第五章 1代数系统的概念

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第五章 1代数系统的概念

第五章 1代数系统的概念

5-1 代数系统的引入
例2 下面均是二元运算的例子。 (1) A为集合,2A为其幂集。f : 2A×2A →2A 。f 可以 是∩、∪、-、。 (2) A={0,1}。f:AAA。f 可以是∧、∨、、 。
一般地,二元运算用符号“”、“◦”、“•”、 “△”、“◇”、“☆”等等表示,并将其写于 两个元素之间,如Z×Z→Z的加法:
定义5-2.1 设“”,“◦”均为集合A上的二元运 算。 (1) 若x, y∈A,都有xyA,则称“”运算在A 上是封闭的(Closed) 。即
xy( x A y A x y A) 在A上封闭
(2) 若x, y∈A,都有xy=yx,则称“”运算在A 上满足交换律(Commutativity) 。即
离散数学
(Discrete Mathematics)
第五章 代数结构(Algebraic Structure)
❖ 以具体代数为研究对象的经典代数,其研究内容、 基本理论和方法,主要反映在初等代数和高等代数 (工科的线性代数)两部分的现代教育中。
❖ 从19世纪早期由法国数学家Galois(1811-1832)创始, 近200年来经历起伏、逐渐成熟的代数系统,常被 人们冠以代数结构、抽象代数及近世代数(Modern Algebra)等美称。
xy(x A y A x y y x)
在A上可交换
5-2 运算及其性质
(3) 若x, y, z∈A,都有x(yz)=(xy)z,则称“” 运算在A上满足结合律(Associativity) 。即
在A上可结合 xyz( x A y A z A
x(y z) (x y) z)
(4) 若x, y, z∈A,都有x(y◦z)=(xy)◦(xz) ,则称 “”运算对“◦”运算满足左分配律; 若x, y, z∈A,都有(x◦y)z=(xz)◦(yz) ,则称“” 运算对“◦”运算满足右分配律。若二者均成立, 则称“”运算对“◦”运算满足分配律 (Distributivity) 。

第五章 代数系统概述

第五章 代数系统概述
显然代数系统 V 的子代数是与 V 同类型的代 数系统。因为子代数中的运算及特指元素都
和原代数系统相同,故可略而不写,而简单
地说 A 是代数系统
➢ {0}, N, Z, Q 是 < R, + > 的子代数,< R, >, {0, 1} 不是 < R, + > 的子代数。
➢ n 阶随机矩阵集是 < S, > 的子代数,其中 S 是 n 阶实矩阵集, 是矩阵乘法。
第五章 代数系统概述
5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统 5.3 代数系统的同态和同构
➢ 对于自然数集 N 上的加法 +,0 是幺元, 没有零元,每个正整数都没有逆元,+ 满足 消去律。
➢ 对于整数集 Z 上的加法 +,0 是幺元,没有 零元,每个整数 n 的逆元是 n, + 满足消 去律。
假设 < x, y > 是幂等元,则 < x, y > < x, y > = < x, y >,
即 x2 = x 且 xy + y = y,解得 x = 0 或者 (x = 1 且 y = 0),幂等元集为 {< 0, y > | yQ} {< 1, 0 >}。 假设 < x, y > 有逆元 < a, b >,则 < a, b > < x, y > = < x, y > < a, b > = < 1, 0 >, 即 ax = 1且 ay + b = xb + y = 0,解得 a = x /1, b = y /x,只要 x 0, < x, y > 就有逆元 < x /1, y /x >。

代数系统简介

代数系统简介

代数系统简介一、代数系统的基本概念代数系统,也称为代数结构或代数系统,是数学中一个重要的概念,它由集合和定义在这个集合上的运算组成。

代数系统是代数学的基本研究对象,也是泛代数、抽象代数、代数学等领域中重要的研究对象。

代数系统通常由两个部分组成:一个是非空元素集合,称为代数系统的论域或标量域;另一个是定义在论域上的运算,这些运算需满足一定的性质或公理。

根据所涉及的运算不同,代数系统可分为不同类型,如群、环、域、格等。

代数系统的概念来源于对数学中不同分支中抽象概念的概括和总结,其研究范围包括数学中不同领域的许多分支。

例如,集合论、抽象代数、泛代数、拓扑学等都是研究代数系统的重要领域。

二、代数系统的分类根据所涉及的运算和性质的不同,代数系统有多种分类方式。

以下是其中几种常见的分类方式:1.根据所涉及的运算的性质,可以将代数系统分为有交换律和结合律的代数系统(如群、环、域)和没有交换律和结合律的代数系统(如格、布尔代数)。

2.根据运算是否涉及单位元和逆元,可以将代数系统分为有单位元的代数系统和无单位元的代数系统。

前者如群、环、域等,后者如格等。

3.根据所涉及的元素是否具有可交换性,可以将代数系统分为可交换的代数系统和不可交换的代数系统。

前者如交换群等,后者如李群等。

4.根据所涉及的元素是否具有无限性,可以将代数系统分为有限代数系统和无限代数系统。

前者如有限群等,后者如无限群等。

此外,还可以根据其他性质和特征对代数系统进行分类。

通过不同的分类方式,我们可以更好地了解和研究不同类型代数系统的特性和性质。

三、代数系统的性质代数系统的性质是指代数系统中元素之间通过运算所表现出来的关系和性质。

以下是几个常见的代数系统的性质:1.封闭性:如果对于代数系统中的任意两个元素x和y,它们的运算结果仍属于该集合,则称该运算满足封闭性。

封闭性是代数系统中一个重要的性质,它保证了运算结果的元素仍属于该系统。

2.结合律:如果对于代数系统中的任意三个元素x、y和z,有(x·y)·z=x·(y·z),则称该运算满足结合律。

第5章 代数系统-1

第5章 代数系统-1

o (3)设 是集合A上的关系} (3)设S A = {ρ | ρ 是集合A上的关系},“ ” 是
求复合关系的运算。 求复合关系的运算。它们构成代数系统S 〈
A ,o〉

的幂集2 (4)以集合 的幂集 A为基集,以集合并、交、补 )以集合A的幂集 为基集,以集合并、 为其二元运算和一元运算,组成一代数系统, 为其二元运算和一元运算,组成一代数系统,记为 及空集 〈 2A,∪,∩,-〉。有时为了突出全集 及空集在2A中 ∪ 〉 有时为了突出全集A及空集 ∅ 的特殊地位,也可将这一代数系统记为〈 2A,∪,∩,-, 的特殊地位,也可将这一代数系统记为〈 ∪ A, 〉。这个系统就是常说的幂集代数系统。以上 这个系统就是常说的幂集代数系统。 ∅ ),(2),( 的(1),( ),( ), (4)均称为具体代数系统。 ),( ),(3) )均称为具体代数系统。
⊆ 如果对任意元素x T S, 如果对任意元素 1,x2,…,xn∈T, ,
算封闭。 算封闭。
定义5.1.3 设*是S上的 元运算(n=1,2,…), 上的n元运算 定义 是 上的 元运算( = , , )
*(x1,x2,…,xn)∈T,称*运算对 封闭或 关于 运 运算对T封闭或 , ∈ , 运算对 封闭或T 关于*运 为非负偶数集, 为非负奇数集 为非负奇数集, 【例5.1.4】 设E为非负偶数集,M为非负奇数集,那 】 为非负偶数集 么定义于N上的通常数的加法运算对E封闭 对M不 封闭,对 不 么定义于 上的通常数的加法运算对 封闭 上的通常数的加法运算 封闭,乘法运算对E和M都封闭。 封闭,乘法运算对 和 都封闭。 都封闭
【例5.1.3】 】 为基集,加法运算"+ 为二元 为二元, (1)以实数集 R 为基集,加法运算 +"为二元, ) 运算组成一代数系统,记为〈 , 运算组成一代数系统,记为〈R,+〉。 实数矩阵组成的集合M为基集 (2)以全体 ×n实数矩阵组成的集合 为基集 , )以全体n× 实数矩阵组成的集合 为基集, 矩阵加“ +"为二元运算 , 组成一代数系统 , 记为 为二元运算, 矩阵加 “ 为二元运算 组成一代数系统, 〈M,+〉。 〉

第5章 代数系统的基本概念(1)

第5章   代数系统的基本概念(1)

→、 。
第5章
代数系统的基本概念
(4)AA={f | f:A→A}。“ (复合)”是AA上的二元
运算。
当A是有穷集合时,运算可以用运算表给出。如
A={0,1,2,3,4,5},二元运算“ ” 的定义见表
5.1.1。
表 5.1.1
0
1
2
第5章
代数系统的基本概念
事实上,对于表5.1.1,我们可观察看出其运算 为 y (〈x,y〉)=x · (mod3)
第5章
代数系统的基本概念
【例5.1.7】
在实数集 R 中,对加法"+"运算,没有零元;
在实数集 R 中,对乘法"×"运算,0是零元;
对于全集E的子集的并"∪"运算,E是零元;
对于全集E的子集的交“∩”运算, 是零元;
在命题集合中,对于吸取"∨"运算,重言式是零元;
在命题集合中,对于合取"∧"运算,矛盾式是零元。
(2)若 x y(x,y∈S→x*y=y*x),则称*运算满足交换律。 (3)若 x y z(x,y,z∈S→x*(y z)=(x*y) (x*z)),则称* 运算对 运算满足左分配律; 若 x y z(x,y,z∈S→(y z)*x=(y*x) (z*x)), 则称*运算对 运算满足右分配律。 若二者均成立,则称*运算对 运算满足分配律。
有理数集、实数集上的二元运算,除法却仍不
是。加法、乘法满足结合律、交换律,乘法对 加法、减法满足分配律,减法不满足这些定律。 乘法“
” 对加法“+” 运算满足分配律(对
“-” 也满足)。但加法“+” 对乘法“ ” 运算

离散数学 ch5.1~2代数系统的概念及性质

离散数学 ch5.1~2代数系统的概念及性质

代数系统:是用代数运算的方法构造数学模型。所 谓代数运算方法就是在建立满足一定规则的运算系 统(集合上定义若干个运算组成的系统)。
5-1 代数结构(系统)的概念
所谓代数结构(系统),无非是有一个运算对象的集合, 和若干个运算,构成的系统。 一. n元运算(n-Ary Operation) 如何定义运算,先看几个我们熟悉的例子: 取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 以及N上的“+” I - I P(E) ~ P(E) N2 + N 。 Φ Φ。 (0,0)。 。 0 2。 。 -2 (0,1)。 。 {a} 。 。 {a} 1 1。 。 -1 (0,2)。 0。 。 。 0 2 {b} 。 。 {b} -1。 。 1 。 -2。 。 3 (1,0)。 2 {a,b} 。 。 {a,b} (1,1)。 (1,2)。 可见运算“-”、“~”、“+” 就是个映射(函数)。 ... ... ... ... ... ... ...
六.逆元 设是X上有幺元e 的二元运算,x∈X,如果存在元素 xL-1∈X,使得,xL-1x=e,则称xL-1是x相对的左逆元 如果存在xR-1∈X,使得xxR -1 =e,则称xR -1是x相对的 右逆元。 如果xL-1 = xR-1 =x-1 ,有x-1x=xx-1=e, 称x-1是x相对的 逆元。也称x-1与x互为逆元。如x-1∈X ,也称x可逆。 -1 xR x 例1实数集合R上的+和×,x∈R S R A L -1 = -x 对加+: x (e=0) S S R A L 对乘×: x-1 =1/x (x≠0) (e=1) 从运算表找x的左 逆元 xL-1 : x R R A L S A A L S R 在x列向下找到e后,再向左到 xL-1 L -1 。 L S R A 左表头元素即是xL 从运算表找x的右逆元 xR-1: 求R的逆: R-1 =L 在x行向右找到e后,再向上到上表头元素即是xR-1 。

离散数学中代数系统知识点梳理

离散数学中代数系统知识点梳理

离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科,研究的是离散化的对象和结构。

代数系统作为离散数学的一个重要分支,是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。

在离散数学中,代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。

一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。

其中,集合是代数系统中最基本的概念,可以是有限集或无限集;运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。

代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。

1. 代数结构:代数结构由集合和一组运算构成,可以包括加法、减法、乘法、除法等。

常见的代数结构有群、环、域等。

2. 代数运算:代数运算是指对集合中的元素进行操作,可以是二元运算也可以是多元运算。

常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。

3. 代数性质:代数系统具有一些特定的性质,如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。

二、代数系统的分类根据代数运算的性质,代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。

1. 群:群是一种代数系统,具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。

群分为有限群和无限群,可以是交换群或非交换群。

2. 环:环是一种代数系统,具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。

环分为有限环和无限环,可以是可除环或非可除环。

3. 域:域是一种代数系统,具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。

域是一种完备的代数系统,可以进行加、减、乘、除运算。

4. 向量空间:向量空间是一种代数系统,具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。

向量空间是一种具有线性结构的代数系统。

三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支,在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。

1. 计算机科学:代数系统在计算机科学中起到重要的作用,比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。

代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。

代数系统定义

代数系统定义

代数系统定义代数系统定义代数系统是一个数学概念,是指一组对象和操作符号的集合,这些对象和操作符号遵循一定的规则进行运算。

代数系统可以是有限或无限的,可以包含不同类型的对象和操作符号。

代数系统包括了多个子概念,下面将分别介绍。

集合在代数系统中,最基本的概念是集合。

集合是一个无序的元素组成的集合体。

在代数系统中,我们通常用大写字母表示一个集合。

例如:A、B、C等。

元素在一个集合中,每个单独的对象都被称为元素。

元素可以是任何东西——数字、字母、字符串等等。

在代数系统中,我们通常用小写字母表示一个元素。

例如:a、b、c等。

二元运算二元运算是指一个由两个元素构成的表达式,并返回另一个元素作为结果。

在代数系统中,二元运算通常用符号表示。

例如:加法“+”、减法“-”、乘法“×”等。

封闭性如果对于一个二元运算,在某个给定的集合内进行操作时,其结果仍然属于该集合,则称该集合对于该二元运算是封闭的。

例如,在整数集内进行加法和乘法时,其结果仍然是整数,因此整数集对于加法和乘法是封闭的。

群群是指一个代数系统,其中包含一个二元运算,满足以下四个条件:1. 封闭性:对于该二元运算,在该代数系统中进行操作时,其结果仍然属于该代数系统。

2. 结合律:对于该二元运算,无论操作的顺序如何,其结果都相同。

3. 单位元素:存在一个特殊的元素(称为单位元素),使得任何其他元素与该单位元素进行运算后不会改变原来的值。

4. 逆元素:对于每个元素,都存在一个逆元素使得它们进行运算后等于单位元素。

环环是指一个代数系统,其中包含两个二元运算(加法和乘法),满足以下四个条件:1. 封闭性:对于加法和乘法,在该代数系统中进行操作时,其结果仍然属于该代数系统。

2. 加法结合律:对于加法,无论操作的顺序如何,其结果都相同。

3. 加法单位元素:存在一个特殊的元素(称为加法单位元素),使得任何其他元素与该单位元素进行加法运算后不会改变原来的值。

4. 乘法分配律:对于任意三个在该代数系统中的元素a、b和c,有a×(b+c) = a×b + a×c和(b+c)×a = b×a + c×a。

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❖ 什么是群?魔方、数字的全排列、有机物的化学结构等都 可以看做是一个群。
第五章 代数结构(Algebraic Structure)
❖ 天才伽罗华小时候没有经过正式的数学学习,由母亲对他 进行教育。
❖ 12岁,伽罗瓦进入路易皇家中学就读,成绩都很好,却要 到16岁才开始跟随韦尼耶(Vernier )老师学习数学。
常见的一元运算:¬,~,|x|,1/x,sinx,等。
5-1 代数系统的引入 例2 下面均是二元运算的例子。 (1) A为集合,2A为其幂集。f : 2A×2A →2A 。f 可以是∩、 ∪、-、 。 (2) A={0,1}。f:A A A。f 可以是∧、∨、 、 。
一 般 地 , 二 元 运 算 用 符 号 “ ” 、 “ ◦ ” 、 “ •” 、 “△”、“◇”、“☆”等等表示,并将其写于两个元 素之间,如Z×Z→Z的加法:
组成的集合成为运算集。代数系统也称为代数结构 (Algebraic Structure) 。
以下例6中的(1)、(2)、(3)、(4)均称为具体代数系统。
5-1 代数系统的引入
例6 (1) 设R为实数集, “+”数字加法,则 R, 是
代数系统。
(2) 设M为全体n阶实矩阵组成的集合, “+”为矩阵加法,
5-2 运算及其性质
(5) 若
x◦(x y)=x
则称运算“ ”和“◦”运算满足吸收律(Absorptive)。
(6) 若 x∈A,都有x x=x,则称“ ”运算满足幂等律 (Idempotence) 。
5-2 运算及其性质
例1 加法、乘法运算是自然数集上的二元代数运算,减法和 除法便不是。但是减法是有理数集、实数集上的二元运算, 除法却仍不是。加法、乘法满足结合律、交换律,乘法对加 法、减法满足分配律,但减法不满足这些定律。加法"+"对乘 法"•"运算不满足分配律。
❖ 卷入政治斗争中,身陷囹圄。于1832年死于一场决斗。 ❖ 决斗前一晚,连夜把他的思想写成了一封信。在信的旁边,
他写到“我没有时间了,我没有时间了。请求雅克比或者 高斯对这些定理的重要性,而不是正确性发表他们的看法”
第五章 代数结构(Algebraic Structure)
❖ 1846年 刘维尔领悟了伽罗华的天才思想,他花了几个月的 时间来解释伽罗华所表达的含义。
❖ 为什么没有得到数学界的认可?
第五章 代数结构(Algebraic Structure)
从Galois(1811-1832)开始,近200年来经历起伏、逐渐成熟 的代数系统,常被人们冠以代数结构、抽象代数及近世代数 (Modern Algebra)等美称。代数系统以抽象的任意类型为讨 论对象,并按建立在对象集合上的运算所具有的性质分类为 广群、半群、群、环、域、格、布尔代数等进行研究形成了 一整套的理论、技术、方法和研究成果,这些理论、方法和 成果广泛地应用于计算机科学、理论物理学、生物学和社会 科学。
(5) 设S为一非空集合, 为S上的二元代数运算,那么
为 抽代象数。S结例,构如 ,称为一个抽象代数系统,即一类具体代数结构的



等都是 R, 的M具,体 例子2。A, 2A,
S,
(6) R, , , Z,,, ,

Z, R, N,,
均是代数系统, ,
都不是代数系统,它们的运算不封闭。
(2) 若 x, y∈A,都有x y=y x,则称“ ”运算在A上满 足交换律(Commutativity) 。即
xy(x A y A x y y x)
在A上可交换
5-2 运算及其性质
(3) 若 x, y, z∈A,都有x (y z)=(x y) z,则称“ ” 运算在A上满足结合律(Associativity) 。即
离散数学 (Discrete Mathematics)
第五章 代数结构(Algebraic Structure)
❖ 以具体代数为研究对象的经典代数,其研究内容、基本理 论和方法,主要反映在初等代数和高等代数(工科的线性 代数)两部分的现代教育中。
❖ 从19世纪早期由法国数学家Galois(1811-1832)创始,近 200年来经历起伏、逐渐成熟的代数系统,常被人们冠以代 数结构、抽象代数及近世代数(Modern Algebra)等美称。
埃瓦里斯特·伽罗华 (1811-1832)
第五章 代数结构(Algebraic Structure)
❖ 埃瓦里斯特·伽罗华利用群解决了一元五次方程没有 直接 根式表达的这一困扰了数学界两百年时间的难题。
❖ 群(将数学的运算进行归类)“把数学运算归类,学会按 照难易程度,而不是按照它们的外部特征加以分类,这就 是我所理解的未来数学家的任务,这就是我所要走的道路”
例2 设A是集合,在A的幂集2A上的二元代数运算∪、∩满足 交换律、结合律、吸收律、幂等律且彼此满足分配律。
5-2 运算及其性质
例3 设A={a,b},A上的运算“ ”、“◦”分别如下表所示。 问“ ”、“◦”具备哪些性质?
ab
◦ ab
a ab
a aa
b ba
b ab
解 从运算表可知,“ ”、 “◦”是封闭的、可交换的, “◦”满足幂等律, “ ”不满足幂等律。
在A上可结合
xyz( x A y A z A
x(y z) (x y) z)
(4) 若 x, y, z∈A,都有x (y◦z)=(x y)◦(x z) ,则称 “ ”运算对“◦”运算满足左分配律; 若 x, y, z∈A,都有(x◦y) z=(x z)◦(y z) ,则称“ ” 运算对“◦”运算满足右分配律。若二者均成立,则称“ ” 运算对“◦”运算满足分配律(Distributivity) 。
{a} {b} {a,b} {a} {a} {a} {b} {b} {b} {a,b} {a} {b} {a,b}
5-1 代数系统的引入
例3 设A={0,1,2,3,4,5},二元运算“◦”的定义见下表。
◦ 012345
0 000000 1 012012 2 021021 3 000000 4 012012 5 021021
5-1 代数系统的引入
定义5-1.3 设〈A, 〉是代数系统,如果有非空集合S,满 足 (1) S A; (2) 运算 对S 封闭; 则称〈S, 〉为代数系统〈A, 〉的子代数系统,或子代数 (Subalgebra)。
根据定义,子代数必为一代数系统, 运算所满足的性质 显然在子代数中仍能得到满足。
例1 (1) 设x∈Z(或Q,或R), 则f(x)=-x是将x映为它的相反数。 -x是由x唯一确定的,它是对一个数施行求相反数运算的结 果。 f :Z→Z是函数。
(2) 设A={0,1}集合,p∈A, f(p)= ¬p,¬表示否定。则 f(p)= ¬p是将p映为它的否定。¬p 是由 p 唯一确定的,它 是对 A 中的一个元素施行否定运算的结果。f:A→A是函数, f 是A上的一元运算。
(5) 设a,b,c∈R,则 f(a,b,c)=a+b×c是将R中的三个数a,b,c 映为R中的唯一的一个数。f : R3 →R是函数。
5-1 代数系统的引入
上述例子都是我们熟悉的数与数的运算,它们有一个共同特 征,就是其运算结果都在原来的集合中且运算结果是唯一的, 它们都是函数。
我们把这种数集中的代数运算,抽象概括推广,可得到一 般集合上代数运算的概念。集合中的代数运算实质上是集 合中的一类函数。
通常我们将 f (2, 3) 写成 f(2,3) 或 2+3。
f (2,3) (2,3) 2 3 5
5-1 代数系统的引入
对于有限集合上的一元或二元运算,常将运算对象和运算 结果列举为运算表。例如,设集合A={a,b},则2A上的补 运算~、交运算 可以分别用下表所示。
x ~x {a,b} {a} {b} {b} {a} {a,b}
5-1 代数系统的引入 5-2 运算及其性质 5-3 半群 5-4 群与子群 5-5 阿贝尔群、循环群、置换群 5-7 陪集与拉格朗日定理 5-8 同态与同构 5-9 环与域
5-1 代数系统的引入
❖ n元运算 ❖ 代数系统的定义 ❖ 小结
5-1 代数系统的引入
一、n元运算(n-ary operations)
例如,对 Z, 而言,E, 为其子代 Z,
数{,0},
、为其平凡子代数,O,
不构成其子代数。
5-1 代数系统的引入
三、小结
本节主要介绍了n元运算和代数系统的定义。 重点掌握代数系统的概念。
离散数学 (Discrete Mathematics)
5-2 运算及其性质
❖ 运算的性质 ❖ 代数系统中的特异元素 ❖ 小结

M是,代 数系统。
((设 ,43“)) 设 ◦”AS是是A关集系合{的R,复则R合是 S运集A算2,合A,A上,的, 二 元关是代系 是数代} 系数统系。统。有
时为了突出全集A及空集 在2A中的特殊地位,也可将这一代
数系统记为 为幂集代数系统。
2 A , , ,
。这个系统称
, A,
5-1 代数系统的引入
5-2 运算及其性质
因为 (a a) b=a b=b, a (a b)=a b=b
(a b) b=b b=a, a (b b)=a a=a 所以“ ”是可结合的。 因为
5-1 代数系统的引入
定义5-1.1 设A、B是集合,A≠ ,函数 f:An→B称为集合 A上的n元运算(n-ary operation),整数n称为运算的阶
(算O又rd称er为)。n若元B代数运A算,。则称该n元运算是封闭的,封闭的n元运
从n元代数运算的定义可知它有三点涵义: (1) A中任意n个元素都有运算结果; (2) 运算是封闭的,即运算结果仍在A中; (3) 结果是唯一的。
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