第五章代数系统的一般性质
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第5章+代数系统(x)
g (x1) =y1, g (x2)=y2, 且 g(x1∘x2) = g (x1) *g (x2)= y1 * y2.
g(x2∘x1)＝g (x2) *g (x1)= y2 * y1.
(2) (X, ∘) 满足交换律
x1∘x2= x2 ∘ x1
g(x1∘x2)=g(x2 ∘ x1)
y1 * y2 = y2 * y1
第6页
第5章 代数系统
Th5.1(5.2) (S, ∘)对运算“∘”，若存在左单位元el， 存在右单位元er，则 el=er=e； 且A中的单位元若存在必惟一。
证明 (1) 左右等。
存在左单位元el el ∘ er= er 存在右单位元erer ∘ el = el
el=er=e
(2) 惟一性。反证法，还有一个e’,
证明 (1) (X, ∘) ≌(Y,*)
有一一对应g, yY, xX, g(x) =y,
方
y1(y2y3)= (y1 y2) (y1y3).
法 证 得
(3) 同理可得 x1* (x2 ∘ x3) = (x1*∘x2)∘(x1*x3) y1(y2 y3)= (y1 y2) (y1 y3).
第19页
第5章 代数系统
Th5.8 (X,∘) 单位元ex,(X,∘)≌(Y,*) (Y,*) 单位元ey= g(ex).
第4页
§5: (S, ∘) ，a,bS，都有a ∘b= b ∘a. 2. 结合律: (S, ∘) ，a,b,cS，都有a ∘(b ∘ c)= (a ∘b) ∘ c.
3.分配律: (S, ∘,*) ，a,b,cS，均有 a ∘(b * c)= (a ∘b) *(a∘ c) (∘对 *左分配律，第一分配率) a*(b∘c)=(a*b)∘(a*c) (*对 ∘ 左分配律,第一分配率)
g(x2∘x1)＝g (x2) *g (x1)= y2 * y1.
(2) (X, ∘) 满足交换律
x1∘x2= x2 ∘ x1
g(x1∘x2)=g(x2 ∘ x1)
y1 * y2 = y2 * y1
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第5章 代数系统
Th5.1(5.2) (S, ∘)对运算“∘”，若存在左单位元el， 存在右单位元er，则 el=er=e； 且A中的单位元若存在必惟一。
证明 (1) 左右等。
存在左单位元el el ∘ er= er 存在右单位元erer ∘ el = el
el=er=e
(2) 惟一性。反证法，还有一个e’,
证明 (1) (X, ∘) ≌(Y,*)
有一一对应g, yY, xX, g(x) =y,
方
y1(y2y3)= (y1 y2) (y1y3).
法 证 得
(3) 同理可得 x1* (x2 ∘ x3) = (x1*∘x2)∘(x1*x3) y1(y2 y3)= (y1 y2) (y1 y3).
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第5章 代数系统
Th5.8 (X,∘) 单位元ex,(X,∘)≌(Y,*) (Y,*) 单位元ey= g(ex).
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§5: (S, ∘) ，a,bS，都有a ∘b= b ∘a. 2. 结合律: (S, ∘) ，a,b,cS，都有a ∘(b ∘ c)= (a ∘b) ∘ c.
3.分配律: (S, ∘,*) ，a,b,cS，均有 a ∘(b * c)= (a ∘b) *(a∘ c) (∘对 *左分配律，第一分配率) a*(b∘c)=(a*b)∘(a*c) (*对 ∘ 左分配律,第一分配率)
《离散数学》代数系统的一般性质-1
定义 设 S 为集合,函数 f：S×S→S 称为 S 上的 二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 特点： - 变量和函数值的取值限定在同一个集合上。 例1 - (1) N 上的二元运算：加法、乘法. - (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. - (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除 法. - (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai ∘aj = ai ， ∘ 为 S 上二元运算.
二元运算的特异元素 5.1 二 元 运 算 及 其 性 质 单位元
定义 设∘为S上的二元运算,如果存在el（或er）S，使得 对任意x∈S 都有 el ∘x =x (或x∘er =x)， 则称el(或er )是S中关于∘运算的左(或右)幺元（单位元）. 若e∈S关于∘运算既是左单位元又是右单位元，则称 e 为S上关于∘运算的幺元. 例：N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1 Mn(R)上加法的么元是0矩阵，乘法的幺元是单位阵
第5章 代数系统的一般 性质
代数结构
【引例】 （1）在Z集合上，x∈Z,
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
则f(x)=-x是将x映为它的相反 数。-x是由x唯一确定的，它是对一个数施行求相反数运 算的结果。这个运算可表示为函数： f ：Z→Z
（2）在R+ 集合上，x∈R+,则f(x)= 1/x是将x映为它的倒 数。1/x是由x唯一确定的，它是对R+中的一个数施行倒数 运算的结果。这个元算可以表示为函数 f : R+ → R+。 （3）设a,b∈R,则f(a,b)=a+b(a-b，a×b)是将两个数a， b映为R中的唯一的一个数，它是对R中的两个数施行加 （减，乘）法运算的结果。这个运算可以表示为函数f : R2 → R。
第5章 代数系统hhs
*
一元
二元五
一元 桔子水
可口可乐
不封闭
二元五 可口可乐
冰淇淋
3/38
5.1 代数系统的引入
一个非空集合 A 连同若干个定义在该集合上的运算 f1, f2, …, fk 所组成的系统称为一个代数系统, 记作< A, f1, f2, …, fk >. 例
{命题},,
P( S ),,, ~ ( S为有限集）
13/38
5.2 运算及其性质
逆元的定义 设代数系统 <A, >, 是定义在 A 上的二元运算, 且 e 是 A 中关于运算 的幺元。如果对于 a A , b A, 使ba=e， 则称 b 为 a 左逆元； ab=e， 右逆元； 如果 b 既是 a 的左逆元又是 a 的右逆元，则称 b 是 a 的逆元， 记为 a-1 = b . 显然 a 和 b 互为逆元.
例
、为左幺元
α为幺元
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5.2 运算及其性质
定理：设*是定义在集合 A 上的二元运算, 且在 A 中有关 于运算 * 的左幺元 el 和右幺元 er ，则 el = er = e，且 A 中的幺元是唯一的。
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5.2 运算及其性质
定理：设 是定义在集合 A 上的二元运算, 且在 A 中有关于运 算 的左零元 l 和右零元 r ，则 l = r = ，且 A 中的零元 是唯一的。 证明： l = l r = r = 设另有一零元 1, 则 1=1= 定理：设代数系统 <A, >, 且 | A | > 1。如果该代数系统中 存在幺元 e 和零元 ，则 e 。 证明：用反证法。 设 e = , 则对于任意的 x A , 必有 x=ex=x==e 于是 A 中只有一个元素，与假设矛盾。
第五章 代数系统概述
显然代数系统 V 的子代数是与 V 同类型的代 数系统。因为子代数中的运算及特指元素都
和原代数系统相同，故可略而不写，而简单
地说 A 是代数系统
➢ {0}, N, Z, Q 是 < R, + > 的子代数，< R, >, {0, 1} 不是 < R, + > 的子代数。
➢ n 阶随机矩阵集是 < S, > 的子代数，其中 S 是 n 阶实矩阵集， 是矩阵乘法。
第五章 代数系统概述
5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统 5.3 代数系统的同态和同构
➢ 对于自然数集 N 上的加法 +，0 是幺元， 没有零元，每个正整数都没有逆元，+ 满足 消去律。
➢ 对于整数集 Z 上的加法 +，0 是幺元，没有 零元，每个整数 n 的逆元是 n， + 满足消 去律。
假设 < x, y > 是幂等元，则 < x, y > < x, y > = < x, y >，
即 x2 = x 且 xy + y = y，解得 x = 0 或者 (x = 1 且 y = 0)，幂等元集为 {< 0, y > | yQ} {< 1, 0 >}。 假设 < x, y > 有逆元 < a, b >，则 < a, b > < x, y > = < x, y > < a, b > = < 1, 0 >， 即 ax = 1且 ay + b = xb + y = 0，解得 a = x /1， b = y /x，只要 x 0， < x, y > 就有逆元 < x /1, y /x >。
和原代数系统相同，故可略而不写，而简单
地说 A 是代数系统
➢ {0}, N, Z, Q 是 < R, + > 的子代数，< R, >, {0, 1} 不是 < R, + > 的子代数。
➢ n 阶随机矩阵集是 < S, > 的子代数，其中 S 是 n 阶实矩阵集， 是矩阵乘法。
第五章 代数系统概述
5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统 5.3 代数系统的同态和同构
➢ 对于自然数集 N 上的加法 +，0 是幺元， 没有零元，每个正整数都没有逆元，+ 满足 消去律。
➢ 对于整数集 Z 上的加法 +，0 是幺元，没有 零元，每个整数 n 的逆元是 n， + 满足消 去律。
假设 < x, y > 是幂等元，则 < x, y > < x, y > = < x, y >，
即 x2 = x 且 xy + y = y，解得 x = 0 或者 (x = 1 且 y = 0)，幂等元集为 {< 0, y > | yQ} {< 1, 0 >}。 假设 < x, y > 有逆元 < a, b >，则 < a, b > < x, y > = < x, y > < a, b > = < 1, 0 >， 即 ax = 1且 ay + b = xb + y = 0，解得 a = x /1， b = y /x，只要 x 0， < x, y > 就有逆元 < x /1, y /x >。
第五章 代数系统的一般性质 - 嘉应学院
15
例 独异点V= .是矩阵乘法。
其中S= 令ϕ : S→ S, 那么对任意x,y∈S都有
，
16
但是
而
不是独异点V的么元,因此,
ห้องสมุดไป่ตู้
ϕ不是独异点V 的自同态。 这就是说,如果把V看作半群,则ϕ是V的自 同态 ;如果把V看作独异点,则ϕ就不是它的 自同态了。
17
18
19
11
半群同态
定义 设V1 =<S1,˚>, V2=<S2,*>为半 群, , ϕ : S1 → S2，且对任意x,y∈S1有 ϕ (x˚y)= ϕ (x)* ϕ (y) 则称ϕ为半群V1到V2的同态．
12
例 半群V=<S,.>,其中S= .是矩阵乘法。令ϕ : S→ S,
那么有 = =
13
=
这说明ϕ 是半群V的自同态,但不是满自同态
2
半群中运算的幂
因为半群V=<S, ˚>中的运算˚是可结合的,可以 定义运算的幂．对任意的x∈S,规定xn是 x1=x, xn+1= xn˚x , n为正整数。
易证x的幂遵从以下规律： xn ˚ xm= xn+m , (xn)m= xnm ,n为正整数．
3
独异点中运算的幂
在独异点V=<S,˚,e>中,如果规定x0=e(x是S 中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可 以变成 x0=e xn+1= xn ˚x n为非负整数． 而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的 m和n是非负整数就可以了。
独异点的积代数
设V1=<S1,˚,e1> , V2=<S2,*,e2>是独异 点,则它们的积代数是 V1×V2=<S1×S2,.,<e1,e2>> 其中的·定义与积半群一样． 即：对任意<a,b>,<c,d>∈S1×S2有 <a,b>·<c,d>=<a˚c,b*d>
例 独异点V= .是矩阵乘法。
其中S= 令ϕ : S→ S, 那么对任意x,y∈S都有
，
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但是
而
不是独异点V的么元,因此,
ห้องสมุดไป่ตู้
ϕ不是独异点V 的自同态。 这就是说,如果把V看作半群,则ϕ是V的自 同态 ;如果把V看作独异点,则ϕ就不是它的 自同态了。
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半群同态
定义 设V1 =<S1,˚>, V2=<S2,*>为半 群, , ϕ : S1 → S2，且对任意x,y∈S1有 ϕ (x˚y)= ϕ (x)* ϕ (y) 则称ϕ为半群V1到V2的同态．
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例 半群V=<S,.>,其中S= .是矩阵乘法。令ϕ : S→ S,
那么有 = =
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=
这说明ϕ 是半群V的自同态,但不是满自同态
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半群中运算的幂
因为半群V=<S, ˚>中的运算˚是可结合的,可以 定义运算的幂．对任意的x∈S,规定xn是 x1=x, xn+1= xn˚x , n为正整数。
易证x的幂遵从以下规律： xn ˚ xm= xn+m , (xn)m= xnm ,n为正整数．
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独异点中运算的幂
在独异点V=<S,˚,e>中,如果规定x0=e(x是S 中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可 以变成 x0=e xn+1= xn ˚x n为非负整数． 而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的 m和n是非负整数就可以了。
独异点的积代数
设V1=<S1,˚,e1> , V2=<S2,*,e2>是独异 点,则它们的积代数是 V1×V2=<S1×S2,.,<e1,e2>> 其中的·定义与积半群一样． 即：对任意<a,b>,<c,d>∈S1×S2有 <a,b>·<c,d>=<a˚c,b*d>
《离散数学》代数系统的一般性质-2
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同类型与同种代数系统
定义 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同， 对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同， 则称它们是 同类型的 代数系统. (2) 如果两个同类型的代数系统规定的运算性质 也相同，则称为 同种的 代数系统. 例1 V1 = <R, +, ·0, 1>, , V2 = <Mn(R), +, ·, E>, , 为 n 阶全 0 矩阵，E 为 n 阶单位矩阵 V3 = <P(B), ∪, ∩, , B>
证 假设f是V2到V1的同构，那么有f：V2→V1，
f(1)=0. 于是有 f(1)+f(1) = f((1)(1))= f(1)=0 从而 f(1)=0，又有 f(1)=0，这与 f 的单射性矛盾.
24
15
同态映射的实例
例2 设V=<Z,+>，aZ，令 fa：ZZ，fa(x)=ax 那么fa是V的自同态。因为x,yZ，有 fa(x+y)=a(x+y)=ax+ay=fa(x)+fa(y) 当 a = 0 时称 f0为零同态； 当a=1时，称 fa为自同构； 除此之外其他的 fa 都是单自同态.
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定义：设 V1=<S1,∘,k1>和 V2=<S2, ,k2 >是代数系统， 其中 ∘ 和 是二元运算. k1是S1的代数常数， k2是S2的 代数常数，f: S1S2, 如果满足 （1） x,yS1, f (x∘y) = f(x) f( y), （2） f(k1)＝ k2 则称 f为V1到 V2 的同态 例：V1=<Z,+,0>，V2=<Zn,,0>，Zn={0,1, … , n-1}, 是模n加。令 f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n x,y∈Z有 f(x+y)=(x+y)mod n =(x mod n） (y mod n） = f(x) f(y) 同时，f(0)= 0
离散数学 ch5.1~2代数系统的概念及性质
代数系统：是用代数运算的方法构造数学模型。所 谓代数运算方法就是在建立满足一定规则的运算系 统（集合上定义若干个运算组成的系统）。
5-1 代数结构(系统)的概念
所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合， 和若干个运算，构成的系统。 一. n元运算(n-Ary Operation) 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： 取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 以及N上的“+” I - I P(E) ~ P(E) N2 + N 。 Φ Φ。 (0,0)。 。 0 2。 。 -2 (0,1)。 。 {a} 。 。 {a} 1 1。 。 -1 (0,2)。 0。 。 。 0 2 {b} 。 。 {b} -1。 。 1 。 -2。 。 3 (1,0)。 2 {a,b} 。 。 {a,b} (1,1)。 (1,2)。 可见运算“-”、“~”、“+” 就是个映射(函数)。 ... ... ... ... ... ... ...
六.逆元 设是X上有幺元e 的二元运算，x∈X，如果存在元素 xL-1∈X，使得，xL-1x=e，则称xL-1是x相对的左逆元 如果存在xR-1∈X，使得xxR -1 =e，则称xR -1是x相对的 右逆元。 如果xL-1 = xR-1 =x-1 ，有x-1x=xx-1=e, 称x-1是x相对的 逆元。也称x-1与x互为逆元。如x-1∈X ,也称x可逆。 -1 xR x 例1实数集合R上的+和×，x∈R S R A L -1 = -x 对加+: x (e=0) S S R A L 对乘×: x-1 =1/x (x≠0) (e=1) 从运算表找x的左 逆元 xL-1 ： x R R A L S A A L S R 在x列向下找到e后，再向左到 xL-1 L -1 。 L S R A 左表头元素即是xL 从运算表找x的右逆元 xR-1： 求R的逆： R-1 =L 在x行向右找到e后，再向上到上表头元素即是xR-1 。
第五章—代数系统的一般性质
。
例5.6 设R为实数集, 定义 R 上的二元运算, 如下: x y = x1+y1-x1 y1 则 满足交换律和结合律。 证: ∵ x y = x1+y1-x1 y1 = y1 + x1- y1 x1= y x ∴ 满足交换律 ∵( x y) z = (x1+y1-x1 y1 ) z = (x1+y1-x1 y1 ) + z1- (x1+y1-x1 y1 ) z1 = x1+y1 + z1 -x1 y1 - x1 z1 -y1 z1 +x1 y1 z1 x (y z) = x (y1+z1-y1 z1 ) = x1 + (y1+z1-y1 z1 ) - x1 (y1+z1-y1 z1 ) = x1+y1 + z1 -x1 y1 - x1 z1 -y1 z1 +x1 y1 z
表 2
=
表 3
解:
如表 1 所定义， 是 的幺元
（单位元）
Hale Waihona Puke 如表 2 所定义， 和 是 的右幺元
如表 3 所定义， 和
是 的左幺元
定理5.1 设 是S上的二元运算，el、er分别 为 运算的左、右幺元,(单位元)则有 el = er = e 且e为S上关于运算 的唯一幺元。 ∵ el是 证明： 左单位 el er = e r ∵ er是右单 元 位元 el er = e l ∴ el = er 把el = er 记作e，则e是S中的幺元。假设 e`也是S中的幺元，则 ∵ e是 e`=e e`=e 单位元 ∴ e是S中关于 运算的唯一的幺元。
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第5章 代数系统的一般性质 章
5.1 二元运算及其性质
5.2 代数系统及其子代数和积代数
5.3 代数系统的同态与同构
5.1 二元运算及其性质
一.二元运算
定义:设S为集合,函数 f:S×S->S称为S上的一个二元运算, (对运算封闭）简称为二元运算.通常用 o,*,·等符号 表示二元运算,称为算符.
三.积代数
定义:设V1=<S1,o >,V2=<S2,*>是代数系统,o和*为二元运算, o V1和V2的积代数V1×V2是含有一个二元运算·的代数系统, 即V1×V2 =<S,·> 其中S=S1×S2 ∀ 且对∀<x1,y1>,<x2,y2>∈S1×S2 有 <x1,y1>·<x2,y2>=<x1ox2,y1*y2>
例如:N.Z,Q,R上的加法和乘法是可结合的. P(S)上的∪,∩,⊕是可结合的. Mn(R)上的加法和乘法是可结合的
幂等律: ∀x∈S,有x·x=x; x称为幂等元.
例如:幂集P(S)上的∪和∩运算适合幂等律(A∪A=A, A∩A=A),但对称差⊕运算不适合幂等律.
分配律: ∀x,y,z∈S,有 x*(y·z)=(x*y)·(x*z) (y·z)*x=(y*x)·(z*x) 称*对·适合分配律.
定义:设V=<S,f1,f2,…,fk>是代数系统,B⊆S 且B≠φ 如果B对f1,f2,…,fk都是封闭的,且B和S含有相同的代数 常数,则称<B,f1,f2,…,fk>是V的子代数系统(子代数).
例如:<N,+>是<Z,+>的子代数. <N,+,0>是<Z,+,0>的子代数. <N-{0},+>是<Z,+>的子代数,但不是<Z,+,0>的子代数. 说明:对任何代数系统V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代数一定存在,最大的子代 数就是V本身;如果令V中所有的代数常数构成的集合是B,且B对V中所 有的运算都是封闭的,那么B就构成了V的最小的子代数;这种最大与 最小的子代数称为V的平凡子代数;如果V的子代数V’=<B,f1,f2,…,fk> 满足B⊂S,则称V’是V的真子代数.
例5.6 (1)V=<Z,+>,给定a∈Z,令Ψa:Z->Z, Ψa(x)=ax ∀z1,z2∈Z,有 Ψa(z1+z2)=a(z1+z2)=az1+az2=Ψa(z1)+Ψa(z2) 所以Ψa是V到自身的同态(自同态)
当a=0时, Ψa(x)=0,称Ψa为零同态,其同态象<{0},+> 当a=1时, Ψ1(x)=x,Ψ1为双射,其同态象为<Z,+>, 所以Ψ1是V的自同构,同理可证Ψ-1也是V的自同构. 当a≠1且a≠0时, Ψa(x)=ax,易证Ψa是单射的,Ψa是 V的单同态,其同态象为<aZ,+>是<Z,+>的真子集.
例5.1(1)自然数集N上的乘法是N上的二元运算,但除法不是. (2)整数集合Z上的加法,减法和乘法是Z上的二元运算,而除法不是. (3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算,而加法和减法不是. (4)Mn(R)上的加法和乘法是Mn(R )上的二元运算. (5)S为任意集合,则∪,∩,～,⊕为S的幂集P(S)上二元运算 (6)S为集合,SS是S上的所有函数集合,则合成运算是SS上的二元运算.
例如:在实数上乘法对加法是可分配的 在Mn(R)上矩阵的乘法对加法是可分配的. 在幂集P(S)上∪和∩是互相可分配的.
吸收律:设·和*是S上的两个可交换的二元运算, ∀x,y∈S,有x*(x·y)=x ∀ x·(x*y)=x 则称·和*满足吸收律.
例如:在幂集P(S)上∪和∩是满足吸收律的. (A∩(A∪B)=A, A∪(A∩B)=A)
例如:在N上加法只有0∈N,有逆元0;在Z上加法幺元为0, 逆元为它的相反数. Mn(R)上乘法矩阵的幺元是单位矩阵,它的逆元是逆矩阵. P(S)上∪运算的幺元是φ,只有φ有逆元,就是它自己.
5.2 代个运算f1,f2,…,fk组成的系统, 称为一个代数系统,简称代数.记作<S,f1,f2,…,fk> 例如:<N,+>,<Z,+,·>,<R,+,·>都是代数系统. <Mn(R),+,·>是代数系统. <P(S),∪,∩,～>是代数系统.
5.3 代数系统的同态与同构
一.代数系统的同态
定义:设V1=<S1,·>,V2=<S2,*>是代数系统,·和*是二元运算, 如果存在映射Ψ:S1->S2,满足∀x,y∈S1 有 Ψ(x·y)=Ψ(x)*Ψ(y) 则称Ψ是V1到V2的同态映射,简称同态.
例如:V1=<Z,+>,V2=<Zn ,⊕>,其中+为普通加法,⊕为模n加法 即∀x,y∈Zn ,有x⊕y=(x+y)mod n , Zn={0,1,2,…,n-1} 令Ψ:Z->Zn , Ψ(x)=(x)mod 则∀x,y∈Z 有 Ψ(x+y)=(x+y)mod n=(x)mod n⊕(y)mod n=Ψ(x)⊕Ψ(y) 所以Ψ是V1到V2的同态.
例如:N上的乘法的零元是0,而加法无零元. Mn(R)上乘法矩阵零元是零元矩阵.而加法无零元. P(S)上∪运算的零元是S,∩运算的零元是φ. 如下二元运算表的幺元是c。
* a b c a c c a b c a b c a b c
逆元:设·为S上的二元运算,e∈S为运算·的幺元, ∀x∈S, 若∃yl(或yr)∈S,使得yl·x=e(或x·yr=e), 则称yl(或yr)为x的左(或右)逆元. 若y∈S既是x的左逆元,又是x的右逆元, 则称y是x的逆元,并且逆元是唯一的,记作x-1.
消去律: ∀x,y∈S,有(1)若 x·y=x·z且x不是零元,则y=z (2)若 y·x=z·x且x不是零元,则y=z
例如:Z,Q,R上的加法,乘法满足消去律 P(S)上的⊕满足消去律,但∪不满足消去律( A∪B=A∪C 非有B=C)
2.幺元,零元和逆元 ∃ ∀ 幺元:若∃el(或er)∈S,使得∀x∈S,都有el·x=x(或x·er=x) 则el(或er)为左幺元(或右幺元); 若e∈S既是左幺元,又是右幺元,则称e为S上关于运算· 的幺元.并且幺元是唯一的.
例如: 设V1=<Z,+>,V2=<Mn(R),·>,其中+和·分别表示整数加法和矩阵乘法. 那么V1×V2 =<Z×Mn(R),o> ,∀<z1,M1>,<z2,M2>∈Z×Mn(R) 有 <z1,M1>o<z2,M2>=<z1+z2,M1·M2> 如果V1=<Z,+,0>,V2=<Mn(R),·,E>, 则V1×V2 =<Z×Mn(R),o,<0,E>> . ,
说明:若代数系统中,对于给定的二元运算存在幺元和零元, 则幺元和零元称为该系统的特异元素或代数常数. 例如: <Z,+>的幺元是0,可记为 <Z,+,0> <P(S),∪,∩,～>中∪和∩的幺元分别为φ和S,可记为 <P(S),∪,∩,～,φ,S >.
二.子代数系统(子代数) 子代数系统(子代数)
n
又如令Ψ:R->R+,Ψ(x)=ex,那么Ψ是<R,+>到<R+,*>的同态. 因为∀x,y∈R,有 Ψ(x+y)=ex+y =ex*ey=Ψ(x)*Ψ(y)
定义:设Ψ是V1=<S1,·>到V2=<S2,*>的同态,则称<Ψ(S1),*> 是V1在Ψ下的同态象.
二.同构
定义:设Ψ是V1=<S1,·>到V2=<S2,*>的同态, 如果Ψ是满射的,则称Ψ为V1到V2的满同态,记V1～V2 如果Ψ是单射的,则称Ψ为V1到V2的单同态, 如果Ψ是双射的,则称Ψ为V1到V2的同构,记V1≌V2
例5.5 设V=<Z,+,0>,令nZ={nz|z∈Z} n为自然数 那么,nZ是V的子代数. 证明:nZ是Z的子集,且∀nz1,nz2∈nZ(z1,z2∈Z) 有nz1+nz2=n(z1+z2)∈nZ (z1+z2∈Z) 所以nZ对Z运算是封闭的. 又0是nZ的代数常数, 故<nZ,+,0>是<Z,+,0>的子代数. 当n=1时,nZ就是V本身. 当n=0时,0Z={0}是V的最小的子代数.
例如:N上的加法幺元是0,乘法的幺元是1; Mn(R)上加法的幺元是零元矩阵,乘法矩阵是单位矩阵. P(S)上∪运算的幺元是φ,∩运算的幺元是S.
零元:若∃θl(或θr)∈S,使得∀x∈S,都有θl·x=θl (或x·θr=θr),则称θl(或θr)为左零元(或右零元). 若θ∈S既是左零元,又是右零元, 则称θ为S上关于运算·的零元.并且零元θ是唯一的.
二.运算性质
1.算律 交换律: ∀x,y∈S,有x·y=y·x
例如:实数集上的加法和乘法是可交换的,但减法不可交换. 幂集P(S)上的∪,∩,⊕都是可交换的,但相对补(差)不是可交换的. Mn(R)上加法是可交换的;乘法和减法是不可交换的.
结合律: ∀x,y,z∈S, 有(x·y)·z=x·(y·z)
5.1 二元运算及其性质
5.2 代数系统及其子代数和积代数
5.3 代数系统的同态与同构
5.1 二元运算及其性质
一.二元运算
定义:设S为集合,函数 f:S×S->S称为S上的一个二元运算, (对运算封闭）简称为二元运算.通常用 o,*,·等符号 表示二元运算,称为算符.
三.积代数
定义:设V1=<S1,o >,V2=<S2,*>是代数系统,o和*为二元运算, o V1和V2的积代数V1×V2是含有一个二元运算·的代数系统, 即V1×V2 =<S,·> 其中S=S1×S2 ∀ 且对∀<x1,y1>,<x2,y2>∈S1×S2 有 <x1,y1>·<x2,y2>=<x1ox2,y1*y2>
例如:N.Z,Q,R上的加法和乘法是可结合的. P(S)上的∪,∩,⊕是可结合的. Mn(R)上的加法和乘法是可结合的
幂等律: ∀x∈S,有x·x=x; x称为幂等元.
例如:幂集P(S)上的∪和∩运算适合幂等律(A∪A=A, A∩A=A),但对称差⊕运算不适合幂等律.
分配律: ∀x,y,z∈S,有 x*(y·z)=(x*y)·(x*z) (y·z)*x=(y*x)·(z*x) 称*对·适合分配律.
定义:设V=<S,f1,f2,…,fk>是代数系统,B⊆S 且B≠φ 如果B对f1,f2,…,fk都是封闭的,且B和S含有相同的代数 常数,则称<B,f1,f2,…,fk>是V的子代数系统(子代数).
例如:<N,+>是<Z,+>的子代数. <N,+,0>是<Z,+,0>的子代数. <N-{0},+>是<Z,+>的子代数,但不是<Z,+,0>的子代数. 说明:对任何代数系统V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代数一定存在,最大的子代 数就是V本身;如果令V中所有的代数常数构成的集合是B,且B对V中所 有的运算都是封闭的,那么B就构成了V的最小的子代数;这种最大与 最小的子代数称为V的平凡子代数;如果V的子代数V’=<B,f1,f2,…,fk> 满足B⊂S,则称V’是V的真子代数.
例5.6 (1)V=<Z,+>,给定a∈Z,令Ψa:Z->Z, Ψa(x)=ax ∀z1,z2∈Z,有 Ψa(z1+z2)=a(z1+z2)=az1+az2=Ψa(z1)+Ψa(z2) 所以Ψa是V到自身的同态(自同态)
当a=0时, Ψa(x)=0,称Ψa为零同态,其同态象<{0},+> 当a=1时, Ψ1(x)=x,Ψ1为双射,其同态象为<Z,+>, 所以Ψ1是V的自同构,同理可证Ψ-1也是V的自同构. 当a≠1且a≠0时, Ψa(x)=ax,易证Ψa是单射的,Ψa是 V的单同态,其同态象为<aZ,+>是<Z,+>的真子集.
例5.1(1)自然数集N上的乘法是N上的二元运算,但除法不是. (2)整数集合Z上的加法,减法和乘法是Z上的二元运算,而除法不是. (3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算,而加法和减法不是. (4)Mn(R)上的加法和乘法是Mn(R )上的二元运算. (5)S为任意集合,则∪,∩,～,⊕为S的幂集P(S)上二元运算 (6)S为集合,SS是S上的所有函数集合,则合成运算是SS上的二元运算.
例如:在实数上乘法对加法是可分配的 在Mn(R)上矩阵的乘法对加法是可分配的. 在幂集P(S)上∪和∩是互相可分配的.
吸收律:设·和*是S上的两个可交换的二元运算, ∀x,y∈S,有x*(x·y)=x ∀ x·(x*y)=x 则称·和*满足吸收律.
例如:在幂集P(S)上∪和∩是满足吸收律的. (A∩(A∪B)=A, A∪(A∩B)=A)
例如:在N上加法只有0∈N,有逆元0;在Z上加法幺元为0, 逆元为它的相反数. Mn(R)上乘法矩阵的幺元是单位矩阵,它的逆元是逆矩阵. P(S)上∪运算的幺元是φ,只有φ有逆元,就是它自己.
5.2 代个运算f1,f2,…,fk组成的系统, 称为一个代数系统,简称代数.记作<S,f1,f2,…,fk> 例如:<N,+>,<Z,+,·>,<R,+,·>都是代数系统. <Mn(R),+,·>是代数系统. <P(S),∪,∩,～>是代数系统.
5.3 代数系统的同态与同构
一.代数系统的同态
定义:设V1=<S1,·>,V2=<S2,*>是代数系统,·和*是二元运算, 如果存在映射Ψ:S1->S2,满足∀x,y∈S1 有 Ψ(x·y)=Ψ(x)*Ψ(y) 则称Ψ是V1到V2的同态映射,简称同态.
例如:V1=<Z,+>,V2=<Zn ,⊕>,其中+为普通加法,⊕为模n加法 即∀x,y∈Zn ,有x⊕y=(x+y)mod n , Zn={0,1,2,…,n-1} 令Ψ:Z->Zn , Ψ(x)=(x)mod 则∀x,y∈Z 有 Ψ(x+y)=(x+y)mod n=(x)mod n⊕(y)mod n=Ψ(x)⊕Ψ(y) 所以Ψ是V1到V2的同态.
例如:N上的乘法的零元是0,而加法无零元. Mn(R)上乘法矩阵零元是零元矩阵.而加法无零元. P(S)上∪运算的零元是S,∩运算的零元是φ. 如下二元运算表的幺元是c。
* a b c a c c a b c a b c a b c
逆元:设·为S上的二元运算,e∈S为运算·的幺元, ∀x∈S, 若∃yl(或yr)∈S,使得yl·x=e(或x·yr=e), 则称yl(或yr)为x的左(或右)逆元. 若y∈S既是x的左逆元,又是x的右逆元, 则称y是x的逆元,并且逆元是唯一的,记作x-1.
消去律: ∀x,y∈S,有(1)若 x·y=x·z且x不是零元,则y=z (2)若 y·x=z·x且x不是零元,则y=z
例如:Z,Q,R上的加法,乘法满足消去律 P(S)上的⊕满足消去律,但∪不满足消去律( A∪B=A∪C 非有B=C)
2.幺元,零元和逆元 ∃ ∀ 幺元:若∃el(或er)∈S,使得∀x∈S,都有el·x=x(或x·er=x) 则el(或er)为左幺元(或右幺元); 若e∈S既是左幺元,又是右幺元,则称e为S上关于运算· 的幺元.并且幺元是唯一的.
例如: 设V1=<Z,+>,V2=<Mn(R),·>,其中+和·分别表示整数加法和矩阵乘法. 那么V1×V2 =<Z×Mn(R),o> ,∀<z1,M1>,<z2,M2>∈Z×Mn(R) 有 <z1,M1>o<z2,M2>=<z1+z2,M1·M2> 如果V1=<Z,+,0>,V2=<Mn(R),·,E>, 则V1×V2 =<Z×Mn(R),o,<0,E>> . ,
说明:若代数系统中,对于给定的二元运算存在幺元和零元, 则幺元和零元称为该系统的特异元素或代数常数. 例如: <Z,+>的幺元是0,可记为 <Z,+,0> <P(S),∪,∩,～>中∪和∩的幺元分别为φ和S,可记为 <P(S),∪,∩,～,φ,S >.
二.子代数系统(子代数) 子代数系统(子代数)
n
又如令Ψ:R->R+,Ψ(x)=ex,那么Ψ是<R,+>到<R+,*>的同态. 因为∀x,y∈R,有 Ψ(x+y)=ex+y =ex*ey=Ψ(x)*Ψ(y)
定义:设Ψ是V1=<S1,·>到V2=<S2,*>的同态,则称<Ψ(S1),*> 是V1在Ψ下的同态象.
二.同构
定义:设Ψ是V1=<S1,·>到V2=<S2,*>的同态, 如果Ψ是满射的,则称Ψ为V1到V2的满同态,记V1～V2 如果Ψ是单射的,则称Ψ为V1到V2的单同态, 如果Ψ是双射的,则称Ψ为V1到V2的同构,记V1≌V2
例5.5 设V=<Z,+,0>,令nZ={nz|z∈Z} n为自然数 那么,nZ是V的子代数. 证明:nZ是Z的子集,且∀nz1,nz2∈nZ(z1,z2∈Z) 有nz1+nz2=n(z1+z2)∈nZ (z1+z2∈Z) 所以nZ对Z运算是封闭的. 又0是nZ的代数常数, 故<nZ,+,0>是<Z,+,0>的子代数. 当n=1时,nZ就是V本身. 当n=0时,0Z={0}是V的最小的子代数.
例如:N上的加法幺元是0,乘法的幺元是1; Mn(R)上加法的幺元是零元矩阵,乘法矩阵是单位矩阵. P(S)上∪运算的幺元是φ,∩运算的幺元是S.
零元:若∃θl(或θr)∈S,使得∀x∈S,都有θl·x=θl (或x·θr=θr),则称θl(或θr)为左零元(或右零元). 若θ∈S既是左零元,又是右零元, 则称θ为S上关于运算·的零元.并且零元θ是唯一的.
二.运算性质
1.算律 交换律: ∀x,y∈S,有x·y=y·x
例如:实数集上的加法和乘法是可交换的,但减法不可交换. 幂集P(S)上的∪,∩,⊕都是可交换的,但相对补(差)不是可交换的. Mn(R)上加法是可交换的;乘法和减法是不可交换的.
结合律: ∀x,y,z∈S, 有(x·y)·z=x·(y·z)