18.1 勾股定理(2)
八年级数学下册《18.1勾股定理》学案（2）
勾股定理学习目标能运用勾股定明白得决简单的实际问题．新知引导1. 直角三角形性质有：如图，直角△ABC 的要紧性质是：∠C ＝90°，(用几何语言表示)⑴两锐角之间的关系： ；⑵假设∠B ＝30°，那么∠B 的对边和斜边别离为： ； ⑶直角三角形斜边上的 等于斜边的 。
⑷三边之间的关系： 。
⑸已知在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，那么c ＝ 。
(已知a 、b ，求c ) a ＝ 。
(已知b 、c ，求a ) b ＝ 。
(已知a 、c ，求b ).2. ⑴在Rt △ABC ，∠C ＝90°，a ＝3，b ＝4，那么c ＝ 。
⑵在Rt △ABC ，∠C ＝90°，a ＝6，c ＝8，那么b ＝ 。
⑶在Rt △ABC ，∠C ＝90°，b ＝12，c ＝13，那么a ＝ 。
新知运用例1一个门框高2m ，宽1m ．①假设有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问如何从门框通过？ ②假设薄木板长3米，宽1.5米呢？③假设薄木板长3米，宽2.2米呢？(注意解题格式)例2长3米的梯子AB ，斜着靠在竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5米．①求梯子的底端B 距墙角O 多少米？ACBca A B②若是梯的顶端A 沿墙下滑0.5米至C ，请同窗们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？ ③算一算，底端滑动距离的近似值④你还能对例题提供的问题情景进行变式训练吗？ (结果均保留两位小数)．例3某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3m ，消防队员取来6．5 m 长的云梯，若是梯子的底部离墙基的水平距离是2．5m ，请问消防队员可否进入三楼灭火? 新知检测1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
的坡面距离是43米，那么这两株树之间的垂直距2. 如图，山坡上两株树木之间离是米，水平距离是米。
沪科版数学八年级下册 18
能是 ( D )
A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm
D. 18 cm
3. 已知点 (2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为_1_0__.
4. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米， 两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵 的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
B
y
解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，
过点 B 作 x，y 轴的垂线，相交于A
5 4
点 C，连接 AB.
3
则 AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4. C
2B
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
1
AB AC2 BC2 5.
-3 -2 -1-1 O 1 2 3 x
∴ A，B 两点间的距离为 5.
例3 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在 离地面 6 米处折断，树的顶部落在离树根底部 8 米处. 你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一个 直角三角形模型，如图. 在 Rt△ABC 中， AC = 6 米，BC = 8 米， 由勾股定理得
AB AC 2 BC 2 62 82
12
侧面展开图 12
A解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股A 定理得
AB AA′2 BA′2 122 3 32 15(cm).
归纳 立体图形中求表面上两点间的最短距离，一般把 立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短” 确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.
例5 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子， 正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)?
《勾股定理》同步作业及答案
《勾股定理》同步作业及参考答案§18.1 勾股定理（一）1.在Rt △ABC ，∠C=90°：⑴已知a=b=5,求c ； ⑵已知a=1,c=2, 求b ；⑶已知c=17,b=8, 求a ； ⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a ； ⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c .2. 已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm ：⑴求等边△ABC 的高；⑵求S △ABC .3．填空题:⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= ； ⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= ；⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= ； ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ； ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 ； 4．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长.5．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积.中考链接1.（2005 扬州）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．2.（2006，娄底）如图，滑杆在机械槽内运动，ACB ∠为直角，已知滑杆AB 长2.5米，顶端A 在AC 上运动，量得滑杆下端B 距C 点的距离为1.5米，当端点B 向右移动0.5米时，求滑杆顶端A 下滑多少米？ DBAAEC§18.1 勾股定理（二）1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米.A2.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长. ArrayB3.（2009年，北京市）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、n ,且n为BC边的中点，则A′N= ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（2整数），则A′N=（用含有n的式子表示）.4．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是多少？5.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为.BC6．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米.Q7．有一个边长为1米的正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米. 8．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米.中考链接棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（）Ａ．一定不会Ｂ．可能会Ｃ．一定会Ｄ．以上答案都不对§18.1 勾股定理（三）1. 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长.2. 已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠A =45°，∠B =60°，根据题设可知什么？3. 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2，求四边形ABCD 的面积.4．(2010年，北京市燕山)已知等边△ABC 的边长为a ，则它的面积是（ ）.A ．21a 2 B ．23a 2 C ．42a 2 D ．43a 25．如图，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，点D 落在BC 边上的点D ′.若AB=8,AD=10,求CE 的长.6．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22， 求（1）AB 的长；（2）S △ABC .C中考链接1.(2006，河北课改)如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从→→所走的路程为m．（结果保留根号）A B C2.（2010年，北京市门头沟区）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形的面积S n＝________（n为正整数）.§18.1 勾股定理（四）1． △ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S △ABC = .2．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求S △ABC .3．如图所示在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线OM 与反比例函数的图象相交于点M ，已知OM①求点M 的坐标；②求此反比例函数的解析式.4．如图，甲、乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时速度向南偏东50°航行，乙船向北偏东40°航行，3小时后，甲船到达B 岛，乙船到达C 岛.若C 、B 两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？5．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域. （1）A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？C中考链接（2010年，北京市大兴区）如图，ABC 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(33)，、(64)46，、（，），则B C 边上的高为 ．1．在Rt △ABC 中，若AC BC AB ＝4，则下列结论中正确的是（ ）．A ．∠C ＝90°B ．∠B ＝90°C ．△ABC 是锐角三角形D ．△ABC 是钝角三角形2．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( )． A. 仍是直角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 是锐角三角形 D. 是钝角三角形3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．a=8，b=15，c=17B ．a=9，b=12，c=15C ．a=5，b=3，c=2D ．a ：b ：c=2：3：44．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴ a=3，b=22，c=5； ⑵ a=5，b=7，c=9； ⑶ a=2，b=3，c=7； ⑷ a=5，b=62，c=1 .5．一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状.6．如图所示，在△ABD 中，∠A 是直角，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝12，DC ＝13，△DBC 是直角三角形吗？为什么？中考链接(2006，荆门大纲)园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知3AB =米，4BC =米，12CD =米，13DA =米，且AB BC ⊥，求这块草坪的面积.1．在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是 三角形， 是直角； 2．△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列命题中的假命题是（ ）A ．如果∠C －∠B=∠A ，则△ABC 是直角三角形；B ．如果c 2= b 2—a 2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°； C ．如果（c ＋a ）（c －a ）=b 2，则△ABC 是直角三角形；D ．如果∠A ：∠B ：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形. 3. 根据三角形的三边a ，b ，c 的长，判断三角形是不是直角三角形： （1）a ＝11，b ＝60，c ＝61 （2）a ＝32，b ＝1，c ＝45 4．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A 、B 、C 三点能否构成直角三角形？为什么？CD5．如图，四边形ABCD 中,AD=4,CD=3,AB=13,BC=12, ∠ADC=90°,求四边形ABCD 的面积.6.在△ABC 中，AB=13,BC=10,BC 边上的中线AD=12,求AC 的长.C中考链接（2005年，呼和浩特课改）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF GH ，，，四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）.Ａ．CD EF GH ，， Ｂ．A BE F G H ，， Ｃ．AB CD GH ，， Ｄ．A BC D E F ，，1．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵51,41,31； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41；⑸（m ＋n ）2－1，2（m ＋n ），（m ＋n ）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ）.A ．2个B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个2．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；⑶a=2，b=32，c=4； ⑷a=5k ，b=12k ，c=13k （k ＞0）. 3．已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC 的形状.4．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，求△ABC 的面积.5．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？N中考链接某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？参考答案及解析§18.1 勾股定理（一）1.（1）25； （2）3； （3）15； （4）5； （5）a=53， c=103.2. （1）33； （2）S △ABC =93.3．⑴17； ⑵7； ⑶a=6，b=8； ⑷6，8,10； ⑸4或34.4．8.5．48.中考链接1. 4．2.由勾股定理求得AC =2米，DC =2米，CE=1.5米，所以滑杆顶端A 下滑的长AE=0.5米.§18.1 勾股定理（二）1．2502米.2. 334.3.2，n （2n ≥，且n 为整数）.4．18米.5. 503米.6．20厘米.7．22米.8．23米，6米.中考链接Ａ．§18.1 勾股定理（三）1. 4.2. 根据题设可求得BC=634，AB=63222+.提示：作CD ⊥AB 于D.3. 63.提示：延长AD 、BC 交于点E ，则S 四边形ABCD =S △ABE - S △CDE .4． D .5．3.6．（1）AB=4； （2）S △ABC =2+23.中考链接 1.52 .2. 22-n .§18.1 勾股定理（四）1．AC=2，CD=3，BD=3，AD=1，S △ABC =23.2． S △ABC =204.提示：作BD ⊥AC 于D.设AD=x ，由勾股定理得方程：2222)17(2526x x --=-，解得x =10. 3．①点M 的坐标为（2，2）； ②反比例函数的解析式为xy 4=. 4．12海里/时.5．（1）A 城会受到这次台风的影响.作AM ⊥BF 于M ，则AM=160km<200km .（2）以A 为圆心、以200km 为半径画圆，分别交BF 于C 、D 两点，求得MC=MD=120km ，即CD=240 km , A 城遭受这次台风影响的时间为240÷40=6小时.中考链接S △ABC =5，BC=22,则B C 边上的高为225.§18.2 勾股定理的逆定理（一）1．A ．2．A.3．D ．4．⑴是直角三角形,∠B 是直角； ⑵不是直角三角形；⑶是直角三角形,∠C 是直角； ⑷是直角三角形,∠A 是直角.5．设短边长x 米，则另外两边分别长7+x 、8+x 米，x +7+x +8+x =30，x =5，三边长分别为5、12、13，这个三角形是直角三角形.6．在R t △ABD 中，由勾股定理得BD=5；在△CBD 中，由勾股定理的逆定理得∠CBD=90º，△DBC 是直角三角形吗.中考链接连结AC .在R t △ABC 中，由勾股定理得AC=5；在△ACD 中，由勾股定理的逆定理得∠ACD=90º，则S=6,S△ACD=30, S四边形ABCD=36米2.△ABC§18.2 勾股定理的逆定理（二）1．直角，∠B.2．B．3.（1）是，（2）不是.4．BC=25，AC=5，AB=5，由勾股定理的逆定理得∠ACB=90º,即A、B、C三点能构成直角三角形.5. 连结AC.在R t△ADC中，由勾股定理得AC=5；在△ACB中，由勾股定理的逆定理得∠ACB=90º，则S△ADC=6,S△ACB=30, S四边形ABCD=24米.6. AC=13.中考链接Ｂ．§18.2 勾股定理的逆定理（三）1．B．分别是⑴、⑷、⑸.2．⑴是直角三角形，∠B是直角；⑵不是直角三角形；⑶是直角三角形，∠C是直角；⑷是直角三角形，∠C是直角.3．由a+b=4，ab=1，得a2+b2=（a+b）2-2ab=14= c2，所以∠C=90º,即△ABC是直角三角形.4．由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得（a-3）2+（b-4）2+( c-5）2=0，则a=3，b=4，c=5，由勾股定理的逆定理得∠ACB=90º，则S△ABC=6.5．AC=12, BC=5, AB=13,∠ACB=90º，又∠ABC=50º，则∠CAB=40º，甲巡逻艇的航向为北偏东50°.中考链接“海天”号沿西北（或北偏西45º）方向.。
八年级数学勾股定理2
伽菲尔德答到：“是５呀。”小男孩又问道： “如果两条直角边分别为５和７，那么这个直 角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲尔德不 假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于5 的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生， 你能说出其中的道理吗？……”
伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很 不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题。伽菲尔德经 过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道 理，并给出了简洁的证明方法．
A的面积+ B的面积= C的面积
对于等腰直角三角形有这样的性质： 两直边的平方和等于斜边的平方
对于任意直角三角形都有这样的性质吗？
看下图
探究二：如图，每个小方格的面积为1个单位， 你能写出正方形A、Ｂ、Ｃ的面积吗？
B
A 图2 A的面 积(单位 长度) B的面 积(单位 长度) C的面 积(单位 长度)
赵爽弦图
“赵爽弦图”表现了我国古代人 对数学的钻研精神和聪明才智，它是 我国数学的骄傲。
正因为此，这个图案被选为2002 年在北京召开的国际数学家大会会徽。
勾股定理的证实（二）
在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊 外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他 就是当时美国共和党议员伽菲尔德. 他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上, 有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么。 伽菲尔德循声向两个小孩走去, 只见一个小 男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三 角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？只 见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如 果直角三角形的两条直角边分别是３和4，那么 斜边长为多少呢？”
第十八章 勾股定理
18.1勾股定理(1)
a b c a2+b2=c2
181勾股定理第二课时1
B C
3.如图，已知一根长8 m的竹竿在离地3 m处断裂，竹竿顶部
低着地面。此时，顶部距离底部有____m。
4．小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量了电视机屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
学科：数学班级：八年级执教教师：备课组日期：2013年月
《解疑导学简案》表
课题
18.1勾股定（第2课时）
知识点(知识与技能教学目标)
1
1．会用勾股定理解决简单的实际问题。
2．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。
3．培养转化意识，发展数学理念，体会勾股定理的实际应用价值。
疑惑点
教师导学示疑
一．知识回顾：A
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。b股c弦
CBa勾
2.勾股定理的作用是：在直角三角形中，已经知道任意两边求第三边的长。由公式 变形得 ＝_______; ＝_______; ＝_______. 3.探究1中是否能把薄木板能否从门框内通过的问题转化为求长方形的对角线的长？
学生提疑
测
试
点
1．课本68页练习1 ﹑2题.
2．已知：（1）Rt△ABC中，∠C=90º, ＝10 ， ＝6.求
18.1勾股定理【2】-基本计算
基础练习： 基础练习：
2、在Rt∆ABC中，∠C=90 ，AB=2.5，BC=1.5，
0
求AC的长。 3、在Rt∆ABC中，∠C=90 ，AC=24，BC=7，
0
求AB的长。
基础练习： 基础练习：
4、在Rt∆ABC中，∠C=90 ，若a:b=3:4，c=50，
0
求a、b的长。
解：设a = 3 x, b = 4 x 0 在Rt∆ABC中，∠C=90 ，
2 2
( 2 ) 斜边和一条直角边长分别为7 2 = 527
所以第三边长为25或 527
6、在Rt∆ABC中，∠C=90 ，∠A = 45 ，AC= 2，
0 0
求AB和BC的长。
A
解：在Rt∆ABC中， Q ∠C=90 ，∠A = 45 ，
0 0
∴∠A=∠B=45
C B
2
0
∴ BC =AC = 2
2
∴ AB= AC + BC =
( 2) +( 2)
2
2
= 4=2
7、在Rt∆ABC中，∠C=90 ，∠A = 30 ，BC=1，
0 0
求AB和AC的长。
A
解：在Rt∆ABC中， Q ∠C=90 ，∠A = 30 ，
0 0
∴ AB = 2 BC = 2
C B
∴ AC = AB − BC
∴ ( 3x ) + ( 4 x ) = 50
2 2
∴a + b = c
2 2
2
2
∴ x = 10, ∴ a = 30, b = 40
5、在直角三角形中，有两条边分别为 24和7， 求第三边长。 解：分两种情况讨论： (1) 两条直角边长为 24和7
18.1 勾股定理(二)
一、课时学习目标1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
重点、难点 1．重点：勾股定理的简单计算。
2．难点：勾股定理的灵活运用。
二、课前预习导学1．使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。
并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。
2．让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
3．勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。
三、课堂研讨学习复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。
学习勾股定理重在应用。
例1（补充）在Rt △ABC ，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c 。
⑵已知a=1,c=2, 求b 。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。
体会由角转化为边的关系的转化思想。
例2．一株荷叶高出水面1m ，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有3m 远，求荷叶的高度和水面的深度。
例3（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
例4（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。
⑴求等边△ABC 的高。
⑵求S △ABC 。
三、课堂练习1．填空题⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。
⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。
十八章勾股定理全章教案
第十八章勾股定理18.1 勾股定理课时安排: 4课时第1课时 18.1 .1 勾股定理(1)三维目标一、知识与技能让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．二、过程与方法1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．三、情感态度与价值观1．培养学生积极参与、合作交流的意识，2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．教学重点探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。
从而发现勾股定理．教学难点以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．教具准备学生准备若干张方格纸。
教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗?问题2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火?问题3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么童义?为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽?二．实际操作，探索直角三角形的三边关系活动2问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么?是否也和大哲学家有同样的发现呢?问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗?问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗?观察下图，并回答问题：(1)观察图1正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________个单位面积；正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________个单位面积；正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________个单位面积．(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格?它们的面积各是多少?你是如何得到上述结果的?与同伴交流．(3)?活动3问题1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗?如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论．(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．)问题2：给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗?我们通过对A、B、C，A'、B'、C'几个正方形面积关系的分析可知：一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方，一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论?我们不妨设小方格的边长为0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0,5，1.2的直角三角形来进行验证．生：也有上述结论．这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．勾股定理到底是谁最先发现的呢?我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．三、例题剖析活动4问题：(1)如下图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?(2)求斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积．解：(1)解：由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：92＋122＝15(m)；15＋9＝24(m)，所以旗杆折断之前高为24m．(2)解：另一直角边的长为172－152＝8(cm)，所以此直角三角形的面积为12×8×15＝60(cm2)．师：你能用直角三角形的三边关系解答活动1中的问题2．请同学们在小组内讨论完成．四、课时小结1．掌握勾股定理及其应用；2．会构造直角三角形，利用勾股定理解简单应用题．五.布置作业六．板书设计18．1．1勾股定理（1）第2课时勾股定理（2）三维目标一、知识与技能1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．2．运用勾股定理解决一些实际问题．二、过程与方法1．经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力．2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．三、情感态度与价值观1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育．2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．教学重点经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．教学难点经历用不同的拼图方法证明勾股定理．教具准备每个学生准备一张硬纸板．教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式(a＋b(a－b)＝a2－b2，完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导．如下：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2；所以(a±b)2＝a2±2ab＋b2；生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立．例如：图(1)中，阴影部分的面积为a2－b2，用剪刀将(1)中的长和宽分别为(a－b)和b的长方形剪下来拼接成图(2)的形式便可得图(2)中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)．而这两部分面积是相等的，因此(a＋b)(a－b)＝a2－b2成立．生：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图(3)我们用两个边长分别a和b的正方形，两个长和宽分别a和b的长方形拼成一个边长为(a＋b)的正方形，因此这个正方形的面积为(a＋b)2，也可以表示为a2＋2ab＋b2，所以可得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．师：你能用类似的方法证明上一节猜想出的命题吗?二、探索研究活动2我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：(1)在一张纸上画4个与图(4)全等的直角三角形，并把它们剪下来．(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗?(3)有人利用图(4)这4个直角三角形拼出了图(5)，你能用两种方法表示大正方形的面积吗?大正方形的面积可以表示为：_______________，又可以表示为________________．对比两种衷示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗?生：我也拼出了图(5)，而且图(5)用两种方法表示大正方形的面积分别为(a＋b)2或4× ab＋c2．由此可得(a＋b)2＝4×12 ab＋c2．化简得a2＋b2＝c2．由于图(4)的直角三角形是任意的，因此a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
18.1勾股定理(2)
二、自学提纲
自学课本第52～53页，解决以下问题：
例1、现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如 图已知云梯最多只能伸长到10m，消防车高3m。救人时云梯伸至最 长，在完成从9m高处救人后，还要从12m高处救人，这时消防车要 从原来处再向着火的楼房靠近多少米？
D B
（1）两次救人时，梯子长度为 10 是图中线段 AB，CD 的长。
合作探究
例2、已知：如图，在Rt△ABC中，两直角边 AC=5，BC=12.求斜边上的高CD的长。
解：在Rt△ABC中，
AB2=AC2+BC2=52+122=169，
A
AB 169 13
又∵Rt△ABC的面积 1 1 S ABC AC BC AB CD, 2 2 B AC BC 5 12 60 CD . AB 13 13
A O E
D B
C
在Rt△CDO中，由勾股定理得 得OC 19 OC2=CD2-OD2=102-92=19，
AC OA OC 8 19
所以消防车要从原处再向着火的楼房靠近 8- 19 米。
变式练习：
一个长6米的梯子，斜靠在一面墙上，梯 子的底端离墙角2米． (1)求梯子的顶端距地面多高? (2)如果梯子的底端在水平方向上向外滑动1米， 那么梯子的顶端沿墙向下滑动多少米?
18.1勾股定理（2）
复习：勾股定理的内容是什么？
勾股定理：直角三角形两条直角边 的平方和等于斜边的平方
A
c
弦
B
如图在Rt△ABC中∠C=90°，
b
勾a ┏
C
股
那么a2+b2=c2
一、学习目标
沪科版数学八年级下册1勾股定理课件(2)
a2
c2 c
b
b2
ab
a
b
a2 + b2 = c2
练一练
19.1 勾股定理
——————————————
1.判断正误： 在△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，
（1）若a=3, b=4, 则c=5
（ ）×
（2）若∠B=900，a=3, b=4, 则c=5 （ ）
×
练一练
19.1 勾股定理
A
10
D
8 10 B6
8-x E 8-x x F4 C
学以致用
19.1 勾股定理
——————————————
1、已知， Rt△ABC 中，a，b为的两条 直角边，c为斜边，求：
⑴已知： a＝3， b＝4，求c
⑵已知： c ＝10，a＝6，求b
2、已知： c ＝13，a＝5，
c
求阴影部分的面积。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ab
——————————————
谢谢
F
A
D
C
B
E
例题分析
19.1 勾股定理
——————————————
已知:△ABC，AB＝AC＝17，BC＝16.
(1)求高AD的长;
(2)求S△ABC .
A
17 ?
B8 D C
拓展延伸
19.1 勾股定理
A ——————————————
1、已知：△ABC，AB＝AC＝17，
BC＝16，则高AD＝＿，S△ABC＝
赵爽证法
19.1 勾股定理
——————————————
大正方形的面积可以表示为 c2 ； 整体角度
也可以表示为 4• ab +(b- a)2 局部角度
柳林县五中八年级数学下册第18章勾股定理18.1勾股定理第2课时勾股定理的应用课件新版沪科版3
这是我们刚上课时提出的问题 , 现在你会算了吗？
解 : 设水深为h尺. 由题意得 : AC=3,BC=6,OC=h,
O B 2 O C 2 B C 2 ,即 ( h 3 ) 2 h 2 6 2 ,
由勾股定理得 :
解 得 h9. 水 深 9尺 .
2
2
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结束语
八年级数学下册第18章勾股定理18.1勾股定理第 2课时勾股定理的应用课件新版沪科版3
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5． AC= 1 6 9 ≈2.24．
因为AC大于木板的宽2.2 m，所 以木板能从门框内通过．
例2 已知 : 如下图 , 在Rt△ABC中 , 两条 直角边AC=5 , BC=12. 求斜边上的高CD的长.
AD
C
B
解 在Rt△ABC中，
2. 如下图 , 一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖 直的墙AO上 , 这时AO 为2.4米． 〔1〕求梯子的底端B距墙角O多少米？ 〔2〕如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 米 , 那么梯子底端B也外移0.5米吗？
A C
O BD
解 : 在Rt△AOB中 , 根据勾股定理 , OB2=AB2 – OA2=2.62 – 2.42=1. OB=1. 在Rt△COD中 , 根据勾股定理 , OD2=CD2–OC2=2.62–(2.4 – 0.5)2=3.15.
AB2=AC2+BC2
AD
=52+122=169，
AB=
=13.
C
B
又∵Rt△ABC的面积
1
1
S△ABC= 2
AC·BC= 2
AB·CD，
《勾股定理第2课时》教学方案
第十八章勾股定理18.1 勾股定理第2课时一、教学目标1.会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题；2.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生的应用意识和分析能力；3.经历探索勾股定理在实际问题中的应用过程，进一步体会勾股定理的灵活应用；4.体会数学与实际生活的紧密联系，并在学习过程中感受成功的喜悦，提高学习数学的兴趣.二、教学重难点重点：会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题.难点：勾股定理的灵活应用.三、教学用具电脑、多媒体、课件四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：教师引导学生回顾勾股定理的内容，并通过简单的练习巩固如何利用勾股定理求直角三角形的边长，接着通过小情境引入本节课要讲解的内容.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c².设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.(1) 已知a=5，b=12，则c=；(2) 已知a=6，c=10，求b=.答案：(1) 13；(2) 8.【情境引入】我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？提问：你能用已学的知识解决上面的问题吗？【合作探究】教师活动：教师引导学生译出上一页出示的问题，然后提出问题让学生先思考，并分组作答，最后用课件展示解答过程.译：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面一尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？思考：(1)水的深度与芦苇的长度有什么关系？(2)水的深度、半个水池长与芦苇的长度有什么关系？预设答案：(1) 水池的深度+1尺=芦苇的长度(2) 构成一个直角三角形解：设水深AB=x尺，则芦苇长AC=(x+1)尺，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2 .解得：x=12，则AB=12尺，AC=13尺.所以，水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 【归纳】利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：①从实际问题中抽象出几何图形；②确定所求线段所在的直角三角形；③找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；④求得结果，解决实际问题.思路：熟悉解答过程熟悉利用勾股定理解决实际问题的一般步骤和思路通过归纳让学生熟悉利用股勾定理解决实际问题的一般步骤和常见思路，并培养学生的归纳概括能力.环节三应用新知【典型例题】【例1】现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图(1). 已知云梯最多只能伸长到10m，消防车高3m. 救人时云梯伸至最长，在完成从9m高处救人后，还要从12m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？(精确到0.1m)(1)明确例题的做法让学生在探究过程中进一步加深对从实际问题中抽象出直角三角形这一模型的认识和理解，强化转化思想，分析：如图(2)，设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯，B是第一次救人的地点，D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O .解：∵OE=3m，BE=9m,∴OB=9-3=6(m)，OD=12-3=9(m).∵OB=6m，AB=10m，在Rt△ABO 中，AO²=AB²-OB²=10²-6²=64.解得AO=8(m). 设AC=x，则OC=8-x，在Rt△DOC中，OC²+OD²=CD²，(8-x) ²+9²=10²，解得x=8-√19≈3.6 答：消防车要靠近约3.6米.【例2】已知：如图, 在Rt △ABC中，两直角边AC = 5，BC = 12. 求斜边上的高CD的长.解：在Rt △ABC中，AB²=AC²+BC²=5²+12²=169 AB=√169 =13. 又∵Rt △ABC的面积,2.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC 的长．若设AC=x，则可列方程为_______________．3.如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，过点C作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于点D，经测量∠ABD=135°，BD=800米，则应在直线l上距离点D多远的C处开挖？(2≈1.414，结果精确到1米)答案：1.A；2.x2+32=(10-x)2；3.解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°.∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠BDC=45°，∴BC=CD.在Rt△DCB中，根据勾股定理，CD2+BC2=BD2，即2CD2=8002，。
八年级数学数学《勾股定理-第二课时》教学设计
“三部五环”教学模式设计《18.1.2勾股定理》教学设计1、教材内容义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级下册第18章第一节勾股定理第2课时。
2、设计理念本设计以“活动----参与”教学法为主，辅之小组合作、交流讨论。
以问题为主线，练习为核心，活动为载体，从学生已有的生活经验和认知基础出发，引导其经历探索运用勾股定理解决实际问题的全过程。
从而让学生感受数学源于生活，又服务生活，更好地理解勾股定理应用价值，强化“用数学”的意识。
体现“人人学有价值数学”的新课程理念。
整个数学设计流程突出以学定教，体现“设计问题化，过程活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，充分利用现代信息技术的直观、动态功能，丰富教学可视性材料，增大课堂容量，优化教学结构，实现课堂教学效果最优化。
3、知识背景分析本节课在学习勾股定理后，要求学生能运用勾股定理进行简单计算以及运用能够够多了解决生活中的实际问题，从而进一步理解和掌握勾股定理。
通过对问题的探究，从中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想。
4、学情背景分析教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了勾股定理的知识，通过本节的学习使学生能运用勾股定理进行简单计算以及运用能够够多了解决生活中的实际问题。
在解决问题时，进一步体会数形结合的思想。
鉴于学生的知识基础和学习方法的积累本节课以学生练习与合作探究为主，教师根据反馈信息进行指导、点评。
5、学习目标5.1知识与技能目标1．熟练的叙述勾股定理的文化的内容，能运用勾股定理进行简单计算。
2．了解利用拼图验证勾股定理的方法．3．运用勾股定理解决生活中问题。
5.2过程与方法目标1．通过对问题的探究，从中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想。
2．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。
5.3情感态度与价值观目标在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习惯；体会勾股定理的应用价值，通过本节课的学习，让学生体会到数学来源于生活，有应用到生活中，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受。
八年级数学下18.1勾股定理(2)课件
答；梯子底端B不是外移0.4m
练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在 竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C， 请同学们:
A C
猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？ 算一算，底端滑动的距离近似值 是多少? （结果保留两位小数）
（1）如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方 向成直角的AC方向上的一点，测得CB= 60m，
AC= 20m ，你能求出A、B两点间的距离吗？
（结果保留整数）
例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A 沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m A 吗？
O
B
D
例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D 两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
解：设AE= x km， 则 BE=（25-x）km
D
C
10
解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90° ∴ AC2+ BC2＝AB2 2.42+ BC2＝2.52
C B
D
E
∴BC＝0.7m 由题意得：DE＝AB＝2.5m
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
在Rt△DCE中， ∵∠DCE=90° ∴ DC2+ CE2＝DE2 22+ BC2＝2.52 ∴CE＝1.5m
C
S3
A
S2
B
S1 S2 S3
《勾股定理》教学设计 (2)
《18．1勾股定理》课标要求《课标》对18.1勾股定理一节的相关内容提出的教学要求是：探索勾股定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．《18．1 勾股定理》教学设计（第1课时）一.教学目标：知识与技能：探索直角三角形三边关系，了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
过程与方法：（1）、经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。
（2）、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的能力，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
情感态度与价值观：（1）、介绍我国古代勾股定理研究方面所取得的成就，感受数学文化，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
（2）、在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。
二.学情分析八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力。
他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会。
但对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难。
二.教材分析内容勾股定理的探究、证明及简单应用．内容解析勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长．勾股定理常用来求解线段长度或距离问题．勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探探索、发现和证明的过程．证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明．我国古代在数学方面又许多杰出的研究成果，对于勾股定理的研究就是一个突出的例子．教学中可以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的贡献，以培养学生的民族自豪感；围绕证明勾股定理的过程，培养学生学习数学的热情和信心．三.教学重难点教学重点：了解勾股定理的演绎过程，掌握勾股定理及其应用。
勾股定理(第二课时)
明光市邵岗中学 林乃永
B C
A
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边 为c，那么 c 2 2 2 a a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方。 弦 c 勾a
b 股
勾股定理给出了直角三角形三边之间的关 系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。
A
c2=a2 + b2
a2=c2－b2
b c
b2 =c2-a2
2
2
a c b
2
b= c2-a2
a b
2
c
C
a
B
练习
1、求下图中字母所代表的正方形的面积。
A 225 225 400
625
81
B
144
2.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
144
81
z
144
①
169
②
625
576
③
练习
A
10
D
8
B
10
x x
E
(8－x)
6
F4 C
练一练
9.如图，盒内长，宽，高分别是30米，24 米和18米，盒内可放的棍子最长是多少米？
18
24
30
在一棵树的10米高的D处有两只猴子,其中一只猴子 爬下树走到离树20米的池塘A处,另一只爬到树顶后直 接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的直线距离相等, 试问这棵树有多高?
３．等腰△ABC的腰长为10cm，底边长为 6cm 16cm，则底边上的高为＿＿＿＿，面积为 2 48cm ____________ ．
4．等腰直角△ABC中，∠C=90°， 2 AC=2cm，那么它的斜边上的高为＿＿＿
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A1 D
如果长方形的长、宽、高分别是a、b、c （a＞b＞c），你能求出蚂蚁从顶点A到C1 的最短路径吗？ 从A到C1的最短路径是
a ( b c)
2
2
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少 B 种情况？
2
(1)经过前面和上底面;
1
(2)经过前面和右面; (3)经过左面和上底面.
4米
3米
课堂练习
2、小军发现学校旗杆上端的绳子垂直到地面 还多了1米，他把绳子斜着拉直，使下端刚好 触地.此时绳子下端距旗杆底部5米，那么旗 杆的高度为多少米？
A
x米
(x +1)米
C
5米
B
课前练习
例3、如图，是一个长方形零件图，根据所给 的尺寸，求两孔中心A、B之间的距离．
40 A 90 C 160 B 40
B
A
A
3
C B 1 C
B
3
2
2
A 1 3 C
A
实数
A
-2
一一对应
数轴上的点
C D
2
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
B
-1 0 1
你能在数轴上表示出 2 、 13 的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2 , 3 , 4 , 5 的线段.
1 1
2
3
4
5
实际应用
买最长 的吧！ 快点回家， 好用它凉衣 服。
30°
B
AB2 AD2 BD2 82 42 48
在Rt△ABC中， AB CA CB , 且CA CB
2
AB 2CA
2
2
AC 2 6
1 2 CA AB 24 2
2
6、 如图，在△ABC中，AB=AC，D点在 CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD· CD
A
证明：过A作AE⊥BC于E ∵AB=AC，∴BE=CE D
在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) = DE2- BE2 = (DE+BE)· DE- BE) ( = (DE+CE)· DE- BE) ( =BD· CD
例1、一块长3m，宽2m的长方形薄木板能否从 一个长2m，宽1m的门框内通过吗？为什么？
D C
2m
A
1m
B
例2、一架长 2.6m 的梯子AB斜靠在一竖直的 墙AO上，这时AO为2.4m 。 A 如果梯子顶端A沿墙下滑 C 0.5m ，那么梯子底端B也 外移0.5m吗？
O B D
课堂练习
1、如图，受台风影响，一棵树在离地面4米处 断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵 9 树折断前有________米.
如图，在△ABC中，AB=15，BC=14， AC=13，求△ABC的面积。
A 15 B 13 C
14
1．如图，在四边形ABCD中,∠BAD =900， ∠DBC = 900, AD = 3,AB = 4,BC = 12,求CD；
D A C B
3、在等腰△ABC中,AB＝AC＝ 13cm,BC=10cm,求△ABC的面积和AC 边上的高。
B
E
C
A
提示：利用面积相等的关系
13
13
H
1 1 BC AD AC BH 2 2
B
10 D
C
5、 如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB， C ∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。 解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30° 8
D
在△ABD中 ,根据勾股定理
2 2
1 又AD=8 ∴BD= AD=4 A 2
糟糕，太 长了，放 不进去。
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。 如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、 2.2米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约 是多少米？（结果保留整数）
如图，等边三角形的边长是2。 （1）求高AD的长； （2）求这个三角形的面积。
A
B D
C
若等边三角形的边长是a呢？
课前练习
拓展：如图，是一个长方形零件图，根据所给 的尺寸，求两孔中心A、B之间的距离．
y A(40,90)
B(160,40)
C O x
最短路径问题
例4、 有一圆柱，底面圆的周长为 24 cm，高为5 cm，一只蚂蚁从底面的A处沿表 面爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线 长为多少？
B
C B
A
A
最短路径问题
例5、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面 爬到B点，最短线路是多少？
A
5
1
A 3
5
C
12 B
B
长方体中的最值问题
例6、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？