北师大版高中数学(必修2)1.1《简单几何体》

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2024-2025学年高中数学第1章立体几何初步1简单几何体(教师用书)教案北师大版必修2

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的简单几何体的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
拓展与延伸
1. 提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：
- 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的代表作，其中包含了关于立体几何的详细论述，对于理解立体几何的概念和定理非常有帮助。
举例：可以用坐标系表示几何体的顶点或中心点的位置，用向量表示几何体的尺寸和方向。
（3）几何体的表面积和体积计算：如何计算简单几何体的表面积和体积。
举例：正方体的表面积公式为6a²，其中a为边长；正方体的体积公式为a³。
2.教学难点
（1）理解并应用几何体的特征：学生可能对几何体的特征和性质理解不深，难以运用到实际问题中。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕简单几何体的问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验几何体的应用，提高实践能力。
在新课呈现结束后，对简单几何体的知识点进行梳理和总结。
强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
- 学习如何表示和描述简单几何体的尺寸和位置；
- 掌握如何计算简单几何体的表面积和体积。
2.教学目标：
- 学生能准确识别和描述常见简单几何体的特征；
- 学生能运用数学语言和符号表示简单几何体的尺寸和位置；
- 学生能计算简单几何体的表面积和体积，并能解决相关实际问题。
三、教学步骤
1.导入（5分钟）：通过展示一些实际生活中的几何体模型，引导学生思考和讨论这些模型的特征和数学关系。

高中数学北师大版必修2 1.1 教学设计《简单多面体》(数学北师大必修二)

《简单多面体》教学设计本课时编写：崇文门中学高巍巍教材分析:立体几何是认识我们生活的空间世界必须的常识性知识，是数学学科的重要分支.本节是立体几何的起始课，最重要的是认识几何体，并了解柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征.学生通过观察实物和图片，引导学生将观察到实物进行归纳、分类、抽象、概况，得出几何体的结构特征及其概念，构建空间想象能力.这节课主要认识简单多面体.学生们通过观察类比简单并得出结论旋转体得出相应的概念及结构特征.教学目标：【知识与能力目标】1、通过实物操作，增强学生的直观感知.2、能根据几何结构特征对空间物体进行分类.3、会用语言概述棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征.4、会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类.【过程与方法】1、学生通过直观感受空间物体，类比简单旋转体的研究方法，概括出棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征.2、学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识.【情感态度与价值观】1、学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力.2、学生通过学习，提高增强空间想象能力和抽象括能力.教学重难点：【教学重点】让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征.【教学难点】棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括.课前准备：课件、学案、实物模型.教学过程：一、课题引入：首先引导学生复习上节课的简单旋转体，并回忆主要概念复述.问题1：生活中的几何体是都是旋转体吗？如果不是你觉得还有哪些几何体？能举例说明吗？问题2：这幅图片的建筑中抽象出的几何体是旋转体吗？是通过平面图形旋转得到的吗？那这是咱们了解过的哪种几何体呢？它如果不是旋转出来的，那又是由平面图形如何得到的呢？问题3：请你将下列几何体进行分类？【设计意图】通过三个问题串，学生能认识到生活中的几何体并不都是旋转体，还有一类并不是由平面图形旋转形成，而是由平面多边形围成的，引出简单多面体的概念.所有的知识分类得出都自然而然，要顺着学生的思维模式，教师只是加以引导，这样学生才能理解记忆，而不是单纯的死记硬背.二、新课探究：1、简单多面体：由若干个平面多变形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.问题4：如果将简单多面体进一步分类，你觉得可以分成哪几类呢？类比一下旋转体.2、棱柱：① 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各叫做棱柱的侧面.相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.上下底面间的距离叫做棱柱的高．问题5：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？问题6：一个棱柱至少有几个侧面？一个n 棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？【设计意图】对多面体概念有更深刻的理解，并引出棱柱的分类和表示.②分类：A.按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱等B.按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）.其中底面为正多边形的直棱柱为正棱柱.③表示：如六棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’.④结构特点：A.棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形；顶点底面①定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面.有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面.各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高．②分类：A.按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥等.B.特别地，若底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.③表示：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S-ABCD.④结构特征：A.底面为多边形；顶点顶点B.其余各面为有公共顶点的三角形；C.正棱锥：底面为正多边形，其余各面为有公共顶点的等腰三角形.4、棱台：①定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面.其他各面叫做棱台的侧面.相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱.两底面间的距离叫做棱台的高．②分类：A.由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台等.B.用平行底面平面截得正棱锥所得到的棱台为正棱台.③表示：如六棱台ABCDE-A’B’C’D’E’.④结构特征：A.棱台的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的相似多边形；B.延长侧棱交于一点，还原为棱锥；C.侧面均为梯形，特别地，正棱台侧面均为等腰梯形.三、知识应用：题型一棱柱、棱锥、棱台的概念例1. 下列说法正确的是()A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形【答案与解析】A根据棱柱的概念，棱柱的侧面也有可能平行，故B不对，直棱柱侧棱才是棱柱的高，故C 不正确；棱柱的底面有可能是平行四边形，故D 不正确．例2. 判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)① 棱柱的侧面都是平行四边形. ( )② 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥. ( )③ 用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台. ( )【答案与解析】① √ ② × ③×例3. (1) 如图,过BC 的截面截去长方体的一角,所得的几何体还是不是棱柱,被截去的几何体是不是棱柱？(图1) (图2)(2) 观察长方体共有多少对平行平面,能作为棱柱底面的有几对？(3) 观察下面的三棱锥,能作为棱锥底面的有几个？(图3) (图4)(4) 结合棱台的定义,请同学们判断下列几何体是不是棱台并说明理由.题型二利用棱柱、棱锥、棱台的概念，解决计算问题例4. 在正四棱锥P －ABCD 中，底面边长为2，斜高为2.求（1）侧棱长；（2）棱锥的高.解：在Rt PBM ∆中，2PM =,112BM BC ==,则PB =在Rt POM ∆中，2PM =,1OM =,则PB ==例5．正三棱柱ABC A'B'C'-的底面边长是4 cm ，过BC 的一个平面交侧棱AA ′于D ，若AD 的长是2 cm ，试求截面BCD 的面积．解：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC .因为AE ＝32×4＝23，所以DE ＝(23)2＋22＝4，所以S △BCD ＝12BC ·ED ＝12×4×4＝8(cm 2)．所以截面BCD 的面积是8 cm 2. 【设计意图】更好地理解掌握棱柱、棱锥、棱台的相关概念.一定要学生自己分析，找到问题的症结所在.将立体几何的问题化归为平面几何解决.最终变为三角形、四边形中的求值问题.题型三利用棱柱、圆锥、圆台的展开图，解决相关问题.例6. 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解：由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．例7．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，高为2，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕一周到达A 1点的最短路线的长为________．【设计意图】将立体几何的问题化归为平面几何解决.要熟练掌握立体图形展开图，构建空间想象能力.教学反思：这节课在上节课的基础上继续研究简单多面体，类比的让孩子更多的自主学习研究，在学习中对立体几何产生兴趣，让孩子了解学习立体几何的重要性.例题一定要给学生充分的时间讨论，明确将立体几何的问题化归为平面几何解决是根本思路方法.。

北师大版必修第二册第6章 1.1 构成空间几何体的基本元素 1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台

C [显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C．]
棱锥和棱台的结构特征
【例2】 (1)下列说法正确的有( )
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；
②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；
2．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
①
②
③
提示：图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
(2)
有关棱柱的结构特征问题的解题策略 1紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析 ①两个面互相平行； ②其余各面是平行四边形； ③每相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征. 2多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.
[跟进训练] 1．下列关于棱柱的说法中，错误的是( ) A．三棱柱的底面为三角形 B．一个棱柱至少有五个面 C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
思考：1.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥吗？
提示：不一定是．只有当这些三角形有公共的顶点时才是棱锥．
2．棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？
提示：因为棱台是由棱锥截得的，所以棱台的各侧棱延长线一定相交于一点.
1．下列棱锥有6个面的是( )
A．三棱锥
B．四棱锥

北师大版高中数学课本目录大全(必修)

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。

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高中数学北师大版目录北师大版《数学 (必修 1)》§ 5 平行关系全书目录：§ 6 垂直关系第一章集合§ 7 简单几何体的面积和体积§ 1 集合的含义与表示§ 8 面积公式和体积公式的简单应用§ 2 集合的基本关系阅读材料蜜蜂是对的§ 3 集合的基本运算课题学习正方体截面的形状阅读材料康托与集合论第二章解析几何初步第二章函数§ 1 直线与直线的方程§ 1 生活中的变量关系§ 2 圆与圆的方程§ 2 对函数的进一步认识§ 3 空间直角坐标系§ 3 函数的单调性阅读材料笛卡儿与解析几何§ 4 二次函数性质的再研究探究活动 1 打包问题§ 5 简单的幂函数探究活动 2 追及问题阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算必修 3全书目录第三章指数函数和对数函数第一章统计§ 1 正整数指数函数§ 1 统计活动：随机选取数字§ 2 指数概念的扩充§ 2 从普查到抽样§ 3 指数函数§ 3 抽样方法§ 4 对数§ 4 统计图表§ 5 对数函数§ 5 数据的数字特征§ 6 指数函数、幂函数、对数函数增长§ 6 用样本估计总体的比较§ 7 统计活动：结婚年龄的变化阅读材料历史上数学计算方面的三大§ 8 相关性发明§ 9 最小二乘法阅读材料统计小史第四章函数应用课题学习调查通俗歌曲的流行趋势§ 1 函数与方程§ 2 实际问题的函数建模第二章算法初步阅读材料函数与中学数学§ 1 算法的基本思想探究活动同种商品不同型号的价格问§ 2 算法的基本结构及设计题§ 3 排序问题§ 4 几种基本语句必修 2 课题学习确定线段 n 等分点的算法全书目录：第一章立体几何初步第三章概率§ 1 简单几何体§ 1 随机事件的概率§ 2 三视图§ 2 古典概型§ 3 直观图§ 3 模拟方法――概率的应用§ 4 空间图形的基本关系与公理探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值 1.2 数列的函数特性§ 2 等差数列必修 4 全书目录： 2.1 等差数列2.2 等差数列的前ｎ项和第一章三角函数§ 3 等比数列§ 1 周期现象与周期函数 3.1 等比数列§ 2 角的概念的推广 3.2 等比数列的前ｎ项和§ 3 弧度制§ 4 书雷在日常经济生活中的应§ 4 正弦函数用§ 5 余弦函数本章小节建议§ 6 正切函数复习题一§ 7 函数的图像课题学习教育储蓄§ 8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐第二章解三角形课题学习利用现代信息技术探究的图§ 1 正弦定理与余弦定理像 1.1 正弦定理1.2 余弦定理第二章平面向量§ 2 三角形中的几何计算§ 1 从位移、速度、力到向量§ 3 解三角形的实际应用举例§ 2 从位移的合成到向量的加法本章小结建议§ 3 从速度的倍数到数乘向量复习题二§ 4 平面向量的坐标§ 5 从力做的功到向量的数量积第三章不等式§ 6 平面向量数量积的坐标表示§ 1 不等关系§ 7 向量应用举例 1.1 不等关系阅读材料向量与中学数学 1.2 比较大小§ 2 一元二次不等式第三章三角恒等变形 2.1 一元二次不等式的解法§ 1 两角和与差的三角函数 2.2 一元二次不等式的应用§ 2 二倍角的正弦、余弦和正切§ 3 基本不等式§ 3 半角的三角函数 3.1 基本不等式§ 4 三角函数的和差化积与积化和差 3.2 基本不等式与最大（小）§ 5 三角函数的简单应用值课题学习摩天轮中的数学问题§ 4 简单线性规划探究活动升旗中的数学问题 4.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划必修 5 4.3 简单线性规划的应用全书共三章：数列、解三角形、不等式。

北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)

高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算（重点)（2课时）·第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性（重点）· 4、二次函数性质的再研究（重点)· 5、简单的幂函数(5课时)·第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数（重点）· 4、对数· 5、对数函数（重点）· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）(3课时）·第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模（2课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图（重点）· 3、直观图（1课时）· 4、空间图形的基本关系与公理（重点)· 5、平行关系(重点）· 6、垂直关系（重点)· 7、简单几何体的面积和体积（重点）· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点）(4课时）·第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系（4课时）北师大版高中数学必修三·第一章统计· 1、统计活动：随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征(重点）· 6、用样本估计总体· 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法(3课时)·第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计（重点）· 3、排序问题（重点）· 4、几种基本语句（2课时）·第三章概率· 1、随机事件的概率（重点）· 2、古典概型(重点）· 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（4课时)北师大版高中数学必修四·第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数（重点）· 6、正切函数(重点）· 7、函数的图像（重点)· 8、同角三角函数的基本关系(重点、难点）（5课时）·第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法（重点）· 3、从速度的倍数到数乘向量（重点）· 4、平面向量的坐标（重点)· 5、从力做的功到向量的数量积(重点）· 6、平面向量数量积的坐标表示（重点)· 7、向量应用举例（难点）（5课时）·第三章三角恒等变形(重点）· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用（难点）（4课时)北师大版高中数学必修五·第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列（重点）· 4、等差数列的前n项和（重点）· 5、等比数列（重点）· 6、等比数列的前n项和（重点)· 7、数列在日常经济生活中的应用(6课时）·第二章解三角形（重点）· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算（难点）· 5、解三角形的实际应用举例(6课时）·第三章不等式· 1、不等关系· 1。

2020-2021学年高中数学第一章立体几何初步 1.1 简单几何体 1.1.1 简单旋转体课件北师大版必修2

所围成的几何体侧面：不垂直于旋转
叫作圆柱
轴的边旋转而成的 ____曲__面_____；
名称
定义
相关概念
圆锥
以直角三角形的 __一__条__直__角__边___ 所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥
高：在旋转轴上这条边的长度；底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的 ____圆__面_____；侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的__曲__面_______；
步
§1 简单几何体
1．1 简单旋转体
1．问题导航 (1)连接圆柱(圆台)两底面的圆心的连线与其底面有怎样的位置关系？ (2)有同学说：“直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体是圆锥．”这种说法对吗？ (3)圆台中，上底面半径r、下底面半径R、高h与母线l之间有怎样的关系？
图形表示
名
定义
相关概念
称
以_直__角__梯__形__垂_直___ _于__底__边__的__腰___所
母线：无论转到什
在的直线为旋转
圆
么位置，
轴，其余各边旋
台
这条边都
转而形成的曲面
叫作侧面
所围成的几何体
的母线
叫作圆台
图形表示
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱．( √ ) (2)直角三角形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆锥．( × ) (3)直角梯形绕其腰所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆台．( × ) (4)圆以一条直径所在的直线为轴，旋转180°围成的几何体是球．( √ )

高中数学第1章立体几何初步1_1_1简单旋转体学案北师大版必修2

1．1 简单旋转体1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．( )(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．( )(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ( )(4)圆柱的任意两条母线相互平行．( )(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√(5)√题型一旋转体的结构特征【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中说法正确的是________．[思路导引] 根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．[解析] ①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[答案] ①②③⑤(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练1] 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] ②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.[答案] C题型二旋转体的有关计算【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．[思路导引] 圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．[解] 如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，故这个圆台的母线长为6 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．[针对训练2] 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.[解析] 如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.[答案] 91．关于下列几何体，说法正确的是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[解析] 图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．[答案] D2．下列命题正确的个数为( )①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1 B．2 C．3 D．4[解析]3．球的直径有( )A．一条 B．两条 C．三条 D．无数[解析] 经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．[答案] D4．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．[答案] ②③④课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以答案选B.[答案] B2．下列说法不正确的是( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．[答案] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[答案] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r ＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°. [答案] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( ) A ．8 B.8π C.4π D.2π[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[答案] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析] 作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13， ∴r ＝1. [答案] 17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________． [解析] 设球心到平面的距离为d ，截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，∴r ＝1.设球的半径为R ，则R ＝d 2＋r 2＝2，故球的直径为2 2.[答案] 2 2 8．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体； ②球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ③球的直径是球面上任意两点间的连线； ④用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确的序号是________．[解析] 球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确． [答案] ①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径. [解] 设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q2.所以此圆柱的底面半径为Q2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R＝6，∴圆锥的底面圆的面积S＝πR2＝36π，圆锥的高h＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A错误，C正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B、D都不正确．故选C.[答案] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )[解析] 截面图形应为图C所示的圆环面．[答案] C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析] 外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[答案] B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm 2.[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO 1⊥CD .在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3，所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.[答案] 9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r ＝6－x 3， ∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6， ∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。

1.1简单几何体课件-北师大版高中数学必修2

球的半径. 4.连结球面上的两点且过球心的线段叫作
球的直径.
课堂探究1 简单旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成
的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体. 思考下面的三个几何体分别叫作圆柱、圆锥和圆台，它们是
旋转体吗？它们分别是怎样形成的？
课堂探究1 简单旋转体
A
C B
4.棱锥的分类按底面多边形的边数，分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……
三棱锥（四面体）
四棱锥
五棱锥
5.特殊的棱锥
底面是正多边形，且各侧面全等的棱锥叫作正棱锥.
侧棱长等于底面边长的正三棱锥叫作正四面体.
课堂探究2 简单多面体
思考底面是正多边形的棱锥是正棱锥吗？答案：不一定.
（1）底面是正多边形；（2）各侧面全等.
和直棱柱(侧棱垂直于底面).
特别地，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.
课堂探究2 简单多面体思考斜棱柱的侧面可能有矩形吗？答案：可能有.
（1）侧面是平行四边形；（2）侧棱不垂直于底面.
课堂探究2 简单多面体二、棱锥观察下列几何体并思考：具备哪些性质的几何体叫作棱锥?
特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形.
（2）各侧面为梯形；（3）各侧棱的延长线交于一点.
2.棱台的分类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台，分别叫做三棱台，
四棱台，五棱台……
C1
A1
B1
C
A
B
三棱台
四棱台
3.用正棱锥截得的棱台叫作正棱台.
五棱台
4.表示法：如三棱台ABC-A1B1C1.
1.下列几何体中是棱柱的有__①__⑤____. 棱柱

北师大版高中高一数学必修2《简单几何体》评课稿

北师大版高中高一数学必修2《简单几何体》评课稿一、教材概述《简单几何体》是北师大版高中高一数学必修2教材的其中一章节。

该章节主要介绍了几何体的定义、性质以及与平面几何的联系，为学生打下坚实的数学基础。

二、教学目标本章的教学目标主要包括以下几个方面： 1. 掌握几个常见简单几何体的定义和性质。

2. 能够应用几何体的性质解决相关问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学重点与难点本章的教学重点和难点主要体现在以下几个方面： 1. 掌握平面几何与立体几何的联系与区别。

2. 理解各个简单几何体的定义和性质的关系。

3. 运用几何体的性质解决实际问题。

四、教学内容与方法1. 教学内容本章主要内容包括以下几个方面： 1. 立体几何的基本概念：点、线、面、体的概念及其特征。

2. 简单几何体的定义和性质：包括立方体、正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等。

3. 几何体的表面积和体积计算方法。

2. 教学方法在教学过程中，可以采用以下方法： 1. 通过讲解、示范等方式，引导学生掌握几何体的定义和性质。

2. 结合实际生活中的例子，帮助学生理解各种几何体的应用场景。

3. 设计一些小组活动或讨论题，激发学生的思维，培养解决问题的能力。

五、教学步骤与重点1. 教学步骤本章的教学步骤可以分为以下几个部分： 1. 引入：通过引入一些与几何体相关的实际问题，激发学生的兴趣和思考。

2. 知识讲解：讲解各种几何体的定义和性质，引导学生理解几何体的概念。

3. 示例分析：通过实际例子，引导学生理解几何体的应用和计算方法。

4. 练习与巩固：设计一些练习题，巩固学生对几何体的理解和应用能力。

5. 知识总结：对本章内容进行总结，并展示学生的学习成果。

2. 教学重点本章的教学重点主要包括以下几个方面： 1. 几何体的定义和性质的理解。

2. 几何体的应用和计算方法。

3. 空间思维和逻辑思维的培养。

六、评价与改进本章的教学过程应注意以下几点评价与改进： 1. 关注学生的学习情况：及时发现学生的学习困难，给予个别辅导和指导。

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22
§1.2:简单的多面体
1.多面体的定义：把由若干个平面多边形围成的空间图
形叫做多面体。 ❖ 自然界有很多的物体都呈多面体的形状,如图所示：
其中：把围成多面体的各个多边形叫作多面体的面;两个面的公共边叫作多面体的棱，棱与棱的公共点叫作多面体的顶点；
❖ 连结不在同一个面内的两个顶点的线段叫作多面体的对角线。例如：
第一章：立体几何的初步
1
本章概述
❖ 概述：由于在土木建筑、机械设计、航海测绘、空间技术研的研究过程中等，都要涉及到对立体图形的研究，这就使得对立体图形的特征及性质的研究成为必要。
❖ 对于立体几何这一章的学习方式，我们将以具体的立体图形为背景，特别是以长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、圆台体、球体等几何体为背景，通过直观感知、画图确认、思维论证、度量计算等方法，了解简单几何体的基本特征及其直观图、三视图。
❖ 直棱柱的性质：直棱柱的侧面都是矩形； ❖ 正棱柱的性质：正棱柱的侧面是全等的矩
形；
29
2、棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、 …… 我们把棱柱按照底面多边形边数的多少，可分三棱柱、四棱柱、五棱柱、……
❖ 多面体按照它的面数的多少，可以分为：四面体、五面体、六面体、、、、、
23
棱
面
面棱
顶点
面
24
一、观察下列几何体并思考：它们具有哪些性质?
25
1、定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。
B
O
轴侧面母线
A 底面
17
问题6: 如图所示: 直角梯形ABCD绕着它的垂直于底边的腰AB所在的直线在空间中旋转一周，则直角梯形ABCD的其它三条边在旋转的过程
中所形成的曲面围成的几何体会是什么呢？
B
C
A
D
18
六、圆台的结构特征：圆台的定义1：把直角梯形绕着它的垂直于底边
的腰所在的直线在空间中旋转一周，则直角梯形的其它三条边在旋转的过程中所形成的曲面围成的几何体会叫作圆台
母表示，如圆柱OO1。 O
侧面
O1
轴
底面
母线
14
问题5: 如图所示:把直角三角形ABC绕着其一边AB所在的直线在空间中旋转一周，则直角三角形ABC的其它两条边在旋转的过程中所
形成的曲面围成的几何体会是什么呢？B NhomakorabeaA
C
15
五、圆锥的结构特征
1、定义：以直角三角形的一条直角
S
边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成
所形成的图形会是什么呢？
A
O
B
L
8
问题3:如图所示：把半圆O绕着其直径AB所在的直线在空间旋转一周，则半圆O在旋转的过程中所形成的图形会是什么呢？（球面）
问题3如果把一个半圆面绕着其直径所在的直线在空间旋转一周，则半圆面在旋转的过程中所形成的图形会是什么呢？（球体）
9
七、球的结构特征
1、球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半圆旋转一周后所形成的曲面叫作球面。
把球面所围成的几何体叫作球体，简称球。
其中:把半圆的圆心叫做球心。
连结球心与球面上的任意一点的线段叫作球
的半径。
A
连结球面上的任意两点且过球心的线段叫做球的直
径。
半
O
径
2、球的表示：用表示球心的字
母表示，如球O
球心
10
B
请大家想一想怎样用集合的观点去定义球？
❖ 把到定点O的距离等于或小定长的点的集合叫作球体，简称球。
O1
旋转轴，把它在空间中旋转一周后，其余
矩形
三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
（1）旋转轴叫做圆柱的轴。
O
（2）垂直于轴的边旋转而成
的圆面叫做圆柱的底面。
（3）由平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。
（4）无论旋转到什么位置不 13 垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。
2、表示：用表示它的轴的端点的两个字
4
5
6
§1.1:简单的旋转体
❖ 问题1:如图所示：已知线段AB垂直于直线L 于A点，如果把线段AB绕着点A旋转一周，且在线段AB在旋转的过程中始终与直线L垂直，那么线段AB在旋转的过程中所形成的图形会是什么呢？
AA
B
L
7
问题2:如图所示：已知直线AB垂直于直线L于O点，如果把直线AB绕着点O点旋转一周，且直线AB在旋转的过程中始终与直线L垂直，那么直线AB在旋转的过程中
❖ 学习要求：重点理解并掌握空间中的点、线、面的位
置关系，并能够用数学符号语言对某些位置关系进行
表示和论证，培养和发展大家的空间想象力、推理论
证的能力和运用图形语言进行交流的能力。
2
§1.简单几何体
3
❖导入：三维空间是人类生存的现实空间，生活中蕴涵着丰富的几何体，请大家欣赏下列各式各样的几何体。
❖ 其中：把定点O叫作球心，定长叫作球的半径
❖ 到定点O的距离等于定长的点的集合叫作球面。
11
问题4: 如图所示:把矩形ABCD绕着其一边 AB所在的直线在空间中旋转一周，则矩形的其它三条边在旋转的过程中所形成的曲面围
成的几何体会是什么呢？
B
C
A
D
12
四、圆柱的结构特征
1、定义：以矩形的一边所在直线为
19
圆台的定义2：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台。
20
2、圆台的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆台OO′
O'
底面
轴
侧面
母线
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O
底面
总结：由于球体、圆柱、圆锥、圆台分别由平面图形半圆、矩形、直角三角形、直角梯形通过绕着一条轴旋转而生成的，所以把它们都叫旋转体。
的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
直角三角形（1）旋转轴叫做圆锥的轴。
O
A
（2）垂直于轴的边旋转而成
的圆面叫做圆锥的底面。
（3）不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。
（4）无论旋转到什么位置不 16 垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。
2、圆锥的表示：
用表示它的轴的 S 端点的两个字母表示，如所示，记为：圆锥SO
相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点。
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底面
侧面侧棱顶点
底面 27
一、观察下列几何体并思考：棱柱（1)，（3）与棱柱（2)的不同之处？
(1)
(2)
(3)
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❖ 两个特殊的棱柱：直棱柱与正棱柱把侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱；把底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱；