第9章代数系统

合集下载

第九章 代数系统

第九章 代数系统
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
11
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0
0 1 2 3 4
0 2 4 1 3
0 3 1 4 2
0 4 3 2 1
12
定义9.3
都有
设∘为S上的二元运算,如果对于任意的x,y∈S
24
25
定理9.4 设◦为S上可结合的二元运算,e为该运算的
幺元.对于x∈S如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有 yl=yr=y, 且y是x的唯一的逆元. 证明: yl=yl◦e=yl◦ (x◦yr) =(yl◦x)◦yr=e◦yr=yr. 令yl = yr = y,假设y’∈S是x的逆元,则有 y’=y’◦e=y’◦(x◦y)=(y’◦x)◦y=e◦y=y. 由这个定理可知,对于可结合的二元运算来说,元素x的 逆元如果存在则是唯一的.通常把这个唯一的逆元记 作x-1 .
谁是幺元?
自然数集合上的加法运算的幺元是谁? 自然数集合上的乘法运算的幺元是谁? 在Mn(R)上,矩阵加法的幺元是谁? 在Mn(R)上,矩阵乘法的幺元是谁? 在幂集P(S)上,∪运算的幺元是谁? 在幂集P(S)上,∩运算的幺元是谁? R*是非零实数集,任意的a,bR*有a◦b=a,运算◦ 的幺元是谁?
28
(2) *运算满足交换律,因为对x,y ∈Q,
x*y=x+y-xy=y+x-yx=y*x *运算满足结合律,因为对x,y ∈Q,
(x*y)*z=(x+y-xy)*z=x+y+z-xy-xz-yz+xyz x*(y*z)=x*(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz 所以(x*y)*z= x*(y*z) *运算不满足幂等律 因为2∈Q

离散数学 第九章

离散数学 第九章

οai οa1 ο a2
. . . οan
二元运算的运算表
2011-1-31 曲阜师范大学计算机科学学院
一元运算的运算表
12
运算表的实例
上的⊕ 运算的运算表 的运算表, 例3 设 S=P({a,b}),S上的⊕和 ∼运算的运算表,其中全 , 上的 集为{a,b}。 集为 。 ⊕ ∅ {a} {b} {a,b} ∅ ∅ {a} {a} {a} ∅ {b} {a,b} {b} ∅ {a} {a,b} {a} ∅ x ∅ {a} {b} {a,b} ~x {a,b} {b} } {a} ∅
2011-1-31
曲阜师范大学计算机科学学院
2
第三部分 代数结构
一元:f:S→S 一元 二元:f:S×S→S 二元 × 多元
符合某些律
运算
性质 交换律 单位元 结合律 零元 幂等律 逆元 分配律 吸收律 消去律
代数系统
建立两 个代数 系统的 联系 映射) (映射)
具体代数系统
半群 群 环 域 格 布尔代数
离 散 数 学
代数结构
2011-1-31
曲阜师范大学计算机科学学院
1
第三部分 代数结构
代数结构是以研究数字、文字和更一般元素的运算的 代数结构是以研究数字、文字和更一般元素的运算的 规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性 规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性 和由这些 为中心问题. 质为中心问题 它对现代数学如拓扑学、泛函分析等, 它对现代数学如拓扑学、泛函分析等 以及一些其他 科学领域, 如计算机科学、编码理论等, 科学领域 如计算机科学、编码理论等 都有重要影响和广 泛应用. 泛应用
2011-1-31
曲阜师范大学计算机科学学院

近世代数学习教材PPT课件

近世代数学习教材PPT课件

§8.2 代数系统常见的一些性质
(3)代数系统常见性质 1)结合律:(a b) c=a (b c) 2)交换律:a b=b a 3)分配律:a (b+c)=(a b)+(a c) 4)单位元:a 1=a 5)逆元:a a-1=1 6)零元:a 0=0
7)生成元
逆元

特殊子环 (两个二元运算:,
单位元,无零因子 整环 理想 商环
)
特殊环
两个运算的结合律、交换律、吸收律
格 两个运算的分配律 分配格 布尔代数 两个运算的单位元、逆元 两个运算有单位元 有界格 两个运算有逆元 有补格
第九章 群论
§9.1 一些群的定义
(7)半群——代数系统满足交换律
§9.2 一些群的理论与半群性质:
半群的子代数也是半群。 循环半群是可换半群。 (19)关于群的基本理论 群方程可解性:a x = b(或x a = b)对x存在唯一解; 群的消去律:a b = a c(或b a = c a)必有b = c; 任一群必与变换群同构; 与一个群同构或满同态的代数系统必为群; 一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群;
第三篇 近世代数
代数系统是建立在集合论基础上以代 数运算为研究对象的学科。本篇共三章, 第五章代数系统基础介绍代数系统的一般 原理与性质, 第六章群论,主要介绍具有 代表性的代数系统-群,最后第七章其它 代数系统,介绍除群外常见的一些代数系 统,如环、域、格与布尔代数等,这三章 相互配合构成了代数系统的完整的整体。
§8.3 同构与同态
(4)同构:(X, )与(Y,)存在一一对应函
数g : XY使得如x1 , x2X,则有:g(x1 x 2)=g(x1)

代数系统简介

代数系统简介

代数系统简介一、代数系统的基本概念代数系统,也称为代数结构或代数系统,是数学中一个重要的概念,它由集合和定义在这个集合上的运算组成。

代数系统是代数学的基本研究对象,也是泛代数、抽象代数、代数学等领域中重要的研究对象。

代数系统通常由两个部分组成:一个是非空元素集合,称为代数系统的论域或标量域;另一个是定义在论域上的运算,这些运算需满足一定的性质或公理。

根据所涉及的运算不同,代数系统可分为不同类型,如群、环、域、格等。

代数系统的概念来源于对数学中不同分支中抽象概念的概括和总结,其研究范围包括数学中不同领域的许多分支。

例如,集合论、抽象代数、泛代数、拓扑学等都是研究代数系统的重要领域。

二、代数系统的分类根据所涉及的运算和性质的不同,代数系统有多种分类方式。

以下是其中几种常见的分类方式:1.根据所涉及的运算的性质,可以将代数系统分为有交换律和结合律的代数系统(如群、环、域)和没有交换律和结合律的代数系统(如格、布尔代数)。

2.根据运算是否涉及单位元和逆元,可以将代数系统分为有单位元的代数系统和无单位元的代数系统。

前者如群、环、域等,后者如格等。

3.根据所涉及的元素是否具有可交换性,可以将代数系统分为可交换的代数系统和不可交换的代数系统。

前者如交换群等,后者如李群等。

4.根据所涉及的元素是否具有无限性,可以将代数系统分为有限代数系统和无限代数系统。

前者如有限群等,后者如无限群等。

此外,还可以根据其他性质和特征对代数系统进行分类。

通过不同的分类方式,我们可以更好地了解和研究不同类型代数系统的特性和性质。

三、代数系统的性质代数系统的性质是指代数系统中元素之间通过运算所表现出来的关系和性质。

以下是几个常见的代数系统的性质:1.封闭性:如果对于代数系统中的任意两个元素x和y,它们的运算结果仍属于该集合,则称该运算满足封闭性。

封闭性是代数系统中一个重要的性质,它保证了运算结果的元素仍属于该系统。

2.结合律:如果对于代数系统中的任意三个元素x、y和z,有(x·y)·z=x·(y·z),则称该运算满足结合律。

代数系统简介

代数系统简介

代数发展简史一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分,因为科学只能给我们知识,而历史却能给我们智慧。

傅鹰数学的历史是重要的,它是文明史的有价值的组成部分,人类的进步和科学思想是一致的。

F. Cajori0、引言数学发展到现在,已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。

大体说来,数学中研究数的部分属于代数学的范畴;研究形的部分,属于几何学的范筹;沟通形与数且涉及极限运算的部分,属于分析学的范围。

这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。

在这一核心的周围,由于数学通过数与形这两个概念,与其它科学互相渗透,而出现了许多边缘学科和交叉学科。

在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。

“代数”(algebra)一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米(al-Khowārizmī,约780-850)一本著作的名称,书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah,直译应为《还原与对消的科学》.al-jabr 意为“还原”,这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项;muqabalah 意即“对消”或“化简”,指方程两端可以消去相同的项或合并同类项.在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”,拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用,英文译作“algebra”。

阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料,很少流传下来.一般认为他生于花拉子模[Khwarizm,位于阿姆河下游,今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近],故以花拉子米为姓.另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī).祖先是花拉子模人.花拉子米是拜火教徒的后裔,早年在家乡接受初等教育,后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造,并到过阿富汗、印度等地游学,不久成为远近闻名的科学家.东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn,公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米.公元813年,马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后,聘请花拉子米到首都巴格达工作.公元830年,马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah,是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关),花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一.马蒙去世后,花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作,直至去世.花拉子米生活和工作的时期,是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期.花拉子米科学研究的范围十分广泛,包括数学、天文学、历史学和地理学等领域.他撰写了许多重要的科学著作.在数学方面,花拉子米编著了两部传世之作:《代数学》和《印度的计算术》.1859年,我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。

离散数学重点笔记

离散数学重点笔记

(┐p∧q)→r,(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为∧成真小写重言蕴涵式【例】用附加前提证明法证明下面推理。

⌝前提:P→(Q→R),S∨P,Q 结论:S→R⌝证明:(1)S∨P前提引入规则(2)S 附加前提引入规则⌝(11)P∨R(10)置换规则(12)R (9)(11)析取三段论规则⌝(13)R∧R(4)(12)合取引入规则∀全称量词""对"∨"无分配律。

同样的,∃存在量词""对"∧"无分配律(3) x yF(x,y)x(F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c))(F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))谓词逻辑的等价公式定理1设A(x)是谓词公式,有关量词否定的两个等价公式:∀⇔∃(1)﹁x A(x)x﹁A(x)∃⇔∀(2)﹁x A(x)x﹁A(x)定理2 设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式,B是不含x出现的公式,则有∀⇔∀(1)x(A(x)∨B)x A(x)∨B∀⇔∀(2)x(A(x)∧B)x A(x)∧B∀⇔∃(3)x(A(x)→ B)x A(x)→ B∀⇔∀(4)x(B→A(x))B→x A(x)∃⇔∃(5)x(A(x)∨B)x A(x)∨B∃⇔∃(6)x(A(x)∧B)x A(x)∧B∃⇔∀(7)x(A(x)→ B)x A(x)→ B∃⇔∃(8)x(B→A(x))B→x A(x)定理3 设A(x)、B(x)是任意包含自由出现个体变元x的公式,则有:∀⇔∀∀(1)x(A(x)∧B(x))x A(x)∧x B(x)∃⇔∃∃(2)x(A(x)∨B(x))x A(x)∨x B(x)定理4 下列蕴涵式成立∀∀⇒∀(1)x A(x)∨x B(x)x(A(x)∨B(x))∃⇒∃∃(2)x(A(x)∧B(x))x A(x)∧x B(x)∀⇒∀∀(3)x(A(x)→ B(x))x A(x)→x B(x)∀⇒∃∃(4)x(A(x)→ B(x))x A(x)→x B(x)∃∀⇒∀(5)x A(x)→x B(x)x(A(x)→ B(x))【例】【例】【例】【例】【例】在一阶逻辑自然推理系统F中构造下面推理的证明(1)所有的人或者是吃素的或者是吃荤的,吃素的常吃豆制品,因而不吃豆制品的人是吃荤的。

《离散数学》第9—11章 习题详解!

《离散数学》第9—11章 习题详解!
第三部分 代数结构
第九章 代 数 系 统
9.1 内 容 提 要
1.二元运算与一元运算 二元运算 设 S 为集合,函数 f:S ×S→S 称为 S 上的二元运算.这时也称 S 对 f 是封闭的. 一元运算 设 S 为集合,函数 f:S→S 称为 S 上的一元运算.这时也称 S 对 f 是封闭的. 二元与一元运算的算符 ,倡,· ,◇,Δ等 二元与一元运算的表示法 表达式或者运算表 2.二元运算的性质 (1) 涉及一个二元运算的算律
定理 9.3 如果 |S |>1,则单位元不等于零元. 定理 9.4 对于可结合的二元运算,可逆元素 x 只有惟一的逆元 x -1 .
3.代数系统
代数系统 非空集合 S 与 S 上的 k 个一元或二元运算 f1 ,f2 ,…,fk 组成的系统,记作 <S,f1 ,
f2 ,…,fk >. 同类型的代数系统与同种的代数系统
称 V =<A ×B,· 重要结果:
<a1 ,b1 >· <a2 ,b2 >=<a1 a2 ,b1 倡b2 > >为 V1 与 V2 的积代数,记作 V1 ×V2 .这时也称 V1 和 V2 为 V 的因子代数.
任何代数系统 V 都存在子代数,V 是 V 的平凡子代数.
V 的子代数与 V 不仅是同类型的,也是同种的.
9.2 基 本 要 求
1.会判断给定函数 f 是否为集合 S 上的二元或一元运算. 2.会判断或者证明二元运算的性质.
第九章 代 数 系 统
177
3.会求二元运算的特异元素. 4.掌握子代数的概念. 5.掌握积代数的定义及其性质 6.能够判断函数是否为同态并分析同态的性质.
9.3 习 题 课
本章的习题主要有以下题型. 题型一 判断运算是否封闭( 集合与运算是否构成代数系统) ,并对封闭的运算确定其性质 及特异元素

信息安全数学基础 第2版 第9章 密码学中的数学问题

信息安全数学基础 第2版 第9章 密码学中的数学问题

二次剩余问题
二次剩余问题
离散对数问题
第5节
离散对数问题
离散对数问题
➢ 主要内容
离散对数问题和大整数分解问题是公钥密码学中最主要的两个困难问题,在本节中将介 绍离散对数问题及其衍生出的多种形式的数学难题。
离散对数问题
离散对数问题
离散对数问题
离散对数问题
双线性对问题
第6节
二次剩余问题
双线性对问题
➢ 学习要求:
• 了解当前重要的密码算法中涉及的数学问题 ; • 理解公钥密码方案设计中涉及的数学问题及其计算的困难性 ; • 了解公钥密码方案设计原理及其安全性基础.
密码学中的数学问题
CONTENTS
目录
1 素性检测 2 大整数分解问题 3 RSA问题 4 二次剩余问题 5 离散对数问题 6 双线性对问题
《信息安全数学基础(第2版)》
第9章密码学中的数学问题
密码学中的数学问题
➢ 主要内容
本章前面几章介绍了数论、代数系统和椭圆曲线方面的内容,这些内容都是现代密码学 中密码算法和密码协议构造和分析的最主要的数学工具。
本章将主要介绍前面几章的数学知识在密码学中的应用,包括密码学中的一些数学问题、 数学知识在密码学算法和协议方案设计中的应用、密码学算法和协议方案的安全性基础等。
➢ 主要内容
双线性对是离散对数问题衍生出的一种重要的数学问题,其在密码学的密码协议设计中 有着重要应用,本节将对双线性对的数学原理和困难问题进行简要介绍。
双线性对问题
双线性对问题
双线性对问题
双线性对问题
双线性对问题
双线性对问题
小结
➢ 本章小结
密码学的基础是数学,重要的密码算法和密码协议(特别是公钥密码算法)大都是基于 一些数学问题构造的,例如RSA基于大整数分解问题,ElGamal基于有限域乘法群上的离散 对数问题,ECC是基于有限域椭圆曲线群上的离散对数问题等。本章详细介绍了密码学中的 一些数学问题、数学知识在密码学算法和协议方案设计中的应用、密码学算法和协议方案的 安全性基础等。

组合数学课程介绍

组合数学课程介绍

12
• 斯坦福数学系的教授研究了这个问题, 设立了一个小小的奖项来征集答案, 100美金.
• 数学家和计算机学者都来参与了 • 谁赢了呢?
– 伊利诺大学计算机系的比尔.卡特勒借助计算机 得出的答案是17152种拼法
– 数学家用纸和笔对排列进行分类,共24个基本 族,基本解法是536种,考虑旋转32种,答案 也是17152种。
大禹(2205BC -2105BC)
492 357 816
10
• 组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。
• 1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带 上了幻方以作为人类智慧的信号。
2200BC
4 9 2神 3 5 7农

8 1 6方
15世纪
1 15 14 4 4 12 6 7 9 阶
幻 8 10 11 5 方
31
• “6度分离” —对每个人来说,平均大约只需要通过6 个人就能将信寄到目的地。
• 研究无尺度网络,对于防备黑客攻击、防治流行病、和 开发新药等,都具有重要的意义。
• 在1999年,Barab´asi et al.发现在因特网上,任意两个 网页间的链接即网页之间的“距离”平均为18.59 。从 任意一个网页出发, 原则上可以通过不超过19次链接到 达互联网中的任何网页。 (Nature 401, 1999)
/zh-cn/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6
Combinatorics: Combinatorics is a branch of pure mathematics concerning the study of discrete (and usually finite) objects. It is related to many other areas of mathematics, such as algebra, probability theory, ergodic theory and geometry, as well as to applied subjects in computer science and statistical physics.

代数系统

代数系统

27
代数系统的同态与同构
定义9.10 设 V1=<S1, ◦ >和 V2=<S2, >是代数系统, 其中 ◦ 和 是二元运算. f : S1S2, 且x, yS1 f (x ◦ y) = f(x) f( y) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射, 简称同态.
28
实例
例 <R+, ×>, <R, +>是两个代数系统, 映射f : R+R定义为: f(x)=log x, 则 f 是< R+, ×>到<R, +>的同态映射 log (x×y) = (log x) + (log y)
25
9.2 代数系统

9.2.1 代数系统的定义与实例
9.2.2 代数系统的同态与同构
26
代数系统定义与实例
定义9.9 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f2, … , fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代数, 记作 <S, f1, f2, …, fk >.
实例: <N, + >, <Z, +, ·>, <R, +, ·>是代数系统, +和· 分别表示 普通加法和乘法. <P(S),∪,∩, ~ >也是代数系统, ∪和∩为并和交, ~为绝对 补
M n (R ) a 21 a n1 a 22 a 2 n a n 2 a nn a ij R , i , j 1,2,...,n
矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算. (5) 幂集 P(A)上的二元运算: ∪、∩、-、.

《离散数学》 第10章 代数系统

《离散数学》 第10章 代数系统
例10.1.8 实数集R上的乘法对加法是可分配的,但加法对 乘法不满足分配律。

10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定义10.1.7 设 ,*为集合A上的两个可交换二元运算, 若对任意x,y∈A,都有x (x*y)=x和x* (x y)=x,则 称运算 和运算*是可吸收的,或称运算 和运算*满足
例如,A={所有整数},B={所有不等于零的整
数},C={所有有理数},则
f: A×B→C,
(a,b) a b
是一个A×B到C的代数运算,也就是普通的除法。
10.1 二元运算及其性质
10.1.1 二元运算
定义10.1.2 设A为集合,如果f是A×A到A的代数运算,则称f 是A上的一个二元运算,也称作集合A对于代数运算f来说是 封闭的。

10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
例10.1.7 设R为实数集, 为集合R上的二元运算,对任意
的a,b∈R,a b=a+2b,问这个运算满足交换律、结合律
吗?
解 因为2 3=2+2×3=8,而3 2=3+2×2=7,2 3≠3 2,故
该运算不满足交换律。
又=2因+2为×((23+32)×44)=(=223+,2×(32)3+)2×44≠=216(,3而42)(,3故4)该运
算也不满足结合律。

10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定义10.1.6 设 ,*为集合A上的两个二元运算,若对任意 x,y,z∈A,有x(y*z) = (x y)*(x z)和(y*z) x的=,(或y称x运)算*(z对x)运成算立*满,足则分称配运律算。 对运算*是可分配

《离散数学》代数系统--代数系统的基本概念 ppt课件

《离散数学》代数系统--代数系统的基本概念 ppt课件

解:(1) 封闭、可交换、等幂、幺元是b、无零元
b-1=b a-1=c c-1=a
(2) 封闭、不可交换、无等幂性、幺元是a、
无零元,d是左零元、
a-1=a b-1=b c-1=b b-1=c
23
P184
作业
(1)(2)
24
16
定理2:*是A上的二元运算,且在A中有关于*的左零元l和右零元 r,则l = r = ,且A中零元是唯一的。
证明:(1) r = l * r = l = (2) 设’也是A中关于*的零元,则 * ’= ’ 又∵ 是A中关于*的零元, ∴ * ’= ∴ = ’
定理3:设<A,*>是一个代数系统,且 | A |>1,若<A,*>中存在幺元e 和零元,则e ≠ 。 证明: 假设 = e ,则 对于A中任意元素,有x=e*x= *x= =e 即A中所有元素都是 ,也都是e,所有元素都相同, ∴ | A |=1 与已知矛盾,假设错 ∴e≠
例:代数系统<I,+>满足消去律。
11
代数系统的组成
N元运算法则
如+、-
×………
特异元素
如×中的1和0
代数载体
(集合:如实数集、整数集)
代数系统
12
4. 代数常元
幺元
定义3:设*是集合A上的二元运算 若elA,对于xA ,都有el*x=x,则称el为A中 关于运算*的左幺元; 若erA,对于xA ,都有x*er=x,则称er为A中 关于运算*的右幺元; 若eA,对于xA ,都有e*x=x*e=x,则称e为A 中关于运算*的幺元。
15
零元
定义4:设*是集合A上的二元运算 若lA,对于xA ,都有l*x=l ,则称l为A中关于运 算*的左零元; 若rA,对于xA ,都有x*r=r ,则称r为A中关于 运算*的右零元; 若A,对于xA ,都有*x=x*=,则称为A中关于 运算*的零元。

判断°运算是否满足交换律和结合律

判断°运算是否满足交换律和结合律
14
9.1 二元运算及其性质
左幺元(右幺元):设*是A上的二元运算, 如果 存 在元 素 eL( 或er ) A , 使 得 对 一 切 xA,均有 eL * x=x(或x * er =x) 则称eL(er)是A中关于运算*的一个左幺元( 右幺元)
❖若元素e既是左幺元,又是右幺元,则称e是A中 关于*的一个幺元(e也可记为1,称单位元)
因此,代数通常用载体,运算和常数组成的n 重组表示
4
9.1 二元运算及其性质
二元运算:设S是个集合,S×S到S的一个函数 (映射)f: S×S→S称为S上的一个二元代数 运算
注:映射有存在性和唯一性的要求,运算当然要 此要求。
①存在性: x,y∈S,f(<x,y>)要有结果, 并且此结果∈S
②唯一性: x,y∈S,f(<x,y>)只能有一个 结果∈S
29
9.2 代数系统
通常也可把特异元素(常数)放在代数系统之 中,形成<S,f1, f2,… fk,x> :
❖<N, +, 0> ❖<P(S), ∪, ∩, ∼ , , S >
代数系统的基数|V|=|S|, 就是非空集合的基数
30
9.2 代数系统
同类型的代数系统:
❖两个代数系统中有相同个数的运算和常数,且对 应运算的元数相同
证明: (1)先证左逆元=右逆元: 设yl和yr分别是x的左逆元和右逆元,
∵x是可逆的和可结合的(条件给出) ∴ yl*x=x*yr=1 ∵ yl*x*yr=(yl*x)*yr=1*yr=yr;
yl*x*yr=yl*(x*yr)= yl*1 =yl; ∴ yl=yr
பைடு நூலகம்23

离散数学07抽象代数

离散数学07抽象代数

7.2 代数结构及其性质
定义7.1 设S是一个非空集合。如果有一 个法则, 它对S中任意两个有序元素a与b, 在S中都有一个惟一确定的元素c与它们 对应, 则称这个法则是集合S中一个二元 代数运算。
7.2 代数结构及其性质
一般地,容易得到n元运算的定义:
设S是一个非空集合。如果有一个法则,它 对S中任意n个有序元素a1, a2, „, an, 在S中 都有一个惟一确定的元素d与它们对应, 则称这 个法则是集合S中一个n元代数运算。
7.2 代数结构及其性质
例7.3 设*是定义在集合A上的一个n元运算, S1和S2是在A上运算*下封闭的A的子集, 则 S1∩S2在*下也是封闭的。 证明 对任一组元素a1, a2, „, an∈S1∩S2, 因为a1, a2, „, an∈S1, 且S1在运算*下是 封闭的, 所以, *(a1, a2, „, an)∈S1, 又 因为a1, a2, „, an∈S2, 且S2在运算*下也是 封闭的, 所以有*(a1, a2, „, an)∈S2, 由 此得知*(a1, a2, „, an)∈S1∩S2。即: S1∩S2在*下也是封闭的。
7.2 代数结构及其性质
练习1 通常数的乘法运算是否可看作下
列集合上的二元运算?请说明理由。
(1)A={1,2}
(2)B={x|x是素数}
(3)C={x|x是偶数}
(4)D={2n|n∈N}
7.2 代数结构及其性质
定义7.2 设S上有n元运算*(n为正整数), S′S, 若对任意 a1, a2, „, an∈S′,有 *(a1, a2, „, an)∈S′, 则称S上的*运算对 S′封闭,或称为S′在*下是封闭的。
例7.4
(1)设A={1, 2, „, m}, m是一个正整数。A2 到A的映射定义为:
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

EXAMPLE 9.2
设S={1, 2},给出P(S)上的运算ˉ和⊕的 运算表,其中全集为S. xi Ø {1} {2} {1,2} xi {1,2} {2} {1} Ø ⊕ Ø {1} {2} {1,2}
Ø {1} {{1} Ø {1,2} {2} {2} {1,2} Ø {1} {1,2} {2} {1} Ø
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
§9.2 代数系统
DEFINITION 9.8
非空集合S和S上k个一元或二元运算f1, f2, …,
fk组成的系统称为一个代数系统,简称代数,
记作<S, f1, f2, …, fk>。
例如,<N,+>,<Z,+, · >,<R,+, · >,<P(S),∪,∩,ˉ>都是代数系统。
对任何代数系统V=<S, f1, f2, …, fk>,其代数一定存在。
最大的子代数是V本身。
如果令V中所有代数常数构成的集合是B,且B对V中所
有的运算都是封闭的,则B就构成了V的最小的子代数。
这种最大和最小的子代数称为V的平凡的子代数。
真子代数:如果V的子代数V’=<B, f1, f2, …, fk>满足 BS,则称V’是V的真子代数。
但,自然数集合N和普通减法-不能构成代数系统,因为两个自 然数相减可能得到一个负数,所以不能写成<N, ->。
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
在某些代数系统中对于给定的二元运算存在 幺元或零元,我们称之为该系统的特异元素 或代数常数。
例如,<P(S),∪,∩,ˉ>中的∪和∩的幺元分别 为Ø和S,可将<P(S),∪,∩,ˉ>记为 <P(S),∪,∩,ˉ, Ø, S > 。
工作者应初步掌握其基本的理论和方法。
我们通过对具体代数系统的学习,应初步掌 握对代数系统研究的一般方法:从简单到复杂、 从具体到一般,从而发现代数系统的一般规律。
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
我们在前面已经研究过集合,那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联系。 现在我们要在一个集合的内部引入运算,并 研究其运算规律,主要内容为:
(3) ◦适合幂等律:xS, x◦x=x.
(4) *对◦可分配:x,y,zS, x*(y◦z)=(x*y)◦(x*z).
(5) ◦和*满足吸收律:x,yS, x*(x◦y)=x,
x◦(x*y)=x.
幂集合上的∩,∪运算满足幂等律,可分配律,以及吸收率。
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
(2) 若y ◦ x = z ◦ x且x不是零元,则y = z,
就称运算◦满足消去律,其中(1)称作左消去律,(2)
称作右消去律。
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
EXAMPLE 9.5
(1)整数集合Z上的加法满足消去律。 加法没有零元,x, y, zZ,都有: x+y = x+z y=z,y+x = z+x y=z. (2) 整数集合Z上的乘法也满足消去律。 0是乘法的零元,不能消去,任何非零的整数都 可消去,x, y, zZ (x0),都有: xy = xz y=z,yx = zx y=z.
◦ x1 x2 … xn
x1 x 1 ◦ x1 x 2 ◦ x1 … x n ◦ x1
x2

xn x1 ◦ xn x2 ◦ xn … xn ◦ xn
x1 ◦ x2 … x2 ◦ x2 … … … xn ◦ x2 …
二元运算表的一般形式
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
1 2 3 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1
请同学们分析这个二元运算有什么特点?
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
DEFINITION 9.3-9.5 设◦和*为S上的二元运算, (1) ◦在S上可交换:x,yS, x◦y=y◦x. (2) ◦在S上可结合:x,y,zS, (x◦y)◦z=x◦(y◦z).
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
(3) 幂集P(S)上的∪运算不满足消去律。 取A, B, CP(S),由A∪B=A∪C不一定能得 到B=C. (4)∩运算也不满足消去律。 (5)运算满足消去律。 运算不存在零元,A, B, CP(S),都有: AB=ACB=C,BA=CAB=C.
定理:9.1—9.3
(1) 设◦为S上的二元运算,el, er分别为运算◦的左
幺元和右幺元,则有:el=er=e,且e为S上关于运
算◦的唯一的幺元。(由定义证明) (2) 设◦为S上的二元运算,l, r分别为运算◦的左 零元和右零元,则有:l=r=,且为S上关于运 算◦的唯一的零元。 (3) 设◦为S上可结合的二元运算,e为该运算的幺 元,对于xS如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有: yl= yr=y,且y是x的唯一的逆元。
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
证明: (3) yl = yl◦e = yl◦(x◦yr) = (yl◦x)◦yr= e◦yr = yr,
yl = yr ,
把yl = yr记作y,假设y’S是x的逆元,则有:
y’= y’◦e = y’◦(x◦y) = (y’◦x)◦y = e◦y = y.
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
证明:
(2) =l◦r
l◦r=r l=r ,
(因为l为左零元)
(因为r为右零元)
把l=r记作,假设S中存在零元’,则有: ’= ’◦ = 是S中关于运算◦的唯一的零元。
为: x ◦ y=z.
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
EXAMPLE 5. 1
1. 实数集R上的加法,减法,乘法是二元运算。 2. 设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合(n>=2),即:
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n M n ( R) aij R M M M M an1 an 2 L ann
第9章 代数系统简介
§9.1 二元运算及其性质
§9.2 代数系统
§3 几个典型的代数系统
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
本章的主要研究对象是各种各样的代数系
统,即具有一些元运算的集合,代数系统的思想
和方法已经渗透到现代科学的许多分支,它的结
果已应用到计算机的不少方面,因此计算机科学
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
EXAMPLE 9.3
设S={1,2,3,4},定义S上的二元运算如下: x ◦ y=(xy) mod 5, x, yS. 求◦的运算表。 ◦ 1 2 3 4
2 ◦3=1
xy表示 x乘y,是 普通的 乘法
1 2 3 4
则,矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
DEFINITION 9. 2. n元运算
设S为集合,n为正整数,则函数 f :S×S×…×S→S 称为S上的一个n元运算,简称为n元运算。
类似的,也可以使用算符来表示n元运算,若 f (<x1,x2,…,xn>) = y,则可利用算符◦简记为: ◦ (x1, x2, …, xn) = y 或 x1 ◦ x2 ◦ … ◦ xn= y.
例9.1: f :N×N→N, f(<x,y>)=x+y就是自然数集合 上的一个二元运算,即普通的加法运算。 考虑,普通的减法是不是自然数集合上的二元运算?
实数R上的减法是不是二元运算?
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
由二元运算的定义可知,验证一个运算是否为集合S上 的二元运算,主要考虑两点: (1) S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果 是唯一的。(函数) (2) S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是 封闭的。 通常用◦,,•,…等符号表示二元运算,称为算符。 设f :S×S→S是S上的二元运算,对任意的x,yS,如果 x与y的运算结果是z,即 f (<x,y>)=z,则可利用算符◦简记
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
EXAMPLE 9 .7
<N, +, 0>是<Z, +, 0>的子代数:因为N对+是封闭的,且它们都
含有相同的代数常数0。 <N-{0}, +>是<Z, +>的子代数,但不是<Z, +, 0>的子代数:因为
<Z, +, 0>的代数常数0N-{0}。
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
DEFINITION9.9 子代数 设V=<S, f1, f2, …, fk>是代数系统,BS,如果B对f1, f2, …, fk 都是封闭的,且B和S含有相同的代数常数,则称<B, f1, f2, …, fk>是V的子代数系统,简称子代数。 例如,<N, +>是<Z, +>的子代数:因为N对+是封闭的,且它们 都没有代数常数。
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@
EXAMPLE 9.4
相关文档
最新文档