2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

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2018年全国高中数学竞赛试题

一、选择题（每题4分，共24分）

函数f(x)=4−x2的定义域是（）.

A. [−2,2]

B. (−2,2)

C. [0,2]

D. (0,2)

下列命题中，正确的是（）.

A. 若α⊂β，则α∩β=α

B. 若直线l与平面α平行，则l与α内的所有直线平行

C. 若直线l与平面α相交，则l与α内的无数条直线垂直

D. 若平面α∥β，直线a⊂α，则a∥β

若x,y∈R，且xy=0，则“x>y”是“x1<y1”的（）.

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

已知tanα=21，则sin2α=（）.

A. 51

B. 52

C. 54

D. 53

设Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3,S9−S3,S15−S9成等差数列，则公比q为（）.

A. 2

B. −2

C. 21

D. −21

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2,b=4,cosC=41，则sinB=（）.

A. 815

B. 16315

C. 23

D. 415

二、填空题（每题5分，共20分）

函数y=log2(x2−2x−3)的定义域是_______.

若直线l与平面α垂直，则l与α内所有直线所成的角中（）.

A. 必有一个是直角

B. 必有一个是锐角

C. 必有一个是钝角

D. 都是直角

已知函数f(x)=x3−3x2+2x，则f′(x)= _______.

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA:sinB:sinC=3:5:7，则cosC= _______.

【数学竞赛】2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(附答案)

,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T，第一行是1,2,,n.例如：=⎢894⎥.题号一

2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

（考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30）

二

总分

9101112

得分

评卷人

复核人

注意：1.本试卷共12小题，满分150分； 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；

3.书写不要超过装订线；

4.不得使用计算器.

一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简）

1.设三个复数1,i,z在复平面上对应的三点共线，且z|=5，则z=.

2.设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n=.

3.函数f(x)=|sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)|的最小正周期=.

4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log x的图象上，则|PQ|的最小值=

5.从1,2,,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率=.

6.在边长为1的正方体ABCD-A B C D内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC相切，则小球

11111半径的最大值=.

7.设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0，则cos∠AHB=.

⎡123⎤8.把1,2,

n3⎢⎥

⎢⎣765⎥⎦

设2018在T

100

的第i行第j列，则(i,j)=.

二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分）

9.如图所示，设ABCD是矩形，点E,F分别是线段AD,BC的中点，点G在线段EF上，点D,H关于

线段AG的垂直平分线l对称.求证:∠HAB=3∠GAB.D H

2018年全国高中数学联赛一试A卷试题及参考答案评分标准

数 x 1 3 满足①、②，故 z 1满足条件．
若 b 0 ，则由②知 x {0, 2} ，但显然 x 0 不满足①，故只能是 x 2 ，代
入①解得 a 1 ，进而 b 15 ，相应有 z 1 15 i ．
4
4
4
综上，满足条件的所有复数 z 之和为1 1 15 i 1 15 i 3 ．
f
(2)

2
，则不等式组
11
x f
2, (x)
2
的解集为
．
答案：[ 2, 8 2]．
解：由 f (x) 为偶函数及在[0, 1] 上严格递减知， f (x) 在[1, 0] 上严格递增，
再结合 f (x) 以 2 为周期可知，[1, 2] 是 f (x) 的严格递增区间．
解：先考虑 abc + def 为奇数的情况，此时 abc, def 一奇一偶，若 abc 为奇数，
则 a, b, c 为1, 3, 5的排列，进而 d , e, f 为 2, 4, 6 的排列，这样有 3! × 3! =36 种情况，
由对称性可知，使 abc + def 为奇数的情况数为 36 × 2 =72 种．从而 abc + def 为偶
的复数 z 的和为
．
答案： 3 ． 2
解：设 z a bi (a, b R, a2 b2 1) ．

2018年全国高中数学联赛试题

,使得直线的面积为
Pg与
α所
成
角
3.将 1,2,3,495,6随机排成一行,记为曰,乃,c,',纟,/,则曰Dc+〃是偶数的概
率为
4.在平面直角坐标系以V中 ,椭圆(
鉴免鹦 ∶∶∶猫夕爨 ,廴
{∶ |i∶
5.设 /(万)是定义在 R上的以弓为周迅
且满是/←)=1,r(20=2,则不等式红
平分乙伊B,求丨PFl的所有可能值。
2018年全国高中数学联合竞赛加试试题《A卷冫
-、 (本题满分 00分 )设刀是正貉数,〃 I,曰 2,¨ Ⅱ%。 DlⅡ2,¨ 、慨,彳 ,B均为1「
实数”满足臼 `≤
匀,叱
≤/,f=l,2,…
。气…铒召 ra,爿 ^3∶
〃 l曰 2·
v∶
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⒛18年全国高中数学联合竞赛一试试题 (A卷 )
-、填空题 :本大题共 8小题 ,每小题 8分 ,满分 “ 分。
1。设集合 /=[,2,3,… ,991,B=仫豸u∈ /l,c=伽 |2丌 ∈彳卜贝刂B∩ C的元
素个数为_⊥____·
不小2于.设30°点且`不到大平于面ωα°的,则距离这为样雨的点,点口所g在构成平的面区α域上
》
rT″
ˉ^. Ⅱ
证明 : (包 +lX仇 +l)… 《饥+l) 《 ~B+l

2018年全国高中数学联赛A卷真题word版

一试

一、填空题

1. 设集合{}99,,3,2,1 =A ，{}A x x B ∈=2，{}

A x x C ∈=2，则C

B 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于︒30且不大于︒60，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 .

3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 .

4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:2222>>=+b a b

y a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST

与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1，则21F PF ∆的面积为 .

5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足()()22,1==ππf f ，

则不等式组()⎩⎨

⎧≤≤≤≤2

121x f x 的解集为 .

6. 设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 .

7. 设O 为ABC ∆的外心，若AC AB AO 2+=，则BAC ∠sin 的值为 .

8. 设整数数列1021,,,a a a 满足1103a a =，5822a a a =+，且{}9,,2,1,2,11 =++∈+i a a a i i i ，则这样的数列的个数为 .

二、解答题

9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()⎪⎩⎪⎨

2018年全国高联数学试题

高中联赛（高联）是中国举办的一项全国性高中生学科竞赛活动，旨在提高高中生的学科水平、促进学科交流和合作。其中，数学竞赛一直是高联中最受关注的科目之一。2018年的全国高联数学试题是一份具有挑战性和思维性的试卷，下面将从试题的各个方面进行解析。

首先，试题的命题思路和难度水平。高联数学试题在命题思路上注重考查学生的数学思维、解决实际问题的能力和数学应用的广度。试题难度较高，要求学生具备扎实的数学基础和良好的数学解题能力。通过分析试题的命题思路和难度水平，可以帮助学生更好地了解数学学科的要求，有针对性地提高自己的数学水平。

其次，试题的题型和内容。2018年高联数学试题涵盖了数学的各个分支，如代数、几何、数论、概率等。试题的题型丰富多样，有选择题、填空题、计算题、证明题等，涵盖了数学学科的不同方面。学生在解答试题时，需要熟悉各种题型的解题方法和技巧，能够灵活运用数学知识解决问题。

第三，试题的解题思路和解题技巧。对于每一道试题，学生需要运用所学的数学知识和解题技巧进行解答。在解题过程中，需要分析题目的要求，提炼出问题的关键点，选择合适的解题方法和策略。同时，还需要注意解题的思路和步骤，确保解答的准确性和完整性。掌握解题思路和技巧，能够更快、更准确地解答试题，提高解题效率。

最后，试题的答案和解析。解答试题不仅要得出正确的答案，还要给出解题的过程和方法。答案和解析的内容应当清晰、详细，能够帮助学生理解和掌握解题的思路和方法。对于解答不出的题目，还可以分析解题思路和技巧，帮助学生提升解题的能力。

2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)word版含解析

2018 年全国高中数学联合竞赛一

试（A 卷）参考答案及评分标

准

1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8 分和0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9 小题4 分为一个档次，第10、

11 小题5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，满分64 分．

1. 设集合A 1, 2, 3, , 99 , B {}

2x x A

∈, C {}

x x A

∈，则B C 的元

素个数为．

答案：24 ．

解：由条件知，B C 2, 4, 6, ,198 1

2, 1, 3

,2, ,99

2, 4, 6, , 48 ，

故B C 的元素个数为24 ．

2. 设点P 到平面

Q 在平面上，使得直线PQ 与所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．

答案：8 ．

解：设点 P 在平面上的射影为O

．由条件知，tan[

OPQ

=∠∈

即OQ [1, 3]，故所求的区域面积为 32 12 8 ．

3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为a, b, c, d,e, f ，则abc +def是偶数的概率为

答案：

9 10

解：先考虑abc +def 为奇数的情况，此时abc, def 一奇一偶，若abc 为奇数，

则a, b, c 为1, 3, 5的排列，进而d , e, f 为2, 4, 6的排列，这样有3! ×3! = 36 种情况，由对称性可知，使abc +def 为奇数的情况数为36 ×2 = 72 种．从而abc +def 为偶

2018年全国高中数学联赛一试试卷

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．

1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2|}B x x A =∈，{|2}C x x A =∈，则B C 的元素个数为．

2.设点P 到平面α

，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30︒且不大于60︒，则这样的点Q 所构成的区域的面积为

．3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为．4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴和y 轴，且相交于点P ．已知线段PU 、PS 、PV 、PT 的长分别为1,2,3,6，则△12PF F 的面积为．

5.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足

(π)1f =，(2π)2f =，则不等式组121()2x f x ⎧⎨⎩

≤≤≤≤的解集为．6.设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为．7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+ ，则sin BAC ∠的值为

．

8.设整数数列1210,,,a a a 满足1013a a =，2852a a a +=，且1{1,2}i i i a a a +∈++，1,2,,9i = ，则这样的数列的个数为．

2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)word版含解析

2018 年全国高中数学联合竞赛一

试（A 卷）参考答案及评分标

准

1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8 分和0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.

11 小题5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，满分64 分．

1. 设集合A 1, 2, 3, , 99 , B {}

2x x A

∈, C {}

x x A

∈，则B C 的元

素个数为．

答案：24 ．

解：由条件知，B C 2, 4, 6, ,198 1

2, 1, 3

,2, ,99

2, 4, 6, , 48 ，

故B C 的元素个数为24 ．

2. 设点P 到平面

Q 在平面上，使得直线PQ 与所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．

答案：8 ．

解：设点 P 在平面上的射影为O

．由条件知，tan[

OPQ

=∠∈

即OQ [1, 3]，故所求的区域面积为 32 12 8 ．

3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为a, b, c, d,e, f ，则abc +def是偶数的概率为

答案：

9 10

解：先考虑abc +def 为奇数的情况，此时abc, def 一奇一偶，若abc 为奇数，

则a, b, c 为1, 3, 5的排列，进而d , e, f 为2, 4, 6的排列，这样有3! ×3! = 36 种情况，由对称性可知，使abc +def 为奇数的情况数为36 ×2 = 72 种．从而abc +def 为偶

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)_PDF压缩

解：不妨设 a b c ．由于 f (x) 在 (0, 3] 上严格递减，在[3, 9] 上严格递增，
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
9.（本题满分
16
分）已知数列 {an } ： a1

7
， an1 an

an

2,
n
1,
2,
3,
．求
满足 an 42018 的最小正整数 n ．
解：由
an1 an

an

2
可知
an1
1
(an
D
圆交于点 R ．
证明：线段 OQ, OR, BC 能构成一个直角三角形．
证明：设点 P 坐标为 (x0, y0 ) ．由于 OQ // AP ，AP OP OA ；OR // OM ，
OM 1 OP OA ，故存在实数, ，使得 2 OQ (OP OA) ， OR (OP OA) ．…………………5 分
5.
设 ,

2018年全国高中数学联赛A试题+答案

2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）

参考答案及评分标准

说明：

1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1. 设集合 1,2,3,,99,2,2A B x x A C x x A ，则B C 的元素个数为．

答案：24．

解：由条件知， 13992,4,6,,198,1,,2,,2,4,6,,48222B C

，

故B C 的元素个数为24．

2. 设点P 到平面

的距离为，点Q 在平面上，使得直线PQ 与所成

角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．

答案：8 ．

解：设点P 在平面上的射影为O ．

由条件知，tan OP OQP OQ ，

即[1,3]OQ ，故所求的区域面积为22318 ．

3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为．

答案：9

．

解：先考虑abc def +为奇数的情况，此时,abc def 一奇一偶，若abc 为奇数，则,,a b c 为1,3,5的排列，进而,,d e f 为2,4,6的排列，这样有3!3!36×=种情况，由对称性可知，使abc def +为奇数的情况数为36272×=种．从而abc def +为偶