高三数学(理科)模拟试卷(1)
江西省南昌市第十中学2022-2023学年高三下学期第一次模拟数学(理科)试题
南昌十中2022－2023学年下学期高三一模模拟 数学试题（理科）命题人： 审题人： 说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。
考试用时120分钟，注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS 号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将答题纸交回。
第I 卷(选择题)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合∣==M x y y {(,)1}，集合∣==N x y x {(,)0}，则⋂=M N （ ）A. {0,1}B. {(0,1)}C. {(1,0)}D. {(0,1),(1,0)}2. 若复数=+−z 2i 12i i 3)(，则=z （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 总体由编号为01，02，⋯，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 51253211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950A. 3B. 19C. 38D. 204．如右图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]上的大致图象，则该函数是( )A. +=−+x y x x 1323B. +=−x y x x 123 C. +=x y x 12cos 2 D. +=x y x 12sin 2 5．抛物线=−C y x :122的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点−A (5,2)，则+PA PF 的最小值为（ ）A. 8B. 6C. 5D. 96．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F 运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d x )(（单位：dB ）与声强x （单位：W/m 2）满足=−d x x 1010lg 12)(.若人交谈时的声强级约为50dB ，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为（ ）A. 130dBB. 140dBC. 150dBD. 160dB7. 若⎝⎭ ⎪+=−⎛⎫θ43tan 5π=（ ） A. 3 B. 34 C. 2 D. 48. 一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为（ ）A. 12B. 8C. 6D. 49. 已知函数()2log ,1,,1,x x f x x x ξ≥⎧=⎨+<⎩在R 上单调递增的概率为12，且随机变量()~,1N u ξ．则()01P ξ<≤等于（ ）[附：若()2~,Nξμσ，则()0.6827P x μσμσ−≤≤+=， ()220.9545P x μσμσ−≤≤+=．] A. 0.1359 B. 0.1587 C. 0.2718 D. 0.341310. 已知是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A. 4B. 12C. 4D. 211. 如图，曲线C 为函数y =sinx (0≤x ≤5π2)的图象，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(m,n)，乙粒子的坐标为(u,v)，若记n −v =f(m)，则下列说法中正确的是( ) A. f(m)在区间(π2,π)上是增函数B. f(m)恰有2个零点C. f(m)的最小值为−2D. f(m)的图象关于点(5π6,0)中心对称 12. 已知函数()f x ，()g x ，()g x '的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数.若()g x 为偶函数，且()()1f x g x +'=，()()41f x g x '−−= .则以下四个命题：①()20220g '=；②()g x 关于直线2x =对称；③()202212022==∑k f k ；④()202312023==∑k f k 中一定成立的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线12:l y x =，则过圆222410x y x y ++−+=的圆心且与直线1l 垂直的直线2l 的方程为________. 14. 杜甫“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是 ．15. 将函数()π4cos2f x x =和直线()1g x x =−的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若(P ，则12...n PA PA PA +++=____________.16. 在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，G 为正方体棱上一动点．下列说法中所有正确的序号是 . ①G 在AB 上运动时，存在某个位置，使得MG 与A 1D 所成角为60°；②G 在AB 上运动时，MG 与CC 1所成角的最大正弦值为√53； ③G 在AA 1上运动且AG =13GA 1时，过G ，M ，N 三点的平面截正方体所得多边形的周长为8√5+2√2；④G 在CC 1上运动时(G 不与C 1重合)，若点G ，M ，N ，C 1在同一球面上，则该球表面积最大值为24π．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.的17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23122n S n n =−． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和T 1000．18. 在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点G 满足4EB EG =．（1）证明：GF //平面ABC ；（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A -BE -D 的正弦值．19. 某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13.调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读． (1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率;(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人?K 2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n =a +b +c +d ．20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点、E 所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()()e 1ln x f x m x =+，其中0m >，()f x '为()f x 的导函数.（1）当1m =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）设函数()()e xf x h x ='，且()52h x 恒成立. ①求m 的取值范围；②设函数()f x 的零点为0x ，()f x '的极小值点为1x ，求证：01x x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]）22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0πϕ≤≤），2C的参数方程为1252x t y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 的普通方程并指出它的轨迹； （2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM ：π4θ=与曲线1C 的交点为O ，P ，与2C 的交点为Q ，求线段PQ 的长.[选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数()121f x x x =−−+的最大值为k .（1）求k 的值；（2）若,,R a b c ∈，2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.。
陕西省咸阳市2023届高三下学期一模理科数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.
【详解】抛物线C： 的焦点 ，准线方程 ，
显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得： ，所以 .
故选：B6.执行如图所来自的程序框图，若输入 ，则输出s＝（）
A. B. C. D.
【答案】A
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得 ，进而结合双曲线的性质和已知条件得 ， ， ，再根据 ， ， 得 ，进而根据离心率公式求解即可.
【详解】解：如图，设直线 为双曲线 的两条渐近线，
则直线 的方程分别为 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，直线 的方程分别为 ，即 ，
所以 到直线 的距离为 ，
所以， 的实数解有 个，
所以，函数 零点的个数是 个.
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知数列 的前n项之积为 ．
（1）求数列 的通项公式；
A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.
【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列 ， ，公比 ， ，
所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离 .
故选：C
5.设F为抛物线C： 的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（）
【小问1详解】
高三数学(理科)模拟试题及答案
高三数学（理科）模拟试题及答案姓名： 班级： 座位号： 分数： 一、选择题：（每题 分，总计 分，把答案填在答题卡上。
）1、 10i2-i =A 、 -2+4iB 、 -2-4iC 、 2+4iD 、 2-4i 答案：解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i==-+、故选A 、2、 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A 、 ∅ B 、 ()3,4 C 、()2,1- D 、 ()4.+∞ 答案：解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭、(3,4)A B ∴=、故选B 、3、 已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A =A 、 1213B 、513C 、513-D 、 1213-答案：解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈、12cos 13A ===-故选D 、4、曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A 、 20x y --=B 、 20x y +-=C 、450x y +-=D 、 450x y --= 答案：解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---,故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-=故选B 、5、 已知正四棱柱1111ABCD A BCD -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A 、B 、 15C 、D 、 35答案：解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。
在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos 10A BE ∠=。
故选C6、 已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=，则||b =A 、B 、C 、5D 、 25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。
如需改动，先擦干净再涂其他答案。
不得在试卷上作答。
2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。
如需改动，先划掉原答案再写新答案。
不得用铅笔或涂改液。
不按要求作答无效。
3.答题卡需整洁无误。
考试结束后，交回试卷和答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。
3B。
4C。
7D。
82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。
iB。
-iC。
2iD。
-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。
80B。
85C。
90D。
954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。
已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。
如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。
4/5B。
3/4C。
2/3D。
3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。
120B。
160C。
200D。
2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。
3.119B。
2020年安徽省高考数学(理科)模拟试卷(1)
2020年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（1）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．（5分）复数z ＝（1+2i ）2（i 为虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，已知恰有80个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．1854．（5分）为得到y ＝2sin （3x −π3）的图象，只需要将y ＝2cos3x 函数的图象（ ） A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移5π18个单位 D ．向右平移5π18个单位5．（5分）已知函数f(x)=√x 2+x +a 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，14]B ．（﹣∞，14]C ．[14，+∞）D ．[1，+∞）6．（5分）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）与圆x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，则p ＝（ ） A ．√2B ．1C ．2D ．47．（5分）若直线y ＝ax +2a 与不等式组{x −y +6≥0x ≤3x +y −3≥0表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范围是（ ）A ．[0，95]B ．[0，9]C ．[0，+∞]D ．[﹣∞，9]8．（5分）函数y ＝2x +2x−1（x ＞1）的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．89．（5分）已知sin(π+α)=45，且sin2α＜0，则tan （α−π4）的值为（ ） A ．7B ．﹣7C ．17D ．−1710．（5分）设a ＝30.1，b ＝log 0.30.5，c ＝log 60.3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a11．（5分）把一个已知圆锥截成一个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1：3，母线长为6cm ，则已知圆锥的母线长为（ ）cm ． A ．8B ．9C ．10D ．1212．（5分）如图，F I ，F 2是双曲线C ：x 22−y 23=1(a ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线F 2P 与y 轴的正半轴交于点A ，△APF 1的内切圆与边PF 1切于点Q ，且|PQ |＝4，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．√72C ．2√33D ．√194二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1．则AC →⋅BD →的值为 ．14．（5分）化简：tan(3π−α)cos(4π+α)sin(π2−α)cos(−α−π)sin(−5π−α)= ．15．（5分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ ．16．（5分）在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PC ＝2√3，BA ＝BC =√3，∠ABC ＝90°，若P A 与底面ABC 所成的角为60°，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积 ． 三．解答题（共6小题）17．已知数列{a n }是等差数列，满足a 2＝5，a 4＝9，数列{b n +a n }是公比为3的等比数列，且b 1＝3．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和S n ．18．已知函数f(x)=sinx ⋅sin(x +π3)−14(x ∈R)． （1）求f(π3)的值和f （x ）的最小正周期；（2）设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f(A2)=14，a ＝2，求b +c 的取值范围．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面P AB ⊥底面ABCD ，H 为棱AB 的中点，E 为棱DC 上任意一点，且不与D 点、C 点重合．AB ＝2，AD ＝P A ＝1，PH =√2． （Ⅰ）求证：平面APE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）是否存在点E 使得平面APE 与平面PHC 所成的角的余弦值为√63？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．20．已知一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品． （1）求一、二、三等品各取到一个的概率；（2）记X 表示取到一等品的件数，求X 的分布列和数学期望． 21．已知f （x ）＝（x ﹣m ）e x ．（1）当m ＝2时，求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若函数f （x ）在区间（﹣1，0）上有极小值点，且总存在实数m ，使函数f （x ）的极小值与e 2m +2am 2(a+1)e互为相反数，求实数a 的取值范围．22．已知动圆C 与圆C 1：(x −2)2+y 2=1外切，又与直线l ：x ＝﹣1相切．设动圆C 的圆心的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）在x 轴上求一点P （不与原点重合），使得点P 关于直线y =12x 的对称点在曲线E 上．2020年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x ∈N |1＜x ＜5}＝{2，3，4}． 故选：C ．2．（5分）复数z ＝（1+2i ）2（i 为虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：因为z ＝（1+2i ）2＝1+4i +4i 2＝﹣3+4i ； ∴z =−3﹣4i ；∴z 在复平面内对应的点在第三象限； 故选：C ．3．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，已知恰有80个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．185【解答】解：由题意可得：S 阴影S 正方形=80200，∴S 阴影=25×32=185． 故选：D ．4．（5分）为得到y ＝2sin （3x −π3）的图象，只需要将y ＝2cos3x 函数的图象（ ） A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移5π18个单位D ．向右平移5π18个单位【解答】解：将y ＝2cos3x ＝2sin （3x +π2）的图象，向右平移5π18个单位，可得函数的图象得到y ＝2sin （3x −π3）的图象， 故选：D ．5．（5分）已知函数f(x)=√x 2+x +a 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，14]B ．（﹣∞，14]C ．[14，+∞）D ．[1，+∞）【解答】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴x 2+x +a ≥0的解集为R ， ∴△＝1﹣4a ≤0，解得a ≥14， ∴实数a 的取值范围是[14，+∞)． 故选：C ．6．（5分）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）与圆x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，则p ＝（ ） A ．√2B ．1C ．2D ．4【解答】解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）与圆x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4， 由抛物线和圆都关于x 轴对称，可得A ，B 的纵坐标为2，﹣2， 可设A （2p ，2），代入圆的方程可得4p 2+4＝5，可得p ＝2．故选：C ．7．（5分）若直线y ＝ax +2a 与不等式组{x −y +6≥0x ≤3x +y −3≥0表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A ．[0，95]B ．[0，9]C ．[0，+∞]D ．[﹣∞，9]【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示{x −y +6=0x +y −3=0⇒{x =−32y =92；∴C （−32，92），直线y ＝a （x +2）过定点A （﹣2，0），直线y ＝a （x +2）经过不等式组表示的平面区域有公共点 则a ＞0，k AC =92−0(−32)−(−2)=9，∴a ∈[0，9]． 故选：B ．8．（5分）函数y ＝2x +2x−1（x ＞1）的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：因为y ＝2x +2x−1（x ＞1）， ＝2（x ﹣1）+2x−1+2≥2√2(x −1)⋅2x−1+2=6， 当且仅当2（x ﹣1）=2x−1即x ＝2时取等号，此时取得最小值6． 故选：C ．9．（5分）已知sin(π+α)=45，且sin2α＜0，则tan （α−π4）的值为（ ） A ．7B ．﹣7C ．17D ．−17【解答】解：∵sin(π+α)=45， ∴可得sin α=−45，又∵sin2α＝2sin αcos α＜0，可得cos α＞0，∴可得cosα=√1−sin2α=35，tanα=sinαcosα=−43，∴tan（α−π4）=tanα−11+tanα=−43−11−43=7．故选：A．10．（5分）设a＝30.1，b＝log0.30.5，c＝log60.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：∵a＝30.1＞30＝1，∴a＞1；∵log0.31＜b＝log0.30.5＜log0.30.3＝1，∴0＜b＜1；∵c＝log50.3＜log51＝0，∴c＜0，∴a＞b＞c，故选：B．11．（5分）把一个已知圆锥截成一个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1：3，母线长为6cm，则已知圆锥的母线长为（）cm．A．8B．9C．10D．12【解答】解：由题意画出轴截面图形，可知CDAB =SDSB=13，BD＝6，可得SD＝2，所以圆锥的母线长为：2+6＝8（cm）．故选：A．12．（5分）如图，F I，F2是双曲线C：x2a2−y23=1(a＞0)的左、右焦点，点P是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于点A，△APF1的内切圆与边PF1切于点Q，且|PQ|＝4，则双曲线C的离心率为（）A ．2B ．√72C ．2√33D ．√194【解答】解：PQ ＝PF 1﹣F 1Q ＝PF 1﹣F 1M ＝PF 1﹣NF 2＝PF 1﹣（PF 2+PQ ） ⇒PQ =12(PF 1−PF 2)=a ，∴a ＝4，b =√3，∴c =√19， 所以双曲线的离心率为：e =√194．故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1．则AC →⋅BD →的值为 ﹣3 ．【解答】解：∵AB ＝2，AD ＝1， ∴AC →⋅BD →=(AB →+AD →)⋅(BA →+BC →) =(AB →+AD →)⋅(AD →−AB →) =AD →2−AB →2 ＝1﹣4 ＝﹣3． 故答案为：﹣3．14．（5分）化简：tan(3π−α)cos(4π+α)sin(π2−α)cos(−α−π)sin(−5π−α)= 1 ．【解答】解：tan(3π−α)cos(4π+α)sin(π2−α)cos(−α−π)sin(−5π−α)=(−tanα)cosαcosα(−cosα)sinα=1．故答案为：1．15．（5分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为T r+1=C6r(−x)r可得，令r＝2，即x2项的系数a2为C62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PC＝2√3，BA＝BC=√3，∠ABC＝90°，若P A与底面ABC所成的角为60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积15π．【解答】解：因为P A＝PC＝2√3，BA＝BC=√3，所以P在底面的投影在∠ABC的角平分线上，设为E，再由若P A与底面ABC所成的角为60°可得AE＝P A•cos60°＝2√3⋅12=√3，可得E，B重合，PB＝P A•sin60°＝2√3⋅√32=3，即PB⊥面ABC，由∠ABC＝90°可得，将三棱锥P﹣ABC放在长方体中，由长方体的对角线为外接球的直径2R可得：4R2＝32+（√3）2+（√3）2＝15，所以外接球的表面积S＝4πR2＝15π，故答案为：15π．三．解答题（共6小题）17．已知数列{a n}是等差数列，满足a2＝5，a4＝9，数列{b n+a n}是公比为3的等比数列，且b1＝3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）数列{a n}是公差为d的等差数列，满足a2＝5，a4＝9，可得a1+d＝5，a1+3d＝9，解得a1＝3，d＝2，即有a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；数列{b n+a n}是公比为3的等比数列，且b1＝3，可得b n+a n＝6•3n﹣1＝2•3n，则b n＝2•3n﹣（2n+1）；（2）前n项和S n＝（6+18+…+2•3n）﹣（3+5+…+2n+1）=6(1−3n)1−3−12n（3+2n+1）＝3n+1﹣3﹣n（n+2）．18．已知函数f(x)=sinx⋅sin(x+π3)−14(x∈R)．（1）求f(π3)的值和f（x）的最小正周期；（2）设锐角△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且f(A2)=14，a＝2，求b+c的取值范围．【解答】解：（1）函数f(x)=sinx⋅sin(x+π3)−14(x∈R)．所以f(π3)=√32×√32−14=12．所以f（x）=sinx(12sinx+√32cosx)=1−cos2x4+√34sin2x−14=12sin(2x−π6)，所以函数f（x）的最小正周期为π；（2）设锐角△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且f(A2)=14，所以sin(A−π6)=12，解得A=π3．利用正弦定理asinA =bsinB=csinC，解得b=3，c=3sin(2π3−B)，所以b+c=3+sin(2π3−B)]=4sin(B+π6)，由于{0＜B＜π20＜C=2π3−B＜π2，解得π6＜B＜π2，所以B+π6∈(π3，2π3)，所以b+c∈(2√3，4]．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面P AB⊥底面ABCD，H为棱AB 的中点，E为棱DC上任意一点，且不与D点、C点重合．AB＝2，AD＝P A＝1，PH=√2．（Ⅰ）求证：平面APE⊥平面ABCD；（Ⅱ）是否存在点E 使得平面APE 与平面PHC 所成的角的余弦值为√63？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AB ＝2，H 为AB 中点， ∴AH ＝1，又PA =1，PH =√2，∴P A 2+AH 2＝PH 2，则P A ⊥AH ，又侧面P AB ⊥底面ABCD ，侧面P AB ∩底面ABCD ＝AB ， ∴P A ⊥平面ABCD ， 又P A 在平面APE 内， ∴平面APE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，以A 为坐标原点，AD ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），P （0，0，1），H （0，1，0），C （1，2，0），假设存在点E （1，y ，0）满足题意，则AP →=(0，0，1)，AE →=(1，y ，0)，PH →=(0，1，−1)，HC →=(1，1，0)，设平面APE 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅AP →=c =0m →⋅AE →=a +by =0，设a ＝1，则m →=(−1，1y ，0)，设平面PHC 的一个法向量为n →=(p ，k ，t)，则{n →⋅PH →=k −t =0n →⋅HC →=p +k =0，设k ＝1，则n →=(−1，1，1)，∵平面APE 与平面PHC 所成的角的余弦值为√63， ∴|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=|1+1y |√1+1y2⋅√3=√63，∴y ＝1，即存在点E 为CD 的中点，使得平面APE 与平面PHC 所成的角的余弦值为√63． 20．已知一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品． （1）求一、二、三等品各取到一个的概率；（2）记X 表示取到一等品的件数，求X 的分布列和数学期望．【解答】解：（1）一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品．基本事件总数n =C 93=84，一、二、三等品各取到一个包含的基本事件个数m ＝2×3×4＝24， ∴一、二、三等品各取到一个的概率p =m n =2484=27． （2）记X 表示取到一等品的件数，则X 的可能取值为0，1，2， P （X ＝0）=C 73C 93=512， P （X ＝1）=C 21C 72C 93=12， P （X ＝2）=C 22C 71C 93=112，∴X 的分布列为：X 012 P51212112数学期望E （X ）=0×512+1×12+2×112=23． 21．已知f （x ）＝（x ﹣m ）e x ．（1）当m ＝2时，求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若函数f （x ）在区间（﹣1，0）上有极小值点，且总存在实数m ，使函数f （x ）的极小值与e 2m +2am 2(a+1)e互为相反数，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）f '（x ）＝[x ﹣（m ﹣1）]e x ．当m ＝2时，f （x ）＝（x ﹣2）e x ，f '（x ）＝（x ﹣1）e x ． ∴f （0）＝﹣2，f '（0）＝﹣1，所以，函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y +2＝﹣（x ﹣0），即x +y +2＝0． （2）f '（x ）＝[x ﹣（m ﹣1）]e x 得x ∈（﹣∞，m ﹣1）时，f '（x ）＜0，x ∈（m ﹣1，+∞）时，f '（x ）＞0，∴函数f （x ）在区间（﹣∞，m ﹣1）上单调递减，在区间（m ﹣1，+∞）单调递增， 函数f （x ）的极小值点为m ﹣1． 由已知﹣1＜m ﹣1＜0，∴0＜m ＜1.f(x)极小=f(m −1)=−e m−1 故在区间（0，1）上存在m ，使得e 2m +2am 2(a+1)e−e m−1=0．∴2a =e 2m −2e m e m −m （0＜m ＜1）．设g(m)=e 2m −2e me m −m．∴当0＜m ＜1时，g ′(m)=(e m −1)[e 2m +2(1−m)e m ](e m −m)2＞0，∴函数g （m ）在区间（0，1）上递增， ∴当0＜m ＜1时，g （0）＜g （m ）＜g （1），即−1＜2a ＜e 2−2e e−1，∴−12＜a ＜e 2−2e 2e−2，所以，实数a 的取值范围是(−12，e 2−2e2e−2)．22．已知动圆C 与圆C 1：(x −2)2+y 2=1外切，又与直线l ：x ＝﹣1相切．设动圆C 的圆心的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）在x 轴上求一点P （不与原点重合），使得点P 关于直线y =12x 的对称点在曲线E 上．【解答】解：解法一：（1）依题意得圆心C 到于直线x ＝﹣2的距离等于到圆C 1圆心的距离，所以C 的轨迹是（2，0）为焦点，以直线x ＝﹣2为准线的抛物线， 设其方程y 2＝2px （p ＞0），则p2=2，p ＝4，所以曲线E 的方程为y 2＝8x ．（2）设P （t ，0），P 关于直线y =12x 的对称点为P 1（m ，n ），则{nm−t=−2，n 2=12(m+t 2)，即{2m +n =2t ，2n −m =t ，解得{m =35t ，n =35t.代入曲线E 得1625t 2=245t ，解得t ＝0（舍去），t =152，即点P 的坐标为(152，0)． 解法二：（1）设圆心C （x ，y ），依题意x ≥﹣1， 因为圆C 与直线l ：x ＝﹣1相切，所以r ＝x +1， 又圆C 与圆C 1外切，所以|CC 1|＝r +1， 即√(x −2)2+y 2=x +2， 化简得曲线E 的方程为y 2＝8x ． （2）同解法．。
高中数学题 2023年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(理科)(一)
2023年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．A ．{-2，-1，0，1，2}B ．{0，1，2}C ．{-2，-1，1，2}D ．{1，2}1．（5分）已知集合A ={x |y =lgx }，B ={-2，-1，0，1，2}，那么A ∩B 等于（ ）A ．1B ．2C ．2D ．42．（5分）已知复数z =1−i 1+i，则|z |=（ ）√A ．y =±12x B ．y =±2x C ．y =±22x D ．y =±2x3．（5分）双曲线2x 2-y 2=1的渐近线方程是（ ）√√A ．甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数B ．甲检测点的数据极差大于乙检测点的数据极差C ．甲检测点数据的中位数大于乙检测点数据的中位数D ．甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差4．（5分）最早发现于2019年7月的某种流行疾病给世界各国人民的生命财产带来了巨大的损失．近期某市由于人员流动出现了这种疾病，市政府积极应对，通过3天的全民核酸检测，有效控制了疫情的发展，决定后面7天只针对41类重点人群进行核酸检测，下面是某部门统计的甲、乙两个检测点7天的检测人数统计图，则下列结论不正确的是（ ）A ．25B ．32C ．3D ．55．（5分）已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱长为4，则异面直线AC 与DC 1所成角的正切值为（ ）√√√A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．（5分）已知向量m ，n 满足(2m −3n )⊥n ，且|m |=3|n |，则m ，n 夹角为（ ）→→→→→→√→→→A ．−43B ．43C ．−247D ．2477．（5分）已知α∈(0，π)，sinα−cosα=15，则tan 2α=（ ）二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．A ．[12，34]B ．[34，32]C ．[1，2]D ．[32，2]8．（5分）椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上，且直线PA 2斜率取值范围是[−1，−12]，那么直线PA 1斜率取值范围是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．①②③9．（5分）已知等差数列{a n }满足a 4+a 7=0，a 5+a 8=-4，则下列命题：①{a n }是递减数列；②使S n >0成立的n 的最大值是9；③当n =5时，S n 取得最大值；④a 6=0，其中正确的是（ ）A ．（0，2]B ．（0，4]C ．[2，+∞）D ．[4，+∞）10．（5分）已知直线y =mx +n （m ≥0，n >0）与圆（x -1）2+（y -1）2=1相切，则m +n 的取值范围是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．（5分）11+2+13+4+15+6+⋯+199+100的整数部分是（ ）√√√√√√√√A ．2B ．4C ．6D ．812．（5分）已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0）满足f (x )+f (2−x )=2，g (x )=x x −1，若函数y =f （x ）与y =g （x ）的图像恰有四个交点，则这四个交点的横坐标之和为（ ）13．（5分）若（x 2-1x ）6的展开式中的常数项是 ．√14．（5分）命题“∃x ∈R ，ax 2-2ax +1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是 ．15．（5分）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶．如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形．若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有 种．16．（5分）在棱长为1的正方体ABCD -B 1C 1D 1中，M 是侧面BB 1C 1C 内一点（含边界）则下列命题中正确的是（把所有正确命题的序号填写在横线上） ．①使AM =2的点M 有且只有2个；②满足AM ⊥B 1C 的点M 的轨迹是一条线段；√三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请先涂题号．[选修4-4：坐标系与参数方程][选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）③满足AM ∥平面A 1C 1D 的点M 有无穷多个；④不存在点M 使四面体MAA 1D 是鳖臑（四个面都是直角三角形的四面体）．17．（12分）已知向量m =(3sinx ,cosx )，n =(cosx ,−cosx )，定义函数f (x )=m ⋅n −12．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）在△ABC 中，若f （C ）=0，且AB =3，CD 是△ABC 的边AB 上的高，求CD 长的最大值．√18．（12分）如图在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是平行四边形．已知PA =AB =2，AD =5，AC =1，E 是PB 中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面ACE ；（2）求平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值．√19．（12分）已知点A （x 0，-2）在抛物线C ：y 2=2px （p >0）上，且A 到C 的焦点F 的距离与到x 轴的距离之差为12．（1）求C 的方程；（2）当p <2时，M ，N 是C 上不同于点A 的两个动点，且直线AM ，AN 的斜率之积为-2，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点E ，使得|DE |为定值．20．（12分）甲、乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛．比赛规定：甲队的1，2，3号选手与乙队的1，2，3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果），已知甲队的1号对乙队的1，2号选手的胜率分别是0.5，0.6，甲队的2号对乙队的1，2号选手的胜率都是0.5，甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0.5，假设每场比赛结果相互独立．（1）求甲队仅比赛3场获胜的概率；（2）已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和X 的分布列及期望．21．（12分）已知函数f （x ）=m （x +1）e x （m >0），g （x ）=2lnx +x +1．（1）求曲线y =g （x ）在点（1，g （1））处的切线方程；（2）若函数y =f （x ）的图像与y =g （x ）的图像最多有一个公共点，求实数m 的取值范围．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为V Y Y Y W Y Y Y X x =t +2t ，y =t −2t（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R )．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）求曲线C 1的任意一点到曲线C 2距离的最小值．23．已知a>b>c>0，求证：（1）1a−b +1b−c≥4a−c；（2）a2a b2b c2c>a b+c b c+a c a+b．。
高考理科数学模拟试卷(含答案)
高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。
2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，请只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
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2020年高考数学（理科）模拟试题（一）一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1. 定义{}|,A B x x A x B -=∈∉且，若{}1,3,5,7,9A =,{}2,3,5B =,则A B -= （ ）.A ．AB ．BC ．{}1,2,7,9D ．{}1,7,9 答案： D简解：由定义，{1,7,9}A B -=2. 复数21i -的值为（ ） A. 1122i - B. 1122i + C. 1i -D. 1i +答案：D简解：222(1)2(1)11(1)(1)1i i i i i i i ++===+--+-2. 若f （tan x ）=cos2x ，则(tan )3f π-的值是（ ）.A. 12- B.12C.D.答案：A简解：21(tan )(tan())cos()3332f f πππ-=-=-=-3. 长方体的长、宽、高分别为2,2,3cm cm cm ，若该长方体的各顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A. 27cm πB. 214cm πC. 217cm πD. 256cm π答案：C简解：球半径为r，则2r ==2417S r ππ==4. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式，是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，那么将二进制数216(1111)L 123转换成十进制形式是（ ）.A. 1722-B. 1622-C. 1621-D. 1521- 答案：C简解：16151411621612(1111)121212122112-=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯==--L 123，所以选C.5. 不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为（ ）答案：C简解：由(2)420(1)10f a c f a c -=+-=⎧⎨=-+=⎩解得12a c =-⎧⎨=⎩，则选C.6. 已知函数321()22f x x x m =-+的图象上A 点处的切线与直线30x y -+=的夹角为45°，则A 点的横坐标为（ ）.A ．0B ．1C ．0或16D ．1或16答案：C简解：由已知可得切线的斜率为0，解'2()60f x x x =-=，得x =0或167. 如图：D ，C ，B 三点在地面同一直线上，DC =a ，从C ，D 两点测得A 点仰角分别是β，α(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于（ ）.A. sin sin sin()a αββα-B. sin sin cos()a αβαβ⋅-C.sin cos sin()a αββα- D. cos sin cos()a αβαβ-答案：A简解：设x AB =，则tan x BC β=，()tan tan x x a αβ=+，解得sin sin sin()a x αββα=-8. 设抛物线2(0)y ax a =>与直线(0)y kx b k =+≠有两个交点，其横坐标分别是12,x x ，而直线(0)y kx b k =+≠与x 轴交点的横坐标是3x ，那么123,,x x x 的关系是（ ）. A ．312x x x =+ B. 321111x x x =+ C. 132111x x x =+ D. 123x x x =+ 答案：B简解：由2y ax y kx b⎧=⎨=+⎩消y 得20ax kx b --=，则1212,k b x x x x a a +==-g ，而3bx k =-，所以12312x x b x x x k =-=+g ，即321111x x x =+二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9. 一物体在力F （x ）=4x+2（力的单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =5处（单位：m ），则力F （x ）所作的功___________ 答案：60简解：力F （x ）所作的功为50(42)60x dx +=⎰10. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为__________. 答案：2.376简解：ξ=0，1，2，3，此时P （ξ=0）=0.43，P （ξ=1）=0.6×0.42，P （ξ=2）=0.6×0.4，P （ξ=3）=0.6，E ξ=2.376.11. 若,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，则222()a b a b x y x y ++≥+，当且仅当a b x y=时上式取等号. 利用以上结论，可以得到函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值为 ，取最小值时x 的值为 ． 答案： 25，15简解：由⑴22223(23)()252122(12)f x x x x x +=+≥=-+-． 当且仅当23212x x =-，即15x =时上式取最小值，即min [()]25f x =． 12. 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；C ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断序号是__________ _____. 答案：①简解：由图丙，可知0点到3点时水增加速度等于2个进水口的进水速度，则①正确. 其余均可同样推断错误.13~14. 从以下两个小题中选做两题（只能做其中两个，做三个的，按得分最低的记分）． （1）几何证明选做题：从不在⊙O 上的一点A 作直线，交⊙O 于B ，C ，且AB ·AC ＝64，OA ＝10，则⊙O 的半径等于__________.答案： 6简解：设圆O 半径为r ，当点在圆外时，由切割线定理得64(10)(10)AB AC r r ==+-g ，解得r=6；当点在圆内时，由相交弦定理得64(10)(10)AB AC r r ==+-g ，解得r =（2）坐标系与参数方程选做题：若直线x +y =m 与圆x y ϕϕ⎧⎪⎨⎪⎩(φ为参数,m >0)相切，则m 为 .答案：2简解：对圆消参得x 2+y 2=m .∴m =2. （3）不等式选讲选做题：已知()21,()f x x x R =+∈，若|()3|f x a -<的充分条件是b x <-|1|，)0,(>b a ，则a ，b 之间的关系是 . 答案： 2a b ≤简解：由b x <-|1|，得{|11}A x b x b =-<<+ ；再由|()3|f x a -<，得{|11}22a a B x x =-<<+； 所以b x <-|1|是|()3|f x a -<的充分条件⇔A B ⊆，故2ab ≤三、解答题（前4小题每题13分，后2小题每题14分，共80分） 15．已知函数2()2sin sin 21,.f x x x x R =+-∈（1）求()f x 的最小正周期及()f x 取得最大值时x 的集合； （2）在平面直角坐标系中画出函数()f x 在[0,]π上的图象.解：（1）22()2sin sin 21sin 2(12sin )sin 2cos2f x x x x x x x =+-=--=-)4x π-∴ ()f x 的最小正周期是π .当322,()428x k x k k Z πππππ-=+=+∈即时，()f x .即()f x 取得最大值时x 的集合为3{|,}8x x k k Z ππ=+∈. （2）当x =0时，y =-1，当x =π时，y =-1；当38x π=时，2y =； 当78x π=，2y =-.由此作出图象如右图所示：16．已知a 为实数, 2()(4)()f x x x a =--. (1) 求导数'()f x ;(2) 若'(1)0f -=, 求()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值; 解: (1) 22'()2()(4)1324f x x x a x x ax =-+-⨯=--.(2) 2'(1)3(1)2(1)4210f a a -=----=-=, 得12a =. 2'()34(34)(1)f x x x x x ∴=--=-+, 当1x =-或43x =时, '()0f x =.当(2,1)x ∈--时, '()0f x >, ()f x 递增; 当4(1,)3x ∈-时, '()0f x <, ()f x 递减; 当4(,2)3x ∈时, '()0f x >, ()f x 递增.(2)f -=0, 9(1)2f -=, 450()327f =-, (2)0f =.()f x 在[2,2]-上的最大值为9(1)2f -=, 最小值为450()327f =-.17．已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且160,DAB AD AA ∠=︒=，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点.（1）求证：直线MF //平面ABCD ； （2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小. 解法1：（1）证明：延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连结AN.因为F 是BB 1的中点，所以F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点. 又M 是线段AC 1的中点，故MF//AN.,.MF ABCD AN ABCD ⊄⊂Q 又平面平面 //.MF ABCD ∴平面（2）证明：连BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1 可知：1A A ⊥平面ABCD,又∵BD ⊂平面ABCD ，1.A A BD ∴⊥ Q 四边形ABCD 为菱形，.AC BD ∴⊥1111,,,AC A A A AC A A ACC A ⋂=⊂Q 又平面 11.BD ACC A ∴⊥平面在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA=BN ，所以四边形DANB 为平行四边形. 故NA ∥BD ，NA ∴⊥平面ACC 1A 1. 1NA AFC ⊂Q 又平面 1AFC ∴⊥平面平面ACC 1A 1. （3）由（2）知BD ⊥ACC 1A 1，又AC 1⊂ ACC 1A 1，∴BD ⊥AC 1，∵BD//NA ，∴AC 1⊥NA. 又由BD ⊥AC 可知NA ⊥AC ，∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角.在Rt △C 1AC 中，11tan 3C C C AC CA ==， 故∠C 1AC=30°. ∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.解法二：设AC ⋂BD=O ，因为M 、O 分别为C 1A 、CA 的中点，所以，MO//C 1C ，又由直四棱柱知C 1C ⊥平面ABCD ，所以，MO ⊥平面ABCD.故可以O 为原点，OB 、OC 、OM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴如图建立空间直角坐标系，若设|OB|=1，则B （1，0，0），B 1（1，0，2），A （0，，0），C （0，3，0），C 1（0，3，2）.（1）由F 、M 分别为B 1B 、C 1A 的中点可知：F （1，0，1），M （0，0，1）， 所以MF =u u u u r （1，0，0）=.OB u u u r又MF u u u u r 与OB u u ur 不共线，所以，MF ∥OB. MF ⊄Q 平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ， MF ∴∥平面ABCD.（2）OB =u u u r（1，0，0）为平面ACC 1A 1的法向量. 设(,,)n x y z r为平面AFC 1的一个法向量， 则,.n AF n MF ⊥⊥r u u u r r u u u u r 由(1,3,1),(1,0,0)AF MF ==u u u r u u u u r，得：30,0.x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩ 令1,y =得3z =-，此时，(0,1,3)n -r .由于(0,1,3)(1,0,0)0n OB ⋅=-⋅=r u u u r，所以，平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.（3）(0,0,1)OM =u u u u r为平面ABCD 的法向量，设平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为θ，则33|cos ||cos ,||||.|,|||OM n OM n OM n θ⋅-=<>==u u u u r ru u u u r r u u u uu r r 所以θ=30°或150°. 即平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.18. 九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC ）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加。