北京市丰台区2007—2008学年度第一学期期末练习高三数学(理科)

合集下载

北京市东城区2007—2008学年度高三综合练习数学理科(一)

北京市东城区2007—2008学年度高三综合练习（一）数学试题（理科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题. 每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或2．已知等比数列{n a }的前n 项和为S n ，且S 3=7a 1，则数列{n a }的公比q 的值为（）A ．2B ．3C ．2或－3D ．2或33．“0=a ”是“函数),0()(2+∞+=在区间ax x x f 上是增函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为（）A ．1010B ．1030 C ．1060 D ．10103 5．实数y x z y x y x y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+则满足条件,0,0,022,04,的最大值为（）A ．—1B ．0C ．2D ．46．某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（） A ．45种 B ．56种 C ．90种 D ．120种7．已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,=+==的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．△ABC 中，AB =22，AC=2，BC =2，设P 为线段BC 上一点，且,2321≤≤PB 则一定有（）A ．AB ·AC >P A 2，AB ·AC >PB ·PC B ．P A 2>AB ·AC ，P A 2>PB ·PCC ．PB ·PC > AB ·AC ，PB ·PC >P A 2D ．AB ·AC > PB ·PC ，P A 2 >PB ·PC第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.9．=--+-→)131(lim 21x x x x x .10．函数)12(log 31-=x y 的定义域是 .11．函数x x x y 2cos 3cos sin 2+=的最小正周期为；最大值为 .12．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为 . 13．在三棱锥P —ABC 中，△ABC 是边长为6的等边三角形，PA=PB=PC=34，则点P到平面ABC 的距离为；若P ，A ，B ，C 四点在某个球面上，则球的半径为 . 14．在实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ①对任意a b b a R b a **,,=∈；②对任意a a R a =∈0*,；③对任意c c b c a ab c c b a R b a 2)*()*()(**)*(,,-++=∈，则0*2= ；函数)0(1*)(>=x xx x f 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值；（II ）若2=⋅，且22=b ，求c a 和b 的值.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC成30°角.（I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值；（III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 17．（本小题满分13分）已知定圆,16)1(:22=++y x A 圆心为A ，动圆M 过点B (1,0)且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为C . （I ）求曲线C 的方程；（II ）若点),(00y x P 为曲线C 上一点，求证：直线01243:00=-+y y x x l 与曲线C 有且只有一个交点.18．（本小题满分13分）甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为53，甲胜丙的概率为54，乙胜丙的概率为53，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束. （I ）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率；（II ）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；（III ）求甲取得比赛胜利的概率. 19．（本小题满分13分）已知函数⎩⎨⎧>≤+-=1,ln 1,)(23x x x ax x x x f ，在x =1处连续.（I ）求a 的值；（II ）求函数)(x f 的单调减区间；（III ）若不等式R ∈+≤x c x x f 对一切)(恒成立，求c 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知集合)(),2,1(},,,,,{1321A l n n i a a a a a A n >≤≤∈=R 其中Λ表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数.（I ）已知集合)(),(},16,8,4,2{},8,6,4,2{Q l P l Q P 分别求==；（II ）若集合2)1()(:},2,,8,4,2{-==n n A l A n求证Λ；（III ）求)(A l 的最小值.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．2 10．⎥⎦⎤⎝⎛1,21 11．2,π 12．21≤<e 13．6，4 14．5，3 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）（I ）解：由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B …………6分（II ）解：由2cos ,2==⋅B a BC BA 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又所以.6==c a…………13分16．（本小题满分14分）解法一：（I ）证明：由直三棱柱性质，B 1B ⊥平面ABC ，∴B 1B ⊥AC ，又BA ⊥AC ，B 1B ∩BA=B ， ∴AC ⊥平面 ABB 1A 1，又AC ⊂平面B 1AC ，∴平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1.…………4分（II ）解：过A 1做A 1M ⊥B 1A 1，垂足为M ，连结CM ，∵平面B 1AC ⊥平面ABB 1A ，且平面B 1AC ∩平面ABB 1A 1=B 1A ， ∴A 1M ⊥平面B 1AC.∴∠A 1CM 为直线A 1C 与平面B 1AC 所成的角， ∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°.设AB=BB 1=a ，可得B 1C=2a ，BC=a AC a 2,3=，.66sin ,22,311111====C A M A CM A a M A a C A 又从而∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66 …………9分（III ）解：过A 做AN ⊥BC ，垂足为N ，过N 做NO ⊥B 1C ，垂足为O ，连结AO ，由AN ⊥BC ，可得AN ⊥平面BCC 1B 1，由三垂线定理，可知AO ⊥B 1C ， ∴∠AON 为二面角B —B 1C —A 的平面角，.36sin ,,3611==∴=⋅==⋅=AO AN AON a C B AC AB AO a BC AC AB AN∴二面角B —B 1C —A 的大小为.36arcsin…………14分解法二：（I ）证明：同解法一. …………4分（II ）解：建立如图的空间直角坐标系A —xyz ，∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°. 设AB=B 1B=1，).1,1,0(),1,0,0(),0,0,2(),0,1,0(),0,0,0(.2,311B A C B A AC BC 则则==,6661||||,cos ),1,0,2(),1,1,0(,,11111111111==⋅>=<∴=-=C A B A C A B A C A B A AC B B A B A 又的一个法向量是平面易知连结∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66 …………9分（III ）解：设),,(z y x n =为平面BCC 1B 1的一个法向量，.33232,cos cos ,,).0,2,1(,0,2,1,02,0),0,1,2(),1,0,0(,,11111111=⋅==<=--====⎩⎨⎧=-=∴-==⊥⊥B A n A C B B AC B A n z y x y x z BB BC n BB n θθ则的大小为设二面角的一个法向量又得则令又则∴二面角B —B 1C —A 的大小为.33arccos …………14分17．（本小题满分13分）（I ）解：圆A 的圆心为4),0,1(1=-r A 半径，设动圆M 的圆心.||,,),,(22MB r r y x M =依题意有半径为由|AB|=2，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA|=r 1—r 2，即|MA|+|MB|=4，所以，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设椭圆方程为12222=+b y a x ，由.3,4,22,4222====b a c a 可得故曲线C 的方程为.13422=+y x …………6分（II ）解：当2,134,002400±==+=x y x y 可得由时， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=≠--==-====.134,4312:,4312,0).0,2(,2,0,2).0,2(,2,0,22200000000000y x y x x y y xx y l y C l x l y x C l x l y x 联立方程组的方程为直线时当有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当消去.0164824)34(,20023020=-+-+y x x x x y y 得 ①由点),(00y x P 为曲线C 上一点，.1234.13420202020=+=+x y y x 可得得于是方程①可以化简为.022002=+-x x x x 解得0x x =，),,(,4312000000y x P C l y y y xx y x x 有且有一个交点与曲线故直线可得代入方程将=-==综上，直线l 与曲线C 有且只有一个交点，且交点为),(00y x P . …………13分18．（本小题满分13分）（I ）解：只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为：.251254531=⨯=P …………4分（II ）解：只进行两局比赛，比赛就结束的概率为：.25185********=⨯+⨯=P…………8分（III ）解：甲取得比赛胜利共有三种情形：若甲胜乙，甲胜丙，则概率为25125453=⨯；若甲胜乙，甲负丙，则丙负乙，甲胜乙，概率为6252753535153=⨯⨯⨯；若甲负乙，则乙负丙，甲胜丙，甲胜乙，概率为.6254853545252=⨯⨯⨯所以，甲获胜的概率为.5362548625272512=++…………13分 19．（本小题满分13分）（I ）解：由1)(=x x f 在处连续，可得1ln 11=+-a ，故.0=a…………2分（II ）解：由（I ）得⎩⎨⎧>≤-=.1,ln ,1,)(23x x x x x x f.0)(,1)(,1.320,0)(,23)(,12>'='><<<'-='<x f xx f x x x f x x x f x 故时当可得令时当所以函数).32,0()(的单调减区间为x f…………7分（III ）解：设⎩⎨⎧>-≤--=-=.1,ln ,1,)()(23x x x x x x x x x f x g,)(,2753191271)31()().,31(),31,()(,1)(,)(),1(.0)(,1,11)(,1.)()1,31(,)()31,(.131,0)(;31,131,0)(,123)(,12恒成立对一切要使不等式的最大值为所以函数单调减区间为的单调增区间为于是函数处连续在又函数的单调减区间为函数可得时故当时当的单调减区间为函数的单调增区间为函数可得可得令即或可得令时当R ∈+≤=+--=-+∞---∞=+∞<'>-='>---∞<<-<'-<>-<>'--='<x c x x f g x g x g x x g x g x g x xx g x x g x g x x g x x x x g x x x g x,275)(,)(≤∈≤x g x c x g 又恒成立对一切即R 故c 的取值范围为.275≥c …………13分20．（本小题满分14分）（I ）解：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得5)(=P l ，由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得.6)(=Q l…………4分（II ）证明：因为.2)1()(,2)1()1(2-≤-=≤<≤+n n A l n n C n j i a a n j i 所以项共有,)1(,,,,.,,,22,,),1,1(,},2,,8,4,2{1的值两两不同即所有时当且仅当因此时当即则不妨设时当任取又集合n j i a a a a a a l j k i a a a a k i l j a a a a a a a a a a l j l j n l k n j i a a a a A j i l k j i l k j i l k j i l k i i j j i l k j i n ≤<≤++=+==+≠+≠=+≠++<≤=<+<≠≤<≤≤<≤++=+Λ因此.2)1()(-=n n A l …………9分（III ）解：不妨设n a a a a <<<<Λ321，可得.)12(,)2()1(;,;,,),1(,,,,,,,32)(,32)1(,1113211213121中的一个或者等于中的一个等于因此每个和时当时当根据等差数列的性质考虑成等差数列设事实上即个不同的数中至少有故-≤≤+≤≤+≤<≤++=+>++=+≤+≤<≤+-≥-≤<≤++<<+<+<<+<+-+-+-n l a a n k a a n j i a a a a a a n j i a a a a n j i n j i a a a a a a n A l n n j i a a a a a a a a a a a a n l k j i n n j i j i j i j i j i n j i n n n n ΛΛΛ故对这样的集合.32)(,32)(,--=n A l n A l A 的最小值为所以…………14分。

2007-2008学年丰台区第一学期期末练习理

2007-2008学年度丰台区第一学期期末练习高三数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改法，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A C x x x A R S S 那么集合},032|{,2≤--==等于（）A ．}31|{>-<x x x 或B ．}13|{>-≤x x x 或C ．}31|{<≤-x xD ．}13|{≤<-x x 2．函数12-=x y 的反函数是（）A ．)1)(1(log 2>-=x x yB ．)0(log 12>+=x x yC ．)(121R x y x∈+=D ．)1(121≠=-x y x3．若函数ϕωϕω和则如图部分的图象,)()sin()(+=x x f 的取值是（）A ．3,1πϕω-==B ．3,1πϕω==C ．6,21πϕω-==D ．6,21πϕω==4．若平面向量则且的夹角是与,53||,180)2,1(=-=ο等于（）A ．（6，－3）B ．（3，－6）C ．（－3，6）D ．（－6，3）5．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 是抛物线上一点，若4-=⋅，则点A 的坐标是（） A ．)22,2(),22,2(- B ．（1，2），（1，－2）C ．（1，2）D ．)22,2(6．过坐点原点且与0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为（）A ．x y x y 313=-=或 B ．x y x y 313-=-=或C ．x y x y 313-==或D ．x y x y 313==或7．n xx )1(2-的展开式中，常数项为15，则n =（）A ．3B ．4C ．5D ．68．把数列}12{+n 依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，……，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第60个括号内各数之和为（）A ．1112B ．1168C ．1176D ．1192第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

北京市西城区2007—2008学年度第一学期高三年级期末抽样测试——数学(理)

北京市西城区2008年高三抽样测试高三数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合2{|40}A x x x =->，{||1|2}B x x =-≤，那么集合A B 等于（）A. {|10}x x -≤<B. {|34}x x ≤<C. {|03}x x <≤D. {|10,34}x x x -≤<≤<或2. 已知3sin 5α=，且,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，那么2sin 2cos αα的值等于（） A. 34- B. 32- C.34D.323. 平面α⊥平面β的一个充分条件是（）A. 存在一条直线l l l αβ⊥⊥，，B. 存在一个平面////γγαγβ，，C. 存在一个平面γγαγβ⊥⊥，，D. 存在一条直线//l l l αβ⊥，，4. 设函数2 2()2 2.3x x f x x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪+⎩，，，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（）A.(0,2)(3,)+∞B. (3,)+∞C.(0,1)(2,)+∞D. (0,2)5. 设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于（）A.1B. 2C. 3D. 46. 将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为（）A. 40种B. 30种C. 20种D. 10种 7. 经过椭圆2212xy +=的一个焦点作倾斜角为45︒的直线l ，交椭圆于A 、B 两点. 设O 为坐标原点，则OA OB等于（）A. 3-B. 13-C. 13-或3- D. 13±8. 某水库建有10个泄洪闸. 现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在按照一个不变的速度增加.为了防洪，需调节泄洪速度 .假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时水位降至安全线 .根据抗洪形势，需要用3个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为（）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9. 已知(2)n x +的展开式中共有5项，则=n _______，展开式中的常数项为_______（用数字作答）. 10. 已知双曲线22221 (0,0)x y a b ab-=>>的一条渐近线方程为43y x =，那么双曲线的离心率为_____ .11. 在A B C ∆中，已知2A C =，3BC =，5cos 13A =-，则sin B =_________ .12. 已知点(,)P x y 的坐标满足条件1110x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，，，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于_______，最小值等于__________ .13. 已知点(0,0)A，0)B ，(0,1)C .设AD BC ⊥于D ，那么有CD CB λ=，其中λ=________ .14. 对于任意实数a ，b ，定义, ,m i n {,}, .a a b a b b ab ≤⎧=⎨>⎩ 设函数2()3, ()lo g f x x g x x =-+=，则函数()m in {(),()}h x f x g x =的最大值是__________ .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）已知函数2()sin cos 2cos 1f x a x x x =-+的图象经过点,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若[0,)x π∈，且()1f x =，求x 的值.16. （本小题满分12分）甲、乙两人进行投篮训练，已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35. 假设两人投球命中与否相互之间没有影响.（Ⅰ）如果两人各投球1次，求恰有1人投球命中的概率；（Ⅱ）如果两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率. 17.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：11//AC CDB 平面；（Ⅱ）求点B 到1CDB 平面的距离；（Ⅲ）求二面角1B B C D --的大小.18.（本小题满分14分）已知函数()|2|f x x x =-. （Ⅰ）写出()f x 的单调区间；（Ⅱ）解不等式()3f x <；（Ⅲ）设0a >，求()f x 在[0]a ，上的最大值.19.（本小题满分14分）设点30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，动圆P 经过点F 且和直线32y =-相切 .记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W . （Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过点F 作互相垂直的直线12,l l ，分别交曲线W 于,A B 和,C D . 求四边形A C B D 面积的最小值 .20.（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1a a =，156n n na a a +-=，1,2,3,.n =（Ⅰ）若对于*n ∈N ，均有1n n a a +=成立，求a 的值；（Ⅱ）若对于*n ∈N ，均有1n n a a +>成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）请你构造一个无穷数列{}n b ，使其满足下列两个条件，并加以证明： ① 1, 1,2,3,n n b b n +<= ；ABCDA 1B 1C 1② 当a 为{}n b 中的任意一项时，{}n a 中必有某一项的值为1.北京市西城区2008年高三抽样测试高三数学（理科）答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1. A2. B3. D4. A5. C6. C7. B8. C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 416； 10.5311.813213.1414. 1注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：2()sin cos 2cos 1sin 2cos 22a f x a x x x x x =-+=-. ………….. 3分依题意得08f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即sin cos 0244a ππ-=，解得2a =. ………….. 6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin 2cos 22.4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭依题意得sin 242x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. …………..9分因为0,x π≤< 所以72444x πππ-≤-<，所以32.444x πππ-=或解得.42x ππ=或 ………….. 12分16. （本小题满分12分）（Ⅰ）解：记 “甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是13131()()()()()()1125252P A B P B A P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . ………….. 6分（Ⅱ）解：事件“两人各投球2次均不命中”的概率为11221225525P =⨯⨯⨯=， ………….. 9分∴ 两人各投球2次，这4次投球中至少有1次命中的概率为1241.2525-=………….. 12分17.（本小题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明：连结1BC ，设1BC 与1B C 的交点为E ，连结D E .D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点， 1 //.DE AC ∴ ………….. 3分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面，平面，11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 4分（Ⅱ）解：设点B 到1CDB 平面的距离为.h在三棱锥1B BCD -中， 11B BCD B B CD V V --= ，且 1 B B BCD ⊥平面，11 BCD B CD S B B S h ∆∆∴⋅=⋅. ………….. 6分易求得1111 2BCD B CD S S CD B D ∆∆==⋅=，，11 3BCD B CDS B B h S ∆∆⋅∴==即点B 到1CDB 平面3………….. 9分（Ⅲ）解：在平面A B C 内作D F B C ⊥于点F ，过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.D G 易证明 11DF BCC B ⊥平面，从而G F 是D G 在平面11BCC B 内的射影，根据三垂线定理得 1.B C GD ⊥D G F ∴∠是二面角1B B C D --的平面角. ………….. 12分ABCDA 1B 1C 1EFG222在R t D FG ∆中， tan D F D G F G F==，∴ 二面角1B B C D --的大小是 ………….. 14分解法二：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===， AC BC ⊥， 1 AC BC CC ∴、、两两垂直 .如图，以C 为原点，直线1CA CB CC ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 0 2)C A B C ，，，，，，，，，，，，(1 1 0).D ，，（Ⅰ）证明：设1BC 与1B C 的交点为E ，则(0 1 1).E ，，1111 (1 0 1)(2 0 2) //.2D E AC D E AC D E AC =-=-∴=∴，，，，，，， ………….. 3分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面，平面，11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 4分（Ⅱ）解：设点B 到1CDB 平面的距离为.h在三棱锥1B BCD -中， 11B BCD B B CD V V --= ，且 1 B B BCD ⊥平面，11 BCD B CD S B BS h ∆∆∴⋅=⋅. ………….. 6分易求得1111 2BCD B CD S SCD B D ∆∆==⋅=，，11 3BCD B CDS B B h S ∆∆⋅∴==即点B 到1CDB 平面3………….. 9分（Ⅲ）解：在平面A B C 内作D F B C ⊥于点F ，过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.D G易证明 11DF BCC B ⊥平面，从而G F 是D G 在平面11BCC B 内的射影，根据三垂线定理得 1.B C GD ⊥D G F ∴∠是二面角1B B C D --的平面角. ………….. 12分易知11(0 1 0)0 22F G ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，11 2222GF GD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110，，-，1，，-，cos G F G D G F G D G F G D ∴〈〉==，3∴ 二面角1B B C D --的大小是3………….. 14分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：22222(1)1 2()|2|2(1)1 2.x x x x f x x x x x x x ⎧-=--≥⎪=-=⎨-+=--+<⎪⎩，，，∴ ()f x 的单调递增区间是(1] [2)-∞+∞，和，；单调递减区间是[1 2]，. ………….. 3分（Ⅱ）解：2222 |2| 3 2 3 2230230x x x x x x x x x x ≥<⎧⎧-<⇔⇔≤<<⎨⎨--<-+>⎩⎩，，或或，，，∴ 不等式()3f x <的解集为{|3}.x x < ………….. 8分（Ⅲ）解：（1）当10≤<a 时，()f x 是[0]a ，上的增函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是()(2)f a a a =-； ………….. 9分（2）当21≤<a 时，()f x 在[0 1]，上是增函数，在[1]a ，上是减函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是(1)1f =； ………….. 10分（3）当2a >时，令2()(1)(2)1210f a f a a a a -=--=-->，解得1a >+ ………….. 11分 ①当21a <≤+()(1)f a f ≤，()f x 在[0]a ，上的最大值是(1)1f =；②当1a >+()(1)f a f >，()f x 在[0]a ，上的最大值是()(2)f a a a =-. …..….. 13分综上，当01a <<时，()f x 在[0]a ，上的最大值是(2)a a -；当11a ≤≤+()f x 在[0]a ，上的最大值是1；当1a >+()f x 在[0]a ，上的最大值是(2)a a -. ………….. 14分 19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：过点P 作P N 垂直直线32y =-于点.N依题意得||||PF PN =，所以动点P 的轨迹为是以30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线32y =-为准线的抛物线， ………….. 4分即曲线W 的方程是26.x y = ………….. 5分（Ⅱ）解：依题意，直线12,l l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的方程为32y kx =+，由12l l ⊥ 得2l 的方程为132y x k =-+.将32y kx =+代入26x y =，化简得2690x k x --=. (8)分设1122() () A x y B x y ，，，，则12126 9.x x k x x +==-，2||6(1)AB k ∴===+，………….. 10分同理可得21||61.CD k ⎛⎫=+⎪⎝⎭………….. 11分 ∴四边形A C B D 的面积2222111||||18(1)1182722S AB CD k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当 221k k=，即1k =±时，min 72.S =故四边形A C B D 面积的最小值是72. ………….. 14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，1n n a a a +==，1,2,3,.n =所以56a a a-=，解得2a =，或3a =，符合题意. ………….. 3分（Ⅱ）解：解不等式1n n a a +>，即56n n na a a ->，得02 3.n n a a <<<，或所以，要使21a a >成立，则1102 3.a a <<<，或 ………….. 4分（1）当10a <时，12111566()55a a f a a a -===->，而222322222256(2)(3)()0a a a a a f a a a a a ----=-=-=-<，即32a a <，不满足题意. ………….. 6分（2）当123a <<时，12111566()5(2 3)a a f a a a -===-∈，，3265(2 3)a a =-∈，，，满足题意.综上，(2 3)a ∈，. ………….. 8分（Ⅲ）解：构造数列{}n b ：132b =，165n nb b +=- *()n ∈N . ………….. 10分那么 165n n b b +=-. 不妨设a 取n b ，那么2116655n na b a b -=-=-=，32216655n n a b a b --=-=-=，，112663552n n a b a b -=-=-==，1166551n na ab +=-=-=. ………….. 12分由1322b =<，可得1625n n b b -=<-，（1n >，*n ∈N ）.因为16(2)(3)055n n n n n nnb b b b b b b +---=-=>--，所以1, 1,2,3,n n b b n +<= .又25n b <≠，所以数列{}n b 是无穷数列，因此构造的数列{}n b 符合题意. ………….. 14分。

北京市东城区2007-2008学年度高三第一学期期末教学目标检测(数学理)

北京市东城区2007-2008学年度高三第一学期期末教学目标检测数学（理科）本试卷分第1卷（选择题）和第2卷（非选择题）两部分，第1卷1至2页，第2卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第1卷（选择题共40分）注意事项：1、答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{}{}512,0342<+=<+-=x x N x x x M ，则N M 等于A ．{}31<<x xB ．{}21<<x xC ．{}3<x xD ．{}32<<x x2．862lim22+--→x x x x 的值为A ．0B ．1C ．21-D ．313．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，有下列四个命题：①若α⊂n n m ,//，则α//m②若αα//,//n m ，且ββ⊂⊂n m ,，则βα// ③若αα⊂n m ,//，则n m // ④若βα//，α⊂m ，则β//m 其中正确命题的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．6)12(xx -的展开式中含2x 项的系数是A ．240B ．240-C ．192D ．192-5．已知数列}{n a ，那么“对任意的,*N n ∈点),(n n a n P 都在直线012=+-y x 上”是“}{n a 为等差数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在直角三角形ABC 中，2,4==CB CA ，M 为斜边AB 的中点，则MC AB ⋅的值为A ．1B ．6C ．5D ．107．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中，选出一个偶数和三个奇数，组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有A ． 1480个B ． 1440个C ．1200个D ． 1140个8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，)1,0(,)1,1(,)0,1(C B A ，映射f 将xOy 平面上的点),(y x P 对应到另一个平面直角坐标系v uO '上的点),2('22y x xy P -，则当点P 沿着折线C B A --运动时，在映射f 的作用下，动点'P 的轨迹是A. B ． C ． D ．第2卷（共110分）注意事项：1、用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

北京市崇文区2007—2008学年度第一学期高三期末统一练习——数学(理)

北京市崇文区2007－2008学年度第一学期高三期末统一练习数学（理科） 2008．1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}3,2,1=A ，满足B A B ⋂=的集合B 的个数是（） A ． 3个 B ． 6个 C ． 7个 D ．82．若点M （a ，b ）在函数y=2x 1-（-1≤x ≤0）的图像上，则下列哪个函数的图象一定经过点N （b ，a ）（） A ．y=2x 1-（-1≤x ≤0） B ． y= -2x 1-（0≤x ≤1） C ．y= -2x 1-（-1≤x ≤0） D ． y=2x 1-（0≤x ≤1）3．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，2a 、4a 是方程2x -x-2=0的两个根，则5S =（）A ．25B ．5C ． 25- D ．－54．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（） A ．24种 B ．48种C ． 96种D ．144种5．已知直线,a b ，平面,αβ，则a //α的一个充分条件是（）A ． a b α⊥⊥，bB ． ////a ββα，C ． α⊂b ，a //bD ． //,//a b b α，α⊄a6．函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是（）7．在ABC ∆中，c b a ,,分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量m (),,b c c a =--n (),b c a =+，若向量m ⊥n ，则角A 的大小为（） A ．6π B ．3π C ． 2π D ． 32π8．函数)x (f y =的导函数)x (f y '=的图象如图所示，则)x (f 的解析式可能是（）A ．x a y =B ．y=log a xC ．x xe y =D ．x ln x y =北京市崇文区2007－2008学年度第一学期高三期末统一练习数学（理科）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．(1)(34)i i +÷+=________． 10．223lim32n nn n→∞+++=-____________．11．将函数()x f y =的图象沿向量a ()2,2=-平移后，得到函数222+=+x y 的图象，则函数()=x f ___.12．函数⎪⎩⎪⎨⎧><+-=1x ,x11x ,1x x )x (f 2的值域是．13．已知函数()2sin sin sin 244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则函数()f x 的最小正周期是，函数()f x 对称轴的方程是．14．在平面直角坐标系中，过点()0,2-M 的直线l 与椭圆1222=+y x 交于1P 、2P 两点，点P 是线段1P 2P 的中点．设直线l 的斜率为()110k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则21k k = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）记关于x 的不等式3x>1（x Z ∈）的解集为A ，关于x 的方程22x mx -+=0的解集为B ，且B A ⊆.（Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）求实数m 的取值范围.16．（本小题满分14分）如图：在三棱锥P ABC -中，,PB ABC ⊥面ABC ∆是直角三角形，902B AB BC ︒∠===,，45PAB ︒∠=，点D 、E F 、分别为AC 、AB BC 、的中点．（Ⅰ）求证：EF PD ⊥；（Ⅱ）求直线PF 与平面PBD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角E PF B --的正切值．17．（本小题满分13分）在某次趣味运动会中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为13．（Ⅰ）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；（Ⅱ）求三人得分相同的概率；（Ⅲ）设在该小组比赛中甲得分数为，求Eξ．18．（本小题满分13分）已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为12，一个焦点是F（0，1）．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）直线l过点F交椭圆于A、B两点，且点F分向量所成的比为2，求直线l的方程．19．（本小题满分14分）数列{}n a 中，3a =1，12n a a a +++=1n a +（n=1,2,3…）．（Ⅰ）求1a ，2a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设n b =log 2n S ，存在数列{n c }使得4n 3n n b b c ++⋅⋅= 1+ n(n+1)(n+2)n S ，试求数列{n c }的前n 项和． 20．(本小题满分14分)已知函数2()f x ax ax =+和()g x x a =-．其中0a R a ∈≠且．（Ⅰ）若函数()f x 与()g x 的图像的一个公共点恰好在x 轴上，求a 的值；（Ⅱ）若函数()f x 与()g x 图像相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试问：△OAB的面积S 有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a 的值；如果没有，请说明理由．（Ⅲ）若p 和q 是方程()()0f x g x -=的两根，且满足10p q a<<<，证明：当()0,x p ∈时，()()g x f x p a <<-．北京市崇文区2007－2008学年度第一学期高三期末统一练习数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D 2． B 3．A 4． C 5．D 6． D 7．B 8．D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．71i 2525- 10． 6111． x 2 12．（0,+∞) 13． π ；()328k x k Z ππ=+∈ 14．－21 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 3300(3)00x x x x x x x-->⇔<⇔-<⇔<<3, 又x Z ∈，∴A={1，2}；……………………………………………………5分（Ⅱ）集合A={1，2}的子集有φ、{1}、{2}、{1，2}. B ⊆A ，∴B ＝φ；B ={1}或{2}；B ={1，2}.当B φ=时，280m ∆=-<，解得22m 22<<-.…………………………7分当B={1}或{2}时，2280,80,120,4220.m m m m ⎧⎧∆=-=∆=-=⎨⎨-+=-+=⎩⎩或，则m 无解.……9分当B={1，2}时，280,12,3.3.12 2.m m m m m m ⎧∆=->⎧<->⎪⎪+=⇒⇒=⎨⎨=⎪⎩⎪⨯=⎩……11分综上所述，实数m 的取值范围是22m 22<<-或m=3.……………………12分 16．（本小题满分14分）解法一:（Ⅰ）连结BD ．在ABC ∆中，90B ︒∠=.∵AB BC =，点D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥．………1分又∵,PB ABC ⊥面即BD 为PD 在平面ABC 内的射影， ∴PD AC ⊥．…………………………2分 ∵E F 、分别为AB BC 、的中点,∴//EF AC ,∴EF PD ⊥．………………………………………………4分（Ⅱ）∵,PB ABC ⊥平面∴EF PB ⊥．连结BD 交EF 于点O ，∵EF PB ⊥，EF PD ⊥,∴PBD EF ⊥平面， ∴FPO ∠为直线PF 与平面PBD 所成的角，EF PO ⊥.…………………6分.∵,PB ABC ⊥面∴PB AB ⊥，PB BC ⊥，又∵45PAB ︒∠=，∴2==AB PB .∵2241==AC OF ，∴522=+=BF PB PF ， ∴在Rt △FPO 中，1010sin ==∠PF OF FPO ，∴1010arcsin =∠FPO ．……………8分（Ⅲ）过点B 作BM PF ⊥于点F ，连结EM ，∵,,AB PB AB BC ⊥⊥ ∴,AB PBC ⊥平面即BM 为EM 在平面PBC 内的射影，∴EM PF ⊥，∴EMB ∠为二面角E PF B --的平面角．………………………………11分 ∵Rt P F B ∆中，PB BF PF BM ⋅==,∴tan 2EB EMB BM ∠==．…………………13分解法二：建立空间直角坐标系B −xyz,如图，则(),0,0,0B (),0,0,2A ()0,2,0C ，()0,1,1D ，()0,0,1E ，()0,1,0F ，()2,0,0P . （Ⅰ）∵()0,1,1-=EF ，()2,1,1-=PD ，∴110EF PD ⋅=-+= ∴EF PD ⊥.……………………4分（Ⅱ）由已知可得，()0,1,1-=为平面PBD 的法向量，()2,1,0-=,∴cos ,1010PF EFPF EF PF EF⋅<>===⋅， ∴直线PF 与面PBD 所成角的正弦值为10. ∴直线PF 与面PBD 所成的角为1010arcsin.……………………………………9分（Ⅲ）设平面PEF 的一个法向量为a (),,x y z =，∵()0,1,1-=，()2,1,0-= ∴ a 0EF x y =-+=，a 20PF y z =-=，令1=z ，∴ a ()2,2,1= 由已知可得，向量()0,0,2=为平面PBF 的一个法向量，∴ cos < a 42,323a BA BA a BA⋅>===⨯⋅，∴tan < a 5,2BA >=. ∴二面角E PF B --的正切值为25.………………………………………………14分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设甲获小组第一且丙获小组第二为事件A,P (A)=112134318⨯⨯=；…………………………………………………………4分（Ⅱ）设三场比赛结束后，三人得分相同为事件B, 即每人胜一场输两场,有以下两种情形：甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲，概率为1P =113133412⨯⨯=,…………………………6分甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲，概率为2P =12214339⨯⨯=,………………………………8分三人得分相同的概率为P （B ）=1P +2P =11129+=736．………………………………9分（Ⅲ）ξ可能的取值为0、1、2,P （ξ=0）=231342⨯=,P （ξ=1）=1334⨯+1243⨯=512, P （ξ=2）=1113412⨯=,………………………………………………………………12分ξ0 1 2P 12 512 112E ξ=0⨯12+1⨯512+2⨯112=712．………………………………………………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221y x a b+=（a >b>0）．……………………………………1分依题意，12c e a ==, c=1，2a ∴=，2223b a c =-=，………………………………2分∴所求椭圆方程为 22143y x +=．………………………………………………………4分（Ⅱ）若直线l 的斜率k 不存在，则不满足2AF FB =．当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为1y kx =+．因为直线l 过椭圆的焦点F （0，1），所以k 取任何实数, 直线l 与椭圆均有两个交点A 、B ．设A 1,122(),(,),x y B x y联立方程 221,1.43y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得22(34)690k x kx ++-=．………………6分122634k x x k -∴+=+， ① 122934x x k -⋅=+， ② 由F （0，1），A 1,122(),(,)x y B x y ，则1122(,1),(,1)AF x y FB x y =--=-，2AF FB =，∴1122(,1)2(,1)x y x y --=-，得212x x -=．……………………8分将212x x -=代入①、②，得22634k x k =+， ③ 222968x k =+， ④……………10分由③、④ 得，226()34k k =+2968k +，化简得223634k k =+92，解得245k =，k =∴直线l的方程为：1y x =+．………………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵12a a =，123a a a +=，∴1321a a ==，∴1a =21，2a =21.………………3分（Ⅱ）∵n S =1n a +=n 1n S S -+,∴2n S =1n S +,n1n S S +=2，…………………………………5分 ∴{n S }是首项为1112S a =＝，公比为2的等比数列. ∴n S =12⋅1n 2-=2n 2-.………………………………………………………………………7分（Ⅲ）（理）n S =21(1n 2-)=2n 2-，n b =n-2，3n b += n+1，4n b += n+2，∵4n 3n n b b c ++⋅⋅=1+ n(n+1)(n+2)n S ，∴)2n )(1n (c n ++⋅= 1+ n(n+1)(n+2)2n 2-，即n c =)2n )(1n (1+++ n 2n 2-.…………………………………………………………9分令A=321⋅+431⋅+…+)2n )(1n (1++=1(2-1)3+11()34-+ (11))12n n -++ =21-)2n (1+．……………………………………………………………………11分令B=121-⋅+022⋅+123⋅+242⋅＋…+n 2n 2-， ① 2B= 021⋅+122⋅+223⋅+…+2(1)2n n --+n 1n 2-， ②②—①得 B=n 12n --12--02-12- (2)2n --= n 12n --21)21(2n 1---=(n-1)1n 2-+21，…13分∴n 21c c c +++ =21-)2n (1++(n-1)1n 2-+21= (n-1)1n 2-+2n 1n ++．……………14分20．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）设函数()g x 图像与x 轴的交点坐标为（a ，0），又∵点（a ，0）也在函数()f x 的图像上，∴320a a +=．而0a ≠，∴1a =-．……………………………………………………………2分（Ⅱ）依题意，()()f x g x =，即2ax ax x a +=-，整理，得 2(1)0ax a x a +-+=，①∵0a ≠，函数()f x 与()g x 图像相交于不同的两点A 、B ，∴0∆>，即△=22(1)4a a --=2321a a --+＝(3a -1)(-a -1)>0.∴-1<a <31且0a ≠.………………………………………………………………4分设A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且1x <2x ，由①得，1x 2x ⋅=1>0, 121a x x a-+=-.设点o 到直线()g x x a =-的距离为d ，则d =12|||AB x x ==-.∴OAB S ∆＝2112|x x -=21…………………………………………7分 ∵-1<a <31且0a ≠,∴当13a =-时，OAB S ∆有最大值33，OAB S ∆无最小值.……10分（Ⅲ）由题意可知()()()()f x g x a x p x q -=--．10x p q a<<<<,∴()()0a x p x q -->,∴当()0,x p ∈时，()()0,f x g x -> 即()()f x g x >．……………………………………………………………………12分又()()()()()()(1)f x p a a x p x q x a p a x p ax aq --=--+---=--+,0,110,x p ax aq aq -<-+>->且∴()()f x p a --<0, ∴()f x p a <-,综上可知，()()g x f x p a <<-．……………………………………………………14分。

2012届北京市丰台区高三期末数学理科试题(WORD精校版)

丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习 2012.1高三数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x ∣x<4}，B={x ∣x2<4}，则(A) A ⊆B(B) B ⊆A(C) A ⊆R Bð(D) B ⊆R Að2．在复平面内，复数2i1+i 对应的点位于(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限3．已知命题p ：x R ∃∈，2lg x x ->，命题q ：x R ∀∈，20x >，则(A) 命题p q ∨是假命题 (B) 命题p q ∧是真命题 (C) 命题()p q ∨⌝是假命题(D) 命题()p q ∧⌝是真命题4．若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是(A) 23 (B) 43(C) 2 (D)65．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)nn P P k k =+>-，其中Pn 为预测人口数，P0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有-1<k<0，那么这期间人口数(A) 呈上升趋势 (B) 呈下降趋势 (C) 摆动变化 (D) 不变 6．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为(A) 252(41)3-(B) 262(41)3-(C) 5021-(D) 5121-侧视图正视图7．若函数21()log ()f x x a x =+-在区间1(,2)2内有零点，则实数a 的取值范围是(A) 25(log ,1]2-- (B)25(1,log )2 (C)25(0,log )2 (D)25[1,log )28．如图，P 是正方体ABCD —A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是(A)(B)(C)(D)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若S5= a8+5，S6= a7+ a9-5，则公差d 等于． 10．若过点A(-2,m)，B(m,4)的直线与直线2x+y+2=0平行，则m 的值为． 11．曲线y=3-3x2与x 轴所围成的封闭图形的面积为．12．已知平面向量(4,3)a = ，2(2,2)a b -=- ，则a 与b的夹角余弦值等于．1A13．在面积为S 的矩形ABCD 内随机取一点P ，则△PBC 的面积小于4S的概率是． 14．函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有121212()()()2f x f x x x f x x -+'=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=f x x ；④()=xf x e ；⑤()=ln f x x ．其中为恒均变函数的序号是．（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数2()2cos 2xf x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值．16.（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC ，AC=BC=2，AB =CC1=4，M 是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别是CC1，AB 的中点，求证：CN //平面AB1M ；（Ⅲ）若132C M =，求二面角A-MB1-C 的大小．17.（本小题共13分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自A B CA 1B 1C 1MN主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的．（Ⅰ）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18.（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点(1,0)M ，(4,0)N 的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与曲线W 交于A ，B 两点，在曲线W 上是否存在一点Q ，使得OQ OA OB =+，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．19.（本小题共14分）设函数x bx a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值．（Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，求a 的取值范围．20.（本小题共13分）若有穷数列{an}满足：（1）首项a1=1，末项am=k ，（2）an+1= an+1或an+1=2an ，(n=1，2，…，m-1)，则称数列{an}为k 的m 阶数列．（Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；（Ⅱ）设数列{bn}是各项为自然数的递增数列，若312222+2(l b b b b k l N =+++∈ ，且2)l ≥，求m 的最小值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习2012.01 高三数学（理科）答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．5 10．8- 11．412．2425 13．12 14． ①②（只写出一个给2分）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数2()2cos 2xf x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值．解：（Ⅰ）因为()1cos f x x x =+ ……………………1分12cos()3x π=++， ……………………2分所以函数()f x 的周期为2π，值域为[1,3]-． ……………………4分（Ⅱ）因为1()33f πα-=，所以 112cos =3α+，即1c o s 3α=-． ……………………5分因为222cos 2cos sin 1cos 2sin 22cos 2sin cos αααααααα-=+-- ……………………8分 (cos sin )(cos sin )2cos (cos sin )ααααααα+-=-cos sin 2cos ααα+=， (10)分又因为α为第二象限角，所以sin α=． ……………………11分所以原式1cos sin 13322cos 23ααα-++-===-． ……………………13分16.（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC ，AC=BC=2，AB =CC1=4，M 是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别是CC1，AB 的中点，求证：CN //平面AB1M ；（Ⅲ）若132C M =，求二面角A-MB1-C 的大小．证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC ，所以CC1⊥BC ． ……………………1分因为AC=BC=2，AB =，所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ． ……………………2分因为AC ∩CC1=C ，所以BC ⊥平面ACC1A1． ……………………3分因为AM ⊂平面ACC1A1，所以BC ⊥AM ． ……………………4分（Ⅱ）连结A1B 交AB1于P ． ……………………5分因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以P 是A1B 的中点．因为M ，N 分别是CC1，AB 的中点，所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形， ……………………6分所以CN//MP ． ……………………7分因为CN ⊄平面AB1M ，MP ⊂平面AB1M ， ………………8分所以CN //平面AB1M ． ……………………9分（Ⅲ）因为BC ⊥AC ，且CC1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ．PN MC 1B 1A 1CBAABCA 1B 1C 1MN因为132C M =，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-，13(0,2,)2B M =--． (10)分设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z = ，则0n AM ⋅=，10n B M ⋅= ．即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩， ……………………11分令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-．又平面MB1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA，所以cos ,>=2||||n CA n CA n CA ⋅<=． ………………12分由图可知二面角A-MB1-C 为锐角，所以二面角A-MB1-C 的大小为4π． (14)分17.（本小题共13分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的．（Ⅰ）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设“甲、乙两人都选择A 社区医院”为事件A ，那么 ……………………1分111()339P A =⨯=． ……………………3分zM所以甲、乙两人都选择A 社区医院的概率为19． ……………………4分（Ⅱ）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件B ，那么 ……………………5分111()3333P B =⨯⨯=， ……………………7分所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是2()1()3P B P B =-=． ……………………8分（Ⅲ）（方法一）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4．那么 ……………………9分044216(0)()381P C ξ==⨯=； 1341232(1)()3381P C ξ==⨯⨯=； 22241224(2)()()3381P C ξ==⨯⨯=； 334128(3)()()3381P C ξ==⨯⨯=； 44411(4)()381P C ξ==⨯=．（错三个没分）所以ξ的分布列为……………………1632248140123481818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………13分（方法二）依题意1(4,)3B ξ , ……………………10分所以ξ的分布列为4444122()()()3381k k k k kP k C C ξ--==⨯⨯=⨯，0,1,2,3,4k =．即……………………所以14433E ξ=⨯=． ……………………13分18.（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点(1,0)M ，(4,0)N 的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与曲线W 交于A ，B两点，在曲线W 上是否存在一点Q ，使得OQ OA OB =+，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）设点P的坐标为(,)P x y ，依题意，||1||2PM PN =， ……………………1分即= ……………………3分化简得224x y +=．所以动点P 的轨迹W 的方程为224x y +=． ……………………5分（Ⅱ）因为直线l ：3y kx =+与曲线W 相交于A ，B 两点，所以2O l d -=<，所以k >或k <． ……………………7分假设存在点Q ，使得OQ OA OB =+． ……………………8分因为A ，B 在圆上，且OQ OA OB =+，由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，所以OQ与AB互相垂直且平分， ……………………9分所以原点O 到直线l ：3y kx =+的距离为1||12d OQ ==． ……………………10分即1O l d -==，解得28k =，k =±，经验证满足条件． ……………………12分所以存在点Q ，使得OQ OA OB =+． ……………………13分19.（本小题共14分）已知函数x bx a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值．（Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）2()1a bf x x x '=--， (2)分由(1)0f '= 得 a b -=1． ……………………3分（Ⅱ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞， ……………………4分由（Ⅰ）可得22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x -------'=--==．令()0f x '=，则11=x ，12-=a x ． (6)分因为1=x 是)(x f 的极值点，所以21x x ≠，即2≠a ． ……………………7分所以当2>a 时，11>-a ，所以单调递增区间为)1,0(，),1(+∞-a ，单调递减区间为)1,1(-a ． ……………………8分当21<<a 时，110<-<a ，所以单调递增区间为)1,0(-a ，),1(+∞，单调递减区间为)1,1(-a ． ……………………9分（Ⅲ）当3>a 时，)(x f 在1[,1)2上为增函数，在(1,2]为减函数，所以)(x f 的最大值为02)1(<-=a f ． ……………………10分因为函数)(x g 在1[,2]2上是单调递增函数，所以)(x g 的最小值为0341)21(2>+=a g ． ……………………11分所以)()(x f x g >在1[,2]2上恒成立． ……………………12分要使存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，只需要9)1()21(<-f g ，即9)2(3412<--+a a ，所以48<<-a ． …………………13分又因为3>a ，所以a 的取值范围是(3,4)a ∈． ……………………14分20.（本小题共13分）若有穷数列{an}满足：（1）首项a1=1，末项am=k ，（2）an+1= an+1或an+1=2an ，(n=1，2，…，m-1)，则称数列{an}为k 的m 阶数列．（Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；（Ⅱ）设数列{bn}是各项为自然数的递增数列，若312222+2(l b b b b k l N =+++∈ ，且2)l ≥，求m 的最小值．解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10． ……………………2分（Ⅱ）由已知在数列{an}中 an+1= an+1或an+1=2an ，当ma 为偶数时，1(2)2mm m a a a -=≥，或11m m a a -=-．因为12mm a a -≤ (2)m a ≥，所以在数列{an}中12mi a a ≤≤中i 的个数不多于11j m a a -≤≤中j 的个数，要使项数m 最小，只需 1(2)2mm m a a a -=≥． (5)分当am 为奇数时，必然有11(2)m m m a a a -=-≥，1m a -是偶数，可继续重复上面的操作．所以要使项数m 最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1．因为312222+2lb b b b m a k ==+++ ，且1230lb b b b <<<< ≤，只需除以1b 次2，得到31121122+2l b b b b b b ---+++ 为奇数；减1，得到3112122+2l b b b b b b ---++ 为偶数，再除以21b b -次2，得到322122l b b b b --+++ ；再减1，得到32222l b b b b --++ 为偶数，…………，最后得到12l l b b --为偶数，除以1l l b b --次2，得到1，即为1a ．所以121321()()+()(1)1l l m b b b b b b b l -=+-+-+-+-+ =l b l+． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

丰台区2005～2006学年度第一学期期末练习高三数学(理科)

丰台区2005～2006学年度第一学期期末练习高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．函数x定义域是A.{x|0＜x ＜3}B.{x|x ≥3}C.{x|x ≠0}D.{x|x ＞2}2.已知集合A={(x ，y)|y=2x,x ∈R},B={(x,y)|y=2x,x ∈R},则A ∩B 的元素数目为 A ．0 B.1 C.2 D.无穷多3．给出命题：“已知a,b,c,d 是实数，若a ≠b 且c ≠d ，则a+c ≠b+d ”.对原命题，逆命题，否命题，逆否命题而言，其中的真命题有A ．0个 B.1个 C.2个 D.4个4．设→a =（cos α,sin α）, →b =(cos β,sin β)，则|3→a -4→b |的最大值是A ．5．平面上不共线的4个点A 、B 、C 、D ，若（D B D C AD AB AC +--=则△ABC 是A ．直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形6．已知椭圆C 1：22143xy+=，其左准线为l 1,右准线为l 2,一条以原点为顶点，l 1为准线的抛物线C 2交l 2于A ，B 两点，则|AB|等于A ．2 B.4 C.8 D.167．已知各项均为正数的等比数列{a n }前2项和为6，前6项的和为126，则前4项的和等于 A ．64 B.36 C.30 D.248．过点A （0，212y+=2x作椭圆的弦AM 3，则|AM|的最大值为A ．第Ⅱ卷(非选择题共110分)注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9.已知复数z 满足1,|1|_______________.1z i z z-=++则等于43的展开式中x 的系数是___________.11.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+b 2=c 2+|ab|,且sinA ·sinB=3,4则 ∠C=_________,∠A=______________.12.光线从点A （1，1）出发，经y 轴反射到圆C ：（x-5）2+(y-7)2=4的最短路程等于______. 13．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜2π＝的图像在y 轴上的截距为1,在相邻两最值点(x 0,2),(x 0+2π,-2)处分别取得最大值和最小值,则函数f(x)的解析式为_______.14.设f(x)为R 上的奇函数,且f(-x)+f(x+3)=0,若f(-1)=-1,f(2)＜log a 2,则a 的取值范围是____. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）已知函数f(x)=a x-103a 的反函数f -1（x ）的图像过点（-1,2），且函数f(x)为减函数. (1) 求y=f -1（x ）的解析式；(2) 求满足f -1(2x)＞f -1(x 2+1)的x 的取值范围. 16. （本小题共14分）函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象交y 轴于点P ，且函数图象在P 点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数f(x)在x=2处取得极值为0. （1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)的单调增区间. 17．（本小题共13分）已知10件产品中有3件次品.（1）任意抽取3件产品作检验，求其中至少有1件次品的概率；（2）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验. 18.（本小题共14分）如右图是边长为1的正三角形ABC 沿垂直于平面ABC 的方向平移距离1所得的图形，M 是底面BC 边的中点. （1）求二面角B 1—AM —B 的大小；（2）证明：直线A 1C ∥平面MAB 1；（3）求直线A 1C 到平面MAB 1的距离.19．（本小题共12分）已知函数f(x)=x(x ＞0).（1）求数列{a n }满足a 1=1,11()n n f a a +=,求a n ；（2）若b n =a 2212n n a ++++…+221n a +，是否存在最小正整数P ，使对任意x ∈N *，都有b n ＜25P 成立.20．（本小题共14分）在直角坐标系内，△ABC 的两个顶点C 、A 的坐标分别为（0),0)，三个内角A 、B 、C 满足sin ).A C + （1）求顶点B 的轨迹方程；（2）过点C 做倾斜角为θ的直线与顶点B 的轨迹交于P 、Q 两点，当θ∈(0,)2π时，求△APQ 面积的最大值.丰台区2005～2006学年度第一学期期末练习1．B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A10.24 11.∠C=60°, ∠A=60°-2 13.f(x)=2sin(2x+6π) 14.a ＞1或0＜a ＜1215．解：∵函数f(x)的图像过点（2，-1），∴-1=a 2-103a 得a=3或a=13又f(x)为减函数，∴a=13,所以f(x)=(13)x-109,f(x)＞-109所以f -1(x)=log 13(x+109)(x ＞-109)满足f -1(2x)＞f -1(x 2+1) 即21020910102199x x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<++⎪⎩得591x x ⎧>-⎪⎨⎪≠⎩满足f -1(2x)>f -1(x 2+1)的x 的取值范围是{x|x>-59且x ≠1}16．解：函数f(x)与y 轴交点P （0，d ），又f ′=3ax 2+2bx+c,f ′|x=2=12a+4b+c=0,① 又函数f(x)在x=2处取得极值为0，所以8a+4b+2c+d=0, ② 又切线的斜率k=12，所以f ′|x=0=c=12,③ 过P 点的直线y-d=12(x-0)⇒12x-y+d=0 ④ 解①，②，③，④得a=2，b=-9,c=12,d=-4 所以f(x)=2x 3-9x 2+12x-4 f(x)=6x 2-18x+12>0得x>2或x<1. 函数f(x)的单调增区间为(-∞,1),(2,+∞) 17.解：任意抽取3件产品全部是正品的概率为37310724C C=,至少有1件次品的概率为1-7172424=设抽取n 件产品作检验，则3件产品全部检验出的概率为333373710106,10n n n C C C C CC->n-3则7!610!,(3)!(10)!10!(10)!n n n n >--- 整理得n(n-1)(n-2)>9×8×6,又n ∈N *，n ≤10,当n=9或n=10时上式成立，所以最少应抽取9件产品作检验. 18．解：依题意由M 是底面BC 边的中点所以 AM ⊥BC ，又BB 1⊥底面ABC ，所以B 1M ⊥AM∠B1MB为二面角B1—AM—B的平面角tan∠B1MB=2,所以二面角B1—AM—B的大小等于arctan2.又正三棱柱的侧面是正方形，设O是A1B与B1A的交点，则O是A1B的中点, 连接OM，M是底面BC边的中点，所以A1C∥OM，而OM⊂平面MAB1，A1C⊄平面MB1A故直线A1C∥平面MB1A又AM⊥BC，AM⊥BB1，所以AM⊥平面CB1，AM⊂平面MA B1所以平面MAB1⊥平面CB1过点C作CE⊥B1M于E，则CE⊥平面MAB1又直线A1C∥平面MAB1，所以线段CE的长即直线A1C到平面MAB1的距离,由△CME∽△BMB1得CE=11152BB C MB M==直线A1C到平面MAB1519．解：由22111)()4n n na a a+=-=n+11得(a∴数列{21}na是首项为1，公差为4的等差数列∴21na＝4n-3,又a n>0,所以a n∴b n=a2212n na++++…+221114145nan n+=++++…+181n+b n+1=114549n n++++…+189n+因为b n+1-b n=111220,85894184n n n n-+-<=++++n所以{b}是递减数列存在最大项b1=111470,,5945259PP+=<>114依题意,只需b=解得45又P∈N*，所以存在最小正整数P=8,使不等式成立.20．解：因为sin )A C +,根据正弦定理得)a c +又a+c=4由椭圆定义知顶点B 的轨迹为椭圆，其方程为221(0)4xy y +=≠设PQ 方程为y=tan θ),θ∈(0,)2π由22tan (14y x x y θ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得(1+4tan 2θ)x 22θ+12tan 2θ-4=0设P （x 1,y 1），Q （x 2,y 2）,则x 1+x 2212212tan 4,14tan 14tan x x θθθ-=++又|PQ|=224(1tan ),14tan θθ++点A 到PQ 的距离,θ∈(0,)2πS △ABC=22sec 114tan 13sin 3sin sin θθθθθθθ==+++ ≤2当且仅当13sin ,arcsinsin 3θθθ==即取等号,△APQ 的最大面积为2.。

北京丰台区第一学期高三期末练习数学理科

北京丰台区2008-2009学年度第一学期高三期末练习数学理科 2009.01本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每个小题列出的四个先期中，选出符合题目要求的一项。

1．双曲线15422=-x y 的焦点坐标为（）A ．（– 1，0），（1，0）B ．（– 3，0），（3，0）C ．（0，– 1），（0，1）D ．（0，– 3），（0，3） 2．已知集合A ={x || x |≤a}B = {x | x2 + x – 6 ≥0}，若A ∪B = R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(]3,-∞-B ．[)+∞,3C ．[2，3]D ．[)+∞,23．设a =3-π，b = lg4π, c =5coslg π，则（）A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c4．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两相没的平面，则下列命题中的真命题是（）A ．若m ∥α, n ∥β,α∥β,则m ∥nB ．若βα⊂⊂n m ,,m ∥n 则α∥βC ．若m ⊥β,m ∥α,则α⊥βD ．若β⊂m ,α⊥β,则m ⊥α5．若圆x2 + y2 – 2x + 4y = 0与直线x – 2y + a = 0相离，则实数a 的取值范围是（）A ．a ＞8或a ＜– 2B ．– 2＜a ＜8C ．a ＞0或a ＜– 10D ．– 10＜a ＜0 6．设，为基底向量，已知向量=– k , = 2+,= 3–，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于（） A ．– 2 B ．2 C ．– 10 D ．107．半径为1的球面上的四点A ，B ，C ，D 是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（）A ．33B ．36C ．332D ．3628．函数y = sin x +tan x – | sin x – tan x |在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2ππ内的取值范围是（）A．(]0,∞-B．[)+∞,0C．[– 2，0] D．[0，2]第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2002007学年北京丰台区高三第一学期期末练习试卷

2006-2007 学年度北京市丰台区高三第一学期期末练习试卷可能用到的相对原子质量：C —12 H —1 N—14 O—16 Fe —56 Cl —35.5 K —39第I卷（选择题共66分）一、选择题（共22小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共66分）1．为世界纯碱工业作出重大贡献的中国科学家是A ．道尔顿B ．阿伏加德罗C ．居里D ．侯德榜2．下列过程中，不涉及化学变化的是A. 甘油用作护肤剂B. —定条件下石墨可变成金刚石C. 炒菜用过的铁锅，放置后常出现红棕色斑迹D. 燃煤时加入生石灰来减少酸雨的产生3．下列分子中，所有原子都满足最外层为8 电子结构的是A . CH4B . NOC . CCl4D . SO24. 下列说法正确的是A .不能与碱反应的氧化物一定能与酸反应B .化学变化的本质是生成了新的物质C .绿色食品是指不含任何化学物质的食品D .化合反应一定是氧化还原反应5. 下列物质中属于高分子化合物的是A .油脂B .蔗糖C .棉花D .硬脂酸6. 下列化工生产过程所发生的反应不涉及氧化还原反应的是A玻璃工业 B .接触法制硫酸C ．冶炼铝工业D ．合成氨工业7．下列物质形成的晶体中，其中任何一个原子都被相邻四个原子包围，以共价健形成正面体，并向空间伸展成网状结构的是A ．四氯化碳B ．白磷C ．金刚石D ．水晶8．下列关于电解质的叙述，正确的是A．Cl2 的水溶液能导电，但Cl2 是非电解质B. O.1mol/L 的氨水可以使酚酞试液变红，说明氨水是弱电解质C. 向pH = 12的NaOH 溶液通电一段时间后溶液的 pH > 12D.中和pH 与体积均相同的盐酸和醋酸溶液，消耗NaOH 的物质的量相同9•下列各组物质中，互为同位素的是1 2A. 1 H 1 HB. Q 、OC. CH 4、C 3H 8 D . CHCOOH HCOOGH10. 2008奥运吉祥物福娃，其外材为纯羊毛线，内充物为无毒的聚酯纤维(如图)。

北京市海淀区2008届高三上学期期末考试数学(理)试题(WORD精校版)

北京市海淀区2007-2008学年高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2008.01学校：班级：姓名：一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）设集合{|12},{|A x x B x x a ==≤≤≥若A B ⊆，则a 的范围是( )（A ）1a < （B ）1a ≤ （C ）2a < （D ）2a ≤（2）函数⎪⎭⎫⎝⎛+=34c o s πx y 图象的两条相邻对称轴间的距离为（）（A ）8π （B ） 4π （C ）2π（D ）π （3ABC 中，设,,,AB BC CA ===c a b 则⋅⋅⋅a b+b c +c a 等于（）(A) 3-(B) 0(C)1 (D) 3（4）设i为虚数单位，则()41i +展开式中的第三项为（）（A ）4 i （B ）4i - (C) 6(D) 6-（5）设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α其中真命题的序号是（）(A) ①④ (B) ②③ (C) ②④ (D) ①③（6）已知点()0,A b ，B 为椭圆22x a +22y b=1()0a b >>的左准线与x 轴的交点，若线段AB的中点C 在椭圆上，则该椭圆的离心率为( )（A（B ）（C ）（D（A ）（B ）（C ）（D ）(8) 已知函数()y f x =是定义在[,]a b 上的增函数，其中,0.a b b a ∈<<-R,且设函数22()[()][()]F x f x f x =--，且()F x 不恒等于0，则对于()F x 有如下说法：①定义域为[,]b b - ②是奇函数 ③最小值为0 ④在定义域内单调递增其中正确说法的个数有（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.（9）双曲线22194x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 .（10）在ABC ∆中， 2A C B +=，5,BC =且ABC ∆的面积为B = ；AB = .（11）已知函数2|1|(0),()1(0),x x f x x x -+⎧=⎨->⎩≤ 那么不等式()0f x <的解集为 .（12）设不等式组||203022x y x y -⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≤所表示的平面区域为S ,则S 的面积为；若A ，B 为S 内的两个点，则||AB 的最大值为 .（13）已知,,,P A B C 是以O 为球心的球面上的四个点，,,PA PB PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，则球O 的半径为；球心O 到平面ABC 的距离为（14）在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是个. 把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列，则321是第____个数. （用数字作答）三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）已知向量(cos 2sin ,sin ),(cos sin ,2cos ),x x x x x x =+=-a b 设函数()f x =⋅a b . (I) 求函数)(x f 的单调递增区间；(II) 求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的集合. （16）（本小题共14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形， SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点， AN SC ⊥，且交SC 于点N .（I ）求证： //SB 平面ACM ；（II ）求二面角D AC M --的大小；（III ）求证：平面SAC ⊥平面AMN .（17）（本小题共12分）某城市有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报，从该城市中任取4个家庭.（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率；（Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率；（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B 报都没有订阅的概率.（18）（本小题共14分）已知抛物线S 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4200.x y +-=SNMD CBA（I ）求抛物线S 的方程；（II ）若O 是坐标原点，P 、Q 是抛物线S 上的两动点，且满足PO OQ ⊥.试说明动直线PQ 是否过一个定点.（19）（本小题共14分）设1x 、2x )(21x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点. （I ）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式；（II ）若22||||21=+x x ，求b 的最大值;（III ）设函数)()(')(1x x a x f x g --=，12(,)x x x ∈，当a x =2时，求证：21()(32)12g x a a +≤.（20）（本小题共14分）已知定义在R 上的函数()f x 满足：，5(1)2f =，且对于任意实数,x y ，总有 ()()()()f x f y f x y f x y =++-成立.（I ）求(0)f 的值，并证明函数()f x 为偶函数；（II ）定义数列{}n a ：2(1)()(1,2,3,)n a f n f n n =+-= ，求证：{}n a 为等比数列；（III ）若对于任意非零实数y ，总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <，判断1()f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的结论.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2008.01二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）2 （10）3π，8 （11）(,1)(1,1)-∞-- （12）16（13 （14） 204 ，53三、解答题（本大题共6小题,共80分.） (15) （共12分）解: (I)由已知可得xx x x x x x f cos sin 2)sin )(cos sin 2(cos )(+-+=1分x x x x x x x x cos sin 2sin 2cos sin 2cos sin cos 22+-+-= x x x x 22sin 2cos sin 3cos -+= )12(cos 2sin 23)2cos 1(21-+++=x x x 21)42sin(22321)2cos 2(sin 23-+=-+=πx x x 6分由224222πππππ+<+<-k x k 得：883ππππ+<<-k x k 8分即函数)(x f 的单调递增区间为)8,83(ππππ+-k k ()k ∈Z . 9分 (II) 由(I) 有21)42sin(223)(-+=πx x f ， ∴2123)(max -=x f . 10分所求x 的集合为{|,}8x x k k ππ=+∈Z . 12分(16) （共14分）方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME . 1分ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点. M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中位线.∴//ME SB.2分又∵ME ⊂平面ACM ， SB ⊄平面ACM ， 3分∴SB //平面A.4分（Ⅱ）解：取AD 中点F ，则MF //SA .作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ . 5分∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD . ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影.∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC . ∴FQM∠为二面角D A C --的平面角.7分设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，11,222a MF SA FQ DE ====，∴tan aFQM ==∴二面角D AC M--的大小为.9分（III ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ 10分又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥ ∴AM ⊥平面.S D11分∴.SC AM ⊥由已知,SC MN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN 又SC ⊂平面,S A C∴平面S A C ⊥平面.A M N14分方法二：解：（II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 5分由SA AB =故设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M .SA ⊥底面ABCD ， ∴AS 是平面ABCD 的法向量，AS (0,0,1)=．设平面ACM 的法向量为(,,)x y z =n ,11(1,1,0),(,0,)22AC AM == ,7分则0,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ ,.y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =,则(1,1,1)=--n .8分∴cos ,3||||AS AS AS ⋅<>===-⋅n n n ,∴二面角D A--的大小为arccos3． 9分（III）11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,1CS =--，10分11022AM CS ∴⋅=-+=AM CS∴⊥12分又SC AN ⊥ 且AN AM A = .SC AMN ∴⊥平面. 又SC ⊂平面,SAC∴平面SAC⊥平面A.14分（17）（共12分）解：（Ⅰ）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报”的事件为A ， 1分334()(0.3)(0.7)0.0756P A C ==4分答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率为0.0756. （Ⅱ）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报”的事件为B ， 5分8704.01296.01)6.0(1)(4=-=-=B P8分答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率为0.8704. （III ）设“这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅”的事件为C ， 9分因为有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪. 所以()()2224()0.30.70.2646P C C ==12分答：这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅的概率为0.2646.注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪，后面计算有误，给到10分.（18）（共14分）解：(I)设抛物线S的方程为22.y px =1分由24200,2,x y y px +-=⎧⎨=⎩ 可得2220y p y p +-=3分由0∆>，有0p >，或160.p <-设1122(,),(,),B x y C x y 则12,2py y +=- 121212(5)(5)1010.4448y y y y px x +∴+=-+-=-=+5分设33(,)A x y ，由ABC ∆的重心为(,0),2p F 则123123,0323x x x y y y p ++++==， 331110,.82p px y ∴=-=6分∵点A 在抛物线S上，∴2112(10),28p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴8.p =7分∴抛物线S 的方程为216.y x =8分（II ）当动直线PQ 的斜率存在时，设动直线PQ方程为y k x =+，显然0,k b ≠≠9分∵PO OQ ⊥，∴ 1.OP OQ k k ⋅=- 设(,)(,)P P Q Q P x y Q x y ∴1,QP P Qy y x x ⋅=- ∴0.P Q P Q x x y y +=10分将y kx b =+代入抛物线方程，得216160,ky y b -+=∴16.P Q by y k= 从而22222,16P Q P Q y y b x x k ⋅==∴22160.b b k k+= ∵0,0k b ≠≠，∴16,b k =-∴动直线方程为16(16)y kx k k x =-=-，此时动直线PQ过定点(16,0).12分当PQ 的斜率不存在时，显然PQ x ⊥轴，又PO OQ ⊥，∴POQ 为等腰直角三角形.由216,,y x y x ⎧=⎨=⎩ 216,,y x y x ⎧=⎨=-⎩得到(16,16),(16,16)P Q -，此时直线PQ亦过点(16,0).13分综上所述，动直线PQ过定点(16M .14分（19）（共14分）解（I ）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f1分依题意有⎩⎨⎧='=-'0)2(0)1(f f ，∴)0(041202322>⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--a a b a a b a .2分解得⎩⎨⎧-==96b a ，∴x x x x f 3696)(23-+=. . 4分（II ）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，且22||||21=+x x ，∴8||22)(2121221=+-+x x x x x x . ∴8|3|2)3(2)32(2=-+-⋅--aa ab ，∴)6(322a a b -=. ∵20b ≥，∴06a <≤.6分设2()3(6)p a a a =-，则2()936p a a a '=-+. 由()0p a '>得40<<a ，由()0p a '<得4>a .即：函数()p a 在区间(0,4]上是增函数，在区间[4,6]上是减函数， ∴当4=a 时，()p a 有极大值为96，∴()p a 在]6,0(上的最大值是96， ∴b的最大值为64.9分（III ）证明：∵21,x x 是方程0)('=x f 的两根，∴))((3)('21x x x x a x f --=.10分∵321a x x -=⋅，a x =2，∴311-=x . ∴|]1)(3)[31(||)31())(31(3||)(|--+=+--+=a x x a x a a x x a x g∵21x x x <<，即1.3x a -<<∴)133)(31(|)(|++-+=a x x a x g12分∴|()|g x )313)(31(3+-+-=a x x a a a a a x a 3143)2(3232+++--= 323143a a a ++≤12)23(2+=a a . 14分∴|()|g x 2(32)12a a +≤成立. （20）（共14分）解：(I) 令1,0x y ==()()()()1011f f f f ∴⋅=+ 5(1)2f =，()02f ∴=.1分令0x =，∴(0)()()()f f y f y f y =+-即2()()()f y f y f y =+-∴()()f y f y =-，对任意的实数y 总成立。

北京市海淀区2007-2008学年第一学期期末练习高三数学(理)

北京市海淀区2007-2008学年第一学期期末练习高三数学（理科）2008.01学校：班级：姓名：一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）设集合{|12},{|}.A x xB x x a==≤≤≥若A B⊆，则a的范围是( ) （A）1a<（B）1a≤（C）2a<（D）2a≤（2）函数⎪⎭⎫⎝⎛+=34cosπxy图象的两条相邻对称轴间的距离为（）（A）8π（B）4π（C）2π（D）π（3的正三角形ABC中，设,,,AB BC CA===c a b则⋅⋅⋅a b+b c+c a等于（）(A) 3-(B) 0(C)1(D) 3（4）设i为虚数单位，则()41i+展开式中的第三项为（）（A）4i（B）4i-(C) 6 (D) 6-（5）设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若//,//,αβαγ则//βγ②若αβ⊥，//mα，则mβ⊥③若,//m mαβ⊥，则αβ⊥④若//,m n nα⊂，则//mα其中真命题的序号是（）(A) ①④(B) ②③(C) ②④(D) ①③（6）已知点()0,A b，B为椭圆22xa+22yb=1()0a b>>的左准线与x轴的交点，若线段AB 的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为( )（A（B）2（C）3（D）4（7）已知函数)()1f x x=≥，()1f x-为()f x的反函数，则函数y x=与()1y f x-=-在同一坐标系中的图象为（）(8) 已知函数()y f x =是定义在[,]a b 上的增函数，其中,0.a b b a ∈<<-R,且设函数22()[()][()]F x f x f x =--，且()F x 不恒等于0，则对于()F x 有如下说法： ①定义域为[,]b b - ②是奇函数 ③最小值为0 ④在定义域内单调递增其中正确说法的个数有（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.（9）双曲线22194x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 . （10）在ABC ∆中， 2A C B +=，5,BC =且ABC ∆的面积为B = ；AB = .（11）已知函数2|1|(0),()1(0),x x f x x x -+⎧=⎨->⎩≤ 那么不等式()0f x <的解集为 .（12）设不等式组||203022x y x y -⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≤所表示的平面区域为S ,则S 的面积为；若A ，B 为S 内的两个点，则||AB 的最大值为 .（13）已知,,,P A B C 是以O 为球心的球面上的四个点，,,PA PB PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，则球O 的半径为；球心O 到平面ABC 的距离为（14）在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是个. 把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列，则321是第____个数. （用数字作答）三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）已知向量(cos 2sin ,sin ),(cos sin ,2cos ),x x x x x x =+=-a b 设函数()f x =⋅a b .(I) 求函数)(x f 的单调递增区间；(II) 求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的集合.（16）（本小题共14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形， SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点， AN SC ⊥，且交SC 于点N .（I ）求证： //SB 平面ACM ；（II ）求二面角D AC M --的大小；（III ）求证：平面SAC ⊥平面AMN .（17）（本小题共12分）某城市有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报，从该城市中任取4个家庭.（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率；（Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率；（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B 报都没有订阅的概率.（18）（本小题共14分）已知抛物线S 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4200.x y +-= （I ）求抛物线S 的方程；（II ）若O 是坐标原点，P 、Q 是抛物线S 上的两动点，且满足PO OQ ⊥.试说明动直线PQ 是否过一个定点.（19）（本小题共14分）设1x 、2x )(21x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点. （I ）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式；（II ）若22||||21=+x x ，求b 的最大值;（III ）设函数)()(')(1x x a x f x g --=，12(,)x x x ∈，当a x =2时，求证：21()(32)12g x a a +≤.（20）（本小题共14分）已知定义在R 上的函数()f x 满足：，5(1)2f =，且对于任意实数,x y ，总有 ()()()()f x f y f x y f x y =++-成立.（I ）求(0)f 的值，并证明函数()f x 为偶函数；（II ）定义数列{}n a ：2(1)()(1,2,3,)n a f n f n n =+-=，求证：{}n a 为等比数列；（III ）若对于任意非零实数y ，总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <，判断1()f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的结论.SNMD CBA北京市海淀区2007-2008学年第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分标准 2008.01二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）2 （10）3π，8 （11）(,1)(1,1)-∞-- （12）16（13 （14） 204 ，53三、解答题（本大题共6小题,共80分.） (15) （共12分）解: (I)由已知可得xx x x x x x f cos sin 2)sin )(cos sin 2(cos )(+-+=1分x x x x x x x x cos sin 2sin 2cos sin 2cos sin cos 22+-+-= x x x x 22sin 2cos sin 3cos -+= )12(cos 2sin 23)2cos 1(21-+++=x x x 21)42sin(22321)2cos 2(sin 23-+=-+=πx x x 6分由224222πππππ+<+<-k x k 得：883ππππ+<<-k x k 8分即函数)(x f 的单调递增区间为)8,83(ππππ+-k k ()k ∈Z . 9分 (II) 由(I) 有21)42sin(223)(-+=πx x f ， ∴2123)(max -=x f . 10分所求x 的集合为{|,}8x x k k ππ=+∈Z . 12分(16) （共14分）方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME . 1分 ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点. M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中位线.∴//ME SB.2分又∵ME ⊂平面ACM ， SB ⊄平面ACM ， 3分∴SB //平面ACM.4分（Ⅱ）解：取AD 中点F ，则MF //SA .作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ . 5分∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD . ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影.∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC . ∴FQM ∠为二面角D AC M--的平面角. 7分设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，11,2224a MF SA FQ DE ====，∴tan aFQM ==∴ 二面角D AC M --的大小为.9分（III ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ 10分又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥ ∴AM ⊥平面.SDC11分∴.SC AM ⊥由已知,SC MN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN又SC ⊂平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面.AMN 14分方法二：解：（II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 5分由SA AB =故设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M .SA ⊥底面ABCD ，∴AS 是平面ABCD 的法向量，AS (0,0,1)=．设平面ACM 的法向量为(,,)x y z =n ,11(1,1,0),(,0,)22AC AM ==,7分则0,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ ,.y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =,则(1,1,1)=--n .8分∴cos ,||||AS AS AS ⋅<>===⋅n n n∴二面角D AC M--的大小为9分（III ）11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,1CS =--，10分11022AM CS ∴⋅=-+=AM CS∴⊥12分又SC AN ⊥且AN AM A =.SC AMN ∴⊥平面. 又SC ⊂平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面AMN . 14分（17）（共12分）解：（Ⅰ）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报”的事件为A ， 1分334()(0.3)(0.7)0.0756P A C ==4分答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率为0.0756. （Ⅱ）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报”的事件为B ， 5分8704.01296.01)6.0(1)(4=-=-=B P8分答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率为0.8704.（III ）设“这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅”的事件为C ， 9分因为有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪. 所以()()2224()0.30.70.2646P C C ==12分答：这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅的概率为0.2646.注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪，后面计算有误，给到10分.（18）（共14分）解：(I)设抛物线S的方程为22.y px =1分由24200,2,x y y px +-=⎧⎨=⎩ 可得22200.y py p +-=3分由0∆>，有0p >，或160.p <-设1122(,),(,),B x y C x y 则12,2p y y +=- 121212(5)(5)1010.4448y y y y px x +∴+=-+-=-=+5分设33(,)A x y ，由ABC ∆的重心为(,0),2p F 则123123,0323x x x y y y p ++++==， 331110,.82p px y ∴=-=6分∵点A在抛物线S上，∴2112(10),28p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴8.p =7分∴抛物线S的方程为216.y x =8分（II ）当动直线PQ 的斜率存在时，设动直线PQ方程为y kx b=+，显然0,0.k b ≠≠9分∵PO OQ ⊥，∴ 1.OP OQ k k ⋅=- 设(,)(,)P P Q Q P x y Q x y ∴1,QP P Qy y x x ⋅=- ∴0.P Q P Q x x y y +=10分将y kx b =+代入抛物线方程，得216160,ky y b -+=∴16.P Q by y k=从而22222,16P Q P Q y y b x x k ⋅==∴22160.b b k k+= ∵0,0k b ≠≠，∴16,b k =-∴动直线方程为16(16)y kx k k x =-=-，此时动直线PQ过定点(16,0).12分当PQ 的斜率不存在时，显然PQ x ⊥轴，又PO OQ ⊥，∴POQ 为等腰直角三角形.由216,,y x y x ⎧=⎨=⎩ 216,,y x y x ⎧=⎨=-⎩得到(16,16),(16,16)P Q -，此时直线PQ 亦过点(16,0).13分综上所述，动直线PQ过定点(16,0)M .14分（19）（共14分）解（I ）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f1分依题意有⎩⎨⎧='=-'0)2(0)1(f f ，∴)0(041202322>⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--a a b a a b a .2分解得⎩⎨⎧-==96b a ，∴x x x x f 3696)(23-+=. . 4分（II ）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，且22||||21=+x x ，∴8||22)(2121221=+-+x x x x x x . ∴8|3|2)3(2)32(2=-+-⋅--aa ab ，∴)6(322a a b -=. ∵20b ≥，∴06a <≤.6分设2()3(6)p a a a =-，则2()936p a a a '=-+.由()0p a '>得40<<a ，由()0p a '<得4>a .即：函数()p a 在区间(0,4]上是增函数，在区间[4,6]上是减函数， ∴当4=a 时，()p a 有极大值为96，∴()p a 在]6,0(上的最大值是96， ∴b的最大值为64.9分（III ）证明：∵21,x x 是方程0)('=x f 的两根，∴))((3)('21x x x x a x f --=.10分∵321a x x -=⋅，a x =2，∴311-=x .∴|]1)(3)[31(||)31())(31(3||)(|--+=+--+=a x x a x a a x x a x g∵21x x x <<，即1.3x a -<<∴)133)(31(|)(|++-+=a x x a x g12分∴|()|g x )313)(31(3+-+-=a x x a a a a a x a 3143)2(3232+++--= 323143a a a ++≤12)23(2+=a a .14分∴|()|g x 2(32)12aa +≤成立. （20）（共14分）解：(I) 令1,0x y ==()()()()1011f f f f ∴⋅=+5(1)2f =，()02f ∴=.1分令0x =，∴(0)()()()f f y f y f y =+-即2()()()f y f y f y =+-∴()()f y f y =-，对任意的实数y 总成立。

2007-2008学年北京东城区第一学期期末教学目标检测理

2007-2008学年度北京市东城区第一学期期末教学目标检测高三数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{}{}512,0342<+=<+-=x x N x x x M ，则N M 等于（）A ．{}31<<x x B ．{}21<<x xC ．{}3<x x D ．{}32<<x x 2．862lim 22+--→x x x x 的值为（）A ．0B ．1C ．21-D ．31 3．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，有下列四个命题： ①若α⊂n n m ,//，则α//m②若αα//,//n m ，且ββ⊂⊂n m ,，则βα// ③若αα⊂n m ,//，则n m //④若βα//，α⊂m ，则β//m 其中正确命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．6)12(xx -的展开式中含2x 项的系数是（） A ．240 B ．－240C ．192D ．－1925．已知数列}{n a ，那么“对任意的,*N n ∈点),(n n a n P 都在直线012=+-y x 上”是“}{n a为等差数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在直角三角形ABC 中，2,4==CB CA ，M 为斜边AB 的中点，则⋅的值为（）A ．1B ．6C ．5D ． 107．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中，选出一个偶数和三个奇数，组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有（）A ．1480个B ．1440个C ．1200个D ． 1140个8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （1，0），B （1，1），映射f 将xOy 平面上的点),(y x P 对应到另一个平面直角坐标系v uO '上的点),2(22y x xy P -'，C （0，1），则当点P 沿着折线A —B —C 在运动时，映射f 的作用下，动点P '的轨迹是（）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

北京市朝阳区2008届高三上学期期末考试数学(理)试题(WORD精校版)

北京市朝阳区2007～2008年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷(理科) 2008.1(考试时间120分钟, 满分150分)第Ⅰ卷 (选择题共40分)一.选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的 4个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 设复数12i z =+，223i z =-，则21z z ⋅等于（）A ．34i -B ．74i -C ．43i -D ．74i +(2) 已知函数()y f x =的图象与函数2log (1)(1)y x x =->的图象关于直线y x =对称，则()f x 的表达式为（）A . ()f x =12()x x +ÎR B . ()f x =12x -()x ÎRC . ()f x =21x- ()x ÎR D . ()f x =21x+()x ÎR(3)在等差数列｛a n ｝中，若a 1+ a 2+…+ a 49=0，且公差0d ¹，则有（） A .1490a a +> B . 1490a a +< C . 3470a a += D . 500a = (4) 要从其中含有40个黄球的800个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取60个进行质量检验，则应抽取黄球的个数为（） A ．3个 B ．5个 C ．6个 D ．9个(5)已知函数()sin()cos()f x x x p q p q =++在3x =时取得最小值，则q 的一个值可以是 A .2p -B . 4p -C . 4pD . 2p （）(6) 已知点P 是曲线321y x x =++上的一点，过点P 与此曲线的相切的直线l 平行于直线23y x =-，则切线l 的方程是（） A . 112y x =-+ B . 21y x =+ C . 2y x = D . 21y x =+或2y x =(7) 已知点P 是以1F 、2F 为左、右焦点的双曲线x a y ba b 2222100-=>>()，的右支上一点，且满足121210tan 3PF PF PF F ·，∠== ，则此双曲线的离心率为（） A .B .C .D .(8) 设0A >，0ω>，02φπ≤<，函数()sin(),f x A x ωφ=+()sin(2),g x A x ωφ=+则函数()f x 在区间(,)32ππ内为增函数是函数()g x 在区间(,)64ππ内为增函数的（）A .既不充分也不必要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 充分必要条件第II 卷（非选择题共110分）二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中横线上.(9) 222lim4x x x ?+-等于 .(10) 若5()x a -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 .(11) 由数字0，1，2，3这四个数字，组成个位数字不为2的没有重复数字的四位数，共有个.（用数字作答）(12)在ABC D 中，CA =uu r a ,CB =uu rb ,M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ，用a 、b 表示AP uu u r为 .(13)已知曲线C 的参数方程为1cos ()1sin x y q q qí=-+ïïìï=+ïî为参数，则曲线C 的普通方程是；点A 是曲线C 的对称中心，点(,)P x y 在不等式2x y + 所表示的平面区域内，则AP 的取值范围是 .(14) 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在1,12骣÷ç÷ç÷ç桫上单调递增，且满足()(1)f x f x -=-，给出下列结论：①(1)0f =；②函数()f x 的周期是2；③函数()f x 在1,02骣÷ç-÷ç÷ç桫上单调递增；④函数(1)f x +是奇函数. 其中正确的命题的序号是 .三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本小题满分13分）已知集合A ={}2,0x x a a -<>，集合B =2213x x x 禳-镲镲<睚镲+镲铪. （Ⅰ）若1a =，求A B Ç；（Ⅱ）若A ⊂≠B ，求实数a 的取值范围.(16)（本小题满分13分）在ABC D 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos 5C =. （Ⅰ）求sin()4C p+的值；（Ⅱ）若1CA CB?uu r uu r，a b +=c 的值及ABC D 的面积.(17) （本小题满分13分）一个盒子中共有6件产品，其中有2件不合格的产品.现在要逐个进行检查，直到查出不合格产品为止.（I）求第一次检查就抽到次品的概率；（Ⅱ）设ξ是检查出2件不合格产品时已检查产品的件数，求ξ的分布列及数学期望.(18)（本小题满分13分）设函数3221()31(0)3f x x ax a x a =--+>. （I ）求()f x ¢的表达式；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间、极大值和极小值；（Ⅲ）若[]1,2x a a ?+时，恒有()3f x a ¢>-，求实数a 的取值范围.(19)（本小题满分14分）设动点M 的坐标为(,)x y （x y ÎR 、），向量a (2,)x y =-，b (2,)x y =+，且+a b =8.（I ）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)N 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若OP OA OB =+uu u r uu r uu u r（O 为坐标原点），是否存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.(20)（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：111,21,.n n a a a n n N *+==++∈ （Ⅰ）若数列{}n a pn q ++是等比数列，求实数p 、q 的值；（Ⅱ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n a 和n S ；（Ⅲ）试比较n a 与()22n +的大小.北京市朝阳区2007-2008学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷答案(理科) 2008.19. 14-10. ±11. 14 12. AP uu u r =13b 23-a 13. 22(1)(1)1x y ++-= ，)+14. ①②④三.解答题15. 解：（Ⅰ）当1a =时，21x -<，解得13x <<.则A ={}13x x <<.………………………………………………2分由2213x x -<+，得35x -<<. 则B ={}35x x -<<.……………………………………………5分所以{}13A Bx x ?<<.………………………………………7分（Ⅱ）由2(0)x a a -<>，得22a x a -<<+.………………8分若A ⊂≠B ，则2325.0a a a í-?ïïï+ ìïï>ïïî解得03a < . …………………………………12分所以实数a 的取值范围是{}03a a < .…………………………13分16. 解：（Ⅰ）由22sin cos 1CC +=，得sin C =.………………2分则sin()sin cos cos sin 444C C C p p p +=?1525210=?…………………………6分（Ⅱ）因为cos 1CA CB CA CB C ?=uu r uu r uu r uu r，则5ab =. ……………8分又a b +=222()227a b a b ab +=+-=.…………9分所以2222cos 25c a b ab C =+-=.则 5c =. ……………………………………………………………11分所以1sin 2ABC S ab C D ==……………………………………13分17. 解：（I ）设第一次检查就抽到次品为事件A ，则12161()3C P A C ==.……3分（Ⅱ）当ξ=2时，22261(2)15A P A x ===， ……………………………5分当ξ=3时，211242362(3)15A C C P A x ===，…………………………6分当ξ=4时，321342461(4)5A C C P A x ===， …………………………7分当ξ=5时，431442564(5)15A C C P A x ===， ………………………8分当ξ=6时，541542661(6)3A C C P A x ===. ……………………………9分 ξ的概率分布列和数学期望：………………………………………………………………………………11分121411423456151551533E x =?????.………………………13分 18. 解: （I ）22()23f x x ax a ¢=--.……………………………………………3分（Ⅱ）22()230f x x ax a ¢=--=令,3x a x a =-=得或. ……………………5分则当x 变化时，()f x 与()f x ¢的变化情况如下表：:(,),()x a f x ??可知当时函数为增函数，(3,),()x a f x ? 当时函数也为增函数. …………………………………6分(,3),()x a a f x ?当时函数为减函数.………………………………………7分35,()13x a f x a =-+当时的极大值为； …………………………………8分33,()x a f x a =当时的极小值为-9+1. ……………………………………9分（Ⅲ）因为22()23f x x ax a ¢=--的对称轴为x a =，且其图象的开口向上，所以()f x ¢在区间[]1,2a a ++上是增函数.……10分则在区间[]1,2a a ++上恒有()3f x a ¢>-等价于()f x ¢的最小值大于－a 3成立. 所以222(1)(1)2(1)3413f a a a a a a a ¢+=+-+-=-+>-. ………12分解得114a -<<. 又0a >，则a 的取值范围是()0,1. ……………………………………………………13分19. 解：（I ）因为+a b =88.………2分所以动点M 的轨迹是到定点1(2,0)F -，2(2,0)F 的距离之和为8的椭圆.则曲线C 的方程是2211612x y +=.……………………………………………4分（Ⅱ）因为直线l 过点(0,2)N ，若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为0x =，与椭圆的两个交点A 、B 为椭圆的顶点.由OP OA OB =+uu u r uu r uu u r，则P 与O 重合，与OAPB 为四边形矛盾.………………………………………………………………………………5分若直线l 的斜率存在，设方程为2y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y .由222,1,1612y kx x y í=+ïïïìï+=ïïî 得22(43)16320k x kx ++-=. ………………………7分 22256128(43)0k k D =++>恒成立.由根与系数关系得：1221643k x x k +=-+，1223243x x k -=+. …………9分因为OP OA OB =+uu u r uu r uu u r，所以四边形OAPB 为平行四边形.若存在直线l 使四边形OAPB 为矩形，则OA OB ^uu r uu u r ，即0OA OB?uu r uu u r.所以12120x x y y +=. ………………………………………………………11分所以21212(1)2()40k x x k x x ++++=. 即2223216(1)()2404343kk k k k +--?=++.化简得： 21250k +=. 与斜率存在矛盾. ……………………………13分则不存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形. …………………………14分 20. 解：（Ⅰ）设()11n n a p n q m a pn q++++=++对任意n N *Î都成立.得1(1)n n a p n q ma mpn mq ++++=++.………………………2分又121n n a a n +=++，则21n n a n pn p q ma mpn mq +++++=++，即(2)(1)10n m a p mp n p q mq -++-+++-=. 由已知可得0n a >，所以2010.10m p mp p q mq í-=ïïï+-=ìïï++-=ïïî解得21.2m p q í=ïïï=ìïï=ïïî…………………………5分则存在常数1,2p q ==使数列{}n a pn q ++为等比数列. ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得1242n n a n -++= .则122n n a n +=--. ………………………………………………8分所以12n n S a a a =+++L231222(342)n n +=+++-++++L L22(21)(5)212n n n -+=-- 225242n n n++=--. ……………………………………10分（Ⅲ）当1n =时，11a =，2(12)9+=，则19a <；当2n =时，24a =，2(22)16+=，则216a <；当3n = 时，311a =，2(32)25+=，则325a <；当4n = 时，426a =，2(42)36+=，则436a <；当5n = 时，557a =，2(52)49+=，则549a >；……………11分当5n ≥时，要证()()22112222225 6.n n n a n n n n n ++>+⇔-->+⇔>++而()1012101231111111122n n n n n n n n n n C C C C C C C C ++++++++++=++++≥+++()()()()()()()()()()221122116221111656325 6.n n n n n n n n n n n n n n n n n n -⋅⋅+=+++++≥+++++-⋅+≥=+++-->++⎡⎤⎣⎦所以当5n ≥时，()22.n a n >+………………………………………13分因此当14n＃（n N *Î）时，2(2)n a n <+；当5n ≥（n N *Î）时，()22.n a n >+ ……………………………………………………14分。

2008年高考理科数学试题及参考答案(北京卷)

16
结束后七天物料交接内
17
结束后10天提供结案报告内
活动结束一周内提交活动总结报告（报告包括PPT，照片等）
整理活动相关资料并提交总部项目经理
金锣市场部客户经理项目经理城市督导谈点助理督导促销员交进店资料提供店家名单确认促销员进场费用交押金核查促销员进场费用 100％申请促销员进场费用记录促销员进场费用清单
北京灵智精锐整合营销顾问有限公司
灵智精锐客户服务部 2人金锣市场部灵智精锐运营部项目经理 1 人项目助理1人金锣城市负责人当地业务城市督导41人督导助理（临时人员）灵智精锐大区经理2人
金锣大区负责人
理货
促销员
序完成时间号活动筹备 1 2 3 4 5 6
内容
市场部
客户方-金锣
招募人数：
为保证培训质量，不少于上岗人数的1.5倍培训合格人数不少于上岗人数的1.3倍
实地抽查培训促销员表现
招募流程
基础培训专案培训
组织书面考核组织现场演练
通过考核者进入活动流程
实地检查培训效果30％
促销员
正式工作金锣当地销售确定上岗人员实地抽查培训促销员表现
肉粒多产品介绍
• 肉粒多规格：
- 袋装：40克×8支×10袋/箱 - 单支：80克×50支/箱 • • 肉粒多口味：
- 猪肉、鸡肉、风味牛肉、清真鸡肉、清真牛肉
肉粒多产品卖点： - 三优组合： A、优原料：限定农场全生态自养原料金锣生态农场特选优良猪种，精选谷物饲料精心饲养，绝无药物残留，健康有保障。 B、优营养：精选100%优质冷鲜肉加工
12
召开每周例会

数学_2007年北京市丰台区高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2007年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1. 如果复数(m 2+i)(1+mi)是实数，则实数m =( )A 1B −1C √2D −√22. 在底面是正方形的直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，∠DAD 1=∠CDC 1=45∘，那么异面直线BC 1与CD 1所成角的度数为（） A 30∘ B 45∘ C 60∘ D 90∘3. 设等比数列{a n }为1，2，4，8，…，其前n 项和为S n ，则lim n →∞a nS n 的值为（）A 0B 12 C 1 D 24. 已知f(x)是R 上的增函数，点A(−2, 1)、B(2, 3)在它的图象上，那么，不等式|f −1(x)|<2的解集是（）A {x|−1<x <1}B {x|−2<x <2}C {x|−2<x <3}D {x|1<x <3} 5. “a =b”是“直线y =x +2与圆(x −a)2+(y −b)2=2相切”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分又不必要条件 6. 把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同排法的种数是（）A 10B 20C 40D 607. 已知M(2, 1)，N(−1, 2)，在下列方程的曲线上，存在点P 满足|MP|=|NP|的曲线是（）A 3x −y +1=0B x 2+y 2−4x +3=0 Cx 22+y 2=1 Dx 22−y 2=18. 对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a ∗b ={a,(a ≥b)b,(a <b)则关于函数f(x)=sinx ∗cosx正确的命题是（）A 函数f(x)值域为[−1, 1]B 当且仅当x =2kπ(k ∈Z)时，函数f(x)取得最大值1C 函数f(x)的对称轴为x =kπ+π4(k ∈Z) D 当且仅当2kπ<x <2kπ+32π(k ∈Z)时，函数f(x)<0二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 在(x +1a )7的展开式中，含x 5与x 4项的系数相等，则a 的值是________10. 已知向量|a →|=1，|b →|=2，a →与b →的夹角为60∘，要使向量λb →−a →与a →垂直，则λ=________11. 如图，已知AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，CO交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，求证：AB⋅CD=AC⋅AE．12. 各棱长为a的正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为________．13. 如图，已知A(0, 5)，B(1, 1)，C(3, 2)，D(4, 3)，动点P(x, y)所在的区域为四边形ABCD（含边界）．若目标函数z=ax+y只在点D处取得最优解，则实数a的取值范围是________14. 正整数按下表排列：1251017…4361118…9871219…1615141320…2524232221……位于对角线位置的正整数1，3，7，13，21，…，构成数列{a n}，则a7=________；通项公式a n=________．三、解答题（共6小题，满分80分）)15. 已知向量m→=(sinθ, 2cosθ)，n→=(√3,−12（1）当θ∈[0, π]时，求函数f(θ)=m→×n→的值域；（2）若m→ // n→，求sin2θ的值．16. 下表为某体育训练队跳高与跳远成绩的统计表，全队有队员40人，成绩分为1分至5分五个档次，例如表中所示：跳高成绩为4分的人数是：1+0+2+5+1=9人；跳远成绩为2分的人数是：0+5+4+0+1=10人；跳高成绩为4分且跳远成绩为2分的队员为5人．将记载着跳高、跳远成绩的全部队员的姓名卡40张混合在一起，任取一张，记该卡片队员的跳高成绩为x ，跳远成绩为y ，设x ，y 为随机变量（注：没有相同姓名的队员）（1）求m +n 的值；（2）求x =4的概率及x ≥3且y =5的概率；（3）若y 的数学期望为10540，求m ，n 的值．17. 已知四棱锥S −ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，点E 是SC 上任意一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA =4，AB =2，求点A 到平面SBD 的距离； (3)当SAAB的值为多少时，二面角B −SC −D 的大小为120∘．18. 己知各项均为正数的数列{a n }满足a n+12−a n+1a n −2a n 2=0(n ∈N ∗)，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n =a n log 12a n ，S n =b 1+b 2+...+b n ，求S n +n ⋅2n+1>50成立的正整数n 的最小值．19. 已知函数f(x)=12x 2+lnx ．（1）求函数f(x)在区间[1, e]上的最大值、最小值；（2）求证：在区间(1, +∞)上函数f(x)的图象在函数g(x)=23x 3图象的下方；（3）请你构造函数ℎ(x)，使函数F(x)=f(x)+ℎ(x)在定义域(0, +∞)上，存在两个极值点，并证明你的结论．20. 已知双曲线的中心在原点，以两条坐标轴为对称轴，离心率是√2，两准线间的距离大于√2，且双曲线上动点P 到A(2, 0)的最近距离为1．（1）求证：该双曲线的焦点不在y 轴上；（2）求双曲线的方程；（3）如果斜率为k 的直线L 过点M(0, 3)，与该双曲线交于A 、B 两点，若AM →=λMB →(λ>0)，试用l 表示k 2，并求当λ∈[12，2]时，k 的取值范围．2007年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. C3. B4. D5. A6. B7. C8. C9. 5310. 111. 证明：连接AD ， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ AD ⊥BE ．∵ AC 是⊙O 的切线， ∴ ∠EAD =∠B ． ∵ BO =DO ，∴ ∠B =∠ODB =∠EDC ， ∴ ∠EAD =∠EDC ．又∠C =∠C ，∴ △ACD ∽△DCE ， ∴AC CD =AD DE；在Rt △AEB 中，AD ⊥BE ，∠EAD =∠B ， ∴ △AED ∽△BEA ， ∴ ADED =ABAE ， ∴ ABAE =ACCD ．∴ AB ⋅CD =AC ⋅AE ． 12. 73πa 213. a <−1或a >12 14. 43,n 2−n +115. 解：（1）由f(θ)=m →×n →得， f(θ)=√3sinθ−cosθ=2sin(θ−π6)∵ θ∈[0, π]，θ−π6∈[−π6,5π6]∴ f(θ)的值域为[−1, 2]；（2）∵ m → // n →，∴ −12sinθ=2√3cosθ，∴ tanθ=−4√3∴ sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=−8√349．16. 解：（1）m +n =40−37=3；（2）当x =4时的概率为P 1=940当x≥3且y=5时的概率为P2=110；（3）p(y=1)=8+n40p(y=2)=14，p(y=3)=14，p(y=4)=4+m40，p(y=5)=18因为y的数学期望为10540，所以99+n+4m40=10540．于是m=1，n=2．17. (1)证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ BD⊥AC.∵ SA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴ SA⊥BD.∵ SA∩AC=A，∴ BD⊥平面SAC.又∵ BD⊂平面EBD，∴ 平面EBD⊥平面SAC.(2)解：由(1)知，BD⊥平面SAC，又∵ BD⊂平面SBD，∴ 平面SBD⊥平面SAC.设AC∩BD=O，则平面SBD∩平面SAC=SO.过A作AF⊥SO交SO于点F，则AF⊥平面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离．∵ 四边形ABCD是正方形，AB=2，∴ AO=√2.又∵ SA=4，△SAO是直角三角形，∴ SO=3√2.∵ SO×AF=SA×AO，∴ AF=43，∴ 点A到平面SBD的距离为43.(3)解：作BM⊥SC于M，连接DM，∵ SA⊥底面ABCD，AB=AD，∴ SB=SD.又∵ CB⊥AB，CD⊥AD，∴ CB⊥SB，CD⊥SD，∴ △SBC≅△SDC，∴ DM⊥SC，∴ ∠BMD是二面角B−SC−D的平面角，BM=DM．要使∠BMD=120∘，只须BM 2+DM2−BD22BM⋅DM=cos120∘，即BM2=13BD2，而BD2=2AB2，∴ BM2=23AB2.∵ BM×SC=SB×BC，SC2=SB2+BC2，∴ BM2×SC2=SB2×BC2，∴ 23AB2(SB2+BC2)=SB2×BC2.∵ AB=BC，∴ 2SB2+2AB2=3SB2，∴ SB2=2AB2.又∵ AB2=SB2−SA2，∴ AB2=SA2，∴ SAAB=1，故当SAAB=1时，二面角B−SC−D的大小为120∘．18. 解：(I)∵ a n+12−a n+1a n−2a n2=0，∴ (a n+1+a n)(a n+1−2a n)=0，∵ 数列{a n}的各项均为正数，∴ a n+1+a n>0，∴ a n+1−2a n=0，即a n+1=2a n，所以数列{a n}是以2为公比的等比数列．∵ a3+2是a2，a4的等差中项，∴ a2+a4=2a3+4，∴ 2a1+8a1=8a1+4，∴ a1=2，∴ 数列{a n}的通项公式a n=2n．(II)由(I)及b n=a n log12a n得，b n=−n⋅2n，∵ S n=b1+b2++b n，∴ S n=−2−2⋅22−3⋅23−4⋅24−−n⋅2n①∴ 2S n=−22−2⋅23−3⋅24−4⋅25−−(n−1)⋅2n−n⋅2n+1②①-②得，S n=2+22+23+24+25++2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，要使S n+n⋅2n+1>50成立，只需2n+1−2>50成立，即2n+1>52，∴ 使S n+n⋅2n+1>50成立的正整数n的最小值为5．19. 解：（1）f′(x)=x+1x∵ x>0，∴ f′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)上是单调递增函数，∴ f(x)在区间[1, e]上的最大值为f(e)=12e2+1，最小值为f(1)=12；（2）证明：设G(x)=g(x)−f(x)，则G(x)=23x3−12x2−lnx，G′(x)=2x 2−x −1x =2x 3−x 2−1x=x 2(x−1)+x 3−1x，当x ∈(1, +∞)时，显然有G′(x)>0， ∴ G(x)在区间(1, +∞)上是单调增函数， ∴ G(x)>G(1)=16>0在(1, +∞)上恒成立，即g(x)>f(x)在(1, +∞)上恒成立，∴ 在区间(1, +∞)上函数f(x)的图象在函数g(x)=23x 3图象的下方．（3）令ℎ(x)=−52x ，则F(x)=12x 2+lnx −52x(x >0)，F′(x)=x +1x −52=2x 2−5x +22x令F′(x)=0，得x =12，或x =2，令F′(x)>0得，0<x <12，或x >2，令F′(x)<0得，12<x <2∴ 当ℎ(x)=−52x 时，函数F(x)=f(x)+ℎ(x)在定义域(0, +∞)上，存在两个极值点x 1=12，x 2=2．20. 证明：（1）设双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，由{ca =√2a 2+b 2=c 2，得c =√2a ，a =b ， ∴ 双曲线的渐近线方程为y =±x ．若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线上任一点到点A(2, 0)的距离大于点A 到渐近线的距离，而点A 到渐近线的距离d =√2>1，这与“双曲线上动点P 到A(2, 0)的最近距离为1”矛盾．所以双曲线的焦点不在y 轴上．方法二：联立双曲线方程y 2−x 2=a 2与圆(x −2)2+y 2=1，证明方程组无解．解：（2）由（1）知，双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2−y 2=a 2，P(x 0, y 0)，则x 02−y 02=a 2，|PA|2=(x 0−2)2+y 02=(x 0−2)2+x 02−a 2=2(x 0−1)2+2−a 2，又由2a 2c >√2得a >1又当x 0=a 时，|PA|2有最小值，即2(a −1)2+2−a 2=(a −2)2=1， ∴ a =3，所以，双曲线的方程为x 2−y 2=9．解（3）：设直线l 的方程为y =kx +3，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)∵ AM →=λMB →(λ>0)，∴ (−x 1, 3−y 1)=λ(x 2, y 2−3)，∴ x 1=−λx 2(x 1x 2<0)①，由{y =kx +3x 2−y 2=9消去y 得，(1−k 2)x 2−6kx −18=0， x 1+x 2=6k1−k 2②，x 1x 2=−181−k 2<0 ③ 将①分别代入②、③ 得，(1−λ)x 2=6k 1−k 2④λx 22=181−k 2⑤④2÷⑤并整理得，k 2=1−2λλ2+1(l >0) 令f(l)=2λλ2+1，则f′(λ)=2(λ2+1)−2λ⋅2λ(λ2+1)2=−2λ2+2(λ2+1)2令f′(λ)=0，得 λ=1；令f′(λ)>0，得0<l <1；令f′(λ)<0，得l >1 当λ∈[12，2]时，f(12)=45，f(1)=1，f(2)=45，∴ f(λ)∈[45，1]∴ k 2∈[0,15]，∴ k ∈[−√55，√55]．。

北京丰台区高三统一练习(一)数学理科

丰台区2008年高三统一练习（一）数学（理科） 2008年4月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

、、、、、、、、、、、、、、、一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设集合{}25, log (3)A a =+，集合{, }B a b =，若{2}AB =, 则A B 等于（A ）{}1,2,5 （B ）{}1,2,5- （C ）{}2,5,7 （D ）{}7,2,5- 2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S 等于（A ） 18 （B ） 36 （C ） 54 （D ） 723. 已知直线m 、l ,平面α、β，且m ⊥α, l ⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m ⊥l ； ②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ,则α∥β；④若m ∥l ,则α⊥β.其中正确命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44. 若2()2cos 2f x x x a =+（a 为实常数）在区间[0,]2π上的最小值为-4，则a 的值为（A ）4 (B ) -3 (C ) -4 (D ) -65. 在△ABC 中，若 B C a C A b A B c ===，，且 a b b c c a ==, 则△ABC的形状是△ABC 的（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）等边三角形6.设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ,若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为（A ）-150 （B ）150 （C ）-500 （D ）5007. 由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++= 引切线，则切线长的最小值为（A（B）（C（D）8. 设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i + j 被4除的余数 , ,0,1,2,3,4,5i j =.则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。

北京丰台区2008-2009学年度第一学期高三期末练习(数学理科).pdf

课题9.1 压强授课时间教学目标知识①建立压强定义公式。

②知道国际单位制中压强的单位及其意义，教具能力会进行压强问题的简单计算。

初步掌握测量、计算、表达能力及用基础知识解决问题的能力。

情感经历测量人体对地面压强的过程，培养乐于和他人合作进行探究的团队精神。

重点压强概念及压强公式的应用。

难点压强概念的引入。

教学内容教学目标教师组织指导学生活动引入新课新课教学：压力的作用效果与什么因素有关？压强的计算公式P=F/S。

播放：“救助封冻的河面有人因冰破裂落水”的影片。

设问：救助人员对冰面有力，这个力特点实说马？大小多少？为什么他没有落入水中？设问引入新课请同学们观察自己的书包带子。

想一想平时背书包时，觉得宽带子好，还是细带子好，为什么宽带子背书包时带子背书包时学生物理上用p表示压强，用F表示压力，用S表示受力面积。

请学生在黑板上写出用字母表示的压强公式： p=F / S。

对以上问题，可能同学们现在不不能得出正确结果，自己猜的是否正确，要经过事实来检验。

教学目标教师组织指导学生活动压强的国际单位制单位：帕斯卡（帕），符号Pa，并且1Pa=1N/m2 测量人体对地面压强.(面积的单位换算)讲述压强的单位：在国际单位制中，力的单位是牛顿，面积的单位是米2，压强的单位是牛／米2(又叫帕斯卡该单位读作牛顿每平方米。

1帕1牛／米2，表示每平方米面积上受到的压力是1牛顿。

写出5帕，指导学生说出它的是：每平方米面积上受到的压力是5牛顿。

列举课文中一张报纸平放在桌面上对桌面的压强和成年人站立在地面上时对地面的压强。

请同学们利用刚学的压强公式、单位，计算下面所述例题。

①在给出压强定义公式后，应通过一定的定量计算规范化要求的示范，使学生的解题要严格要求。

②受力面积的计算。

③1米2=_____厘米2，1厘米2=___米2 通过一定的定量计算规范化要求的示范，使学生的解题要严格要求。

解题过程中和解题完后进行评讲，强调单位必须使用规定的单位：力用牛顿，受力面积用米2，所得到的压强单位才是帕斯卡。

数学_2008年北京市丰台区高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2008年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. 集合A ={5, log 2(a +3)}，集合B ={a, b}，若A ∩B ={2}，则A ∪B 等于( ) A {1, 2, 5} B {−1, 2, 5} C {2, 5, 7} D {−7, 2, 5}2. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=3，a 7=13，则S 9=( ) A 36 B 70 C 72 D 1443. 已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题： ①若α // β，则m ⊥l ； ②若α⊥β，则m // l ； ③若m ⊥l ，则α // β ④若m // l ，则α⊥β其中正确命题的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 44. 若f(x)=2cos 2x +√3sin2x +a （a 为实常数）在区间[0, π2]上的最小值为−4，则a 的值为（）A −6B 4C −3D −45. 在△ABC 中，若BC →=a →,CA →=b →,AB →=c →且a →⋅b →=b →⋅c →=c →⋅a →，则△ABC 的形状是（）A 锐角三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等边三角形6. 设(5x −√x)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M −N =240，则展开式中x 3的系数为（）A −150B 150C −500D 5007. 从直线x −y +3=0上的点向圆(x +2)2+(y +2)2=1引切线，则切线长的最小值是（） A3√22 B √142 C 3√24 D 3√22−18. 设集合S ={A 0, A 1, A 2, A 3, A 4, A 5}，在S 上定义运算“⊕”为：A i ⊕A j =A k ，其中k 为i +j 被4除的余数，i ，j =0，1，2，3，4，5．则满足关系式(x ⊕x)⊕A 2=A 0的x(x ∈S)的个数为（）A 1B 2C 3D 4二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9. 若lim x →1x 2+ax+3x 2+3=2，则a =________．10. 若函数y =f(x)的图象与函数y =x 2(x ≤0)的图象关于直线x −y =0对称，则f(x)=________．11. 已知x ，y 满足条件{x +y +2>0x +2y +1≤0y ≥0.则r =(x −1)2+(y −2)2的值域是________．12. 过双曲线M ：x 2−y 2b 2=1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B ，C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是________． 13. 若f(x)=asin(x +π4)+3sin(x −π4)是偶函数，则a =________．14. 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点(3, 0)处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有________种（用数字作答）；若经过m 次跳动质点落在点(n, 0)处（允许重复过此点），其中m ≥n ，且m −n 为偶数，则质点不同的运动方法共有________种．三、解答题（共6小题，满分80分）15. 已知m ∈R ，a →=(−1,x 2+m)，b →=(m +1,1x )，c →=(−m,xx+m )． (1)当m =−1时，求使不等式|a →⋅c →|<1成立的x 的取值范围； (2)求使不等式a →⋅b →>0成立的x 的取值范围．16. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球均为黑色球的概率；（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．17. 已知如图(1)，正三角形ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E 、F分别是AC 和BC 边上的点，且满足CE CA=CF CB=k ，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A −DC −B ，如图(2)．（1）试判断翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；（2）求二面角B −AC −D 的大小；（3）若异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为√24，求k 的值． 18. 设函数f(x)=(1+x)2−2ln(1+x)．（1）求f (x)的单调区间；（2）若当x ∈[1e −1，e −1]时，不等式f (x)<m 恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程f(x)=x 2+x +a 在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．19. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−1, 0)，B(1, 0)，动点C 满足条件：△ABC 的周长为2+2√2．记动点C 的轨迹为曲线W ． (1)求W 的方程；(2)经过点(0, √2)且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围； (3)已知点M(√2,0)，N(0, 1)，在(2)的条件下，是否存在常数k ，使得向量OP →+OQ →与MN →共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．20. 已知函数f(x)=(x −1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q(q ∈R, q ≠1)的等比数列．若a 1=f(d −1)，a 3=f(d +1)，b 1=f(q −1)，b 3=f(q +1)．（I ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（II ）若{c n }对n ∈N ∗，恒有c1b 1+c 22b 2+c 33b 3+⋯+c n nb n=a n+1，求c 1+c 3+c 5+...+c 2n−1的值；（III ）试比较3b n −13b n+1与an+1a n+2的大小．2008年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. C3. B4. D5. D6. B7. B8. C9. 410. −√x(x ≥0) 11. [8, 17) 12. √10 13. −3 14. 5,C m m−n 215. 解：(1)当m =−1时，a →=(−1,x 2−1)，c →=(1,xx−1)，a →⋅c →=−1+x(x 2−1)x−1=x 2+x −1．∵ |a →⋅c →|=|x 2+x −1|<1， ∴ {x 2+x −1>−1,x 2+x −1<1,解得−2<x <−1或0<x <1．∴ 当m =−1时，使不等式|a →⋅c →|<1成立的x 的取值范围是{x|−2<x <−1或0<x <1}． (2)∵ a →⋅b →=−(m +1)+x 2+m x=x 2−(m+1)x+mx=(x−1)(x−m)x>0，∵ c →=(−m,xx+m )，∴ x ≠−m ，∴ 当m <0时，x ∈(m, 0)∪(1, +∞)；当m =0时，x ∈(1, +∞)；当0<m <1时，x ∈(0, m)∪(1, +∞)；当m =1时，x ∈(0, 1)∪(1, +∞)；当m >1时，x ∈(0, 1)∪(m, +∞)． 16. 解：（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ， “从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ． ∵ 事件A ，B 相互独立，且P(A)=C 32C 42=12，P(B)=C 42C 62=25．∴ 取出的4个球均为黑球的概率为P(A ⋅B)=P(A)⋅P(B)=12×25=15．（2）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．∵ 事件C ，D 互斥，且P(C)=C 32C 42.C 21．C 41C 62=415，P(D)=C 31C 42.C 42C 62=15． ∴ 取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C +D)=P(C)+P(D)=415+15=715．（3）ξ可能的取值为0，1，2，3．由（1），（2）得P(ξ=0)=15，P(ξ=1)=715，又P(ξ=3)=C 31C 42.1C 62=130，从而P(ξ=2)=1−P(ξ=0)−P(ξ=1)−P(ξ=3)=310． ξ的分布列为ξ的数学期望Eξ=0×15+1×715+2×310+3×130=76．17. 解：（1）AB // 平面DEF ．在△ABC 中，∵ E 、F 分别是AC 、BC 上的点，且满足CECA =CFCB =k ， ∴ AB // EF ．∵ AB ⊄平面DEF ，EF ⊆平面DEF ，∴ AB // 平面DEF（2）过D 点作DG ⊥AC 于G ，连接BG ， ∵ AD ⊥CD ，BD ⊥CD ，∴ ∠ADB 是二面角A −CD −B 的平面角． ∴ ∠ADB =90∘，即BD ⊥AD ． ∴ BD ⊥平面ADC ．∴ BD ⊥AC ． ∴ AC ⊥平面BGD ．∴ BG ⊥AC ．∴ ∠BGD 是二面角B −AC −D 的平面角．在ADC 中，AD =a ，DC =√3a ，AC =2a ， ∴ DG =AD⋅DC AC=√3a 22a=√3a2．在Rt △BDG 中，tan∠BGD =BD DG=2√33． ∴ ∠BGD =arctan2√33．即二面角B −AC −D 的大小为arctan2√33．（3）∵ AB // EF ，∴ ∠DEF （或其补角）是异面直线AB 与DE 所成的角． ∵ AB =√2a ，∴ EF =√2ak ．又DC =√3a ，CE =kCA =2ak ，∴ DF =DE =√DC 2+CE 2−2DC ⋅CE ⋅cos∠ACD =√3a 2+4a 2k 2−2√3a ⋅2ak ⋅cos30∘=√3a 2+4a 2k 2−6a 2k =a√3+4k 2−6k ． ∴ cos∠DEF =DE 2+EF 2−DF 22DE⋅EF=EF 2DE=√24． ∴ 2√2ak =√2⋅a√3+4k 2−6k ．解得k =12． 18. 解：（1）函数的定义域为(−1, +∞)． ∵ f /(x)=2[(x +1)−1x+1]=2x(x+2)x+1，由f′(x)>0，得x >0；由f′(x)<0，得−1<x <0． ∴ f(x)的递增区间是(0, +∞)，递减区间是(−1, 0)．（2）∵ 由f /(x)=2x(x+2)x+1=0，得x =0，x =−2（舍去）由（1）知f(x)在[1e−1，0]上递减，在[0, e −1]上递增．高三数学（理科）答案第3页（共6页）又f(1e −1)=1e 2+2，f(e −1)=e 2−2，且e 2−2>1e 2+2． ∴ 当x ∈[1e −1，e −1]时，f(x)的最大值为e 2−2．故当m >e 2−2时，不等式f(x)<m 恒成立．（3）方程f(x)=x 2+x +a ，x −a +1−2ln(1+x)=0．记g(x)=x −a +1−2ln(1+x)， ∵ g /(x)=1−21+x=x−1x+1，由g′(x)>0，得x >1或x <−1（舍去）．由g′(x)<0，得−1<x <1． ∴ g(x)在[0, 1]上递减，在[1, 2]上递增．为使方程f(x)=x 2+x +a 在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，只须g(x)=0在[0, 1]和(1, 2]上各有一个实数根，于是有{g(0)≥0g(1)<0g(2)≥0.∵ 2−2ln2<3−2ln3，∴ 实数a 的取值范围是2−2ln2<a ≤3−2ln3． 19. 解：(1)设C(x, y)，∵ |AC|+|BC|+|AB|=2+2√2，|AB|=2， ∴ |AC|+|BC|=2√2>2，∴ 由定义知，动点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为2√2的椭圆除去与x 轴的两个交点． ∴ a =√2，c =1， ∴ b 2=a 2−c 2=1． ∴ W:x 22+y 2=1(y ≠0)．(2)设直线l 的方程为y =kx +√2，代入椭圆方程，得x 22+(kx +√2)2=1．整理，得(12+k 2)x 2+2√2kx +1=0．①因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ=8k 2−4(12+k 2)=4k 2−2>0，解得k <−√22或k >√22． ∴ 满足条件的k 的取值范围为k ∈(−∞,−√22)∪(√22,+∞). (3)设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则OP →+OQ →=(x 1+x 2, y 1+y 2)，由(12+k 2)x 2+2√2kx +1=0得x 1+x 2=−4√2k1+2k 2,② 则y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2√2.③因为M(√2，0)，N(0, 1)，所以MN →=(−√2,1)．所以OP →+OQ →与MN →共线等价于x 1+x 2=−√2(y 1+y 2)．将②③代入上式，解得k =√22．所以不存在常数k ，使得向量OP →+OQ →与MN →共线． 20. 解：(I)∵ a 3−a 1=2d ，∴ f(d+1)−f(d−1)=2d．即d2−(d−2)2=2d，解得d=2．∴ a1=f(2−1)=0．∴ a n=2(n−1)．∵ b3b1=q2，∴ f(q+1)f(q−1)=q2=q2(q−2)2．∵ q≠0，q≠1，∴ q=3．又b1=f(q−1)=1，∴ b n=3n−1．（II）由题设知c1b1=a2，∴ c1=a2b1=2．当n≥2时，c1b1+c22b2+⋯+c nnb n=a n+1，c1b1+c22b2+⋯+c n−1(n−1)b n−1=a n，两式相减，得c nnb n=a n+1−a n=2．∴ c n=2nb n=2n⋅3n−1（c n=b1a2适合）．设T=c1+c3+c5+...+c2n−1，∴ T=2+6×32+10×34+...+(4n−2)⋅32n−2，32T=2×32+6×34+10×36+...+(4n−6)⋅32n−2+(4n−2)⋅32n，两式相减，得−8T=2+4×32+4×34+...+4×32n−2−(4n−2)⋅32n=2+4×9(9n−1−1)9−1−(4n−2)⋅9n=2+12×9n−92−(4n−2)×9n=−52+52×9n−4n⋅9n．∴ T=516+(n2−516)⋅32n．(III)3b n−13b n+1=3n−13n+1=1−23n+1，a n+1 a n+2=2n2(n+1)=1−22n+2．现只须比较3n+1与2n+2的大小．当n=1时，3n+1=4=2n+2；当n=2时，3n+1=10>2n+2=6；当n=3时，3n+1=28>2n+2=8；当n=4时，3n+1=82>2n+2=10．猜想n≥2时，3n+1>2n+2．用数学归纳法证明（1）当n=2时，左边=3n+1=10，右边=2n+2=6，3n+1>2n+2成立．（2）假设当n=k时，不等式成立，即3k+1>2k+2．当n=k+1时，3k+1+1=3×3k+1=3k+1+2×3k>2k+2+2×3k>2k+2+2=2(k+1)+2．即当n=k+1时，不等式也成立．由（1）（2），可知n>2时，3n+1>2n+2都成立．所以3n+1≥2n+2（当且仅当n=1时，等号成立）所以1−23n+1≥1−22n+2．即3b n−13b n+1≥a n+1a n+2．。