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_第一章集合 — 高三数学一轮复习备考

第一章第一节集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∈表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法2.集合的基本关系⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊄⊆=⊆⊆⊆≠),,(),,()()1(B A A B B A B A A B B A B A 则若真包含则若相等包含其中，若B A ⊆，则称A 是B 的子集，若B A ≠⊂，则称A 是B 的真子集.(2)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为φ.规定：空集是任何集合的子集、空集是任何非空集合的真子集.(3)集合中元素个数与子集个数的关系：若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ,真子集个数为2n -1,非空真子集个数为2n -2. 3．集合的基本运算(1)并集的常考性质A ⊆A ∪B,B ⊆A ∪B. A ⊆B ⇔A ∪B=B. A ∪B=∅⇔A=B=∅. (2)交集的常考性质A ∩B ⊆A,A ∩B ⊆B. A ⊆B ⇔A ∩B=A. A ∩B=A ∪B ⇔A=B. (3)补集的常考性质A ∪(∁U A)=U A ∩(∁U A)=∅ ∁U (∁U A)=A ∁U (A ∩B)=(∁U A)∪(∁U B) ∁U (A ∪B)=(∁U A)∩(∁U B).考点1 集合的含义与表示1．已知集合A ={0，1，2}，则集合B =中元素的个数是( ) A ．1 B ．3C ．5D ．92．若集合A ={−1,1}，B ={0,2}，则集合{z|z =x +y,x ∈A,y ∈B}中的元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．23．已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x −y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．104．已知集合A ={(x,y)|x,y ∈N ∗,y ≥x}，B ={(x,y)|x +y =8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．65．已知集合A ={(x,y)│x 2+y 2=1}，B ={(x,y)│y =x}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．06．已知集合A ={(x ， y)|x 2+y 2≤3 ， x ∈Z ， y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4{}|,x y x A y A -∈∈7．已知集合A={(x,y)|x,y为实数，且x2+y2=1}，B={(x,y)|x,y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为( )A．4 B．3 C．2 D．18.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a= .9.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( )A.4B.2C.0D.0或410.已知集合A={x|ax=1},B={x|x2-1=0},若A⊆B,则a的取值构成的集合是( )A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}11.已知M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为( )(A)1 (B)-1 (C)1或-1 (D)0或1或-112.设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为________.考点2 集合间关系1．若P={x|x<1},Q={x|x>−1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆P C．C R P⊆Q D．Q⊆C R P2．已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x||x−2|≤5｝，则( )A、A∩B=B、A∪B=RC、B⊆AD、A⊆B3．已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是( ) A．(−∞，−1] B．[1，+∞) C．[−1，1] D．(−∞，−1] ∪[1，+∞)4．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，4，5}，P=M∩N，则P的真子集共有( ) (A)2个(B)4个(C)6个(D)7个5．已知集合A={x|x2−3x+2=0,x∈R}，B={x|0<x<5,x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．46．已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=( )A ．∅B ．SC ．TD ．Z7.已知集合∪B=A,则m= .8.若集合A={1,a,b},B={a,a 2,ab},且A ∪B=A ∩B,则实数a 的取值集合是 .9.已知a ∈R,b ∈R,若{ a,ln(b+1),1}={a 2,a+b,0},则a2018+b2018=________.考点3 集合间的基本运算1．已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A ∩B= ( )(A)｛1，4｝ (B)｛2，3｝ (C){9，16}(D)｛1，2}2．已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N},B ={6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中的元素个数为( )(A) 5 (B)4 (C)3 (D)23．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则C U A ∩B =（） A. {}1- B. {}0,1 C. {}1,2,3- D. {}1,0,1,3-4．已知全集U =R,A ={x|x ≤0},B ={x|x ≥1}，则集合C U (A ∪B)=( ) A ．{x|x ≥0} B ．{x|x ≤1} C ．{x|0≤x ≤1} D ．{x|0<x <1}5．已知集合P ={x |x 2−2x ≥0},Q ={x |1<x ≤2}，则(∁R P)∩Q =( )A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]6．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，C ={x ∈R|1⩽x <3} ，则()A C B =( )A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}7．已知集合均为全集的子集，且C U (AUB )={4}，，则A ∩C U B =( )A.{3} B ．{4} C ．{3，4}D ．8．若全集U ={1,2,3,4,5,6},M ={2,3},N ={1,4}，则集合{5,6}等于( ) A ．M ∪N B ．M ∩N C ．(C n M )∪(C n N ) D ．(C n M )∩(C n N )9．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩C I M =∅，则M ∪N =( )A ．MB ．NC ．ID ．∅10．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =( ) A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．411．已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =( )A ．∅B ．{–3，–2，2，3)C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}12．设集合A ＝{x ∈Z||x+1|≤3}，B ={x|32x ≤1}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣4，﹣3，﹣2，0，2} B ．{2} C ．{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，2} D ．{1，2}13.已知集合104x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{}2230B x x x =--≥，则A B 等于（）A ．(-1，1]B ．(](),11,-∞-+∞C ．[3，4)D ．(][),13,-∞-+∞14．已知集合02xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，集合{}0B x x =>，则A B =（）A ．{}2x x ≥-B ．{}2x x >-C ．{}0x x ≥D ．{}0x x >B A 、}4,3,2,1{=U {1,2}B =∅15．已知全集为，集合，，则( )A ．B ．{x|2≤x ≤4}C ．D ．16．设集合则=( )A ．B ．C ．D ．17.设全集U=R,集合A={x|2x-x 2>0},B={y|y=e x +1},则A ∪B 等于( ) A.{x|x<2} B.{x|1<x<2} C.{x|x>1} D.{x|x>0}18．设集合A ={x||x −1|<2},B ={y |y =2x ,x ∈[0,2]},则A ∩B =( )A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)19．设集合M ={x|x 2=x}，N ={x|lg x ≤0}，则M ∪N =( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(−∞,1]20.已知全集为R,集合A={x|lgx ≤1},B={x|x 2-6x+8≤0},则A ∩(∁R B)= .21.已知U={y|y=log 2x,x>1}, P={y|y =1x ,x >2},则∁U P= ( )11A.[) B.(0,)221C.(0,)D. (,0][,)2+∞ +∞ -∞⋃+∞，22．已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |e x -2≤1}，则A ∪B ＝（） A ．（﹣∞，4） B ．（1，4）C ．（1，2）D ．（1，2]R 112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}2|680B x x x =-+≤R A C B ={}|0x x ≤{}|024x x x ≤<>或{}|024x x x <≤≥或2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R A B (1,1)-(0,1)(1,)-+∞(0,)+∞。

指数+课件-2025届高三数学一轮复习

16的4次方根有两个，为±2，故B正确；
负数没有偶次方根，故C错误；
x + y 2 是非负数，所以
x+y
2
= |x + y|,故D正确.
)
例1-2 ［教材链接题］已知a,b ∈ ，下列各式总能成立的有( B )
A.
3
a−b
4
3
=b−a
B.
4
C. a4 − b 4 = a − b
【解析】
3
a−b
3
【答案】 − = − =

− ,∴
− =
∴
+

− = − ,
−

− =

=
−

+−

=

−
=
−

,

,

故 − + �� − = − +

−

.

− × = ( − ) =
再将x + x −1 = 7平方并化简得x 2 + x −2 = 47,
3
2
x +x
3
−2
1
2
= x +x
1
−2
1
2
x−x ⋅x
3
2
1
−2
方和公式展开求解，也可由x + x
解）
从而
3
3
−
x2 +x 2 +2
x2 +x−2 +3
=
18+2

高三数学一轮复习ppt课件

A，y∈A}中元素的个数是( C )
A．1
B．3
C．5
D．9
13
[解析] ∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合 B 中有 5 个元素．
14
(2)若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则
a＝( B )
9 A.2
B．98
C．0
9
(2)设全集 U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为___{_x_|1_≤__x_<_2_}__．
解析：图中阴影部分可用(∁UB)∩A 表示，故(∁UB)∩A＝ {x|1≤x<2}．
10
解决集合问题的两个方法：列举法；图示法． (1)若集合 A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则 A∩B 的子集的个数为____4____．解析：A∩B＝{1,3}，其子集分别为∅，{1}，{3}，{1,3}，共 4 个．
D．0 或98
15
[解析] 当 a＝0 时，显然成立；当 a≠0 时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即 a＝98.
16
(3)[2017·甘肃白银期末]已知集合 A＝{1,3， m}，B＝{1，
m}，A∩B1
B．0 或 3
C．1 或 3
D．0 或 1 或 3
17
[解析] ∵A＝{1,3， m}，B＝{1，m}，且 A∩B＝B，∴m ＝3 或 m＝ m，但 m≠1，解得 m＝0 或 m＝3.当 m＝0 时，A＝ {0,1,3}，B＝{1,0}，满足 A∩B＝B；当 m＝3 时，A＝{1,3， 3}， B＝{1,3}，满足 A∩B＝B.综上，m＝0 或 3.故选 B.

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课堂过关第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～2页)了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．① 学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系. ② 学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化. ③ 集合含义中掌握集合的三要素.④ 不要求证明集合相等关系和包含关系．1. (必修1P 7第1题改编)集合{x ∈N |x<5}可以用列举法表示为________．答案：{0，1，2，3，4}解析：∵ x<5且x ∈N ，∴ x ＝0，1，2，3，4，特别注意0∈N .2. (必修1P 7第4题改编)已知集合A ＝{(x ，y)|－1≤x ≤1，0≤y<2，x 、y ∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________．答案：{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析：用集合A 表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ∈Z ，0≤y<2，y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A 为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．3. (必修1P 17第6题改编)已知集合A ＝[1，4)，B ＝(－∞，a)，A ⊆ B ，则a ∈________．答案：[4，＋∞)解析：在数轴上画出A 、B 集合，根据图象可知．4. (必修1P 7第4题改编)由x 2，x 组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则实数x 的取值不可以是________．答案：0和1解析：由x 2＝x 可解得．5. (必修1P 17第8题改编)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A}，则B 中所含元素的个数为________个．答案：10解析：x ＝5，y ＝1，2，3，4，x ＝4，y ＝1，2，3，x ＝3，y ＝1，2，x ＝2，y ＝1，共10个．1. 集合的含义及其表示(1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、V enn 图法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N ；正整数集记作N 或N ＋；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R ；复数集记作C ．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系． (2) 集合与集合之间的关系① 包含关系：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ⊆ B 或B ⊇ A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”．② 真包含关系：如果A ⊆B ，并且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，读作“集合A 真包含于集合B ”或“集合B 真包含集合A ”．③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素，则称这两个集合相等．(3) 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n －1个，非空真子集有2n －2个.题型1 集合的基本概念例1 已知集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1) 若A 是空集，求a 的取值范围；(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来； (3) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解： (1) 若A 是空集，则Δ＝9－8a ＜0，解得a ＞98.(2) 若A 中只有一个元素，则Δ＝9－8a ＝0或a ＝0，解得a ＝98或a ＝0；当a ＝98时，这个元素是43；当a ＝0时，这个元素是23.(3) 由(1)(2)知，当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是a ≥98或a ＝0.变式训练下列三个集合：① {x|y ＝x 2＋1}；② {y|y ＝x 2＋1}；③ {(x ，y)|y ＝x 2＋1}． (1) 它们是不是相同的集合？ (2) 它们的各自含义是什么？解：(1) 它们是不相同的集合．(2) 集合①是函数y ＝x 2＋1的自变量x 所允许的值组成的集合．因为x 可以取任意实数，所以{x|y ＝x 2＋1}＝R .集合②是函数y ＝x 2＋1的所有函数值y 组成的集合．由二次函数图象知y ≥1，所以{y|y ＝x 2＋1}＝{y|y ≥1}．集合③是函数y ＝x 2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．备选变式（教师专享）已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．解：∵ －3∈A ，∴ －3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.题型2 集合间的基本关系例2 若集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆ A ，求由m 的可取值组成的集合．解：当m ＋1>2m －1，即m<2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅ ，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴ 2≤m ≤3.故m<2或2≤m ≤3，即所求集合为{m|m ≤3}．变式训练已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，集合B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 014＋b 2 015的值．解：由于a ≠0，由ba＝0，得b ＝0，则A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}．由A ＝B ，可得a 2＝1.又a 2≠a ，则a ≠1，则a ＝－1.所以a 2 014＋b 2 015＝1.备选变式（教师专享）若集合P ＝{x|x 2＋x －6＝0}，S ＝{x|ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合．解：P ＝{－3，2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求a 的取值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.题型3 根据集合的关系求参数的取值范围例3 (2015·南通期末)已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x ≤2.若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时，显然B ⊆A ；当a<0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧4a ≤－12，－1a>2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－8，a>－12， ∴ －12<a<0；当a>0时，如图，若B ⊆A ，则⎩⎨⎧－1a ≤－12，4a≥2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤2，∴ 0<a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.备选变式（教师专享）已知A ＝{－1，1}，B ＝{x|x 2－ax ＋b ＝0}．若B ⊆A ，求实数a ，b 的值．解：∵ B ⊆A ＝{－1，1}，∴ B ＝∅或B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1，1}．若B ＝∅，则方程x 2－ax ＋b ＝0无实数根，即Δ＝(－a)2－4×1×b<0，此时a 2<4b.若B ＝{－1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根－1，即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且(－1)2－a ×(－1)＋b ＝0，此时a ＝－2，b ＝1.若B ＝{1}时，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根1，即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且12－a ×1＋b ＝0，若B ＝{－1，1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根－1，1，即(－1)2－a ×(－1)＋b ＝0，12－a ×1＋b ＝0，此时a ＝0，b ＝－1.综上所述，当a 2<4b 时，不论a ，b 取何值，A ⊆B ；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1时，B ⊆A. 1. (2015·南京、盐城一模)设集合M ＝{2，0，x}，集合N ＝{0，1}，若N ⊆M ，则实数x 的值为________．答案：1解析：由N ⊆M 知1∈M ，则x ＝1. 2. (2015·南师附中模拟)若A ＝{a}，B ＝{0，a 2}，A ⊆B ，则A ＝________．答案：{1}解析：若a ＝0，则a 2＝0，B 中元素不满足互异性；若a ＝a 2，则a ＝0(舍)或a ＝1(满足互异性)．3. 若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.4. 已知集合M ⊆{2，3，5}，且M 中至少有一个奇数，则这样的集合共有________个．答案：6解析：当M 中奇数只有3时：{3}，{2，3}；当M 中奇数只有5时：{5}，{2，5}；当M 中奇数有3，5时：{3，5}，{2，3，5}，∴ 共有6个这样的集合．5. (2015·昌平期中)若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，求b －a 的值．解：由{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b 可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应法则：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴ b －a ＝2.1. (2015·浙江)已知集合A{x|x 2－x －2<0}，B ＝{x|－1<x<1}，则A 与B 的关系是________．答案：B A解析：A ＝{x|－1<x<2}，∴ B 真属于A. 2. (2015·佛山期中)若集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，2}，则集合{z ︱z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为________．答案： 3解析：容易看出x ＋y 只能取－1、1、3这三个数值．故共有3个元素.3. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A ，3∉ A ，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫13，12∪(2，3]解析：因为2∈A ，所以2a －12－a＜0，即(2a －1)(a －2)＞0，解得a ＞2或a ＜12.①若3∈A ，则3a －13－a＜0，即(3a －1)(a －3)＞0，解得a ＞3或a ＜13，所以3∉A 时，13≤a ≤3.②由①②可知，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，12∪(2，3]．4. 若集合A 中有且仅有三个数1、0、a ，若a 2∈A ，求a 的值．解：若a 2＝0，则a ＝0，不符合集合中元素的互异性，∴ a 2≠0. 若a 2＝1，则a ＝±1，∵ 由元素的互异性知a ≠1，∴ a ＝－1时适合．若a 2＝a ，则a ＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知a ＝－1.1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅ 和A ≠∅两种可能的情况．3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、V enn 图帮助分析．请使用课时训练(A )第1课时(见活页)．第2课时集合的基本运算(对应学生用书(文)、(理)3～4页)理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用韦恩图表示集合的关系及运算．①在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面.②会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.③会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示．1. (必修1P13第3题改编)已知集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝________．答案：(－2，1]解析：本题考查集合概念及基本运算．2. (必修1P13习题2题改编)已知集合A＝{x|x2－16＝0}，B＝{x|x2－x－12＝0}，则A∪B ＝________．答案：{－4，－3，4}解析：∵ A＝{－4，4}，B＝{－3，4}，∴A∪B＝{－4，－3，4}．3. (必修1P14习题10改编)已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝[3，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为________．答案：{1，2}解析：由题意，阴影部分表示A∩(∁U B)．因为∁U B＝{x|x<3}，所以A∩(∁U B)＝{1，2}．4. (必修1P13习题2题改编)设集合I＝{x||x|<3，x∈Z}，A＝{1，2}，B＝{－2，－1，2}，则A∪(∁I B)＝________．答案：{0，1，2}解析：I＝{－2，－1，0，1，2}，∁I B＝{0，1}，∴A∪(∁I B)＝{0，1，2}．5. (必修1P10习题4题改编)设集合A、B都是全集U＝{1，2，3，4}的子集，已知(∁U A)∩(∁U B)＝{2}，(∁U A)∩B＝{1}，A∩B＝，则A＝________．答案：{3，4}解析：画出韦恩图，知A＝{3，4}．1. 集合的运算(1) 交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2) 并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．作一个全集，通常用U 来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集．(4) 补集：集合A 是集合S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做A 的补集(或余集)，记作∁S A ，即∁S A ＝{x|x ∈S ，但x ∉ A}．2. 常用运算性质及一些重要结论(1) A ∩A ＝A ，A ∩∅ ＝∅，A ∩B ＝B ∩A ； (2) A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A ； (3) A ∩(∁U A)＝∅，A ∪(∁U A)＝U ；(4) A ∩B ＝A ⇔ A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ；(5) ∁U (A ∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U (A ∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)． [备课札记]题型1 集合的运算例1 全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{x|x 2－5x ＋m ＝0}，B ＝{x|x 2＋nx ＋12＝0}，且(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，则m ＋n 的值为________．答案：－1解析：∵ U ＝{1，2，3，4，5}，(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，∴ 2∈A.又A ＝{x|x 2－5x ＋m ＝0}，∴ 2是关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，得m ＝6且A ＝{2，3}，∴ ∁U A ＝{1，4，5}．而(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，∴ 3∈B.又B ＝{x|x 2＋nx ＋12＝0}，∴ 3一定是方程x 2＋nx ＋12＝0的一个根，∴ n ＝－7且B ＝{3，4}，∴ m ＋n ＝－1.变式训练设集合A ＝{x 2，2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x ，9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B. 解：由9∈A ，可得x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或x ＝5.当x ＝3时，A ＝{9，5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，B 中元素重复，故舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4，9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－8，－7，－4，4，9}；当x ＝5时，A ＝{25，9，－4}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4，9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，A ∪B ＝{－8，－7，－4，4，9}．题型2 根据集合的运算求参数的取值范围例2 设A ＝{x|a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x|x<－1或x>5}，当a 为何值时， (1) A ∩B ≠∅ ； (2) A ∩B ＝A ； (3) A ∪(∁R B)＝∁R B.解：(1) A ∩B ≠∅，∵ 集合A 的区间长度为3， ∴ 由图可得a<－1或a ＋3>5，解得a<－1或a>2， ∴ 当a<－1或a>2时，A ∩B ≠∅．(2) ∵ A ∩B ＝A ，∴ A ⊆ B.由图得a ＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5时，A ∩B ＝A.(3) 由补集的定义知∁R B ＝{x|－1≤x ≤5}， ∵ A ∪(∁R B)＝∁R B ，∴ A ⊆∁R B.由图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2.变式训练已知A ＝{x|ax －1>0}，B ＝{x|x 2－3x ＋2>0}． (1) 若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围； (2) 若A ∩∁R B ≠∅，求实数a 的取值范围．解：(1) 由于A ∩B ＝A 得A ⊆B ，由题意知B ＝{x|x>2或x<1}．若a>0，则x>1a≥2，得0＜a ≤12；若a ＝0，则A ＝∅，成立；若a ＜0，则x ＜1a ＜1，根据数轴可知均成立．综上所述，a ≤12.(2) ∁R B ＝{x|1≤x ≤2}，若a ＝0，则A ＝∅，不成立；若a ＜0，则x ＜1a＜1，不成立；若a ＞0，则x ＞1a ，由1a ＜2得a ＞12.综上所述，a ＞12.备选变式（教师专享）已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|0≤ax ＋1≤3}．若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值组成的集合．解：∵ A ∪B ＝B ，∴ A ∅B ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ＋1≤3，0≤2a ＋1≤3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，－12≤a ≤1.∴ －12≤a ≤1.∴ 实数a 的取值组成的集合为⎣⎡⎦⎤－12，1. 题型3 集合的综合应用例3 设U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若(∁U A)∩B ＝，求m 的值．解：A ＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B ＝∅，得B ⊆A ，当m ＝1时，B ＝{－1}，符合B ⊆A ；当m ≠1时，B ＝{－1，－m}，而B ⊆A ， ∴ －m ＝－2，即m ＝2. ∴ m ＝1或2.备选变式（教师专享）50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数有___________人．答案：25解析：全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x 人；仅跳远及格的人数为40－x 人；仅铅球及格的人数为31－x 人；两项测验成绩都不及格的人数为4人 .∴ 40－x ＋31－x ＋x ＋4＝50，∴ x ＝25.题型4 集合运算有关的新定义问题例4 定义集合A 、B 的运算A*B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B ，但x A ∩B}，设A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，5，6，7}，则(A*B)*A ＝________．答案：{1，2，5，6，7}解析：A *B ＝{3，4，5，6，7}，∴ (A *B)A ＝{1，2，5，6，7}．备选变式（教师专享）(必修1P 14习题13改编)对任意两个集合M 、N ，定义：M －N ＝{x|x ∈M 且x ∉ N}，M*N ＝(M －N)∪(N －M)，设M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y|y ＝3sinx ，x ∈R }，则M*N ＝________．答案：{y|y>3或－3≤y<0}解析：∵ M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }＝{y|y ≥0}，N ＝{y|y ＝3sinx ，x ∈R }＝{y|－3≤y ≤3}，∴M －N ＝{y|y>3}，N －M ＝{y|－3≤y<0}，∴ M*N ＝(M －N)∪(N －M)＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0}＝{y|y>3或－3≤y<0}．1. (2015·安徽)已知集合A ＝{0，2，4，6}，∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∁U B ＝{－1，0，2}，则集合B ＝________．答案：{1，4，6，－3，3}解析：∵ ∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∴ U ＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}．又∁U B ＝{－1，0，2}，∴ B ＝{1，4，6，－3，3}．2. (2015·泰州调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x|x<－1或2≤x<3}，B ＝{x|－2≤x<4}，则(∁U A)∪B ＝________．答案：{x|x ≥－2}解析：由图1数轴得∁U A ＝{x|－1≤x<2或x ≥3}，再由图2数轴得(∁U A)∪B ＝{x|x ≥－2}．图1图23. (2015·射阳中学期末)已知函数f(x)＝x ＋1，g(x)＝x 2，集合D ＝[－1，a](a>－1)，集合A ＝{y|y ＝f(x)，x ∈D}与集合B ＝{y|y ＝g(x)，x ∈D}相等，则实数a 的值等于________．答案：0或1＋52解析：一次函数f(x)＝x ＋1，x ∈[－1，a](a>－1)是单调递增函数，∴ A ＝[0，a ＋1]．而B 集合是指定了定义域的二次函数的值域，分如下三类情况讨论：① 若a ∈(－1，0)，则g(x)单调递减，B ＝[a 2，1]，不可能与集合A 相等；② 若a ∈[0，1]，则B ＝[0，1]，要与A 相等，须a ＋1＝1，∴ a ＝0；③ 若a ∈(1，＋∞)，则B ＝[0，a 2]，要与A 相等，须a ＋1＝a 2，∴ a＝1±52，但1－52＜1，舍去．综上得a ＝0或1＋52.4. (2015·淮阴中学期末)已知集合A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m ＝________．答案：0或3 解析：因为A ∪B ＝A ，所以B A ，所以m ＝3或m ＝m.若m ＝3，则A ＝{1，3，3}，B ＝{1，3}，满足A ∪B ＝A.若m ＝m ，解得m ＝0或m ＝1.若m ＝0，则A ＝{1，3，0}，B ＝{1，0}，满足A ∪B ＝A.若m ＝1，A ＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，显然不成立．综上m ＝0或m ＝3.5. (2015·宿迁中学期中)设集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1) 若A ∩B ＝{2}，则实数a 的值为________；(2) 若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为________．答案：(1)－1或－3 (2)a ≤－3解析：(1) ∵ A ＝{1，2}，A ∩B ＝{2}，∴ 2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{x|x 2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x|x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件．综上，a 的值为－1或－3.(2) 对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝4(2a ＋6)， ∵ A ∪B ＝A ，∴ B ⊆A.① 当Δ<0，即a<－3时，B ＝∅ ，满足条件； ② 当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件； ② 当Δ>0，即a>－3时，B ＝A ＝{1，2}．由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2（a ＋1），1×2＝a 2－5⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－ 3.1. 已知A 、B 均为集合U ＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B)∩A ＝{1}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2，4}，则B ∩(∁U A)＝________．答案：{5，6}解析：依题意及韦恩图可得，B ∩(∁U A)＝{5，6}．2. (2015·山东)已知集合A ＝{x||x －1|<2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －b x ＋2<0.若A ∩B ≠∅ ，则实数b 的取值范围是________．答案：(－1，＋∞)解析：A ＝{x|－1<x<3}，B ＝{x|(x －b)(x ＋2)<0}．因为A ∩B ≠∅，所以b>－1. 3. (2015·无锡期中)已知A ＝{x||x －a|<4}，B ＝{x||x －2|>3}． (1) 若a ＝1，求A ∩B ；(2) 若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，A ＝{x|－3<x<5}，B ＝{x|x<－1或x>5}． ∴ A ∩B ＝{x|－3<x<－1}．(2) ∵ A ＝{x|a －4<x<a ＋4}，B ＝{x|x<－1或x>5}，且A ∪B ＝R ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1，a ＋4>51<a<3. ∴ 实数a 的取值范围是(1，3)．4. 某校高一年级举行语、数、英三科竞赛，高一(2)班共有32名同学参加三科竞赛，有16人参加语文竞赛，有10人参加数学竞费，有16人参加英语竞赛，同时参加语文和数学竞赛的有3人，同时参加语文和英语竞赛的有3人，没有人同时参加全部三科竞赛，问：同时参加数学和英语竞赛的有多少人？只参加语文一科竞赛的有多少人？解：设所有参加语文竞赛的同学组成的集合用A 表示，所有参加数学竞赛的同学组成的集合用B 表示，所有参加英语竞赛的同学组成的集合用C 表示，设只参加语文竞赛的有x 人，只参加数学竞赛的有y 人，只参加英语竞赛的有z 人，同时参加数学和英语竞赛的有m 人．根据题意，可作出如图所示Venn 图，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＋3＋y ＋m ＋z ＝32，x ＋3＋3＝16，y ＋m ＋3＝10，z ＋m ＋3＝16，解得x ＝10，y ＝3，z ＝9，m ＝4.答：同时参加数学和英语竞赛的有4人，只参加语文一科竞赛的有10人．1. 集合的运算结果仍然是集合．进行集合运算时应当注意：(1) 勿忘对空集情形的讨论；(2) 勿忘集合中元素的互异性；(3) 对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；(4) 已知两集合间的关系求参数或参数范围问题时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．还要注意“回代检验”，从而对所求数值进行合理取舍．2. 在集合运算过程中应力求做到“三化”(1) 意义化：首先明确集合的元素的意义，它是怎样的类型的对象(数集、点集，图形等)？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(对应学生用书(文)、(理)5～6页)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义．①会分析四种命题的相互关系.②会判断必要条件、充分条件与充要条件.③能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不做要求).④能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1. (课本习题改编)命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是________.答案：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5解析：将原命题的条件和结论互换，可得逆命题．2. (课本习题改编)命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．答案：2解析：当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形为真，故逆否命题为真，逆命题：△ABC 为等腰三角形，则AB＝AC为假，故否命题为假．3. (课本习题改编)已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的________条件.答案：必要而不充分解析：由a－c>b－d变形为a－b>c－d，因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，所以a－c>b－d a>b.而a>b并不能推出a－c>b－d，所以a>b是a－c>b－d的必要而不充分条件．4. (课本习题改编)若命题p：2是偶数；命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是________．(填序号)①“p∨q”为假；②“p∨q”为真；③“p∧q”为真.答案：②解析：命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．5. (课本习题改编)命题p：∀x>1，log2x>0，则⌝p是________．答案：x>1，log2x≤0解析：全称命题的否定是存在性命题．1. 四种命题及其关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充要条件，记作p⇒q.(3) 如果p⇒q，q⇒/p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q⇒p，p⇒/q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(3) 一个命题p的否定记作⌝p，读作“非p”或“p的否定”．(4) 命题p∧q，p∨q，⌝p的真假判断p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“x”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．5. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x) ∃x∈M，⌝p(x)∃x∈M，p(x) ∀x∈M，⌝p(x)题型1四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1) 如果两圆外切，那么两圆的圆心距等于两圆半径之和；(2) 奇数不能被2整除．解：(1) 逆命题：如果两圆的圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．(2) 逆命题：不能被2整除的数是奇数，假；否命题：不是奇数的数能被2整除，假；逆否命题：能被2整除的数不是奇数，真．变式训练判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则判断a≥1”的逆否命题的真假.解：原命题：已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．备选变式（教师专享）设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假．解：逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．题型2充分条件和必要条件例2 证明：“方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1”的充要条件是“a＋b＋c＝0”．证明：充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴ax2＋bx＋c＝ax2＋bx－a－b＝0，∴a(x－1)(x＋1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)[a(x＋1)＋b]＝0，∴x＝1或a(x＋1)＋b＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a＋b＋c＝0.综上，命题得证．备选变式1（教师专享）不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．解：令f(x)＝x 2－2mx －1.要使x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，只需f(x)＝x 2－2mx －1在[1，3]上的最小值大于0即可．当m ≤1时，f(x)在[1，3]上是增函数， f(x)min ＝f(1)＝－2m>0，解得m<0，又m ≤1，∴ m<0；当m ≥3时，f(x)在[1，3]上是减函数，f(x)min ＝f(3)＝8－6m>0，解得m<43，又m ≥3，∴ 此时不成立；当1<m<3时，f(x)min ＝f(m)＝－m 2－1＝－(m 2＋1)>0不成立．综上所述，m 的取值范围为m<0. 备选变式2（教师专享）下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1) p ：x ＝1；q ：x －1＝x －1.(2) p ：－1≤x ≤5；q ：x ≥－1且x ≤5.(3) p ：三角形是等边三角形；q ：三角形是等腰三角形．解：(1) 充分不必要条件．当x ＝1时，x －1＝x －1成立；当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2.(2) 充要条件．－1≤x ≤5x ≥－1且x ≤5.(3) 充分不必要条件．等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．题型3 逻辑联结词例3 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．解：设g(x)＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，∴ 函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴ －2<a<2.∵ 函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数， ∴ 3－2a>1， ∴ a<1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a<2，a ≥1，∴ 1≤a<2；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a<1，∴ a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a<2，或a ≤－2. 备选变式1（教师专享）已知p ：⎝⎛⎭⎫x －432≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)，若“⌝ p ⇒ ⌝q ”为假命题，“⌝q ⇒⌝p ”为真命题，求m 的取值范围．解：设p ，q 分别对应集合P ，Q ，则P ＝{x|－2≤x ≤10}，Q ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}，由⌝q ⇒⌝p 为真，⌝p ⇒⌝q 为假，得P ⊆ Q ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m>10，m>0或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m ≥10，m>0，解得m ≥9. 备选变式2（教师专享）已知命题p ：|x 2－x|≥6，q ：x ∈Z ，若“p ∧q ”与“⌝q ”都是假命题，求x 的值．解：非q 假．∴ q 真．又p 且q 假，∴ p 假．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－x|<6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－6<x 2－x<6，x ∈Z ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<3，x ∈Z ， ∴ x ＝－1、0、1、2.题型4 全称命题与存在命题例4 已知命题p ：“x ∈R ，m ∈R 使4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题⌝p 是假命题，则实数m 的取值范围为________．答案：m ≤1解析：命题⌝p 是假命题，即命题p 是真命题，也就是关于x 的方程4x －2x ＋1＋m ＝0有实数解，即m ＝－(4x －2x ＋1)，令f(x)＝－(4x －2x ＋1)，由于f(x)＝－(2x －1)2＋1，所以当x ∈R 时f(x)≤1，因此实数m 的取值范围是m ≤1.备选变式1（教师专享）写出下列命题的否定．(1) 所有自然数的平方是正数；(2) 任何实数x 都是方程5x －12＝0的根； (3) 对任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y>0； (4) 有些质数是奇数．解：(1) 有些自然数的平方不是正数． (2) 存在实数x 不是方程5x －12＝0的根． (3) 存在实数x ，对所有实数y ，有x ＋y ≤0. (4) 所有的质数都不是奇数．备选变式2（教师专享）若命题“∃ x ∈R ，有x 2－mx －m<0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．答案：－4≤m ≤0解析：“∃x ∈R ，有x 2－mx －m<0”是假命题，则“∀ x ∈R 有x 2－mx －m ≥0”是真命题，即Δ＝m 2＋4m ≤0，∴ －4≤m ≤0.1. (2015·徐州期中)命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”及其逆否命题的真假情况是________．答案：真解析：因为原命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a 、b 都小于1，则a ＋b<2”，显然为真，所以原命题为真．2. (2015·盐城三模)若函数f(x)＝2x －(k 2－3)·2－x ，则k ＝2是函数f(x)为奇函数的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：由k ＝2，得f(x)＝2x －2－x ，f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；反之，f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，得k 2＝4，则k ＝±2，而不是k ＝2.故k ＝2是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件．3. (2015·南京三模)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a)的定义域为集合B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，－3]解析：由A ＝(－3，2)，B ＝(a ，＋∞)，AB ，则a ∈(－∞，－3]．4. (2015·芜湖调研)命题p ：ax ＋b>0的解集为x>－ba；命题q ：(x －a)(x －b)<0的解为a<x<b.则p ∧q 是________(填“真”或“假”)命题．答案：假解析：命题p 与q 都是假命题．5. (2015·山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案：1解析：若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则m 大于或等于函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值．因为函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，所以函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即实数m 的最小值为1.1. (2015·南通二调)命题“x ∈R ，2x ＞0”的否定是“________”．答案： ∀x ∈R ，2x ≤0解析：含有量词的命题否定要将存在换成任意，p 改成非p. 2. (2015·象山中学调研)“b ＝c ＝0”是“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点”的________条件．答案：充分不必要解析：若b ＝c ＝0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2经过原点；若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点，则c ＝0.3. 已知命题p ：x 2－5x ＋6≥0；命题q ：0<x<4.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．解：由x 2－5x ＋6≥0得x ≥3或x ≤2. ∵ 命题q 为假， ∴ x ≤0或x ≥4.则{x|x ≥3或x ≤2}∩{x|x ≤0或x ≥4}＝{x|x ≤0或x ≥4}． ∴ 满足条件的实数x 的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)． 4. (2015·无锡期中)已知命题“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，那么下列说法：① M 的元素都不是P 的元素； ② M 中有不属于P 的元素； ③ M 中有P 的元素；④ M 中元素不都是P 的元素．其中正确的个数为________个．答案：2解析：结合韦恩图可知②④正确．1. 在判断四个命题间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性与等价性，判断四种命题真假的关键是熟悉四种命题的概念与互为逆否命题是等价的，即“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”，而互逆命题、互否命题是不等价的，当一个命题直接判断不易进行时，通常可转化为判断其等价命题的真假；而判断一个命题为假命题只需举出反例即可．2. 充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2) 集合法：根据p、q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．3. 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2) 要注意区间端点值的检验．4. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1) p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；(2) p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；(3) 綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．5. 要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．请使用课时训练(A)第3课时(见活页)．[备课札记]。

高三数学第一轮基础知识复习资料

高三数学一轮基础知识复习第一部分集合1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2；（2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分函数与导数12⑤换元法法3（1① 若f(x)解出 ② 若（2)； ③根据“45⑵)(x f 是奇函数f(－x)=－f(x)；是偶函数f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <；②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >；⑵单调性的判定定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）③复合函数法；④图像法。

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

高三数学第一轮复习高三数学第一轮复习(9篇)

高三数学第一轮复习高三数学第一轮复习（9篇）复习应结合自己的实际，基本知识是学习的基础，复习阶段就不能只满足会背诵会证明，复习过程中特别注意对重点知识的掌握与解题方法的锻炼。

那么怎么规划好复习计划呢？以下是编辑给大家整编的9篇高三数学一轮复习，欢迎阅读，希望对大家有所帮助。

高三数学一轮复习计划篇一一。

背景分析近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。

考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。

更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。

数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。

在前二年命题工作的基础上做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现出湖南卷的特色：1 试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查2 充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性3 重视对数学思想方法的考查4 深化能力立意，考查考生的学习潜能5 重视基础，以教材为本6 重视应用题设计，考查考生数学应用意识二、教学计划与要求新课已授完，高三将进入全面复习阶段，全年复习分两轮进行。

一轮为系统复习(一学期)，此轮要求突出知识结构，扎实打好基础知识，全面落实考点，要做到每个知识点，方法点，能力点无一遗漏。

在此基础上，注意各部分知识点在各自发展过程中的纵向联系，以及各个部分之间的横向联系，理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。

在教学中重点抓好各中通性、通法以及常规方法的复习，是学生形成一些较基本的数学意识，掌握一些较基本的数学方法。

同时有意识进行一定的综合训练，先小综合再大综合，逐步提高学生解题能力。

高三数学第一轮复习讲义

高三数学第一轮复习讲义一、函数与方程1. 函数的定义与性质函数是数学中非常重要的概念之一。

在高中数学中，我们常常遇到各种各样的函数问题，理解函数的定义与性质对于解决这些问题至关重要。

1.1 函数的定义函数是一个集合与集合之间的映射关系，它可以将一个自变量的值映射到一个唯一的因变量的值上。

通常表示为：f(x)，其中f表示函数名，x表示自变量，f(x)表示函数的值。

1.2 函数的性质•定义域：函数的自变量所能取到的值的集合。

•值域：函数的因变量所能取到的值的集合。

•单调性：函数在整个定义域内的增减关系。

•奇偶性：函数的对称性质。

2. 一元二次方程一元二次方程是高中数学中常见的一种方程类型，它的一般形式为ax2+bx+c=0。

解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。

2.1 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过解两个一次方程来求解原方程。

例如：x2−5x+6=0可以分解为(x−2)(x−3)=0，解方程得x=2或x=3。

2.2 配方法当一元二次方程的一次项系数为 2 或 -2 时，可以采用配方法来求解方程。

例如：2x2−7x−3=0。

我们可以通过将2x2−7x−3=0看作(ax+b)x+ c=0的形式，其中a、b、c分别表示方程的系数。

然后，我们将x的系数−7分解为两个数，使得这两个数相乘等于ac，即2∗(−3)=−6，并且这两个数的和等于b，即−7。

在这个例子中，可以写成−3和2。

然后将方程改写为(2x−3)(x+ 1)=0，解得 $x=\\frac{3}{2}$ 或x=−1。

2.3 求根公式当一元二次方程无法通过因式分解或配方法来求解时，我们可以使用求根公式来求解方程。

一元二次方程的求根公式为：$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

通过代入方程的系数a、b、c到公式中，就可以得到方程的解。

3. 三角函数三角函数是解决与角相关问题的数学工具，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。

高三数学复习资料(5篇)

高三数学复习资料(5篇)比方你写的C(4，1)就是指在4个里面选1个。

没有挨次(1个原来就没有挨次，但2个以上也同样不用考虑挨次问题。

) 你写的A(5，3)就是在5个里面选3个，但这3个不同的挨次算作不同的状况。

现举例说明A(5，3)和C(5，3)的区分。

如：12345这5个数，选其中的三个数，共有C(5，3)=10种选法。

列举为(123)、(124)、(125)、(134)、(135)、(145)、(234)、(235)、(245)、(345)共10种。

同样这5个数，假如组成没有复数字的三位数，就是A(5，3)=60种。

123、132、213、231、312、321也就是原来的一种组合如今变成了6种状况了。

公式更简洁。

C(4，1)=4/1=4C(5，3)=(5*4*3)/(3*2*1)C(7，2)=(7*6)/(2*1)也就是分子是下标依次递减相乘，乘的个数正好是上标的个数。

分母就是上标的阶乘。

A(5，3)=5*4*3A(8，6)=8*7*6*5*4*3A(4，2)=4*3也就是只有组合时分子的状况，没有分母。

高三数学复习资料2函数思想是指运用运动改变的观点，分析和讨论数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。

利用转化思想我们还可进行函数与方程间的互相转化。

数形结合思想中学数学讨论的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。

它既是查找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此我们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。

特别与一般的思想用这种思想解选择题有时特殊有效，这是由于一个命题在普遍意义上成立时，在其特别状况下也必定成立，依据这一点，我们可以直接确定选择题中的正确选项。

高三数学一轮复习必备精品集合

2009~2010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料第1讲集合一．【课标要求】1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。

考试形式多以一道选择题为主，分值5分。

预测2010年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。

具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用三．【要点精讲】1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Ab∉；记作A（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

高三数学第一轮复习_知识点

高中数学一轮复习知识点第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集；如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：①Z = {整数}（√）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （注：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }：坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}：二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } ：一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅） 4. ①n 个元素的子集有2n个. ②n 个元素的真子集有2n－1个. ③n 个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律（1）包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2）等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3）集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )6. 有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+(3) card ( U A )= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx（自右向左正负相间）则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a xa x a n n n n的解可以根据各区间的符号确定.特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a>0)解的讨论. 0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

高三数学第一轮复习――立体几何

棱柱的侧面积和体积。
解析：在侧面AB’内作BD⊥AA’于D 连结CD ∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=450 ∴ △DAB≌△DAC ∴ ∠CDA=∠BDA=900，BD=CD ∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’ ∴ △DBC是斜三棱柱的直截面在Rt△ADB中，BD=AB·sin450= ∴ △DBC的周长=BD+CD+BC=(+1)a，△DBC的面积= ∴ S侧=b(BD+DC+BC)=(+1)ab ∴ V=·AA’= 评注：求斜棱柱的侧面积有两种方法，一是判断各侧面的形状，求各侧面的面积之和，二是求直截面的周长与侧棱的乘积，求体积时同样可以利用直截面，即V=直截面面积×侧棱长。例6、在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积VP-ABC。解析：取PC和AB的中点M和N ∴ 在△AMB中，AM2=BM2=172-82=25×9 ∴ AM=BM=15cm，MN2=152-92=24×6 ∴ S△AMB=×AB×MN=×18×12=108(cm2) ∴ VP-ABC=×16×108=576(cm3)
∴ cos∠DBF= ∴ 异面直线BD与AC成角arccos （3）∵ BA⊥平面ADE ∴ 平面DAE⊥平面ABC 故取AE中点M，则有DM⊥平面ABC；取BC中点N，由MN⊥BC，根据三垂线定理，DN⊥BC ∴ DN是D到BC的距离在△DMN中，DM=a，MN=a ∴ DN=a （4）∵ BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF ∴ AC∥平面BDF 又BD平面BDF ∴ AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离 ∵ ， ∴ 由，即异面直线BD与AC的距离为评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法。

高三数学全程复习(一轮).doc

高三数学全程复习（一轮）课时08 函数的值域【考点指津】1．理解函数值域的概念，掌握求函数值域的各种方法．函数的值域就是函数值的集合，它取决于函数的定义域和对应法则．求函数值域的基本方法有：数形结合法、反函数法、配方法、判别式法等，应弄清各方法所适用的函数类型．2．掌握常见函数的最值的求法．函数的最值就是函数的最大值或最小值．若函数的最大值与最小值分别为M 与m ，则函数的值域为[m ，M ]或它的真子集．解决函数最大（小）值问题的依据有：函数的性质、不等式的性质、函数与几何图象的性质．求函数的最值方法包括单调性法、基本不等式法、换元法、配方法、图象法等．【知识在线】 1．函数844)(2++-=x x x f 的值域为．2．已知函数y = log 2(x 2-2)的值域是[1，log 214]，则此函数的单调减区间为． 3．函数]4,6[),sin 1(log )sin 1(log 22ππ-∈-++=x x x y 的值域为（） A ．[-1，0] B ．（-1，0） C ．[-1，0] D ．[0，1]4．已知集合A =｛y ︱y =2x ， x ∈R ｝ B =｛y ︱y =x 2 ，x ∈R ｝则（）A ． A ∩B =｛2 ，4｝ B ． A ∩B =｛4 ，16｝C ． A =BD ．A ⊆B 5．定义域为R 的函数y = f (x )的值域为[a ，b ]，则f (x +a )的值域为（） A ．[2a ，a +b ] B ．[0，b -a ] C ．[a ，b ] D ．[-a ，a +b ] 【讲练平台】例1 求下列函数的值域：（1）3212)(22-+--=x x x x x f ；（2）12+-=x x xy ；（3）x x y --=1．分析（1）先对表达式进行化简，后利用反函数法或观察法求值域；（2）将其转化为含有参数y 的关于x 的方程，利用“判别式”法求解；（3）先换元，得到新变量的一元二次函数，再求其值域，或利用函数的单调性求值域．解（1） 312)3)(1()12)(1()(++=+-+-=x x x x x x x f （x ≠1）．解法一（反函数法）由函数y =312++x x ，得y y x --=213．解不等式y y --213≠1，且yy --213≠ -3，得y ≠34，且y ≠2．故函数的值域为{y |y ∈R ，且y ≠34，y ≠2}解法二（观察法） y =312++x x 352+-=x ．由于x ≠1，且x ≠ -3，故x +3≠4，且x +3≠0，从而，y ≠34，且y ≠2．故函数的值域为{y |y ∈R ，且y ≠34，y ≠2}（2）由12+-=x x x y ，得yx 2-(y +1)x +y =0，这是一个关于x 的方程．当y =0时，解得x =0，方程有解；当y ≠0时，为使关于x 的二次方程有解，必须△= (y +1)2- 4y 2≥0，解得31-≤y ≤1（y ≠0）．综合得，函数的值域是[31-，1]．（3）解法一令t =x -1，得 x =1-t 2，于是y = g (t )=1-t 2-t （t ≥0）．配方，得 y = g (t ) = - (t +21)2+45，它在),0[+∞为减函数，故最大值为g (0)=1，于是，所求函数的值域是（-∞，1 ]．解法二易知函数的定义域为（-∞，1 ]，而且该函数在定义域内为减函数，故最大值为f (1) = 1，从而所求函数的值域为（-∞，1 ）．点评（1）求函数值域有很多方法，每种方法又各有其适用类型，要根据函数式的特征准确选用相应的方法：上述各小题的解法分别使用了反函数法（反函数的定义域就是原函数的值域）、观察法（形如b ax d cx y ++=(a ≠0)的函数的值域为{y |y ∈R ，且y ≠ac}）、判别式法及换元法与单调性法；（2）在用判别式法求值域时，如果得到的关于x 的方程的二次项系数中含有字母y ，则应分情况讨论．例如，求函数112+-=x x y 的值域，变形得到方程yx 2-yx +(y -1)=0，易见，当y =0时，方程无解；当y ≠0时，由△≥0，解得 0≤y ≤34（y ≠0）．故值域为,0(34]，而不是[0，34]；（3）利用换元法解题时，必须注意变量的等价性，如题（3）中新变量t 的取值范围为t ≥0，若忽视了这一点，可能导致错误的答案为y ≤45；（4）函数（2）亦可用不等式法求值域．当x = 0时，y = 0；当x ≠0时， y =111-+xx ，因11-+x x ≥1，或11-+x x ≤-3，故31-≤y ≤1（y ≠0）．于是，函数的值域为[31-，1] ．变题已知函数y = 1822+++x b x ax 的值域为[1，9]，试求函数y =b x ax ++82的值域．提示：将y = 1822+++x b x ax 变形为(y – a )x 2–8x + y – b =0，利用“△≥0”可得y 2 – (a +b )y +ab -16≤0．它与不等式(y -1)(y -9) ≤0，即y 2-10y +9≤0等价，比较系数得a =b = 5．y =5852++x x =59)54(52++x ≥553．例2 已知函数f (x )=2-x 2，g (x )=x ．若f (x )*g (x )=min{f (x )，g (x )}，那么f (x )*g (x )的最大值是．（注：min 表示最小值）分析这是一道信息题，应将表达式f (x )*g (x )=min{f (x )，g (x )}进行展开，得到分段函数后，画出图像，根据图像得出所求的最大值．解 y =f (x )*g (x )⎩⎨⎧>≤=)()(),()()(),(x g x f x g x g x f x f ．画出上述函数的图像，如图1的实线部分，由图易知，图中的最高点A 的纵坐标即为所求．解方程组⎩⎨⎧=-=xy x y 22，得(x ，y ) = (1，1)或（-2，-2）．于是所求的最大值为1．点评（1）分段函数的最值一般均用图像法画出各分段函数的图像，然后观察（求）出它们在各段图像上的最值点，并比较它们最值的大小；（2）容易误认为所求的最大值就是函数f (x )的最大值或g (x )的最大值；（3）不能认为 –2是的最小值．变题已知函数f (x )=2-x 2，g (x )=x ．若F (x )= f (x )*g (x )= m a x {f (x )，g (x )}，那么F (x )是否存在最小值．请说明理由．答案：不存在最小值．（注：只存在极小值1，极大值2）例3 已知函数f (x )=),1[,22+∞∈++x xax x ．（1）当a =0.5时，求函数f (x )的最小值；（2）当a = 4时，求函数f (x )的最小值．分析这是一个带有定义域的分式函数求最值问题，能否使用算术几何平均值不等式求最值，要视a 的取值而定．因为用算术几何平均值求最值的条件是“一正二定三相等”，这里的相等条件能否成立是一个关键．解（1）当a =0.5时，f (x )=x +x21+2， ),1[+∞∈x ．任设1≤x 1＜x 2，则 f (x 1) - f (x 2) =( x 1+121x +2)-( x 2+221x +2)=2121212)12)((x x x x x x --因1≤x 1＜x 2，故x 1- x 2＜0，且x 1x 2＞1，于是x 1x 2＞0，2x 1x 2-1＞0，从而f (x 1) - f (x 2)＜0，即f (x 1) ＜ f (x 2)，故f (x )在),1[+∞上是增函数，所以f (x )在),1[+∞上的最小值是f (1)=27．（2）24)(++=xx x f ≥6242=+⋅x x ，当且仅当xx 4=，即x =2∈[1，+∞）时，取“=”，故函数的最小值为6．点评（1）求函数值域（最值）方法很多，单调性法是重要方法之一．当诸多方法失效时，单调性法往往奏效；（2）对于题（1），不能用判别式法求最小值．事实上，由y =x +x21+2得2x 2-2(y -2)x +1=0，由△= 4(y -2)2-8≥0得 y ≥2+2(因y ＞0，故y ≤2-2，不合，舍去．)．这时若认为y min =2+2那就错了．因为当y =2+2时，2x 2-22x +1=0，解得x =),1[22+∞∉；也不能用算术几何平均值不等式求最值．事实上，y =x +x21+22212+⋅≥x x =2+2，取等号的条件是x =x21，即x =22，但),1[22+∞∉，故该法也是失效的．变题1 求函数f (x )=),1[,22+∞∈++x xax x 的最小值，其中a 为常数，且a ＞0．答案：f min (x ) = ⎩⎨⎧2a +2，a ≥1，a +3，0＜a ＜1．变题2 求函数xax x x f ++=2)(2（a 为正常数）的最小值．答案：]22,(),22[a a --∞+∞+ ．例4 已知函数f (x )=123log 222+++mx nx x m ，n ∈R ．（1）若m ∈N *，x ∈R ，且f (x )的值域为[1，2]，求m ，n 的值；（2）若n = -1，且f (x )的值域为R ，求m 的取值范围．分析（1）先“脱”去对数符号，即变为一个分式函数的值域为[2，4]，可利用“判别式”法及根与系数的关系，求m ，n 的值；（2）对数函数的值域为R ，等价于真数能取遍一切正实数，即真数的最小值应为非正数，同样也可以使用“判别式”法加以求解．解（1）设y =12322+++mx nx x ，由已知，得2≤y ≤4．将分式变形为 myx 2+y =3x 2+2x +n ，即 (3-my )x 2+2x +n -y =0．故 △=4-4(n -y )(3-my )≥0，即 my 2-(3+mn )y +3n -1≤0 ．因 2≤y ≤4，故 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.813,63mn m mn解得 m =1，n =3．（m =89，n = 310，不合，舍去．）（2）①m =0时，f (x )=]34)31(3[log )123(log 2222-+=-+x x x ∈R ；②m ≠0时，要使f (x )∈R ，只须12322+++mx nx x 的值域包含（0，+∞），即),0(}0,123|{22+∞⊇≠+++=m mx nx x y y ．设y =112322+-+mx x x ，即(3-my )x 2+2x -1-y =0，从而 △= -4[my 2-(3-m )y -4]≥0，即 my 2-(3-m )y -4≤0．要使函数的值域包含（0，+∞），只须m ＜0时，且方程0432=---my m m y 有两个负根（相等或不等），故⎩⎨⎧△≥0，x 1+ x 2＜0，x 1x 2≥0，m ＜0．⇒ ⎩⎨⎧( 3-m m )2+ 16m ≥0，m ＜3，m ＜0．⇒m ≤-9 或-1≤m ＜0．综上所述，m 的取值范围为：m ≤-9 或-1≤m ＜0．点评函数f (x ) = log a g (x )的值域为R （其中x ∈R ，g (x ) = mx 2+nx +p ，m ≠0，m 、n 、p ∈R ，a ∈(0，1)∪(1，+∞)）⇔（0，+∞）⊆{g (x )| x ∈R } ⇔函数g (x )的最小值不大于0⇔存在x 0∈R ，使得g (x 0) ≤0⇔△≥0，且m ＞0．【知能集成】 1．设函数f (x )存在最大值M 与最小值m ，λ为待求常数．（1）若对定义域内的任一x ，都有λ≥f (x )，则λ≥M ；（2）若对定义域内的任一x ，都有λ≤f (x )，则λ≤m ；（3）若存在x 0，使得f (x 0) ≥λ，则λ≤M ；（4）若存在x 0，使得f (x 0) ≤λ，则λ≥m ． 2．掌握函数与方程的思想．函数与方程的思想就是，先构造函数，把给定问题转化为所构造函数的性质研究后，得出所需的结论．方程思想，就是把对数学问题的认识，归纳为对方程或方程组的认识．【训练反馈】 1．函数y =5-2x -x 2的值域是．2．若函数y =f (x )的值域是[-2，3]，则函数y =∣f (x )∣的值域是（） A ．[-2，3] B ．[2，3] C ．[0，2] D ．[0，3]3．函数y =x +2x -1的值域是（）A ．{y |y ≥12}B ．{y |y ≤12} C ．{y |y ≥0} D ．{y |y ≤0}4．下列函数中，值域是（0，+∞）的是（） A ．y =2x +1（x ＞0） B ．21xy =C ．y = x 2 +x +1D ．y =1+x5．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间Ｄ上是凸函数，则对于区间Ｄ内的任意x 1，x 2，……，x n ，有n x f x f x f n )()()(21+++ ≤f (nx x x n+++ 21)．已知函数y ＝sin x 在区间（０，π）上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin Ｂ＋sin C 的最大值为______．6．当|x |≤1时，函数f (x )=ax +2a +1的值有正也有负，则实数a 的取值范围为． 7．已知函数f (x )的值域为[161，16]，求函数g (x )= f (x )+2)(x f 及h (x ) = f (x ) -2)(x f 的值域．8．设周长为a (a ＞0)的等腰三角形，其腰长为x ，底边长为y ，试将y 表示为x 的函数，并求出这个函数的定义域和值域． 9．求下列函数的值域：（1） y = 2x +1x +1；（2）y = x 2-1x 2+1；（3）y = xx 2+x +1；（4）y =x +21-x ．10．若函数23212+-=x x y 的定义域和值域都是[1，b ] (b ＞1)，求b 的值． 11．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上，函数1)()(22+=++-=x xx g q px x x f 与在同一点取得相同的最大值，求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最小值．12．已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R ；（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为f (m )，求函数f (m )的值域．参考答案：【知识在线】1． [0，3 ] 2． [-4，-2] 3．A 4．D 5．C 【训练反馈】1．[0，6] 2．D 3．A 4．B 5．提示：sin A ＋sin Ｂ＋sin C ≤3sin(3CB A ++)=3sin60º=233 6．提示：显然a ≠0，故函数为单调函数，从而f (-1)·f (1)＜0，解得：-1＜a ＜- 13 ． 7．提示：令t = f (x )，则g (x ) = G (t )= t +2t ，G (t )在[161，16]上为增函数，值域为[169，24]．h (x ) = H (t ) = t - 2t = (t - 1)2 –1∈[-1，8]． 8．y = a – 2x ，定义域为（4a ，2a ），值域为（0，2a）． 9．提示：（1）利用观察法或分式变形可得，{y ∣y≠2}；（2）求出x 2关于y 的表达式，解不等式x 2≥0得，{y |-1≤y ＜1}；（3）去分母后利用判别式法可得，[-1，13]；（4）利用换元法化为一元二次函数，再利用配方法可得，{y |y ≤2}． 10．提示：由函数图象的对称轴方程为x =1，得函数在[1，b ]上为增函数，故有f (1)=1，f (b )=b ，解得b =3（b =1不合，舍去） 11．提示：g (x )=2112111=⋅≤+xx xx ，当且仅当x =1∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21时，函数g (x )取得最大值12．故f (x ) = - (x -1)2+21，于是当x =2时，f (x )有最小值为21-． 12．（1）当m =0时，x ∈R ；当m ≠0时，m ＞0且△≤0，解得：0＜m ≤1，故实数m 的取值范围为0≤m ≤1．（2）当m =0时，f (0)=22；当0＜m ≤1时，因m x m y 88)3(2-+-=，故f (m ) = m 88-（0＜m ≤1）．于是，f (m ) = m 88-（0≤m ≤1），其值域为[0，22]．。

高三数学复习资料

高三数学复习资料高三数学复习资料（一）1. 直线与平面几何直线与平面几何是高中数学的重要内容之一。

在直线与平面几何中，我们要学习直线和平面的性质、直线与平面的方程以及直线与平面的位置关系等内容。

2. 向量与解析几何向量与解析几何也是高中数学的重要内容。

在向量与解析几何中，我们要学习向量的定义、向量的运算方法、向量的线性运算以及向量的坐标表示等内容。

3. 三角函数三角函数是高中数学中的基础知识。

在三角函数中，我们要学习正弦函数、余弦函数、正切函数及其性质、三角函数的图像、三角函数的基本关系式等内容。

4. 三角函数的应用三角函数的应用是高中数学的应用题部分。

在三角函数的应用中，我们要学习三角函数在解决实际问题中的应用、三角函数在几何问题中的应用以及三角函数在物理问题中的应用等内容。

5. 导数与微分导数与微分是高中数学的重要内容之一。

在导数与微分中，我们要学习导数的定义、导数的计算方法、导数的应用、微分的定义、微分的计算方法以及微分的应用等内容。

6. 不等式不等式是高中数学中的一种重要的数学关系。

在不等式中，我们要学习不等式的性质、一元一次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式以及分式不等式等内容。

7. 函数与极限函数与极限是高中数学的重要内容之一。

在函数与极限中，我们要学习函数的定义与性质、函数的图像、函数的运算、函数的分类、函数的极限以及函数的应用等内容。

8. 统计与概率统计与概率是高中数学的一种较为复杂的数学知识。

在统计与概率中，我们要学习统计的基本概念与方法、统计的图形表示、统计的数据分析以及概率的计算与应用等内容。

9. 数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高中数学的重要内容之一。

在数列与数学归纳法中，我们要学习数列的定义、数列的性质、数列的表示方法、数列的求和、数学归纳法的基本思想与应用等内容。

10. 平面几何证明平面几何证明是高中数学中的一种重要的数学思维能力的训练。

在平面几何证明中，我们要学习平面几何证明的基本方法、平面几何证明的基本定理以及平面几何证明的应用等内容。

集合的概念课件-2025届高三数学一轮复习

6−x
然数，∴ B =
6
{1，2，3，6}.（集合B的代表元素是 ,注意与A区分）
6−x
例2-5 用描述法表示下列集合：
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
（1）{ ，，，， }；
【解析】可表示为{x|x =
n
，n
n+2
∈ + 且n ≤ 5}．
（2）偶数集；
【解析】可表示为{x|x = 2n，n ∈ }．（奇数集可表示为{x|x = 2n + 1,n ∈ }）
列集合和运算：
①G = {x|x是非负整数}，⊕ 为整数的加法；
②G = {x|x是偶数}，⊕ 为整数的乘法；
③G = {x|x是二次三项式}，⊕ 为多项式的加法.
①
其中G关于运算⊕ 为“融洽集”的是____.（写出所有满足条件的序号）
【解析】①G = {x|x是非负整数}，⊕ 为整数的加法，满足对任意a,b ∈ G,都有
是( AD
)
A.0 ∈
2
B.
7
∈
C.−3 ∉ Z
D.π ∉ Q
【解析】0是自然数（0是最小的自然数），即有0 ∈ ，故A正确；
2
2
不是整数，即有
7
7
∉ Z，故B错误；
−3是负整数，即有−3 ∈ ，故C错误；
π 是无理数，即有π ∉ Q，故D正确.
例2-4 用列举法表示下列集合：
（1）A = {x ∈
且k + 1 ∉ A，那么k是A的一个“孤立元”.给定S = {1，2，3，4，5，6，7，8}，由S
的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合个数为( D

高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)

高三数学第一轮复习——数列一、知识梳理数列概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差. ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇.等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n n qa a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =②当1≠q 时，qq a a qq a S n nn --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列；⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n qa a mn m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn ，则=55b a .3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n nS n T n =+,则n na b =（）5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

高三第一轮数学复习知识点

高三第一轮数学复习知识点在高三数学的学习过程中，第一轮复习是非常关键的一步。

在这个阶段，学生们要回顾并巩固自己在之前学习中所掌握的数学知识，同时要注意查漏补缺，填平知识漏洞，为接下来的复习打下坚实的基础。

一、函数与方程函数与方程是高三数学的基础。

在这一部分中，学生们需要掌握函数的概念、性质以及基本的图像变换知识。

此外，还需要了解常见的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等函数的性质与特点，并能熟练解决相关的题目。

在方程的学习中，需要掌握一元一次方程、一元二次方程等常见方程的解法，并能灵活应用于实际问题的解决过程中。

二、数列与数列的求和数列是高中数学中的重点知识，也是数学建模的基础。

在数列的学习中，学生们需要了解等差数列、等比数列、斐波那契数列等常见数列的概念、性质以及特点，并能运用差分法、通项公式等方法解决数列的相关问题。

此外，数列的求和也是数学学习中的重点内容，学生们需要学会通过列式法、分组求和法等方法求解数列的和，并能理解这些方法的推导过程。

三、几何图形与几何推理几何学是数学学科的基础，也是高三数学复习中不可或缺的一部分。

在几何图形的学习中，学生们需要掌握平面几何和立体几何相关的基本概念、性质以及定理，并能够灵活运用这些知识解决相关的几何问题。

在几何推理的学习中，学生们需要理解各种推理方法的基本原理，并能通过逻辑推理解决几何问题。

四、概率与统计概率与统计是高中数学中的实际应用部分。

在概率的学习中，学生们需要了解基本概率的概念、性质以及计算方法，并能够应用概率理论解决生活中的实际问题。

在统计的学习中，学生们需要熟悉数据的收集、整理、分析等基本方法，并能够通过统计理论解决实际问题。

五、解析几何与立体几何解析几何是数学学科的重要分支之一，立体几何是几何学的重要内容之一。

在解析几何的学习中，学生们需要掌握坐标系的建立与运用、直线与曲线的方程等相关内容，并能熟练解决相关的几何问题。

在立体几何的学习中，学生们需要了解空间几何中的基本概念、性质以及相关定理，并能运用这些知识解决实际问题。

高三数学第一轮的复习讲义

高三数学第一轮的复习讲义一.复习目标：1.了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率;2.会计算事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率.二.知识要点：1.相互独立事件的概念： .2.是相互独立事件，则 .3.次试验中某事件发生的概率是，则次独立重复试验中恰好发生次的概率是 .三.课前预习：1.下列各对事件 (1)运动员甲射击一次，“射中环”与“射中环”， (2)甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中环”与“乙射中环”， (3)甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”， (4)甲、乙二运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有 (1)，(3) .相互独立事件的有 (2) .2.某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第次击中目标的概率是;②他恰好击中目标次的概率是; ③他至少击中目标次的概率是，其中正确结论的序号①③ .3.件产品中有件次品，从中连续取两次，(1)取后不放回，(2)取后放回，则两次都取合格品的概率分别是、.4.三个互相认识的人乘同一列火车，火车有节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是 ( )5.口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套只，白色手套只，现从中随机地取出两只手套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是 ( )甲多乙多一样多不确定四.例题分析：例1.某地区有个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一天是等可能的)，假定工厂之间的选择互不影响.(1)求个工厂均选择星期日停电的概率;(2)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. 解：设个工厂均选择星期日停电的事件为.则.(2)设个工厂选择停电的时间各不相同的事件为.则，至少有两个工厂选择同一天停电的事件为，. 小结：个工厂均选择星期日停电可看作个相互独立事件.例2.某厂生产的产品按每盒件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂.质检办法规定：从每盒件产品中任抽件进行检验，若次品数不超过件，就认为该盒产品合格;否则，就认为该盒产品不合格.已知某盒产品中有件次品.(1)求该盒产品被检验合格的概率;(2)若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率.解: (1)从该盒件产品中任抽件，有等可能的结果数为种，其中次品数不超过件有种，被检验认为是合格的概率为.(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为答：该盒产品被检验认为是合格的概率为;两次检验得出的结果不一致的概率为.例3.假定在张票中有张奖票()，个人依次从中各抽一张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，(1)分别求第一，第二个抽票者抽到奖票的概率，(2)求第一，第二个抽票者都抽到奖票的概率.解：记事件：第一个抽票者抽到奖票，记事件：第一个抽票者抽到奖票，则(1)，，(2)小结：因为≠，故A与B是不独立的.例 4. 将一枚骰子任意的抛掷次，问点出现(即点的面向上)多少次的概率最大?解：设为次抛掷中点出现次的概率，则，∴，∵由，得，即当时，，单调递增，当时，，单调递减，从而最大.五.课后作业：1.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数的正方体玩具)先后抛掷次，至少出现一次点向上的概率是 ( )2.已知盒中装有只螺口与只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第次才取得卡口灯炮的`概率为： ( )3.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是 ;4.甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.求该题被乙独立解出的概率。

高三复习资料数学

高三复习资料数学高三复习资料数学第一篇1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形.(2)棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.(3)棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形.(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形.(6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形.(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径.2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度.高三复习资料数学第二篇1、集合的概念集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些制定的且不同的对象集合在一起就称为一个集合。

组成集合的对象叫元素，集合通常用大写字母A、B、C、…来表示。

元素常用小写字母a、b、c、…来表示。

集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的一个集合。

2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a属于集合A，记做a∈A;元素a不属于集合A，记做a?A。