2004年浙江大学高等代数考研试题
2004年普通高等学校招生全国统一考试数 学(浙江卷)(文史类)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数 学（浙江卷）（文史类）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 =⋃)(N M（ ）(A) {1,2,3} (B) {4} (C) {1,3,4} (D) {2} （2）直线y=2与直线x+y —2=0的夹角是 （ ）(A)4π(B)3π(C)2π(D)43π (3) 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ）(A) –4(B) –6(C) –8(D) –10（4）已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = (A)43(B)43-(C)34(D)34-(5)点P 从（1，0）出发，沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（ ） (A)（)23,21-(B)（)21,23--(C)（)23,21--(D)（)21,23-（6）曲线y 2=4x 关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）(A)y 2=8--4x (B)y 2=4x —8 (C)y 2=16--4x (D)y 2=4x —16 (7) 若nxx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（ ）(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12(8)“21sin =A ”“A=30º”的 （ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(9)若函数)1,0)(1(log )(≠>+=a a x x f a 的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ）(A)31(B) 2(C)22(D)2（10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α=(A)3π (B)4π(C)410arcsin(D)46arcsin(11)椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点（2b，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（ ） (A)1716(B)17174 (C)54(D)552 (12)若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是（ ）(A)512-+x x (B)512++x x (C)512-x(D)512+x第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上. （13）已知⎩⎨⎧≥〈-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式2)(≤+x x xf ≤5的解集是 .（14）已知平面上三点A 、B 、C 满足,5,4,3===CA BC AB 则AB· BC+BC·CA+CA·AB 的值等于 .（15）已知平面α⊥β， βα⋂=l ，P 是空间一点，且P 到α、β的距离分别是1、2，则点P 到l 的距离为 .次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）.三. 解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为).)(1(31,*∈-=N n a S S n n n （Ⅰ）求21,a a ；（Ⅱ）求证数列{}n a 是等比数列.（18）（本题满分12分）在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . （Ⅰ）求A CB 2cos 2sin2++的值； （Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值.（19）（19）（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；（20）（本题满分12分）某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.（21）（本题满分12分）已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --= （Ⅰ）求导数)(x f '；（Ⅱ）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[--2，2] 上的最大值和最小值；（Ⅲ）若)(x f 在（—∞，—2]和[2，+∞）上都是递增的，求a 的取值范围.（22）（本题满分14分）解：已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）.点P 、Q 在双曲线的右支上，点M （m,0）到直线AP 的距离为1.（Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[∈k ，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当12+=m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.数 学（浙江卷）（文史类）参考答案一选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.B2.A3. B4.A5.A6.C7.C8.B9.D 10.D 11D 12. B 二.填空题 (本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13.(]1,∞- 14. –4 15. 5 16. 5 三.解答题（17）解: (Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21-又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(Ⅱ)当n>1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项为21-,公比为21-的等比数列. (18) 解: (Ⅰ)A CB 2cos 2sin2++ =)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B=)1cos 2()cos 1(212-++A A=)192()311(21-++= 91-(Ⅱ) ∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a cb bc -≥-+=, 又∵3=a∴.49≤bc 当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是49.(19) (满分12分)解: (Ⅰ)设AC ∩BD=0，连结OE ，∵O、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形， ∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM∥OE.∵⊂OE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM∥平面BDE.(Ⅱ)∵BD ⊥AC ，BD ⊥AF ，且AC 交AF 于A ， ∴BD ⊥平面AE ，又因为AM ⊂平面AE ， ∴BD ⊥AM. ∴AD=2,AF=1,OA=1,∴AOMF 是正方形，∴AM ⊥OF ，又AM ⊥BD ，且OF ∩BD=0 ∴AM ⊥平面BDF.（Ⅲ）设AM ∩OF=H ，过H 作HG ⊥DF 于G ，连结AG ， 由三垂线定理得AG ⊥DF ，∴∠AGH 是二面角A —DF —B 的平面角.6060,23sin ,36,22的大小为二面角B DF A AGH AGH AG AH --∴=∠∴=∠∴==方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系. 设N BD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）, ∴NE=()1,22,22--, 又点A 、M 的坐标分别是 （)0,2,2(）、（)1,22,22.∴ AM=（)1,22,22--∴N E=AM 且NE 与AM 不共线，∴NE∥AM.又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM∥平面BDF. （Ⅱ）),1,22,22(--=AM .,,.,0),1,2,0(),1,2,2(),0,0,2(BDF AM F BF DF F D 平面又同理所以⊥∴=⋂⊥⊥=⋅∴=∴（Ⅲ）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ∩AD=A ，∴AB ⊥平面ADF.,,0)1,22,22()1,22,22(,0)0,2,2()1,22,22(.)0,0,2(NF NE DB NE DAF AB ⊥⊥=⋅--=⊥=-⋅--=⋅-=∴得的法向量为平面6060.21,cos .的大小是即所求二面角的夹角是与的法向量B DF A NE AB NE AB BDF --∴>=<∴∴(20)解: (Ⅰ)设5个工厂均选择星期日停电的事件为A,则16807171)(5==A P . (Ⅱ)设5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B,则.24013607345677)(5557=⨯⨯⨯⨯==A B P 因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是B ,所以.2401204124013601)(1)(=-=-=B P B P (12分) 23∴.423)(2--='ax x x f (Ⅱ)由0)1(=-'f 得21=a ,此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)1(=-'f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(==-=--=f f f f 所以f(x)在[--2,2]上的最大值为,29最小值为.2750- (Ⅲ)解法一: 423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得 ,0)2(,0)2(≥'≥-'f f即{084.048≥+≥-a a ∴--2≤a ≤2.所以a 的取值范围为[--2,2].解法二:令0)(='x f 即,04232=--ax x 由求根公式得: )(3122122,1x x a a x 〈+±= 所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负. 由题意可知,当x≤-2或x≥2时, )(x f '≥0,从而x 1≥-2, x 2≤2,即⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-≤+6122.6122a a a a 解不等式组得: --2≤a ≤2. ∴a 的取值范围是[--2,2].(22) (满分14分)解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y (),0≠k 即0=--k y kx .又因为点M 到直线AP 的距离为1,所以,112=+-k kmk 得221111k k k m +=+=-. ∵],3,33[∈k ∴332≤1-m ≤2, 解得332+1≤m≤3或--1≤m≤1--332. ∴m 的取值范围是∈m ].3,1332[]3321,1[+--(Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b b y x 由),0,1(),0,12(A M + 得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ 的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1.因此，1,1-==AQ AP k k （不妨设P 在第一象限）直线PQ 方程为22+=x .直线AP 的方程y=x-1, ∴解得P 的坐标是（2+2，1+2），将P 点坐标代入1222=-b y x 得， 32122++=b 所以所求双曲线方程为,112)32(22=++-y x 即.1)122(22=--y x。
考研数学高数部分试卷与解答2004
《考研数学试卷》2004高数部份一、填空题[2004.三.1.4][2004.四.1.4]若()0sin limcos 5xx x x b e a→-=-，则a =1，b=4-[2004.二.1.4]设()()21lim1n n xf x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为x =0[2004.一.1.4]曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为1y x =-[2004.二.2.4]设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定，则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为(,1]-∞[2004.四.3.4]设arctan lnxy e =-1x dy dx==211e e -+[2004.一.2.4]已知()x x f e xe -'=，且()10f =，则()f x =()21ln 2x[2004.三.3.4][2004.四.2.4]设()211,2211,2x xe x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，则()2121f x dx -=⎰12-[2004.二.3.4]1+∞=⎰2π[2004.三.2.4]函数(),f u v 由关系式()(),f xg y y x g y =+⎡⎤⎣⎦确定，其中函数()g y 可微，且()0g y ≠，则2f u v∂=∂∂()()2g v g v '-⎡⎤⎣⎦[2004.二.4.4]设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定，则3z z xy∂∂+=∂∂2[2004.一.3.4]设L 为正向圆周222x y +=在第一象限中的部分，则曲线积分2Lxdy ydx -⎰的值为32π[2004.一.4.4]欧拉方程()2224200d y dy xxy x dxdx++=>的通解为122c c yxx=+[2004.二.5.4]微分方程()320y x dx xdy +-=满足()615y =的解为315y x =+二、单项选择题[2004.三.7.4][2004.四.7.4]函数()()()()2sin 212x x f x x x x -=--在下列那个区间内有界（A ）A.(1,0)-B.()0,1C.()1,2D. ()2,3 [2004.三.8.4][2004.四.8.4]设()f x 在(),-∞+∞内有定义，且()()1,0lim ,0,0x f x f x a g x x x →∞⎧⎛⎫≠⎪ ⎪==⎝⎭⎨⎪=⎩，则（D ） A.0x =必是()g x 的第一类间断点 B. 0x =必是()g x 的第二类间断点 C. 0x =必是()g x 的连续点 D. ()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关 [2004.一.7.4][2004.二.7.4]把0x +→时的无穷小量223cos ,tan,sin xxtdt tdt αβγ===⎰⎰⎰排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（B ）A ,,αβγB ,,αγβC ,,βαγD ,,βγα[2004.一.8.4][2004.二.10.4]设()f x 连续,且()00f '>，则存在0δ>，使得（C ） A. ()f x 在()0,δ内单调增加 B. ()f x 在(),0δ-内单调减少 C. 对任意()0,x δ∈有()()0f x f > D. 对任意(),0x δ∈-有()()0f x f >[2004.三.11.4][2004.四.11.4]设()f x '在[],a b 上连续，且()()0,0f a f b ''><，则下列结论种错误的是（D ）A. 至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f a >B. 至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f b >C. 至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x '=D. 至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x =[2004.二.8.4][2004.三.9.4][2004.四.9.4]设()()1f x x x =-，则（C ）A. 0x =是()f x 的极值点，但()0,0不是曲线()y f x =的拐点B. 0x =不是()f x 的极值点，但()0,0是曲线()y f x =的拐点C. 0x =是()f x 的极值点，且()0,0不是曲线()y f x =的拐点D. 0x =不是()f x 的极值点，()0,0也不是曲线()y f x =的拐点[2004.二.9.4]lim lnn →∞=（B ）A.221ln xdx ⎰ B.212ln xdx ⎰ C.212ln(1)x dx +⎰ D.221ln (1)x dx +⎰[2004.四.10.4]设()()()01,00,0,1,0xx f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，则（B ）A.()F x 在0x =点不连续。
高等代数考研真题 第一章 多项式
第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
11浙大高等代数
浙江大学
攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目高等代数（A卷）编号 601 注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或者草稿纸上均无效。
本试卷共计十道试题，每题满分15分；用E表示单位矩阵，矩
阵A的转置矩阵表示为.
1.如果），且n阶方阵A有一个
特征值等于1，证明都不是可逆矩阵。
2.解下列方程组：
3.设n阶方阵A的伴随矩阵为，当时，证明
.
4.设n阶方阵A满足证明是不可逆矩
阵。
5.设是欧式空间的常用基，
一个矩阵P被称为置换矩阵假如存在一个全排列阶
使得矩阵，例如
就是一个四阶置换矩阵，假如n方阵A的秩等于r，证明存在置换矩阵使得，其中的秩等于r。
6.设是实数域上三维线性空间，定
义，证明T是V上的线性变换，并求其特征值和特征向量。
7.设B是实数域上矩阵，，对任意一个大于零的
常数a，证明定义了一个内积使得成为欧式空间，其中表示列向量的转置，E表示单位矩阵。
8.试证明满足的n阶方阵A都相似于一个对角矩阵。
9.假设是半正定矩阵，证明满足的所有
组成的维子空间。
10.已知矩阵，求矩阵，使为
若当（）标准型。
2004考研线代部分试题(精)
0
0 0 1
1 1 1 0
属于 λ1
T k ξ k ( 1 , 1 , 1 , , 1 ) 的全部特征向量为 1
λ2 1 b 时
k 为任意不为零的常数
1 1 1 b b b 0 0 0 b b b λ2 E A b b b 0 0 0 得基础解系为 ξ (1,1,0,,0) T
λ1 1 (n 1)b 时
b b (n 1)b (n 1)b b b λ1 E A b b ( n 1 ) b
n 1 1 1 1 (n 1) 1 n 1 1 ( n 1 ) 1 1 1 1 0 1 ( n 1 ) 0 1 1 1 n 1 各都加到第一行上 1 1 n 1 1 1 1 n 1 1 0 0 0 0
时
r ( A) n 1 n
故方程组也有非零解，其同解方程组为
由此得基础解系为 于是方程组的通解为 其中k为任意常数
2 x1 x 2 0, 3 x x 0, 1 3 nx1 x n 0,
(1,2,, n) x k
B P AP
1
其中
P 为三阶可逆矩阵, 则
2
B
2004
2 A ____
，
【解】因为
1 0 0 2 A 0 1 0 0 0 1
B
2004
P A
0 3 0
2004考研数一真题及解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于 (A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f - (D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ= (B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).k问从着陆点=10⨯0.66算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx+-=,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x,并证明当1α>时,级数1nn xα∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna x x xx a x xnnx nx n a x++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩LLL L L L L LL试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121Λ>β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。
浙江大学99-06年研究生高等代数试题
的每一个特征值 λ
，都有
λ
≤ 1 (2) λ0
=1为
A 的一个特征 ℜn
=
⎪⎧⎜⎛ ⎨⎜
x1 M
⎟⎞ ⎟
|
⎪⎩⎜⎝ xn ⎟⎠
⎫ xi 是实数⎪⎬ ，
⎪ ⎭
A是n阶正定阵 ，
⎜⎛ x1 ⎟⎞
⎜⎛ y1 ⎟⎞
α = ⎜ M ⎟ ， β = ⎜ M ⎟ ∈ ℜn ，求证：(1) (α T Aβ ) 2 ≤ (α T Aα )(β T Aβ ) 等号成立当且仅当α与β 线形相关时成
21 0L0 0 0
1 2 1L0 0 0
Dn = L L L L L 0 0 0L1 21
二、（10 分）计算行列式 三、（20 分）
0 0 0 L 0 1 2.
A 是正定阵， C 是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵 P 使得 P−1AP, P−1CP 同时为对角形；
A 是正定阵， B 是实矩阵，而 AB 是实对称的，证明： AB 正定的充要条件是 B 的特征值全大于 0.
（4）欲证 B 可由 E, A1, A2 ,L , An−1 线性表出，只须证方程
B = x1E + x2 A1 + x3 A2 +L + xn An−1 有非零解即可，（ B = 0 显然）设 B ≠ 0
将 B 作用于αi ， i = 1, 2,L, n 则
Bαi = biαi = x1Eαi + x2A1αi + x3A2αi + L + xn An−1αi ,i = 1, 2,L ,n
,
⎟
⎠
A=
⎛1 ⎜ ⎜1
⎜L ⎜⎜⎝ 1
λ1 λ2 L
λn
《浙江大学高等代数2007-2019年考研真题及答案解析》
目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (5)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (7)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (9)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (11)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (13)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)浙江大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (16)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)浙江大学2017年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (18)浙江大学2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)浙江大学2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (21)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (23)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (23)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (31)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (57)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (64)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (70)Ⅰ历年考研真题试卷浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：高等代数编号：601注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一、（17分）设整系数的线性方程组为),..2,1(,1n i b x ai j nj ij==∑=，证明该方程组对任意整数n b b b ,..,,21都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于1±。
(NEW)浙江大学601高等代数历年考研真题汇编(含部分答案)
目 录2012年浙江大学601高等代数考研真题2011年浙江大学601高等代数考研真题及详解2010年浙江大学360高等代数考研真题2009年浙江大学360高等代数考研真题2008年浙江大学724高等代数考研真题及详解2007年浙江大学741高等代数考研真题及详解2006年浙江大学341高等代数考研真题及详解2005年浙江大学341高等代数考研真题2004年浙江大学341高等代数考研真题2003年浙江大学344高等代数考研真题2002年浙江大学365高等代数考研真题2001年浙江大学359高等代数考研真题2000年浙江大学226高等代数考研真题1999年浙江大学高等代数考研真题及详解2012年浙江大学601高等代数考研真题浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数（601）考生注意：1．本试卷满分为150 分，共计10道题，每题满分15分，考试时间总计180 分钟；2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、设是阶单位矩阵，，矩阵满足，证明的行列式等于.二、设是阶幂零矩阵满足，.证明所有的都相似于一个对角矩阵，的特征值之和等于矩阵的秩.三、设是维欧氏空间的正交变换，证明最多可以表示为个镜面反射的复合.四、设是阶复矩阵，证明存在常数项等于零的多项式使得是可以对角化的矩阵，是幂零矩阵，且.五、设.当为何值时，存在使得为对角矩阵并求出这样的矩阵和对角矩阵；求时矩阵的标准型.六、令二次型.求次二次型的方阵；当均为实数，给出次二次型为正定的条件.七、令和是域上的线性空间，表示到所有线性映射组成的线性空间.证明：对，若，则和在中是线性无关的.八、令线性空间，其中是的线性变换的不变子空间.证明；证明若是有限维线性空间，则；举例说明，当时无限维的，可能有，且.九、令.求阶秩为的矩阵,使得（零矩阵）；假如是满足的阶矩阵，证明：秩.十、令是有限维线性空间上的线性变换，设是的不变子空间.那么，的最小多项式整除的最小多项式.。
2004考研数一真题及解析
2004年全国硕士研究生入学考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于 (A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f - (D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ= (B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx+-=,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x,并证明当1α>时,级数1nn xα∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna x x xx a x xnnx nx n a x++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。
2004—数一真题标准答案及解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . （2）已知xxxee f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=__________ .（3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x的通解为. __________ . （5）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则=B __________ .（6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >= __________ .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. [ ] （8）设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得(A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少. (C) 对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) .(D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) . [ ]（9）设∑∞=1n na为正项级数，下列结论中正确的是(A) 若n n na ∞→lim =0，则级数∑∞=1n na收敛.（B ） 若存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ，则级数∑∞=1n na发散.(C) 若级数∑∞=1n na收敛，则0lim 2=∞→n n a n .(D) 若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim . [ ]（10）设f(x)为连续函数，⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(，则)2(F '等于(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ ]（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010. (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010. (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010. (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110. [ ]（12）设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ ]（13）设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于(A) 2αu . (B) 21α-u. (C) 21α-u . (D) α-1u . [ ]（14）设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，则(A) Cov(.),21nY X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov .(C) 212)(σn n Y X D +=+. (D) 211)(σnn Y X D +=-. [ ] （15）（本题满分12分）设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-. （16）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时. （17）（本题满分12分） 计算曲面积分 ,)1(322233dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.（18）（本题满分11分）设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.（19）（本题满分12分）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值. （20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. （21）（本题满分9分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=51341321a A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化. (22)（本题满分9分） 设A,B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求：（I ）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II ）X 和Y 的相关系数.XY ρ（23）（本题满分9分）设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xx F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求：（I ） β的矩估计量； （II ） β的最大似然估计量.2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标. 【详解】 由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知xxxee f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式，再积分即可. 【详解】 令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='， 即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)=2)(ln 21x . 【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分. （3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分. 【详解】 正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd y d x x d y L]s i n 2s i n 22c o s 2c o s 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d 【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为 221x c x c y +=. 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可. 【详解】 令te x =，则dtdyx dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==⋅=-，][11122222222dtdydt y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=⋅+-=， 代入原方程，整理得02322=++y dt dydty d ， 解此方程，得通解为 .221221x c x c e c ec y t t+=+=-- 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令te x =，则欧拉方程)(222x f cy dx dybx dx y d ax=++， 可化为 ).(][22t e f cy dt dyb dt dy dty d a =++- （5）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则=B91 . 【分析】 可先用公式E A A A =*进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A ，得A A BA A ABA +=**2， 而3=A ，于是有A B AB +=63， 即 A B E A =-)63(，再两边取行列式，有363==-A B E A ，而 2763=-E A ，故所求行列式为.91=B【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A ，一般均应先利用公式E A AA A A ==**进行化简.（6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >=e1 . 【分析】 已知连续型随机变量X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可. 【详解】 由题设，知21λ=DX ，于是}{DX X P >=dx e X P x⎰+∞-=>λλλλ1}1{ =.11eex=-∞+-λλ 【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. [ B ] 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.【详解】 0c o s 2t a n lim cos tan limlim 22002=⋅==+++→→→⎰⎰x xx dtt dt t x xx x x αβ，可排除(C),(D)选项， 又 xx xx dtt dtt x xxx x tan 221sin lim tan sin lim lim 230302⋅==+++→→→⎰⎰βγ=∞=+→20lim 41xxx ，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将γβα,,分别与nx 进行比较，再确定相互的高低次序. （8）设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得(A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.(C) 对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .[ C ]【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解】 由导数的定义，知0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x ，根据保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f即当)0,(δ-∈x 时，f(x)<f(0); 而当),0(δ∈x 时，有f(x)>f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论. （9）设∑∞=1n na为正项级数，下列结论中正确的是(A) 若n n na ∞→lim =0，则级数∑∞=1n na收敛.（B ） 若存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ，则级数∑∞=1n na发散.(C) 若级数∑∞=1n na收敛，则0lim 2=∞→n n a n .(E) 若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim . [ B ]【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】 取n n a n ln 1=，则n n na ∞→lim =0，但∑∑∞=∞==11ln 1n n n nn a 发散，排除(A)，(D)；又取nn a n 1=，则级数∑∞=1n na收敛，但∞=∞→n n a n 2lim ，排除(C), 故应选(B).【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，01limlim ≠==∞→∞→λna na n n n n ，而级数∑∞=11n n 发散，因此级数∑∞=1n n a 也发散，故应选(B). （10）设f(x)为连续函数，⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(，则)2(F '等于(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ]【分析】 先求导，再代入t=2求)2(F '即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】 交换积分次序，得⎰⎰=tt ydx x f dy t F 1)()(=⎰⎰⎰-=t x tdx x x f dx dy x f 111)1)((])([于是，)1)(()(-='t t f t F ，从而有 )2()2(f F ='，故应选(B).【评注】 在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: ⎰'-'=')()()()]([)()]([])([x b x a x a x a f x b x b f dt t f否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上.（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010. (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010. (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010. (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110. [ D ]【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q 即为此两个初等矩阵的乘积.【详解】由题设，有B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，C B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100110001， 于是， .100001110100110001100001010C A A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡可见，应选(D).【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系. （12）设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (D) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (E) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (F) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ A ]【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从A,B 是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解1】 设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，则由AB=O 知，n B r A r <+)()(.又A,B 为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)<n, r(B)<n, 即A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选(A).【详解2】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，而B 为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A 的列向量组线性相关.同理，由AB=O 知，O A B TT =，于是有T B 的列向量组，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A). 【评注】 AB=O 是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的： 1） AB=O ⇒n B r A r <+)()(; 2） AB=O ⇒B 的每列均为Ax=0的解.（13）设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于(A) 2αu . (B) 21α-u. (C) 21α-u . (D) α-1u . [ C ]【分析】 此类问题的求解，可通过αu 的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论. 【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α即有 21}{α-=≥x X P ，可见根据定义有21α-=u x ，故应选(C). 【评注】 本题αu 相当于分位数，直观地有2（14）设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，则(A) Cov(.),21nY X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov .(C) 212)(σn n Y X D +=+. (D) 211)(σnn Y X D +=-. [ A ] 【分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：.,3,2,0),(1n i X X Cov i ==【详解】 Cov(∑∑==+==ni i n i i X X Cov n X X Cov n X n X Cov Y X 2111111),(1),(1)1,(),=.1121σnDX n = 【评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如222222111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -++=++++=+ =222233σσn n nn n +=+， 222222111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=-=.222222σσn n nn n -=- （15）（本题满分12分）设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-. 【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明. 【证法1】 对函数x 2ln 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得 .),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-=-ξξξ设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(tt t -='ϕ， 当t>e 时， ,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，从而)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ， 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-. 【证法2】 设x e x x 224ln )(-=ϕ，则24ln 2)(e x x x -='ϕ， 2ln 12)(xxx -=''ϕ, 所以当x>e 时，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，044)()(222=-='>'e e e x ϕϕ， 即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即 a ea b e b 22224ln 4ln ->-， 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-.【评注】 本题也可设辅助函数为2222),(4ln ln )(e x a e a x ea x x <<<---=ϕ或 2222),(4ln ln )(e b x e x b ex b x <<<---=ϕ，再用单调性进行证明即可. （16）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.【详解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg ，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得kv dt dvm -=. 又 dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=，由以上两式得 dv kmdx -=， 积分得 .)(C v k m t x +-= 由于0)0(,)0(0==x v v ，故得0v k mC =，从而 )).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时， ).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 【详解2】 根据牛顿第二定律，得 kv dtdvm -=, 所以.dt mk v dv -= 两端积分得通解t mkCe v -=，代入初始条件00v vt ==解得0v C =，故 .)(0t mk ev t v -=飞机滑行的最长距离为 ).(05.1)(000km kmv ekmv dt t v x tm k==-==∞+-∞+⎰或由t m ke v dtdx-=0，知)1()(000--==--⎰t m kt t m ke m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→【详解3】 根据牛顿第二定律，得 dt dxk dt x d m -=22,022=+dtdxm k dt x d ， 其特征方程为02=+λλm k ，解之得mk -==21,0λλ， 故 .21t mk eC C x -+=由 002000,0v e mkC dt dxv x t tm kt t t =-====-===，得 ,021kmv C C =-= 于是 ).1()(0t m ke k mv t x --= 当+∞→t 时，).(05.1)(0km kmv t x =→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为+∞→t 或0)(→t v 的极限值，这种条件应引起注意. （17）（本题满分12分） 计算曲面积分 ,)1(322233dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】 取1∑为xoy 平面上被圆122=+y x 所围部分的下侧，记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域，则dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰∑+∑-++=1)1(322233.)1(3221233dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰∑-++-由高斯公式知d x d y d z z y x d x d y z d z d x y d y d z x ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=-++)(6)1(322222331=rdz r z dr d r )(62011022⎰⎰⎰-+πθ=.2)]1()1(21[12232210ππ=-+-⎰dr r r r r而⎰⎰⎰⎰≤+∑=--=-++123322133)1(322y x dxdy dxdy zdzdx y dydz x π，故 .32πππ-=-=I【评注】 本题选择1∑时应注意其侧与∑围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在1∑上直接投影积分时，应注意符号(1∑取下侧，与z 轴正向相反，所以取负号).（18）（本题满分11分）设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定. 【证】 记.1)(-+=nx x x f n n 由01)0(<-=n f ，0)1(>=n f n ，及连续函数的介值定理知，方程01=-+nx x n存在正实数根).1,0(∈n x当x>0时，0)(1>+='-n nx x f n n ，可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加, 故方程01=-+nx x n存在惟一正实数根.n x由01=-+nx x n与0>n x 知n n x x nn n 110<-=<，故当1>α时，αα)1(0n x n <<. 而正项级数∑∞=11n n α收敛，所以当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证.（19）（本题满分12分）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值. 【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解】 因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ，所以 02262=∂∂-∂∂--xz z x z yy x ， 0222206=∂∂-∂∂--+-yzz y z yz y x . 令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0yz xz得⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x 故 ⎩⎨⎧==.,3y z y x将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 由于 02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xzz x z x z y ，,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx z z x z y z y x z y x z 02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yzz y z y z y y z y z ，所以 61)3,3,9(22=∂∂=x zA ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=y x zB ，35)3,3,9(22=∂∂=yzC ， 故03612>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. 类似地，由61)3,3,9(22-=∂∂=---x zA ，21)3,3,9(2=∂∂∂=---y x zB ，35)3,3,9(22-=∂∂=---yzC ，可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为 z(-9, -3)= -3.【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z 满足原方程.（20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n ，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可.【详解1】 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有.00002111122221111B a na a a a a n n n n a a A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++= 当a=0时， r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有.10000120002)1(10000121111⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→ n n n a n a B 可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，故方程组也有非零解，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η， 于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【详解2】 方程组的系数行列式为1)2)1((22221111-++=+++=n a n n a an nnna aA. 当0=A ，即a=0或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解. 当a=0时，对系数矩阵A 作初等行变换，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000000111122221111 n n n n A ， 故方程组的同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=a na a a a a n n n n a a A00002111122221111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→1000012000010000121111 n n a ， 故方程组的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η， 于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【评注】 矩阵A 的行列式A 也可这样计算：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=a n n n n a a A 22221111=aE +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111，矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111的特征值为2)1(,0,,0+n n ，从而A 的特征值为a,a,2)1(,++n n a , 故行列式.)2)1((1-++=n a n n a A（21）（本题满分9分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=51341321a A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化. 【分析】 先求出A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A 是否可相似对角化即可.【详解】 A 的特征多项式为513410)2(251341321-------=------=-λλλλλλλλaa A E=).3188)(2(51341011)2(2a a++--=------λλλλλλ当2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得a= -2.当a= -2时，A 的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----321321321的秩为1，故2=λ对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18+3a=16，解得 .32-=a当32-=a 时，A 的特征值为2，4，4，矩阵4E-A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1321301323秩为2，故4=λ对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化.【评注】 n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是：对于A 的任意i k 重特征根i λ，恒有.)(i i k A E r n =--λ 而单根一定只有一个线性无关的特征向量.(22)（本题满分9分）设A,B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求：（I ）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II ）X 和Y 的相关系数.XY ρ【分析】 先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】 （I ） 由于121)()()(==A B P A P AB P ， ,61)()()(==B A P AB P B P所以， 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， ,121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P )(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-=====32)()()(1=+--AB P B P A P （或32121611211}0,0{=---===Y X P ）， 故(X,Y)的概率分布为 YX 0 10 32121 1 61121 (II) X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ 【评注】 本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.（23）（本题满分9分） 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xx F ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求：（I ） β的矩估计量； （II ） β的最大似然估计量.【分析】 先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.【详解】 X 的概率密度为.1,1,0,),(1≤>⎪⎩⎪⎨⎧=+x x x x f βββ（I ） 由于梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 21 - 页 共 21 页 1);(11-=⋅==⎰⎰+∞++∞∞-βββββdx x x dx x xf EX ， 令X =-1ββ，解得 1-=X X β，所以参数β的矩估计量为 .1ˆ-=X X β （II ）似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L i n nni i ββββ 当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ，取对数得∑=+-=ni i x n L 1ln )1(ln )(ln βββ，两边对β求导，得∑=-=n i i x n d L d 1ln )(ln βββ， 令0)(ln =ββd L d ，可得 ∑==n i ixn 1ln β， 故β的最大似然估计量为.ln ˆ1∑==n i iXnβ 【评注】 本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.。
浙江大学1999年——2008年高等代数试题
二〇〇七年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目： 高等代数 编号： 741一、（17分）设整系数的线性方程组为,证明该方程组对任意整数都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于． ),..2,1(,1n i b x a i j nj ij ==∑=n b b b ,..,,211±二、（17分）计算阶行列式, 其中．(1n n >)2−1211232341112...........................n n n n nn n ns s s s s s s s s s s s s s s −+−+⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠kn k k k x x x s +++=...21三、（17分）设矩阵,,A B C 满足有意义.求证： ABC ()()()AB BC B ABC +≤+秩秩秩秩.四、（17分）设s ξξξ,...,,21是某个齐次线性方程组的基础解系，而k ηηη,...,,21是该齐次线性方程组的个线性无关的解，并且k k s <s k −s ξξξ,...,,21.求证中必可取出个解，使得它们个k ηηη,...,,21一起构成原方程组的一个基础解系．五、（17分）设阶方阵(1n n >)A 满足其中,0652=+−E A A E 是阶单位矩阵．证明:n A 相似于对角矩阵；如果A 行列式等于是正整数).求与m n m m n m ,0(32<<−A 相似的对角矩阵． )(2R M V =六、（17分）假设22×是由实数域上所有矩阵构成的实数域上向量空间.1112,11A B λ−⎛⎞⎛==⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝1⎞⎟⎠λ,其中是参数. 是V 上的线性变换. （1）证明 AXB X =)(ϕ1−≠λ（2）当ϕ时,证明是可逆线性变换. 1−=λ（3）当ϕ时,求线性变换的核和值域.（4）在值域中取一组基,并把它扩充成V 的基,求线性变换ϕ在这组基下的矩阵．222211λλλλλλλλλ⎛⎞−⎜⎟−⎜⎜⎟+−⎝⎠λ七、（16分）求-矩阵⎟的初等因子和不变因子． 8111181111811118A −⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠八、（16分）已知矩阵 123412341234(,,,)(,,,)(,,,)T f x x x x x x x x A x x x x =（1）求二次型； （2）用正交线性替换化二次型为标准型；),,,(4321x x x x f （3）证明定义了βαβαA T =),(α4R 4R 上的内积，其中βα,是的列向量，是T α的转置，并求在该内积下4R 的一组标准正交基；（4）求实对称矩阵B 使得A B k =,其中为正整数(只要写出k B 的表达式，不必计算其中的矩阵乘积)． 九、（16分）设, 其中是互不相同的整数．证明n a a a ,...,,211)()()()(22221+−⋅⋅⋅−−=n a x a x a x x f ()f x 是有理数域上的不可约多项式.。
2004年10月浙江省大学数学自学考试试题汇编近世代数
浙江省2004年10月大学数学试题高等教育自学考试近世代数试题课程代码：10025一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题3分,共15分)1.设A=R(实数域), B=R＋(正实数域)φ:a→10a∀a∈A则φ是从A到B的( )。
A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射2.设A={所有实数x},A的代数运算是普通乘法,则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( )。
A.x→10xB.x→2xC.x→|x|D.x→-x3.设S3={(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},则S中与元(1 2 3)不能交换的元的个数是( )。
A.1B.2C.3D.44.整数环Z中,可逆元的个数是( )。
A.1个B.2个C.4个D.无限个5.剩余类加群Z18的子群有( )。
A.3个B.6个C.9个D.12个二、填空题(每空3分,共27分)1.设A是n元集,B是m元集,那么A到B的映射共有____________个.2.n次对称群S n的阶是____________.3.一个有限非可换群至少含有____________个元素.4.设G是p阶群,(p是素数),则G的生成元有____________个.5.除环的理想共有____________个.6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］},则S的单位元是____________.7.设I是唯一分解环,则I［x］与唯一分解环的关系是____________.8.在2, i＋3, π2, e-3中,____________是有理数域Q上的代数元.9.2＋3在Q上的极小多项式是____________.三、解答题(第1、2小题各12分,第3小题10分,共34分)12 1.设G 是6阶循环群,找出G 的全部生成元,并找出G 的所有子群.2.求剩余类环Z 6的所有子环,这些子环是不是Z 6的理想？3.设Z 是整数环,则(2)∩(3)、(2,3)是Z 的怎样一个理想？(2)∪(3)是Z 的理想吗？为什么？四、证明题(每小题8分,共24分)1.设a 、b 是群G 的元素,a 的阶为2,b 的阶为3,且ab=ba,证明ab 的阶是6.2.证明：在n 阶群G 中每个元都满足x n =e.3.设A=⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 0b a a 、b 、c ∈⎭⎬⎫关于矩阵的加法和乘法构成一个环,证明A 1=⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛x 000x ∈⎭⎬⎫是A 的子环,找出A 到A1的一个同态满射f,求f 的核N.。
浙江大学2004年研究生高等代数试题
浙 江 大 学二〇〇四年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数1.（每小题8分，共16分）计算n 阶行列式：1）11((1))111n b b b b a b b b a bb b a b b b a b D a n b b b a b b b a b b b a b b b a b b b ab bb b bbbb==+-100000000((1))((1))000000000b b b a a b b a a b b ab a a n b a n b a b b a a b b a a b b a b ab a-----=+-=+---------(1)(2)(3)2122(1)((1))()()(1)[()()]n n n n n n n a n b b a a b a b nb a b -----=-+---=--+- 2）1231123123411341(1)34512145122122111221n n n n n n n n n D n n n n n --+==----1231111110111111111(1)(1)0111111111220111111111n nn n nn n n n n n n ----++==---(1)1211111111110000000(1)(1)(1)000002220000000n n n n nnnn n n n n n nn n nn ------+++===---(1)12(1)2n n n n n n --+=-。
2.（16分）设n n A P ⨯∈，()[]f x P x ∈。
已知()f A 可逆。
求证：存在()[]g x P x ∈使1(())()f A g A -=。
（注：P 是数域，n n P ⨯表示元素在P 中的n 阶方阵的集合）3.（16分）设A ，n n B P ⨯∈，求证：()***AB B A =。
证明：（1）当0AB ≠时，这时有0,0A B ≠≠，由公式1*A A A -=，可得111()*()**AB AB AB B B A A B A ---===。
2004考研数学三真题及答案解析
2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）(1)若5)(cos sin lim 0=--→b x a e xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x ae xxx ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x ，得a =1.极限化为51)(cos lim)(cos sin lim00=-=-=--→→b b x xxb x ae x x xx ，得b =-4.因此，a =1，b =-4.【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝A ，(1)若g (x )→0，则f (x )→0；(2)若f (x )→0，且A ≠0，则g (x )→0.(2)设函数f (u ,v )由关系式f [xg (y ),y ]=x +g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y )≠0，则)()(22v g v g vu f '-=∂∂∂.【分析】令u =xg (y )，v =y ，可得到f (u ,v )的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u =xg (y )，v =y ，则f (u ,v )=)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂.(3)设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x -1=t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x -1=t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dtx f dt t f dx x f ＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4)二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为2.【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而2)(=A r ,即二次型的秩为2.【详解二】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=2322321)(23)2121(2x x x x x -+++=2221232y y +=,其中,21213211x x x y ++=322x x y -=.所以二次型的秩为2.(5)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则=>}{DX X P e1.【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于21λDX =,X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.(6)设总体X 服从正态分布),(21σμN ,总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本,则22121212()(21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=,2122](11[2σY Y n E n j j =--∑=,故应填2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).[A ]【分析】如f (x )在(a ,b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a ,b )内有界.【详解】当x ≠0,1,2时，f (x )连续，而183sin )(lim 1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在(-1,0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，则f (x )在闭区间[a ,b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a ,b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a ,b )内有界.(8)设f (x )在(-∞,+∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则(A)x =0必是g (x )的第一类间断点.(B)x =0必是g (x )的第二类间断点.(C)x =0必是g (x )的连续点.(D)g (x )在点x =0处的连续性与a 的取值有关.[D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f x f x g u x x ∞→→→===a (令xu 1=)，又g (0)=0，所以，当a =0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x =0处连续，当a ≠0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x =0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x =0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9)设f (x )=|x (1-x )|，则(A)x =0是f (x )的极值点，但(0,0)不是曲线y =f (x )的拐点.(B)x =0不是f (x )的极值点，但(0,0)是曲线y =f (x )的拐点.(C)x =0是f (x )的极值点，且(0,0)是曲线y =f (x )的拐点.(D)x =0不是f (x )的极值点，(0,0)也不是曲线y =f (x )的拐点.[C ]【分析】由于f (x )在x =0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x =0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0<δ<1，当x ∈(-δ,0)⋃(0,δ)时，f (x )>0，而f (0)=0，所以x =0是f (x )的极小值点.显然，x =0是f (x )的不可导点.当x ∈(-δ,0)时，f (x )=-x (1-x )，02)(>=''x f ，当x ∈(0,δ)时，f (x )=x (1-x )，02)(<-=''x f ，所以(0,0)是曲线y =f(x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x =0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10)设有下列命题：(1)若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2)若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3)若1lim 1>+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4)若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).[B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim 1>+∞→n n n u u 可得到n u 不趋向于零(n →∞)，所以∑∞=1n n u 发散.(4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛.故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11)设)(x f '在[a ,b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是(A)至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f >f (a ).(B)至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f >f (b ).(C)至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D)至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f =0.[D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知)(x f '在[a ,b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >.同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >.所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12)设n 阶矩阵A 与B 等价,则必有(A)当)0(||≠=a a A 时,a B =||.(B)当)0(||≠=a a A 时,a B -=||.(C)当0||≠A 时,0||=B .(D)当0||=A 时,0||=B .[D ]【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件:)()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时,n A r <)(,又A 与B 等价,故n B r <)(,即0||=B ,故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查,属基本题型.(13)设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.[B ]【分析】要确定基础解系含向量的个数,实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n -,而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r 根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n .又b Ax =有互不相等的解,即解不惟一,故1)(-=n A r .从而基础解系仅含一个解向量,即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14)设随机变量X 服从正态分布)1,0(N ,对给定的)1,0(∈α,数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|,则x 等于(A)2αu .(B)21αu-.(C)21αu -.(D)αu -1.[C ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】由αx X P =<}|{|,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>.故正确答案为(C).【评注】本题是对标准正态分布的性质,严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→.【分析】先通分化为“0”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→=346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→x x xx x x x x x x x x x x .【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16)(本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x .【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17)(本题满分8分)设f (x ),g (x )在[a ,b ]上连续，且满足⎰⎰≥xaxadt t g dt t f )()(，x ∈[a ,b )，⎰⎰=ba badt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤ba badx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x )=f (x )-g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F (x )=f (x )-g (x )，⎰=x a dt t F x G )()(，由题设G (x )≥0，x ∈[a ,b ]，G (a )=G (b )=0，)()(x F x G ='.从而⎰⎰⎰⎰-=-==bab aba babadx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于G (x )≥0，x ∈[a ,b ]，故有0)(≤-⎰badx x G ，即0)(≤⎰ba dx x xF .因此⎰⎰≤ba badx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18)(本题满分9分)设某商品的需求函数为Q =100-5P ，其中价格P ∈(0,20)，Q 为需求量.(I)求需求量对价格的弹性d E (d E >0)；(II)推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析】由于d E >0，所以dP dQ Q P E d =；由Q =PQ 及dPdQQ P E d =可推导)1(d E Q dPdR-=.【详解】(I)PPdP dQ Q P E d -==20.(II)由R =PQ ，得)1(1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=.又由120=-=PPE d ，得P =10.当10<P <20时，d E >1，于是0<dPdR，故当10<P <20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E >0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==.利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dp dR d )1(-=，p E dQ dR d11(-=，d E EpER-=1(收益对价格的弹性).(19)(本题满分9分)设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ).求：(I)S (x )所满足的一阶微分方程；(II)S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ，易见S (0)=0，+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S )642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x )](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II)方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x e y xdx xdx +⎰⎰=⎰-22212x Ce x +--=，由初始条件y(0)=0，得C =1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题.(20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=,T ααα)3,2,1(2-+=,T b αb α)2,2,1(3+---=,T β)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ)β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ)β可由321,,ααα唯一地线性表示,并求出表示式;(Ⅲ)β可由321,,ααα线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解.【详解】设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211.(*)记),,(321αααA =.对矩阵),(βA 施以初等行变换,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a .(Ⅰ)当0=a 时,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA .可知),()(βA r A r ≠.故方程组(*)无解,β不能由321,,ααα线性表示.(Ⅱ)当0≠a ,且b a ≠时,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r ,方程组(*)有唯一解：a k 111-=,ak 12=,03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示,其表示式为211)11(αaαa β+-=．(Ⅲ)当0≠=b a 时,对矩阵),(βA 施以初等行变换,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ，2),()(==βA r A r ,方程组(*)有无穷多解，其全部解为a k 111-=,c ak +=12,c k =3，其中c 为任意常数．β可由321,,ααα线性表示,但表示式不唯一,其表示式为321)1(11(αc αc aαa β+++-=．【评注】本题属于常规题型,曾考过两次(1991,2000).(21)(本题满分13分)设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 b b b b b b A .(Ⅰ)求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ)求可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题,通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】(Ⅰ)1当0≠b 时，111||---------=-λb b bλb b b λA E λ ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ．对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b n b b b b n b b b bn A E λ)1()1()1(1 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111 n n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001 解得T ξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为Tk ξk )1,,1,1,1(1 =(k 为任意不为零的常数)．对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．故A 的属于2λ的全部特征向量为nn ξk ξk ξk +++ 3322(n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．2当0=b 时，n λλλλA E λ)1(100010001||-=---=- ,特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) 1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(112当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P ,均有E AP P =-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算,齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题,属于有一点综合性的试题.另外,本题的解题思路是容易的,只要注意矩阵中含有一个未知参数,从而一般要讨论其不同取值情况.(22)(本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P ,31)|(=AB P ,21)|(=B A P ,令⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ)二维随机变量),(Y X 的概率分布;(Ⅱ)X 与Y 的相关系数XY ρ;(Ⅲ)22Y XZ +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】(Ⅰ)因为121)|()()(==A B P A P AB P ，于是61)|()()(==B A P AB P B P ，则有121)(}1,1{====AB P Y X P ，61)()((}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ，121)()()(}1,0{=-====AB P B P A P Y X P ，32)]()()([1)(1(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ，(或32121611211}0,0{=---===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：Y X01013212161121(Ⅱ)方法一：因为41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ，41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ．方法二：X,Y 的概率分布分别为P65则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365,E(XY)=121,故241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ(Ⅲ)Z 的可能取值为：0，1，2．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ，41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ，121}1,1{}2{=====Y X P Z P ，即Z 的概率分布为：Z 012P3241121【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型(23)(本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,(其中参数1,0>>βα.设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ)当1=α时,求未知参数β的矩估计量;(Ⅱ)当1=α时,求未知参数β的最大似然估计量;(Ⅲ)当2=β时,求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型,只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】当1=α时,X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ)由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β令X ββ=-1,解得1-=X Xβ,所以,参数β的矩估计量为1-=X Xβ.(Ⅱ)对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 ,似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βn ni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他 当),,2,1(1n i x i =>时,0)(>βL ,取对数得∑=+-=ni i x ββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βnβd βL d 1ln )]([ln ，令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βnβd βL d ，解得∑==ni ixnβ1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==ni ixnβ1ln ˆ．(Ⅲ)当2=β时,X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 ,似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i n nn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他 当),,2,1(n i αx i =>时,α越大，)(αL 越大,即α的最大似然估计值为},,,min{ˆ21n x x x α=,于是α的最大似然估计量为},,,min{ˆ21n X X X α=．2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x x x x =.（2）微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______.（3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=)0,1(dz________.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____.（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y,则}2{=Y P =______.（6）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X Y 0100.4a 1b0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a=，b=.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点.(A)2.(B)4.(C) 6.(D)8.[]（8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y xI D⎰⎰+=)cos(222,σd y xI D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A)123I I I >>.（B ）321I I I >>.(C)312I I I >>.(D)213I I I >>.[]（9）设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是(A)∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n n a 发散.（B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a 发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛.(D))(1212∑∞=--n n n a a收敛.[]（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(A)f(0)是极大值，2(πf 是极小值.（B ）f(0)是极小值，)2(πf 是极大值.（C ）f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值.(D)f(0)是极小值，2(πf 也是极小值.[]（11）以下四个命题中，正确的是(A)若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D)若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界.[]（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足T A A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵.若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33.(B) 3.(C)31.(D)3.[]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01=λ.(B)02=λ.(C)01≠λ.(D)02≠λ.[]（14）设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是(A))).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-(B))).16(4120),16(4120(1.01.0t t +-(C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +-[]三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求).111(lim 0xe x x x --+-→（16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且((),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂（17）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（18）（本题满分9分）求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x).（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 010).1()()()()()(（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（i ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和（ii ）⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b,c 的值.（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵.(I)计算DP P T ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE o C A E P 1；（II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T 1--是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ）(X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (III )}.2121{≤≤X Y P （23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ）i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov （III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.。
浙 江 大 学考研题2004
浙 江 大 学信号与系统2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题【A 】 一、（20分）1．已知某一连续时间LTI 系统对f 1(t)的响应为y 1(t),求该系统对f 2(t)的响应。
2. 已知某一连续时间LTI 系统的频率响应为⎩⎨⎧<>-=0,0 ,)(ωωωj j j H ，求对信号x (t)=A cos(ω0t)+Bsin(ω0t)的响应。
3．求频谱[]ωωδωω2)2(11)(j ej j X -++=的反变换。
4．求信号⎪⎩⎪⎨⎧<=其它 ,02t ,cos )(0τωt t x 的频谱。
二、（15分）某一因果连续时间LTI 系统的微分方程为)(3)(')(2)('3)(''t x t x t y t y t y +=++试求：（1）系统函数、单位冲激响应和判断系统稳定性； （2）试画出该系统s 域的模拟框图；（3）已知)()(,1)0(,0)0('3t u e t x y y t -++===，求y(t)(t>0) . 三、（15分）某一因果离散时间LTI 系统的系统函数为 )1)(5.01()(11----=kzzAz H试求：（1）要使系统稳定，试确定k 的取值范围； （2）试画出该系统z 域的模拟框图；（3）当k=1/3 时，已知系统对输入信号n n x πcos ][=的响应为y[n],且y[1]=-2, 试确定A 值。
四、（10分）系统如图所示，设t t p e a e a a t x t j t j 0110cos )(,)(0ωωω=++=--，ttt h πω2sin)(0=，试求y(t)。
【B 】一、选择题（四选一，共20分，每题2分） 1．已知信号⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=62cos 28sin 4cos 2][ππππn n n n x ，该信号的基波周期（ ）A. 8;B. 4;C.16;D.不存在2．已知x [n]如图所示，则ωππωd e X j )(⎰-的值为（ ） A. 2π； B. 3π； C. 4π； D. 6π。
2004考研数学二真题及答案
2004考研数学二真题及答案一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x =.(2) 设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为.(3)1+∞=⎰.(4) 设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂.(5) 微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为.(6) 设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵,E是单位矩阵, 则B =.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 2x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 ( )(A),,.αβγ (B),,.αγβ(C),,.βαγ (D),,.βγα (8) 设()(1)f x x x =-, 则 ( )(A) 0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B) 0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.(C) 0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (D) 0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.(9) lim ln(1)n n→∞+ ( )(A)221ln xdx ⎰. (B)212ln xdx ⎰.(C)212ln(1)x dx +⎰. (D)221ln (1)x dx +⎰(10) 设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得 ( )(A)()f x 在(0,)δ内单调增加. (B)()f x 在(,0)δ-内单调减小. (C)对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. (D)对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.(11) 微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为 ( )(A)2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. (B)2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. (C)2sin y ax bx c A x *=+++. (D)2cos y ax bx c A x *=+++(12) 设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于 ( )(A)11()dx f xy dy -⎰⎰. (B)22()dy f xy dx ⎰⎰.(C)2sin 20(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰. (D)2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰(13) 设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为 ( )(A)010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B)010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (C)010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (D)011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(14) 设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有 ( )(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(16)(本题满分10分)设函数()f x 在(,-∞+∞)上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(I)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (II)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.(17)(本题满分11分)设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(I)证明()f x 是以π为周期的周期函数; (II)求()f x 的值域.(18)(本题满分12分)曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(I)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.(19)(本题满分12分)设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-.(20)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? (注：kg 表示千克,/km h 表示千米/小时)(21)(本题满分10分)设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂.(22)(本题满分9分)设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解(23)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.参考答案一、填空题 (1)0.解:本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点. 对不同的x , 先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.由2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+，显然当0x =时,()0f x =；当0x ≠时, 2(1)()lim 1n n x f x nx →∞-=+22211(1)lim(1)lim 11lim n n n x xx n n x x x n n →∞→∞→∞--===⎛⎫++ ⎪⎝⎭1x =, 所以 ()f x 0,01,0x x x=⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠，故 0x =为()f x 的间断点.(2)解:判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩ 定义的参数方程求出二阶导数22d y dx , 再由 220d ydx<确定x 的取值范围.()323133dy t t t dt '=-+=-，()323133dxt t t dt'=++=+ 所以 2222331331dy dy dt t t dx dx dt t t --===++221111t t +--=+2211t =-+ 222221113(1)d y d dy dt dx dt dx dx t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()222413(1)1t t t =⋅++2343(1)t t =+, 令220d y dx <(或220d y dx≤)，即23403(1)t t <+(或23403(1)tt ≤+) ⇒0t <()0t ≤或 又331x t t =++， 2330x t '=+>，所以()x t 单调增, 当0t =时，1x =，所以当0t <时()()01x t x <=(或当0t ≤时，()()01x t x ≤=)，即(,1)x ∈-∞(或(,1]x ∈-∞)时，曲线凸(3)2π. 解:利用变量代换法可得所求的广义积分值. 方法1：作积分变量变换，令sec x t =，则2221sec 1tan x t t -=-=，sec sec tan dx d t t tdt ==，:02t π→，代入原式：22100sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰.方法2：令1x t =，则211dx d dt t t ==-，:10t →，代入原式：1120111)arcsin 2dt tt π+∞-===⎰⎰.(4)2.解:此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 方法1：复合函数求偏导，在 232x zz ey -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数.23(23)x z z ze x x-∂∂=-∂∂, 23(3)2x z z z e y y -∂∂=-+∂∂,从而 2323213x z x zz e x e --∂=∂+, 23213x z z y e -∂=∂+ 所以 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+ 方法2：令23(,,)20x zF x y z ey z -=+-=，则232x z F e x -∂=⋅∂, 2F y ∂=∂, 23(3)1x z Fe z-∂=--∂ 所以2323232322(13)13x z x z x z x z z e e FFx z x e e----∂⋅∂∂=-=-=∂∂∂-++, 232322(13)13x z x zz FFy z y e e --∂∂∂=-=-=∂∂∂-++, 从而 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e --+=⋅=+方法3：利用全微分公式,得23(23)2x z dz e dx dz dy -=-+2323223x z x z e dx dy e dz --=+-即2323(13)22x zx zedz edx dy --+=+，得232323221313x z x z x ze dz dx dy e e ---=+++所以 2323213x z x z z e x e --∂=∂+, 23213x zz y e -∂=∂+从而 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+(5)315y x =解:此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解. 方法1：原方程变形为21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程 102dy y dx x-= 的通解:分离变量：12dy dx y x=两边积分得： 1ln ln ln 2y x c =+ y ⇒=用常数变易法，设(y c x =则((y c x c x ''=，代入21122dy y x dx x -=，得211(((22c x c x c x x x'-=，即321()2c x x '=, 积分得352211()25c x x dx x C ==+⎰,于是非齐次方程的通解为：53211()55y x C x =+=又由于165x y==代入通解，得316155= 1C ⇒=,故所求特解为 315y x =.方法2：原方程变形为 21122dy y x dx x -=,由一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=通解公式： ()()()()()P x dx P x dx P x dx f x Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰这里()()211,22P x Q x x x =- =，代入上式得：1122212dx dx x xy e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰由于方程0x =处方程无定义，所以解的存在区间内不能含有点0x =.因此解的存在区间要么为0x >的某区间，要么为0x <的某区间. 现在初值给在1x =处，所以0x >，于是11ln ln 22212x x y ex e dx C -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰35221125x dx C x C ⎤⎤=+=+⎥⎢⎥⎦⎦⎰ 再6(1)15y C =⇒=, 从而特解为315y x =.(6) 91 解:方法1：已知等式两边同时右乘A ，得**2ABA A BA A A =+，由伴随矩阵的运算规律：**A A AA A E ==，有2AB A B A A =+，而210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=，于是有 A B AB +=63，移项、合并有 A B E A =-)63(，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有(36)363A E B A E B A -=-==，而 36A E -21010031206010001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦630600030360060300003006003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 3303(1)(3)(3)3330+=--=-⨯⨯27=，故所求行列式为B 33627A A E ==-19=方法2：由题设条件**2ABA BA E =+，得 **2ABA BA -=*(2)A E BA E -=由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行列式，有 **(2)21A E BA A E B A E -=-==其中210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=；由伴随矩阵行列式的公式：若A 是n 阶矩阵，则 1n A A-*=.所以，312A AA -*===9 ； 又 0102100001A E -=1210(1)01+=-=1.故1192B A E A*==-.二、选择题 (7) (B) 解:方法1：202200tan tan 2lim limlim 0cos cos x xx x x x xxt dtβα+++→→→⋅= =⎰⎰洛必达，则β是α的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，又233000lim lim lim x x x x x t dtγβ+++→→→= ⎰⎰洛必达201lim 4x x x+→=∞等价无穷小替换， 可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 方法2：用kx (当0x →时)去比较.221000cos cos limlimlim ,xkkk x x x t dt x x x kxα+++-→→→=⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取1k =，有22000000lim cos cos lim lim 1lim xx x x t t x x x α++++→→→→===， 所以(当+→0x 时)α与x 同阶.211300000tan tan 222lim limlim lim lim x k k k k k x x x x x tdtx x x x x x kx kx kx β+++++---→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取3k =, 有3320002tan 2tan 2lim lim lim 333x x x x x x x x β+++-→→→===， 所以(当+→0x 时)β与3x 同阶.31313222211100000sin sin lim lim lim lim lim ,222xk k k k k x x x x x t dtx x x x xx x kx kx kxγ+++++-----→→→→→⋅⋅===⎰洛 欲使上式极限存在但不为0，应取2k =, 有221001lim lim 224x x x x x γ++-→→==⋅， 所以(当+→0x 时)γ与2x 同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是,,αγβ，选(B).(8)C解:由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论.方法1：由于是选择题，可以用图形法解决, 令()(1)x x x ϕ=-，则211()24x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，是以直线12x =为对称轴，顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，开口向上的一条抛物线，与x 轴相交的两点坐标为()()0,0,1,0，()()y f x x ϕ==的图形如图.点0x =是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.方法2：写出()y f x =的分段表达式： ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,从而()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩, ()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,()00lim ()lim 1210x x f x x ++→→'=-=>，所以01x <<时，()f x 单调增，()00lim ()lim 1210x x f x x --→→'=-+=-<，所以10x -<≤时，()f x 单调减， 所以0x =为极小值点.当10x -<<时, ()20f x ''=>，()f x 为凹函数； 当10x >>时,()20f x ''=-<，()f x 为凸函数, 于是(0,0)为拐点.(9) B解:由对数性质，lim ln (1)n n →∞+ 212lim ln (1)(1)(1)nn nn n n →∞⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦212limln(1)ln(1)ln(1)n n n n n n →∞⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦11lim 2ln(1)nn i i n n →∞==+∑102ln(1)x dx =+⎰2112ln x t tdt +=⎰212ln xdx =⎰(10) (C)解:函数()f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).由导数的定义，知 0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x根据极限的保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f .即当)0,(δ-∈x 时，0x <，有()(0)f x f <；而当),0(δ∈x 时，0x >有()(0)f x f >.(11)A解:利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.对应齐次方程 0y y ''+= 的特征方程为 210λ+=, 则特征根为 i λ=±,对2021(1)y y x e x ''+=+=+为()()x m f x e P x λ=型，其中()20,1m P x x λ= =+，因0不是特征根, 从而其特解形式可设为2021()y ax bx c e ax bx c *=++=++对 sin y y x ''+=, 为()()()cos sin xl n f x e P x x P x x λωω=+⎡⎤⎣⎦型，其中0λ=，()()0,1l n P x P x ω=1,= =，因0i i i λω+=+=为特征根, 从而其特解形式可设为2(sin cos )y x A x B x *=+xy由叠加原理，故方程 21sin y y x x ''+=++ 的特解形式可设为2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++(12)D解:由{}22(,)2D x y x y y =+≤，则积分 区域是以()0,1 为圆心，1为半径的圆及其内部， 积分区域见右图.在直角坐标系下, 先x后y ，x ≤≤02y ≤≤则应是20()()Df xy dxdy dy f xy dx =⎰⎰⎰⎰先y 后x ，由()2211x y +-≤1111y x ⇒≤≤≤，则应是1111()()Df xy dxdy dx f xy dy -=⎰⎰⎰⎰故应排除[],[]A B .在极坐标系下, cos ,sin x r y r θθ== ,2sin 20()(sin cos )Df xy dxdy d f r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰, 故应选D.或直接根据极坐标下，其面积元素为rdrd θ，则可排除C(13)(D)解:由题设，将A 的第1列与第2列交换，即12010100001AE A B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，将B 的第2列加到第3列，即100010100011011100011100.001001001001B A A AQ ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故011100001Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，应选(D).(14)(A)解:方法1：由矩阵秩的重要公式：若A 为n m ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，如果0AB =，则()()r A r B n +≤设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，由0AB =知，()()r A r B n +≤，其中n 是矩阵A 的列数，也是B 的行数因A 为非零矩阵，故()1r A ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r B n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B 的行向量组线性相关.因B 为非零矩阵，故()1r B ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r A n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A 的列向量组线性相关.故应选(A). 方法2：设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，将B 按列分块，由0AB =得，[]12,,,0,0,1,2,,.s i AB A A i s ββββ====因B 是非零矩阵，故存在0i β≠，使得0i A β=. 即齐次线性方程组0Ax =有非零解. 由齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件()r A n <, 知()r A n <. 所以A 的列向量组线性相关.又()0T T TAB B A ==，将TA 按列分块，得12[,,,]0,0,1,2,,.T T T T TTT T m i B A B B i m αααα====因A 是非零矩阵，故存在0T i α≠，使得0T Ti B α=，即齐次线性方程组0Bx =有非零解. 由齐次线性方程组0Bx =有非零解的充要条件，知TB 的列向量组线性相关，由TB 是由B 行列互换得到的，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A). 方法3：设 (),i j m n A a ⨯=()i j n s B b ⨯=, 将A 按列分块，记 ()12n A A A A =由0AB =⇒()11121212221212s s n n n ns b b b b b b A A A b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎝⎭()111111,,0n n s ns n b A b A b A b A =++++= (1)由于0B ≠, 所以至少有一个 0i j b ≠(1,1i n j s ≤≤≤≤), 又由(1)知,11220j j i j i nj n b A b A b A b A +++++=, 所以12,,,m A A A 线性相关. 即A 的列向量组线性相关.(向量组线性相关的定义：如果对m 个向量12,,,n m R ααα∈，有m 个不全为零的数12,,,m k k k R ∈，使11220m m k k k ααα++=成立，则称12,,,m ααα线性相关.)又将B 按行分块，记 12n B B B B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 同样，0AB =⇒11121121222212n n m m mn n a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭111122121122221122n n n n m m mn n a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭0= 由于0A ≠,则至少存在一个0i j a ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 使11220i i i j j in n a B a B a B a B ++++=,由向量组线性相关的定义知，12,,,m B B B 线性相关, 即B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法4：用排除法.取满足题设条件的,A B .取001000,10010001A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有00100100,10001AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A 的行向量组，列向量组均线性相关，但B 的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立.又取110100,00000100A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有1101000000100AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性相关，故(C)不成立.由排除法知应选(A).三、解答题.(15)(本题满分10分)求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16- 解:此极限属于型未定式.可利用洛必达法则,并结合无穷小代换求解. 方法1： 2cos 2cos ln ln 332cos 3xxx x x x ee++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫== ⎪⎝⎭原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=1x e x -302cos ln 3limx x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭202cos ln 3lim x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20ln 2cos ln 3lim x x x →+-=（）20(ln 2cos ln 3)lim()x x x →'+-'（）洛01sin 2cos lim2x x x x→⋅-+（）=011sin lim 22cos x x x x →=-⋅+ 0011sin 11lim lim 122cos 23x x x x x →→=-⋅=-⋅⋅+16=-方法2：原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=1x e x -202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫⎪⎝⎭20cos 1ln 3limx x x→-+=（1）()ln 1x x +2200cos 11cos limlim33x x x xx x →→--=- 222021cos lim 23x x x xx → - -16=-.(16)解:(I)当20x -≤<,则022x ≤+<,由题设：区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-知,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4]k x x =++-2(2)(4)k x x x =++(2)(4)kx x x =++.(II) 由(I)知：[][)2(4),0,2()(2)(4),2,0x x x f x kx x x x ⎧- ∈⎪=⎨++ ∈-⎪⎩，所以2(0)0(04)0f =⋅-=，按函数在某点可导的充要条件：在这点的左右导数存在且相等. 所以根据导数的定义求()f x 在0x =的左右导数，使其相等，求出参数k .200()(0)(4)0(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→---'===--00()(0)(2)(4)0(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x---→→-++-'===-.令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导.(17)解:利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.(I) 要证()f x 是以π为周期的周期函数，即证：()()f x f x π=+因为2()sin x xf x t dt π+=⎰，所以()f x π+()()2sin x x t dt πππ+++=⎰32sin x x t dt ππ++=⎰利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性，设t u π=+, 因为3:2t x x ππ+→+，所以:2u x x π→+，则有()f x π+=2sin()()x xu d u πππ+++⎰()sin sin u uπ+=-2sin x xu du π+⎰()f x =,故()f x 是以π为周期的周期函数.(II) 因为()f x 是以π为周期的周期函数, 故只需在[0,]π上讨论其值域. 又因()f x 为积分函数，则一定连续，根据有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值，所以()f x 的值域就是区间[min (),max ()]f x f x .令 ()sin()sin cos sin 02f x x x x x π'=+-=-=, 在区间[0,]π内求得驻点，14x π=, 234x π=, 且334444()sin sin 0sin 4f t dt t t dt πππππ= > =⎰⎰, 554433443()sin sin sin 24f t dt t dt t dt πππππππ==-=⎰⎰⎰又 2200(0)sin sin 1f t dt t dt ππ===⎰⎰, 3322()sin (sin )1f t dt t dt πππππ==-=⎰⎰,比较极值点与两个端点处的值，知()f x的最小值是2, 故()f x的值域是[2.(18)解:(I) 旋转体体积：2200()2x x tte e V t y dx dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰旋转体的侧面积：0()2tS t π=⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰022x x t e eπ-⎛+= ⎝⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰022x x t e e π-⎛+= ⎝⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰2022x x t e e dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰, 所以 ()()S t V t 2020222x x tx x t e e dx e e dx ππ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰2=. (Ⅱ) 在x t =处旋转体的底面积为2()x tF t y π==22x x x te e π-=⎛⎫+= ⎪⎝⎭22t t e e π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以20222()lim lim ()2xxt t t t t e e dx S t F t e e ππ-→+∞→+∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰20222=lim 2x x t t t t e e dx e e -→+∞-'⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰222lim 222t t t t t t t e e e e e e ---→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=lim t t t t t e e e e --→+∞+=-221=lim 1t t t e e --→+∞+-1=(19) 解:根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.方法1：因为函数()2ln f x x =在()2[,],a b e e⊂上连续，且在(),a b 内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，对函数()2ln f x x =在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得()()()22222ln ln ln ln ,b a b a b a e a b e ξξξξ'-=-=- <<<<下证：22ln 4e ξξ>. 设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(t t t -='ϕ，当t e >时，1ln 1ln 0t e -<-= ，即,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，又因为2e ξ<，所以)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ，得22ln 4e ξξ> 故 )(4ln ln 222a b e a b ->-. 方法2：利用单调性， 设x ex x 224ln )(-=ϕ，证()x ϕ在区间()2,e e 内严格单调增即可. 24ln 2)(e x x x -='ϕ，(222222ln 444()20e e e e e e ϕ'=-=-=，)2ln 12)(xx x -=''ϕ, 当x e >时，1ln 1ln 0x e -<-=，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，2()()0x e ϕϕ''>=，即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即a e a b e b 22224ln 4ln ->-， 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-. 方法3：设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---, 则2ln 4()2x x x e ϕ'=-，21ln ()2x x x ϕ-''=, ⇒x e >时, 1ln 1ln 0x e -<-=，得()0x ϕ''<，⇒()x ϕ'在2(,)e e 上单调减少, 从而当2e x e <<时, 22244()()0x e e eϕϕ''>=-=，⇒()x ϕ在2(,)e e 上单调增加. 从而当2e a x b e <<≤<时, ()()0x a ϕϕ>=. ⇒()0b ϕ>，即2224ln ln ()b a b a e ->-.(20) 解: 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.方法1：由题设，飞机质量9000m kg =，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ，速度为()v t ，则 0)0(,)0(0==x v v .根据牛顿第二定律，得kv dt dv m -=. 又dxdvv dt dx dx dv dt dv =⋅=. 由以上两式得dv k m dx -=，积分得.)(C v kmt x +-=由于0)0(,)0(0==x v v ，所以0(0)0.m x v C k =-+= 故得0v kmC =，从而)).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时，).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 方法2：根据牛顿第二定律，得 kv dtdvm-=, 分离变量：dv k dt v m =-，两端积分得：1ln kv t C m=-+， 通解：t mk Cev -=，代入初始条件00v vt ==，解得0v C =，故.)(0t mk ev t v -=飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到0v →，对应地t →+∞. 于是由dx vdt =，有00() 1.05().k k t t mmmv mv x v t dt v edt e km kk+∞--+∞+∞===-==⎰⎰或由()0kt m dxv t v e dt-==，知)1()(000--==--⎰t m kt t m k e m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→方法3：由kv dtdv m -= ，dxv dt =，化为x 对t 的求导，得dt dx k dt x d m -=22, 变形为 022=+dt dxm k dtx d ，0(0)(0),(0)0v x v x '=== 其特征方程为 02=+λλm k ，解之得mk-==21,0λλ，故.21t m ke C C x -+=由 2000000,kt m t t t t kC dxx v e v dt m -=======-=，得,021kmv C C =-= 于是 ).1()(0t m ke k mv t x --= 当+∞→t 时，).(05.1)(0km kmv t x =→ 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km .(21)解:利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.令 22,xyu x y v e =-=，则22(,)(,)xyz f x y e f u v =-=， 所以2,2u u x y x y ∂∂==-∂∂，,xy xy v v ye xe x y∂∂= =∂∂ 所以z x ∂=∂f u f vu x v x∂∂∂∂+∂∂∂∂122xy x f ye f ''=+，z y ∂=∂f u f v u y v y ∂∂∂∂+∂∂∂∂122xy y f xe f ''=-+ 2zx y ∂=∂∂()122xy z y f xe f x y x⎛⎫∂∂∂''=-+ ⎪∂∂∂⎝⎭11122221222xy xy xy u v u v y f f e f xye f xe f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()1112222122222xyxy xy xyxyy xf ye f e f xye f xe xf yef ''''''''''=-+++++ 2221112222=42()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f e xy f '''''''-+-++++(22) 解:方法1：对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11112222aa A nn nn a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦1()(2,)i i i n ⨯-+=行行11112000a a a B naa +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对||B 是否为零进行讨论：当0a =时，()1r A n =<，由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是m n ⨯矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是()r A n <. 故此方程组有非零解，把0a =代入原方程组，得其同解方程组为,021=+++n x x x ()*此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量. 选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)分别代入()*式，得基础解系,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有1111210001aB n+⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1)12,3i i n ⨯-+=行()(1)0002210001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，由齐次方程组有非零解的判别定理, 知方程组也有非零解，把2)1(+-=n n a 代入原方程组，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量.选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.方法2：计算方程组的系数行列式：11112222aa A nn nn a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦000111100022220aa a nnnn ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦矩阵加法 aE =+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111aE Q ∆ +， 下面求矩阵Q 的特征值：11112222E Q nnn n λλλλ---------=----111121(-)(2,3,,)00i i i n n λλλλλ-----⨯+=-行行(1)1112()1000(2,3,,)n n i i i n λλλ+----⨯+=列列1(1)2n n n λλ-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则Q 的特征值2)1(,0,,0+n n ，由性质：若Ax x λ=，则()(),m mkA x k x A x x λλ==，因此对任意多项式()f x ，()()f A x f x λ=，即()f λ是()f A 的特征值.故，A 的特征值为(1),,,2n n a a a ++, 由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得 A 行列式.)2)1((1-++=n a n n a A 由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是n 阶矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是0=A . 可知，当0=A ，即0a =或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11112222A nnnn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1)(2,)i i i n ⨯-+=行（行1111000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，. 故方程组的同解方程组为,021=+++n x x x此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量.选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)分别代入()*式， 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时， 11112100001a B n +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1)1(2,3)i i n ⨯-+=行(1)0002210001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 即 0000210001n⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量. 选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.(23) 解:A 的特征多项式为12314315E A aλλλλ---=----2(2)021114315aλλλλ---⨯-+----行（）行111(2)14315a λλλ------提出行公因数111(1)2(2)03315a λλλ-⨯-+-----行行 11012(2)033015a λλλ-+-----行行33(2)15a λλλ-=----(2)[(3)(5)3(1)]a λλλ=---++2(2)(8183).a λλλ=--++已知A 有一个二重特征值，有两种情况，(1)2=λ就是二重特征值，(2)若2=λ不是二重根，则28183a λλ-++是一个完全平方(1) 若2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得2a =-. 由E A λ-2(2)(8183(2))λλλ=--++⨯-2(2)(812)λλλ=--+2(2)(6)0λλ=--=求得A 的特征值为2,2,6, 由1232123123E A -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1231(-1)2,000113000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦行倍加到行行的倍加到行，知()21E A -=秩，故2=λ对应的线性无关的特征向量的个数为312n r -=-=，等于2=λ的重数. 由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 从而A 可相似对角化.(2) 若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18316a +=，解得 .32-=a 当32-=a 时，由E A λ-=22(2)(8183())3λλλ=--++⨯-2(2)(816)λλλ=--+2(2)(4)0λλ=--=知A 的特征值为2，4，4，由32341032113E A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦1133⨯+行行323103000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦知()42E A -=秩，故4=λ对应的线性无关的特征向量有321n r -=-=, 不等于4=λ的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 知A 不可相似对角化.。
2004年考研数学(二)试题及解析
2004年考研数学（二）试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分,把答案填在题中横线上)(1)__________)(,1)1(lim)(2=+-=∞→x x f nx xn x f n 的间断点为则设.______________)(,1313)()2(33取值范围为向上凸的则曲线确定由参数方程函数设x x y y t t y t t x x y =⎩⎨⎧+-=++=._____1d )3(12=-⎰∞+x x x.______3,2e ),()4(32=∂∂+∂∂+==-yz x z y z y x z z z x 则确定由方程设函数 .________560d 2d )()5(13的特解为满足微分方程==-+=x y y x x x y_____||,*,*2*,100021012)6(=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B E A A E BA ABA B A 矩阵，则是单位的伴随矩阵为其中满足矩阵设矩阵二. 选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,把所有选项前的字母填在题后的括号内.)αγβγαββγαγβαγβα,,)D (,,)C (,,)B (,,)A (,,d sin ,d tan ,d cos 0)7(03022则正确的排列次序是的高阶无穷小使排在后面的是前一个排列起来时的无穷小量把⎰⎰⎰===→+x xx t t t t t t x 的拐点也不是曲线的极值点不是的拐点是曲线且的极值点是的拐点是曲线但的极值点不是的拐点不是曲线但的极值点是则设)()0,0(,)(0)D ()()0,0(,)(0)C ()()0,0(,)(0)B ()()0,0(,)(0)A (|,)1(|)()8(x f y x f x x f y x f x x f y x f x x f y x f x x x x f ========-=⎰⎰⎰⎰+++++∞→2122121212222d )1(ln )D (d )1ln(2)C (d ln 2)B (d ln )A ()1()21()11(ln lim )9(xx xx xx xx n nn n n n 等于)0()()0,()D ()0()(),0()C ()0,()()B (),0()()A (,0,0)(',)()10(f x f x f x f x x f x f x f x f >-∈>∈->>有对任意的有对任意的内单调减少在内单调增加在使得且存在且连续设函数δδδδδxA c bx ax y x A c bx ax y xB x A x c bx ax y x B x A x c bx ax y x x y y cos *)D (sin *)C ()cos sin (*)B ()cos sin (*)A (sin 1'')11(22222+++=+++=++++=++++=++=+的特解形式可设为微分方程{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----≤+=θπθπθθθθθθsin 2020sin 202202111122d )cos sin (d )D (d )cos sin (d )C (d )(d 2)B (.d )(d )A (.d d )(,2|),(,)()12(222rr r f rr f xxy f y y xy f x y x xy f y y x y x D u f y y x x D等于则区域连续设函数⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001110)D (110001010)C (100101010)B (101001010)A (,32,21,3)13(为的可逆矩阵则满足列得列加到第的第再把列交换得列与第的第将阶方阵是设Q C AQ C B B A A 的列向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关的列向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关则必有的任意两个非零矩阵为满足设B A B A B A B A AB B A ,)D (,)C (,)B (,)A (,0,)14(=.1)3cos 2(1lim)10()15(.),,94,9(3⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→x x x x 求极限分本题满分证明过程或演算布骤解答应写出文字说明分满分小题本题共三、解答题[][].0)(,)II (;0,2)()I (.),2()(),4()(2,0,),()()10)(16(2处可导在为何值时问上的表达式在区间写出为常数其中都满足若对任意的上，在区间上有定义在设函数分本题满分=-+=-=+∞-∞x x f k x f k x kf x f x x x x f x f .)()2(.)()1(,d |sin |)()11)(17(2的值域求为周期的周期函数是以证明设分本题满分x f x f t t x f x xππ⎰+=.)()(lim )2(.)()()1().(),(),(,,0)0(,02e e )12)(18(-t F t S t V t S t F t x t S t V x y t t x x y t xx +∞→==>==+=计算极限的值求处的底面积为在侧面积为其体积为轴旋转一周得一旋转体绕该曲边梯形围成一曲边梯形及与直线曲线分本题满分).(e 4ln ln ,e e )12()19(2222a b a b b a ->-<<<证明设分本题满分 .//,).100.6(,./700,9000.,,,,,)11)(20(6小时表示千米表示千克注离是多少起，飞机滑行的最长距问从着陆点算比例系数为飞机的速度成正比后飞机所受的总阻力与减速伞打开经测试着陆的水平速度为的飞机现有一质量为使飞机迅速减速并停下以增大阻力伞飞机尾部张开减速在触地的瞬间为了减少滑行距离某种飞机在机场降落时分本题满分h km kg k h km kg ⨯=.,,),e ,()10)(21(222yx z y z x z f y x f z xy∂∂∂∂∂∂∂-=求具有连续二阶偏导数，其中设分本题满分.)4(44403)3(33022)2(20)1()9)(22(4321432143214321非零解，并求出其通解取何值时，该方程组有试问设有齐次线性方程分本题满分a x a x x x x x a x x x x x a x x x x x a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++ .,,51341321)9()23(可相似对角化是否并讨论的值求根的特征方程有一个二重设矩阵分本题满分A a a A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2004年考研数学（二）试题解析一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令 220d ydx< ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞。