第5章代数系统的一些性质

第五章代数系统的一般性质

代数的概念与方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具。众所周知，在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造数学模型就要用到某种数学结构，而近世代数研究的中心问题是代数系统的结构：半群、群、格与布尔代数等等。近世代数的基本概念、方法和结果已成为计算机科学与工程领域中研究人员的基本工具。在研究形式语言与自动机理论、编码理论、关系数据库理论、抽象数据类型理论中，在描述机器可计算的函数、研究计算复杂性、刻画抽象数据结构、研究程序设计学中的语义学、设计逻辑电路中有着十分广泛的应用。

5.1 代数运算及其性质

5.1.1代数运算的定义

定义5.1.1 设S是一个非空集合，

（1）函数f：S→S,称为一个S上的一个一元运算。

（2）函数f：S⨯S→S,称为一个S上的一个二元运算。

记号： f(x,y)=z, xfy=z x y=z

（3）函数f：S⨯S⨯…⨯S →S,称为一个S上的一个n元运算。

［例5.1.1］(1)数理逻辑中的联结词；集合论中的并运算、交运算和补运算；整数集中的加法、减法和乘法运算都是相应集合上的运算.

(2)但Z中的除法不是一个二元运算。

(3) 在Z商定义x*y=x+y-2,则*是一个二元运算。

当S是有限集时，S上的一元、二元运算可用运算表来定义。

定义5.1.2 设 是集合S上的n元运算，S是S的一个非空子集。若对∀x1，x2，…，x n∈S，有 （x 1，x 2，…，x n）∈S，则称S关于运算 是封闭的。

［例5.1.2］实数集关于数的普通除法是封闭的，整数集关于数的普通加法不是封闭的。

5.1.2代数运算的性质

定义5.1.3 设*是集合S上的二元运算。若∀x，y∈S，x*y=y*x，

则称运算*满足交换律（或称*是可交换的）。

定义5.1.4 设*是集合S上的二元运算。若∀x，y，z∈S，(x*y)*z = x*(y*z)，则称运算*满足结合律（或称*是可结合的）。

定义5.1.5 设*是集合S上的二元运算。若∀x∈S，x*x = x，则称运算*满足幂等律。定义5.1.8 设*和 是集合S上的二元运算。若∀x，y，z∈S，

x*(y z)=(x*y) x*z），

(y z)*x =(y*x) (z*x)，

则称*关于 满足分配律。

定义5.1.9设*和 是集合S上的二元运算。若∀x，y∈S，

x*(x y)=x

x (x*y)=x

则称*关于 满足分配律。

［例5.1.3］R上的加法和乘法运算是可交换的，也是可结合的；但减法却是不可交换和

不可结合的；乘法关于加法是可分配的，但加法关于乘法则是不可分配的。任一集合的幂集

上的并和交运算是可交换和可结合的，并且它们是相互可分配的。

注：若运算*是可结合的，则有时我们简称*为乘法，而把x*y简记为xy，称为x 与y的积。

5.1.3特殊元素：单位元、零元、逆元

定义5.1.10 设*是集合S上的二元运算。

（1）若e l∈S，使得∀x∈S，有e l*x=x，则称e l是关于运算*的左单位元（左么元）；

（2）若e r∈S，使得∀x∈S，有x*e r=x，则称e r是关于运算*的右单位元（右么元）；

（3）若e∈S，使得∀x∈S，有e*x＝x*e=x，则称e是关于运算*的单位元（么元）。

定理5.1.3 设*是集合S上的二元运算，且e l，e r分别为关于运算*的左和右么元，则

关于运算*存在唯一么元e且 e=e l=e r。

证明： e l= e l*e r= e r记e=e l=e r

定义5.1.11 设*是集合S上的二元运算。

(1)若0l∈S，使得∀x∈S，有0l*x=0l，则称0l是关于运算*的左零元；

(2)若0r∈S，使得对∀x∈S，有x*0r =0r，则称0r是关于运算*的右零元；

(3)若0∈S，使得对∀x∈S，有0*x＝x*0=0，则称0是关于运算*的零元。

定理5.1.4 设*是集合S上的二元运算，且0l，0r分别为关于运算*的左和右零元，则关于运算*存在唯一零元0且 0=0l=0r。

［例5.1.4］R上，关于加法的单位元是0，但无零元；关于乘法的单位元为1，零元为0；关于减法的右单位元是0，但无左单位元，故无单位元。在任一集合S的幂集ρ(S)上，Φ是集合并运算的单位元、交运算的零元，S是集合交运算的单位元、并运算的零元。

定义5.1.12设*是S上的二元运算，e 为关于运算*的单位元，x∈S，

(1)若存在x l∈S，有x l*x= e，则称x l是关于运算*的左逆元；

(2)若存在x r∈S，有x*x r = e，则称x r是关于运算*的右逆元；

(3)若存在a'∈S，有a'*x＝x*a'= e，则称a'是关于运算*的逆元。

定理5.1.5 设*是集合S上可结合的二元运算，e 为关于运算*的单位元，x∈S，且x l，x r分别为x关于运算*的左和右逆元，则x l= x r且它是x关于运算*的唯一逆元。

对S上可结合的二元运算*，若x∈S可逆，则其逆元惟一，因此我们可将之记为x－1。x和x－1互为逆元，即（x－1）－1＝x。

［例5.1.5］在R中，任一实数关于加法的逆元是它的相反数，任一非零实数关于乘法的逆元是它的倒数；但零关于乘法是不可逆的。

定义5.1.13 设*是A上的二元运算，∀x，y，z∈A，

x*y=x*z⇒y=z； y*x= z*x ⇒x=y，

则称*满足消去律。

［例5.1.6］任一实数关于加法*满足消去律；任一非零实数关于乘法*满足消去律；n