高中数学 2-4-3《抛物线》习题课同步练习新人教B版选修2-1

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高二数学选修课件：2-4-3抛物线习题课

第二章
圆锥曲线与方程
一、选择题
1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是 ( A．2x－y＋3＝0 )
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B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 [答案] D
第二章
圆锥曲线与方程
[解析] ∵切线方程与直线2x－y＋4＝0平行，
∴切线方程为y＝2x＋b，联立得 ∴x2＝2x＋b，即x2－2x－b＝0. 由于交点为切点，故方程只含有一个根，即需要判别式Δ＝(－2)2－4×(－b)＝0
现，要注意定义的用法．
②熟练掌握存在性问题的解法．
第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
[例4] 设集合A＝{(x，y)|x2＝y}，B{(x，y)|x2＋(y－m)2 ＝1}，若A∩B≠∅，求m的取值范围．
x2＝y，由 2 x ＋(y－m)2＝1，
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∴b＝－1.
∴所求直线方程为2x－y－1＝0.
第二章
圆锥曲线与方程
2．设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围 ( 1 1 A．[－， ] 2 2 C．[－1,1]
[答案] C
)
B．[－2,2] D．[－4,4]
[答案] B
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)
3 B. － 2 2 3 D. ＋ 2 2
第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
由题意知 MF 直线为 x＋y＝1，即 x＝1－y，
代入抛物线方程得 y2－6y＋1＝0，即 y＝3＋2 2(舍)，或 y＝3－2 2. 3 ∴S△OAM＝－ 2.故选 B. 2

北师大版高中数学选修抛物线同步练习(2)

抛物线重难点：建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题．经典例题：如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点. （1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.当堂练习：1．抛物线22x y =的焦点坐标是（） A ．)0,1( B ．)0,41(C ．)81,0( D ． )41,0(2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（）A ．y x 82=B ．y x 42=C ．y x 42-=D ．y x 82-=3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于（）A ．15B ．152C ．215D ．154．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是（）A ．y x 292-=或x y 342=B ．x y 292-=或y x 342= C ．y x 342=D ．x y 292-= 5．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（）A ．0B ．1C ．2D ．26．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,, 成等差数列，则（）A ．321,,x x x 成等差数列B ．231,,x x x 成等差数列C ．321,,y y y 成等差数列D ．231,,y y y 成等差数列 7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PFPA +取得最小值时点P 的坐标是（）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（2，2）D ．)1,21(8．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,则关系式 2121x x y y 的值一定等于（） A ．4p B ．－4p C ．p 2D ．－p9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，则qp11+（）A ．a 2B ．a21C ．a 4D ．a410．若AB 为抛物线y 2=2p x (p>0)的动弦，且|AB|=a (a >2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（） A ．21a B ．21p C ．21a ＋21p D ．21a －21p11．抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12．已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p ___________．13．如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a的取值范围是．14．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y 轴上；（2）焦点在x 轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y 2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______． 15．已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程.16．已知抛物线y=ax 2－1上恒有关于直线x +y=0对称的相异两点，求a 的取值范围.17．抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.18．已知抛物线C ：2742++=x x y ，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 的法线．（1）若C 在点M 的法线的斜率为21-，求点M 的坐标（x 0，y 0）；（2）设P （－2，a ）为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？若有，求出这些点，以及C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.抛物线经典例题：【解】(1) 解方程组 481212-==x y xy 得 2411-=-=y x 或 4822==y x 即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==21,直线AB 的垂直平分线方程y －1=21(x －2). 令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5)． (2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x , 81x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离d=24812-+x x =3282812-+x x ,25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x .∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8.∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30．当堂练习：1.C;2.D;3.A;4.B;5.B;6.A;7.C;8.B;9.C; 10.D; 11. )42,81(±; 12. 2; 13.)413,(--∞;14. （2），（5）; 15．[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线px y 22=上，有2282⋅=p ，解得p=16. 所以抛物线方程为x y 322=，焦点F 的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的定比分点，且2=FMAF，设点M 的坐标为),(00y x ，则02128,8212200=++=++y x ，解得4,1100-==y x ，所以点M 的坐标为（11，－4）．（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：).0)(11(4≠-=+k x k y由⎩⎨⎧=-=+xy x k y 32),11(42消x 得0)411(32322=+--k y ky ，所以ky y 3221=+，由（2）的结论得4221-=+y y ，解得.4-=k 因此BC 所在直线的方程为：.0404=-+y x16．[解析]：设在抛物线y=ax 2－1上关于直线x +y=0对称的相异两点为P(x ,y),Q(－y,－x )，则⎪⎩⎪⎨⎧-=--=1122ay x ax y ②①，由①－②得x +y=a (x +y)(x －y),∵P、Q 为相异两点，∴x +y≠0，又a ≠0，∴a1y ,1-==-x a y x 即，代入②得a 2x 2－ax －a +1=0，其判别式△=a 2－4a 2(1－a )＞0，解得43>a ．17．[解析]：设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)21,2(+y x C ，L:y=k x －1,代入抛物线方程得x 2－4k x +4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2－16＞0，即|k|＞1 ①，2442)(4221221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ，∵C 为AB 的中点.∴1222122222222-=+=+=+=k y y y k x x x⇒3442-==k y k x ，消去k 得x 2=4(y+3),由① 得，4>x ，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(4>x )．18． [解析]：（1）由题意设过点M 的切线方程为：m x y +=2，代入C 得0)27(22=-++m x x ，则250)27(44=⇒=--=∆m m ，21252,100=+-=-=∴y x ，即M （－1，21）．（2）当a ＞0时，假设在C 上存在点),(11y x Q 满足条件．设过Q 的切线方程为：n kx y +=，代入2742++=x x y 0)27()4(2=-+-+⇒n x k x ，则 414)4(02n k -=-⇒=∆，且,241-=k x 4221-=k y ．若0≠k 时，由于a k a k kx a y k k PQ24121211±=⇒=⇒-=+-⇒-=，∴21211-=-=a y a x 或 21211-=--=a y a x ；若k=0时，显然)21,2(--Q 也满足要求．∴有三个点（－2212a -），（－2，212a -）及（－2，－21），且过这三点的法线过点P （－2，a ），其方程分别为：x ＋＋2－20，x －y ＋2＋20，x ＝－2.当a ≤0时，在C 上有一个点（－2，－21），在这点的法线过点P （－2，a ），其方程为：x ＝－2.。

人教B版数学选修2-1练习2.4.1抛物线的标准方程含解析

2.4.1抛物线的标准方程课时过关·能力提升1.抛物线y2=12x的焦点坐标是()A.(12,0)B.(6,0)C.(3,0)D.(0,3)答案:C2.经过点(2,-3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是()A.y2C.y2=答案:B3.抛物线y2A.xC.x=答案:D4.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且该圆与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为()A.(x-1)2+y2B.x2+(y-1)2C.(x-1)2+y2=12y-1)2=1答案:C★5.已知点P是抛物线y2=16x上的点,它到焦点的距离h=10,则它到y轴的距离d等于() A.3 B.6C.9D. 12解析:设点P到抛物线y2=16x的准线的距离为l.由抛物线y2=16x由抛物线定义知l=h,又l=d d=l答案:B6.抛物线x=2y2的焦点坐标是.答案:7.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为.答案:y2=8x8.抛物线x-4y2=0的准线方程是.答案:x=9.若抛物线y2=2px(p>0)上有一点M,其横坐标为9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和点M 的坐标.解:由抛物线定义知,焦点x=由题意,设点M到准线的距离为d,则d=|MF|=10,即9p=2.故抛物线方程为y2=4x.将M(9,y)代入y2=4x,解得y=±6,则点M的坐标为(9,6)或(9,-6).★10.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程.解:设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则其准线为x=设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|+|BF|=8,所以x1x1+x2=8-p.因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,所以|QA|=|QB|,因所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.因为AB与x轴不垂直,所以x1≠x2,则x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0, 即p=4.故抛物线方程为y2=8x.。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-4-3抛物线习题课

2.4.3抛物线习题课一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( ) A ．|x 0－p2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p |[答案] B[解析] 利用P 到焦点的距离等于到准线的距离，当p >0时，p 到准线的距离为d ＝x 0＋p 2；当p <0时，p 到准线的距离为d ＝－p 2－x 0＝|p2＋x 0|. 2．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y [答案] B[解析] 由题意，知抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－7，∴p ＝14.3．抛物线y 2＝－4px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( ) A ．F 到l 的距离B ．F 到y 轴的距离C ．F 点的横坐标D ．F 到l 的距离的14[答案] B[解析] 设y 2＝－2p ′x (p ′>0)，p ′表示焦点到准线的距离，又2p ′＝4p ，p ＝p ′2，故P 表示焦点到y 轴的距离．4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝8，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4[答案] A[解析] 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，则由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝10.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则一定有y 1y2x 1x 2等于( ) A ．4 B ．－4 C ．p 2D ．－p 2[答案] B[解析] 设过焦点的直线方程为x ＋ay －p 20(a ∈R )，则代入抛物线方程有y 2＋2apy －p 2＝0，故由根与系数的关系知y 1y 2＝－p 2.又由y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，② ①②相乘得y 21y 22＝4p 2x 1x 2，∴x 1x 2＝p 24，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 6．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 7．(2010·山东文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 依题意F (1,0)设A 点坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )，AF →＝(1－x ，－y )， OA →·AF →＝x (1－x )＋y (－y )＝x －x 2－y 2， x －x 2－4x ，＝－x 2－3x ＝－4.即x 2＋3x －4＝0解之得x ＝1或x ＝－4 又∵x ≥0，∴x ＝1，y 2＝4，y ＝±2. ∴A (1，±2)．9．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x ＋2＝0相切．∴动圆过定点F (2,0)，故选B.10．(2008·宁夏、海南)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)[答案] A[解析] 依题意，抛物线的焦点F (1,0)，准线为l x ＝－1.过Q 点作直线l 的垂线交抛物线于P 点，交准线l 于M 点，则|QP |＋|PF |＝|QP |＋|PM |＝|QM |＝3为所求的最小值，此时P ⎝⎛⎭⎫14，－1.故选A. 二、填空题11．P 点是抛物线y 2＝4x 上任一点，到直线x ＝－1的距离为d ，A (3,4)，|PA |＋d 的最小值为________．[答案] 2 5[解析] 设抛物线焦点为F (1,0)则d ＝|PF |，∴|AP |＋d ＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝(3－1)2＋(4－0)2＝2 5.12．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．[答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处切线方程为y －1＝k (x －1)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 2－4x ＋2，y －1＝k (x －1)，∴3x 2－(k ＋4)x ＋(k ＋1)＝0. ∵Δ＝0，∴k ＝2.∴过P (－1,2)与切线平行的直线为2x －y ＋4＝0.13．已知点P 在抛物线y 2＝2x 上运动，点Q 与点P 关于(1,1)对称，则点Q 的轨迹方程是________．[答案] y 2－4y ＋2x ＝0[解析] 设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋x ＝2，y 0＋y ＝2∴x 0＝2－x ，y 0＝2－y ，又P (x 0，y 0)在y 2＝2x 上， ∴(2－y )2＝2(2－x ) 即y 2－4y ＋2x ＝0.14．(2010·全国Ⅱ理，15)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝______.[答案] 2[解析] 如图，设B (x 0，y 0)，则MK ＝12BH ，则x 0＋p 2＝2⎝⎛⎭⎫1＋p 2有x 0＝p2＋2.可得y 0＝p 2＋4p ，又直线AB 方程为y ＝3(x －1)，代入有p 2＋4p ＝3⎝⎛⎭⎫p 2＋2－1，解得p ＝2.三、解答题15．已知抛物线y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线满足下列条件：①只有一个公共点； ②有两个公共点； ③没有公共点．[解析] 由题意得直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①，当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，此时，直线l 与抛物线只有一个公共点(14，1)．当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．①当Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l 与抛物线只有一个公共点．②当Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，所以－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点．③当Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k >12或k <－1，此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上所述可知当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．16．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证OA ⊥OB ；(2)当△AOB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)证明：如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)消去x 得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系知y 1y 2＝－1.因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，y 21y 22＝x 1x 2，因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB .(2)解：设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0，所以点N 的坐标为(－1,0)，因为S △OAB＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(1k)2＋4，因为S △OAB ＝10，所以10＝121k 2＋4，解得k ＝±16. 17．设抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，有倾斜角为45°的弦AB ，|AB |＝85，求△FAB 的面积．[解析] 设AB 方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y 2＝8x .消去y 得：x 2＋(2b －8)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8－2b ，x 1·x 2＝b 2. ∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝2[(8－2b )2－4b 2]＝85，解得：b ＝－3.∴直线方程为y ＝x －3.即：x －y －3＝0， ∴焦点F (2,0)到x －y －3＝0的距离为 d ＝12＝22.∴S △FAB ＝12×85×22＝210. 18．已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎨⎧k ·y 1－y2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.。

高中数学 3.2.1《抛物线及其标准方程》同步练习北师

2.4.1《抛物线及其标准方程》同步练习一、选择题1．抛物线y ＝－2x 2的焦点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B ．(－1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，－18 2．抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线的距离为( ) A ．1 B. 3 C.33 D.36 3．边长为1的正三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A 、B 两点的抛物线方程是( )A ．y 2＝36xB ．y 2＝－36xC ．y 2＝±36xD ．y 2＝±33x 4．已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线5. 设0,R a a ≠∈，则抛物线24ax y =的焦点坐标为（）Ａ．(a ,0) Ｂ．(0,a ) Ｃ．(0,a161) Ｄ．随a 的符号而定 6. 顶点在原点，准线为y =2的抛物线方程为（Ｄ）A ．y 2=8xB ．y 2=－8xC ．x 2=8yD ．x 2=－8y7. 已知Ｐ为抛物线ｙ＝241x 上的任意一点，Ｆ为抛物线的焦点，点Ａ坐标为(1,1)，则｜PF ｜＋｜PA ｜的最小值为（）A ．1617 B ．2 C ．12+ D ．12- 二、填空题 8. 已知抛物线y 2=4x 过点P （4，0）的直线与抛物线相交于A （x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点，则y 12＋y 22的最小值是 .9. 已知抛物线C 1：y =2x 2与抛物线C 2关于直线y =-x 对称，则C 2的准线方程是 .10．抛物线y 2＝－x 上的点到直线3x ＋4y －8＝0的距离的最小值为________.三、解答题11. 抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－３与抛物线相交于点Ａ，5 AF ，求抛物线的标准方程.参考答案1．D 【解析】抛物线的标准方程为x 2＝－12y ，p ＝14，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－18.故选D. 2．A 【解析】抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线y ＝±33x 的距离d ＝1.故选A.3．C 【解析】设AB ⊥x 轴于点D ，则|OD |＝1·cos30°＝32，|AD |＝1·sin30°＝12，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点A 的坐标代入，即可得2p ＝36.结合图形的对称性知应选C.4．A 【解析】由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．故选A.5 C 【解析】注意抛物线的开口方向.6. D 【解析】逆用准线方程公式.7. B 【解析】用抛物线定义结合三角形的性质.8. 32【解析】设出过点P 的直线方程与抛物线方程联列，用韦达定理及配方法.9.x =18【解析】在抛物线方程中，先用－x 换y ，同时用－y 换x ．得到对称抛物线的标准方程.10.43【解析】设抛物线上动点P (－y 2，y )，则该点到直线3x ＋4y －8＝0的距离为d ＝|－3y 2＋4y －8|5＝|3y 2－4y ＋8|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋2035≥43.. 11. 解：设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为：)0(22≠=p px y ，)3,(-m A .则由抛物线的定义得25p m AF +==，又pm 2)3(2=-. 所以9,1±=±=p p .故所要求抛物线的方程为：x y x y 18,222±=±=.。

高二人教B数学选修同步练习抛物线及其标准方程

选修1-2 2.3.1抛物线及其标准方程一、选择题1．平面内到定点F 的距离等于到定直线l 的距离的点的轨迹是( )A ．抛物线B ．直线C ．抛物线或直线D ．不存在[答案] C[解析] 当F ∈l 上时，是直线，当F ∉l 上时，是抛物线．2．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是( )A ．y 2＝94x B ．x 2＝43y C ．y 2＝－94x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝43y [答案] D[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴9＝4p ，p ＝94，4＝6p ′，p ′＝23. 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18B ．－18C ．8D ．－8[答案] B[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1ay ，其准线方程为y ＝2， ∴a <0,2＝1－4a，∴a ＝－18. 4．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A.1716B.1516C.78D ．0[答案] B[解析] ∵抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116，由抛物线的定义知y M ＋116＝1， ∴y M ＝1516. 5．抛物线y 2＝8px (p >0)，F 为焦点，则p 表示( )A ．F 到准线的距离B ．F 到准线距离的14C ．F 到准线距离的18D ．F 到y 轴的距离[答案] B[解析] 设y 2＝2mx (m >0)，则m 表示焦点到准线的距离，又2m ＝8p ，∴p ＝m 4. 6．抛物线y ＝14ax 2(a ≠0)的焦点坐标为( ) A ．a >0时为(0，a )，a <0时为(0，－a )B ．a >0时为(0，a 2)，a <0时为(0，－a 2) C ．(0，a )D ．(1a，0) [答案] C[解析] a >0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )；a <0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴负半轴上．故不论a 为何值，x 2＝4ay 的焦点总为(0，a )，故选C.7．(2010·福建理，2)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0[答案] D[解析] ∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)．∴圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.8．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[答案] B[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意．因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．9．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为() A ．20B ．8C ．22D ．24[答案] A[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18，∴|PF |＝x 0＋p2＝20.10．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D ．3[答案] A[解析] 设(x 0，y 0)为抛物线y ＝－x 2上任意一点，∴y 0＝－x 20， ∴d ＝|4x 0＋3y 0－8|5＝|－3⎝⎛⎭⎫x 0－232－203|5， ∴d min ＝2035＝43. 二、填空题11．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________.[答案] 2[解析] 抛物线的准线方程为：x ＝－p 2，圆心坐标为(3,0)，半径为4，由题意知3＋p 2＝4，∴p ＝2.12．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝________.[答案] 8[解析] 由抛物线定义，得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程是________．[答案] y 2＝8x[解析] 由题意可设抛物线方程为y 2＝2ax ，∵点P (2,4)在抛物线上，∴42＝4a ，∴a ＝4.即所求抛物线的方程为y 2＝8x .14．在抛物线y 2＝12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．[答案] (6，±62)[解析] 设抛物线的焦点F (3,0)，准线x ＝－3，抛物线上的点P ，满足|PF |＝9，设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋P 2＝x 0＋3＝9，∴x 0＝6，∴y 0＝±6 2. 三、解答题15．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：(1)y 2＝6x ；(2)2y 2＋5x ＝0；(3)x ＝ay 2(a ≠0)．[解析] (1)∵2p ＝6，∴p ＝3.又∵开口向右，∴焦点坐标是(32，0)，准线方程为x ＝－32. (2)将2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－52x . ∴2p ＝52，p ＝54，开口向左． ∴焦点为(－58，0)，准线方程为x ＝58. (3)∵原抛物线方程为y 2＝1a x ，∴2p ＝1|a |. 当a >0时，p 2＝14a ，抛物线开口向右，焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x ＝－14a；当a <0时，p 2＝－14a ，抛物线开口向左，焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x ＝－14a.故当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2的焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x ＝－14a. 16．已知抛物线过点(1，－2)，求抛物线的标准方程．[解析] ∵点(1，－2)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p ′y (p ′>0)，又点(1，－2)在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2，或1＝4p ′，p ′＝14，故所求抛物线方程为：y 2＝4x 或x 2＝－12y .17．求证：以抛物线y 2＝2px 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切． [证明] 如图，过A 、B 分别作AC 、BD 垂直于l ，垂足为C 、D ，取AB 中点M ，作MH ⊥l 于H .由抛物线定义，知|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |.∴|AB |＝|AC |＋|BD |.又ACDB 是梯形，MH 是其中位线，∴|MH |＝12(|AC |＋|BD |)＝12|AB |.∴|MH |是圆M 的半径，从而命题得证． 18．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，求1|AF |＋1|BF |的值． [解析] 已知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设AB 方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，且x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24. ∴1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24 ＝k 2p ＋2p k 2＋p p 24＋p 2·k 2p ＋2p k 2＋p 24＝2p (为定值)．。

高中数学人教B版选修2-1同步练习：2.4.1抛物线的标准方程(含答案)

2.4.1抛物线的标准方程一、选择题1．(2013·南昌高二检测)抛物线x ＝－2y 2的准线方程是( ) A ．y ＝12B ．y ＝18C ．x ＝14D ．x ＝18[答案] D[解析] 抛物线x ＝－2y 2化为标准方程为y 2＝－12x ，则p ＝14，则准线方程为x ＝18.2．(2013·四川文，5)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．23 B ．2 C. 3 D ．1 [答案] D[解析] 由y 2＝8x 可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d ＝|2－3×0|12＋(－3)2＝1.3．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是( )A ．x ＋4＝0B ．x －4＝0C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x[答案] D[解析] 依题意可知M 点到F 的距离等于M 点到直线x ＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p ＝8，顶点在原点，焦点在x 轴正半轴，∴其方程为y 2＝16x ，故答案为D.4．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] 解法一：∵y ＝4，∴x 2＝4·y ＝16， ∴x ＝4，∴A (4,4)，焦点坐标为(0,1)， ∴所求距离为42＋(4－1)2＝25＝5.解法二：抛物线的准线为y ＝－1，∴A 到准线的距离为5，又∵A 到准线的距离与A 到焦点的距离相等．∴距离为5.5．抛物线y ＝14x 2的焦点关于直线x －y －1＝0的对称点的坐标是( )A ．(2，－1)B ．(1，－1)C ．(14，－14)D ．(116，－116)[答案] A[解析] y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点为(0,1)，其关于x －y －1＝0的对称点为(2，－1)．6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上有一点M (4，y )，它到焦点F 的距离为5，则△OFM 的面积(O 为原点)为( )A ．1B ． 2 C.2 D ．2 2 [答案] C[解析] 抛物线准线方程为x ＝p 2，由于M (4，y )到焦点F 的距离为5，故有|4＋p2|＝5，由于p >0，故p ＝2，|OF |＝1，抛物线方程为y 2＝4x ，则M (4，±4)，于是S △OFM ＝2.二、填空题7．(2013·北京高考)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．[答案] 2 x ＝－1[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由p 2＝1知p ＝2，则准线方程为x ＝－p2＝－1.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程是________．[答案] y 2＝8x[解析] 由题意可设抛物线方程为y 2＝2ax ， ∵点P (2,4)在抛物线上，∴42＝4a ，∴a ＝4. 即所求抛物线的方程为y 2＝8x . 三、解答题9．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过抛物线y 2＝2mx 的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝6. (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，点P (－5，25)到焦点的距离是6.[解析] (1)设抛物线的准线为l ，交x 轴于K 点，l 的方程为x ＝－m2，如图，作AA ′⊥l 于A ′，BB ′⊥l 于B ′，则|AF |＝|AA ′|＝|FK |＝|m |，同理|BF |＝|m |.又|AB |＝6，则2|m |＝6.∴m ＝±3，故所求抛物线方程为y 2＝±6x .(2)设焦点F (a,0)，|PF |＝(a ＋5)2＋20＝6，即a 2＋10a ＋9＝0，解得a ＝－1或a ＝－9.当焦点为F (－1,0)时，p ＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－4x ；当焦点为F (－9,0)时，p ＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－36x .一、选择题1．(2013·江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM | |MN |＝( )A ．2 5B ．1 2C ．1 5D ．1 3[答案] C[解析] 本题考查了抛物线定义等．如图：过M 作准线的垂线MH ，设∠F AO ＝∠MNH ＝α，则tan α＝12，sin α＝55＝|MH ||MN |＝|MF ||MN |＝15. 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B ． 2 C.322 D ．2 2[答案] C[解析] 本题考查了抛物线的定义、三角形面积的求法及数形结合的应用．设∠AFx ＝θ(0<θ<π)及|BF |＝m ；由点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得：3＝2＋3cos θ⇔cos θ＝13，又m ＝2＋m cos(π－θ)⇔m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12×|OF |×|AB |×sin θ＝12×1×(3＋32)×223＝322.故选C.在解决解析几何有关问题时，要加强与图形的结合，合理的选取方法求解．3．抛物线y ＝14a x 2(a ≠0)的焦点坐标为( )A ．a >0时为(0，a )，a <0时为(0，－a )B ．a >0时为(0，a 2)，a <0时为(0，－a2)C ．(0，a )D ．(1a ，0)[答案] C[解析] a >0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )；a <0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴负半轴上．故不论a 为何值，x 2＝4ay 的焦点总为(0，a )，故选C.4.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] D[解析] ∵P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，又ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴D 1C 1⊥侧面BCC 1B 1.∴D 1C 1⊥PC 1，∴PC 1为P 到直线D 1C 1的距离，即PC 1等于P 到直线BC 的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线．二、填空题5．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________. [答案] 2[解析] 抛物线的准线方程为：x ＝－p 2，圆心坐标为(3,0)，半径为4，由题意知3＋p 2＝4，∴p ＝2.6．(2014·湖南理，15)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C 、F 两点，则ba＝________.[答案]2＋1[解析] 本题考查抛物线的方程．由题可得C (a 2，－a )，F (a2＋b ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa b 2＝2p (a 2＋b )⇒ba ＝2＋1，故填2＋1. 7．焦点在直线3x －4y －12＝0上，顶点在原点，关于坐标轴对称的抛物线的标准方程是________．[答案] y 2＝16x 或x 2＝－12y[解析] 直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点为(4,0)，则以(4,0)为焦点的抛物线方程为y 2＝16x ；直线3x －4y －12＝0与y 轴的交点为(0，－3)，则以(0，－3)为焦点的抛物线方程为x 2＝－12y .三、解答题8．过抛物线y ＝4x 2的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝5，求线段AB 的长．[解析] 将抛物线方程化为x 2＝14y ，设焦点为F ，|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，p ＝18，|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝y 1＋y 2＋p ＝418.9．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程．(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?[解析]如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x2＝－5y.(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．。

高中数学(人教B版,选修2-1)2.4抛物线2.5直线与圆锥曲线同步练测.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.4 抛物线2.5 直线与圆锥曲线(人教B 版选修2-1)建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 1.抛物线x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为（） A. B. C. D.2. 若抛物线（p >0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则p 的值为（） A.2 B.18C.2或18D.4或163.圆心在抛物线22y x =（0y >）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（） A .221204x y x y +---=B .22210x y x y ++-+=C .22210x y x y +--+= D .221204x y x y +--+= 4.已知抛物线上两点关于直线对称，且－12，那么的值等于（） A .52B .32C .2D .3 5.对于抛物线，我们称满足的点在抛物线的内部.若点在抛物线的内部，则直线与抛物线（） A .恰有一个公共点 B .恰有两个公共点C .有一个公共点也可能有两个公共点D .没有公共点二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分） 6.已知以原点为顶点的抛物线，焦点在轴上，直线与抛物线交于两点．若为的中点，则抛物线的方程为＿＿＿＿．7. 已知圆，抛物线的准线为l ，设抛物线上任一点P 到直线l 的距离为m ，则m +｜PC ｜的最小值为 .8. 抛物线上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是 . 9.探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 ，灯深40 ，光源在抛物线的焦点处，则光源放置位置为灯轴上距顶点处.三、解答题（本题共3小题，共51分）10.(本小题满分16分)正方形的一条边在直线上，顶点、在抛物线上，求正方形的边长.11.(本小题满分17分)如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片，按图示的方向进行折叠，使每次折叠后点都落在边上，此时将记为(图中为折痕，点也可以落在边上)．过作∥，交于点，求点的轨迹方程．12.(本小题满分18分)已知抛物线上两个动点及一个定点，是抛物线的焦点，且、、成等差数列，线段的垂直平分线与轴交于一点．（1）求点的坐标（用表示）；（2）过点与垂直的直线交抛物线于两点，若，求△的面积．2.5 直线与圆锥曲线(人教B版选修2-1)答题纸得分：_________一、选择题题号12345答案二、填空题6. 7. 8. 9.三、解答题10.11.12.2.5 直线与圆锥曲线(人教B 版选修2-1)答案一、选择题1.B 解析： =x 的准线为x =- ，焦点为( ，0)，设，，由抛物线定义知 =2，∴=2- = . 由= ，得=± .2.C 解析：设该点坐标为(x ，y )，由题意知y =6，x + =10， ∴=2p (10- )，解得p =2或18.3.D 解析：抛物线的焦点坐标为，由圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标，即圆心是，半径长是1，故所求圆的方程为221204x y x y +--+=． 4.B 解析：由条件得、两点连线的斜率. 由，得.又因为在直线上，即，即.因为、两点在抛物线上，所以. 将代入得.5.D 解析：由与联立，消去，得，所以．因为，所以，直线和抛物线无公共点. 二、填空题6. 解析：设抛物线的标准方程为，，，则，.两式相减可得，则，所以，解得，即所求抛物线方程为.7. 解析：设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知，当C 、P 、F 三点共线时，m +｜PC ｜取得最小值为｜CF ｜，即＝ .8.2 解析：由抛物线定义得，A 、B 到准线x =- 的距离之和也是5，从而线段AB 的中点到准线的距离为，故AB 中点到y 轴的距离是 - ＝2.9. 解析：以灯轴所在直线为轴，顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，点在抛物线上，所以，所以，所以.因此，光源的位置为灯轴上距顶点cm 处. 三、解答题10.解：设直线的方程为，由消去得.设，则，所以211k +21212()4y y y y +-28b -.又与的距离42b -，由四边形为正方形有28b -42b -，解得或，所以正方形的边长为32或52.11.解：如图，连接BT ，以边的中点为原点，边所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则．因为，根据抛物线的定义，点的轨迹是以点为焦点，为准线的抛物线的一部分．设，由，得定点到定直线的距离为4．所以抛物线的方程为．在折叠中，线段的长度在区间内变化，而，所以．故点的轨迹方程为． 12.解：（1）设、，由点在抛物线上，得.① 由、、成等差数列得，得线段的垂直平分线方程为1212012().2y y x x y x x y y +--=---令，得②由①②得，所以．（2）由2，得．由抛物线的对称性，可设在第一象限，所以．直线由得(18,12),(2,4),P Q -所以△的面积是64．。

人教版数学高二-人教B版选修2-1练习 2-4-1抛物线及其标准方程b

04课后课时精练一、选择题1．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点与椭圆x 26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：因为抛物线的焦点坐标为(p 2，0)，椭圆的右焦点坐标为(2,0)，依题意得p2＝2，得p ＝4，故选D.答案：D2．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( )A ．(8,8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)解析：设P (x P ，y P )，因为点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离，所以x P ＝8，y P ＝±8，故选C.答案：C3．焦点在直线3x －4y －12＝0上的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝16y 或y 2＝16x B ．y 2＝16x 或x 2＝12y C ．y 2＝16x 或x 2＝－12y D ．x 2＝16y 或y 2＝－12x解析：直线3x －4y －12＝0与x 轴，y 轴的交点分别是(4,0)，(0，－3)，所以抛物线的焦点为(4,0)或(0，－3)，因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－12y .答案：C4．已知F 是抛物线y ＝116x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 的中点E 的轨迹方程是( )A. x 2＝8y －16B. x 2＝2y －116 C. x 2＝y －12D. x 2＝2y －2解析：本题主要考查利用相关点法求轨迹方程．抛物线方程可化为：x 2＝16y ，焦点F (0,4)，设线段PF 的中点E 的坐标为(x ，y )，P (x 0，y 0)，则x 0＝2x ，y 0＝2y －4，代入抛物线方程得：(2x )2＝16(2y －4)，即x 2＝8y －16，故选A.答案：A5. 已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A. －43B. －1C. －34D. －12解析：因为点A 在抛物线的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点F (2,0)，所以k AF ＝3－0－2－2＝－34，选C.答案：C6. 已知抛物线y ＝x 2－1上一定点B (－1,0)和两个动点P ，Q ，当BP ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是( )A. (－∞，－3)∪－3,11，＋∞) D. (－∞，－31，＋∞)解析：设P (t ，t 2－1)，Q (s ，s 2－1)，∵BP ⊥PQ ，∴t 2－1t ＋1·(s 2－1)－(t 2－1)s －t ＝－1，即t 2＋(s －1)t －s ＋1＝0，∵t ∈R ，P ，Q 是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(s －1)2＋4(s －1)≥0，即s 2＋2s －3≥0，解得s ≤－3或s ≥1.∴点Q 的横坐标的取值范围是(－∞，－31，＋∞)，故选D. 答案：D 二、填空题7. 若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．解析：本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用因为抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(p 2，0)，准线方程为x ＝－p2，抛物线y 2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p ＝2，准线方程为x ＝－1.答案：2 x ＝－18．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________.解析：依题意，|MF |＝|MN |＝p ， MF ⊥MN ，在Rt △MNF 中，∠FMN ＝90°，得|FN |＝2p . 答案：2p9. 如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.解析：由正方形的定义可知BC ＝CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D (p 2，0)，F (p2＋b ，b )，将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2＝2p (p 2＋b )＝a 2＋2ab ，变形得(b a )2－2b a －1＝0，解得b a ＝1＋2或b a ＝1－2(舍去)，所以ba ＝1＋ 2.答案：1＋ 2 三、解答题10. 已知点A (0,4)，B (0，－2)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →－y 2＋8＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)．解：(1)由题意可知，PA →＝(－x,4－y )，PB →＝(－x ，－2－y )， ∴x 2＋(4－y )(－2－y )－y 2＋8＝0， ∴x 2＝2y 为所求动点P 的轨迹方程．(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋2x 2＝2y，整理得x 2－2x －4＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4， ∵k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)x 1x 2 ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4x 1x 2 ＝－4＋4＋4－4＝－1， ∴OC ⊥OD .11．如图，线段AB 过点M (m,0)，m 为正数，且点A ，B 到x 轴的距离之积为4m ，抛物线C 以x 轴为对称轴，且经过O ，A ，B 三点(其中O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 的方程；(2)若m ＝1，|AM ||MB |＝2，求直线AB 的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)依题意设所求抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)， ① AB 所在直线方程为x ＝ay ＋m . ②联立①②消去x ，得y 2－2apy －2pm ＝0，则y 1y 2＝－2pm .由题意得2pm ＝4m ，所以p ＝2.故所求抛物线方程为y 2＝4x .(2)因为m ＝1，p ＝2，y 1，y 2是方程y 2－4ay －4＝0的两根，所以⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4a ，y 1y 2＝－4.又因为|AM ||MB |＝2，所以0＝y 1＋2y 23，即y 1＝－2y 2，故⎩⎨⎧y 22＝2，y 2＝－4a .所以(－4a )2＝2，故a ＝±24，从而AB 的方程为y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1)．12. 已知抛物线C 1的焦点与椭圆C 2：x 26＋y 25＝1的右焦点重合，抛物线C 1的顶点在坐标原点，过点M (4,0)的直线l 与抛物线C 1交于A ，B 两点．(1)写出抛物线C 1的标准方程； (2)求△ABO 面积的最小值．解：(1)椭圆C 2：x 26＋y 25＝1的右焦点为(1,0)，即为抛物线C 1的焦点，又抛物线C 1的顶点在坐标原点，所以抛物线的标准方程为y 2＝4x .(2)当直线AB 的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，此时|AB |＝8，△ABO 的面积S ＝12×8×4＝16. 当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x －4)，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y －16k ＝0，Δ＝16＋64k 2>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝4k，y1·y2＝－16，∴S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝12|OM||y1－y2|＝216k2＋64>16，综上所述，△ABO面积的最小值为16.。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-4-2抛物线的几何性质

2.4.2抛物线的几何性质一、选择题1．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝3p ，则|PQ |等于( )A ．4pB ．5pC ．6pD ．8p[答案] A[解析] |PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5，25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x[答案] B[解析] 由题意，设抛物线的标准方程为： y 2＝－2px (p >0)，由题意，得p2＋5＝6，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x .3．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆圆心的轨迹为( ) A ．圆 B ．抛物线和一条射线 C ．椭圆D ．抛物线[答案] B [解析] 如图，设动圆圆心坐标为(x ，y )，由题意得 y ＝0(x <0)或y 2＝20x (x ≠0)．4．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－2[答案] B[解析] 由题意，设抛物线的标准方程为：x 2＝－2py ，由题意得，p 2＋2＝4，∴p ＝4，x 2＝－8y .又点(k ，－2)在抛物线上，∴k 2＝16，k ＝±4.5．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x [答案] C[解析] 由抛物线的对称性及AB ⊥x 轴知，抛物线的焦点在x 轴上．设方程为y 2＝nx (n ≠0)．∵OA 的方程为y ＝33x ，且OA ＝1. 得A ⎝⎛⎫32，12或A ⎝⎛⎭⎫－32，－12，代入y 2＝nx ，得n ＝±36，∴方程为y 2＝±36x ，故选C.6．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78D ．0[答案] B[解析] 设M (x ，y )，且方程化为x 2＝14，则必有|MF |＝y ＋p 2＝y ＋116＝1，所以y ＝1516，故选B.7．(2008·重庆)若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 2[答案] C[解析] 双曲线的左焦点⎝⎛⎭⎫－3＋p 216，0，抛物线的准线x ＝－p 2，∴－3＋p 216＝－p2⇒p 2＝16，由题意知p >0，∴p ＝4.故选C.8．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于定点A (4,5)，则|PA |＋d 的最小值为( )A ．4B.74C.17－1D.34－1[答案] D[解析] 因为A 在抛物线的外部，所以，当点P 、A 、F 共线时，|P A |＋|PF |最小，此时|P A |＋d 也最小，|PA |＋d ＝|PA |＋(|PF |－1)＝|AF |－1＝(4－1)2＋52－1＝34－1.9．已知直线l ：y ＝k (x ＋1)，抛物线C ：y 2＝4x ，l 与C 有一个公共点的直线有( ) A ．1条 B ．2条C ．3条D ．1条、2条或3条[答案] C[解析] 将直线l 和C 的方程联立，消去y ，得 k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.当k ＝0时，方程①只有一个解，x ＝0.所以直线l 与C 只有一个公共点(0,0)，此时直线l 的方程为y ＝0，当k ≠0时Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，此时l 与C 有一个公共点，l 与C 相切．综上可知，当k ＝0或k ＝±1时，l 与C 有一个公共点．10．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3[答案] D[解析] 本题考查抛物线的性质和向量数量积的有关运算设A (y 214，y 1)，B (y 224，y 2)，则OA→＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB →＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝(－4)216－4＝－3，故选D.二、填空题11．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上有一点A (4，m )，其到准线的距离为6，则m ＝________.[答案] ±4 2[解析] x 1＋p2＝4，p ＝4，∴y 2＝8x ，将A (4，m )代入，解得m ＝±4 2.12．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是________．[答案] 1或9[解析] 设抛物线上一点M 坐标为(x 0，y 0) 由题意，得y 0＝6，x 0＋p2＝10，又y 20＝2px 0，解得x 0＝1或9.13．(2010·重庆文，13)已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝____.[答案] 2[解析] 本题考查抛物线的定义，基本知识点．设A 点(x 1，y 1)，B 点(x 2，y 2)抛物线y 2＝4x ，焦点为(1，c )，准线为x ＝－1. |AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1. 则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.14．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为________．[答案] 2[解析] 由题意，设A 点坐标为(x,23)，则x ＝3，又焦点F (1,0)，∴焦点到AB 的距离为2. 三、解答题15．根据下列条件写出抛物线的标准方程． (1)焦点是F (3,0)． (2)准线方程是x ＝－14.(3)焦点到准线的距离是2.[解析] (1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，又焦点F (3,0)，∴p ＝6， ∴抛物线方程为y 2＝12x .(2)由题意，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－14，∴p ＝12，∴抛物线方程为：y 2＝x . (3)∵焦点到准线的距离为2，∴抛物线的标准方程为y 2＝±4x 或x 2＝±4y .16．求证：以抛物线y 2＝2px 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切． [证明] 如图，过A 、B 分别作AC 、BD 垂直于l ，垂足为C 、D ，取AB 中点M ，作MH ⊥l 于H .由抛物线定义，知|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |. ∴|AB |＝|AC |＋|BD |.又ACDB 是梯形，MH 是其中位线，∴|MH |＝12AC |＋|BD |)＝12|AB |.∴|MH |是圆M 的半径，从而命题得证．17．如下图所示，线段AB 为抛物线y ＝x 2上的动弦，且|AB |＝a (a 为常数，且a ≥1)，求弦的中点M 到x 轴的最近距离．[解析] 如下图所示，设点A ，M ，B 的纵坐标为y 1，y 2，y 3，点A ，M ，B 在抛物线y ＝x 2的准线上的射影分别为A ′，M ′，B ′，由抛物线的定义，得 |AF |＝|AA ′|＝y 1＋14，|BF |＝|BB ′|＝y 3＋14，∴y 1＝|AF |－14，y 3＝|BF |－14.又M 是线段AB 的中点， ∴y 2＝12y 1＋y 3)＝12(|AF |＋|BF |－12)≥12(|AB |－12) ＝14(2a －1) 当且仅当线段AB 过焦点F 时等号成立，即当定长为a 的弦AB 过焦点F 时，点M 到x轴的距离最近，最近距离为14(2a －1)．18．点P 在抛物线2y 2＝x 上，点Q 在圆(x －2)2＋y 2＝1上，求|PQ |的最小值． [解析] 圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为M (2,0)，设P (2y 21，y 1)，则|PM |2＝(2y 21－2)2＋y 21＝4y 41－7y 21＋4＝4(y 21－78)2＋1516≥1516.∴|PM |≥154， ∴|PQ |min ＝|PM |min －1＝154－1. 此时P 点的坐标为(74，144)或(74，－144)．。

北师大版高中数学选修2-1抛物线的简单性质同步练习

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）抛物线的简单性质同步练习【选择题】1．抛物线y =ax 2(a <0)的焦点坐标和准线方程分别是（A ）(14a , 0), x =－14a （B ）(－14a , 0), x =－14a（C ）(0, 14a ), y =－14a （D ）(0, －14a ), y =14a2．已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，点A 的坐标是(－1, 8)，P 是抛物线上一点，|PA |+|PF |则的最小值是（A ）8 （B ）9 （C ）651 （D ）103．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（A ）x 2+y 2－x －2y －41=0 （B ）x 2+y 2+x －2y +1=0 （C ）x 2+y 2－x －2y +1=0 （D ）x 2+y 2－x －2y +41=0 4．抛物线y = 4x 2上一点到直线y = 4x －5的距离最短，则该点的坐标是（A ）(1, 2) （B ）(0, 0) （C ）(21, 1) （D ）(1, 4) 5．抛物线x 2=－32y 的焦点的纵坐标与它的通径的比是（A ）4 （B ）－4 （C ）41 （D ）－41 6．对于抛物线，有如下说法：① 抛物线只有一个顶点，一个焦点；② 抛物线没有对称轴，也没有对称中心；③ 抛物线的焦点与准线之间的距离为2p ，其中说法正确的个数有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个7．已知点A (4, －2)，F 为y 2=8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA |+|MF |取最小值时，点M 的坐标是（A ）(0, 0) （B ）(1, －22) （C ）(2, －2) （D ）(21, －2) 8．过点M (－p , p )作直线l 与抛物线y 2=2px 仅有一个公共点的直线共有（A ）3条（B ）2条（C ）1条（D ）不能确定9．过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A , B 两点，A , B 在准线上的射影分别为A 1, B 1，则∠A 1FB 1为（A ）等于90° （B ）大于90° （C ）小于90° （D ）不能确定10．以过抛物线的焦点弦为直径的圆与它的准线的位置关系是（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）不确定11．已知A , B 是抛物线y 2=2px (p >0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |=|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（A ）x =p （B ）x =3p （C ）x =23p （D ）x =25p 12．若抛物线的准线为2x +3y －1=0，焦点坐标为(－2, 1)，则抛物线的对称轴方程是（A ）2x +3y +1=0 （B ）3x －2y +8=0 （C ）3x －2y +6=0 （D ）3x +2y +4=0【填空题】13．若抛物线y 2==2px (p >0)上一点到其准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点的横坐标是 .14．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点的纵坐标是－4，且该点到焦点的距离是6，则抛物线的标准方程是 .15．已知三点A (2, y 1), B (x 2, －4), C (6, y 2)，三点均在抛物线y 2=2px (p >0)上，且2<x 2<6，若A , B , C 三点到焦点的距离依次成等差数列，则x 2= ;y 1= ;y 2= .16．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px (p >0)的准线相切，则p = .17．已知M ={(x , y )| y 2=21x }, N ={(x , y )| (x －23)2+y 2=49}，则M ∩N 中元素的个数是 .18．斜率为1的直线与抛物线x 2=2y 相交于A , B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 .19．对于抛物线y2=2x上任意一点Q，点P(a, 0)都满足|PQ|≥a，则a的取值范围是 .【解答题】20. 过(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，求|AB|21．已知抛物线y2=2px(p>0)，过动点M(a, 0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A, B，（1）若|AB|≤2p，求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交x轴于点N，试求△MNQ的面积。

高中数学选修2-1同步练习题库：抛物线(填空题：容易)

抛物线（填空题：容易）1、顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是__________________.2、抛物线的准线方程是_____．3、抛物线的准线方程为________．4、若抛物线上的点到轴的距离是，则到焦点的距离为__________．5、经过点的抛物线的标准方程为__________．6、经过点的抛物线的标准方程为__________．7、抛物线的焦点坐标是__________．8、抛物线的焦点到准线的距离为________．9、抛物线的焦点坐标是___________，准线方程是___________.10、抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标为________,11、抛物线的焦点坐标为．12、抛物线的焦点坐标是_______13、抛物线y=2x2的焦点坐标是．14、焦点是（3，0）的抛物线的标准方程是．15、抛物线的准线方程为 .16、抛物线的准线方程为 .17、抛物线上一点到焦点的距离为，则点到轴的距离是18、抛物线的焦点到准线的距离是______________．19、抛物线的准线方程为．20、抛物线的准线方程为．21、抛物线的焦点到准线的距离是．22、抛物线的准线方程为___________.23、抛物线的焦点坐标为 .24、抛物线的焦点坐标为．25、顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点的抛物线方程是__________．26、抛物线的准线方程是 .27、抛物线的焦点坐标是_____________.28、抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是________．29、抛物线y2＝－8x的准线方程是________．30、已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________．31、已知抛物线y2＝ax过点A，那么点A到此抛物线的焦点的距离为________．32、若抛物线的焦点坐标为，则准线方程为 .33、已知抛物线上一点到焦点的距离等于5，则到坐标原点的距离为。

数学人教B版选修2-1课后导练：2.4.1抛物线的标准方程含解析精品

课后导练基础达标1.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是（）A.x 2=-28yB.y 2=28xC.y 2=-28xD.x 2=28y答案：B2.已知抛物线的焦点在直线3x-y+36=0上，则抛物线的标准方程是（）A.x 2=72yB.x 2=144yC.y 2=-48xD.x 2=144y 或y 2=-48x 答案：D3.已知点(-2,3)与抛物线y 2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p 的值为( )A.4B.3C.2D.1答案：A4.若点P 到定点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点P 的轨迹方程是( )A.y 2=-16xB.y 2=-32xC.y 2=16xD.y 2=16x 或y=0(x<0)答案：C5.抛物线y=a1x 2(a≠0)的焦点坐标为( ) A.(0,4a )或(0,-4a ) B.(0,4a -) C.(0,4a ) D.(4a ,0) 答案：C6.圆心在抛物线ｙ2＝２ｘ上，且与ｘ轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是_____________.答案：(x-21)2+(y±1)2=1 7.与抛物线y 2=1[]4x 关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是_______________. 答案：y=161-8.抛物线y 2=4x 上一点P 到焦点F 的距离是10，则P 点的坐标是_____________________. 答案：(9，±6)9.抛物线的焦点F 在x 轴上，A （m,-3）在抛物线上，且|AF|=5，求抛物线的标准方程. 解：设抛物线方程为y 2=2px 或y 2=-2px(p ＞0).∵A 点在抛物线上,∴(-3)2=2pm 或(-3)2=-2pm.∴m=±p29.① 又|AF|=2p +|m|=5,② 把①代入②可得2p +p 29=5,即p 2-10p+9=0.∴p=1或p=9.∴所求抛物线方程为y 2=±2x 或y 2=±18x.10.已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为x 轴，求抛物线的方程.解:设M(x,y)为抛物线上的任意一点，则由抛物线的定义，得y y x =-+-22)3()3(.平方整理，得y=61x 2-x+3，为所求抛物线的方程. 综合运用11.求抛物线y=ax 2的焦点坐标和准线方程.解：方程y=ax 2不是抛物线的标准方程的形式，需将其化成标准方程.抛物线方程可化为x 2=a 1y ，其中2p=||1a ， ∴p=21|a|，焦点在y 轴上. 当a ＞0时，焦点坐标为（0，a 41），准线方程为y=-a41；当a ＜0时，焦点坐标为（0，a 41），准线方程为y=-a41. 综上所述，可知：抛物线y=ax 2的焦点坐标为（0，a 41），准线方程为y=-a 41. 12.求抛物线x 2=y 上的点P 到直线2x-y-4=0的距离最小时的点P 的坐标.解：设点P(x,y)，则x 2=y.P 到直线2x-y-4=0的距离d=555|42|=--y x |2x-x 2-4|=55|x 2-2x+4|=55［(x-1)2+3］. ∴当x=1时，d 最小,此时y=1.∴P(1,1)为所求.拓展探究13.过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点F 任作一条直线m,交抛物线于P 1、P 2两点，求证：以P 1P 2为直径的圆和该抛物线的准线相切.证明：如右图，设P 1P 2的中点为P 0，过P 1、P 2、P 0分别向准线l 引垂线，垂足分别为Q 1、Q 2、Q 0，根据抛物线的定义,得｜P 1F ｜=｜P 1Q 1｜,｜P 2F ｜=｜P 2Q 2｜.∴｜P 1P 2｜=｜P 1F ｜+｜P 2F ｜=｜P 1Q 1｜+｜P 2Q 2｜.∵P 1Q 1∥P 0Q 0∥P 2Q 2,｜P 1P 0｜=｜P 0P 2｜,∴｜P 0Q 0｜=21（｜P 1Q 1｜+｜P 2Q 2｜）=21｜P 1P 2｜. 由此可知，P 0Q 0是以P 1P 2为直径的圆P 0的半径，且P 0Q 0⊥l ，因此，圆P 0与准线相切.14.如右图，已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B,OB 的中点为M.(1)求抛物线方程;(2)过M 作MN ⊥FA,垂足为N,求点N 的坐标;(3)以M 为圆心,MB 为半径作圆M.当K(m,0)是x 轴上一动点时,讨论直线AK 与圆M 的位置关系.解：(1)抛物线y 2=2px 的准线为x=-2p ,于是,4+2p =5,∴p=2,∴抛物线方程为y 2=4x, (2)∵点A 的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2).又∵F(1,0),∴k FA =34,又MN ⊥FA,∴k MN =43-, 则FA 的方程为y=34 (x-1),MN 的方程为y-2=43-,解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=,432),1(34x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==54,58y x . ∴N(58,54). (3)由题意得,圆M 的圆心是点(0,2),半径为2,当m=4时,直线AK 的方程为x=4,此时,直线AK 与圆M 相离,当m≠4时,直线AK 的方程为y=m -44(x-m), 即为4x-(4-m)y-4m=0,圆心M(0,2)到直线AK 的距离d=2)4(16|82|-++m m ,令d ＞2,解得m ＞1.∴当m ＞1时,直线AK 与圆M 相离;当m=1时,直线AK 与圆M 相切;当m ＜1时,直线AK 与圆M 相交.。

人教版数学高二-人教B版选修2-1练习 2-4-1抛物线及其标准方程a

03课堂效果落实1. 抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是( )A. (0,2)B. (0，－2)C. (4,0)D. (－4,0)解析：本题主要考查抛物线的标准方程与性质．由抛物线的方程为x 2＝8y 知，抛物线的焦点在y 轴上，所以2p ＝8，p 2＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选A.答案：A2. 以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A. y 2＝16xB. y 2＝－16xC. y 2＝8xD. y 2＝－8x解析：本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质．因为双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x ，故选A.答案：A3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：根据抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋p .答案：B4. 抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．解析：本题主要考查抛物线的定义和基本性质的应用．抛物线y 2＝2x 的焦点为F (12，0)，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.答案：25．抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且|AF |＝5，求抛物线的标准方程．解：设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，∵点A 在抛物线上，∴(－3)2＝2pm 或(－3)2＝－2pm .∴m ＝±92p .①又|AF |＝p 2＋|m |＝5，②把①代入②可得p 2＋92p ＝5，即p 2－10p ＋9＝0.∴p ＝1或p ＝9.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .。

2021年高中数学 2.4.1抛物线及其标准方程练习题新人教版选修2-1

2021年高中数学 2.4.1抛物线及其标准方程练习题新人教版选修2-1
1. 抛物线的准线与双曲线等的两条渐近线所围成的三角形面积等于 (A)
(B) (C)2 (D)
2. 已知A、B是抛物线上的两点，线段AB的中点为M（2,2），则|AB|等于
3. 已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则的
最小值是（）
A . 8
B .
C .10
D .
4. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为
5. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如
果直线AF的斜率为,那么|PF|= (A) (B)8 (C) (D) 16
6. 设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）. 若线段FA的中点B在
抛物线上，
则B到该抛物线准线的距离为________.
7. 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则．
8. 已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离
为____________．
9. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=
A．B． C． D．24620 602C 怬G!/m21325 534D 卍WWc637484 926C 鉬v 3。