数学北师大版九年级下册圆周角

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北师大版九年级数学下册.2：圆周角和圆心角的关系2课件

解∵AB为直径 ∴∠BCA=90° 在Rt△ABC中， ∠ABC=30°，AB=10cm
∴
B O
C
A
议一议
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
D
A
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径
∴∠ABC=90°,∠ABC=90°
O
∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°
视察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什
么？
A
解：弦BC是直径。
连接OC、OB
∵∠BAC=90° ∴∠BOC=2∠BAC=180°
B
O
C
（圆周角的度数等于它所对弧上的
圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。在书上画记，背读
3.4 圆周角和圆心角的关系第二课时
课前复习
1.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 2.圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.圆周角定理推论: 同弧 (等弧)所对的圆周角相等.
4.在同圆或等圆中,
Dபைடு நூலகம்
B E
●O
相等的圆周角所对的弧相等. 5.在同圆或等圆中,
4.如图，⊙O1 与⊙O2 都经过 A，B 两点，且点 O2 在⊙O1 ︵
上，点 C 是 AO2 B 上的一点（点 C 不与 A，B 重合），AC 的延长线交⊙O2 于点 P，连接 AB，BC，BP。（1）根据题意将图形补充完整；
︵（2）当点 C 在 AO2 B 上运动时，图中大小不变的角有哪

北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1

北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第3章的内容。

本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现并证明圆周角定理。

教材通过生活中的实例引入圆周角和圆心角的概念，让学生在实际情境中感受数学与生活的联系。

接着，通过观察和操作活动，引导学生发现圆周角和圆心角之间的数量关系，进而证明圆周角定理。

教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，为后续学习圆的性质和应用打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的变换有一定的了解。

然而，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生积极参与观察、操作和思考。

此外，学生可能对圆的相关概念和性质有一定的了解，但需要进一步引导他们运用这些知识来解决实际问题。

三. 教学目标1.理解圆周角和圆心角的概念，掌握圆周角定理及其推论。

2.能够运用圆周角定理解决实际问题，提高运用数学知识解决问题的能力。

3.培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.圆周角和圆心角的概念及它们之间的关系。

2.圆周角定理的证明及其推论。

3.运用圆周角定理解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际情境，引导学生感受圆周角和圆心角的关系，激发学生的学习兴趣。

2.观察操作法：让学生通过观察、操作和思考，发现圆周角和圆心角之间的数量关系，培养学生的观察能力和操作能力。

3.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生逐步深入探讨圆周角和圆心角的关系，培养学生的问题解决能力。

4.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，分享彼此的想法和成果，提高学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示圆周角和圆心角的图片、实例和动画效果，帮助学生直观地理解概念和关系。

北师大版数学九年级下册3.4.1圆周角和圆心角的关系优秀教学案例

北师大版数学九年级下册3.4.1圆周角和圆心角的关系优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学九年级下册3.4.1“圆周角和圆心角的关系”是本章节的重要内容，涉及到圆周角定理及其推论。在教学过程中，我以一个生活中的实例为背景，引导学生发现圆周角和圆心角之间的关系，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
在案例中，我设计了一个关于自行车轮子的问题：一个自行车轮子上有36个齿，当车轮转过一周时，齿所形成的圆周角是多少度？通过这个问题，学生可以直观地感受到圆周角的概念。接着，我引导学生思考：如果我们知道车轮转过的圆心角，能否计算出对应的圆周角？这时，学生已初步掌握了圆周角定理，能够运用定理解决问题。
2.运用分组讨论、展示等形式，促进学生之间的交流与合作，提高学生的团队协作能力。
3.设计不同难度的练习题，让学生在课后进行巩固，培养学生的自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生探究数学问题的热情。
2.通过圆周角定理的学习，使学生感受到数学在生活中的重要性，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识。
（二）问题导向
在教学中，我设计了一系列问题来引导学生思考和探究。例如，当学生了解了圆周角的概念后，我提出问题：如果我们知道车轮转过的圆心角，能否计算出对应的圆周角？这个问题引导学生思考圆周角和圆心角之间的关系，激发他们的探究欲望。通过问题导向，我引导学生积极主动地参与学习，培养他们的思考能力和解决问题的能力。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我设计了一系列有关圆周角和圆心角的问题，让学生分组讨论和解决问题。例如，我让学生设计一个关于圆周角和圆心角的实例，并展示给其他同学。通过小组讨论，学生能够互相交流、合作，共同解决问题，提高他们的团队协作能力和沟通能力。

圆周角和圆心角的关系课件第1课时北师大版九年级下册数学

A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
合作探究
如图，已知圆心角∠AOB＝100°，求圆周角∠ACB、
∠ADB的度数.
合作探究
解:设优弧ADB所对的圆心角为∠1，∵∠AOB＝100°，

∴∠D＝ ∠AOB＝50°，∠1＝360°－∠AOB＝260°，

∴∠ACB＝ ∠1＝130°，

因此∠ACB、∠ADB的度数分别为130°、50°.
预习导学
1.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、
O是小正方形顶点，☉O的半径为1，P是☉O上的点，且位于右
上方的小正方形内，则∠APB等于( B )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
预习导学
2.如图，AB、CD是☉O的两条弦，连接AD、BC.若∠BAD
＝70°，则∠BCD的度数为( D )
合作探究
如图，点A、B、C都在圆O上，OC⊥OB，点A在劣弧
BC上，且OA＝AB，求∠ABC的度数.
合作探究
解:∵OA＝OB，OA＝AB，
∴OA＝OB＝AB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°.
∵OC⊥OB，
∴∠COB＝90°，
∴∠COA＝90°－60°＝30°，
∴∠ABC＝15°.
合作探究
圆内的部分是圆的两条弦
.
；(2)
两边在
预习导学
圆周角定理及其推论
1.同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.在
等.
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相
预习导学
·导学建议·
在知识点二圆周角定理的得出和证明中，先把学生所画出

北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1

北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册 3.4《圆周角和圆心角的关系》是本节课的主要内容。

通过本节课的学习，让学生理解圆周角和圆心角的关系，掌握圆周角定理，并能运用圆周角定理解决实际问题。

教材通过引入圆周角和圆心角的概念，引导学生探究它们之间的关系，从而发现圆周角定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了圆的基本概念，如圆的半径、直径等，对圆有一定的认识。

但学生对圆周角和圆心角的概念可能比较陌生，需要通过实例和探究活动来理解和掌握。

此外，学生需要具备一定的观察和推理能力，通过观察图形和逻辑推理来发现圆周角定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握圆周角定理，能运用圆周角定理解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的观察能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，培养学生的探究精神和合作意识。

四. 教学重难点1.教学重点：圆周角定理的掌握和运用。

2.教学难点：圆周角定理的证明和理解。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生观察、思考和推理，培养学生的问题解决能力。

3.合作学习法：引导学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示圆周角和圆心角的图形和实例。

2.教学素材：准备一些相关的实例和习题，用于引导学生进行探究和练习。

3.教学工具：准备圆规、直尺等绘图工具，方便学生进行绘图和操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如自行车轮子的转动、钟表的指针运动等，引导学生观察和思考这些现象与圆周角和圆心角的关系。

2.呈现（10分钟）呈现圆周角和圆心角的定义，引导学生理解它们的概念。

通过PPT展示一些实例，让学生观察和思考圆周角和圆心角之间的关系。

北师大版九年级下册圆周角和圆心角的关系(第2课时)课件()

D A
圆内接四边形的性质2：
圆内接四边形的外角等
O
于相邻内角的对角.
B
C
E
∠A=∠DCE
创设情境，引入新课
归纳小结：（1）圆周角定理推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. （2）圆内接四边形的性质1：圆内接四边形的对角互补. （3）圆内接四边形的性质2：圆内接四边形的外角等于相邻内角的对角.
O
都在⊙O上，像这样的四边形
B 图（4）
叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
∠BAD+∠BCD=180°
创设情境，引入新课
由以上的讨论我们可以得到：圆内接四边形的性质1：圆内接四边形的对角互补.
创设情境，引入新课
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角， ∠A与∠DCE的大小有什么关系？
第3章圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
第2课时圆周角定理的推论
创设情境，引入新课
（1）在图（1）中，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角还是钝角？你是如何判断的？
A
B
C
O
图（1）
直角
创设情境，引入新课
（2）在图（2）中，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心O吗？
A
B
C
O
图（2）
经过
创设情境，引入新课
（3）如图（3），A，B，C，D是⊙O上的四点，
AC为⊙O的直径，问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
为什么？
D A
O
B
C
图（3）
∠BAD+∠BCD=180°
创设情境，引入新课
（4）如图（4），C点的位置产生了变化，∠BAD

北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿2

北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿2一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第三章第四节的内容。

本节课的主要内容是探究圆周角和圆心角的关系，即圆周角定理。

这个定理是圆的基础知识之一，对于学生理解和掌握圆的相关概念和性质有着重要的意义。

教材中，首先通过观察和思考，引导学生发现圆周角和圆心角之间的关系。

然后通过证明，使学生理解圆周角定理。

接着，通过一些练习题，让学生应用圆周角定理，解决一些与圆有关的问题。

二. 学情分析九年级的学生，已经学习了平面几何的基础知识，对一些几何图形的性质和概念有一定的了解。

但是，对于圆的相关知识，可能还不是很熟悉。

因此，在教学过程中，需要引导学生复习一些与圆有关的基础知识，如圆的定义，圆心角的定义等。

同时，九年级的学生，抽象思维能力较强，善于通过逻辑推理来解决问题。

因此，在教学过程中，可以引导学生通过观察，思考，证明等方法，来理解和掌握圆周角定理。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解圆周角定理，并能运用圆周角定理解决一些与圆有关的问题。

2.过程与方法目标：通过观察，思考，证明等方法，学生能够发现和理解圆周角和圆心角之间的关系。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学的美妙。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆周角定理的发现和证明。

2.教学难点：圆周角定理的理解和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用观察，思考，证明的教学方法，引导学生发现和理解圆周角定理。

2.教学手段：利用多媒体课件，帮助学生直观地理解圆周角和圆心角之间的关系。

六. 说教学过程1.导入：通过一些与圆有关的问题，引导学生复习圆的相关知识，为新课的学习做好铺垫。

2.探究：引导学生观察和思考，发现圆周角和圆心角之间的关系。

然后通过证明，使学生理解圆周角定理。

3.应用：通过一些练习题，让学生应用圆周角定理，解决一些与圆有关的问题。

圆周角与圆心角的关系说课课件2023-2024学年北师大版九年级数学下册

回顾旧知，导入新课
定理证明，得到推论
教材分析总结归纳，认识定义
课堂总结，例题巩固
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？
答：这些圆周角都等于圆心角
A
B
∠AOB 的一半．
O
猜想：圆周角的度数等于对应弧
的圆心角度数的一半。
D
E
C
教法与学法分析
学情分析
回顾旧知，导入新课
定理证明，得到推论
教材分析总结归纳，认识定义
和探索能力，并能在探索过程中形成自己的
观点，虽然观点不一定完全正确，但能在与
同学的交流及老师的引导下最终形成正确的
认识。
知识上：学生已经了解圆中的基本概念，会
判断圆心角，基本掌握圆心角的相关性质。
教材分析
学情分析
教法与学法分析
教学过程分析
教法分析
本节课的教学内容，推理论证的难度较大，本节又是本
章的一个重点，根据学生的年龄阶段正处在感性认识逐步成
课堂总结，例题巩固
议一议在下图中，改变∠AOB 的度数，你得到的结论还成立吗？
怎样证明你的猜想？
A
B
O
已知：∠C是AB 所对的圆周角，∠AOB是AB 所对的圆心角．
AB
1
2
求证：∠C=
∠ AOB．
定理证明，得到推论
教材分析总结归纳，认识定义
课堂总结，例题巩固
A
做一做如图，∠AOB=80°．
B
O
（1）请你画出几个 AB 所对的圆周角，这几个
圆周角有什么关系？与周围同学进行交流．
答：通过度量可以发现：∠ADB，
A
∠ACB，∠AEB 这几个圆周角相等且等于

北师大版九年级数学下册：第三章3.4.2《圆周角和圆心角的关系》精品说课稿

北师大版九年级数学下册：第三章 3.4.2《圆周角和圆心角的关系》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆周角和圆心角的关系》的内容，是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的度量等知识的基础上进行教授的。

这一节内容主要介绍了圆周角和圆心角的关系，即圆周角等于其所对圆心角的一半。

这是圆的重要性质之一，对于学生理解圆的性质和应用具有重要的意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的基本概念和度量知识有一定的了解。

但是，对于圆周角和圆心角的关系的理解，可能还需要进一步的引导和解释。

因此，在教学过程中，我将会注重学生的参与和实践，通过举例和练习，让学生深入理解圆周角和圆心角的关系。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解圆周角和圆心角的关系，能够运用这一性质解决相关问题。

2.过程与方法：学生通过观察、实践和思考，培养观察能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，提高自信心，培养合作和探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解圆周角和圆心角的关系，能够运用这一性质解决相关问题。

2.教学难点：学生能够理解和证明圆周角等于其所对圆心角的一半。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动法和案例教学法。

通过提问和举例，引导学生思考和探索圆周角和圆心角的关系。

同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT 和动画，来辅助解释和展示圆周角和圆心角的关系。

六. 说教学过程1.导入：通过提问和回顾，引导学生回顾已知的圆的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.讲解：详细讲解圆周角和圆心角的关系，通过图示和实例，让学生直观地理解这一性质。

3.练习：给出一些练习题，让学生运用圆周角和圆心角的关系解决问题，巩固所学知识。

4.拓展：给出一些拓展题，让学生进一步思考和探索圆周角和圆心角的关系的应用。

5.小结：对本节课的内容进行总结，强调圆周角和圆心角的关系的重要性。

北师大版九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》圆PPT课件教学课件(第2课时)

北京师范大学出版社九年级 | 下册
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课时小结：
1．本节课我们探索了圆的对称性． 2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理． 3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、弦心距等计算问题．
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课后作业：
(一)课本习题3．2，1、2．试一试１. (二) 预习课本：P94～97内容
新课讲解
知识点2 直角所对的弦是直径
在如图中，圆周角∠A＝90°，弦BC是直径吗？为什么？
新课讲解
90°的圆周角所对的弦是直径.
新课讲解
典例分析
例如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B 两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( B ) A．80° B．90° C．100° D．无法确定
拓展与延伸
已知在半径为4的⊙O中，弦AB＝4 3 ，点P在圆上，则 ∠APB＝_6_0_°__或__1_2_0_°_．
第3单元 · 圆
圆的对称性
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问题：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?
我们是用什么方法研究轴对称图形的?
北京师范大学出版社九年级 | 下册
交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
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总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推理格式：如图所示 ∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径 ∴AM=BM，AD BD, AC BC .

17-第三章4圆周角和圆心角的关系

知识点三圆内接四边形
栏目索引
8.(2019黑龙江哈尔滨道外一模)如图3-4-6,AB、BC为☉O的两条弦,∠AOC -∠ABC=60°,则∠ABC的度数为 ( )
A.120°
B.100°
C.160°
图3-4-6 D.150°
4 圆周角和圆心的关系
答案
B
如图,在优弧
︵
AC
上取点D,连接DA、DC,
温馨提示任何一个四边形都最多只有一个外接圆,但是一个圆的内接四边形有无数个
4 圆周角和圆心的关系
2.圆内接四边形的性质
内容
性质
圆内接四边形的对角互补
详解
∵ ︵与︵所对的圆心角之
ABC ADC
和为360°,∴∠ABC+∠D= 1×36
2
0°=180°.同理,∠BCD+∠BAD=1
80°
拓展
∵∠ABC+∠D=180°,∠CBE+∠ ABC=180°,∴∠CBE=∠D. 结论:圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角
2
栏目索引
③如图3-4-1(3)所示,圆心O在∠BAC的外部.连接AO并延长交☉O于点D,由
①得∠BAD= 1 ∠BOD,∠CAD= 1 ∠COD,∴∠CAD-∠BAD= 1(∠COD-∠
2
2
2
BOD),即∠BAC= 1 ∠BOC.
2
提示:不能把“一条弧所对的”去掉,而简单说成“圆周角等于圆心角的一
解析因为四边形ADBC内接于☉O,所以∠2+∠D=180°,同理可得∠1+∠ E=180°,所以∠1+∠2+∠D+∠E=360°,又∠1+∠2=180°-∠BAC=130°,所以 ∠D+∠E=230°.

北师大版九年级下册3.4圆周角与圆心角关系(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角与圆心角的概念，以及圆周角定理及其推论。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角与圆心角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过观察和测量，让学生亲身体验圆周角与圆心角的关系。
6.课后作业的布置：为了让学生更好地巩固所学知识，我应该在课后布置一些具有代表性的练习题，让学生在实践中进一步理解和运用圆周角与圆心角的知识。
解决方法：通过画图和实际操作，让学生观察圆内接四边形的性质，引导他们发现对角互补的规律。
（4）解决实际问题：学生在解决与圆周角和圆心角相关的问题时，往往难以将理论知识与实际问题相结合。
解决方法：提供丰富的实际问题案例，让学生学会分析问题，将理论知识应用于实际情境。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
4.学生讨论的指导：在学生小组讨论环节，我应该关注每个小组的讨论进度，及时给予指导和启发。此外，要鼓励学生积极发表自己的观点，培养他们的表达能力和团队合作意识。
5.课堂总结的针对性：在课堂总结时，我应该针对学生在本次课程中的表现，有针对性地指出他们的优点和不足，以便他们在课后能够有针对性地进行复习和巩固。
具体内容包括：
（1）圆周角定义：圆周角是由圆上两条弧所对的角，其顶点在圆周上。
（2）圆心角定义：圆心角是由圆上两条弧所对的角，其顶点在圆心上。
（3）圆周角与圆心角关系：圆周角是圆心角的一半。
（4）圆周角定理：圆周角相等。
（5）圆周角定理推论：圆内接四边形的对角互补。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念：通过观察、操作、推理等过程，使学生能够理解和运用圆周角与圆心角的概念，提高空间想象力和直观感知能力。

北师大版九年级数学下册《圆——圆周角和圆心角的关系》教学PPT课件(6篇)

D
O2
O1
E
B
F
新知探究
【跟踪训练】
1.圆内接四边形ABCD中，∠A, ∠B, ∠C的度数之比是
135°
1：2：3，则这个四边形最大角的度数是_________.
D
A
2.四边形ABCD内接于圆，AD∥BC，AB+CD=AD+BC ,
25
若AD=4，BC=6，则四边形ABCD的面积为_______.
A
A
O
O
BB
C
C
课堂小测
3. 如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ D ）
A
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
O
B
C
课堂小测
4 . 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E.若
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ A）
A.30°
B.40°
C.50°
B
D.60°
D
C
OC垂直平分AD
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
A
平行
(2)OC与BD的位置关系是___________;
4
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
O1
O
B
新知探究
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙O于点E，
3 . 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆
心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
A
C
过点B作直径BD.由1可得:

3.4 圆周角和圆心角的关系(1)(数学北师大版九年级下册)

证明：∵点 E 是B︵C的中点，即︵ BE＝︵ CE， ∴∠BAE＝∠CBE. 又∵∠E＝∠E(公共角)，∴△BDE∽△ABE， ∴BE∶AE＝DE∶BE，∴BE2＝AE·DE.
[归纳总结] 对“同弧或等弧所对的圆周角相等”的理解： (1)“同弧”指“在同一个圆中”；(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”；(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
∠ABC 与圆心角∠AOC，它们的大小有什么关系？
图 3－4－1
在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，首先考虑了一种特
殊情况(圆心在圆周角的一边上)，如图 3－4－1①所示．
∵∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC＝∠ABO＋__∠__O_A_B__．又∵OA＝OB，
∴∠OAB＝__∠__A_B_O____， ∴∠AOC＝_2_∠__A_B_C__，即∠ABC＝21∠AOC. 如果∠ABC 的两边都不经过圆心，如图 3－4－1②、③，那么结论会怎样？请你说明理由．
总结反思
知识点一圆周角圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．由定义可知圆周角具备两个特征：一是顶点必须在圆上，二是角的两边都和圆相交．
知识点二圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的___一__半___．
知识点三圆周角定理推论1 同弧或等弧所对的圆周角__相__等____．
图 3－4－2
[解析] 根据△AOB 是等腰三角形，由∠ABO＝55°，可得∠AOB＝70°，再利用圆周角定理即可求解．
解：∵OA＝OB，∴△AOB 是等腰三角形．又∵∠ABO＝55°， ∴∠AOB＝180°－∠ABO－∠OAB＝180°－ 55°－55°＝70°， ∴∠BCA＝21∠AOB＝12×70°＝35°.

3.4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论+2023-2024学年+北师大数学九年级下册

4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论1教学目标：1.了解圆周角的概念.2.理解圆周角定理的证明.3.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.教学重难点：重点:圆周角概念及圆周角定理.难点:认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性.教学过程：导入如图所示,在射门游戏中球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC,这三个角的大小有什么关系?解:相等新课讲授知识点1圆周角的概念下列四个图中,∠x是圆周角的是(C)[总结]定义:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,这样的角叫圆周角.知识点2圆周角定理⏜所对的圆周角,这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有如图所示,∠AOB=80°,请你画出几个AB什么关系?你能说明理由吗?解:AB⏜所对的圆周角有无数个,它们与∠AOB的位置关系分为三种,如图①,②,③所示.(1)如图①所示,因为OB=OC,所以∠C=∠OBC.所以∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C.∠AOB.即∠C= 12(2)如图②所示,连接CO并延长,交圆O于点D,由(1)得,∠AOD=2∠ACD,∠BOD=2∠BCD,所以∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACD+2∠BCD=2(∠ACD+∠BCD)=2∠ACB.∠AOB.即∠ACB= 12(3)如图③所示,延长CO交圆于点D.由(1)得,∠AOD=2∠ACD,∠BOD=2∠BCD.所以∠AOB=∠BOD-∠AOD=2∠BCD-2∠ACD=2(∠BCD-∠ACD)=2∠ACB,∠AOB.即∠ACB= 12[总结]圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.知识点3圆周角定理的推论如图所示,四边形ABCD的四个顶点在☉O上,找出图中分别与∠1,∠2,∠3,∠4相等的角.解:∠CBD=∠1,∠ACB=∠2,∠BAC=∠3,∠ABD=∠4.[总结]圆周角定理的推论:同弧或等弧所对的圆周角相等.范例应用例1如图所示,☉O的直径AB垂直于弦CD,连接OD,AC,若∠CAO=56°.⏜=BD⏜;(1)求证:BC(2)求∠AOD的度数.(1)证明:因为AB是直径,AB⊥CD,所以BC⏜=BD⏜.(2)解:设AB交CD于H(图略).因为AB⊥CD,所以∠AHC=90°.因为∠CAO=56°,所以∠ACD=90°-56°=34°.所以∠AOD=2∠ACD=68°.[方法归纳]计算圆周角(圆心角)的度数时,同弧(或等弧)是关键:(1)先找到圆周角(圆心角)所对的弧;(2)再找这段弧对的圆心角(圆周角);(3)建立两个角之间的关系.例2 如图所示,在☉O中,弦AB,CD交于点E,AD=CB.求证:AE=CE.解:由圆周角定理可得,∠ADE=∠CBE,在△ADE和△CBE中,{∠ADE=∠CBE,∠AED=∠CEB, AD=CB,所以△ADE≌△CBE(AAS).所以AE=CE.课堂训练1.(2021阜新)如图所示,A,B,C是☉O上的三点,若∠O=70°,则∠C的度数是(B)A.40°B.35°C.30°D.25°第1题图第2题图2.如图所示,☉O的两条弦AB,CD所在的直线交于点P,AC,BD交于点E,∠AED=105°,∠P=55°,则∠ACD等于(C)A.60°B.70°C.80°D.90°3.如图所示,△ABO是等边三角形,则弦AB所对圆周角度数为30°或150°.第3题图第4题图⏜中点,点D是优弧AB⏜上的一点,∠ADC=30°, 4.如图所示,AB是☉O的弦,且AB=6,点C是AB则圆心O到弦AB的距离等于√3.5.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E.(1)若∠CAD=23°,求∠BAC的度数;(2)若∠ACD=45°,AC=13,求CD的长.解:(1)因为AC⊥BD,所以∠BEC=90°.因为∠CBE=∠CAD=23°,所以∠ACB=90°-23°=67°. 因为AB=AC ,所以∠ABC=∠ACB=67°.所以∠BAC=180°-67°-67°=46°. (2)因为AC ⊥BD , 所以∠AEB=∠CED=90°. 因为∠ABD=∠ACD=45°,所以△ABE ,△CED 都是等腰直角三角形. 因为AC=AB=13, 所以AE=√22AB=13√22. 所以EC=AC-AE=13-13√22. 所以CD=√2EC=13√2-13.小结1.圆周角的概念2.圆周角定理及其推论板书4 圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论11.圆周角的概念2.圆周角定理3.圆周角定理的推论反思学生解决这一问题是有一定难度的,特别是定理证明的分类讨论,在教学过程中应该给学生留出足够的时间和空间,让学生经历观察、想象、推理等过程,多角度直观的体验数学模型.。

北师大版九年级数学下册圆周角和圆心角的关系ppt

圆周角和圆心角的关系
九年级下册
学习目标
1
理解圆周角的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ率。
2 掌握圆周角定理几个推论的内容。
3 会用圆周角定理及推理推论解决问题
自主学习
在射门游戏中(如图)，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.
当他站在B，D，E的位置射球时，对球门AC的张角的大小有是没关系？为什么呢？
A
C
如图，∠ABC，∠ADC，∠AEC是弧AB∠所对的圆周角， ∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定
O E 理证明你的结论吗？
B D
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角有什么关系？说出理由。
应用新知
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.
①角的顶点在圆上， ② 两边是圆的两条弦
观察上图中的∠ABC， ∠ADC， ∠AEC，可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点. 像这样的角，叫做圆周角.
协作学习
∠ AOC=80 º 请你画AB几个圆周角，用量角器量一量，这几个圆周角的大小关系，与同伴交流。这些圆周角与圆心角∠ AOC的大小关系？你怎样发现的？与同伴交流。
我的理由是，连接CO并延长交⊙O于D
（3）我发现圆心在∠C的外部；如图（2） D
我的理由也是，连接CO并延长交⊙O于D 请同学们帮我说出理由。
结论归纳
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即
∠ABC
1 =2
∠AOC.
定理证明

第3章圆题型解读4 五大性质定理之圆周角定理-北师大版九年级数学下册

题型全解4 五大性质定理之圆周角定理【知识梳理】1.三个知识点（1）圆周角与圆周角关系：等弧或同弧所对的各个圆周角都相等；即：①∵BĈ=BC ̂，∴∠A=∠D ；②∵AD ̂=AD ̂，∴∠B=∠C ；注意：不是同弦或等弦，因为一条弦所对的圆周角有两个，相等或互补即：弦BC 所对的圆周角有：∠E 、∠A 、∠D ，其中∠A=∠D ，∠A+∠E=180°（∠D+∠E=180°）（2）圆周角定理与垂径定理综合运用（3）圆周角与直径关系：直径所对的圆周角是90°（或90°的圆周角所对的弦是直径）即：BC 是直径，则∠A=90°；反之也成立：∠A=90°，则BC 是直径；注意：①熟悉两种添辅助线方法：①题中出现直径，常作直径所对的圆周角――直角；②若没有直径的，作直径、延长半径成直径；②拓展：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形D C BA OC B AO 两切线,全等两圆心;连半径证垂直；作垂直证半径321的关系：∠1+∠2=180°；∠2=∠3关系（4）圆内接四边形对角（圆周角）关系：①圆内接四边形的对角的度数和等于180°;②任何一个外角都等于它的内对角; 即：∠C+∠BAD=180°或∠C=∠DAE ；拓展1：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。

四点共圆有三个性质:(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;如∠1=∠2;(2)圆内接四边形的对角互补; 如∠DAB+∠DCB=180°;(3)圆内接四边形的外角等于内对角,如∠FBC=∠ADC;(4)△DEC ∽△AEB 、△DEA ∽△CEB;(5) 以上性质逆用,即可判定四点共圆;(6)托勒密定理若ABCD 四点共圆(ABCD 按顺序都在同一个圆上)，那么AB ×DC+BC ×AD=AC ×BD即圆内接四边形中,两组对边的乘积和,会等于两条对角线的乘积.(7)相交弦定理： AE ×CE=BE ×DE;【典型例题】1．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C 的度数为______ED B A O F21ED CB A解析：∠C=∠B=24°̂=CD̂，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB= ．2．如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB解析：∵弧CB=弧CD，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．3．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A. ∠ACD=∠DABB. AD=DEC. AD2=BD•CDD. AD•AB=AC•BD解析：如图，∠ADC=∠ADB，A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；C、∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；D、∵AD•AB=AC•BD，∴AD：BD=AC：AB，但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误．故选D．24．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．解析：连接OA、OB，∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°，∴弦AB所对的圆周角是30°或150°．5. 已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是____解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=5√3，∴tan∠1=AD/OD=√3，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是________解析：∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°7．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是_____解析：∵A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，OA ⊥BC ，∴弧AC=弧AB ，∴∠ADC=12∠AOB （等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；又∠AOB=70°，∴∠ADC=35°．8．如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上，若OA ⊥BC ，∠CDA=30°，则弦BC=____【分析】根据垂径定理得到CH=BH ，=，根据圆周角定理求出∠AOB ，根据正弦的定义求出BH ，计算即可．解：∵OA ⊥BC ，∴CH=BH ，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB •sin ∠AOB=√3，∴BC=2BH=2√3，9．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB 的长为___5√3【分析】连接OC 、OA ，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB 即可．解：连接OC 、OA ，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB 为弦，点C 为的中点，∴OC ⊥AB ，在Rt △OAE 中，AE=，∴AB=5√3，10.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C=30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB=AB ，则PA 的长为_______解析：连接OA 、OB 、OP ，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB ，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB ，∴OB ⊥AP ，AD=PD ，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt △PBD 中，PD=cos30°•PB=√32×5=5√32，∴AP=2PD=5√3，11．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是________解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°﹣32°=58°12．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为______解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．14．如图，⊙A 过点O （0，0），C （√3，0），D （0，1），点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是__________解析：连接DC ，∵C （√3，0），D （0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=√3，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，15．如图，⊙O 的半径为1，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点D 、E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是_______解析：连接BD ，∵∠E=90°，可知BD 是直径，作OM ⊥BC 于点M ，易知∠BOM=∠A=60°，∵OB=1，∴OM=12，BM=√32，∴BC=√3，CD=2OM=1，∴S 矩形BCDE =√316.如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC=24，AH=18，⊙O 的半径OC=13，则AB=______解析：求线段长，要么针勾股定理，要么相似，由图形及题目条件判断，首先考虑相似，由于求AB ，且知AH 的长，我们选△ABH 跟某个三角形相似，由于△ABH 是直角三角形，所以需构造一个直角三角形，且含AC 为边的直角三角形与△ABH 相似，所以连OA 并延长AO 交⊙O 于点M ，连MC ，由于AM 是直径，∴∠ACM=90°，∵AĈ=AC ̂，∴∠B=∠AMC ，∴△ABH ∽△AMC ，∴AB AM =AH AC ，即AB 26=1824，∴AB=392 M A B C D E OH O A B CMA B C D E O O ED C B A H H O A B C O M C B A17．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．解析：（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．∴S半圆=•π•42=8π．18．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=72°，则∠DCE= ．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠DCE=∠A=72°19．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD=______解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，20．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是_______解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，21．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为________解析：∵∠BOC=40°，∴∠OBC=70°，∴∠D=180°-70°=110°22. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP//AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC=PA ·BC解析：连接BD ，∵DP//AC ，∴∠PDA=∠DAC ，∵∠DAC=∠DBC ，∴∠PDA=∠DBC ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DAP=∠DCB ，∴△PAD ∽△DCB ，∴PA ：DC=AD ：BC ，即AD ·DC=PA ·BCD B。