AD －DP ＝(30－103)千米．故交叉口P 到加油站A 的距离为(30±103)千米．点拨：本题运用了分类讨论思想，针对P 点位置分两种情况讨论，即P 可能在线段AB 上，也可能在BA 的延长线上．4．解：(1)在Rt △DCE 中，DC ＝4米，∠DCE ＝30°，∠DEC ＝90°，∴DE ＝12DC ＝2米；(第4题)(2)如图，过点D 作DF ⊥AB ，交AB 于点F ， 则∠BFD ＝90°，∠BDF ＝45°，∴∠DBF ＝45°，即△BFD 为等腰直角三角形， 设BF ＝DF ＝x 米，∵四边形DEAF 为矩形，∴AF ＝DE ＝2米，即AB ＝(x ＋2)米， 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°， ∴BC ＝AB cos 30°＝x ＋232＝2x ＋43＝3（2x ＋4）3(米)，∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，∴∠DCB＝90°，在Rt△BCD中，BD＝2BF＝2x米，DC＝4米，根据勾股定理得：2x2＝（2x＋4）23＋16，解得：x＝4＋43或x＝4－43(舍去)，则大楼AB的高度为(6＋43)米．专训41．解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．理由如下：如图，过点C作CD⊥AM于点D.依题意，知AB＝24³3060＝12(海里)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△DBC中，tan∠CBD＝tan60°＝CD BD ，∴BD＝33CD.在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝CDAD，∴AD＝3CD.又∵AD＝AB＋BD，∴3CD＝12＋33CD，解得CD＝63海里．∵63＞9，∴若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．技巧点拨：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．该货船有无触礁危险取决于岛C到航线AB的距离与9海里的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛C到航线AB的距离．(第1题)(第2题)2．解：不会穿过风景区．理由如下：如图，过C 作CD ⊥AB 于点D ，根据题意得：∠ACD ＝α，∠BCD ＝β，则在Rt △ACD 中，AD ＝CD²tan α，在Rt △BCD 中，BD ＝CD²tan β.∵AD ＋DB ＝AB ，∴CD²tan α＋CD²tan β＝AB ，∴CD ＝AB tan α＋tan β＝1501.627＋1.373＝1503＝50(千米)．∵50＞45，∴连接A ，B 两市的高速公路不会穿过风景区．3．解：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E ＝∠F ＝90°，拦截点D 处到公路的距离DA ＝BE ＋CF.在Rt △BCE 中，∵∠E ＝90°，∠CBE ＝60°，∴∠BCE ＝30°，∴BE ＝12BC ＝12³1 000＝500(米)；在Rt △CDF 中，∵∠F ＝90°，∠DCF ＝45°，CD ＝1 000米， ∴CF ＝22CD ＝5002(米)． ∴DA ＝BE ＋CF ＝(500＋5002)米，即拦截点D 处到公路的距离是(500＋5002)米．(第3题)(第4题)4．解：(1)100；(60＋10t)(2)不会，理由如下：过点O 作OH ⊥PQ 于点H ，如图．在Rt △POH 中，∠OHP ＝90°，∠OPH ＝65°－20°＝45°，OP ＝200 km ，∴OH ＝PH ＝OP²sin ∠OPH ＝200³sin 45°＝1002≈141(km )． 设经过x h 时，台风中心从P 移动到H ，台风中心移动速度为20 km /h ， 则20x ＝1002，∴x ＝5 2.此时，受台风侵袭的圆形区域半径应为60＋10³52≈130.5(km )． 台风中心在整个移动过程中与城市O 的最近距离OH ≈141 km ，而台风中心从P 移动到H 时受侵袭的圆形区域半径约为130.5 km ，130.5 km ＜141 km ，因此，当台风中心移动到与城市O 距离最近时，城市O 不会受到台风侵袭．专训51．解：(1)把x ＝0代入y ＝kx －1，得y ＝－1，∴点C 的坐标是(0，－1)，∴OC ＝1.在Rt △OBC 中，∵tan ∠OCB ＝OB OC ＝12，∴OB ＝12. ∴点B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的坐标代入y ＝kx －1，得12k －1＝0.解得k ＝2.(2)由(1)知直线AB 对应的函数关系式为y ＝2x －1，所以△AOB 的面积S 与x 的函数关系式是S ＝12OB²y＝12³12(2x －1)＝12x －14.2．解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，矩形OCDE 的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，点A 在DE 上，∴点A 坐标为(1，4)，设抛物线对应的函数解析式为y ＝a(x －1)2＋4，把C(3，0)的坐标代入抛物线对应的函数解析式，可得a(3－1)2＋4＝0，解得a ＝－1.故抛物线对应的函数解析式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)依题意有OC ＝3，OE ＝4，∴CE ＝OC 2＋OE 2＝32＋42＝5， 当∠QPC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝PC CQ ＝OC CE， ∴3－t 2t ＝35，解得t ＝1511；当∠PQC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝CQ PC ＝OCCE ， ∴2t 3－t ＝35，解得t ＝913.∴当t ＝1511或t ＝913时，△PCQ 为直角三角形． 3．解：(1)先求出A 点的坐标为(2，3)，∴k ＝6.(2)易知点E 纵坐标为32，由点E 在反比例函数y ＝6x 的图象上，求出点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，32，结合A 点坐标为(2，3)，求出直线AE 对应的函数解析式为y ＝－34x ＋92. (3)结论：AN ＝ME.理由：在解析式y ＝－34x ＋92中，令y ＝0可得x ＝6，令x＝0可得y ＝92.∴点M(6，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92.(第3题)方法一：如图，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF＝2，OF＝3，∴NF＝ON－OF＝32.根据勾股定理可得AN＝52.∵CM＝6－4＝2，EC＝3 2，∴根据勾股定理可得EM＝5 2，∴AN＝ME.方法二：如图，连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF＝2，∵S△EOM ＝12OM²EC＝12³6³32＝92，S△AON＝12ON²AF＝12³92³2＝92，∴S△EOM＝S△AON.∵AN和ME边上的高相等，∴AN＝ME.4．解：(1)∵a，b是关于x的方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，∴a ＋b＝c＋4，ab＝4c＋8.∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(c＋4)2－2(4c＋8)＝c2.∴△ABC为直角三角形．又∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝(c＋4)2－4(4c＋8)＝c2－8c－16，∴不能确定(a－b)2的值是否为0，∴不能确定a是否等于b，∴△ABC的形状为直角三角形．(2)∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴sin A＝a c .将其代入9c＝25a sin A，得9c＝25a²ac，9c2＝25a2，3c＝5a.∴c＝53a.∴b＝c2－a2＝⎝⎛⎭⎪⎫53a2－a2＝43a.将b＝43a，c＝53a代入a＋b＝c＋4，解得a＝6.∴b＝43³6＝8，c＝53³6＝10，即△ABC的三边长分别是6，8，10.5．解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴(－10cosα)2－20(－7cosα＋6)＝0，解得cosα＝－2(舍去)或cosα＝35 .设在一内角为α的直角三角形中，α的邻边长为3k(k＞0)，∴斜边长为5k，则α的对边长为（5k）2－（3k）2＝4k，∴sinα＝4 5，则菱形一边上的高为10sinα＝8 cm，∴S菱形＝10³8＝80 cm2.6．(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，∠DAE＝∠CAD＋∠CAE，且∠B＝∠CAE，∴∠ADE＝∠DAE，∴ED＝EA.∵ED为⊙O的直径，∴∠DFE＝90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点．(2)解：如图，连接DM，则DM⊥AE.设EF＝4k，DF＝3k，则ED＝EF2＋DF2＝5k.∵12AD²EF＝12AE²DM，∴DM＝AD²EFAE＝6k²4k5k＝245k，∴ME＝DE2－DM2＝75k，∴cos∠AED＝MEDE＝725.(3)解：∵∠CAE＝∠B，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AE BE＝CE AE，∴AE2＝CE²BE，∴(5k)2＝52k²(10＋5k)．∵k＞0，∴k＝2，∴CD＝52k＝5.(第6题)(第7题)7．(1)证明：如图，连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵OB＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠ADC＝∠ABD.(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°，∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD，∴AMAD＝ADAB，∴AD2＝AM²AB.(3)解：∵sin∠ABD＝35，∴sin∠1＝35，∵AM＝185，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝AB2－AD2＝8，∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°，∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°，∴∠DBN＝∠1，∴sin∠NBD＝35，∴DN＝245，∴BN＝BD2－DN2＝32 5.8．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCG＝90°，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.∵∠DEF＝∠CEG，∴△EDF≌△ECG，∴EF＝EG.又∵BE⊥FG，∴BE是FG的中垂线，∴BF＝BG.(2)解：∵BF＝BG，∴∠BFG＝∠G，∴tan∠BFG＝tan G＝3，设CG＝x，则CE＝3x，∴S△CGE ＝32x2＝63，解得x＝23(负值舍去)，∴CG＝23，CE＝6，又易通过三角形相似得出EC2＝BC²CG，∴BC＝63，∴AD＝6 3.专训61．思路导引：求∠BCD的三个三角函数值，关键要弄清它们的定义．由于∠BCD是Rt△BCD中的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD或CD，二是把∠BCD转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边均可得出，利用三角函数的定义即可求出答案．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°.∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝10，∴sin∠BCD＝sin A＝BCAB＝45，cos∠BCD＝cos A＝ACAB＝35，tan∠BCD＝tan A＝BCAC＝43.2．思路导引：由sin B＝DEDB＝ACAB＝35，可设DE＝CD＝3k，则DB＝5k，求得BC＝8k，AC＝6k，AB＝10k.再由AC＋CD＝9，可列出以k为未知数的方程，进而求出各边的长．在Rt△BDE中，由勾股定理求BE的长，过C作CF⊥AB于点F，再用勾股定理求出CE的长．解：∵sin B＝35，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴sin B＝DEDB＝ACAB＝35.设DE＝CD＝3k，则DB＝5k，∴CB＝8k，AC＝6k，AB＝10k.∵AC＋CD＝9，∴6k＋3k＝9，∴k＝1，∴DE＝3，DB＝5，∴BE＝52－32＝4.过点C作CF⊥AB于点F，如图，则CF∥DE，∴DECF＝BEBF＝BDBC＝58，求得CF＝245，BF＝325，∴EF＝12 5.在Rt△CEF中，CE＝CF2＋EF2＝1255.(第2题)点拨：方程思想是一种重要的思想方法，运用方程思想可以建立已知量和待求量之间的关系式，平时学习时，应该不断积累用方程思想解题的方法．3．解：(1)原式＝33³32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫222³1＝12＋34－12＝34.(2)原式＝14³12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－3³⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋112－1＝14＋4－3³34＋2－1＝3.4．解：设CE ＝y ，(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝4，BC ＝AD ＝5，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°.∵BP ＝a ，CE ＝y ，∴PC ＝5－a ，DE ＝4－y ，∵AP ⊥PE ，∴∠APE ＝90°，∴∠APB ＋∠CPE ＝90°，∵∠APB ＋∠BAP ＝90°，∴∠CPE ＝∠BAP ，∴△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝AB PC， ∴y ＝－a 2＋5a 4，即CE ＝－a 2＋5a 4.(2)四边形APFD 是菱形，理由如下：当a ＝3时，y ＝－32＋5³34＝32，即CE＝32，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BF ，∴△AED ∽△FEC ，∴AD CF ＝DECE，∴CF ＝3， 易求PC ＝2，∴PF ＝PC ＋CF ＝5.∴PF ＝AD ，∴四边形APFD 是平行四边形，在Rt △APB 中，AB ＝4，BP ＝3，∠B ＝90°，∴AP ＝5＝PF ，∴四边形APFD 是菱形．(3)根据tan ∠PAE ＝12可得APPE ＝2，易得△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝AB PC ＝AP PE ＝2，得a y ＝45－a ＝2或a y ＝4a －5＝2，解得a ＝3，y ＝1.5或a ＝7，y ＝3.5.∴a ＝3或7.5．解：(1)相等．理由如下：由已知条件易知，∠QPB ＝90°－24.5°＝65.5°，∠PQB ＝90°－41°＝49°，∴∠PBQ ＝180°－65.5°－49°＝65.5°. ∴∠PBQ ＝∠BPQ.∴BQ ＝PQ.(2)由(1)，得BQ ＝PQ ＝1 200 m .由已知条件易知∠AQP ＝90°－49°＝41°. 在Rt △APQ 中，AQ ＝PQ cos ∠AQP ≈1 2000.75＝1 600(m )．又∵∠AQB ＝∠AQP ＋∠PQB ＝90°， ∴在Rt △AQB 中，AB ＝AQ 2＋BQ 2≈ 1 6002＋1 2002＝2 000(m )．∴A ，B 间的距离约是2 000 m .点拨：证明线段相等常利用全等三角形的对应边相等或等角对等边；计算线段的长度常利用锐角三角函数或勾股定理．6．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.(第6题)设铁塔高AE ＝x m ，由题意得EF ＝BE －CD ＝56－27＝29(m )， AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m .在Rt △AFC 中，∠ACF ＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ， 则CF ＝AF tan 36°52′≈x ＋290.75＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋1163(m )，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝(x ＋56)m ，则BD ＝AB ＝(x ＋56)m ， ∵CF ＝BD ，∴x ＋56≈43x ＋1163，解得x ≈52.答：该铁塔的高AE 约为52 m .7．解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D. 在Rt △ACD 中，∵AC ＝23，∠A ＝30°，∴CD ＝12AC ＝3，AD ＝AC ²cos 30°＝23³32＝3.在Rt △BCD 中，CD DB ＝tan B ＝32，∴DB ＝2CD 3＝233＝2，∴AB ＝AD ＋DB ＝3＋2＝5.(第7题)方法总结：在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非特殊角的某个三角函数、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，引辅助线的技巧是解此类题的关键．8．解法1：如图①所示，过点B 作BE ∥AD 交DC 于点E ，过点E 作EF ∥AB 交AD 于点F ，则BE ⊥AB ，EF ⊥AD.∴四边形ABEF 是矩形．∴EF ＝AB ，AF ＝BE.∵∠ABC ＝120°，∴∠CBE ＝120°－90°＝30°，∠D ＝180°－120°＝60°.在Rt △BCE 中，BE ＝BC cos ∠CBE ＝503cos 30°＝50332＝100，EC ＝BC²tan ∠CBE ＝503³tan 30°＝503³33＝50. 在Rt △DEF 中， DF ＝EF tan D ＝AB tan 60°＝3033＝30. ∴AD ＝AF ＋DF ＝BE ＋DF ＝100＋30＝130. ∴S四边形ABCD ＝S梯形ABED ＋S △BCE＝12(AD ＋BE)²AB＋12BC²EC＝12³(130＋100)³303＋12³503³50＝4 700 3.(第8题)解法2：如图②所示，延长DA ，CB 交于点E ，则∠ABE ＝180°－∠ABC ＝60°，∠E ＝90°－∠ABE ＝30°. 在Rt △ABE 中，AE ＝AB²tan 60°＝303³3＝90，BE＝ABcos60°＝30312＝60 3.∴CE＝BE＋BC＝603＋503＝110 3.在Rt△DCE中，DC＝CE²tan30°＝1103³33＝110.∴S四边形ABCD ＝S△DCE－S△ABE＝12DC²CE－12AB²AE＝12³110³1103－12³303³90＝4 700 3.。

人教版九年级数学下册 第 28章锐角三角函数综合测试卷及答案

人教版九年级数学下册 第 28章锐角三角函数综合测试卷及答案
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2020 年九年级 28 章锐角三角函数
学校：___________姓名：___________班级：___________
一、单选题（每题 3 分，共 36 分）
1. sin 60°= （ ）
A. 3 B. 3 C. 2 D. 1
2
2
2
2.在 Rt△ABC 中， C = 90°, AB = 5, BC = 3 ，则 tan A 的值是( )
2.如果∠BED=60°, PD = 3 ,求 PA 的长.
3.将线段 PD 以直线 AD 为对称轴作对称线段 DF,点 F 正好在圆 O 上,如图 2,求证:四边形 DFBE 为菱形.
6 / 16
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1.答案：B
参考答案
解析： sin 60°= 3 . 2
12.轨道环线通车给广大市民带来了很大便利，图是渝鲁站出口的横截面平面图，扶梯 AB 的坡度
i = 1: 2.4 ，在距扶梯起点 A 端 6 米的 P 处，用 1.5 米的测角仪测得扶梯终端 B 处的仰角为 14°，扶梯
终端 B 距顶部 2.4 米，则扶梯的起点 A 与顶部的距离是(参考数据: sin14 0.24 ， cos14 0.97 ，
是
.
15.把一张矩形的纸片按如图所示的方式对折两次,然后剪下一个角,为了能得到一个正方形,剪口与折 痕所成的角 α 的余弦值为_______.
3 / 16
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16.在 △ ABC
中，A，B
都是锐角，且
sin
A
=
1 2

九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全(含答案) (160)

九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全(含答案) (160)

九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全（含答案）把三根长为3cm 、4cm 和5cm 的细木棒首尾相连，能搭成一个直角三角形.(1)如果把这三根细木棒的长度分别扩大为原来的a 倍（a>1），那么所得的三根细木棒能不能搭成一个直角三角形， 为什么？(2)如果把这三根细木棒的长度分别延长x cm （x>0），那么所得的三根细木棒还能搭成一个三角形吗？为什么？如果能，请判断这个三角形的形状（锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形），并说明理由.【答案】（1）能搭成直角三角形；理由见解析；（2）能搭成一个三角形，且为锐角三角形. 理由见解析.【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，即可得到结论；（2）根据三角形的三边关系，即可判断等搭成一个三角形，由三角形两短边的平方和大于最长边的平方，可判断是锐角三角形，即可得到结论.【详解】解：（1）把这三根细木棒的长度分别扩大为原来的a 倍（a>1），∴22222(3)(4)91625a a a a a +=+=，22(5)25a a =，∴222(3)(4)(5)a a a +=，∴边长扩大为原来的a 倍，仍能搭成一个直角三角形；（2）把这三根细木棒的长度分别延长x cm ，∴（3+x ）+（4+x ）=7+2x ，∴x>0，∴7+2x>5+x ，∴（3+x ）+（4+x ）>5+x ；∴以（3+x ）、（4+x ）、（5+x ）为边，能搭成一个三角形；∴222(3)(4)21425x x x x +++=++，22(5)1025x x x +=++，又∴0x >，∴222(21425)(1025)40x x x x x x ++-++=+>，∴222(3)(4)(5)x x x +++>+，∴这个三角形为锐角三角形.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的三边关系，解题的关键是熟练利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形.97．如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离（BD ）是200m ，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB ）为1.6m ，小莉的眼睛离地面的距离（CD ）为1.2m ，那么气球的高度（PQ ）是多少m ？（用含α、β的式子表示）【答案】气球的高度是200tan tan 1.2tan 1.6tan tan tan αβαβαβ+++m ． 【解析】分析：过点A 作AE ∴PQ 于点E ，过点C 作CF ∴PQ 于点F ，设PQ=xm ，用x 表示出PE 、PF ，根据正切的概念表示出AE 、CF ，根据题意列式计算即可．详解：过点A 作AE ∴PQ 于点E ，过点C 作CF ∴PQ 于点F ，设PQ=xm ，则PE=（x-1.6）m ，PF=（x-1.2）m ．在∴PEA 中，∴PEA=90°．则tan ∴PAE=PE AE ． ∴AE= 1.6x tan α-． 在∴PCF 中，∴PFC=90°．则tan ∴PCF=PF CF ． ∴CF= 1.2x tan β-． ∴AE+CF=BD ． ∴ 1.6 1.2200x x tan tan αβ--+=． 解，得x=200tan tan 1.2tan 1.6tan tan tan αβαβαβ+++． 答：气球的高度是200tan tan 1.2tan 1.6tan tan tan αβαβαβ+++ m ． 点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．98．（本题满分11分）如图，⊙E 的圆心E （3，0），半径为5，⊙E 与y 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），与x 轴的正半轴相交于点C ；直线l的解析式为y＝x＋4，与x轴相交于点D；以C为顶点的抛物线经过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．【答案】（1）y＝－x 2＋x－4（2）直线l与∴E相切于点A（3）当抛物线上的动点P的坐标为（2，－）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为．【解析】试题分析：（1）连接AE，根据圆的半径可得AE＝CE＝5，由E点的坐标得OE＝3，然后根据勾股定理可求得OA的长，再根据垂径定理得OB=OA，因此可求A、B、C的坐标，由于C为抛物线的顶点，可设其解析式为y＝a(x－8)2，代入B点坐标可求解析式；（2）根据直线的解析式y＝x＋4可求D坐标，可验证A在直线上，且在Rt∴AOE和Rt∴DOA中，==，可证得∴AOE∴∴DOA，最终证得∴DAO ＋∴EAO＝90°，得到直线l与∴E相切于点A；（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q；过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．然后设出点M（m，m＋4），P（m，－m 2＋m －4）．求得PM的长，PM=（m－2）2＋，当m=2时，PM的最小值为，这时P点的坐标为P（2，－）．对于∴PQM，在动点P运动的过程中，∴PQM 的三边的比例关系不变，因此当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，即PQ最小=PM最小·sin∴QMP=PM最小·sin∴AEO，代入相应的知可求得结果．试题解析：（1）解：连接AE．由已知得：AE＝CE＝5，OE＝3，在Rt∴AOE中，由勾股定理得，OA＝＝＝4．∴OC∴AB，∴由垂径定理得，OB＝OA＝4．OC＝OE＋CE＝3＋5＝8．∴A（0，4），B（0，－4），C（8，0）．∴抛物线的顶点为点C，∴设抛物线的解析式为y＝a（x－8）2．将点B的坐标代入上解析式，得64 a＝－4．故a＝－．∴y＝－（x－8）2．∴y＝－x 2＋x－4 为所求抛物线的解析式．（2）在直线l的解析式y＝x＋4中，令y＝0，得x＋4＝0，解得x＝－，∴点D的坐标为（－，0）；当x＝0时，y＝4，所以点A在直线l上．在Rt∴AOE和Rt∴DOA中，∴＝，＝，∴＝．∴∴AOE＝∴DOA＝90°，∴∴AOE∴∴DOA．∴∴AEO＝∴DAO．∴∴AEO＋∴EAO＝90°，∴∴DAO＋∴EAO＝90°．即∴DAE＝90°．因此，直线l与∴E相切于点A．（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q；过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．设M（m，m＋4），P（m，－m 2＋m－4）．则PM＝m＋4－（－m 2＋m－4）＝m 2－m＋8＝（m－2）2＋．当m＝2时，PM取得最小值．此时，P（2，－）．对于∴PQM，∴ PM∴x轴，∴∴QMP＝∴DAO＝∴AEO．又∴∴PQM＝90°，∴∴PQM的三个内角固定不变．∴在动点P运动的过程中，∴PQM的三边的比例关系不变．∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值．PQ最小＝PM最小·sin∴QMP＝PM最小·sin∴AEO＝×＝．所以，当抛物线上的动点P的坐标为（2，－）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为．考点：二次函数与一次函数的综合题99．如图，已知⊙1=⊙2，⊙AED=⊙C，求证：⊙ABC⊙⊙ADE【答案】证明见解析．【解析】试题分析：已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出∴DAE=∴BAC，即可得出结论．试题解析：∴∴1=∴2，∴∴1+∴BAE=∴2+∴BAE，即∴DAE=∴BAC，∴∴AED=∴C，∴∴ABC∴∴ADE．考点：相似三角形的判定．100．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是AE 的中点，OM交AC于点D，BOE=60°，⊙C=60°．（1）求⊙A的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求MD的长度．【答案】（1）30°（2）证明见解析；（3）32【解析】试题分析：（1）根据三角外角的性质即可得出∴A的度数．（2）要证BC是∴O的切线，只要证明AB∴BC即可．（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD的长度．试题解析：（1）∴∴BOE=60°，∴∴A=12∴BOE=30°．（2）在∴ABC中，∴∴C=60°，∴A=30°∴∴ABC=90°，∴AB∴BC．又∴OB为∴O的半径∴BC是∴O的切线．（3）∴点M是AE的中点∴OM∴AE．在Rt∴ABC中，∴BC，∴A=30°∴AC∴AB=6∴OA=2AB=3，∴OD=12OA=32，即MD=32。

【初三数学】武汉市九年级数学下(人教版)第二十八章 《锐角三角函数》单元综合练习卷及答案

【初三数学】武汉市九年级数学下(人教版)第二十八章 《锐角三角函数》单元综合练习卷及答案

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元检测试卷（有答案）一、单选题（共10题；共30分）1.在中，∠°，若cosB= ，则sinA的值为( )A. B. C. D.2.在中，∠°, ∠°，AB=5，则BC的长为( )A. 5tan40°B. 5cos40°C. 5sin40°D.°3.sin60°的值等于（）A. B. C. D.4.已知在R t △ABC中，∠C = 90°，∠A =，AB = 2，那么BC的长等于A. B. C. D.5.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则cos∠APB的值是（）A. 45°B. 1C.D. 无法确定6.在Rt△ABC中，如果∠C=90°，AB=10，BC=8，那么cosB的值是（）A. B. C. D.7.sin30°+tan45°﹣cos60°的值等于（）A. B. 0 C. 1 D. -8.如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若sin∠AOC= ，OA=5，则点B的坐标为（）A. （4，3）B. （3，4）C. （9，3）D. （8，4）9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A. B. C. D.10.如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A. 18cm2B. 12cm2C. 9cm2D. 3cm2二、填空题（共10题；共30分）11.在△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB=________．12.如图，在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，，则AC=________.13.计算：2cos60°﹣tan45°=________．14.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列式子：①a=c•sinB，②a=c•cosB，③a=c•tanB，④a= ，必定成立的是________．15.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为________．16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，CD是AB上的高，则tan∠BCD的值是________．17.如图，正方形ABCD的边长为12，点O为对角线AC、BD的交点，点E在CD上，tan∠CBE= ，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，将△OCF绕着点O逆时针旋转90°得到△ODG，连接FG、FD，则△DFG的面积是________．18.如图，在8×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点都在图中相应的格点上，则tan∠ACB=________ .19.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC= ，点D是AC上一点，且BC=BD=2，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，并使点E在射线BD上，连接AF交射线BD于点G，则AG 的长为________．20.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2．则cos∠MCN=________．三、解答题（共8题；共60分）21.如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．22.如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)23.中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）24.我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．已知教学楼高BM=17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．25.如图,某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B,一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行,飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°,然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处,在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°,求两海岛间的距离AB.26.放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A 处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线AD，BD均为线段，≈1.414，≈1.732，最后结果精确到1米）．27.目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：=1.41，=1.73）28.如图，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速行驶向港口P，乙船从港口P出发，沿南偏东45°方向匀速行驶驶离岗口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向，求乙船的航行速度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）答案解析部分一、单选题1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】C二、填空题11.【答案】12.【答案】513.【答案】014.【答案】②15.【答案】16.【答案】17.【答案】18.【答案】19.【答案】20.【答案】三、解答题21.【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，∵S△ABC=27，∴，∴AH=6，∵AB=10，∴BH= = =8，∴tanB= = = ．22.【答案】解：设AC的长为x，那么BC的长就为2x．x2+（2x）2=AB2，x2+（2x）2=（4）2，x=4．答：河床面的宽减少了4米．23.【答案】解：过A作AD⊥CF于D，由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD= ，则AD=AC•sin∠ACD=250 ≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．24.【答案】解：过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，设AB=x米，则AN=x+（17﹣1）=x+16（米），在Rt△AEN中，∠AEN=45°，∴EN=AN=x+16，在Rt△BCN中，∠BCN=37°，BM=17，∴tan∠BCN= =0.75，∴= ，解得：x=1 ≈1.3．经检验：x=1 是原分式方程的解25.【答案】.解:过点A 作AE ⊥CD 于点E,过点B 作BF ⊥CD,交CD 的延长线于点F,则四边形ABFE 为矩形,所以AB=EF,AE=BF, 由题意可知AE=BF=1 100-200=900(米人教版九年级数学下册单元测试卷：第28章 锐角三角函数 含答案一、填空题(每小题3分，共48分)1．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，则cos A 的值为________． 2．一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船行驶的速度为____________海里/时． 3．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，过点C 作CD 1⊥AB 于D 1，过点D 1作D 1D 2⊥BC 于D 2，过点D 2作D 2D 3⊥AB 于D 3，则D 2D 3＝________，这样继续作下去，线段D n D n ＋1＝____________．4. 如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A ，小明在岸边点B 处测得点A 在点B 的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m 后到达点C ，测得点A 在点C 的北偏西60°方向上，则点A 到河岸BC 的距离为________米．二、选择题(每小题3分，共48分)5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( )A ．csinA ＝aB ．bcosB ＝cC ．atanA ＝bD ．ctanB ＝b 6．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则tan B 的值为( )A.43B.45C.54D.347．如图，，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道(点A ，B 在同一水平面上)．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升机从A 地出发，垂直上升800米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则A ，B 两地之间的距离为( )A ．800sin α米B ．800tan α米 C. 800sin α米 D. 800cos α米第7题图 第12题图8．如果把一个锐角△ABC 的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值( ) A ．扩大为原来的3倍 B ．缩小为原来的13 C ．没有变化 D ．不能确定9．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，则cos A2的值是( )A.35B.45C.34 D .5410．已知0°＜α＜90°，且2sin(α－10°)＝3，则α等于( ) A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°11．如图，在湖边高出水面50 m 的山顶A 处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P 处的仰角为45°，又观察到其在湖中的像P ′的俯角为60°，则飞艇距离湖面的高度为( )A ．(25 ＋75)mB ．(50 ＋50)mC ．(75 ＋75)mD ．(50 ＋100)m 12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC的值为( )A.35B.34C.105D ．1 13．如图，在△ABC 中，cosB ＝，sinC ＝，AC ＝5，则△ABC 的面积是( ) A. 13 B ．12 C ．14 D ．21 14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝12，tan B ＝33.以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则△ACD 的周长为( ) A ．12 B ．12 3 C ．6＋6 3 D ．6＋9 3 15．在△ABC 中，若tan A ＝1，sin B ＝，你认为最确切的判断是( )A ． △ABC 是等腰三角形B ． △ABC 是等腰直角三角形 C ． △ABC 是直角三角形D ． △ABC 是一般锐角三角形16．如图，小明为测量一条河流的宽度，他在河岸边相距80 m 的P 和Q 两点分别测定对岸一棵树R 的位置，R 在Q 的正南方向，在P 东偏南36°的方向，则河宽( ) A ． 80tan 36° B ． 80tan 54° C ．D ． 80tan 54°17.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论：①sin A ＝；②cos B ＝0.5；③tan A＝；④tan B ＝，其中正确的有( )A ． ①②③B ． ①②④C ． ①③④D ． ②③④ 18．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且cos A ＝，sin B ＝0.5，则△ABC 是( )A ． 直角三角形B ． 钝角三角形C ． 锐角三角形D ． 不能确定19．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，如果AB ＝5，BC ＝8，sin B ＝45，那么tan ∠CDE的值为( )A.12B.33C.22D.2－1 20．如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B .若反比例函数y ＝k x 的图象恰好经过斜边A ′B的中点C ，S △ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，则k 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8三、解答题(本大题有7个小题，共68分．) 21．(8分)计算：(1)3tan30°＋cos 245°－2sin60°； (2)sin60°－1tan60°－2tan45°－3cos30°＋2sin45°.22．(9分)根据下列条件解直角三角形：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°； (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝36，b ＝9 2.23．(9分)某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A ，B 两处均探测出建筑物下方C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB ＝4米，求该生命迹象所在位置C 的深度(结果精确到0.1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，3≈1.7)．24．(9分)已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0. (1)试判断△ABC 的形状；(2)求(1＋sin A )2－2cos B －(3＋tan C )0的值．25．(10分)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E .(1)求线段CD的长；(2)求cos∠ABE的值．26．(11分)如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK ＝80°)，身体前倾成125°，脚与洗漱台距离GC＝15cm(点D，C，G，K在同一直线上)．(1)此时小强头部E点与地面DK相距多少？(2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，2≈1.41，结果精确到0.1cm)?27．(12分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)；(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?参考答案1.352.40＋40333.338 ⎝⎛⎭⎫32n ＋1 解析：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，则CD 1＝32；进而在△CD 1D 2中，有D 1D 2＝32CD 1＝⎝⎛⎭⎫322，同理可得D 2D 3＝⎝⎛⎭⎫323＝338，…，则线段D n D n ＋1＝⎝⎛⎭⎫32n ＋1. 4．205．A 6.A 7. D 8.C 9.B 10.C 11.D 12.B 13． A 14.C 15.B 16.A 17.D 18.A19．A 解析：在△ABE 中，AE ⊥BC ，AB ＝5，sin B ＝45，∴AE ＝4，∴BE ＝AB 2－AE 2＝3，∴EC ＝BC －BE ＝8－3＝5.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝5，∴△CED 为等腰三角形，∴∠CDE ＝∠CED .∵AD ∥BC ，∴∠EAD ＝∠AEB ＝90°，∠ADE ＝∠CED ，∴∠CDE ＝∠ADE .在Rt △ADE 中，∵AE ＝4，AD ＝BC ＝8，∴tan ∠CDE ＝tan ∠ADE ＝48＝12.20．C 解析：设点C 的坐标为(x ，y )，作CD ⊥BO ′交边BO ′于点D .∵tan ∠BAO ＝2，∴BO AO ＝2.∵S △ABO ＝12·AO ·BO ＝4，∴AO ＝2，BO ＝4.由旋转得A ′O ′＝AO ＝2，BO ′＝BO ＝4.∵点C 为斜边A ′B 的中点，CD ⊥BO ′，∴CD ＝12A ′O ′＝1，BD ＝12BO ′＝2，∴y ＝BO －CD ＝4－1＝3，x ＝BD ＝2，∴k ＝xy ＝2×3＝6.21.解：(1)原式＝3×33＋⎝⎛⎭⎫222－2×32＝12.(4分)(2)原式＝32－13－2×1－3×32＋2×22＝0.(8分)22．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3.(4分)(2)∠A ＝30°，∠B ＝60°，c ＝6 6.(9分)23．解：如图，作CD ⊥AB 交AB 的延长线于D .(1分)设CD ＝x 米．在Rt △ADC 中，∠DAC ＝25°，∴tan25°＝CD AD ，∴AD ＝CD tan25°≈x0.5＝2x 米．(4分)在Rt △BDC 中，∠DBC ＝60°，由tan60°＝x 2x －4＝3，解得x ＝4323－1≈2.8.(8分)答：生命迹象所在位置C 的深度约为2.8米．(9分)24．解：(1)∵(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32 人教版九年级数学下册同步练习：第二十八章质量评估试卷一、选择题(每小题3分，共30分) 1．tan45°的值为( B ) A.12B ．1 C.22 D. 22．[2017·兰州]如图1，一个斜坡长130 m ，坡顶离水平地面的距离为50 m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( C ) A.513 B.1213 C.512 D.1312【解析】 在直角三角形中，根据勾股定理可知水平的直角边长度为120 m ，正切值为对边比邻边，故斜坡与水平地面夹角的正切值等于50120＝512.故选C.图1 图23．[2018·益阳]如图2，小刚从山脚A 出发，沿坡角为α的山坡向上走了300 m 到达B 点，则小刚上升了( A ) A ．300sin α mB ．300cos α mC ．300tan α m D.300tan α m【解析】 ∵sin α＝BCAB ，∴BC ＝AB sin α＝300sin α(m)，故选A.4．如图3，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 m ，坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( D ) A ．26 m B ．28 m C ．30 mD ．46 m图3【解析】 ∵坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5， ∴AE ＝1.5BE ＝18(m)． 又∵BC ＝10 m ，∴AD ＝2AE ＋BC ＝2×18＋10＝46(m)．故选D.5．关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( B ) A ．15° B ．30° C ．45°D ．60°【解析】 根据题意，得Δ＝b 2－4ac ＝2－4sin α＝0，解得sin α＝12，∴α＝30°.故选B.6．如图4，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′长3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( C ) A ．60° B ．45° C ．15°D ．30°【解析】 ∵在Rt △ABC 中，sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ＝45°.∵在Rt △AB ′C ′中，sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32， ∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠C ′AC ＝60°－45°＝15°.故选C.图4 图57．如图5，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( B )A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(23－2)mD ．(26－2)m【解析】 ∵在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝ADAB ， ∴AD ＝4sin60°＝23(m)，∵在Rt △ACD 中，sin ∠ACD ＝AD AC ， ∴AC ＝23sin45°＝26(m)．故选B.8．如图6，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为( C ) A.13B ．2 2C.24D.223图6 第8题答图【解析】 如答图，作直径CD ， ∵在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2，∴OD ＝CD 2－OC 2＝42，tan ∠CDO ＝OC OD ＝24， 由圆周角定理，得∠OBC ＝∠CDO ， 则tan ∠OBC ＝24.故选C.9．[2018·凉山州]如图7，无人机在A 处测得正前方河流两岸B ，C 的俯角分别为α＝70°，β＝40°，此时无人机的高度是h ，则河流的宽度BC 为( A ) A ．h (tan50°－tan20°) B ．h (tan50°＋tan20°) C ．h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan70°－1tan40° D ．h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan70°＋1tan40°图7 第9题答图【解析】如答图，过A作AD⊥BC交CB延长线于点D，则Rt△ACD中，∠CAD＝50°，AD＝h，∴CD＝AD tan50°＝h tan50°.又∵Rt△ABD中，∠BAD＝20°，可得BD＝AD·tan20°＝h tan20°，∴CB＝CD－BD＝h tan50°－h tan20°＝h(tan50°－tan20°)．故选A.10．[2018春·沙坪坝区校级月考改编]如图8，某地有一处岩画，其高度从石岩F 处开始一直竖直到山顶E处，为了测量岩画的高度，小明从山脚A处，沿坡度i ＝0.75的斜坡上行65 m到达C处，在C处测得山顶E处仰角为26.5°，再往正前方水平走15 m到达D处，在D处测得岩画底端F处的俯角为42°，岩画底端F处距离山脚B处的距离是12 m．A，B，C，D，E，F在同一平面内，A，B在同一水平线上，EB⊥AB，根据小明的测量数据，则岩画的高度EF为(精确到0.1 m，参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.9，tan26.5°≈0.5，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9)(A)A．49.5 m B．68.7 mC．69.7 m D．70.2 m图8 第10题答图【解析】如答图，作CN⊥AB于N，延长CD交BE于M.在Rt△ACN中，AC＝65 m，CN∶AN＝0.75，∴CN＝39 m，AN＝52 m，∵四边形CNBM是矩形，∴CN＝BM＝39 m，∵BF＝12 m，∴FM＝27 m，在Rt△DMF中，tan42°＝FMDM，∴DM＝30 m，在Rt△CEM中，∵CM＝CD＋DM＝45 m，∴EM＝CM·tan26.5°＝22.5 m，∴EF＝EM＋FM＝22.5＋27＝49.5 m，故选A.二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sin B的值为2．图9【解析】∵AB＝2BC，∴AC＝（2BC）2－BC2＝3BC，∴sin B＝ACAB＝3BC2BC＝32.12．[2018·德州]如图10，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是5．【解析】∵AC＝25，BC＝5，AB＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠BAC＝BCAB＝55.图10 图1113．[2017·黄石]如图11所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB 的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°；随后沿直线BC向前走了100 m后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为__137__m．(注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【解析】设AB＝x m，则BC＝x m．在Rt△ABD中，tan∠ADB＝ABBD＝xx＋100＝33，解得x≈137.14．[2017·天门]为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图12，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12 m，背水坡面CD＝12 3 m，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝3133，则CE的长为__8__m.图12 第14题答图【解析】分别过A，D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G，如答图所示．∵在Rt△ABF中，AB＝12 m，∠B＝60°，∴sin B＝AFAB，∴AF＝12×32＝6 3，∴DG＝6 3.∵在Rt△DGC中，CD＝12 3，DG＝6 3 m，∴GC ＝CD 2－DG 2＝18.∵在Rt △DEG 中，tan E ＝3133，∴63GE ＝3133，解得GE ＝26，∴CE ＝GE －CG ＝26－18＝8，即CE 的长为8 m.15．如图13，AB 是⊙O 的直径，AB ＝15，AC ＝9，则tan ∠ADC ＝__34__．图1316．[2018·苏州]如图14，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝25，BC ＝ 5.将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB ′C ′，连接B ′C ，则sin ∠ACB ′＝__45__．图14 第16题答图【解析】 如答图，过点B ′作B ′D ⊥AC 于D ，由旋转可知：∠B ′AB ＝90°，AB ′＝AB ＝25，∴∠AB ′D ＋∠B ′AD ＝∠B ′AD ＋∠CAB ＝90°，∴∠AB ′D ＝∠CAB ，∵AB ＝25，BC ＝5，∴AC ＝5，∴AD ＝AB ′sin ∠AB ′D ＝AB ′sin ∠CAB ＝25×55＝2，∴CD ＝5－2＝3，∴B ′D ＝（25）2－22＝4，∴B ′C ＝5，∴sin ∠ACB ′＝B ′D B ′C ＝45.三、解答题(共66分)17．(8分)计算：(1)人教版九年级数学下册同步练习：第二十八章 本章复习课_人教版初中数学九年级下册第28章锐角三角函数本章复习课类型之一 锐角三角函数的定义1. [2018·柳州]如图28－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，则sin B ＝( A )图28－1A.35B.45C.37D.34【解析】 由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5.根据正弦的定义，得sin B ＝AC AB ＝35.2．[2018·衢州]如图28－2，AB 是圆锥的母线，BC 为底面直径，已知BC ＝6 cm ，圆锥的侧面积为15π cm 2，则sin ∠ABC 的值为( C )图28－2A.34B.35C.45D.53【解析】∵BC＝6，∴圆锥侧面展开扇形的弧长，即底面圆的周长为6π，∵S扇形＝12×6πr＝15π，∴r＝5，即圆锥的母线长为5，∵AO⊥BC，BO＝12BC＝3，∴在Rt△ABO中，AO＝4，∴sin∠ABC＝AOAB＝45.3．[2018·娄底]如图28－3，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα－cosα＝(D)图28－3A.513B．－5 13C.713D．－713【解析】∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即AC2＋(7＋AC)2＝132，整理得AC2＋7AC－60＝0，解得AC＝5，AC＝－12(舍去)，∴BC＝AB2－AC2＝12，∴sinα＝ACAB＝513，cosα＝BCAB＝1213，∴sinα－cosα＝513－1213＝－713.类型之二特殊角的三角函数值4．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin A＝32，cos B＝12，则∠C＝__60°__．【解析】∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sin A＝32，cos B＝12，∴∠A＝∠B＝60°.∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－60°－60°＝60°.5．一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α—β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；sin(α—β)＝sin αcos β－cos αsin β.例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin15°的值是4．6．[2018·天水]4＋(－3)2＋2 0180×|1－3|＋tan45°－2sin60°.解：原式＝2＋9＋1×(3－1)＋1－2×32＝11＋3－1＋1－3＝11.类型之三 解直角三角形7．[2018·常州]某数学研究性学习小组制作了如图图28－4的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 转，从图中所示的图尺可读出sin ∠AOB 的值是( D )A.58B.78C.710D.45图28－4 第7题答图【解析】 如答图，连接AD ，由题意可知OA ＝0.8，OD ＝1，∵∠ODA ＋∠DOA ＝∠DOA ＋∠BOA ＝90°，∴∠ODA ＝∠AOB ，∵OD 是直径，∴∠DAO ＝90°，∴sin∠AOB＝OAOD＝0.81＝45，故选D.类型之四仰角、俯角问题8．[2017·邵阳]如图28－5，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A 点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30°.n s后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n s中上升的高度为图28－5【解析】先在Rt△ALR中，根据AR＝40 km，∠ARL＝30°，求出AL＝20和LR ＝203，再在Rt△BLR中，求出BL＝LR＝203，所以火箭在这n s中上升的高度AB＝BL－AL＝(203－20)km.9．[2018·安徽]为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置了平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图28－6所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)．在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8 m，问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数，参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)图28－6第9题答图解：如答图，过点F作AB的垂线交AB于点H，交AE于点G，则FH∥DB，∴∠1＝45°，∠2＝∠3＝45°，∴∠FEG＝90°，在Rt△FDE中，sin∠1＝FDFE＝22，∴FE＝2FD，在Rt△FEG中，cos∠GFE＝FEFG＝22，∴FG＝2FE，∴FG＝2FD＝3.6(m)，设AH＝x m，则GH＝x m，FH＝(3.6＋x)m，在Rt△AFH中，tan∠AFH＝AHFH＝xx＋3.6≈0.82，解得x≈16.4，∴AB＝AH＋BH＝AH＋FD≈18(m)．答：旗杆AB的高度约为18 m.类型之五方位角问题10．[2018·十堰] 如图28－7，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果取整数)图28－7 第10题答图解：如答图，作CD⊥AB于D.在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，∠ACD＝90°－45°＝45°，∴CD＝AC·cos45°＝100×22＝502，在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∠CBD＝30°，∴BC＝2CD＝100 2 海里≈141海里．答：B处距离灯塔C有141海里．11．[2018·淮安]为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200 m，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图28－8所示，求凉亭P到公路l的距离．(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图28－8第11题答图解：如答图，过P作PC⊥AB于C，在Rt△ACP中，tan∠APC＝tan60°＝AC PC，即AC＝PC tan60°＝3PC，同理可得，BC＝PC，∵AB＝AC－BC＝3PC－PC＝200，∴PC＝1003＋100≈273.答：凉亭P到公路l的距离约为273 m.类型之六坡度问题12．[2018·重庆A卷]如图28－9，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底面E处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7 m，升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75，坡长CD＝2 m，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1 m，则旗杆AB的高度为(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6)(B)A．12.九年级数学下册第28章锐角三角函数单元检测卷时间120分钟分数120分一、选择题（每小题3分计30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值( D )A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的1 5C．扩大为原来的10倍 D．不变2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是( A )A.34B.43C.35D.453.计算2cos60°的结果为( A )A ．1 B. 3 C. 2 D.124.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sinA ＝35，则斜边上的高等于(B ) A.6425 B.4825 C.165 D.1255．如图K －17－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为( A )图K －17－3A ．4B ．2 5 C.181313 D.1213136.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( A )A ．csinA ＝aB ．bcosB ＝cC ．atanA ＝bD ．ctanB ＝b7.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC 的长约为3.5米，∠BCA 约为29°，则该楼梯的高度AB 可表示为( B )A ．3.5sin29°B ．3.5cos29°C ．3.5tan29°D ． 3.5cos29°8.如图K －22－4，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( A )图K－22－4A．20(3＋1)米/秒 B．20(3－1)米/秒C．200米/秒 D．300米/秒9.如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( B )A．29.1米 B．31.9米 C.45.9米 D．95.9米10.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－20－3，旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( A )图K－20－3A.11－sinα米 B.11＋sinα米C.11－cosα米 D.11＋cosα米二、填空题（每小题3分计18分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则sinB＝________．[答案] 3 412．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是________．[答案] 3 713.若cosα是关于x的一元二次方程2x2－3 3x＋3＝0的一个根，则锐角α＝________．[答案] 30°14．如图K－21－5，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10 m的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE ＝1.5 m，则这棵树的高度为________m．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)图K－21－5[答案] 15.315.一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为________海里(结果保留根号)．[答案]43－416.如图K－22－7，小华站在河岸上的点G处看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离DG＝1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为__________米(结果保留根号).图K－22－7[答案] (8 3－5.5)三、解答题（17题10分；18题10分；19题12分；20题12分；21题14分；22题14分；计72分）17.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1 cm，BC＝2 cm，求sinA和sinB的值．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝12＋22＝5(cm)，∴sinA＝BCAB＝25＝2 55，sinB＝ACAB＝15＝55.即sinA＝255，sinB＝55.18.如图K－17－12，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3.(1)求sin∠BAC的值；(2)如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；(3)求tan∠ADC的值.图K－17－12解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AB＝5，BC＝3，∴sin∠BAC＝BCAB＝35.(2)∵OE⊥AC，O是⊙O的圆心，∴E是AC的中点，∴OE＝12BC＝32.(3)∵AC＝AB2－BC2＝4，∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝ACBC＝43.19.某太阳能热水器的横截面示意图如图K－18－4所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.(1)求支架CD的长；(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)图K－18－4解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80 cm，∴cos30°＝CD80＝32，解得CD＝40 3(cm)．即支架CD的长为40 3 cm.(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165 cm，∴tan30°＝OC165＝33，解得OC＝55 3(cm)，∴OA＝2OC＝110 3 cm，OB＝OD＝OC－CD＝55 3－40 3＝15 3(cm)，AB＝OA－OB＝110 3－15 3＝95 3(cm)．即真空热水管AB的长为95 3 cm.20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)b＝10，∠A＝60°；(2)a＝25，b＝2 15解： (1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.∵cosA＝bc，∴c＝bcosA＝10cos60°＝1012＝20，∴a＝c2－b2＝202－102＝10 3.(2)c＝a2＋b2＝（2 5）2＋（215）2＝4 5.∵tanA＝ab＝2 5215＝33，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.21. 甲、乙两艘轮船于上午8时同时从A地分别沿北偏东23°和北偏西67°的方向出发，如果甲轮船的速度为24海里/时，乙轮船的速度是32海里/时，那么下午1时两艘轮船相距多少海里？解：如图所示，设下午1时，甲轮船到达B，乙轮船到达C，根据题意知∠BAE ＝23°，∠CAE＝67°，所以∠BAC＝∠CAE＋∠BAE＝90°.又因为AB＝24×5＝120，AC＝32×5＝160，由勾股定理得BC2＝1202＋1602＝40000，所以BC＝200，答：下午1时两艘轮船相距200海里．。

【初三数学】福州市九年级数学下(人教版)第二十八章 《锐角三角函数》单元综合练习卷(含答案解析)

【初三数学】福州市九年级数学下(人教版)第二十八章 《锐角三角函数》单元综合练习卷(含答案解析)

人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试一、选择题1、sin30°＝( )A. B. C. D.2、cos45°的相反数是（）A．﹣ B． C．﹣ D．3、如右图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则的值等于A．B． C． D．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD 的值为（）A． B． C． D．5、如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A． B． C． D．6、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为A． 1 B．C．D．7、若一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为( )A.B.C.D.8、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．4米 B．6米 C．12米 D．24米9、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A．4 B．6 C．8 D．1010、一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1.2，太阳光线与地面的夹角∠ACD ＝60°，则AB的长为( )A．12 B．0.6 C.D.11、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．下列说法正确的是（）Ａ、ＡＢ的长为４００米；Ｂ、ＡＦ的长为１０米；Ｃ、填充的土石方为19200立方米；Ｄ、填充的土石方为384立方米12、一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2二、填空题13、计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．14、在△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=3，则cosB= ．15、如图，的正切值等于 .16、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=__________]m．17、等腰△ABC中AB=AC，AC的垂直平分线DE与直线AB相交于点D,垂足为E，连接CD，已知AD=10cm，tan∠ADE=，则AC的长度是．18、在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC= ．19、某山坡的坡度为1：0.75，则沿着这条山坡每前进l00m所上升的高度为__________m．20、如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=∠BAD=30°，DE⊥AB，若CD=2，则DE=__________．21、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，≈1.732）三、计算题22、 2 si n30°－3 tan 45°＋4 cos 60°.23、计算：.四、简答题24、如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）25、如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）26、如图1是一张折叠椅子，图2是其侧面示意图，已知椅子折叠时长1.2米．椅子展开后最大张角∠CBD=37°，且BD=BC，AB：BG：GC=1：2：3，座面EF与地面平行，当展开角最大时，请解答下列问题：（1）求∠CGF的度数；（2）求座面EF与地面之间的距离．（可用计算器计算，结果保留两个有效数字，参考数据：sin71.5°≈0.948，cos71.5°≈0.317，tan71.5°≈2.989）27、如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）28、为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A 点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）29、如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C 处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）30、如图，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，桥DC与桥EF的长相等．（1）求点D到直线AB的距离；（2）现在从A地到B地可比原来少走多少路程？（结果保留小数点后一位．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．参考答案一、选择题1、B2、A【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：cos45°=，相反数为：﹣．故选A．3、C【考点】锐角三角函数【试题解析】∵AC=4，BC=3，∴AB=5∴sinB=【答案】C4、A【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．【解答】解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB===3．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD．∴sin∠ACD=sin∠B==，故选A．5、D【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．【解答】解：过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB==，AD==2cosA===，故选：D．6、D【考点】锐角三角函数【试题解析】在边长为1的小正方形组成的网格中，把∠ABC 放在直角三角形中,对边和斜边分别为3、4，因此tan∠ABC=【答案】D7、C8、B【分析】先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∵i==，AC=12米，∴BC=6米，根据勾股定理得：AB==6米，故选：B．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．9、D【考点】解直角三角形．【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6，∴AB===10，故选D10、C 11、C 12、D二、填空题13、4+ [点拨]原式=2×+2×+3×1=4+．14．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】先画出图形，根据勾股定理和余弦函数的定义解答．【解答】解：如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=3，由勾股定理可得：BC=2，∴cosB==．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边．15、16、 5.517、16或3618、6 ．【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．【分析】根据题意做出图形，过点A作AD⊥BC于D，根据AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，可求出AD 的长度，然后根据勾股定理求出BD的长度，继而可求出BC的长度．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图∵AB=AC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，∵sin∠ABC==0.8，∴AD=5×0.8=4，则BD==3，∴BC=BD+CD=3+3=6．故答案为：6．19、80m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】设出垂直高度，表示出水平宽度，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示：AB=100m，tanB=1：0.75．则AC：BC=4：3，设AC=4x，BC=3x，由勾股定理得：AB==5x，解得：x=20，则AC=80m．故答案为：80．【点评】此题主要考查坡度坡角的定义、勾股定理的运用；理解坡度坡角的定义，由勾股定理得出AB是解决问题的关键．20、2．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】利用已知条件易求∠CAD=30°，则AD的长可求，又因为∠BAD=30°，进而可求出DE 的长．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵∠B=∠BAD=30°，∴∠CAD=30°，∵CD=2，∴AD=4，∵∠BAD=30°，∴DE=AD=2，故答案为：2．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．【解析】试题分析：如图，∠A BD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，设AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，∴，∴x=≈137，即山高AD为137米．故答案为：137．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．三、计算题22、023、解：原式……………………………………………………………4分………………………………………………………………………5分四、简答题24、；25、；26、分析：（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠BCD的度数，再根据平行线的性质可得∠CGF的度数；（2）根据比的意义可得GC=1.2×=0.6m，过点G作GK⊥DC于点K，在Rt△KCG中，根据三角函数可得座面EF与地面之间的距离．解：（1）∵BD=BC，∠CBD=37°，∴∠BDC=∠BCD==71.5°，∴∠CGF=∠BCD=71.5°；（2）由题意知，AC=1.2m，∵AB：BG：GC=1：2：3，GC=1.2×=0.6m，过点G作GK⊥DC于点K，在Rt△KCG中，sin∠BCD=，即sin75°=，∴GK=0.6sin71.5°≈0.57m．答：座面EF与地面之间的距离约是0.57m．27、【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据矩形性质得出DG=CH，CG=DH，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可．【解答】解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，则四边形DHCG为矩形．故DG=CH，CG=DH，在直角三角形AHD中，∵∠DAH=30°，AD=6，∴DH=3，AH=3，∴CG=3，在直角三角形ABC中，AC==，∴DG=3+，BG=x﹣3，在直角三角形BDG中，∵BG=DG•tan30°，∴x﹣3=（3+）解得：x≈13，∴大树的高度为：13米．28、【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）根据已知和tan∠ADC=，求出AC，根据∠BDC=45°，求出BC，根据AB=AC﹣BC 求出AB；（2）根据cos∠ADC=，求出AD，根据cos∠BDC=，求出BD．【解答】解：（1）在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，∵tan∠ADC=，∴AC=3•tan60°=3，在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，∴BC=CD=3，∴AB=AC﹣BC=（3﹣3）米．（2）在Rt△ADC中，∵cos∠ADC=，∴AD===6米，在Rt△BDC中，∵cos∠BDC=，∴BD===3米．【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握仰角的概念和锐角三角函数的概念是解题的关键．29、【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】（1）在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；（2）过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．【解答】解：（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，∴DE=DC=2米；（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF=DF=x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴BC====米，BD=BF=x米，DC=4米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=+16，解得：x=4+4，则AB=（6+4）米．30、【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，根据平行四边形的判定得出DCBG为平行四边形，在Rt△DGH中，根据DH=DG•sin37，即可求出点D到直线AB的距离；（2）根据（1）先求出GH、AD和AH的长，再根据两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，代值计算即可得出答案．【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形．∴DC=GB，GD=BC=11．在Rt△DGH中，DH=DG•sin37°≈11×0.60=6.60，∴点D到直线AB的距离是6.60km；（2）根据（1）得：GH=DG•cos37°≈11×0.80≈8.80，在Rt△ADH中，AD=DH≈1.41×6.60≈9.31．AH=DH≈6.60，∵两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，∴AD+DG﹣AG=（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．人教版九年级下学期第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）一、选择题1.已知∠A是锐角，且cos A＝，那么∠A等于()A．30°B．45°C．60°D．75°2.如图，热气球从空中的A处看一栋楼的顶部仰角为30°，看这栋楼的俯角为60°.热气球与楼的水平距离为120 m．这栋楼的高度为()A．160 mB．160mC．(160－160) mD．360 m3.若∠A＋∠B＝90°，且cos B＝，则sin A的值为()A．B．C．D．4.在Rt△ABC中，若各边长都缩小5倍，则sin A的值()A．变大B．变小C．不变D．不能确定5.如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12,5)，则sinα等于()A．B．C．D．6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，那么cosα的值是()A．B．C．D．7.如图所示，△ABC的顶点是正方形网络的格点，则tan A的值为()A．B．C．D．38.如图，AC是旗杆AB的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝50°，则拉线AC的长为()A．6sin 50°B．6cos 50°C．D．9.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则AB的长是()A．2B．8C．2D．410.如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4 m．如果在坡比为i ＝1∶的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为()A．5 mB．6 mC．7 mD．8 m二、填空题11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若c＝4a，则tan A＝__________.12.如图，圆锥的母线长为11 cm，侧面积为55π cm2，设圆锥的母线与高的夹角为α，则cosα的值为________．13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，点A、B、O均在格点处，则cos ∠AOB ＝__________.14.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，sin B＝，则BC＝____________.15.已知∠α与∠β互补，且∠α＝120°，则∠β的正弦值为________．16.已知α与β互为余角，且cos (115°－α＋β)＝，则α＝__________，β＝__________.17.已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时(如图1)，AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时(如图2)，AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH＝____________米．18.若2cosα－＝0，则锐角a的度数为__________．19.已知cos A＝，其中∠A为锐角，则∠A＝__________.20.在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB.当太阳光与水平线成60°角时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为8 m，则树高AB＝____________m.三、解答题21.在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4,1)，B(－1,3)，C(－4,3)，试求tan B 的值．22.课堂上我们在直角三角形中研究了锐角的正弦，余弦和正切函数，与此类似，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A＝.(1)若∠A＝45°，则cot 45°＝__________；若∠A＝60°，则cot 60°＝__________；(2)探究tan A·cot A的值．23.王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．(提示：sin 50°≈0.8，cos 50°≈0.6，tan 50°≈1.2)24.如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度(结果保留根号)．25.如图，锐角△ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值．26.利用计算器求下列各角(精确到1″)(1)sin A＝0.75，求∠A；(2)cos B＝0.888 9，求∠B；(3)tan C＝45.43，求∠C；(4)tan D＝0.974 2，求∠D.27.我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．(1)求B点到直线CA的距离；(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)28.如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，AC＝3，求AB的长．答案解析1.【答案】A【解析】∵∠A是锐角，cos A＝，∴∠A＝30°.故选A.2.【答案】B【解析】由题意可得，∠BAD＝30°，∠DAC＝60°，AD＝120 m，∴tan 30°＝，tan 60°＝，解得BD＝40，CD＝120，∴BC＝BD＋CD＝160，故选B.3.【答案】B【解析】由题意得sin A＝cos B＝，故选B.4.【答案】C【解析】根据锐角三角函数的定义，知若各边长都缩小5倍，则∠A的大小没有变化，所以sin A的值不变．故选C.5.【答案】A【解析】过P作PE⊥x轴于E，∵P(12,5)，∴PE＝5，OE＝12，∴OP＝＝13，∴sinα＝＝，故选A.6.【答案】D【解析】过A作AB⊥x轴于B，∵A(4,3)，∴PB＝3，OB＝4，由勾股定理得OA＝＝5，所以cosα＝＝.故选D.7.【答案】B【解析】设每个小正方形边长为1，如图，作BD⊥AC的延长线于D，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，BD＝2，AD＝6，∴tan A＝＝.故选B.8.【答案】D【解析】∵BC＝6米，∠ACB＝50°，∴拉线AC的长为＝，故选D.9.【答案】C【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴tan A＝，∵AC＝4，tan A＝，∴BC＝AC·tan A＝2，∴AB＝＝＝2.故选C.10.【答案】A【解析】∵水平距离为4 m，坡比为i＝1∶，∴铅直高度为×4＝3 m.根据勾股定理可得：坡面相邻两株数间的坡面距离为＝5(m)．故选A.11.【答案】【解析】设a＝x，则c＝4x，由勾股定理得b＝x，tan A＝＝，故答案为.12.【答案】【解析】设圆锥底面半径长为r cm，由题意l＝11 cm，由圆锥的侧面及公式，得πrl＝55π.r＝5.由勾股定理，得高为＝4，cosα＝.13.【答案】【解析】如图，连接AB，过A作AD⊥OB于点D，设每个小正方形边长为1，∵S△AOB＝3×3－×1×3×2－×2×2＝4，由勾股定理可得OA＝OB＝，∴AD＝＝，∴OD＝，∴cos ∠AOB＝＝，故答案为.14.【答案】4【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，sin B＝，∴sin B＝＝＝，得AC＝2，∴BC＝＝＝4.15.【答案】【解析】∵∠α与∠β互补，且∠α＝120°，∴∠β＝180°－120°＝60°，sin 60°＝.16.【答案】80°10°【解析】∵cos (115°－α＋β)＝，∴115°－α＋β＝45°，又∵α与β互为余角，∴α＋β＝90°，解得α＝80°，β＝10°.17.【答案】【解析】设OH＝x，∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，∴AO＝2x m，∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，∴BO＝3x m，则AO＋BO＝2x＋3x＝3，解得x＝.18.【答案】30°【解析】由2cosα－＝0，得cosα＝，则α＝30°.19.【答案】60°【解析】∵cos A＝，∠A为锐角，∴∠A＝60°.20.【答案】8【解析】作BD⊥AC于点D，易得∠ACB＝45°，∠CAB＝30°，∵BC＝8，∴BD＝4，∴AB＝2DB＝8(m)．故答案为8.21.【答案】解如图，AC＝2，BC＝3，tan B＝＝.【解析】作出图形，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．22.【答案】解(1)由题意得：cot 45°＝1，cot 60°＝；(2)∵tan A＝，cot A＝，∴tan A·cot A＝·＝1.【解析】(1)根据题目所给的信息求解即可；(2)根据tan A＝，cotA＝，求出tan A·cot A的值即可．23.【答案】解王浩同学能将手机放入卡槽AB内．理由：作AD⊥BC于点D，∵∠C＝50°，AC＝20 cm，∴AD＝AC·sin 50°＝20×0.8＝16 cm，CD＝AC·cos 50°＝20×0.6＝12 cm，∵BC＝18 cm，∴DB＝BC－CD＝18－12＝6 cm，∴AB＝＝＝，∵17＝＜，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．【解析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．24.【答案】解作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如图所示，由已知可得，AB＝8米，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，∴AD＝，BD＝，∴AB＝AD－BD＝－，即8＝－，解得CD＝4＋4，即生命所在点C的深度是(4＋4)米．【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据特殊角的三角函数值，即可求得生命所在点C的深度．25.【答案】解过点A作AH⊥BC于H，∵S△ABC＝27，∴×9×AH＝27，∴AH＝6，∵AB＝10，∴BH＝＝＝8，∴tan B＝＝＝.【解析】根据题意画出图形，由三角形的面积公式求出AH的长，再由勾股定理求出BH的长，最后由锐角三角函数的定义即可解答．26.【答案】解(1)∵sin A＝0.75，∴∠A≈48.59°≈48°35′；(2)∵cos B＝0.888 9，∴∠B≈27°16′；(3)∵tan C＝45.43，∴∠C≈88°44′；(4)∵tan D＝0.974 2，∴∠D≈44°15′.【解析】直接利用计算器计算即可．27.【答案】解(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，∵∠MBC＝60°，∴∠CBA＝30°，∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠BCA＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°，∴BH＝BC×sin ∠BCA＝150×＝75(海里)．答：B点到直线CA的距离是75海里；(2)∵BD＝75海里，BH＝75海里，∴DH＝＝75海里，∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，在Rt△ABH中，tan ∠BAH＝＝，∴AH＝25海里，∴AD＝DH－AH＝(75－25)(海里)．答：执法船从A到D航行了(75－25)海里．【解析】(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，根据三角函数可求BH的长即为所求；(2)根据勾股定理可求DH，在Rt△ABH中，根据三角函数可求AH，进一步得到AD的长．28.【答案】解过点C作CD⊥AB于点D，∵∠B＝60°，∠C＝75°，∴∠A＝45°，在△ADC中，AC＝3，∵sin A＝，∴AD＝sin 45°×3＝3＝CD，在△BDC中，∠DCB＝30°，∵tan ∠BCD＝，∴BD＝tan 30°×3＝，∴AB＝＋3.【解析】过点C作CD⊥AB于点D，先根据三角形内角和定理计算出∠A＝45°，在Rt△ADC 中，利用∠A的正弦可计算出CD，进而求得AD，然后在Rt△BDC中，利用∠B的余切可计算出BD，进而就可求得AB.人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）一、选择题1.在△ABC中，若tan A＝1，sin B＝，你认为最确切的判断是( )A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形D．△ABC是一般锐角三角形2.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且cos A＝，sin B＝，则△ABC是( )A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定3.如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin ∠C＞sin ∠D；②cos ∠C＞cos ∠D；③tan ∠C＞tan ∠D中，正确的结论为( )A．①②B．②③C．①②③D．①③4.如图，小明为测量一条河流的宽度，他在河岸边相距80 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树R的位置，R在Q的正南方向，在P东偏南36°的方向，则河宽( )A．80tan 36°B．80tan 54°C．D．80tan 54°5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A＝；④tan B＝，其中正确的有( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题6.在△ABC中，若|cos A|＋(1－tan B)2＝0，则△ABC的形状是________________．7.△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，那么sin B＝__________.8.如图，某山坡AB的坡角∠BAC＝30°，则该山坡AB的坡度为__________．9.在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝12，那么AC＝__________.10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A ＝；④tan B＝，其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)三、解答题11.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin (180°－α)，cosα＝－cos (180°－α)；若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．12.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角(A点处)6米的一棵树是否需要移栽？(参考数据：≈1.414，≈1.732)13.若α，β为直角三角形的两个锐角，若cosα＝，求sinβ的值．14.如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，AC＝3，求AB的长．15.如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．17.已知三角函数值，求锐角(精确到1″)．(1)已知sinα＝0.501 8，求锐角α；(2)已知tanθ＝5，求锐角θ.18.如图，长方形广告牌架在楼房顶部，已知CD＝2 m，经测量得到∠CAH＝37°，∠DBH＝60°，AB＝10 m，求GH的长．(参考数据：tan 37°≈0.75，≈1.732，结果精确到0.1 m)答案解析1.【答案】B【解析】∵tan A＝1，sin B＝，∴∠A＝45°，∠B＝45°.又∵三角形内角和为180°，∴∠C＝90°.∴△ABC是等腰直角三角形．故选B.2.【答案】B【解析】由∠A，∠B都是锐角，且cos A＝，sin B＝，得A＝B＝30°，C＝180°－A－B＝180°－30°－30°＝120°，故选B.3.【答案】D【解析】如图，连接BE，根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB，∵∠AEB＝∠D＋∠DBE，∴∠AEB＞∠D，∴∠C＞∠D，根据锐角三角形函数的增减性，可得，sin ∠C＞sin ∠D，故①正确；cos ∠C＜cos ∠D，故②错误；tan ∠C＞tan ∠D，故③正确，故选D.4.【答案】A【解析】∵R在P东偏南36°的方向，∴∠QPR＝36°，tan 36°＝，∵PQ＝80，∴QR＝tan 36°PQ＝80tan 36°，故选A.5.【答案】D【解析】∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC＝BC，①sin A＝＝；②cos B＝＝；③tan A＝＝；④tan B＝＝，正确的有②③④，故选D.6.【答案】锐角三角形【解析】由题意得：cos A－＝0,1－tan B＝0，解得cos A＝，tan B＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°.∴∠C＝180°－60°－45°＝75°.∴△ABC是锐角三角形．7.【答案】【解析】过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴∠ADB＝90°，BD＝BC＝4，由勾股定理得AD＝＝3，∴sin B＝＝.8.【答案】【解析】根据坡度等于坡角的正切值即可得到结果．根据题意，得该山坡AB的坡度为tan 30°＝.9.【答案】5【解析】在△ABC中，∠C＝90°，∵sin A＝＝，BC＝12，∴AB＝13，∴AC＝＝5.10.【答案】②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故①错误；∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴cos B＝cos 60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tan A＝tan 30°＝，故③正确；∵∠B＝60°，∴tan B＝tan 60°＝，故④正确．故答案为②③④.11.【答案】解∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，－，将代入方程，得4×2－m×－1＝0，解得m＝0，经检验－是方程4x2－1＝0的根，∴m＝0符合题意；②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为，，不符合题意；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为，，将代入方程得：4×()2－m×－1＝0，解得m＝0，经检验不是方程4x2－1＝0的根．综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°.【解析】分三种情况进行分析：①当∠A＝30°，∠B＝120°时；②当∠A＝120°，∠B＝30°时；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，根据题意分别求出m的值即可．12.【答案】解不需要移栽，理由：∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝5米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝∶3，即∠CDB＝30°，∴DC＝2BC＝10米，BD＝BC＝5米，∴AD＝BD－AB＝(5－5)米≈3.66米，∵2＋3.66＝5.66＜6，∴不需要移栽．【解析】根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB－AB求出AD的长，然后将AD＋2与6进行比较，若大于则需要移栽，反之不需要移栽．13.【答案】解∵α，β为直角三角形的两个锐角，∴sinβ＝cos (90°－β)＝cosα＝.【解析】根据互余两角三角函数的关系进行解答．14.【答案】解过点C作CD⊥AB于点D，∵∠B＝60°，∠C＝75°，∴∠A＝45°，在△ADC中，AC＝3，∵sin A＝，∴AD＝sin 45°×3＝3＝CD，在△BDC中，∠DCB＝30°，∵tan ∠BCD＝，∴BD＝tan 30°×3＝，∴AB＝＋3.【解析】过点C作CD⊥AB于点D，先根据三角形内角和定理计算出∠A＝45°，在Rt△ADC 中，利用∠A的正弦可计算出CD，进而求得AD，然后在Rt△BDC中，利用∠B的余切可计算出BD，进而就可求得AB.15.【答案】解如图作CH⊥AD于H.设CH＝x km，在Rt△ACH中，∠A＝37°，∵tan 37°＝，∴AH＝＝，在Rt△CEH中，∵∠CEH＝45°，∴CH＝EH＝x，∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，∴＝，∵AC＝CB，∴AH＝HD，∴＝x＋5，∴x＝≈15，∴AE＝AH＋HE＝＋15≈35 km，∴E处距离港口A有35 km.【解析】如图作CH⊥AD于H.设CH＝x km，在Rt△ACH中，可得AH＝＝，在Rt△CEH 中，可得CH＝EH＝x，由CH∥BD，推出＝，由AC＝CB，推出AH＝HD，可得＝x ＋5，求出x即可解决问题．16.【答案】解在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠A＝60°，∵tan B＝，∴b＝a×tan B＝5×tan 60°＝5，由勾股定理，得c＝＝10.【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C＝90°则∠A＝90－∠B＝60°，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．17.【答案】解(1)∵sinα＝0.501 8，∴α≈30.119 1°.∴a≈30°7′9″；(2)∵tanθ＝5，∴θ＝78.690 0°≈78°41′24″.【解析】利用计算器进行计算即可，然后将结果化为度分秒的形式即可．18.【答案】解延长CD交AH于点E，如图所示：根据题意得CE⊥AH，设DE＝x m，则CE＝(x＋2)m，在Rt△AEC和Rt△BED中，tan 37°＝，tan 60°＝，∴AE＝，BE＝，∵AE－BE＝AB，∴＝10，即－＝10，解得x≈5.8，∴DE＝5.8 m，∴GH＝CE＝CD＋DE＝2 m＋5.8 m＝7.8 m.答：GH的长为7.8 m.【解析】首先构造直角三角形，设DE＝x m，则CE＝(x＋2)m，由三角函数得出AE和BE，由AE＝BE＝AB得出方程，解方程求出DE，即可得出GH的长．人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）一、选择题1.在△ABC中，若tan A＝1，sin B＝，你认为最确切的判断是( )A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形D．△ABC是一般锐角三角形2.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且cos A＝，sin B＝，则△ABC是( )A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定3.如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin ∠C＞sin ∠D；②cos ∠C＞cos ∠D；③tan ∠C＞tan ∠D中，正确的结论为( )A．①②B．②③C．①②③D．①③4.如图，小明为测量一条河流的宽度，他在河岸边相距80 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树R的位置，R在Q的正南方向，在P东偏南36°的方向，则河宽( )A．80tan 36°B．80tan 54°C．D．80tan 54°5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A＝；④tan B＝，其中正确的有( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题6.在△ABC中，若|cos A|＋(1－tan B)2＝0，则△ABC的形状是________________．7.△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，那么sin B＝__________.8.如图，某山坡AB的坡角∠BAC＝30°，则该山坡AB的坡度为__________．9.在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝12，那么AC＝__________.10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A ＝；④tan B＝，其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)三、解答题11.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin (180°－α)，cosα＝－cos (180°－α)；若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．12.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角(A点处)6米的一棵树是否需要移栽？(参考数据：≈1.414，≈1.732)13.若α，β为直角三角形的两个锐角，若cosα＝，求sinβ的值．14.如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，AC＝3，求AB的长．15.如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．17.已知三角函数值，求锐角(精确到1″)．(1)已知sinα＝0.501 8，求锐角α；(2)已知tanθ＝5，求锐角θ.18.如图，长方形广告牌架在楼房顶部，已知CD＝2 m，经测量得到∠CAH＝37°，∠DBH＝60°，AB＝10 m，求GH的长．(参考数据：tan 37°≈0.75，≈1.732，结果精确到0.1 m)。

【初三数学】重庆市九年级数学下(人教版)第二十八章 《锐角三角函数》单元综合练习卷及答案

【初三数学】重庆市九年级数学下(人教版)第二十八章 《锐角三角函数》单元综合练习卷及答案

人教版数学九年级下册二十八章锐角三角函数单元检测卷 人教版数学九年级下册二十八章锐角三角函数单元检测卷一、选择题1.如图K －16－2，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则sin ∠AOB 的值是( D )图K －16－2A.32B.23C.21313D.313132.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则tanA ·tanB 的值一定( D ) A ．小于1 B ．不小于1 C ．大于1 D ．等于13.在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosA －12＋(1－tanB)2＝0，则∠C 的度数是( C )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( A )A ．csinA ＝aB ．bcosB ＝cC ．atanA ＝bD ．ctanB ＝b5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，则∠A 的度数为( D ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°6.2017·温州如图K －20－2，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( A )图K－20－2A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米7．如图K－21－3，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，点E，B，A在一条直线上，则信号塔CD的高度为( C )图K－21－3A．20 3米 B．(20 3－8)米C．(20 3－28)米 D．(20 3－20)米8.2017·重庆B卷如图K－22－2，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C 与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处．斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A 的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( A )图K－22－2A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米9．如图K－17－6，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边AC的中点，DE ⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( A )图K －17－6A.13B.2－1 C ．2－ 3 D.1410.如图K －17－4是教学用的直角三角板，边AC 的长为30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为(C )图K －17－4A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm二、填空题11．如图K －16－5，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则sinB ＝________．图K －16－5[答案] 2312.如图K －16－8，在▱ABCD 中，连接BD ，已知AD ⊥BD ，AB ＝4，sinA ＝34，则▱ABCD 的面积是________．图K－16－8[答案] 3 714.如图K－17－8，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝________．图K－17－8[答案] 2 215.2017·烟台在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sin A2＝________．[答案] 1 216.2017·大连如图K－22－6，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．此时，B处与灯塔P的距离为________n mile.(结果取整数，参考数据：3≈1.7，2≈1.4)图K－22－6[答案] 102三、解答题17.如图K－16－11，小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，点B恰好落在AD边上的点F处，若AB∶BC＝4∶5.求sin∠DCF的值．图K－16－11解：∵AB∶BC＝4∶5，∴设AB＝4x，则BC＝5x.由题意，得FC＝BC＝5x，DC＝AB＝4x.由勾股定理，得DF＝3x.在Rt△CDF中，∠D＝90°，DF＝3x，FC＝5x，∴sin∠DCF＝DFFC＝35.18.如图K－17－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝2，CD ＝1，记∠CAD＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)若∠B＝α，求BD的长．图K－17－11解： (1)∵CD＝1，AC＝2，∴AD＝AC2＋CD2＝5，∴sinα＝CDAD＝55，cosα＝ACAD＝2 55，tanα＝12.(2)∵∠B＝α，∴tanB＝tanα＝1 2 .∵tanB＝AC BC ，∴BC＝ACtanB＝212＝4.∵CD＝1，∴BD＝BC－CD＝3.19．如图K－18－5，河的两岸l1与l2互相平行，A，B是l1上的两点，C，D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20 m到达点E(点E在线段AB上)，测得∠DEB＝60°，求C，D两点间的距离．图K－18－5解：如图，过点D作l1的垂线，垂足为F.∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°，∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°，∴DE＝AE＝20 m.在Rt△DEF中，EF＝DE·cos60°＝20×12＝10(m)．∵DF⊥AF，∴∠DFB＝90°，∴AC∥DF.由l1∥l2，可知CD∥AF，∴四边形ACDF为矩形，∴CD＝AF＝AE＋EF＝30 m.答：C，D两点间的距离为30 m.20.如图K－19－11，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)．图K－19－11解：(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图①所示．在Rt△ADC中，AC＝4.∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝12AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×32＝2 3.在Rt△ABD中，tanB＝ADBD＝2BD＝18，∴BD＝16，∴BC＝BD－CD＝16－2 3.(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图②所示．∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD＝ADMD＝24＋2 3＝12＋3≈12＋1.7≈0.3.21.2017·安徽如图K－20－11，游客在点A处坐缆车出发，沿A—B—D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600 m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，2≈1.41)图K－20－11解：在Rt△ABC中，∵cosα＝BC AB ，∴BC＝AB·cosα≈600×0.26＝156(m)；在Rt△BDF中，∵sinβ＝DF BD ，∴DF＝BD·sinβ＝600×22＝300 2≈300×1.41＝423(m)．又EF＝BC，∴DE＝DF＋EF≈423＋156＝579(m)．22.如图K－21－8，某无人机于空中A处探测到目标B，D的俯角分别是30人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试一、选择题1、3tan60°的值为（）A． B． C． D．32、sin45°的值等于（）A． B．1 C． D．3、在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=4、在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（）A． B． C．2 D．5、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（）A． B． C． D．6、在Rt△ABC中，∠C=90º，，则的值为A． B．C．D．7、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A．4 B．6 C．8 D．108、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A． 3cm B． 6cm C．cm D．cm9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里二、填空题10、计算：= .11、如下图：直角三角形纸片的两直角边长分别为4，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是．12、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=__________]m．13、．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为．14、如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是米．15、全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外，如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD＝10米，则此塑像的高AB约为___米．(参考数据：tan78°12′≈4.8)16、如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．三、计算题17、计算：3tan30°﹣2tan45°+2sin60°+4cos60°．18、计算：．四、简答题19、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝3∶4，求∠A的三个三角函数值．20、如图，九（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线，求旗杆的高度．21、小刚学想测量灯杆AB的高度，结果他在D处时用测角仪测灯杆顶端A的仰角∠AEG=30°，然后向前走了8米来到C处，又测得A的仰角∠AFG=45°，又知测角仪高1.6米，求灯杆AB的高度．（结果保留一位小数；参考数据：≈1.73）22、如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A．C之间选择一点B（A．B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．23、山西绵山是中国历史文化名山，因春秋时期晋国介子推携母隐居于此被焚而著称，如图1，是绵山上介子推母子的塑像，某游客计划测量这座塑像的高度，由于游客无法直接到达塑像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的高度；如图2，在塑像旁山坡坡脚A处测得塑像头顶C的仰角为75°，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得塑像头顶C的仰角刚好为45°，已知山坡的坡度i=1：3，且O，A，B在同一直线上，求塑像的高度．（侧倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，tan75°≈3.7，≈1.4，≈1.7，≈3.2）24、如图，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，桥DC与桥EF的长相等．（1）求点D到直线AB的距离；（2）现在从A地到B地可比原来少走多少路程？（结果保留小数点后一位．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．25、甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．26、如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在北偏东60°方向上，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在北偏东45°方向上，问客轮不改变方向继续前进有无触礁危险？参考答案一、选择题1、D【考点】特殊角的三角函数值．【分析】把tan60的数值代入即可求解．【解答】解：3tan60°=3×=3．故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．2、D【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值得出即可．【解答】解：sin45°=，故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．3、C【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，则A、cosA=，故本选项错误；B、tanA=，故本选项错误；C、sinA=，故本选项正确；D、cosA=，故本选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．4、C【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．【解答】解：由图可得，tanα=2÷1=2．故选C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．5、C【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据在直角三角形中，余弦为邻边比斜边，可得答案．【解答】解：△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，得cosB==，故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6、B7、D【考点】解直角三角形．【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6，∴AB===10，故选D8、D9、D二、填空题10、；11、12、 5.513、．考点：解直角三角形；特殊角的三角函数值．分析：重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AB，再求出面积．解答：解：∵AC=，∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：×1=．故答案为：．14、．【解析】试题分析：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，∴BC：A C=1：，∵堤高BC=5米，∴坝底AC=米．故答案为：．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．15、58_16、【考点】正方形的性质；轴对称的性质；锐角三角函数的定义．【分析】M、N两点关于对角线AC对称，所以CM=CM，进而求出CN的长度．再利用∠ADN=∠DNC 即可求得tan∠ADN．【解答】解：在正方形ABCD中，BC=CD=4．∵DM=1，∴CM=3，∵M、N两点关于对角线AC对称，∴CN=CM=3．∵AD∥BC，∴∠ADN=∠DNC，∵tan=∠DNC==，∴tan∠ADN=．故答案为：．三、计算题17、原式=2．18、.解：原式=1+﹣1+2﹣=2四、简答题19、20、AB＝13.5 m21、【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】设AG的长为x米，根据正切的概念分别表示出GF、GE的长，计算即可得到AG，求出AB即可．【解答】解：设AG的长为x米，在Rt△AGE中，EG==x，在Rt△AGF中，GF=AG=x，由题意得，x﹣x=8，解得，x≈10.9，则AB=AG+GB≈12.5米，答：灯杆AB的高度约为12.5米．22、解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，∵AB=40m，∠A=30°，∴BE=AB=20m，AE==20m，即点B到AD的距离为20m；（2）在Rt△ABE中，∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°，∴DE=EB=20m，则AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m），在Rt△ADC中，∠A=30°，∴DC==（10+10）m．答：塔高CD为（10+10）m．23、【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，设PE=x，则AE=3x，在Rt△AEP中根据勾股定理可得PE=，则AE=3，设CF=PF=m米，则OC=（m+）米、OA=（m ﹣3）米，在Rt△AOC中，由tan75°=求得m的值，继而可得答案．【解答】解：过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，∵i=1：3，AP=10，设PE=x，则AE=3x，在Rt△AEP中，x2+（3x）2=102，解得：x=或x=﹣（舍），∴PE=，则AE=3，∵∠CPF=∠PCF=45°，∴CF=PF，设CF=PF=m米，则OC=（m+）米，OA=（m﹣3）米，在Rt△AOC中，tan75°==，即m+=tan75°•（m﹣3），解得：m≈14.3，∴OC=14.3+≈17.5米，答：塑像的高度约为17.5米．24、【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，根据平行四边形的判定得出DCBG为平行四边形，在Rt△DGH中，根据DH=DG•sin37，即可求出点D到直线AB的距离；（2）根据（1）先求出GH、AD和AH的长，再根据两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，代值计算即可得出答案．【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形．∴DC=GB，GD=BC=11．在Rt△DGH中，DH=DG•sin37°≈11×0.60=6.60，∴点D到直线AB的距离是6.60km；（2）根据（1）得：GH=DG•cos37°≈11×0.80≈8.80，在Rt△ADH中，AD=DH≈1.41×6.60≈9.31．AH=DH≈6.60，∵两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，∴AD+DG﹣AG=（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．25、【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】（1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．（2）根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同，可以求出甲轮船从B到C所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．【解答】解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．26、解：过P作PC⊥AB于C点，如图，据题意知AB＝9×＝3，∠PAB＝90°－60°＝30°，[∠PBC＝90°－45°＝45°，∠PCB＝90°，∴PC＝BC.在Rt△APC中，tan 30°＝＝＝，即＝，∴PC＝海里＞3海里，∴客轮不改变方向继续前进无触人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试（含答案）一、选择题1、在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=1，则sinA的值为（）A． B． C． D．32、cos 30°的值等于( )A. B. C．1 D.3、2cos45°的值等于（）A． B． C． D．4、3tan60°的值为（）A． B． C． D．35、在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=6、在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（）A． B． C．2 D．7、在Rt△ABC中，∠C=90º，，则的值为A． B．C．D．8、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）A．6 B．5 C．2 D．39、如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为i＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)( )A．21.7米 B．22.4米C．27.4米 D．28.8米10、．如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A（2，4），顶点为（﹣1，0），则sin α的值是（）A． B． C． D．二、填空题11、计算：=12、在等腰Rt△ABC中，AB=AC，则tanB= .13、在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tanA+tanB的值为.14、如图，在边长为1的小正反形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为 .15、如图，在△ABC中，AB=AC，sinA=，BC=2，则△ABC的面积为．16、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有．17、如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为 .18、如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=∠BAD=30°，DE⊥AB，若CD=2，则DE=__________．19、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，≈1.732）三、简答题20、如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）.21、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．22、如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）是多少？23、如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．24、如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD（结果果保留根号）．25、如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值．26、如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为30°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．27、如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）28、如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km 的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.73）参考答案一、选择题1、A解：∵∠C=90°，AB=3，BC=1，∴sinA=，2、B3、B【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将45°角的余弦值代入计算即可．【解答】解：∵cos45°=，∴2cos45°=．故选B．【点评】本题考查特殊角的三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主4、D【考点】特殊角的三角函数值．【分析】把tan60的数值代入即可求解．【解答】解：3tan60°=3×=3．故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．5、C【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，则A、cosA=，故本选项错误；B、tanA=，故本选项错误；C、sinA=，故本选项正确；D、cosA=，故本选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．6、C【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．【解答】解：由图可得，tanα=2÷1=2．故选C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．7、B8、C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵BE：ED=1：3，∴BE：OB=1：2，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵AE⊥BD，AE=3，∴AB==2，故选：C．9、A10、D【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．【分析】作AC⊥x轴于点C，根据点的坐标特征求出点A、B的坐标，得到CA、CB的长，根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义解答即可．【解答】解：作AC⊥x轴于点C，由题意得，BC=3，AC=4，由勾股定理得，AB=5，则sinα==，故选：D．11、12、1．解：由等腰Rt△ABC中，AB=AC，得∠B=45°．tanB=tan45°=1，13、3．解：∵△ABC的面积为6，∴ab=12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，∴a2+b2=62=36，∴tanA+tanB====3，14、解：如图：，tanB==．15、30【解答】解：过B作BD⊥AC，交AC于点D，在Rt△ABD中，sinA==，设AB=AC=5x，BD=3x，根据勾股定理得：AD=4x，即CD=x，在Rt△BDC中，根据勾股定理得：BC2=BD2+CD2，即40=9x2+x2，解得：x=2（负值舍去），∴BD=6，AB=AC=10，则S△ABC=AC•BD=30．16、①②③④．【解答】解：∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，故①正确；sinβ=sinC，故②正确；∵在Rt△ABC中sinB=，cosC=，∴sinB=cosC，故③正确；∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，∴sinα=cos∠β，故④正确；故答案为①②③④．17、2+．解：如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt△AOC中，OC===，∴BC=OB﹣OC=2﹣，∴在Rt△ABC中，tan∠ABO===2+．18、2．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】利用已知条件易求∠CAD=30°，则AD的长可求，又因为∠BAD=30°，进而可求出DE 的长．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵∠B=∠BAD=30°，∴∠CAD=30°，∵CD=2，∴AD=4，∵∠BAD=30°，∴DE=AD=2，故答案为：2．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．19、137．【解析】试题分析：如图，∠A BD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，设AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，∴，∴x=≈137，即山高AD为137米．故答案为：137．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．三、简答题20、解：过点A作AD⊥BC于点D，∵∠β=45°，∠ADC=90°，∴AD=DC，设AD=DC=xm，则tan30°==21、：（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF=×4=2，由勾股定理得，DE==2，∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，∴DN=DE=×2=，NF=EC=×2=1，∴△DNF的周长=1++2=3+；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，所以，sin∠DAF===；（2）证明：在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠DAF+∠AFD=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，∴AF⊥DE，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴NF是△CDE的中位线，∴DF=EC=2NF，∵cos∠DAF==，cos∠CDE==，∴=，∴2AD•NF=DE•DM．22、AB=km (提示：过点A作AD⊥OB)23、解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵AC=5，，∴AD=AC•sinC=3．∴在Rt△ACD中，．∵AB=，∴在Rt△ABD中，．∴BC=BD+CD=7．24、解：过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，AB=5，BF=CE=4．∴AF=3．在Rt△CDE中，tanα==i=．∴∠α=30°且DE==4，∴AD=AF+FE+ED=3+4.5+4=7.5+4．答：坡角α等于30°，坝底宽AD为7.5+4．25、【解答】解：（1）CD与⊙O相切．理由是：连接OD．则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD=90°．∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切．（2）连接BE，由圆周角定理，得∠ADE=∠ABE．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）．在Rt△ABE中，sin∠ABE==，∴sin∠ADE=sin∠ABE=．26、．解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，∵tan∠DCF=i==，∴∠DCF=30°，…… 2分∵CD=4，∴DF=CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×=2，∴BF=BC+CF=2+2=4，过点E作EG⊥AB于点G，则GE=BF=4，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，又∵∠AED=30°，∴AG=GEtan∠AEG=4•tan30°=4，则AB=AG+BG=4+3.5=7.5，故旗杆AB的高度为7.5米．27、【解答】解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，∴BD=AD=20．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴CD=AD=20．∴BC=BD+CD=20+20（m）．答：这栋楼高为（20+20）m．28、解：结论；不会．理由如下：作PH⊥AC于H．由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°，∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，∵∠PBH=∠PAB+∠APB，∴∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=120，在Rt△PBH中，sin∠PBH=，∴PH=PB•sin60°=120×≈103.80，∵103.80＞100，∴这条高速公路不会穿越保护区．人教版九年级数学下第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）一、选择题1.△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为()A．12B．12C．24D．482.如图，将一面三角形的小旗放在边长都为1的小正方形方格中(三角形的各顶点均在小正方形的顶点上)，则cos A的值为()A．B．C．D．3.如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行2 km 到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则观测站O距港口A的距离(即OA的长)为()A．kmB．2 kmC．2kmD．4km4.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A．B．C．D．h·cosα5.如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD＝60°，则铁塔AB的高为()A．3米B．6米C．3米D．2米6.计算：tan 45°－cos 60°等于()A．B．C．1D．7.在△ABC中，若|sin A|＋2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是() A．75°B．90°C．105°D．120°8.如图，在边长为1的小正方形组成的网络中，△ABC的三个顶点在格点上，则cos A的值是()A．B．C．D．9.若tan A＝，则sin A的值是()A．B．C．3D．10.如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20 cm，深为30 cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1∶5，则AC的长度是()A．200 cmB．210 cmC．240 cmD．300 cm二、填空题11.Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则cos B＝________.12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠BCD＝，AC＝12，则BC＝____________.13.如图，已知点A(0,1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则tan ∠BAC＝____________.14.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为____________海里(结果保留根号)．15.已知△ABC，若有|sin A－|与(tan B)2互为相反数，则∠C的度数是__________．16.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度约为__________ m．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)17.如图，P(12，a)在反比例函数y＝图象上，PH⊥x轴于H，则tan ∠POH的值为__________．18.某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1∶2.4，则该水库迎水坡的长度为____________米．19.△ABC中，∠C＝90°，(1)若cos A＝，则tan B＝________；(2)若tan A＝，则sin B＝__________.20.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是____________．三、解答题21.在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tan A，cos B恰为一元二次方程2x2－3mx＋3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．22.如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路(即线段AC)，经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？(参考数据：≈1.73)23.在我市十个全覆盖工作的推动下，某乡镇准备在相距3千米的A、B两个工厂间修一条笔直的公路，在工厂A北偏东60°方向、工厂北偏西45°方向有一点P，以P点为圆心，1.2千米为半径的区域是一个村庄，问修筑公路时，这个村庄是否有居民需要搬迁？(参考数据：≈1.4，≈1.7)24.如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，且点B的坐标为(0,4)．(1)写出点A的坐标；(2)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△O1A1B1；(3)求出sin ∠A1OB1的值．25.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝12＋12，求△ABC的面积．26.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB：EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)27.计算：(1)tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°；(2)tan260°－2sin 30°cos 45°.28.计算：(1)cos 30°－sin 60°＋2sin 45°·tan 45°；(2)sin 30°cos 45°＋tan260°.。

济南市九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典习题(培优练)

济南市九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典习题(培优练)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．若菱形的边长为2cm ，其中一内角为60°，则它的面积为（ ）A ．232cmB ．23cmC ．22cmD ．223cm 2．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC =且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（ ）A ．4B ．5C ．163D ．833．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在 改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD 的平台BC 上（如图），测得52.5,5AED BC ︒∠＝＝米，35CD =米，19DE =米，则铁塔AB的高度约为（ ）（参考数据：52.50.79,52.50.61,52.5 1.30sin cos tan ︒︒︒≈≈≈）A ．7.6 米B ．27.5 米C ．30.5 米D ．58.5 米 4．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ）A ．5:1B ．4:1C ．3:1D ．2:1 5．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图象上，第二象限的点B 在反比例函数kyx的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（）A．4 B．8 C．-4 D．-86．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF=2AF；②tan∠CAD=22；③DF=DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF=52S△ABF ,其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图，在矩形ABCD中，AB=3，做BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（）A．23B．33C．63D．93 28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinB的值等于（）A．43B．34C．45D．359．一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为34，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA'的长度是（）A．34m B．13m C．23m D．12m10．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos 的值是（）A．34B．43C．35D．4511．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．BDBCB．BCABC．ADACD．CDAC12．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，（ OC⊥OB，点A、B、C、D、O在同一平面内），已知AB a，AD b，∠BCO=α．则点A到OC的距离等于（）A．asinα+bsinαB．acosα+bcosαC．asinα+bcosαD．acosα+bsinα13．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（）A ．()3,3B ．()3,1C ．()2,1D ．()2,3 14．如图，正方形ABCD 的边长为1，点A 与原点重合，B 在y 轴正半轴上，D 在x 轴负半轴上，将正方形ABCD 绕着点A 逆时针旋转30至AB C D '''，CD 与B C ''相交于点E ，则E 坐标为（ ）A ．31,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛- ⎝⎭ D ．21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题15．某斜坡的坡度33i =，则它的坡角是__________度．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象过点P （1，1），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且tan ∠ABO ＝2，那么点A 的坐标是_____． 17．某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是_________．18．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45和30.若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为______米(结果保留根号)．19．如图，长方形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C’处，BC’交AD于点E，则线段DE的长为____.20．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为_____．21．如图，已知直线l：33y x=，过点()0,1A作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点1A；过点1A作y轴的垂线交直线l于点1B，过点1B作直线l的垂线交y轴于点2A；…；按此作法继续下去，则点2020A的坐标为__________．22．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=____．23．如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2016的坐标是______．24．如图，矩形ABCD 中，AD=1，CD=3，连接AC ，将线段AC 、AB 分别绕点A 顺时针旋转90°至AE 、AF ，线段AE 与弧BF 交于点G ，连接CG ，则图中阴影部分面积为__.25．如图，已知2AB a =，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ．点P ，C ，E 在一条直线上，60DAP ∠=︒，M 、N 分别是对角线AC 、BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M 、N 之间的距离最短为_______．26．如图，在ABC ∆中10AB AC ==，以AB 为直径的圆O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且12CBF A ∠=∠，1tan 3CBF ∠= ，则BC 的长为__________．三、解答题27．如图，在ABC 中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为D ，E ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：ACD △∽BFD △；（2）当tan 1ABD ∠=，3AC =时，求BF 的长．28．我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1：1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：2=1.414，3=1.732）29．如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高.30．计算：（1）()2222cos30sin 45cos 601tan 60tan 45-+︒+-︒︒︒︒（2）23260x x --=（3）2(1)5(1)140x x -+--=【参考答案】一、选择题1．D2．C3．C4．A5．D6．D7．B8．C9．D10．D11．C12．D13．B14．A二、填空题15．30【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答【详解】解：设斜坡的坡角为则有∵故答案为【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键16．（﹣10）或（30）【分析】依题意得即可得一次函数解析式为所以由tan∠ABO＝2得到且可解得或进而求得结论【详解】解：∵一次函数的图象经过点∴即∴一次函数解析式为∴一次函数与x轴y轴的交点坐标为（17．【分析】首先根据勾股定理求得滑行的水平距离然后根据坡比的定义即可求解【详解】解：滑行的水平距离是：=120（米）故坡道的坡比是：50：120=故答案是：【点睛】本题考查了勾股定理以及坡比的定义正确求18．【解析】【分析】在和中利用锐角三角函数用CH表示出AHBH的长然后计算出AB的长【详解】由于在中米在米米故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题题目难度不大解决本题的关键是用含C19．375【分析】首先根据题意得到BE=DE然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE的方程解方程即可解决问题【详解】设ED=x则AE=6﹣x∵四边形ABCD为矩形∴AD∥BC∴∠EDB=∠DBC由题意得20．2+【分析】连接OA过点A作AC⊥OB于点C由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB﹣OC=2﹣在Rt△ABC中根据tan∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA过点A 作AC⊥OB于点21．【分析】先求出点B的坐标为（1）得到OA=1OB=求出∠AOB=60°再求出∠得到求出(04)；同理得到（0）；由此得到规律求出答案【详解】将y=1代入中得x=∴B（1）∴OA=1OB=∴tan∠A22．5【分析】过P作PD⊥OB交OB于点D在直角三角形POD中利用锐角三角函数定义求出OD的长再由PM=PN利用三线合一得到D为MN中点根据MN求出MD的长由OD-MD 即可求出OM的长【详解】过P作PD23．（10091008）【分析】根据题意得出直线OB1的解析式为y=x进而得出OB1B2B3坐标进而得出坐标变化规律进而得出答案【详解】过B1向x轴作垂线B1C垂足为C由题意可得：A（10）AO∥A1B24．﹣【分析】由勾股定理得到AC=2由三角函数的定义得到∠CAB=30°根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°求得∠BAG=60°然后根据图形的面积即可求得【详解】在矩形ABCD中∵AD=1CD=25．【分析】连接PMPN根据菱形的性质求出∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x则PB=2a －x然后利用锐角三角函数求出PM和P26．【分析】连接AE根据AB是直径得出AE⊥BCCE=EB依据已知条件得出∠CBF=∠EABFB 是圆的且线进而得出CB的长【详解】解：连接AE∵AB为直径∴AE⊥BC∵AB=AC∴∠EAB=∠CABEB三、解答题27．28．29．30．【参考解析】一、选择题1．D解析：D【分析】连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，根据菱形的面积公式即可求出答案．【详解】连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，∵菱形的边长为2cm，∴AB=BC=2cm，∵有一个内角是60°，∴∠ABC=60°，∴AM=ABsin60°，∴此菱形的面积为：=2cm )．故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练运用菱形的性质． 2．C解析：C【分析】如图，过D 作DP CE ⊥于,P 证明：,EP CP EDP CDP =∠=∠，,DEC DCE ∠=∠再证明,AEF BCG EDP ∠=∠=∠ 结合矩形的性质证明：,AFG EFA ∽利用相似三角形的性质可得4EF =，再求解,AG AE ，设,BG x = 可得2,DE x AD x =+= 利用勾股定理求解,x 再由,BCG EDP ∠=∠可得：1,2EP DP =设,EP m = 则2,DP m = 由勾股定理求解m ， 从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DP CE ⊥于,P,DE DC =,EP CP EDP CDP ∴=∠=∠， ,DEC DCE ∠=∠90,AED DCB ∠=︒=∠90,AEF DEC DCE BCG DEC EDP ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠,AEF BCG EDP ∴∠=∠=∠,,90AGF CGB AF CG B ∠=∠⊥∠=︒，,FAG BCG ∴∠=∠,FAG AEF ∴∠=∠90AFG EFA ∠=∠=︒，,AFG EFA ∴∽,AF FG EF FA∴= 21AF FG ==，，21,2EF ∴= 4EF ∴=，AE ∴== AG == 设BG x =，则5,AB CD x DE ==+=AEF BCG ∠=∠，1tan tan ,2AF AEF BCG EF ∴∠=∠== 1,2BG BC ∴= 2,BC x AD ∴== ()()()2222255,x x ∴=++235250,x x ∴--=55x ∴=5x = 55855DE ∴== ,EDP BCG ∠=∠1,2EP DP ∴= 设,EP m = 则2,DP m =()22285+2,3m m ⎛∴= ⎝⎭ 83m ∴=（负根舍去） 162.3EC EP ∴==故选：.C【点睛】 本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．3．C解析：C【分析】延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，得到GF=BC=5，设DF=3k，CF=4k，解直角三角形得到结论．【详解】解：延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，则四边形BGFC是矩形∴GF=BC=5，∵山坡CD的坡度为1：0.75，∴设DF=3k，CF=4k，∴CD=5k=35，∴k=7，∴DF=21，BG=CF=28，∴EG=GF+DF+DE=5+21+19=45，∵∠AED=52.5°，∴AG=EG•tan52.5°=45×1.30=58.5，∴AB=AG-BG=30.5米，答：铁塔AB的高度约为30.5米．故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．4．A解析：A【分析】先根据菱形的性质求出菱形的边长，再根据菱形的高与边长的关系求出∠A，进而可求出∠ADC，从而可得答案．【详解】解：如图，DE是菱形ABCD的高，DE=1cm，∵菱形ABCD的周长是8cm，∴AD=2cm，在Rt△ADE中，∵DE=12AD，∴∠A=30°，∵AB∥DC，∴∠A+∠ADC=180°，∴∠ADC=150°，∴∠ADC：∠A=150°：30°=5:1．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质和30°角的直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．5．D解析：D【分析】过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，易证△AOC∽△OBD，则根据相似三角形的性质可得214AOCBODS OAS OB⎛⎫==⎪⎝⎭△△，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k的值．【详解】解：过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，则∠ACO=∠BDO=90°，∠OAC+∠AOC=90°，∵OA⊥OB，tan∠BAO=2，∴∠AOC+∠BOD=90°，OA：OB=1：2，∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∴221124 AOCBODS OAS OB⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∵1212AOCS⨯==，12BODS k=△，∴11142k =，∴8k =， ∵k ＜0，∴k=﹣8．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义等知识，熟练掌握所学知识、明确解答的方法是解题的关键．6．D解析：D【分析】依据△AEF ∽△CBF ，即可得出CF=2AF ；依据△BAE ∽△ADC ，即可得到tan ∠ ；过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，依据DM 垂直平分CF ，即可得出DF=DC ；依据∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°，即可得到△AEF ∽△CAB ；设△AEF 的面积为s ，则△ABF 的面积为2s ，△CEF 的面积为2s ，△CDE 的面积为3s ，四边形CDEF 的面积为5s ，进而得出S 四边形CDEF =52S △ABF 【详解】解：∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ， AE AF BC CF∴= ∵AE=12AD= 12BC ， 12AF CF ∴= ∴CF=2AF ，故①正确；设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，∵BE ⊥AC ，∠BAD=90°，∴∠ABE=∠ADC ，而∠BAE=∠ADC=90°，∴△BAE ∽△ADC ，2b aa b∴=，即b ∴=22CD tan CAD AD b a =∠=∴=，故②正确；如图，过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=12BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故③正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故④正确；如图，连接CE，由△AEF∽△CBF，可得12AFCF EFBF==设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，∴△ACE的面积为3s，∵E是AD的中点，∴△CDE的面积为3s，∴四边形CDEF的面积为5s，∴S四边形CDEF=52S△ABF，故⑤正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．7．B解析：B【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF 是菱形，所以可求出BE ，AE ，进而可求出BC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，//,DE BF ∴,,DEO BFO EDO FBO ∴∠=∠∠=∠ EF 垂直平分BD ，OB OD ∴=，BOF DOE ∴∆∆≌，,OE OF ∴=∴ 四边形BEDF 是菱形，∵四边形ABCD 是矩形，四边形BEDF 是菱形，∴∠A=90°，AD=BC ，DE=BF ，OE=OF ，EF ⊥BD ，∠EBO=FBO ，∴AE=FC ．又EF=AE+FC ，∴EF=2AE=2CF ，又EF=2OE=2OF ，AE=OE ，∴△ABE ≌OBE ， ∴∠ABE=∠OBE ，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE= cos30BO ︒＝ ∴BF=BE=∴∴BC=BF+CF=故选B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°． 8．C解析：C【解析】∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴sinB=45AC AB = ， 故选C. 9．D解析：D【分析】设AC＝3k，BC＝4k，根据勾股定理得到AB＝22AC BC+＝5k＝5，求得AC＝3m，BC＝4m，根据直角三角形的性质健康得到结论．【详解】解：如图，∵梯子倾斜角α的正切值为34，∴设AC＝3k，BC＝4k，∴AB＝22AC BC+＝5k＝5，∴k＝1，∴AC＝3m，BC＝4m，∵A′B′＝AB＝5，∠A′B′C＝30°，∴A′C＝12A′B′＝52，∴AA′＝AC﹣A′C＝3﹣52＝12m，故梯子下滑的距离AA'的长度是12 m，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键，属于中考常考题型．10．D解析：D【分析】根据锐角三角函数的定义得出cosα=BCAB进而求出即可．【详解】解：如图所示：∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴cosα=45BC AB ． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键． 11．C解析：C【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD ，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠α+∠BCD ＝∠ACD +∠BCD ，∴∠α＝∠ACD ，∴cosα＝cos ∠ACD ＝BD BC ＝BC AB ＝DC AC， 只有选项C 错误，符合题意．故选：C ．【点睛】 此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD 是解题关键．12．D解析：D【分析】根据题意，做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A 到OC 的距离即可求解．【详解】解：作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=α，∴∠EAB=α，∴∠FBA=α，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a•cosα+b•sinα，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数的定义、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，正确做出辅助线，利用数形结合的思想解答．13．B解析：B【分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB 的值，再根据勾股定理可得OB 的值，进而可得点A 的坐标．【详解】解：如图，过A 点作AD x ⊥轴于D 点，Rt OAB ∆的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30．30AOD ∴∠=︒，12AD OA ∴=， C 为OA 的中点，1AD AC OC BC ∴====，2OA ∴=，3OD ∴=，则点A 的坐标为：(31)．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．14．A解析：A【分析】连接AE，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADE≌Rt△AB′E得∠DAE=12∠B′AD=30°，由DE=ADtan∠DAE可得答案．【详解】如图：连接AE∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB C D'''，∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADE和Rt△A B′E中，∵AD AB AE AE'=⎧⎨=⎩∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），∴∠DAE=∠B′AE=12∠B′AD=30°，∴DE=ADtan∠33∴点E的坐标为（-13故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形旋转．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．二、填空题15．30【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答【详解】解：设斜坡的坡角为则有∵故答案为【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键解析：30【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答．【详解】解：设斜坡的坡角为α，则有()tan 3i α==，∵()tan 3030α︒=∴=︒， 故答案为30 ．【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用，正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键 ．16．（﹣10）或（30）【分析】依题意得即可得一次函数解析式为所以由tan ∠ABO ＝2得到且可解得或进而求得结论【详解】解：∵一次函数的图象经过点∴即∴一次函数解析式为∴一次函数与x 轴y 轴的交点坐标为（解析：（﹣1，0）或（3，0）【分析】依题意得1k b =+，即1b k =-，可得一次函数解析式为1y kx k =+-，所以1k OA k -=，1OB k =-，由tan ∠ABO ＝2得到121k k k -=-且1k ≠可解得12k =或12k =-，进而求得结论． 【详解】解：∵一次函数y kx b =+的图象经过点()1,1P ，∴1k b =+，即1b k =-，∴一次函数解析式为1y kx k =+-，∴一次函数1y kx k =+-与x 轴、y 轴的交点坐标为（1k k -，0）、（0，1k -）， ∴1k OA k-=，1OB k =-， ∵tan 2OA ABO OB ∠==, ∴121k k k-=-且1k ≠， 解得，12k =或12k =-， 当12k =时，OA=1，此时点A 在x 轴负半轴上，所以点A 坐标为（﹣1，0），当12k=-时，OA=3，此时点A在x轴正半轴上，所以点A坐标为（3，0），∴A点的坐标是1,0或3,0故答案为：（﹣1，0）或（3，0）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标．解决本题时要注意点A的坐标有两种情况，不要漏解．17．【分析】首先根据勾股定理求得滑行的水平距离然后根据坡比的定义即可求解【详解】解：滑行的水平距离是：=120（米）故坡道的坡比是：50：120=故答案是：【点睛】本题考查了勾股定理以及坡比的定义正确求解析：5 12【分析】首先根据勾股定理求得滑行的水平距离，然后根据坡比的定义即可求解．【详解】2213050-（米），故坡道的坡比是：50：120=512．故答案是：5 12．【点睛】本题考查了勾股定理，以及坡比的定义，正确求得滑行的水平距离是关键．18．【解析】【分析】在和中利用锐角三角函数用CH表示出AHBH的长然后计算出AB的长【详解】由于在中米在米米故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题题目难度不大解决本题的关键是用含C解析：()120031【解析】【分析】在Rt ACH和Rt HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．【详解】由于CD//HB，CAH ACD 45∠∠∴==，B BCD 30∠∠==，在Rt ACH 中，CAH 45∠∴=，AH CH 1200∴==米，在Rt HCB ，CH tan B HB∠=， CH 12001200HB tan B tan303∠∴====米)， )AB HB HA 120012001∴=-==米，故答案为)12001. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH 和BH ．19．375【分析】首先根据题意得到BE=DE 然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE 的方程解方程即可解决问题【详解】设ED=x 则AE=6﹣x ∵四边形ABCD 为矩形∴AD ∥BC ∴∠EDB=∠DBC 由题意得解析：3.75【分析】首先根据题意得到BE =DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可解决问题．【详解】设ED =x ，则AE =6﹣x ．∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EDB =∠DBC ．由题意得：∠EBD =∠DBC ，∴∠EDB =∠EBD ，∴EB =ED =x ．由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2，即x 2=9+（6﹣x ）2，解得：x =3.75，∴ED =3.75． 故答案为3.75．【点睛】本题考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．20．2+【分析】连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点C 由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB ﹣OC=2﹣在Rt △ABC 中根据tan ∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点解析：．【分析】连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出、BC=OB ﹣OC=2Rt △ABC 中，根据tan ∠ABO=AC BC可得答案．【详解】如图，连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt △AOC 中，222221OA AC -=-3∴BC=OB ﹣OC=23∴在Rt △ABC 中，tan ∠ABO=23AC BC =-3 故答案是：3【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键． 21．【分析】先求出点B 的坐标为（1）得到OA=1OB=求出∠AOB=60°再求出∠得到求出(04)；同理得到（0）；由此得到规律求出答案【详解】将y=1代入中得x=∴B （1）∴OA=1OB=∴tan ∠A解析：()20200,4【分析】先求出点B 31），得到OA=1，3∠AOB=60°，再求出∠130OA B =得到133AA =，求出1A (0，4)；同理得到1143A B =1211312A A A B ==，2A （0，24）；由此得到规律求出答案.【详解】将y=1代入3y x =中得3 ∴B 3，1），∴OA=1，3∴tan ∠AOB=3AB OA=， ∴∠AOB=60°，∵∠A 1BO=90°， ∴∠130OA B =, ∴133AA =,∴14OA =,∴1A (0，4)； 同理：1143A B =，1211312A A AB ==， ∴2OA =1624=，∴2A （0，24）；，∴点2020A 的坐标为()20200,4，故答案为：()20200,4. 【点睛】此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键. 22．5【分析】过P 作PD ⊥OB 交OB 于点D 在直角三角形POD 中利用锐角三角函数定义求出OD 的长再由PM=PN 利用三线合一得到D 为MN 中点根据MN 求出MD 的长由OD-MD 即可求出OM 的长【详解】过P 作PD解析：5．【分析】过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D ，在直角三角形POD 中，利用锐角三角函数定义求出OD 的长，再由PM=PN ，利用三线合一得到D 为MN 中点，根据MN 求出MD 的长，由OD-MD 即可求出OM 的长．【详解】过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D ，在Rt △OPD 中，cos60°12OD OP ==，OP =12， ∴OD =6．∵PM =PN ，PD ⊥MN ，MN =2，∴MD =ND 12=MN =1， ∴OM =OD ﹣MD =6﹣1=5．故答案为：5．【点晴】本题考查的是勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．23．（10091008）【分析】根据题意得出直线OB1的解析式为y=x 进而得出OB1B2B3坐标进而得出坐标变化规律进而得出答案【详解】过B1向x 轴作垂线B1C 垂足为C 由题意可得：A （10）AO ∥A1B解析：（1009，10083） 【分析】 根据题意得出直线OB 1的解析式为y=3x ，进而得出O ，B 1，B 2，B 3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．【详解】过B 1向x 轴作垂线B 1C ，垂足为C ，由题意可得：A （1，0），AO ∥A 1B 1，∠B 1OC ＝30°，∴CB 1＝OB 1cos30°＝32， ∴B 1的横坐标为：12，则B 1的纵坐标为：32， ∴点B 1，B 2，B 3，…都在直线y ＝3x 上，∴B 1（12，32）， 同理可得出：A 的横坐标为：1，∴y ＝3，∴A 2（2，3），…A n （1+2n ，32n ）． ∴A 2016（1009，10083），故答案为：（1009，10083）【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律探究，得出A 点横纵坐标变化规律是解题关键．24．﹣【分析】由勾股定理得到AC=2由三角函数的定义得到∠CAB=30°根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°求得∠BAG=60°然后根据图形的面积即可求得【详解】在矩形ABCD 中∵AD=1CD=解析：2π【分析】由勾股定理得到AC=2，由三角函数的定义得到∠CAB=30°，根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°，求得∠BAG=60°，然后根据图形的面积即可求得．【详解】在矩形ABCD 中，∵AD=1，，∵AC=2，tan ∠CAB=3BC AD AB CD ==， ∴∠CAB=30°，∵线段AC 、AB 分别绕点A 顺时针旋转90°至AE 、AF ，∴∠CAE=∠BAF=90°，∴∠BAG=60°，∵，∴阴影部分面积=S △ABC +S 扇形ABG -S △ACG 1112222π=+=-故答案为：2π 【点睛】考查了扇形的面积计算，解题关键是灵活运用矩形、旋转的性质和熟记扇形的面积计算公式． 25．【分析】连接PMPN 根据菱形的性质求出∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x 则PB=2a －x 然后利用锐角三角函数求出PM 和P【分析】连接PM 、PN ，根据菱形的性质求出∠CAP=12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30°，从而求出∠MPN=90°，设AP=x ，则PB=2a －x ，然后利用锐角三角函数求出PM 和PN ，然后利用勾股定理求出MN 2与x 的函数关系式，化为顶点式即可求出MN 2的最小值，从而求出结论．【详解】解：连接PM 、PN∵四边形APCD 和四边形PBFE 为菱形，60DAP ∠=︒∴∠CPA=180°－∠DAP=120°，∠EPB=∠DAP=60°，PM ⊥AC ，PN ⊥EB ，AC 平分∠DAP ，PM 平分∠APC ，PN 平分∠EPB∴∠CAP=12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30° ∴∠MPN=∠MPC ＋∠EPN=90°设AP=x ，则PB=2a －x ∴PM=AP·sin ∠CAP=12x ，PN=PB·cos ∠32a －x ） 在Rt △MON 中MN 2= PM 2＋PN 2=214x ＋34（2a －x ）2=（x －32a ）2＋34a 2 当x=32a 时，MN 2取最小值，最小为34a 2 ∴MN 3 3． 【点睛】 此题考查的是菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和二次函数的应用，掌握菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和利用二次函数求最值是解决此题的关键．26．【分析】连接AE 根据AB 是直径得出AE ⊥BCCE=EB 依据已知条件得出∠CBF=∠EABFB 是圆的且线进而得出CB 的长【详解】解：连接AE ∵AB 为直径∴AE ⊥BC ∵AB=AC ∴∠EAB=∠CABEB 解析：10【分析】连接AE ，根据AB 是直径，得出AE ⊥BC ，CE=EB ，依据已知条件得出∠CBF=∠EAB ，FB 是圆的且线，进而得出CB 的长.【详解】解：连接AE ，∵AB 为直径，∴AE ⊥BC ，∵AB=AC ，∴∠EAB=12∠CAB ，EB=CE=12CB ， ∵∠CBF=12∠CAB ，tan ∠CBF=13， ∴∠CBF=∠EAB ，tan ∠EAB=EB AE =13， ∴∠CBF+∠ABC=∠EAB+∠ABC=90°，∴FB 是⊙O 的切线，∴FB 2=FD•FA ，在RT △AEB 中，AB=10， ∴10，∴10，故答案为：10.【点睛】此题考查圆周角的性质，解直角三角形，求得FB 是圆的切线是解题的关键．三、解答题27．（1）见解析；（2）3【分析】（1）由90C DBF ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，推出DBF DAC ∠=∠，由此即可证明；（2）先证明AD BD =，由ACD △∽BFD △，得1AC AD BF BD ==，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴90BDF ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90C DBF ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，∴DBF DAC ∠=∠，∴ACD △∽BFD △．（2）∵tan 1ABD ∠=，90ADB ∠=︒， ∴1AD BD=， ∴AD BD =，∵ACD △∽BFD △， ∴1AC AD BF BD==， ∴3BF AC ==．【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．28．该文化墙PM 不需要拆除，见解析【分析】首先过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则天桥高CD=6，由新坡面的坡度为13tanα=tan ∠CAB=33==，然后由特殊角的三角函数值来求AD ，BD 的长；由坡面BC 的坡度为1：1，新坡面的坡度为13AD ，BD 的长，继而求得AB=AD-BD 的长，则可求得PA 答案．【详解】解：该文化墙PM 不需要拆除，理由：设新坡面坡角为α，新坡面的坡度为13， ∴tanα33==，∴α＝30°．作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米， ∵新坡面的坡度为13∴tan ∠CAD CD 6AD AD 3===解得，AD ＝63，∵坡面BC 的坡度为1：1，CD ＝6米，∴BD ＝6米，∴AB ＝AD ﹣BD ＝（3-6）米，又∵PB ＝8米，∴PA ＝PB ﹣AB ＝8﹣（3-6）＝14﹣63≈14﹣6×1．732≈3．6米＞3米，∴该文化墙PM 不需要拆除．【点睛】此题考查了坡度坡角的知识．注意根据题意构造直角三角形，利用好坡比，会解直角三角形是关键．29． AB=7)31米． 【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x （米），再利用CD=BC-BD=14的关系，进而可解即可求出答案．【详解】解：在Rt △ABD 中，∵∠ADB=45°，∴3．在Rt △ABC 中，∵∠ACB=30°， ∴BC=AB ．设AB=x （米），∵CD=14，∴BC=x+14．∴3x∴x=7)31 即铁塔AB 的高为7)31米． 【点睛】 本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．30．（1）15342--2）11193x +=，21193x -=；（3）13x =，26x =-； 【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，以及乘方的意义计算即可得到结果；（2）利用求根公式计算即可；（3）将（x -1）看作整体，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：222cos30sin 45cos 60tan 45-+︒+︒︒︒=214()1222-++⨯=14++1)124---=1542--； （2）解：23260x x --=，∵3,2,6a b c ==-=-，∴2(2)43(6)472760,∆=--⨯⨯-=+=>∴方程有两个不相等的实根，∴x ==∴113x =，213x =； （3）解：2(1)5(1)140x x -+--=，[][](1)7(1)20,x x -+--=∴60x +=或30x -=，∴126,3x x =-=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的运算以及一元二次方程的解法，常用的解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

人教版 九年级数学 第28章 锐角三角函数 综合训练(含答案)

人教版 九年级数学 第28章 锐角三角函数 综合训练(含答案)

人教版九年级数学第28章锐角三角函数综合训练一、选择题（本大题共10道小题）1. (2019•湖南怀化)已知∠α为锐角，且sinα=，则∠α=A．30°B．45°C．60°D．90°2. (2019•湖南湘西州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是A．10 B．8C．4D．23.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A. 斜坡AB的坡度是10°B. 斜坡AB的坡度是tan10°C. AC＝1.2tan10°米D. AB＝1.2cos10°米4. (2019•湖南长沙•3分)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．(30+30)nmile5.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是( )A. 12B. 1 C. 3D. 26. 如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（）A. B. C. D.7. (2019·浙江金华)如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是A．∠BDC=∠αB．BC=m•tanαC．AO D．BD8.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )A.11－sinαB.11＋sinαC.11－cosαD.11＋cosα9.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为( )A. 12B.22C.32D.3310. (2019·浙江温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为A．米B．米C．米D．米二、填空题（本大题共7道小题）11.如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝32，则t的值是________．12. 长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了________m.13.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC ＝2，则tan D＝________．14. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为__________m．(结果保留根号)15. （2020·苏州）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线.过点作，交射线于点，过点作，交于点.设，，则________.16.（2020·杭州）如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，OC ．若，则________．17. (2019·浙江舟山)如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC2AB2，则tanC=__________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 已知：如图，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，sin∠B＝ADc，则AD＝c sin∠B；在Rt△ACD中，sin∠C＝________，则AD＝________．所以c sin∠B＝b sin∠C，即bsinB＝csinC，进一步即得正弦定理：a sinA＝bsinB＝csinC.(此定理适合任意锐角三角形)．参照利用正弦定理解答下题：在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．19.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B、C、E在同一水平直线上)，已知AB＝80 m，DE＝10m，求障碍物B、C两点间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)20.如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行30 3 m到达A′处．(1)求A，B之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．21. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．人教版 九年级数学 第28章 锐角三角函数 综合训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sin α=，∴∠α=30°．故选A ．2. 【答案】D【解析】∵∠C=90°，cos ∠BDC=，设CD=5x ，BD=7x ，∴BC=2x ，∵AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，∴AD=BD=7x ，∴AC=12x ， ∵AC=12，∴x=1，∴BC=2；故选D ．3. 【答案】B 【解析】∵斜坡AB 的坡角是10°，∴选项A 是错误的；∵坡度＝坡比＝坡角的正切，∴选项B 是正确的；∵AC ＝ 1.2tan10° 米，∴选项C 是错误的；∵AB ＝ 1.2sin10° 米，∴选项D 是错误的．4. 【答案】D【解析】过C 作CD ⊥AB 于D 点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60． 在Rt △ACD 中，cos ∠ACD=，∴CD=AC •cos ∠ACD=60×=30．在Rt △DCB 中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．所以此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是(30+30)nmile ．故选D ．5.【答案】D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE,则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE ＝2.6. 【答案】B【解析】过点B 作BD ⊥AC 于D 点D ， 则∠ADB=90°，设小正方形方格的边长为1，根据勾股定理得AB=，BD=,∴在Rt △ABD 中，sin∠BAC=,故选B ．7. 【答案】C【解析】A 、∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD ，AO=CO ，BO=DO ，∴AO=OB=CO=DO ，∴∠DBC=∠ACB ，∴由三角形内角和定理得：∠BAC=∠BDC=∠α，故本选项不符合题意；B、在Rt△ABC中，tanα，即BC=m•tanα，故本选项不符合题意；C、在Rt△ABC中，AC，即AO，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=m，∵∠BAC=∠BDC=α，∴在Rt△DCB 中，BD，故本选项不符合题意；故选C．8. 【答案】A【解析】在Rt△PCB′中，sinα＝PCPB′，∴PC＝PB′·sinα，又∵B′D＝AC＝1，则PB′·sinα＋1＝P A，而PB′＝P A，∴P A＝11－sinα.9. 【答案】A 【解析】如解图，连接OC，∵EC切⊙O于C，∴∠OCE＝90°，∵OA＝OC，解图∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COE＝∠ACO＋∠A＝30°＋30°＝60°，∴∠E＝180°－∠OCE－∠COE＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt△COE中，sin∠E＝sin30°＝1 2.10. 【答案】B【解析】如图，作AD⊥BC于点D，则BD0.3，∵cosα，∴cosα，解得AB米，故选B．二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】9 2【解析】如解图，过点A作AB⊥x轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB＝3，AB＝t，在Rt△ABO中，tanα＝ABOB＝t3＝32，解得t＝92.12. 【答案】2(3－2) 【解析】开始时梯子顶端离地面距离为4×sin45°＝4×2 2＝22，移动后梯子顶端离地面距离为4×sin60°＝4×3 2＝23，故梯子顶端沿墙面升高了 23－22＝2(3－2)m.13. 【答案】22【解析】如解图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝3×2＝6，AC＝2，∴BC＝AB2－AC2＝62－22＝42，∵∠D＝∠A，∴tan D＝tan A＝BCAC＝422＝2 2.14. 【答案】103＋1【解析】如解图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则AE＝CD＝10m，在Rt△AEB中，BE＝AE·tan60°＝10×3＝10 3 m，∴BC＝BE＋EC＝BE＋AD＝(103＋1)m.15. 【答案】【答案】16. 【答案】【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC与⊙O相切于点B，所以AB⊥BC，所以∠ABC＝90°．在Rt△ABC中，因为sin∠BAC＝，所以＝．设BC＝x，则AC＝3x．在Rt△ABC中，由勾股定理得直径AB＝＝＝，所以半径OB＝．在Rt△OBC中，tan∠BOC ＝＝＝，因此本题答案为．17. 【答案】【解析】如图，过B作BD⊥AC于D，∵∠A=45°，∴∠ABD=∠A=45°，∴AD=BD．∵∠ADB=∠CDB=90°，∴AB2=AD2+DB2=2BD2，BC2=DC2+BD2，∴AC2–BC2=(AD+DC)2–(DC2+BD2)=AD2+DC2+2AD•DC–DC2–BD2=2AD•DC=2BD•DC，∵AC2–BC2AB2，∴2BD•DC2BD2，∴DC BD，∴．故答案为:．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：∵sin C ＝AD AC ＝AD b ，∴AD ＝b sin C ，(2分)由正弦定理得：BC sinA ＝AB sinC ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°，∴∠A ＝60°，(5分)∴2sin60°＝AB sin45°，(7分)∴AB ＝2×22÷32＝263.(9分)19. 【答案】解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，(1分) ∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，(2分)第12题解图由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ，∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°，(3分)在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°，∵tan ∠DCE ＝DE CE ，(4分)∴CE ＝10tan30°＝103，(5分)在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°，∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，(6分)∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )．(7分)答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．(8分)20. 【答案】解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA′∥BC，∴∠B＝∠FAB＝30°，(2分) 又∵AC＝60 m，在Rt△ABC中，sin B＝ACAB，即12＝60AB，∴AB＝120 m.答：A，B之间的距离为120 m．(4分)(2)如解图，连接A′D，作A′E⊥BC交BC延长线于E，∵AA′∥BC，∠ACB＝90°，∴∠A′AC＝90°，(5分)∴四边形AA′EC为矩形，∴A′E＝AC＝60 m，又∵∠ADC＝∠FAD＝60°，在Rt△ADC中，tan∠ADC＝ACCD，即5＝60CD，∴CD＝20 3 m，(8分)∴DE＝DC＋CE＝AA′＋DC＝303＋203＝50 3 m，(10分)∴tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝A′EDE＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值为235.(12分)21. 【答案】解：∵tan∠OBC＝tan30°＝OCBC＝33，∴OC＝33BC，(2分)∵sin∠OAC＝sin75°＝OCOA≈0.97，∴33BC40≈0.97，(6分)∴BC≈67.1(cm)．(8分)。

人教版九年级下册数学第二十八章 锐角三角函数含答案(综合题)

人教版九年级下册数学第二十八章 锐角三角函数含答案(综合题)

人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、当45°＜θ＜90°时，下列各式中正确的是（）A.tanθ＞cosθ＞sinθB.sinθ＞cosθ＞tanθC.tanθ＞sinθ＞cosθD.cosθ＞sinθ＞tanθ2、当锐角A的cosA＞时，∠A的值为（）A.小于45°B.小于30°C.大于45°D.大于30°3、sin45°的值等于（）A. B. C. D.14、正方形网格中，如图放置，则tan的值是（）A. B. C. D.25、如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A.（sinα，sinα）B.（cosα，cosα）C.（cosα，sinα） D.（sinα，cosα）6、在直角三角形中,若各边的长度都缩小5倍,那么锐角∠A的正弦值 ( )A.扩大5倍B.缩小5倍C.没有变化D.不能确定7、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠BAC的正切值是（）A.2B.C.D.8、锐角A满足cosA=，利用计算器求∠A时，依次按键则计算器上显示的结果是（）A.30°B.45°C.60°D.75°9、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，tanB＝（）A. B. C. D.10、如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点画射线，则的值为（）A. B. C. D.11、在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，那么∠A的余弦值等于（）A. B. C. D.12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=2，则cosA的值是（）A. B. C. D.13、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N 是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（）.A. B. C. D.214、如图,一船向正北方向匀速行驶,在C处看见正西方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,在D处看见灯塔B在南偏西60°方向上,灯塔A在南偏西75°方向上,则该船的速度应该是( )海里/小时.A.10B.5C.10D.515、如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90º，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，AB=，AD=2，BC=3，下列结论：①∠CAE=30º；②AC=2AB；③S△ADC =2S△ABE；④BO⊥CD，其中正确的是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④二、填空题(共10题，共计30分)16、计算：________．17、如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 ，则S△ABC＝________．18、如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为________.19、如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D是AC上的一点，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点C落在BC边上的点E处，连接AE、DE，当∠CDE=∠AEB时，AE的长是________.20、计算﹣2sin45°的结果是________ ．21、如图，在高出海平面100m的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，测得它的俯角为30°，则船与观测者之间的水平距离约为________．（精确到1m．）22、在平面直角坐标系xOy中，点A1， A2， A3，…和B1， B2，B 3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（），那么点An的纵坐标是________．23、如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，cos∠OAB= ，则AB的长是________.24、如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA=________ ．25、如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B ，如果AB=2000米，则他实际上升了________米．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：27、如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一平面内，它们的海拔高度′、BB′、CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度，钢缆BC 的坡度，景区因为改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？28、在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离．现测得AC＝50m，BC＝100m，∠CAB＝120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离．29、在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）30、已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，求此菱形的周长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A4、D5、C6、C7、D8、C9、B10、D11、A12、B13、B14、A15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。

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数学九年级下第二十八章锐角三角函数 28.2 综合训练
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题
1 . 如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，BD＝500米，∠D＝55°，使A、C、E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是（）
A．500sin55°米B．500cos35°米
C．500cos55°米D．500tan55°米
2 . 小蓉从格致楼底楼点A处沿立人大礼堂旁的台阶AB拾阶而上，步行20米后到达万象楼楼底点B，再从点B直线行进15米到达直通博雅楼的台阶底端C，然后沿台阶CD步行至博雅楼底楼的小平台D．在D点处测得竖立于百汇园旁的万象楼BE的楼顶点E的仰角为30°．如图所示，已知台阶AB与水平地面夹角为45°，台阶CD与水平地面夹角为60°，CD＝12米，点A，B，C，D，E在同一平面．则格致楼楼底点A到万象楼楼顶点E的垂直高度约为（）（参考数据：≈1.7，≈1.4）
A．22.1米B．35.2米C．27.3米D．36.1米
3 . 如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）
A．
B．C．
D．
二、填空题
4 . 某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰．现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来．请你根据图中数据判断这一楼顶铺设的瓦片是否会滑落下来？________．（填“会”或“不会”）
5 . 如图，飞机在目标的正上方米处，飞行员测得地面目标的俯角为，则地面目标的长
是________米．
三、解答题
6 . 如图，五泉山的两个景点、处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时，测得景点的俯角为，景点的俯角为，测得、之间的距离为100米，求景点、之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，
，，）
7 . 已知港口位于观测点的东北方向，且其到观测点正北方向的距离的长为千米，一艘货轮从
港口以千米/时的速度沿如图所示的方向航行，分后到达处，现测得处位于观测点北偏东方向，求此时货轮与观测点之间的距离的长（精确大千米）
（参考数据：，，，）。

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