知识点7 无穷大与无穷小的概念与关系

x 0
lim arctan
1 1 ，则 lim arctan 不存在.故选（B）. x 0 x 2 x 解：（B）. 1 1 sin 是（ ）. 2 x x
例7.5(难度系数0.4) 当 x 0 时， f ( x)
（A）无穷小量 （B）无穷大量 （C）有界量，但非无穷小量 （D）无界，但非无穷大量
x 2
0，
Байду номын сангаас
解：（C）. 例7.3(难度系数0.2) 下列变量在给定的变化过程中是无穷小量的是( ).
（A）
x2 x 2 1000
( x )
（B）
arcsin 2 ( x 1) ( x 1) x2 1
1 （C） cos x x
1 （D） arctan ( x 0) x
则下列结论正确的是( ). （A）若 xn 发散，则 yn 必发散. （B）若 xn 无界，则 yn 必无界.
1 为无穷小，则 yn 必为无穷小. xn
（C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小. （D）若
解析：用排除法易将（A）、（B）排除. 对于（C），例如取 xn 0 , 则只要 yn , 就有
解：（B）. 例7.6(难度系数0.4) 下列说法正确的是( ).
（A）无限个无穷小之和为无穷小
（B）无限个无穷小之积未必是无穷小
（C）无穷小与无界量的乘积必为无穷小 （D）无界量必为无穷大
解析：可举反例通过排除法判断.
1 1 1 1 例如 xn n 0 （ n ），则 lim xn lim i lim 2 0 ，即无限 n n n 1 2 2 n 1 i 1 2 1 2
解：（C）.
例7.2(难度系数0.2)
（A） x 0
x 使函数 y
2
1 x 2 2 x3 1
为无穷小量的 x 的变化趋势是( ).
（B） x 1
（C） x 2
（D） x
解析：在选项中的变化趋势下依次求极限判定即可，显然 lim
故选（C）.
x
2
1 x 2 2 x3 1
N max( N1 , N 2 ) ，当 n N 时, M | yn || xn yn | ，即 | yn |

M
，故 yn 必为无穷小..
解：（D）.
学科：高等数学
第一章 函数与极限
知识点7 无穷大与无穷小的概念与关系 精选习题 作者：邹群
例7.1(难度系数0.2) 给定 x 的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( ).
（A）
x2 x4 x 1
( x )
1 （B） 1 1 ( x ) x
x
（C） 1 2 x ( x 0 )
解析：通过求极限来判定即可，显然， lim
x2 x 2 1000
lim
x
x 2 1000 1 1000 lim 1 2 0 ，故 2 x x x x
( x ) 为无穷大量.
1 arcsin 2 ( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 arctan ， lim lim 0; lim cos 1 lim x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x x 0 x 2 x2 1 x .
所以选（B）. 注意：书中的结论是：有限个无穷小之积是无穷小.我们很容易想当然认为无限个无 穷小的积是无穷小，实际上并非如此，反例不好找，因此此题一般要靠排除法来做.
解：（B）. 例7.7(难度系数0.6) (1998年高数二真题) 设数列 xn 与 yn 满足 lim xn yn 0 ,
n
n
lim xn yn 0 , 而 yn 不必是无穷小.通过排除法知（D）正确.
下面证明（D）正确, 若
1 为无穷小， xn
等价于 xn 为无穷大，即对于任意的 M 0 ，存在 N1 0 .当 n N1 时， | xn | M .又
n
lim xn yn 0 ，故对于任意的 0 ，存在 N 2 0 ，当 n N 2 时, | xn yn | .取
n
个无穷小之和不一定是无穷小，排除（A）. 例如 x 0 时， x 为无穷小， 乘积不一定为无穷小，排除（C）. 例如 f ( x)
1 1 为无界量，则 lim x 1 0 ，即无穷小与无界量的 x 0 x x
1 1 sin 在 x 0 时为无界量，但它不是无穷大，排除（D）. x x
解析：由 xk
1 2k

2
0 ，则 f ( xk ) (2k

2
) 2 （ k ），故当 x 0 时，
1 1 1 ) 0 0 （ k ），故当 x 0 时， sin 无界.又由 xk 0 ， f ( xk 2 x x k 1 1 f ( x) 2 sin 不是无穷大.故选（D）. x x 解：（D）. f ( x)
a x , 例7.6(难度系数0.4) 设函数 f x 0 ,
（A）当 x 时， f x 是无穷大 （C）当 x 时， f x 是无穷大
x是有理数 x是无理数
（ 0 a 1 ），则(
).
（B）当 x 时， f x 是无穷小 （D）当 x 时， f x 是无穷小
x
x
解析：当 x 为有理数时，由 0 a 1 知， lim a x 0 ；当 x 为无理数时， lim 0 0 .故
当 x 时， f x 是无穷小，选（B）. 注意：（C）、（D）均不正确，因为当 x 时，包含x为有理数及无理数两种情况，在 两种情况下x的趋向不同，容易找到无理数及有理数的子列，在两个子列下的极限不同， 因此此时无极限，更不可能为无穷小.
（D）
x (x0) sin x
解析：通过求极限来判定即可，显然， lim
lim(1 2 x ) 0 ， lim
x 0
x 0
x
1 1 ， lim 1 1 e 1 ， 4 x x x x 1
x2
x
x 1 ，故选（C）. sin x