吉林省延边二中2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

延边第二中学2015—2016学年度第二学期期中考试高二数学（理）试卷（时间120分，满分140分）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1．在复平面内，复数312iz i=-+的虚部为（ ）．A ．35iB ．35i -C ．35D ．35-2．用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n ﹣1）2=n （4n 2﹣1）过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为（ ）A ．（2k ）2B ．（2k+3）2C ．（2k+2）2D ．（2k+1）23．4cos 2cos sin xdx x xπ=+⎰（ ）A ．)21 B 1 C 1 D ．24．已知(0,)x ∈+∞有下列各式：34224,2122≥++=+≥+xx x x x x x ，4273332733≥+++=+xx x x x x 成立，观察上面各式，按此规律若45ax x +≥，则正数a =（ ）A ．44 B ．5 C ． 4 D ．555．函数8)(3-++=x ax x x f )(R a ∈在区间],[n m 上有最大值10，则函数)(x f 在区间],[m n --上有( )A.最大值-10B. 最小值-10C. 最小值-26D. 最大值-266．若曲线()()a f x g x x ==，在点()1,1P 处的切线分别为12,l l ，且12l l ⊥，则实数a 的值为（ ）A .-2B .2C .12 D .12-7．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“3”或“6”或“9”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）A ．2000B ．4096C ．7599D ．83208．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 （ ）A.36种 B. 30种 C. 24种 D. 6种 9．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有不同的放法( )A ．15种B ．18种C ．19种D ．21种10．将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为（ ）A ．48B ．24C ．20D ．1211．设函数x x x f sin 1)(-=在0x x =处取极值，则)2cos 1)(1(020x x ++=( )．A ． 1B ．12C ．2D ． 412．已知曲线，点是曲线上的点，曲线在点处的切线是，与轴相交于点.若原点到切线的距离与线段的长度之比取得最大值，则点的坐标为( )A ．11,4n n ⎛⎫⎪⎝⎭ B ． 11,24n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ． 11,2n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 11,42n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（包括4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上） 13. 若函数()31f x ax x =++图像在点()()1,1f 的处切线过点()2,7，则a = .14．定义在R 上的函数)(x f 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 ．15．埃及数学发现一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数（分子为1的分数）和的形式，例如2115315=+，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得11315+.形如()25,7,9,11n n=的分数的分解：211211211,,531574289545=+=+=+，按此规律211= .16. 已知函数21()(,g x a x x e e=-≤≤e 为自然对数的底数)与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（包括6个题，17、18题各10分，19、20、21题12分，22题为附加题，20分。

请写必要的解答过程）17.已知复数)()65(6722R a i a a a a z ∈--++-=， （1）a 为何值时,z 是纯虚数；（2）当6za =-Z 的共轭复数.18. 某地有10个著名景点，其中8 个为日游景点，2个为夜游景点．某旅行团要从这10个景点中选5个作为二日游的旅游地．行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点，第二天上午、下午各一个景点．（1）甲、乙两个日游景点至少选1个的不同排法有多少种？ （2）甲、乙两日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种？ （3）甲、乙两日游景点不同时被选，共有多少种不同排法？19．湖北宜昌“三峡人家”风景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游收入y 万元与投入)10(≥x x 万元之间满足：10ln 50101)(2xb x ax x f y -+==，b a ,为常数，当10=x 万元时，2.19=y 万元；当20=x 万元时，7.35=y 万元.（参考数据：7.02ln =，1.13ln =，6.15ln =）（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）求该景点改造升级后旅游利润)(x T 的最大值.（利润=旅游收入-投入）20．已知()ln 1mf x n x x =++（,m n 为实数），在1x =处的切线方程为20x y +-=．（ 1）求()y f x =的单调区间；（2）若任意实数1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的上恒有()3222f x t t at ≥--+成立，求实数a 的取值范围．21.已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．22.(附加题)（本小题满分20分）设函数()221ln g x x x m x =-++（R m ∈）．（1）求函数()y g x =的单调递增区间；（2）若函数()y g x =有两个极值点a ，b ，且a b <，记[]x 表示不大于x 的最大整数，试比较()()sin g a g b ⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦与()()()cos g a g b ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的大小．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D D C A C A C B B B C B12．试题分析：因为，所以切线的方程为，即，令，得，所以点坐标为；原点到切线的距离，，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时，所以点的坐标为.13． 1 14．（0，+∞） 15．11666+16．2[1,2]e-.试题分析：由题意，方程22lna x x-=-在1[,]ee上有解，变形为212ln()a x x x ee=-≤≤，2'2a xx=-，当11xe≤<时，'0a<，当1x e<≤时，'0a>，'(1)0a=，因此1x=时，a取得最小值1，又211()2ae e=+，2()2a e e=-，因为22122ee->+，所以a的最大值为22e-，a的范围是2[1,2]e-.17.【答案】（1）1=a（2）当2a=时，412z i=--,得412Z i=-+；当2a=-时，248z i=+,得248Z i=-试题分析：（1）Z是纯虚数，0672=+-aa，且0652≠--aa，得1=a 10分（2）当6za=-(1)(1)a a i-++22(1)(1)10a a-++=，得2±=a56当2a =时，412z i =--,得412Z i =-+；当2a =-时，248z i =+,得248Z i =-18. 【答案】（1）甲、乙两个日游景点至少选1个的不同排法有2640种； （2）甲、乙两日游景点在同一天游玩的不同排法有240种； （3）甲、乙两日游景点不同时被选，共有2640种不同排法.试题分析：（1）()2640443612442612=⨯⨯+⨯A C C A C C （种） （2）24026221212=⨯⨯⨯A A C C （种） （3）()264044264812=⨯-⨯A C A C （种） 19.．（Ⅰ）).10(10ln 50101100)(2≥-+-=x xx x x f ；（Ⅱ）24.4万元. 试题分析：（Ⅰ）由10=x 万元时，2.19=y 万元；20=x 万元时，7.35=y 万元代入已知函数，解方程组b a ,；（Ⅱ）由导数法求极值，再求最值.试题解析：（Ⅰ）由条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯+⨯=-⨯+⨯7.352ln 2050101202.191ln 10501011022b a b a ，解得1,1001=-=b a ， 则).10(10ln 50101100)(2≥-+-=x x x x x f （Ⅱ）由)10(10ln 5051100)()(2≥-+-=-=x xx x x x f x T 则xx x x x x T 50)50)(1(1505150)(---=-+-='， 令1,0)(=='x x T 则（舍）或50=x当)50,10(∈x 时，0)(>'x T ，因此)(x T 在（10，50）上是增函数；7当),50(+∞∈x 时，0)(<'x T ，因此)(x T 在（50，+∞）上是减函数，50=∴x 为)(x T 的极大值点.即该景点改造升级后旅游利润)(x T ）的最大值为4.24)50(=T 万元.20．（1）减区间为()0,+∞，没有递增区间；（2）54a ≥ 试题解析：（1）()()'21mn f x x x =-++，由条件可得：()()'111,112,2f f m n ==∴==- ()()()()''2210021f x x f x f x xx ∴=-+>∴<∴+的减区间为()0,+∞，没有递增区间；（2）由⑴可知，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()11f =∴只需3221212t t at a t t t --≤∴≥-+对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立令()()()()22'2212111,21t t t g t t t g t t t t t-++=-+=--= ∴当112t ≤<时，()()'0,g t g x <单调递减，当12t <≤时，()()'0,g t g x >单调递增 而()()1202g g g t ⎛⎫-<∴⎪⎝⎭的最大值为()522g =∴只需55224a a ≥∴≥； 21．【答案】(Ⅰ) ⎛ ⎝⎭；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(),1-∞． 试题解析：（I ）()2111x x f x x x x -++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得102x <<．故()f x的单调递增区间是10,2⎛ ⎝⎭．8（II ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<，所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()F F 10x <=，即当1x >时，()1f x x <-． （III ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意．当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增．从而当()21,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-，综上，k 的取值范围是(),1-∞． 22. 【答案】（1）21≥m 函数的增区间为),0(+∞；210<<m ，函数的单调增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2211,0m 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+,2211m ； 0≤m 函数的单调增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+,2211m (2) 当[()]1g a =-时，)]([)]([sin b g a g >)])()][(cos([b g a g ； 当[()]0g a =时，)]([)]([sin b g a g <)])()][(cos([b g a g试题解析：（1）显然函数的定义域为),0(+∞，且xm x x x m x x g +-=+-=2222)(2/令0)(/>x g 并结合定义域可得0222>+-m x x 对应一元二次方程的判别式m84-=∆故当084>-=∆m ，即21<m 时，对应方程有两个不等实根22111m x --=与922112mx -+=① 当084≤-=∆m ，即21≥m 时，0)(/≥x g 恒成立，所以函数的增区间为),0(+∞ ② 当210<<m 时，对应方程两根为正，故函数的单调增区间为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2211,0m 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+,2211m ③ 当0≤m 时，对应方程两根01≤x ，02>x ，故函数的单调增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+,2211m （3）xm x x x m x x g +-=+-='2222)(2，令0)(='x g 得,0222=+-m x x 由题意知方程有两个不相等的正数根)(,b a b a <，则⎪⎩⎪⎨⎧>>-=∆02,0)21(4m m 解得210<<m ，解方程得2211m b -+=，则121<<b .又由0222=+-m b b 得b b m 222+-=，所以)(b g =b b b b b b m b b ln )22(12ln 12222+-++-=++-,).1,21(∈bb b b b b b b g ln )21(422ln )24(22)(--=-++-+-='当)1,21(∈b 时， 0)(>'b g ，即函数)(b g 是)1,21(上的增函数所以0)(42ln 21<<-b g ，故)(b g 的取值范围是)0,42ln 21(-则1)]([-=b g . 同理可求210<<a ，)(a g =a a a a a ln )22(1222+-++-，a ).21,0(∈0ln )21(4)(<--='a a a g ，即函数)(a g 是)21,0(上的减函数所以1)(42ln 21<<-a g ，故)(a g 的取值范围是)1,42ln 21(-则[()]1g a =-或[()]0g a =当[()]1g a =-时，)]([)]([sin b g a g >)])()][(cos([b g a g ；当[()]0g a =时，)]([)]([sinb g a g <)])()][(cos([b g a g .。