第5章代数系统的一些性质
第5章+代数系统(x)
g(x2∘x1)＝g (x2) *g (x1)= y2 * y1.
(2) (X, ∘) 满足交换律
x1∘x2= x2 ∘ x1
g(x1∘x2)=g(x2 ∘ x1)
y1 * y2 = y2 * y1
第6页
第5章 代数系统
Th5.1(5.2) (S, ∘)对运算“∘”，若存在左单位元el， 存在右单位元er，则 el=er=e； 且A中的单位元若存在必惟一。
证明 (1) 左右等。
存在左单位元el el ∘ er= er 存在右单位元erer ∘ el = el
el=er=e
(2) 惟一性。反证法，还有一个e’,
证明 (1) (X, ∘) ≌(Y,*)
有一一对应g, yY, xX, g(x) =y,
方
y1(y2y3)= (y1 y2) (y1y3).
法 证 得
(3) 同理可得 x1* (x2 ∘ x3) = (x1*∘x2)∘(x1*x3) y1(y2 y3)= (y1 y2) (y1 y3).
第19页
第5章 代数系统
Th5.8 (X,∘) 单位元ex,(X,∘)≌(Y,*) (Y,*) 单位元ey= g(ex).
第4页
§5: (S, ∘) ，a,bS，都有a ∘b= b ∘a. 2. 结合律: (S, ∘) ，a,b,cS，都有a ∘(b ∘ c)= (a ∘b) ∘ c.
3.分配律: (S, ∘,*) ，a,b,cS，均有 a ∘(b * c)= (a ∘b) *(a∘ c) (∘对 *左分配律，第一分配率) a*(b∘c)=(a*b)∘(a*c) (*对 ∘ 左分配律,第一分配率)
《离散数学》代数系统的一般性质-1
定义 设 S 为集合,函数 f：S×S→S 称为 S 上的 二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 特点： - 变量和函数值的取值限定在同一个集合上。 例1 - (1) N 上的二元运算：加法、乘法. - (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. - (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除 法. - (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai ∘aj = ai ， ∘ 为 S 上二元运算.
二元运算的特异元素 5.1 二 元 运 算 及 其 性 质 单位元
定义 设∘为S上的二元运算,如果存在el（或er）S，使得 对任意x∈S 都有 el ∘x =x (或x∘er =x)， 则称el(或er )是S中关于∘运算的左(或右)幺元（单位元）. 若e∈S关于∘运算既是左单位元又是右单位元，则称 e 为S上关于∘运算的幺元. 例：N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1 Mn(R)上加法的么元是0矩阵，乘法的幺元是单位阵
第5章 代数系统的一般 性质
代数结构
【引例】 （1）在Z集合上，x∈Z,
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
则f(x)=-x是将x映为它的相反 数。-x是由x唯一确定的，它是对一个数施行求相反数运 算的结果。这个运算可表示为函数： f ：Z→Z
（2）在R+ 集合上，x∈R+,则f(x)= 1/x是将x映为它的倒 数。1/x是由x唯一确定的，它是对R+中的一个数施行倒数 运算的结果。这个元算可以表示为函数 f : R+ → R+。 （3）设a,b∈R,则f(a,b)=a+b(a-b，a×b)是将两个数a， b映为R中的唯一的一个数，它是对R中的两个数施行加 （减，乘）法运算的结果。这个运算可以表示为函数f : R2 → R。
第五章 代数系统概述
和原代数系统相同，故可略而不写，而简单
地说 A 是代数系统
➢ {0}, N, Z, Q 是 < R, + > 的子代数，< R, >, {0, 1} 不是 < R, + > 的子代数。
➢ n 阶随机矩阵集是 < S, > 的子代数，其中 S 是 n 阶实矩阵集， 是矩阵乘法。
第五章 代数系统概述
5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统 5.3 代数系统的同态和同构
➢ 对于自然数集 N 上的加法 +，0 是幺元， 没有零元，每个正整数都没有逆元，+ 满足 消去律。
➢ 对于整数集 Z 上的加法 +，0 是幺元，没有 零元，每个整数 n 的逆元是 n， + 满足消 去律。
假设 < x, y > 是幂等元，则 < x, y > < x, y > = < x, y >，
即 x2 = x 且 xy + y = y，解得 x = 0 或者 (x = 1 且 y = 0)，幂等元集为 {< 0, y > | yQ} {< 1, 0 >}。 假设 < x, y > 有逆元 < a, b >，则 < a, b > < x, y > = < x, y > < a, b > = < 1, 0 >， 即 ax = 1且 ay + b = xb + y = 0，解得 a = x /1， b = y /x，只要 x 0， < x, y > 就有逆元 < x /1, y /x >。
第五章 代数系统的一般性质 - 嘉应学院
例 独异点V= .是矩阵乘法。
其中S= 令ϕ : S→ S, 那么对任意x,y∈S都有
，
16
但是
而
不是独异点V的么元,因此,
ห้องสมุดไป่ตู้
ϕ不是独异点V 的自同态。 这就是说,如果把V看作半群,则ϕ是V的自 同态 ;如果把V看作独异点,则ϕ就不是它的 自同态了。
17
18
19
11
半群同态
定义 设V1 =<S1,˚>, V2=<S2,*>为半 群, , ϕ : S1 → S2，且对任意x,y∈S1有 ϕ (x˚y)= ϕ (x)* ϕ (y) 则称ϕ为半群V1到V2的同态．
12
例 半群V=<S,.>,其中S= .是矩阵乘法。令ϕ : S→ S,
那么有 = =
13
=
这说明ϕ 是半群V的自同态,但不是满自同态
2
半群中运算的幂
因为半群V=<S, ˚>中的运算˚是可结合的,可以 定义运算的幂．对任意的x∈S,规定xn是 x1=x, xn+1= xn˚x , n为正整数。
易证x的幂遵从以下规律： xn ˚ xm= xn+m , (xn)m= xnm ,n为正整数．
3
独异点中运算的幂
在独异点V=<S,˚,e>中,如果规定x0=e(x是S 中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可 以变成 x0=e xn+1= xn ˚x n为非负整数． 而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的 m和n是非负整数就可以了。
独异点的积代数
设V1=<S1,˚,e1> , V2=<S2,*,e2>是独异 点,则它们的积代数是 V1×V2=<S1×S2,.,<e1,e2>> 其中的·定义与积半群一样． 即：对任意<a,b>,<c,d>∈S1×S2有 <a,b>·<c,d>=<a˚c,b*d>
《离散数学》代数系统的一般性质-2
4
同类型与同种代数系统
定义 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同， 对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同， 则称它们是 同类型的 代数系统. (2) 如果两个同类型的代数系统规定的运算性质 也相同，则称为 同种的 代数系统. 例1 V1 = <R, +, ·0, 1>, , V2 = <Mn(R), +, ·, E>, , 为 n 阶全 0 矩阵，E 为 n 阶单位矩阵 V3 = <P(B), ∪, ∩, , B>
证 假设f是V2到V1的同构，那么有f：V2→V1，
f(1)=0. 于是有 f(1)+f(1) = f((1)(1))= f(1)=0 从而 f(1)=0，又有 f(1)=0，这与 f 的单射性矛盾.
24
15
同态映射的实例
例2 设V=<Z,+>，aZ，令 fa：ZZ，fa(x)=ax 那么fa是V的自同态。因为x,yZ，有 fa(x+y)=a(x+y)=ax+ay=fa(x)+fa(y) 当 a = 0 时称 f0为零同态； 当a=1时，称 fa为自同构； 除此之外其他的 fa 都是单自同态.
19
定义：设 V1=<S1,∘,k1>和 V2=<S2, ,k2 >是代数系统， 其中 ∘ 和 是二元运算. k1是S1的代数常数， k2是S2的 代数常数，f: S1S2, 如果满足 （1） x,yS1, f (x∘y) = f(x) f( y), （2） f(k1)＝ k2 则称 f为V1到 V2 的同态 例：V1=<Z,+,0>，V2=<Zn,,0>，Zn={0,1, … , n-1}, 是模n加。令 f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n x,y∈Z有 f(x+y)=(x+y)mod n =(x mod n） (y mod n） = f(x) f(y) 同时，f(0)= 0
离散数学 ch5.1~2代数系统的概念及性质
代数系统：是用代数运算的方法构造数学模型。所 谓代数运算方法就是在建立满足一定规则的运算系 统（集合上定义若干个运算组成的系统）。
5-1 代数结构(系统)的概念
所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合， 和若干个运算，构成的系统。 一. n元运算(n-Ary Operation) 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： 取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 以及N上的“+” I - I P(E) ~ P(E) N2 + N 。 Φ Φ。 (0,0)。 。 0 2。 。 -2 (0,1)。 。 {a} 。 。 {a} 1 1。 。 -1 (0,2)。 0。 。 。 0 2 {b} 。 。 {b} -1。 。 1 。 -2。 。 3 (1,0)。 2 {a,b} 。 。 {a,b} (1,1)。 (1,2)。 可见运算“-”、“~”、“+” 就是个映射(函数)。 ... ... ... ... ... ... ...
六.逆元 设是X上有幺元e 的二元运算，x∈X，如果存在元素 xL-1∈X，使得，xL-1x=e，则称xL-1是x相对的左逆元 如果存在xR-1∈X，使得xxR -1 =e，则称xR -1是x相对的 右逆元。 如果xL-1 = xR-1 =x-1 ，有x-1x=xx-1=e, 称x-1是x相对的 逆元。也称x-1与x互为逆元。如x-1∈X ,也称x可逆。 -1 xR x 例1实数集合R上的+和×，x∈R S R A L -1 = -x 对加+: x (e=0) S S R A L 对乘×: x-1 =1/x (x≠0) (e=1) 从运算表找x的左 逆元 xL-1 ： x R R A L S A A L S R 在x列向下找到e后，再向左到 xL-1 L -1 。 L S R A 左表头元素即是xL 从运算表找x的右逆元 xR-1： 求R的逆： R-1 =L 在x行向右找到e后，再向上到上表头元素即是xR-1 。
第五章代数系统的一般性质
5.1 二元运算及其性质
5.2 代数系统及其子代数和积代数
5.3 代数系统的同态与同构
5.1 二元运算及其性质
一.二元运算
定义:设S为集合,函数 f:S×S->S称为S上的一个二元运算, (对运算封闭）简称为二元运算.通常用 o,*,·等符号 表示二元运算,称为算符.
三.积代数
定义:设V1=<S1,o >,V2=<S2,*>是代数系统,o和*为二元运算, o V1和V2的积代数V1×V2是含有一个二元运算·的代数系统, 即V1×V2 =<S,·> 其中S=S1×S2 ∀ 且对∀<x1,y1>,<x2,y2>∈S1×S2 有 <x1,y1>·<x2,y2>=<x1ox2,y1*y2>
例如:N.Z,Q,R上的加法和乘法是可结合的. P(S)上的∪,∩,⊕是可结合的. Mn(R)上的加法和乘法是可结合的
幂等律: ∀x∈S,有x·x=x; x称为幂等元.
例如:幂集P(S)上的∪和∩运算适合幂等律(A∪A=A, A∩A=A),但对称差⊕运算不适合幂等律.
分配律: ∀x,y,z∈S,有 x*(y·z)=(x*y)·(x*z) (y·z)*x=(y*x)·(z*x) 称*对·适合分配律.
定义:设V=<S,f1,f2,…,fk>是代数系统,B⊆S 且B≠φ 如果B对f1,f2,…,fk都是封闭的,且B和S含有相同的代数 常数,则称<B,f1,f2,…,fk>是V的子代数系统(子代数).
例如:<N,+>是<Z,+>的子代数. <N,+,0>是<Z,+,0>的子代数. <N-{0},+>是<Z,+>的子代数,但不是<Z,+,0>的子代数. 说明:对任何代数系统V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代数一定存在,最大的子代 数就是V本身;如果令V中所有的代数常数构成的集合是B,且B对V中所 有的运算都是封闭的,那么B就构成了V的最小的子代数;这种最大与 最小的子代数称为V的平凡子代数;如果V的子代数V’=<B,f1,f2,…,fk> 满足B⊂S,则称V’是V的真子代数.
第5章代数系统的一些性质
第五章代数系统的一般性质代数的概念与方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具。
众所周知，在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造数学模型就要用到某种数学结构，而近世代数研究的中心问题是代数系统的结构：半群、群、格与布尔代数等等。
近世代数的基本概念、方法和结果已成为计算机科学与工程领域中研究人员的基本工具。
在研究形式语言与自动机理论、编码理论、关系数据库理论、抽象数据类型理论中，在描述机器可计算的函数、研究计算复杂性、刻画抽象数据结构、研究程序设计学中的语义学、设计逻辑电路中有着十分广泛的应用。
5.1 代数运算及其性质5.1.1代数运算的定义定义5.1.1 设S是一个非空集合，（1）函数f：S→S,称为一个S上的一个一元运算。
（2）函数f：S⨯S→S,称为一个S上的一个二元运算。
记号： f(x,y)=z, xfy=z x y=z（3）函数f：S⨯S⨯…⨯S →S,称为一个S上的一个n元运算。
［例5.1.1］(1)数理逻辑中的联结词；集合论中的并运算、交运算和补运算；整数集中的加法、减法和乘法运算都是相应集合上的运算.(2)但Z中的除法不是一个二元运算。
(3) 在Z商定义x*y=x+y-2,则*是一个二元运算。
当S是有限集时，S上的一元、二元运算可用运算表来定义。
定义5.1.2 设 是集合S上的n元运算，S是S的一个非空子集。
若对∀x1，x2，…，x n∈S，有 （x 1，x 2，…，x n）∈S，则称S关于运算 是封闭的。
［例5.1.2］实数集关于数的普通除法是封闭的，整数集关于数的普通加法不是封闭的。
5.1.2代数运算的性质定义5.1.3 设*是集合S上的二元运算。
若∀x，y∈S，x*y=y*x，则称运算*满足交换律（或称*是可交换的）。
定义5.1.4 设*是集合S上的二元运算。
若∀x，y，z∈S，(x*y)*z = x*(y*z)，则称运算*满足结合律（或称*是可结合的）。
定义5.1.5 设*是集合S上的二元运算。
第五章—代数系统的一般性质
。
例5.6 设R为实数集, 定义 R 上的二元运算, 如下: x y = x1+y1-x1 y1 则 满足交换律和结合律。 证: ∵ x y = x1+y1-x1 y1 = y1 + x1- y1 x1= y x ∴ 满足交换律 ∵( x y) z = (x1+y1-x1 y1 ) z = (x1+y1-x1 y1 ) + z1- (x1+y1-x1 y1 ) z1 = x1+y1 + z1 -x1 y1 - x1 z1 -y1 z1 +x1 y1 z1 x (y z) = x (y1+z1-y1 z1 ) = x1 + (y1+z1-y1 z1 ) - x1 (y1+z1-y1 z1 ) = x1+y1 + z1 -x1 y1 - x1 z1 -y1 z1 +x1 y1 z
表 2
=
表 3
解:
如表 1 所定义， 是 的幺元
（单位元）
Hale Waihona Puke 如表 2 所定义， 和 是 的右幺元
如表 3 所定义， 和
是 的左幺元
定理5.1 设 是S上的二元运算，el、er分别 为 运算的左、右幺元,(单位元)则有 el = er = e 且e为S上关于运算 的唯一幺元。 ∵ el是 证明： 左单位 el er = e r ∵ er是右单 元 位元 el er = e l ∴ el = er 把el = er 记作e，则e是S中的幺元。假设 e`也是S中的幺元，则 ∵ e是 e`=e e`=e 单位元 ∴ e是S中关于 运算的唯一的幺元。
离散数学第五章 代数系统基础
第五章 代数系统基础
第五章 代数系统基础
6、逆元 、 是集合A上具有单位元 的二元运算， 设 * 是集合 上具有单位元 e 的二元运算，对于元 ， 素 a ∈ A，若 ∃一个元素 a l -1∈A，使得 a l -1* a = e ， ， 则称元素a 是左可逆的， 则称元素 对于运算 * 是左可逆的，并称 a l -1为 a 的 左逆元； 左逆元；若 ∃一个元素 a r -1∈A，使得 a * a r -1 = e ， ， 则称元素a 对于运算 * 是右可逆的，并称 r -1为a的 是右可逆的，并称a 则称元素 的 右逆元； 右逆元；若 ∃一个元素 a -1∈A ，使得 a -1* a = a * a -1 = e ，则称元素 a 对于运算 * 是可逆的，并称 -1为 a 是可逆的，并称a 的逆元。 的逆元。 显然， 的逆元， 也为a 显然，若a -1为 a 的逆元，则 a 也为 -1的逆元
第五章 代数系统基础
例7：代数系统 (ρ( E), ∼) 与 (ρ( E),∪) 的类型不相同。 ： ∪ 的类型不相同。
第五章 代数系统基础
3、子系统（或子代数） 、子系统（或子代数） 定义： 定义：设 ( S ,
1
,
2
,⋯ ,
i
n
) 是代数系统， 是代数系统，
S ′ 是 S 的在每一运算
下 ( i = 1, 2, …，n ) ，
上述运算为 °( (x, y) ) = x · y (mod3)，其中 · 是普通乘法 ，
第五章 代数系统基础
A={0, 1}, 二元运算 * 的定义见下表。 的定义见下表。 * 0 1 0 0 0 1 0 1
上述运算*是集合 ， 上的逻辑合取运算 上述运算 是集合{0，1}上的逻辑合取运算 是集合
第5章 代数系统的一般性质
第5章 代数系统的一般性质主要内容二元运算及其性质● 一元和二元运算定义及其实例 ● 二元运算的性质 代数系统● 代数系统定义及其实例 ● 子代数 ● 积代数代数系统的同态与同构定义5.1 设S 为集合，函数f ：S ⨯S →S 称为S 上的二元运算，简 称为二元运算．● S 中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一． ● S 中任何两个元素的运算结果都属于S ，即S 对该运算封闭．例1 (1) 自然数集合N 上的加法和乘法是N 上的二元运算，但 减法和除法不是．(2) 整数集合Z 上的加法、减法和乘法都是Z 上的二元运算， 而除法不是．(3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而 加法和减法不是．(4) 设M n (R)表示所有n 阶(n ≥2)实矩阵的集合，即则矩阵加法和乘法都是M n (R)上的二元运算.(5) S 为任意集合，则∪、∩、－、⊕ 为P (S )上二元运算.(6) S S 为S 上的所有函数的集合，则合成运算︒为S S 上二元运算.定义5.2 设S 为集合，n 为正整数，则函数 f :S ×S ×…×S →S 称为S 上的n 元运算，简称n 元运算.一元运算：设S 为集合，函数 f :S →S 称为S 上的一元运算. 例2 (1) 求相反数是整数集合Z,有理数集合Q 和实数集合R 上 的一元运算(2) 求倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上一元运算 (3) 求共轭复数是复数集合C 上的一元运算(4) 在幂集P (S )上规定全集为S ，则求绝对补运算~是P (S )上的一元运算.(5) 设S 为集合，令A 为S 上所有双射函数的集合，A ⊆S S ，求一个双射函数的反函数为A 上的一元运算.⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n j i R a a a a a a a a a a R M ij nn n n n n n ,...,2,1,,)(212222111211(6) 在n (n ≥2)阶实矩阵的集合M n (R)上，求转置矩阵是M n (R )上的一元运算.1．算符可以用◦, ∗, · , ⊕, ⊗,∆ 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 对二元运算◦，如果 x 与 y 运算得到 z ，记做 x ◦y = z 对一元运算∆, x 的运算结果记作∆x .2．表示二元或一元运算的方法: 解析公式和运算表 公式表示例 设R 为实数集合，如下定义R 上的二元运算∗： ∀x , y ∈R, x ∗ y = x . 那么 3∗4 = 3， 0.5∗(-3) = 0.5运算表：表示有穷集上的一元和二元运算a a a οa 1οa 2...οa n 1a 2...a n a 1οa 1a 1οa 2…a 1οa n a 2οa 1a 2οa 2…a 2οa n ………a n οa 1a n οa 2…a n οa n 1a 2...a n οa i 1a 2…a n ο οa 1οa 2...οa na 1a 2...a n a 1οa 1a 1οa 2…a 1οa n a 2οa 1a 2οa 2…a 2οa n ………a n οa 1a n οa 2…a n οa n a 1a 2...a nοa ia 1a 2…a nο二元运算的运算表 一元运算的运算表例3 设 S =P ({a,b })，S 上的⊕和 ∼运算的运算表如下 {{{{a ,b }{a }{b }∅∅{a }b}{a ,b }∅a } {b } {a ,b }{a }∅{a .b } {b }{b } {a ,b } ∅{a }{a ,b } {b } {} ∅∅{a }{b }{a ,b }∼x x ∅a } {b } {a ,b }⊕{{a ,b }{a }{b }∅∅{a }{b }{a ,b }∅{} {b } {a ,b }{a } ∅{a .b } {b }{b } {a ,b } ∅a }{a ,b } {b } {a } ∅∅{a }{b }{a ,}∼x x ∅{a } {b } {a ,b }⊕定义5.3 设◦为S 上的二元运算, 若对任意x ,y ∈S 有 x ◦y =y ◦x , 则称运算在S 上满足交换律. 定义5.4 设◦为S 上的二元运算, 若对任意x ,y ,z ∈S 有 (x ◦y )◦z =x ◦(y ◦z ), 则称运算在S 上满足结合律.定义5.5 设◦为S 上的二元运算,若对任意x ∈S 有 x ◦x =x , 则称运算在S 上满足幂等律. 定义5.6 设◦和∗为S 上两个不同的二元运算, 若对任意x ,y ,z ∈S 有 (x ∗y )◦z =(x ◦z )∗(y ◦z )， z ◦(x ∗y )=(z ◦x )∗(z ◦y ), 则称◦运算对∗运算满足分配律.定义5.7 设◦和∗为S 上两个不同的二元运算,若︒和∗都可交换,且对任意x ,y ∈S 有 x ◦(x ∗y )=x ，x ∗(x ◦y )=x ，则称◦和∗运算满足吸收律.例：Z, Q, R 分别为整数、有理数、实数集；M n (R )为n 阶实矩阵集合, n ≥2；P (B )为幂集；A A 为从A 到A 的函数集，|A |≥2定义5.8 设◦为S上的二元运算,如果存在e l (或e r)∈S，使得对任意x∈S 都有e l◦x = x (或x◦e r= x)，则称e l (或e r)是S中关于◦运算的左(或右)单位元.若e∈S关于◦运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于◦运算的单位元. 单位元也叫做幺元.定义5.9 设◦为S上的二元运算,如果存在θl (或θr)∈S，使得对任意x∈S 都有θl ◦x = θl(或x◦θr= θ r)，则称θl (或θr)是S 中关于◦运算的左(或右)零元.若θ∈S 关于◦运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于运算◦的零元.定义5.10设◦为S上的二元运算, 令e为S中关于运算︒的单位元.对于x∈S，如果存在y l (或y r)∈S使得y l◦x=e（或x◦y r=e）则称y l (或y r)是x的左逆元（或右逆元）.关于◦运算，若y∈S 既是x 的左逆元又是x 的右逆元，则称y为x的逆元. 如果x 的逆元存在，就称x 是可逆的.定理5.1 设◦为S上的二元运算，e l和e r分别为S中关于运算的左和右单位元，则e l= e r = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.证：e l= e l◦e r (e r为右单位元)e l◦e r= e r (e l为左单位元)所以e l = e r, 将这个单位元记作e.假设e'也是S 中的单位元，则有e'=e◦e '= e. 惟一性得证.定理5.2 零元的惟一性定理.注意：●当|S| ≥ 2，单位元与零元是不同的；●当|S| = 1时，这个元素既是单位元也是零元.定理5.3 设◦为S上可结合的二元运算, e为该运算的单位元,对于x∈S 如果存在左逆元y l和右逆元y r, 则有y l = y r= y, 且y是x 的惟一的逆元.证：由y l◦x = e和x◦y r= e得y l= y l◦e = y l◦(x◦y r) = (y l◦x)◦y r = e◦y r = y r令y l = y r = y, 则y 是x 的逆元.假若y'∈S 也是x 的逆元, 则y'= y'◦e = y'◦(x◦y) = (y'◦x)◦y = e◦y = y所以y 是x 惟一的逆元.●说明：对于可结合的二元运算，可逆元素x 只有惟一的逆元，记作x-1定义5.12 非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…, f k组成的系统称为代数系统, 简称代数，记做<S, f1, f2, …, f k>.实例：(1) <N,＋>,<Z,＋,·>,<R,＋,·>是代数系统，+和·分别表示普通加法和乘法.(2) <M n(R),＋,·>是代数系统，＋和·分别表示n 阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法.(3) <Z n,⊕,⊗>是代数系统，Z n＝{0,1,…,n-1}，⊕和⊗分别表示模n的加法和乘法，对于x,y∈Z n，x⊕y=(x＋y)mod n，x⊗y=(xy)mod n(4) <P(S),⋃,⋂,~>是代数系统，⋃和⋂为并和交，~为绝对补构成代数系统的成分：●集合（也叫载体，规定了参与运算的元素）●运算（这里只讨论有限个二元和一元运算）●代数常数（通常是与运算相关的特异元素：如单位元等）●研究代数系统时，如果把运算具有它的特异元素也作为系统的性质之一，那么这些特异元素可以作为系统的成分，叫做代数常数.例如：代数系统<Z,+,0>：集合Z, 运算+, 代数常数0代数系统<P(S),∪,∩>：集合P(S), 运算∪和∩，无代数常数(1) 列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在）如<Z,+,0>, <P(S),∪,∩>(2) 列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数）如<Z,+>, <P(S),∪,∩>(3) 用集合名称简单标记代数系统在前面已经对代数系统作了说明的前提下使用如代数系统Z, P(B)定义(1) 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数系统.(2) 如果两个同类型的代数系统规定的运算性质也相同，则称为同种的代数系统.例如V1=<R, +, ·, 0, 1>, V2=<M n(R), +, ·, θ, E>, θ为n 阶全0矩阵，E为n 阶单位矩阵, V3=<P(B), ∪, ∩, ∅, B>●V1, V2, V3是同类型的代数系统，它们都含有2个二元运算, 2个代数常数.●V1, V2是同种的代数系统，V1, V2与V3不是同种的代数系统定义5.13 设V=<S, f1, f2, …, f k>是代数系统，B是S的非空子集，如果B对f1, f2, …, f k都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称<B, f1, f2, …, f k>是V的子代数系统，简称子代数. 有时将子代数系统简记为B.实例N是<Z,＋>的子代数，N也是<Z,＋,0>的子代数N-{0}是<Z,＋>的子代数，但不是<Z,＋,0>的子代数说明：●子代数和原代数是同种的代数系统●对于任何代数系统V=<S, f1, f2, …, f k>，其子代数一定存在.(1) 最大的子代数：就是V本身(2) 最小的子代数：如果令V中所有代数常数构成的集合是B，且B对V中所有的运算都是封闭的，则B就构成了V的最小的子代数(3) 最大和最小的子代数称为V 的平凡的子代数(4) 若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数.例设V=<Z,+,0>,令n Z={nz | z∈Z},n为自然数，则n Z是V的子代数当n=1和0时，n Z是V的平凡的子代数，其他的都是V的非平凡的真子代数.定义5.14 设V1=<A,◦>和V2=<B,*>是同类型的代数系统，◦和*为二元运算，在集合A⨯B上如下定义二元运算▪，∀<a1,b1>,<a2,b2>∈A⨯B，有<a1,b1>▪<a2,b2>=<a1◦a2, b1*b2>称V=<A⨯B,▪ >为V1与V2的积代数，记作V1⨯V2. 这时也称V1和V2为V的因子代数.定义 5.15 设V1=<A,∘>和V2=<B,*>是同类型的代数系统，f:A→B，且∀x, y∈A 有f(x∘y) = f(x)*f(y), 则称f 是V1到V2的同态映射，简称同态.同态分类：(1) f 如果是单射，则称为单同态(2) 如果是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1~V2(3) 如果是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1≅V2(4) 如果V1=V2，则称作自同态实例：(1) 设V1=<Z,+>, V2=<Z n,⊕>．其中Z为整数集，+为普通加法；Z n={0,1,…,n-1}，⊕为模n加. 令f : Z→Z n，f (x)=(x)mod n那么f 是V1到V2的满同态．(2) 设V1=<R,+>, V2=<R*,·>，其中R和R*分别为实数集与非零实数集，+ 和·分别表示普通加法与乘法．令f : R→R*，f (x)= e x则f 是V1到V2的单同态.(3) 设V=<Z,+>，其中Z为整数集，+为普通加法. ∀a∈Z，令f a : Z→Z，f a(x)=ax，那么f a 是V的自同态. 当a=0时称f0 为零同态；当a=±1时，称f a 为自同构；除此之外其他的f a 都是单自同态.。
第五章 代数系统简介[88页]
![第五章 代数系统简介[88页]](https://img.taocdn.com/s3/m/76abd809a26925c52cc5bf8d.png)
5.1 二元运算及性质
内容：二元运算，交换律，结合律，分 配 律，吸收律，幂等律，消去律等。 重点：（1）掌握二元运算的概念；
（2）掌握二元运算的重要性质； （3）掌握零元，幺元，逆元的定 义。
则运算“ ”对运算“ ”满足右分配律.若左右分配律 均满足，则 称运算“ ”对运算“”满足分配律.
4、若 a a c a ，则 称运算“ ”对运算“ ”满足
左吸收律；若 a b a a ，则 称运算“ ”对运算
“ ”满足右吸收律.若左右吸收律均满足，则称运算 “ ”对运算“ ”满足吸收律.
f ( a1, a2 ,, an ) b，则可记为
a1, a2 ,, an b ．
例如， (a) b
一元运算，
a1,a2 b
二元运算，
a1, a2 , a3 b 三元运算.
这些相当于前缀表示法，但对二元运算用得较多的还是
a1 a2 b .我们在本书中所涉及的代数运算仅限于一元.
运算 的右幺元. R 中有无数多个右幺元，但是没有 幺元.
例 5.3 代数系统 R, 中，其中 R 为实数，“ ” 是普通乘法，问1是它的幺元吗？
解：代数系统 R, ，其中 R 为实数，“ ”是普 通乘法，并且对任意的实数 m R ，有 m1 1 m m，
1R
即任意实数 m 与1相乘为 m .显然1是代数系统 R, 的幺元.
就称运算 满足消去律
例如，在整数集合上加法是满足消去律的.对任意的
整数 x, y, z 由 x y x z或y x z x 可得 y z .
消去了 x .类似地，对乘法也有消去律.但在幂集 P(S)
离散数学第5章代数系统(学生用)
运算的分类
一元运算
只对一个元素进行操作的 运算。
二元运算
对两个元素进行操作的运 算。
n元运算
对n个元素进行操作的运算。
运算的实例
加法
是二元运算，满足结合性和交换性，不满足 幂等性和消去性。
指数运算
是二元运算，满足结合性和交换性，不满足 幂等性和消去性。
乘法
是二元运算，满足结合性和交换性，满足幂 等性和消去性。
离散数学第5章代数系统( 学生用)
• 代数系统的基本概念 • 代数系统的运算 • 代数系统的同态与同构 • 代数系统的子代数与商代数 • 代数系统的应用
01
代数系统的基本概念
定义与性质
定义
代数系统是一个有序的三元组 (A,F,D)，其中A是一个非空集合， F是A上的一组二元运算，D是A上 的一组一元运算。
同构实例
例如，矩阵代数中的矩阵集合M与向量空间中的向量集合V之间存在一个一一对应的映射f，使得M中的每一个元 素x经过f的映射后，都对应于V中的某个元素y，并且M中的加法、数乘和乘法运算也对应于V中的加法、数乘和 外积运算，因此M与V同构。
04
代数系统的子代数与商代数
子代数与商代数的定义
子代数
如果代数系统的一个非空子集在给定的运算下仍然是一个代 数系统，则称这个子集为原代数系统的子代数。
同构性质
同构关系具有自反性、对称性和传递性，即如果A同构于B，那么B一定同构于A；如 果A同构于B，B同构于C，那么A一定同构于C。
同态与同构的实例
同态实例
例如，整数集合Z与有理数集合Q之间存在一个一一对应的映射f，使得Z中的每一个元素x经过f的映射后，都对应 于Q中的某个元素y，并且Z中的加法运算也对应于Q中的加法运算，因此Z与Q同态。
第5章 代数系统的一般性质
13
实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实 分别为整数、 分别为整数 有理数、实数集； 为 矩阵集合, ≥ ； 为幂集； 矩阵集合 n≥2；P(B)为幂集；AA 为 A上A，|A|≥2. 为幂集 上 ， ≥ 集合 Z, Q, R Mn(R) P(B) 运算 普通加法+ 普通加法 普通乘法× 普通乘法× 矩阵加法+ 矩阵加法+ 矩阵乘法× 矩阵乘法× 并∪ 交∩ 相对补− 相对补− 对称差⊕ 对称差⊕ 函数复 函数复合 ο 交换律 有 有 有 无 有 有 无 有 无 结合律 幂等律 无 有 有 无 有 无 有 有 有 无 有 有 无 有 有 无 无 无
20
实例分析
集合 运算 Z, 普通加法+ 普通加法 Q, 普通乘法× 普通乘法× R 幺元 0 1 零元 无 0 无 n阶全 阶全0 阶全 矩阵 B ∅ 无 逆元 X 的逆元 −x X 的逆元 x−1 (x-1属于给定集合 属于给定集合) X逆元−X 逆元− 逆元 X的逆元 X−1 的逆元 是可逆矩阵） （X是可逆矩阵） 是可逆矩阵 ∅ 的逆元为 ∅ B 的逆元为 B X 的逆元为 X
19
二元运算的特异元素（ 二元运算的特异元素（续）
可逆元素及其逆元
中关于运算∘的幺元. 令 e 为 S 中关于运算∘的幺元 对于 x∈S，如果存在 l ∈ ，如果存在y （或 yr）∈S 使得 yl ∘ x = e（或 x ∘ yr = e）， （ ）， 则称 yl ( 或 yr )是 x 的 左逆元 ( 或右逆元 ). 是 运算， 的右逆元， 关于 ∘运算，若 y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元， ∈ 逆元. 则称 y 为 x 的逆元 可逆的 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的. 的逆元存在，
离散数学—第五章代数系统的一般性质
n元运算
1. 定义5.2: 设S为集合,n为正整数,则函数 f : S x S x...x SS 称为S上的一个n元运算,简称为n元运算.
① 求一个数的相反数是实数集R上的一元运算; ② 在空间直角坐标系中求某一点(x,y,z)的坐标在x轴上 的投影可以看作是实数集R上的三元运算 f(<x,y,z>)=x,因为参加运算的有序的3个实数,而结果 也是实数. ③ 若f(<a1,a2,...,an>) = b,则可记为(前缀表示法) o(a1,a2,...,an) =b o(a) = b 一元运算, o(a1,a2) = b 二元运算.
代数系统的一般性质
——理学院数学系 仝辉
内容提纲
1. 二元运算及其性质 2. 代数系统及其子代数和积代数 3. 代数系统的同态与同构
二元运算
1. 定义5.1: 设S为集合,函数f:SxSS称为S上的一 个二元运算,简称为二元运算.
① f:SxSS, f(<x,y>) = x+y就是自然数集合N上的一个 二元运算,即普通的加法运算. ② 普通的减法不是自然数集合上的二元运算,因为两个 自然数相减可能不是自然数,这时也称集合N对减法运 算不封闭. ③ 验证方法:参加运算的两个元素是S中的任意两个元素, 而运算的结果也是S中的一个元素.
平凡子代数,真子代数
1. 对任何代数系统V =<S,f1,f2,...,fk>,其子代数一定 存在.最大的子代数就是V本身.如果V中所有的代 数常数构成的集合是B, 且B对V中所有的运算都 是封闭的,那么,B就构成了V的最小的子代数.这 种最大和最小子代数称为V的平凡子代数. 2. 如果V的子代数V’=< B,f1,f2,...,fk>满足BS,则称 V’是V的真子代数.
第5章 代数系统的一般性质
是有限集合时， 为有限代数系统。 当S是有限集合时，称V为有限代数系统。 是有限集合时 为有限代数系统 是无限集合时， 为无限代数系统。 当S是无限集合时，称V为无限代数系统。 是无限集合时 为无限代数系统
3. 注意事项
集合S不能是空的 集合 不能是空的 运算的集合不能是空的 必须至少有一个S 的集合不能是空的， 运算 的集合不能是空的 ， 必须至少有一个 上的运算。 上的运算。 代数系统中各个运算的元数可能是不一样的， 元数可能是不一样的 代数系统中各个运算的 元数可能是不一样的， 即每个运算都有自己的运算元数。 即每个运算都有自己的运算元数。
二元运算的定义及表示 二元运算的性质 几个特殊的元素
复习
二元运算的定义 二元运算的性质 几个特殊的元素
§5.2
代数系统及其 子代数和积代数
代数的本义是用符号代替数字 进行运算 代数的本义是 用符号代替数字进行运算 。 用符号代替数字 进行运算。 虽然这个概念现在已大大拓广了， 虽然这个概念现在已大大拓广了 ， 但代 数仍然是和运算紧密联系在一起的。 数仍然是和运算紧密联系在一起的 。 现 在代数的含义是对各种运算进行研究， 在代数的含义是对各种运算进行研究 ， 从众多具体的运算中抽出其公共的最基 从众多具体的运算中抽出其 公共的最基 本的性质， 本的性质 ， 然后根据这些性质的不同而 构成各种不同的代数系统， 构成各种不同的代数系统 ， 使之符合人 们使用之需要。 们使用之需要。
一、代数系统
1. 定义 非空集合S和 上的 上的k个运算 非空集合 和S上的 个运算 f ,f ,…,f 组成的系统 (其中 为n 元运算 i=1,2,…,k) 其中f 元运算, 其中 代数 <S, f ,f ,…,f > 特异元素（代数常数） 特异元素（代数常数）
离散数学 第五章：2代数系统及其子代数和积代数 3代数系统的同态与同构
0 = 0⋅ n ∈nZ,
6
三. 代数系统的积代数
定义5－ 定义 －14 其中 ∗ 和 设代数系统 V =< S1,∗> 和 1
V2 =< S2 , >
积代数是一个代数系统 都是二元运算 。V和 V2 的积代数是一个代数系统 1
其中 V ×V2 即 V1 ×V2 =< S , ⊕> ,其中 1
S = S1 × S2 ={(x1, y1)| x1 ∈S1, y1 ∈S2} 是二元运算， ⊕是二元运算，定义为对任意的 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ) ∈ S
1
, 2 ,⋯,
k
满足B S,则称 则称V >满足B⊂S,则称V’是
5
例1. 设 V =< Z , +,0 >, 令
nZ = {nz z ∈Z} , n 为自然数, 为自然数,
证明: nZ是 的子代数. 证明: nZ是V的子代数. 证明: 证明: 任取nZ中的两个元素 任取nZ中的两个元素nz1, nz2 (z1, z2 ∈Z), 则有
.
11
3个代数系统的积代数: 个代数系统的积代数:
例如 V
=< Z, +,0 >, 那么有
V ×V ×V =< Z × Z × Z,∗, 0,0,0 >, 并且对任意的 < x1, y1, z1 >, < x2 , y2 , z2 >∈Z × Z × Z, 有
< x1, y1, z1 >∗< x2 , y2 , z2 >=< x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 >
< Z , +, 0 >
第5章 代数系统的一般性质 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
![第5章 代数系统的一般性质 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]](https://img.taocdn.com/s3/m/fdb7701cfad6195f312ba644.png)
证明: 证明: (2) θl = θlθr θlθr = θr ∴ θl = θr , 把θl = θr记作θ,假设S中存在零元θ',则有: θ'= θ'θ = θ ∴ θ是S中关于运算的唯一的零元. (因为θl为左零元) (因为θr为右零元)
3/19/2010 5:50 AM 第三部分:代数结构(授课教师:向胜军) 3
§1 二元运算及其性质
DEFINITION 1.
设S为集合,函数 f :S×S→S称为S 为集合, :S×S→S称为S 称为 上的一个二元运算,简称为二元运算. 上的一个二元运算,简称为二元运算. 二元运算
如: f :N×N→N, f(<x,y>)=x+y就是自然数集合上 × , 就是自然数集合上 的一个二元运算,即普通的加法运算. 的一个二元运算,即普通的加法运算. 考虑,普通的减法是不是自然数集合上的二元运算? 考虑,普通的减法是不是自然数集合上的二元运算?
8
EXAMPLE 1
上的运算和 设S={1, 2},给出 ,给出P(S)上的运算 和⊕的 上的运算 运算表,其中全集为S. 运算表,其中全集为 xi {1} {2} {1,2}
3/19/2010 5:50 AM
xi {1,2} {2} {1}
⊕ {1} {2} {1,2}
{1}
{2} {1,2}
3/19/2010 5:50
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
10
第三部分:代数结构(授课教师:向胜军)
DEFINITION 3.
上的二元运算, 设和*为S上的二元运算, 为 上的二元运算 (1) 在S上可交换:x,y∈S, xy=yx. 上可交换: ∈ (2) 在S上可结合:x,y,z∈S, (xy)z=x(yz). 上可结合: ∈ (3) 适合幂等律:x∈S, xx=x. 适合幂等律 幂等律: ∈ x (4) *对可分配:x,y,z∈S, x*(yz)=(x*y)(x*z). 对 可分配: ∈ (5) 和*满足吸收律:x,y∈S, x*(xy)=x, 满足吸收律 满足吸收律: ∈ x(x*y)=x.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章代数系统的一般性质代数的概念与方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具。
众所周知，在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造数学模型就要用到某种数学结构，而近世代数研究的中心问题是代数系统的结构：半群、群、格与布尔代数等等。
近世代数的基本概念、方法和结果已成为计算机科学与工程领域中研究人员的基本工具。
在研究形式语言与自动机理论、编码理论、关系数据库理论、抽象数据类型理论中，在描述机器可计算的函数、研究计算复杂性、刻画抽象数据结构、研究程序设计学中的语义学、设计逻辑电路中有着十分广泛的应用。
5.1 代数运算及其性质5.1.1代数运算的定义定义5.1.1 设S是一个非空集合，（1）函数f：S→S,称为一个S上的一个一元运算。
（2）函数f：S⨯S→S,称为一个S上的一个二元运算。
记号： f(x,y)=z, xfy=z x y=z（3）函数f：S⨯S⨯…⨯S →S,称为一个S上的一个n元运算。
［例5.1.1］(1)数理逻辑中的联结词；集合论中的并运算、交运算和补运算；整数集中的加法、减法和乘法运算都是相应集合上的运算.(2)但Z中的除法不是一个二元运算。
(3) 在Z商定义x*y=x+y-2,则*是一个二元运算。
当S是有限集时，S上的一元、二元运算可用运算表来定义。
定义5.1.2 设 是集合S上的n元运算，S是S的一个非空子集。
若对∀x1，x2，…，x n∈S，有 （x 1，x 2，…，x n）∈S，则称S关于运算 是封闭的。
［例5.1.2］实数集关于数的普通除法是封闭的，整数集关于数的普通加法不是封闭的。
5.1.2代数运算的性质定义5.1.3 设*是集合S上的二元运算。
若∀x，y∈S，x*y=y*x，则称运算*满足交换律（或称*是可交换的）。
定义5.1.4 设*是集合S上的二元运算。
若∀x，y，z∈S，(x*y)*z = x*(y*z)，则称运算*满足结合律（或称*是可结合的）。
定义5.1.5 设*是集合S上的二元运算。
若∀x∈S，x*x = x，则称运算*满足幂等律。
定义5.1.8 设*和 是集合S上的二元运算。
若∀x，y，z∈S，x*(y z)=(x*y) x*z），(y z)*x =(y*x) (z*x)，则称*关于 满足分配律。
定义5.1.9设*和 是集合S上的二元运算。
若∀x，y∈S，x*(x y)=xx (x*y)=x则称*关于 满足分配律。
［例5.1.3］R上的加法和乘法运算是可交换的，也是可结合的；但减法却是不可交换和不可结合的；乘法关于加法是可分配的，但加法关于乘法则是不可分配的。
任一集合的幂集上的并和交运算是可交换和可结合的，并且它们是相互可分配的。
注：若运算*是可结合的，则有时我们简称*为乘法，而把x*y简记为xy，称为x 与y的积。
5.1.3特殊元素：单位元、零元、逆元定义5.1.10 设*是集合S上的二元运算。
（1）若e l∈S，使得∀x∈S，有e l*x=x，则称e l是关于运算*的左单位元（左么元）；（2）若e r∈S，使得∀x∈S，有x*e r=x，则称e r是关于运算*的右单位元（右么元）；（3）若e∈S，使得∀x∈S，有e*x＝x*e=x，则称e是关于运算*的单位元（么元）。
定理5.1.3 设*是集合S上的二元运算，且e l，e r分别为关于运算*的左和右么元，则关于运算*存在唯一么元e且 e=e l=e r。
证明： e l= e l*e r= e r记e=e l=e r定义5.1.11 设*是集合S上的二元运算。
(1)若0l∈S，使得∀x∈S，有0l*x=0l，则称0l是关于运算*的左零元；(2)若0r∈S，使得对∀x∈S，有x*0r =0r，则称0r是关于运算*的右零元；(3)若0∈S，使得对∀x∈S，有0*x＝x*0=0，则称0是关于运算*的零元。
定理5.1.4 设*是集合S上的二元运算，且0l，0r分别为关于运算*的左和右零元，则关于运算*存在唯一零元0且 0=0l=0r。
［例5.1.4］R上，关于加法的单位元是0，但无零元；关于乘法的单位元为1，零元为0；关于减法的右单位元是0，但无左单位元，故无单位元。
在任一集合S的幂集ρ(S)上，Φ是集合并运算的单位元、交运算的零元，S是集合交运算的单位元、并运算的零元。
定义5.1.12设*是S上的二元运算，e 为关于运算*的单位元，x∈S，(1)若存在x l∈S，有x l*x= e，则称x l是关于运算*的左逆元；(2)若存在x r∈S，有x*x r = e，则称x r是关于运算*的右逆元；(3)若存在a'∈S，有a'*x＝x*a'= e，则称a'是关于运算*的逆元。
定理5.1.5 设*是集合S上可结合的二元运算，e 为关于运算*的单位元，x∈S，且x l，x r分别为x关于运算*的左和右逆元，则x l= x r且它是x关于运算*的唯一逆元。
对S上可结合的二元运算*，若x∈S可逆，则其逆元惟一，因此我们可将之记为x－1。
x和x－1互为逆元，即（x－1）－1＝x。
［例5.1.5］在R中，任一实数关于加法的逆元是它的相反数，任一非零实数关于乘法的逆元是它的倒数；但零关于乘法是不可逆的。
定义5.1.13 设*是A上的二元运算，∀x，y，z∈A，x*y=x*z⇒y=z； y*x= z*x ⇒x=y，则称*满足消去律。
［例5.1.6］任一实数关于加法*满足消去律；任一非零实数关于乘法*满足消去律；n阶方阵的乘法运算不满足*满足消去律。
5.2代数系统及其子代数和积代数5.2.1代数系统定义5.2.1 设S 为非空集合，若*1，*2，…，*n 为S 上的代数运算，则称<S ，*1，*2，…，*n >为一个代数系统（代数结构）。
称S 为该代数系统的定义域。
若|S|是有限数，则称之为有限代数系统，并称|S|为该代数系统的阶。
［例5.2.1］（1）<R ，+，⨯>，<ρ(A)，∩，∪，>都是代数系统；（2） 设∑是有限个字母组成的集合，∑*表示∑上的串集合，∑*上的连接运算 定义为α，β∈∑*，α β=αβ，则<∑*， >是一个代数系统。
说明：单位元、零元等叫代数常数。
5.2.2 子代数 定义5.1.2 设<S ，*1，*2，…，*n >为一个代数系统，T 为S 的非空子集。
若T 关于*1，*2，…，*n 都封闭，且T 为S 含有相同的代数常数，则称代数结构<T ，*1，*2，…，*n >为<S ，*1，*2，…，*n>的子代数。
［例5.2.1］ <I ，+，⨯>是<Q ，+，⨯>的子代数，而<Q ，+，⨯>是<R ，+，⨯>的子代数。
5.2.3积代数定义5.1.2设V 1=<S 1， >, V 2=<S 2, * >是两个代数系统，V 1与V 2的积代数V 1⨯V 2=<S,∙> 其中S=S 1⨯S 2，,,,,2211><><∀y x y x 对于>*>=<<∙><21212211,,,y y x x y x y x5.3 同态与同构定义5.3.1 设V 1=<S 1， >, V 2=<S 2,* >是两个代数系统，如果存在映射ϕ：S 1→ S 2，使得∀x,y ∈ S 1都有 )()()(y x y x ϕϕϕ*=则称ϕ是从V 1到 V 2的同态映射，并称V 1和 V 2是同态的。
特别地（1）若ϕ是单射，则称ϕ为单一同态；（2）若ϕ是满射，则称ϕ为满同态，记为V 1∽V 2；（3）若ϕ是双射，则称ϕ为同构映射，并称V 1和V 2是同构的，记为V 1≌V 2；（4）若V 1=V 2，则称ϕ为自同态；（5）若V 1=V 2，且ϕ为双射，则称ϕ为自同构。
［例5.3.1］ xx R R 2)(,:=→+ϕϕ是<R,+>到<R +,•>的同态映射,也是同构映射. ［例5.3.2］ ][)(,:x x Z Z n =→ϕϕ是<Z,+>到<m Z ,•>的同态映射,不是同构映射. 定义5.2.3 设V 1＝<S ，*, >和V 2＝<S '， ′，*′>是两个代数系统，函数f ：S →S '。
若f 保持运算,即：)()()(y f x f y x f '=，)()()(y f x f y x f *'=*则称f 是从V 1到V 2的同态映射，并称V 1和V 2是同态的。
类似定义单同态、满同态、同构映射、自同态、自同构等概念。
［例5.2.3］ ][)(,:x x Z Z n =→ϕϕ是<Z,+，•>到<⊗⊕,,m Z >（⊗⊕,表示模n 加乘）定理5.2.4 若h 是从A ＝<S ，*，＋>到A ′＝<S ′，⊗，⊕>的满同态映射，*，＋为S 上的二元运算，则 1) 若*满足交换律，则⊗也满足交换律；2) 若*满足结合律，则⊗也满足结合律；3) 若*对+满足分配律，则⊗对⊕也满足分配律；4) 若e 为关于运算*的么元，则h(e)是关于⊗的么元；5) 若θ为关于运算*的零元，则h(θ)是关于⊗的零元；6) 若a ∈S 关于运算*是可逆的，则h(a) 关于⊗也是可逆的，且h(a -1)=h(a)-1。