运筹学例题
运筹学实例 含解析
案例1. 工程项目选择问题某承包企业在同一时期内有八项工程可供选择投标。
其中有五项住宅工程，三项工业车间。
由于这些工程要求同时施工，而企业又没有能力同时承担，企业应根据自身的能力，分析这两类工程的盈利水平，作出正确的投标方案。
有关数据见下表：表1 可供选择投标工程的有关数据统计工程类型 预期利润/元 抹灰量/m 2混凝土量/ m 3砌筑量/ m 3住宅每项 50011 25 000 280 4 200 工业车间每项 80 000480 880 1 800 企业尚有能力108 0003 68013 800试建立此问题的数学模型。
解：设承包商承包X 1项住宅工程，X 2项工业车间工程可获利最高，依题意可建立如下整数模型：目标是获利最高，故得目标函数为21X 80000X 50011z Max +=根据企业工程量能力限制与项目本身特性，有约束：利用WinSQB 建立模型求解：1080002X 4801X 25000≤+3680X 880X 28021≤+13800X 1800X 420021≤+为整数，；，2121X X 3X 5X ≤≤综上，承包商对2项住宅工程，3项车间工程进行投标，可获利最大，目标函数Max z=340022 元。
案例2. 生产计划问题某厂生产四种产品。
每种产品要经过A，B两道工序加工。
设该厂有两种规格的设备能完成A工序，以A1 ，A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，以B1 ，B2，B3 表示。
产品D可在A，B任何一种规格的设备上加工。
产品E可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1设备上加工。
产品F可在A2及B2 ，B3上加工。
产品G可在任何一种规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1 ，B2设备上加工。
已知生产单件产品的设备工时，原材料费，及产品单价，各种设备有效台时如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大？设设产品设备有效台时1 2 3 4A1 A2 B1 B2 B357647109812111068108601110000400070004000原料费（元/件）单价（元/件）0.251.250.352.000.502.800.42.4解：设Xia(b)j为i产品在a(b)j设备上的加工数量,i=1,2,3,4;j=1,2,3，得变量列表设备产品设备有效台时Ta(b)j1 2 3 4A1 A2 B1 B2 B3X1a1X1a2X1b1X1b2X1b3X2a1X2a2X2b1X3b2X3b3X3a1X3a2X3b1X3b2X3b3X4a1X4a2X4b1X4b2X4b3601110000400070004000原料费Ci （元/件） 单价Pi （元/件） 0.25 1.25 0.352.00 0.50 2.80 0.4 2.4其中，令X 3a 1，X 3b 1，X 3b 2，X 3b 3，X 4b 3=0 可建立数学模型如下： 目标函数: ∑∑==-=4121)](*[Maxi j iaj Ci Pi X z=1.00*（X 1a 1+X 1a 2）+1.65*（X 2a 1+X 2a 2）+2.30* X 3a 2+2.00*（ X 4a 1+X 4a 2）约束条件：利用WinSQB 求解（X1~X4，X5~X8,X9~X12,X13~X17,X18~X20分别表示各行变量）：4,3,2,1X21j 31==∑∑==i X j ibjiaj2,1T X 41iaj=<=∑=j Taj i iaj 3,2,141=<=∑=j TbjT Xi ibj ibj2,1;4,3,2,10X iaj ==>=j i 且为整数32,1;4,3,2,10X ibj ，且为整数==>=j i 0X X X X X 4b33b33b23b13a1=====综上，最优生产计划如下：设备产品1 2 3 4A1 A2 B1 B2 B3774235004004008732875目标函数zMax=3495，即最大利润为3495案例3. 高校教职工聘任问题 （建摸）由校方确定的各级决策目标为：P 1 要求教师有一定的学术水平。
《运筹学》试题及答案大全
《运筹学》试题及参考答案一、填空题（每空2分，共10分）1、在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为可行解。
2、在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量为两个的线性规划问题。
3、求解不平衡的运输问题的基本思想是设立虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式。
4、在图论中，称无圈的连通图为树。
5、运输问题中求初始基本可行解的方法通常有最小费用法、西北角法两种方法。
二、（每小题5分，共10分）用图解法求解下列线性规划问题：1）max z =6x 1+4x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0781022122121x x x x x x x ，解：此题在“《运筹学》复习参考资料.doc ”中已有，不再重复。
2）min z =－3x 1+2x 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤-≤-≤+-≤+0,137210422422121212121x x x x x x x x x x 解：可行解域为abcda ，最优解为b 点。
⑴⑵⑶⑷⑸⑹、⑺由方程组⎩⎨⎧==+02242221x x x 解出x 1=11，x 2=0∴X *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x =（11，0）T∴min z =－3×11+2×0=－33三、（15分）某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：AB C 甲94370乙46101203602003001）建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；（5分）2）用单纯形法求该问题的最优解。
（10分）解：1）建立线性规划数学模型：设甲、乙产品的生产数量应为x 1、x 2，则x 1、x 2≥0，设z 是产品售后的总利润，则max z =70x 1+120x 2s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+0300103200643604921212121x x x x x x x x ，2）用单纯形法求最优解：加入松弛变量x 3，x 4，x 5，得到等效的标准模型：max z =70x 1+120x 2+0x 3+0x 4+0x 5s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=++=++5,...,2,1,03001032006436049521421321j x x x x x x x x x x j 列表计算如下：四、（10分）用大M 法或对偶单纯形法求解如下线性规划模型：min z =5x 1＋2x 2＋4x 3⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++0,,10536423321321321x x x x x x x x x 解：用大M 法，先化为等效的标准模型：max z /=－5x 1－2x 2－4x 3s.t.⎪⎩⎪⎨⎧=≥=-++=-++5,...,2,1,010********214321j y x x x x x x x x j增加人工变量x 6、x 7，得到：max z /=－5x 1－2x 2－4x 3－M x 6－M x 7s.t⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+-++=+-++7,...,2,1,010*********2164321j x x x x x x x x x x x j大M 法单纯形表求解过程如下：五、（15分）给定下列运输问题：（表中数据为产地A i 到销地B j 的单位运费）B 1B 2B 3B 4s iA 1A 2A 312348765910119108015d j82212181）用最小费用法求初始运输方案，并写出相应的总运费；（5分）2）用1）得到的基本可行解，继续迭代求该问题的最优解。
运筹学典型题型案例集
运筹学典型题型案例集第一章线性规划1 生产计划问题（（摘自王治祯环境应用数学309页））某企业为了搞好综合利用，用三种废品生产三种副产品，生产情况和利润见下表，求最佳利润。
解：设ABC三种产品的产量为X1X2X3Max Z =5X1+8X2+2X310X1+5X2+3 X3<=4006X1+10X2+2 X3<=4004X1+5X2+4X3<=200经过求解X1=34.23，X2=8.19X3=5.37最大利润为274.412 投资问题解：用Xij表示第i年初（i=1，2，3）给项目j（A，B，C，D）的投资金额。
第一年资金量：30万，可投项目：A、B；故：X1A+X1B＜=30。
第二年资金量：1.2*X1A，可投项目：A、C；故：X2A+X2C＜=1.2*X1A。
第三年资金量：1.2*X2A+1.5*X1B，可投项目：A、B、D；故：X3A+X3B+X3D＜=1.2*X2A+1.5*X1B。
其它条件：X1B＜=20；X2C＜=15；X3D＜=10。
目标：第三年底收益最大。
因投资X3B在第3年底不能收回，故无收益。
则目标函数为：f(x)=0.2*（X1A+ X2A + X3A）+0.5*X1B+0.6* X2C+0.4* X3D LINGO Model如下：max =0.2*(X1A+ X2A + X3A)+0.5*X1B+0.6* X2C+0.4* X3D;X1A+X1B<=30;X2A+X2C<=1.2*X1A;X3A+X3B+X3D<=1.2*X2A+1.5*X1B;@bnd(0,X1B,20); @bnd(0,X3B,20); @bnd(0,X2C,15); @bnd(0,X3D,10);运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 27.50000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1A 12.50000 0.000000X2A 0.000000 0.6000000E-01X3A 16.25000 0.000000X1B 17.50000 0.000000X2C 15.00000 -0.1000000X3D 10.00000 -0.2000000X3B 0.000000 0.2000000Row Slack or Surplus Dual Price1 27.50000 1.0000002 0.000000 0.80000003 0.000000 0.50000004 0.000000 0.2000000投资计划解释：第一年年初投资A项目12.5万元，投资B项目17.5万元；第二年年初投资C项目15万元；第三年年初投资A项目16.25万元，投资D项目10万元；第三年年年末可获最大收益27.5万元。
运筹学复习例题
1.某制药厂在计划期内要安排生产I、u两种药品，这些药品分别需要在A、B、C、D四种不同的设备上加工.按工艺规定，每千克药品I和U在各台设备上所需要的加工台时数如表1.已知各设备在计划期内有效台时数（1台设备工作1小时称为1台时）分别是12、8、16和12.该制药厂每生产1千克药品I可得利润200元，每生产1千克药品U可得利润300元.表1 A、B两种药品每千克在各台设备上所需的加工台时数（1）问应如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？分别利用软件和最终单纯型表回答剩余问题。
解设X1, X2分别表示在计划期内药品I和U的产量（千克），Z表示这个期间的制药厂利润.则计划期内生产I、U两种药品的利润总额为^200x1300X2（元）.但是生产I、U两种药品在A设备上的加工台时数必须满足2x1 2x2乞12 ；在B设备上的加工台时数必须满足X1 2x^1 8 ;在C设备上的加工台时数必须满足4x1叮6 ；在D设备上的加工台时数必须满足4X2乞12 ；生产I、U两种药品的数量应是非负的数，即x「X2 一0 .于是上述的问题归结为：目标函数Max Z =200x「300x2广2x<! +2x2兰12x<| +2x2兰8约束条件• 4x1 <164x2兰12I x1, x2 AO「2 2 1 0 0 0、表2-4中： 1 2 0 1 0 04 0 0 0 1 0,0 4 0 0 0 1 为典型方程组中变量的系数，X j为单纯型法求解：首先将线性规划问题标准化，即在约束条件中引入松弛变量X3、X4、X5、X6 , 则标准化后的线性规划模型为：Max Z 二200x1300X2Sx r +2X2+X3=12X r +2X2+ x4=8s.t. 、4X i X5 =164X2 + X6=12忙X[,X2， 7X5 乏0此时约束方程组已为典型方程组，根据上述线性规划模型可以列出初始单纯形表(表2-4):表2-4 单纯形法求解例2-1 (1)规划中出现的变量，C j 为变量X j 在目标函数中的系数，X B 为基本变量，C B 为 基本变量在目标函数中的系数，b 为典型方程组右端常数项（非负值），二为确 定出基变量的商值，v 旦 （Lk .0 ），C j 为变量X j 的检验数，C j =C j -C B P j ，Z 为此时目标函数值，Z =C B b .根据初始单纯形表可以看出: x 2=0 ，X 3=12 ， X 4=8，X5=16， X 6=12即从第4个方程中算出的商值最小，而第4个方程中的基本变量是X 6，于是X 6为 出基变量•表中给第4个约束方程中X 2的系数4加上方括号以突出其为枢元.接下去的工作是将x 2取代x 6，表2-4中的约束方程化为以x 3、x 4、x 5和x 2ik初始基本可行解是捲=0， 此时目标函数值Z = 0 0128 16 12检验数 ° -C B P = 200- 0 0 0C 2 = c 2 - C B P 2 = 300 — 0 0 01 4 02C 3 =C 4 =C 5二C 6二0 （基本变量的检验数总等于零）由于 C 1 0 , C 20 , 所以初始基本可行解非最优解•又由于 C 2 C i ，所以确定X 2为进基变量.进一步求最小二值:min 'q } = min “ b iikik竺8 12.2 ，2, 4二 min ：6,43 - 314」为基本变量，X i 和X 6为非基本变量的典型方程，以便求出新的基本可行解.从 表2-4中可以看到，只需对方程组实行初等变换，使枢元位置变成 1,而枢列中的其它元素变为零（即以枢元为中心的初等变换）就可以了.此处可先将第4个方程除以4,使枢元位置变成1;然后用新得到的第4个 方程乘以（-2 ）后分别加到第1个和第2个方程上，使枢列中的第1个和第二个 方程所在位变为零.这样我们可以得到新的单纯形表（表 2-5）.表2-5给出的新的基本可行解是 x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = 6, x 4 = 2, x 5 = 16,‘62 16<3>检验数 0 =5 -C B p = 200- 0 0 0 3001 '212此时目标函数值Z 0 0 300C 6 = c 6 - C B P 6 = 0- 0 0 0 3001C2 = C3 =C4 =C5 = 0 （基本变量的检验数总等于零）14」表2-7 单纯形法求解例2-1 (2)C BC j200300be:X iX 2X 3X 4X 5X 60 X 3 2 0 1 0 0 1 "~2 6 3 0 X 4 [1] 0 0 1 0 1~~22 20 X 5 4 0 0 0 1 0 164300X 20 10 0 0 13~4c j200-75Z =900由于0.0，所以此时基本可行解非最优解，确定 捲为进基变量. 进一步计算最小二值：即从第2个方程中算出的商值最小，而第2个方程中的基本变量是X 4，于是X 4为 出基变量.接着进行第二次迭代，将X !取代x 4，表2-5中的约束方程化为以x 3、X !、x 5 和X 2为基本变量，X 4和X 6为非基本变量的典型方程，以便求出新的单纯形表.重 复单纯形法计算第2步〜第5步，一直到没有新的非基本变量可以改善目标函 数为止(见表2-6和表2-7).minc .『6 2 16>0 '= min 』一，一，=mi n?3,2,4f = 2b i表2-8 单纯形法求解例2-1 (3) <2；表2-7 单纯形法求解例2-1 (4)表2-7中:0、 4表2-9 单纯形法求解例2-1 (3)目标函数值Z=(O 200 0 300卜=14004<2；-1检验数C4 =C4 -C B卩4=0-(0 200 0 300 )、_2 =-1501C1 =C2 =C3 =C6 =0 (基本变量的检验数总等于零)由于C j - 0 , j = 1,2，…，6 ,所以此基本可行解X1 = 4 ＞沁=2 , X3 = 0 , X4 = 0 , x5 = 0，x6 =4，即为最优解，最优值为Z = 1400.与前面图解法求解结果一致.为了加深对单纯形法基本思想的理解，不妨将表2-4、表2-5、表2-6、表2-7和图2-1进行对照，可以发现表2-4给出的基本可行解对应于图中可行域顶点0, 表2-5给出的基本可行解对应于顶点A，表2-6给出的基本可行解对应于顶点B , 表2-7给出的最优解对应于顶点C .线性规划问题有无穷多个可行解，应用单纯形法可以高效率地求解此类问题.(2)药品U的价格在什么范围内变动，不影响原来的生产计划安排，但制药厂收益变化了.设基本变量X2在目标函数中的系数C2变化了-^2 ;这时表2-7的最终计算表便成为表2-16所示.表2-16 基本变量利润系数变化的灵敏度分析5200 300 + A c20 0 0 0C B\ X j X\\ X1 X2 X3 X4 X5 X6bC s =C5 -C B P5=0- 0 200 0 300 1412125 14这时要保持最优解不变，则必须满足下列不等式:一300 乞 C2 乞 100即C 2可在［0,400］间变动，不影响原来的生产计划安排，但制药厂收益变化 了.(3) 设备C 在计划期内有效台时数在什么范围内变动时，原来最优解的基本变 量不变，但最优解的值发生变化.第三个约束条件b 3发生变化，变化量为-b 3，为了使最后的解仍为可行解,-150-(0 0 0 A C 2: -10 -2 12=-150- - A c 2 玄 0225-号 _(0 0 0 血[14 1 4 1 21=-25] ：c 2 乞 02 8■：b3应满足下列不等式:1 b 3 4 31 4 b 3 4 14b 32 1 2 b 38△b 3 兰 0 i b ^ -16［也b 3艺弋A b 3 兰 16一8乞＞b 3乞b B J ：b一2■0'4 +481：b31A b 34丄A b34 21-二朋3I 8所以. ：b3在［—8,0］之间变动时（即b 3的变化范围在［8,16］时）,原来最优解的基本变量不变，但最优解的值发生变化.例如,比3为一2时（即b 3 = 14）,则b 二 b B 4 ：b■o A4 4-1-21 4 1 4 12 _18 最优解X *= 73T,0 0 b 3 0443+ 丄A b 34 + - A b 32 3 1 &2一严丿 1272 3 9 14丿 最优值Z * = 1375，见表 2-17 ._0表2-17 右端常数变化后的最优解0C BC j2003000 0 0 0beX B \X 1x X 3 X 4 X 5 X 6X 3 0 0 1 -1 1 _4 0 1 2200X 1 10 1 0 742X 6 00 -2113—2300X 21 01 192_84一-150 25Z =1375C j一 2如果.=b3的变化超出了 [ — 8,0]的范围，这时最优解的基本变量就发生变 化•在这种情况下要用对偶单纯形法继续求出新的最优解.例如“3为2时（即b 3 = 18）,则最终单纯形表变为表2-18 .表2-18 右端常数变化后的对偶单纯形法求解C BC j200 300 0 0 0 0bX B \xX 2 X 3 X 4 X 5 X 6X 30 0 1 -11 I 4丿2-1<2-21 4 14 1 21--一 b 34 1 4 — . ： b 341丿1 08< 8200X 1 11 09420 X 60 0 0 -21 2 1 5300X 211 1 07284C j-150 25 -"2Z =1425Q150500 X 5 0 0 -4 4 1 0 2 200 X 1 1 0 1 -1 0 0 4 0 X 6 0 0 2 -4 0 1 4 300X 20 1 _2 1 0 0 2C j-50-100Z =1400新的最优解X * = 4 2 0 0 2 4 T ，最优值Z *= 1400.（4）若计划生产的药品I 的工艺结构有了改进，相应地生产单位药品I 所需设 备A 、B 、C 、D 的台时改为（3,2,5,2 ）,它的利润也提高到每千克400元.试分 析已求得的最优计划有何变化？解 当乂!的系数列向量变化后,原最终单纯形表（表2-7 ）中X !的系数列向 量变成:_ 0P 「=B4p =原最终单纯形表变成表2-19 :-1丄 4 5 4 10 0 1表2-19 决策变量系数改变对最优解的影响（1）1008< 8由X i的系数列向量可知，至吐匕尚未完成行变换，所以需继续使X1的系数列向量变成单位列向量，于是得到表2-20 .表2-20 决策变量系数改变对最优解的影响（2）因为C j <0,所以新的最优解X =320.8 0.8 0 0 2.4 T，最优值Z=1520 兀.（5）设该制药厂除生产药品I 、U 以外，还有第三种药品可供选择•生产药品 川每千克需要使用A 、B 、C 、D 设备的台时分别为3, 2, 6，3;每千克可得利 润500元•问该制药厂的计划中要不要安排这种药品的生产， 若要安排，应当生产多少？表（表2-7）中增加了一列，这新的一列为:相应的检验数为正值，所以此单纯形表给出的基本可行解不是最优解， 继续用单*纯形法求解结果，最后得最优解X = 1 1.5 1 0 0 0 2，最优值Z = 1650元，比原计划增加了利润250元.表2-21增加变量的灵敏度分析解 设x 7表示计划期内生产药品川的数量（单位为千克），则原最终单纯形-1P 7 二 B 二 P 7 二-21 _4 1 4 1 2将新增一列列入原最终单纯形表中,计算检验数，见表2-21 .由于此时X 70 1（6）若制药厂为了提高药品质量，考虑给药品I、U增加一道精加工工序，并在设备E上进行.I、U两种药品分别需要的加工台时数为（2, 2.4）.已知设备E的计划工作时间为12个台时，试问增加一道精加工工序后，对原计划有何影响？解上述问题相当于在原问题的基础上增加了一个约束条件2x1 2.4x2 - 12设X7为新增的松弛变量，则得到2x1 2.4x2 x7 = 12原最终单纯形表（表2-7 ）新增一行和一列，见表2-22 .此时原最终单纯形表中的x i和X2的系数列向量不再是单位向量了，所以继续进行行变换.在行变换后得到的新单纯形表中，检验数均小于等于零，但右端项出现负值，所以可用对偶单纯形法继续运算.最后得最优解X^ 3 2.5 1 0 4 2T，最优值Z*=1350 兀.2.某医院有一批长度为15分米的胶皮管原料.为了作输液管、止血带和听诊器胶管，需要截成长度分别为5.7分米，4.2分米和3.1分米的短管各100根，100 根和200根•试问应如何安排截法，所用的胶管原材的总根数最少，而且每根料头不能超过2分米？解 先分析一下截取短管的方法•如果先考虑尽输液管截，然后考虑尽止血带截，再考虑尽听诊器胶管截，则截取的方法如下表2-23 :为了得到短管5.7分米100 根, 4.2分米100根和3.1分米200根，需混合 截取原料•令X j表示第j 种截法所用原材的根数，得到如下线性规划模型：6Min Z 八 X jj mx 2 x 3 x 4 =100 2x 2 X 32x 5 x^ 100x 3 3x 4 2x 5 3x 6 二 200I X j Ho ，且为整数（j =1,2， (6)在上述约束条件中添加人工变量 x 7、x 8、x 9，得到其典型方程组:6Min Z 八 X j MX 7 Mx 8 Mx 9j总厂 2捲 + x 2 +x 3 + x 4+ x 7=100 2x 2 +X 3+2x5+ X 6 +x 8=1002x 1st.X 1st.X1 x3 3x4 2x5 3x6x9二200X j - 0 ,且为整数（j =1,2， (9)用大M法求解，如表2-24 .因为非基本变量洛的检验数为0,所以有多重最优解，其中一个最优解为X* =0 40 0 60 10 0 T，最优值为Z*=110.即按第2种方法截取40根原材，按第4种方法截取60根原材，按第5种方法截取10根原材，总共截取110根原材.表2-24 大M法求解短管截取问题3.A医院放射科目前可以开展X线平片检查和CT检查业务，现拟购买磁共振仪，以增设磁共振检查业务.为此A医院收集了有关信息，以决策是否购买磁共振仪.经过资料收集，A医院估计今后放射科如果开展此3项业务，在现有放射科医务人员力量和病人需求的情况下，每月此3项业务的最多提供量为1800人次.平均每人次检查时间、每月机器实际可使用时间、平均每人次检查利润如下表2.表2放射科3项检查时间与利润及机器可使用时间设每月X线平片检查、CT检查和磁共振检查的业务量分别为X i, x2和x3人次，则使A医院放射科此3项业务收入最多的线性规划模型如下：Max Z = 20x160X210x3（0.1x1<3000.25x2 <120s.t. / 0.5x1 兰120x2 x3三1800X i,X2,X3 _0利用单纯形法可得最终单纯形表（见表2-26）.表2-26 放射科业务安排最终单纯形表最优解X *= 1320 480 0 168 0 120 0 T，最优值Z*= 55200.从最终单纯形表上可读出如下信息：1.A医院从放射科收益的角度考虑，不应购买磁共振机.2.在每月X线平片检查和CT检查业务量各为1320人次和480人次时，放射科利润最大，达55200元.3.在最优业务安排情况下，每月X光机仍有168小时未实际利用，故它的影子价格为0元/小时；每月CT机可使用的时间已完全利用，它的影子价格为160元/小时，如果市场上能租到CT机的价格低于影子价格160元/小时，那么就应当租用CT机，增加CT 检查业务，以求得更高的利润.如果医院购买了磁共振机，而在最优业务安排情况下，并无利用，所以其影子价格为0元/小时.4.在最优业务安排情况下，每月X线平片检查和CT检查的服务量已达到现有医务人员服务提供和病人需求的最大量. A医院如果想通过从人才市场上聘用医务人员以增加放射科的服务能力，并通过宣传扩大病人对其医院医疗服务（包括放射科业务）的需求，则只有当增加一个病人的服务量所需额外增加的人员招聘费和宣传费低于20元时，才是适宜的，可使放射科的利润更高.4.某省医疗队从A i、A2、A三所省级医院抽调骨干医护人员配备必要设备去B i、B2、B3、B4四个贫困县进行巡回医疗扶贫，各医院抽调的人数、各县需要人数、以及从医院到各县的人均（包括设备交通）费用如表3所示，问如何安排可使总费用最小？表3 运输问题的人均费用表B i B2 B3 B4医院抽出人数人均费用（单位：百元）A i 2 9 10 7 9A2 1 3 4 2 5A3 8 4 2 5 7县需求人数 3 8 4 6（1）西北角法所谓西北角法就是从表3-4 的左上角第一格开始安排运输计划.方法是：取其对应医院抽出数与县城需要数的最小值作为初始基本可行解的第一个分量值（x i^ mi门匕匕｝）.这样第一列的需求已经满足，用线划去第一列，再看第二列、第一行，由于抽出数还有9-3=6，与B2的需求数8比较,取最小值6 （x i2 = min'a j-x^b? •'）填入该格. 依此次序进行，即可得到第一个基本可行解，见表3-4.表3-4 运输问题作业表一一西北角法（2）最小费用法西北角法的优点是简单、易实现，但没有考虑最小费用.可能要经过许多次迭代才能得到最优解. 而最小费用法的基本思想是就近供应，优先考虑最小单位运费对应的X j ,这样得到的方案会更接近最优方案•以例3-1来说明具体步骤.表3-5 运输问题作业表一一最小费用法在运输表3-5中，单位运费C ij最小的是a =1.这个格子处于A行B i列，因而最多可供5人，但需求量为3人，于是，在这个格子里填上尽可能大的数是x21 = min〈a2,b|>min〈3,5>3.这个格子填上数后，B i的要求满足了，可用线划去该列.于是只需考虑B2、B3、B4的需求.从表3-5看到，在未划线的格子中C j最小者是C24=O33=2.任选一个，比如考虑C33所在的格子.此处的供求情况是：最多可供7,但最多需要4.于是应填入的数是x33二mi n：a3,b3，mi n：7,4』=4. 这样B3的需求也满足了，用线划去该列.后面只需考虑B2和B4的需求.这时最小的C ij （工C11，工C13 ）是C24=2.此处，最大可供量为5—3=2（ C21处已占用了），需求量为6，从而应令x24 = min ' a2 - x21, b4 ' = min、5-3,6』=2.这时A的供应量用完了，用线划去该行.后面只需考虑A1和A3的供应、B2和B4需求了，…… 这样依次分析下去，便得到：x32 = min、a3 _x33,b2 $ = min-4,8 = 3Xg = min :a-i,b4 -x2^ - min 9 6 - 2-- 4x12 = min ^a1 -x14,b2 —x32： - min ：9 一4,8 -3： - 5将上述六个数填在运输表内（为了与其它数字相区别，用圈号标记），其余为非基变量取0值，就可作为初始调运方案（见表3-5）.从表3-5容易算出，这个初始方案的总运费是 5 X 9+4X 7+3X1+2X 2+3X4+4 X 2 =100 （百元），即10000 元.（3）以上两种方法在求初始基可行解时，均会遇到一些特殊情况，一般称为“退化” •大致有两种情况：①当选定元素X j后，发现该元素所在行的供给量等于需求量时，此时只能划去一行或一列，不能同时划去•②当选定元素X j后，发现对应供给量a i和需求量b j均为0，那么X j二ming,b jf = 0，此时仍应把X j作为基变量，把0值填入相应格子中（即基变量取0,退化）•（二）最优性检验上面已经得到初始基可行解，那是否为最优解呢？需要验证.依单纯形法原理，要求出各变量的检验数；由于基变量的检验数恒为0,所以只要求出非基变量的检验数.另外运输问题是极小化的线性规划问题，只要检验数全部非负即达最优解•在表上作业法中常有闭回路法和位势法•（1）闭回路法我们试从定义出发计算检验数•先看X11的检验数C11，分析一个闭回路（表3-6中虚线所示）.由于供求条件的限制，当从0增加到1 时，将引起连锁反应：X21减少1，X24增加1，X14减少1.于是根据检验数的定义得到C11 =1C11+ （- 1 ）C21 + 1C24+ （- 1 ）C14= C11- C21 + C24- C14=2- 1+2- 7= -4，即X11每增加1个单位，将使运费减少4个单位，这说明初始解非最优.类似地，我们可以求出其他非基变量的检验数，但是，一般说来这种求检验数的方法是比较繁琐的•例如，求X31的检验数时，必须考虑下面那样的复杂闭回路（表3-6中实线所示）•表3-6 运输问题作业表(2)用位势法位势法又叫U-V法，它是由解运输问题的对偶问题引出来的.平衡型运输问题的对偶问题为：m nMax Y - ' a i u i x b v ji A j占s.t. U i V j g (i =1JI|,m; j =1,1(), n)对偶模型里的变量u i与m个供应约束方程对应，v j与n个需求约束方程对应，分别称它们为原问题变量X jj的行位势和列位势.定理3-2 运输问题的决策变量X j的检验数C广q - (q • V j).(证明略) 由于基变量的检验数等于0，所以对于基变量X ij有：U i • V j rq.而平衡型运输问题中的基变量个数为m • n -1，从而得到m • n -1个类似u i - v^c ij这样方程构成的方程组.但它有m n个未知量，要解出这个方程组，必须给其中一个自由未知量赋值，比如令5 =0 (这样不会影响结果)，就可求出所有变量的位势，进而算出所有非基变量的检验数.仍用例3-1来说明具体求法.对于最小费用法得到的初始基本可行解(见表3-5)，得到方程组U 2 = -5, U 3 = -5,V 2 = 9, V 3 = 7, V 4 = 7计算非基变量的检验数：C ii = C ii -（U i •V i ） =2-0-6 - -4 ,与闭回路法结果一致，其它检验数可类似求出填入作业表中，用（ ）圈起来，见表3-7.表3-7 运输问题作业表一一位势法求检验数从表3-7可以看出，x ii 的检验数C ii =-4 （与前面用定义求得的结果是一致 的）是所有检验数中负值最小者.这说明应当让x ii 进基，以改进表3-5中的初 始方案.（三）用闭回路法调整运输方案一一改进基本可行解如果经过检验所得的解不是最优的，就需要对基变量进行迭代•前面已经有 选取进基变量的规则，即在所有非基变量中取检验数是负值最小者为进基变量 .下面，用闭回路法选取出基变量及基变量取值的调整量，以实现解的改进•步骤是：① 找出入基变量所在的闭回路，并以该变量所在格为起点，沿闭回路顶点 依次交替把它们所取的值前面加“ +”、“- ”号•如表3-8所示；② 所有被标“-” 号格子中变量X j 取值最小者作为出基变量，即被标“-”号的圆圈中数字最小者：U i +v 2 =9U i +v 4 =7严+v i =i令U iU 2 +v 4 =2 U 3 + v 2 =4U 3 “3 =2=0, =0，解得：*V i = 6,v - min｛闭回路顶点上所有标"-"号的X jj的取值｝.在表3-8中- min〈3,4 = 3.表3-8 基变量迭代调整表表3-9 迭代后的运输方案表③ 进行基的迭代，出基变量当然取值为0,即将所有带“ +”号的格子原取值加「带“-”号的格子原取值减厂就得到一个新的调运方案（闭回路不涉及的基变量取值不变动，见表3-9）.再求检验数，重复上述步骤，直至最优.从表3-9中容易算出，这个方案的总运费是3 X 2+5X 9+1X 7+5X 2+3X 4+4 X 2 =88 （百元），即8800元.比初始表的方案优秀了，但在表中求出各非基变量的检验数显示，它还不是最优的.X22要作为入基变量.再经过迭代得到调运方案如表3-10所示.变量为0;这时的总费用为：3X 2+6X 7+5X 3+3X 4+4X 2 =83 （百元），即8300 元•这时算出非基变量的所有检验数均非负，从而是最优的运输方案•在计算过程中需要注意的是，可能会有非基变量（空格）的检验数为0的情况，这时，该供销平衡的运输问题存在无穷多最优解•在已得到的一个最优解的表格中，从这样的空格出发做闭回路重新进行调整，可以得到另一个最优解•5.某卫生防疫站准备选拔防疫科、食品科、总务科的三名科长•几经筛选，仅剩下赵、钱、孙三名候选人.根据民主评议的统计结果，他们主持各个科的工作能力（以得分多少来衡量）如表4所示.试从工作能力出发，确定各科长的指定方案，使总体效能最大表4 工作能力表分析：用i=1,2,3分别表示赵、钱、孙三人；用j=1,2,3分别表示防疫、食品、总务三个科.则可以设于是数学模型为Max Y 八 ' b j X iji 4 j 4「3送 X j =1,(j =1, 2, 3)i z! 3s.t.」区 X j=1,(i =1,2,3) j AXj =0或 1(i, j =1, 2, 3)实际上，只要找出效率矩阵 b ij 中的最大元素b ，用b 减去矩阵中的每个元 素b j ,得到的矩阵q 我们称为原矩阵对应的缩减矩阵(C j =b-b j ).易见C j 越小表示原效率矩阵中第i 个人去作第j 项任务的收益越大，反之则收益越小.因 此求b j 的最大化问题解，等价于求它对应的缩减矩阵 C j 最小化问题的解."35 30 27 '解 由于(b j )= 37 35 29中的最大元素为：b=38,所以它对应的缩减矩Q8 28 32 ‘ |'3 8 1T阵为(C j ) = (b -bj )39 .用匈牙利法求(q )的最优解I 。
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学试题及答案
运筹学试题及答案一、线性规划试题一某工厂生产A、B两种产品，A产品每件利润为20元，B 产品每件利润为30元。
已知生产一个A产品需10小时，生产一个B产品需15小时。
某次生产过程中，工厂共有50个小时可用于生产，且设定A产品的最少需求量为20件，B产品的最少需求量为15件。
问应该生产多少件A产品和多少件B产品，才能使得工厂的利润最大化？答案一为了使工厂的利润最大化，我们需要建立一个数学模型来描述这个问题。
设工厂生产的A产品数量为x，B产品数量为x。
根据题目中的要求，可得以下条件：1.$10x+15y\\leq50$ （生产时间的限制）2.$x\\geq20$ （A产品的最少需求量）3.$y\\geq15$ （B产品的最少需求量）另外，我们还需要定义目标函数，即使工厂利润最大化：$max\\ Z = 20x+30y$根据以上条件和目标函数，可以得到如下线性规划模型：$max\\ Z = 20x+30y$$\\begin{cases} 10x+15y\\leq50\\\\ x\\geq20\\\\y\\geq15\\\\ x,y\\geq0 \\end{cases}$以上模型可以通过线性规划求解软件进行求解，得到最优解。
试题二某公司有甲、乙、丙三个工厂，每个工厂都可以制造产品A和产品B。
甲工厂每天制造产品A的数量最多为80件，产品B的数量最多为100件；乙工厂每天制造产品A的数量最多为60件，产品B的数量最多为40件；丙工厂每天制造产品A的数量最多为50件，产品B的数量最多为70件。
公司有订单，要求每天至少制造产品A的30件，产品B的50件。
甲工厂生产产品A的成本为5元，产品B的成本为4元；乙工厂生产产品A的成本为4元，产品B的成本为3元；丙工厂生产产品A的成本为3元，产品B的成本为2元。
问如何安排存货以使公司在利润最大化的前提下能够满足订单需求？答案二为了使公司在利润最大化的前提下满足订单需求，我们需要建立一个数学模型来描述这个问题。
运筹学例题-打印版
一、绪论一个班级的学生共计选修A 、B 、C 、D 、E 、F 六门课程，其中一部分人同时选修D 、C 、A ，一部分人同时选修B 、C 、F ，一部分人同时选修B 、E ，还有一部分人同时选修A 、B ，期终考试要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生负担，要求每人都不连续参加考试，试设计一个考试日程表。
二、图解法例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？ 3.1例2 某公司由于生产需要，共需要A ，B 两种原料至少350吨（A ，B 两种材料有一定替代性），其中A 原料至少购进125吨。
但由于A ，B 两种原料的规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A 原料需要2个小时，加工每吨B 原料需要1小时，而公司总共有600个加工小时。
又知道每吨A 原料的价格为2万元，每吨B 原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A ，B 两种原料，使得购进成本最低？ 三、单纯形法例1. 某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A 、B 车间生产，最后都需在C 车间装配，相关数据如表所示：问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。
例2. 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、A3,其一级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从A i 到B j 的每吨饮料运费为C ij ，为发挥集团优势，公司要统一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。
四、线性规划在工商管理中的应用 例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
最全运筹学习题及答案
最全运筹学习题及答案共1 页运筹学习题答案）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）max z?x1?x25x1+10x2?50x1+x2?1x2?4x1，x2?0（2）min z=x1+1.5x2x1+3x2?3x1+x2?2x1，x2?0（3）+2x2x1-x2?-0.5x1+x2x1，x2?0（4）max z=x1x2x1-x2?03x1-x2?-3x1，x2?0（1）（图略）有唯一可行解，max z=14（2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4（3）（图略）无界解（4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
共2 页（1）min z=-3x1+4x2-2x3+5x4 4x1-x2+2x3-x4=-2x1+x2+3x3-x4?14 -2x1+3x2-x3+2x4?2x1，x2，x3?0，x4无约束（2zk?i??xk?1mxik?（1Max s. t .-4x1xx1,x2共3 页(2)解：加入人工变量x1，x2，x3，…xn，得：Max s=(1/pk)? i?1n?k?1m?ikxik-Mx1-Mx2-…..-Mxnm（1）max z=2x1+3x2+4x3+7x4 2x1+3x2-x3-4x4=8x1-2x2+6x3-7x4=-3x1,x2,x3,x4?0(2)max z=5x1-2x2+3x3-6x4共4 页x1+2x2+3x3+4x4=72x1+x2+x3+2x4=3x1x2x3x4?0（1）解：系数矩阵A是：?23?1?4??1?26?7? ??令A=(P1，P2，P3，P4)P1与P2线形无关，以（P1，P2有2x1+3x2=8+x3+4x4x1-2x2=-3-6x3+7x4令非基变量x3，x4解得：x1=1；x2=2基解0，0)T为可行解z1=8(2)同理，以（P=（45/13，0，-14/13，0)T是非可行解；3以（P1，P4X(3)=，，7/5)T是可行解，z3=117/5；(4)以（P2，P=（，45/16，7/16，0)T是可行解，z4=163/16；3以（P2，P4）为基，基解X(5)0，68/29，0，-7/29)T是非可行解；(6)TX以（P4，P）为基，基解=（0，0，-68/31，-45/31是非可行解；)3最大值为z3=117/5；最优解X(3)=（34/5，0，0，7/5)T。
运筹学例题(完全答案)
1、课上讲过的练习和要求课下做过的练习1〕答案更正答案：更正答案：2〕答案：题：答案：更改〔4〕答案题：答案：更改〔5〕答案2、最后给的练习1〕紧前工作A — 3B A 3C A 4D A 6E B、C、D 6 答案：2〕紧前工作A — 4B — 3C A 8D A 7E B、C 9F B、C 12G D、E 2H D、E 5I G、F 6答案：3〕紧前工作A —7B — 5C A、B 10D C 7E C 3F D 2G D、E 5答案：二、决策分析1、最后给的练习1〕有一个公司方案买两种复印机，选好两种型号的复印机可以满足未来10年的需求，但第一种复印机购置价格2000元，每年耗材使用到达150元可以免费维修；第二种复印机购置价格3000元，维修费用不确定，估计40%的可能不用修理，40%的可能维修费100元，20%的可能性维修费200元。
问该公司应该选择哪种复印机？2〕一家大型轧钢厂考虑向一家新客户〔服装厂〕贷款，轧钢厂将客户还款情况分三类：严重拖欠、一般拖欠、按时还款；估计20%可能严重拖欠，50%可能一般拖欠，30%可能按时还款，如果制衣厂得到贷款后又严重拖欠，那么轧钢厂将损失25万，服装厂一般拖欠，轧钢厂获利10万，按时还款轧钢厂获利20万。
借款期1年，1年的存款基准利率为3.22%。
问轧钢厂是否给制衣厂贷款？结论是给企业贷款或再问：如果将获利合为一个，严重拖欠损失25万，而其他情况获利是14万，问A、无差概率B、EVPI三、线性规划线性规划的步骤：1〕确定决策变量；2〕列出约束条件；3〕写出目标函数。
图解线性规划：1〕决定线性规划问题的可行域；2〕求解线性和整数规划1、课堂练习1〕答案：极大化Z = 40 x1 + 50 x2约束x1 + 2x2 ≤40 小时(劳力限制) 4x1 + 3x2 ≤120 磅(粘土限制)x1 , x2 ≥0解x1 = 24个碗x2 = 8个杯收入= 1,360美元2〕答案：(包括量度单位(打数)和时间单位(周))X1 = 每周生产宇宙光的打数X2 = 每周生产射击手的打数MAX 8X1 + 5X2s.t.2X1 + 1X2 ≤1000 (塑料)3X1 + 4X2 ≤2400 (加工时间)X1 + X2 ≤700 (总产量)X1 –X2 ≤350 (混合限制)所有X ≥03〕某家工厂面临的生产问题是：♦生产4种男人领带♦使用3种材料(有限资源)决策:每月每种领带各生产多少?目标:极大化利润生产数据4〕邮局一周在不同天要求全日工作人数不同，如表1所列。
运筹学试题及答案4套汇总
《运筹学》试卷一一、（15分）用图解法求解下列线性规划问题二、（20分）下表为某求极大值线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，、为松弛变量，试求表中到的值及各变量下标到的值。
-1311611 -2 002 -111/21/214 07三、（15分）用图解法求解矩阵对策，其中四、（20分）（1）某项工程由8个工序组成，各工序之间的关系为工序 a b c d e f g h —— a a b,c b,c,d b,c,d e 紧前工序试画出该工程的网络图。
（2）试计算下面工程网络图中各事项发生的最早、最迟时间及关键线路（箭线下的数字是完成该工序的所需时间，单位：天）五、（15分）已知线性规划问题其对偶问题最优解为，试根据对偶理论求原问题的最优解。
六、（15分）用动态规划法求解下面问题：七、（30分）已知线性规划问题用单纯形法求得最优单纯形表如下，试分析在下列各种条件单独变化的情况下，最优解将如何变化。
2-11 02311311111610-3-1-2（1）目标函数变为；（2）约束条件右端项由变为；（3）增加一个新的约束：八、（20分）某地区有A、B、C三个化肥厂向甲、乙、丙、丁四个销地供应同一种化肥，已知产地产量、销地需求量和各产地运往不同销地单位运价如下表，试用最小元素法确定初始调运方案，并调整求最优运输方案销地甲乙丙丁产量产地A 4 12 4 11 16B 2 10 3 9 10C 8 5 11 6 22 需求量8 14 12 14 48《运筹学》试卷二一、（20分）已知线性规划问题：（a）写出其对偶问题；（b）用图解法求对偶问题的解；（c）利用（b）的结果及对偶性质求原问题的解。
二、（20分）已知运输表如下：销地B1B2B3B4供应量产地A1 3 2 7 6 50A2 7 5 2 3 60A3 2 5 4 5 25需求量60 40 20 15（1）用最小元素法确定初始调运方案；（2）确定最优运输方案及最低运费。
运筹学考试试题
运筹学考试试题
问题一：线性规划
某食品公司有两种包装酱油的产品，产品 A 和产品 B。
产品 A 需
要 2 包的玻璃瓶和 3 包的金属瓶，产品 B 需要 4 包的玻璃瓶和 1 包的金属瓶。
公司每天共有 60 包玻璃瓶和 50 包金属瓶可用于生产。
产品
A 毛利为 10 元/包，产品
B 毛利为 15 元/包。
为了最大限度地提高公司的毛利，请问公司每天应该生产多少包产品 A 和产品 B？
问题二：整数规划
某快递公司需要派送多个包裹，在不同的送货地点停靠。
每个派送地点需要 1 辆专门的送货车。
快递公司最多可以使用 5 辆送货车。
每辆车的容量为 30 个包裹。
每个送货地点的包裹量如下：地点 1 需要 12 个包裹，地点 2 需要 8 个包裹，地点 3 需要 15 个包裹，地点 4 需要 10 个包裹。
每个送货地点停靠一辆车后，可以继续往下一个地点派送。
请问如何安排送货车来最大化送货量？
问题三：动态规划
假设有一个 3×3 的方格矩阵，每个格子里都写有一个正整数。
从左上角出发，每次只能向右或向下移动，直到达到右下角。
路线上所有经过的格子的数字加起来就是这条路径的价值。
求最优路径和的最大值。
问题四：网络流
某市有 4 座工厂，生产不同种类的零件。
每座工厂每天的生产能力不同，且每种零件的需求也不相同。
如何设计一个合理的生产调度方案，使得所有工厂的产量最大化，且满足市场对不同零件的需求？
以上考试试题仅供参考，实际考试内容以试卷内容为准。
祝考试顺利！。
运筹学例题
DP1. 下列关于动态规划问题的说法不正确的是（ ）。
A ．应用推理或逆推法可能会得出不同的最优解 B ．状态变量应具有无后效性C ．动态规划模型中，阶段是按时间或空间划分的D ．问题的阶段数等于问题中的子问题的数目2. 用动态规划方法求解多阶段问题时，指标函数应满足（ ）。
A ．定义在全过程和后部子过程上的数量函数 B ．具有可分离性，满足递推关系 C ．严格单调D ．以上A 、B 、C 都是3. 下述的（ ）不能设为动态规划中的状态变量。
A ．生产企业某种产品的每月月初库存 B ．某种设备每年年末的可利用量 C ．送货车辆行驶过的路程 D ．送货车辆行驶时的速度4. 某求极大值的线性规划问题的单纯形表如下：其中d 、1a 、1c 为待定常数。
该线性规划问题无界的时候，满足下面（ ）。
A ．110,00d c a ≥<<且 B ．110,00d c a ≥=>且 C ．110,00d c a ≥><且 D ．110,00d c a <>>且一、某投资者有总数为40万元的固定资金，他可在三个不同的投资机会中投资（比如，股票、银行、土地），投资额分别为(1,2,3)i x i =。
假定他做过预测，知道从每项投资中可获得效益分别为111()g x x =，2222()g x x =，333()g x x =，问如何分配投资数额才能使从所有投资中获得的总效益最大？ 二、某公司现有资金5千万元，拟对3个分公司增加投资，已知投资所获年效益如下表所示，问公司如何应对分配资金，才能使公司总的年收益最大？（用动态规划方法求解）三、某农业种植基地有某种肥料共5单位，准备供给三块农田施用，每块农田至少需要一个单位的肥料，肥料必须按整数单位施用。
每块农田施肥数量与增产数量关系如下表所示。
试求对每块田施多少单位的肥料，才使总的增产量最多。
要求：用动态规划方法求解，有必要的求解过程。
运筹学典型考试试题及答案
运筹学典型考试试题及答案⼆、计算题（60分）1、已知线性规划（20分）MaxZ=3X1+4X2X1+X2≤52X1+4X2≤123X1+2X2≤8X1,X2≥0其最优解为：基变量X1X2X3X4X5X33/2 0 0 1 -1/8 -1/4X25/2 0 1 0 3/8 -1/4X1 1 1 0 0 -1/4 1/2σj 0 0 0 -3/4 -1/21）写出该线性规划的对偶问题。
2）若C2从4变成5，最优解是否会发⽣改变，为什么？3）若b2的量从12上升到15，最优解是否会发⽣变化，为什么？4）如果增加⼀种产品X6，其P6=(2,3,1)T，C6=4该产品是否应该投产？为什么？解：1)对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3y1+2y2+3y3≥3y1+4y2+2y3≥4y1,y2≥02)当C2从4变成5时，σ4=-9/8σ5=-1/4由于⾮基变量的检验数仍然都是⼩于0的，所以最优解不变。
3）当若b2的量从12上升到15X＝9/829/81/4由于基变量的值仍然都是⼤于0的，所以最优解的基变量不会发⽣变化。
4）如果增加⼀种新的产品，则P6’=(11/8,7/8，－1/4)Tσ6=3/8>0所以对最优解有影响,该种产品应该⽣产2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运⽅案和最⼩总费⽤。
（共15分）。
B1B2B3产量销地产地A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 11 A3 6 2 8 20 销量18 12 16解：初始解为计算检验数由于存在⾮基变量的检验数⼩于0，所以不是最优解，需调整调整为：重新计算检验数所有的检验数都⼤于等于0，所以得到最优解3、某公司要把4个有关能源⼯程项⽬承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包⼀个项⽬，试在总费⽤最⼩的条件下确定各个项⽬的承包者，总费⽤为多少？各承包商对⼯程的报价如表2所⽰：（15分）项⽬投标者 A B C D 甲 15 18 21 24 ⼄ 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19212317答最优解为：X= 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 总费⽤为504. 考虑如下线性规划问题（24分）B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3181 1 20 销量/t 18 1216B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 －2 0 0 11 A 30 0 20 销量/t 181216B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 7 12 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 0 2 2 11 A 3 0 0 0 20 销量/t 18 12 16Max z=-5x1+5x2+13x3s.t. -x1+x2+3x3≤2012x1+4x2+10x3≤90x1，x2，x3≥0回答以下问题：1）求最优解2）求对偶问题的最优解3）当b1由20变为45，最优解是否发⽣变化。
《运筹学》习题集
《运筹学》习题集第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)minz＝－3某1＋4某2－2某3＋5某4t.4某1－某2＋2某3－某4＝－2某1＋某2－某3＋2某4≤14－2某1＋3某2＋某3－某4≥2某1，某2，某3≥0，某4无约束2)minz＝2某1－2某2＋3某3－某1＋某2＋某3＝4－2某1＋某2－某3≤6某1≤0，某2≥0，某3无约束t.1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)minz＝2某1＋3某24某1＋6某2≥6t2某1＋2某2≥4某1，某2≥02)ma某z＝3某1＋2某22某1＋某2≤2t3某1＋4某2≥12某1，某2≥03)ma某z＝3某1＋5某26某1＋10某2≤120t5≤某1≤103≤某2≤84)ma某z＝5某1＋6某22某1－某2≥21．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）minz＝5某1－2某2＋3某3＋2某4-1-t－2某1＋3某2≤2某1，某2≥0某1＋2某2＋3某3＋4某4＝7t2某1＋2某2＋某3＋2某4＝3某1，某2，某3，某4≥01．4分别用图解法与单纯形法求解下列LP问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1)ma某z＝10某1＋5某23某1＋4某2≤9t5某1＋2某2≤8某1，某2≥02)ma某z＝2某1＋某23某1＋5某2≤15t6某1＋2某2≤24某1，某2≥01．5分别用大M法与两阶段法求解下列LP问题。
1)minz＝2某1＋3某2＋某3某1＋4某2＋2某3≥8t3某1＋2某2≥6某1，某2，某3≥02)ma某z＝4某1＋5某2＋某3.3某1＋2某2＋某3≥18St.2某1＋某2≤4某1＋某2－某3＝53)ma某z＝5某1＋3某2+6某3某1＋2某2－某3≤18t2某1＋某2－3某3≤16某1＋某2－某3＝10某1，某2，某3≥04)ma某z10某115某212某395某13某2某35某16某215某315t.某352某1某2某,某,某01231．6求下表中a～l的值。
运筹学应用实例
A
B
C
D
E
F
陆地、河流及桥梁示意图
解：
将A，B，C，D，E，F分别用一种点表达，相互之间有桥相连 旳连一条弧；弧旳容量就是两点间旳桥梁数；设一种方向，得 到网络图如下：
A
例3.设备更新问题
某单位使用一台生产设备，在每年年底，单位领导都要决 策下年度是购置新设备还是继续使用旧设备。
若购置新设备，需要支付一笔购置费；假如继续使用旧旳， 则要支付一定旳维修费用。
一般说来，维修费随设备使用年限旳延长而增长。根据以 往旳统计资料，已经估算出设备在各年年初旳价格和不同 使用年限旳年维修费用，分别示于表1和表2。
相应旳开门方案如图所 示，共开10个门。
B C IJ
H
A
D GK
E
F
开门方案
例5：选址问题
有六个居民点v1，v2，v3，v4，v5，v6，拟定建一夜校，已知 各点参加学习旳人数为25、20、30、10、35、45人，其道路 如图所示，试拟定学校位于哪一种居民点，才干使学习者 所走旳总旅程至少？（图中边旁旳数字为路段长度）
用一条边把代表这两个项目
v2
旳顶点连接起来。这么得到
v3
下图
v1
为了处理这个问题，只需
找到一条包括全部顶点旳
v4
初等链。
v5
如：{v4，v1，v2，v3，v5}是一条初等链，相应旳比赛是： 100m自由泳，50m仰泳，50m蛙泳，100m碟泳，200m自由泳。
此问题旳方案不唯一。
例 2.线路铺设问题
0 50 150 175 200 275 40 0 80 100 120 180 180 120 0 30 60 150 D= 70 50 10 0 10 40 280 210 70 35 0 105 495 405 225 180 135 0
运筹学例题——精选推荐
运筹学例题DP1. 下列关于动态规划问题的说法不正确的是（）。
A ．应⽤推理或逆推法可能会得出不同的最优解 B ．状态变量应具有⽆后效性C ．动态规划模型中，阶段是按时间或空间划分的D ．问题的阶段数等于问题中的⼦问题的数⽬2. ⽤动态规划⽅法求解多阶段问题时，指标函数应满⾜（）。
A ．定义在全过程和后部⼦过程上的数量函数 B ．具有可分离性，满⾜递推关系 C ．严格单调D ．以上A 、B 、C 都是3. 下述的（）不能设为动态规划中的状态变量。
A ．⽣产企业某种产品的每⽉⽉初库存 B ．某种设备每年年末的可利⽤量 C ．送货车辆⾏驶过的路程 D ．送货车辆⾏驶时的速度4. 某求极⼤值的线性规划问题的单纯形表如下：其中d 、1a 、1c 为待定常数。
该线性规划问题⽆界的时候，满⾜下⾯（）。
A ．110,00d c a ≥<<且B ．110,00d c a ≥=>且C ．110,00d c a ≥><且D ．110,00dc a <>>且⼀、某投资者有总数为40万元的固定资⾦，他可在三个不同的投资机会中投资（⽐如，股票、银⾏、⼟地），投资额分别为(1,2,3)i x i =。
假定他做过预测，知道从每项投资中可获得效益分别为111()g x x =，2222()g x x =，333()g x x =，问如何分配投资数额才能使从所有投资中获得的总效益最⼤？⼆、某公司现有资⾦5千万元，拟对3个分公司增加投资，已知投资所获年效益如下表所⽰，三、某农业种植基地有某种肥料共5单位，准备供给三块农⽥施⽤，每块农⽥⾄少需要⼀个单位的肥料，肥料必须按整数单位施⽤。
每块农⽥施肥数量与增产数量关系如下表所⽰。
试求对每块⽥施多少单位的肥料，才使总的增产量最多。
要求：⽤动态规划⽅法求解，有必要的求解过程。
四、（包含两个⼩题）1. 某⼚按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台统⼀规格的柴油机。
运筹学重点习题及答案
综合习题二1、自己选用适当的方法，对下图求最小(生成)树。
(12分)解：（1）最小树为图中双线所示（2）最小树长142、用破圈法求下面网络的最短树解：最小树如下图所示由于q=5，p=6，则q=p-1，故已得最短树。
最小树长为122、用标号法求下列网络V1→V7的最短路径及路长。
（12分）VV 3V 5V 6V 6V 1V 7V 4V 2解：最短路径：v 1→v 3→v 5→v 6→v 7 L=104、解：第一轮：（1）在G 中找到一个回路{v 1，v 2，v 3，v 1}；（2）此回路上的边[v 1，v 3]的权数6为最大，去掉[v 1，v 3]。
第二轮：（1）在划掉[v 1，v 3]的图中找到一个回路{v 2，v 3，v 5，v 2}；（2）去掉其中权数最大的边[v 2，v 5]。
第三轮：（1）在划掉[v 1，v 3]，[v 2，v 5]的图中找到一个回路{v 2，v 3，v 5，v 4，v 2}（2）去掉其中权数最大的边[v 3，v 5]。
第四轮：（1）在划掉[v 1，v 3]，[v 2，v 5]，[v 3，v 5]的图中找到一个回路{ v 4，v 5，v 6，v 4}（2）去掉其中权数最大的边[v 5，v 6]（或可以去掉边[v 4，v 6]，这两条边的权数都为最大）。
（2分）在余下的图中已找不到任何一个回路了，此时所得图就是最小树，这个最小树的所有v 1v5434v 6v 3v5V 27V 4V 1(v 1(v 1, 4)(v 1, 6)1, 13)5(v 1, 5)边的总权数为5+4+2+3+4=18，结果如下图所示，即按照下图设计网络路线，可使总的线路长度达到最短。
5、求下图的网络最大流，并写出最小割集。
（12分）t V 3 7 V 6解：找增广链：41=f t s V V V V →→→41 t s V V V V →→→5232=f （6分）t s V V V V →→→6373=f(V s ,4)t V 3 (7,7) V 6(V s ,8) （3分）最小割集为：V *={（V 3，V 6），（V 2，V 5），（V 1，V 4）} （1分）C *（V ，V ）=14 （1分）且V *（f ）=14 5、如下图，（1）求v 1到v 10的最大流及最大流量；（2）求最小割集和最小割量。
运筹学经典题型
P1：每周总利润不低于10000元； P2：合同要求A型机每周至少生产10台，S型机至 少15台； P3：工序1每周生成时间最好恰为150h,工序2生成 时间可适当超过其能力； 试写出目标规划的模型。
图论
1，用避圈法或破圈法求下图的最小树
v2
7
7 v6
v3
6
v1
5
v5
5
4 4
9 3
6
v4
2
v7
8( 6)
6( 4)
vT
6( 6)
2( 0)
2( 2)
v2
5( 4)
v3
4，求下图中流值为6的最小费用流，其中弧旁边 的数字为(cij , d ij ) , c ij 表示容量， d ij 表示单位流 量费用。
v 1 (6,5)
v2
( 3,2)
vs
(4,3)
(7,1)
vT
(4,1)
v3
(5,4)
( 3,3)
8
6 16 24 4 4 10 4 12 16 8
无
1，2 2 3 4，5 6 6 6 7 8，9，10 3
13
14
引道混凝土保养
清理场地交工验收
24
4
12
11，13
请解答（1）该工程从施工开始道工程结束的最 短周期；（2）如果引道混凝土施工工期拖延10 天，对整个工程进度有何影响？（3）若装天花 板的施工时间从12天缩短为8天，对整个工程进 度有何影响？（4）为保证工期不拖延，装门这 项作业最晚应从哪一天开工？（5）如果要求该 工程必须在75天内完工，是否应采取措施，应 采取什么措施？
运 筹 帷 幄 之 中
决
作业
运筹学例题及答案
4000 0.05 0.50 2.80
解：设第Ⅰ种产品中，分别在 ( A1, Bj ), ( A2 , Bj ), j 1,2,3 上加工的数量依次为 x1, x2 , x3; x4 , x5 , x6 ，第Ⅱ种 产品中分别在A1,B1和A2,B1 上加工的数量为 x7 , x8 生产Ⅲ种产品数量为 x9 。
y1
yy3 , y4 0
将原问题的最优解带入约束，发现第4个约束为严格
不等式，所以，得y4*=0
又因为，原问题最优解的前三个分量都大于0，所以， 有如下三个等式成立。
y1 2 y2 2
3 y1 y3 1
y2
y3
4
解方程组得对偶问题的最优解为Y*=(4/5,3/5,1,0)
cj－ zj 0 0 -1/3 -4/3 0 0
分析下列各种条件单独变化时，最优解将如何变化。
（a）第1，2个约束条件的后端项分别由6变7，8变4； （b）目标函数变为 max z 2x1 5x2 ; （c） 增加一个变量 x3 ，系数为 c3 4, p3 (1,2,3,2)T （d）问题中变量 x2 的系数变为 (4,3,2,1,2)T （e）增加一个新的约束 x1 4
cj－ zj 0 0 -8/3 1/3 0 0
继续迭代,得表（5）
第25页
表5
cj 2 5 0 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 x2 2 0 1 0 0 0 1 2 x1 2 1 0 1 0 0 -2 0 x5 1 0 0 1 0 1 -3 0 x4 2 0 0 -2 1 0 3
2。已知线性规划问题
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例9 分析在原计划中是否应该安排一种新产品。
以第一章例1为例。
设该厂除了生产产品Ⅰ、Ⅱ外，现有一种新产品Ⅲ。
已知生产产品Ⅲ，每件需要消耗原材料A ，B 各为6kg ，3kg ，使用设备2台时；每件可获利5元。
问改产是否应生产该产品和生产多少？若能以10个单位的价格再买进15单位的原材料A ，这样做是否有利？
()()T
B P B
C c 3,6,20,125.0,5.153133-='-'='-σ
=1.25＞0
21max x x z +=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+-≤+为整数
21212
121,0,13651914x x x x x x x x ()T
n X ⎪⎭⎫ ⎝⎛=310,23
()629=*z 2,111≥≤x x
21max x x z += 21max x x z =
（IP1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤+-≤+为整数212112121,0,113651914x x x x x x x x x （IP2）⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≤+为整数
212112121,0,21
3651914x x x x x x x x x
继续解（IP1）和（IP2），得最优解分别为：
()()()()941,923,2310,37,12211=
⎪⎭
⎫
⎝⎛==
⎪⎭⎫
⎝⎛=z X z X T
T
()9410≤≤*z 3,221≥≤x x
21max x x z = 21max x x z +=
（IP3）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨≥≤≥≤--为整数2121212121,0,22136x x x x x x x x （IP3）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨≥≥≥≤+-为整数
2121212121,0,32
1
36x x x x x x x x
()()1461,2,143333=⎪⎭
⎫
⎝⎛=z X T
IP4无可行解
21max x x z += 21max x x z =
（IP5）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+-≤+为整数2121212121,0,2113651914x x x x x x x x x x （IP6）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+-≤+为整数
2121212121,0,31
1
3651914x x x x x x x x x x
()()()3,2,155==z X T
IP6无可行解
14613≤≤*z
()T
2,1433=不为整数
3,211≥≤x x
分别加入问题（IP3）形成两个子问题
21max x x z += 21max x x z =
（IP7）⎪
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎪⎨≥≤≤≥≤+-为整数21211
212121,0,2221
36x x x x x x x x x （IP8）
⎪
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎪⎨≥≤≤≥≤+-为整数
21211
212121,0,32
21
36x x x x x x x x x 这两个子问题的松弛问题分别记为（LP7）和（LP8），它们的可行域D 7和D 8分别表示在图5.3.5的左边和右边。
问题（LP7）的最优解为()()()4,2,277==z X T
，即图5.3.5中的G 点。
问题（LP8）的最优解为()()()4,1,388==z X T
，即图5.3.5中的F 点。
重新定界：由于()
7X
和()
8X
均为整数解。
故有4==z z ，即已求得最优解
()()T X X 2,27==*或()()T
X X 1,38==*。
目标函数最优解4=*
z 。
例1 某火车站一个售票窗口，若到达该窗口购票的顾客按Poisson 流到达，平均每分钟到达1人，假定售票时间服从负指数分布，平均每分钟可售2人，试研究该售票窗口前得排队情况。
解 由题设知，()
()2
1
/2/1===ρμλ，分人，分人。
该系统按∞M /1/M/型处理，于是在统计平衡下，有
() ,2,1,0,2111
=⎪
⎭
⎫
⎝⎛=-=+j p j j j ρρ
平均队长为 ()人11=-=
ρ
ρ
N
平均等待队长为 ()人2
1
12q =-=ρρN
平均等待时间为 ()
()分钟2
1
12q =
-=
ρμρ 平均逗留时间为 ()分钟11
=-=λ
μW
()()2121,,1,v v v v d 最短路为
=。
. ()()3141,,2,v v v v d 最短路为
=。
()()()42143161,,,,,4,v v v v v v v v d 或最短路为
=。
()()53151,,,4,v v v v v d 最短路为
=。
()()642161,,,,7,v v v v v v d 最短路为
=。
例6.3 背包问题：
某卡车载重能力为10吨，现要装三种产品，已知每件产品的重量和利润如下表：
现用动态规划方法求解： 阶段;3,2,1=k
决策变量k x ——第k 阶段的装载件数； 状态变量k s ——第k 阶段初的可装载能力；
状态转移方程()
产品的单件重量为k p x p s s k k k k k -=+1 ()3333s r s f
= 阶段后最优利润公式递推()()
()()
()()1,2,30,max 4411==+=++∈k s f f x
r s f k k
k k s k k
k s D x k k 。
当k =3时，
1
v
v 2
3 6
5
7 6v
图10.5.31
当=2时，
4
610,210010,210
,0332211=-===-====***
s x s x s x 最大利润400=*f
(15分)设有A1、A2和A3三个产地生产某种物资，B1、B2、B3和B4四个销地需要该物资，已知各产地产量、销地销量和产销地之间的单位运价如表5。
1）现已知其一可行调运方案如表所示，试判断该方案运费是否最小？如果不是，请给出运费最小的方案。
2）若产地A1由于生产技术条件的改善，其产量有所提高，最多能生产11吨物资，鉴于销售需要和客观条件的限制，产地A1至少要发出5吨物资，产地A2不允许就地存贮，销地B2要求A3至少供应4个单位产品，请确定此时的运输表及相应的初始调运方案。
例5.4 设有5项工作A，B，C，D，E，需分配甲、乙、丙、丁、戊5个人去完成，每个人只能完成1项工作，每件工作只能由1个人去完成，5个人分别完成各项工作所需的费用如表5.3.3所示，问如何分配工作才能使总费用最省？
()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
Φ
Φ
Φ
Φ=
5
3
3
4
2
3
3
1
2
4
3
6
2
3
1
3
1
2
ij
c
()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
=
6
4
4
3
2
2
3
2
3
2
6
1
3
3
3
ij
c
此时，独立零元素的个数5=m 。
于是已求得最优解151********=====*
****x x x x x ，其余
0=*ij x 。
目标函数最优值为
2814161715=⨯+⨯+⨯+⨯=*
z
为节约成本，舍弃甲和乙二人，而让丙、丁和戊来完成这五项工作。
根据实际情况，可以允许每个人完成一项或者两项工作，试确定该指派问题的标准型系数矩阵。