池州一中、铜陵三中2013级高一年级重点班联合测试 数学(文)试卷

安徽省
2013级高一年级重点班联合质检试卷
数学(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．设,,a b c R ∈，且a b >，则 （ ）
A ．ac bc >
B ．11a
b
<
C ．33
a b >
D ．22
a b >
⒉设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则5a =（ ）
A ．6-
B ．4-
C ．2-
D ．2 3．在ABC V 中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC V 的形状为（ ）
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．不能确定 ⒋已知变量x ，y
满足约束条件1
110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩
，则2z
x y =+的最小值为（ ）
A ．3
B ．5-
C ．1
D ．6- 5．在等比数列{}n a 中，若2n n a =，则7a 与9a 的等比中项为（ ）
A ．8a
B ．8a -
C ．8a ±
D ．前3个选项都不对 6．关于x 的不等式2260x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2110x x -=，则a =（ ）
A ．2
B ．5
C ．
52 D ．32
⒎已知向量(,1)x =-a ，()31y =-b ，（0,0x y >>）
，若a ∥b ，则1
1
t x y x
y
=+++的最小值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 8．ABC V 的内角A 、B 、C 的所对的边a 、b 、c 成等比数列，且公比为q ，则sinC
sin q A
+
的取值范围为（ ）
A ．()0,+∞ B
．(1,2 C ．()1,+∞ D
．)1
⒐已知()cos 3f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像与1=y 的图象的两相邻交点间的距离为,π要得到()y f x =的图
像，只需把sin y x ω=的图像（ ）
池州一中 铜陵三中
A ．向左平移
56
π个单位 B ．向右平移
56
π个单位
C ．向左平移
712π个单位 D ．向右平移712
π个单位
10．数列{}n a 满足()21sin 2
n a n n π
π⎛⎫
=-⋅+ ⎪⎝⎭
，则它的前2014项和等于（ ）
A ．2015-
B ．2014-
C ．2014
D ．2015
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.
11．已知α为锐角，且有()2tan 3cos 502
π
παβ⎛⎫
--++= ⎪⎝
⎭
，()()tan 6sin 10παπβ+++-=，则αsin 的值是__________.
12．若非零向量a 、b ，满足+=a b b ，()λ⊥+a a b ，则λ= ．
13．若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为11
,23
⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，则不等式220ax bx -+>的解集为 ．
的夹角．给出下列命题：
①⊗=⊗a b b a ； ②()()λλ⊗=⊗a b a b ； ③()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c ； ④⊥⇔⊗=⋅a b a b a b ； ⑤若()11,x y =a ，()22,x y =b ，则1221x y x y ⊗=-a b ． 其中所有叙述正确的命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内. 16．（本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 中，1a a =，2a b =，3a c =，,,a b c 分别为ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边，且3
cos 4
B =
. （1）求数列{}n a 的公比q ； （2）设集合{}
2
2A x N x x =∈<，且1a A ∈，求数列{}n a 的通项公式.
17．（本小题满分12分）
在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos b c A a C -⋅=⋅ （1）求角A 的大小；
（2）若2,b c =，求AB AC +. 18．（本小题满分12分）
已知2
1()1f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭
.
（1）当12
a =时，解不等式()0f x ≤；
（2）若0
a >，解关于x 的不等式()0f x ≤.
19．（本小题满分13分）
已知数列{}n a 满足：12n n a a a n a ++
+=-，其中*n N ∈.
（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；
（2）令(2)(1)n n b n a =--，求数列{}n b 的最大项.
20．（本小题满分13分）
某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装 饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛 的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式， 并求出x 为何值时，y 取得最大值？
21.（本小题满分13分）
已知函数()()sin f x a x ωθ=+的部分图象如下图，其中π
0,
,2
ωθ><a 是ABC V 的角A 所对的边.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若ABC V 中角B 所对的边1b =，cos 2C C f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
求ABC V 的面积S .
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题
卡上的指定区域内. ⒗ （本小题满分12分）
解：（1）依题意知2
b a
c =， ……………………………………………………1分
由余弦定理得222113
cos ()2224
a c
b a
c B ac c a +-=
=⋅+-= ………………………3分 而2c q a =，则2
2q =或212
q =； …………………………………………………5分
又∵在△ABC 中，,,0a b c >， ∴q =2
q = …………………6分
（2）∵2
2x x <，∴4240x x -<，即()2240x x ⋅-<，∴22x -<<且0x ≠，………8分
又x N ∈，∴{}1A =，∴11a =， ………………………………………………10分
从而∴1n n a -=或1
(2
n n a -=。

………………………………………………12分 ⒘ （本小题满分12分）
解：（1）因为(2)cos cos b c A a C -⋅=⋅，根据正弦定理得
(2sin sin )cos sin cos B C A A C -⋅=⋅ ………………2分
即2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B ⋅=⋅+⋅=+= ……4分
又sin 0B ≠，∴1cos 2A =
，而(0,)A π∈，∴3
A π
= ………………6分
（2）由（1）知1
cos 232
AB AC AB AC π⋅=⋅⋅=⨯=………………8分
而2
2
2
()27AB AC AB AB AC AC +=+⋅⋅+=+…………………………10分
则7AB AC += ………………………………………12分
解: （1）当12a =时，有不等式2
5()102
f x x x =-+≤， ………………2分
∴()1202x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴不等式的解集为122x x ⎧⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭
……………4分
（2）∵不等式()1()0f x x x a a ⎛
⎫=--≤ ⎪⎝
⎭
当1a a
>时，有01a <<，∴不等式的解集为1x a x a ⎧
⎫≤≤⎨⎬⎩
⎭
； ……………7分 当1
a a <时，有1a >，∴不等式的解集为1x x a a ⎧⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭； ……………10分 当1
a a
=时，有1a =，∴不等式的解集为{}1． ……………………………12分
⒚（本小题满分13分）
证：（Ⅰ）当1n =时，111a a =-，∴11
2
a =， ……………………………1分 又12111n n a a a n a ++++
+=+- ……………………………2分
∴111n n n a a a ++=-+，即121n n a a +=+，∴11
1(1)2
n n a a +-=
- ……………4分 又1112a -=-，∴数列{}1n a -是首项为12-，公比为1
2
的等比数列；………6分 （2）由（1）知，11111()()()222n n
n a --=-⨯=-
∴2(2)(1)2n n n n b n a -=-⋅-=， ∴11
11223222
n n n n n n n n
b b ++++----=-= ………8分 当3n <时，10n n b b +->，即123b b b << …………………………………9分 当3n =时，43b b = ……………………………10分 当3n >时，10n n b b +-<，即456b b b >>> ……………………………11分
∴数列{}n b 的最大项为431
8
b b == ……………………………13分
⒛（本小题满分13分）
解:（1）扇环的圆心角为θ，则30(10)2(10)x x θ=++-，所以10210x
x
θ+=
+， …………3分 （2）花坛的面积为()()()()222
1
105105500102
x x x x x x θ-=+-=-++<<． ………… 6分
装饰总费用为()()91081017010x x x θ++-=+， ……………… 8分 所以花坛的面积与装饰总费用的()
22550550
170101017x x x x y x x -++--==-++， ………… 10分 令17t x =+，则3913243
101010
y t t ⎛⎫=
-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当t=18时取等号，此时121,11x θ==…12分 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． ………………13分
（1）因为0a >,由图像可知max ()f x a == …………………2分
函数()f x 的最小正周期2π
7π3π
2(
)π88
T ω=
=-=，得 2.ω= ……………3分
由3π3π())88f θ=⨯
+=得3π
sin()1,4θ+= …………………4分 因为ππ3π5π,2444θθ<<+<，3πππ
,.424
θθ∴
+==- …………………5分
故π()2.4f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ …………………………………………6分
（2）由cos ()2C C f =得，πsin c s os o 4c C C C C ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭=， …………………7分
即1
cos 2
sin .C C = ………………………………8分
又22sin cos 1C C +=，得2
4sin ,sin 5C C == …………………………10分
由0πC <<得，sin 5
C = ……………………………11分
1sin 25
S ab C == …………………………………………13分。