代数系统简介
第五章 代数系统概述
和原代数系统相同，故可略而不写，而简单
地说 A 是代数系统
➢ {0}, N, Z, Q 是 < R, + > 的子代数，< R, >, {0, 1} 不是 < R, + > 的子代数。
➢ n 阶随机矩阵集是 < S, > 的子代数，其中 S 是 n 阶实矩阵集， 是矩阵乘法。
第五章 代数系统概述
5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统 5.3 代数系统的同态和同构
➢ 对于自然数集 N 上的加法 +，0 是幺元， 没有零元，每个正整数都没有逆元，+ 满足 消去律。
➢ 对于整数集 Z 上的加法 +，0 是幺元，没有 零元，每个整数 n 的逆元是 n， + 满足消 去律。
假设 < x, y > 是幂等元，则 < x, y > < x, y > = < x, y >，
即 x2 = x 且 xy + y = y，解得 x = 0 或者 (x = 1 且 y = 0)，幂等元集为 {< 0, y > | yQ} {< 1, 0 >}。 假设 < x, y > 有逆元 < a, b >，则 < a, b > < x, y > = < x, y > < a, b > = < 1, 0 >， 即 ax = 1且 ay + b = xb + y = 0，解得 a = x /1， b = y /x，只要 x 0， < x, y > 就有逆元 < x /1, y /x >。
代数系统简介
代数系统简介一、代数系统的基本概念代数系统，也称为代数结构或代数系统，是数学中一个重要的概念，它由集合和定义在这个集合上的运算组成。
代数系统是代数学的基本研究对象，也是泛代数、抽象代数、代数学等领域中重要的研究对象。
代数系统通常由两个部分组成：一个是非空元素集合，称为代数系统的论域或标量域；另一个是定义在论域上的运算，这些运算需满足一定的性质或公理。
根据所涉及的运算不同，代数系统可分为不同类型，如群、环、域、格等。
代数系统的概念来源于对数学中不同分支中抽象概念的概括和总结，其研究范围包括数学中不同领域的许多分支。
例如，集合论、抽象代数、泛代数、拓扑学等都是研究代数系统的重要领域。
二、代数系统的分类根据所涉及的运算和性质的不同，代数系统有多种分类方式。
以下是其中几种常见的分类方式：1.根据所涉及的运算的性质，可以将代数系统分为有交换律和结合律的代数系统（如群、环、域）和没有交换律和结合律的代数系统（如格、布尔代数）。
2.根据运算是否涉及单位元和逆元，可以将代数系统分为有单位元的代数系统和无单位元的代数系统。
前者如群、环、域等，后者如格等。
3.根据所涉及的元素是否具有可交换性，可以将代数系统分为可交换的代数系统和不可交换的代数系统。
前者如交换群等，后者如李群等。
4.根据所涉及的元素是否具有无限性，可以将代数系统分为有限代数系统和无限代数系统。
前者如有限群等，后者如无限群等。
此外，还可以根据其他性质和特征对代数系统进行分类。
通过不同的分类方式，我们可以更好地了解和研究不同类型代数系统的特性和性质。
三、代数系统的性质代数系统的性质是指代数系统中元素之间通过运算所表现出来的关系和性质。
以下是几个常见的代数系统的性质：1.封闭性：如果对于代数系统中的任意两个元素x和y，它们的运算结果仍属于该集合，则称该运算满足封闭性。
封闭性是代数系统中一个重要的性质，它保证了运算结果的元素仍属于该系统。
2.结合律：如果对于代数系统中的任意三个元素x、y和z，有(x·y)·z=x·(y·z)，则称该运算满足结合律。
代数系统简介
代数发展简史一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。
傅鹰数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。
F. Cajori0、引言数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。
这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。
在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。
在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。
“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。
阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料，很少流传下来．一般认为他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米为姓．另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家．东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米．公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首都巴格达工作．公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关)，花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一．马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世．花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期．花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》．1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。
第一讲代数系统
右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素 x∈A都有x*θr= θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。
零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是 右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。 θ* x=x*θ=θ
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6.1代数结构
【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪 色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元 运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。 求S中关于*运算的幺元和零元。
解答：∪和∩运算是可交换的。 ∀ A,B∈ρ(S),有
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
所以∪和∩满足吸收律。又有
A ∩A=A
A ∪A=A
所以∪和∩满足等幂律。
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6.1代数结构—代数运算性质
性质六 可约律(消去律)
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A, 如果对于任意x,y ∈A,都有
证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。
证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右 幺元，则有
el= el *er= er=e
假设另有幺元e’∈A, 则有e’=e’*e=e,结论得证。
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6.1代数结构
零元 左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如
果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x=
问☆是否是可交换的？
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6.1代数结构—代数运算性质
性质二 结合律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,z∈A ，都有
x*(y*z)=(x*y)*z
则称该二元运算是可结合的。
【例题6】
设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b ∈A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。
代数系统简介 -回复
代数系统简介-回复什么是代数系统？代数系统是现代数学中的一个重要概念，它是由一组元素和对这些元素进行操作的规则组成的。
代数系统可以是有限的或无限的，可以是抽象的或具体的。
代数系统是数学的基础，被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、经济学等等。
代数系统的基本元素是指代表抽象对象的数学对象，可以是数字、集合或其他数学结构。
代数系统中的操作规则是指对这些元素进行变换或组合的数学规则。
常见的操作规则包括加法、减法、乘法、除法等。
代数系统的主题和应用代数系统的研究涉及多个主题，包括群论、环论、域论等。
这些主题在抽象代数中具有重要的地位，它们以代数系统为研究对象，通过定义和研究不同类型的操作规则来揭示数学的一般规律。
群论是代数系统中的一个重要分支，它研究的对象是满足一定条件的代数系统。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的集合，它以群运算来定义元素之间的操作。
群论的研究广泛应用于代数几何、量子力学、密码学等领域。
与群论类似，环论和域论也研究了具有特定性质的代数系统。
环是一种具有加法和乘法运算的代数系统，它满足了加法和乘法封闭、结合律、分配律等性质。
域是一种更为广义的代数系统，它满足了环的所有条件，并且每个非零元素都有乘法逆元。
代数系统的应用十分广泛，无论是在理论研究还是实际应用中都发挥着重要作用。
在计算机科学中，代数系统被用于描述和分析算法的性质，例如代数数据类型和代数规范。
在物理学领域，代数系统被用于描述和研究物理过程，例如量子力学中的算符代数和对称性。
在经济学中，代数系统被用于建立经济模型，例如供求模型和市场分析。
代数系统的发展历程代数系统的研究可以追溯到古代埃及、古希腊和古印度等文明。
然而，现代代数系统的发展源于十九世纪的英国数学家和法国数学家，他们通过对数学的抽象和一般性考察，建立了现代研究代数系统的基础。
十九世纪的德国数学家格雷斯曼和开尔巴赫在他们的工作中提出了群的概念，并将它与几何学和代数学联系起来。
代数系统(抽象代数)
6-1 代数结构(系统)的概念
所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合， 和若干个运算，构成的系统。 一. n元运算 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： 取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 以及N上的“+” P(E) ~ P(E) N2 + N I - I 。 Φ Φ。 <0,0>。 。 0 2。 。 -2 <0,1>。 。 {a} 。 。 {a} 1 1。 。 -1 <0,2>。 0。 。 。 0 2 {b} 。 。 {b} -1。 。 1 。 -2。 。 3 <1,0> 。 2 {a,b} 。 。 {a,b} <1,1>。 <1,2>。
九.分配律 设和 都是X上的二元运算，若对任何x,y,z∈X，有 x(yz)=(xy)(xz) ，(yz) x =(y x)(z x) 则称对可分配。 例如： 乘法对加法可分配。 集合的∪与∩互相可分配。 命题的∧与∨互相可分配。 十.吸收律 设和 都是X上的可交换二元运算，若对任何x,y∈X， 有 x(xy)=x ，x(xy)=x 则与 满足吸收律。 例如：集合的∪与∩满足吸收律。 命题的∧与∨满足吸收律。
2.二元运算的运算表 有时用一个表来表示二元 运算的运算规律。 例如令E={a,b}， P(E)上的 ∩运算表如图所示。
∩ Φ 左 Φ Φ 表 {a} Φ 头 元 {b} Φ 素 {a,b} Φ
运算 上 表 头 元 素
{a} Φ {a} Φ {a}
{b} Φ Φ {b} {b}
{a,b} Φ {a} {b} {a,b}
六.可结合性 设是X上的二元运算，如果对任何x,y,z∈X，有 (xy)z =x(yz)，则称是可结合的。 例：数值的加法、乘法，集合的交、并、对称差， 关系的复合、函数的复合，命题的合取、析取等。
代数系统
5-2 运算及其性质
关于逆元有下述的唯一性定理 证明：设a,b,c ∈A，且b是a的左逆元，c是b的左 逆元。 因为(b*a)*b=e*b=b 所以e=c*b=c*((b*a)*b) =(c*(b*a))*b=((c*b)*a)*b =(e*a)*b=a*b 因此b也是a的右逆元。 设元素a有两个逆元b和c，那么 b=b*e=b*(a*c) =（b*a)*c=e*c=c 因此，a的逆元是唯一的。
5-2 运算及其性质
逆元 定义 5-2.8 设设代数系统<A,*>,*是定义在A 上的一个二元运算，且e是A中关于运算*的单位元 (幺元)。 如果对于A中的一个元素a存在着A中的某个元素b ，使得b*a=e，那么称b为a的左逆元； 如果a*b=e成立，那么称b为a的右逆元； 如果一个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元 ，即 b*a= a*b=e，那么就称b是a的一个逆元。 很明显，如果b是a的逆元，那么a也是b的逆元， 简称a与b互逆。 一个元素x的逆元记为x-1.
5-2 运算及其性质
（4）A关于*有零元，当且仅当该元素所对应的行 和列中的元素都与该元素相同。 （5）A中关于*有幺元，当且仅当该元素所对应的 行和列依次与运算表的行和列相一致。 （6）设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所 在行，b所在列的元素以及b所在行，a所在列的元素 都是幺元。
5-2 运算及其性质
吸收律 定义 5-2.5 设*， △是定义在A上的两个可交换 的二元运算，若x，y∈A有: x*(x△y)=x； x△(x*y)=x，称运算*和运算△满足吸收律。 例5：设集合N为自然数全体，在N上定义两个二元 运算，如果对于任意的x,y ∈ N ,有 x*y=max(x,y);x y=min(x,y)，验证*和的吸收律 。 解：对于任意的a,b∈N a*(ab)=max(a,min(a,b))=a a(a*b)=min(a,max(a,b))=a 因此*和满足吸收律。
第4章 代数系统
(S,)中如有aS,bS,均有: ab＝ba
则称该代数系统的运算“”满足交换律。
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第4章 代数系统概论
3.两个二元运算的分配律 (S,,)中如有aS,bS,cS均有: a(bc)＝(ab) (ac)—第一分配律 a (bc)＝(ab) (ac)—第一分配律 (bc)a＝(ba) (ca)—第二分配律 (bc)a＝(ba) (ca)—第二分配律
S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一． S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算封闭．
例 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但 减法和除法不是．
(2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算， 而除法不是．
(3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算， 而加法和减法不是．
定义4.4子代数:两个代数系统(S,)与(S,)若满 足下列条件:
(1)S’S; (2)若aS’,bS’,则ab＝ab
则称(S,)是(S, )的子代数或子系统。
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第4章 代数系统概论
4.2代数运算中的常见性质
1.单个二元运算的结合律:
(S,)中如有aS,bS,cS,均有: a (bc)＝(ab) c
l l＝1r＝1 定理4.2(S,)中对运算“”若存在单位元则必唯一。
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第4ห้องสมุดไป่ตู้ 代数系统概论
5.二元运算中零元素 (S,)中若有元素S,对任一个xS均有 0x＝x0＝0则称此元素为对于运算“”的零元素或 称零元。 同样有:
0 l＝0r＝0
还有: 代数系统中若存在零元则必唯一。
离散数学第六章代数系统
6.2 代数系统的基本性质
性质4 吸收率
给定<S，⊙，*>，则 ⊙对于*满足左吸收律：(x)(y)(x，y∈S→x⊙(x*y)=x) ⊙对于*满足右吸收律：(x)(y)(x，y∈S→(x*y)⊙x=x) 若⊙对于*既满足左吸收律又满足右吸收律，则称⊙对于*满足吸收律或
者可吸收的。
*对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。 若⊙对于*是可吸收的且*对于⊙也是可吸收的，则⊙和*是互为吸收的或
代数﹝Algebra﹞是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数学和抽象 代数学两部分。
代数的由来
初等代数学：是指19世纪中期以前发展的方程理论，主要研究某一方程﹝ 组﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有 何性质等问题。
抽象代数：是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世 纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H. Abel)、 法国数学家伽罗瓦(E′. Galois)、英国数学家德·摩根(A. De Morgan) 和布尔(G. Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B.L. Van Der Waerden)根据德国数学家诺特(A.E. Noether)和奥地利数学家阿 廷(E. Artin)的讲稿，于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷 和二卷，标志着抽象代数的成熟。
同态与同构
PART 同余、商代数、积代数
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PART 05
代数系统实例
6.1 代数系统的定义
定义6.1 设S是个非空集合且函数f： Sn→S ，则称f为S上的一个 n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。
当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元运算，等等。 定义6.2 如果对给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而
离散数学中代数系统知识点梳理
离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科，研究的是离散化的对象和结构。
代数系统作为离散数学的一个重要分支，是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。
在离散数学中，代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。
一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。
其中，集合是代数系统中最基本的概念，可以是有限集或无限集；运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。
代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。
1. 代数结构：代数结构由集合和一组运算构成，可以包括加法、减法、乘法、除法等。
常见的代数结构有群、环、域等。
2. 代数运算：代数运算是指对集合中的元素进行操作，可以是二元运算也可以是多元运算。
常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。
3. 代数性质：代数系统具有一些特定的性质，如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。
二、代数系统的分类根据代数运算的性质，代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。
1. 群：群是一种代数系统，具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。
群分为有限群和无限群，可以是交换群或非交换群。
2. 环：环是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。
环分为有限环和无限环，可以是可除环或非可除环。
3. 域：域是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
域是一种完备的代数系统，可以进行加、减、乘、除运算。
4. 向量空间：向量空间是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
向量空间是一种具有线性结构的代数系统。
三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。
1. 计算机科学：代数系统在计算机科学中起到重要的作用，比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。
代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。
代数系统定义
代数系统定义代数系统定义代数系统是一个数学概念，是指一组对象和操作符号的集合，这些对象和操作符号遵循一定的规则进行运算。
代数系统可以是有限或无限的，可以包含不同类型的对象和操作符号。
代数系统包括了多个子概念，下面将分别介绍。
集合在代数系统中，最基本的概念是集合。
集合是一个无序的元素组成的集合体。
在代数系统中，我们通常用大写字母表示一个集合。
例如：A、B、C等。
元素在一个集合中，每个单独的对象都被称为元素。
元素可以是任何东西——数字、字母、字符串等等。
在代数系统中，我们通常用小写字母表示一个元素。
例如：a、b、c等。
二元运算二元运算是指一个由两个元素构成的表达式，并返回另一个元素作为结果。
在代数系统中，二元运算通常用符号表示。
例如：加法“+”、减法“-”、乘法“×”等。
封闭性如果对于一个二元运算，在某个给定的集合内进行操作时，其结果仍然属于该集合，则称该集合对于该二元运算是封闭的。
例如，在整数集内进行加法和乘法时，其结果仍然是整数，因此整数集对于加法和乘法是封闭的。
群群是指一个代数系统，其中包含一个二元运算，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于该二元运算，在该代数系统中进行操作时，其结果仍然属于该代数系统。
2. 结合律：对于该二元运算，无论操作的顺序如何，其结果都相同。
3. 单位元素：存在一个特殊的元素（称为单位元素），使得任何其他元素与该单位元素进行运算后不会改变原来的值。
4. 逆元素：对于每个元素，都存在一个逆元素使得它们进行运算后等于单位元素。
环环是指一个代数系统，其中包含两个二元运算（加法和乘法），满足以下四个条件：1. 封闭性：对于加法和乘法，在该代数系统中进行操作时，其结果仍然属于该代数系统。
2. 加法结合律：对于加法，无论操作的顺序如何，其结果都相同。
3. 加法单位元素：存在一个特殊的元素（称为加法单位元素），使得任何其他元素与该单位元素进行加法运算后不会改变原来的值。
4. 乘法分配律：对于任意三个在该代数系统中的元素a、b和c，有a×(b+c) = a×b + a×c和(b+c)×a = b×a + c×a。
离散数学 第五章 代数系统
5.1 代数系统的基本概念
• 当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元 运算，等等。
• 运算的例子很多。例如，在数理逻辑中，否定是 命题集合上的一元运算，合取和析取是命题集合 上的二元运算；在集合论中，集合的补是集合上 的一元运算，并与交是集合上的二元运算；在实 数算术中，加、减、乘、除运算都是二元运算。
可交换的二元运算，如果对于任意的x，yA，都
有
x*(x⊙y)=x 和 x⊙(x*y)=x
• 即(x)(y)(x，yA→x*(x⊙y)=x∧x⊙(x*y)=x),则称 运算*和运算⊙满足吸收律，或称*对于⊙以及⊙ 对于*是可吸收的。
5.2 运算及其性质
• 例5.9 给定<N，*，⊙>，其中N是自然数集合，* 和⊙定义如下： 对任意a，bN有a*b = max(a，b)，a⊙b = min(a， b)，试证，*和⊙互为吸收的。
1*(0⊙1)=1*0=1，而 (1*0) ⊙(1*1)=1⊙0=0
5.2 运算及其性质
• 形如表5-3的表常常称为运算表或复合表，它由运 算符、行表头元素、列表头元素及复合元素四部 分组成。对于集合的基数很小，特别是2或3时， 代数系统中运算常常用这种表给出。优点是简明 直观，一目了然。
• 性质5：吸收律 设*，⊙是定义在集合A上的两个
（1）x+yZ，
（封闭性）
（2）x+y=y+x
（交换律）
（3）(x+y)+z=x+(y+z)
（结合律）
• 容易找到与<Z，+>具有相同运算规律的一些代数 系统，如表5-2所示。
5.1 代数系统的基本概念
集合
代数系统
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5、幺元 、
代数系统的性质
一个代数系统<U， ， 若存在一个元素e∈ ， 一个代数系统 ，°>， 若存在一个元素 ∈U，使得对 为对于运算“ ∀x∈U，有：e ° x =x ° e = x，则称 e 为对于运算“ ° ”的幺 ∈ ， ， 元 或者 称 e 是<U，°>幺元 。 ， 幺元 注意： 注意： 这里考虑的是只有一个运算的代数系统。 这里考虑的是只有一个运算的代数系统。如果有两个或 者更多的运算，就不能简单地说代数系统的幺元了， 者更多的运算，就不能简单地说代数系统的幺元了，因 为幺元事实上是针对具体运算而言的。因而， 为幺元事实上是针对具体运算而言的。因而，如果有更 多的运算就必须对每个运算都进行讨论， 多的运算就必须对每个运算都进行讨论，一个运算若有 幺元，则一定指明是该运算的幺元。 幺元，则一定指明是该运算的幺元。
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6、零元 、
代数系统的性质
一个代数系统<U， ，如果存在一个元素θ∈ ， 一个代数系统 ，°>，如果存在一个元素 ∈U，使得 为对于运算“ 对∀x∈U有：θ°x =x°θ=θ，则称 为对于运算“ ° ” 的 ∈ 有 ° ° ，则称θ为对于运算 零元。 零元。 若只满足θ° 称为左零元。 若只满足 °x =θ，则θ称为左零元。 ， 称为左零元 称为右零元。 若只满足 x°θ=θ，则θ称为右零元。 ° ， 称为右零元 例如：代数系统 ， 的零元是什么？ 例如：代数系统<I，×>的零元是什么？ 的零元是什么 （0） ） 在所有n阶方阵集合 上的代数系统<M，×>，零 阶方阵集合M上的代数系统 ② 在所有 阶方阵集合 上的代数系统 ， ， 元是什么？ 元是什么？ 阶方阵） 阶方阵 （所有元素为 0 的n阶方阵） 上定义一个二元运算取极小“ ③ 在I+上定义一个二元运算取极小“Min”，< I+， ， ， Min>的零元是什么？ 的零元是什么？ 的零元是什么 （1） ）
第五章 代数系统简介[88页]
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5.1 二元运算及性质
内容：二元运算，交换律，结合律，分 配 律，吸收律，幂等律，消去律等。 重点：（1）掌握二元运算的概念；
（2）掌握二元运算的重要性质； （3）掌握零元，幺元，逆元的定 义。
则运算“ ”对运算“ ”满足右分配律.若左右分配律 均满足，则 称运算“ ”对运算“”满足分配律.
4、若 a a c a ，则 称运算“ ”对运算“ ”满足
左吸收律；若 a b a a ，则 称运算“ ”对运算
“ ”满足右吸收律.若左右吸收律均满足，则称运算 “ ”对运算“ ”满足吸收律.
f ( a1, a2 ,, an ) b，则可记为
a1, a2 ,, an b ．
例如， (a) b
一元运算，
a1,a2 b
二元运算，
a1, a2 , a3 b 三元运算.
这些相当于前缀表示法，但对二元运算用得较多的还是
a1 a2 b .我们在本书中所涉及的代数运算仅限于一元.
运算 的右幺元. R 中有无数多个右幺元，但是没有 幺元.
例 5.3 代数系统 R, 中，其中 R 为实数，“ ” 是普通乘法，问1是它的幺元吗？
解：代数系统 R, ，其中 R 为实数，“ ”是普 通乘法，并且对任意的实数 m R ，有 m1 1 m m，
1R
即任意实数 m 与1相乘为 m .显然1是代数系统 R, 的幺元.
就称运算 满足消去律
例如，在整数集合上加法是满足消去律的.对任意的
整数 x, y, z 由 x y x z或y x z x 可得 y z .
消去了 x .类似地，对乘法也有消去律.但在幂集 P(S)
代数系统简介 -回复
代数系统简介-回复什么是代数系统？代数系统是数学中的一个重要概念，它是由一组元素和一组定义在这些元素上的运算所组成的。
代数系统的研究主要涉及元素的性质以及这些运算的规则。
代数系统可以是数学中的抽象概念，也可以是实际问题的描述。
我们可以通过定义元素和运算来构建不同类型的代数系统，这些代数系统可以用于解决各种问题，包括理论物理、计算机科学、密码学等领域中的问题。
在代数系统中，元素通常用字母表示，例如，可以用字母x、y、z表示元素。
而运算则是对元素进行操作的规则，例如，可以定义加法、减法、乘法、除法等运算。
不同的代数系统可以有不同的元素集合和运算规则，因此代数系统可以分为很多不同的类型。
代数系统的一个重要特点是封闭性，即在代数系统中进行的运算结果仍然属于代数系统。
例如，在实数集上定义的加法运算，对于任意两个实数a和b，它们的和a+b仍然是一个实数。
这种封闭性使得代数系统可以进行连续的推理和计算。
代数系统的研究主要包括以下几个方面：1. 代数结构：代数结构是指代数系统中的元素和运算之间的关系。
代数结构可以包括群、环、域等概念。
群是指一个集合和一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质；环是指一个集合和两个二元运算，满足封闭性、结合律、分配律等性质；域是指一个集合和两个二元运算，满足封闭性、结合律、分配律、单位元和逆元等性质。
2. 代数运算：代数运算是指在代数系统中对元素进行操作的规则。
常见的代数运算包括加法、减法、乘法、除法等。
这些运算可以根据不同的代数系统和问题进行定义。
例如，在复数集上定义的乘法运算，对于复数a+bi和c+di，它们的乘积可以通过“交叉相乘加中间项”的方法进行计算：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 代数方程：代数方程是指将一个或多个未知数与系数之间的关系用等式表示的方程。
解代数方程就是找到满足方程的未知数的值。
代数方程的解法可以依赖于代数系统中的一些性质和定理。
代数系统
பைடு நூலகம்
定理6-2.3.设是X上有幺元e且可结合的二元运算，如果 x∈X，x的左、右逆元都存在，则x的左、右逆元必相等， 且x的逆元是唯一的。 证明：设xL-1、 xR-1分别是x的左、右逆元，于是有 xL-1x = x xR-1 =e xR-1 =exR-1 =(xL-1x) xR-1=xL-1(x xR-1)=xL-1e=xL-1 假设x有两个逆元 x1、x2， 所以 x1x= e = x x2 x2 = ex2 =(x1x) x2=x1( x x2)=x1 e =x1 所以x的逆元是唯一的。 定理6-2.4.设是X上有幺元e且可结合的二元运算，如果 x∈X，都存在左逆元，则x的左逆元也是它的右逆元。 证明：任取a∈X，b∈X，ba=e, c∈X, cb=e, 于是有 ab=e(ab)=(cb)(ab) =c(ba)b=ceb=cb=e 所以b也是a的右逆元。
二.代数系统的概念
1.代数系统的定义：X是非空集合，X上的m个运算 f1,f2,…fm, 构成代数系统U,记作U=<X, f1,f2,…fm> ( m≥1) 注意：这m个运算f1,f2,…fm的元数可能各不相同, 比如f1 是一元运算，f2是二元运算,…,fm是k元运算。 例如 <N,+,×>，<I, -,+,－,×>，<P(E), ~,∪,∩,> 2.有限代数系统： U=<X, f1,f2,…fm> 是个代数系统，如果 X是个有限集合，则称U是个有限代数系统。 例如上边的X={S,R,A,L}，<X，>是个有限代数系统。 3. 同类型代数系统：给定两个代数系统 U=<X, f1,f2,…fm> ，V=<Y, g1,g2,…gm> 如对应的运算fi和 gi的元数相同(i=1,2,3,…,m),则称U与V是同类型代数系统。 例如<P(E)，~,∩,∪> <{T,F}， ,∧,∨>
离散数学代数系统总结
离散数学代数系统总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构。
而代数系统是离散数学的一个重要分支，它研究的是一类具有特定性质的运算集合。
在这篇文章中，我们将从代数系统的基本概念、性质和应用几个方面对离散数学中的代数系统进行总结。
一、代数系统的基本概念代数系统是指一个非空集合A，以及在这个集合上定义的一个或多个运算。
根据运算的性质，代数系统可以分为不同的类型，包括群、环、域等。
其中，群是最基本的代数系统，它具有封闭性、结合律、单位元、逆元等性质。
环则在群的基础上增加了乘法运算，并满足了分配律。
域是环的一种扩充，它除了满足环的性质外，还具有乘法逆元。
二、代数系统的性质1. 封闭性：代数系统中的运算结果仍属于该系统，即对于任意a、b∈A，a运算b的结果仍然属于A。
2. 结合律：对于代数系统中的任意元素a、b、c，(a运算b)运算c 与a运算(b运算c)的结果相同。
3. 单位元：代数系统中存在一个元素e，对于任意元素a，a运算e与e运算a的结果均为a。
4. 逆元：代数系统中的每个元素a都存在一个逆元，使得a运算它的逆元等于单位元。
5. 交换律：对于代数系统中的任意元素a、b，a运算b与b运算a 的结果相同。
这些性质是代数系统的基本特征，不同类型的代数系统在这些性质上有所区别，比如群具有结合律和单位元，但不一定满足交换律。
三、代数系统的应用代数系统在数学及其他学科中有着广泛的应用。
以下是几个代数系统应用的例子：1. 编码理论：代数系统的运算可以用于编码和解码信息，例如循环冗余校验码（CRC）就是通过代数系统中的运算实现数据校验。
2. 密码学：代数系统中的数学运算被广泛应用于密码学中，用于加密和解密信息，保护数据的安全。
3. 图论：代数系统的概念和性质在图论中有着重要的应用，例如邻接矩阵和关联矩阵可以用于描述和分析图的结构和特性。
4. 计算机科学：代数系统在计算机科学中有着广泛的应用，例如布尔代数在逻辑电路设计和逻辑编程中的应用。
离散数学 代数结构-代数系统
代数系统
9.2 代数系统
代数或叫代数系统,应用抽象的方法，研究要处理的数学对 象集合上的关系或运算。 事物中的关系就是事物的结构，所以，代数系统又称代数 结构。 代数通常由三部分组成； 1．一个集合，叫做代数的载体。 载体是要处理的数学目标的集合，如整数，实数集合等。 代数载体一般是非空集合，不讨论载体是空集的代数。 2．定义在集合上的运算 定义在载体S上的运算是从Sm到S的一个映射，自然数m的值 叫做运算的元数。 3．特异元素，叫做代数常数 如幺元、零元、等幂元等 代数通常用由集合、运算和特殊元素组成的n元组表示
代数系统
1、定义12 非空集合S和S上k个一元或二元运算fl，f2，…，fk组 成的系统称为一个代数系统，简称代数， 记作： < S ，f1，f2，…，fk > ． 例如 < N，+ > ，< Z，+，·> ，< R，+，· > 都是代数系统， < M(R)，+， * > 其中 + 和 * 表示n阶实矩阵的加法和乘法 < Zn ，+n ，*n > 是代数系统，其中 Zn={ 0，1，2 ，… n-1 } ，+n 和 *n 分别表示模n的加法和乘法：
例：设B={0,a,b,1}，S1={a,1} S2={0,1} S3={a,b} 二元运算+和*由表给出，则： 1）<B,*,+,0,1>是代数系统吗？ 2）<S1,*,+>是代数系统吗？ 是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 3）<S2,*,+,0,1>是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 4）<S3,*,+>是代数系统吗？
6 代数系统
3) 等幂元：设*是集合 中的二元运算 且x∈X，如果有 等幂元： 是集合X中的二元运算 是集合 中的二元运算,且 ∈ ， x*x=x,则称 对于 运算是等幂的； x称为等幂元。 则称x对于 运算是等幂的； 称为等幂元 称为等幂元。 则称 对于*运算是等幂的 对任何运算来说，幺元和零元都是等幂元。 例 对任何运算来说，幺元和零元都是等幂元。 4) 逆元（左逆元 l 、右逆元 r ） 逆元（左逆元x 右逆元x 是集合X中的运算 中对于*存在幺元 设*是集合 中的运算 且X中对于 存在幺元 ，令x∈X 是集合 中的运算,且 中对于 存在幺元e， ∈ （1）如果有一个元素 l∈X，能使得 l*x= e,则称 l为x的 则称x ）如果有一个元素x ，能使得x 则称 的 左逆元，并称x是左可逆的 是左可逆的； 左逆元，并称 是左可逆的； 则称x ，能使得x*xr= e,则称 r为x的 则称 的 （2）如果有一个元素 r∈X，能使得 ）如果有一个元素x 右逆元，并称x是右可逆的 是右可逆的； 右逆元，并称 是右可逆的； 既左可逆的又是右可逆的， （3）如果 既左可逆的又是右可逆的，则称 是可逆的。 ）如果x既左可逆的又是右可逆的 则称x是可逆的
对任意xx若其逆元x1存在则x1xx11xx1为整故只有2和0有逆元212015可约的或可消去的设是集合x中的运算且ax定理设是集合x中的运算且是可结合的若ax对运算是可逆的则a也是可约的
第6章 代数系统初步
大连海事大学
计算机科学与技术学院
第3篇 代数系统
代数系统又称代数结构或抽象代数， 代数系统又称代数结构或抽象代数，是近代数学研 代数结构 究的主要对象。代数系统是指集合及其运算所组成 究的主要对象。代数系统是指集合及其运算所组成 的一个整体（或系统）。 的一个整体（或系统）。 我们研究代数系统主要是研究它的代数性质， 我们研究代数系统主要是研究它的代数性质，即代 它的代数性质 数运算所表达的性质， 集合和映射是研究代数系 数运算所表达的性质，而集合和映射是研究代数系 所表达的性质 统的基础。 统的基础。 典型的代数系统主要包括群 典型的代数系统主要包括群、环、域、格与布尔代 数等内容。 等内容。
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代数发展简史一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。
傅鹰数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。
F. Cajori0、引言数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。
这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。
在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。
在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。
“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。
阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料，很少流传下来．一般认为他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米为姓．另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家．东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米．公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首都巴格达工作．公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关)，花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一．马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世．花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期．花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》．1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。
后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即：代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。
古希腊数学家丢番图（Diophantus）用文字缩写来表示未知量，在公元250年前后丢番图写了一本数学巨著《算术》（Arithmetica）。
其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程序的思想。
故有“代数学之父”（Father of algebra）的称号。
代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。
发展至今，它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分。
1、算术算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。
--高斯（Gauss,1777-1855）数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。
--麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。
另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。
现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。
作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。
算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。
它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。
自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。
日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。
现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。
它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。
15世纪，它被改造成现在的形式。
在印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。
19世纪中叶，格拉斯曼（Grassmann）第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。
后来，皮亚诺（Peano）进一步完善了格拉斯曼的体系。
算术的基本概念和逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。
尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此广泛，因此我们几乎离不开它。
同时，它又构成了数学其它分支的最坚实的基础。
2、初等代数作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。
代数一词的拉丁文原意是“归位”。
代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：其一是增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组(主要是一次方程组)；其二是增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。
初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。
古巴比伦(公元前19世纪～前17世纪)解决了一次和二次方程问题，欧几里得的《原本》(公元前4世纪)中就有用几何形式解二次方程的方法。
我国的《九章算术》(公元1世纪)中有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数。
3世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。
13世纪我国出现的天元术(李冶《测圆海镜》)是有关一元高次方程的数值解法。
16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。
代数学符号发展的历史，可分为三个阶段。
第一个阶段为三世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，称为文字叙述代数。
第二个阶段为三世纪至16世纪，对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代数。
三世纪的丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。
然而此后文字叙述代数，在除了印度以外的世界其它地方，还十分普通地存在了好几百年，尤其在西欧一直到15世纪。
第三个阶段为16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系，称为符号代数。
韦达（Viète）在他的《分析方法入门》（Inartem analyticem isagoge,1591）著作中，首次系统地使用了符号表示未知量的值进行运算，提出符号运算与数的区别，规定了代数与算术的分界。
韦达是第一个试图创立一般符号代数的的数学家，他开创的符号代数，经笛卡尔（Descarte）改进后成为现代的形式。
笛卡尔用小写字母a, b, c等表示已知量，而用x, y, z代表未知量。
这种用法已经成为当今的标准用法。
“＋”、“－”号第一次在数学书中出现，是1489年维德曼的著作《商业中的巧妙速算法》（Behend und hüpsch Rechnung uff allen kauffmanschafften, 1489）。
不过正式为大家所公认，作为加、减法运算的符号，那是从1514年由荷伊克开始的。
1540年，雷科德(R. Rcorde)开始使用现在使用的“＝”。
到1591年，韦达在著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。
1600年哈里奥特（T. Harriot）创用大于号“＞”和小于号“＜”。
1631年，奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符。
1637年，笛卡尔第一次使用了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。
至于“≮”、“≯”、“≠”这三个符号的出现，那是近代的事了。
数的概念的拓广，在历史上并不全是由解代数方程所引起的，但习惯上仍把它放在初等代数里，以求与这门课程的安排相一致。
公元前4世纪，古希腊人发现无理数。
公元前2世纪(西汉时期)，我国开始应用负数。
1545年，意大利的卡尔达诺(N. Cardano)在《大术》中开始使用虚数。
1614年，英国的耐普尔发明对数。
17世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。
3、高等代数在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而二次以上方程发展成为多项式理论。
前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。
作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。
高次方程组（即非线性方程组）发展成为一门比较现代的数学理论－代数几何。
线性代数是高等代数的一大分支。
我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个课题的文章。
向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。
向量用于梯度，散度，旋度就更有说服力。
同样，行列式和矩阵如导数一样（虽然在数学上不过是一个符号，表示包括的极限的长式子，但导数本身是一个强有力的概念，能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。
因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。
然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。
线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。
十七世纪日本数学家关孝和提出了行列式（determinant）的概念，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。
而在欧洲，第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（Leibnitz，1693年）。
1750年克莱姆（Cramer）在他的《线性代数分析导言》（Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques）中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的Cramer克莱姆法则）。