第三节、二项式定理
第三节、二项式定理
(1)通项公式
Tr 1 C n a
r
nr
b
r
在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但
要注意，它是(a＋b)n的二项展开式的第r＋1项，而不是第r项． (2)公式中a和b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.
1 （3）二项展开式中，二项式系数是指 C n0 , C n , C n2 , ..., C nk , ..., C nn ,
【答案】
C
二项展开式的特殊项及求法
(12分)已知
x 2 1
4
x
n
的展开式前三项中的x的
系数成等差数列． (1)求展开式中所有的x的有理项； (2)该二项展开式中是否存在常数项，若存在，求出 常数项；若不存在，说明理由．
分析 问题(1)中，有理项即x的指数为整数的项．问题(2)
n 0 n 1 n 1
b ... ( 1) C n a
r r
nr
b ...
r
( 1) C n b ,
n n n
这 时 通 项 是 T r 1 ( 1) C n a
r r n 1 1 2 2
nr
b（ r 0,1, ..., n ).
r r r n
（ 2） x ) 1 C n x C n x ... C n x ... x , (1 这 时 通 项 是 T r 1 C n x（ r 0,1, ..., n ).
而某一项的系数除了这些组合数之外还要包括其它的数字，如在
(2 3 x )
8
的展开式中，第5项是 T5 C 84 2 4 (3 x ) 4 , 其二项式系数是而第5 项的系数
4 4 4
第十章 第三节 二项式定理
3
·C r ·C5 3
r′
·x
r r′ + 2 3
′ r r′ ，当 ＋ ＝1时．有r＝0且r′＝3或r＝ 时 ＝ 且′ 或＝ 2 3
2且r′＝0两种情况，则展开式中 的系数为 －10)＋12＝2. 且 ′ 两种情况， 的系数为(－ ＋ ＝ 两种情况 则展开式中x的系数为
16 (2)(x－x) 的展开式的通项 － 1r － r 6－ r Tr＋1＝C6x (－ ) ＝(－1)rCr x6 2r. － － 6 x 7 ＝－1， ＝ 舍去 舍去)， 令6－2r＝0，得r＝3，令6－2r＝－ ，得r＝ (舍去 ， － ＝ ， ＝ ， － ＝－ 2 ＝－2， ＝ 令6－2r＝－ ，得r＝4. － ＝－ 所以所求的常数项为： 所以所求的常数项为：
解析： 可得a 解析：令x＝1可得 0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n ＝ 可得 ＋ 2(1－2n) ( － ＋ ＋ 2 3 n ＝126，而2＋2 ＋2 ＋…＋2 ＝ ， ＋ ＝2n 1－2，所以 n 1 ，所以2 1－2 － 1 6 －2＝126，可得 ＝6，则(3 x－ ) 的二项展开式的通项为 ＝ ，可得n＝ ， － x Tr＋1＝Cr (3 6 x)
x
答案： 答案：6
3．二项式 x－ x)9的展开式中有理项的项数为 ．二项式( － 的展开式中有理项的项数为________． ．
3
解析：根据题意，二项式的展开式的通项为 解析：根据题意，二项式的展开式的通项为Tk＋1＝Ck 9 ( x)9－k(－ x)k＝Ck(－1)kx (－ 9 (－ 项为有理项． 项为有理项． 3
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．(x＋2)6的展开式中 3的系数为 ． ＋ 的展开式中x A．20 ． C．80 ． B．40 ． D．160 ．
3-二项式定理
2 =2
50
2+3×16
16 16 r 16 16 = 4 ⋅ 8 = 4(1 + 7) = 41 + ∑ r 7 r =1
显然再过 10 是星期二.
100
2.4 牛顿二项式定理
定理 令 α 是一个实数。则对于所有满足 0 ≤ x < y 的x和y 其中
n
再令 x = 1, 即得结论.
2.2 若干等式及其组合意义
n k = n(n + 1)2n−2. 10 设 n为自然数,则有 ∑ k k=1 n n k−1 n−1 证明: 在n(1 + x) = ∑k x 两端乘 x ,得 k=1 k
n 2
(x
1
+ x2 + L+ xt ) = ∑
n
t i i =1
n n n x1 x2 Lxtn n n Ln t ∑n =n 1 2
1 2
t
定理: 定理 ( x1 + x2 + L+ xt )n 展开式的项数等于
n + t −1 ,而这些项系数之和为 t n . n
即(x+y)n=
∑
n n -k k x y k k=0
n
其组合意义是：将n个相异的球放入两个不同的盒子中， 其中要求x盒放入n-k个求，y盒放入k个球，且同盒的球 不分次序，其方案数为：
n! k!(n − k)!
2.1 二项式定理
二项式定理的几个其它形式: 二项式定理的几个其它形式 (1) (x+y)n=
∞
2.4 牛顿二项式定理
设
第十章第三节二项式定理
高三一轮总复习数学 · 新课标（理科）四川专用
自 主 落 实. 固 基 础
1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”， 错误的打“×”)
n－r r n (1)Cr a b 是 ( a ＋ b ) 的展开式中的第 r 项 n
(
)
高 考 体 验 . 明 考 情
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 (
项为________．
【解析】 Tr＋1＝ (－1)
x－
r
1 6 的展开式通项为 x
高 考 体 验 . 明 考 情
6－r Cr x 6
1 3 r r r ＝(－1) C6x6－ r， 2 x
典 例 探 究. 提 知 能
3 令 6－ r＝0，解得 r＝4，故常数项为(－1)4C4 6＝15. 2
高 考 体 验 . 明 考 情
典 例 探 究. 提 知 能
课 后 限 时 自 测
n 1 2 n 2 (3)各二项式系数和：C0 ＋ C ＋ C ＋„＋ C ＝ ____ ， n n n n n－ 1 2 4 1 3 5 2 C0 ＋ C ＋ C ＋„＝ C ＋ C ＋ C ＋„＝ ______ ． n n n n n n
高 考 体 验 . 明 考 情
式中常数项为 A，则 A＝________．
典 例 探 究. 提 知 能
(2)(2013· 课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a＝( A．－4 ) B．－3 C．－2 D．－1
【答案】 15
课 后 限 时 自 测
菜
单
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自 主 落 实. 固 基 础
第三节 二项式定理-高考状元之路
第三节 二项式定理预习设计 基础备考知识梳理1．二项式定理=+n b a )(这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，其中的系数 ),,2,1,0(n r c r n =叫做 式中的r r n r n b a c -叫做二项展开式的 用1+r T 表示，即展开式的第 项；=+1r T2．二项展开式形式上的特点(1)项数为.1+n(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为(3)字母a 按 排列，从第一项开始，次数由n 逐渐减1直到零；字母b 按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．(4)二项式的系数从 ,,1n C 一直到,1-n n C3．二项式系数的性质(1)对称性；与首末两端 的两个二项式系数相等，即.m n n m n c C -=(2)增减性与最大值：二项式系数,k n C 当 时，二项式系数是递增的；当 时，二项式系数是递减的，当n 是偶数时，中间的一项 取得最大值，当n 是奇数时，中间两项 和 相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于.2n ，即 .2n =二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即=+++=+++ 42531n n n n n C C C C c α典题热身1．在62)1(x x-的展开式中，3x 的系数是( ) 20.A 15.B 20.-c 15.-D答案：C2．已知nax )1(+的展开式中，二项式系数和为32．各项系数和为243，则a 等于( ) 2.-A 2.B 3.-c 3.D答案：B3．（2011．陕西高考）)()24(6R x x x ∈--展开式中的常数项是 ( )20.-A 15.-B 15.c 20.D答案：C4．（2011．山东高考）若6)(x a x -展开式的常数项为60，则常数a 的值为 答案：45．若62)1(ax x +的二项展开式中3x 的系数为,25则=a （用数字作答）． 答案：2课堂设计 方法备考题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数【例l 】已知在n x x )21(33-的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含2x 的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项，题型二 求三项展开式中的指定项【例2】求8)11(x x ++展开式中的常数项，题型三 求展开式中二项式系数或系数最大项【例3】已知n x x 223)(+的展开式的二项式系数和比nx )13(-的展开式的二项式系数和大992，求n xx 2)12(-的展开式中， (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项，题型四 求展开式中各项或部分项系数和【例4】已知,)21(7722107x a x a x a a x ++++=- 求：;)1(721a a a +++;)2(71a as as a +++;)3(8420a a a a +++.||||||||)4(7210a a a a ++++题型五 应用二项式定理证明整除或求余数问题【例5】(1)求证：)(2221152*-∈++++N n n 能被31整除；(2)求2727227127C C C s +++= 除以9的余数． 技法巧点(1)通项公式最常用，是解题的基础．(2)对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．(3)求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性．(4)性质1是组合数公式r n nr n C c -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．(5)因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．(6)二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用， 失误防范1．要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格地区别开来．2．根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，容易出错．3．通项公式是第1+r 项而不是第r 项．随堂反馈1．(2010．陕西高考))()(5R x xa x ∈+展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于( ) 1.-A 21.B 1.C2.D 答案：Ds x x )1()21.(233-+的展开式中x 的系数是 ( )4.-A 2.-B 2.c 4.D答案：C3．(2011．南昌模拟)若n n n n n x C x C x C +++ 221能被7整除，则x ，n 的值可能为( )3,4.==n x A 4,4.==n x B 4,5.==n x c 5,6.==n x D答案：C4．(2010．安徽高考)6)(x yy x-的展开式中，3x 的系数等于答案：15（只写26C 或46c 也可）5．若9)(xa x -的展开式中3x 的系数是-84，则=a 答案：1高效作业 技能备考一、选择题10463)11()1.(1x x ++展开式中的常数项为 ( )1.A 46.B 4245.C 4246.D答案：D2．若n xx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) 10.A 20.B 30.C 120.D答案：B3．在*)()1(N n x n ∈+的二项展开式中，若只有5x 的系数最大，则=n ( ) 8.A 9.B 10.C 11.D答案：C4．（2011．辽宁实验中学月考）已知n x x 23)3(+的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( )4.A 3.B 6.C 7.D答案：B5．若π)13(x x -的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）540.-A 162.-B 162.C 540.D答案：A6．若n 为奇数，则7...77712211⋅++⋅+⋅+---n n n n n n C C C π被9除所得余数为（ ）8.A 7.B 2.C 0.D答案：B二、填空题7．(2011．南通市九校联考)已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+x 的展开式中3x 的系数相等，则=θcos 答案：22±8．(2010．辽宁高考)62)1)(1(x x x x -++的展开式中的常数项为 答案：5-9．(2011．浙江高考)设二项式)0()(>-a x a x s 的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ．若,4A B =则a 的值是答案：2三、解答题10．已知n a )1(2+展开式中各项系数之和等于52)1516(xx +的展开式的常数项，而n a )1(2+的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值．11．若.)23(1010221052x a x a x a a x x ++++=+-(1)求,.2a(2)求;...1021a a a +++(3)求.)()(29753121086420a a a a a a a a a a a ++++-+++++12．(2011．郑州质检)设数列}{n a 是等比数列，.3321m m C a +=,21-m A 公比q 是42)41(x x +的展开式中的第二项．(1)用n 、x 表示通项n a 与前n 项和;n s(2)若,...2211n H n n n n S C s C s C A +++=用n 、x 表示⋅n A。
第九章第三节二项式定理
”跟踪检测・査漏补城C. 7D . — 7A 组考点能力演练A84 C.— 36解析：由二项式系数之和为 2n = 512,得n=9•又T r + 1= (— 1)「c 9x 18-3r,令18— 3r = 0，得r = 6，故常数项为 T ?= 84.故选B. 答案：B2.已知(1 + ax)(1 + x)5的展开式中x 2的系数为5,则a=()A . — 4B . — 3 C.— 2D . — 1解析：(1 + x)5中含x 与x 2的项为T 2= c 5x= 5x, T 3= c 5x 3= 10x 4,「x 2的系数为 10 + 5a= 5,「.a=— 1. 答案：D3. (2016 青岛模拟)设(1 + x)n = a o + a^+ a 2X 2+ …+ a n x n，若 a ?+ …+ a *= 63,则展开式中系数最大的项是()23A . 15xB . 20x系数是( )33C. 21x D . 35x解析：'-(1 +x)ri= a °+ a 1x + a 2X? + …+ a n x n,令 x = 0,得 a °= 1.令 x = 1,则(1 + 1)n= a 0+ a 1 + a 2+…+ a n = 64,「n= 6, 又(1 + x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大， ••(1 + x)6的展开式系数最大项为 T 4= C X 3= 20x 3.答案：B 1•若 x — X 的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为 ( )B . 84 D . 364. (2016西城一模)若3x —亠的展开式中二项式系数之和为1128,则展开式中丈的”跟踪检测・査漏补城C. 7 D . — 7B . — 21A. 215令 7 — 3「= — 3，解得 r = 6, •右的系数为c 737— 5 6( — 1)6= 21,故选A.答案：A5. (2016广州调研)已知a= 2「cos[x + ^ dx,则二项式》7 8 9+1/的展开式中x 的系数为 "o '( )A. 10 B . — 10 C. 80D . — 80解析：a= 2 ncos x+ dx = 2sin x + 6 |o =— 2，展开式的通项为 T r +1= C 5( — 2)r x10 3r, 令10— 3r = 1，则 r = 3, T 4= C 3(— 2)3x=— 80x.答案：D 6.[x — _______________________ 的展开式中常数项为 .解析：卜—21x/ 的通项为 T k + 1= c $x 6-k[-=[— 2 / C k x 6-2k,令 6— 2k = 0,得 k= 3,5故展开式中常数项为一|.8. 若(1 — 2x)2 015= a o + a i x+ a 2x 2 + …+ a 2 ois x2 015，则弓 + 歹+‘解析：当x o = 0时，左边=1，右边=a o ,二a o = 1 1z 亠、丄小 亠、丄a 1 a 2a 2 015当x = 时，左边=0,右边=a o + 5+ 2+…+ 2^0155答案：—57. （2015高考天津卷）在［x — 41■/的展开式中，x 2的系数为 ________解析：二项式x — 4X 6展开式的第r+ 1项为T r + 1 =6-2r = 2，解得r = 2，故x 2的系数为C 6 — 4 2=芝解析: ••2m= 128, /m= 7,「.展开式的通项 5r ㊁答案:15 16T r + 1= c 7(3x)7 —rr(—1)x7X r 1- 46X r 6 c6ai a 2 a 2 015--u = 1 十 十 22+ …+ 22 015 .a i a 2 a 2 015-2 十 22+ … 十 22^15=— 1 答案：—11)n的展开式的系数最大的项等于 54,求正数a 的值.T r十 1=C 5SW —£ 卜(？)—r C5x昭，令 20— 5r = 0,得 r= 4,故常数项T 5= C 5¥= 16,5又(a 2+ 1)n展开式的各项系数之和为 2n,由题意，得2 = 16, — n = 4.•••(a 2+ 1)4展开式中系数最大的项是中间项 T 3, 从而 c 4(a?)2 = 54,「a= .3. 10. (1)求证：1十 2 十 22+^+ 25n —1( n€ N *)能被 31 整除; ⑵求S = C 27+。
第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)
赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 偶次项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1） ，奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1） .令 x＝0，可得 a0＝f(0).
令
x＝1
代入2x－
1 x
6
＝1；
故所有项的系数之和为 1；故选 AC.]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn an－rbr，常把字 母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整 数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
故选 B.]
3．(x＋1x －2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________．
解析：
法一：因为(x＋1x －2)6＝(
x
－
1 x
)12，所以其展开式的通项公
式为 Tr＋1＝C1r2 (
x
)12－r(－
1 x
)r＝Cr12
(－1)r(
x )12－2r＝Cr12 (－1)rx6－r，由 6
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案二项式定理1
第三节 二项式定理二项式定理的应用(1)能用计数原理证明二项式定理．(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点一 二项式定理 1．定理公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *)叫作二项式定理． 2．通项T k ＋1＝C k n an －k b k为展开式的第k ＋1项． 易误提醒 (1)二项式的通项易误认为是第k 项实质上是第k ＋1项．(2)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．(3)通项是T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0,1,2，…，n )．其中含有T k ＋1，a ，b ，n ，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．[自测练习]1.⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中常数项为________． 解析：由题意可知常数项为C 46(2x )2⎝⎛⎭⎫－1x 4＝60. 答案：602.⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项． 解析：∵T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r 4∴r 为4的倍数，故r ＝0,4,8共3项． 答案：3知识点二 二项式系数与项的系数 1．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数二项展开式中各项的系数C k n (k ∈{0,1，…，n })叫作二项式系数． (2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．2．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性当k<n＋12时，二项式系数逐渐增大；当k>n＋12时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn2n；当n 是奇数时，中间两项⎝⎛第n－12＋1项和⎭⎫第n＋12＋1项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn－12n或Cn＋12n3.各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C k n＋…＋C n n＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.易误提醒二项式系数与展开式项的系数的异同：在T k＋1＝C k n a n－k b k中，C k n就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；T k＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，T k＋1＝C k n2n－k·3k x n－k y k，其中C k n2n－k3k就是T k ＋1项的系数．[自测练习]3．(2015·高考四川卷)在(2x－1)5的展开式中，含x2的项的系数是________．(用数字填写答案)．解析：由二项展开式的通项T r＋1＝C r5(2x)5－r(－1)r(r＝0,1，…，5)知，当r＝3时，T4＝C35(2x)5－3(－1)3＝－40x2，所以含x2的项的系数是－40.答案：－404．C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n＋1)C n n＝________.解析：设S＝C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n－1)·C n－1n＋(2n＋1)C n n，∴S＝(2n＋1)C n n＋(2n－1)C n－1n＋…＋3C1n＋C0n，∴2S＝2(n＋1)(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n)＝2(n＋1)·2n，∴S＝(n＋1)·2n.答案：(n ＋1)·2n考点一 二项展开式中特定项与系数问题|1．(2016·海淀模拟)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为( ) A ．12 B ．－12 C ．6D ．－6解析：由题意可得，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 3·(x 2)3－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 3x 6－3r ，令6－3r ＝0，得r ＝2，∴⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为T 2＋1＝(－2)2C 23＝12，故选A. 答案：A2．(2015·高考安徽卷)⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案) 解析：由题意知，展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 7x 21－4r ，令21－4r ＝5，则r ＝4，∴T 5＝C 47x 5＝35x 5，故x 5的系数为35.答案：353．若⎝⎛⎭⎫1x －x x n 展开式中含有x 2项，则n 的最小值是________．解析：⎝⎛⎭⎫1x －x x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·⎝⎛⎭⎫1x n －r ·(－x x )r ＝C r n ·(－1)r ·x 52r －n .依题意得，关于r 的方程52r －n ＝2，即r ＝2×(n ＋2)5有正整数解；又2与5互质，因此n ＋2必是5的倍数，即n ＋2＝5k ，n ＝5k －2，n 的最小值是3.答案：3求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．考点二 二项式系数性质与各项系数和问题|(1)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45(2)若a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，则a 2＋a 3＋a 4＝________. [解析] (1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10， 通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 102r x 5－52r ， 所以r ＝2时，常数项为180.(2)x 4＝[(x －1)＋1]4＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44，对照a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4得a 2＝C 14，a 3＝C 24，a 4＝C 34，所以a 2＋a 3＋a 4＝C 14＋C 24＋C 34＝14.[答案] (1)B (2)14(1)赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大． (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛⎭⎫第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．(2015·成都一中模拟)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：令等式中x ＝－1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A. 答案：A考点三 多项式展开式中特定项或系数问题|在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有：1．几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题． 2．几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题． 3．三项展开式中的特定项(系数)问题．探究一几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题1．(2016·商丘月考)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121C．－74 D．－121解析：展开式中含x3项的系数为C35(－1)3＋C36(－1)3＋C37(－1)3＋C38(－1)3＝－121.答案：D探究二几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题2．(2015·高考全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.解析：法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x ＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.法二：(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知，a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.答案：3探究三三项展开式中特定项(系数)问题3．(2015·高考全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60解析：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C25(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为C25C13＝30，故选C.答案：C(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．30.一般与特殊的思想在二项式问题中的应用(赋值法)【典例】若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是________．[思维点拨] 要求解的问题与二项式系数有关考虑赋值法，令x ＝±1，可求得奇数项与偶数项系数之和．[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4.②故(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝(3－4)4＝1.[答案] 1[方法点评] 赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意所赋的值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，±1.一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. [跟踪练习] 若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案：364A 组 考点能力演练1．若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为( ) A ．－84 B ．84 C ．－36D ．36解析：由二项式系数之和为2n ＝512，得n ＝9.又T r ＋1＝(－1)r C r 9x18－3r ， 令18－3r ＝0，得r ＝6，故常数项为T 7＝84.故选B. 答案：B2．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：(1＋x )5中含x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1.答案：D3．(2016·青岛模拟)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6， 又(1＋x )6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x )6的展开式系数最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.答案：B4．(2016·西城一模)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( )A ．21B ．－21C ．7D ．－7解析：∵2m ＝128，∴m ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 737－r (－1)r x 7－5r3， 令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x 3的系数为C 6737－6(－1)6＝21，故选A. 答案：A5．(2016·广州调研)已知a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的展开式中x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．80D ．－80解析：a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6| π0＝－2，展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－2)r x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，T 4＝C 35(－2)3x ＝－80x.答案：D6.⎝⎛⎭⎫x －12x 6的展开式中常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x －12x 6的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫－12x k ＝⎝⎛⎭⎫－12k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝0，得k ＝3，故展开式中常数项为－52.答案：－527．(2015·高考天津卷)在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． 解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －14x 6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－14r x －r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－14r x 6－2r ，令6－2r ＝2，解得r ＝2，故x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516. 答案：15168．若(1－2x)2 015＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 015x 2 015，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝________.解析：当x 0＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1 答案：－19．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求正数a 的值．解：⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r C r 5x 20－5r 2， 令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45·165＝16，又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和为2n ， 由题意，得2n ＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3.10．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除；(2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数．解：(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )， 显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．(2)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2. ∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是整数，∴S 被9除的余数为7.B 组 高考题型专练1．(2014·高考湖北卷)若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54 C ．1D.24解析：T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝27－r C r 7a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.答案：C2．(2014·高考四川卷)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10解析：在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15.答案：C3．(2015·高考湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：因为(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.答案：A4．(2015·高考广东卷)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________． 解析：由题意得T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r ＝(－1)r C r 4·x 4－r 2，令4－r2＝1，得r ＝2，所以所求系数为(－1)2C 24＝6.答案：65．(2013·高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.解析：展开式通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－56r .令52－56r ＝0，得r ＝3， 当r ＝3时，T 4＝C 35(－1)3＝－10.故A ＝－10.答案：－10。
第三节 二项式定理
结合二项展开式系数所具有的性质，若
x3＋
1 x
n的展开式
的所有二项式系数之和为128，能否确定n的值？
解：由题意可得2n＝128，解得n＝7.
考点一 求展开式中的特定项或特定系数(基础之翼练牢固)
[题组练通]
1．(2018·全国卷Ⅲ)x2＋2x5的展开式中x4的系数为
A．10
B.20
()
C．40
[解题方略] 求展开式系数最大项
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采 用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1， 且第k项系数最大，应用AAkk≥ ≥AAkk－ ＋11， 从而解出k来即得．
[过关集训]
1．若
x＋ 1 3 x
n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，
82 020－a0＝82 020－1，故选B.
[答案] (1)B (2)B
[解题方略] 求二项式系数和的常用方法是赋值法
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋ bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋 值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求 其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
＝2r·C1r0·x10－2 5r.令10－2 5r＝0，得r＝2，故展开式中的常数项是 22·C210＝180.
(2)∵展开式中只有第11项的二项式系数最大，
∴n＝20，∴Tr＋1＝Cr20·( 3x)20－r31xr＝Cr203202－r·x20－43r.
由题得20－43r为整数，则r是3的倍数，
∴r可取0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数是整数的项共7项．
二项式定理ppt课件
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
第三节 二项式定理
令 r=3,则 C 答案:(1)A
r 5
(
1 2
)5-r(-2)r=
C
3 5
×(
1 2
)2×(-2)3=-20.故选
A.
(2)(x-1)( 1 +x)6 的展开式中的一次项系数是( ) x
(A)5 (B)14 (C)20 (D)35
解析:(2)(
1 x
+x)
6
展开式的通项公式为
Tr+1=
C
r 6
(
系数等方面的内在联系,可用来求指定的项、指定项的系数、常数项、有理
项、系数最大(绝对值最大)的项.
(3)区分二项式系数和该项的系数,二项式系数只与 n 和 r 有关,恒为正,而后
者是指字母外的部分,还与 a,b 有关,可正可负.形如(a+bx)n 的展开式第 r+1
项的二项式系数为
C
r n
,项的系数为
第三节 二项式定理
备考方向明确
方向比努力更重要
复习目标
学法指导
了解二项式定理,能利用二项展开式的
1.能利用计数原理证明二项式 通项公式求出特定项并且能够将求三项
定理.
式或两个二项式的和、积的展开式中特
2.会用二项式定理解决与二项 定项问题转化为二项式求解,正确区分
展开式有关的简单问题.
二项式系数与项的系数,能够利用赋值
解析:(2)由二项展开式的性质,可得 A=4n,B=2n,所以 A+B=4n+2n=72,
所以 n=3,因为(
x
+
3 x
)n 展开式的通项为
Tr+1=
C
r 3
(
第三节 二项式定理
n 2 n
最大值
n-1 n+1 ＋1 ＋1 2 2 第 _______ 项和第 _______ 项 的 二 项 式 系 数 项
相等， 且同时取得最大值， 最大值为 C
n-1 2 n
或C
n+ 1 2 n
1 2 k n C0 ＋ C ＋ C ＋„＋ C ＋„＋ C n n n n n
2×n＋2 ＝ 有正整数解；又 2 与 5 互质， 5 因此 n＋2 必是 5 的倍数，即 n＋2＝5k，n＝5k－2，n 的最小值是 3. 答案：D
3 ． (2015· 北京高考 ) 在 (2 ＋ x)5 的展开式中， x3 的系数为 ________．(用数字作答)
5 r r 3 解析：设通项为 Tr＋1＝Cr 2 x ，令 r ＝ 3 ，则 x 的系 5
1 3 ． ( 教材习题改编 ) x－ 4 8 的展开式中的有理项共有 2 x ________项．
1 1 16- 3 r r － r r 4 8－r－ 解析：∵Tr＋1＝Cr ， 8( x) 2 4 x ＝ 2 C8x ∴r 为 4 的倍数，故 r＝0,4,8 共 3 项． 答案：3
5 5 解析：(1＋3x)n 的展开式中含 x5 的项为 C5 n(3x) ＝Cn 6 6 35x5，展开式中含 x6 的项为 C6 3 n x .由两项的系数相等 5 6 6 得 C5 · 3 ＝ C 3 ，解得 n＝7. n n·
答案：B
2． 若二项式
2n x－x 展开式中的第 5 项是常数， 则自然数 ( B．10 D．15
2 2 2 解析：含 x2 项的系数为 C2 ＋ C ＋ C ＋ C 2 3 4 5＝20.
3 第3讲 二项式定理
第3讲 二项式定理1．二项式定理 (1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(2)通项：第k ＋1项为T k ＋1＝C k n an －k b k ． (3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C k n (k ＝0，1，2，…，n )． 2．二项式系数的性质判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a ＋b )n 的展开式中的第r 项是C r n an －r b r .( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)通项T r ＋1＝C r n an －r b r 中的a 和b 不能互换．( ) (5)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×(教材习题改编)二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 26的展开式中，常数项的值是( ) A ．240 B ．60 C ．192D ．180解析：选A.二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 26展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫1x 2r＝26－r C r 6x 6－3r，令6－3r ＝0，得r ＝2，所以常数项为26－2C 26＝16×6×52×1＝240.(2017·高考全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80解析：选C.当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.⎝⎛⎭⎫1x ＋x n的展开式中，第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第4项为________．解析：由题意得C 2n ＝C 6n ，所以n ＝8.所以⎝⎛⎭⎫1x ＋x 8展开式的第4项为T 4＝C 38⎝⎛⎭⎫1x 3x 5＝56x 2. 答案：56x 2在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－ax 5的展开式中，x 的系数是－10，则实数a 的值为________． 解析：T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r⎝⎛⎭⎫－a x r＝(－a )r C r5x 10－3r . 当10－3r ＝1时，r ＝3，于是x 的系数为(－a )3C 35＝－10a 3＝－10，a ＝1.答案：1二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点)二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．高考对二项式定理的考查主要有以下三个命题角度：(1)求展开式中的某一项；(2)求展开式中的项的系数或二项式系数； (3)由已知条件求n 的值或参数的值．[典例引领]角度一 求展开式中的某一项⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式中的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36D ．38【解析】 ⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4的展开式的通项为T k ＋1＝C k 4(x 3)4－k·⎝⎛⎭⎫－2x k＝C k4(－2)k x 12－4k ， 令12－4k ＝0，解得k ＝3，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8·x8－r·⎝⎛⎭⎫1x r＝C r8·x 8－2r ， 令8－2r ＝0，得r ＝4，所以所求常数项为C 34(－2)3＋C 48＝38.【答案】 D角度二 求展开式中的项的系数或二项式系数(2017·高考全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．35【解析】 (1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C.【答案】 C角度三 由已知条件求n 的值或参数的值(2016·高考山东卷)若(ax 2＋1x)5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________．【解析】 (ax 2＋1x)5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r·x 10－5r 2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2. 【答案】 －2与二项展开式有关问题的解题策略(1)求展开式中的第n 项，可依据二项式的通项直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可． (3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．[通关练习]1．若⎝⎛⎭⎫x 6＋1x x n的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.T r ＋1＝C r n (x 6)n －r⎝⎛⎭⎫1x x r＝C r n x 6n －152r ，当T r ＋1是常数项时，6n －152r ＝0，即n＝54r ，又n ∈N *，故n 的最小值为5，故选C. 2．(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3项的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30D ．－30解析：选A.(x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.3．(2018·贵州省适应性考试)(x ＋1)(x ＋a )4的展开式中含x 4项的系数为9，则实数a 的值为________．解析：(x ＋1)(x ＋a )4＝x (x ＋a )4＋(x ＋a )4，对于x (x ＋a )4，T 2＝x ×C 14x 3a ，对于(x ＋a )4，T 0＝C 04x 4a 0，所以4a ＋1＝9，解得a ＝2.答案：2二项式系数的性质或各项系数和[典例引领](1)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 11的展开式中，系数最大的项为第________项． (2)(2018·安徽省“江南十校”联考)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．【解析】 (1)依题意可知T r ＋1＝C r 11(－1)r x22－3r，0≤r ≤11，r ∈Z ，二项式系数最大的是C 511与C 611.当r ＝6时，T 7＝C 611x 4，故系数最大的项是第七项．(2)令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.【答案】 (1)七 (2)1或－3本例(2)变为：若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．解析：令x ＝2，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4＋m )9，令x ＝0，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝(m ＋2)9，所以有(4＋m )9(m ＋2)9＝39，即m 2＋6m ＋5＝0，解得m ＝－1或－5.答案：－1或－5赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.[通关练习]1．在⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．120解析：选A.因为二项展开式中中间项的二项式系数最大，又二项式系数最大的项只有第4项，所以展开式中共有7项， 所以n ＝6， 展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝⎛⎭⎫1x r＝C r6x 12－3r ， 令12－3r ＝0，则r ＝4，故展开式中的常数项为T 5＝C 46＝15.2．(2017·高考浙江卷)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________．解析：由题意知a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.答案：16 4二项式定理的应用[典例引领]设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11D ．12【解析】 512 018＋a ＝(52－1)2 018＋a ＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…＋C 2 0172 018×52×(－1)2 017＋C 2 0182 018×(－1)2 018＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0182 018×(－1)2 018＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.【答案】 D(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时，应明确被除式f (x )与除式g (x )(g (x )≠0)，商式q (x )与余式的关系及余式的范围．求证：3n >(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)．证明：因为n ∈N *，且n >2， 所以3n ＝(2＋1)n 展开后至少有4项．(2＋1)n ＝2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n ·2＋1≥2n＋n ·2n －1＋2n ＋1>2n ＋n ·2n －1＝(n ＋2)·2n －1， 故3n >(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)．二项展开式中系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，从而解出k 来，即得．易错防范(1)通项T k ＋1＝C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不是第k 项． (2)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．(3)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C k n (k ＝0，1，…，n )．1．(2018·广东测试)⎝⎛⎭⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54B.54 C ．－1516D.1516解析：选D.T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12rC r6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为⎝⎛⎭⎫－124C 46＝1516.故选D.2．(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数为( ) A ．50 B ．55 C ．45D ．60解析：选B.(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数是C 45＋C 46＋C 47＝55.故选B.3．设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017＝( ) A ．i B ．－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：选C.x ＝2i 1－i ＝－1＋i ，C 12 107x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017＝(1＋x )2 017－1＝i 2 017－1＝－1＋i.4．(2018·昆明市教学质量检测)(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．96 B ．64 C ．32D ．16解析：选B.(1＋2x )3的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 3(2x )r ＝2r C r 3x r ，(2－x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 424－k (－x )k ＝(－1)k 24－k C k 4x k ，所以(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数为20C 03·(－1)·23C 14＋2C 13·(－1)0·24C 04＝64，故选B.5．设n 为正整数，⎝⎛⎭⎫x －1x x 2n展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( )A ．16B ．10C ．4D ．2解析：选B.⎝⎛⎭⎫x －1x x 2n展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 2n x 2n －k ⎝⎛⎭⎫－1x x k＝C k 2n (－1)kx 4n －5k 2.令4n －5k 2＝0，得k ＝4n5，又k 为正整数，所以n 可取10. 6.⎝⎛⎭⎫x ＋2x n的展开式的二项式系数之和为8，则展开式的常数项等于( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10解析：选B.因为⎝⎛⎭⎫x ＋2x n的展开式的各个二项式系数之和为8，所以2n ＝8，解得n ＝3， 所以展开式的通项为T r ＋1＝C r 3(x )3－r⎝⎛⎭⎫2x r＝2r C r3x 3－3r2，令3－3r 2＝0，则r ＝1，所以常数项为6.7．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B.(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，所以a ＝C m2m . 同理，b ＝C m ＋12m ＋1.因为13a ＝7b ，所以13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.所以13·（2m ）！m ！m ！＝7·（2m ＋1）！（m ＋1）！m ！.所以m ＝6.8．若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2nB.3n －12C ．2n ＋1D.3n ＋12解析：选D.设f (x )＝(1＋x ＋x 2)n ， 则f (1)＝3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ，① f (－1)＝1＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2n ，②由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝f (1)＋f (－1)， 所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝f （1）＋f （－1）2＝3n ＋12.9．C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n (n ∈N *)的值为( )A ．2nB ．22n －1C ．2n －1D ．22n －1－1解析：选D.(1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n . 令x ＝1，得C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝22n ；再令x ＝－1，得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝0.两式相加，可得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n 2n ＝22n2－1＝22n －1－1.10．(2018·湖北枣阳第一中学模拟)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：选C.(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x6－k，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.11．设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，那么a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3＋a 5的值为( )A ．－122121B ．－6160C ．－244241D ．－1解析：选A.令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，① 再令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35.②①＋②2，得a 0＋a 2＋a 4＝122，①－②2，可得a 1＋a 3＋a 5＝－121， 故a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3＋a 5＝－122121.12．(2018·石家庄教学质量检测(二))若a ＝2⎠⎛－33(x ＋|x |)d x ，则在⎝⎛⎭⎪⎫x －13x a的展开式中，x 的幂指数不是整数的项共有( )A ．13项B ．14项C ．15项D ．16项解析：选C.因为a ＝2⎠⎛－33(x ＋|x |)d x ＝2[⎠⎛03(x ＋x )d x ＋⎠⎛－30(x －x )d x ]＝2x 2|30＝18，所以该二项展开式的通项T r ＋1＝C r 18(x )18－r⎝⎛⎭⎪⎫－13x r＝(－1)r C r 18x 9－5r 6(0≤r ≤18，且r ∈N )，当r ＝0，6，12，18时，展开式中x 的幂指数为整数，所以该二项展开式中x 的幂指数不是整数的项有19－4＝15项，故选C.13．(2018·广东省五校协作体联考)⎝⎛⎭⎫xy －1x 6展开式中不含x 的项的系数为________． 解析：⎝⎛⎭⎫xy －1x 6展开式中不含x 的项为C 36(xy )3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－20y 3，故不含x 的项的系数为－20.答案：－2014．已知⎝⎛⎭⎫1－1x (1＋x )5的展开式中x r (r ∈Z 且－1≤r ≤5)的系数为0，则r ＝________. 解析：依题意，(1＋x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x r ，故展开式为⎝⎛⎭⎫1－1x (x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x ＋1)，故可知展开式中x 2的系数为0，故r ＝2.答案：215．(2018·江西赣州十四县联考)若⎝⎛⎭⎫x ＋13x n的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足4A ＝9(C －B )，则展开式为x 2的系数为________．解析：易得A ＝1，B ＝n 3，C ＝C 2n 9＝n （n －1）18，所以有4＝9⎝⎛⎭⎫n 2－n 18－n 3，即n 2－7n －8＝0，解得n ＝8或n ＝－1(舍)．在⎝⎛⎭⎫x ＋13x 8中，因为通项T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎫13x r＝C r83r ·x 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，所以展开式中x 2的系数为5627.答案：562716．(2018·安徽“江南十校”联考)若(x ＋y －1)3(2x －y ＋a )5的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母x 且x 的次数为1的项的系数为________．解析：令x ＝y ＝1⇒(a ＋1)5＝32⇒a ＝1，故原式＝(x ＋y －1)3(2x －y ＋1)5＝[x ＋(y －1)]3[2x＋(1－y )]5，可知展开式中x 的系数为C 13＋C 33(－1)3C 15·2＝－7.答案：－71．487被7除的余数为a (0≤a <7)，则⎝⎛⎭⎫x －ax 26展开式中x －3的系数为( ) A ．4 320 B ．－4 320 C ．20D ．－20解析：选B.487＝(49－1)7＝C 07·497－C 17·496＋…＋C 67·49－1，因为487被7除的余数为a (0≤a <7)， 所以a ＝6，所以⎝⎛⎭⎫x －6x 26展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(－6)r ·x 6－3r， 令6－3r ＝－3，可得r ＝3，所以⎝⎛⎭⎫x －6x 26展开式中x －3的系数为C 36·(－6)3＝－4 320. 2．(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( ) A ．68y 7 B ．112x 3y 4 C ．672x 2y 5 D ．1 344x 2y 5解析：选C.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 7·2r ≥C r －17·2r －1，C r 7·2r ≥C r ＋17·2r ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧7！r ！（7－r ）！·2r ≥7！（r －1）！（7－r ＋1）！·2r －1，7！r ！（7－r ）！·2r≥7！（r ＋1）！（7－r －1）！·2r ＋1，即⎩⎨⎧2r ≥18－r ，17－r ≥2r ＋1解得⎩⎨⎧r ≤163，r ≥133.又因为r ∈Z ，所以r ＝5.所以系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.3．(2018·张掖市第一次诊断考试)设f (x )是⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6展开式中的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6的展开式中的中间项为第四项，即f (x )＝C 36(x 2)3⎝⎛⎭⎫12x 3＝52x 3，因为f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，所以m ≥52x 2在⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，所以m ≥⎝⎛⎭⎫52x 2max ＝5，所以实数m 的取值范围是[5，＋∞)．答案：[5，＋∞)4．(2018·山西太原模拟)⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15的展开式中常数项是________． 解析：⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15表示五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －1相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －1中分别抽取2x ，2x ，1x ，1x，－1，则此时的常数项为C 25·C 23·22·(－1)＝－120；第二种情况是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －1中都抽取－1，则此时的常数项为(－1)5＝－1；第三种情况是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －1中分别抽取2x ，1x，－1，－1，－1，则此时的常数项为C 15·C 14·21·(－1)3＝－40，则展开式中常数项为－120－1－40＝－161. 答案：－1615．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解：(1)通项公式为T k ＋1＝C k n x n －k3⎝⎛⎭⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝⎛⎭⎫－12k x n －2k 3.因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0， 即n ＝10.(2)令10－2k 3＝2，得k ＝2， 故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )， 则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， 因为k ∈N ，所以r 应为偶数，所以r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， 所以第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为C 210⎝⎛⎭⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎫－125，C 810⎝⎛⎭⎫－128x －2. 6．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)因为a 0＝C 07＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094. (3)因为(1－2x )7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， 所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.。
第3节 二项式定理.pptx
2 1 因此 x5y2 的系数为 C2 5C3C1＝30.
)
解析 法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y
2 2 3 2 的项为 T3＝C2 y. 5(x ＋x) ·
4 5 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C1 x＝C1 3x · 3x .
数学
第 3节
01
二项式定理
诊断自测
展开式中 的特定项 或项的系 数(多维探 究) 二项式系数 的和与各项 的系数和
例1-1 例1-2 训练1 例1-3
02
考点一
03
考点二
例2 训 练2
04
考点三
二项式定理的 应用
例3 训练 3
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
n－ k k (1)Ck a b 是二项展开式的第 k 项.( n
考点一
展开式中的特定项或项的系数(多维探究)
[训练 1]
(1)(2018· 长沙四县联考)已知
a 5 3 x－ 的展开式中含 x2的项的系数为 x
30，则实数 a＝________. (2)(2017· 全国Ⅲ卷改编)(x＋y)(2x－y)5 的展开式中 x3y3 的系数为________.
展开式中的特定项或项的系数(多维探究)
命题角度 1 求二项展开式中的特定项
3 1 [例 1－1] (2) x－ 3 10的展开式中所有的有理项为________. 2 x
解析
(2)二项展开式的通项公式为
1 10－2k k － k Tk＋1＝C10 2 x 3 .
所以 x y
第10章 第3节 二项式定理
大各二项式系数和 (1)(a＋b)n 展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝ 2n . (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C0n＋C2n＋C4n ＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝ 2n－1 .
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－5 [由题知，二项式展开式为 C04x－1x4·(－1)0＋C14x－1x3·(－1)＋ C24x－1x2·(－1)2＋C34x－1x·(－1)3＋C44x－1x0·(－1)4，则常数项为 C04·C24－C24·C12＋ C44＝6－12＋1＝－5.]
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10 243 [x2的系数为 C15×2＝10；令 x＝1，得各项系数之和为(1＋2)5＝243.]
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(对应学生用书第 173 页) 二项展开式中的特定项或特定项的系数
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◎角度 1 求展开式中的某一项 (2018·合肥二测)在x－1x－14的展开式中，常数项为________．
◎角度 2 求展开式中的项的系数或二项式系数
(2017·全国卷Ⅰ)1＋x12(1＋x)6 展开式中 x2 的系数为(
第三节 二项式定理
已知在( x－
3
1 3
)n 的展开式中， 第 6 项为常数项．
2 x (1)求含 x2 的项的系数； (2)求展开式中所有的有理项．
【解】 (1)通项公式为 1r r 1 r n－ 2r r n－ r r Tr＋ 1＝ Cnx (－ ) x－ ＝ Cn(－ ) x . 3 2 3 2 3 因为第 6 项为常数项， n－ 2r 所以 r＝5 时，有 ＝ 0，即 n＝ 10. 3 n－ 2r 1 1 令 ＝ 2，得 r＝ (n－ 6)＝ × (10－ 6)＝ 2， 3 2 2 ∴所求的系数为 1 2 45 2 C10(－ ) ＝ . 2 4
第三节 二项式定理
考点梳理
1．二项式定理
n 1 n 1 n r r n * (a＋b)n＝ C0 b＋„＋ Cr b ＋„＋ Cn na ＋ Cna na nb (n∈ N ) 这
－ －
个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫 (a＋b)n 的 二项展开式 ．
r C 其中的系数 n(r＝0,1，„，n) 叫 二项式 系数． n－r r 式中的 Cr a b 叫二项展开式的 通项 ，用 Tr＋1 表示，即通 n n r r 项 Tr＋1＝Cr b. na
① ②
已知(3－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋„＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|.
【解】(3)①＋ ②得 2(a0＋ a2＋ a4＋ a6)＝ 1＋ 57， ∴a0＋ a2＋ a4＋ a6＝ 39 063. (4)因为 (3＋ 2x)7 与 (3－ 2x)7 的展开式中对应项的 系数的绝对值相等，而 (3＋ 2x)7 展开各项系数均为正数， 所以 |a0|＋ |a1|＋ |a2|＋ „＋ |a7|即为 (3＋ 2x)7 的展开式 的各项系数和， 故 |a0|＋ |a1|＋ |a2|＋ „＋ |a7|＝ 57＝ 78 125.
第三节 二项式定理
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第三节
二项式定理
结束
角度二
几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题
2． (2013· 全国课标卷Ⅱ)已知(1＋ɑx)(1＋x)5 的展开式中 x2 的系 数为 5，则ɑ＝ A．－4 C．－2 B.－3 D．－1 ( )
1 解析：展开式中含 x2 的系数为 C2 5＋aC5＝5，解得 a＝－1，
6－2k＝2，
2 得 k＝2，A＝a2C2 ＝ 15 a ；令 6－2k＝0，得 k＝3，B＝－ 6 3 a3C3 6＝－20a ，代入 B＝4A 得 a＝－3.
答案：－3
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二项式定理
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[练一练] 1．设 a∈Z，且 0≤a＜13，若 512 012＋a 能被 13 整除，则 a
第三节
二项式定理
结束
第三节
二项式定理
1．二项式定理
(1)定理：
公式(a＋b)
n
n n 0 n 1 n－1 k n－k k C ＝Cna ＋Cna b＋„＋Cna b ＋„＋ nb
(n∈N*) 叫做二项式定理．
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二项式定理
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(2)通项：
k n－k k C Tk＋1＝ na b 为展开式的第 k＋1 项．
增减性
n＋ 1 当 k＜ 2 时，二项式系数逐渐增大；
n＋ 1 当 k＞ 时，二项式系数逐渐减小 2
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第三节
二项式定理
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性质
第三节二项式定理
第三节二项式定理[知识梳理] 1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)nC0n a n C1n a n－1C k n n－k k C n n b n*(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n(3)(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2．二项式系数的性质[常用结论]若二项展开式的通项为T r＋1＝g(r)·x h(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔T r＋1是常数项．(2)h(r)是非负整数⇔T r＋1是整式项．(3)h(r)是负整数⇔T r＋1是分式项．(4)h (r )是整数⇔T r ＋1是有理项．[基础自测]一、走进教材1．(选修2－3P 37A 组T 5(2)改编)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为________，是第________项．解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 8(x )8－k⎝⎛⎭⎫12x k ＝⎝⎛⎭⎫12k C k 8x 4－k ，令4－k ＝0，解得k ＝4，所以T 5＝⎝⎛⎭⎫124C 48＝358.答案：35852．(选修2－3P 35练习T 1(2)改编)化简：C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n＝________. 解析：因为C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n ＝22n ，所以C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＝12(C 02n ＋C 12n ＋…＋C 2n 2n )＝22n －1. 答案：22n －13．(选修2－3P 41B 组T 5改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为________．解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.答案：8 二、走出误区常见误区：①混淆“二项式系数”与“系数”致误；②配凑不当致误．4．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．解析：由题意得2n ＝32，所以n ＝5.令x ＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. 答案：－15．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________.解析：因为(1＋x )10＝[2－(1－x )]10，所以其展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 210－r ·C r 10(1－x )r，令r ＝8，得a 8＝4C 810＝180.答案：1806．(x ＋1)5(x －2)的展开式中x 2的系数为________．解析：(x ＋1)5(x －2)＝x (x ＋1)5－2(x ＋1)5，展开式中含有x 2的项为－20x 2＋5x 2＝－15x 2，故x 2的系数为－15.答案：－15[题组练透]1．二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 10的展开式中，x 项的系数是( )A.152 B ．－152C ．15D ．－15解析：选B ⎝⎛⎭⎫x 2－2x 10的二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫x 210－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－1)r 22r －10C r10x 23- 5r，令5－3r 2＝12，得r ＝3，所以x 项的系数是(－1)3·2－4·C 310＝－152.故选B. 2．(2019·天津高考)⎝⎛⎭⎫2x －18x 38的展开式中的常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫2x －18x 38的通项为T r ＋1＝C r 8()2x 8－r ·⎝⎛⎭⎫－18x 3r ＝C r 828－r ⎝⎛⎭⎫－18r ·x 8－4r . 令8－4r ＝0，得r ＝2，∴ 常数项为T 3＝C 2826⎝⎛⎭⎫－182＝28. 答案：283．(2019·浙江高考)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．解析：由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9， 当项为常数项时，r ＝0，T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2. 当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5. 答案：162 54．(一题多解)⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 6的展开式的常数项为160，则实数a ＝________. 解析：法一：⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6(ax )6－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 6a 6－r x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以C 36a 6－3＝160，解得a ＝2.法二：⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 6＝⎝⎛⎭⎫ax ＋1x ⎝⎛⎭⎫ax ＋1x ⎝⎛⎭⎫ax ＋1x ⎝⎛⎭⎫ax ＋1x ⎝⎛⎭⎫ax ＋1x ⎝⎛⎭⎫ax ＋1x ，要得到常数项，则需ax 与1x 的个数相同，各为3个，所以从6个因式中选择3个ax 的系数，即C 36a 3＝160，解得a ＝2.答案：2[解题技法]求二项展开式中的项的方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n ).[例1] (1)(2020·合肥模拟)已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64(2)若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( ) A ．0 B ．1 C ．32D ．－1(3)在(1＋x )n (x ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n ＝________.[解析] (1)由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，故(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a ＋b )6＝64.(2)由(1－x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－x )r ＝C r 5(－1)r x r，可知a 1，a 3，a 5都小于0.则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.在原二项展开式中令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.(3)二项式中仅x 5的系数最大，其最大值必为C n 2n ，即得n2＝5，解得n ＝10.[答案] (1)D (2)A (3)10[解题技法]1．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立．因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛⎭⎫第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．[跟踪训练]1．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A ．63x B.4xC ．4x 6xD.4x或4x 6x 解析：选A 令x ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8<2n<32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x .2．(2020·包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A ．1B ．243C ．121D ．122解析：选B 令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.3．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．解析：令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1. 答案：－3或14．已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．解析：由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n ＝121，则12n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8.答案：C 715(3x )7和C 815(3x )8考向(一) 几个多项式和展开式中特定项(系数)问题[例2] 在1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5的展开式中，含x 2项的系数是( )A ．10B ．15C ．20D ．25[解析] 含x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝20.[答案] C[解题技法]对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．考向(二) 几个多项式积展开式中特定项(系数)问题[例3] (1)(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20D ．24(2)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)(1＋x )4的二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 4x k(k ＝0,1,2,3,4)，故(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为C 34＋2C 14＝12.故选A.(2)(ax ＋1)6的展开式中x 2的系数为C 46a 2，x 的系数为C 56a ，因为(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，所以－C 46a 2＋C 56a ＝0，解得a ＝0或a ＝25.因为a 为正实数，所以a ＝25. [答案] (1)A (2)25[解题技法]对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．考向(三) 三项式展开式中特定项(系数)问题[例4] ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25的展开式中x 2的系数是________． [解析] 在⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25的展开式中，含x 2的项为2C 15⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4,23C 35⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2，所以在这几项的展开式中x 2的系数和为2C 15C 14＋23C 35C 02＝40＋80＝120.[答案] 120[解题技法](a ＋b ＋c )n 展开式中特定项的求解方法[跟踪训练]1．在⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16的展开式中，含x 5项的系数为( ) A ．6 B ．－6 C ．24D ．－24解析：选B 由⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16＝C 06⎝⎛⎭⎫x ＋1x 6－C 16⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5＋C 26⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4－…－C 56⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋C 66，可知只有－C 16⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5的展开式中含有x 5，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16的展开式中含x 5项的系数为－C 05C 16＝－6，故选B.2.⎝⎛⎭⎫x 2－3x ＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5的展开式中常数项为( ) A ．－30 B ．30 C ．－25D ．25解析：选C ⎝⎛⎭⎫x 2－3x ＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5＝x 2⎝⎛⎭⎫1－1x 5－3x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5，⎝⎛⎭⎫1－1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－1)r ⎝⎛⎭⎫1x r，易知当r ＝4或r ＝2时原式有常数项，令r ＝4，T 5＝C 45(－1)4⎝⎛⎭⎫1x 4，令r ＝2，T 3＝C 25(－1)2·⎝⎛⎭⎫1x 2，故所求常数项为C 45－3×C 25＝5－30＝－25，故选C.[课时过关检测]A 级——夯基保分练1.⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．80解析：选C T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 52r x 10－3r ，由10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25×22＝40. 2.⎝⎛⎭⎫1x 2＋4x 2＋43展开式的常数项为( ) A ．120 B ．160 C ．200D ．240解析：选B 因为⎝⎛⎭⎫1x 2＋4x 2＋43＝⎝⎛⎭⎫1x ＋2x 6，其展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·⎝⎛⎭⎫1x 6－r ·(2x )r ＝C r 62r x 2r －6，令2r －6＝0，可得r ＝3，故展开式的常数项为C 36·23＝160.3．已知(x ＋2)(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则a 0＋a 2＋a 4＝( ) A ．123 B ．91 C ．－120D ．－152解析：选D 法一：因为(2x －1)5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1)r (r ＝0,1,2,3,4,5)，所以a 0＋a 2＋a 4＝2×C 55×20×(－1)5＋[1×C 45×21×(－1)4＋2×C 35×22×(－1)3]＋[1×C 25×23×(－1)2＋2×C 15×24×(－1)1]＝－2－70－80＝－152，故选D.法二：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝3 ①，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝－243 ②，①＋②，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－120.又a 6＝1×25＝32，所以a 0＋a 2＋a 4＝－152，故选D.4．在⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中，x 3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( ) A ．5 B ．10 C ．15D ．20解析：选B ⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r C r 5x 5－2r ，令5－2r ＝3，则r ＝1，所以－a ×5＝－5，即a ＝1，展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C 25＝10，选B.5．若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C ．1D ．2解析：选D 由题意得⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 10x 10－2k ，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.6．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：选C 法一：利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2项的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.7．(多选)已知(a ＋b )n 的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选AB ∵已知(a ＋b )n 的展开式中第5项的二项式系数C 4n 最大，则n ＝7或8.故选A 、B.8．(多选)已知(3x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，设(3x －1)n 的展开式的二项式系数之和为S n ，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则( )A ．a 0＝1B ．T n ＝2n －(－1)nC ．n 为奇数时，S n ＜T n ；n 为偶数时，S n ＞T nD ．S n ＝T n解析：选BC 由题意知S n ＝2n ，令x ＝0，得a 0＝(－1)n ，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n ，所以T n ＝2n －(－1)n ，故选B 、C.9．(一题两空)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2m的展开式中二项式系数之和为128，则m ＝________，展开式中1x3的系数是________．解析：由题意可知2m ＝128，∴m ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 737－r(－1)r x 7－5r 3，令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x 3的系数为C 6737－6(－1)6＝21. 答案：7 2110．(2020·合肥模拟)(x －2)3(2x ＋1)2的展开式中x 的奇次项的系数之和为________． 解析：依题意得，(x －2)3(2x ＋1)2＝(x 3－6x 2＋12x －8)·(4x 2＋4x ＋1)＝4x 5－20x 4＋25x 3＋10x 2－20x －8，所以展开式中x 的奇次项的系数之和为4＋25－20＝9.答案：911．若⎝⎛⎭⎫x ＋12x n (n ≥4，n ∈N *)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n ＝________.解析：⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n x n －r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝C r n 2－r x n －2r ，则前三项的系数分别为1，n 2，n (n －1)8，由其依次成等差数列，得n ＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8或n ＝1(舍去)，故n ＝8.答案：812．已知(a 2＋1)n 展开式中的二项式系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，则正数a 的值为________．解析：⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5⎝⎛⎭⎫1655－r x 20－5r 2. 令20－5r ＝0，得r ＝4， 故常数项T 5＝C 45×165＝16， 又(a 2＋1)n 展开式中的二项式系数之和为2n ，由题意得2n ＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3. 答案：3B 级——提能综合练13．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12解析：选D 由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…－C 2 0172 018521＋1，又13整除52， 所以只需13整除1＋a ，又0≤a <13，a ∈Z ，所以a ＝12.14．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( ) A ．10B ．20C ．30D ．40解析：选D 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 的系数与1x的系数的和.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 525－r x 5－2r ·(－1)r . 令5－2r ＝1，得r ＝2，因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 的系数为C 2525－2×(－1)2＝80； 令5－2r ＝－1，得r ＝3，因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中1x的系数为C 3525－3×(－1)3＝－40，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为80－40＝40. 15．已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A ．39B ．310C ．311D ．312解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312.16．(一题两空)在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则n ＝________，展开式中常数项的值为________．解析：在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1得各项系数之和为4n ，即A ＝4n ，二项展开式中的二项式系数之和为2n ，即B ＝2n .∵A ＋B ＝72，∴4n ＋2n ＝72，解得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3(x )3－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 3x 3－3r 2，令3－3r 2＝0，得r ＝1，故展开式中的常数项为T 2＝3×C 13＝9.答案：3 9。
第三节 二项式定理
第三节二项式定理高考概览：1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．[知识梳理]1．二项式定理(1)展开式(a＋b)n＝C0n a n b0＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n a0b n所表示的定理叫做二项式定理．右边的多项式叫(a＋b)n的展开式．(2)通项：T k＋1＝C k n a n－k b k为第k＋1项．2．二项式系数(1)定义：式子C k n叫做二项式系数．__.(2)对称性：C k n＝C n－kn(3)二项式系数的最值(4)(a＋b)n展开式中各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.[辨识巧记]1．一对易混概念二项展开式中第r＋1项的(1)二项式系数是C r n.(2)项的系数是该项的数字因数．2．两个常用公式(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C k n an －k b k是二项展开式的第k 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( ) (4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40[解析] T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－2x3r＝C r 5·(－2)r ·x 10－5r ，令10－5r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 25×(－2)2＝40.[答案] C3．在1x －x 10的二项展开式中，二项式系数最大的项的项数是( )A ．5B ．6C ．7D ．5或7[解析] 在1x －x 10的二项展开式中，第6项的二项式系数最大． [答案] B4．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80[解析] 当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.[答案] C5．(选修2－3P 35练习T 1(2)改编)化简：C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＝________.[解析] 二项展开式中，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n＝22n2＝22n －1.[答案] 22n －1考点一 求展开式中的特定项或系数【例1】 (1)(2019·河北保定期末)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x 6的展开式中，有理项共有( )A ．1项B ．2项C ．3项D ．4项(2)(2018·山东枣庄二模)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C ．1 D ．2(3)(2019·山西太原期末)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为________．[思路引导] 写出展开式的通项公式→转化条件求解[解析] (1)⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(－1)r ·36－r·x 6－ 32r，令6－32r 为整数，求得r ＝0,2,4,6，共计4项．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310. 令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210.所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2.故选D.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5－r .令r ＝5，得常数项为C 55＝1，令r ＝3，得常数项为C 35·2＝20， 令r ＝1，得常数项为C 15·C 24＝30， 所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51. [答案] (1)D (2)D (3)51与二项展开式有关问题的解题策略(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．(3)对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．或看成几个因式的乘积，再利用组合数公式求解．[对点训练]1．(2019·重庆巴蜀中学二诊)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 210的展开式中的常数项是( )A ．－45B ．－10C ．45D ．65 [解析] 由二项式定理得T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎪⎫1x 10－r (－x 2)r ＝C r 10(－1)r x 5r 2－5，令5r 2－5＝0得r ＝2，所以常数项为C 210(－1)2＝45，故选C.[答案] C2．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.24[解析] 展开式中含1x 3的项是T 6＝C 57(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 5＝C 5722a 5x －3，故有C 5722a 5＝84，解得a ＝1.[答案] C3．(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30[解析] (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2·(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210, 故选A.[答案] A考点二 二项式系数的性质【例2】 已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n的展开式中前三项的系数为等差数列．(1)求二项式系数最大项； (2)求展开式中系数最大的项． [解](1)∵C 0n ＝1，C 1n12＝n 2，C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝18n (n －1)，由题设可知2·n 2＝1＋18n (n －1)，n 2－9n ＋8＝0， 解得n ＝8或n ＝1(舍去)．所以二项式系数的最大项为C 48⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ×124x 4＝358x . (2)设第r ＋1项的系数T r ＋1最大， 显然T r ＋1>0，故有T r ＋1T r≥1且T r ＋2T r ＋1≤1，∵T r ＋1T r＝C r 8·2－rC r －18·2－r ＋1＝9－r 2r ，由9－r2r ≥1，得r ≤3.又∵T r ＋2T r ＋1＝C r ＋18·2－(r ＋1)C r 8·2－r＝8－r 2(r ＋1)， 由8－r 2(r ＋1)≤1，得r ≥2. ∴r ＝2或r ＝3，所求项为T 3＝7x 52或T 4＝7x 74.(1)(a ＋b )n 中当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取最大值；当n 为奇数时，中间的两项的二项式系数值相等，且同时取得最大值．(2)求项的系数最大值，在系数均为正值前提下，解不等式⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1确定k 的范围，利用k ∈N *，确定其值． [对点训练]1．(2019·浙江金丽衢十二校二联)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 11的展开式中，系数最大的项为( )A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第六和第七项[解析] 依题意可知T r ＋1＝C r 11(－1)r x 22－3r,0≤r ≤11，r ∈Z ，二项式系数最大的是C 511与C 611，所以系数最大的是T 7＝C 611，即第七项．[答案] C2．在(1＋x )n (n ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11[解析] 含x 5的项是第6项，它是中间项．∴n ＝10.选C.[答案] C考点三 二项式系数的和【例3】 (1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40(2)若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝__________.[思路引导] 转化形式→合理赋值→求解结果 [解析] (1)令x ＝1，得1＋a ＝2，∴a ＝1. ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的通项T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r C r 5·x 5－2r . 令5－2r ＝－1，得r ＝3，∴x －1的系数为(－1)3·22·C 35＝－40. 令5－2r ＝1，得r ＝2，∴x 的系数为(－1)2·23·C 25＝80.故展开式中常数项为－40＋80＝40.(2)令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1；令x ＝0，可得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0.[答案] (1)D (2)0[拓展探究] (1)若本例(2)中条件不变，问题变为“求a 0＋a 2＋a 4的值”，则结果如何？(2)将本例(2)变为“若(1－2x )2018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2018x 2018，则a 12＋a 222＋…＋a 2018a 2018”的结果是多少？[解] (1)在(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4中，令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，①令x ＝－1可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝81，② ①＋②得，a 0＋a 2＋a 4＝41.(2)当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1.当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201822018， ∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 201822018. 即a 12＋a 222＋…＋a 201822018＝－1.赋值法求各项系数和的技巧(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)．[对点训练]1．(2019·吉林延边州模拟)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )A ．－32B ．0C ．32D ．1[解析] 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，即2n ＝32，解得n ＝5.令x ＝1，可得展开式中各项系数的和为⎝⎛⎭⎪⎫3×12－115＝32.故选C.[答案] C2．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝__________.[解析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36；令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝36＋12－1＝364.[答案]364考点四二项式定理的应用【例4】(1)设a∈Z，且0≤a<13，若512018＋a能被13整除，则a＝()A．0 B．1 C．11 D．12(2)计算1.028的近似值为__________(精确到小数点后三位)．[思路引导](1)512018＝(52－1)2018→求展开式→观察每一项除以13的余数(2)1.028＝(1＋0.02)8→求展开式→求结果[解析](1)∵52能被13整除，∴512018可化为(52－1)2018，其二项式系数为T r＋1＝C r2018522018－r·(－1)r.故(52－1)2018被13除余数为C20182018·(－1)2018＝1，则当a＝12时，512018＋12被13整除．(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C08＋C18·0.02＋C28·0.022＋C38·0.023≈1.172.[答案](1)D(2)1.172(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.[对点训练]1．1－90C110＋902C210－903C310＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1 B．－87 C．1 D．87[解析] 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋9010·C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝C 0108810＋C 110889＋…＋C 91088＋C 1010＝88k ＋1(k 为正整数)，所以可知余数为1.[答案] C2．n ∈N 且n ≥3时，2n －1与n ＋1的大小关系为________．[解析] n ≥3时，2n ＝(1＋1)n ＝1＋n ＋C 2n ＋…＋n ＋1≥2＋2n ，∴2n －1≥n ＋1.[答案] 2n －1≥n ＋1课后跟踪训练(七十二)基础巩固练一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80[解析] 由二项式定理，得⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 5·x 10－3r ，由10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为22C 25＝40.[答案] C2．(2019·安徽合肥模拟)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2－13x 8的展开式中常数项是( )A ．28B ．－7C ．7D ．－28[解析] 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r (－1)rx 8－ 43r，令8－4r3＝0，得r ＝6，所以常数项为T 7＝7.[答案] C3．(2019·武汉市高三二调)在x ＋1x －16的展开式中，含x 5项的系数为( )A ．6B ．－6C ．24D ．－24[解析] 由x ＋1x －16＝C 06x ＋1x 6－C 16x ＋1x 5＋C 26x ＋1x 4＋…－C 56x ＋1x＋C 66，可知只有－C 16x ＋1x 5的展开式中含有x 5，所以x ＋1x －16的展开式中含x 5项的系数为－C 05C 16＝－6，故选B.[答案] B4．(2018·福建省高三质检)已知(x ＋2)(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则a 0＋a 2＋a 4＝( )A ．123B ．91C ．－120D ．－152[解析] 解法一：因为(2x －1)5的展开式的通项T r ＋1＝C r5(2x )5－r·(－1)r (r ＝0,1,2,3,4,5)，所以a 0＋a 2＋a 4＝2×C 55×20×(－1)5＋[1×C 45×21×(－1)4＋2×C 35×22×(－1)3]＋[1×C 25×23×(－1)2＋2×C 15×24×(－1)1]＝－2－70－80＝－152，故选D.解法二：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝3 ①；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝－243 ②.①＋②，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－120.又a 6＝1×25＝32，所以a 0＋a 2＋a 4＝－152，故选D.[答案] D5．(2019·淮南模拟)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18[解析] 在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1得各项系数之和为4n ，∴A ＝4n ；二项展开式的二项式系数和为2n ，∴B ＝2n ，∴4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 3的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3(x )3－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝3r C r 3x 3-3r2，令3－3r 2＝0，得r ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13＝9.故选B.[答案] B 二、填空题6．在1－55ax 5(a >0)的展开式中，若第3项的系数等于二项式系数之和，则a ＝________.[解析] 依题意，得C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫－55a 2＝25，解得a ＝4. [答案] 47．若x 9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9a 7的值为________． [解析] 令x ＝2，则29＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＋a 9， 令x ＝0，则0＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 8－a 9，因而a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝28，而x 9＝[1＋(x －1)]9，其中T 8＝C 79(x －1)7，因而a 7＝C 79＝36，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9a 7＝25636＝649. [答案] 649 8．若二项式x －23xn的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其常数项是________．[解析] ∵二项式x －23xn的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，∴n ＝10，∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r－23xr ＝(－2)r C r10·x 30-5r6 ，令30－5r 6＝0，解得r ＝6，∴常数项是(－2)6C 610＝13440.[答案] 13440 三、解答题9．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．[解] (1)通项公式为T k ＋1＝C kn xnk3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x n-2k3.因为第6项为常数项所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10. (2)令10－2k3＝2，得k ＝2， 故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122＝454.(3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，∵k ∈N ，∴r 应为偶数，∴r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8，∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎪⎫－125，C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2.10．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a 7|. [解] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，令a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1093.(4)∵(1－2x )7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1093－(－1094)＝2187.能力提升练11．(2019·成都一中模拟)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[解析] 令等式中x ＝－1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A.[答案] A12．(2019·广东茂名联考)在(x ＋x )6⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 5的展开式中，x 4y 2项的系数为( )A ．200B ．180C ．150D ．120[解析] (x ＋x )6展开式的通项公式为T r ＋1＝ C r 6(x )6－r x r ＝C r6x 6+r2 ，令6＋r 2＝4，得r ＝2，则T 3＝C 26x 6+22 ＝15x 4.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1y r＝C r 5y －r ，令r ＝2可得T 3＝C 25y －2＝10y －2.故x4y2项的系数为15×10＝150. [答案] C13．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x n 展开式的各项系数的绝对值之和为1024，则展开式中x 的一次项的系数为________．[解析] T r ＋1＝C rn (x )n －r ⎝⎛⎭⎪⎫－3x r ＝(－3)r ·C r n x n-3r2 ，因为展开式的各项系数绝对值之和为C 0n ＋|(－3)1C 1n |＋(－3)2C 2n ＋|(－3)3C 3n |＋…＋|(－3)n C nn |＝1024，所以(1＋3)n＝1024，解得n ＝5，令5－3r2＝1，解得r ＝1，所以展开式中x 的一次项的系数为(－3)1C 15＝－15. [答案] －1514．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．[解] (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0. ∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎪⎫124·23＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫123·24＝70， 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫127·27＝3432.(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设第r ＋1项的系数最大，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C r 124r ≥C r －1124r －1，C r 124r ≥C r ＋1124r ＋1.∴9.4≤r ≤10.4， 又r ∈N *，r ＝10.∴展开式中系数最大的项为第11项，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16896x 10.拓展延伸练15．(2019·银川质检)若(2x ＋1)11＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 11(x ＋1)11，则a 0＋a 12＋a 23＋…＋a 1112＝( )A ．0B ．1 C.124 D ．12[解析] 令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，从而(2t －1)11＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 11t 11，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2t －1)1224′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 0t ＋a 12t 2＋a 23t 3＋…＋a 1112t 12＋c ′，即(2t －1)1224＝a 0t ＋a 12t 2＋a 23t 3＋…＋a 1112t 12＋c ，令t ＝0，得c ＝124，令t ＝1，得a 0＋a 12＋a 33＋…＋a 1112＝0.[答案] A16．(2019·安徽省“江南十校”联考)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m的值为________．[解析]令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m ＝3，解得m＝1或－3.[答案]1或－3。
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一、选择题
1．(2010·全国Ⅰ高考)(1－x )4(1－x )3的展开式x 2的系数是( )
A ．－6
B ．－3
C ．0
D ．3
【解析】 (1－x )4(1－x )3＝(1－4x ＋6x 2－4x 3＋x 4)(1－3x 12＋3x －x 32
)，x 2的系数是－12＋6＝－6.
【答案】 A
2.⎝
⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6
【解析】 ⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式通项为C 10r (x )r ⎝⎛⎭⎫13x 10－r ＝C 10r ⎝⎛⎭⎫1310－r x 3r 2
－10，因此含x 的正整数次幂的项共有2项．
【答案】 B
3．二项式(1－x )4n ＋1的展开式中，系数最大的项为第( )项
A ．2n ＋1
B ．2n ＋2
C ．2n
D ．2n ＋1和2n ＋2
【解析】 在二项式(1－x )4n ＋1的展开式中，中间两项的二项式系数相等，但项的系数
一正一负，第2n ＋1为正，即最大．
【答案】 A
4．若C n 1x ＋C n 2x 2＋…＋C n n x n 能被7整除，则x ，n 的值可能是( )
A ．x ＝4，n ＝3
B ．x ＝4，n ＝4
C ．x ＝5，n ＝4
D ．x ＝6，n ＝5
【解析】 C n 1x ＋C n 2x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，根据选择支提供的数据检验知，当x ＝5，n ＝4时，二项式能被7整除．
【答案】 C
5．(2010·安庆模拟)在⎝
⎛⎭⎫x 2＋1x n 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )
A ．15
B ．20
C ．30
D ．120
【解析】 因为只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6，其展开式的通项为T r ＋1＝
C 6r x 12－2r x －r ＝C 6r x 12－3r ，当r ＝4时为常数，常数为15.
【答案】 A
6．在(ax ＋1)7的展开式中，x 3项的系数是x 2项的系数与x 5项的系数的等比中项，则a 的值是( )
A.53
B.925
C.259 D ．1±105
【解析】 由x 3项的系数是x 2项的系数与x 5项的系数的等比中项得(C 74A 3)2＝
C 75A 2C 72A 5，解得a ＝259
. 【答案】 C
7．(2010·全国Ⅰ高考)(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( )
A ．－4
B ．－2
C ．2
D ．4
【解析】 (1＋2x )3的展开式的通项为T r ＋1＝C 3r (2x )r ＝2r C 3r x r 2
，(1－3x )5的展开式的通项为T r ′＋1＝C 5r ′(－3x )r ′＝(－1)r ′C 5r ′x r ′3
，因此(1＋2x )3(1－3x )5的展开式的通项为(－1)r ′·2r ·C 3r ·C 5r ′·x r 2＋r ′3，当r 2＋r ′3
＝1时有r ＝0且r ′＝3或r ＝2且r ′＝0两种情况，则展开式中x 的系数为(－10)＋12＝2.
【答案】 C
8．若(1－2x )2 009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 009x 2 009(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2
【解析】 由题意容易发现：
a 1＝C 2 0091(－2)1＝－2×2 009，
a 2 008＝C 2 0092 008(－2)2 008＝(－2)2 008×2 009，
则a 12＝－2 009，a 2 00822 008＝2 009，即a 12＋a 2 00822 008＝0， 同理可以得a 222＋a 2 00722 007＝0，a 323＋a 2 00622 006＝0，…….亦即前2 008项和为0， 则原式＝a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009＝a 2 00922 009＝C 2 0092 009(－2)2 00922 009
＝－1. 【答案】 C
二、填空题
9．(2010·全国Ⅱ高考)若⎝⎛⎭
⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝__________. 【解析】 展开式中x 3的系数是C 93(－a )3＝－84A 3＝－84，∴a ＝1.
【答案】 1
10．(2010·湖北高考)在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．
【解析】 二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C 20r x 20－r (43y )r ＝C 20r (43)r x 20－r y r (0≤r ≤20)，
要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0、4、8、12、16、20，故系数为有理数的项共有6项．
【答案】 6
11．(2010·南宁模拟)二项式⎝
⎛⎭⎫3x －1x 26的展开式中常数项是________． 【解析】 二项展开式的通项为T r ＋1＝C 6r (3x )6－r (－x －2)r ＝C 6r (－1)r 36－r x 6－3r ，所以r ＝2.
常数为C 62·34＝1 215.
【答案】 1 215
12．(2010·海南五校联考)若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋1，且a ＝3b ，则n ＝________.
【解析】 由题意知，C n 3＝3C n 2，解得n ＝11.
【答案】 11
三、填空题
13．已知在⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；
(2)求含x 2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
【解析】 (1)通项公式为T r ＋1＝C n r x n －r 3⎝⎛⎭⎫－12r x －r 3 ＝C n r ⎝⎛⎭⎫－12r x n －2r 3， 因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r 3
＝0，即n ＝10. (2)令n －2r 3＝2，得r ＝12
(n －6)＝2， ∴所求的系数为C 102⎝⎛⎭⎫－122＝454
.
(3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 10－2r 3∈Z ，
0≤r ≤10，r ∈Z ，
令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32
k ， ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数．
∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为T 3＝454x 2，T 6＝－638，T 9＝45256
x －2. 14．已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为24，求展开
式中含x 2项的系数的最小值．
【解析】 由f (x )中含x 项的系数为24，可得
C m 12x ＋C n 12x ＝2mx ＋2nx ＝24x
从而m ＋n ＝12.
设f (x )中含x 2项的系数为t ，则
t ＝C m 222＋C n 222＝2(m 2＋n 2－m －n )．
把m ＝12－n 代入上式，得
t ＝2[(12－n )2＋n 2－12]＝4(n －6)2＋120.
∴当n ＝6时，t 的最小值为120.。