2018-2019年浙江版高考数学一轮复习(讲+练+测) 专题9.1 直线与直线的方程(讲)及答案

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2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第9章第1讲直线的方程 Word版含解析

第1讲直线的方程最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识梳理1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). (2)直线的斜率①定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.2.直线方程的五种形式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示.( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.(4)当直线的斜率不存在时，不可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(2017·衡水金卷)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.120°D.150°解析由题得，直线y ＝x ＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°故α＝45°，故选B. 答案 B3.如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限. 答案 C4.已知A (3，5)，B (4，7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________. 解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，∴7－54－3＝x －5－1－3，∴x ＝－3.答案－35.(必修2P100A9改编)过点P (2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为________. 解析当纵、横截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝06.(2017·金华市调研)直线kx －y －2k ＋4＝0过定点P 的坐标为________；若幂函数y ＝f (x )也过点P ，则f (x )的解析式为________.解析直线kx －y －2k ＋4＝0可化为y －4＝k (x －2)，∴直线过定点P (2，4)，设幂函数y ＝f (x )为y ＝x α，把P (2，4)代入，得4＝2α，∴α＝2，即y ＝f (x )＝x 2. 答案 (2，4) f (x )＝x 2考点一直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1，3]. 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3].又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3，∴直线l 的斜率k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞). 答案 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)规律方法直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0).【训练1】 (2017·杭州一调)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π解析设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π，故选B. 答案 B考点二直线方程的求法【例2】根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4). 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为xa ＋y12－a＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.规律方法根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性.【训练2】求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 解 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0，0)和(4，1)， ∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵l 过点(4，1)，∴4a ＋1a ＝1， ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 考点三直线方程的综合应用【例3】已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程. (1)证明直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞). (3)解由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k ). 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.规律方法在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.【训练3】已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程.解法一设直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，点P (3，2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab ，得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.法二依题意知，直线l 的斜率k 存在且k ＜0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)，且有A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0，B (0，2－3k )，∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（－9k ）＋4（－k ）≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k ）·4（－k ）＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立，即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.[思想方法]1.直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率. (2)直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：2.件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况. [易错防范]1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.120°D.150°解析直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°. 答案 B2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝0解析圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0. 答案 D3.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k ＜0，则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案 B4.(2017·浙江三市十二校联考)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A.6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.答案 A5.(2017·湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B.－13 C.－32D.23解析依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.答案 B6.(2017·浙江五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合. 答案 B7.(2016·衡水一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A. 答案 A8.(2017·福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为( ) A.1B.2C.4D.8解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1，1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立.∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4. 答案 C 二、填空题9.(2017·温州调研)已知三角形的三个顶点A (－5，0，)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________；BC 边上中线的方程为________. 解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.故BC 边上中线的方程为x ＋13y ＋5＝0(－5≤x ≤32). 答案 x ＋13y ＋5＝0 x ＋13y ＋5＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫－5≤x ≤3210.若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________.解析当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1. 当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0，即－3≤k ＜0，∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1∪[－3，0).答案 [－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，111.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝012.直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________. 解析直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2). 答案 (2，－2)13.(2017·嘉兴检测)直线l 1：x ＋y ＋2＝0在x 轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转π2，则所得到的直线l 2的方程为________.解析对直线l 1：x ＋y ＋2＝0，令y ＝0，得x ＝－2，即直线l 1在x 轴上的截距为－2；令x ＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝x －2，即为x －y －2＝0. 答案－2 x －y －2＝0能力提升题组 (建议用时：15分钟)14.已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A.4x －3y －3＝0 B.3x －4y －3＝0 C.3x －4y －4＝0D.4x －3y －4＝0解析由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案 D15.(2017·宁波调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B.[－1，0] C.[0，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12. 答案 A16.已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)的公共点为P (x ，y ). 则点P (x ，y )在线段AB 上移动，且A (2，4)，B (3，2)，设直线l 的斜率为k . 又k OA ＝2，k OB ＝23. 如图所示，可知23≤k ≤2.∴直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，217.设M ＝π2 011－2 012π2 012＋2 011，N ＝π2 013－2 012π2 014＋2 011，则M 与N 的大小关系为________.解析设A ＝(－2 011，2 012)，B (π2 012，π2 011)，C (π2 014，π2 013)，则有M ＝π2 011－2 012π2 012＋2 011＝k AB ，N ＝π2 013－2 012π2 014－（－2 011）＝k AC(如图所示)，则直线BD 的倾斜角∠BDO 和直线AC 的倾斜角∠CEO 均为锐角，且∠BDO <∠CEO ，所以k AB <k AC ，即M <N . 答案 M <N18.在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________.解析直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1，1)， ∴H (1，0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32. 所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0. 答案3x ＋y －3－1＝0。

精选浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.1直线的方程教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.1直线的方程教师用书1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)． 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式【知识拓展】 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )． 2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0. 3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )1．(2016·天津模拟)过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4 答案 A解析依题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．(2016·镇海中学检测)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4] B ．[3π4，π)C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)答案 B解析由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是[3π4，π)．3．如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－C B>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．4．(教材改编)直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝. 答案 1或－2解析令x ＝0，得直线l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a，依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.题型一直线的倾斜角与斜率例1 (1)(2016·北京东城区期末)已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“α>π3”是“k >3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为．答案 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 (1)当π2<α<π时，k <0；当k >3时，π3<α<π2.所以“α>π3”是“k >3”的必要不充分条件，故选B.(2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．引申探究1．若将题(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－－＝13， k BP ＝3－00－－＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.2．若将题(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的范围．解如图，直线PA 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．(2016·南昌模拟)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B．135° C．120° D．不存在答案 A解析由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k2，弦长|AB |＝2 2－|2k |1＋k22＝22－2k21＋k2，所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k 2×22－2k21＋k2 ≤k2＋2－2k2＋k2＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33(k ＝33舍去)，故直线l 的倾斜角为150°. 题型二求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(5,10)，到原点的距离为5；(3)过点A (－5，－4)作直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5，求直线l 的方程．解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. (3)由已知，l 的两截距不为0，设l 的方程为x a ＋yb＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋－4b ＝1，12|ab |＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4.∴直线l 的方程为x 5－y2＝1或x －52＋y4＝1，即2x －5y －10＝0或8x －5y ＋20＝0.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14倍；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5. 解 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x－得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2(k ≠－2，否则与已知直线平行)，则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)． ∴(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.题型三直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式相结合求最值问题例3 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解方法一设直线方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，把点P (3,2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，且有A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 －9k4－k ＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题例4 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．(2016·潍坊模拟)直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，当|OA |＋|OB |最小时，求直线l 的方程．解依题意，直线l 的斜率存在且斜率为负，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k <0)．令y ＝0，可得A (1－4k，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k )． |OA |＋|OB |＝(1－4k)＋(4－k )＝5－(k ＋4k)＝5＋(－k ＋4－k )≥5＋4＝9.∴当且仅当－k ＝4－k 且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值．这时直线l 的方程为2x ＋y －6＝0.10．求与截距有关的直线方程典例设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求a . 错解展示现场纠错解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)由a －2a ＋1＝－(a －2)得a －2＝0或a ＋1＝－1， ∴a ＝2或a ＝－2.纠错心得在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.1．(2016·北京顺义区检测)若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( ) A ．－6<k <－2 B ．－5<k <－3 C ．k <－6 D ．k >－2 答案 A 解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6>0且k ＋2<0，所以－6<k <－2.2．(2016·威海模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2， ∴斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2. 3．(2016·济宁模拟)直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(2,1)C ．(1，－2)D ．(1,2)答案 A解析 mx －y ＋2m ＋1＝0，即m (x ＋2)－y ＋1＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，－y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1，故定点坐标为(－2,1)．4．(2016·金华模拟)已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D．－34≤k ≤4 答案 A解析如图所示，∵k PN ＝1－－1－－＝34， k PM ＝1－－1－2＝－4.∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，由已知得k ≥34或k ≤－4. 5．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0答案 A解析由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－c b>0，故ab >0，bc <0.6.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2答案 D解析直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.7．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是．答案 3解析直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 8．(2016·潍坊模拟)直线l 过点(－2,2)且与x 轴，y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，则直线l 的方程为．答案 x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0解析若a ＝b ＝0，则直线l 过点(0,0)与(－2,2)，直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋2b＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝4，此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.9．(2016·奉化模拟)直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是．答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞) 解析当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合题意．当a ≠－1时，直线l 的斜率k ＝－a a ＋1，由题意知－a a ＋1>1或－aa ＋1<0，解得－1<a <－12或a <－1或a >0. 综上知，a <－12或a >0. 10．(2016·山师大附中模拟)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny－1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为．答案 4解析 ∵函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)．∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn >0)．∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·(m ＋n )＝2＋n m ＋m n≥4 (当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n的最小值为4. 11．(2016·太原模拟)已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈[－33－1，3－1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解 (1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．即x －(m ＋1)y ＋2m ＋3＝0.(2)①当m ＝－1时，α＝π2； ②当m ≠－1时，m ＋1∈[－33，0)∪(0，3]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪[33，＋∞)， ∴α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]．综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈[π6，2π3]． 12．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解 (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图所示．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP ＝2.由直线方程的点斜式，得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5. (3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．*13.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。

(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)--专题9.2-两条直线的位置关系(测)

(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)专题9.2-两条直线的位置关系(测)班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

） 1.【2018届云南省师范大学附属中学高三月考卷（二）】已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（） A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 【答案】D 【解析】∵，∴，故选D ．2.已知直线1:210l x y -+=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的值为 ( ) A.12 B ．12- C.2 D.2- 【答案】A3.平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（）A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x 【答案】D ．【解析】依题可设所求切线方程为20x y c ++=2200521c ++=+5c =±，所以所求切线的直线方程为250x y ++=或250x y +-=，故选D ． 4.已知直线():10,0x yl a b a b+=>>在两坐标轴上的截距之和为4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是（）A. 22B. 4C. 6D. 2 【答案】D5.【2017届江西师范大学附属中学高三第三次模拟】已知直线()()1:424240l m x m y m --++-=与()()2:1210l m x m y -+++=，则“2m =-”是“12//l l ”的（）条件.A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分又不必要【答案】B【解析】2m =- 时，可得1212:680,:310,l x l x l l --=-+=， 12//l l 时，可得()()()()422410m m m m -+++-= ，解得2m = 或2m =- ， 2m ∴=- 是12l l 的充分不必要条件，故选B.6.【改编自浙江卷】若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = （）. A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 【答案】C 【解析】1212,2k k m ==-，因为直线互相垂直，所以121k k ⋅=-，即12()1,12m m⋅-=-∴=，选C. 7.经过两直线x ＋3y －10＝0和3x －y ＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】设所求直线l 的方程为x ＋3y －10＋λ(3x －y)＝0，即(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0， ∵原点到直线的距离，∴，即直线方程为x ＝1或4x ＋3y ＋5＝0，选C ．8.设0,0,(1,2),(,1),(,0)a b A B a C b >>---，若,,A B C 三点共线，则ba 11+的最小值是（） A ．223+ B ．24 C ．6 D ．92【答案】A9.点P （a ，b ）关于l ：x+y+1=0对称的点仍在l 上，则a+b=（） A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．0 【答案】A【解析】∵点P （a ，b ）关于l ：x+y+1=0对称的点仍在l 上，∴点P （a ，b ）在直线l 上， ∴a+b+1=0，解得a+b=﹣1．故选A ．10.【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期联考四】若直线20x ay +-=与以()3 1A ，，()1 2B ，为端点的线段没有公共点，则实数a 的取值范围是（） A ．()2 1-，B ．()() 2 1 -∞-+∞，，C.11 2⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．()1 1 2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，【答案】D【解析】直线20x ay +-=过定点()2 0C ，,所以11(,)(2,1)(,1)(,)2CB CA k k a a-∈=-⇒∈-∞-+∞，选D. 11.【2017届河北武邑中学高三周考】直线2:10l mx m y --=经过点()2,1P ，则倾斜角与直线l 的倾斜角互为补角的一条直线方程是（）A ．10x y --=B ．230x y --=C ．30x y +-=D ．240x y +-= 【答案】C【解析】将点()2,1P 代入得2210,1m m m --==，直线方程为10x y --=，斜率为1，倾斜角为4π.故和其垂直的直线斜率为1-，故选C.12.点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（）（A ）(6,7) （B ）(7,6) （C ）(5,4)-- （D ）(4,5)-- 【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学浙江专版(理)一轮复习：第9篇第1讲直线的方程.pdf

第九篇解析几何第1讲　直线的方程分层A级　基础达标演练 (时间：30分钟　满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足( )． A．a＋b＝1 B．a－b＝1 C．a＋b＝0 D．a－b＝0 解析　由题意知tan α＝－1，即k＝tan α＝－1，又k＝－，所以a－b＝0. 答案　D 2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )． A. B．－ C．－ D. 解析　依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－，选B. 答案　B 3．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点( )． A. B. C. D. 解析　原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令解得x＝－，y＝－3，故所有直线都过定点. 答案　D 4．(2013·佛山调研)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )． A．ab>0，bc0，bc>0 C．ab0 D．ab<0，bc0；令y＝0，x＝－>0.即bc<0，ac<0. 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知直线l的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x轴上的截距为2，则直线l的方程是________．解析　由3sin α＝cos α，得tan α＝，直线l的斜率为.又直线l在x轴上的截距为2，直线l与x轴的交点为(2,0)，直线l的方程为y－0＝(x－2)，即x－3y－2＝0. 答案　x－3y－2＝0 6．已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点(mR)，那么直线l的倾斜角的取值范围是________．解析　直线l的斜率k＝＝1－m2，因为mR，所以k(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是. 答案三、解答题(共25分) 7．(12分)设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值： (1)直线l的斜率为1； (2)直线l在x轴上的截距为－3. 解　(1)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程可化为y＝－x＋. 由题意得－＝1，解得m＝－1. (2)法一　令y＝0，得x＝2m－6. 由题意得2m－6＝－3，解得m＝. 法二　直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6. 由题意得2m－6＝－3，解得m＝. 8．(13分)(2013·临沂月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(aR)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．a＝2，方程即为3x＋y＝0. 当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得＝a－2，即a＋1＝1， a＝0，方程即为x＋y＋2＝0. 综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，或 a≤－1. 综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．分层B级　创新能力提升 1．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”；条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析　主要考虑直线l在x、y轴上的截距都为0时，满足条件p，但不能推出q. 答案　B 2．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )． A. B. C. D. 解析　如图，直线l：y＝kx－，过定点P(0，－)，又A(3,0)，kPA＝，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是. 答案　B 3．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析　设所求直线的方程为＋＝1， A(－2,2)在直线上，－＋＝1. 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， |a|·|b|＝1. 由可得(1)或(2) 由(1)解得或方程组(2)无解．故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．答案　x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0 4．(2012·盐城检测)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．解析　直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值. 答案 5．(2013·青岛模拟)已知两点A(－1,2)，B(m,3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数m，求直线AB的倾斜角α的取值范围．解　(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)． (2)①当m＝－1时，α＝；当m≠－1时，m＋1∪(0，]， k＝(－∞，－]， α∈∪. 综合知，直线AB的倾斜角α. 6．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使ABO面积最小的直线l？若存在，求出；若不存在，请说明理由．解　存在．理由如下：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，AOB的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.。

浙江专用2018年高考数学总复习教师用书：第9章第1讲直线的方程含解析

第1讲直线的方程最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识梳理1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).(2)直线的斜率①定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.2.直线方程的五种形式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示.( ) (5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.(4)当直线的斜率不存在时，不可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(2017·衡水金卷)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.120°D.150°解析由题得，直线y ＝x ＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°故α＝45°，故选B. 答案 B3.如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA>0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限. 答案 C4.已知A (3，5)，B (4，7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________. 解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，∴7－54－3＝x －5－1－3，∴x ＝－3. 答案－35.(必修2P100A9改编)过点P (2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为________.解析当纵、横截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝06.(2017·金华市调研)直线kx －y －2k ＋4＝0过定点P 的坐标为________；若幂函数y ＝f (x )也过点P ，则f (x )的解析式为________.解析直线kx －y －2k ＋4＝0可化为y －4＝k (x －2)，∴直线过定点P (2，4)，设幂函数y ＝f (x )为y ＝x α，把P (2，4)代入，得4＝2α，∴α＝2，即y ＝f (x )＝x 2.答案 (2，4) f (x )＝x 2考点一直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1，3]. 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3].又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， ∴直线l 的斜率k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞). 答案 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)规律方法直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0).【训练1】 (2017·杭州一调)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π解析设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π，故选B. 答案 B考点二直线方程的求法【例2】根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4).即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点线距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.规律方法根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性.【训练2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，∴l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(4，1)，∴4a＋1a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3).所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 考点三直线方程的综合应用【例3】已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程. (1)证明直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2kk ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞). (3)解由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k ). 依题意得⎩⎨⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.规律方法在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.【训练3】已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程.解法一设直线方程为x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)，点P (3，2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.法二依题意知，直线l 的斜率k 存在且k ＜0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)，且有A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0，B (0，2－3k )，∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎪⎫3－2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（－9k ）＋4（－k ）≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k ）·4（－k ）＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立，即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.[思想方法]1.直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率. (2)直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：2.条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况. [易错防范]1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.120°D.150°解析直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°. 答案 B2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝0解析圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0. 答案 D3.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k ＜0，则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案 B4.(2017·浙江三市十二校联考)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A.6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.答案 A5.(2017·湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B.－13C.－32D.23解析依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 答案 B6.(2017·浙江五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合. 答案 B7.(2016·衡水一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A. 答案 A8.(2017·福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为( ) A.1B.2C.4D.8解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1，1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立.∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.答案 C 二、填空题9.(2017·温州调研)已知三角形的三个顶点A (－5，0，)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________；BC 边上中线的方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.故BC 边上中线的方程为x ＋13y ＋5＝0(－5≤x ≤32).答案 x ＋13y ＋5＝0 x ＋13y ＋5＝0⎝⎛⎭⎪⎫－5≤x ≤3210.若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________. 解析当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1. 当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0，即－3≤k ＜0，∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1∪[－3，0).答案 [－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，111.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝012.直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________. 解析直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2). 答案 (2，－2)13.(2017·嘉兴检测)直线l 1：x ＋y ＋2＝0在x 轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转π2，则所得到的直线l 2的方程为________. 解析对直线l 1：x ＋y ＋2＝0，令y ＝0，得x ＝－2，即直线l 1在x 轴上的截距为－2；令x ＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝x －2，即为x －y －2＝0. 答案－2 x －y －2＝0能力提升题组 (建议用时：15分钟)14.已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A.4x －3y －3＝0 B.3x －4y －3＝0 C.3x －4y －4＝0D.4x －3y －4＝0解析由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案 D15.(2017·宁波调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B.[－1，0] C.[0，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案 A16.已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)的公共点为P (x ，y ).则点P (x ，y )在线段AB 上移动，且A (2，4)，B (3，2)，设直线l 的斜率为k . 又k OA ＝2，k OB ＝23.如图所示，可知23≤k ≤2.∴直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，217.设M ＝π2 011－2 012π2 012＋2 011，N ＝π2 013－2 012π2 014＋2 011，则M 与N 的大小关系为________.解析设A ＝(－2 011，2 012)，B (π2 012，π2 011)，C (π2 014，π2 013)，则有M ＝π2 011－2 012π2 012＋2 011＝k AB ，N ＝π2 013－2 012π2 014－（－2 011）＝k AC (如图所示)，则直线BD 的倾斜角∠BDO 和直线AC 的倾斜角∠CEO 均为锐角，且∠BDO <∠CEO ，所以k AB <k AC ，即M <N . 答案 M <N18.在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________.解析直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1，1)， ∴H (1，0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32. 所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0. 答案3x ＋y －3－1＝0。

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.1直线的方程

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.1直线的方程教师用书1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)． 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式【知识拓展】 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )． 2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0. 3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ³ ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ³ ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ³ ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( ³ )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )1．(2016²天津模拟)过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4答案 A解析依题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．(2016²镇海中学检测)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4]B ．[3π4，π)C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)答案 B解析由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是[3π4，π)．3．如果A ²C <0且B ²C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－C B>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．4．(教材改编)直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝ . 答案 1或－2解析令x ＝0，得直线l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a，依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.题型一直线的倾斜角与斜率例1 (1)(2016²北京东城区期末)已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“α>π3”是“k >3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为．答案 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 (1)当π2<α<π时，k <0；当k >3时，π3<α<π2.所以“α>π3”是“k >3”的必要不充分条件，故选B.(2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．引申探究1．若将题(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－－1 ＝13，k BP ＝3－00－－1＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.2．若将题(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的范围．解如图，直线PA 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．(2016²南昌模拟)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B．135° C．120° D．不存在答案 A解析由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k2，弦长|AB |＝2 2－|2k |1＋k22＝22－2k21＋k2，所以S △AOB ＝12³|2k |1＋k 2³22－2k21＋k2 ≤ 2k 2＋2－2k22 1＋k 2＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33(k ＝33舍去)，故直线l 的倾斜角为150°. 题型二求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(5,10)，到原点的距离为5；(3)过点A (－5，－4)作直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5，求直线l 的方程．解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. (3)由已知，l 的两截距不为0，设l 的方程为x a ＋yb＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋－4b ＝1，12|ab |＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4.∴直线l 的方程为x 5－y2＝1或x －52＋y4＝1，即2x －5y －10＝0或8x －5y ＋20＝0.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14倍；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5. 解 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14³3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －1 .得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2(k ≠－2，否则与已知直线平行)，则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)． ∴(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.题型三直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式相结合求最值问题例3 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解方法一设直线方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，把点P (3,2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，且有A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4 －k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 －9k ²4 －k＝12³(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题例4 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12³2³(2－a )＋12³2³(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．(2016²潍坊模拟)直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，当|OA |＋|OB |最小时，求直线l 的方程．解依题意，直线l 的斜率存在且斜率为负，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k <0)．令y ＝0，可得A (1－4k，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k )． |OA |＋|OB |＝(1－4k)＋(4－k )＝5－(k ＋4k)＝5＋(－k ＋4－k )≥5＋4＝9.∴当且仅当－k ＝4－k 且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值．这时直线l 的方程为2x ＋y －6＝0.10．求与截距有关的直线方程典例设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求a . 错解展示现场纠错解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)由a －2a ＋1＝－(a －2)得a －2＝0或a ＋1＝－1， ∴a ＝2或a ＝－2.纠错心得在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.1．(2016²北京顺义区检测)若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( ) A ．－6<k <－2 B ．－5<k <－3 C ．k <－6 D ．k >－2答案 A 解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6>0且k ＋2<0，所以－6<k <－2.2．(2016²威海模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2 答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2， ∴斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2. 3．(2016²济宁模拟)直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(2,1)C ．(1，－2)D ．(1,2) 答案 A解析 mx －y ＋2m ＋1＝0，即m (x ＋2)－y ＋1＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，－y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1，故定点坐标为(－2,1)．4．(2016²金华模拟)已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4 B ．－4≤k ≤34 C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤4 答案 A解析如图所示，∵k PN ＝1－－2 1－－3 ＝34， k PM ＝1－－3 1－2＝－4.∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，由已知得k ≥34或k ≤－4. 5．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0答案 A解析由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－c b>0，故ab >0，bc <0.6.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2答案 D解析直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.7．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是．答案 3解析直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 8．(2016²潍坊模拟)直线l 过点(－2,2)且与x 轴，y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，则直线l 的方程为．答案 x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0解析若a ＝b ＝0，则直线l 过点(0,0)与(－2,2)，直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋2b＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝4，此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.9．(2016²奉化模拟)直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是．答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞) 解析当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合题意．当a ≠－1时，直线l 的斜率k ＝－a a ＋1，由题意知－a a ＋1>1或－aa ＋1<0，解得－1<a <－12或a <－1或a >0. 综上知，a <－12或a >0. 10．(2016²山师大附中模拟)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny－1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为．答案 4解析 ∵函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)．∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn >0)．∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )²(m ＋n )＝2＋n m ＋m n≥4 (当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n的最小值为4. 11．(2016²太原模拟)已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈[－33－1，3－1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解 (1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．即x －(m ＋1)y ＋2m ＋3＝0.(2)①当m ＝－1时，α＝π2； ②当m ≠－1时，m ＋1∈[－33，0)∪(0，3]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪[33，＋∞)， ∴α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]．综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈[π6，2π3]． 12．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解 (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图所示．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP ＝2.由直线方程的点斜式，得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5. (3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．*13.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12²m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。

(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题9.8 直线与圆锥曲线的位置关系(测)

第八节直线与圆锥曲线的位置关系班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．） 1.【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（） A.B.C.D.【答案】C2. 【2017届河南百校联盟高三9月质监乙卷】已知抛物线2:4C y x =上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且2AF >，则A 点到原点的距离为（） A ．3 B．．4 D．【答案】B【解析】设(,)A x y ，则2115544144y x y y y y ++=⇒=⇒==或（舍AF>2），所以(4,4)A ，到原点的距离为B ．3.【2017届河南息县第一高级中学高三上阶段测三】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为R ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q ，若QRF △的面积为2，则点P 的坐标为（）A ．()12，或()12-，B ．()14，或()14-，C ．()12，D ．()14，【答案】A【解析】依题意()1,0R -，设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,Q t -，面积为2112,224t t t ⎛⎫+==± ⎪⎝⎭，故选A ．4.【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次考评】直线3470x y +-=与椭圆22221x y a b+=（0a b >>）相交于两点A ， B ，线段AB 的中点为()1,1M ，则椭圆的离心率是（）A.12B. 2C. 2D. 34 【答案】A5.【2018届上海市交通大学附属中学高三上学期开学】已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点()1,0P ，直线l 交椭圆C 于A B 、两点，则22PA PB +的值为( )A.32149 B. 32449 C. 32749 D. 33049【答案】B【解析】设点,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，由椭圆的定义可知，椭圆的右焦点()1,0F ，此时直线1y x =-经过点F ，可得11122PA a ex x =+=+， 22122PB a ex x =+=+，所以()()222221112121211122822224PA PB x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++++- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭联立方程组221{ 143y x x y =-+= ，得27880x x --=，所以121288,77x x x x +==-，代入上式可得()()2221212121324822449PA PB x x x x x x ⎡⎤+=++++-=⎣⎦，故选B.6.【2017届河南百校联盟高三9月质监乙卷】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（） A ．13 B ．32 C ．12D ．1 【答案】C7.【2018届广东省珠海市高三9月摸底】已知抛物线 C ：y 2=4x ，过点 P( 2 ，0) 作直线 l 与 C 交于 A B 两点，直线 l 的斜率为 k ，则 k 的取值范围是A. ⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭B. ⎡⎢⎣⎦C. 22⎛- ⎝⎭D. 0,22⎡⎫⎛-⋃⎪⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦ 【答案】A【解析】由题意易知：直线的斜率存在. 设直线 l 的方程为： ()y k x 2=+，带入y 2=4x得到： ()2222k x 4k 1x 4k 0+-+=,显然k 0=时，不适合题意；当k 0≠时，()222216k 14k 4k 0=-->,21k 2<,又k 0≠所以k ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭故选：Ａ8.【2018届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校高三上学期新起点】直线l 过点()3,1P 且与双曲线22:12x C y -=交于,M N 两点，若线段MN 的中点恰好为点P ，则直线l 的斜率为( )A. 13B.54C.34D.32【答案】D9.【2018届河南省安阳市第三十五中学高三上学期开学】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为60°的直线交曲线于两点（点在第一象限，点在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则与的比为（）A. B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】抛物线的焦点，准线为，设直线，联立抛物线方程，消去，可得设，则，由则，即有 .故选C.10.【2017届山东省济宁市高三3月模拟】已知双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2(0)c c >，抛物线22y cx =的准线交双曲线左支于A ， B 两点，且120AOB ∠=︒（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）1 B. 211 【答案】A11.已知抛物线2:8C y x =与点(2,2)M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A B 、两点，若0MA MB ∙=，则k =（）A ．12 B ．2C ．2 【答案】D【解析】由题意知抛物线C 的焦点坐标为（2,0），则直线AB 的方程为(2)y k x =-，将其代入28y x =，得22224(2)40k x k x k -++=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则21224(2)k x x k ++=，124x x =.①由1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩12122121212()4(2()+4)y y k x x k y y k x x x x +=+-⎧⇒⎨=-+⎩ ② ③∵0MA MB ∙=，∴1122(2,2)(2,2)0x y x y +-∙+-=. ∴1212(2)(2)(2)(2)0x x y y +++--=，即121212122()42()40x x x x y y y y ++++-++=. ④ 由①②③④解得k=2.故选D.12.【2017届浙江省杭州市高三4月】设倾斜角为α的直线l 经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ， B 两点，设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方.若AF m BF=，则c o s α的值为（） A.11m m -+ B. 1m m + C. 1m m -【答案】A二、填空题13.【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次考评】直线与抛物线交于两不同点，.其中，，若，则直线恒过点的坐标是__________．【答案】14.【2017届江苏省如皋市高三下联考二】已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点．若的周长为，则椭圆的方程为____．【答案】【解析】椭圆的离心率为 ,则a=2c,b= c，设 P(x1,y1),Q(x2,y2)，∴|PF2|2=(x1−c)2+y21= (x1−4c)2，∴|PF2|=2c− x1，连接OM，OP，由相切条件知：|PM|2=|OP|2−|OM|2=x21+y21−3c2= x21，∴|PM|= x1，∴|PF2|+|PM|=2c，同理可求|QF2|+|QM|=2c，∴|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=4c. ∵△PF 2Q 的周长为4，∴c=1， ∴a=2,b=，∴椭圆C 的方程为 .15.【2018届安徽省巢湖市柘皋中学高三上第二次月考】已知椭圆22182x y C +=：与圆M ： ((2220x y r r +=<<，过椭圆C 的上顶点P 做圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于,A B ；两点（不同于P 点），则直线PA 与直线PB 的斜率之积等于__________. 【答案】116.【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知椭圆22221(0),,x y a b A B a b+=>>是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点()0,0P x ，则0x 的取值范围是__________．（用,a b 表示）【答案】2222,a b a b a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭12x x ≠ ，可得221202....2x x a b x a +-⋅＝．③ 12a x a a x a -≤≤-≤≤，，且12x x ≠ ， 1222a x x a ∴-+＜＜，22220a b a b x a a--∴-＜＜即答案为2222,a b a b a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭．三、解答题17.【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考】已知椭圆()22211x y a a +=>的离心率为2，(),P m n 为圆2216x y +=上任意一点，过P 作椭圆的切线PA ，PB ，设切点分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ．（1）证明：切线PA 的方程为1114x xy y +=；（2）设O 为坐标原点，求OAB ∆面积的最大值．【答案】（1）详见解析；（2. 【解析】（1）由题意，2c e a a===，解得2a =，．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ①当10y =时，12x =± ，直线2x =±，∴24x =，代入椭圆方程得到0y =， ∴切线PA 的方程是2x =±．②当10y ≠时，联立2211440440x y x x y y ⎧+-=⎨+-=⎩，消y ，得到2211114()404x x x y y +--=，即221122211124(1)404x x x x y y y +-+-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∴22222111114224242111111144144(4)(1)4(4)x x x x x y y y y y y y ∆=-+-=--+-()2211222211114444161616160y x y y y y -=-++=-++=∴切线PA 的方程为1114x xy y +=；．．．．．．．．．．．．．．．8分∴2222161()4m n n AB a nm -++∆==+-，．．．．．．．．．．．．．．．．11分又∵原点O 到直线AB 的距离d =，∴2222216111()224OABm n nS AB d nm m ∆-++==+-=，．．．．．．．13分又∵(),P m n为圆2216x y +=上任意一点，∴2216m n +=，∴OABS∆=t ≥24444OAB t S t t t∆==++在)⎡+∞⎣上单调递减， ∴2OAB S ∆≤.．．．．．．．．．．．．．．15分 18.【2017年浙江省源清中学高三9月月考】已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的方程；（2）若y 轴上存在一点()0,(0)M m m >，使线段AB 经过点M 时，以AB 为直径的圆经过原点，求m 的值；（3）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）4m =；（3）最小值为16.（3）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 233,4x C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据抛物线关于y 轴对称，取10x ≥，记1AB k k =， 2AD k k =，则有2114x x k +=， 3124x x k +=，所以2114x k x =-， 3214x k x =-， 121k k ⋅=-，由AB AD =2131x x x x -=-，进而化简求出1x ，得： 3112114422k x k k -=+， ()2222112114411||122ABDk S AB k k k ∆⎛⎫+=⋅=⨯+⨯ ⎪+⎝⎭，即可求得△ABD 面积的最小值．试题解析：（1）设抛物线的方程为22x py =，抛物线的焦点为F ，则322pQF ==+，所以1p =，则抛物线C 的方程为24x y =.（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，要使以AB 为直径的圆经过原点，则只需0OA OB ⋅=即可，联立方程24{ x yy kx m==+ 2440x kx m ⇒--=，则124x x k +=， 124x x m =-，()221212121212OA OB x x y y x x k x x km x x m ⋅=+=++++ 2224440m k m k m m =--++=，解得： 4m =. （3）如图所示，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 233,4x C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据抛物线关于y 轴对称，取10x ≥，记1AB k k =， 2AD k k =，则有2114x x k +=， 3124x x k +=，所以2114x k x =-， 3214x k x =-， 121k k ⋅=-，又因为ABD ∆是以A 为顶点的等腰直角三角形，所以AB AD =，2131x x x x -=-，将23,x x 代入得：11224242k x k x -=-进而化简求出1x ，得： 3112114422k x k k -=+，则()2222112114411||122ABDk S AB k k k ∆⎛⎫+=⋅=⨯+⨯ ⎪+⎝⎭，可以先求AB 的最小值即可，2121144k AB k k +=+，令()32222211t t y t t t t ++==++，则()()()()()1322222223122112t t t t t t y t t+⋅⋅+-+++'=()()()()()()11233223222222213322111t tt t t t tt t t t tt t ++----+-+-==++()()()()122222111t t tt t +-+=+，所以可以得出当1t =即11k =时， AB最小值为10x =，即当()0,0A ， ()4,4B ， ()4,4D -时， ABD ∆为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16.19．【2017届浙江省ZDB 联盟高三一模】设椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，原点O 到点(),0A a -、()0,B b所在直线的距离为7. （1）求此椭圆C 的方程；（2）如图，设直线:l x my =C 交于,P Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为P '，直线P Q '与x 轴是否交于一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2)1212122my y y y x y y +=+，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得x =试题解析：（1）由于12c e a ==， 12c a =，b =，直线AB的方程为22y x =+，原点O 到直线AB的距离为d === 解得： 2a =，b =22143x y +=. （2）联立223412{x y x my +==，则()223430m y ++-=.设()()1122,,,P x y Q x y ， ()11,P x y '-，12y y +=122334y y m -=+. 直线P Q '的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，则((122112211212my y my y x y x y x y y y y ++++==++)1212122my y y y y y +==+ 即直线P Q '与x轴交于定点⎫⎪⎪⎝⎭.20.【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上学期第一次联考】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，是椭圆的左顶点，是椭圆的右焦点，点都在椭圆上.（1）若点在椭圆上，求的最大值；（2）若为坐标原点），求直线的斜率.【答案】（1）5；（2）.解得，故，设，则，故当时，有最大值为5.（2）由（1）知，，所以椭圆的方程为，即，设直线的方程为，由，得，因为，所以，因为，所以直线的方程为，由，得，所以或，得，因为，所以，于是，即，所以，所以直线的斜率为.21.【2018届广西柳州市高三上学期摸底】已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x <两点，且6AB =. （1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且M D M E ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由.【答案】（1）24y x =（2）()8,4-联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得: 22204p x px -+=， ∴212122,4p x x p x x +==.∴6AB ===解得2p =.∴抛物线C 的方程为： 24y x =.（2）由（1）可得点()4,4M ，可得直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为： x my t =+，联立2{4x my ty x=+=，得2440y my t --=，则216160m t ∆=+>①.设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t +==-. ∵()()11224,44,4MD ME x y x y ⋅=--⋅--()()12121212416416x x x x y y y y =-+++-++()2222121212124164164444y y y y y y y y ⎛⎫=⋅-+++-++ ⎪⎝⎭()()()2212121212343216y y y y y y y y =-++-++22161232160t m t m =--+-=即2212321616t t m m -+=+，得： ()()226421t m -=+， ∴()6221t m -=±+，即48t m =+或44t m =-+，代人①式检验均满足0∆>，∴直线DE 的方程为： ()4848x my m m y =++=++或()44x m y =-+. ∴直线过定点()8,4-（定点()4,4不满足题意，故舍去）.22. 59．【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】如图,焦点在x 轴的椭圆，离心率2e =，且过点A ()2,1-，由椭圆上异于点A 的P 点发出的光线射到A 点处被直线1y =反射后交椭圆于Q 点(Q 点与P 点不重合).（1）求椭圆标准方程；（2）求证：直线PQ 的斜率为定值；（3）求OPQ ∆的面积的最大值.【答案】（1）22163x y +=（2）详见解析（3）92值试题解析：（1）设椭圆方程为22221,(0,0)x y a b a b +=>>，2c e a ==，椭圆经过点()2,1- ∴椭圆方程为22163x y += （2）设直线AP 方程为()21y k x =++，则直线AQ 的方程为()21y k x =-++由2221{ 163y kx k x y =+++=可得()()222124218840k x k k x k k +++++-= 0>，设()11,P x y ，由()2,1A -可得()211224214422,1212k k k k x x k k -+--+-==++， 222244224,1212k k k k P kk ⎛⎫--+-+∴ ⎪++⎝⎭ 同理可得222244224,1212k k k k Q k k ⎛⎫-++-- ⎪++⎝⎭ 222222222424121214424421212PQk k k kk k k k k k k k k ---+-++==--++--+-++ （3）由（2），设PQ 的方程为y x m =-+．由22{ 163y x mx y=-++=联立得： ()221699m PQ -∴=2234260x mx m -+-=令0∆>，得33m -<<，设()()1122,,,P x y Q x y ，则21212426,33m m x x x x -+=⋅=， ()221699m PQ -∴=设原点O 到直线的距离为d ，则222m d =， ()222222919492OPQ m m s PQ d -∴==≤当m =时， OPQ 面积的最大值为92。

2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第9章第1讲直线的方程 Word版含解析

浙江高考数学第九章解析几何9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程课件

1+��
考点一
2-�� 2 ,得 x2+y2=2(y≥0),它表示以原点
考点二
考点三
弦长|AB|=2 2-( 所以 S△AOB= ×
2 3 3 1
|-2�� | 1+�� 2 |-2�� | 1+�� 2
) =2 ×2
2
2-2 �� 2 1+�� 2
(1)证明:直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0, �� + 2 = 0, �� = -2, 令解得 1-�� = 0, �� = 1.
故无论k取何值,直线总经过定点(-2,1). (2)解:当k≠0时,k>0,1+2k>0,解得k>0; 当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k的取值范围是[0,+∞).
解析
1-0
3-0
关闭
-13答案
考点一
考点二
考点三
方法总结1.任一直线都有倾斜角,但斜率不一定都存在;直线倾斜角的范围是[0,π),斜率的取值范围是R. 2.正切函数在[0,π)上不单调,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角α的取值范围.
-14-
考点一
考点二
考点三
对点训练(1)直线l经过点A(3,1),B(2,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是 .
��
��
适用范围不含直线 x=x0 不含垂直于 x 轴的直线不含垂直于 x 轴和平行于 x 轴的直线不含垂直于 x 轴、平行于 x 轴和过原点的直线适用平面直角坐标系内的所有直线

(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题9.1 直线与直线的方程(练)

专题9.1 直线与直线的方程A 基础巩固训练1. 直线的倾斜角为（） A ． B ． C ． D ．【答案】C2.直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【答案】D【解析】当直线过(0,0)时，a ＝－2；当直线不过原点时，a ＝1，选D 项．3. 已知直线的倾斜角α的余弦值为12，则此直线的斜率是( )．【答案】A【解析】由题意知cos α＝12，又0°≤α<180°，∴sin α＝2，∴k ＝tan α＝sin cos αα4.【2017届河北武邑中学高三周考】如果0,0AB BC >>，那么直线0Ax By C --=不经过的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】斜率为0A B >，截距0C B-<，故不过第二象限. 5.对于任意实数a ，直线32y ax a =-+所经过的定点是；【答案】()2,3【解析】23+-=a ax y 可化为)3(2-=-x a y ，即直线恒过点()2,3．B 能力提升训练1.已知A(1，0)，B(2，a)，C(a ，1)，若A ，B ，C 三点共线，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．D ．【答案】C2.若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)【答案】A【解析】依题意，k ＋b ＝－2，∴b ＝－2－k ，∴y ＝kx ＋b ＝k(x －1)－2，∴直线y ＝k(x －1)－2必过定点(1，－2)．3.一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A.m>1，且n<1 B.mn<0C.m>0，且n<0D.m<0，且n<0【答案】B【解析】因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选B.4.直线xcos α＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[－6π，6π] B ．[6π，56π] C ．[0，6π]∪[56π，π) D ．[0，6π]∪[56π，π] 【答案】C5.【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末】直线l 过点()1,1A ，且l 在y 轴上的截距的取值范围为()0,2，则直线l 的斜率的取值范围为__________．【答案】()1,1-【解析】设直线l 方程为11y k x -=-（），令0x = ，可得1y k =-，∵直线l 在y 轴上的截距的取值范围是()0,2， 012,11k k ∴-∴-<<＜＜C 思维扩展训练1.已知直线l 过(a ，1)和(a+1，tan α+1)，则( )A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角【答案】C【解析】根据题意，直线l 的斜率为，令θ为直线l 的倾斜角，则一定有 0°≤θ<180°，且tan θ=k ，所以若，则α是直线l 的倾斜角；若α<0°或α≥180°，则α 不是直线l 的倾斜角；由以上可知α不一定是直线l 的倾斜角，选C ．2．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B3.设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝，k MB ＝，由图可知，－a>且－a<， ∴a∈.选B 4.已知直线l 的斜率与直线623=-y x 的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程. 【答案】3325y x =-5.直线l 过点(2,4)P --，若直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l 的方程.【答案】直线l 的方程为：2x y -=或6x y +=-．【解析】若直线l 过原点，则其方程为2y x =.若直线l 过不原点，则设其方程为1x y a b+=，由已知，241ab a b --⎧+=⎪⎨⎪=⎩.当a b =-时，2,2a b ==-；当a b =时，6a b ==-.所以直线l 的方程为：2x y -=或6x y +=-．。

(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题9.2 两条直线的位置关系(讲)

专题9.2 两条直线的位置关系【考纲解读】【知识清单】1.两条直线平行与垂直 1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有1212//l l k k ⇔=. (2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有12121l l k k ⊥⇔=-.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1211220l l A B A B ⊥⇔+=. 对点练习：1.【2018届四川省南充高级中学高三9月检测】已知直线()12:210,:20l ax a y l ax y +++=-+=.若12//l l ，则实数a 的值是（）A. 0或3-B. 2或1-C. 0D. 3- 【答案】A2.【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校高三下学期联考】已知直线()12:210,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R ∈，则“3a =-”是“12l l ⊥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线12l l ⊥的充要条件是()()20300a a a a a a ++=∴+=∴= 或3a =- 。

故选A 。

2.距离问题1．两点间的距离公式设两点111222(,),(,)P x y P x y，则12PP =2．点到直线的距离公式设点000(,)P x y ，直线:0l Ax By C ++=，则点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =3．两平行线间的距离公式设两条平行直线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=，则这两条平行线之间的距离d =对点练习：【2017届河北武邑中学高三周考】过点()1,2P ，且与原点距离最大的直线方程是（） A ．250x y +-= B ．240x y +-= C ．370x y +-= D ．350x y +-= 【答案】A3.两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，若12210A B A B -≠，则方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，联立方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有无数组解，则12,l l 重合．对点练习：【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线与直线，为它们的交点，点为平面内一点.求（1）过点且与平行的直线方程；（2）过点的直线，且到它的距离为2的直线方程. 【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：(1)先求，写出直线点斜式方程，整理得解(2)先求两条直线的交点，设出直线方程，利用点到直线的距离，求出k ，从而确定直线方程．试题解析：（1）∴∴∴（2）∴，当斜率不存在，则方程为，不合题意当斜率存在，设方程,而,∴,∴,，∴或，∴方程为或.4.对称问题1.中点坐标公式 2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有12121l l k k ⊥⇔=-.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1211220l l A B A B ⊥⇔+=. 对点练习：【2017届江西省赣州市第四中学高三上第三次月考】点关于直线的对称点为，则点的坐标为____________．【答案】【考点深度剖析】高考对两条直线的位置关系的考查要求较低，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握对两条直线的位置关系、点到直线的距离、平行直线间的距离等.其中两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用，是高考的热点，另外，两直线的位置关系与向量的结合，也应予以足够的重视．【重点难点突破】考点1 两条直线平行与垂直【1-1】已知两条直线12:2470,:250l x y l x y -+=-+=．求证：12//l l . 【答案】见解析【解析】由于122112212(2)(4)10,25170A B A B AC A C -=⨯---⨯=-=⨯-⨯≠，所以12//l l . 【1-2】若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于 . 【答案】2a =-【领悟技法】1.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．2.可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即y 的系数是否为0）. 【触类旁通】【变式一】已知两条直线12:2470,:250l x y l x y -+=++=．求证：12l l ⊥．【答案】见解析【解析】因为112222(4)10A B A B +=⨯+-⨯=，所以12l l ⊥．【变式二】已知直线1:sin 10l x y θ+-=，2:2sin 10l x y θ++=，若12//l l ，则θ= ．【答案】()4k k Z πθπ=±∉【解析】由已知sin 0θ=时不合题意；sin 0θ≠时，由2112sin sin sin sin 224k πθθθθπθ-=-⇒=⇒=±⇒=±，这时11sin θ≠-．故()4k k Z πθπ=±∉.【综合点评】给定两条直线的方程，可以判断两条直线是否平行、相交或垂直.若是告诉我们两条直线平行或是垂直，则可得两直线的斜率间的关系．考点2 距离问题【2-1】已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是．【答案】2【解析】由题意346m =，8m =，所以直线方程为68140x y ++=，即3470x y ++=，2d ==.【2-2】已知点A （1，3），B （3，1），C （-1，0），求三角形ABC 的面积．【答案】5【领悟技法】1.求点到直线的距离，一般先把直线方程化为一般式．2.求两条平行线间的距离有两种思路：（1）利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．（2）直接应用两平行直线之间的距离公式. 【触类旁通】【变式一】点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为（） A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0) 【答案】B 【解析】如下图，作出点(1,3)A 关于x 轴对称的点(1,3)A '-，则P A P B P A P BAB ''-=-≤，当且仅当点P 在A B '的延长线上时，取等号.由两点式可得直线A B '的方程为：11344y x =-.令0y =得13x =，所以点P 的坐标为(13,0)，选B.【变式二】【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】点()1,1P -到直线10x y -+=的距离是__________．【综合点评】涉及距离公式问题，主要有两类，一是给定点和直线，则可求相关的距离；二是已知某距离，利用距离公式确定相关的量. 考点3 两条直线的交点【3-1】经过两条直线3x 4y 50+=﹣和3x 4y 130=﹣﹣=0的交点，且斜率为2的直线方程是（） A ．2x+y ﹣7=0 B ．2x ﹣y ﹣7=0 C ．2x+y+7=0 D ．2x ﹣y+7=0 【答案】B【解析】两条直线3x 4y 50+=﹣和3x 4y 130=﹣﹣的交点，由解得31（，﹣），所以，经过两条直线3x 4y 50+=﹣和3x 4y 130=﹣﹣的交点，且斜率为2的直线方程是y 12x 3+=（﹣），即2x y 70=﹣﹣，故选B ．【3-2】已知两条直线1l ：0x By C ++=，2l ：20x By -+= 的交点为P (1，－3)，求B 、C 的值. 【答案】2a =-【解析】将点P (1，－3)的坐标代入方程0x By C ++=、20x By -+=得1301320B C B -+=⎧⎨++=⎩，解这个方程组得14B C =-⎧⎨=-⎩.【领悟技法】涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.【触类旁通】【变式一】若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．【答案】k 0＝或k 1≥【变式二】已知a 为实数，两直线1l ：01=++y ax ，2l ：0=-+a y x 相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上. 【答案】见解析【解析】(1) 设12l l 、的交点为(0,)b ，代入两直线的方程得：304340b C C b +=⎧⇒=-⎨-+=⎩.∴选B ．(2)因为两直线12l l 、交于一点，所以1a ≠. 解方程组得21111a x a a y a +⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩即交点为211(,)11a a a a ++---. 若2101a a +>-，则1a >.当1a >时，101a a +-<-，此时交点在第二象限内.又因为a 为任意实数时，都有12+a 1≥，故2101a a +≠-，所以，交点不可能在x 轴上.【综合点评】涉及两直线的交点问题，即解方程组问题；注意利用数形结合思想，将直线的交点问题与方程组求解问题灵活的加以转化. 考点4 对称问题【4-1】设【2017届浙江台州中学高三10月月考】ABC ∆的一个顶点是(3,1)A -，B ∠，C ∠的平分线方程分别是0x =，y x =，则直线BC 的方程是（） A.35y x =+ B.23y x =+ C.25y x =+ D.522x y =-+ 【答案】C.【4-2】直线0632=-+y x 关于点(1,1)-对称的直线方程为________. 【答案】2380x y ++=【解析】设对称直线为0:230l x y C '++=2=，解这个方程得020C =-或08C =.结合图形可看出020C =-时两直线都在点(1,1)-的同侧，故舍去.所以对称直线l '的方程中2380x y ++=．【4-3】已知直线1:10,:220.l x y l x y －－＝－－＝若直线2l 与1l 关于l 对称,则2l 的方程是 ( ).210A x y －＋＝ .210B x y －－＝ .10C x y ＋－＝ .210D x y ＋－＝【答案】B 【解析】由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩得：1x y =⎧⎨=⎩.2l 必过1l 与l 的交点(1,0)A .在1l 上取点(2,0)B -，易得点(2,0)B -关于l 对称的点为(1,1)B '--，2l 即为直线AB '，所以2l 的方程为011011y x --=----，即210x y --=，故选B . 【领悟技法】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点00(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，设对称点是00(,)Q x y ''，则线段PQ 的中点在直线l 上且直线PQ l ⊥，由此可得一方程组0000000022()1x x y y A B C y y A x xB ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩，解这个方程组得：00,x y ''的值，从而求得对称点的坐标.2．若直线:0l Ax By C ++=关于点00(,)P x y 对称，由于对称直线必与直线:0l Ax By C ++=平行，故可设对称直线为0:0l Ax By C '++=.因为直线,l l '间的距离是点P 到直线:0l Ax By C ++=的距离的2=，解这个方程可得0C 的值（注意这里求出的0C 有两个），再结合图形可求得对称直线l '的方程．3．若直线:0l Ax By C ++=关于直线0000:0l A x B y C ++=对称，则在直线:0l Ax By C ++=上取两点，求出这两点关于直线0l 对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线l 关于直线0l 对称的直线的方程．【触类旁通】【变式一】在△ABC 中，已知A （2，3），角B 的外角平分线为Y 轴，角C 的平分线为l ：x+y=4,求BC 边所在的直线方程. 【答案】370x y +-=【变式二】光线从()2,0Q 发出射到直线l ：x+y=4上的E 点，经l 反射到y 轴上F 点，再经y 轴反射又回到Q 点，求直线EF 的方程. 【答案】320x y -+= 【解析】设Q 关于y 轴的对称点为1Q ，则1Q 的坐标为()-2,0. 设Q 关于l 的对称点为()2,Q m n ，则2QQ 中点为G 2(,)22m n+，G 在l 上. 2422m n+∴+=， ① 又2,12nQQ l m ⊥∴=- ② 由①②得2(4,2)Q由物理学知识可知，1Q 、2Q 在直线EF 上，1213EF Q Q k k ∴==. ∴直线EF 方程为:1(2)3y x =+，即320x y -+=.【综合点评】对称问题实际上是两直线位置关系的应用，主要是应用转化与化归思想、数形结合思想分析求解. 【易错试题常警惕】易错典例：已知△ABC 的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程．易错分析：(1)不能结合图形，分析直线的位置关系；（2）计算能力差，解方程组有误．同理，点B关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为B′36411313⎛⎫ ⎪⎝⎭-，.∵角平分线是角的两边的对称轴，∴A′点在直线BC上．∴直线BC的方程为y＝11133113--(-）－x－1，整理得12x－31y－31＝0.同理，直线AC的方程为y－5＝41513361)13-－--((x＋1)，整理得24x－23y＋139＝0.直线AB的方程为y＝5110-(-）－－x－1，整理得6x＋y＋1＝0.温馨提醒：在两直线位置关系问题研究中，涉及两直线的交点问题，即解方程组问题；涉及两直线的垂直、平行的判定，一般将直线化成斜截式方程再进行判定.注意点：一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即y的系数是否为0）；数形结合思想，是解析几何分析问题、解决问题的重要特征，要注意将几何问题与代数问题灵活地加以转化.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：【典例】【2017届河北武邑中学高三周考】过点()1,2P 的直线l 被两平行线1:4310l x y ++=与2:4360l x y ++=截得的线段长AB =l 的方程.【答案】()()1271,217y x y x -=--=--. 【解析】由24310y kx k x y =+-⎧⎨++=⎩解得3758,3434k k A k k --+⎛⎫ ⎪++⎝⎭；由24360y kx k x y =+-⎧⎨++=⎩解得312810,3434k k B k k --⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为AB == 整理得274870k k --=，解得17k =或217k =-．。

专题9-1 直线与直线的方程测-2018年高考数学一轮复习

2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第九章解析几何第一节直线与直线的方程班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.过点M (,N (的直线的倾斜角是( ) (A)34π(B)错误！未找到引用源。

(C)错误！未找到引用源。

(D)错误！未找到引用源。

【答案】B2. 过点P 且倾斜角为45°的直线方程为（）A ．3y x +=B ．y x =C ．y x =-．y = 【答案】C【解析】斜率145tan ==k ,由直线的点斜式方程可得⇒-=+)3(13x y y x =- C.3.直线134x y+=与两坐标轴围成的三角形的周长为（） A ．6 B ．7 C ．12 D ．14 【答案】C. 【解析】直线134x y+=与两坐标轴的交点分别为)0,3(，)4,0(，因此与两坐标轴围成的三角形周长为 12434322=+++.4.【2017届吉林省吉林大学附属中学高三第八次模拟】 322παπ<<,则直线cos sin x y αα+＝１必不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】令x=0，得y=sin α<0，令y=0，得x=cos α>0，直线过(0,sin α)，(cos α,0)两点，因而直线不过第二象限. 本题选择B 选项.5.【2017届河南省郑州市第一中学高三4月模拟】点)4在直线:10l ax y -+=上，则直线l 的倾斜角为（）A. 30B. 45C. 60D. 120 【答案】C6.下列说法的正确的是（）A ．经过定点),(00y x 的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示B ．经过定点)0A b ，（的直线都可以用方程b kx y +=表示C ．经过任意两个不同的点),(111y x P ，),(222y x P 的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示【答案】C【解析】A 中的方程)(00x x k y y -=-表示有斜率的直线,但过定点不一定有斜率,错误;B 的错误原因与A 相同;D 中的方程1=+bya x 表示在y x ,轴有截距的直线，不过原点但可能在轴上,所以错误. 7.直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角是( ) (A)40° (B)50° (C)130° (D)140° 【答案】B【解析】∵直线xcos 140°+ysin 140°=0 的斜率k=-=-=-===tan 50°,∴直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角为50°.8.在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点)21,(-a P 的所有直线中（）A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点B ．恰有()2≥n n 条直线，每条直线上至少存在两个有理点C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点D ．每条直线至多过一个有理点【答案】C9.【2017届广西柳州市高三10月模拟】已知直线230x y --=的倾斜角为θ，则sin 2θ的值是（） A ．14 B ．34 C ．45 D ．25【答案】C【解析】22tan 4tan 2,sin 21tan 5θθθθ===+，选C.10.设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段A B 没有交点，则a 的取值范围是( ) A.B.C.D.【答案】B 【解析】直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a ， ∵k MA ＝，k MB ＝，由图可知，－a>且－a<，∴a∈.选B.11.直线l 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为（）． A ．8x －5y ＋20＝0 或 2x －5y+10＝0 B ．2x －5y －10＝0 C ．8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0 D ．8x －5y ＋20＝0 【答案】C12.已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是（）.A ．9B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】以C 为原点,CA CB 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系如图所示，则直线AB 的方程为143x y+=.由重要不等式得：43x y +≥13xy ≥⇒≤.点P 到AC 、BC 的距离乘积即xy ，所以点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是3，选C .5分，共20分。

2018年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题9-9 直线与圆锥曲线测含解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）1.如图，设抛物线错误！未找到引用源。

的焦点为错误！未找到引用源。

，不经过焦点的直线上有三个不同的点错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，其中点错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

在抛物线上，点错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

轴上，则错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

的面积之比是（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】A.2. 【百强校】2017届河北省五个一名校联盟高三上学期一模】设椭圆错误！未找到引用源。

，双曲线错误！未找到引用源。

，（其中错误！未找到引用源。

）的离心率分别为错误！未找到引用源。

，则 A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

与1大小不确定【答案】错误！未找到引用源。

【解析】错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，故选B.3.【百强校】2017届河南息县第一高级中学高三上阶段测三】设抛物线错误！未找到引用源。

的焦点为错误！未找到引用源。

，准线错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

轴的交点为错误！未找到引用源。

，过抛物线错误！未找到引用源。

上一点错误！未找到引用源。

作准线错误！未找到引用源。

的垂线，垂足为错误！未找到引用源。

，若错误！未找到引用源。

的面积为2，则点错误！未找到引用源。

的坐标为（）A ．错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

【答案】A【解析】依题意错误！未找到引用源。

，设错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，面积为错误！未找到引用源。

2018年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题9-9 直线与圆锥曲线练含解析

1．【百强校】2017届浙江嘉兴市高三上学期基础测试】已知双曲线错误！未找到引用源。

与抛物线错误！未找到引用源。

有一个公共的焦点错误！未找到引用源。

，且两曲线的一个交点为错误！未找到引用源。

，若错误！未找到引用源。

，则双曲线的离心率为（）A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

【答案】B2．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

，点A 在C 上，若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

【答案】A ．【解析】由已知设错误！未找到引用源。

则由定义得错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

中，由余弦定理得错误！未找到引用源。

，故选A ．3.【百强校】2017届河北沧州市高三9月联考】已知错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

是双曲线错误！未找到引用源。

的两个焦点，若在双曲线上存在点错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，则双曲线错误！未找到引用源。

的离心率错误！未找到引用源。

的取值范围是（）A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

【答案】B【解析】设点错误！未找到引用源。

是双曲线左支上的点，并设双曲线左顶点为错误！未找到引用源。

．则错误！未找到引用源。

，化为错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

为双曲线的焦距），错误！未找到引用源。

，容易证明错误！未找到引用源。

，于是错误！未找到引用源。

．故选B ．4.【百强校】2017届江西吉安一中高三上学期段考一】在等腰梯形错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

，以错误！未找到引用源。

高考数学一轮复习(浙江版)专题9.1直线与直线的方程(测)含解析

直线与直线的方程测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2018届广东省广州市华南师范大学附属中学综合测试（二）】已知点，，则直线的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】C2．【山东省2018年普通高校招生（春季）】关于直线，下列说法正确的是（）A．直线的倾斜角为 B．向量是直线的一个方向向量C．直线经过点 D．向量是直线的一个法向量【答案】B【解析】因为直线，所以斜率倾斜角为，一个方向向量为，因此也是直线的一个方向向量，选B.3.【2019届高考训练】直线x sinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A． [0，π) B．C． D．【答案】B【解析】根据题意，直线变形为，其斜率，则有，其倾斜角的取值范围是.故选B.4. 【2018届陕西省黄陵中学高三上期中】直线 (其中a，b∈R，且ab≠0)的倾斜角的取值范围为( )A． (0°，90°) B． (45°，135°) C． (90°，135°) D． (90°，180°) 【答案】A5.【2018届陕西省黄陵中学高三上期中】若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则( )A．，n＝1 B．，n＝－3C．，n＝－3 D．，n＝1【答案】D6. 【2018届高三训练】直线的方程为，若直线过原点和二、四象限，则( )A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，化直线的方程为斜截式方程，因为直线过原点和二、四象限，所以，且，所以,，故选D.7.【2018届高三训练】直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋．选A．8.若三个数成等差数列，则直线必经过定点（）A． (1，－2) B． (1，2)C． (－1，2) D． (－1，－2)【答案】A【解析】因为三个数成等差数列，所以，所以当时，，即直线过定点，故选A.9.下列说法的正确的是（）A．经过定点的直线都可以用方程表示B．经过定点的直线都可以用方程表示C．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示D．不经过原点的直线都可以用方程表示【答案】C【解析】中的方程表示有斜率的直线,但过定点不一定有斜率,错误;的错误原因与相同;中的方程表示在轴有截距的直线，不过原点但可能在轴上,所以错误.10. 已知直线方程为则直线的倾斜角为（）A. B.C. D.【答案】C二、填空题（本大题共7小题，共36分.把答案填在题中的横线上.）11.【黑龙江省伊春市第二中学2018届第一次月考】若，，（）三点共线，则__________．【答案】【解析】因为，（）所以直线BC为过，所以即故答案为.12．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟】直线的倾斜角的取值范围是_______.【答案】13．【江西省赣州市十四县（市）2018届高三下期中】记直线的倾斜角为，则的值为________.【答案】【解析】∵直线的斜率为2，∴，∴，，∴．答案：14.已知直线过点，且在轴上的截距的取值范围为（0,2），则直线的斜率的取值范围是__________【答案】（-1，1）【解析】设直线l的方程为：y−1=k(x−1)，化为：y=kx+1−k，由题意可得：0<1−k<2，解得−1<k<1.∴直线l的斜率的取值范围为(−1,1).15．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有k1，k2，k3从小到大的顺序依次为__________．【答案】k1<k3<k2【解析】16.若直线：经过点，则直线在轴和轴的截距之和的最小值是．【答案】．【解析】试题分析：由题意得，∴截距之和为，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为．17．下列命题中，正确的命题是_________.（1）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα（2）直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α（3）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率（4）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π【答案】(3)【解析】对于（1），当直线的倾斜角时，斜率不存在，所以（1）错误；对于（2），反例：直线的斜率为，但倾斜角为，直线的倾斜角一定在内，所以（2）错误的；对于（3），当直线的倾斜角时，斜率不存在，所以（3）正确的；对于（4），直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0，不是，所以（4）错误的. 综上所述，只有（3）是正确的.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．求证：A(1，－1)、B(－2、－7)、C(0，－3)三点共线．【答案】见解析【解析】19. 已知直线经过点.（1）若直线的方向向量为，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求此时直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】（1）由直线的方向向量可得直线的斜率，根据点斜式可得直线方程.（2）注意讨论截距是否为0，当截距均为0时，直线过原点，设直线方程为，将点代入即可求得，当截距不为0时可设直线为，同样将点代入即可求得.（1）由的方向向量为，得斜率为，所以直线的方程为：（6分）（2）当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线的方程为；（9分）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设为代入点得直线的方程为.20.设直线的方程为，根据下列条件分别求的值．（1）在轴上的截距为1；（2）斜率为1；（3）经过定点．【答案】（1）1；（2）；（3）或.【解析】21.【吉林省辽源市田家炳高级中学等五校2018届高三上期末】已知直线过点（2，1）且在x，y轴上的截距相等（1）求直线的一般方程；（2）若直线在x，y轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值．【答案】(1) 或；(2) .【解析】⑴①即②截距不为0时，设直线方程为，代入，计算得，则直线方程为综上，直线方程为⑵由题意得22. 已知方程．（1）求该方程表示一条直线的条件；（2）当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；（3）已知方程表示的直线在轴上的截距为-3，求实数的值；（4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值．【答案】（1）；（2），；（3）；（4）.【解析】。

2018-2019年浙江版高考数学一轮复习(讲+练+测) 专题9.1 直线与直线的方程(讲)及答案

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2018年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题9-9 直线与圆锥曲线测含解析

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