2015年学而思杯6年级真题解析

2.
【难度】 ★★ 【考点】几何：三视图求表面积 【答案】 46 【解析】要让表面积最大，则应该让小正方体块数最多，符合该条件的三视图如下（其 中（ 3）是主视图） ：
（ 1）
（ 2）
2
（ 3）
易得：这堆木块的表面积最多等于 7 5 7 2 4 2 46cm ．
3.
【难度】 ★★ 【考点】应用：浓度问题 【答案】 480 【解析】
2100，所以总和等于 480 2 2100 504000 ．
8.
【难度】 ★★★ 【考点】几何：蝴蝶模型，鸟头模型 【答案】 21 【解析】
F A E
D B C
由于 AE EC ，所以 AEC 90 ； 又由于 AEF ECD 90 ，所以 FEC ECD 180 ， 所以有：
2015 年第五届“学而思杯”
六年级杯赛 命题人：邹家意
总分： 150 分 时间： 90 分钟
一、填空题． （每题 10 分，共 80 分）
1.
【难度】 ★★ 【考点】计算：分数裂项 【答案】 7 【解析】
原式 1
11 17 19 39 11 1 1 1 15 24 28 56 60 3 2 5 3 3 8 4 3 7 7 8 4 15 - 4 4 3 5 38 47 7 8 15 4 2 1 3 1 3 1 1 4 1 1 4 5 3 8 3 7 4 8 7 4 15 1 1 2 1 3 4 1 1 3 1 4 - 3 3 5 15 7 7 4 4 8 8 4 111 7
1 S BN SBFC 2 6 所以 ， 1 EN SEFC S 12
所以 SCNE 所以： SGBMHale Waihona Puke Baidu SCNE
1 1 1 1 1 SCBE 1 S S ； 1 6 7 2 2 28
9 1 63 34 29 29 S S S S cm2 ， 136 28 4 34 7 4 34 7 34
3 S S GM 8 15 GBE 所以 ， 1 HM SHBE S 2 20
所以 SGBM 由右图可得： SBFC
15 15 1 3 1 9 SGBH S S； 2 15 17 5 4 2 136
1 1 1 1 1 S ， SEFC S S ， 2 2 3 2 12
1 由于 EF 平行于 AC ，所以 SFEA SFEC 6 ，所以 SBCD SFEA 2 ； 3
所以 S四边形ABDE S四边形ABCE SECD SBCD 20 3 2 21 ．
二、解答题． （每题 10 分，40 分）
9.
【难度】 ★★★ 【考点】应用：分数应用题结合数论 【答案】 153 人 【解析】 由题知：总人数为 18、 7、 4 的公倍数，由于三个数的最小公倍数等于 252，所以总人
a b c 15 ，且 a b c ） ，要构成三角形，必须满足 a b c ，则 a, b, c 只有下列 7
2,6,7 、 3,5,7 、 3,6,6 、 4,4,7 、 4,5,6 、 5,5,5 ，故有 7 中不同截法． 种可能： 1,7,7 、
即：正方形 ABCD 的面积 S 4 7 28cm2 ．
7.
【难度】 ★★★ 【考点】数论：欧拉公式 【答案】 504000 【解析】 由于 210 2 3 5 7 ，根据欧拉公式知：在 1 至 2100 的所有自然数中，与 210 互质的
1 1 1 1 数共有 2100 1 1 1 1 480 个，其中每 2 个数作为 1 组，和为 2 3 5 7
SFEC FE EC FE 2； SECD EC CD CD
由于 BC EC ，所以 BCE 90 ；
又由于 AEF ECD 90 ，所以 FEA BCD 180 ， 所以有：
SFEA FE EA 2 3 3； SBCD CD BC 1 2
5.
【难度】 ★★★ 【考点】计数：隔板法 【答案】 330 【解析】 由于未知数 x1、x2、x3、x4、x5 都有可能取 0，所以先 “借 ”1 给每个未知数，则本题等同
（7 5 12） 于 “将 12 个相同的苹果分到 5 个不同的盘中，共有多少种方法 ”，显然，共有
51 4 C12 1 C11 330 种方法，即：该方程有 330 组不同的自然数解．
1 1 数就是 252．那么得分在 80 分至 89 分的有 252 1 153 人． 7 4
6.
【难度】 ★★★ 【考点】几何：风筝模型 【答案】 28 【解析】用 S 表示正方形 ABCD 的面积，加辅助线如下：
A G M B H
F O N
D
A G
F O N M
D
E
E
C
B
H
C
由左图可得： SGBE
3 1 3 1 1 1 1 1 S S ， SHBE S S ， 4 2 8 5 2 2 20
对于此类问题，不管两者浓度是多少，都可直接应用以下公式得出结果：
交换量 甲溶液重量 乙溶液重量 甲溶液重量 乙溶液重量
那么本题结果为
800 1200 480 斤． 800 1200
【思考】以上结论该如何证明？
4.
【难度】 ★★ 【考点】计数：枚举结合几何 【答案】 7 【解析】设木棒被截成长度为 a厘米，b厘米，c厘米 的三段（ a, b, c 为非零自然数，且