2.线性分组码

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线性分组码编码器设计

线性分组码编码器设计

线性分组码编码器设计1.引言2.线性分组码的基本原理线性分组码是由生成矩阵和校验矩阵组成的。

生成矩阵用于将数据进行编码,而校验矩阵用于检测和纠正错误。

生成矩阵是一个m×n的矩阵,其中n是数据位的数量,m是冗余位的数量。

生成矩阵的每一行表示一个码字,通过将生成矩阵与数据矩阵相乘,可以得到编码后的数据。

校验矩阵是一个n×m的矩阵,用于对编码后的数据进行检测和纠正。

3.线性分组码编码器的设计步骤3.1确定数据位数和冗余位数:根据实际应用需求确定数据位的数量和冗余位的数量。

3.2生成生成矩阵和校验矩阵:根据数据位数和冗余位数生成相应的生成矩阵和校验矩阵。

3.3将生成矩阵和校验矩阵存储在编码器中。

3.4输入数据:将待编码的数据输入到编码器中。

3.5编码:将输入的数据与生成矩阵进行矩阵乘法运算,得到编码后的数据。

3.6输出数据:将编码后的数据输出。

4.线性分组码编码器的性能分析线性分组码编码器的性能主要与生成矩阵和校验矩阵有关。

生成矩阵的选择决定了编码器的纠错能力,校验矩阵的选择决定了编码器的错误检测和纠正能力。

通常情况下,生成矩阵和校验矩阵都需要满足一些特定的性质,如生成矩阵需要满秩,校验矩阵需要是生成矩阵的逆。

5.线性分组码编码器的应用总结:线性分组码编码器是一种常见的错误检测和纠正编码方法。

它通过生成矩阵和校验矩阵来对数据进行编码,并能够检测和纠正多位错误。

线性分组码编码器的设计步骤包括确定数据位数和冗余位数、生成生成矩阵和校验矩阵、将生成矩阵和校验矩阵存储在编码器中、输入数据、编码和输出数据。

线性分组码编码器广泛应用于通信和存储领域,提高了通信和存储的可靠性。

线性分组码的基本性质

线性分组码的基本性质

当仅出现一位误码时,有如下关系
S0 e0 e1 e3 e4 S1 e0 e1 e2 e5 S2 e0 e2 e3 e6
若没有误码: e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 0 应使得
S0 S1 S2 0
表示为矩阵形式
c0
c1 ... cn 1 a0 a0
a1
m0, 0 m1,0 ... ak 1 ... m k 1, 0
m0,1 m1,1 ... mk 1,1
m0,n 1 m1,n 1 ... ... ... mk 1,n 1 ... ...
d min 2t 1
wi
t dmin 1 wj wj
t
禁禁禁禁 禁禁禁禁
性质3 若要线性分组码能够检出任一码字中的 e 位误码,同 时能够纠正其中 t ( e t )位的误码, 则应满足
wi t dmin e 1 wj wj
禁禁禁禁 禁禁禁禁
t
dmin e t 1
线性分组码的生成矩阵与监督矩阵 差错控制编码一般可表示为
则接收码字 R 中一定出现了错误;

如果错误图样是一个许用码字,在错误不能被检测出; 如何错误图样不是一个许用图样,则可检测出该错误。
示例:构建一个可纠正一位误码、具有系统码结构的(7,4) 线性分组码。
解:该码的码字长度n=7,信息位k=4,监督位有n-k=3位
伴随式共有 2nk 23 8 刚好可对于无误码,不同位置的7种1比特误码共8种状态 设建立伴随式与误码的对应关系
主要性质 (1)生成矩阵G中的每一行都是一个许用码字;
因为
c0 a0

分组编码原理

分组编码原理

分组编码(group coding)是一种编码技术,它将数据分成多个分组(group)进行编码,以提高数据传输效率和减少数据冗余。

分组编码通常用于数据传输和存储系统中,例如在网络传输、光盘存储和硬盘存储等领域中。

分组编码的原理是将数据分成多个分组,每个分组包含相同数量的数据位,然后对数据分组进行编码。

编码后的数据分组可以通过简单的位操作进行合并,以生成完整的数据流。

分组编码的目的是减少数据冗余,提高数据传输效率,同时保持数据的可靠性。

分组编码通常有两种方式:线性分组编码和非线性分组编码。

线性分组编码是一种基于线性代数的编码方式,它将数据分组成多个线性组合,然后对线性组合进行编码。

非线性分组编码则是一种基于非线性变换的编码方式,它将数据分组成多个非线性组合,然后对非线性组合进行编码。

分组编码的应用非常广泛,例如在网络传输中,它可以减少数据包的大小,提高数据传输速度;在光盘存储中,它可以减少光盘的存储容量,提高光盘的存储密度;在硬盘存储中,它可以减少数据的传输和存储时间,提高数据的读写速度。

线性分组码 实验报告

线性分组码 实验报告

线性分组码实验报告《线性分组码实验报告》摘要:本实验旨在研究线性分组码在通信系统中的应用。

通过对线性分组码的理论知识进行学习和探讨,结合实际通信系统的应用场景,设计了一系列实验方案,并进行了实验验证。

实验结果表明,线性分组码在通信系统中具有较高的纠错能力和可靠性,能够有效提高数据传输的质量和稳定性。

引言:线性分组码是一种常用的纠错编码技术,广泛应用于通信系统中。

它通过在数据传输过程中添加冗余信息,以实现对传输数据的纠错和恢复。

在实际通信系统中,线性分组码可以有效提高数据传输的可靠性和稳定性,对于提高通信系统的性能具有重要意义。

因此,对线性分组码的研究和应用具有重要的理论和实际意义。

实验目的:1. 了解线性分组码的基本原理和编码、解码过程;2. 掌握线性分组码在通信系统中的应用方法;3. 验证线性分组码在通信系统中的纠错能力和可靠性。

实验方法:1. 学习线性分组码的基本原理和编码、解码过程;2. 设计实验方案,包括构建通信系统模型、选择适当的编码方式和参数等;3. 进行实验验证,对比不同编码方式和参数下的通信系统性能。

实验结果和分析:通过实验验证,我们发现线性分组码在通信系统中具有较高的纠错能力和可靠性。

在不同的编码方式和参数下,线性分组码都能有效提高通信系统的数据传输质量和稳定性。

这表明线性分组码在通信系统中具有重要的应用价值,能够有效提高通信系统的性能。

结论:线性分组码是一种有效的纠错编码技术,在通信系统中具有重要的应用价值。

通过本实验的研究和验证,我们对线性分组码的原理和应用有了更深入的理解,为通信系统的性能优化提供了重要的参考和支持。

希望本实验结果能够对相关领域的研究和应用提供有益的参考和借鉴。

8.2 线性分组码 线性分组码编码

8.2 线性分组码 线性分组码编码
第八章 差错控制编码
8.2 线性分组码
线性分组码的编码
1
引言
• 信道编码,目的是提高数字通信的可靠性
– 差错率是信噪比的函数
• 信道编码,差错控制编码,抗干扰编码
• 信道编码过程:
– 信息码元序列+监督码元→编码码组
• 信道译码过程:
– 编码码组→检错或纠错→信息码元序列
2
1. 线性分组码的概念
1 0 0
G=0 1 0 0 1 1
1 0 1
0 0 1 1 1 0
1 1 0
1 1 1
7
由式
,得码组矩阵为:
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 C=0
1
1 1 0
0 1
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
110=100
1 1 0
0 1 0
0 1 1
6
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例8-1 已知(6,3)码的生成矩阵为G,试求:(1) 编码码组 和各码组的码重;(2) 最小码距 d及min其差错控制能力。

(1) 由3位码组成的信息码组矩阵为D:
0 0
0 0
0 1
0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1
D=
ck = dk
ck +1 ck+2
= =
h11d1 h12d2 h1k dk h21d1 h22d2 h2k dk
G生成矩阵
cn = hm1d1 hm2d2 hmk dk
5
写成矩阵形式,有 C = D G ,G为生成矩阵(k*n),且:

信息论基础——线性分组码

信息论基础——线性分组码
即校验位是由信息位线性组合得到.
17
线性分组码的基本概念
信息位 00 01 10 11 x2 x0 x1 00000 x3 x0 x x x 01101 0 1 4 码字 10111 11010
信息位k=2 码字数M=4
可见,码字的三个校验元都由其前两位线 性组合得到,即可由的线性方程组求得;
18
线性分组码的基本概念
f1 : GF (2) 2 GF (2)5
信息位 00 01 10 11 码字 00000 01101 10111 11010
1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) 1 1
f( 1 1 ) 1 1 0 1 0
1 ( 0 1 1 0 1 )1 ( 1 0 1 1 1 ) 1 1 0 1 0
30
线性分组码的基本概念

汉明距离: 指(n,k)分组码中两个码字xn 、 yn对应位取 值不同的个数;记为d(xn , yn).
5 5 ( 1 0 1 0 1 ) , y ( 0 1 1 1 1 ) 例: x
d(x ,y ) 3
5 5
31
线性分组码的基本概念

线性分组码的最小距离: 称(n,k)分组码中任两个码字汉明距离的最小 值,为该分组码的最小距离d.
f ( 1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) ) 1 ( 0 1 1 0 1 ) 1 ( 1 0 1 1 1 ) 线性编码
19
线性分组码的基本概念
例题1: 下面是某个(n,k)线性二元码的全部码字
x16=000000 x26=100011 x36=010101 x46=001111 x56=110110 x66=101100 x76=011010 x86=111001 求n、k的值;

线性分组码的编码方法

线性分组码的编码方法

线性分组码的编码方法0 引言随着通信技术的飞速发展,数字信息的存储和交换日益增加,对于数据传输过程中的可靠性要求也越来越高,数字通信要求传输过程中所造成的数码差错足够低。

引起传输差错的根本原因是信道内的噪声及信道特性的不理想。

要进一步提高通信系统的可靠性,就需采用纠错编码技术。

1线性分组码线性分组码是差错控制编码的一种,它的编码规则是在k 个信息位之后附加r=(n-k )个监督码元,每个监督码元都是其中某些信息位的模2和,即(n-k )个附加码元是由信息码元按某种规则设计的线性方程组运算产生,则称为线性分组码(linear block code )。

目前,绝大多数的数字计算机和数字通信系统中广泛采用二进制形式的码元,因此以下对线性分组码的讨论都是在有限域GF (2)上进行的,域中元素为0、1。

以(7,3)线性分组码为例,(7,3)线性分组码的信息组长度k=3,在每个信息组后加上4个监督码元,每个码元取值“0”或“1”。

设该码字为(C 6,C 5,C 4,C 3,C 2,C 1,C 0)。

其中C 6,C 5,C 4是信息位,C 3,C 2,C 1,C 0是监督位,监督位可以按下面的方程计算:463C C C +=4562C C C C ++=(1)561C C C += 450C C C +=以上四式构成了线性方程组,它确定了由信息位得到监督位的规则,称为监督方程或校验方程。

由于所有的码字都按同一规则确定,因此上式又称为一致监督方程或一致校验方程,这种编码方法称为一致监督编码或称一致校验编码。

由式(1)可以得出,每给出一个3位的信息组,就可以编出一个7位的码字,同理可以求出其它7个信息组所对应的码字。

2 生成矩阵和一致校验矩阵(n ,k )线性分组码的编码问题,就是如何从n 维线性空间V n 中,找出满足一定要求的,由2k个矢量组成的k 维线性子空间;或者说在满足一定条件下,如何根据已知的k 个信息元求得n-k 个校验元。

信息论与编码第六章课后习题答案(曹雪虹)(word文档良心出品)

信息论与编码第六章课后习题答案(曹雪虹)(word文档良心出品)

第六章:信道编码(本章复习大纲我重新修改了一下,尤其要关注红色内容)1、基本概念:差错符号、差错比特;差错图样:随机差错、突发差错;纠错码分类:检错和纠错码、分组码和卷积码、线性码与非线性码、纠随机差错码和纠突发差错码;矢量空间、码空间及其对偶空间; 有扰离散信道的编码定理:-()NE R e P e (掌握信道编码定理的内容及减小差错概率的方法);线形分组码的扩展与缩短(掌握奇偶校验码及缩短码的校验矩阵、生成矩阵与原线形分组码的关系)。

2、线性分组码(封闭性):生成矩阵及校验矩阵、系统形式的G 和H 、伴随式与标准阵列译码表、码距与纠错能力、完备码(汉明码)、循环码的生成多项式及校验多项式、系统形式的循环码。

作业:6-1、6-3、6-4、6-5和6-6选一、6-7 6-8和6-9选一 6-1 二元域上4维4重失量空间的元素个数总共有24=16个,它们分别是(0,0,0,0),(0,0,0,1)…(1,1,1,1),它的一个自然基底是(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0)和(1,0,0,0);其中一个二维子空间含有的元素个数为22个,选取其中一个自然基底为(0,0,0,1)和(0,0,1,0),则其二维子空间中所包含的全部矢量为(0,0,0,0,),(0,0,0,1),(0,0,1,0)和(0,0,1,1)(注选择不唯一);上述子空间对应的对偶子空间可以有三种不同的选择:(0,0,0,0) ,(0,1,0,0),(1,0,0,0),(1,1,0,0)或(0,0,0,0) ,(0,1,0,0)或(0,0,0,0) (1,0,0,0)。

(注意本题中所包含的关于矢量空间的一些基本概念)6-3 由题设可以写出该系统(8,4)码的线形方程组如下:736251403320231012100321v u v u v u v u v u u u v u u u v u u u v u u u=⎧⎪=⎪⎪=⎪=⎪⎨=++⎪⎪=++⎪=++⎪⎪=++⎩(注:系统码高四位与信息位保持一致,u i 为信息位) 把上述方程组写成矩阵形式,可以表示为 V =U G ,其中V 为码字构成的矢量,即V =(v 7,v 6,v 5,v 4,v 3,v 2,v 1,v 0),U 为信息位构成的矢量,即U =( u 3,u 2,u 1,u 0),观察方程组可得系统生成矩阵为:[]44*41000110101001011G I |P 0010011100011110⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由系统生成矩阵和校验矩阵的关系可得:4*441101100010110100H P |I 0111001011100001T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦由校验矩阵可以看出,矩阵H 的任意三列都是线性无关的(任意三列之和不为0),但存在四列线性相关的情况(如第1、5、6、8列,这四列之和为0),即校验矩阵H 中最小的线性相关的列数为4,从而得该线性分组码的最小码距为4。

实验二线性分组码的编译码报告

实验二线性分组码的编译码报告

实验二线性分组码的编译码报告1.实验目的线性分组码是一种常用的编码方式,本实验旨在通过对线性分组码的编码与解码操作,加深对线性分组码的理解,并掌握编码与解码的基本方法。

2.实验原理2.1线性分组码线性分组码是一种纠错码,通过在数据中嵌入冗余信息,使得数据在传输或存储过程中能够进行纠错。

线性分组码中的每个码字都由一系列的信息位和校验位组成,校验位的数量和位置由特定的生成矩阵决定。

2.2编码编码是将信息位转换为码字的过程。

对于线性分组码,编码过程可以通过生成矩阵来实现。

生成矩阵是一个以二进制元素组成的矩阵,其列数等于码字的长度,行数等于信息位的长度。

生成矩阵的乘法运算可以将信息位转换为码字。

2.3解码解码是将接收到的码字转换为信息位的过程。

对于线性分组码,解码过程可以通过校验矩阵来实现。

校验矩阵是生成矩阵的转置矩阵,其列数等于校验位的数量,行数等于码字的长度。

解码过程可以通过校验矩阵的乘法运算来恢复信息位。

3.实验内容3.1编码操作首先,选择一个合适的生成矩阵,根据生成矩阵进行编码操作。

具体步骤如下:1)定义生成矩阵,并将其转换为标准型;2)输入信息位;3)将信息位与生成矩阵相乘,得到码字;4)输出码字。

3.2解码操作在编码操作完成后,进行解码操作,根据生成矩阵得到校验矩阵,并根据校验矩阵进行解码操作。

具体步骤如下:1)根据生成矩阵得到校验矩阵;2)输入码字;3)将码字与校验矩阵相乘,得到校验位;4)判断校验位是否全为0,若是则解码成功,将码字中的信息位输出;若不是,则说明有错误发生,进行纠错操作。

4.实验结果与分析通过编码与解码的操作,得到了编码后的码字,并成功地将码字解码为原始信息位。

在解码过程中,如果校验位全为0,则说明接收到的码字没有发生错误,并且成功恢复出了信息位。

5.实验总结通过本次实验,深入理解了线性分组码的编码与解码原理,并掌握了编码与解码的基本方法。

线性分组码是一种常用的纠错码,其应用广泛,并且在通信与存储领域发挥着重要作用。

线性分组码

线性分组码

m5+m4 m6+m5 m6+m5+m4 m6+m4
D0
D1
+
D2
+
D3
+
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
m6 m5m6
设信息组m = (m6m5m4) c6=m6 c5=m5 c4=m4 c3=m6+m4=c6+c4 c2=m6+m5+m4=c6+c5+c4 c1=m6+m5=c6+c5 c0=m5+m4=c5+c4
例: 已知[7,3]码(p52, 例3.1)
101 |1000
H=
111 |0100 110 |0010
011 |0001
c=(c6c5c4c3c2c1c0) 由HcT=0T得 c3=c6+c4 c2=c6+c5+c4 c1=c6+c5 c0=c5+c4
1110 P= -QT= 0 1 1 1
1101
cn-k-1= h1,n-1cn-1+h1,n-2cn-2+…+h1,n-kcn-1 cn-k-2= h2,n-1cn-1+h2,n-2cn-2+…+h2,n-kcn-1
..........
c0= hn-k,n-1cn-1+hn-k,n-2cn-2+…+hn-k,n-kcn-1
h1,n-1 h1,n-2 … h1,n-k 10 … 0 h2,n-1 h2,n-2 … h2,n-k 01… 0
..........
hn-k,n-1hn-k,n-2 … hn-k,n-k00…1

线性分组码,卷积码,交织码原理

线性分组码,卷积码,交织码原理

MATLAB第六次预习报告研五队李振坤S201301104线性分组码1. 基本概念●系统码:编码后,信息码元本身不变,只在信息码元后加入监督码元。

●线性码:监督码元和信息码元成线性关系的码型。

●分组码:将信息码分组,并为每组信息码附加若干监督码的编码。

分组码一般用表示,为实际传送的码长,是信息码长,是监督码长。

●线性分组码:分组码的信息码元和监督码元,由一些线性代数方程联系起来。

分组是指编、译码过程是按分组进行的,而线性是指分组码中的监督码元按线性方程生成的。

【注】线性分组码的编码问题,就是要建立一组线性方程组,已知k个系数(即信息码),要求n-k个未知数(即监督码)。

2. 线性分组码的主要性质(1)封闭性封闭性是指码中任意两许用码组之和(逐位模2和)仍为一许用码组,这就是说,若A1和A2为码中的两个许用码组,则A1+A2仍为其中的一个许用码组。

(2)码的最小距离等于非零码的最小重量因为线性分组码具有封闭性,因而两个码组之间的距离(模2减)必是另一码组的重量。

为此,码的最小距离也就是码的最小重量,当然,除全“0”码组外。

3. 汉明码汉明码是用于纠正单个错误的线性分组码,其特点为:(1)最小码距(2)纠错能力【注】(3)监督码长(4)总码长()(5)信息码长()(6)编码效率(当r很大时,R趋向于1,效率高)因此,当r=3,4,5,6……时,分别有(7,4)、(15,11),(31,26),(63,57)等汉明码。

4. (7,4)汉明码在(7,4)汉明码中,码组为,其中为4个信息元,为3个监督码元。

监督码元与信息元之间的关系为:(9-4)生成矩阵G:编码时使用,用于产生整个码组,包括信息码和监督码。

改写为其中称为生成矩阵,它的各行是线性无关的。

为阶单位矩阵;为阶矩阵。

由生成矩阵可以产生整个码组,码组C是系统码(即信息码保持不变,监督码附加其后)。

【注】(1)上述生成矩阵为典型形式,保证能产生系统码。

线性分组码的不足之处

线性分组码的不足之处

线性分组码的不足之处
线性分组码的缺点在于当网络规模较大时,在信宿节点处需要消耗很长的时间来解码数据分组,这样会导致较高的时延。

所以在实际应用时,还会采取将数据分组分段的处理方式,只有在一个段内的数据分组才能够进行相互组合编码。

该方法可以大大降低计算复杂度。

在通信中,由于信息码元序列是一种随机序列,接收端无法预知码元的取值,也无法识别其中有无错码。

所以在发送端需要在信息码元序列中增加一些差错控制码元,它们称为监督码元。

这些监督码元和信息码元之间有确定的关系。

当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时用线性方程组联系,这种分组码就称为线性分组码。

包括汉明码和循环码。

在信息码元序列中加监督码元就称为差错控制编码,差错控制编码属于信道编码。

信息码元和监督码元之间有一种关系,关系不同,形成的码类型也不同。

可分为两大类:分组码和卷积码。

经过行变换和列变换的矩阵生成的线性空间与原来的矩阵生成的线性空间是等价的,也就是说生成矩阵经过初等变换之后,所生成的码与原来的码是等价的。

由此可以将生成矩阵经过变换之后,形成系统生成矩阵。

线性码和线性分组码

线性码和线性分组码

• G中任一元g与H相加得到旳子集称为H旳陪集
• 举例
– 陪集不相交
– 陪集首
H的陪集
– 商集
• 整数群旳子群
– m旳全部倍数
H
– 剩余类
线性空间、线性码与线性分组码
• 利用线性空间中旳子空间作为许用码字旳编码 称线性码
• 当线性空间为有限维空间时即为线性分组码 • GF(q)上旳n维线性空间Vn中旳一种k维子空间
• 中任一矢量r是许用码字旳充要条件是
r h1T
hT2
hT nk
0
h1
H
h2
hnk
校验矩阵
对偶码
• 用校验矩阵H中行矢量张成旳子空间是一 种(n ,n-k)线性分组码,它与码C互为对偶 码
自由距与校验矩阵
• 校验矩阵旳秩为df -1 • 例:纠一种错旳码设计
– 自由距至少为3 – 校验矩阵旳秩至少为2,即任两个列矢量不同 – 当冗余位数m固定时,最多旳非零列矢量个数为2m -1 – 最高效率为(2m-1,2m-1-m,3)码,称为汉明码,是完
线性分组码译码旳基本措施
• 码C作为一种子群,它旳每一种陪集在码 C旳正交空间H中旳投影是一种点,而不 同旳陪集投影不同。
• 每一种陪集有一种最小码重,作为陪集 首,代表最可能旳错误图案。
• 这就引出了伴随式译码:s=rHT,将s与 最可能旳e建一张表,即可经过查表法实 现译码。
小结:引入线性码旳好处
– 对自由距为d旳码,球半径为s(C) = (d-1)/2
• 能够覆盖整个码空间旳以许用码字为中心半径 相等旳球,其最小半径称为码旳覆盖半径 t(C),
– 显然球半径不不小于覆盖半径 – 当相等时称为完备码,在k和d相不变旳码中n最小 – 当给定编码参数n和k时,覆盖半径越小码距就能够

线性分组码-Read

线性分组码-Read

定义:( n , k )码 C 中 2k - 1 个非零码字重量的
最小值称为该码的最小重量,记为W*
2、(n,k)码的最小重量等于码的最小距离,
即:W*=d*
3、任何一个GF(2)上的(n,k)线性分组码,
其码字的重量或全部为偶数,或奇数重量码 字的个数与偶数重量码字的个数相等。
第二章 线性分组码
1、线性分组码对于码向量的加法运算是一个交 换群(构成阿贝尔群),所以线性分组码又称 群码。
定义:码长为n的码字c中不为0的码元个数称为 该码字的重量,记为W(c)。 • 码字重量满足不等式:
W(c1+c2) ≤W(c1)+W(c2)或
W(c1+c2)=W(c1)+W(c2)-2W(c1c2)
第二章 线性分组码
第二章 线性分组码
定义:信息组以不变的形式,在码字的任意k位中 出现的码称为系统码,否则称为非系统码。如:
将码字生成的关系式用向量与矩阵乘积表示: C=(m2,m1,m0)
100110 010101 001011
=(m2,m1,m0)G
这里G称为该(6,3)码的生成矩阵,有了生成矩 阵就很容易把8个信息组变换成(6,3)码的8个码 字。
(证明其必要性)
第二章 线性分组码
二、标准阵列译码表
标准阵列法译码是一种在BSC中译码错误概率最小 的译码方法。 二元域(n,k)码的2k个码字,组成n维线性空间
中的一个k维子空间,这是一个子群。以这个子群
为基础,把整个n维空间的2n个元素划分陪集,可
以得到一个标准阵译码表。
第二章 线性分组码
标准阵译码表构成方法:
称S为R的伴随式(或校正子)
伴随式完全由E决定,它充分地反映了信道干扰情

第二章 线性分组码(zhb)

第二章 线性分组码(zhb)
1
卷积码:m中每k0个码元为一组,经编码输出n0个
码元,增加了n0-k0个监督元,编码规则不仅于此
时此刻进入编码器的码元有关,还与此刻相邻的
m时刻有关,称为卷积码。用(n0,k0,m) 表示。 目前常见的几种码:
级联码:将分组码和卷积码结合起来的码,一般用RS码为外码,卷
积码作为内码。
Turbo码:是并行结构的级联码系统码,将卷积码和随机交织器相结 合。被IS-2000标准作为第三代移动通信手机中的纠错抗干扰方案。 LDPC码:是一种线性分组码,Low-Density-Parity-CheckCodes, 它 能比其它码带来更高的编码增益。被通信公司作为第四代移动通信中
h11Cn 1 h12Cn 2 h1k Cn k Cn k 1 0 h C h C h C C 21 n 1 22 n 2 2k n k n k 2 0 h r1Cn 1 h r2Cn 2 h rk C n k C0 0
Wmin minWV, V C, V 0

线性分组码的最小距离等于它的最小重量
d min Wmin

线性分组码纠t个错误的充要条件是码的最小距离为:
d
2t 1
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三、(n,k)码的监督矩阵H和生成矩阵G 1. 监督矩阵(也称校验矩阵)
h11 h12 h h 22 21 H h r1 h r2 h1k h 2k h rk 1 0 0 0 0 1
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伴随式计算电路
R0 R1 R2 R3 R4 R5 R6
输入
输出
+
S0
+
S1

2线性分组码的生成矩阵已知

2线性分组码的生成矩阵已知

电子信息工程学院 5
信息论
3 线性分组码
3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 1.线性分组码的一致校验矩阵 为了运算方便,将式(9.1)监 督方程写成矩阵形式,得 式(9.2)可写成 H CT=0T或 C HT=0 CT、HT、0T分别表示C、 H、0的转置矩阵。
电子信息工程学院 6
信息论
3 线性分组码

H 阵的每一行都代表一个监督方程,即 H 阵的 r 行代表了 r 个监督方 程,也表示由H 所确定的码字有 r 个监督元。 电子信息工程学院 10
信息论
3 线性分组码
3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 1.线性分组码的一致校验矩阵

H 的标准形式还说明了相应的监督元是由哪些信息元
决定的。 例如 (7,3) 码的H 阵的第一行为 (1011000),说明此 码的第一个监督元等于第一个和第三个信息元的模2和, 依此类推。
信息论
3 线性分组码
线性分组码是指分组码中信息元和校验元是用线性方程联 系起来的一种差错控制码。
线性分组码是纠错码中最重要的一类码,是研究纠错
3 线性分组码
3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 1.线性分组码的一致校验矩阵

把信息序列按一定长度分成若干信息码组,每组由 k 位组成; 编码器按照预定的线性规则(可由线性方程组规定),把信息码组变换成 n 长 (n>k) 码字,其中 (n-k) 个附加码元是由信息码元的线性运算产 生的。
电子信息工程学院 13
信息论
3 线性分组码
3.1 一致校验矩阵和生成矩阵 2 线性分组码的生成矩阵


G 中每一行 gi = ( gi 1, gi 2, … , gi n ) 都是一个码字; 对每一个信息码元m来说,都可以通过矩阵G求得其对应的码字。 生成矩阵的定义:由于矩阵 G 生成了 (n,k) 线性码中的任何一个码字, 称矩阵 G 为 (n,k) 线性码的生成矩阵。 (n,k) 线性码的每一个码字都是生成矩阵 G 的行的线性组合。

纠错码Lecture5-线性分组码(II).

纠错码Lecture5-线性分组码(II).

信道编码理
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Lecture 5 线性分组码(II)
线性码的纠错能力
Plokin限和Hamming限都是必要条件,也就是说 任何线性或非线性码都是必需满足的,否则码就 构造不出。越接近这个限越有效,等于时码达到 最佳。 V-G限是充分条件,并限定于线性码,满足这一 条件必存在一个最小距离为d的[n,k]线性码。
信道编码理
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Lecture 5 线性分组码(II)
增广(Augmented)码
基本原理
在原码基础上,增加一个信息元,删去一个校验元得 到 [n, k+1, da]码
基本实现方法
在原码生成矩阵G的基础上,再选择一个与G中各行都 不相关的n维向量,得到新矩阵Ga,该矩阵有n列,k+1 行,即得到一个[n, k+1, da]码 若原码中没有全1码,可在其G矩阵上增加一组全为1的 行,得到增广码的生成矩阵为:
信道编码理
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Lecture 5 线性分组码(II)
RM码
Hadamard变换
1 1 H2 0 1
1 0 H4 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1
H2m H2
m
1 0 0 0 H8 0 0 0 0
增余删信(Expurgated)码
基本原理
在原码基础上删去一个信息元,增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
删掉原码生成矩阵G中的一行,得到新矩阵Ge,该矩阵 有n列,k-1行,即得到一个[n, k-1, de]码 若[n, k, d]码的最小汉明距离d为奇数,则挑选所有偶数 重量的码字,即可构成[n, k-1, d+1]增余删信码 [Recall: 任何[n, k, d]线性分组码,码字的重量或全部为 偶数,或者奇数重量的码字数等于偶数重量的码字数]

线性分组码问题研究

线性分组码问题研究

线性分组码问题研究线性分组码问题是一类实际应用及研究的热点,因它的实用性而受到学者的普遍重视。

其主要包括如下几个方面:1. 线性分组码的定义:线性分组码指的是以二进制位流(称为码字)作为基本单元,将消息表达成有重复构造的形式,以达到高度编码压缩及信息传输等效果的一类代码。

2. 线性分组码类型:线性分组码可以分为环码、格雷码、无源码、南京定量码、HAMMING码等。

环码是一种“最著名、最基本”的线性分组码,破坏传输线路的同步性,可提高计算机的容错性。

格雷码是一种环码的变形,字长与码字序列变换都比较简单。

无源码可以把任意的n字节的数据编码成n+k字节的码字,采用未上源码的形式检错与修复。

南京定量码适用于码字长有限的码制空间,可以有效地抑制码字空间中观测噪声的影响。

HAMMING码又称平衡码,是一种有效率的线性分组码,在容错性及码字有效率便捷性方面有优越的表现。

3. 线性分组码理论:在线性分组码理论方面,除常用的线性码设计定理、维码定理和构造定理外,还包括联合码理论、自调制系统的设计思路和有限状态自动机的综合设计等。

4. 误码率分析:由于线性分组码的信道传输过程中受到观测噪声的影响,因此在误码率分析中需要考虑加性高斯白噪声模型,通过设计有效的编码译码策略来控制误码率的变化。

5. 实用应用:线性分组码在实用应用中的作用非常突出,例如可以应用于光纤通信、宽带多媒体通信以及下一代以太网等高速网络中,以提高信息的传输效率及降低在线传输的网络延迟。

此外,线性分组码还可以应用在移动系统、自动控制通信系统和医学图像识别中,以提升数据处理及识别效率。

综上所述,线性分组码是当前广泛研究的热门领域,其理论性及实用性均有重要意义,因此值得学者深入探究。

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