2020年北京市育英中学初三下学期数学模拟试卷
2020年北京市中考数学模拟试卷及答案
2020年北京市中考数学模拟试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共8小题，共16分）1.今年3月12日,支付宝蚂蚁森林宣布2019春种正式开启,称“春天,是种出来的”。
超过4亿人通过蚂蚁森林在地球上种下了超过5500万棵真树,总面积超76万亩,大约相当于7.6万个足球场.数据“5500万”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.2.下面四个图形中，可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.若正n边形的一个外角为60°，则n的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 84.数轴上与表示-1的点距离10个单位的数是（）A.10 B. ±10 C. 9 D. 9或-115.如图，∠CAB=∠DBA，AC=BD，则下列结论中，不正确的是（）A. BC=ADB. CO=DOC. ∠C=∠DD.∠AOB=∠C+∠D6.如果a-b=5，那么代数式（-2）•的值是（）A. -B.C. -5D. 57.给出下列命题：①若-3a＞2a，则a＜0；②若a＜b，则a-c＜b-c；③若a＞b，则ac2＞bc2；④若ab＞c，则，其中正确命题的序号是（）A. ①②B. ①③C. ③④D. ②④8.已知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（）A. 7B. 6C. 5D. 4二、填空题（本大题共8小题，共16分）9.若分式的值为零，则x的取值为______ ．10.如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为16cm2，则△BEF的面积：______ cm2．11.请写出三种视图都相同的两种几何体_________、_________.12.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为______13.点A（x1，y1），点B（x2，y2）是双曲线上的两点，若x1＜x2＜0，则y1______y2（填“=”、“＞”、“＜”）．14.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=5，则以AC为边长的正方形ACFE的周长是______．15.已知一组数据1、2、、3、4的平均数是3，则这组数据的方差是________。
北京市2020年中考数学模拟试卷四含答案
北京市2020年中考数学模拟试卷四学校 姓名 准考证号一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1． 下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（A ） （B ） （C ） （D ）2．已知实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是A ．a ＞bB ．|a |＜|b |C ．ab ＞0D ．﹣a ＞b3．2019年春运期间，全国铁路有23天旅客发送量每天超过1000万人次，那么这23 天约发送旅客总人次是（A ）2.3×103 （B ）2.3×104 （C ）2.3×107 （D ）2.3×1084．右图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）三棱锥 （B ）三棱柱 （C ）长方体 （D ）正方体5．如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1=80°，则∠2的度数是A ．50°B ．60°C ．70°D ．80° 6．如果2320a a +-=，那么代数式2231-3()93a a a a +•-+的值为A ．1B ．12 C ．13 D ． 147．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从 长安出发.问甲乙经过多少日相逢？设甲乙经过x 日相逢，可列方程为 A.7512x x +=+ B. 2175x x ++= C. 7512x x -=+ D. 275x x+= 8．某市组织全民健身活动，有100名男选手参加由跑、跳、投等10个田径项目组成的“十项全能”比赛.其中25名选手的一百米跑成绩排名，跳远成绩排名与10项总成绩的排名情况如图所示，甲、乙、丙表示三名男选手，下面有3个推断： ①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前； ②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠后； ③丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前. 其中合理的是 （A ）①（B ）②（C ）①②（D ）①③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若2x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．10．为了解同学们对网络游戏的喜好和作业量多少的相关性，小明随机对年级50名同学进行了调查，并将调查的情况进行了整理，如下表：O跳远成绩排名10项总成绩排名100100丙O一百米跑成绩排名 10项总成绩排名100甲乙如果小明再随机采访一名同学，那么这名同学是“喜欢网络游戏并认为作业多”的可能性 .“不喜欢网络游戏并认为作业不多”的可能性. （填“>”，“=”或 “<”） 11．分解因式：22xy xy x -+= .12．如图，将△ABC 沿BC 所在的直线平移得到△DEF .如果AB =7，GC =2，DF =5，那么GE = .（第12题图） （第13题图）13．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AD=2，△ABC的周长为14，则BC 的长为 ．14．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国； 乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问甲乙经过多少日相逢？设甲乙经过x 日相逢，可列方程为 ．15．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x 尺，竿长y 尺，可列方程组为 ．16．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A ，B ，C ，D 均落在格点上．（1）S △BDC :S △BAC =________；（2）点P 为BD 的中点，过点P 作直线l ∥BC ，分别过点B 作BM ⊥l 于点M ，过点C 作CN ⊥l 于点N ，则矩形BCNM 的面积为________．认为作业多认为作业不多合计 喜欢网络游戏18 9 27 不喜欢网络游戏8 15 23 合计262450BAGCE DF作业量多少网络游戏的喜好三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：213tan 60()12233---+-°．18．解不等式组：()+2124132x x x x -≥-⎧⎪⎨+>⎪⎩19．下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 上一点A ． 求作：直线AB ，使得AB ⊥l ．作法：①以点A 为圆心，任意长为半径画弧，交直线l 于C ，D 两点；②分别以点C 和点D 为圆心，大于21CD 长为半径画弧， 两弧在直线l 一侧相交于点B ； ③作直线AB ．所以直线AB 就是所求作的垂线． 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：∵AC = ，BC = ，∴AB ⊥l （ ）．（填推理的依据）．20．已知关于x 的方程2220x x m -+-=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）如果m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．21．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，CD 的垂直平分线分别交AC ，DC ，BC 于点E ，F ，G ，连接DE ，DG ．（1）求证：四边形DGCE 是菱形；（2）若∠ACB =30°，∠B =45°，ED =6，求BG 的长．22．如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是AE 的中点，过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点G ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，交AE 于点F ． （1）求证：GC ∥AE ；（2）若sin ∠EAB =53，OD AE 的长．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y =x +1与y 轴交于点A ，与函数xky =（x ＞0）的图象交于点B （2，a ）.（1）求a 、k 的值； （2）点M 是函数xky =（x ＞0）图象上的一点，过点M 作平行于y 轴的直线，交直线l 于点P ，过点A 作平行于x 轴的直线交直线MP 于点N ，已知点M 的横坐标为m . ①当23=m 时，求MP 的长； ②若MP ≥PN ，结合函数的图象， 直接写出m 的取值范围.24．2019年初，电影《流浪地球》和《绿皮书》陆续热播，为了解某大学1800名学生对两部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取了该大学20名学生对两部电影打分，过程如下. 收集数据 20名大学生对两部电影的打分结果如下：《流浪地球》 78 75 99 98 79 67 88 78 76 98 88 79 97 91 78 80 93 90 99 99 《绿皮书》 88 79 68 97 85 74 96 84 92 97 89 81 91 75 80 85 91 89 97 92 整理、描述数据 绘制了如下频数分布直方图和统计表，请补充完整.（说明：60≤x<70表示一般喜欢，70≤x<80表示比较喜欢，80≤x<90表示喜欢，90≤x<100表示超级喜欢）分析数据、推断结论),25．如图，点E 在弦AB 所对的优弧上，且»BE为半圆，C 是»BE 上一动点，连接CA ，CB ， 已知AB =4cm ，设B ，C 两点间的距离为x cm ，点C 到弦AB 所在直线的距离为1y cm ， A ，C 两点间的距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y ,2y ，随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整:（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，y 1），（x ，y 2）并画出函数y 1，y 2的图象；（3）结合函数图象，解决问题:①连结BE ，则BE 的长约为 cm ．②当以A ，B ，C 为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC 的长度约为 cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2过原点和点A （-2，0）. （1）求抛物线的对称轴；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点B （0，23），记抛物线与直线AB 围成的封闭区域（不含边界）为W ．①当=1a 时，求出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出的取值范围．27．如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接DE ，点C关于直线DE 的对称点为C ʹ，连接ACʹ并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′中点，连接DF ．（1）求∠FDP 的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP ，BP ，DP 三条线段之间的数量关系，并证明． （3）连接AC ，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC ′的面积最大值．28．对于平面直角坐标系xoy 中的点P 和图形G 上任意一点M ，给出如下定义：图形G 关于原点O 的中心对称图形为G′，点M 在G′上的对应点为M′，若∠MP M′=90°，则称 点P 为图形G ，G′的“直角点”，记作Rt(G ，P ，G′). 已知点A （-2,0），B （2,0），C （0, 32）．（1） 如图1，在点P 1（1,1），P 2（0,3），P 3（0,-2）这三个点中,Rt(OA，P,OA′)是 ；（2） 如图2，⊙D 的圆心为D （1,1），半径为1，在直线b x y +=3上存在点P ，满足Rt(⊙D ，P ，⊙D′)，求b 的取值范围；（3）⊙T 的半径为3，圆心（t,t 33），若⊙T 上存在点P ，满足 Rt(△ABC ，P ，△ABC′)，直接写出⊙T 的横坐标的取值范围．数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．x ≥2 10．＞11．x (y-1)212．145． 13．5 14．1 15．2175x x++= 16．5:1，152； 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27-28题，每小题7分） 17．（本小题满分5分）解：原式392=-………………………………… 4分． ………………………………… 5分18．（本小题满分5分）7=-()+2124(1)13(2)2x x xx -≥-⎧⎪⎨+>⎪⎩由（1）得，x ≤2 ………………………………… 2分 由（2）得，x ＞－1 ………………………………… 4分∴不等式的解集为－1＜x ≤2 ……………………………… 5分 19．（本小题满分5分）（1）略； ………………………………2分 （2）AD ，BD ；依据：“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”或“三线合一”. ………………………………5分20．（本小题满分5分）解：（1）∵方程有两个不相等的实数根．∴4420m ∆=-->（）． ∴ 3m <． ……………………… 2分（2）∵ 3m <且m 为正整数， ∴ 1m =或2. ……………………… 3分 当1m =时，原方程为2210x x --=．它的根不是整数，不符合题意，舍去； 当2m =时，原方程为220x x -=．∴ (2)0x x -=．∴ 120,2x x ==．符合题意. 综上所述，2m = …………………………… 5分 21．（本小题满分5分）（1）证明：∵EG 垂直平分DC ∴DE =CE ,∴EDC ECD ∠=∠． ∵CD 平分ECG ∠， ∴ECD DCG ∠=∠． ∴EDC DCG ∠=∠．∴DE ∥GC ． ………………………………1分 同理DG ∥EC ．∴四边形DGCE 是平行四边形． ∵DE ＝CE ，∴四边形DGC E 是菱形． ……………………………… 2分 （2）解：Q 四边形DGCE 是菱形， ∴DG =DE =6． ∵DG //EC ，∴030DGB ACB ∠=∠=． ……………………………… 3分 如图，过点D 作DH ⊥BG 于点H ，∴13DH DG ==． ∴HG = ……………………………… 4分 ∵45B ∠=︒，∴BH =DH =3．∴3BG =+ ……………………………… 5分22．（本小题满分5分）（1）证明：连接OC ，交AE 于H.∵C 是弧AE 的中点，∴OC ⊥AE . ............ ......1分 ∵GC 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥GC .∴∠OHA=∠OCG =90°.∴GC ∥AE . .............. .....2分（2）解： ∵OC ⊥AE ,CD ⊥AB ,∴∠OCD =∠EAB .∴3sin sin 5OCD EAB ∠=∠=.在Rt △CDO 中，OD∴OC =∴AB =连接BE.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =90°.在Rt △A EB 中，∵3sin 5BE EAB AB ∠==,∴BE =∴AE = ...................….........5分23．（本小题满分6分）解：（1）由题意，得A (0,1) .∵直线l 过点B (2,a ),∴3a =. .................…..........1分 ∵反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点B (2,3)，∴6k =. .................…..........2分 （2）①由题意，得335(,4),(,)222M P .∴32MP =； .................…..........4分②3062m m <≤≥或. .................…..........6分24．（本小题满分6分）……………………………4分(1)720 …………………………………5分 (2)答案不唯一，如： 喜欢《流浪地球》理由：在被调查者中，喜欢《流浪地球》的众数高于喜欢《绿皮书》的众数.喜欢《绿皮书》理由：在被调查者中，喜欢《绿皮书》的中位数高于喜欢的《流浪地球》中位数；为《绿皮书》打分在80分以上的有16人，而为《流浪地球》打分在80分以上的只有12人 …………………………………6分流浪地球25．（本小题满分6分）解：（1）5.70． ………………………1分（2）画出2y 的图象．……………………….3分（3）①6；………………………4分 ②6，4.47．……………………….6分 26．（本小题满分6分）解：（1）∵二次函数2y x ax b =-+在0x =和4x =时的函数值相等．∴对称轴为直线2x =. ……………… 1分 （2）① 不妨设点M 在点N 的左侧.∵对称轴为直线2x =，2MN =，∴点M 的坐标为（1，1），点N 的坐标为（3，1）.……………… 2分∴22ax -=-=，11a b =-+. ∴4a =，4b =. ……………… 4分 ② 15b <≤. ……………… 6分27．（本小题满分7分）解：（1）由对称可知 CD ＝C ′D ，∠CDE ＝∠C ′DE ．在正方形ABCD 中，AD ＝CD ，∠ADC ＝90°， ∴AD ＝C ′D ．又∵F 为AC ′中点，∴DF ⊥AC ′，∠ADF ＝∠C ′DF ．……………………………………………………1分∴∠FDP ＝∠FDC ′＋∠EDC ′=12∠ADC ＝45°．…………………2分（2）结论：BP＋DP．……………………………………………………3分如图，作AP′⊥AP交PD延长线于P′，∴∠P AP′＝90°．在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP′＝∠BAP．由（1）可知∠APD＝45°，∴∠P′＝45°．∴AP＝AP′……………………………………………………4分在△BAP和△DAP′中，BA DABAP DAP AP AP=⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BAP≌△DAP′（SAS）……………………………………………………5分∴BP＝DP′．∴DP＋BP＝PP′．（31……………………………………………………7分PBAP'PBA28．（本小题满分7分）解：（1）P 1，P 3. …………………………………2分（2）当b >0时，点O 到直线的距离为时，.…………………………4分当b <0时，.∴.………6分（3）.………………………7分b x y +=312+222+=b 222--=b 222222+≤≤--b 2929≤≤-t。
2020北京市育英中学初三数学模拟试题(三)答案
数学试卷 第1页（共6页）北京市育英中学初三数学模拟试题答案一、选择题二、填空题9. 1x ≥ 10. ()()22nm m +-11. 8 12. 2x 13. 30456x x =+ 14. = 15. 2y x =+ 16. ①②③17．计算：-2124sin 458+()|3π|︒+- 解：原式=4324π+--=43π+- =π1+.18．解： ()3233x x -+=-. 3263x x --=-.30x -=. 0x =. 经检验，0x =是原方程的解. ∴原方程的解是0x =. 19.（1）如图（2）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（3）数学试卷 第2页（共6页）20.（1） 当k =1时，此方程为0=3+4-2x x0=3)-(1)-(x x3= 1=21x x ，（2） 由题意得0≠k ，012-16≥=∆k∴34≤k ∴34≤k 且 0≠k 21.解：（1）∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴四边形OBEC 为平行四边形． ∵ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ． ∴∠BOC ＝90°． ∴四边形OBEC 是矩形． （2）∵AD ＝AB ，∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． ∴BD ＝AD ＝AB ＝2√3． ∵ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°， ∴∠BAO ＝30°．P BCAB CA数学试卷 第3页（共6页）∴OC ＝OA ＝3． ∴BE ＝3∴tan ∠EDB =BEBD =2√3=√32． 22．解：(1) 指标x 的值大于1.7的概率=335050÷=或6%． (2)21S > 22S ；（填“>”、“=”或“<” ） (3) 推断合理的是 ② ．23．（1）证明：如图1，∵D 是弦AB 的中点，OD 过圆心， ∴OD AB ⊥ 即90ODB ∠=°． ∵在四边形ODEC 中，180CED COD ∠+∠=°，∴90OCE ∠=°. 又∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 切线．（2）解： 延长CO ，EA 交于点F ，如图2． ∵OB CE ∥，∴90BOF ECO ∠=∠=°，1E ∠=∠． 在ODB Rt △中，tan 12ODBD ∠==，4OD =， ∴2BD=，OB = 在BOF Rt △中，tan 12OFOB∠==，∴2OF OB == ∵OB CE ∥， ∴BOF △∽ECF △∴OB OF==图2图1EDBCAOE∴35CE=．24.（1）把3=x代入1-=xy得2=y∴），（23A又)0(>=xxky图象过点），（23A解得6=k（2）①PC = BC当n = 4时，），（34B），（234C23=PC,23=BC②1≤<0n或4≥n26．解. （1）令x=0，则y=3a.∴点A的坐标为（0，3a）.（2）令y=0，则ax2-4ax+3a=0.∵a≠0，∴解得121,3x x==.∴抛物线与x轴的交点坐标分别为（1，0）, （3，0）.（3）①当a<0时，数学试卷第4页（共6页）数学试卷 第5页（共6页）可知3a ≥a -2. 解得a ≥-1. ∴ a 的取值范围是-1≤a <0 .② 当a ＞0时，由①知a ≥-1时，点Q 始终在点A 的下方，所以抛物线与线段PQ 恰有一个公共点时，只要1≤a <3即可. 综上所述，a 的取值范围是-1≤a <0或1≤a <3.27．解：（1）补全图形，如图所示.（2）证明：根据题意可知，∠MPN =∠AOB =40°，∵∠MPA =∠AOB +∠OMP=∠MPN +∠APN, ∴∠APN=∠OMP.（3）解： OH 的值为1.在射线PA 上取一点G ，使得PG=OM ，连接GN. 根据题意可知，MP=NP. ∴△OMP ≌△GPN.∴OP=GN ，∠AOB=∠NGP=40°. ∴PG=OH.∴OP=HG. ∴NG=HG. ∴∠NHG=70°.∴∠OHN=110°.28．解：（1）①与直线y =3x -5相离的点是A 、C ；②当直线y =3x +b 过点A （1，2）时， 3+ b =2． ∴b =-1．当直线y =3x +b 过点C （2，-1）时，数学试卷 第6页（共6页）6+ b =-1． ∴b =-7．∴b 的取值范围是b >-1或b <-7．（2）t 的取值范围是：t<3-或t>3或3-<t<3.。
2020年北京中考数学模拟试卷(一)
∴CE=10,∴AE=6,∴BD=6.
22.(6分)如图,在Rt△ABE中,∠B=90°,以AB为直径的☉O交AE于点C,CE的垂直平分线FD交BE于点D,连接 CD. (1)判断CD与☉O的位置关系,并证明; (2)若AC·AE=12,求☉O的半径长.
解析 (1)答:CD与☉O相切.
证明:如图1,连接OC. ∵FD是CE的垂直平分线,
答案 A 58 000 000 000=5.8×1010.故选A.
5.若正多边形的一个外角是120°,则该正多边形的边数是 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3
答案 D 由多边形外角和为360°,可得360°÷120°=3.故选D.
6.如果x+y=4,那么代数式
2x x2 y
2
-
2y x2 y
∴在Rt△CDB中,sin∠CBD= CD = 4 .
CB 5
∴CB= 5 .∴CE=CB+BE=11 .
2
2
∴点C的纵坐标为11 .当点C在直线AB下方时,如图,
2
同理可求得CB=
5 2
,则CE=BE-CB=
1 2
.
∴点C的纵坐标为
1 2
.综上所述,点C的纵坐标为
11 2
或
1 2
.
24.(6分)阅读下面材料: 小腾遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求AC的长.
20.(5分)解方程:
x
x 1Βιβλιοθήκη -2x x21 1
=1.
解析 去分母,得x(x+1)-(2x-1)=x2-1,解得x=2. 经检验,x=2是原方程的解, ∴原方程的解为x=2.
2020-2021北京市初三数学下期中模拟试卷(带答案)
2020-2021北京市初三数学下期中模拟试卷(带答案) 一、选择题1．已知一次函数y1=x－1和反比例函数y2=2x的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是( )A．x＞2B．－1＜x＜0C．x＞2，－1＜x＜0D．x＜2，x＞02．如果反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（﹣3，2），则它一定还经过（）A．（﹣12，8）B．（﹣3，﹣2）C．（12，12）D．（1，﹣6）3．如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果12C EAFC CDF=VV，那么S EAFS EBCVV的值是（）A．12B．13C．14D．194．下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似5．已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•BC C．AC 51-BC D．BC51-AC6．对于反比例函数y=1x，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，﹣1）B．图象关于y轴对称C．图象位于第二、四象限D．当x＜0时，y随x的增大而减小7．在同一直角坐标系中，函数kyx=和y=kx﹣3的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．在ABC V 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，:1:2AD BD =，那么下列条件中能够判断//DE BC 的是( )A ．12DE BC =B ．31DE BC = C ．12AE AC =D ．31AE AC = 9．如图，在△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )A ． 212B ．12C ．14D ．2110．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）A ．五丈B ．四丈五尺C ．一丈D ．五尺 11．在平面直角坐标系中，将点（2，l ）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（ ）A ．（0，5）B ．（5，1）C ．（2，4）D ．（4，2）12．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条边DF ＝50cm ，EF ＝30cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝20m ，则树高AB 为（ ）A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m二、填空题13．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是______________.14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，23），C 是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线垂直时，点P的坐标为____15．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．16．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为_____．17．已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝____.18．学校校园内有块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化环境，预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园至少需要投资________元．19．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面23米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为_____米（结果保留根号）．20．如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段(AP PB >),其中AP 是AB 与PB 的比例中项,那么:AP AB 的值为________．三、解答题21．已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 交于点G.(1)如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证：DE AD CF CD= ； (2)如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得DE AD CF CD=成立？并证明你的结论．22．已知：如图，在ABC V 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC V 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ，连接DE 交AC 于点F ．() 1求证：四边形ADCE 为矩形；()2当ABC V 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．()3在()2的条件下，若AB AC 22==ADCE 周长．23．如图，在△ABC中，∠A=30°，cosB=45，AC=63.求AB的长.24．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC 的值．25．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且∠AQP=90０，求证：△ADQ∽△QCP．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】因为一次函数和反比例函数交于A、B两点，可知x-1=2x，解得x=-1或x=2，进而可得A、B两点的坐标，据此，再结合函数解析式画图，据图可知当x>2时，以及当-1<x<0时，y 1>y 2．【详解】解方程x −1=2x，得 x =−1或x =2，那么A 点坐标是(−1,−2),B 点坐标是(2,1)，如右图，当x >2时, 12y y >,以及当−1<x <0时, 12y y >.故选C.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是能根据解析式画出函数的图象，并能根据图象解決问题2．D解析：D【解析】【分析】分别计算各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【详解】∵反比例函数y=k x(k≠0)的图象经过点(−3,2)， ∴k=−3×2=−6， ∵−12×8=−4≠−6， −3×(−2)=6≠−6， 12×12=6≠−6， 1×(−6)=−6，则它一定还经过(1,−6).故答案选D.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握反比例函数图象上点的坐标特征.3．D解析：D【解析】分析：根据相似三角形的性质进行解答即可．详解：∵在平行四边形ABCD 中，∴AE ∥CD ，∴△EAF ∽△CDF ， ∵12EAF CDF C C V V ，= ∴12AF DF =， ∴11123AF BC ==+， ∵AF ∥BC ，∴△EAF ∽△EBC ， ∴21139EAF EBC S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭V V ， 故选D.点睛：考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 4．B解析：B【解析】【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：A 、三边对应成比例的两个三角形相似，故A 选项不合题意；B 、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B 选项符合题意；C 、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C 选项不合题意；D 、有一个角是100°的两个等腰三角形，则他们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D 选项不合题意； 故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】根据黄金分割的定义得出BC AC AC AB ==，从而判断各选项． 【详解】∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，∴BC AC AC AB ==，即AC 2=BC•AB，故A 、B 错误；AB ，故C 错误；BC=12AC ，故D 正确； 故选D ．【点睛】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．6．D解析：D【解析】A 选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=1x的图象上，故本选项错误；B 选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误；C 选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误；D 选项：∵k=1＞0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故是正确的．故选B ． 7．A解析：A【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k ≠0，所以分k ＞0和k ＜0两种情况讨论．当两函数系数k 取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．【详解】分两种情况讨论：①当k ＞0时，y =kx ﹣3与y 轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，没有图像符合要求；②当k ＜0时，y =kx ﹣3与y 轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A 符合要求．故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k 的取值确定函数所在的象限．8．D解析：D【分析】可先假设DE∥BC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．【详解】如图，可假设DE∥BC，则可得12AD AEDB EC==，13AD AEAB AC==，但若只有13DE ADBC AB==，并不能得出线段DE∥BC．故选D．【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．9．A解析：A【解析】【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．【详解】解：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=22，sinC=35，AC=5，∴cosB=22=BDAB，∴∠B=45°，∵sinC=35=ADAC=5AD，∴AD=3，∴2253-，则△ABC的面积是：12×AD×BC=12×3×（3+4）=212．故选：A．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴1.5 150.5x，解得x=45（尺），故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．11．B解析：B【解析】【分析】在平面直角坐标系中，将点（2，l）向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变.【详解】将点（2，l）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）.故选：B.【点睛】本题运用了点平移的坐标变化规律，关键是把握好规律.12．D解析：D【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【详解】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BC DC EF DE=，∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，∴20 0.30.4 BC=，∴BC=15米，∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．故答案为16.5m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．二、填空题13．5或（答对一个得1分）【解析】根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况有两种情况：①B′FC∽△ABC时B′FAB=CF/BC又因为AB=AC=8BC=10BF=BF所以解得BF=；②△B′CF∽△解析：5或（答对一个得1分）【解析】根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况，有两种情况：① B′FC∽△ABC时，B′F AB ="CF/BC" ，又因为AB=AC=8，BC=10，B'F=BF，所以10810BF BF-=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA时，B′F/BA ="CF/CA" ，又因为AB=AC=8，BC=10，B'F=CF，BF=B′F，又BF+FC=10，即2BF=10，解得BF=5．故BF的长度是5或．14．(1)【解析】【分析】先根据题意求得CD和PE的长再判定△EPC∽△PDB 列出相关的比例式求得DP的长最后根据PEDP的长得到点P的坐标【详解】由题意可知OB=2AO=8∵CD⊥BOC是AB的中点∴解析：3【解析】【分析】先根据题意求得CD和PE的长，再判定△EPC∽△PDB，列出相关的比例式，求得DP的长，最后根据PE、DP的长得到点P的坐标．【详解】由题意可知，OB=23，AO=8，∵CD⊥BO，C是AB的中点，∴BD=DO=12BO==PE，CD=12AO=4.设DP=a，则CP=4﹣a，当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，∠FCP=∠DBP，又∵EP⊥CP，PD⊥BD，∴∠EPC=∠PDB=90°，∴△EPC∽△PDB.DP DBPE PC∴=∴343aa=-，∴a1=1，a2=3（舍去）.∴DP=1，∵PE=3，∴P（1，3）.考点：1相似三角形性质与判定；2平面直角坐标系.15．3:2【解析】因为DE∥BC所以因为EF∥AB所以所以故答案为:3:2 解析：3:2【解析】因为DE∥BC,所以32AD AEDB EC==,因为EF∥AB,所以23CE CFEA BF==,所以32BFFC=,故答案为: 3:2.16．2+3【解析】【分析】连接OA过点A作AC⊥OB于点C由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC=OA2-AC2=3BC=OB﹣OC=2﹣3在Rt△ABC中根据tan∠ABO=ACBC可得答案【详解解析：2+．【解析】【分析】连接OA ，过点A 作AC⊥OB 于点C ，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC==、BC=OB ﹣OC=2﹣，在Rt△ABC 中，根据tan∠ABO=可得答案．【详解】如图，连接OA ，过点A 作AC⊥OB 于点C ，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt△AOC 中，OC==， ∴BC=OB﹣OC=2﹣，∴在Rt△ABC 中，tan∠ABO==2+． 故答案是：2+．【点睛】 本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键．17．【解析】∵AB∥CD 解得AO=4故答案是：4【点睛】运用了平行线分线段成比例定理灵活运用定理找准对应关系是解题的关键解析：【解析】∵AB ∥CD ，223103AO BO AO OD OC AO ∴===-，即， 解得，AO=4，故答案是：4．【点睛】运用了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．18．【解析】【分析】如图所示作BD⊥CA 于D 则在直角△ABD 中可以求出BD 然后求出△ABC 面积；根据单价可以求出总造价【详解】如图所示A B=10AC=30∠BAC=120°作BD⊥CA 于D 则在直角△AB解析：6750【解析】【分析】如图所示，作BD ⊥CA 于D ，则在直角△ABD 中可以求出BD ，然后求出△ABC 面积；根据单价可以求出总造价．【详解】如图所示，3AC=30，∠BAC=120°，作BD ⊥CA 于D ，则在直角△ABD中，∠BAD=60°，∴BD=ABsin60°=15，∴△ABC面积=12×AC×BD=225．又因为每平方米造价为30元，∴总造价为30×225=6750（元）．【点睛】此题主要考查了运用三角函数定义解直角三角形，关键是通过作辅助线把实际问题转化为数学问题，抽象到解直角三角形中解题．19．【解析】【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分再加起来即可先在直角三角形ABC中用正切和正弦分别求出BC和AC（即梯子的长度）然后再在直角三角形DCE中用∠DCE的余弦求出DC然后把BC和DC加解析：222【解析】【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分，再加起来即可．先在直角三角形ABC中，用正切和正弦，分别求出BC和AC（即梯子的长度），然后再在直角三角形DCE中，用∠DCE 的余弦求出DC，然后把BC和DC加起来即为巷子的宽度．【详解】解：如图所示：3米，∠ACB=60°，∠DCE=45°，AC=CE.则在直角三角形ABC中,ABBC＝tan∠ACB＝tan60°3AB AC ＝sin∠ACB＝sin60°3∴BC＝2，AC＝4， ∴直角三角形DCE 中，CE=AC=4， ∴CD CE ＝cos45°＝2， ∴CD ＝CE×2＝4×2＝， ∴BD ＝,故答案为：【点睛】本题需要综合应用正切、正弦．余弦来求解，注意梯子长度不变，属于中档题．20．【解析】【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可【详解】∵点把线段分割成和两段()其中是与的比例中项∴点P 是线段AB 的黄金分割点∴=故填【点睛】此题考察黄金分割是与的比例中项即点P 是线段AB 的黄解析：12 【解析】【分析】解答即可. 【详解】∵点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段(AP PB >),其中AP 是AB 与PB 的比例中项， ∴点P 是线段AB 的黄金分割点，∴:AP AB=12，. 【点睛】此题考察黄金分割，AP 是AB 与PB 的比例中项即点P 是线段AB 的黄金分割点，即可得到:AP AB. 三、解答题21．（1）详见解析；（2）当∠B ＋∠EGC ＝180°时，DE AD CF DC=成立，理由详见解析. 【解析】(1)根据矩形的性质可得∠A ＝∠ADC ＝90°，由DE ⊥CF 可得∠ADE ＝∠DCF ，即可证得△ADE ∽△DCF ，从而证得结论；(2)在AD 的延长线上取点M ，使CM ＝CF ，则∠CMF ＝∠CFM ．根据平行线的性质可得∠A ＝∠CDM ，再结合∠B+∠EGC ＝180°，可得∠AED ＝∠FCB ，进而得出∠CMF ＝∠AED 即可证得△ADE ∽△DCM ，从而证得结论；【详解】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ADC ＝90°，∵DE ⊥CF ，∴∠ADE ＝∠DCF ，∴△ADE ∽△DCF ， ∴DE AD CF DC= (2)当∠B ＋∠EGC ＝180°时，DE AD CF DC =成立，证明如下：在AD 的延长线上取点M ，使CM ＝CF ，则∠CMF ＝∠CFM.∵AB ∥CD.∴∠A ＝∠CDM.∵AD ∥BC ，∴∠CFM ＝∠FCB.∵∠B ＋∠EGC ＝180°，∴∠AED ＝∠FCB ，∴∠CMF ＝∠AED ，∴△ADE ∽△DCM ，∴DE AD CM DC =，即DE AD CF DC =. 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．22．（1）证明见解析；（2）BAC 90∠=o 且AB AC =时，四边形ADCE 是一个正方形；证明见解析；（3）8；【解析】【分析】（ 1 ）根据等腰三角形的性质，可得 ∠ CAD=12∠ BAC ，根据等式的性质，可得∠CAD+ ∠CAE=12（ ∠BAC+ ∠CAM ）=90°，根据垂线的定义，可得∠ADC=∠CEA ，根据矩形的判定，可得答案；（ 2 ）根据等腰直角三角形的性质，可得AD 与CD 的关系，根据正方形的判定，可得答案；（ 3 ）根据勾股定理，可得AD 的长，根据正方形周长公式，可得答案．()1∵AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ， ∴1CAD BAC 2∠∠=． ∵AN 是ABC V 外角CAM ∠的平分线， ∴1CAE CAM 2∠∠=． ∵BAC ∠与CAM ∠是邻补角，∴BAC CAM 180∠∠+=o ， ∴()1CAD CAE BAC CAM 902∠∠∠∠+=+=o ． ∵AD BC ⊥，CE AN ⊥，∴ADC CEA 90∠∠==o ，∴四边形ADCE 为矩形；（2）BAC 90∠=o 且AB AC =时，四边形ADCE 是一个正方形，∵BAC 90∠=o 且AB AC =，AD BC ⊥， ∴1CAD BAC 452∠∠==，ADC 90∠=o ， ∴ACD CAD 45∠∠==o ，∴AD CD =．∵四边形ADCE 为矩形，∴四边形ADCE 为正方形；()3由勾股定理，得AB =，AD CD =，=，AD 2=，正方形ADCE 周长4AD 428=⨯=．【点睛】本题考查了的正方形的判定与性质,(1)利用了等腰三角形的性质,矩形的判定;(2)利用了正方形的判定;(3)利用了勾股定理,正方形的周长,灵活运用是关键.23．259x -=【解析】试题分析：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中先由已知条件求得AD 和CD ，再在Rt △BCD 中求得BD 即可求出AB.试题解析：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴AD=cosA⋅AC=3639⨯=，CD=sinA⋅AC=163332⨯=，∵cosB=45=BDBC，∴可设BD=4m，BC=5m，则在Rt△BCD中由勾股定理可得CD=3m=33，∴m=3，∴BD=4m=43，∴AB=AD+BD=9+43.24．.【解析】【分析】首先根据Rt△ABD的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度，从而得出∠C的正弦值.【详解】∵在直角△ABD中，tan∠BAD=，∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC-BD=14-9=5，∴AC==13，∴sinC=．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．25．证明见解析【解析】试题分析：本题利用等角的余角相等得出一对相等的角，加上直角得出相似三角形.试题解析：在Rt△ADQ与Rt△QCP中，∵∠AQP=90°,∴∠AQP+∠PQC=90°,又∵∠PQC+∠QPC=90°,∴∠AQP=∠QPC，∴Rt△ADQ∽Rt△QCP.。
北京市2020中考数学模拟试卷
北京市2020中考数学模拟试卷一．选择题（满分16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则sin A的值为（）A．B．C．D．2．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．123．在数学课上，老师提出如下问题：老师说：“小华的作法正确”请回答：小华第二步作图中①的作法和第二步作图依据的定理或性质是②．（）A．①作PQ垂直平分AB②垂线段最短B．①作PQ平分∠APB②等腰三角形三线合一C．①作PQ垂直平分AB②中垂线性质D．①作PQ平分AB②等腰三角形三线合一4．如图，将△ABC向右平移5个单位长度得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝4，则BC的长度是（）A．8B．9C．10D．115．对于两组数据A，B，如果s A2＞s B2，且A＝B，则（）A．这两组数据的波动相同B．数据B的波动小一些C．它们的平均水平不相同D．数据A的波动小一些6．已知直线y＝ax+b（a≠0）经过第一，二，四象限那么，直线y＝bx﹣a一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．如图，CO、CA是⊙O′的弦，⊙O′与坐标系x、y轴分别交于点A、B，B点坐标为（0，2），∠ACO＝60°，则⊙O′的直径为（）A．2B．C．4D．58．如图1，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（）A．3B．5C．6D．10二．填空题（满分16分，每小题2分）9．在﹣2、，4.121121112、π﹣3.14，、0.5中，是无理数的为 ．10．如图，在△ABC 中，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，若S 四边形ABFE ＝9，则S 三角形EFC＝ ．11．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中黑色区域的概率是 ．12．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，BC ＝6，∠BAC ＝30°，则⊙O 的半径为 ．13．如图，抛物线y ＝ax 2+4x +c （a ≠0）与反比例函数y ＝的图象相交于点B ，且点B 的横坐标为5，抛物线与y 轴交于点C （0，6），A 是抛物线的顶点，P 和Q 分别是x 轴和y 轴上的两个动点，则AQ +QP +PB 的最小值为 ．14．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问，需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？若设需安排x 名工人加工大齿轮，y 名工人加工小齿轮，则根据题意可得方程组 ．15．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．16．如图，四边形ABCD是矩形，E是CD上一点，连接AE，取AE的中点G，连接DG并延长交CB延长线于点F，连接AF，∠AFC＝3∠EAD，若DG＝4，BF＝1，则AB的长为．三．解答题（共12小题，满分68分）17．（5分）某两个城中村A，B与两条公路l1，l2位置如图所示，因城市拆迁安置需要，在C处新建安置小区，要求小区与两个村A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图，找出所有符合条件的C 点．（不写已知，求作，作法，只保留作图痕迹）18．（5分）计算：（﹣）﹣2+2cos30°﹣|1﹣|+（π﹣2019）0．19．（5分）解不等式组20．（5分）已知关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣1＝0，（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；（2）给m取一个适当的值，使方程的两个根相等，并求出此时的两个根．21．（5分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．点D是线段AC上一点，连接BD．过点C作CE⊥BD于点E．点F是AB垂直平分线上一点，连接BF、EF．（1）若AD＝4，tan∠BCE＝，求AB的长；（2）当点F在AC边上时，求证：∠FEC＝45°．22．（5分）已知一次函数y＝kx+3﹣2k，A（﹣2，1），B（1，﹣3），C（﹣2，﹣3）（1）说明点M（2，3）在直线y＝kx+3﹣2k上；（2）当直线y＝kx+3﹣2k经过点C时，点P是直线y＝kx+3﹣2上一点，若S△BCP＝2S △ABC，求点P的坐标．23．（6分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，AD，BE相交于点H，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点F，若CD＝BD．（1）求证：AC＝AB．（2）若AH：DH＝3：1，求tan∠CBF的值．24．（6分）图1是某市2009年4月5日至14日每天最低气温的折线统计图．（1）图2是该市2007年4月5日至14日每天最低气温的频数分布直方图，根据图1提供的信息，补全图2中频数分布直方图；（2）在这10天中，最低气温的众数是，中位数是，方差是．（3）请用扇形图表示出这十天里温度的分布情况．25．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，点D是斜边AB的中点，点E从点B出发以1cm/s的速度向点C运动，点F同时从点C出发以一定的速度沿射线CA 方向运动，规定：当点E到终点C时停止运动；设运动的时间为x秒，连接DE、DF．＝cm2；（1）填空：S△ABC（2）当x＝1且点F运动的速度也是1cm/s时，求证：DE＝DF；（3）若动点F以3cm/s的速度沿射线CA方向运动；在点E、点F运动过程中，如果有某个时间x，使得△ADF的面积与△BDE的面积存在两倍关系，请你直接写出时间x的值；26．（6分）现有一次函数y＝mx+n和二次函数y＝mx2+nx+1，其中m≠0，（1）若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式．（2）若一次函数y＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y＝mx2+nx+1经过点（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a的取值范围．（3）若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A点，已知﹣1＜h＜1，请求出m的取值范围．27．（7分）如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E，连接EC并延长，交射线AD于点F．（1）补全图形；（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．28．（7分）如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，连接DE．（1）当时，①若＝130°，求∠C的度数；②求证AB＝AP；（2）当AB＝15，BC＝20时①是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；②以D为端点过P作射线DH，作点O关于DE的对称点Q恰好落在∠CPH内，则CP的取值范围为．（直接写出结果）北京市2020中考数学模拟试卷参考答案一．选择题1．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝5，∴sin A＝＝．故选：A．2．解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，由题意得：x+3x＝180，解得x＝45，这个多边形的边数：360°÷45°＝8，故选：A．3．解：由作法可知第一步作图是作PQ平分∠APB．小华第二步作图的依据是等腰三角形三线合一，故选：B．4．解：∵△DEF是由△ABC向右平移5个单位长度得到，∴BC＝EF，CF＝5，∴BC＝EF＝EC+CF＝4+5＝9．故选：B．5．解：∵s A2＞s B2，∴数据B组的波动小一些．故选：B．6．解：∵直线y＝ax+b（a≠0）经过第一，二，四象限，∴a＜0，b＞0，∴直线y＝bx﹣a经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选：D．7．解：连接AB，∵∠AOB＝90°，∴AB是圆的直径，∵∠ACO＝60°，∴∠OBA＝60°，∵OB＝2，∴AB＝4，故选：C．8．解：如图1，直线y＝x﹣5中，令y＝0，得x＝5；令x＝0，得y＝﹣5，即直线y＝x﹣5与坐标轴围成的△OEF为等腰直角三角形，∴直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，由图2可得，t＝3时，直线l经过点A，∴AO＝5﹣3×1＝2，∴A（﹣2，0），由图2可得，t＝15时，直线l经过点C，∴当t＝，直线l经过B，D两点，∴AD＝（9﹣3）×1＝6，∴等腰Rt△ABD中，BD＝，即当a＝9时，b＝．故选：C．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．解：在﹣2、，4.121121112、π﹣3.14，、0.5中，是无理数的是，π﹣3.14，故答案为：，π﹣3.14．10．解：∵点E，F分别是AC，BC的中点，∴AB＝2EF，EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴＝，∴S 四边形ABFE ＝9＝3S △CEF ， ∴S △CEF ＝3， 故答案为3．11．解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积 ∴飞镖落在阴影部分的概率是＝， 故答案为：．12．解：∵∠BOC ＝2∠BAC ＝60°，又OB ＝OC ， ∴△BOC 是等边三角形 ∴OB ＝BC ＝6， 故答案为6．13．解：∵点B 在反比例函数y ＝的图象，且点B 的横坐标为5， ∴点B 的纵坐标为：y ＝＝1， ∴B （5，1），∵抛物线y ＝ax 2+4x +c （a ≠0）与反比例函数y ＝的图象相交于点B ，与y 轴交于点C （0，6）， ∴，解得，∴抛物线为y ＝﹣x 2+4x +6， ∵y ＝﹣x 2+4x +6＝﹣（x ﹣2）2+10， ∴A （2，10），∴A 关于y 轴的对称点A ′（﹣2，10）， ∵B （5，1），∴B 点关于x 轴的对称点B ′为（5，﹣1），连接A′B′交x轴于P，交y轴于Q，此时AQ+QP+PB的值最小，即AQ+QP+PB＝A′B′，A′B′＝＝，故AQ+QP+PB的最小值为．14．解：设需安排x名工人加工大齿轮，y名工人加工小齿轮，依题意，得：．故答案为：．15．解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，∴AB＝AD＝5＝CD，∴DO＝＝＝3，∵CD∥AB，∴点C的坐标是：（﹣5，3）．故答案为（﹣5，3）．16．解：如图所示：连接EM，∵G是AE的中点，∴AG＝EG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝∠ABF＝90°，AB∥DC，AD∥BC，∴＝1，∴MG＝DG，∴四边形AMED是矩形，∴AG＝MG＝DG＝4，∴∠GDA＝∠EAD，∵AD∥BC，∴∠GDA＝∠DFC，∵∠AFC＝3∠EAD，∠AGF＝∠EAD+∠GDA，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG＝4，在Rt△ABF中，AB＝＝；故答案为：．三．解答题（共12小题，满分68分）17．解：如图所示，点C1和点C2即为所求．18．解：原式＝4+2×﹣+1+1＝6．19．解：解不等式2x+1≥﹣1，得：x≥﹣1，解不等式x+1＞4（x﹣2），得：x＜3，则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．20．（1）证明：△＝（﹣3m）2﹣4（2m2+m﹣1）＝（m﹣2）2 ≥0，∴无论m取何值时，方程总有实数根；（2）解：当△＝0，即m＝2时方程的两根相等，此时方程为x2 ﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3．21．解：（1）如图，过点D作DM⊥AB于点M，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝45°，∴AM＝DM，∵AD＝4，∴DM＝AM＝AD＝4，∵CE⊥BD，∴∠BEC＝90°＝∠ABC，∴∠BCE+∠EBC＝90°，∠EBC+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BCE，∴tan∠BCE＝tan∠ABD＝＝，即＝，∴BM＝14，∴AB＝AM+BM＝4+14＝18；（2）∵F是AB的垂直平分线上的点，∴AF＝BF，∴∠A＝∠ABF＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝45°，∴∠FBC＝∠FCB，且∠ABD＝∠BCE，∴BF＝CF，∠EBF＝∠ECF，如图，在CE上截取CN＝BE，连接FN，∵BF═CF，∠EBF＝∠ECF，∴△BEF≌△CFN（SAS），∴FN＝EF，∠BFE＝∠CFN，∵∠FCB＝∠FBC＝45°，∴∠BFC＝90°，∴∠CFN+∠BFN＝90°，∴∠BFE+∠BFN＝90°，∴∠EFN＝90°，且EF＝FN，∴△EFN是等腰直角三角形，∴∠FEC＝45°．22．（1）证明：∵y＝kx+3﹣2k，∴当x＝2时，y＝2k+3﹣2k＝3，∴点M（2，3）在直线y＝kx+3﹣2k上；（2）解：将点C（﹣2，﹣3）代入y＝kx+3﹣2k，得：﹣3＝﹣2k+3﹣2k，解得：k＝，此时直线CM的解析式为y＝x．设点P的坐标为（m，m）．∵S△BCP ＝BC•|y P﹣y B|，S△ABC＝BC•|y A﹣y C|，S△BCP＝2S△ABC，∴|m﹣（﹣3）|＝2×[1﹣（﹣3）]，解得：m1＝﹣，m2＝，∴点P的坐标为（﹣，﹣11）或（，5）．23．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵CD＝BD，∴AC＝AB；（2）解：∵AH：DH＝3：1，设DH＝x，则AH＝3x，AD＝4x，∵AC＝AB，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BF是⊙O的切线，∴∠CBF＝∠BAD＝∠CAD，∵∠CAD＝∠DBE，∴∠BAD＝∠DBE，∵∠ADB＝∠BDH，∴△ABD∽△BHD，∴＝，∴BD2＝AD×DH＝4x×x＝4x2，∴BD＝2x，∴tan∠CBF＝tan∠BAD＝＝．24．解：（1）由图1可知，8℃有2天，9℃有0天，10℃有2天，补全统计图如图；（2）根据条形统计图，7℃出现的频率最高，为3天，所以，众数是7；按照温度从小到大的顺序排列，第5个温度为7℃，第6个温度为8℃，所以，中位数为（7+8）＝7.5；平均数为（6×2+7×3+8×2+10×2+11）＝×80＝8，所以，方差＝[2×（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+2×（10﹣8）2+（11﹣8）2]，＝（8+3+0+8+9），＝×28，＝2.8；故答案为：7，7.5，2.8；（3）6℃的度数，×360°＝72°，7℃的度数，×360°＝108°，8℃的度数，×360°＝72°，10℃的度数，×360°＝72°，11℃的度数，×360°＝36°，作出扇形统计图如图所示．25．解：（1）∵S＝AC×BC△ABC＝×4×4＝8 （cm2）∴S△ABC故答案为：8（2）如图：连接CD∵AC＝BC，D是AB中点∴CD平分∠ACB又∵∠ACB＝90°∴∠A＝∠B＝∠ACD＝∠DCB＝45°∴CD＝BD依题意得：BE＝CF∴在△CDF与△BDE中∴△CDF≌△BDE（SAS）∴DE＝DF（3）如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，∵AD ＝BD ，∠A ＝∠B ＝45°，∠AND ＝∠DMB ＝90°∴△ADN ≌△BDM （AAS ）∴DN ＝DM若S △ADF ＝2S △BDE ． ∴×AF ×DN ＝2××BE ×DM∴|4﹣3x |＝2x∴x 1＝4，x 2＝若2S △ADF ＝S △BDE∴2××AF ×DN ＝×BE ×DM∴2×|4﹣3x |＝x∴x 1＝，x 2＝综上所述：x ＝ 或4 或 或26．解：（1）将点（2，0），（3，1），代入二次函数y ＝mx 2+nx +1， ，解得，∴二次函数的解析式是y ═x 2+x +1，一次函数解析式为y ＝x +； （2）∵一次函数y ＝mx +n 经过点（2，0），∴n ＝﹣2m ，∵二次函数y ＝mx 2+nx +1的对称轴是x ＝﹣，∴对称轴为x ＝1，又∵一次函数y＝mx+n图象经过第一、三象限，∴m＞0，∵y1＞y2，∴1﹣a＞1+a﹣1，∴a＜．（3）∵y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k），∴k＝mh2+nh+1，且h＝﹣，又∵二次函数y＝x2+x+1也经过A点，∴k＝h2+h+1，∴mh2+nh+1＝h2+h+1，∴，又∵﹣1＜h＜1，∴m＜﹣2或m＞0．27．解：（1）补全图形（如图1）（2）如图2，连接AE，设∠BAF＝α，∵点B关于射线AD的对称点为E，∴AE＝AB，∠BAF＝∠EAF＝α，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠F AC＝60°﹣α，∠EAC＝2α﹣60°，AE＝AC，∴∠ACE＝[180°﹣（2α﹣60°）]＝120°﹣α，∵∠ACE＝∠AFE+∠F AC＝120°﹣α，∴∠AFE＝（120°﹣α）﹣（60°﹣α）＝60°；（3）AF＝EF+CF，理由如下：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．∵∠FCG＝∠AFC＝60°，∴△FCG是等边三角形，∴GF＝FC，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠FCG，∴∠ACG＝∠BCF，在△ACG和△BCF中，，∴△ACG≌△BCF．∴AG＝BF，∵点B关于射线AD的对称点为E，∴BF＝EF，∴AF﹣AG＝GF，∴AF＝EF+CF．28．（1）①解：连接BE，如图1所示：∵BP是直径，∴∠BEC＝90°，∵＝130°，∴＝50°，∵＝，∴＝100°，∴∠CBE＝50°，∴∠C＝40°；②证明：∵＝，∴∠CBP＝∠EBP，∵∠ABE+∠A＝90°，∠C+∠A＝90°，∴∠C＝∠ABE，∵∠APB＝∠CBP+∠C，∠ABP＝∠EBP+∠ABE，∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；（2）解：①由AB＝15，BC＝20，由勾股定理得：AC＝＝＝25，∵AB•BC＝AC•BE，即×15×20＝×25×BE∴BE＝12，连接DP，如图1﹣1所示：∵BP是直径，∴∠PDB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴PD∥AB，∴△DCP∽△BCA，∴＝，∴CP＝＝＝CD，△BDE是等腰三角形，分三种情况：当BD＝BE时，BD＝BE＝12，∴CD＝BC﹣BD＝20﹣12＝8，∴CP＝CD＝×8＝10；当BD＝ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，∴CD＝BC＝10，∴CP＝CD＝×10＝；当DE＝BE时，作EH⊥BC，则H是BD中点，EH∥AB，如图1﹣2所示：AE＝＝＝9，∴CE＝AC﹣AE＝25﹣9＝16，CH＝BC﹣BH＝20﹣BH，∵EH∥AB，∴＝，即＝，解得：BH＝，∴BD＝2BH＝，∴CD＝BC﹣BD＝20﹣＝，∴CP＝CD＝×＝7；综上所述，△BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或或7；②当点Q落在∠CPH的边PH上时，CP最小，如图2所示：连接OD、OQ、OE、QE、BE，由对称的性质得：DE垂直平分OQ，∴OD＝QD，OE＝QE，∵OD＝OE，∴OD＝OE＝QD＝QE，∴四边形ODQE是菱形，∴PQ∥OE，∵PB为直径，∴∠PDB＝90°，∴PD⊥BC，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴PD∥AB，∴DE∥AB，∵OB＝OP，∴OE为△ABP中位线，∴PE＝AE＝9，∴PC＝AC﹣PE﹣AE＝25﹣9﹣9＝7；当点Q落在∠CPH的边PC上时，CP最大，如图3所示：连接OD、OQ、OE、QD，同理得：四边形ODQE是菱形，∴OD∥QE，连接DF，∵∠DBC＝90°，∴DF是直径，∴D、O、F三点共线，∴DF∥AQ，∴∠OFB＝∠A，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠OBF＝∠A，∴P A＝PB，∵∠OBF+∠CBP＝∠A+∠C＝90°，∴∠CBP＝∠C，∴PB＝PC＝P A，∴PC＝AC＝12.5，∴7＜CP＜12.5，故答案为：7＜CP＜12.5．。
北京育英中学2020届初三模拟考试数学试题及答案(word版)
北京市育英中学2020年初三模拟考试数学试卷2020年4月16日 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如左图所示，该几何体的主视图是（ ）2. 为应对“新冠疫情”，近日，财政部表示，截至3月21日，中央财政已累计安排有关防控资金257.5亿元， 支持地方做好患者救治、医护人员补贴发放，以及建立疫情防控短缺物资储备、开展药品和疫苗研发等工作。
据官方此前消息，截止到3月13号，全国各级财政安排的疫情防控投入已经达到了1169亿元。
将1169亿 元用科学计数法表示为（ ）元 。
A ．B ．C ．D ．3. 如果实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是 （ ）A ．a b <B ．a b >-C ．2a >-D ．b a >42x -x 的取值范围为（ ） A ．2x >B ．2x ≥C ．2x =D ．2x ≠5. 如果30x y -=，那么代数式()2222x yx y x xy y +⋅--+的值为（ ）A ．27-B ．27C ．72-D ．726．方程组 ⎩⎨⎧=-=-732,2y x y x 的解为（ ）A ．⎩⎨⎧==31y xB.⎩⎨⎧=-=31y xC.⎩⎨⎧-=-=31y x D.⎩⎨⎧==13y x7.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：m 3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0°＜x ≤90°） 近似满足函数关系c bx ax y ++=2（0≠a ）.如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为( )DC B AA.18°B.36°C.41°D.58°8. 已知：∠BAC ．（1）如图，在平面内任取一点O ；（2）以点O 为圆心，OA 为半径作圆，交射线AB 于点D ，交射线AC 于点E ； （3）连接DE ，过点O 作线段DE 的垂线交⊙O 于点P ； （4）连接AP ，DP 和PE ．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：① △ADE 是⊙O 的内接三角形； ② AD=DP=PE ； ③ DE=2PE ； ④ AP 平分∠BAC ．， 所有正确结论的序号是 ．二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9.分解因式: 22344-+=a b ab b . 10. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果，则∠ACD 的度数是_________．DC EBO A(第10题图) (第11题图) (第14题)11. 中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币. 如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为__________.12. 若多项式2x ax b ++可以写成()2x m +的形式，且0ab ≠，则a 的值可以是_____，b 的值可以是_____ ．13. 小华同学的身高为170 cm ，测得他站立在阳光下的影长为85 cm ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为105 cm ，那么小华举起的手臂超出头顶的长度为____________ cm.14. 如图所示，在一条笔直公路l 的两侧，分别有A 、B 两个小区，为了方便居民出行，现要在公路l 上建一个公共自行车存放点，使存放点到A 、B 小区的距离之和最小，你认为存放点应该建在 处（填“C ”“E ”或“D ”），lECDABy / m 3x /度18 O 54 720.1360.1500.125理由是 ____________________________．15. 为了解同学们对网络游戏的喜好和作业量多少的相关性，小明随机对年级50名同学进行了调查，并将调查的情况进行了整理，如下表：如果小明再随机采访一名同学，那么这名同学是“喜欢网络游戏并认为作业多”的可能性 “不喜欢网络游戏并认为作业不多”的可能性. （填“>”，“=”或 “<”）16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,0), B (3,0)，C 为平面内的动点，且满足∠ACB =90°，D 为直线y =x 上的动点，则线段CD 长的最小值为__________.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()116tan 3021122-⎛⎫-︒--+ ⎪⎝⎭． 18. 解不等式组: 32431.22x x x +<⎧⎪⎨-⎪⎩，≥19．已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°.求作：射线CG ，使得CG ∥AB ．下面是小东设计的尺规作图过程． 图1 图2 作法：如,2，①以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC ，AB 于D ，E 两点； ②以点C 为圆心，AD 长为半径作弧，交AC 的延长线于点F ； ③以点F 为圆心，DE 长为半径作弧，两弧在∠FCB 内部交于点G ；认为作业多认为作业不多合计 喜欢网络游戏 18 9 27 不喜欢网络游戏8 15 23 合计262450作业量多少网络游戏的喜好EDC CABA④作射线CG ．所以射线CG 就是所求作的射线． 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：连接FG 、DE .∵△ADE ≌ △_________， ∴∠DAE = ∠_________．∴CG ∥AB （__________________________）（填推理的依据）．20．关于x 的一元二次方程()2210x x n +--=有两个不相等的实数根． （1）求n 的取值范围；（2）若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．21．如图，在△ABC 中，AC =BC ，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，连接DE ，DF ． （1）求证：四边形DFCE 是菱形；（2）若∠A =75°，AC =4，求菱形DFCE 的面积． （1）证明：∵D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，∴DE =12BC =FC ， DF =12AC =EC ． …………………………………………………………1分∵AC =BC ，∴DE =FC =DF =EC ． ………………………………………………………2分 ∴四边形DFCE 是菱形． …………………………………………………3分（2）解：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，如图．∵AC =BC ， ∴∠A =∠B ． ∵∠A =75°，∴∠C =180°－∠A －∠B =30°． ∵AC =4，∴CE =CF =2．在Rt △EHC 中，EH =12CE =1， ∴菱形DFCE 的面积=CF ·EH =2． …………………………………………5分22.在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =-与双曲线ky x=（0k ≠）的一个交点为(6,)P m . （1）求k 的值；（2） 将直线y x =-向上平移b (b>0)个单位长度后，与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，与双曲线ky x =（0k ≠）的一个交点记为Q .若2BQ AB =，求b 的值.解：（1）∵在直线上,∴． ………………………1分 ∵在双曲线上，∴． ………………………2分图1 图2(2) ∵向上平移(0b >)个单位长度后，与轴，轴分别交于A ，B ，∴． ………………………3分 作⊥轴于H ，可得△∽△．如图1，当点Q 在AB 的延长线上时， ∵，∴3===AB AQOA HA OB HQ ． ∵OA OB b ==， ∴，2HO b =.∴的坐标为． 由点在双曲线6y x=-上， 可得1b =． ………………………4分 如图2，当点Q 在AB 的反向延长线上时， 同理可得，的坐标为． 由点在双曲线6y x=-上，可得． 综上所述，或． ………………………5分23. 如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C ∠=∠，OE 交BC 于点F . （1）求证：OE ∥BD ；（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5DBA ∠=时，求EF 的长. (1) 证明：连接OB∵CD 为⊙O 的直径 ，∴︒=∠+∠=∠90OBD CBO CBD . ∵AE 是⊙O 的切线， ∴︒=∠+∠=∠90OBD ABD ABO . …………………1分EBC O FD A∴CBO ABD ∠=∠.∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC .∴CBO C ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠. ∵C E ∠=∠， ∴E ABD ∠=∠.∴ OE ∥BD .…………………………………………………2分(2)解：由（1）可得sin ∠C = ∠DBA= 25，在Rt △OBE 中, sin ∠C ,OC =5 ∴ . …………………………………3分∵90CBD EBO ∠=∠=︒，C E ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO . ∴ .∴ . …………………………………4分∵OE ∥BD ，CO =OD ， ∴CF =FB .∴ .∴ .…………………………………5分 24．如图，线段AB 及一定点C ，P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ^于点Q ．已知7AB =cm ，设A P ，两点间的距离为x cm ，A Q ，两点间的距离为1y cm ，P Q ，两点间的距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：25BDCD ==4BD =BD CD BO EO =252EO =122OF BD ==212EF OE OF =-=2y /cm 0 0.08 0.09 0.06 0 0.29 0.73 1.824.205.336.41（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点()1x y ，，()2x y ，，并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当APQ △中有一个角为30°时，AP 的长度约为 cm ． 解：本题答案不唯一，如： （1）x /cm0.3 0.5 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 71y /cm 0 0.28 0.49 0.79 1 1.48 1.87 2.372.61 2.72 2.76 2.782y /cm 0 0.08 0.09 0.06 0 0.29 0.73 1.82 3.024.205.336.41（2）（2.82-3.22之间即可） (1)注意图象要平滑不出头） (4)（（3）5.49或2.50． （5.29-5.69或2.30-2.80） (6)25．为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050x ?，5060x ?，6070x ?，7080x ?，8090x ?，90100x ＃）： 765432187654321y /cm x /cmO765432187654321y /cmx /cm O频数(学生人数)/分b ．甲学校学生成绩在8090x ?这一组的是：80 80 81 81.5 82 83 83 84 858686.5878888.58989c ．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学生A ，乙学校学生B 的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是______（填“A ”或“B ”）；（2）根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_______________（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到______分的学生才可以入选．解：（1）A ． ·······················1 （2）乙． ·······················2 理由：甲校优秀率40%，低于乙校，说明乙校综合展示水平优秀人数更多；通过图表，估计甲校平均数为79，低于乙校，说明乙校整体水平高于甲校;甲校中位数为81.25，乙校为84，说明乙校综合展示水平一半的同学高于84分，而甲校一半同学的综合展示水平仅高于81.25.综合以上三个（两个）理由，说明乙校的综合素质展示水平更高. (4)（3）88.5． ·······················6 26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =-+． （1）当2m =时，①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；②若点A （2-，1y ），B （2x ，2y ）都在抛物线上，且21y y >，则2x 的取值范围是_____；（2）已知点P （1-，2），将点P 向右平移4个单位长度，得到点Q ．当3n =时，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围． 解：（1）①∵2m =， ∴抛物线为22y x x n =-+．∵212x -=-=， ∴抛物线的对称轴为直线1x =． …………………………………………1分 ∵当1x =时，121y n n =-+=-， ∴顶点的纵坐标为1n -． …………………………………………………2分 ②22x <-或24x >． …………………………………………………………4分 （2）∵点P （1-，2）向右平移4个单位得到点Q ， ∴点Q 的坐标为（3，2）． ∵3n =，∴抛物线为23y x mx =-+．当抛物线经过点Q （3，2）时，22333m =-+，解得103m =． 当抛物线经过点P （1-，2）时，22(1)3m =-++，解得2m =-．当抛物线的顶点在线段PQ 上时，21224m -=，解得2m =±．结合图象可知，m 的取值范围是2m ≤-或2m =或103m >． ……………6分27.如图1，已知∠DAC =90°，△ABC 是等边三角形，点P 为射线AD 上任意一点（点P 与点A 不重合），连结CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，连结QB 并延长交直线AD 于点E . （1）如图1，猜想∠QEP = °；（2）如图2，3，若当∠DAC 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况加以证明； （3）如图3，若∠DAC =135°，∠ACP =15°，且AC =4，求BQ 的长． 解： (1) ∠QEP = 60 °．………………1分GQPEDCBA∴ ∠QEP =∠PCQ =60°． ………………4分 （3）由题意可求，∠APC =30°，∠PCB =45°． 又由（2）可证 ∠QEP =60°． ∴ 可证QE 垂直平分PC ，△GBC 为等腰直角三角形． ∵ AC =4，∴ 22GC =，26GQ =．∴ 2622BQ =-． ………………7分28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线.（1）当⊙O 的半径为1时，○1分别判断在点D （21，14），E （0，3），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点有__________； ○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程. ○3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线323y x =+x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．答案：（1）①D ,E . …………2分②连接OD ，过D 作OD 的垂线交⊙O 于A ，B 两点. …………4分 （2）∵⊙O 的半径为1，所以点P 到⊙O 的距离小于等于3，且不等于1时时，符合题意.∵ 点P 在直线3y x =-+上，∴03p x ≤≤. …………6分 （3）09C x ≤≤. …………8分。
2020育英学校初三冲刺试卷-数学【含答案】
3 25北京市育英中学初三数学模拟试题班级姓名2020 年 7 月一、选择题(本题共16 分，每小题2 分)1.我国在自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（）．A．5.8 ⨯1010B．5.8 ⨯1011C．58 ⨯109D．0.58 ⨯1011 2.下列实数中，在 2 和3 之间的是（）．A．π B．π- 2 C．D．3.下列运算中，正确的是（）．A．x2 + 5x2 = 6x4 B．x3 ⋅x2 =x6C．(x2 )3 =x6 D．(xy)3 =xy34.若实数a，b满足a ＞b ，则与实数a，b对应的点在数轴上的位置可以是（）．5.点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4），这种图形变化可以是（）． A．关于x 轴对称B．关于y 轴对称C．绕原点逆时针旋转90° D．绕原点顺时针旋转90°6．一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90︒，∠A = 45︒，∠E = 60︒，点F 在CB的延长线上.若DE∥CF，则∠BDF等于（）． A．35︒B．30︒C．25︒D．15︒7.下列几何体中，俯．视．图．为三角形的是（）．A B C D3 28数学试卷第1页（共8页）数学试卷 第2页（共8页）8.生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解 2019 年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市 2019 年第二季度的 m 天数据，整理后绘制成统计表进行分析．表中 3≤x ＜4 组的频率 a 满足 0.20≤a ≤0.30． 下面有四个推断： ①表中 m 的值为 20； ②表中 b 的值可以为 7；③这 m 天的日均可回收物回收量的中位数在 4≤x ＜5 组； ④这 m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于 3． 所有合理推断的序号是（A ）①② （B ）①③ （C ）②③④ （D ）①③④ 二、填空题(本题共 16 分，每小题 2 分)9有意义，则实数 x 的取值范围是.10．分解因式： m 2 n - 4n =.11．若多边形的内角和为其外角和的 3 倍，则该多边形的边数为 .12. 化简代数式⎛x +1+ 1 ⎫ ÷x ，正确的结果为.x -1⎪2x - 2 ⎝⎭13. 甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做 6 个，甲做 30 个所用的时间与乙 做45 个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做 x 个，那么可 列方程为14. 小林想要计算一组数据 72，70，74，66，79，65 的方差 s 2．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去 70，得到一组新数据 2，0，4， -4，9， -5．记这组新 数据的方差为 s 2 ，则 s2s 2 . (填“ >”，“ = ”或“ < ”)1115. 将直线 y =x 的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后，所得直线的函数表达式为，这两条直线间的距离为.16． 如图， 点Q 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处.柱柱同数学试卷 第3页（共8页）ABO1 -2学操控机器人以每秒 1 个单位长度的速度在图 1 中给出的线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为 t 秒，机器人到点 A 距离设为 y ，得到函数图象如图 2.通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为 1； ②当t = 3 时，机器人一定位于点 Q ； ③机器人一定经过点 D ； ④机器人一定经过点 E ； 其中正确的有（ ）.FCED图 1 图 2三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第27， 28 题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算： 4sin 45︒- 8+( ) + | 3 - π |218. 解分式方程： 3 - x 2 - 9 2 =x - 3 1 .x + 319. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB<BC ，用尺规作图的方法在 BC 上取一点 P ，使得 PA+PC=BC. 作法：（1） 作线段AB 的垂直平分线 l.（2） 直线 l 交 BC 于点 P.则点 P 就是所求的点. 证明：连接 PA∵直线 L 垂直平分线段 AB∴PA=PB(填写正确的依据)∵BC=PB+PC∴PA+PC=BC.解决下列问题：（1）利用尺规作图确定 P 点的位置（2）补全证明过程中的依据（3）如果题干无 AB<BC 条件，在线段 BC 上点P 不一定存在，在请画图说明. 20．已知关于x 的一元二次方程kx2 - 4x + 3 = 0 .（1）当k =1 时，求此方程的根;（2）若此方程有两个实数根，求k 的取值范围.21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE 与CE交于点E．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）当∠ABD＝60°，AD＝2√3时，求∠EDB的正切值．22.为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药，12 周后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者；同时记录了服药患者在 4 周、8 周、12 周后的指标z 的改善情况，并绘制成条形统计图．数学试卷第4页（共8页）数学试卷 第5页（共8页）1 2 1 2根据以上信息，回答下列问题：（1） 从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 x 的值大于 1.7 的概率；（2） 设这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差为 S 2 ，未服药者指标 y 数据的方差为 S 2 ，则 S 2 S 2；（填“>”、“=”或“<” ） （3） 对于指标 z 的改善情况，下列推断合理的是 ．①服药 4 周后，超过一半的患者指标 z 没有改善，说明此药对指标 z 没有太大作用；②在服药的 12 周内，随着服药时间的增长，对指标 z 的改善效果越来越明显．23. 如图，点 A ，B ，C 在⊙ O 上，D 是弦 AB 的中点，点 E 在 AB 的延长线上，连接OC ，OD ， CE ， ∠CED + ∠COD = 180°. （1）求证： CE 是⊙ O 切线；（2）连接OB ，若OB ∥ CE ， tan ∠CEB = 2 ， OD = 4 ，求CE 的长.E数学试卷 第6页（共8页）k24. 在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y =A （3，m ） （1） 求 k 的值 k(x > 0) 的图象与直线 y = x - 1 交于点x（2） 已知点 P （n ，0）(n > 0)，过点 P 作垂直于 x轴的直线，交直线 y = x - 1 于点 B ，交函数y = x(x > 0) 图象于点 C.①当 n = 4 时，判断线段 PC 与 BC 的数量关系，并说明理由；②若 PC ≤BC ，结合图象，直接写出 n 的取值范围众号：指尖数学试卷第7页（共8页）26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y =ax2 - 4ax + 3a 与y轴交于点A.（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线与x 轴的交点坐标；（3）已知点P(a，0)，Q(0，a - 2 )，如果抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27.已知∠AOB=40°，M 为射线OB 上一定点，OM=1，P 为射线OA 上一动点（不与点O 重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图 1；（2）求证：∠APN=∠OMP；（3）H 为射线OA 上一点，连接NH．写出一个OH 的值，使得对于任意的点P 总有∠OHN 为定值，并求出此定值．备用图图 128.已知：点P 为图形M 上任意一点，点 Q 为图形N 上任意一点，若点 P 与点Q 之间的距离PQ 始终满足PQ>0，则称图形M 与图形N 相离．y6（1）已知点A（1，2）、B（0，-5）、C（2，-1）、D（3，4）．54①与直线y=3x-5 相离的点是；3②若直线y=3x+b 与△ABC相离，求b 的取值范围；2（2）设直线y = 3x +3、直线y =- 3x +3及直线 y=-2 1–6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 x围成的图形为W，⊙T的半径为1，圆心T 的坐标为（t，0），1–2 直接写出⊙T与图形W 相离的t 的取值范围．3–4–5–6数学试卷第8页（共8页）数学试卷 第 9页（共 6页）1 -2北京市育英中学初三数学模拟试题答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCDCDDD二、填空题 9. x ≥110. n (m + 2)(m - 2)11. 8 12. 2x 13.30 = 45 x x + 614. =15. y = x + 2 ， 16. ①②③17．计算： 4sin 45︒ - 8+( ) + | 3 - π |2解：原式= 4 ⨯2- 2 2 + 4 + π - 3= 2 2 - 2 2 + 4 + π - 318．解： = π + 1 .3 - 2 (x + 3) = x - 3 . 3 - 2x - 6 = x - 3 .-3x = 0 . x = 0 .经检验， x = 0 是原方程的解. ∴原方程的解是 x = 0 .19.（1）如图（2）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等2 2（3）数学试卷第10页（共6页）数学试卷 第 11页（共 6页）20.（1） 当 k =1 时，此方程为 x 2- 4x + 3 = 0(x -1)(x - 3) = 0x 1 = 1 ，x 2 = 3（2）由题意得 k ≠ 0 ，∆ = 16 -12k ≥ 04∴ k ≤∴ k ≤34且 k ≠ 0321.解：（1）∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形 OBEC 为平行四边形．∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ．∴∠BOC ＝90°．∴四边形 OBEC 是矩形．（2）∵AD ＝AB ，∠DAB ＝60°，∴△ABD 为等边三角形．∴BD ＝AD ＝AB ＝2 3． ∵ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，∴∠BAO ＝30°．5 5图1∴OC＝OA＝3．∴BE＝3∴tan∠EDB= Bࠀ = 3 = 3．BD 2 3 222．解：(1) 指标x 的值大于1.7 的概率= 3 ÷ 50 =350或6%．(2)S 2 >S 2 ；（填“>”、“=”或“<”）1 2(3) 推断合理的是②．23．（1）证明：如图1，∵ D 是弦AB 的中点，OD 过圆心，∴OD ⊥AB即∠ODB = 90°．∵在四边形ODEC 中，∠CED +∠COD =180°，∴∠OCE = 90°.又∵ OC 是⊙ O 的半径，∴ CE 是⊙ O 切线．（2）解：延长CO ，EA 交于点F ，如图2．∵O B∥CE ，∴∠BOF =∠ECO = 90°，∠1=∠E．在Rt△ODB 中，tan ∠1 =OD= 2 ，OD = 4 ，BD∴BD = 2 ，OB = 2 ．在Rt△BOF 中，tan ∠1 =OF= 2 ，OB ∴OF = 2OB = 4 ．∵O B∥CE ，∴△BOF ∽△ECF∴ OB=OFCE CF即2 5=CE4 54 5 + 2 5 图2数学试卷第12页（共6页）数学试卷 第 13页（共 6页）5∴ CE = 3 ．24.（1）把 x = 3 代入 y = x - 1 得 y = 2 k∴A （3，2） 又 y = (x > 0) 图象过点 A （3，2） x解得 k = 6 （2）① PC = BC当 n = 4 时，B （4，3）C （4 3 ，） 233PC = 2 , BC = 2② 0 < n ≤ 1 或 n ≥ 426．解. （1）令 x =0，则 y =3a.∴点 A 的坐标为（0，3a ）.（2）令 y =0，则 ax 2 - 4ax +3a =0.∵a ≠0， ∴解得 x 1 = 1, x 2 = 3 .∴抛物线与 x 轴的交点坐标分别为（1，0）, （3，0）. （3）①当 a < 0 时，可知3a≥a -2. 解得a≥-1.∴ a 的取值范围是-1≤a <0 .② 当a＞0 时，由①知a≥-1 时，点Q 始终在点A 的下方，所以抛物线与线段PQ 恰有一个公共点时，只要1≤a <3 即可.综上所述，a 的取值范围是-1≤a <0 或1≤a <3.27.解：（1）补全图形，如图所示.（2）证明：根据题意可知，∠MPN=∠AOB =40°，∵∠MPA =∠AOB +∠OMP=∠MPN +∠APN,∴∠APN=∠OMP.（3）解： OH 的值为 1.在射线 PA 上取一点 G，使得 PG=OM，连接 GN.根据题意可知，MP=NP.∴△OMP≌△GPN.∴OP=GN，∠AOB=∠NGP=40°.∴PG=OH.∴OP=HG.∴NG=HG.∴∠NHG=70°.∴∠OHN=110°.28.解：（1）①与直线y=3x-5相离的点是A、C；②当直线y=3x+b 过点A（1，2）时，3+ b=2．∴b=-1．当直线y=3x+b 过点C（2，-1）时，数学试卷第14页（共6页）6+ b=-1．∴b=-7．∴b 的取值范围是b>-1 或b<-7．（2）t 的取值范围是：t< -5 3或t>5 3或-3 3<t< .3 3 3 3数学试卷第15页（共6页）。
2020年中考数学仿真试卷四(含解析)
2020年中考数学仿真试卷（四）一、选择题1．﹣7的绝对值是（）A．7B．﹣7C．D．﹣2．下列计算正确的是（）A．a+a2＝a3B．a6b÷a2＝a3bC．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（﹣ab3）2＝a2b63．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠C＝140°，则弧BD的长为（）A．πB．πC．πD．2π5．已知二次函数y＝2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点时，他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第20次“移位”后，他所处顶点的编号是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．若代数式1+在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为．8．已知a、b是一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两个根，则a+b﹣ab＝．9．当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是．10．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶千米．11．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．12．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线AB交于点A（2，3），直线AB与x轴交于点B（4，0），过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是．三、（本大题共6小题，13，14题每题3分，15-18题每小题3分，共30分）13．计算：|1﹣|+20200﹣﹣（）﹣1；14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为底边，向△ABC外部作等腰△ADC和△CEB，点M为AB中点，连接MD、ME分别与AC、BC交于点F和点G．求证：四边形MFCG是矩形．15．解不等式组：，并将解集在数轴上表示．16．如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，BD＝DC，BE∥DC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（1）在图1中，画一个以AB为边的直角三角形；（2）在图2中，画一个菱形，要求其中一边在BE上．17．一只不透明的袋子中装有4个球，其中两个红球，一个黄球、一个白球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为．（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，用列表法或树形图的方法，求两次都是红球的概率．18．如图，一次函数y＝k1x+3的图象与坐标轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与反比例函数y＝（x＞0）相交于点C（2，m）．（1）填空：k1＝，k2＝；（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，交x轴正半轴于点D，若PD：CP＝1：2时，求△COP的面积．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查．结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．（1）被随机抽取的学生共有多少名？（2）在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；（3）该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？20．小亮将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OA与底板OB所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架BCO'后，电脑转到BO′A′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA＝OB＝28cm，O′C⊥OB于点C，O′C＝14cm．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（1）求∠CBO'的度数．（2）显示屏的顶部A'比原来升高了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′A′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′A′应绕点O'按顺时针方向旋转多少度？（不写过程，只写结果）21．如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上两点，连接AD，CD．（1）如图1，点P是AC延长线上一点，∠APB＝∠ADC，求证：BP与⊙O相切；（2）如图2，点G在CD上，OF⊥AC于点F，连接AG并延长交⊙O于点H，若CD 为⊙O的直径，当∠CGB＝∠HGB，BG＝2OF＝6时，求⊙O半径的长．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．某店因为经营不善欠下38000元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）已知该店代理的某品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日的售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）当销售价为多少元时，该店的日销售利润最大；（3）该店每天支付工资和其它费用共250元，该店能否在一年内还清所有债务．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE 为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP 的长．六、（本大题共12分）24．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形（1）概念理解①根据上述定义举一个等补四边形的例子：；②如图1，四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求证：四边形ABCD是等补四边形．（2）性质探究：③小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，则∠ACD∠ACB（填“＞”“＜”或“＝“）；④若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论：（3）问题解决在等补四边形ABCD中，AB＝BC＝2，等边角∠ABC＝120°，等补对角线BD与等边垂直，求CD的长．参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．﹣7的绝对值是（）A．7B．﹣7C．D．﹣【分析】根据绝对值的性质解答，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a．解：|﹣7|＝7．故选：A．2．下列计算正确的是（）A．a+a2＝a3B．a6b÷a2＝a3bC．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（﹣ab3）2＝a2b6【分析】根据同类项合并、整式的除法、完全平方公式和积的乘方判断即可．解：A、a与a2不能合并，错误；B、a6b÷a2＝a4b，错误；C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误；D、（﹣ab3）2＝a2b6，正确；故选：D．3．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好解：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误．故选：D．4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠C＝140°，则弧BD的长为（）A．πB．πC．πD．2π【分析】连接OB、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，利用弧长公式计算即可．解：连接OB、OC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠C＝40°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，∴＝＝π，故选：B．5．已知二次函数y＝2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可．解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；②图象的对称轴为直线x＝3，故本小题错误；③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；综上所述，说法正确的有④共1个．故选：A．6．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点时，他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第20次“移位”后，他所处顶点的编号是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据“移位”的特点确定出前几次的移位情况，从而找出规律，然后解答即可．解：根据题意，小宇从编号为2的顶点开始，第1次移位到点4，第2次移位到达点3，第3次移位到达点1，第4次移位到达点2，…，依此类推，4次移位后回到出发点，20÷4＝5．所以第20次移位为第5个循环组的第4次移位，到达点2．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．若代数式1+在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为x≠1．【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．解：∵代数式1+在实数范围内有意义，∴x﹣1≠0，解得：x≠1，∴则实数x的取值范围为：x≠1．8．已知a、b是一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两个根，则a+b﹣ab＝2．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求得a+b、ab的值，然后将其代入所求的代数式并求值．解：∵a，b是一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两个根，∴由韦达定理，得a+b＝﹣2，ab＝﹣4，∴a+b﹣ab＝﹣2+4＝2．故答案为：2．9．当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是1＜k＜3．【分析】根据一次函数y＝kx+b，k＜0，b＜0时图象经过第二、三、四象限，可得2﹣2k ＜0，k﹣3＜0，即可求解；解：y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限，∴2﹣2k＜0，k﹣3＜0，∴k＞1，k＜3，∴1＜k＜3；故答案为1＜k＜3；10．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶千米．【分析】根据函数的图形可以得到甲用了30分钟行驶了12千米，乙用12分钟行驶了12千米，分别算出速度即可求得结果．解：∵据函数图形知：甲用了30分钟行驶了12千米，乙用（18﹣6）分钟行驶了12千米，∴甲每分钟行驶12÷30＝千米，乙每分钟行驶12÷12＝1千米，∴每分钟乙比甲多行驶1﹣＝千米，故答案为：．11．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为10．【分析】设P（x，x2﹣x﹣4）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+10．根据二次函数的性质来求最值即可．解：设P（x，x2﹣x﹣4），四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．故答案为10．12．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线AB交于点A（2，3），直线AB与x轴交于点B（4，0），过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是（2，）或（2，）或（6，﹣）．【分析】先将A点的坐标代入反比例函数求得k的值，然后将x＝4代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点C的坐标；然后结合图象分类讨论以A、B、C、D为顶点的平行四边形，如图所示，找出满足题意的D的坐标即可．解：把点A（2，3）代入y＝（x＞0）得：k＝xy＝6，故该反比例函数解析式为：y＝．∵点B（4，0），BC⊥x轴，∴把x＝4代入反比例函数y＝，得y＝．则C（4，）．①如图，当四边形ACBD为平行四边形时，AD∥BC且AD＝BC．∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），∴点D的横坐标为2，y A﹣y D＝y C﹣y B，故y D＝．所以D（2，）．②如图，当四边形ABCD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′＝CB．∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），∴点D的横坐标为2，y D′﹣y A＝y C﹣y B，故y D′＝．所以D′（2，）．③如图，当四边形ABD″C为平行四边形时，AC＝BD″且AC∥BD″．∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），∴x D″﹣x B＝x C﹣x A即x D″﹣4＝4﹣2，故x D″＝6．y D″﹣y B＝y C﹣y A即y D″﹣0＝﹣3，故y D″＝﹣．所以D″（6，﹣）．综上所述，符合条件的点D的坐标是：（2，）或（2，）或（6，﹣）．故答案为：（2，）或（2，）或（6，﹣）．三、（本大题共6小题，13，14题每题3分，15-18题每小题3分，共30分）13．计算：|1﹣|+20200﹣﹣（）﹣1；【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及二次根式性质计算即可求出值．解：原式＝﹣1+1﹣3﹣4＝﹣2﹣4．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为底边，向△ABC外部作等腰△ADC和△CEB，点M为AB中点，连接MD、ME分别与AC、BC交于点F和点G．求证：四边形MFCG是矩形．【分析】由题意可得点M在AC，BC的垂直平分线上，可得∠MFC＝90°，∠MGC＝90°，即可得结论．【解答】证明：连接CM，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB中点，∴CM＝AM＝BM＝AB．∴点M在线段AC的垂直平分线上．∵在等腰△ADC中，AC为底边，∴AD＝CD．∴点D在线段AC的垂直平分线上．∴MD垂直平分AC．∴∠MFC＝90°．同理：∠MGC＝90°．∴四边形MFCG是矩形．15．解不等式组：，并将解集在数轴上表示．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．解：由①得，x≤2，由②得，x＞﹣1，故不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．在数轴上表示为：16．如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，BD＝DC，BE∥DC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（1）在图1中，画一个以AB为边的直角三角形；（2）在图2中，画一个菱形，要求其中一边在BE上．【分析】（1）在图1中，画一个以AB为边的直角三角形即可；（2）在图2中，画一个菱形，要求其中一边在BE上即可．解：（1）如图，Rt△AOB即为所求；（2）如图，菱形BFCD即为所求．17．一只不透明的袋子中装有4个球，其中两个红球，一个黄球、一个白球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为．（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，用列表法或树形图的方法，求两次都是红球的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为＝，故答案为：．（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次都是红球的有4种结果，所以两次都是红球的概率为．18．如图，一次函数y＝k1x+3的图象与坐标轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与反比例函数y＝（x＞0）相交于点C（2，m）．（1）填空：k1＝，k2＝12；（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，交x轴正半轴于点D，若PD：CP＝1：2时，求△COP的面积．【分析】（1）先根据点A求出k1，再根据一次函数解析式求出m值，利用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）先根据三角形相似求得P点的坐标，然后利用三角形的面积差求解．S△COP＝S△COD ﹣S△POD．解：（1）∵一次函数y＝k1x+3的图象与坐标轴相交于点A（﹣2，0），∴﹣2k1+3＝0，解得k1＝，∴一次函数为：y1＝x+3，∵一次函数y1＝x+3的图象经过点C（2，m）．∴m＝×2+3＝6，∴C点坐标为（2，6），∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C，∴k2＝2×6＝12，故答案为，12．（2）作CE⊥OD于E，PF⊥OD于F，∴CE∥PF，∴△PFD∽△CED，∴＝，∵PD：CP＝1：2，C点坐标为（2，6），∴PD：CD＝1：3，CE＝6，∴＝，∴PF＝2，∴P点的纵坐标为2，把y＝2代入y2＝求得x＝6，∴P（6，2），设直线CD的解析式为y＝ax+b，把C（2，6），P（6，2）代入得，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+8，令y＝0，则x＝8，∴D（8，0），∴OD＝14，∴S△COP＝S△COD﹣S△POD＝×8×6﹣＝16．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查．结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．（1）被随机抽取的学生共有多少名？（2）在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；（3）该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？【分析】（1）利用活动数为2项的学生的数量以及百分比，即可得到被随机抽取的学生数；（2）利用活动数为3项的学生数，即可得到对应的扇形圆心角的度数，利用活动数为5项的学生数，即可补全折线统计图；（3）利用参与了4项或5项活动的学生所占的百分比，即可得到全校参与了4项或5项活动的学生总数．解：（1）被随机抽取的学生共有14÷28%＝50（人）；（2）活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角＝×360°＝72°，活动数为5项的学生为：50﹣8﹣14﹣10﹣12＝6，如图所示：（3）参与了4项或5项活动的学生共有×2000＝720（人）．20．小亮将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OA与底板OB所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架BCO'后，电脑转到BO′A′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA＝OB＝28cm，O′C⊥OB于点C，O′C＝14cm．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（1）求∠CBO'的度数．（2）显示屏的顶部A'比原来升高了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′A′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′A′应绕点O'按顺时针方向旋转多少度？（不写过程，只写结果）【分析】（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）通过解直角三角形求得AO，由C、O′、A′三点共线可得结果；（3）显示屏O′A′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′A′＝∠FO′B＝30°，既是显示屏O′A′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．解：（1）在Rt△CBO′中，∵O′C：O′B＝14：28＝0.5，∴∠CBO′＝30°；（2）A′C＝A′O′+O′C＝28+14＝42（cm）AO•sin60°＝14≈24.25（cm）42﹣24.25≈17.8（cm）；（3）显示屏O'A'应绕点O'按顺时针方向旋转30°．理由如下：如图，电脑显示屏O'A’绕点O'按顺时针方向旋转α度至O'E处，O'F∥OB．∵电脑显示屏O'A’与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO'F＝120°．∴∠FO'A＝∠CBO'＝30°．∴∠BO'A'＝120°．∴∠EO'A'＝∠FO'B＝30°，即α＝30°．∴显示屏O'A'应绕点O'按顺时针方向旋转30°．21．如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上两点，连接AD，CD．（1）如图1，点P是AC延长线上一点，∠APB＝∠ADC，求证：BP与⊙O相切；（2）如图2，点G在CD上，OF⊥AC于点F，连接AG并延长交⊙O于点H，若CD 为⊙O的直径，当∠CGB＝∠HGB，BG＝2OF＝6时，求⊙O半径的长．【分析】（1）如图1，连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠ABC＝∠P，求得∠ABP＝90°，于是得到结论；（2）如图2中，连接BC，BH，作BM⊥CD于M，AN⊥CD于N．想办法证明OM＝ON ＝GN，MG＝DN，设OM＝ON＝a，构建方程求出a即可解决问题．解：（1）如图1，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵∠ABC＝∠D，∠D＝∠P，∴∠ABC＝∠P，∴∠P+∠PAB＝90°，∴∠ABP＝90°，∴BP与⊙O相切；（2）如图2，连接BC，BH，作BM⊥CD于M，AN⊥CD于N．∵CD，AB是直径，∴OA＝OD＝OC＝OB，∵∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC＝2OF＝6，∵OA＝OB，∠AON＝∠BOM，∠ANO＝∠BMO＝90°，∴△AON≌△BOM（AAS），∴OM＝ON，AN＝BM，设OM＝ON＝a，∵∠CGB＝∠HGB，∴∠OGH＝2∠CGB，∵∠BOG＝∠OCB+∠OBC＝2∠GCB，∠GCB＝∠BGC，∴∠BOG＝∠OGH，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG，∵AN⊥OG，∴ON＝NG＝a，∵BG＝AD，BM＝AN，∠AND＝∠BMG＝90°，∴Rt△BMG≌Rt△AND（HL），∴MG＝DN＝3a，OD＝OA＝OB＝OC＝4a，∴BM＝＝a，在Rt△CBM中，∵BC2＝BM2+CM2，∴36＝15a2+9a2，∵a＞0，∴a＝，∴MG＝CM＝3a＝，∴DG＝2a＝，∴CD＝2×+＝4，∴⊙O半径的长为2．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．某店因为经营不善欠下38000元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）已知该店代理的某品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日的售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）当销售价为多少元时，该店的日销售利润最大；（3）该店每天支付工资和其它费用共250元，该店能否在一年内还清所有债务．【分析】（1）利用待定系数法，即可求得日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润w（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．（3）根据（2）中的最大利润，可求得除去其他支出的利润，即可判断能否在一年内还清所有债务解：（1）由图象可得，当40≤x＜58时，设y＝k1x+b1，代入得，解得∴y＝﹣2x+140（40≤x＜58）当58≤x≤71时，设y＝k2x+b2，代入得，解得∴y＝﹣x+82（58≤x≤71）故日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系为：y＝（2）由（1）得利润w＝整理得w＝故当40≤x＜58时，w＝﹣2（x﹣55）2+450∵﹣2＜0∴当x＝55时，有最大值450元当58≤x≤71时，w＝﹣（x﹣61）2+441∵﹣1＜0∴当x＝61时，有最大值441元综上可得当销售价为55元时，该店的日销售利润最大，最大利润为450元（3）由（2）可知每天的最大利润为450元则有450﹣250＝200元一年的利润为：200×365＝73000元所有债务为：30000+38000＝68000元∵73000＞68000∴该店能在一年内还清所有债务23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE 为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP 的长．【分析】（1）作OH⊥AC于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO平分∠BAC，再根据角平分线性质得OH＝OE，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先确定∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，再计算出AE＝3，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF进行计算；（3）作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时EP+FP最小，通过证明∠F′＝∠EAF′得到PE+PF最小值为3，然后计算出OP和OB得到此时PB的长．【解答】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OH⊥AC，∴OH＝OE，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵点F是AO的中点，∴AO＝2OF＝6，而OE＝3，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，∴AE＝OE＝3，∴图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF＝×3×3﹣＝；（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，∵PF＝PF′，∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小，∵OF′＝OF＝OE，∴∠F′＝∠OEF′，而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°，∴∠F′＝30°，∴∠F′＝∠EAF′，∴EF′＝EA＝3，即PE+PF最小值为3，在Rt△OPF′中，OP＝OF′＝，在Rt△ABO中，OB＝OA＝×6＝2，∴BP＝2﹣＝，即当PE+PF取最小值时，BP的长为．六、（本大题共12分）24．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形（1）概念理解①根据上述定义举一个等补四边形的例子：；②如图1，四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求证：四边形ABCD是等补四边形．（2）性质探究：③小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，则∠ACD＝∠ACB（填“＞”“＜”或“＝“）；④若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论：等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”（3）问题解决在等补四边形ABCD中，AB＝BC＝2，等边角∠ABC＝120°，等补对角线BD与等边垂直，求CD的长．【分析】（1）①正方形是等补四边形．②如图1中，作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，则∠DMA＝∠DNC＝90°，证明△ADM ≌△CDN（AAS），推出AD＝DC，即可解决问题．（2）③根据弦，弧，圆周角之间的关系解决问题即可．④根据“等补对角线”，“等边补角”等定义，利用③中结论即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当BD⊥AB时．②如图3﹣2中，当BD⊥BC时，分别求解即可．【解答】（1）①解：正方形是等补四边形．②证明：如图1中，作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，则∠DMA＝∠DNC＝90°，∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠A＝∠DCN，∵BD平分∠ABC，∴DM＝DN，在△ADM和△CDN中，，∴△ADM≌△CDN（AAS），∴AD＝DC，∴四边形ABCD是等补四边形．（2）③解：如图2中，∵AD＝AB，∴＝，∴∠ACD＝∠ACB．故答案为＝．④解：由题意，等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”．故答案为等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”．（3）解：如图3﹣1中，当BD⊥AB时，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC＝120°，∴∠ADC＝60°，∵∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠DBC＝30°，∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠BAC＝∠ACB＝30°，∴∠BAC＝∠BDC＝30°，∴∠CBD＝∠CDB，∴DC＝BC＝2．如图3﹣2中，当BD⊥BC时，∵∠DBC＝90°，∴CD是⊙O的直径，∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠BAC＝∠ACB＝30°，∴∠BAC＝∠BDC＝30°，∴CD＝2BC＝4，综上所述，满足条件的CD的值为2或4．。
北京市2020〖人教版〗九年级数学下册复习试卷下学期期中检测一模
BA ＇AB ＇第6题图北京市2020年〖人教版〗九年级数学下册复习试卷下学期期中检测一模第一部分选择题(共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．4的平方根为（* ）． A ．2B ．±2C ．4D ．±42. 对于样本数据1，2，3，2，2，以下判断：①平均数为5；②中位数为2；③众数为2；④极差为2．正确的有（* ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.如图所示的几何体的主视图是（* ）． 4A ．x ≥0B ．x ≠1C ．x ＞0D ．x ≥0且x ≠1 5. 已知一个圆锥的底面半径为3cm ，母线长为10cm ，则这个圆锥的侧面积为（* ）．A ．30πcm 2B ．50πcm 2C ．60πcm 2D ．391πcm 26．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ＇OB ＇， 若∠AOB=15°，则∠AOB ＇的度数是（* ）． A ．25° B ．30° C ．35° D ．40°A B CD第3题图A OP 第8题图第10题图 7．一次函数32-=x y 的大致图像为（* ）．A ．B ．C ．D ．8．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是 小正方形顶点，⊙O 的半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小 等于（* ）． A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°9．关于x 的二次函数2(1)2y x =--+，下列说法正确的是（* ）． A ．图象的开口向上B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，2）C ．当1x >时，y 随x 的增大而减小D ．图象的顶点坐标是（-1,2）10．如图，直角三角形纸片ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交与点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；…；如此类推，则AP 6的长为（* ）．A ．512532⨯B ．69352⨯C ．614532⨯D ．711352⨯第二部分 非选择题(共120分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)11．点A （0,3）向右平移2个单位长度后所得的点A ’的坐标为 * ．12．已知空气的单位体积质量为0.00124克/厘米3，将0.00124用科学记数法表示为*．13．如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，相似比为2∶3，已知AB ＝4，则DE 的长为 * ．14．化简：=+-+1112a a a * ． 15．如图，防水堤坝的轴截面是等腰梯形ABCD ，DA CB =，DC AB ∥，5=DA ，4=DC ，9=AB ，则斜坡DA 的坡角为* __度．o yx oyx yxo oyx第13题图CODE F AB16．已知α ，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足βα11+=﹣1，则m 的值是 * ．三、解答题(本大题共9小题，满分102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分9分）x x 332=-．解方程：18．（本小题满分9分） 如图，已知□ABCD .（1）作图：延长BC ，并在BC 的延长线上截取线段CE ，使得CE =BC （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连结AE ，交CD 于点F ， 求证:△AFD ≌△EFC . 19．（本小题满分10分）已知1=-b a 且2=ab ，求代数式32232ab b a b a +-的值． 20．（本小题满分10分）小强对自己所在班级的48名学生平均每周参加课外活动的时间进行了调查，由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题： （1）求m 的值；（2）从参加课外活动时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，请你用列表或画树状图的方法，求其中至少有1人课外活动时间在8～10小时的概率． 21．（本小题满分12分）为支持失学儿童，某计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A,B 两种型号的学习用品共1000件，已知A 型学习用品的单价为20元，B 型学习用品的单价为30元.（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A,B 两种学习用品各多少件？ （2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多能购买B 型学习用品多少件？22．（本小题满分12分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠BAD ＝60º，AC 交BD 于点O ，以第18题图第20题图ABCD第15题图点D 为圆心的⊙D 与边AB 相切于点E ． （1）求AC 的长；（2）求证：⊙D 与边BC 也相切． 23．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形．点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（0，﹣3），反比例函数xky =)0(≠k 的图象经过点C ． （1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 是反比例函数图象上的一点，△P AD 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求点P 的坐标． 24．（本小题满分14分）如图1，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 是上的一个动点（不与点A 、B 重合）OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为点D 、点E ． （1）当BC =1时，求线段OD 的长；（2）在点C 的运动过程中，△DOE 中是否存在长度保持不变的边或度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其长度或度数（只求一种即可．．．．．．）；如果不存在，请说明理由；（3）作DF ⊥OE 于点F （如图2），当DF 2+EF 取得最大值时，求sin ∠BOD 的值．25．（本小题满分14分）如图，已知直线l ：2+-=x y 与y 轴交于点A ，抛物线k x y +-=2)1(经过点A ，其顶点为B ，另一抛物线h h x y -+-=2)(2（h >1）的顶点为D ，两抛物线相交于点C ，（1）求点B 的坐标，并判断点D 是否在直线l 上，请说明理由；（2）设交点C 的横坐标为m ． ①请探究m 关于h 的函数关系式；②连结AC 、CD ，若∠ACD =90°，求m 的值．参考答案与评分标准一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）第24题图1 第24题图2 第23题图二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11．（2,3） 12．1.24×10－313．6 14．a ﹣115．6016．3（说明：此题写出“3或-1”作为答案，给2分）三、解答题(本大题共9小题，满分102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分9分）解：方程两边同乘以()3-x x ，得()332-=x x ………………4分 解得9=x ．………………8分 检验：当 x = 9时，()3-x x 0≠所以x = 9是原方程的解．………………9分 18．（本小题满分9分）解：（1）如图所示，线段CE 为所求；………………3分（2）证明：在□ABCD 中，A D ∥BC ，AD =BC .∴∠DAF =∠CEF ………………5分∵CE =BC ， ∴AD =CE ,………………7分 又∵∠DFA =∠CFE ，………………8分 ∴△AFD ≌△EFC .………………9分（说明：第（2）小题的解法较多，只要过程合理，同样给满分）19．（本小题满分10分） 解法一：∵1=-b a 且2=ab∴32232ab b a b a +-)2(22b ab a ab +-=………………3分2)(b a ab -=………………6分212⨯=………………8分2=………………10分解法二：由1=-b a 且2=ab解得⎩⎨⎧==12b a 或⎩⎨⎧-=-=21b a ………………4分当⎩⎨⎧==12b a 时，32232ab b a b a +-2=；………………7分 当⎩⎨⎧-=-=21b a 时，32232ab b a b a +-2=………………10分 （说明：解法二只算出一种情况共给5分） 20. （本小题满分10分）解：（1）m =48﹣6﹣25﹣3﹣2=12； ………………3分（2）记6～8小时的3名学生为A 1、A 2、A 3，8～10小时的两名学生为B 1、B 2，…8分（说明：列表法的评分标准与画树状图法一样）P （至少1人时间在8～10小时）=1072014=． ………………10分21．（本小题满分12分）解：（1）解法一：设购买A 型学习用品x 件，则B 型学习用品为(1000)x -．根据题意，得2030(1000)26000x x +-=………3分解方程，得x =400 ………5分 则10001000400600x -=-=答：购买A 型学习用品400件，购买B 型学习用品600件．………6分 解法二：设购买A 型学习用品x 件， B 型学习用品y 件．根据题意，得⎩⎨⎧=+=+2600030201000y x y x ………3分解方程组，得⎩⎨⎧==600400y x ………5分答：购买A 型学习用品400件，购买B 型学习用品600件．………6分（2）设最多购买B 型学习用品z 件，则购买A 型学习用品为)1000(z -件．根据题意，得2800030)1000(20≤+-z z ………9分 解不等式，得800≤z ………11分答：最多购买B 型学习用品800件．………12分22．（本小题满分12分）解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60º ∴∠BAO ＝30º，∠AOB ＝90º，AC =2AO ………3分 ∴330cos 32cos =︒⨯=∠⋅=BAO AB AO ………5分 ∴AC =6.………6分（说明：第（1）小题的解法较多，只要过程合理、答案正确，同样给满分）（2）证明：连接DE ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F ………7分 ∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ABC ………9分 ∵⊙D 与边AB 相切于点E ，∴DE ⊥AB∵DF ⊥BC∴DF =DE ………11分∴⊙D 与边BC 也相切.………12分 23．（本小题满分12分）解：（1）∵点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（0，﹣3）， ∴AB =5，∵四边形ABCD 为正方形，∴点C 的坐标为（5，﹣3）．………………2分 ∵反比例函数xky =的图象经过点C ， ∴53k=-，解得k =﹣15， ∴反比例函数的解析式为xy 15-=；………………4分（2）设点P 到AD 的距离为h ．∵△P AD 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积， ∴25521=⨯⨯h ， 解得h =10．………………6分① 当点P 在第二象限时，122=+=h y P ………………7分 此时，451215-=-=P x ∴点P 的坐标为（45-，12）………………9分 ②当点P 在第四象限时，8)2(-=--=h y P ………………10分此时，815815=--=P x ∴点P 的坐标为（815，﹣8）………………12分 综上所述，点P 的坐标为（45-，12）或（815，﹣8）．24．（本小题满分14分）解：（1）∵点O 是圆心，OD ⊥BC ，BC =1，∴BD =12BC =12。
2020年中考数学北京市各地全真模拟题：圆的知识点
必刷全真模拟题：《圆》(北京市专版)1．（2020•海淀区校级模拟）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．∵∠D＝∠N，∴∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等），∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA⋅ID＝IM⋅IN①如图②，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°．∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IFA．∵∠BAD＝∠E（同弧所对圆周角相等），∴△AIF∽△EDB．∴＝，∴IA•BD＝DE•IF②由（2）知：BD＝ID∴IA•ID＝DE•IF又∵DE•IF＝IM•IN∴2Rr＝（R+d）（R﹣d），∴R2﹣d2＝2Rr∴d2＝R2﹣2Rr任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝（用含R，d的代数式表示）；（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．（请利用图1证明）（3）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．2．（2020•朝阳区校级模拟）如图，点O为∠ABC的边BC上的一点，过点O作OM⊥AB于点M，到点O的距离等于线段OM的长的所有点组成图形W．图形W与射线BC交于E，F两点（点E在点F的左侧）．（1）过点M作MH⊥BC于点H，如果BE＝2，sin∠ABC＝，求MH的长；（2）将射线BC绕点B顺时针旋转得到射线BD，使得∠CBD+∠MOB＝90°，判断射线BD 与图形W公共点的个数，并证明．3．（2020•丰台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足r，则称点P为⊙O的“随心点”．（1）当⊙O的半径r＝2时，A（3，0），B（0，4），C（﹣，2），D（，﹣）中，⊙O的“随心点”是；（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r＝2时，直线y＝﹣x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．4．（2020•北京模拟）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：如果点P 为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作d（M，N）．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”．（1）当⊙O的半径为2时，①如果点A（0，1），B（3，4），那么d（A，⊙O）＝，d（B，⊙O）＝；②如果直线y＝x+b与⊙O互为“可及图形”，求b的取值范围；（2）⊙G的圆心G在x轴上，半径为1，直线y＝﹣x+5与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果⊙G和∠CDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围．5．（2020•丰台区模拟）如图，C 是上的一定点，D 是弦AB 上的一定点，P 是弦CB 上的一动点，连接DP ，将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PD ′，射线PD ′与交于点Q ．已知BC ＝6cm ，设P ，C 两点间的距离为xcm ，P ，D 两点间的距离为y 1cm ，P ，Q 两点间的距离为y 2cm ．小石根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 1，y 2与x 的几组对应值：x /cm 0 1 2 3 4 5 6 y 1/cm 4.29 3.33 1.65 1.22 1.50 2.24 y 2/cm0.882.843.574.044.173.200.98（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数据所对应的点（x ，y 1），（x ，y 2），并画出函数y 1，y 2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ ，当△DPQ 为等腰三角形时，PC 的长度约为cm ．（结果保留一位小数）6．（2020•丰台区模拟）如图，点P是上一动点，连接AP，作∠APC＝45°，交弦AB于点C．AB＝6cm．小元根据学习函数的经验，分别对线段AP，PC，AC的长度进行了测量．下面是小元的探究过程，请补充完整：（1）下表是点P是上的不同位置，画图、测量，得到线段AP，PC，AC长度的几组值，如表：AP/cm0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00PC/cm0 1.21 2.09 2.69 m 2.82 0AC/cm0 0.87 1.57 2.20 2.83 3.61 6.00①经测量m的值是（保留一位小数）．②在AP，PC，AC的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为cm（保留一位小数）．7．（2020•丰台区模拟）在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点P ，Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点M ，N （M ，N 可以重合）使得PM ＝QN ，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点．（1）如图1，已知点A （0，3），B （2，3）．①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值是 ，最大值是 ； ②在P 1（），P 2（1，4），P 3（﹣3，0）这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是（2）如图2，已知圆O 的半径为1，点D 的坐标为（5，0），若点E （x ，2）在第一象限，且点D 与点E 是圆O 的一对平衡点，求x 的取值范围．（3）如图3，已知点H （﹣3，0），以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K ，点C （a ，b ）（其中b ≥0）是坐标平面内一个动点，且OC ＝5，圆C 是以点C 为圆心，半径为2的圆，若弧HK 上的任意两个点都是圆C 的一对平衡点，直接写出b 的取值范围．8．（2020•朝阳区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD 为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE （1）求证EH＝EC；（2）若AB＝4，sin A＝，求AD的长．9．（2020•西城区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F 点．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）当BD＝，sin F＝时，求OF的长．10．（2020•丰台区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W，图形W与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED＝∠B．（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．（2）若BC＝4，，求OB．11．（2020•朝阳区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．BE平分∠ABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F．请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF是△ABC外接圆的切线；（2）若BC＝5，sin∠ABC＝，求EF的长．12．（2020•丰台区模拟）如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，O 是BC 的中点，到点O 的距离等于BC 的所有点组成的图形记为G ，图形G 与AB 交于点D ． （1）补全图形并求线段AD 的长；（2）点E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与图形G 有且只有一个交点？请说明理由．13．（2019•海淀区校级一模）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，∠CAB ＝30°，D 是直径AB 上一动点，连接CD 并过点D 作CD 的垂线，与圆O 的其中一个交点记为点E（点E 位于直线CD 上方或左侧），连接EC ．已知AB ＝6cm ，设A 、D 两点间的距离为xcm ，C 、D 两点间的距离为y 1cm ，E 、C 两点间的距离为y 2cm ，小雪根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小雪的探究过程：x /cm 0 1 2 3 4 5 6 y 1/cm 5.2 4.4 3.6 3.0 2.7 2.7 y 2/cm5.24.64.24.85.66.0（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、面图、测量，分别得到了y 1，y 2与x 的几组对应值，请将表格补充完整：（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，y 2的图象如图所示，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，y 1），（x ，y 2），并画出函数y 1的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当∠ECD ＝60°时，AD 的长度约为 cm ．14．（2019•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy，对于点P（x p，y p）和图形G，设Q （x Q，y Q）是图形G上任意一点，|x p﹣x Q|的最小值叫点P和图形G的“水平距离”，|y p ﹣y Q|的最小值叫点P和图形G的“竖直距离”，点P和图形G的“水平距离”与“竖直距离”的最大值叫做点P和图形G的“绝对距离”例如：点P（﹣2，3）和半径为1的⊙O，因为⊙O上任一点Q（x Q，y Q）满足﹣1≤x Q≤1，﹣1≤y Q≤1，点P和⊙O的“水平距离”为|﹣2﹣x Q|的最小值，即|﹣2﹣（﹣1）|＝1，点P和⊙O的“竖直距离”为|3﹣y Q|的最小值即|3﹣1|＝2，因为2＞1，所以点P和⊙O 的“绝对距离”为2．已知⊙O半径为1，A（2，），B（4，1），C（4，3）（1）①直接写出点A和⊙O的“绝对距离”②已知D是△ABC边上一个动点，当点D与⊙O的“绝对距离”为2时，写出一个满足条件的点D的坐标；（2）已知E是△ABC边一个动点，直接写出点E与⊙O的“绝对距离”的最小值及相应的点E的坐标（3）已知P是⊙O上一个动点，△ABC沿直线AB平移过程中，直接写出点P与△ABC的“绝对距离”的最小值及相应的点P和点C的坐标．15．（2019•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P 1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点．（1）如图1，点A（0，1）；①若点B是点A关于x轴，直线l1：x＝2的二次对称点，则点B的坐标为；②若点C（0，5）是点A关于x轴，直线l2：y＝a的二次对称点，则a的值为；③若点D（2，1）是点A关于x轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为；（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M′是点M关于x轴，直线l4：x＝b的二次对称点，且点M′在射线y＝x（x≥0）上，b的取值范围是；（3）E（0，t）是y轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N′是点N关于y轴，直线l5：y＝x+1的二次对称点，且点N′在x轴上，求t的取值范围．参考答案1．解：（1）∵O、I、N三点共线，∴OI+IN＝ON∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d故答案为：R﹣d；（2）BD＝ID理由如下：如图1，连接BI，∵点I是△ABC的内心∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI∴∠BID＝∠DBI∴BD＝ID（3）题干结论可得：d2＝R2﹣2Rr；将R＝6cm，r＝2cm代入得：d2＝62﹣2×6×2＝12，∵d＞0∴d＝2cm，故答案为：2．2．（1）解：∵到点O的距离等于线段OM的长的所有点组成图形W，∴图形W是以O为圆心，OM的长为半径的圆．根据题意补全图形：∵OM⊥AB于点M，∴∠BMO＝90°．在△BMO中，，∴BO＝．∵BE＝2，∴，解得：OM＝OE＝4．∴BO＝6．在Rt△△BOM中，BM2+OM2＝BO2，∴．∵∴，解得：．（2）解：1个．证明：过点O作ON⊥BD于点N，∵∠CBD+∠MOB＝90°，且∠ABC+∠MOB＝90°，∴∠CBD＝∠ABC．∴OM＝ON．∴BD为⊙O的切线．∴射线BD与图形W的公共点个数为1个．3．解：（1）∵⊙O的半径r＝2，∴＝3，＝1，∴1≤d≤3，∵A（3，0），∴OA＝3，在范围内∴点A是⊙O的“随心点”，∵B（0，4），∴OB＝4，而4＞3，不在范围内，∴B是不是⊙O的“随心点”，∵C（﹣，2），∴OC＝，在范围内，∴点C是⊙O的“随心点”，∵D（，﹣），∴OD＝＜1，不在范围内，∴点D不是⊙O的“随心点”，故答案为：A，C．（2）∵点E（4，3）是⊙O的“随心点”∴OE＝5，即d＝5若，∴r＝10，若＝5，∴，∴；（3）∵如图a∥b∥c∥d，⊙O的半径r＝2，随心点范围，∴1≤d≤3，∵直线MN的解析式为y＝x+b，∴OM＝ON，①点N在y轴正半轴时，当点M是⊙O的“随心点”，此时，点M（﹣1，0），将M（﹣1，0）代入直线MN的解析式y＝x+b中，解得，b＝1，即：b的最小值为1，过点O作OG⊥M'N'于G，当点G是⊙O的“随心点”时，此时OG＝3，在Rt△ON'G中，∠ON'G＝45°，∴GO＝3∴在Rt△GNN’中，NN'＝＝，b的最大值为3，∴1≤b≤3，②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出﹣3≤b≤﹣1．综上所述，b的取值范围是：1≤b≤3或﹣3≤b≤﹣1．4．解：（1）①如图1中，设⊙O交y轴于E，连接OB交⊙于F．由题意d（A，⊙O）＝AE＝1，d（B，⊙O）＝BF＝OB﹣OF＝5﹣2＝3．故答案为1，3．②如图2中，作OH⊥EF于H，交⊙O于G．当GH＝1时，OF＝OG+GH＝3，∵直线EF的解析式为y＝x+b，∴E（0，b），F（﹣b，0），∴OE＝OF＝b，∵OH⊥EF，∴HE＝HF，∵EF＝2OH＝6，∴b＝3，根据对称性可知当﹣3≤b≤3时，直线y＝x+b与⊙O互为“可及图形”．（2）如图3中，当⊙G在y轴的左侧，OG＝2时，GG（﹣2，0），当⊙G′在y轴的右侧，作G′H⊥CD于H，当HG′＝2时，∵直线y＝x﹣5交x轴于C，交y轴于D，∴C（5，0），D（0，5），∴OC＝OD＝5，∠OCD＝45°，∵∠CHG′＝90°，∴CH＝HG′＝2，∴CG′＝2，∴G′（5﹣2，0），当点G″在直线CD的右侧时，同法可得G″（5+2，0），观察图象可知满足条件的m的值为：﹣2≤m≤2或5﹣2≤m≤5+2．5．解：（1）观察图象发现规律可知：表格数据为：2.44；（2）如图所示：即为两个函数y 1，y 2的图象；（3）观察图象可知：两个图象的交点的横坐标即为△DPQ 为等腰三角形时，PC 的长度， 两个交点的横坐标为1.3和5.7． 故答案为：1.3或5.7． 6．解：（1）①经测量：m ＝3.0；②在AP ，PC ，AC 的长度这三个量中，可以确定AP 的长度是自变量，PC 的长度和的AC 长度都是这个自变量的函数；故答案为：AP ，PC ，AC ；（答案不唯一）（2）设AP 为x ，AC 为y 1，PC 为y 2，通过描点，画出图象如图1所示：（答案不唯一，和（1）问相对应）；（3）①当AC ＝PC 时，即：y 1＝y 2，从图象可以看出：x ＝4.2cm ； ②当AP ＝PC 时，画出函数：y ＝x 的图象，如图2所示：y ＝x 的图象与y 1的交点处x 的为2.3cm ；∴当△ACP 为等腰三角形时，AP 的长度约为4.2cm 或2.3cm ． 7．解：（1）①由题意知：OA ＝3，OB ＝＝，则d 的最小值是3，最大值是；②根据平衡点的定义，点P 1与点O 是线段AB 的一对平衡点， 故答案为3，，P 1．（2）如图2中，由题意点D 到⊙O 的最近距离是4，最远距离是6，∵点D 与点E 是⊙O 的一对平衡点，此时需要满足E 1到⊙O 的最大距离是4，即OE 1＝3，可得x＝＝，同理：当E2到⊙的最小距离为是6时，OE2＝7，此时x＝＝3，综上所述，满足条件的x的值为≤x≤3．（3）∵点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，∴以C为圆心2为半径的圆刚好与弧相切，此时要想上任意两点都是圆C的平衡点，需要满足CK≤6，CH≤6，如图3﹣1中，当CK＝6时，作CM⊥HK于M．由题意：，解得：或（舍弃），如图3﹣3中，当CH＝6时，同法可得a＝，b＝，在两者中间时，a＝0，b＝5，观察图象可知：满足条件的b的值为≤b≤5．8．解：（1）如图，连接OE，∵AC与⊙O相切，∴OE⊥AC，且BC⊥AC，∴OE∥BC∴∠CBE＝∠OEB，∵EO＝OB，∴∠EBO＝∠OEB∴∠CBE＝∠EBO，且CE⊥BC，EH⊥AB，∴CE＝EH（2）∵sin A＝＝，∴设OE＝2a，AO＝3a，（a≠0）∴OB＝2a，∵AB＝AO+OB＝3a+2a＝4∴a＝∵AD＝AB﹣BD＝4﹣4a∴AD＝9．解：（1）连接OC．如图1所示：∵OA＝OC，∴∠1＝∠2．又∵∠3＝∠1+∠2，∴∠3＝2∠1．又∵∠4＝2∠1，∴∠4＝∠3，∴OC∥DB．∵CE⊥DB，∴OC⊥CF．又∵OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线；（2）连接AD．如图2所示：∵AB是直径，∴∠D＝90°，∴CF∥AD，∴∠BAD＝∠F，∴sin∠BAD＝sin F＝＝，∴AB＝BD＝6，∴OB＝OC＝3，∵OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴sin F＝＝，解得：OF＝5．10．解：（1）图形W与AE所在直线的公共点个数为1．理由：连接OE．∵BD是⊙O是直径，∴∠DEB＝90°，∴∠ABC+∠EDB＝90°，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵∠AED＝∠ABC，∴∠AED+∠OED＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AE，∴AE是⊙O的切线，∴图形W与AE所在直线的公共点个数为1．（2）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，BC＝4，∴tan B＝＝，∴AC＝2，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴DE∥AC，∴∠CAE＝∠AED＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴AC2＝CE•CA，∴CE＝＝1，∴BE＝BC﹣EC＝3，∴tan B＝＝，∴DE＝，∴BD＝＝＝，∴OB＝BD＝．11．（1）证明：补全图形如图所示，∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．连接OE，∴OE＝OB．∴∠2＝∠3，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．∴OE∥BF．∵EF⊥BF，∴EF⊥OE，∴EF是△ABC外接圆的切线；（2）解：在Rt△ABC中，BC＝5，sin∠ABC＝，∴＝．∵AC2+BC2＝AB2，∴AC＝12．∵∠ACF＝∠CFE＝∠FEH＝90°，∴四边形CFEH是矩形．∴EF＝HC，∠EHC＝90°．∴EF＝HC＝AC＝6．12．解：（1）如图所示，在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5cm；连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°；∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴＝，∴AD＝＝；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD；∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD；∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°；∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切．13．解：（1）当x＝3时，∵AB＝6，AD＝3，∴点D与点O重合，此时△DCE是等腰直角三角形，∴CD＝DE＝3，＝3≈4.2，∴y2当x＝6时，点D与B重合，∴CD＝BC，∵∠CAB＝30°，∴CD＝BC＝AB＝3.0，故答案为：4.2，3.0．（2）函数图象如图所示：（3）当∠ECD＝60°时，在Rt△ECD中，∵∠EDC＝90°，∴∠CED＝30°，∴EC＝2CD，∴y2＝2y1，观察图象可知，满足条件的x的值为4.5cm或6.0cm．故答案为：4.5或6.0．14．解：（1）如图1中，①∵点A和⊙O的“水平距离”是1，点A和⊙O的“竖直距离”是1.5，又∵1.5＞1，∴点A和⊙O的“绝对距离”是1.5．②当点D与⊙O的“绝对距离”为2时，点D的横坐标为3，∵A（2，），B（4，1），C（4，3），∴直线AB速度解析式为y＝﹣x+4，直线AC的解析式为y＝x+2，∴D（3，），D′（3，），综上所述，满足条件的点D的坐标为（3，）或（3，）．（2）如图2中，由题意可知满足条件的点E在直线y＝x与直线AB的交点处．由，解得，∴满足条件的点E坐标为（，）．（3）如图3中，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线交于点F，当点F在直线y ＝x上时，点P与△ABC的“绝对距离”的有最小值，此时点P即为直线y＝x与⊙O的交点（如图所示）．设F（m，m）则B（m+2，m），∵点B在直线y＝﹣x+4上，∴m＝﹣（m+2）+4，解得m＝，∴F（，），B（，），∵BC∥y轴，BC＝2，∴C（，），此时P（，）．点P与△ABC的“绝对距离”的最小值为﹣．15．解：（1）如图1，∵A（0，1）；：x＝2的对∴①点A关于x轴的对称点A′（0，﹣1），点A′（0，﹣1）关于直线l1称点为B（4，﹣1），故答案为：（4，﹣1），∴②点A关于x轴的对称点A′（0，﹣1），点A′（0，﹣1）关于直线l：y＝2的对2称点为C（0，5），故答案为：2，∵③点A关于x轴的对称点A′（0，﹣1），点A′（0，﹣1）与点D（2，1）关于直线l对称，连接A′D，3∴直线l⊥A′D，且平分A′D，易求得A′D的中点坐标为（1，0），易知：AD＝AA′，3，∴经过（0，1），（1，0）两点的直线即为直线l3∴y＝﹣x+1；故答案为：y＝﹣x+1；（2）如图2，当M（﹣1，0）时，可求得b的最小值为﹣，当点M（，﹣）时，可求得b的最大值为，∴﹣≤b≤，故答案为：﹣≤b≤；交x轴于点N′，设直线（3）∵E（0，t）为⊙E的圆心，半径为2，过点E作EN′⊥l5l：y＝x+15与x轴交点为M，则M（﹣，0），当t取最大值时，依题意有：，解得：t＝2+3交x轴于点N″，当t取最小值时有：设⊙E与y轴交点中最上方点为P，过P作PN″⊥l5，解得：t＝1∴1≤t≤2+3．。
2020年北京市数学中考一模试卷含答案
2020年北京市数学中考一模试卷含答案一、选择题1．如图，已知a ∥b ，l 与a 、b 相交，若∠1=70°，则∠2的度数等于（ ）A ．120°B ．110°C ．100°D ．70° 2．如图，将△ABC 绕点C （0，1）旋转180°得到△A'B'C ，设点A 的坐标为(,)a b ，则点的坐标为（ ）A ．(,)a b --B ．(,1)a b ---C ．(,1)a b --+D ．(,2)a b --+3．有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（ ）A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．方差4．如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为（ ）A ．2B ．4C ．22D 2 5．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）A ．108°B ．90°C ．72°D ．60° 6．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（ ）A ．19B ．16C ．13D ．237．如图,某小区规划在一个长16m ，宽9m 的矩形场地ABCD 上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为112m 2，设小路的宽为xm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．2x 2-25x+16=0B ．x 2-25x+32=0C ．x 2-17x+16=0D ．x 2-17x-16=08．如图，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C=70°，则∠AED 度数为( )A ．110°B ．125°C ．135°D ．140°9．如图，在矩形ABCD 中，AD=3，M 是CD 上的一点，将△ADM 沿直线AM 对折得到△ANM ，若AN 平分∠MAB ，则折痕AM 的长为（ ）A ．3B ．23C ．32D ．610．如图，正比例函数1y=k x 与反比例函数2k y=x的图象相交于点A 、B 两点，若点A 的坐标为（2，1），则点B 的坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（－2，1）C ．（－1，－2）D ．（－2，－1） 11．若正比例函数y=mx （m≠0），y 随x 的增大而减小，则它和二次函数y=mx 2+m 的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．12．cos45°的值等于( )A ．2B ．1C ．32D ．22二、填空题13．如图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数11k y x=（0x >）及22k y x =（0x >）的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，已知OAB ∆的面积为4，则12k k =﹣________．14．如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝5，BC ＝8，则EF 的长为______．15．如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数y=2x的图像上，则菱形的面积为_______．16．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_____．17．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为_____．18．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是．19．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC=________．20．若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k的取值范围是三、解答题21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．22．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两点A（﹣1，0）和B（4，0），与Y轴交于点C，连接AC、BC、AB，（1）求抛物线的解析式；（2）点D 是抛物线上一点，连接BD 、CD ，满足ABC 35DBC S S ∆=，求点D 的坐标； （3）点E 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点F 在线段BC 上（与B 、C 不重合），是否存在以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．23．小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：o o o o 33711sin 37tan37s 48tan48541010in ，，，≈≈≈≈） 24．如图1，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA PE =，PE 交CD 于F ，连接CE .△≌△；（1）证明：ADP CDP△的形状，并说明理由.（2）判断CEP（3）如图2，把菱形ABCD改为正方形ABCD，其他条件不变，直接．．写出线段AP与线段CE的数量关系.25．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先求出∠1的邻补角的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数．【详解】如图，∵∠1=70°，∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°，∵a∥b，∴∠2=∠3=110°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.2．D解析：D【解析】试题分析：根据题意，点A 、A′关于点C 对称，设点A 的坐标是（x ，y ），则 0122a xb y ++==，，解得2x a y b =-=-+，，∴点A 的坐标是(2)a b --+，．故选D ． 考点：坐标与图形变化-旋转．3．A解析：A【解析】【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选A ．【点睛】考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义.4．C解析：C【解析】【分析】由A 、B 、P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB=45°，可得△OAB 是等腰直角三角形，继而求得答案．【详解】解：连接OA ，OB ．∵∠APB =45°，∴∠AOB =2∠APB =90°．∵OA =OB =2，∴AB =22OA OB +=22．故选C ．5．C【解析】【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：3605=72°．故选C．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．6．C解析：C【解析】【分析】画出树状图即可求解.【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率＝13；故选：C．【点睛】本题考查的是概率，熟练掌握树状图是解题的关键.7．C解析：C【解析】解：设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x）m，（9-x）m；根据题意即可得出方程为：（16-2x）（9-x）=112，整理得：x2-17x+16=0．故选C．点睛：本题考查了一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．解析：B【解析】【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CAB=110°，再由角平分线的定义可得∠CAE=55°，最后根据三角形外角的性质即可求得答案.【详解】∵AB∥CD，∴∠BAC+∠C=180°，∵∠C=70°，∴∠CAB=180°-70°=110°，又∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=55°，∴∠AED=∠C+∠CAE=125°，故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.9．B解析：B【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠MAN=∠DAM，再由AN平分∠MAB，得出∠DAM=∠MAN=∠NAB，最后利用三角函数解答即可.【详解】由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，==∴故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质及折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质求得∠MAN=∠DAM, 10．D解析：D【分析】【详解】解：根据正比例函数与反比例函数关于原点对称的性质，正比例函数1y=k x 与反比例函数2k y=x的图象的两交点A 、B 关于原点对称； 由A 的坐标为（2，1），根据关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的坐标特征，得点B 的坐标是（－2，－1）．故选：D11．A解析：A【解析】【分析】【详解】∵正比例函数y=mx （m≠0），y 随x 的增大而减小，∴该正比例函数图象经过第一、三象限，且m ＜0，∴二次函数y=mx 2+m 的图象开口方向向下，且与y 轴交于负半轴，综上所述，符合题意的只有A 选项，故选A.12．D解析：D【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：cos45°= 2． 故选D ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 二、填空题13．【解析】【分析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为然后两个三角形面积作差即可求出结果【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为∴的面积为∴∴故答案为8【点睛】本题考查反比 解析：【解析】【分析】根据反比例函数k 的几何意义可知：AOP ∆的面积为112k ，BOP ∆的面积为212k ，然后两个三角形面积作差即可求出结果．【详解】 解：根据反比例函数k 的几何意义可知：AOP ∆的面积为112k ，BOP ∆的面积为212k ， ∴AOB ∆的面积为121122k k -，∴1211422k k -=，∴128k k -=. 故答案为8．【点睛】 本题考查反比例函数k 的几何意义，解题的关键是正确理解k 的几何意义，本题属于基础题型．14．5【解析】【分析】【详解】试题解析：∵∠AFB=90°D 为AB 的中点∴DF=AB=25∵DE 为△ABC 的中位线∴DE=BC=4∴EF=DE -DF=15故答案为15【点睛】直角三角形斜边上的中线性质：解析：5【解析】【分析】【详解】试题解析：∵∠AFB=90°，D 为AB 的中点，∴DF=12AB=2.5， ∵DE 为△ABC 的中位线，∴DE=12BC=4， ∴EF=DE-DF=1.5，故答案为1.5．【点睛】直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．15．4【解析】【分析】【详解】解：连接AC 交OB 于D∵四边形OABC 是菱形∴AC⊥OB∵点A 在反比例函数y=的图象上∴△AOD 的面积=×2=1∴菱形OABC 的面积=4×△AOD 的面积=4故答案为：4解析：4【解析】【分析】【详解】解：连接AC 交OB 于D ．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB．∵点A在反比例函数y=2x的图象上，∴△AOD的面积=12×2=1，∴菱形OABC的面积=4×△AOD的面积=4故答案为：416．6【解析】试题解析：∵DE是BC边上的垂直平分线∴BE=CE∵△EDC的周长为24∴ED+DC+EC=24①∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12∴（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC解析：6【解析】试题解析：∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE=CE．∵△EDC的周长为24，∴ED+DC+EC=24，①∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）-（AE+DC+AC）-DE=12，∴BE+BD-DE=12，②∵BE=CE，BD=DC，∴①-②得，DE=6．考点：线段垂直平分线的性质．17．【解析】【分析】设复兴号的速度为x千米/时则原来列车的速度为（x-40）千米/时根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可【详解】设复兴号的速度为x千米/时则原来列车的速度为（x﹣40解析：13201320304060x x-=-．【解析】【分析】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x-40）千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可．【详解】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x﹣40）千米/时，根据题意得：13201320304060x x-=-．故答案为：13201320304060x x-=-．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．18．【解析】试题分析：要求PE+PC的最小值PEPC不能直接求可考虑通过作辅助线转化PEPC的值从而找出其最小值求解试题解析：如图连接AE∵点C关于BD的对称点为点A∴PE+PC=PE+AP根据两点之间解析：5.【解析】试题分析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC 的值，从而找出其最小值求解．试题解析：如图，连接AE，∵点C关于BD的对称点为点A，∴PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，∴BE=1，∴22125+考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．19．【解析】【分析】连接BD根据中位线的性质得出EFBD且EF=BD进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC是直角三角形求解即可【详解】连接BD分别是ABAD的中点EFBD且EF=BD又△BDC是直角三角形解析：4 3【解析】【分析】连接BD，根据中位线的性质得出EF//BD，且EF=12BD，进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC 是直角三角形，求解即可．【详解】连接BD,E F 分别是AB 、AD 的中点∴EF //BD ，且EF=12BD 4EF =8BD ∴=又8106BD BC CD ===，，∴△BDC 是直角三角形，且=90BDC ∠︒∴tanC=BD DC =86=43. 故答案为：43.20．k≥-13且k≠0【解析】试题解析：∵a=kb=2（k+1）c=k-1∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0解得：k≥-13∵原方程是一元二次方程∴k≠0考点：根的判别式解析：k≥，且k≠0【解析】试题解析：∵a=k ，b=2（k+1），c=k-1，∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0，解得：k≥-，∵原方程是一元二次方程，∴k ≠0．考点：根的判别式． 三、解答题21．（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【解析】【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE ，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 10===，∴△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=.22．（1）213y x x 222=--；（2）D 的坐标为2⎛ ⎝⎭，2⎛ ⎝⎭，（1，﹣3）或（3，﹣2）．（3）存在，F 的坐标为48,55⎛⎫-⎪⎝⎭，（2，﹣1）或53,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，结合点A ，B 的坐标可得出AB ，AC ，BC 的长度，由AC 2+BC 2＝25＝AB 2可得出∠ACB＝90°，过点D 作DM∥BC，交x 轴于点M ，这样的M 有两个，分别记为M 1，M 2，由D 1M 1∥BC 可得出△AD 1M 1∽△ACB，利用相似三角形的性质结合S △DBC ＝35S ABC ∆ ，可得出AM 1的长度，进而可得出点M 1的坐标，由BM 1＝BM 2可得出点M 2的坐标，由点B ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可得出直线D 1M 1，D 2M 2的解析式，联立直线DM 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点D 的坐标；（3）分点E 与点O 重合及点E 与点O 不重合两种情况考虑：①当点E 与点O 重合时，过点O 作OF 1⊥BC 于点F 1，则△COF 1∽△ABC，由点A ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线AC 的解析式，进而可得出直线OF 1的解析式，联立直线OF 1和直线BC 的解析式成方程组，通过解方程组可求出点F 1的坐标；②当点E 不和点O 重合时，在线段AB 上取点E ，使得EB ＝EC ，过点E 作EF 2⊥BC 于点F 2，过点E 作EF 3⊥CE，交直线BC 于点F 3，则△CEF 2∽△BAC∽△CF 3E ．由EC ＝EB 利用等腰三角形的性质可得出点F 2为线段BC 的中点，进而可得出点F 2的坐标；利用相似三角形的性质可求出CF 3的长度，设点F 3的坐标为（x ，12x ﹣2），结合点C 的坐标可得出关于x 的方程，解之即可得出x 的值，将其正值代入点F 3的坐标中即可得出结论．综上，此题得解．【详解】（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣2，得：2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩ ，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝12 x 2﹣32x ﹣2． （2）当x ＝0时，y ＝12x 2﹣32x ﹣2＝﹣2， ∴点C 的坐标为（0，﹣2）．∵点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），，BC＝AB ＝5．∵AC 2+BC 2＝25＝AB 2，∴∠ACB＝90°．过点D 作DM∥BC，交x 轴于点M ，这样的M 有两个，分别记为M 1，M 2，如图1所示． ∵D 1M 1∥BC，∴△AD 1M 1∽△ACB．∵S △DBC ＝35S ABC ∆， ∴125AM AB =, ∴AM 1＝2，∴点M 1的坐标为（1，0），∴BM 1＝BM 2＝3，∴点M 2的坐标为（7，0）．设直线BC 的解析式为y ＝kx+c （k≠0），将B （4，0），C （0，﹣2）代入y ＝kx+c ，得：402k c c +=⎧⎨=-⎩ ，解得：122k c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴直线BC 的解析式为y ＝12x ﹣2． ∵D 1M 1∥BC∥D 2M 2，点M 1的坐标为（1，0），点M 2的坐标为（7，0）， ∴直线D 1M 1的解析式为y ＝12 x ﹣12 ，直线D 2M 2的解析式为y ＝12x ﹣72． 联立直线DM 和抛物线的解析式成方程组，得：2112213222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或2172213222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得：112x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩3313x y =⎧⎨=-⎩ ，4432x y =⎧⎨=-⎩，∴点D 的坐标为（2，2），（，2），（1，﹣3）或（3，﹣2）． （3）分两种情况考虑，如图2所示．①当点E 与点O 重合时，过点O 作OF 1⊥BC 于点F 1，则△COF 1∽△ABC，设直线AC 的解析设为y ＝mx+n （m≠0），将A （﹣1，0），C （0，﹣2）代入y ＝mx+n ，得：-02m n n +=⎧⎨=-⎩ ，解得：22m n =-⎧⎨=-⎩ ， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2．∵AC⊥BC，OF 1⊥BC，∴直线OF 1的解析式为y ＝﹣2x ．连接直线OF 1和直线BC 的解析式成方程组，得：2122y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ， 解得：4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点F 1的坐标为（45，﹣85 ）； ②当点E 不和点O 重合时，在线段AB 上取点E ，使得EB ＝EC ，过点E 作EF 2⊥BC 于点F 2，过点E 作EF 3⊥CE，交直线BC 于点F 3，则△CEF 2∽△BAC∽△CF 3E ．∵EC＝EB ，EF 2⊥BC 于点F 2，∴点F 2为线段BC 的中点，∴点F 2的坐标为（2，﹣1）；∵BC＝，∴CF 2＝12 BC，EF 2＝12 CF 2＝2 ，F 2F 3＝12 EF 2， ∴CF 3＝4 ． 设点F 3的坐标为（x ，12 x ﹣2）， ∵CF 3＝4，点C 的坐标为（0，﹣2）， ∴x 2+[12x ﹣2﹣（﹣2）]2＝12516， 解得：x 1＝﹣52 （舍去），x 2＝52，∴点F3的坐标为（52，﹣34）．综上所述：存在以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，点F的坐标为（45，﹣8 5），（2，﹣1）或（52，﹣34）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、相似三角形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）找出过点D且与直线BC平行的直线的解析式；（3）分点E与点O重合及点E与点O不重合两种情况，利用相似三角形的性质及等腰三角形的性质求出点F的坐标．23．43米【解析】【分析】【详解】解：设CD = x．在Rt△ACD中，tan37AD CD︒=，则34ADx =，∴34AD x =. 在Rt △BCD 中，tan48° =BD CD， 则1110BD x=， ∴1110BD x = ∵AD ＋BD = AB ， ∴31180410x x +=． 解得：x≈43． 答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米．24．（1）证明见解析；（2）CEP ∆是等边三角形，理由见解析；（3）CE =. 【解析】【分析】（1）由菱形ABCD 性质可知，AD CD =，ADP CDP ∠=∠，即可证明； （2）由△PDA ≌△PDC ，推出PA=PC ，由PA=PE ，推出DCP DEP ∠=∠，可知60CPF EDF ∠=∠=︒，由PA═PE=PC ，即可证明△PEC 是等边三角形；（3）由△PDA ≌△PDC ，推出PA=PC ，∠3=∠1，由PA=PE ，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC ，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC 是等腰直角三角形即可解答；【详解】（1）证明：在菱形ABCD 中，AD CD =，ADP CDP ∠=∠，在ADP ∆和CDP ∆AD CD ADP CDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADP CDP SAS ∆≅∆.（2）CEP ∆是等边三角形，由（1）知，ADP CDP ∆≅∆，∴DAP DCP ∠=∠，AP CP =，∵PA PE =，∴DAP DEP ∠=∠，∴DCP DEP ∠=∠，∵CFP EFD ∠=∠（对顶角相等），∴180180PFC PCF DFE DEP ︒-∠-∠=︒-∠-∠，即60CPF EDF ∠=∠=︒，又∵PA PE =，AP CP =；∴PE PC =，∴CEP ∆是等边三角形.（3）2CE AP =.过程如下：证明：如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°，在△PDA 和△PDC 中，PD PD PDA PDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，，∴△PDA ≌△PDC ，∴PA=PC ，∠3=∠1，∵PA=PE ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC ，∴∠FPC=EDF=90°， ∴△PEC 是等腰直角三角形．∴2PC 2AP .【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形判定、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．(1)见解析3【解析】【分析】（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．【详解】证明：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠EBD=∠DBF ， ∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠DBF ， ∴∠EBD=∠EDB ， ∴BE=ED ，∴平行四边形BFDE 是菱形； （2）连接EF ，交BD 于O ，∵∠BAC=90°，∠C=30°， ∴∠ABC=60°，∵BD 平分∠ABC ， ∴∠DBC=30°，∴BD=DC=12，∵DF ∥AB ，∴∠FDC=∠A=90°，∴4333== 在Rt △DOF 中，()222243623DF OD -=-= ∴菱形BFDE 的面积=12×EF •BD ＝12×12×33 【点评】 此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．。
北京市育英中学2020年中考数学三模试题含答案
2020北京市育英中学初三数学模拟试题（三）第Ⅰ卷（共16分）一、选择题：本大题8个小题,每小题2分,共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.我国在自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，其中的一个大数据中心能存储0580*******本书籍，将0580*******用科学记数法表示应为（ ）A ．10108.5⨯B ．11108.5⨯C ．91058⨯D ．111058.0⨯ 2.下列实数中，在2和3之间的是（ ）A ．πB ．2-πC ．325D ．328 3.下列运算中，正确的是（ ）A ．42265x x x =+B ．623x x x =⋅C ．632)(x x = D ．33)(xy xy = 4.若实数b a ,满足||||b a >，则与实数b a ,对应的点在数轴上的位置可以是（ ）A ．B ．C ．D ．5.点)3,4(-A 经过某种图形变化后得到点)4,3(-B ，这种图形变化可以是（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．绕原点逆时针旋转 90D ．绕原点顺时针旋转 906.一副直角三角板如图放置，其中 90=∠=∠DFE C ， 45=∠A ， 60=∠E ，点F 在CB 的延长线上.若CF DE //，则BDF ∠等于（ ）A ． 35B ． 30C ． 25D ． 157.下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8.生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m 天数据，整理后绘制成统计表进行分析．表中43<≤x 组的频率a 满足30.020.0≤≤a ． 下面有四个推断： ①表中m 的值为20； ②表中b 的值可以为7；③这m 天的日均可回收物回收量的中位数在 54<≤x 组； ④这m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3． 所有合理推断的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①③④第Ⅱ卷（共84分）二、填空题（每题2分，满分16分，将答案填在答题纸上）9.若根式1-x 有意义，则实数x 的取值范围是 ． 10.分解因式：=-n n m 42 ．11.若多边形的内角和为其外角和的3倍，则该多边形的边数为 ． 12.化简代数式22)111(-÷-++x xx x ，正确的结果为 ． 13.甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45 个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做x 个，那么可列方程为 ．14.小林想要计算一组数据65,79,66,74,70,72的方差20S ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去70，得到一组新数据5,9,4,4,0,2--．记这组新数据的方差为21S ，则21S 20S ．(填“>”，“<”或“=”)15.将直线x y = 的图象沿y 轴向上平移2个单位长度后，所得直线的函数表达式为 ，这两条直线间的距离为 .16.如图，点Q 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处.柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图 1 中给出的线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t 秒，机器人到点A 距离设为y ，得到函数图象如图 2.通过观察函数图象，可以得到下列推断： ①该正六边形的边长为1； ②当3=t 时，机器人一定位于点Q ； ③机器人一定经过点D ； ④机器人一定经过点E ； 其中正确的有 ．图1 图2三、解答题：共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～26题为必考题，每个试题考生都必须作答.17. 计算：|3|)21(845sin 42π-++--18. 解分式方程：3132932+=---x x x 19. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知ABC ∆，BC AB <，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得BC PC PA =+. 作法：（1）作线段AB 的垂直平分线1. （2）直线1交BC 于点P . 则点P 就是所求的点. 证明：连接PA直线L 垂直平分线段AB∴PB PA = (填写正确的依据) PC PB BC += ∴BC PC PA =+.解决下列问题：（1） 利用尺规作图确定 P 点的位置 （2） 补全证明过程中的依据.（3） 如果题干无BC AB <条件，在线段BC 上点P 不一定存在，在请画图说明.20. 已知关于x 的一元二次方程0342=+-x kx . （1）当 1=k 时，求此方程的根；（2）若此方程有两个实数根，求k 的取值范围.21. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点Q ，分别过点B 、C 作AC BE //，AC CE //，BE 与CE 交于点E ．（1）求证：四边形OBEC 是矩形；（2）当 60=∠ABD ，32=AD 时，求EDB ∠的正切值．22. 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药，12周后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者；同时记录了服药患者在4周、8周、12周后的指标z 的改善情况，并绘制成条形统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标x 的值大于7.1的概率；（2）设这100名患者中服药者指标y 数据的方差为21S ，未服药者指标y 数据的方差为22S ，则21S 22S ；（填“>”、“=”或“<” ）（3）对于指标z 的改善情况，下列推断合理的是 ．①服药4周后，超过一半的患者指标z 没有改善，说明此药对指标z 没有太大作用； ②在服药的12周内，随着服药时间的增长，对指标z 的改善效果越来越明显．23. 如图，点C B A ,, 在⊙O 上，D 是弦AB 的中点，点E 在AB 的延长线上，连接CE OD OC ,,，180=∠+∠COD CED .（1）求证：CE 是⊙O 切线；（2）连接OB ，若CE OB //，2tan =∠CEB ，4=OD ，求CE 的长.24. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数)0(>=x xky 的图象与直线1-=x y 交于点),3(m A . （1）求k 的值.（2）已知点)0)(0,(>n n P ，过点P 作垂直于x 轴的直线，交直线1-=x y 于点B ，交函数)0(>=x xky 图象于点C .①当4=n 时，判断线段PC 与BC 的数量关系，并说明理由； ②若BC PC ≤，结合图象，直接写出n 的取值范围.25. 如图1，四边形ABCD 为矩形，曲线L 经过点D .点Q 是四边形ABCD 内一定点，点P 是线段AB 上一动点，作AB PM ⊥交曲线L 于点M ，连接QM .小东同学发现：在点P 由A 运动到B 的过程中，对于AP x =1的每一个确定的值，QMP ∠=θ都有唯一确定的值与其对应，1x 与θ的对应关系如下表所示：小芸同学在读书时，发现了另外一个函数：对于自变量2x 在22≤≤-x 范围内的每一个值，都有唯一确定的角度θ与之对应，2x 与θ的对应关系如图2所示：根据以上材料，回答问题： （1）表格中a 的值为 .（2）如果令表格中1x 所对应的θ值的与图2中2x 所对应的θ的值相等，可以在两个变量1x 与2x 之间建立函数关系.①在这个函数关系中，自变量是 ，因变量是 ；（分别填入1x 和2x ） ②请在网格中建立平面直角坐标系，并画出这个函数的图象； ③根据画出的函数图象，当5.3=AP 时，2x 的值约为 .图1 图226. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线a ax ax y 342+-=与y 轴交于点A . （1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线与x 轴的交点坐标；（3）已知点)0,(a P ，)2,0(-a Q ，如果抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27. 已知 40=∠AOB ，M 为射线OB 上一定点，1=OM ，P 为射线上OA 一动点（不与点O 重合），1<OP ，连接PM ，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转 40，得到线段PN ，连接MN ．（1）依题意补全图 1；（2）求证：OMP APN ∠=∠；（3）H 为射线OA 上一点，连接NH ．写出一个OH 的值，使得对于任意的点P 总有OHN ∠为定值，并求出此定值．图1 备用图28.已知：点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，若点P 与点Q 之间的距离PQ 始终满足0>PQ ，则称图形M 与图形N 相离．（1）已知点)2,1(A 、)5,0(-B 、)1,2(-C 、)4,3(D ． ①与直线53-=x y 相离的点是 ；②若直线b x y +=3与ABC ∆相离，求b 的取值范围；（2）设直线33+=x y 、直线33+-=x y 及直线2-=y 围成的图形为W ，⊙T 的半径为1，圆心T 的坐标为)0,(t ，直接写出⊙T 与图形W 相离的t 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:ACCDC 6-8:DDD二、填空题9.1x ≥ 10.()()22n m m +- 11.8 12.2x 13.30456x x =+ 14.= 15.2y x =+16.①②③三、解答题17.计算：-2124sin 458+()|3π|︒+- 解：原式=4324π⨯++--=43π+-=π1+.18.解： ()3233x x -+=-. 3263x x --=-. 30x -=. 0x =. 经检验，0x =是原方程的解.∴原方程的解是0x =.19.（1）如图（2）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（3）20.（1） 当k =1时，此方程为0=3+4-2x x0=3)-(1)-(x x3= 1=21x x ，（2） 由题意得0≠k ，012-16≥=∆k∴34≤k ∴34≤k 且 0≠k 21.解：（1）∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴四边形OBEC 为平行四边形． ∵ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ． ∴∠BOC ＝90°． ∴四边形OBEC 是矩形． （2）∵AD ＝AB ，∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． ∴BD ＝AD ＝AB ＝2√3． ∵ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°， ∴∠BAO ＝30°． ∴OC ＝OA ＝3． ∴BE ＝3∴tan ∠EDB =BEBD =2√3=√32． 22.解：(1) 指标x 的值大于1.7的概率=335050÷=或6%． P BCAB CA(2)21S > 22S ；（填“>”、“=”或“<” ） (3) 推断合理的是 ② ．23.（1）证明：如图1，∵D 是弦AB 的中点，OD 过圆心，∴OD AB ⊥即90ODB ∠=°．∵在四边形ODEC 中， 180CED COD ∠+∠=°，∴90OCE ∠=°.又∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 切线．（2）解： 延长CO ，EA 交于点F ，如图2．∵OB CE ∥，∴90BOF ECO ∠=∠=°，1E ∠=∠．在ODB Rt △中，tan 12OD BD∠==，4OD =， ∴2BD =，OB =． 在BOF Rt △中，tan 12OF OB∠==，∴2OF OB ==． ∵OB CE ∥， ∴BOF △∽ECF △∴OB OF== ∴CE =． 24.（1）把3=x 代入1-=x y 得2=y ∴），（23A 又)0(>=x xk y 图象过点），（23A 解得6=k（2）① PC = BC当n = 4时， ），（34B ），（234C 23=PC ,23=BC ② 1≤<0n 或 4≥n图2图1 E D B CA O26．解. （1）令x =0，则y =3a.∴点A 的坐标为（0，3a ）.（2）令y =0，则ax 2-4ax +3a =0.∵a ≠0， ∴解得121,3x x ==.∴抛物线与x 轴的交点坐标分别为（1，0）, （3，0）.（3）①当a <0时，可知3a ≥a -2. 解得a ≥-1.∴ a 的取值范围是-1≤a <0 .② 当a ＞0时，由①知a ≥-1时，点Q 始终在点A 的下方，所以抛物线与线段PQ 恰有一个公共点时，只要1≤a <3即可.综上所述，a 的取值范围是-1≤a <0或1≤a <3.27．解：（1）补全图形，如图所示.（2）证明：根据题意可知，∠MPN =∠AOB =40°，∵∠MPA =∠AOB +∠OMP=∠MPN +∠APN,∴∠APN=∠OMP.（3）解： OH 的值为1.在射线PA上取一点G，使得PG=OM，连接GN.根据题意可知，MP=NP.∴△OMP≌△GPN.∴OP=GN，∠AOB=∠NGP=40°.∴PG=OH.∴OP=HG.∴NG=HG.∴∠NHG=70°.∴∠OHN=110°.28．解：（1）①与直线y=3x-5相离的点是A、C；②当直线y=3x+b过点A（1，2）时，3+ b=2．∴b=-1．当直线y=3x+b过点C（2，-1）时，6+ b=-1．∴b=-7．∴b的取值范围是b>-1或b<-7．（2）t的取值范围是：t<533-或t>533或33-<t<33.。
北京市2020〖京教版〗九年级数学下册期末数学模拟试卷
北京市2020年〖京教版〗九年级数学下册期末数学模拟试卷创作人：百里此前创作日期：202B.03.31审核人：北堂的公创作单位：雅礼明智德学校一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣的绝对值是（）A．B．﹣C．D．﹣2．下列调查中，适合用抽样调查的是（）①市场上某种食品的某种添加剂的含量是否符合国家标准；②了解某班每个学生家庭电脑的数量；③调查全省生一天的学习时间．A．①②B．①③C．②③D．①②③3．如图所示的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．4．小明记录了半个月的最高气温如下表：2122 25 24 23 26最高气温（℃）天数 1 2 4 3 3 2那么这半个月每天的最高气温的中位数是（）A．22 B．23 C．23.5 D．245．已知正比例函数y=（m﹣3）x的图象过第二、四象限，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m＞3 C．m≤3 D．m＜36．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（）A．3.4×10﹣9 B．0.34×10﹣9C．3.4×10﹣10D．3.4×10﹣117．函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≥5 C．x≤5 D．x＞58．已知m﹣n=100，x+y=﹣1，则代数式（n+x）﹣（m﹣y）的值是（）A．99 B．101 C．﹣99 D．﹣1019．如图，CB=1，且OA=OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是（）A． B．﹣C． D．﹣10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AC的长为3，sinB=，则⊙O的半径为（）A．4 B．3 C．2 D．11．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠012．已知α，β是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1=0的两实根，实数a、b、α、β的大小关系可能是（）A．α＜a＜b＜βB．a＜α＜β＜b C．a＜α＜b＜βD．α＜a＜β＜b 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）13．分解因式：2a2﹣8=．14．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为．15．如图，四边形ABCD中，连接AC，AB∥DC，要使AD=BC，需要添加的一个条件是．16．如图，已知△ABC的三边长为a、b、c，且a＜b＜c，若平行于三角形一边的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分．设图中的小三角形①、②、③的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是．（用“＜”号连接）三、解答题（本大题共5小题，共44分）17．计算：（﹣）0+（）﹣1•﹣|tan45°﹣|．18．已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．求证：BC=DE．19．为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频率优秀45b良好a0.3合格1050.35不合格60c（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．20．为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD 为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）21．某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．四、B卷填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．22．已知⊙O1与⊙O2内切，⊙O1的半径长是3厘米，圆心距O1O2=2厘米，那么⊙O2的半径长等于厘米．23．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为．24．已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是．25．如图，分别过点P i（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点A i，交直线于点B i．则=．五、B卷解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）26．阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．然后解决下列问题．（1）等比数列3，6，12，…的公比q为，第4项是．（2）如果已知一个等比数列的第一项（设为a1）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项a n=（用a1和q的代数式表示）．（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，求它的第1项与第4项．（4）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．27．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO 的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．28．如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C（0，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N 以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣的绝对值是（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】绝对值．【分析】根据正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．【解答】解：∵﹣的绝对值等于其相反数，∴﹣的绝对值是．故选A．2．下列调查中，适合用抽样调查的是（）①市场上某种食品的某种添加剂的含量是否符合国家标准；②了解某班每个学生家庭电脑的数量；③调查全省生一天的学习时间．A．①②B．①③C．②③D．①②③【考点】全面调查与抽样调查．【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．【解答】解：①市场上某种食品的某种添加剂的含量是否符合国家标准，适合抽样调查，故①符合题意；②了解某班每个学生家庭电脑的数量适合普查，故②不符合题意；③调查全省生一天的学习时间，适合抽样调查，故③符合题意；故选：B．3．如图所示的几何体，其主视图是（）A ．B ．C ．D ．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形，故B正确；故选：B．4．小明记录了半个月的最高气温如下表：2122 25 24 23 26最高气温（℃）天数 1 2 4 3 3 2那么这半个月每天的最高气温的中位数是（）A．22 B．23 C．23.5 D．24【考点】中位数．【分析】先把这组数据按照从小到大的顺序排列，然后找出中位数．【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：21，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25，25，26，26，中位数为：24．故选D．5．已知正比例函数y=（m﹣3）x的图象过第二、四象限，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3【考点】正比例函数的性质．【分析】直接利用正比例函数的定义得出m的取值范围即可．【解答】解：∵正比例函数y=（m﹣3）x的图象过第二、四象限，∴m﹣3＜0，解得：m＜3．故选：D．6．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（）A．3.4×10﹣9 B．0.34×10﹣9C．3.4×10﹣10D．3.4×10﹣11【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000000034=3.4×10﹣10，故选：C．7．函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≥5 C．x≤5 D．x＞5【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；函数自变量的取值范围．【分析】根据分式及二次根式有意义的条件，即可得出x的取值范围．【解答】解：由题意得：x﹣5＞0，解得：x＞5．故选D．8．已知m﹣n=100，x+y=﹣1，则代数式（n+x）﹣（m﹣y）的值是（）A．99 B．101 C．﹣99 D．﹣101【考点】整式的加减—化简求值．【分析】原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵m﹣n=100，x+y=﹣1，∴原式=n+x﹣m+y=﹣（m﹣n）+（x+y）=﹣100﹣1=﹣101．故选D．9．如图，CB=1，且OA=OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是（）A． B．﹣C． D．﹣【考点】实数与数轴；勾股定理．【分析】在RT△BCO中，利用勾股定理求出BO即可知道OA的长得出结论．【解答】解：∵BC⊥OC，∴∠BCO=90°，∵BC=1，CO=2，∴OB=OA===，∵点A在原点左边，∴点A表示的实数是﹣．故选D．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AC的长为3，sinB=，则⊙O的半径为（）A．4 B．3 C．2 D．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【分析】作直径AD，连接CD，根据正弦的概念求出∠D的正弦，根据圆周角定理得到∠B=∠D，得到答案．【解答】解：作直径AD，连接CD，∴∠D=∠B，∴sinD=sinB=，在直角△ADC中，AC=3，∴AD==4，∴⊙O的半径为2．故选C．11．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0【考点】根的判别式．【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k=0和k≠0两种情况进行解答．【解答】解：（1）当k=0时，﹣6x+9=0，解得x=；（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，∴△=22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1，由（1）、（2）得，k的取值范围是k≥﹣1．故选：A．12．已知α，β是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1=0的两实根，实数a、b、α、β的大小关系可能是（）A．α＜a＜b＜βB．a＜α＜β＜b C．a＜α＜b＜βD．α＜a＜β＜b 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【分析】首先把方程化为一般形式，由于α，β是方程的解，根据根与系数的关系即可得到a，b，α，β之间的关系，然后对四者之间的大小关系进行讨论即可判断．【解答】解：设y=（x﹣a）（x﹣b），则此二次函数开口向上，当（x﹣a）（x﹣b）=0时，即函数与x轴的交点为：（a，0），（b，0），当（x﹣a）（x﹣b）=1时，∵α，β是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1=0的两实根，∴函数与y=1的交点为：（α，0），（β，0），根据二次函数的增减性，可得：当a＜b，α＜β时，α＜a＜b＜β；当b＜a，α＜β时，α＜b＜a＜β；当b＞a，α＞β时，β＜a＜b＜α；当b＞a，α＞β时，β＜a＜b＜α．故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）13．分解因式：2a2﹣8=2（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4），=2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．14．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为．【考点】概率的意义．【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可．【解答】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，∴正面向上的概率为．故答案为：．15．如图，四边形ABCD中，连接AC，AB∥DC，要使AD=BC，需要添加的一个条件是AB=CD（答案不唯一）．【考点】平行四边形的判定与性质．【分析】由AB∥DC，AB=DC证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出AD=BC．【解答】解：添加条件为：AB=DC（答案不唯一）；理由如下：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC．16．如图，已知△ABC的三边长为a、b、c，且a＜b＜c，若平行于三角形一边的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分．设图中的小三角形①、②、③的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是S1＜S3＜S2．（用“＜”号连接）【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】设△ABC的面积为S，周长为C．①若l∥BC，如图1，则有△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质及等比性质可得====；②若l ∥BC，如图2，同理可得=；③若l∥AC，如图3，同理可得=．由0＜a＜b＜c可得0＜a+b＜a+c＜b+c，即可得到＜＜．【解答】解：设△ABC的面积为S，周长为C．①若l∥BC，如图1，则有△ADE∽△ABC，∴====；②若l∥AB，如图2，同理可得：=；③若l∥AC，如图3，同理可得：=．∵0＜a＜b＜c，∴0＜a+b＜a+c＜b+c，∴＜＜，∴S1＜S3＜S2，故答案为S1＜S3＜S2．三、解答题（本大题共5小题，共44分）17．计算：（﹣）0+（）﹣1•﹣|tan45°﹣|．【考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．【分析】根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=1+3×﹣（﹣1）=1+2﹣+1=2+．18．已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．求证：BC=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据由两个角和其中一角的对边相等的两个三角形全等证明△ABC≌△CDE，由全等三角形的性质即可得到BC=DE．【解答】证明：∵AB∥EC，∴∠A=∠DCE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE，∴BC=DE．19．为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频率优秀45b良好a0.3合格1050.35不合格60c（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；条形统计图．【分析】（1）利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数；（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数=频率，进而求出答案；（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）由题意可得：该校初四学生共有：105÷0.35=300（人），答：该校初四学生共有300人；（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），b==0.15，c==0.2；如图所示；（3）画树形图得：∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）==．20．为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD 为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】（1）根据已知和tan∠ADC=，求出AC，根据∠BDC=45°，求出BC，根据AB=AC﹣BC求出AB；（2）根据cos∠ADC=，求出AD，根据cos∠BDC=，求出BD．【解答】解：（1）在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，∵tan∠ADC=，∴AC=3•tan60°=3，在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，∴BC=CD=3，∴AB=AC﹣BC=（3﹣3）米．（2）在Rt△ADC中，∵cos∠ADC=，∴AD===6米，在Rt△BDC中，∵cos∠BDC=，∴BD===3米．21．某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．【分析】（1）根据派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30﹣x）台，派往A、B地区的甲型收割机分别为（30﹣x）台和（x﹣10）台，列出关于x、y的函数关系式即可；（2）根据（1）中的函数关系式得出关于x的不等式，求出x符合条件的x的值，再进行解答；（3）根据（1）中得出的一次函数关系式，判断出其增减性，求出y的最大值即可．【解答】解：（1）由于派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30﹣x）台，派往A、B地区的甲型收割机分别为（30﹣x）台和（x﹣10）台．∴y=1600x+1200（30﹣x）+1800（30﹣x）+1600（x﹣10）=200x+74000（10≤x ≤30）（2）由题意，得200x+74000≥79600，解得x≥28，∵28≤x≤30，x是正整数∴x=28、29、30∴有3种不同分派方案：①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；③当x=30时，即30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区；（3）∵y=200x+74000中y随x的增大而增大，∴当x=30时，y取得最大值，此时，y=200×30+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元．四、B卷填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．22．已知⊙O1与⊙O2内切，⊙O1的半径长是3厘米，圆心距O1O2=2厘米，那么⊙O2的半径长等于5或1厘米．【考点】圆与圆的位置关系．【分析】设⊙O 2的半径为r ，根据内切的判定方法得到r ﹣3=2或3﹣r=2，然后解方程即可．【解答】解：设⊙O 2的半径为r ， ∵⊙O 1与⊙O 2内切， ∴r ﹣3=2或3﹣r=2， ∴r=5或r=1． 故答案为5或1．23．如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数的图象上．若点A 的坐标为（﹣2，﹣2），则k 的值为 1或﹣3 ． 【考点】反比例函数综合题．【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k 2+4k +1=4，再解出k 的值即可． 【解答】解：如图：∵四边形ABCD 、HBEO 、OECF 、GOFD 为矩形，又∵BO 为四边形HBEO 的对角线，OD 为四边形OGDF 的对角线， ∴S △BEO =S △BHO ，S △OFD =S △OGD ，S △CBD =S △ADB ， ∴S △CBD ﹣S △BEO ﹣S △OFD =S △ADB ﹣S △BHO ﹣S △OGD ， ∴S 四边形HAGO =S 四边形CEOF =2×2=4， ∴xy=k 2+2k +1=4， 解得k=1或k=﹣3． 故答案为1或﹣3．24．已知实数a ，b ，c 满足a +b +c=10，且，则的值是．【考点】比例的性质．【分析】根据已知条件把所求的式子进行整理，即可求出答案；【解答】解∵a+b+c=10，∴a=10﹣（b+c），b=10﹣（a+c），c=10﹣（a+b），∴=﹣+﹣+﹣=﹣1+﹣1+﹣1=++﹣3，∵，∴原式=×10﹣3=﹣3=．故填：．25．如图，分别过点P i（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点A i，交直线于点B i．则=．【考点】二次函数综合题．【分析】根据函数图象上的坐标的特征求得A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…A n（n，n2）；B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…B n （n，﹣）；然后由两点间的距离公式求得A1B1=|﹣（﹣）|=1，A2B2=|2﹣（﹣1）|=3，A3B3=|﹣（﹣）|=6，…A n B n=|n2﹣（﹣）|=；最后将其代入求值即可．【解答】解：根据题意，知A1、A2、A3、…A n的点都在函与直线x=i（i=1、2、…、n）的图象上，B1、B2、B3、…B n的点都在直线与直线x=i（i=1、2、…、n）图象上，∴A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…A n（n，n2）；B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…B n（n，﹣）；∴A1B1=|﹣（﹣）|=1，A2B2=|2﹣（﹣1）|=3，A3B3=|﹣（﹣）|=6，…A nB n=|n2﹣（﹣）|=；∴=1，=，…=．∴，=1++…+，=2[+++…+]，=2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），=2（1﹣），=．故答案为：．五、B卷解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）26．阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．然后解决下列问题．（1）等比数列3，6，12，…的公比q为2，第4项是24．（2）如果已知一个等比数列的第一项（设为a1）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项a n=a1•q n﹣1（用a1和q的代数式表示）．（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，求它的第1项与第4项．（4）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】（1）根据等比数列的定义可得；（2）由数列中的每一项等于首项乘以公比的序数减一次方可得；（3）根据定义先求得首项，再根据通项公式即可得；（4）根据通项公式得，求得首项和公比，继而根据通项公式可得答案．【解答】解：（1）根据题意知公比q=6÷3=2，第4项是12×2=24，故答案为：2，24；（2）根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项a n=a1•q n﹣1，故答案为：a1•q n﹣1；（3）根据题意知，第1项为10÷2=5，第4项为5×23=40；（4）根据题意知，∴q3=8，即q=2，则a1=3，∴这个等比数列的第10项为3×29=1536．27．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO 的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论．（2）先证明△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=20A代入关系式即可．（3）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，继而能求出cos ∠ACB，再由（2）可得OA2=OD•OP，代入数据即可得出PE的长．【解答】解：（1）连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°，∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB，又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS），∴∠PAO=∠PBO=90°，∴OA⊥PA，∴直线PA为⊙O的切线．（2）EF2=4OD•OP．证明：∵∠PAO=∠PDA=90°∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，∴∠OAD=∠OPA，∴△OAD∽△OPA，∴=，即OA2=OD•OP，又∵EF=2OA，∴EF2=4OD•OP．（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3（三角形中位线定理），设AD=x，∵tan∠F=，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32，解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去），∴AD=4，OA=2x﹣3=5，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°，又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB==．∵OA2=OD•OP，∴3（PE+5）=25，∴PE=．28．如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C（0，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N 以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到结果；（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=﹣x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=﹣x+b，即可得到结论；（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，全等只要当或时，△PBC∽△ABD，解方程组得D（4，﹣5），求出AD=，AB=4，BC=，设P的坐标为（x，0），代入比例式解得或x=﹣4.5即可得到或P（﹣4.5，0）；②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，于是得到，求得BF=，BD=，求得，由于DM=，DN=，于是得到===，即可得到结果．【解答】解：（1）由题意知：，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵AD∥BC，∴设直线AD的解析式为y=﹣x+b，∴0=1+b，∴b=﹣1，∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1；（3）①∵BC∥AD，∴∠DAB=∠CBA，∴只要当：或时，△PBC∽△ABD，解得D（4，﹣5），∴AD=，AB=4，BC=，设P的坐标为（x，0），即或，解得或x=﹣4.5，∴或P（﹣4.5，0），②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，∴，∴BF=，BD=，∴，∵DM=，DN=，又∵，NE=，∴===，∴当时，S的最大值为．△MDN创作人：百里此前创作日期：202B.03.31审核人：北堂的公创作单位：雅礼明智德学校。
北京市2020版九年级数学中考一模试卷(II)卷
北京市2020版九年级数学中考一模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018八上·新乡期中) 如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是（）A . 0B . 1C . ±1D . ﹣12. （2分）下列各式中，计算正确的是（）A . x（2x﹣1）=2x2﹣1B . x2﹣9=（x﹣3）（ x+3 ）C . （a+2）2=a2+4D . （x+2）（x﹣3）=x2+x﹣63. （2分）今年5月23日从崇左市固投办了解到，自治区统计局日前核准并通报全区各市1~4月份全社会固定资产投资完成情况，其中崇左市1~4月份完成社会固定资产投资共81.97亿元，比去年同期增长53.1%，增幅居全区各市第二位.用科学记数法表示，则81.97亿元可写为（）A . 8.197×109元B . 81.97×109元C . 8.197×108元D . 81.97×108元4. （2分）已知不等式组的解集为，则（）A . 2013B .C .D . 15. （2分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图是（）A .B .C .D .6. （2分）羊年话“羊”，“羊”字象征着美好和吉祥．下列图案都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是（）．A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（）A . 7B . 8C . 9D . 108. （2分）(2017·冠县模拟) 如图，已知直线y=k1x+b与x轴，y轴相交于P，Q两点，则y= 的图象相交于A（﹣2，m），B（1，n）两点，连接OA，OB，给出下列结论：①k1k2＜0；②m+ n=0；③S△AOP=S△BOQ；④不等式k1x+b＞的解集在x＜﹣2或0＜x＜1，其中正确的结论是（）A . ②③④B . ①②③④C . ③④D . ②③9. （2分）(2016·龙岩) 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（）A . a+bB . a﹣2bC . a﹣bD . 3a10. （2分）(2019·广西模拟) 如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A . 2 015B . 3 019．5C . 3 018D . 3 024二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）利用解一元二次方程的方法，在实数范围内分解因式x2﹣2x﹣1=________．12. （1分） (2019八下·贵池期中) 如果代数式有意义，则的取值范围为________.13. （1分）(2018·永定模拟) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sin =________14. （1分） (2017九上·上城期中) 如图，的顶点都在方格线的交点（格点）上，若将绕原点旋转，点走过的路程是________．15. （1分） (2017八下·揭西期末) 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AD=6，AB=10，则△AOB的面积为 ________16. （1分）(2018七上·深圳期中) 如果有理数a、b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2=0，则的值为________．三、解答题 (共9题；共89分)17. （5分）(2016·开江模拟) 计算：（）﹣1×（﹣22）．18. （5分）(2017·新野模拟) 先化简，然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．19. （10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：（1） MD=MB；（2） MN平分∠DMB．20. （12分） (2017八下·南通期中) 某学校八年级数学学习小组将某城市四月份（30天）的日最高气温统计如下：根据图中所提供的信息，解答下列问题：（1）将统计图补充完整；（2）这30天的日最高气温的中位数是________℃，众数是________℃；（3）计算这个城市四月份日最高气温的平均数．21. （5分） (2017七上·红山期末) 据某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市．其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍．求严重缺水城市有多少座？22. （12分） (2019九上·瑞安开学考) 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA=3，∠OAC=30°，点D是BC的中点。
2020-2021北京育英中学初三数学下期中模拟试题及答案
（）
A．－1
B．1
C．2
D．3
3．如图，用放大镜看△ABC，若边 BC 的长度变为原来的 2 倍，那么下列说法中，不正确
的是（ ）．
A．边 AB 的长度也变为原来的 2 倍；
B．∠BAC 的度数也变为原来的 2 倍；
C．△ABC 的周长变为原来的 2 倍；
D．△ABC 的面积变为原来的 4 倍；
4．如图，平面直角坐标系中，点 A 是 x 轴上任意一点，BC 平行于 x 轴，分别交 y= 3 （x x
（2）sin ∠ADC 的值．
22．如图，在△ABC 中，BC＝6，sinA＝ 3 ，∠B＝30°，求 AC 和 AB 的长． 5
23．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(－2，1)，B(－1，4)， C(－3，2)． (1)以原点 O 为位似中心，位似比为 1∶2，在 y 轴的左侧，画出△ABC 放大后的图形 △A1B1C1，并直接写出 C1 点的坐标； (2)如果点 D(a，b)在线段 AB 上，请直接写出经过(1)的变化后点 D 的对应点 D1 的坐标．
B．如果两个三角形相似，相似比为 4:9，那么这两个三角形的周长比为 4:9
C．如果两个三角形相似，相似比为 4:9，那么这两个三角形的面积比为 2:3
D．如果两个三角形相似，相似比为 4:9，那么这两个三角形的面积比为 4:9
8．河堤横断面如图所示，堤高 BC＝5 米，迎水坡 AB 的坡比 1： 3 ，则 AC 的长是( )
AMO BNC AOM BCN ， OA BC
∴△AOM≌△BCN(AAS)， ∴BN=AM=4，CN=OM=3， ∴ON=5+3=8， 即 B 点的坐标是(8,4)， 把 B 的坐标代入 y=kx 得：k=32，
2020年北京市育英中学九年级数学三模试题
2020北京市育英中学初三数学模拟试题（三）一、选择题：本大题8个小题,每小题2分,共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.2018年我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍．将58000000000用科学记数法表示应为( ) A. 58×109 B. 5.8×1010 C. 5.8×1011 D. 0.58×1011B科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．将580 0000 0000用科学记数法表示应为5.8×1010． 故选B ．考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2.下列实数中，在2和3之间的是（ ）A. πB. 2π-C分析：先求出每个数的范围，逐一分析得出选项. 详解：A 、3<π<4，故本选项不符合题意；B 、1<π−2<2，故本选项不符合题意；C 、2<<3，故本选项符合题意；D 、，故本选项不符合题意； 故选C.3.下列运算中，正确的是（ ） A. ()326x x =B. 326x x x ⋅=C. 22456x x x +=D. ()33xy xy =A根据 “幂的乘方”“同底数幂乘法”“合并同类项”“积的乘方”的运算法则，即可选出正确选项. A 选项，幂的乘方，底数不变，指数相乘，()326x x =，所以A 选项正确.B 选项，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，325x x x ，所以B 选项错误.C 选项，合并同类项，字母和字母指数不变，系数相加，22256x x x +=，所以C 选项错误.D 选项，积的乘方，积中每一个因式分别乘方，()333xy x y =，所以D 选项错误. 故选A4.若实数 a ，b 满足|a|＞|b|，则与实数 a ，b 对应的点在数轴上的位置可以是（ ） A.B.C.D.D根据绝对值的意义即可解答． 由|a|＞|b|，得a 与原点的距离比b 与原点的距离远， 只有选项D 符合，故选D ． 5.点(4,3)A 经过某种图形变化后得到点(3,4)B -，这种图形变化可以是（ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 绕原点逆时针旋转90 D. 绕原点顺时针旋转90C根据旋转的定义得到即可．因为点A （4，3）经过某种图形变化后得到点B （-3，4）， 所以点A 绕原点逆时针旋转90°得到点B ， 故选C ．6.一副直角三角板如图放置，其中C DFE 90∠=∠=，45A ∠=︒，60E ∠=︒，点F 在CB 的延长线上若//DE CF ，则BDF ∠等于（ ）A. 35°B. 25°C. 30°D. 15°D直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE=45°，进而得出答案． 解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°， ∵DE ∥CB ，∴∠BDE=∠ABC=45°，∴∠BDF=45°-30°=15°． 故选D ．7.下面的几何体中，俯视图为三角形的是（ ） A.B.C. D.D根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答． A 、长方体的俯视图是长方形，故本选项错误； B 、圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项错误； C 、圆柱的俯视图是圆，故本选项错误； D 、三棱柱的俯视图是三角形，故本选项正确； 故选：D ．主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．8.生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m 天数据，整理后绘制成统计表进行分析． 日均可回收物回收量（千吨）12x ≤＜23x ≤＜34x ≤＜45x ≤＜ 56x ≤≤合计频数 1 2b3 m频率0.050.10a0.151表中34x ≤＜组的频率a 满足0.200.30a ≤≤． 下面有四个推断： ①表中m 的值为20； ②表中b 的值可以为7；③这m 天的日均可回收物回收量的中位数在45x ≤＜组； ④这m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3． 所有合理推断的序号是（ ） A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①③④D①根据数据总和=频数÷频率，列式计算即可得出m 的值；②根据34x ≤＜的频率a 满足0.200.30a ≤≤，可求出该范围的频数，进一步得出b 的值的范围，从而求解； ③根据中位数的定义即可求解； ④根据加权平均数的计算公式即可求解.解：①日均可回收物回收量（千吨）为12x ≤＜时，频数为1，频率为0.05，所以总数m=10.0520÷=，推断合理；②20×0.2=4，20×0.3=6， 1+2+6+3=12，故表中b 的值可以为7，是不合理的推断；③1+2+6=9，故这m 天的日均可回收物回收量的中位数在45x ≤＜组，是合理推断；④（1+5）÷2=3，0.05+0.10=0.15，这m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3，是合理推断. 故选：D考查频数（率）分布表，从表中获取数量及数量之间的关系是解题问题的关键. 二、填空题（每题2分，满分16分，将答案填在答题纸上）9.x 的取值范围是___________．1x ≥根据二次根式被开方数为非负数解答即可.解：当x-1≥0解得x≥1 故答案为x≥1考查了二次根式有意义需满足的条件，解答关键是根据题意构造不等式进行解答. 10.分解因式：24m n n - =_____. n （m+2）（m ﹣2）分析：提取公因式法和公式法相结合因式分解即可. 详解：原式()24,nm=-()222,n m =-()()22.n m m =+-故答案为()()22.nm m +-点睛：本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底. 11.若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 8解：设边数为n ，由题意得， 180（n-2）=360⨯3 解得n=8.所以这个多边形的边数是8. 12.化简代数式（x+1+11x -）÷22x x -，正确的结果为_____． 2x根据分式的运算法则计算即可求解. （x+1+11x -）÷22xx - =()()()1111121x x xx x x ⎡⎤+-+÷⎢⎥---⎣⎦=()2211x x x x-⋅- =2x.故答案为2x ．考查了分式的混合运算，熟知分式的混合运算顺序及运算法则是解答本题的关键．13.甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45 个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做x 个，那么可列方程为_______．30456x x =+ 先用含x 的代数式表示出甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间，然后根据二者时间相同即可列出方程． 解：设甲每小时做x 个，则乙每小时做（x +6）个，根据题意，得：30456x x =+． 故答案为：30456x x =+． 考查了分式方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题关键．14.小林想要计算一组数据72,70,74,66,79,65的方差20S ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去70，得到一组新数据2,0,4,4,9,5--．记这组新数据的方差为21S ，则21S ______20S ．(填“>”，“<”或“=”) =利用一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变即可解答．解：∵一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变 ∴21S =20S ． 故答案为：=．主要考查了方差的意义，掌握一组数据都加上同一个非零常数、方差不变是解答本题的关键．15.将直线y=x 沿y 轴向上平移2个单位长度后，所得直线的函数表达式为_________，这两条直线间的距离为_____．(1). y=x+2 (2).2已知直线 y=x 沿y 轴向上平移 2 个单位长度，根据一次函数图象的平移规律即可求得平移后的解析式为y=x+2．再利用等面积法求得这两条直线间的距离即可． ∵直线 y=x 沿y 轴向上平移2个单位长度， ∴所得直线的函数关系式为：y=x+2． ∴A （0，2），B （2，0）， ∴AB=22，过点 O 作 OF ⊥AB 于点 F ，则12AB•OF=12OA•OB ， ∴OF=222OA OB AB ⋅==即这两条直线间的距离为2．故答案为y=x+2，2．考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b （k 、b 为常数，k≠0）的图象为直线，当直线平移时 k 不变，当向上平移m 个单位，则平移后直线的解析式为 y=kx+b+m ．16.如图，点Q 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处.柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图 1 中给出的线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t 秒，机器人到点A 距离设为y ，得到函数图象如图 2.通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当3t =时，机器人一定位于点Q ；③机器人一定经过点D ；④机器人一定经过点E ；其中正确的有_____．①②③根据图象起始位置猜想点B 或F 为起点，则可以判断①正确，④错误；结合图象判断34t ≤≤图象的对称性可以判断②正确；结合图象易得③正确；由图象可知，机器人距离A 是1个单位长度，可能在F 或B 点，则正六边形边长为1，故①正确；观察图象，当34t ≤≤时，根据图象具有对称性可知，机器人在OB 或OF 上，则当t=3时，机器人距离点A 距离为1个单位长度，机器人一定位于点O ，故②正确； 所有点中，只有点D 到A 距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F 或B 点出发，当从B 出发时，不经过点E ，故④错误； 故答案为①②③．三、解答题：共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～26题为必考题，每个试题考生都必须作答．17.计算：214sin 458|3|2π-︒⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 1π+．先运用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂和取绝对值对原式进行化简，然后在计算即可．解：原式242243 2π=⨯-++-222243π=-++-1π=+．考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂和取绝对值等知识，掌握并灵活运用相关知识是解答本题的关键．18.解分式方程：2321933x x x-=--+．x=把分式方程化为整式方程，解整式方程并检验可得答案．解：2321933x x x-=--+32(3)3x x∴-+=-．3263x x∴--=-．30x∴-=．x∴=．经检验，0x=是原方程的解．∴原方程的解是0x=．考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键．19.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知ABC∆，AB BC<，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA PC BC+=.作法：（1）作线段AB的垂直平分线1.（2）直线1交BC于点P.则点P就是所求的点.证明：连接PA直线L垂直平分线段AB∴PAPB=(填写正确的依据)BC PB PC=+∴PA PC BC+=.解决下列问题：（1）利用尺规作图确定P点的位置；（2）补全证明过程中的依据；（3）如果题干无AB BC<条件，在线段BC上点P不一定存在，在请画图说明．（1）如图所示见解析；（2）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；（3）如图所示见解析．（1）根据尺规作图的作图方法作图即可；（2）利用垂直平分线的性质作答即可；（3）分两种情况进行讨论，分别画图即可；（1）如图，以A、B两点为圆心，大于12AB为半径画弧，即可得到直线，（2）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（3）当AC=BC时，点P与点C重合，可作图；当AB BC＞，点P在BC的延长线上；主要考查了尺规作垂直平分线的知识点，掌握作图的方法是解题的关键．20.已知关于x 的一元二次方程2430kx x -+=．（1）当1k=时，求此方程的根；（2）若此方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． （1）121,3x x ==；（2）43k <且0k ≠ （1）把k=1代入原方程，然后解此方程即可；（2）根据方程有两个不相等的实数根可知此方程是一元二次方程，即k≠0，根的判别式大于0，即可求出k 的取值范围. （1）当1k=时，此方程为2430x x -+=，(1)(3)0x x --=，11x =，23x =；（2）由题意得0k≠，16120k ∆=->，43k ∴<， 43k ∴<且0k ≠. 考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根. 也考查了一元二次方程的解法. 21.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点B 、C 作//BE AC ，//CE BD ，BE 与CE 交于点E ．（1）求证：四边形OBEC 是矩形；（2）当60ABD ∠=，AD =EDB ∠的正切值．（1）见解析；（2）tan ∠EDB =（1）先证明四边形OBEC 为平行四边形，再根据菱形的性质可得到结果；（2）先判断△ABD 为等边三角形，求出BD ，再根据菱形的性质求出BE ，即可得到结果； （1）∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴四边形OBEC 为平行四边形． ∵ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ． ∴∠BOC ＝90°． ∴四边形OBEC 是矩形． （2）∵AD ＝AB ，∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形．∴BD ＝AD ＝AB ＝ ∵ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°， ∴∠BAO ＝30°． ∴OC ＝OA ＝3． ∴BE ＝3∴tan ∠EDB2BE BD ===． 主要考查了菱形性质的应用、矩形的判定和解直角三角形．（2）中需结合等边三角形的性质进行求解． 22.为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药，12周后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者；同时记录了服药患者在4周、8周、12周后的指标z的改善情况，并绘制成条形统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标x的值大于1.7的概率；（2）设这100名患者中服药者指标y数据的方差为21S，未服药者指标y数据的方差为22S，则21S22S；（填“>”、“=”或“<”）（3）对于指标z的改善情况，下列推断合理的是．①服药4周后，超过一半的患者指标z没有改善，说明此药对指标z没有太大作用；②在服药的12周内，随着服药时间的增长，对指标z的改善效果越来越明显．（1）6%；（2）>；（3）②(1)根据图1，可以的打指标x的值大于1.7的概率；(2)根据图1，可以得到S12和S22的大小情况；(3)根据图2，可以判断哪个推断合理．(1)指标x的值大于1.7的概率=335050÷==6%；(2)由图1可知，S12＞S22，故答案为：＞；(3)由图2可知，推断合理的是②， 故答案为：②．考查了条形统计图、其他统计图、方差、概率，解题本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23.如图，点A ，B ，C 在O 上，D 是弦AB 的中点，点E 在AB 的延长线上，连接OC ，OD ，CE ，180CED COD ︒∠+∠=．（1）求证：CE 是O 切线；（2）连接OB ，若OB CE ∥，tan 2CEB ∠=，4OD =，求CE 的长． （1）见解析；（2）35CE =．（1）根据垂径定理的条件得出90ODB ∠=︒，根据已知条件得出90OCE ∠=︒，即可证得； （2）先延长CO ，EA 交于点F ，利用三角函数和证明BOF ECF ∽即可求出．（1）证明：如图1，D 是弦AB 的中点，OD 过圆心，OD AB ∴⊥即90ODB ∠=︒． 在四边形ODEC 中，180CED COD ∠+∠=︒， 90∴∠=︒OCE ．又OC 是O 的半径，CE ∴是O 切线．（2）解：延长CO ，EA 交于点F ，如图2．//OB CE ，90,1BOF ECO E ∠=∠=︒∠=∠．在RtODB 中，tan 12,4ODOD BD∠===， 2,25BD OB ∴==．在RtBOF 中，tan 12OFOB∠==， 245OF OB ∴==．//OB CE ， BOF ECF ∴∽OB OFCE CF∴=即25454525=+ 35CE ∴=．主要考查了垂径定理、三角函数、相似三角形等知识的综合运用，正确做出辅助线是解题的关键．24.在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky x x=>的图象与直线1y x =-交于点()3,A m（1）求k 的值；（2）已知点(,0)(0)P n n >，过点P 作垂直于x 轴的直线，交直线1y x =-于点B ，交函数(0)ky x x=>于点C ． ①当4n =时，判断线段PC 与BC 的数量关系，并说明理由； ②若PC BC ，结合图象，直接写出n 的取值范围． （1）6k=；（2）①32PC =，32BC =；理由见解析；②01n <≤或4n ≥． （1）把点A 的坐标代入一次函数解析式即可求出m 的值，再把点A 的坐标代入反比例函数解析式即可求出k 的值；（2）①把x =4分别代入一次函数和反比例函数解析式求出点B 和点C 的坐标，即可判断出PC 与PB 的数量关系； ②结合图象及①中结论可得当n ≥4或点B 在x 轴或x 轴下方时PC ≤PB ，即可确定出对应的n 的取值范围． （1）把3x =代入1y x =-得2y = ，(3,2)A ∴，又(0)ky x x=>图象过点(3,2)A ， 解得6k=；（2）①PC BC =， 当4n =时，(4,3)B ，34,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，32PC =，32BC =， 所以PC BC =；②根据图象可得：01n <≤或4n ≥．主要考查了一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，根据函数图象上的点的坐标满足函数的解析式即可求出m ，k 的值；求出PC =PB 时n 的值，然后结合函数的图象是解决（2）的关键．25.如图1，四边形ABCD 为矩形，曲线L 经过点D ．点Q 是四边形ABCD 内一定点，点P 是线段AB 上一动点，作PM ⊥AB 交曲线L 于点M ，连接QM ．小东同学发现：在点P 由A 运动到B 的过程中，对于x 1＝AP 的每一个确定的值，θ＝∠QMP 都有唯一确定的值与其对应，x 1与θ的对应关系如表所示： x 1＝AP 0 1 2 3 4 5 θ＝∠QMP α85°130°180°145°130°小芸同学在读书时，发现了另外一个函数：对于自变量x 2在﹣2≤x 2≤2范围内的每一个值，都有唯一确定的角度θ与之对应，x2与θ的对应关系如图2所示：根据以上材料，回答问题：（1）表格中α的值为．（2）如果令表格中x1所对应的θ的值与图2中x2所对应的θ的值相等，可以在两个变量x1与x2之间建立函数关系．①在这个函数关系中，自变量是，因变量是；（分别填入x1和x2）②请在网格中建立平面直角坐标系，并画出这个函数的图象；③根据画出的函数图象，当AP＝3.5时，x2的值约为．（1）50°；（2）①x1，x2；②见解析；③﹣1.87（答案不唯一）．（1）x=0时和x=5时，两个θ角为同旁内角，即可求解；（2）①根据变量的定义即可求解；②根据表格中θ的数据，从图2读出θ对应的x2的数据并列表，依据表格数据描图即可；③当AP=3.5时，即x1=3.5时，从图象读出x2的值即可．（1）当x＝5时，θ＝∠QMP＝130°，当x＝0时，θ＝∠QMP＝α，x＝0时和x＝5时，两个θ角为AD∥BC时的两个同旁内角，故α＝180°﹣130°＝50°，故答案为50°；（2）①根据变量的定义，x1是自变量，x2是因变量；故答案为：x1，x2；②根据表格中θ的数据，从图2读出θ对应的x2的数据并列出下表：依据上述表格数据，描点绘出下图：③当AP ＝3.5时，即x 1＝3.5时，从图象看x 2的值约为﹣1.87， 故答案为﹣1.87（答案不唯一）．考查函数的图象，函数的基本知识等，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型 26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax ax a =-+与y 轴交于点A ． （1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线与x 轴的交点坐标；（3）已知点(,0)P a ，(0,2)Q a -，如果抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． （1）A 的坐标为(0,3)a ．（2）(1,0)，(3,0)．（3）10a -≤<或13a ≤<． （1）令0x =，即可求出A 点的纵坐标，从而得到答案； （2）令0y =，即可求抛物线与x 轴的交点的纵坐标，从而得到答案；（3）分0a <和0a >两种情况讨论，0a <时，32a a ≥-；0a >时，由①知1a ≥-时，点Q 始终在点A 的下方，所以抛物线与线段PQ 恰有一个公共点时，只要13a ≤<即可． （1）令0x =，则3y a =． ∴点A 的坐标为(0,3)a ． （2）令0y =，则2430ax ax a -+=．∵0a ≠，∴解得11x =，23x =．∴抛物线与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(3,0)． （3）①当0a <时， 可知32a a ≥-， 解得1a ≥-．∴a 的取值范围是10a -≤<．②当0a >时，由①知1a ≥-时，点Q 始终在点A 的下方，所以抛物线与线段PQ 恰有一个公共点时，只要13a ≤<即可．综上所述，a 的取值范围是10a -≤<或13a ≤<．考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的基础是解题的关键． 27.已知40AOB ∠=︒，M 为射线OB 上一定点，1OM=，P 为射线OA 上一动点（不与点O 重合），1OP <，连接PM ，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转40︒，得到线段PN ，连接MN ．（1）依题意补全图1；（2）求证：APN OMP ∠=∠；（3）H 为射线OA 上一点，连接NH ．写出一个OH 的值，使得对于任意的点P 总有OHN ∠为定值，并求出此定值．（1）见解析；（2）见解析；（3）OH 的值为1，110° （1）根据题意画出图形即可；（2）利用MPA AOB OMP MPN APN ∠=∠+∠=∠+∠即可得出答案； （3）在射线PA 上取一点G ，使得PG OM =，连接GN ，证明OMP GPN ∆∆≌，,40OP GN AOB NGP =∠=∠=︒，进而得出NG HG =，从而得出110OHN ∠=︒．（1）补全图形，如图所示．；（2）证明：根据题意可知，40MPN AOB ∠=∠=︒，∵MPA AOB OMP MPN APN ∠=∠+∠=∠+∠， ∴APN OMP ∠=∠； （3）解：OH 的值为1．在射线PA 上取一点G ，使得PG OM =，连接GN ，根据题意可知，MP NP =， 在OMP ∆和GPN ∆中∵OM PGOMP GPN MP NP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴OMP GPN ∆∆≌，∴,40OP GN AOB NGP =∠=∠=︒， ∵PG OH =， ∴OP HG =， ∴NG HG =， ∴70NHG ∠=︒， ∴110OHN∠=︒．考查了根据题意作图，旋转的性质，三角形外角的性质的应用，全等三角形的判定，第三问解题的关键是构造全等三角形，得出NG HG =．28.已知：点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，若点P 与点Q 之间的距离PQ 始终满足0PQ >，则称图形M 与图形N 相离．（1）已知点(1,2)A 、(0,5)B -、(2,1)C -、(3,4)D ． ①与直线35y x =-相离的点是 ；②若直线3y x b =+与ABC ∆相离，求b 的取值范围； （2）设直线33y x =+、直线33y x =-+及直线2y =-围成的图形为W ，⊙T 的半径为1，圆心T 的坐标为(,0)t ，直接写出⊙T 与图形W 相离的t 的取值范围．（1）①A 、C ；②b 的取值范围是b >﹣1或b <﹣7；（2）t 的取值范围是：t ＜53或t 53或3t ＜33．（1）①将A ，B ，C ，D 四个点的坐标依次代入直线解析式，不在直线上的点即为符合题意的点；②当直线y ＝3x +b 经过点A 和点C 时计算b 的值，进而可得答案；（2）分三种情形：如图1，当⊙T 位于直线AC 右侧，且与直线AC 相切于点H ，利用解直角三角形的知识求出TD ，进而可得点T 的坐标，从而可得t 的取值范围；如图2，当⊙T 位于直线33y x =+左侧，且与直线AB 相切于点H ，同理求出点T 的坐标即得t 的取值范围；③如图3，分⊙T 位于直线AC 左侧，且与直线AC 相切、⊙T 与AB 相切，且位于直线AB 的右侧时两种情况，分别求出点T 的坐标即得t 的取值范围，从而可得结果． 解：（1）①∵点A （1，2），∴当x ＝1时，3﹣5＝﹣2，∴点A 不在直线y ＝3x ﹣5上，同理，点C （2，﹣1）不在直线y ＝3x ﹣5上，点B （0，﹣5），点D （3，4）在直线上，∴与直线y ＝3x ﹣5相离的点是A ，C ；故答案为：A ，C ；②当直线y ＝3x +b 过点A （1，2）时，则3+b ＝2，∴b ＝﹣1．当直线y ＝3x +b 过点C （2，﹣1）时，则6+b ＝﹣1，∴b ＝﹣7．∴b 的取值范围是b ＞﹣1或b ＜﹣7；（2）①如图1，图形W 为△ABC ，直线33y x =-+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，令x ＝0，y ＝3，令y ＝0，x ＝3，∴OA ＝3，OD ＝3，∴∠OAD ＝30°，∠ADO ＝60°，当⊙T 位于直线AC 右侧，且与直线AC 相切于点H ，连接TH ，则TH ⊥DH ，∵∠TDH ＝∠ADO ＝60°，TH ＝1，∴DT ＝233， ∴OT ＝OD +DT ＝2533333+=，∴T （533，0）， ∴当t ＞533时，⊙T 与图形W 相离； ②如图2，当⊙T 位于直线33y x =+左侧，且与直线AB 相切于点H ，连接TH ，直线AB 与x 轴交于点E ，同理可得，TE ＝233，OE ＝3， ∴OT ＝533，∴T （﹣533，0）， ∴当t ＜﹣533时，⊙T 与图形W 相离； ③如图3，当⊙T 位于直线AC 左侧，且与直线AC 相切时，同理可得TD 233OD ＝3，∴OT ＝OD ﹣TD ＝3=，∴T （3，0），当⊙T 与AB 相切，且位于直线AB 的右侧时，同理可得T （﹣3，0），∴当﹣t T 与图形W 相离．综上：⊙T 与图形W 相离时，t 的取值范围是：t ＜或t 或t ＜ 属于圆综合题，主要考查了直线与圆的位置关系、一次函数的性质和解直角三角形等知识，解题的关键是正确理解题意，学会动中取静寻找特殊位置、灵活应用数形结合和分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
北京2020学年第二学期九年级数学模拟试卷
MACD初三数学模拟试卷一、选择题1．4 月24 日是中国航天日，1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000 米．将439 000 用科学记数法表示应为（A）0.439（C）4.39（B）4.39（D）4392．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（A）（B）（C）（D）3．正十边形的外角和为（A）180 （B）360 （C）720 （D）14404．在数轴上，点A，B 在原点O 的两侧，分别表示数a，2，将点A 向右平移1 个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a 的值为（A）5．已知锐角∠AOB如图，（B） 2 （C） 1 （D）1P（1）在射线 O A 上取一点 C，以点 O为圆心，OC 长为半径， （2）交射线 O B 于点 D，连接 C D；（2）分别以点C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点M，N ；O B 1061061051033m 2 - mn m ⎪ （3）连接 OM ，MN ．Q根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（A ）∠COM =∠COD （B ）若 OM =MN ，则∠AOB =20° （C ）MN ∥CD（D ）MN =3CD6．如果m + n =1，那么代数式⎛ 2m + n + 1 ⎫ ⋅ (m 2 - n 2)的值为 ⎝ ⎭（A ） -3（B ） -1（C ）1（D ）37．用三个不等式a > b ，ab > 0，1 < 1中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成a b一个命题，组成真命题的个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）38．某校共有 200 名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间 （单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．人均参加公益劳动时间/小时24.5 25.527.021.8人数时间学生类别0≤t ＜1010≤t ＜2020≤t ＜3030≤t ＜40t ≥40性别男7 31 25 30 4 女 829 26 32 8学段初中25364411高中30 25 20 15 10 5男 生 女 生 初中生 高中生 学生类别下面有四个推断：①这 200 名学生参加公益劳动时间的平均数一定在 24.5-25.5 之间 ②这 200 名学生参加公益劳动时间的中位数在 20-30 之间③这 200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在 20-30 之间 ④这 200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在 20-30 之间所有合理推断的序号是（A ）①③（B ）②④（C ）①②③ （D ）①②③④ 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9.若分式的值为0，则x的值为（）10．如图，已知ABC ，通过测量、计算得ABC 的面积约为cm2.（结果保留一位小数）11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是.（写出所有正确答案的序号）CA B第10题图①长方体②圆柱第11题图③圆锥AB第12题图P1s 0 1 12．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB ＋∠PBA ＝°（点 A ，B ，P 是网格线交点）.13．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (a ，b ) (a > 0，b > 0)在双曲线 y = k1 上．点 A 关于 x 轴的对x称点 B 在双曲线 y =k 2上，则k 1 + k 2 的值为.x14．把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图 2，图 3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为．图1图2 图315．小天想要计算一组数据 92，90，94，86，99，85 的方差s 2．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去 90，得到一组新数据 2，0，4， 4，9， 5．记这组新数据的方差为s 2，则2s 2 . (填“ > ”，“ = ”或“ <”)16．在矩形 ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边 AB ，BC ，C D ，DA 上的点（不与端点重合）．对于任意矩形 ABCD ，下面四个结论中，①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形；513④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本题共 68 分，第 17-21 题，每小题 5 分，第 22-24 题，每小题 6 分，第 25 题 5 分， 第 26 题 6 分，第 27-28 题，每小题 7 分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算： -- (4 - π )0+ 2 sin 60 +（1）-1. 418．解不等式组：.频数（国家个数）E FB D19．关于x 的方程x2 - 2x + 2m -1 = 0 有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．20．如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E，F 分别在AB，AD 上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；A（2）延长EF 交CD 的延长线于点G，连接BD 交AC 于点O，若求AO 的长．21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40 的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7 组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；129862130 4050 60 70 80 90 100国家创新指数得分b．国家创新指数得分在60≤x＜70 这一组的是：国家创新指数得分 A l 1l 2C 61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c ．40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：10090 8070 60 50 40 300 123 4567891011 人均国内生产总值/万元d ．中国的国家创新指数得分为 69.5.（以上数据来源于《国家创新指数报告（2021）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第；（2）在40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1 的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是．①相比于点A，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．22．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O 到点A，B，C 的距离均等于a （a 为常数），到点O的距离等于a 的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）过点D 作DE ⊥BA，垂足为E，作DF ⊥BC，垂足为F，延长DF 交图形G 于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE 与图形G 的公共点个数．AB C23．小云想用 7 天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成 4 组，第 i 组有 x i 首，i =1，2，3，4；②对于第 i 组诗词，第 i 天背诵第一遍，第（ i 1）天背诵第二遍，第（ i 3 ）天背诵第三遍，三 遍后完成背诵，其它天无需背诵， i 1，2，3，4；③每天最多背诵 14 首，最少背诵 4 首．第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天第 6 天第 7 天第 1 组 x 1 x 1x 1第 2 组x 2x 2x 2第 3 组第 4 组x 4 x 4x 4解答下列问题：（1）填入x3 补全上表；（2）若x1 = 4 ，x2 = 3 ，x3 = 4 ，则x4 的所有可能取值为；（3）7 天后，小云背诵的诗词最多为首．24．如图，P 与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 上一动点，连接PC 交弦AB 于点D．CADPB小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD 的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C 上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD 的长度的几组值，如下表：位置1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置7 位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象， 解决问题：当 PC =2PD 时，AD 的长度约为 cm ．25. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ：y = kx +1(k ≠ 0)与直线 x = k ，直线 y = -k 分别交于点 A ， B ，直线 x = k 与直线 y = -k 交于点C ． （1）求直线l 与 y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段 AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为W ．①当k = 2 时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围．26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax 2bx 位长度，得到点 B ，点 B 在抛物线上． （1）求点 B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； 与 y 轴交于点 A ，将点 A 向右平移 2 个单a（3）已知点 P ( 1,21O 1 2 3 4 5 6 x /cmy /cm6543131)， Q (2, 2)．若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取a 值范围．27．已知∠AOB = 30︒，H 为射线 OA 上一定点， OH =+1，P 为射线 OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接 PM ，满足∠OMP 为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时针旋转150︒ ，得到线段 PN ，连接 ON ． （1）依题意补全图 1；（2）求证： ∠OMP = ∠OPN ；（3）点 M 关于点 H 的对称点为 Q ，连接 QP ．写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总有 ON =QP ，并证明．B BO H A O H A图1 备用图28．在△ABC 中，D ，E 分别是ABC 两边的中点，如上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则为△ABC 的中内弧．例如，下图中是△ABC 的一条中内弧．AD EAD EB CB C（1）如图，在Rt△ABC 中，AB =AC = 2 2，D，E 分别是AB，AC 的中点．画出△ABC 的最长的中内，并直接写出此的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点 A (0, 2)，B (0,0)，C (4t ,0)(t > 0) ，在△ABC 中， D ，E 分别是 AB ，AC 的中点．①若t = 1，求△ABC 的中内弧所在圆的圆心 P 的纵坐标的取值范围；2②若在△ABC 中存在一条中内，使所在圆的圆心 P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．1、在最软入的时候，你会想起谁。