第6章 代数系统

1 设A=1 , a , ，其中，a是非零实数。f：A→A，定义 a 1 为：∀a∈A，f(a)= 。容易看出f是A上的一元运算。 a
第6章 代数系统
【例6.1】设N为自然数集合，*和∘是N×N到N映射，规 定为：∀m,n∈N， m∗n=minm,n m∘n=maxm,n ∘ 则∗和∘是N上的二元运算。 ∗ ∘ 【例6.2】设Nk=0,1,…,k-1。Nk上的二元运算+k定义为： 对于Nk中的任意两个元素i和j，有
第6章 代数系统
2.运算的表示 表示运算的方法通常有两种：解析公式和运算表。 解析公式是指用运算符号和运算对象组成的表达式。如
1 f(a)= ， a
i+ j<k i + j i +k j = i + j − k i + j ≥ k
运算表是指运算对象和运算结果构成的二维表。 设N4=0,1,2,3，N4上的模4加法＋4可以用运算表表示， 它的运算表如表6.1所示。N4上的模4乘法×4也可以用运算 表表示，它的运算表如表6.2所示。 表6.1 × 表6.2 +4 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 2 2 3 0 1 2 0 2 0 2 3 3 0 1 2 3 0 3 2 1
o
第6章 代数系统
5.幂等律 定义6.2.5 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意的 a∈A，有a∗a=a，则称运算*是幂等的。如果A的某个元素a满足 a∗a=a，则称a为运算*的幂等元 幂等元。 幂等元 集合的并、交运算满足幂等律，每一个集合都是幂等元。 定理6.2.2 设∗是非空集合A上的二元运算，a为运算∗的幂 等元，对任意的正整数n，则an=a。 6.2.2 6.2.2特殊元素 1.幺元 定义6.2.6 设∗是定义在集合A上的二元运算，如果有一个 ∗ el∈A，对于任意的a∈A，有el ∗ a=a，则称el为A中关于运算∗的 左单位元或左幺元；如果有一个er∈A，对于任意的a∈A，有a ∗ er=a，则称er为A中关于运算∗的右单位元或右幺元；如果在A 中有一个元素，它既是左单位元又是右单位元，则称为A中关 于运算∗的单位元或幺元。
第6章 代数系统
又如，f：N×N→N，定义为：∀m,n∈N，f(m,n)=m＋n， f是自然数集合N上的二元运算，它就是普通加法运算。普 通减法不是自然数集合N上的二元运算，因为两个自然数相 减可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不 是自然数集合N上的二元运算。 通过以上讨论可以看出，一个运算 运算是否为集合A上的运 运算 算必须满足以下两点： ①A中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是 惟一的。 ②A中任何元素的运算结果都属于A。A中任何元素的运 算结果都属于A通常称为运算在A是封闭 封闭的。 封闭
返回章目录
第6章 代数系统
实数集合上的普通加法和乘法是二元运算，矩阵的加法 和乘法也是二元运算，满足结合律； 向量的内积、外积是二元运算，但不满足结合律。 【例6.5】设*是 非空集 合A上的二元 运算，定 义为： ∀a,b∈A，a∗b=b。证明运算*是可结合的。 证明：对于任意的a,b,c∈A， ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 有(a∗b)∗c=c，而a∗(b∗c)=a∗c=c，故有(a∗b)∗c=a∗(b∗c)， 即运算∗是可结合的。 当二元运算*在A上适合结合律时，在只有该运算符的表 达式中，表示运算顺序的括号常被省略。所以将(x*y)*z =x*(y*z)常写成x*y*z。这样，可以令 n个 64748 a n = a ∗ a ∗L∗ a
第6章 代数系统
若运算∗既满足左消去律又满足右消去律，则称运算∗满 足消去律，称a为运算∗的可消元。 注意可消元a不能是零元θ。 定理6.2.7 设∗是A中可结合的二元运算，如果a的逆存在 ∗ 且a≠θ，则a为关于∗的可消元。 证明：设b,c∈A，且有a∗b=a∗c或b∗a=c∗a。由于∗为可 结合的二元运算、a的逆存在且a≠θ，则 a –1 ∗ ∗ b)=(a –1 ∗ a) ∗ b=e ∗ b=b ∗(a a –1 ∗(a ∗ c)=(a –1 ∗ a) ∗ c=e ∗ c=c 而 a –1 ∗(a ∗ b)=a –1 ∗(a ∗ c) 于是b=c，同理由b∗a=c∗a，得b=c，故a为关于∗的可消元。
第6章 代数系统
【例6.6】设A=0,1，*和∘都是A上的二元运算，定义 为： 0∗0=1*1=0，0*1=1*0=1 0∘0=0∘1=1∘0=0，1∘1=1 则容易验证∘对于运算*是可分配的，但*对于运算∘是不可分 配的。如1*(0∘1)=1≠0=(1*0)∘(1*1) 定理6.2.1设*和∘是非空集合A上的两个二元运算，*是可 ∘ ∘ 交换的。如果*对于运算∘满足左分配律或右分配律，则运算 *对于运算∘是可分配的。 证明：设*对于运算∘满足左分配律，且∗是可交换的， ∘ ∗ 则对于任意a,b,c∈A，有 (b∘c)∗a=a∗(b∘c)=(a∗b)∘(a∗c)=(b∗a)∘(c∗a) 即 (b∘c)∗a=(b∗a)∘(c∗a) 故∗对于运算∘是可分配的。 同理可证另一半。
第6章 代数系统
当运算*满足结合律时，an的也可以递归定义如下： ⑴a1=a ⑵an+1=an∗a 由此利用数学归纳法，不难证明下列的公式： ⑴am∗an= am+n ∗ o ⑵(am)n= amn 3.分配律 定义6.2.3 设*和 o是非空集合A上的两个二元运算，如果 对于任意a,b,c∈A，有 a*(b∘c)=(a*b)∘(a*c) (左分配律) (b∘c)*a=(b*a)∘(c*a) (右分配律) 则称运算*对运算o 是可分配的。也称运算*对运算 o 满足分配 律。
第6章 代数系统
定理6.2.3 设∗是定义在集合A上的二元运算，el为A中关 于运算∗的左幺元，er 为A中关于运算∗的右幺元，则el=er=e， 且A中的幺元是惟一的。 证明：因为el 和er 分别是A中关于运算∗的左幺元和右幺 元，所以 el=el ∗ er=er=e 设另一幺元e1∈A，则 e1=e1 ∗ e=e 2.零元 定义6.2.7 设∗是集合A上的二元运算，如果有一个θl∈A， ∗ 对于任意的a∈A都有θl ∗ a=θl，则称θl为A中关于运算∗的左零 元；如果有一个θr∈A，对于任意的a∈A，都有a ∗ θr=θr，则 称θr为A中关于运算∗的右零元；如果A中有一个元素θ∈A，它 既是左零元又是右零元，则称θ为A中关于运算∗的零元。
第6章 代数系统
证明：设a,b,c∈A，b是a的左逆元，c是b的左逆元。于 是 (b∗a)∗b=e∗b=b，所以 e=c∗b=c∗((b∗a)∗b)=(c∗(b∗a))∗b =((c∗b)∗a)∗b=(e∗a)∗b=a∗b 因此，b也是a的右逆元。 设元素a有两个逆元b和d，那么 b=b∗e=b∗(a∗d)=(b∗a)∗d=e∗d=d ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 故a的逆元是惟一的。 4.消去律 定义6.2.9 设∗是集合A上的二元运算，θ为A中关于运算 ∗ ∗的零元，∀a,b,c∈A，a≠θ。如果 ⑴若a∗b=a∗c，便有b=c，则称运算∗满足左消去律，称 a为运算∗的左可消元。 ⑵若b∗a=c∗a，便有b=c，则称运算∗满足右消去律，称 a为运算∗的右可消元。
i+ j<k i + j i +k j = i + j − k i + j ≥ k
称二元运算+k为模k加法。
第6章 代数系统
Nk上的二元运算×k定义为：对于Nk中的任意两个元素i和 j，有
i × j i ×k j = i × j除以k 的余数 i× j < k i× j ≥ k
称二元运算×k为模k的乘法。 模k加法+k和模k乘法×k是两种重要的二元运算。 在N7=0,1,2,3,4,5,6中，有4+72=6，4+75=2。如果把N7 中的元素：0，1，2，3，4，5，6分别看作是：星期日、星 期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。那么 4+72=6可解释为：星期四再过两天后是星期六；4+75=2可 解释为：星期四再过五天后是星期二。
第6章 代数系统
定理6.2.4 设∗是集合A上的二元运算，θl为A中关于运算∗ 的左零元，θr为A中关于运算∗的右零元，则θl=θr=θ，且A中 的零元是惟一的。 证明：因为θl和θr 分别是A中关于运算∗的左零元和右零 元，所以 θl=θl∗θr=θr=θ 设另一零元θ1∈A，则θ1=θ1 ∗ θ=θ 定理6.2.5 设∗是集合A上的二元运算，集合A中元素的个 ∗ 数大于1。如果A中存在幺元e和零元θ，则e≠θ。 证明：用反证法。设e=θ，那么对于任意的a∈A，必有 a=e∗a=θ∗a=θ， 于是A中的所有元素都是零元θ，与A中至少有两个元素矛盾。
第6章 代数系统
4.吸收律 定义6.2.4 设*和∘是非空集合A上的两个可交换的二元运 算，如果对于任意a,b∈A，有 a*(a∘b)=a a∘(a*b)=a 则称运算∗和运算∘满足吸收律。 ∘ 【例6.7】设N为自然数集合，*和∘是集合N上的二元运 算，定义为： ∀a∈N，∀b∈N a*b=max(a,b)， a∘b=min(a,b) 验证运算*和∘适合吸收律。 ∘ 解：∀a∈N，∀b∈N 若a＞b，a*(a∘b)=a*min(a,b)=a*b=max(a,b)=a 若a＜b，a*(a∘b)=a*min(a,b)=a*a=max(a,a)=a 若a＝b，a*(a∘b)=a*min(a,b)=a*a=max(a,a)=a 即 a*(a∘b)=a 同理可证a∘(a*b)=a 因此运算*和∘适合吸收律。
第6章 代数系统
6.2 二元运算的性质
6.2.1运算的基本性质 1.交换律 定义6.2.1 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意 的a,b∈A，有a∗b=b∗a，则称二元运算∗在A上是可交换的。 例如，设R为实数集合，对于任意的a,b∈R，规定 a∗b=(a–b)2 ∗ a∘b=a2+b2 a·b=a+b–ab ∗ ∘ 则运算∗、∘和·都是可交换的。 2.结合律 定义6.2.2 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意 的a,b,c∈A，有(a*b)*c=a*(b*c)，则称二元运算*在A上是可结 合的。