第9章代数系统

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数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@yahoo.com.cn
(3) 幂集P(S)上的∪运算不满足消去律。 取A, B, CP(S),由A∪B=A∪C不一定能得 到B=C. (4)∩运算也不满足消去律。 (5)运算满足消去律。 运算不存在零元,A, B, CP(S),都有: AB=ACB=C,BA=CAB=C.
◦ x1 x2 … xn
x1 x 1 ◦ x1 x 2 ◦ x1 … x n ◦ x1
x2

xn x1 ◦ xn x2 ◦ xn … xn ◦ xn
x1 ◦ x2 … x2 ◦ x2 … … … xn ◦ x2 …
二元运算表的一般形式
数学与软件科学院--张莉 离散数学zhangli_math@yahoo.com.cn
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证明: (3) yl = yl◦e = yl◦(x◦yr) = (yl◦x)◦yr= e◦yr = yr,
yl = yr ,
把yl = yr记作y,假设y’S是x的逆元,则有:
y’= y’◦e = y’◦(x◦y) = (y’◦x)◦y = e◦y = y.
对任何代数系统V=<S, f1, f2, …, fk>,其代数一定存在。
最大的子代数是V本身。
如果令V中所有代数常数构成的集合是B,且B对V中所
有的运算都是封闭的,则B就构成了V的最小的子代数。
这种最大和最小的子代数称为V的平凡的子代数。
真子代数:如果V的子代数V’=<B, f1, f2, …, fk>满足 BS,则称V’是V的真子代数。
(2) 若y ◦ x = z ◦ x且x不是零元,则y = z,
就称运算◦满足消去律,其中(1)称作左消去律,(2)
称作右消去律。
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EXAMPLE 9.5
(1)整数集合Z上的加法满足消去律。 加法没有零元,x, y, zZ,都有: x+y = x+z y=z,y+x = z+x y=z. (2) 整数集合Z上的乘法也满足消去律。 0是乘法的零元,不能消去,任何非零的整数都 可消去,x, y, zZ (x0),都有: xy = xz y=z,yx = zx y=z.
例9.1: f :N×N→N, f(<x,y>)=x+y就是自然数集合 上的一个二元运算,即普通的加法运算。 考虑,普通的减法是不是自然数集合上的二元运算?
实数R上的减法是不是二元运算?
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由二元运算的定义可知,验证一个运算是否为集合S上 的二元运算,主要考虑两点: (1) S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果 是唯一的。(函数) (2) S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是 封闭的。 通常用◦,,•,…等符号表示二元运算,称为算符。 设f :S×S→S是S上的二元运算,对任意的x,yS,如果 x与y的运算结果是z,即 f (<x,y>)=z,则可利用算符◦简记
第9章 代数系统简介
§9.1 二元运算及其性质
§9.2 代数系统
§3 几个典型的代数系统
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本章的主要研究对象是各种各样的代数系
统,即具有一些元运算的集合,代数系统的思想
和方法已经渗透到现代科学的许多分支,它的结
果已应用到计算机的不少方面,因此计算机科学
但,自然数集合N和普通减法-不能构成代数系统,因为两个自 然数相减可能得到一个负数,所以不能写成<N, ->。
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在某些代数系统中对于给定的二元运算存在 幺元或零元,我们称之为该系统的特异元素 或代数常数。
例如,<P(S),∪,∩,ˉ>中的∪和∩的幺元分别 为Ø和S,可将<P(S),∪,∩,ˉ>记为 <P(S),∪,∩,ˉ, Ø, S > 。
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证明:
(2) =l◦r
l◦r=r l=r ,
(因为l为左零元)
(因为r为右零元)
把l=r记作,假设S中存在零元’,则有: ’= ’◦ = 是S中关于运算◦的唯一的零元。
EXAMPLE 9.2
设S={1, 2},给出P(S)上的运算ˉ和⊕的 运算表,其中全集为S. xi Ø {1} {2} {1,2} xi {1,2} {2} {1} Ø ⊕ Ø {1} {2} {1,2}
Ø {1} {2} {1,2}
Ø {1} {2} {1,2} {1} Ø {1,2} {2} {2} {1,2} Ø {1} {1,2} {2} {1} Ø
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DEFINITION9.9 子代数 设V=<S, f1, f2, …, fk>是代数系统,BS,如果B对f1, f2, …, fk 都是封闭的,且B和S含有相同的代数常数,则称<B, f1, f2, …, fk>是V的子代数系统,简称子代数。 例如,<N, +>是<Z, +>的子代数:因为N对+是封闭的,且它们 都没有代数常数。
工作者应初步掌握其基本的理论和方法。
我们通过对具体代数系统的学习,应初步掌 握对代数系统研究的一般方法:从简单到复杂、 从具体到一般,从而发现代数系统的一般规律。
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我们在前面已经研究过集合,那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联系。 现在我们要在一个集合的内部引入运算,并 研究其运算规律,主要内容为:
则,矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。
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DEFINITION 9. 2. n元运算
设S为集合,n为正整数,则函数 f :S×S×…×S→S 称为S上的一个n元运算,简称为n元运算。
类似的,也可以使用算符来表示n元运算,若 f (<x1,x2,…,xn>) = y,则可利用算符◦简记为: ◦ (x1, x2, …, xn) = y 或 x1 ◦ x2 ◦ … ◦ xn= y.
<N, +, 0>是<Z, +, 0>的子代数:因为N对+是封闭的,且它们都
含有相同的代数常数0。 <N-{0}, +>是<Z, +>的子代数,但不是<Z, +, 0>的子代数:因为
<Z, +, 0>的代数常数0N-{0}。
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1 2 3 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1
请同学们分析这个二元运算有什么特点?
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DEFINITION 9.3-9.5 设◦和*为S上的二元运算, (1) ◦在S上可交换:x,yS, x◦y=y◦x. (2) ◦在S上可结合:x,y,zS, (x◦y)◦z=x◦(y◦z).
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EXAMPLE 9 .7
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EXAMPLE 9.3
设S={1,2,3,4},定义S上的二元运算如下: x ◦ y=(xy) mod 5, x, yS. 求◦的运算表。 ◦ 1 2 3 4
2 ◦3=1
xy表示 x乘y,是 普通的 乘法
1 2 3 4
代数系统的运算的常用记法和运算表的概 念,二元运算的各种性质;


代数系统的定义;
代数系统的各种性质。
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§9.1 二元运算及其性质
DEFINITION 9.1 二元运算
设S为集合,函数 f :S×S→S称为S上的一 个二元运算,简称为二元运算。
(3) ◦适合幂等律:xS, x◦x=x.
(4) *对◦可分配:x,y,zS, x*(y◦z)=(x*y)◦(x*z).
(5) ◦和*满足吸收律:x,yS, x*(x◦y)=x,
x◦(x*y)=x.
幂集合上的∩,∪运算满足幂等律,可分配律,以及吸收率。
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EXAMPLE 9.4
自然数集N上的加法幺元为0,零元不存在; 乘法的幺元为:1,零元为:0. P(S)上的∩运算幺元为_S__,零元为____; P(S)上的∪运算幺元为___, 零元为__S___;
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为: x ◦ y=z.
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EXAMPLE 5. 1
1. 实数集R上的加法,减法,乘法是二元运算。 2. 设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合(n>=2),即:
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n M n ( R) aij R M M M M an1 an 2 L ann
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§9.2 代数系统
DEFINITION 9.8
非空集合S和S上k个一元或二元运算f1, f2, …,
fk组成的系统称为一个代数系统,简称代数,
记作<S, f1, f2, …, fk>。
例如,<N,+>,<Z,+, · >,<R,+, · >,<P(S),∪,∩,ˉ>都是代数系统。
DEFINITION 9.6
设◦为S上的二元运算,el, er, e, l, r , S, (1) 左幺元el:xS, el◦x =x. 右幺元er:xS, x◦er=x. 幺元e:e既是左幺元,又是右幺元。 (2) 左零元l:xS, l◦x = l. 右零元r :xS, x◦r = r. 零元 :既是左零元,又是右零元。 (3) x的左逆元yl:对xS, yl S, 使得 yl◦x = e. x的右逆元yr:对xS, yr S, 使得x◦yr = e. x的逆元y:y S既是x的左逆元,又是x的右逆元。
对于可结合的二元运算来说,元素x的逆元如果存 在则是唯一的。
通常把这个唯一的逆元记作x-1.
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DEFINITION 9.7
设◦为S上的二元运算,如果x, y, zS满足以下条 件: (1) 若x ◦ y = x ◦ z且x不是零元,则y = z,
n个
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对于有穷集S上的一元和二元运算可以用 运算表给出:
xi
◦ (xi)
x1 x2 … xn
◦ (x1)
◦ (x2)
… ◦ (xn)
一元运算表的一般形式
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定理:9.1—9.3
(1) 设◦为S上的二元运算,el, er分别为运算◦的左
幺元和右幺元,则有:el=er=e,且e为S上关于运
算◦的唯一的幺元。(由定义证明) (2) 设◦为S上的二元运算,l, r分别为运算◦的左 零元和右零元,则有:l=r=,且为S上关于运 算◦的唯一的零元。 (3) 设◦为S上可结合的二元运算,e为该运算的幺 元,对于xS如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有: yl= yr=y,且y是x的唯一的逆元。
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