知识点7 无穷大与无穷小的概念与关系
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1-7无穷小与无穷大
1 x 1 M
即 lim
1 x 1
x 1
.
渐近线
注 1° 不可把无穷大与很大的固定的数混为一谈,
无穷大是变量，而再大的固定的数也是常量； 2°不能笼统地说某函数是无穷大，而应当说 函数是自变量趋向某个值时的无穷大； 3°切勿将
x x0
x x0
lim f ( x ) 认为极限存在.
-M
故 x U ( x0 ), 使 f ( x ) M
∴ f ( x )在某U ( x0 )内无界.
反例 (
f ( x) 1 x
):
sin 1 x
在 U 0)上无界 , （
但
x 0
lim f ( x ) .
(1) 证无界
xn 0, ( n )
N 1 Z ,当n N 1时，有 xn U (0)
lim
k
C 0 , 则称
是关于 的 k 阶无穷小.
例如 , 当 x 0 时
x o( 6 x 2 ) ;
3
sin x ～ x ;
tan x ～ x
arcsin x～x
又如 ，
x 0
lim
1 cos x x
2
2 x 2 sin 2 lim x 2 x 0 4( ) 2
2. 几何意义
x x0
lim f ( x ) ：
M 0, 0, 使得
当 0 x x0 时,
总有 f ( x) M .
总有f ( x ) M 或f ( x ) M
例5 证明 证 M > 0, 要使 故取
即 lim
1 x 1
x 1
.
渐近线
注 1° 不可把无穷大与很大的固定的数混为一谈,
无穷大是变量，而再大的固定的数也是常量； 2°不能笼统地说某函数是无穷大，而应当说 函数是自变量趋向某个值时的无穷大； 3°切勿将
x x0
x x0
lim f ( x ) 认为极限存在.
-M
故 x U ( x0 ), 使 f ( x ) M
∴ f ( x )在某U ( x0 )内无界.
反例 (
f ( x) 1 x
):
sin 1 x
在 U 0)上无界 , （
但
x 0
lim f ( x ) .
(1) 证无界
xn 0, ( n )
N 1 Z ,当n N 1时，有 xn U (0)
lim
k
C 0 , 则称
是关于 的 k 阶无穷小.
例如 , 当 x 0 时
x o( 6 x 2 ) ;
3
sin x ～ x ;
tan x ～ x
arcsin x～x
又如 ，
x 0
lim
1 cos x x
2
2 x 2 sin 2 lim x 2 x 0 4( ) 2
2. 几何意义
x x0
lim f ( x ) ：
M 0, 0, 使得
当 0 x x0 时,
总有 f ( x) M .
总有f ( x ) M 或f ( x ) M
例5 证明 证 M > 0, 要使 故取
无穷小无穷大
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f ( x) M ,
过 时 程 刻
f (x)是负无穷大
0 x x0
x x0
xx
从此时刻以后 0 x x0
0 x x0
x x0 0
f ( x)
f (x)
f ( x) M ,M 0 f (x)是无穷大
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若
若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
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证
设 lim f ( x ) .
x x0
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) ,
1 即 . f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
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反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
不是无穷大．
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例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 的一切 x , 有
1 只要取 , 则对满足 M
所以 说明: 若 为曲线 则直线 x x 0 的铅直渐近线 . 铅直渐近线
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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
无穷小与无穷大
3．函数极限与无穷小的关系
在自变量的某一变化过程中，函数 f (x)以 A为极限的充要 条件是 f (x) 可以表示为极限A与一个无穷小 的和，即
lim f (x) A f (x) A α
二 无穷大 1．无穷大的概念
定义2 在自变量的变化过程中，绝对值无限增大的变量X称为无穷 大量，简称无穷大，记作 lim X 。
lim arcsin 4x lim 4x 2 x0 ln(1 2x) x0 2x
（3）因为当 x 0 时，1 cos x ～ 1 x2，ex2 1～ x2 ，所以 2
1 cos x
lim
x0
ex2 1
lim x0
1 x2 2 x2
1 2
高等数学
x 1
1 时， x 1 为无穷小。
（2）因为 lim( 2x 1) ，所以当 x 时，2x 1 为无穷小。
x
（3）因为 lim 2x ，所以当 x 时，2x 为无穷小。 x
（4）因为lim x
1 4
x
，所以当
x
时，
1 4
x
为无穷小。
例5 【银行存款】假设某人在银行存入10 000元，银行的年利率 为 ，试分析存款时间越长，本利和如何变化？ 解
如果变量 X 取正值无限增大，则称变量 X为正无穷大，记作 lim X ；如果变量 X 取负值而绝对值无限增大，则称变量X为负 无穷大，记作 lim X 。
例4 讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大：
（1）
y
1 x 1
（2）y 2x 1（3）y 2x
（4）y
1 4
x
解
（1）因为 lim 1 ，所以当 x1 x 1
第四节无穷小与无穷大
f (2nπ ) = 2 nπ → ∞ (当 n → ∞ )
但 所以
f ( π + nπ ) = 0 2
y
y = x cos x
x → ∞ 时 , f ( x) 不是无穷大 !
o
x
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1 例 . 证明 lim =∞ x →1 x − 1 1 1 证: 任给正数 M , 要使 > M , 即 x −1 < , M x −1 1 只要取 δ = , 则对满足 0 < x − 1 < δ 的一切 x , 有 M 1 y 1 >M y= x −1 x −1 1 = ∞. 所以 lim o 1 x x →1 x − 1
x → x0
f ( x) = A + α , 其中α 为 x → x0
时的无穷小量 .
∀ε > 0 , ∃δ > 0 , 当 0 < x − x0 < δ 时,有 f ( x) − A < ε
α = f ( x) − A
x → x0
lim α = 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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( lim f ( x) = ∞ )
x →∞
若在定义中将 ①式改为 f ( x) > M ( f ( x) < − M ) , 则记作 lim f ( x) = +∞ ( lim f ( x) = − ∞)
x → x0 ( x →∞ ) x → x0 ( x →∞ )
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注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 f ( x) = x cos x , x ∈ (−∞ , + ∞ )
无穷小与无穷大
无穷小与无穷大无穷小和无穷大是数学中重要的概念，它们在极限运算和微积分中有着重要的作用。
本文将介绍无穷小和无穷大的定义、性质以及它们在数学和物理中的应用。
一、无穷小的定义与性质无穷小是指函数在某一点附近取值时，其值趋近于零的特殊情况。
具体说，对于函数f(x)，如果当x无限接近某一点a时，f(x)也无限接近于零，那么f(x)就是在点a处的无穷小。
常表示为lim x→a f(x) = 0。
1.1 阶与比较无穷小可以根据其趋近于零的速度分为不同的阶。
例如，当x无限接近零时，x^2相比于x，其趋近于零的速度更快，因此x^2是x的高阶无穷小。
同样，x^n（n>1）相比于x，其趋近于零的速度更快，因此x^n是x的高阶无穷小。
1.2 运算性质无穷小具有一些运算性质。
例如，两个无穷小的和仍然是无穷小，若f(x)为无穷小，g(x)为有界函数，则f(x)g(x)为无穷小。
此外，无穷小与有界函数的乘积也为无穷小。
1.3 等价无穷小在无穷小的研究中，等价无穷小也是一个重要的概念。
如果两个无穷小f(x)和g(x)满足li m x→a (f(x)/g(x)) = 1，那么称f(x)和g(x)是在点a处等价的无穷小。
等价无穷小具有相似的性质，在一些极限运算中可以互相替换。
二、无穷大的定义与性质无穷大是指函数在某一点附近取值时，其值趋近于正无穷或负无穷的情况。
具体说，对于函数f(x)，如果当x趋近于某一点a时，f(x)的值无限增大或无限减小，那么f(x)就是在点a处的无穷大。
2.1 正无穷和负无穷无穷大可以分为正无穷大和负无穷大。
当x趋近于某一点a时，若f(x)的值无限增大，则称f(x)为正无穷大。
若f(x)的值无限减小，则称f(x)为负无穷大。
2.2 无穷大的性质无穷大具有一些基本性质。
例如，正无穷大与负无穷大的和仍然是无穷大。
另外，无穷大与常数的乘积仍然是无穷大。
然而，无穷大的乘积与除法需要谨慎处理。
2.3 无穷大与极限在求解极限问题时，无穷大也扮演了重要的角色。
无穷小与无穷大
下页
例、求
1 1 1 lim + +L + 2 n →∞ n2 + 2 n2 + k n +1 1 1 k
因为
.
解
n +k
2
<
n +1
2
+L +
Q
又
lim
k n2 + k
lim
n →∞
n →∞
= lim
k n +1
2
k n
n +k
2
<
k n2 + 1
n →∞
k 1+ 2 n k
例8 求m si x . l i 3n xsnx i x =i lm 2 = . lm 3 i = lim 3 0 3 x→ x + 3 3 3 x 0 x + x x →0 x + 3 x → 3
结束
tan x − sin x x−x 0 例9、 lim = lim 3 = lim 3 = 0 3 x →0 x → 0 sin x x →0 sin x sin x
下页
关于等价无穷小的定理 •定理1
β 与α是等价无穷小的充分必要条件为 β =α+o(α).
•定理2
′ ′ β=lmβ β i i l i 设~ ′, β β′, 且m 存 , 则m αα ~ 在 l . ′ ′ α α α
定理2的意义: 求两个无穷小比值的极限时, 分子及分母都可用等 价无穷小来代替. 因此, 如果用来代替的无穷小选取得 适当, 则可使计算简化.
x x →0
lm f(x = (或i f(x = ). i ) ∞ lm ) ∞
例、求
1 1 1 lim + +L + 2 n →∞ n2 + 2 n2 + k n +1 1 1 k
因为
.
解
n +k
2
<
n +1
2
+L +
Q
又
lim
k n2 + k
lim
n →∞
n →∞
= lim
k n +1
2
k n
n +k
2
<
k n2 + 1
n →∞
k 1+ 2 n k
例8 求m si x . l i 3n xsnx i x =i lm 2 = . lm 3 i = lim 3 0 3 x→ x + 3 3 3 x 0 x + x x →0 x + 3 x → 3
结束
tan x − sin x x−x 0 例9、 lim = lim 3 = lim 3 = 0 3 x →0 x → 0 sin x x →0 sin x sin x
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关于等价无穷小的定理 •定理1
β 与α是等价无穷小的充分必要条件为 β =α+o(α).
•定理2
′ ′ β=lmβ β i i l i 设~ ′, β β′, 且m 存 , 则m αα ~ 在 l . ′ ′ α α α
定理2的意义: 求两个无穷小比值的极限时, 分子及分母都可用等 价无穷小来代替. 因此, 如果用来代替的无穷小选取得 适当, 则可使计算简化.
x x →0
lm f(x = (或i f(x = ). i ) ∞ lm ) ∞
无穷小与无穷大的关系PPT课件
一、无穷小
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 ( 或 x X ) 的一切x , 对应的函数 值
f ( x)都满足不等式 f ( x) ,
那末 称函数 f ( x)当 x x0(或x )时为无穷小,
恒有 f (x) 1 , 即 1 . f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
第12页/共20页
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0. x x0
M 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , M
由于 f ( x) 0, 从而 1 M . f (x)
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) lim ( A ( x)) A lim ( x) A.
x x0
x x0
x x0
第3页/共20页
意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);
（2）给出了函数 f ( x) 在 x0 附近的近似表达
式 f ( x) A, 误差为 ( x).
一、填空题:
练习题
1、凡无穷小量皆以________为极限.
2、在 __________条件下,直线 y c 是函数 y f ( x) 的水平渐近线 .
3、lim f ( x) A _______ f ( x) A , x x0 ( 其中 lim 0 ) . x x0
4、在同一过程中,若 f ( x) 是无穷大, 则 ______是无穷小 .
第14页/共20页
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 ( 或 x X ) 的一切x , 对应的函数 值
f ( x)都满足不等式 f ( x) ,
那末 称函数 f ( x)当 x x0(或x )时为无穷小,
恒有 f (x) 1 , 即 1 . f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
第12页/共20页
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0. x x0
M 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , M
由于 f ( x) 0, 从而 1 M . f (x)
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) lim ( A ( x)) A lim ( x) A.
x x0
x x0
x x0
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意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);
（2）给出了函数 f ( x) 在 x0 附近的近似表达
式 f ( x) A, 误差为 ( x).
一、填空题:
练习题
1、凡无穷小量皆以________为极限.
2、在 __________条件下,直线 y c 是函数 y f ( x) 的水平渐近线 .
3、lim f ( x) A _______ f ( x) A , x x0 ( 其中 lim 0 ) . x x0
4、在同一过程中,若 f ( x) 是无穷大, 则 ______是无穷小 .
第14页/共20页
无穷小与无穷大的关系
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) M ,
则称函数 f ( x ) 当 x x 0 ( 或 x ) 时为无穷大, 记作
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
又设是当x x0时的无穷小 ,
0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
第五节无穷小与无穷大
分析：M 0, x0 , yx0 M .
M 0, 取x0 M 1 , yx0 M 1 cosM 1 M 1 M
若函数 y x cos x当 x 时为无穷大，
由定义，对 M 0, X 0,当 x X时，均有 yx M .
但是，对M 0，X 0, 若取x0
yx0
故：
x1 x 2 1
(3)分子、分母极限都为零。（消除致零因子）
例5 求 lim x 2 x 2 x1 x 2 1
解
lim
x2
x
2
(x lim
1)( x
2)
lim
x
2
3
.
x1 x 2 1
x1 ( x 1)( x 1) x1 x 1 2
21
附：多项式除法
消去致零因子，即进行除式为（x - a) 的多项式除法
x
x
无穷小的倒数是无穷大
19
有理分式的极限：
有理分式: P x Q x
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
a0 , b0 0
1.当x
x
时有理分式的极限：
0
(1)分母的极限不为零:
例3
Px Qx
a0 xn b0 x m
X 0, 使得当x X时,恒有 f x 成立, 则称f x当
当x 是的无穷小量.记为:lim f x 0. x
1
同样可以定义:
当x x0 0, x x0 0, x , x 时的无穷小.
如: lim x3 27 0, x3 27当x 3时为无穷小.
x3
lim
x
1 x
M
所以，u是当 x x0时的无穷小。
高等数学：第四节 无穷大与无穷小
如果对于任意给定的正数m不论它多么小总存在正数或正数x使得对于适合不等式时为无穷大记作绝对值无限增大的变量称为无穷大
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 四、小结、思考题、作业
1
一、无穷小
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或正 数 X ), 使得 对 于 适合 不等 式
0 x x0 (或 x X )的一切 x ,对应的函数值
f ( x)都满足不等式 f ( x) ,
那末 称函数 f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷小,
记作 lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
3
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证 必要性 设 lim f (x) A, 令 ( x) f ( x) A, x x0
由 lim x x0
f (x)
A知，
0,
0,当0 |
5
当
x
N
时恒有
1
; 2
当
x
N
时恒有
2
; 2
取 N max{N1 , N2 }, 当 x N时, 恒有 ,
22
0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如, n 时, 1 是无穷小， n
但n个 1 之和为 1,不是无穷小. n
6
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
x x0
x
2
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 四、小结、思考题、作业
1
一、无穷小
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或正 数 X ), 使得 对 于 适合 不等 式
0 x x0 (或 x X )的一切 x ,对应的函数值
f ( x)都满足不等式 f ( x) ,
那末 称函数 f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷小,
记作 lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
3
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证 必要性 设 lim f (x) A, 令 ( x) f ( x) A, x x0
由 lim x x0
f (x)
A知，
0,
0,当0 |
5
当
x
N
时恒有
1
; 2
当
x
N
时恒有
2
; 2
取 N max{N1 , N2 }, 当 x N时, 恒有 ,
22
0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如, n 时, 1 是无穷小， n
但n个 1 之和为 1,不是无穷小. n
6
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
x x0
x
2
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
无穷大与无穷小
则∃M > 0, δ 1 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 1时 恒有 u ≤ M .
又设α是当x → x 0时的无穷小,
∴ ∀ε > 0, ∃δ 2 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 2时 ε . 恒有 α < M
取 δ = min{ δ 1 , δ 2 }, 则当 0 < x − x 0 < δ时, 恒有 ε u⋅α = u ⋅ α < M ⋅ = ε, M ∴ 当x → x 0时, u ⋅ α为无穷小 .
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小
1 是无穷小 例如,当x → 0时, x sin x
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大
某一去心邻域内有定义（ 定义 2 设函数 f (x)在 x0某一去心邻域内有定义（或 x 义） ．如果对于任意 大 于某一正数时有定 义 ） 如果对于任意 给定的正 数 ．
1 + 2x 二、根据定义证明 : 当 x → 0 时,函数 y = x 是无穷大 ,问 x 应满足什么条件 , 能使 y > 10 4 .
练习题答案
一、1、0； 2、 ⇔ ； 1 3、 3、 . f ( x)
1 二、 0 < x < 4 . 10 + 2
一、填空题: 填空题:
练 习 题
凡无穷小量皆以________为极限. ________为极限 1、 凡无穷小量皆以________为极限.
2、lim f ( x) = A _______ f ( x) = A + α ,
无穷小和无穷大
2.切勿将 lim f ( x) 认为极限存在. x x0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无界变量未必是无穷大.
例1 证明:当 x 0时,函数 y 1 sin 1 是一个无 xx
界变量, 但不是无穷大.
证
(1)
取
xn
1 2nπ
π
(n 0,1,2,3,)
2
则
y( xn )
1 sin 1 xn xn
例2 设 x 时, f ( x) 和 g( x) 都是无穷大量, 则当 x 时, 下列结论正确的是( ).
A. f ( x) g( x) 是无穷大量； B. g( x) 1; f (x)
C . f ( x) g( x) 0; f (x) g(x)
D. f ( x) g( x) 0.
1 cos x ~ 1 x2 , 2
n 1 x 1 ~ 1 x, n
a x 1 ~ x ln a (a 0, a 1).
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
例如, sin x x o( x), cos x 1 1 x2 o( x2 ). 2
无穷小与无穷大
一、无穷小与无穷大的定义 二、无穷小的性质 三、无穷小阶的比较 四、无穷大与无穷小的关系
一、无穷小与无穷大的定义
1. 无穷小(infinitesimal)的定义
定义1 如果函数 f ( x)当 x x0 ( 或 x )时 的极限为零, 那么称函数 f ( x) 为当 x x0 ( 或 x )时的无穷小. 特殊地,以零为极限的数列{ xn} 称为n 时 的无穷小.
x0
sin x x2
,
x2 sin 1
lim
x0
x x2
lim sin 1 x0 x
第四节 无穷小与无穷大
x ?
f ( x ) A ( x ),且 lim ( x ) 0
x ?
证明 以x x0为例证明 .
(1) 必要性
令 ( x ) f ( x ) A 则 f ( x ) A ( x )
lim f ( x ) A
x x0
0, 0, 使 得 当 0 x x0 时 就 有 f ( x) A
f ( x) A
即
x x0
lim f ( x ) A
意义 利用这一关系,可将一般极限问题转化为特殊 极限问题(无穷小);
Hale Waihona Puke 关 系 ,求 例1 利 用 函 数 极 限 与 无 穷 的 cos x lim x 0 1 sin x
解
2
cos2 x 1 sin2 x 1 sin x 1 sinx 1 sin x 又 lim sin x 0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但 是无界变量未必是无穷大. 反例:参见书上P42,第7题.
1 例2 证 明l i m . x 1 x 1
证 按 定义 要证 : M 0, 0, 使 得 当0 x x0 时
就有 1 M x 1
1 即 x 1 , M
即 ( x) lim ( x ) 0
x x0
(2) 充分性
f ( x) A ( x)
( x ) f ( x ) A
lim ( x ) 0
x x0
0, 0, 使 得 当 0 x x0 时 就 有 ( x )
实现的 ,所 以 只 需 要 求 与 x0充 分 近 的 x, 其 函 数
f ( x ) A ( x ),且 lim ( x ) 0
x ?
证明 以x x0为例证明 .
(1) 必要性
令 ( x ) f ( x ) A 则 f ( x ) A ( x )
lim f ( x ) A
x x0
0, 0, 使 得 当 0 x x0 时 就 有 f ( x) A
f ( x) A
即
x x0
lim f ( x ) A
意义 利用这一关系,可将一般极限问题转化为特殊 极限问题(无穷小);
Hale Waihona Puke 关 系 ,求 例1 利 用 函 数 极 限 与 无 穷 的 cos x lim x 0 1 sin x
解
2
cos2 x 1 sin2 x 1 sin x 1 sinx 1 sin x 又 lim sin x 0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但 是无界变量未必是无穷大. 反例:参见书上P42,第7题.
1 例2 证 明l i m . x 1 x 1
证 按 定义 要证 : M 0, 0, 使 得 当0 x x0 时
就有 1 M x 1
1 即 x 1 , M
即 ( x) lim ( x ) 0
x x0
(2) 充分性
f ( x) A ( x)
( x ) f ( x ) A
lim ( x ) 0
x x0
0, 0, 使 得 当 0 x x0 时 就 有 ( x )
实现的 ,所 以 只 需 要 求 与 x0充 分 近 的 x, 其 函 数
无穷小与无穷大的关系
推论1 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的乘 推论 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小
1 2 1 例如,当x → 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
一,填空题: 填空题:
练 习 题
凡无穷小量皆以________为极限. ________为极限 1, 凡无穷小量皆以________为极限.
2,在 __________ 条件下, 直线 y = c 是函数 y = f ( x ) 的水平渐近线 .
3,lim f ( x ) = A _______ f ( x ) = A + α ,
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四,小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1,主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 ,主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2,几点注意: ,几点注意
2,无穷小与函数极限的关系: ,无穷小与函数极限的关系
定理 1
x → x0
1 2 1 例如,当x → 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
一,填空题: 填空题:
练 习 题
凡无穷小量皆以________为极限. ________为极限 1, 凡无穷小量皆以________为极限.
2,在 __________ 条件下, 直线 y = c 是函数 y = f ( x ) 的水平渐近线 .
3,lim f ( x ) = A _______ f ( x ) = A + α ,
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四,小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1,主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 ,主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2,几点注意: ,几点注意
2,无穷小与函数极限的关系: ,无穷小与函数极限的关系
定理 1
x → x0
无穷小和无穷大
2.不要把无穷小和一种很小旳数相混同（0除外） 无穷小：（函数旳绝对值）无限变小
➢无穷小与函数极限旳关系
➢定理：函数f(x)在某过程中以A为极限旳充要条件是：
函数f(x)能够表达为A与该过程中旳无穷小之和.
即：lim f (x) A f (x) A
为同一过程中旳无穷小
一、无穷小
（一）无穷小旳概念 （二）无穷小旳性质 （三）无穷小旳比较
一、无穷小
（一）无穷小旳概念 （二）无穷小旳性质 （三）无穷小旳比较
➢性质1 同一过程中旳有限个无穷小之和 仍为该过程中旳无穷小.
➢性质2 某过程中旳有界函数与该过程中旳无穷小之积 仍为该过程中旳无穷小.
➢推论1 常量与某过程中旳无穷小之积 仍为该过程中旳无穷小.
➢推论2 同一过程中旳有限个无穷小之积 仍为该过程中旳无穷小.
➢推论3 某过程中旳无穷小旳正整多次乘幂 仍为该过程中旳无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小旳概念 （二）无穷小旳性质 （三）无穷小旳比较
一、无穷小
（一）无穷小旳概念 （二）无穷小旳性质 （三）无穷小旳比较
同一过程中旳两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中旳无穷小.
➢问题 同一过程中旳两个无穷小之商是否
二、无穷大
（一）无穷大旳概念 （二）无穷大旳性质 （三）无穷大旳比较
➢性质1 同一过程中旳有界函数与无穷大之和 仍为该过程中旳无穷大.
➢性质2 某过程中旳有限个无穷大旳乘积 仍为该过程中旳无穷大.
二、无穷大
（一）无穷大旳概念 （二）无穷大旳性质 （三）无穷大旳比较
二、无穷大
（一）无穷大旳概念 （二）无穷大旳性质 （三）无穷大旳比较
那么称函数f(x)为该过程中旳无穷小.
【微积分】无穷小与无穷大
函数与极限
16
一、填空题:
练习题
1、凡无穷小量皆以________为极限.
2、在 __________条件下,直线 y c 是函数 y f (x) 的水平渐近线.
3、lim f ( x) A _______ f ( x) A , x x0 ( 其中 lim 0 ) . x x0
4、在同一过程中,若 f ( x) 是无穷大, 则 ______是无穷小 .
二、根据定义证明: 当 x 0 时,函数 y 1 2x x
是无穷大,问 x 应满足什么函条数件与极,能限 使 y 104 . 17
三、证明函数 y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 , 但当 xx
x 0 时 ,这个函数不是无穷大.
函数与极限
18
练习题答案
一、1、0；
证 设及是当x 时的两个无穷小,
0, X1 0, X2 0, 使 得
当
x
X
时
1
恒
有
;
2
当
x
X
时
2
恒
有
;
2
取 X max{X1, X2}, 当 x X时,恒有
函,数与极限 0 ( x 3 ) 22
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如, n 时, 1 是无穷小， n
x
x0 x
定义 : 如果 lim x x0
f ( x) ,则直线x
x0是函数y
f (x)
的图形的铅直渐近线.
函数与极限
11
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证 设 lim f (x) . x x0 0, 0,使得当0 x x0 时
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解析：由 xk
1 2k
2
0 ，则 f ( xk ) (2k
2
) 2 （ k ），故当 x 0 时，
1 1 1 ) 0 0 （ k ），故当 x 0 时， sin 无界.又由 xk 0 ， f ( xk 2 x x k 1 1 f ( x) 2 sin 不是无穷大.故选（D）. x x 解：（D）. f ( x)
学科：高等数学
第一章 函数与极限
知识点7 无穷大与无穷小的概念与关系 精选习题 作者：邹群
例7.1(难度系数0.2) 给定 x 的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( ).
（A）
x2 x4 x 1
( x )
1 （B） 1 1 ( x ) x
x
（C） 1 2 x ( x 0 )
N max( N1 , N 2 ) ，当 n N 时, M | yn || xn yn | ，即 | yn |
M
，故 yn 必为无穷小..
解：（D）.
则下列结论正确的是( ). （A）若 xn 发散，则 yn 必发散. （B）若 xn 无界，则 yn 必无界.
1 为无穷小，则 yn 必为无穷小. xn
（C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小. （D）若
解析：用排除法易将（A）、（B）排除. 对于（C），例如取 xn 0 , 则只要 yn , 就有
x
x
解析：当 x 为有理数时，由 0 a 1 知， lim a x 0 ；当 x 为无理数时， lim 0 0 .故
当 x 时， f x 是无穷小，选（B）. 注意：（C）、（D）均不正确，因为当 x 时，包含x为有理数及无理数两种情况，在 两种情况下x的趋向不同，容易找到无理数及有理数的子列，在两个子列下的极限不同， 因此此时无极限，更不可能为无穷小.
解：（B）. 例7.6(难度系数0.4) 下列说法正确的是( ).
（A）无限个无穷小之和为无穷小
（B）无限个无穷小之积未必是无穷小
（C）无穷小与无界量的乘积必为无穷小 （D）无界量必为无穷大
解析：可举反例通过排除法判断.
1 1 1 1 例如 xn n 0 （ n ），则 lim xn lim i lim 2 0 ，即无限 n n n 1 2 2 n 1 i 1 2 1 2
n
lim xn yn 0 , 而 yn 不必是无穷小.通过排除法知（D）正确.
下面证明（D）正确, 若
1 为无穷小， xn
等价于 xn 为无穷大，即对于任意的 M 0 ，存在 N1 0 .当 n N1 时， | xn | M .又
n
lim xn yn 0 ，故对于任意的 0 ，存在 N 2 0 ，当 n N 2 时, | xn yn | .取
解析：通过求极限来判定即可，显然， lim
x2 x 2 1000
lim
x
x 2 1000 1 1000 lim 1 2 0 ，故 2 x x x x
( x ) 为无穷大量.
1 arcsin 2 ( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 arctan ， lim lim 0; lim cos 1 lim x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x x 0 x 2 x2 1 x .
a x , 例7.6(难度系数0.4) 设函数 f x 0 ,
（A）当 x 时， f x 是无穷大 （C）当 x 时， f x 是无穷大
x是有理数 x是无理数
（ 0 a 1 ），则(
).
（B）当 x 时， f x 是无穷小 （D）当 x 时， f x 是无穷小
x 0
lim arctan
1 1 ，则 lim arctan 不存在.故选（B）. x 0 x 2 x 解：（B）. 1 1 sin 是（ ）. 2 x x
例7.5(难度系数0.4) 当 x 0 时， f ( x)
（A）无穷小量 （B）无穷大量 （C）有界量，但非无穷小量 （D）无界，但非无穷大量
所以选（B）. 注意：书中的结论是：有限个无穷小之积是无穷小.我们很容易想当然认为无限个无 穷小的积是无穷小，实际上并非如此，反例不好找，因此此题一般要靠排除法来做.
解：（B）. 例7.7(难度系数0.6) (1998年高数二真题) 设数列 xn 与 yn 满足 lim xn yn 0 ,
n
n
个无穷小之和不一定是无穷小，排除（A）. 例如 x 0 时， x 为无穷小， 乘积不一定为无穷小，排除（C）. 例如 f ( x)
1 1 为无界量，则 lim x 1 0 ，即无穷小与无界量的 x 0 x x
1 1 sin 在 x 0 时为无界量，但它不是无穷大，排除（D）. x x
（D）
x (x0) sin x
解析：通过求极限来判定即可，显然， lim
lim(1 2 x ) 0 ， lim
x 0
x 0
x
1 1 ， lim 1 1 e 1 ， 4 x x x x 1
x2
x
x 1 ，故选（C）. sin x
x 2
0，
解：（C）. 例7.3(难度系数0.2) 下列变量在给定的变化过程中是无穷小量的是( ).
（A）
x2 x 2 1000
( x )
（B）
arcsin 2 ( x 1) ( x 1) x2 1
1 （C） cos x x
1 （D） arctan ( x 0) x
解：（C）.
例7.2(难度系数0.2)
（A） x 0
x 使函数 y
2
1 x 2 2 x3 1
为无穷小量的 x 的变化趋势是( ).
（B） x 1
（C） x 2
（D） x
解析：在选项中的变化趋势下依次求极限判定即可，显然 lim
故选（C）.
x
2
1 x 2 2 x3 1