2014年全国高考文科数学试题及答案-辽宁卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()A B = U ð（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ． c a b >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5. 设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0a b ∙= ，0b c ∙= ，则0a c ∙= ；命题q ：若//,//a bb c，则//a c，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．84π-B ．82π- C ．8π- D ．82π- 8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．-1C ．34-D ．12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}na a 为递减数列，则（ ）A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ． 10a d <10. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 .15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙= ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.附：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=，19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.（1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D-BCG 的体积. 附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高. 20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.（1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.21.（本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.（1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.参考答案一、选择题1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C9.D10.A11.B12.C二、填空题13. 20 14. 1815. 1216. -1三、解答题 17.解：（Ⅰ）由2BA BC ⋅= 得cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以6ac =由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+ 又3b =，所以2292213a c +=+⨯= 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩，得2,3a c ==或3,2a c ==因为a c >，所以3,2a c ==（Ⅱ）在ABC ∆中，sin 3B ==由正弦定理，得2sin sin 339c C B b ==⋅=因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7cos 9C === 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=-1723393927=⋅+= 18.解：（Ⅰ）将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得222112212211212()100(60102010)100 4.7627030802021n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯由于4.762 > 3.841，所以由95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异。

（Ⅱ）从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间121122123112123113212223213123{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}a ab a a b a a b a b b a b b a b b a b b a b b a b b b b b Ω=其中i a 表示喜欢甜品的学生，1,2i =，j b 表示不喜欢甜品的学生，1,2,3j =。

Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的。

用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这以事件，则112123113212223213123{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A a b b a b b a b b a b b a b b a b b b b b =事件A 是由7个基本事件组成，因而7()10P A = 19.（Ⅰ）证明：由已知得ABC DBC ∆≅∆，因此AC DC =， 又G 为AD 的中点，所以CG AD ⊥； 同理BG AD ⊥；因此AD ⊥平面BGC 又//EF AD ，所以EF ⊥面BCG（Ⅱ）在平面ABC 内，作AO CB ⊥，交CB 延长线于O由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥面BDC又G 为AD 的中点，因此G 到平面BDC 距离h 是AO 长度的一半 在AOB ∆中，sin 60AO AB =⋅=1111sin1203322D BCG G BCD DBC V V S h BD BC --∆==⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=20.解：（Ⅰ）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线的斜率为00x y -，切线方程为0000()xy y x x y -=--，即004x x y y += 此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=由22000042x y x y +=≥知，当且仅当00x y ==时，00x y 由最大值，即S 有最小值， 因此点P的坐标为（Ⅱ）设C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点1122(,),(,)A x y B x y ，由点P 在C 上知22221a b+=，并由22221x y ab y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222620b x b ++-=，又12,x x 是方程的根，因此12212262x x b x x b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩由1122y x y x ==122|||AB x x b =-= 由点P 到直线l及||2PAB S AB ∆==得429180b b -+=，解得26b =或3，因此26b =，23a =（舍去）或23b =，26a =，从而所求C 的方程为22163x y += 21.证明：（Ⅰ）当(0,)2x π∈时，()sin 2cos 0f x x x ππ'=+->，所以()f x 在(0,)2π上为增函数， 又2(0)20,()4022f f πππ=--<=->，所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =（Ⅱ）当[,]2x ππ∈时，化简得cos 2()()11sin x xg x x x ππ=-⋅+-+令t x π=-，记cos 2()()1,[0,]1sin 2t t u t g t t t t πππ=-=--+∈+， 则()()(1sin )f t u t t π'=+由（Ⅰ）得，当0(0,)t x ∈时，()0u t '<，当0(,)2t x π∈时，()0u t '>在0(,)2x π上()u t 为增函数，由()02u π=知，当0[,)2t x π∈时，()0u t <，所以()u t 在0[,)2x π上无零点 在0(0,)x 上()u t 为减函数，由(0)1u =及0()0u x <知，存在唯一00(0,)t x ∈，使0()0u t = 于是存在唯一0(0,)2t π∈，使0()0u t =设10(,)2x t πππ=-∈，则100()()()0g x g t u t π=-==，因此存在唯一的1(,)2x ππ∈，使1()0g x =由于1000,x t t x π=-<，所以01x x π+> 22.证明：（Ⅰ）因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠由于PD 为切线，故PDA DBA ∠=∠， 又由于PGD EGA ∠=∠，故DBA EGA ∠=∠所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠，从而BDA PFA ∠=∠由于AF EP ⊥，所以90PFA ∠= ，于是90BDA ∠=，故AB 是直径。