第五章 1代数系统的概念

5-2 运算及其性质
因为 (a a) b=a b=b， a (a b)=a b=b
(a b) b=b b=a， a (b b)=a a=a 所以“ ”是可结合的。 因为
{a} {b} {a,b} {a} {a} {a} {b} {b} {b} {a,b} {a} {b} {a,b}
5-1 代数系统的引入
例3 设A={0,1,2,3,4,5}，二元运算“◦”的定义见下表。
◦ 012345
0 000000 1 012012 2 021021 3 000000 4 012012 5 021021
❖ 研究高次方程直接根式表达这一难题，并将他的研究成果 递交法国科学院。
❖ 第一次提交，评审人柯西。柯西虽然认识到研究的重要性， 但是没有接受，建议修改。
第五章 代数结构(Algebraic Structure)
❖ 第二次提交，评审人傅里叶。傅里叶拿到论文后不久就去 世了，没有音讯。
❖ 第三次提交，评审人泊松。被泊松驳回，理由是“难以理 解”。
事实上，对于上表，我们可观察看出其运算为
x y x y(mod 3)
普通乘法。
，其中， “·” 是
5-1 代数系统的引入
例4 设A={0,1}，二元运算“ ”的定义见下表。
01 0 00 1 01
此时的“ ”运算应是集合{0,1}上的∧（逻辑合取运算符）。
下面是非代数运算的例子。 例5 (1) R中的普通除法不是代数运算。
(5) 设S为一非空集合， 为S上的二元代数运算，那么
为 抽代象数。S结例,构如 ，称为一个抽象代数系统，即一类具体代数结构的
，
，
，
等都是 R, 的M具,体 例子2。A, 2A,
S,
(6) R， ， ， Z，，， ，
但
Z， R， N，，
均是代数系统， ，
都不是代数系统，它们的运算不封闭。
5-2 运算及其性质
一、运算的性质(Properties of Operations) 定义5-2.1 设“ ”，“◦”均为集合A上的二元运算。
(1) 若 x, y∈A，都有x y A，则称“ ”运算在A上是封 闭的(Closed) 。即
在A上封闭 xy( x A y A x y A)
5-1 代数系统的引入
(3)设x∈R+，则f(x)=1/x是将x映射为它的倒数。1/x是由x唯 一确定的，它是对R+中的一个数施行倒数运算的结果。(但在 R上，倒数不是一元运算，因为0无像)。 f : R+→ R+是函数。
(4) 设a,b∈R，则 f(a,b)=a+b(或a-b，或a×b)是将两个数 a、b 映为R中的唯一的一个数，它是对R中的两个数施行加 （减，乘）法运算的结果。f：R2 → R是函数。
❖ 为什么没有得到数学界的认可？
第五章 代数结构(Algebraic Structure)
从Galois(1811-1832)开始，近200年来经历起伏、逐渐成熟 的代数系统，常被人们冠以代数结构、抽象代数及近世代数 (Modern Algebra)等美称。代数系统以抽象的任意类型为讨 论对象，并按建立在对象集合上的运算所具有的性质分类为 广群、半群、群、环、域、格、布尔代数等进行研究形成了 一整套的理论、技术、方法和研究成果，这些理论、方法和 成果广泛地应用于计算机科学、理论物理学、生物学和社会 科学。
(2) N中的普通减法不是代数运算。
5-1 代数系统的引入
二、代数系统的定义 定义5-1.2 一个非空集合A和定义在该集合上的若干个代数 运算 f1, f2, … , fk 所组成的系统称为代数系统 (Algebraic System)，用记号
表示，其中A称为该代数系统的基集/载体 A(D, ofm1a,ifn2),。...各, f运k 算
5-1 代数系统的引入 5-2 运算及其性质 5-3 半群 5-4 群与子群 5-5 阿贝尔群、循环群、置换群 5-7 陪集与拉格朗日定理 5-8 同态与同构 5-9 环与域
5-1 代数系统的引入
❖ n元运算 ❖ 代数系统的定义 ❖ 小结
5-1 代数系统的引入
一、n元运算(n-ary operations)
组成的集合成为运算集。代数系统也称为代数结构 (Algebraic Structure) 。
以下例6中的(1)、(2)、(3)、(4)均称为具体代数系统。
5-1 代数系统的引入
例6 (1) 设R为实数集， “＋”数字加法，则 R, 是
代数系统。
(2) 设M为全体n阶实矩阵组成的集合， “+”为矩阵加法，
埃瓦里斯特·伽罗华 （1811-1832）
第五章 代数结构(Algebraic Structure)
❖ 埃瓦里斯特·伽罗华利用群解决了一元五次方程没有 直接 根式表达的这一困扰了数学界两百年时间的难题。
❖ 群（将数学的运算进行归类）“把数学运算归类，学会按 照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类，这就 是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路”
❖ 卷入政治斗争中，身陷囹圄。于1832年死于一场决斗。 ❖ 决斗前一晚，连夜把他的思想写成了一封信。在信的旁边，
他写到“我没有时间了，我没有时间了。请求雅克比或者 高斯对这些定理的重要性，而不是正确性发表他们的看法”
第五章 代数结构(Algebraic Structure)
❖ 1846年 刘维尔领悟了伽罗华的天才思想，他花了几个月的 时间来解释伽罗华所表达的含义。
(2) 若 x, y∈A，都有x y=y x，则称“ ”运算在A上满 足交换律(Commutativity) 。即
xy(x A y A x y y x)
在A上可交换
5-2 运算及其性质
(3) 若 x, y, z∈A，都有x (y z)=(x y) z，则称“ ” 运算在A上满足结合律(Associativity) 。即
例如，对 Z, 而言，E, 为其子代 Z,
数{，0},
、为其平凡子代数，O,
不构成其子代数。
5-1 代数系统的引入
三、小结
本节主要介绍了n元运算和代数系统的定义。 重点掌握代数系统的概念。
离散数学 (Discrete Mathematics)
5-2 运算及其性质
❖ 运算的性质 ❖ 代数系统中的特异元素 ❖ 小结
5-1 代数系统的引入
定义5-1.1 设A、B是集合，A≠ ，函数 f：An→B称为集合 A上的n元运算(n-ary operation)，整数n称为运算的阶
(算O又rd称er为)。n若元B代数运A算，。则称该n元运算是封闭的，封闭的n元运
从n元代数运算的定义可知它有三点涵义: (1) A中任意n个元素都有运算结果； (2) 运算是封闭的，即运算结果仍在A中； (3) 结果是唯一的。
(5) 设a,b,c∈R,则 f(a,b,c)=a+b×c是将R中的三个数a,b,c 映为R中的唯一的一个数。f : R3 →R是函数。
5-1 代数系统的引入
上述例子都是我们熟悉的数与数的运算,它们有一个共同特 征,就是其运算结果都在原来的集合中且运算结果是唯一的， 它们都是函数。
我们把这种数集中的代数运算，抽象概括推广，可得到一 般集合上代数运算的概念。集合中的代数运算实质上是集 合中的一类函数。
在A上可结合
xyz( x A y A z A
x(y z) (x y) z)
(4) 若 x, y, z∈A，都有x (y◦z)=(x y)◦(x z) ，则称 “ ”运算对“◦”运算满足左分配律； 若 x, y, z∈A，都有(x◦y) z=(x z)◦(y z) ，则称“ ” 运算对“◦”运算满足右分配律。若二者均成立，则称“ ” 运算对“◦”运算满足分配律(Distributivity) 。
例2 设A是集合，在A的幂集2A上的二元代数运算∪、∩满足 交换律、结合律、吸收律、幂等律且彼此满足分配律。
5-2 运算及其性质
例3 设A={a,b}，A上的运算“ ”、“◦”分别如下表所示。 问“ ”、“◦”具备哪些性质？
ab
◦ ab
a ab
a aa
b ba
b ab
解 从运算表可知，“ ”、 “◦”是封闭的、可交换的， “◦”满足幂等律， “ ”不满足幂等律。
常见的一元运算：¬，～，|x|，1/x，sinx，等。
5-1 代数系统的引入 例2 下面均是二元运算的例子。 (1) A为集合，2A为其幂集。f : 2A×2A →2A 。f 可以是∩、 ∪、-、 。 (2) A={0,1}。f：A A A。f 可以是∧、∨、 、 。
一 般 地 ， 二 元 运 算 用 符 号 “ ” 、 “ ◦ ” 、 “ •” 、 “△”、“◇”、“☆”等等表示，并将其写于两个元 素之间，如Z×Z→Z的加法：
❖ 什么是群？魔方、数字的全排列、有机物的化学结构等都 可以看做是一个群。
第五章 代数结构(Algebraic Structure)
❖ 天才伽罗华小时候没有经过正式的数学学习，由母亲对他 进行教育。
❖ 12岁，伽罗瓦进入路易皇家中学就读，成绩都很好，却要 到16岁才开始跟随韦尼耶（Vernier ）老师学习数学。
通常我们将 f (2, 3) 写成 f(2,3) 或 2+3。
f (2,3) (2,3) 2 3 5
5-1 代数系统的引入
对于有限集合上的一元或二元运算，常将运算对象和运算 结果列举为运算表。例如，设集合A={a,b}，则2A上的补 运算～、交运算 可以分别用下表所示。
x ～x {a,b} {a} {b} {b} {a} {a,b}
例1 (1) 设x∈Z(或Q，或R), 则f(x)=-x是将x映为它的相反数。 -x是由x唯一确定的，它是对一个数施行求相反数运算的结 果。 f ：Z→Z是函数。
(2) 设A={0,1}集合，p∈A， f(p)= ¬p，¬表示否定。则 f(p)= ¬p是将p映为它的否定。¬p 是由 p 唯一确定的，它 是对 A 中的一个元素施行否定运算的结果。f：A→A是函数， f 是A上的一元运算。
离散数学 (Discrete Mathematics)
第五章 代数结构(Algebraic Structure)
❖ 以具体代数为研究对象的经典代数，其研究内容、基本理 论和方法，主要反映在初等代数和高等代数（工科的线性 代数）两部分的现代教育中。
❖ 从19世纪早期由法国数学家Galois(1811-1832)创始，近 200年来经历起伏、逐渐成熟的代数系统，常被人们冠以代 数结构、抽象代数及近世代数(Modern Algebra)等美称。
则
M是,代 数系统。
((设 ，43“)) 设 ◦”AS是是A关集系合{的R，复则R合是 S运集A算2,合A,A上,的, 二 元关是代系 是数代} 系数统系。统。有
时为了突出全集A及空集 在2A中的特殊地位，也可将这一代
数系统记为 为幂集代数系统。
2 A , , ,
。这个系统称
, A,
5-1 代数系统的引入
第五章 代数结构(Algebraic Structure)
❖ 代数系统的概念和理论，如拉格朗日定理、同态和同构等， 较为复杂也较为抽象，是本课程中的难点。
❖ 本书第三章、第四章集合论的内容是本章的基础，熟练地 掌握集合、关系、函数等概念和性质是理解本章内容的关 键。
第五章 代数结构(Algebraic Structure)
5-2 运算及其性质
(5) 若 x, y∈A，都有
x (x◦y)=x
且
x◦(xwk.baidu.comy)=x
则称运算“ ”和“◦”运算满足吸收律(Absorptive)。
(6) 若 x∈A，都有x x=x，则称“ ”运算满足幂等律 (Idempotence) 。
5-2 运算及其性质
例1 加法、乘法运算是自然数集上的二元代数运算，减法和 除法便不是。但是减法是有理数集、实数集上的二元运算， 除法却仍不是。加法、乘法满足结合律、交换律，乘法对加 法、减法满足分配律，但减法不满足这些定律。加法"+"对乘 法"•"运算不满足分配律。
5-1 代数系统的引入
定义5-1.3 设〈A， 〉是代数系统，如果有非空集合S，满 足 (1) S A； (2) 运算 对S 封闭； 则称〈S， 〉为代数系统〈A， 〉的子代数系统，或子代数 (Subalgebra)。
根据定义，子代数必为一代数系统， 运算所满足的性质 显然在子代数中仍能得到满足。