1-4 无穷小与无穷大

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1-4 无穷小与无穷大

f (x) .
2
2
0, 当0
x x0

时
2
g(x)
2
0, 取 min1,2, 当 0 x x0 时
f (x) g(x) f (x) g(x)
lim f ( x) g( x) 0. x x0
2.无穷大与无穷小的关系: 定理2. lim f ( x) lim 1 0;
f (x) lim f ( x) 0 且f ( x) 0 lim 1
f (x)
3.无穷大与无界: 无穷大无界 (反之,不一定)
例.试证: y x cos x在(, )内无界,但当x 时不是无穷大.
则称f ( x)在x x0时为无穷小.
注 : (1)无穷小与“当 x x0时"密切有关. 如 : f ( x) x 1 x 1时 f ( x)是无穷小
x 0时 f ( x)不是无穷小
f ( x) 1 当x 时为无穷小, 当x 0时不是无穷小 x
(2)不能把无穷小与绝对值很小的数混为一谈. 如 108(很小的数)不是无穷小, 但"0"是无穷小.
2. 无穷小与函数极限的关系
定理1. lim f (x) A f (x) A (x),其中 lim( x) 0.
3..无穷小的运算性质
性质1. 有限个无穷小的和也是无穷小.
证. 设 lim f ( x) 0 lim g( x) 0
x x0
0,
x x0
1 0, 当0 x x0 1时
则称f ( x)当x

x0时为无穷大,
记作
lim

高数一 1-4 无穷小与无穷大

lim x2
x2
x4 2x 4
1 2
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
例6 计算 lim ( x2 x x) x
解 lim ( x2 x x) lim
x
x
x x2 x x
lim
1
1
x 1 x1 1 2
x2 x x2 1 x1 x 1 x1
11
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所以lim 1 . x1 x 1
y 1 x 1
1
铅直渐近线
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❖铅直渐近线
如果 lim f (x) x x0
则称直线 x x0 是函数 yf(x)的图形
的铅直渐近线
❖水平渐近线
如果 lim f(x) A 则直线 yA称为函数 yf(x)的图形的 x
水平渐近线
y 1 x 1
ann bmm
ab0000
nm nm nm
10
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例5
计算
lim（
x2
x
1
2
12 x3
） 8
解
lim（ x2 x
1
2
12 x3
） 8
lim
x2
(x2 (x
2x 4) 12 2)(x2 2x 4)
lim x2
(x 2)(x 4) (x 2)(x2 2x 4)
当 xx0 时的无穷大记为
lim f (x) . (形式记法,实际上极限不存在)
x x0
❖无穷大的精确定义
lim f (x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M

无穷小与无穷大,极限运算法则

x1
y 1 x1
只要 x 1 1 , 取 1 ,
M
M
当0 x 1 1 时, 就有 1 M . lim 1 .
M
x1
x1 x 1
定义 : 如果 lim x x0
f ( x) ,则直线x
x0是函数y
f (x)
的图形的铅直渐近线.
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
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22
例4
求
lim
x
3x2 2x 1 x3 3x 5
(

型
)
无穷小因子分出法
解 x 时,分子,分母的极限均为无穷大.
方法先用 x 3去除分子分母, 分出无穷小,
再求极限.
lim
第四节无穷小与无穷大
一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系
2019/10/13
1
一、无穷小
1. 定义 (无穷小): 如果函数 f (x)当 xx0 (或x ) 时的极限为零, 则称函数 f (x) 当 xx0 (或 x)时为无穷小.
2019/10/13
2
例如,
limsin x 0, sin x当x 0时是无穷小.
但n个 1 之和为1不是无穷小. n
2019/10/13
13
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x2 arctan 1 都是无穷小

1-4无穷小与无穷大

3
二、无穷小的性质
定理在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证设及是当x 时的两个无穷小, 0, N 1 0, 当 | x | N 1时, 恒有 | | ; 2 N 2 0, 当 | x | N 2时, 恒有 | | . 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 | x | N时, 恒有 | | | | | | , 2 2 0 ( x )

于是
设 f ( x ) A ( x ),
, 其中A是常数, ( x )是当x x0时的无穷小
| f ( x ) A || ( x ) |
0, 0,当0 | x x0 | , 恒有
| ( x ) |
lim f ( x ) A. 即 | f ( x ) A | . x x
第四节无穷小与无穷大
无穷小(infinitely small)
无穷大(infinitely great)
无穷小与无穷大的关系
小结作业
第一章函数与极限
1
无穷小与无穷大
一、无穷小的概念
1. 定义
若f ( x )当x x （或 x )时的极限为0，则称f ( x ) 0
简称无穷小. 为当x x （或 x )时的无穷小量, 0
8
三、无穷小与函数极限的关系
定理
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ), x x
0
其中( x )是当x x0时的无穷小 .
证
设 xlim x
f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A
0

1-4无穷小及无穷大

意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小关于无穷大的讨论都可归结为关于无穷小的讨论. 的讨论
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 两个定义四个定理三个推论、主要内容两个定义;四个定理三个推论. 四个定理;三个推论 2、几点注意: 、几点注意
1 是无穷小，例如, n → ∞时, 是无穷小， n 1 但n个之和为1不是无穷小 . n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理有界函数与无穷小的乘积是无穷小证设函数u在U 0 ( x 0 , δ 1 )内有界，内有界，
则∃M > 0, δ 1 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 1时恒有 u ≤ M .
ε ε 当 x > N 1时恒有 α < ; 当 x > N 2时恒有 β < ; 2 2 取 N = max{ N 1 , N 2 }, 当 x > N时, 恒有 ε ε α ± β ≤ α + β < + = ε, 2 2 ∴ α ± β → 0 ( x → ∞)
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
x → x0 ( x→∞ )
1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆; 注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（2）切勿将 lim f ( x ) = ∞认为极限存在 .
x → x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量但是无）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 界变量未必是无穷大
练习题答案
一、1、0； 3、 3、 ⇔ ； 2、 2、 lim f ( x ) = C ；

1-4 无穷小与无穷大

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二、无穷大
无穷大的定义如果当x→a 时, |f(x)|无限增大, 那么称函数f(x) 为当 x→a时的无穷大, 记为
lim f ( x) = ∞. [形式记法,实际上极限不存在]
x →a
无穷大的精确定义
x→x0
lim f (x)=∞ ⇔∀M>0, ∃δ >0, 当0<|x−x0|<δ 时,有|f(x)|>M.
1 所以当 x →0 时,函数 y = ln x ⋅ sin 不是无穷大. x
+
17
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作业
习题1−4 (P41): 3. 6. 7.
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的铅直渐近线.
1 x −1
x→x0
y=
1
铅直渐近线
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铅直渐近线
如果 lim f (x)=∞ , 则称直线x= x0 是函数 y=f(x)的图形
的铅直渐近线. 水平渐近线水平渐近线. 如果 lim f (x) =A, 则直线 y =A 称为函数 y =f(x)的图形的 →∞
x
x→x0
水平渐近线
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x 的渐近线. 例3 求曲线 y = x +1 x 1 解因为 lim y = lim = lim(1 − ) = 1, x →∞ x →∞ x + 1 x →∞ x +1
x 所以曲线 y = 的水平渐近线为 y =1. x +1 1 x +1 因为 lim = lim = 0, lim y = ∞, x →−1 x →−1 y x →−1 x

无穷小与无穷大

无穷小与无穷大无穷小和无穷大是数学中重要的概念，它们在极限运算和微积分中有着重要的作用。

本文将介绍无穷小和无穷大的定义、性质以及它们在数学和物理中的应用。

一、无穷小的定义与性质无穷小是指函数在某一点附近取值时，其值趋近于零的特殊情况。

具体说，对于函数f(x)，如果当x无限接近某一点a时，f(x)也无限接近于零，那么f(x)就是在点a处的无穷小。

常表示为lim x→a f(x) = 0。

1.1 阶与比较无穷小可以根据其趋近于零的速度分为不同的阶。

例如，当x无限接近零时，x^2相比于x，其趋近于零的速度更快，因此x^2是x的高阶无穷小。

同样，x^n（n>1）相比于x，其趋近于零的速度更快，因此x^n是x的高阶无穷小。

1.2 运算性质无穷小具有一些运算性质。

例如，两个无穷小的和仍然是无穷小，若f(x)为无穷小，g(x)为有界函数，则f(x)g(x)为无穷小。

此外，无穷小与有界函数的乘积也为无穷小。

1.3 等价无穷小在无穷小的研究中，等价无穷小也是一个重要的概念。

如果两个无穷小f(x)和g(x)满足li m x→a (f(x)/g(x)) = 1，那么称f(x)和g(x)是在点a处等价的无穷小。

等价无穷小具有相似的性质，在一些极限运算中可以互相替换。

二、无穷大的定义与性质无穷大是指函数在某一点附近取值时，其值趋近于正无穷或负无穷的情况。

具体说，对于函数f(x)，如果当x趋近于某一点a时，f(x)的值无限增大或无限减小，那么f(x)就是在点a处的无穷大。

2.1 正无穷和负无穷无穷大可以分为正无穷大和负无穷大。

当x趋近于某一点a时，若f(x)的值无限增大，则称f(x)为正无穷大。

若f(x)的值无限减小，则称f(x)为负无穷大。

2.2 无穷大的性质无穷大具有一些基本性质。

例如，正无穷大与负无穷大的和仍然是无穷大。

另外，无穷大与常数的乘积仍然是无穷大。

然而，无穷大的乘积与除法需要谨慎处理。

2.3 无穷大与极限在求解极限问题时，无穷大也扮演了重要的角色。

1[1].4.无穷小与无穷大

解
1 2 + 3 2 x +2 x x = 0 = 0. lim 3 2 = lim x→∞ 2x + x +1 x→∞ 1 1 2 2+ + 3 x x
m−1
对于一般的有理函数
a0 x + a1 x + ⋯+ am f (x) = b0 xn + b1 xn−1 + ⋯+ bn
m
（m, n 为正整数）,有为正整数）有
定理3 有界变量与无穷小的乘积是无穷小。定理有界变量与无穷小的乘积是无穷小。内有界，证设函数u在 U (x0 ,δ1 )内有界，则 ∃M > 0, 恒有 u < M. 使得当0 < x − x0 < δ 1时，
0
又设α是当x → x 0时的无穷小, ∴ ∀ε > 0, ∃δ 2 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 2时
故
1 lim = ∞. x →1 x − 1
证明:函数内无界, 例3 证明函数 y = x cos x 在(−∞,+∞) 内无界但当 x
→ +∞
时,该函数不是无穷大.。该函数不是无穷大
证 ∀M > 0, 在 (−∞,+∞) 内，总 ∃x0 , 使 y ( x0 ) > M 例如,取 x0 = 2kπ , y (2kπ ) = (2kπ ) cos 2kπ = 2kπ 例如取 (k = 0,1,2,⋯), 只要 k > M 时，就有 y ( x0 ) > M 2k 无界. 故在 (−∞,+∞)内 y = x cos x无界
lim 推论2 存在, lim 推论设 x→ x f ( x) g ( x) = A存在若 x→ x f ( x) = ∞.

高等数学1-4-无穷小与无穷大

说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量定义1 . 若则称函数例如 : 函数函数为当函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。）为当时为无穷小;
时为无穷小;
为当时为无穷小.
定义1. 若则称函数为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若若
1 为无穷大, 则为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0

线性代数1-4 章节无穷小与无穷大

x → x0
的图形的铅直渐近线.
注意：无穷大是一种特殊的无界变量, 注意：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 1 1 1 1
x x 是一个无界变量 , 但不是无穷大 . 例如, 当x → 0时, y = sin
y = sin x x
(1) 取 x 0 =
1 π 2 kπ + 2
恒有： f ( x) > M 恒有：记作：记作：lim f ( x) = ∞ 注 1.必须指明自变量的变化过程 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆无穷大：（函数的绝对值）无穷大：（函数的绝对值）无限变大：（函数的绝对值３.不要把无穷大和极限相混淆
如果 ϕ ( x ) ≥ ψ ( x ), 而 lim ϕ ( x ) = a , lim ψ ( x ) = b , 那末 a ≥ b .
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
解 ∵ lim( x 2 − 3 x + 5) = lim x 2 − lim 3 x + lim 5 x→2 x→2 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法消去零因子法) 消去零因子法
x2 − 4x + 3 ( x − 3)( x − 1) 求 lim = lim 2 x→3 x −9 x→3 ( x + 3)( x − 3)
limα( x) = 0, 但α( x) ≠ 0, 称α( x)为零因子。为零因子。

1-4无穷小与无穷大

1 定义绝对值无限增大的函数称为无穷大. 当x的绝对值充分大时，函数值的绝对值要多大有多大. #
n
lim x n , lim f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x )
x x0 x x0 x x
其逆否命题经常用于证明一个函数不是无穷大.
x x0 x
lim f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x ) .
1 例如 lim . x 1 x 1
注意无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
极限为零的函数称为无穷小.
例如,
lim sin x 0, 函数 sin x是当x 0时的无穷小. x 0
1 lim 0, x x
( 1) n lim 0, n n
1 函数是当x 时的无穷小. x
( 1) n 数列{ }是当n 时的无穷小. n
x x0 ( x )
2 无穷大在函数图形上的体现
结论 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x0是函数y f ( x )
x x0
的图形的铅直渐近线.
1 例如 lim . x 1 x 1
y
1 x 1
三无穷小与无穷大的关系
定理2 在同一自变量变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
2.给出了函数f ( x )在x 0附近的近似表达式 f ( x ) A, 误差为( x ).

无穷小与无穷大

0
则有 lim ( x ) 0,
x x0
f ( x ) A ( x ).
充分性设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷大,记作
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
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无穷小与无穷大
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
注无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小！
1 1 但如, n 时, 是无穷小， n个之和为1 n n 不是无穷小.
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无穷小与无穷大
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证设函数u在U 0 ( x 0 , 1 )内有界，
则M 0, 1 0, 使得当0 x x 0 1时恒有 u M .
x x0 x x0
x x0
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无穷小与无穷大
意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);
（2）给出了函数 f ( x ) 在 x0 附近的近似表达式 f ( x ) A, 误差为 ( x ).
3、无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证设及是当x 时的两个无穷小 ,
机动
目录

1-4无穷小与无穷大1-5(部分)

am bn
为非负常数 )
Qm (x0 ) 0,
lim Pn (x) Pn (x0 ) . xx0 Qm (x) Qm (x0 )
Qm (x0 ) 0, Pn (x0 ) 0,
Qm (x0) 0, Pn (x0) 0,
lim Pn (x) . xx0 Qm (x)
目前可通过因式分解的方法处理,以后有更好的方法.
当
时,有
当
时,有
则 0, 取 min1 , 2 , 当 0 x x0 时, 有
<
2
2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
lim
n
n
1
1
n
1
2
n
1
n
ln
2
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
xx0
u
例7. 求
解:
令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 = 6. 6
1 6
例8 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
一切满足不等式
( x X ) 的 x , 总有
①
则称函数
当
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) )
x
若在定义中将 ①式改为
( f (x) M ),

1-4无穷小与无穷大

2019年5月10日星期五
蚌埠学院高等数学
14
x 时，不是无穷大量。
证明：取 xn 2n , yn 0
xn 2n , (n ), yn 0, 不是无穷大.
2019年5月10日星期五
蚌埠学院高等数学
9
说明：证明函数的极限不存在时，只须找一串点
x1, x2 , xn , 使 f (xn ) 的极限不存在。
100 75 50 25

2 N 0

2
0,
yn

2 N 0

2

M.
所以， y x sin x 在 (0, ) 上是无界的。
2019年5月10日星期五
蚌埠学院高等数学
11
三、无穷小量与无穷大量的关系
1) lim f (x) 0 且 f (x) 0, lim 1 .
x
蚌埠学院高等数学
3
2、无穷小量和极限的关系
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中为 x x0
时的无穷小量 .
证: lim f (x) A
x x0
0, 0, 当 0 x x0 时,有
第一章
一、无穷小量二、无穷大量三、无穷小量与无穷大量的关系四、小结与思考判断题
2019年5月10日星期五
蚌埠学院高等数学
1
一、无穷小量
1、定义：如果函数 f (x) 当 x→x0 (或x→∞) 时的极限为零，那么，称函数 f (x) 为 x→x0 (或x→∞) 时的无穷小。

《无穷小和无穷大》课件

无穷小序列
讨论无穷小序列的定义及其特点。
无穷大序列
介绍无穷大序列的定义和性质。
性质
无穷小性质
探讨无穷小的性质，比如加法、乘法和极限运算。
无穷大性质
讨论无穷大的性质，如无穷大和有界函数的关系。
无穷小与有界函数
探讨无穷小和有界函数之间的关联。
无穷大与趋向无穷函数
讨论无穷大和趋向无穷函数之间的关系。
讨论
1
无穷小的判定
介绍判断一个数是否为无穷小的方法
无穷大的判定
2
和技巧。
讨论判断一个数是否为无穷大的方法
和策略。
3
常用的无穷小和无穷大
列举常见的无穷小和无穷大，并探究
可比无穷大和同阶无穷小
4
它们的应用。
解释可比无穷大和同阶无穷小的概念及其重要性。
应用
洛必达法则
介绍洛必达法则及其在无穷小和无穷大中的应用。
泰勒公式
解释泰勒公式及其在无穷小和无穷大中的作用。
解析几何中的应用
探讨无穷小和无穷大在解析几何中的实际应用。
总结
定义和性质回顾
回顾无穷小和无穷大的定义及其性质。
应用场景总结
总结无穷小和无穷大在不同领域中的应用场景。
未来深入学习方向
指导听众进一步学习无穷小和无穷大相关领域的知识。
ห้องสมุดไป่ตู้
参考文献
提供相关学术文献和参考资料，供听众进一步学习和研究。
《无穷小和无穷大》PPT 课件
# 无穷小和无穷大介绍无穷小和无穷大的概念及其重要性。
前言
1 基础研究
2 概念讨论
无穷小和无穷大在研究区间内函数性质中扮演着重要角色。

1-4无穷小

无穷大与无穷小的关系: 无穷大与无穷小的关系:
1 为无穷大，必为无穷小, 如果 f ( x ) 为无穷大，则必为无穷小, f (x)
为无穷小, 如果 f ( x ) 为无穷小,且 f ( x ) ≠ 0, 则必为无穷大. 必为无穷大. 1 f ( x) = 是当x → 1时的无穷大， x −1 1 = x − 1当x → 1时是无穷小. 而 f ( x)
(－1) Q lim
Q
n →∞
x→0
n
n n 1 1 Q lim = 0, ∴ 当x → ∞时是无穷小. x →∞ x x
(－1) = 0, ∴
= ∴
n
当n → ∞时是无穷小.
注： 1.无穷小是变量，不是很小的数. 无穷小是变量，不是很小的数. 无穷小是变量 2.零是作为无穷小的唯一的常数. 零是作为无穷小的唯一的常数. 零是作为无穷小的唯一的常数
3 2
2
;
1 2 ( 4 ) α ( x ) = 1 − cos x,β ( x ) = x ; 2 α ( x) x3 + x2 = lim = lim ( x + 1) = 1 解 ( 1) Q lim 2 x →0 β ( x ) x→0 x →0 x
∴当x → 0时，x + x ~ x . 等价无穷小
等价无穷小，记作α ( x ) ～β ( x ) ;
四、有关无穷小的两个定理定理4.1（极限与无穷小的关系）定理（极限与无穷小的关系）
lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ,α 是无穷小.
定理4.3（无穷小等价代换定理）定理（无穷小等价代换定理）设自变量在同一变化趋势下，设自变量在同一变化趋势下， % α ( x) % % 若α ( x ) ～α ( x ) , β ( x ) ～β ( x )，lim 存在， % β ( x) % α ( x) α ( x) α ( x) 则 lim 也存在，且 lim ＝lim % β ( x) β ( x) β ( x)

轻松理解数学中的无穷大与无穷小

轻松理解数学中的无穷大与无穷小无穷大与无穷小是数学中的重要概念，它们在数学分析、微积分等领域中起着至关重要的作用。

本文将以轻松易懂的方式解释数学中的无穷大与无穷小，并探讨它们的性质与应用。

1. 无穷大的定义与性质在数学中，无穷大是指趋向于正无穷或负无穷的数。

我们用符号∞表示正无穷，用符号-∞表示负无穷。

无穷大具有以下性质：1) 任何有限数与无穷大相加、相乘或相除，结果仍为无穷大；2) 无穷大与无穷大相加、相乘或相除的结果无法确定，可以是无穷大、有限数或不存在。

例如，考虑数列{1, 2, 3, ...}，它的每一项都比前一项大1。

当n趋向于无穷大时，数列的项也趋向于无穷大。

这意味着数列{1, 2, 3, ...}中的每一项都可以被认为是无穷大。

2. 无穷小的定义与性质与无穷大相对应的是无穷小。

无穷小是指趋向于零的数，通常用符号ε表示。

无穷小具有以下性质：1) 任何有限数与无穷小相加、相乘或相除，结果仍为无穷小；2) 无穷小与无穷小相加、相乘或相除的结果无法确定，可以是无穷小、有限数或不存在。

举个例子，考虑数列{1/n}，其中n为正整数。

当n趋向于无穷大时，数列的每一项都趋向于零。

这意味着数列{1/n}中的每一项都可以被认为是无穷小。

3. 无穷大与无穷小的关系无穷大和无穷小是相对的概念。

当一个数趋向于无穷大时，它的倒数趋向于零。

换句话说，无穷大与无穷小是互为倒数。

这一性质在数学分析中有着重要的应用。

例如，考虑函数f(x) = 1/x，其中x为实数。

当x趋向于正无穷时，函数f(x)趋向于零；当x趋向于零时，函数f(x)趋向于正无穷。

这说明函数f(x)中的无穷大与无穷小是互为倒数的关系。

4. 无穷大与无穷小的应用无穷大与无穷小在微积分中有着广泛的应用。

它们常用于描述函数的极限行为、导数和积分等。

在求极限的过程中，我们经常需要使用无穷大与无穷小的概念。

例如，当我们计算函数在某一点的极限时，可以利用无穷小的性质来简化计算。