新人教版八年级数学下册学案：勾股定理第2课时勾股定理在实际生活中的应用导学案
人教版数学八年级下册 勾股定理的应用(导学案)
17.1 勾股定理投我以桃，报之以李。
《诗经·大雅·抑》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！第2课时勾股定理的应用一、新课导入1.导入课题前面我们学习了勾股定理的意义，它具有广泛的实际应用，下面我们试用它来解决几个问题.2.学习目标（1）能应用勾股定理计算直角三角形的边长.（2）能应用勾股定理解决简单的实际问题.3.学习重、难点重点：运用勾股定理求直角三角形的边长.难点：从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中的有关问题.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P25例1.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：思考木板通过门框的方式有几种，并对照数据分析木板能否通过.（4）自学参考提纲：①因为木板的宽为2.2m，长为3m，都大于1m，所以木板横着不能从门框内通过.因为木板的宽为2.2m，长为3m，都大于2m，所以木板竖着也不能从门框内通过.所以试试斜着能否通过，对角线AC是斜着通过的最大长度，因此必须先求出AC长，再与木板的宽比较.②在Rt△ABC中，根据勾股定理：AC2=AB2+BC2=12+22=5，因此5 2.24AC =≈. 因为AC ≈2.24(>)2.2，所以木板能斜着从门框内通过. 2.自学：学生结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否分析出木板穿过门框的途径有哪些.②差异指导：指导寻找木板通过门框的途径；木板斜着通过需要怎样斜放时间隙是最大的.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化（1）归纳解题思路：把实际问题转化成长方形ABCD 的问题，再把长方形ABCD 转化成Rt △ABC ，运用勾股定理计算，求解.（2）练习：在上述问题中，若薄木板长3m ，宽1.5m ，木板能否从门框内通过？为什么？1.自学指导（1）自学内容：教材P25例2.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：思考图中的实际问题实质是直角三角形的问题，所以应从直角三角形来分析解决问题的办法.（4）自学提纲：①由梯子的原来位置构成的Rt △AOB ，可求得OB=1.②由梯子顶端下滑至C 的位置时，又构成Rt △COD ，且CD 长不变，OC=1.9，由勾股定理可求得OD ≈1.77.③可看出，BD=OD-OB ，求BD ，必先求出OB 、OD ，在Rt △AOB 中，222222.6 2.4 1.OB AB OA OB =-=-=，在Rt △COD 中，()22222 2.6 2.40.5 1.77OD CD OC OD =-=--≈，.BD=OD-OB ≈0.77.梯子的顶端A 沿墙下滑0.5米，梯子的底端B 外移0.77米.2.自学：学生结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否理解题意，梯子位置变化前后，什么不变，什么在变，学生是否清楚.②差异指导：由线段和差关系如何表示BD；梯子与墙面地面构成什么图形.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化：学会将实际问题转化为数学问题，建立几何模型求解.1.自学指导（1）自学内容：教材P26到P27练习以上的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：动手尝试作直角三角形中，由已知两边长去求第三边长.（4）自学提纲：①教材P26思考中的证明：先用勾股定理证得BC=B′C′，再用SSS公理判定△ABC≌△AB′C′.②长为13的线段是直角边为正整数3，2的直角三角形的边长.③在数轴上画出表示13的点，方法如下：在数轴上找到点A，使OA=3，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，OB为半径画弧与数轴的正半轴的交点C，点C即为表示13的点.④完成27练习题.2.自：请同学们结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生看书、动手中存在的问题障碍.②差异指导：指导学生分析作图方法及依据.(2)生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化(1)尺规作图方法.(2)总结在数轴上作出表示无理数的点的步骤.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：小组代表介绍自己在学习中的探索方法、收获和惑..2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生课堂学习的积极态度、成果及不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时的教学内容是用勾股定理解决简单的实际问题，运用到的思想是数形结合的思想.在实际生活中，很多问题需要用到勾股定理去解决.因此在解决此类问题时，先要将它转化为数学问题，就本课时而言，关键是要通过构造直角三角形来完成，所以教师在教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出已知的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此处，教师还应关注学生所用语句的规范性，尽量让学生用数学语言来描述.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（50分）1.(20分)求出下列直角三角形中未知的边.答案：AC= 8 AB=17 BC=1,AC=3BC=2,AC=22.(10分)直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8，则以斜边为边长的正方形的面积为15.3.(10分)如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，现测得CB=60m,AC=20m.求A，B两点间的距离(结果取整数).()2222=-=-=≈解：AB BC AC m602040257第3题图第4题图4.(10分)如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4)，求这两点间的距离.2222解：=+=+=AB OA OB5441二、综合运用（20分）5.(10分)如图，∠BAC=90°,AD⊥BC,BC=4cm,∠B=60°,求AD,BD的长. 解：∵在Rt△ABC中∠B=60°，∴AB=12BC=2(cm).在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠B=60,∴BD=12AB=1(cm),223AD AB BD=-=(cm).6.(10分)在数轴上作出表示20的点.点A即为表示20的点.三、拓展延伸（30分）7.(15分)印度数学家什迦罗(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可见，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；诸君帮忙算一算，湖水如何知深浅？”请用学过的知识回答这个问题.(如图)解：设水深为h尺.由题意得：AC=12,BC=2,OC=h,∴OB=OA=OC+AC=h+12.由勾股定理得：OB2=OC2+BC2,即(h+12)2=h2+22,解得h=154.∴水深154尺8.(15分)有5个边长为1的正方形，排列成如下图形式，请把它适当分割后拼接成一个大正方形.(用虚线标示分割线，并简要写出分割拼接法).将五个小正方形按图1中虚线剪切为四个全等的直角三角形和一个小正方形，按图2的摆法拼接，则可得到一个面积为5的大正方形.【素材积累】海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。
人教版八年级数学下册17.1勾股定理(第2课时)勾股定理的应用导学案
ACD FE17.1勾股定理（第2课时）导学案一、学习目标(1)．能运用勾股定理求线段长度，并解决一些简单的实际问题；(2)．利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，二、知识回顾 求直角三角形中未知边的长度．勾股定理： 三、探究学习 1.探索勾股定理应用（1）课本25页例1： 你能否画出图形？独立解答 （2）强化训练：课本25页例2： 独立完成，小组互批 2．勾股定理拓展探究（1）例2:我国《九章算术》中记载了一道有趣的问题，大意是：有一个边长为10尺的正方形水池,在水池的中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？小组共同分析解决（2）强化训练：矩形ABCD 如图折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE 的长。
（3）例3： 在长30cm 、宽50 cm 、高40 cm 的木箱中，如果在箱内的A 处有一只昆虫，它要在箱独立思考、小组互教、组内完成 6 10AC BDABCB壁上爬行到B 处，至少要爬多远？小组共同分析解决四、课堂练习：1、如图，花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）米路却踩伤了花草． A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米2、小鸟最少飞了多远？3.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
4.如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？A5.如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的A处，它想吃到上底与下底面中间与A点相对的B点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？6.甲轮船以１５海里／时的速度从港口向东南方向航行，乙船同时以２５海里／时速度向东北方向航行求它们离开港口２小时后相距多远？五、学习心得自我评价1、本节课我对自己最满意的一件事是：2、本节课我对自己最不满意的一件事是：。
八年级数学下册 17.1 勾股定理(第2课时)导学案(新版)新人教版
八年级数学下册 17.1 勾股定理（第2课时）导学案（新版）新人教版17、1 勾股定理【学习目标】综合运用勾股定理解决图形问题【学习重点】综合运用勾股定理解决图形问题【学习难点】把实际问题转化数学问题。
【学前准备】在Rt△ABC，∠C=90,∠A、∠B、∠C的对边长分别为a，b，c，则a= ；b= ；c= 。
【自主学习合作交流】1、求出下列直角三角形中未知的边、2、在Rt△ABC，∠C=90（1）已知a=b=5,求c、（2）已知a=1, c=2, 求b、（3）已知∠A=45c=2, 求a、b（4）已知a：b=1：2, c=5, 求a、（5）已知b=15，∠A=30，求a，c、二、精讲点拨师生共同回顾勾股定理的内容例1：一个门框的尺寸如图1所示、例2：如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2、5米、①求梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯的顶端A沿墙下滑0、5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0、5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）、纠错栏【课堂小结】1、本节课的收获有：2、本节课你不会做的题有：3题图【当堂检测】1、在一个直角三角形中，两边长分别为6、8,则第三边的长为_____2、小明和爸爸妈妈一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离距离水平地面的高度是米。
4题图3、如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米4、如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。
【课后作业】必做题1、一根旗杆高8m,断裂后旗杆顶端落于旗杆底端4m处，旗杆的断裂处距离地面多少米？（提示：自己画图分析）2、如图，要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（精确到0、01m）3、在△ABC中，∠C=90，AB=10 (1)∠A=30，求BC，AC （精确到0、01）(2)∠A=45，求BC，AC（精确到0、01）选做题1、在△ABC中，，∠C=90，AC=2、1cm, BC=2、8cm(1)求△ABC的面积；（2）求斜边AB；(3)求高CD。
新人教版八年级数学下册17.1 第2课时 勾股定理的应用(导学案)
第十七章 勾股定理17.1 勾股定理第2课时 勾股定理的应用学习目标：1．会用勾股定理进行简单的计算，能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想；2．勾股定理的实际应用，树立数形结合的思想、分类讨论思想； 学习重点：勾股定理的简单计算. 学习难点：勾股定理的灵活运用. 学习过程一、自学导航（课前预习）1、直角三角形性质有：如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： ；（2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（3）直角三角形斜边上的 等于斜边的 。
（4）三边之间的关系： 。
（5）已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则c = 。
（已知a 、b ，求c ） a = 。
（已知b 、c ，求a ） b = 。
（已知a 、c ，求b ）.2、（1）在Rt △ABC ，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。
（2）在Rt △ABC ，∠C=90°，a=6，c=8，则b= 。
（3）在Rt △ABC ，∠C=90°，b=12，c=13，则a= 。
二、合作交流（小组互助）例1：一个门框的尺寸如图所示．若薄木板长3米，宽2.2米呢？例2、如图，一个3米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5米．如A Ba bcB C1m 2mA 实际问题 数学模型果梯子的顶端A 沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B 也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小数）分析：要求出梯子的底端B 是否也外移0.5米，实际就是求BD 的长，而BD =OD -OB例3：用圆规与尺子在数轴上作出表示13的点，并补充完整作图方法。
步骤如下：1．在数轴上找到点A ，使OA ＝ ；2．作直线l 垂直于OA ，在l 上取一点B ，使AB ＝ ；3．以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，弧与数轴交于点C ，则点C 即为表示13 的点．分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
八年级数学下册(人教版)17.1.2勾股定理在实际生活中的应用(第二课时)教学设计
3.方法总结：引导学生总结勾股定理解决实际问题的方法，如：先确定直角三角形的直角边长度，再计算斜边长度；根据实际情况选择合适的计算公式等。
（三）学生小组讨论，500字
在学生小组讨论阶段，教师应关注以下方面：
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对实际问题进行讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
-通过展示生活中常见的直角三角形实物，如墙角、梯子等，引出勾股定理在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
-设计富有启发性的问题，引导学生思考如何运用勾股定理解决实际问题。
2.理论与实践相结合，突破重点
-通过讲解典型例题，引导学生理解和掌握勾股定理的应用，强调解题步骤和关键点。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了直角三角形的性质和勾股定理的基本概念。但在实际应用方面，学生可能还较为生疏，缺乏将理论知识运用到实际问题中的经验。因此，在本章节的教学中，应关注以下学情：
1.学生对勾股定理的理解程度：了解学生是否真正理解勾股定理的含义，能否运用定理解决简单问题。
2.学生的实际应用能力：掌握学生是否能够将勾股定理应用于解决实际问题，如测量距离、计算面积等。
3.学生的合作与交流能力：观察学生在小组讨论、合作解决问题时的表现，培养其团队协作能力。
4.学生的学习兴趣和积极性：关注学生对数学学习的兴趣，激发其学习热情，提高课堂参与度。
针对以上学情，本章节教学应注重理论与实践相结合，通过丰富的实例和实践活动，引导学生将勾股定理应用于实际生活中，提高其数学素养和解决问题的能力。同时，关注学生的情感态度，激发学习兴趣，培养其合作意识和团队精神。
部编人教版数学八年级下册《勾股定理(二)》优秀导学案
甲：
乙：
丙：
丁：
同伴互助答疑解惑
＄17.1勾股定理（二）导学案
学习活动
设计意图
三、合作学习探索新知（约15分钟）
1、小组合作分析问题
2、小组合作答疑解惑
3、师生合作解决问题
（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果在Rt△ABC中，∠C=90°,那么
学习难点
◆勾股定理的灵活运用。
学具使用
多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角பைடு நூலகம்等
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考（课前20分钟）
1、阅读课本P25～26页，思考下列问题：
（1）巩固勾股定理
（2）例1、例2你能独立解答吗？
（3）P26页练习题你能独立解答吗？
2、独立思考后我还有以下疑惑：（课前写在小组的小黑板上）
在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°∴DC2+ CE2＝DE2
22+ BC2＝2.52∴CE＝1.5m∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m
答；梯子底端B不是外移0.4m
＄17.1勾股定理（二）导学案
学习活动
设计意图
◆P29页第10题:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
例1：一个门框尺寸如下图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
2020春人教版数学八年级下册(RJ)导学案17.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用
第十七章勾股定理17.2 勾股定理的逆定理第2课时勾股定理的逆定理的应用学习目标：1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题；2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.一、知识回顾1.你能说出勾股定理及其逆定理的内容吗？2.快速填一填：(1)已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形，_________是最大角;(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是__________cm.一、要点探究探究点1：勾股定理的逆定理的应用典例精析例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理.方法总结:解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.变式题如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3-5）2.探究点1新知讲授（见幻灯片6-14）分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.例2一个零件的形状如图①所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图②所示,这个零件符合要求吗？针对训练1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用典例精析教学备注2.探究点1新知讲授（见幻灯片6-14）例3 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.方法总结:四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.变式题1 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.变式题2如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.针对训练1.如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝ 5 ，BD=2．（1）求证：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面积．教学备注配套PPT讲授4.课堂小结（见幻灯片27）5.当堂检测（见幻灯片20-26）教学备注配套PPT讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片15-19）二、课堂小结1.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东______的方向.2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（）A B C D3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.4.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.当堂检测勾股定理的逆定理的应用应用认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题航海问题与勾股定理结合解决不规则图形等问题方法教学备注5.当堂检测（见幻灯片20-26）5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？6.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求PQ的长．温馨提示：配套课件及全册导学案WORD版见光盘或网站下载：(无须登录，直接下。
人教版八年级数学下册导学案-勾股定理在实际生活中的应用
第十七章 勾股定理17.1 勾股定理第2课时 勾股定理在实际生活中的应用学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题；2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长. 重点：运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.难点：能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.一、知识回顾1. 你能补全以下勾股定理的内容吗？如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么____________. 2. 勾股定理公式的变形：a =_________,b =_________,c =_________. 3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°.(1)若a =3,b =4,则c =_________;(2)若a =5,c =13,则b =_________.一、要点探究探究点1：勾股定理的简单实际应用 典例精析例1在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？方法总结:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.针对训练1. 湖的两端有A 、B 两点，从与BA 方向成直角的BC 方向上的点 C 测得CA =130米,CB =120米,则 AB 为 ( ) A.50米 B.120米 C.100米 D.130米课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT 讲授1.情景引入 （见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-11）2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL ”思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？证明:如图,在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中,∠C =∠C ’=90°, AB =A ’ B ’,AC =A ’ C ’．求证：△ABC ≌△A ’ B ’ C ’ ．证明：在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中，∠C=∠C ’=90°，根据勾股定理得BC =_______________,B ’ C ’=_________________. ∵AB=A ’ B ’，AC=A ’ C ’，∴_______=________. ∴____________≌____________ (________)． 典例精析例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A (-3,5),B (1,2)求A ,B 两点间的距离.方法总结:两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点()()()()2211222121,,,,.A x yB x y AB x x y y =-+-则探究点3：利用勾股定理求最短距离想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？教学备注配套PPT 讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片12-14）4.探究点3新知讲授（见幻灯片15-24）2.若已知圆柱体高为12 c m ，底面半径为3 c m ，π取3，请求出最短路线的长度.要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 典例精析例3 有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m ，高AB 是5 m ，π取3）?变式题 小明拿出牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A 处，并在点B 处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？例4 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？方法总结:求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径. 针对训练1.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A 处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B 处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少二、课堂小结当堂检测勾股定理的应用用勾股定理解决实际问题解决“HL ”判定方法证全等的正确性问题 用勾股定理解决点的距离及路径最短问题教学备注4.探究点3新知讲授（见幻灯片15-24）5.课堂小结 （见幻灯片31）1.从电杆上离地面5m 的C 处向地面拉一条长为7m 的钢缆，则地面钢缆A 到电线杆底部B 的距离是（ ） A .24m B .12m C .74m D. 26c m2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm ，内壁高12cm ，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm 3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？5. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm ，10cm 和6cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？能力提升6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm ，其横截面周长为36cm ，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？教学备注 配套PPT 讲授 6.当堂检测 （见幻灯片25-30）第1题图 第2题图。
勾股定理2导学案
勾股定理（2）教学案教学目标1．会用勾股定理解决简单的实际问题。
2．树立数形结合的思想。
3．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。
4．培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。
重点：勾股定理的应用。
难点：实际问题向数学问题的转化。
教学过程：1、复习勾股定理：欣赏图片，激发兴趣数一数、算一算（1）你能发现图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？（2）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（3）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么学习完一个重要知识点，给学生留有一定的时间和机会，提出问题，然后大家共同分析讨论．2、定理的证明方法方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形.方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形,方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导.最后总结说明3、定理的应用例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m吗？练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A 站多少km处例3:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？（2）Rt△ABC的两边长分别是3和4，则第三边长的平方为多少？（3）已知等边三角形ABC的边长是6cm．求：（1）高AD的长；（2）△ABC的面积。
八年级数学下人教版教案勾股定理的实际应用导学案
课题：勾股定理的实际应用8001
学习目标：1．会用勾股定理的知识解决实际问题中的距离问题；
2．能在数轴上找出表示n的点．
【探究案】
探究一用勾股定理求两点之间的距离问题：
如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003米到达B点，然后再沿北偏西30•°方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离．
【变式】一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．
探究二 用勾股定理求最短距离问题：
如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求蚂蚁爬行的最短路程．
【训练案】
1．如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A
点爬到B点，则最少要爬行cm．
2．在数轴上找出表示10的点．
3．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
【拓展延伸】
4．n的点．
235
13。
17_1_2 勾股定理在实际生活中的应用(优质学案)
学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________人教版初中数学八年级下册17.1.2 勾股定理在实际生活中的应用 导学案一、学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长. 重点：熟练运用会用勾股定理解决简单实际问题. 难点：熟练运用会用勾股定理解决简单实际问题. 二、学习过程： 课前热身_______________________ ______________________ ______________________ _______________________ ______________________ ______________________如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝3，BD ＝2，DC ＝1，求AC的长．学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典例解析例1 一个门框尺寸如图所示，一块长3m ，宽2.2m 的长方形薄木板能否从门框内穿过？为什么？【针对练习】有一根长125cm的木棒，要放入长、宽、高分别是40cm、30cm、120cm的木箱中（如图），能放进去吗？试通过计算说明理由．例2 如图，一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为2.4m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？【针对练习】如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点，已知∠BAC =60°，∠DAE =45°．点D 到地面的垂直距离DE =4米，求点A到墙壁BC 的距离．学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【总结提升】利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）_____________________________________________________； （2）_____________________________________________________； （3）_____________________________________________________； （4）_____________________________________________________.例3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5)，B(1,2)求A,B 两点间的距离.【针对练习】如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4).求这两点之间的距离.例4.如图，有两棵树，一棵树高AC 是10米，另一棵树高BD 是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B 点处，则小鸟至少要飞行多少米？学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例5.如图，甲乙两船同时从A 港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C 、B 两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？例6.有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处,问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2m,高AB 是5m,π取3）?【针对练习】如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A 处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B 处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.达标检测1.如图，书架上放了四个文件夹，已知∠ACB =90°，AC=24cm ， BC=7cm ， 则AB 的长为( )A.20cmB.23cmC. 25cmD.√47cm学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.如图，一根12米高的电线杆CD 垂直于地面，在其两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点A, B(点A 、D 、B 在同一直线上)之间的距离是( ) A.13米 B.9米 C.10米 D.18米3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( ) A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米4.如图，长方体的长为3,宽为2，高为4，则从点A 1到C 点(沿着长方体表面)的最短距离是( )A.√41B.√53C.9D.3√55.如图是一个育苗棚，棚宽a=6m,棚高h=2.5m,棚长d=10m ，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为______m 2.学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6.如果将一根细长木棒放进长为3cm 、宽为2cm 、 高为6cm 的长方体有盖盒子中，那么细木棒最长可以是_____cm.7.暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游,按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往西走3km ，再折向北走6km 处往东拐,仅走1km 就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为______km.8.如图，池塘边有两点A 、B ，点C 是与BA 方向成直角的AC 方向上一点，测得CB=60m ，AC=20m.求A 、B 两点间的距离(结果取整数).9.如图，铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA =15km，CB =10km，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A站多少千米处？学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________10.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）11.如图，有一个圆柱体，它的高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 点相对的B 处的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π的值取3)12.如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇．公路PQ 上距离O 点240m的A 处与铁路MN 的距离是120m．如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72km/h的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是多少？学习笔记记录区___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ 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人教版八年级下册数学第2课时 勾股定理的应用教案
第2课时勾股定理的应用教学设计课题勾股定理的应用授课人素养目标1.进一步理解和掌握勾股定理．2．能够利用勾股定理解决简单的实际问题．3．通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，体会转化思想、模型思想，形成应用意识.教学重点运用勾股定理解决实际问题．教学难点勾股定理的灵活应用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图借助实际情境，激发学生的学习兴趣.【情境导入】电视的尺寸是屏幕对角线的长度．元元的妈妈买了一台55英寸(140cm )的液晶电视，元元量电视屏幕后，发现屏幕的长为122cm ，宽为68cm .她觉得一定是售货员搞错了，你同意她的想法吗？【教学建议】让学生交流讨论，引导学生回忆勾股定理的内容，再借助计算器解决这个问题.活动二：问题引入，自主探究设计意图培养学生把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.探究点勾股定理的应用例1(教材P 25例1)一个门框的尺寸如图所示，一块长3m ，宽2.2m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？分析：解：连接AC ，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，AC 2＝AB 2＋BC 2＝12＋22＝5.所以AC ＝5≈2.24m .因为AC 大于木板的宽2.2m ，所以木板能从门框内通过.【教学建议】让学生交流讨论，引导学生从实际生活的角度多方面考虑，从而分析出解决问题的关键条件：比较AC 和木板的宽．教师总结：解决木板进门问题不仅需要考虑木板的长、宽和门的长、宽，有时还要考虑门的对角线．教学步骤师生活动例2(教材P 25例2)如图，一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为2.4m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？分析：解：可以看出，BD ＝OD －OB.在Rt △AOB 中，根据勾股定理，OB 2＝AB 2－OA 2＝2.62－2.42＝1，所以OB ＝1＝1(m )．在Rt △COD 中，根据勾股定理，OD 2＝CD 2－OC 2＝2.62－(2.4－0.5)2＝3.15，所以OD ＝ 3.15≈1.77(m )，所以BD ＝OD －OB ＝1.77－1＝0.77(m )．所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m 时，梯子底端并不是也外移0.5m ，而是外移约0.77m .【对应训练】1～2.教材P 26练习．3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m ，顶端距离地面2.4m ，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上时，顶端距离地面2m ，那么小巷的宽度为(C )A ．0.7m B ．1.5m C ．2.2m D ．2.4m 【教学建议】引导学生分析出梯子底端B 外移的距离BD ＝OD－OB，从而需要先计算出OD，OB 的长度．从题中抽象出Rt △AOB 和Rt △COD，分别利用勾股定理求出OB，OD.活动三：重点突破，提升探究例3有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺，求竹竿长与门高．解：如图，设门高x 尺，则竹竿长(x ＋1)尺．根据勾股定理可得x 2＋42＝(x ＋1)2，即x 2＋16＝x 2＋2x ＋1，解得x ＝7.5.则x ＋1＝8.5.故门高7.5尺，竹竿长8.5尺．【对应训练】如图，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上C 处有一筐水果，一只猴子从D 处向上爬到树顶A 处，然后利用拉在A 处的滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处先滑到地面B 处，再由B 处跑到C 处，已知两只猴子所经过的路程都是15m ，求树高AB.解：根据题意，得BD ＝10m ，BD ＋BC ＝AD ＋AC ＝15m ，所以BC ＝5m .设AD ＝x m ，则AC ＝(15－x )m ，AB ＝(10＋x )m .在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＋BC 2＝AC 2，即(10＋x )2＋52＝(15－x )2，解得x ＝2.所以AB ＝12m .答：树高AB 为12m .【教学建议】引导学生画出草图分析问题，从中抽象出直角三角形模型．提示学生：当已知直角三角形两边的数量关系和第三边的长度时，一般设未知数，再借助勾股定理列方程求解.教学步骤师生活动活动四：随堂训【随堂训练】相应课时训练．勾股定理的应用(1)利用勾股定理解决图形面积问题例1如图，在△ABC 中，AB ＝13，AC ＝15，BC ＝14，求△ABC的面积．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设BD 的长为x ，则CD 的长为14－x .∵AD 2＝AB 2－BD 2，AD 2＝AC 2－CD 2，∴AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2，∴132－x 2＝152－(14－x )2，解得x ＝5，∴BD ＝5.∴AD 2＝132－52，∴AD ＝12，∴S △ABC ＝BC·AD 2＝14×122＝84，即△ABC 的面积是84.例2如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝5－3，CD ＝6，∠ABC ＝135°，∠BCD ＝120°，求四边形ABCD 的面积．解：如图，过点A 作AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F.∵∠ABE ＝180°－∠ABC ＝180°－135°＝45°，∠DCF ＝180°－∠BCD ＝180°－120°＝60°，练，课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：想想生活中哪些物品可以利用勾股定理？只知道直角三角形一边的长和另两边的数量关系，能求出另两边的长吗？【知识结构】【作业布置】1．教材P 28习题17.1第2，4，5，8，9，10，11题．2．相应课时训练．板书设计17.1勾股定理第2课时勾股定理的应用1．勾股定理的简单应用2．勾股定理中的方程思想教学反思本节课以生活中常见的问题为例，引导学生想象、比较、分析，把实物抽象为直角三角形模型，再借助勾股定理来求解，充分培养学生把课本上的理论知识应用到实际生活中的能力．教学中发现学生的阅读理解和空间想象能力还有待提高，需要在后续的学习中加强.∴易知AE ＝BE ，CF ＝12CD ＝12×6＝3.又AE 2＋BE 2＝AB 2，CF 2＋DF 2＝CD 2，∴AE ＝BE ＝22AB ＝22×6＝3，DF ＝32CD ＝32×6＝33，∴S 四边形ABCD ＝S 梯形AEFD －S △ABE －S △CDF ＝12(AE ＋DF)·EF －12AE·BE －12CF·DF ＝12×(3＋33)×(3＋5－3＋3)－12×3×3－12×3×33＝233－32.(2)利用勾股定理解决图形折叠问题例3如图，在长方形ABCD 中，E 为AD 上一点，将△CDE 沿CE 翻折至△CFE ，EF 交AB 于点G ，CF 交AB 于点H ，且GA ＝GF.若CD ＝10，BC ＝6，则AE 的长是127.解析：由长方形和折叠的性质，可知∠A ＝∠D ＝∠F ＝90°，DE ＝EF ，CF ＝CD ＝10.在△AGE 和△FGH A ＝∠F ，＝GF ，AGE ＝∠FGH ，∴△AGE ≌△FGH(ASA )，∴AE ＝FH ，GE ＝GH ，∴AH ＝GA ＋GH ＝GF ＋GE ＝EF ＝DE.设AE ＝FH ＝x ，则AH ＝DE ＝AD －AE ＝BC －AE ＝6－x ，∴BH ＝AB －AH ＝CD －AH ＝10－(6－x )＝x ＋4，CH ＝CF －FH ＝10－x .∵BC 2＋BH 2＝CH 2，∴62＋(x ＋4)2＝(10－x )2，∴x ＝127，∴AE ＝127故答案为127.例4如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，AE 是折痕．(1)若AB ＝4，AD ＝5，求折痕AE 的长；(2)若AE ＝5，且CE ∶CF ＝3∶4，求长方形ABCD 的周长．解：(1)由折叠可知，AD ＝AF ＝5，DE ＝EF ，∴BF ＝AF 2－AB 2＝52－42＝3，∴CF ＝BC －BF ＝5－3＝2.设EF ＝DE ＝x ，则CE ＝4－x .∵CF 2＋CE 2＝EF 2，∴22＋(4－x )2＝x 2，解得x ＝52，∴DE ＝52，∴AE ＝AD 2＋DE 2＝52＋（52）2＝552.(2)设CE ＝3x (x ＞0)，则CF ＝4x ，∴EF ＝CF 2＋CE 2＝5x ，∴DE ＝EF ＝5x ，∴AB ＝CD＝DE ＋CE ＝8x .设AF ＝AD ＝y (y ＞0)，则BF ＝y －4x .在Rt △ABF 中，AB 2＋BF 2＝AF 2，∴(8x )2＋(y －4x )2＝y 2，∴y ＝10x ，∴AD ＝10x .在Rt △ADE 中，AD 2＋DE 2＝AE 2，∴(10x )2＋(5x )2＝(5)2，解得x ＝15x ＝－15(舍去)，∴AD ＝10x ＝2，AB ＝8x ＝85.∴长方形ABCD 的周长为(2＋85)×2＝365.例如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝16cm ，AC ＝20cm ，P ，Q 是△ABC 的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A→B 方向运动，且速度为1cm /s ；点Q 从点B 开始沿B→C→A 方向运动，且速度为2cm /s ，它们同时出发，当一点到达终点时，另一点也随之停止，设出发的时间为t s .(1)BC ＝12cm ；(2)当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？并求出此时CQ 的长；(3)当点Q 在边AC 上运动时，写出使△BCQ 成为等腰三角形时t 的值．解：(2)当点P 在边AC 的垂直平分线上时，PC ＝PA ＝t cm ，PB ＝AB －PA ＝(16－t)cm .在Rt △BPC 中，BC 2＋PB 2＝PC 2，即122＋(16－t)2＝t 2，解得t ＝252.易知此时点Q 在边AC 上，CQ ＝2×252－12＝13(cm )．(3)①当CQ ＝BQ 时，如图①，则∠C ＝∠CBQ.∵∠ABC ＝90°，∴∠CBQ ＋∠ABQ ＝90°.∵∠A ＋∠C ＝90°，∴∠A ＝∠ABQ ，∴BQ ＝AQ.∴CQ ＝AQ ＝12AC ＝12×20＝10(cm )，∴BC＋CQ ＝12＋10＝22(cm )，∴t ＝22÷2＝11；②当CQ ＝BC 时，如图②，则BC ＋CQ ＝12＋12＝24(cm )，∴t ＝24÷2＝12；③当BC ＝BQ 时，如图③，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，则CE ＝12CQ.∵S △ABC ＝12AB·BC ＝12AC·BE ，∴BE ＝AB·BC AC ＝16×1220＝485(cm )．∴CE ＝BC 2－BE 2＝122－（485）2＝365(cm )，∴CQ ＝2CE ＝725cm .∴BC ＋CQ ＝12＋725＝1325(cm )，∴t ＝1325÷2＝665.综上所述，当t的值为11或12或665时，△BCQ为等腰三角形．。
八年级数学下册17勾股定理171勾股定理2导学案新人教版
17.1 勾股定理（2）学习目标1.会用勾股定理解决简单的实际问题。
2.树立数形结合的思想。
3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理。
学习重点、难点1.重点：勾股定理的应用。
2.难点：实际问题向数学问题的转化。
一、预习内容阅读教材第66至67页，并完成预习内容。
1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？②直角三角形中哪条边最长？2.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长。
二、数学模型——————————————————————————————问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？（2） 一个门框的尺寸如图所示．① 若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ② 若薄木板长3米，宽1.5米呢？③ 若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？三、 例题讲解1.如图，一个3米长的梯子AB ，斜着靠在竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5米。
①求梯子的底端B 距墙角O 多少米？ ②如果梯的顶端A 沿墙下滑0.5米至C 。
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．BC1m2mACA CAOB四、总结反思说说你的收获; 你还有什么问题？五、 反馈练习1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是10米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。
2题图 3题图3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
4. 如图1，分别以Rt △ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，容易得出S 1、S 2、S 3之间的关系式为 ．变式：书上P71 -11题如图2，则S 1、S 2、S 3之间的关系式为 ．30ABCS 1S 2S 3S 1S 2S 3BAC六、 能力提升1.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 。
人教版数学八年级下册17.1第2课时《 勾股定理的应用》教学设计
人教版数学八年级下册17.1第2课时《勾股定理的应用》教学设计一. 教材分析《勾股定理的应用》是人教版数学八年级下册17.1第2课时的重要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了勾股定理的基础上进行讲解的，通过本节课的学习，使学生能够运用勾股定理解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
教材通过丰富的实例，引导学生了解勾股定理在实际问题中的应用，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了勾股定理，对勾股定理有一定的理解。
但是，如何将勾股定理应用于实际问题中，解决实际问题，这是学生所面临的挑战。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生，让学生通过观察实例，发现勾股定理在实际问题中的应用，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生能够理解勾股定理的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察实例，引导学生发现勾股定理在实际问题中的应用，培养学生的数学观察能力和解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.教学重点：使学生能够理解勾股定理的应用。
2.教学难点：如何引导学生发现勾股定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过观察实例，引导学生发现勾股定理在实际问题中的应用，培养学生的数学观察能力和解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，准备好相关的实例。
2.学生准备：学生已经学习了勾股定理，对勾股定理有一定的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾勾股定理的内容，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师呈现相关的实例，让学生观察，引导学生发现勾股定理在实际问题中的应用。
3.操练（15分钟）教师提出问题，引导学生运用勾股定理解决实际问题，学生独立完成，教师进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）教师给出一些实际问题，让学生分组讨论，运用勾股定理解决问题，最后各组汇报解题过程和结果。
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理的应用》(第2课时)教学设计
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理的应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册17.1《勾股定理的应用》第2课时，主要讲述了勾股定理在实际问题中的应用。
本节课通过实例让学生了解勾股定理在解决直角三角形问题中的重要性，培养学生的应用能力。
教材内容主要包括勾股定理的证明、应用以及相关例题解析。
二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了勾股定理的基本概念和证明方法，对本节课的内容有一定的了解。
但学生在实际应用勾股定理解决复杂问题时，仍存在一定的困难。
因此，本节课需要通过实例引导学生学会运用勾股定理解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握勾股定理的应用方法，能运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理的应用方法。
2.难点：如何将实际问题转化为勾股定理的形式，并灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引导学生进入学习情境，激发学生的学习兴趣。
2.案例分析法：分析典型例题，引导学生学会运用勾股定理解决实际问题。
3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.教材、教辅、教案。
2.投影仪、多媒体课件。
3.相关例题及练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形现象，如篮球架、房屋建筑等，引导学生关注勾股定理在实际生活中的应用。
2.呈现（10分钟）呈现教材中的例题，让学生独立思考并解答。
例题：一块长为a，宽为b的长方形木板，锯掉一个边长为c的正方形后，剩余部分能否拼成一个正方形？若能，求出正方形的边长。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，将实际问题转化为勾股定理的形式，并求解。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示一组练习题，让学生独立完成。
初中数学八下 《勾股定理》导学案
数学八年级下册《勾股定理》导学案学习目标知识：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
能力：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
情感：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点:1. 勾股定理的内容及证明。
学习难点:1. 勾股定理的证明。
教学流程 【导课】目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 【阅读质疑 自主探究】例1已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。
《勾股定理(第2课时)》教案 人教数学八年级下册
17.1 勾股定理第2课时一、教学目标【知识与技能】1.能应用勾股定理计算直角三角形的边长.2.能应用勾股定理解决简单的实际问题.3.能说出勾股定理,能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.【过程与方法】1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型,强化转化思想,培养学生解决现实问题的意识和能力.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股定理的应用方法.【情感态度与价值观】在例题分析和解决过程中,让学生感受勾股定理在实际生活中的应用.同时在学习过程中体会获得成功的喜悦,提高学生学习数学的兴趣和信心.二、课型新授课三、课时第2课时共3课时四、教学重难点【教学重点】运用勾股定理解决实际问题.【教学难点】勾股定理的灵活运用.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、直尺、练习本、三角形模型.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想，湖水在此深几尺？示意图见课件，就是求AD的长教师：这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题，学完本节课知识后，自己再想想怎么计算此题吧！（二）探索新知1.出示课件4-6，探究勾股定理解决线段长度问题教师问：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？学生答：不能，因为木板的长3m大于2m，宽2.2m大于1m. 教师问：木板能横着或竖着从门框通过吗？学生答：不能.教师问：这个门框能通过的最大长度是多少？学生讨论后回答：如图所示，小于线段AC的长度才可以.教师问：怎样判定这块木板能否通过木框？学生回答：求出斜边AC的长，与木板的宽比较.师生一起解答：解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5．AC= √5≈2.24．因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过．出示课件7，学生自主练习后口答，教师订正.2.出示课件8-9，探究勾股定理解决线段移动问题教师问：如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为2.4米．求梯子的底端B距墙角O多少米？学生回答：解：（1）在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1.答：梯子的底端B距墙角O为1米.教师问：如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？学生回答：在Rt△COD中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.OD=√3.15≈1.77．BD=OD-OB≈1.77-1=0.77答：梯子底端B也外移约0.77米.出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。
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第十七章勾股定理
2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长；
（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL ”
思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
证明:如图,在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中,∠C =∠C ’=90°, AB =A ’ B ’,AC =A ’ C ’．
求证：△ABC ≌△A ’ B ’ C ’ ．
证明：在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中，∠C=∠C ’=90°，
根据勾股定理得BC =_______________,B ’ C ’=_________________. ∵AB=A ’ B ’，AC=A ’ C ’，∴_______=________. ∴____________≌____________ (________)．
例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A (-3,5),B (1,2)求A ,B 两点间的距离.
探究点3：利用勾股定理求最短距离
想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？
处放上了点儿火腿肠粒，你
的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多
求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径. m
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）
A.9cm
B.12cm
C.15cm
D.18cm
3.已知点(2,5),(-4,-3),
则这两点的距离为_______.
4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？
5.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
能力提升
6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？。