大学物理经典课件——刚体力学共40页文档
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mg
T a T2 T2 2m
2mg
解：设整体 ，顺 即时 两针 滑运 轮 内动 转 。轴 右 2m 正 正 质 向 向 点 左质点m正向向上，受力分图 析。 如
右质 2 m 点 T g 2 2 ma
左质T 1 点 m m g a
右 滑 轮 T2rTrm 2r2
T1
左 滑 轮 TrT 1rm 2r2
本章教学要求： 了解转动惯量概念。理解刚体转动中的功和能的 概念。理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在 绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。了解进动 的概念。
本章重点： 刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动 情况下的角动量守恒定律。刚体质点系统的运动 问题 本章难点：
刚体绕定轴转动，刚体角动量守恒定律
其大小v为 iri
切 向 加 速 度 a t r i
vi
ri
)
P
m
i
o
参考方向
法向加速度 anri2
质点系角动量定理的一般形式
v M外
v dL dt
在转轴（z轴）上分量
M
z
dLz dt
Mz :合外力矩z轴 在方向分量； Lz :刚体绕 z轴的角动量。
上式略去下标，简写为
M dL dt
z
一、刚体受力矩
可以证明，内力矩作之 功和为零。
当刚体1由 2位置，外力矩作功：
A dA 2 Md 1
M zM i z r iF i F 1 r 1 F 2 r 2 ......
i
略去下标，
M M i r iF i F 1 r 1 F 2 r 2 ......
i
二、刚体定轴转动量 角， 动转动定律
z
vi
刚体上质m元i相对于转轴的角： 动
limiri2
mi
则 L li m ir i2 ( m ir i2 )
F||:平行于转轴体 的转 力动 ，不 对起 刚作用；
F :垂直于转 转轴 动的 平力 面 由 （ * ） 内 （ 即 定 ）
MrF
3. 刚体同时受几个力，矩总时力矩为 M M 1 M 2 . .M .n
由于各力矩也 方只 向有 （两 沿个 转轴 ）或 ，逆 因转 而轴 可用
和表示：
上一页 下一页
刚体：不发生形变体 的（ 物理想模型） 刚体运动形式： 转平 动动 （绕某轴线转动） （固）定轴转可 动以 ，穿 定过 轴刚体在 ，刚 也体 可之 以外。
任一垂直于转轴的称 平为 面转动平面。 设某个转动平面与转交轴于o点， 则该转动平面上所有质 点均
绕o点作圆周运动（半径同 不）。
i
i
i
L li m iri2 ( m iri2)
i
i
i
定义：刚体对于转轴的转动惯量J为：
则
J miri2 i LJ
由于M dL，则 dt
MdLJdJ
dt dt
外力矩的代数和 ——合外力矩
形似 Fma
MJ
刚体受合外力矩： M M ir iF i F 1 r 1 F 2 r 2 ......
三 、 转 动 惯 量 J — — 刚 体 转 动 惯 性
o
1.分立质点
J miri2
2.连续分布 小 质 元 d m d J r2 d m
m1
r1
ri m i
r2
m2
o o
则 Jr2dm
取决于三个因素：
r dm
1.m的大2.小 m的； 分3.布 转； 轴位置
o
例 ： 杆 M 绕 端 点 转 动 ， 子 弹 m 从 a 处 打 入 ， 求 系 统 的 J 。 M
M F R 0.5Rt
M J J d
dt
t Mdt
d
0J
0
o F
得
1
50tdt25rad/s
0
一、力矩作功
刚体中m质 i在元 外F作 力用下， 运动d了 ， s 则外力矩作功：
d A F d sF rd M id
推广：对整个刚体力 合矩 外M作功
dAMd M 与 d 同 向 ， d A 为 正 ； 否 则 为 负 。
1.外F i力 在转动F i对 平转 面轴 内力 。矩
M i ri F i
(*)
Fi Fi
i
Fin
r i :转动平面o与 指转 向轴 力交 的点 作 。用点的矢量
大小 M izr ： iF isin iriF i (F iF isin i:力的切
方向：右手螺旋， 向图 上(中 沿转轴方)向
2.外F 力 不在转动平分 面解 内 F和 为 ， F|| 将其
iv)关 联 方 程aR
例 ： 已 知 定 滑 轮 质 量 m ， 半 径 r ， J 1 m r2 , 2
各绕中心轴转动，两点质 m，2m用
轻绳连接，由静止释放 。
求：两滑轮之间张力 T.
T1
T
说明：中学内容中轮 定仅 滑为一连接件，T 1 绳中张力处处相同，现 但在滑轮转 m
动不可忽略，绳各处张力不同！
T1
关 联 方 程 a r
m
T
T a
T2 T2
2m
解出
T1m 1 g mg
2mg
8
例 2 ： 已 知 滑 轮 R 0 . 1 m ， J 1 1 0 3 k g m 2 ， 绕 中 心 轴 转 动 。 F 0 . 5 t
(SI)(方向如图），。 初求 始 t 1静 秒止 时 ？
解：
o
vi
r)i
P
m
i
o
参考方向
可 用 ， ， ， 描 写 刚 体 运 动
角速度 ， 矢 方 量 向由右 决手 定螺 ，旋 且法则
只可能有 沿 两 转 个 轴 方 正 向 向 向 ， 。 或 即 因 逆 而
可用投影量（正负）示 表。
与 设v角 刚 i 的 速 体 r i关 m i离 度 上 系 转 某 是 轴 r 质 i,则 距 元 o其 离 v i线 为 速
i
刚体的转动惯量： J miri2 i 上式即为刚体定轴 定转 理动 ：刚体 讨论 受合外力矩等于刚 同体 一对 转轴
的转动惯量与角加速度的乘积。
i ) 刚 体 产 生 角 加 速 度 原 因 是 受 外 力 矩 M 作 用 。 M 与
是投影量（代数量），同正负。
i i ) M 与 J 是 对 同 一 转 轴 而 言 的 ， J 是 大 于 零 的 。
解 ：J总 J杆 J子 弹
1Ml2 ma2 3
四、转动定理的应用
a l
m
i)常用于研究刚 质体 点构成的系统； ii)质点作受力分作 析力 ，矩 刚分 体析。方 质向 点与 运刚 动体
方向要协调。转 （轴 即正 刚向 体与质向 点自 运洽 动） 正；
ii)i对质点用牛顿程 定， 律对 列刚 方体用列 转方 动程 定； 律
T a T2 T2 2m
2mg
解：设整体 ，顺 即时 两针 滑运 轮 内动 转 。轴 右 2m 正 正 质 向 向 点 左质点m正向向上，受力分图 析。 如
右质 2 m 点 T g 2 2 ma
左质T 1 点 m m g a
右 滑 轮 T2rTrm 2r2
T1
左 滑 轮 TrT 1rm 2r2
本章教学要求： 了解转动惯量概念。理解刚体转动中的功和能的 概念。理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在 绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。了解进动 的概念。
本章重点： 刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动 情况下的角动量守恒定律。刚体质点系统的运动 问题 本章难点：
刚体绕定轴转动，刚体角动量守恒定律
其大小v为 iri
切 向 加 速 度 a t r i
vi
ri
)
P
m
i
o
参考方向
法向加速度 anri2
质点系角动量定理的一般形式
v M外
v dL dt
在转轴（z轴）上分量
M
z
dLz dt
Mz :合外力矩z轴 在方向分量； Lz :刚体绕 z轴的角动量。
上式略去下标，简写为
M dL dt
z
一、刚体受力矩
可以证明，内力矩作之 功和为零。
当刚体1由 2位置，外力矩作功：
A dA 2 Md 1
M zM i z r iF i F 1 r 1 F 2 r 2 ......
i
略去下标，
M M i r iF i F 1 r 1 F 2 r 2 ......
i
二、刚体定轴转动量 角， 动转动定律
z
vi
刚体上质m元i相对于转轴的角： 动
limiri2
mi
则 L li m ir i2 ( m ir i2 )
F||:平行于转轴体 的转 力动 ，不 对起 刚作用；
F :垂直于转 转轴 动的 平力 面 由 （ * ） 内 （ 即 定 ）
MrF
3. 刚体同时受几个力，矩总时力矩为 M M 1 M 2 . .M .n
由于各力矩也 方只 向有 （两 沿个 转轴 ）或 ，逆 因转 而轴 可用
和表示：
上一页 下一页
刚体：不发生形变体 的（ 物理想模型） 刚体运动形式： 转平 动动 （绕某轴线转动） （固）定轴转可 动以 ，穿 定过 轴刚体在 ，刚 也体 可之 以外。
任一垂直于转轴的称 平为 面转动平面。 设某个转动平面与转交轴于o点， 则该转动平面上所有质 点均
绕o点作圆周运动（半径同 不）。
i
i
i
L li m iri2 ( m iri2)
i
i
i
定义：刚体对于转轴的转动惯量J为：
则
J miri2 i LJ
由于M dL，则 dt
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外力矩的代数和 ——合外力矩
形似 Fma
MJ
刚体受合外力矩： M M ir iF i F 1 r 1 F 2 r 2 ......
三 、 转 动 惯 量 J — — 刚 体 转 动 惯 性
o
1.分立质点
J miri2
2.连续分布 小 质 元 d m d J r2 d m
m1
r1
ri m i
r2
m2
o o
则 Jr2dm
取决于三个因素：
r dm
1.m的大2.小 m的； 分3.布 转； 轴位置
o
例 ： 杆 M 绕 端 点 转 动 ， 子 弹 m 从 a 处 打 入 ， 求 系 统 的 J 。 M
M F R 0.5Rt
M J J d
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t Mdt
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0J
0
o F
得
1
50tdt25rad/s
0
一、力矩作功
刚体中m质 i在元 外F作 力用下， 运动d了 ， s 则外力矩作功：
d A F d sF rd M id
推广：对整个刚体力 合矩 外M作功
dAMd M 与 d 同 向 ， d A 为 正 ； 否 则 为 负 。
1.外F i力 在转动F i对 平转 面轴 内力 。矩
M i ri F i
(*)
Fi Fi
i
Fin
r i :转动平面o与 指转 向轴 力交 的点 作 。用点的矢量
大小 M izr ： iF isin iriF i (F iF isin i:力的切
方向：右手螺旋， 向图 上(中 沿转轴方)向
2.外F 力 不在转动平分 面解 内 F和 为 ， F|| 将其
iv)关 联 方 程aR
例 ： 已 知 定 滑 轮 质 量 m ， 半 径 r ， J 1 m r2 , 2
各绕中心轴转动，两点质 m，2m用
轻绳连接，由静止释放 。
求：两滑轮之间张力 T.
T1
T
说明：中学内容中轮 定仅 滑为一连接件，T 1 绳中张力处处相同，现 但在滑轮转 m
动不可忽略，绳各处张力不同！
T1
关 联 方 程 a r
m
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T a
T2 T2
2m
解出
T1m 1 g mg
2mg
8
例 2 ： 已 知 滑 轮 R 0 . 1 m ， J 1 1 0 3 k g m 2 ， 绕 中 心 轴 转 动 。 F 0 . 5 t
(SI)(方向如图），。 初求 始 t 1静 秒止 时 ？
解：
o
vi
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P
m
i
o
参考方向
可 用 ， ， ， 描 写 刚 体 运 动
角速度 ， 矢 方 量 向由右 决手 定螺 ，旋 且法则
只可能有 沿 两 转 个 轴 方 正 向 向 向 ， 。 或 即 因 逆 而
可用投影量（正负）示 表。
与 设v角 刚 i 的 速 体 r i关 m i离 度 上 系 转 某 是 轴 r 质 i,则 距 元 o其 离 v i线 为 速
i
刚体的转动惯量： J miri2 i 上式即为刚体定轴 定转 理动 ：刚体 讨论 受合外力矩等于刚 同体 一对 转轴
的转动惯量与角加速度的乘积。
i ) 刚 体 产 生 角 加 速 度 原 因 是 受 外 力 矩 M 作 用 。 M 与
是投影量（代数量），同正负。
i i ) M 与 J 是 对 同 一 转 轴 而 言 的 ， J 是 大 于 零 的 。
解 ：J总 J杆 J子 弹
1Ml2 ma2 3
四、转动定理的应用
a l
m
i)常用于研究刚 质体 点构成的系统； ii)质点作受力分作 析力 ，矩 刚分 体析。方 质向 点与 运刚 动体
方向要协调。转 （轴 即正 刚向 体与质向 点自 运洽 动） 正；
ii)i对质点用牛顿程 定， 律对 列刚 方体用列 转方 动程 定； 律