运筹学案例分析题

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运筹学案例分析

S3=1.1(S2-X2*)=264.9798万元，X3*= =126.1808万元
S4=1.1(S3-X3*)=152.6789万元，X4*=S4=152.6789万元
最大值为maxZ=ƒ1(400)=43.0813万元
(1)
令ƒ= + + + - ( ) - -
求偏导，有
即
因此，解得：
（1）动态规划方法的优越性与不足
f4(S4)=maxX4=S4( )= 及最优解 X4*= S4
f3(S3)=max0≤X3≤s3( +f4(S4))=max0≤X3≤s3(( + )
研究函数h(x)= ，可求得当时，h(x)max= =
FOC h’(x)= +
Xo =
SOCh (x0)<0
因此 f3(S3)= max0≤X3≤s3(( + )= 及最优解X3*=
令最优值函数fk(sk)表示为第k阶段的初始状态为Sk,从k阶段到4阶段所得效用的最大值。
S1=400XBiblioteka S2X2S3X3S4X4S5设S4=X4S4=1.1(S2-X2)S2=1.1(S1-X1)S1=400
则有S4=X40 X3 S30 2 S20 X1 S1=400
于是用逆推解法，从后向前依次有：
（3）比较两种解法，并说明动态规划方法啊有哪些优点。
动态规划研究的问题是与时间有关的，它是研究具有多阶段决策过程的一类问题，将问题的整体按时间或空间的特征而分成若干个前后衔接的时空阶段，把多阶段决策问题表示为前后有关联的一系列单阶段决策问题，然后逐个加以解决，从而求出了整个问题的最优决策序列。
由于动态规划方法有逆序揭发和顺序解法之分，其关键在于正确写出动态规划的递推关系式。一般来说，当初始状态给定时，用逆推的较方便；当终止状态给定时，用顺推比较方便。

运筹学实例含解析

案例1. 工程项目选择问题某承包企业在同一时期内有八项工程可供选择投标。

其中有五项住宅工程，三项工业车间。

由于这些工程要求同时施工，而企业又没有能力同时承担，企业应根据自身的能力，分析这两类工程的盈利水平，作出正确的投标方案。

有关数据见下表：表1 可供选择投标工程的有关数据统计工程类型预期利润/元抹灰量/m 2混凝土量/ m 3砌筑量/ m 3住宅每项 50011 25 000 280 4 200 工业车间每项 80 000480 880 1 800 企业尚有能力108 0003 68013 800试建立此问题的数学模型。

解：设承包商承包X 1项住宅工程，X 2项工业车间工程可获利最高，依题意可建立如下整数模型：目标是获利最高，故得目标函数为21X 80000X 50011z Max +=根据企业工程量能力限制与项目本身特性，有约束：利用WinSQB 建立模型求解：1080002X 4801X 25000≤+3680X 880X 28021≤+13800X 1800X 420021≤+为整数，；，2121X X 3X 5X ≤≤综上，承包商对2项住宅工程，3项车间工程进行投标，可获利最大，目标函数Max z=340022 元。

案例2. 生产计划问题某厂生产四种产品。

每种产品要经过A，B两道工序加工。

设该厂有两种规格的设备能完成A工序，以A1 ，A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，以B1 ，B2，B3 表示。

产品D可在A，B任何一种规格的设备上加工。

产品E可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1设备上加工。

产品F可在A2及B2 ，B3上加工。

产品G可在任何一种规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1 ，B2设备上加工。

已知生产单件产品的设备工时，原材料费，及产品单价，各种设备有效台时如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大？设设产品设备有效台时1 2 3 4A1 A2 B1 B2 B357647109812111068108601110000400070004000原料费（元/件）单价（元/件）0.251.250.352.000.502.800.42.4解：设Xia(b)j为i产品在a(b)j设备上的加工数量,i=1,2,3,4;j=1,2,3，得变量列表设备产品设备有效台时Ta(b)j1 2 3 4A1 A2 B1 B2 B3X1a1X1a2X1b1X1b2X1b3X2a1X2a2X2b1X3b2X3b3X3a1X3a2X3b1X3b2X3b3X4a1X4a2X4b1X4b2X4b3601110000400070004000原料费Ci （元/件）单价Pi （元/件） 0.25 1.25 0.352.00 0.50 2.80 0.4 2.4其中，令X 3a 1，X 3b 1，X 3b 2，X 3b 3，X 4b 3=0 可建立数学模型如下：目标函数: ∑∑==-=4121)](*[Maxi j iaj Ci Pi X z=1.00*（X 1a 1+X 1a 2）+1.65*（X 2a 1+X 2a 2）+2.30* X 3a 2+2.00*（ X 4a 1+X 4a 2）约束条件：利用WinSQB 求解（X1~X4，X5~X8,X9~X12,X13~X17,X18~X20分别表示各行变量）：4,3,2,1X21j 31==∑∑==i X j ibjiaj2,1T X 41iaj=<=∑=j Taj i iaj 3,2,141=<=∑=j TbjT Xi ibj ibj2,1;4,3,2,10X iaj ==>=j i 且为整数32,1;4,3,2,10X ibj ，且为整数==>=j i 0X X X X X 4b33b33b23b13a1=====综上，最优生产计划如下：设备产品1 2 3 4A1 A2 B1 B2 B3774235004004008732875目标函数zMax=3495，即最大利润为3495案例3. 高校教职工聘任问题（建摸）由校方确定的各级决策目标为：P 1 要求教师有一定的学术水平。

运筹学案例分析

案例五炼油厂生产计划优化炼油厂购买两种原油（原油1和原油2），这些原油经过四道工序处理：分馏、重整、裂化和调和，得到各种汽油、煤油和润滑油产品。

1、分馏分馏将每一种原油根据沸点不同分解为轻石脑油、中石脑油、重石脑油、轻油、重油和残油。

轻、中、重石脑油的辛烷值分别是90、80和70，每桶原油可以产生的各种油分如下表：表8 原油分馏得到的油分（桶/桶）轻石脑油中石脑油重石脑油轻油重油残油合计原油1 0.10 0.20 0.20 0.12 0.20 0.13 0.95原油2 0.15 0.25 0.18 0.08 0.19 0.12 0.97从上表可以看出，在分馏过程中有少量损耗。

2、重整各类石脑油可以用于调合成不同等级的汽油，也可以进入重整过程。

重整过程产生辛烷值为115的重整汽油，不同的石脑油经过重整可以得到的重整汽油为：表9 石脑油经过重整后提到的重整汽油（桶/桶）轻石脑油中石脑油重石脑油重整汽油0.6 0.52 0.45从表中可以看出，重整汽油的损耗量是非常大的。

重整汽油的主要目的是提高辛烷值。

3、裂化轻油和重油可以用于调合产生航空煤油和煤油，也可以经过催化裂化过程而同时产生裂化油和裂化汽油，裂化汽油的辛烷值为105，轻油和重油裂化产生的产品如下：表10 轻油重油裂化产生的产品（桶/桶）裂化油裂化汽油轻油0.68 0.28重油0.75 0.20裂化过程中同样有少量损耗。

裂化油可以用于调合成煤油和航空煤油，裂化汽油可用于调合汽油。

残油可以用来生产润滑油或者用于调合航空煤油或煤油，一桶残油可以产生0.5桶润滑油。

4、调合(1)汽油(发动机燃料)有两种类型的汽油，普通汽油和高级汽油。

这两种汽油都可以用石脑油、重整汽油和裂化汽油调合得到，且调合过程中没有重量损失。

要求：普通汽油的辛烷值必须不低于84，而高级汽油的辛烷值必须不低于94，我们假定，调合成的汽油的辛烷值与各成份的辛烷值及含量成线性关系。

(2)航空煤油航空煤油同样可以用汽油、重油、裂化油和残油调合而成，且调合过程中重量没有损失。

运筹学典型题型案例集

运筹学典型题型案例集第一章线性规划1 生产计划问题（（摘自王治祯环境应用数学309页））某企业为了搞好综合利用，用三种废品生产三种副产品，生产情况和利润见下表，求最佳利润。

解：设ABC三种产品的产量为X1X2X3Max Z =5X1+8X2+2X310X1+5X2+3 X3<=4006X1+10X2+2 X3<=4004X1+5X2+4X3<=200经过求解X1=34.23，X2=8.19X3=5.37最大利润为274.412 投资问题解：用Xij表示第i年初（i=1，2，3）给项目j（A，B，C，D）的投资金额。

第一年资金量：30万，可投项目：A、B；故：X1A+X1B＜=30。

第二年资金量：1.2*X1A，可投项目：A、C；故：X2A+X2C＜=1.2*X1A。

第三年资金量：1.2*X2A+1.5*X1B，可投项目：A、B、D；故：X3A+X3B+X3D＜=1.2*X2A+1.5*X1B。

其它条件：X1B＜=20；X2C＜=15；X3D＜=10。

目标：第三年底收益最大。

因投资X3B在第3年底不能收回，故无收益。

则目标函数为：f(x)=0.2*（X1A+ X2A + X3A）+0.5*X1B+0.6* X2C+0.4* X3D LINGO Model如下：max =0.2*(X1A+ X2A + X3A)+0.5*X1B+0.6* X2C+0.4* X3D;X1A+X1B<=30;X2A+X2C<=1.2*X1A;X3A+X3B+X3D<=1.2*X2A+1.5*X1B;@bnd(0,X1B,20); @bnd(0,X3B,20); @bnd(0,X2C,15); @bnd(0,X3D,10);运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 27.50000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1A 12.50000 0.000000X2A 0.000000 0.6000000E-01X3A 16.25000 0.000000X1B 17.50000 0.000000X2C 15.00000 -0.1000000X3D 10.00000 -0.2000000X3B 0.000000 0.2000000Row Slack or Surplus Dual Price1 27.50000 1.0000002 0.000000 0.80000003 0.000000 0.50000004 0.000000 0.2000000投资计划解释：第一年年初投资A项目12.5万元，投资B项目17.5万元；第二年年初投资C项目15万元；第三年年初投资A项目16.25万元，投资D项目10万元；第三年年年末可获最大收益27.5万元。

运筹学案例分析——机械产品生产计划问题

运筹学案例分析报告—机械产品生产计划问题班级：1516122组号：6姓名、学号（组长、分工）：吴锴楠151612219、建立数学模型（组员、分工）：张灿龙151612220、编写lingo程序（组员、分工）：游泽锋151612222、编写报告一、案例描述机械加工厂生产 7 种产品 ( 产品 1 到产品 7)。

该厂有以下设备 : 四台磨床、两台立式钻床、三台水平钻床、一台镗床和一台刨床。

每种产品的利润 ( 单位 : 元 / 件 , 在这里 , 利润定义为销售价格与原料成本之差 ) 以及生产单位产品需要的各种设备的工时 ( 小时 / 件 ) 如表1所示 , 其中短划线表示这种产品不需要相应的设备加工。

从一月份至六月份, 每个月中需要检修设备见表2所示 ( 在检修月份 , 被检修设备全月不能用于生产 )。

每个月各种产品的市场销售量上限如表3所示。

每种产品的最大库存量为 100件 , 库存费用为每件每月 0.5 元 , 在一月初 ,所有产品都没有库存；而要求在六月底 , 每种产品都有 50 件库存。

工厂每天开两班, 每班 8 小时 , 为简单起见 , 假定每月都工作 24 天。

生产过程中 , 各种工序没有先后次序的要求。

(1) 制定六个月的生产、库存、销售计划 , 使六个月的总利润最大。

(2) 在不改变以上计划的前提下 , 哪几个月中哪些产品的售价可以提高以达到增加利润的目的。

价格提高的幅度是多大 ?(3) 哪些设备的能力应该增加 ? 请列出购置新设备的优先顺序。

(4) 是否可以通过调整现有的设备检修计划来提高利润 ? 提出一个新的设备检修计划 , 使原来计划检修的设备在这半年中都得到检修而使利润尽可能的增加。

(5) 最优设备检修计划问题 : 构造一个最优设备检修计划模型 , 使在这半年中各设备的检修台数满足案例中的要求而使利润为最大。

二、问题分析及求解1、问题（1）的求解 1.1、问题分析：制定六个月的生产、库存、销售计划 , 使六个月的总利润最大。

管理运筹学案例分析

管理运筹学案例
【案例1】某厂排气管车间生产计划的优化分析
1．问题的提出排气管作为发动机的重要部件之一，极大地影响发动机的性能。某
发动机厂排气管车间长期以来，只生产一种四缸及一种六缸发动机的排气管。由于其产量一直徘徊不前，致使投资较大的排气管生产线，一直处于吃不饱状态，造成资源的大量浪费，全车间设备开动率不足50%。
税收
15 16 14.8 17 16.5 14.5 15.6 15.5
售价
150 160.1 149 172 166 145.6 157.8 155.8
利润
13.545 14.00114.99 15.56 15.312 12.8735 15.892 13.74
（元）
注：表中售价为含税价。
表C-3 设备加工能力一览表
【案例2】配料问题
某饲料公司生产肉用种鸡配合饲料，每千克饲料所需营养质量要求如表
C－4所示。
表C－4
营养成分肉用种鸡国家标准肉用种鸡公司标准
产蛋鸡标准
代谢能
2.7~2.8Mcal/kg
≥2.7Mcal/kg
≥2.65Mcal/kg
粗蛋白
135 ~145g/kg
135 ~145g/kg
≥151g/kg
x6 菜饼 0.32 1.62 360 113 8.1 7.1 5.3 8.4
x7 鱼粉 1.54 2.80 450 0 29.1 11.8 63 27
x8 槐叶粉 0.38 1.61 170 108 10.6 2.2 4.0 4.0
x9 DL-met 23.0
980
x10 骨粉 0.56
300 140
8.摇臂钻床 4.1 4.0 4.0 4.3 4.2 3.8 4.3 4.3

[讲解]运筹学应用例题

线性规划在工商管理中的应用一、人力资源分配的问题例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表所示：设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班；并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？例2 一家中型的百货商场对售货员的需求经过统计分析如下表所示：为了保证售货员充分休息，要求售货员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货员的休息日期，既能满足工作需要，又使配备的售货员的人数最少？二、生产计划问题例3 某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。

该公司有甲、乙、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机械加工和装配三道工序。

甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须由本厂铸造才能保证质量。

有关情况如下表所示，公司中可利用的总工时为：铸造8000小时，机械加工12000小时和装配10000小时。

为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各应生产多少件？甲、乙两种产品的铸件有多少由本公司铸造？有多少为外包协作？三、套裁下料问题例4 某工厂要做100套钢架，每套钢架需要长度分别为2.9米、2.1米、和1.5米的圆钢各一根。

已知原料每根长7.4米，问应如何下料，可使所用原料最省？四、配料问题例5某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价如下表所示：问该厂应如何安排生产，才能使利润最大？五、投资问题例6某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资：项目A：从第一年到第五年每年年初都可以投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可以投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：第三年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定每年最大投资额不能超过80万元；项目D：第二年初需要投资，到第五年末能收回本利155%，但规定每年最大投资额不能超过100万元。

运筹学实例分析及lingo求解讲解

运筹学实例分析及lingo 求解一、线性规划某公司有6个仓库，库存货物总数分别为60、55、51、43、41、52，现有8个客户各要一批货，数量分别为35，37，22，32，41，32，43，38。

各供货仓库到8个客户处的单位货物运输价见表试确定各仓库到各客户处的货物调运数量，使总的运输费用最小。

解：设ijx 表示从第i 个仓库到第j 个客户的货物运量。

ij c表示从第i 个仓库到第j 个客户的单位货物运价，i a 表示第i 个仓库的最大供货量，j d 表示第j 个客户的订货量。

目标函数是使总运输费用最少，约束条件有三个：1、各仓库运出的货物总量不超过其库存数2、各客户收到的货物总量等于其订货数量3、非负约束数学模型为：∑∑===6181)(min i j ijij x c x f⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥===≤∑∑==08,,2,1,6,2,1,,..6181ij j i ij i j ij x j d x i a x t s 编程如下：model : Sets :Wh/w1..w6/:ai; Vd/v1..v8/:dj;links(wh,vd):c,x;endsetsData:ai=60,55,51,43,41,52;dj=35,37,22,32,41,32,43,38;c=6,2,6,7,4,2,5,94,9,5,3,8,5,8,25,2,1,9,7,4,3,37,6,7,3,9,2,7,12,3,9,5,7,2,6,55,5,2,2,8,1,4,3;EnddataMin=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j));@for(wh(i):@sum(vd(j):x(i,j))<=ai(i));@for(vd(j):@sum(wh(i):x(i,j))=dj(j));endGlobal optimal solution found.Objective value: 664.0000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost AI( W1) 60.00000 0.000000 AI( W2) 55.00000 0.000000 AI( W3) 51.00000 0.000000 AI( W4) 43.00000 0.000000 AI( W5) 41.00000 0.000000 AI( W6) 52.00000 0.000000 DJ( V1) 35.00000 0.000000 DJ( V2) 37.00000 0.000000 DJ( V3) 22.00000 0.000000 DJ( V4) 32.00000 0.000000 DJ( V5) 41.00000 0.000000 DJ( V6) 32.00000 0.000000 DJ( V7) 43.00000 0.000000 DJ( V8) 38.00000 0.000000 C( W1, V1) 6.000000 0.000000 C( W1, V2) 2.000000 0.000000 C( W1, V3) 6.000000 0.000000 C( W1, V4) 7.000000 0.000000 C( W1, V5) 4.000000 0.000000 C( W1, V6) 2.000000 0.000000 C( W1, V7) 5.000000 0.000000C( W2, V1) 4.000000 0.000000 C( W2, V2) 9.000000 0.000000 C( W2, V3) 5.000000 0.000000 C( W2, V4) 3.000000 0.000000 C( W2, V5) 8.000000 0.000000 C( W2, V6) 5.000000 0.000000 C( W2, V7) 8.000000 0.000000 C( W2, V8) 2.000000 0.000000 C( W3, V1) 5.000000 0.000000 C( W3, V2) 2.000000 0.000000 C( W3, V3) 1.000000 0.000000 C( W3, V4) 9.000000 0.000000 C( W3, V5) 7.000000 0.000000 C( W3, V6) 4.000000 0.000000 C( W3, V7) 3.000000 0.000000 C( W3, V8) 3.000000 0.000000 C( W4, V1) 7.000000 0.000000 C( W4, V2) 6.000000 0.000000 C( W4, V3) 7.000000 0.000000 C( W4, V4) 3.000000 0.000000 C( W4, V5) 9.000000 0.000000 C( W4, V6) 2.000000 0.000000 C( W4, V7) 7.000000 0.000000 C( W4, V8) 1.000000 0.000000 C( W5, V1) 2.000000 0.000000 C( W5, V2) 3.000000 0.000000 C( W5, V3) 9.000000 0.000000 C( W5, V4) 5.000000 0.000000 C( W5, V5) 7.000000 0.000000 C( W5, V6) 2.000000 0.000000 C( W5, V7) 6.000000 0.000000 C( W5, V8) 5.000000 0.000000 C( W6, V1) 5.000000 0.000000 C( W6, V2) 5.000000 0.000000 C( W6, V3) 2.000000 0.000000 C( W6, V4) 2.000000 0.000000 C( W6, V5) 8.000000 0.000000 C( W6, V6) 1.000000 0.000000 C( W6, V7) 4.000000 0.000000 C( W6, V8) 3.000000 0.000000 X( W1, V1) 0.000000 5.000000 X( W1, V2) 19.00000 0.000000 X( W1, V3) 0.000000 5.000000X( W1, V5) 41.00000 0.000000 X( W1, V6) 0.000000 2.000000 X( W1, V7) 0.000000 2.000000 X( W1, V8) 0.000000 10.00000 X( W2, V1) 1.000000 0.000000 X( W2, V2) 0.000000 4.000000 X( W2, V3) 0.000000 1.000000 X( W2, V4) 32.00000 0.000000 X( W2, V5) 0.000000 1.000000 X( W2, V6) 0.000000 2.000000 X( W2, V7) 0.000000 2.000000 X( W2, V8) 0.000000 0.000000 X( W3, V1) 0.000000 4.000000 X( W3, V2) 11.00000 0.000000 X( W3, V3) 0.000000 0.000000 X( W3, V4) 0.000000 9.000000 X( W3, V5) 0.000000 3.000000 X( W3, V6) 0.000000 4.000000 X( W3, V7) 40.00000 0.000000 X( W3, V8) 0.000000 4.000000 X( W4, V1) 0.000000 4.000000 X( W4, V2) 0.000000 2.000000 X( W4, V3) 0.000000 4.000000 X( W4, V4) 0.000000 1.000000 X( W4, V5) 0.000000 3.000000 X( W4, V6) 5.000000 0.000000 X( W4, V7) 0.000000 2.000000 X( W4, V8) 38.00000 0.000000 X( W5, V1) 34.00000 0.000000 X( W5, V2) 7.000000 0.000000 X( W5, V3) 0.000000 7.000000 X( W5, V4) 0.000000 4.000000 X( W5, V5) 0.000000 2.000000 X( W5, V6) 0.000000 1.000000 X( W5, V7) 0.000000 2.000000 X( W5, V8) 0.000000 5.000000 X( W6, V1) 0.000000 3.000000 X( W6, V2) 0.000000 2.000000 X( W6, V3) 22.00000 0.000000 X( W6, V4) 0.000000 1.000000 X( W6, V5) 0.000000 3.000000 X( W6, V6) 27.00000 0.000000 X( W6, V7) 3.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 664.0000 -1.000000 2 0.000000 3.000000 3 22.00000 0.000000 4 0.000000 3.000000 5 0.000000 1.000000 6 0.000000 2.000000 7 0.000000 2.000000 8 0.000000 -4.000000 9 0.000000 -5.000000 10 0.000000 -4.000000 11 0.000000 -3.000000 12 0.000000 -7.000000 13 0.000000 -3.000000 14 0.000000 -6.000000 15 0.000000 -2.000000由以上结果可以清楚的看到由各仓库到各客户处的货物调运数量，由此得出的符合条件的最佳运货方案，而使运费最低，最低为664。

运筹学例题解析

(一)线性规划建模与求解B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。

甲、乙两种产品每生产1单位分别消耗2小时、1小时。

又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。

已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。

请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大？要求：1、建立该问题的线性规划模型。

2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。

如果不存在最优解，也请说明理由。

解：1、(1)设定决策变量：设甲、乙两种产品分别生产x 1、x 2单位。

(2)目标函数： max z=2 x 1+x 2(3)约束条件如下：12211225..3,0+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x x s t x x x x2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线，结论：本题解的情形是：无穷多最优解，理由：目标函数等值线z=2 x 1+x 2与约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行。

甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。

（二）图论问题的建模与求解样题A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。

但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。

试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。

已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。

要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。

解：（1）建立图论——最短路问题模型。

①设点V i 表示第i 年年初，虚设一个点V 6，表示第五年年底；②弧(V i , V j )表示第i 年初购进一台设备一直使用到第j 年初(即第i-1年年底)再卖掉并获得残值收入；③弧(V i , V j )上的权数表示第i 年初购进一台设备，一直使用到第j 年初所需支付的购买、维修及抵扣残值收入以后的全部费用（单位：万元）。

运筹学案例分析

. 案例描述西兰物业公司承担了正大食品在全市92 个零售店的肉类、蛋品和蔬菜的运送业务，运送业务要求每天4 点钟开始从总部发货，必须在7:30 前送完货（不考虑空车返回时间）。

这92 个零售点每天需要运送货物0.5 吨，其分布情况为：5 千米以内为A区，有36个点，从总部到该区的时间为20分钟；10千米以内5千米以上的为B区，有26个点，从总部到该区的时间为40分钟；10千米以上的为C区，有30个点，从总部到该区的时间为60 分钟；A 区各点间的运送的时间为5分钟，B区各点间的运送时间为10分钟，C区各点间的运送时间为20 分钟，A 区到B 区的运送时间为20 分钟，B 区到C区的运送时间为20分钟，A区到C区的运送时间为40 分钟。

每点卸货、验收时间为30 分钟。

该公司准备购买规格为2 吨的运送车辆，每车购价5 万元。

请确定每天的运送方案，使投入的购买车辆总费用为最少。

二.案例中关键因素及其关系分析关键因素：1. 首先针对一辆车的运送情况作具体分析，进而推广到多辆车的运送情况；2. 根据案例中的关键点“零售点每天需要运送货物0.5吨”及“规格为2吨的运送车辆”可知就一辆车运送而言，可承担4个零售点的货物量；3. 根据案例中的“运送业务要求每天4点钟开始从总部发货，必须在7:30前送完货(不考虑空车返回时间)”可知每天货物运送的总时间为210分钟，超过该时间的运送方案即为不合理；4. 如下表以套裁下料的方法列出所有可能的下料防案，再逐个分析。

三、模型构建1、决策变量设置设已穷举的12个方案中方案i所需的车辆数为决策变量Xi(i=1 , 2- 12)，即：方案1的运送车台数为X1；方案2的运送车台数为X2；方案3的运送车台数为沁;方案4 的运送车台数为X4；方案5 的运送车台数为X5；方案6 的运送车台数为X6；方案7 的运送车台数为X7；方案8 的运送车台数为X8；方案9 的运送车台数为X9；方案10 的运送车台数为X10；方案11 的运送车台数为X11；方案12 的运送车台数为X12。

运筹学案例分析电视机问题

整数规划电视机问题问题的提出某电视机工厂生产四种型号的特用电视机：1型——轻便黑白，11型——正规黑白，111型——轻便彩色，w型一一正规彩色。

各型号每台所需组装时间、调试时间、销售收入以及该厂组装调试能力如表1所示。

表1但现在显像管紧缺，每月最多只能进货180只，其中彩色显像管不超过100只。

令气、X、x3、％一次表示各型号每月计划产量。

现工厂需拟定使目标总销售收入z 为最大的生产计划。

（1）写出该问题的数字模型，对于约束条件依下列次序：组装时间、调试时间、显像管数、彩色显像管数，并引入松弛变量，使之为等式。

（2）用单纯形法求解得终表如图2所示。

试分别回答：（1）最优生产是什么？是否还有其他最优生产计划？为什么？（2）组装时间的影子价格是多少？（3）若外厂可调剂增加80小时的调试时间，但每小时需付0.4（百元），这样的调剂值得吗？能增加多少收入？（4）若I型机售价由4 （百元）增加到4.5 （百元），最优计划会改变吗？如果增加到5.5 （百元）呢？说明理由。

（5）写出本问题的对偶模型，并指出其最优解。

建模和解题过程由该问题，可建立如下模型：设I型、II型、III型、W型分别生产气台、七台、％台、七台，则可列出目标函数及线性约束条件：MaxZ=4 气 +6 X +8 气 + 10 七8 气 + 10 x2+12 X3 +15 七 ^20002 气 +2 x2+4 x3 +5 x4^500气 + x2+ X3 + 七 ^180x3 + 七 ^100x N0 （i=1、2、3、4）将该模型进行标准化，则引入松弛变量X5、X6、X7、X8，则变为：MaxZ=4 气 +6 X +8 % + 10 七8 气 + 10 x2+12 X3+15 % + X5 =20002 气 +2 x2+4 X3 +5 x4+ X6=500气 + X + x3 + 七 + 七= 180X3 + 七 + ^8 =100X N0 (i=1、2、3、4、……7、8) 对该模型求解可得:由该解答可知，当X1、X2、X3、X4分别取0、125、0、50时，可获得最大利润 1250 （百元）。

2.6-运筹学应用实例汇总

一、生产计划问题例：某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、丙、丁四种产品。

每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备每月可利用的时数如下表所示，求使总利润最大的月度生产计划。

建模思路■用线性规划制订使总利润最大的生产计划。

■设变量X1为第i种产品的生产件数(i=1, 2, 3, 4),目标函数z为相应的生产计划可以获得的总利润。

在加工时间以及利润与产品产量成线性关系的假设下，可以建立如下的线性规划模型：建模max z= 5.24X1 +7.30x2 +8.34x3 +4.18x4目标函数1.5Xj +1.0x2+2.4X3+1.0X4<2000LOX1 +5.0X2+1.0X3+3.5X4<8000 约束条件1・5X] +3.0X2+3.5X3+1.0X4<5000Xp X2, X3, X4 >0 变量非负约束练习：某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。

该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。

甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。

数据如下表。

问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？甲 .乙丙资源限制铸造工时（小时/件）51078000机加工工时（小时/件）64812000装配工时（小时/件）32210000自产铸件成本（兀/件）354外协铸件成本（兀/件）56一机加工成本（元/件）213装配成本（元/件）322产品售价（元/件）231816解：设孙孙寺分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，同，幅分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。

求占的利润：利润二售价-各成本之和产品甲全部自制的利润产品甲铸造外协，其余自制的利润产品乙全部自制的利润产品乙铸造外协，其余自制的利润产品丙的利润可得到毛（i = 1,2, 3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9=23-（3+2+3）=15 =23-（5+2+3）=13 =18-（5+1+2）=10 =18-（6+1+2）=9 =16-（4+3+2）=7通过以上分析,可建立如下的数学模型：目标函数：Max 15百+ 10电+ 7两+ 13题+ 9不约束条件：5为+ 10西+ 7玛＜80006为+ 4出+ 8^ + 6々+ 4不3百+ 2X2 + 2均+ 3局+ 2不毛，演，传，演，与12000 10000二、混合配料问题例：某工厂要用四种合金T1, T2, T3和T4为原料，经熔炼成为一种新的不锈钢G。

管理运筹学案例分析题

案例分析题1.飞乐公司经营一个回收中心，专门从事用三种废弃原材料C,P,H混合调出三种不同规格的产品A,B,D。

根据混合时候各种材料的比例，可将该产品分为不同的等级(表1)。

尽管在混合各种等级产品是允许一定的机动性，但每一等级产品中各种材料的最大值和最小值必须符合质量标准的规定(最大值和最小值是根据该材料的重量在该等级产品总重量中的比例来确定的)。

在两种较高等级的产品中，有一种特定材料的比例是固定的。

已知产品的规格要求、产品单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价，分别见表1和表2，问该产应如何安排生产，使利润收入为最大？2.目前，我国大功率柴油机生产企业共30家，大多数企业为中型企业，产品系列较多，结构规格各有不同，主要用作船用、机车或发电动力，市场覆盖全国各地。

但对每一个企业来说，因其用户和产品的特点，其次年的市场需求情况当年年底基本上能预测出来，而且交货期一般以季度为时间段来界定。

另外，其生产方式基本上是单件小批量生产，其整个生产周期大约也只比一个季度稍短些，因此，其生产计划、产品发运、库存等均可以季度为一个周期。

这都是运用数学模型解决经营计划决策问题的前提条件。

某内燃机是一家典型的从事大功率柴油机生产的中型企业。

该产可生产四大系列柴油机产品，而且全部自主销售。

由于该产近几年十分重视产品开发和市场开发，已经成为总产量位于国内大功率柴油机行业前列的具有一定知名度的企业，产品不仅在国内市场占有一定的份额，而且还部分出口，创造了较好的经济效益。

每年的12月份是准备和确定企业次年的生产经营计划的时间。

企业经营计划部门根据销售、生产、财务、技术等部门对次年的市场需求、生产能力、生产成本进行的测算，经过综合分析和研究得出有关情况见表3(本案例只列出两种产品A和B)。

由于生产和财务部门的测算是基于次年进行一定技术改造才能达到的生产能力和成本，从表3明显可以看出，部分产品部分季度可能出现缺货或能力过剩，这就必须考虑缺货成本(是指延期交货应支付给用户的赔偿费用)和库存积压费用。

运筹学例题(完全答案)

1、课上讲过的练习和要求课下做过的练习1〕答案更正答案：更正答案：2〕答案：题：答案：更改〔4〕答案题：答案：更改〔5〕答案2、最后给的练习1〕紧前工作A — 3B A 3C A 4D A 6E B、C、D 6 答案：2〕紧前工作A — 4B — 3C A 8D A 7E B、C 9F B、C 12G D、E 2H D、E 5I G、F 6答案：3〕紧前工作A —7B — 5C A、B 10D C 7E C 3F D 2G D、E 5答案：二、决策分析1、最后给的练习1〕有一个公司方案买两种复印机，选好两种型号的复印机可以满足未来10年的需求，但第一种复印机购置价格2000元，每年耗材使用到达150元可以免费维修；第二种复印机购置价格3000元，维修费用不确定，估计40%的可能不用修理，40%的可能维修费100元，20%的可能性维修费200元。

问该公司应该选择哪种复印机？2〕一家大型轧钢厂考虑向一家新客户〔服装厂〕贷款，轧钢厂将客户还款情况分三类：严重拖欠、一般拖欠、按时还款；估计20%可能严重拖欠，50%可能一般拖欠，30%可能按时还款，如果制衣厂得到贷款后又严重拖欠，那么轧钢厂将损失25万，服装厂一般拖欠，轧钢厂获利10万，按时还款轧钢厂获利20万。

借款期1年，1年的存款基准利率为3.22%。

问轧钢厂是否给制衣厂贷款？结论是给企业贷款或再问：如果将获利合为一个，严重拖欠损失25万，而其他情况获利是14万，问A、无差概率B、EVPI三、线性规划线性规划的步骤：1〕确定决策变量；2〕列出约束条件；3〕写出目标函数。

图解线性规划：1〕决定线性规划问题的可行域；2〕求解线性和整数规划1、课堂练习1〕答案：极大化Z = 40 x1 + 50 x2约束x1 + 2x2 ≤40 小时(劳力限制) 4x1 + 3x2 ≤120 磅(粘土限制)x1 , x2 ≥0解x1 = 24个碗x2 = 8个杯收入= 1,360美元2〕答案：(包括量度单位(打数)和时间单位(周))X1 = 每周生产宇宙光的打数X2 = 每周生产射击手的打数MAX 8X1 + 5X2s.t.2X1 + 1X2 ≤1000 (塑料)3X1 + 4X2 ≤2400 (加工时间)X1 + X2 ≤700 (总产量)X1 –X2 ≤350 (混合限制)所有X ≥03〕某家工厂面临的生产问题是：♦生产4种男人领带♦使用3种材料(有限资源)决策:每月每种领带各生产多少?目标:极大化利润生产数据4〕邮局一周在不同天要求全日工作人数不同，如表1所列。

运筹学案例分析

二黄工程师为什么要走
答：1）按照马斯洛的需要层次论，职称、工资、住房对黄工来说分别属于什么需要？
答：职称（一种地位的象征）属于受尊重需要；工资和住房属于生理需要。
（2）黄工的工资水平和仓管人员不相上下，按照公平理论，这合理吗，为什么？
答：不合理。黄工名列公司“四大金刚”之一，可见其付出很大，但工资水平和仓管人员不相上下，按照公平理论，黄工的相对报酬（收入/付出）要小于仓库管理员的相对报酬（收入/付出），这会给黄工带来一种不公平的感受。也正是这种不公平感受以及各种需要屡次得到不到满足才最终导致了黄工的辞职。
三和米公司的激励措施沟通 Nhomakorabea2.（1）细分级别，这里不增加机构的层级，但在每个层级设置见习经理、资深经理，高档经理，根据坐岗年限和个人业绩逐渐提升，薪酬和岗位挂钩
（2）建立双轨制成才机制，即在行政级别外根据业务能力设置业务或技术层级，如专家，高级专家，大师等
3. 根据本案例，晋升应属保健因素。保健因素是指和工作环境或条件相关的因素，这些因素处理不当，或者说这类需要得不到基本的满足，会导致员工的不满，甚至严重挫伤其积极性；反之，满足这些需要则只能防止员工产生不满情绪。由于王先生对工作无法提供更广阔的前景，而产生不满，此时的晋升是为了防止王先生的不满情绪
（3）黄工程师为什么要走？你认为黄厂长该如何做才能留住黄工程师？
答：黄工程师的职称、工资、住房等需要没有得到满足，而且每当他想提出这种需要的时候，总是被厂长的口头表扬所阻止。需要屡次得不到满足的他，缺乏公平感，只有选择离开。黄厂长要想留住黄工，就应该和黄工程师进行沟通，了解并满足他的真正需要，而不是一味地进行口头表扬。
案例分析：激励一晋升停滞的骨干员工，留得住吗？

运筹学案例分析题

案例二北方化工厂月生产计划安排北方化工厂现有职工120人，期中生产工人105人，该厂主要设备是2套提取生产线，每套生产线容量为800kg，至少需要10人看管。

该厂每天24小时连续生产，节假日不停机，从原料投入到成品出线平均需要10小时，成品率约为60％，该厂只有4t卡车1辆，可供原材料运输。

该厂目前的产品可分为5类，所用原料15种，根据厂方提供的资料，经整理得表1.表1根据现有运输条件，原料3从外地购入，每月只能购入1车。

根据前几个月的购销情况，产品1和产品3应占总产量的70％，产品2的产量最好不要超过总产量的5％，产品1的产量不要低于产品3与产品4产量之和。

问题：（1）请制定该厂的月生产计划，使得该厂的总利润最高；（2）找出阻碍该厂提高生产能力的瓶颈问题，提出解决办法。

解：设X1为产品1的计划产量，X2为产品2的计划产量，X3为产品3的计划产量，X4为产品4的计划产量，X5为产品5的计划产量。

目标函数：5432195.995.2630.509.644.4max x x x x x Z ++++=)5,4,3,2,1(0)%(5)(%704000%60.8%70.1%50.4%40.5%4.9%60)1024(280043154321254321315432154321=≥+≥++++≤++++⨯=+≤++++⨯÷⨯⨯≤++++i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i即)5,4,3,2,1(0)%(5)(%704000%60.8%70.1%50.4%40.5%4.9%60)1024(280043154321254321315432154321=≥+≥++++≤++++⨯=+≤++++⨯÷⨯⨯≤++++i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i瓶颈及解决方法：1.成品率太低，只有60%。

运筹学案例分析题

运筹学案例分析题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN案例四监理公司人员配置问题某监理公司侧重于国家大中型项目的监理。

每项工程安排多少监理工程师进驻工地，一般是根据工程的投资、建筑规模、使用功能、施工的形象进度、施工阶段来决定，监理工程师的配置数量随着变化。

由于监理工程师从事的专业不同，他们每人承担的工作量也是不等的。

有的专业一个工地就需要三人以上，而有的专业一人则可以兼管三个以上的工地。

因为从事监理业的专业多达几十个，仅以高层民用建筑为例就涉及到建筑学专业、工民建（结构）专业、给水排水专业、采暖通风专业、强电专业、弱电专业、自动控制专业、技术经济专业、总图专业、合同和信息管理专业等，这就需要我们合理配置这些人力资源。

为了方便计算，我们把所涉及的专业技术人员按总平均人数来计算，工程的施工形象进度按标准施工期和高峰施工期来划分。

通常标准施工期需求的人数教容易确定。

但高峰施工期就比较难确定了，原因有两点：（1）高峰施工期各工地不是同时来到，是可以事先预测的，在同一个城市里相距不远的工地，就存在着各工地的监理工程师如何交错使用的运筹问题。

（2）各工地总监在高峰施工期到来的时候要向公司要人，如果每个工地都按高峰施工期配置监理工程师的数量，将造成极大的人力资源浪费。

因此，为了达到高峰施工期监理工程师配置数量最优，人员合理地交错使用，遏制人为因素，根据历年来的经验对高峰施工期的监理工程师数量在合理交错发挥作用的前提下限定了范围。

另经统计测得，全年平均标准施工期占7个月，人均年成本4万元；高峰施工期占5个月，人均年成本7万元。

标准施工期所需监理工程师如表1所示。

表1另外在高峰施工期各工地所需监理工程师的数量要求如下：第1和第2工地的总人数不少于14人；第2和第3工地的总人数不少于13人；第3和第4工地的总人数不少于11人；第4和第5工地的总人数不少于10人；第5和第6工地的总人数不少于9人；第6和第7工地的总人数不少于7人；第7和第1工地的总人数不少于14人。

四个运筹学案例

1、年度配矿计划优化——线性规划j（单位：万吨）2 约束条件：包括三部分1）供给（资源）约束：x1 ≤70 x2≤7 x3≤17 x4≤23 x5≤3 x6≤9.5 x7≤1 x8≤15.4 x9≤ 2.7 x10≤7.6 x11≤13.5 x12≤2.7 x13≤1.2 x14≤7.22）品位约束3）非负约束： x j ≥ 0 j = 1,2,3, … ,143 目标函数：此题目要求“效益最佳”有一定的模糊性，由于配矿后的混合矿石将作为后面工序的原料而产生利润，故在初始阶段，可将目标函数选作配矿总量的极大化。

三、计算结果及分析1 计算结果利用单纯形法可得出该问题的最优解为：x1 = 31.121 x2 = 7 x3 = 17 x4 = 23 x5 = 3 x6 = 9.5 x7 = 1 x8 = 15.4 x9 = 2.7 x10 = 7.6 x11 = 13.5 x12 = 2.7 x13 = 1.2 x14 = 7.2 最优值：Z* = 141.921（万吨）2 分析与讨论1）计算结果是否可被该公司接受？——回答是否定因为：①在最优解中，除第1个采矿点有富裕外，其余13个采矿点的出矿量全部参与了配矿。

而矿点1在配矿以后尚有富余量 70 －31.12 ＝38.879 （万吨），但矿点1的矿石品位仅为37.16%，属贫矿。

②该公司花费了大量人力、物力、财力后，在矿点1生产的贫矿中却有近39万吨矿石被闲置，而且在大量积压的同时，还会对环境造成破坏，作为该公司的负责人或公司决策者是难以接受这样的生产方案的。

———原因何在？出路何在？2）解决问题的思路经过分析后可知：在矿石品位T Fe 及出矿量都不可变更的情况下，只能把注意力集中在混合矿石的品位T Fe 要求上。

——不难看出，降低T Fe 的值，可以使更多的低品位矿石参与配矿。

问题：T Fe 的值有可能降低吗？在降低T Fe 的值，使更多的贫矿入选的同时，会产生什么影响？——以上问题就属于运筹学的灵敏度分析（优化后分析）3）经调查，以及与现场操作人员、工程技术人员、管理人员学习、咨询，拟定了三个T Fe 的新值：44％、43％、42％3 变动参数之后再计算，结果如下表所示：∑==+++++++++++++14114131211109875432145.0502.04073.05692.05271.04022.0408.04834.05141.064996.04200.04700.0400.05125.03716.0j jx x x x x x x x x x x x x x x ∑==141max j jx zFe境的破坏，故不予以考虑。

运筹学案例分析57926

计算机生产销售计划案例分析所在学院：商学院1专业班级：信管1401学生姓名：指导老师：李霞2目录一、背景介绍3二、案例分析5三、模型建立5四、模型求解7五、结果分析91、最优解分析92、灵敏度分析103一、背景介绍Sytech国际公司是一家在同行业中处于领先地位的计算机和外围设备的制造商。

公司的主导产品分类如下：大型计算机(MFRAMES）、小型计算机(MINIS)、个人计算机(PCS）和打印机（PRINTERS）.公司的两个主要市场是北美和欧洲。

公司一直按季度作出公司最初的重要决策。

公司必须按照营销部门的需求预测来对分布在全球的3个工厂调整产量,公司下一季度需求预测如表1至表3所示.而公司的三个工厂的生产能力限度又使得其不能随心所欲地在任一工厂进行生产，限制主要是各工厂规模及劳动力约束。

表1 需求预测表2 工厂的生产能力4表3 资源利用率最终分析所要求的数据由会计部门提供，表4所显示的数据表示单位利润贡献(税后)。

表4 单位利润贡献（美元）5根据以上信息,请为Sytech公司制定合理优化的生产计划，使总利润最大。

并分析:增加伯灵顿的空间生产能力和劳动力生产能力是否可以提高公司的利润？增加中国台湾的呢?二、案例分析为什么要用线性规划来解决问题：由案例介绍可知，工厂的生产能力，即空间和劳动力资源有限，且要实现如何配给生产计划使企业实现利润最大化，是当前要解决的问题。

需求预测和资源均为系统约束,线性规划正是解决稀缺资源最优分配的有效方法,目的正是使企业获得的收益最大。

因此，本案例属于线性规划问题，建立模型，用Lingo软件求最优解.6三、模型建立设从伯灵顿、中国台湾、爱尔兰分别运往北美和欧洲的大型计算机、小型计算机、个人计算机、打印机的数量为Maxz=16136.46X1+13694.03X2+8914。

47X3+6956。

23X4+1457.18X5 +1037。

57X6+1663.51X7+1345.43X8+17358。

运筹学案例分析题

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