(完整word版)勾股定理四种计算模型(第2课时)
《勾股定理》PPT课件(第2课时)
沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
A
A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
C
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329, ∴AB=73cm.
B
6.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他
的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，
能通过，所以只能考虑斜着.观察可以发现 AC
的长度是斜着能通过的最大长度，所以只要
AC的长大于木板的宽就能通过.
A
B
1m
解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
D
C
A
B
2m
得AC2=AB2+BC2=12+22=5，
所以AC 5 2.24 .
因为AC的长大于木板的宽2.2m,
所以木板能从门框内通过.
资料下载：/ziliao/
试卷下载：/shiti /
手抄报：/shouc haobao/
语文课件：/keji an/yuwen/
英语课件：/keji an/ying yu/
科学课件：/keji an/kexue/
第 十七章 勾股定理
第十七章
17.1
勾股定理
勾股定理
第二课时
学习目标
1
会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. （重点）
2
能从实际问题中抽象出勾股定理的数学模型，并能利用
勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，进一步
求出未知边长. (难点）
新课导入
知识回顾
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理(讲义),勾股定理
22．在一块平地上，李大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的李大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到李大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（ ）
A．（3，3） B.（-3，3） C.（-3，-3） D.（3 ，3 ）
19．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． +1 B．- +1 C． -1 D．
20．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（ ）．
A．96 B．49 C．24 D．48
21.老李家有一块草坪如图所示.已知AB=3米,BC=4米,CD=12米,DA=13米,且AB⊥BC,这块草坪的面积是( )
12．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为 ，…， （n为正整数），那么第8个正方形的面积 ＝_______________
二、看准了再选
13．“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点 所表示的数是 ”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（ ）
Ａ．一定不会Ｂ．可能会Ｃ．一定会Ｄ．以上答案都不对
23．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA= ，AB=1，则点A1的坐标是（ ）。
A、( )B、( )C、( )D、( )
三、想好了再规范的写
24、已知：在四边形ABCD中，AB=3cm, BC=5cm，CD= ,AD=2cm,AC⊥AB
初二数学(人教版)勾股定理应用(第二课时)—3学习任务单
《勾股定理应用（第二课时）》学习任务单【学习目标】本课应用勾股定理解决问题，体会数形结合、转化、分类讨论的思想方法，感受勾股定理的应用价值，提升数学推理的素养，提高分析问题、解决问题的能力。
共设计四道例题，由图形的几何特征，依据勾股定理发现数量关系（例1，例2，例3（1）），由数量关系发现构图的方法,拼接、画出几何图形(例3（2)，例4)。
【课前预习任务】复习勾股定理.【课上学习任务】1．例1从勾股定理几何原本中的表述起步，改变题目中的条件使图形从正方形到等边三角形到半圆，应用勾股定理，探讨图形发生变化,面积之间不变的数量关系.体验从几何图形特征到代数数量关系的转化，感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养。
2．例2的本质是把例1中一条直角边上的正方形经过全等变换改变图形位置得到的新图形，让学生从图形的几何特征，根据勾股定理探讨3个正方形面积间数量关系.使学生再次体验从几何图形特征到代数数量关系的转化，感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养。
3．例3(1)借助赵爽弦图，根据勾股定理,把图形面积转化为代数式的值；（2）问根据勾股定理，借助根号13的平方等于13恰好等于2与3的平方和这个数量关系，完成了从长方形到正方形的拼接.本题使学生体会从形到数，从数到形的转化,感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养。
4．由满足特殊的数量关系边长，根据勾股定理，找到画线段的方法,再通过按空间顺序有序展开线段的位置的分类讨论，最终应用勾股定理计算线段长度，确定图形。
让我们学生感受到数与形的交汇交融，再次感受勾股定理的应用价值.【课后作业】1。
如图,分别以在Rt∆ABC的三边AC ，BC , AB 为直径画半圆，求证：所得两个月形图案AFCD和月形图案BGCE的面积和等于Rt△ABC的面积。
122.有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个大正方形。
3。
∆ABC 三边长分别为2216m n +，2294m n +，222m n +，其中 00,m n >>，且m n >， 请你画出∆ABC 并求出它的面积。
(完整版)勾股定理课件
学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间2013 年月日第（）次课课时：2 课时教学课题勾股定理教学目标1、理解勾股定理并能运用2、能力目标：掌握勾股定理的证明过程重点难点重点：理解勾股定理并能运用难点：掌握勾股定理的证明过程教学过程知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2.已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为的线段。
(3)在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
习题word版：第十七章 勾股定理
第十七章 勾股定理17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理01 基础题知识点1 勾股定理的证明1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a 2＋b 2＝c 2．2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，能得到勾股定理吗？解：∵梯形的面积为12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab ＋12ab ＋12c 2，∴a 2＋2ab ＋b 2＝ab ＋ab ＋c 2. ∴a 2＋b 2＝c 2.知识点2 利用勾股定理进行计算3．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝90°，则下列等式中成立的是(C ) A ．a 2＋b 2＝c 2 B ．b 2＋c 2＝a 2 C ．a 2＋c 2＝b 2 D ．c 2－a 2＝b 2 4．(2019·平顶山期末)在△ABC 中，∠B ＝90°.若BC ＝3，AC ＝5，则AB 等于(C ) A ．2 B ．3 C ．4 D .34 5．已知直角三角形中30°角所对的直角边的长是2 3 cm ，则另一条直角边的长是(C ) A ．4 cm B ．4 3 cm C ．6 cm D ．6 3 cm 6．(2019·毕节)如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上．若EB ＝1，EC ＝2，则正方形ABCD 的面积为(B ) A .3 B ．3 C . 5 D ．57．(2019·洛阳期中)如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝5 cm ，BC ＝13 cm ，BD 是AC 边上的中线，则△BCD 的面积是15__cm 2．8．(2019·郑州高新区期末)如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为64．【变式】 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆S 1，S 2，S 3.若S 2＝32π，S 3＝18π，则斜边上半圆的面积S 1＝50π．知识点3赵爽弦图9．【关注数学文化】(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是(B),A) ,B) ,C) ,D)10．(2019·大庆)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是1．易错点直角边不确定时漏解11．(2019·洛阳期中)已知Rt△ABC的三边长为a，4，5，则a的值是(C)A．3 B.41C．3或41 D．9或4102中档题12．(本课时T8变式)如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作等边三角形．若AB＝4，则三个等边三角形的面积之和是(A)A．8 3 B．6 3C．18 D．1213．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB 上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6C．3 2 D.2114．(2019·河南)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为(A)A．2 2 B．4C．3 D.1015．(2018·荆州)为了比较5＋1与10的大小，可以构造如图所示的图进行推算，其中∠C ＝90°，BC ＝3，D 在BC 上且BD ＝AC ＝1.通过计算可得5＋1>10.(填“>”“<”或“＝”)16．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为32或42． 17．如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13， 设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2. ∴152－x 2＝132－(14－x)2.解得x ＝9. ∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84., 03 综合题) 18．(2019·毕节改编)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，求CD 的长度．解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝10， ∴∠ABC ＝30°.∴AB ＝2AC ＝20，BC ＝AB 2－AC 2＝10 3. ∵AB ∥CF ，∴∠BCM ＝∠ABC ＝30°.∴BM ＝12BC ＝12×103＝5 3.∴CM ＝BC 2－BM 2＝15. 在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝45°， ∴∠EDF ＝45°. ∴MD ＝BM ＝5 3.∴CD ＝CM －MD ＝15－5 3.第2课时勾股定理的应用01基础题知识点1勾股定理在平面图形中的应用1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．2．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高为1.6米．求风筝的高度CE.解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝CB2－BD2＝252－152＝20(米)．∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)．答：风筝的高度CE为21.6米．3．(2019·郑州管城区月考)如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距多少海里？解：由题意，得BO＝1.5×6＝9(海里)，AO＝1.5×8＝12(海里)，∠1＝∠2＝45°，故∠AOB＝90°，AB＝BO2＋AO2＝15(海里)．答：甲、乙两渔船相距15海里．知识点2两次勾股定理的应用4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C) A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米5．(教材P25例2变式)如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC 上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．知识点3利用勾股定理求两点间的距离6．(2019·常州)平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是5．7．(教材P26练习T2变式)如图，在平面直角坐标系中，A(4，4)，B(1，0)，C(0，1)，则B，C两点间的距离是2；A，C两点间的距离是5；A，B两点间的距离是5．8．(2019·大庆)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km 至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)；(2)确定C港在A港的什么方向．解：(1)由题意，得∠PBC＝30°，∠MAB＝60°.∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°.∴∠ABQ＝30°.∴∠ABC＝∠ABQ＋∠CBQ＝90°.∵AB＝BC＝10，∴在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝102≈14.1.答：A，C两港之间的距离约为14.1 km.(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.∴∠CAM＝60°－45°＝15°.∴C港在A港北偏东15°的方向上．02中档题9．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D)A．4米B．8米C．9米D．7米10．(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm.11．【方程思想】如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m(踏板厚度忽略不计)，右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1 m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m(不考虑支柱的直径)．求秋千支柱AD的高．解：设AD＝x m，则由题意可得AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m.在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2.解得x＝3.答：秋千支柱AD的高为3 m.12．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A 处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠P AO＝30°.∴AP＝2OP＝200 m，AO＝AP2－OP2＝2002－1002＝1003(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100 m.∴AB＝AO－BO＝(1003－100)m.∴从A到B小车行驶的速度为(1003－100)÷3≈24.4(m/s)＝87.84 km/h>80 km/h.∴此车超过80 km/h的限制速度．03综合题13．【分类讨论思想】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC 以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.∴BC＝4 cm.(2)由题意，知BP＝t cm，①当∠APB为直角时，如图1，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，∴t＝4；②当∠BAP为直角时，如图2，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2.在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，即52＋[32＋(t－4)2]＝t2.解得t ＝254.∴当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或254.第3课时 利用勾股定理作图01 基础题知识点1 在数轴上表示无理数 1．(教材P 27练习T 1变式)(2019·河南期末)如图，数轴上点A 对应的数是0，点B 对应的数是1，BC ⊥AB ，垂足为B ，且BC ＝2，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点D ，则点D 表示的数为(D )A ．2.2B . 2C . 3D . 52．在数轴上作出表示10的点(保留作图痕迹，不写作法)． 解：略．知识点2 网格中的无理数3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，－1)，则线段AB 的长度为(C ) A . 2 B . 3 C . 5 D ．34．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ，则CD 的长为(A ) A .255 B .355 C .455 D .455．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数8和－8.解：如图所示．知识点3 等腰三角形中的勾股定理6．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB ＝12 cm ，则AF ＝62cm .7．(2019·天水)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(B ) A ．(1，1) B ．(1，3) C ．(3，1) D ．(3，3)8．(教材P27练习T2变式)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13 cm ，BC ＝10 cm ，求等腰三角形的底边上的高与面积．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ， ∵AB ＝AC ＝13 cm ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×10＝5(cm)．∴AD ＝AB 2－BD 2＝132－52 ＝12(cm)，即等腰三角形底边上的高为12 cm.∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×10×12＝60(cm 2)．02 中档题 9．(2019·驻马店汝南县期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AC 长为半径作圆弧交边AB 于点D.若 AC ＝3，BC ＝4，则BD 的长是(A )A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，图中小正方形的边长为1，△ABC 的周长为(B )A ．16B ．12＋4 2C ．7＋7 2D ．5＋11 211．(教材P 27练习T 1变式)如图，数轴上点A 所表示的实数是5－1．12．点A ，B ，C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离为355．13．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长．解：∵△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形， ∴CB ＝CD ，∠CDE ＝∠DCE ＝60°.∴∠BDC ＝∠DBC ＝12∠DCE ＝30°.∴∠BDE ＝90°.在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝8， ∴BD ＝BE 2－DE 2＝82－42＝4 3.14．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图1中，以格点为端点，画线段MN ＝13；(2)在图2中，以格点为顶点，画正方形ABCD ，使它的面积为10.解：(1)如图． (2)如图．03 综合题15．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．OA 22＝(1)2＋1＝2，S 1＝12； OA 23＝(2)2＋1＝3，S 2＝22； OA 24＝(3)2＋1＝4，S 3＝32； …(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解：(1)OA 2n＝(n －1)2＋1＝n ，S n ＝n2(n 为正整数)． (2)OA 210＝(9)2＋1＝10， ∴OA 10＝10.(3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210 ＝(12)2＋(22)2＋(32)2＋…＋(92)2＋(102)2 ＝14＋24＋34＋…＋94＋104 ＝1＋2＋3＋…＋9＋104＝1＋102×104＝554.小专题(二) 利用勾股定理解决最短路径问题 ——教材P39复习题T12的变式与应用【例】 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A 点的直线AA ′剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB 这条路线走．解：如图，由题意可得：AA ′＝12，A ′B ＝12×2π×3＝9.在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理，得 AB 2＝A ′A 2＋A ′B 2＝122＋92＝225. ∴AB ＝15.∴需要爬行的最短路程是15 cm.图例圆柱――→展开长方 体阶梯 问题基本 思路将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解.1．(2018·禹州期中)如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)2．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为24 dm，3 dm，3 dm，点A和点B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是30__dm．3．如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm.(1)点A1到点C2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？解：(1)∵长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm，∴A2C2＝42＋12＝17(cm)．∴A1C2＝52＋（17）2＝42(cm)．(2)如图1所示，A2C1＝52＋52＝52(cm)．如图2所示，A2C1＝92＋12＝82(cm)．如图3所示，A2C1＝62＋42＝213(cm)．∵52＜213＜82，∴一只蚂蚁从点A2爬到C1，爬行的最短路程是5 2 cm.小专题(三)方程思想在勾股定理中的应用——教材P39复习题T10的解法剖析及变式应用【教材母题】一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．)解：设AB＝x尺，根据题意，得∠BAC＝90°，AB＋BC＝10尺，∴BC ＝(10－x )尺． ∵AC 2＋AB 2＝BC 2， ∴32＋x 2＝(10－x )2，解得x ＝41120.答：折断处离地面41120尺．在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠．类型1 利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数 量关系1．求下列直角三角形中未知的边长．解：如图1，设AC ＝x ，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°， ∴AB ＝2x.∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴(2x)2＝x 2＋32.∴x ＝3或－3(负值舍去)． ∴AC ＝3，AB ＝2 3.如图2，设AC ＝x ，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，∴BC ＝AC ＝x.∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴x 2＋x 2＝(32)2.∴x ＝3或－3(负值舍去)． ∴AC ＝BC ＝3.类型2 利用图形的折叠找两边的数量关系2．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为(C )A .53B .52C .83D ．53．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB ＝6．4．如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使其对角顶点A 与C 重合．若长方形的长BC 为8，宽AB 为4，则折痕EF 的长度为25．类型3 利用勾股定理和方程思想求点的坐标5．如图，在平面直角坐标系中，A(1，3)，试在x 轴上找一点P ，使△OAP 为等腰三角形，求出P 点的坐标．解：过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B. ∵A(1，3)，∴OB ＝1，AB ＝3. ∴OA ＝12＋32＝10.当AO ＝AP 时，以A 为圆心，AO 长为半径画弧与x 轴交于点O 与点P 1， ∵AB ⊥x 轴，∴BP 1＝BO ＝1，即P 1(2，0)；当OA ＝OP 时，以O 为圆心，OA 长为半径画弧与x 轴交于点P 2，P 3， ∵OA ＝10，∴P 2(10，0)，P 3(－10，0)；当PA ＝PO 时，作OA 的垂直平分线交x 轴于点P 4. 设OP 4＝x ，则BP 4＝x －1，AP 4＝OP 4＝x.在Rt △ABP 4中，AP 24＝AB 2＋BP 24， ∴x 2＝32＋(x －1)2.解得x ＝5，即P 4(5，0)．综上所述，使△OAP 为等腰三角形的点P 有：P 1(2，0)，P 2(10，0)，P 3(－10，0)，P 4(5，0)．17.2 勾股定理的逆定理01 基础题 知识点1 互逆命题1．下列各命题的逆命题不成立的是(C ) A ．两直线平行，同旁内角互补B ．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C ．对顶角相等D ．如果a 2＝b 2，那么a ＝b 2．(2019·安徽)命题“如果a ＋b ＝0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0．逆命题是真命题．(填“真命题”或“假命题”)知识点2 勾股定理的逆定理 3．(2019·郑州期末)下面四组数，其中是勾股数组的是(A ) A ．3，4，5 B ．0.3，0.4，0.5 C ．32，42，52 D ．6，7，8 4．(2019·洛阳洛龙区期中)由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形的是(D ) A ．a 2－b 2＝c 2B ．a ＝54，b ＝1，c ＝34C ．a ＝2，b ＝3，c ＝7D ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5 5．(2019·益阳)已知M ，N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：答案不唯一，如：5，12，13；7，24，25．7．已知：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a＝3，b＝22，c＝5；(2)a＝5，b＝7，c＝9；(3)a＝5，b＝26，c＝1.解：(1)是，∠B是直角．(2)不是．(3)是，∠A是直角．8．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5.∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°.02中档题9．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)A．10 B．11 C．12 D．1310．下列定理中，没有逆定理的是(B)A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°11．【关注数学文化】(2018·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为(A)A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米12．如图，方格中的点A，B称为格点(横线的交点)，以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为(B)A．3 B．4 C．5 D．613．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是直角三角形．14．(教材P34习题T6变式)如图，在正方形ABCD中，E，F分别BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝2 9DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形．证明：设FC ＝2a ，则DC ＝9a ，DF ＝7a. ∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ＝9a. ∵BE ＝2CE ，∴BE ＝6a ，EC ＝3a.在Rt △ECF 中，EF 2＝EC 2＋FC 2＝(3a)2＋(2a)2＝13a 2. 在Rt △ADF 中，AF 2＝AD 2＋DF 2＝(9a)2＋(7a)2＝130a 2. 在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2＋BE 2＝(9a)2＋(6a)2＝117a 2. ∵13a 2＋117a 2＝130a 2， ∴EF 2＋AE 2＝AF 2.∴△AEF 是以∠AEF 为直角的直角三角形．15．(教材P 34习题T 5变式)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，CD ＝3，DA ＝1，且∠B ＝90°.求： (1)∠BAD 的度数；(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)；(3)将△ABC 沿AC 翻折至△AB′C ，如图所示，连接B′D ，求四边形ACB′D 的面积．解：(1)∵AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°， ∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2. 又∵CD ＝3，DA ＝1， ∴AC 2＋DA 2＝CD 2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°.(2)∵S △ABC ＝12AB·BC ＝12，S △ADC ＝12AD·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.(3)过点D 作DE ⊥AB′，垂足为E ， 由(1)知∠DAC ＝90°.根据折叠可知∠B′AC ＝∠BAC ＝45°，AB ＝AB′＝1，S △AB′C ＝S △ABC ＝12.∴∠DAE ＝∠DAC －∠B′AC ＝45°. ∴AE ＝DE.设DE ＝AE ＝x ，在Rt △ADE 中，AE 2＋DE 2＝AD 2. ∴x 2＋x 2＝1.∴x ＝22.∴S △ADB′＝12×1×22＝24.∴S 四边形ACB′D ＝S △AB′C ＋S △ADB′＝12＋24＝2＋24.03 综合题16．(2019·呼和浩特改编)如图，在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对应的边分别为a ，b ，c.(1)若a ，b ，c 满足aa －b ＋c＝12（a ＋b ＋c ）c ，求证：△ABC 是直角三角形；(2)若a ＝m －n ，b ＝2mn ，c ＝m ＋n ，(其中m ，n 都是正整数，且m>n)，求证：△ABC 是直角三角形．证明：(1)原式可变形为aa ＋c －b＝a ＋b ＋c 2c ，∴(a ＋c)2－b 2＝2ac ，即a 2＋2ac ＋c 2－b 2＝2ac. ∴a 2＋c 2＝b 2.∴△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形．(2)∵a 2＝(m －n)2，b 2＝(2mn)2＝4mn ，c 2＝(m ＋n)2， ∴(m －n)2＋4mn ＝(m ＋n)2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形．章末复习(二)勾股定理01分点突破知识点1勾股定理(河南中招2019T9选，2018T9选，2017T18(2)解，2016T6选，2015T7选，2014T7选) 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝(C)A．6 B．6 2C．6 3 D．122．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为64cm2.3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.证明：连接AC.∵在△ABC中，∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°.∴在△ACD中，AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2.∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC.知识点2勾股定理的应用4．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)A．12 mB．13 mC．16 mD．17 m5．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在宽0.9 m，长1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需1.5__m长．6．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7．知识点3逆命题及逆定理7．“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题．知识点4勾股定理的逆定理及其应用8．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是(C)A．∠C是直角B．∠B是直角C．∠A是直角D．∠A是锐角02易错题集训10．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是100或28．11．(2018·襄阳)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为23或27．03河南常考题型演练12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D)A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋113．如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(A)A．8 cm B．6 cmC．5.5 cm D．1 cm14．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．GH，AB，CD15．(2019·信阳罗山县模拟)如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为(B)A．8 B．9.6 C．10 D．4 516．若一个三角形的周长为12 3 cm，一边长为3 3 cm，其他两边之差为 3 cm，则这个三角形是直角三角形．17．(2019·枣庄)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝6－2．18．(2019·河北)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．(1)A，B间的距离为20km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D 间的距离为13km.19．如图，有一块空白地，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积．解：连接AC.∵∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形．∴AD2＋CD2＝AC2，即82＋62＝AC2.解得AC＝10.又∵AC2＋CB2＝102＋242＝262＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°.∴S四边形ABCD＝S Rt△ACB－S Rt△ACD＝12×10×24－12×6×8＝96(m2)．故这块空白地的面积为96 m2.04核心素养专练20．(2019·邵阳)公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a ＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是4．周测(第十七章)(时间：40分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(C)A．8，15，17 B.2，3， 5C.3，2， 5 D．1，2， 52．已知命题：等边三角形是等腰三角形，则下列说法正确的是(B)A．该命题为假命题B．该命题为真命题C．该命题的逆命题为真命题D．该命题没有逆命题3．点A(－3，－4)到原点的距离为(C)A．3 B．4 C．5 D．74．如图，数轴上点A表示的数是0，点B表示的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝1，以A为圆心，AC 的长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为(B)A ．1.4 B. 2 C. 3 D ．25．将直角三角形的三条边长同时扩大一倍，得到的三角形是(C ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形6．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3.若AC ＝4，则AB 的长为(D ) A ．8 B ．6 C .433 D .8337．下面各三角形中，面积为无理数的是(C )8．如图，将边长为12的正方形ABCD 折叠，使得点A 落在CD 边上的点E 处，折痕为MN.若CE 的长为7，则MN 的长为(B )A ．10B ．13C ．15D ．无法求出9．已知直角三角形两条直角边的长之和为6，斜边长为2，则这个三角形的面积是(B ) A ．0.25 B ．0.5 C ．1 D ．2 310．已知一个直角三角形的斜边长为3，若以三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，则所作的三个等腰直角三角形的面积和为(A )A .92B .94C ．3D ．9 二、填空题(每小题4分，共20分)11．直角三角形斜边长是6，一直角边的长是5，则此直角三角形的另一直角边长为11．12．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A 为圆心，AB x 轴的负半轴于点C ，则点C 的坐标为(－1，0)．13．如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC 边AC 上的高BD 的长为85．14．如图，在△ABC 中，AB ∶BC ∶CA ＝3∶4∶5，且周长为36 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以每秒1 cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2 cm 的速度移动．若同时出发，则过3秒时，△BPQ 的面积为18cm 2.15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4.分别以AB ，AC ，BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF ，ACPQ ，BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于18．三、解答题(共50分)16．(8分)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上．(1)求△ABC 的面积；(2)求AB ，AC 的长． 解：(1)S △ABC ＝12×7×5 ＝17.5.(2)由勾股定理，得AB ＝32＋52＝34，AC ＝42＋52＝41.17．(10分)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，BC ＝6，AC ＝8，求AB 与CD 的长．解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，由勾股定理，得AB ＝BC 2＋AC 2＝10，∵S △ABC ＝12AB·CD ＝12AC·BC ， ∴CD ＝AC·BC AB ＝8×610＝4.8.18．(10分)如图，∠AOB ＝90°，OA ＝45 cm ，OB ＝15 cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？解：因为小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，所以BC ＝CA.设AC ＝BC ＝x ，则OC ＝45－x ，由勾股定理可知OB 2＋OC 2＝BC 2.又因为OB ＝15，所以152＋(45－x)2＝x 2.解得x ＝25.答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是25 cm .19．(10分)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S ，则求其边长的方法为：第一步：S 6＝n ；第二步：n ＝k ；第三步：分别用3，4，5乘k ，得三边长．当面积S 等于150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．解：当S ＝150时，k ＝n ＝S 6＝1506＝25＝5， ∴三边长分别为3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25.∴这个直角三角形的三边长为15，20，25.20．(12分)在正方形ABCD 中，过点A 引射线AH ，交边CD 于点H(点H 与点D 不重合)，通过翻折，使点B 落在射线AH 上的点G 处，折痕AE 交BC 于点E ，延长EG 交CD 于点F.如图1，当点H 与点C 重合时，易证得FG ＝FD(不要求证明)；如图2，当点H 为边CD 上任意一点时，求证：FG ＝FD.【应用】 在图2中，已知AB ＝5，BE ＝3，则FD ＝54，△EFC 的面积为154．(直接写结果)证明：连接AF ，由折叠的性质可得，AB ＝AG ＝AD.在Rt △AGF 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AD ，AF ＝AF ， ∴Rt △AGF ≌Rt △ADF(HL )．∴FG ＝FD.。
勾股定理可知(最全)word资料
勾股定理可知(最全)word资料由勾股定理可知在浩瀚的数学星空里，勾股定理像是一颗璀璨的明星闪耀在数学的星空上。
我国是最早了解勾股定理的国家之一。
早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”。
他被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，这是我国最早对勾股定理的记载。
勾股定理的奥秘：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用a、b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么就会得到a²+b²=c²。
此公式另可以变形为b²=c²-a²和a²=c²-b²。
当然，学习勾股定理是要学以致用，勾股定理在生活中最大的用处就是证明直角三角形，从而解决一些实际性的问题。
此外，为了方便计算，我们也要记住一些常用的勾股数，如：“3、4、5”，“5、12、13”等等。
值得注意的是，勾股数的倍数也是勾股数，如“6、8、10”也是一组勾股数，它就是“3、4、5”的二倍。
可是，在我们享受着勾股定理为我们的生活带来便利的同时，也要想一想，勾股定理真的是正确的吗？聪明的毕达哥拉斯已经在几千年前给了我们答案。
但是在我国古代却有一种非常奇特无字证明法，它就是青朱出入图。
如图所示以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。
以赢补虚，只要把图中朱方的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形，由此便可证得a²+b²=c²。
勾股定理的出现已经有几千年了，应用非常广泛，在古代作为构造直角三角形的工具。
比如分土地时不知道怎样能分出直角三角形，这时就要使用勾股定理。
在现代勾股定理已经融入现代科技中和生活中，比如：在建筑学领域，利用勾股定理可此测量出房屋与地面是否垂直。
另外，如果将勾股定理与物理学中的力学完美的结合起来，勾股定理将会发挥更大更神奇的作用。
勾股定理公式表计算大全
勾股定理公式表计算大全一、勾股定理公式的由来和意义在数学中，勾股定理是一个基本的几何定理，用于计算直角三角形的边长关系。
它的发现归功于古希腊数学家毕达哥拉斯，被称为毕达哥拉斯定理，后来被称为勾股定理。
勾股定理的公式表提供了方便的手段，用于计算和验证直角三角形的边长。
本文将详细介绍勾股定理公式的计算大全。
二、勾股定理公式表勾股定理公式表是用于计算直角三角形边长关系的便利工具。
以下是常见的勾股定理公式表：1. 直角三角形的边长关系：a² + b² = c²2. 已知两边求第三边：a = √(c² - b²)b = √(c² - a²)c = √(a² + b²)3. 已知直角边和斜边，求另一直角边：a = √(c² - b²)b = √(c² - a²)4. 边长为整数的勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)、(7,24,25)等5. 勾股定理的逆定理：若a² + b² = c²，则该三边构成直角三角形6. 勾股定理的常见应用：在建筑、地理、物理等领域，勾股定理被广泛应用于计算和测量。
三、勾股定理公式表的运用示例下面将通过几个实际问题的计算展示勾股定理公式表的运用：1. 问题一：已知直角三角形两直角边分别为3cm和4cm，请计算斜边的长度。
解答：根据已知直角边的长度代入公式可得：c = √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5cm因此，斜边的长度为5cm。
2. 问题二：已知直角三角形斜边为10cm，一直角边为6cm，请计算另一直角边的长度。
解答：根据已知斜边和一直角边长度代入公式可得：b = √(10² - 6²)= √(100 - 36)= √64= 8cm因此，另一直角边的长度为8cm。
(完整版)勾股定理思维导图+题型总结
(一)勾股定理1：勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c,那么a 2+b 2＝c 2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证cbaHG F EDCBAa bcc baED CBA bacbac cabcab 弦股勾4：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
(完整word版)初中数学--勾股定理
聚智堂学科教师辅导讲义课 题勾股定理2 2 21勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边 c 的平方。
(即：a+b=c )2、 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长： a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是教学目的直角三角形。
2 . 2 23、 满足a b c 的三个正整数，称为 勾股数。
教学内容、日校回顾、知识回顾1. 勾股定理如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、面积之间存在这样的关系： 即C 的面积=B 的面积+A 的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题， 于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明：(1) 勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了。
年 级:学员姓名：课时数：辅导科目：数学学科教师： 辅导时间:发现正方形 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为(2)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。
在没有特殊说明的情况下，直角三角形中，a，b是直角边，c是斜边，但有时也要考虑特殊情况。
(3)除了利用a, b, c表示三边的关系外，还应会利用AB BC, CA表示三边的关系，在△ ABC中，/ B= 90°，利用勾股定理有AB2 BC2 AC2。
2. 利用勾股定理的变式进行计算c , 可推出如下变形公式：由a2b 2(1a2c2b2;)(2b2c2 2 a)(3a c2b2)b\ c2 2 a(4)(5c\ a22b (平方根将在下一章学到))说明：上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。
三、知识梳理1、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。
勾股定理四大核心知识讲义(解析版)
专题02 勾股定理四大核心知识讲义【勾股定理证明】赵爽弦图ab c()22142c ab b a =⨯+-，化简得：222a b c +=.欧几里得证明方法证明：S 1+S 2=S 3；△ABF ≌△ADE →S △ABF =S △ADE →2 S △ADE =S 长方形AENM =S 正方形ABCD =2 S △ABF 同理，S MNPF =S 1 故S 1+S 2=S 3 方法3ABD C BD D BDDAC D S S S S '''''=++△△△梯形，即：()2211112222a b ab ab c ⨯+=++化简得：222a b c += 方法422211112222c ab ab a b ab ab ++=+++，化简得：222a b c +=.总统证明法A BD C A'D'C'a bca bcca bac bac bac bb ac()2211112222a b ab ab c ⨯+=++化简得：222a b c += 达芬奇证明法a 2+b 2+2×12ab =c 2+ ab ，a 2+b 2=c 2【勾股定理应用】【勾股数】1. 毕达哥拉斯学派提出2221,22,221a n b n n c n n =+=+=++（n 为正整数）是一组勾股数.2. 我国《九章算术》中提到：()2212a m n =-，()221,(2b mn c m n m n ==+、为正整数，m n >）时，,,a b c 构成一组勾股数； 3. a 2－b 2，2ab ，a 2+b 2（a 、b 为正整数，且a >b ）4. 常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；9、40、41……5. 直角三角形三边长为a 、b 、c ，斜边c 上的高为h ，则：以111,,a b h为边的三角形是直角三角形.6. 若a 、b 、c 是一组勾股数，则ka 、kb 、kc （k 为正整数）是一组勾股数.【在做某些题时较为简便】 【几个经典图形】结论：S 阴影=S △结论：23c a b a ===、、结论： c a ==、 ∠A =∠B =30°结论：2c a S ==△、、结论：2h S =△、 【勾股定理逆定理证明】命题：由题设和结论组成.将原命题的题设与结论互换即为其逆命题.如：“对顶角相等”的逆命题为：“相等的角是对顶角”.勾股定理逆定理证法：（构造全等三角形）【典例解析】【题型一】勾股定理及其应用 赵爽弦图【例1】（2020·河南南阳市月考）下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边()x y >，下列四个说法：①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=．其中说法正确的是（ ）．A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①②③④【答案】B .【解析】解：如图所示，∵△ABC 是直角三角形， ∴x 2+y 2=49，故①正确； 由图可知x -y =CE =2，故②正确；四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 即：2xy +4=49，故③正确； 2xy =45， ∵x 2+y 2=49，∴（x +y ）2=45+49=94，故④错误； 故答案为：B ．【例2】（2021·沙坪坝区期末）我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝2，BC ＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．B．C．12D．12【答案】D.【解析】解：如图，CB=BD，∵AC=2，CD=2BC=6由勾股定理得：AD==AD+BD=3，+=．∴风车的外围周长是：4×()312故答案为：D．【变式1】（2021·四川资阳市期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．【答案】（1）见解析；（2）23.【解析】解：（1）大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab，小正方形面积为（b﹣a）2，∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2，即c2＝a2+b2；（2）由图可知：（b﹣a）2＝3，4×12ab＝13﹣3＝10，∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．【变式2】（2021·浙江湖州市期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点,,,E F G H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图中所示的格点弦图中，正方形ABCD，此时正方形EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形ABCD时，正方形EFGH的面积的所有可能值是________(不包括52)．【答案】36或50.【解析】解：设四个全等的直角三角形的直角边边长分别为a，b．则正方形EFGH的边长为a+b，即S EFGH=（a+b）2．①当a=5，b=1或a=1，b=5时，此时S EFGH=36．②当a =b ， 此时S EFGH =52．③当a =b =S EFGH =50 故答案为：36或50．【变式3】（2020·山东威海市期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形两直角边分别为a ，()b a b >，且3ab =，大正方形的面积为8，则a b -=____．【解析】解：小正方形的边长为a -b ，ab =3， （a -b ）2=8－2ab =2，∴a -b ；【变式4】（2020·河南南阳市期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示摆放，其中b a >，点E 在线段AC 上，点B 、D 在边AC 两侧，试证明：222+=a b c ．【答案】见解析.【解析】证明：如图2，连接BD 、CD ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，则DF =CE =b -a ． ∵△ABC ≌△DAE ∴∠ABC =∠DAE ，∵△ABC 是直角三角形，∠ACB =90°， ∴∠ABC +∠BAC =90°， ∴∠DAB =∠DAE +∠BAC =90°．∵S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =212c +1()2a b a -． S 四边形ADCB =S △ADC +S △ACB =21122b ab +，∴212c +1()2a b a -=21122b ab +， ∴a 2+b 2=c 2． 勾股定理与面积【例1】（2021·陕西西安市期末）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E 的面积是___．【答案】66.【解析】解： A 、B 的面积和为S 1，C 、D 的面积和为S 2， S 1=42+52，S 2=32+42，则S 3=S 1+S 2，S 3=16+25+9+16=66． 故答案为：66．【例2】（2020·浙江杭州市）勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角三角形ABC 的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为123,,S S S ，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形PQMNHG ）的面积记为4S ，则1234,,,S S S S 的关系为（ ）A ．1234S S S S +=+B ．1324S S S S +=+C ．1234S S S S ++=D ．1234S S S S ++<【答案】C .【解析】解：设图1最大正方形的面积为S 5,较小正方形面积为S 6，最小正方形面积为S 7， 则S 5= S 6+ S 7，图2中空白部分面积为：S 6+ S 7-S 4, 而S 1+S 2+S 3+S 空白=S 5= S 6+ S 7， 即S 1+S 2+S 3+ S 6+ S 7-S 4 = S 6+ S 7 S 1+S 2+S 3= S 4 故答案为：C .【例3】（2020·扬州市期中）如图1，有一个面积为2的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长后，变成图3：“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长n 次后，变成的图中所有正方形的面积用n S 表示，则n S =______．【答案】2n＋2.【解析】解：经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍，∴生长n次后，变成的图中所有正方形的面积S n=2n+2，故答案为：2n+2．【变式1】（2019·北京昌平区期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出了2个小正方形（如图①），其中，3个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，又生出了4个小正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，在“生长”了2019次后形成的图形中所有正方形的面积和是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C.【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2=c2，即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，生长1次后，所有的正方形的面积和是2，同理可得，生长2次后，所有的正方形的面积和是3，生长3次后，所有的正方形的面积和是4，⋯⋯所以，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1=2020．故答案为：C．【变式2】（2020·浙江期末）在ABC中，已知::5:12:13AC BC AB=，AD是ABC 的角平分线，DE AB⊥于点E．若ABC的面积为S，则ACD△的面积为（）A．14S B．518S C．625S D．725S【答案】B.【解析】设AC=5k，BC=12k，AB=13k，∴AC2+BC2=AB2∴△ABC为直角三角形，∠C=90°，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED =90°，∵AD=AD，∴△ACD≌△AED，∴S△ACD=S△AED，AE=AC=5k，∴BE=13k-5k=8k，S△BED：S△AED=8:5∴S△ACD=518S．故答案为：B.勾股定理及勾股数应用【例1】（2020·长汀县月考）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？【答案】沿北偏西40°方向航行．【解析】解：PQ =16×1.5=24（海里）， PR =12×1.5=18（海里），∵QR =30，242+182=302，即PQ 2+PR 2=QR 2，∴∠QPR =90°．由“远航”号沿北偏东50°方向航行可知，∠QPS =50°．则∠RPS =∠QPR －∠QPS =90°－50°=40°，即“海天”号沿北偏西40°方向航行．【例2】阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21()2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数． 应用：当n =1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【答案】12，13或3，4．【解析】解：当n =1，a =12（m 2﹣1），b =m ，c =12（m 2+1）， ∵直角三角形有一边长为5，∴当a =5时，12（m 2﹣1）=5，解得：m， 当b =5时，即m =5，得，a =12，c =13，当c =5时，12（m 2+1）=5，解得：m =±3， ∵m ＞0，∴m =3，得，a =4，b =3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．【例3】（2021·河南洛阳市期末）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，5cm =BC ，12cm AC =，三个内角的平分线交于点P ，则点P 到AB 的距离PH 为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3013cmD ．6013cm 【答案】B . 【解析】解：在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB =13∵三个内角的平分线交于点P∴P 到三角形ABC 三边的距离相等，均为PH 的长S △ABC =S △APC +S △APB +S △BCP =12（AC +BC +AB ）·PH S △ABC =12·BC ·AC ∴12×5×12=12×（5+12+13）·PH ∴PH =2故答案为：B ．【变式1】（2020·浙江嘉兴市期末）如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（ ）A ．93B ．30C ．120D ．无法确定【答案】C .【解析】解：由题意知∠ADB =∠ADC =90°∴由勾股定理得：AB 2=AD 2+BD 2，AC 2=AD 2+CD 2，∴AC 2－AB 2=CD 2-BD 2，即172-132= CD 2-BD 2同理，CM 2－MB 2=CD 2－BD 2=172-132=120故答案为：C .【变式2】阅读：所谓勾股数就是满足方程222x y z +=的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数.我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该方程的解为：2212x m n （）=-，y mn =，2212z m n =+（），其中0m n >>，m ，n 是互质的奇数．应用：当3n =时，求一边长为8的直角三角形另两边的长．【答案】15，17．【解析】解：当x =8 时，()221382m -=， 解得m =5或m =-5（舍），∴y =mn =15，z =17.当y =8时，3m =8，m =83（舍）当z =8时，()221382m +=，解得m =（舍） 综上所述，当n =3时，一边长为8的直角三角形另两边的长分别为15，17．特殊三角形中的应用【例1】（2020·山东威海市期末）七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为20cm 的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．210cmB ．225cm 2C 2D ．225cm【答案】B .【解析】解：如图，BC =20，CD =BD =EM ，∴EG =GM ，∴EF =FG =5，∴S =12EF 2=252， 故答案为：B .【例2】（2021·北京房山区期末）如图甲，直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，……，按此规律作等腰直角三角形n n OA B （1n ≥，n 为正整数），则22A B 的长及20212021OA B 的面积分别是（ ）A ．2，20202B ．4，20212C ．20202D ．2，20192【答案】A . 【解析】解：由题意可得：OA =AB =AB 1=1，OB 1=2，∵△OA 1B 1为等腰直角三角形，∴OA 1=A 1B 1，∴OB 2=2OA 1=OA 2=A 2B 2=2，……∴OA n=n， ∵S △OAB =12，S △OA 1B 1=1，S △OA 2B 2=2，…… ∴S △OAnBn =12n -，∴S △OA 2021B 2021=20202，故答案为：A ．【例3】（2021·福建厦门期末）如图，△ABC 与△BED 全等，点A ，C 分别与点B ，D 对应，点C 在BD 上，AC 与BE 交于点F ．若∠ABC ＝90°，∠D ＝60°，则AF ：BD 的值为_____．【答案】3：4．【解析】解：根据题意知，△ABC ≌△BED ，则∠ACB ＝∠D ＝60°，∠ABC ＝∠BED ＝90°，AC ＝BD ，∴AC //ED ．∴∠AFB ＝∠E ＝90°∴∠DBE =∠A =30°设AF =x ，BF =a ，在Rt △ABF 中，AB =2BF =2a ，由勾股定理得：（2a ）2=a 2+x 2，即a=3x ，BF=3x ，AB=3x 同理，在Rt △ABC 中，CF =13x ，AC =AF +CF =43x ， ∴3443AF x AC x == 故答案为：3：4．【变式1】（2021·安徽安庆市期末）如图，在平面直角坐标系中，12OA =，130AOx ∠=︒，以1OA 为直角边作12Rt OA A △，并使1260AOA ∠=︒，再以12A A 为直角边作123Rt A A A △，并使21360A A A ∠=︒，再以23A A 为直角边作234Rt A A A △，并使32460A A A ∠=︒，…，按此规律进行下去，则2020A 的坐标是_______．【答案】(0，1－31010).【解析】解：∵∠A 1Ox =30°，∠A 1OA 2=60°，∴∠A 2Ox =90°，A 2在y 轴上，在Rt △A 1A 2O 中，OA 1=2，∴OA 2=2OA 1=4，A 1A 2∴A 2的纵坐标为：4，∴A 2（0，4），同理，A 3(-1)，A 4（0，-8），A 1在第一象限，A 2在y 轴正半轴上，A 3在第二象限，A 2在y 轴负半轴上，由此发现：点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n ，每四次一循环，2020÷4=505，∴点A 2020在y 轴的负半轴上，纵坐标是：20201010131⎡⎤--=-+⎢⎥⎣⎦， 故答案为：(0，1－31010).影响时间【例1】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是分钟．【答案】0.48．【解析】解：过点A作AD⊥ON于D，∵∠MON＝30°，AO＝160m，∴AD＝12OA＝80m，以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12 BC，在Rt△ABD中，BD60m==，∴BC＝120m，∵卡车的速度为250米/分钟，∴卡车经过BC的时间＝120÷250＝0.48分钟，故答案为：0.48．【例2】（2021·四川资阳期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【答案】（1）会受噪声影响，见解析；（2）2分钟.【解析】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝150200250⨯＝120（m），∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED=（m），∴EF＝50×2=100（m），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【例3】（2021·重庆万州期末）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方18米的C 处，过了2秒后到达B 处（BC ⊥AC ），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB 为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？【答案】超速，每小时超速3.2千米．【解析】解：根据题意，得AC =18，AB =30，∠C =90°，在Rt △ACB 中，由勾股定理可得：BC =24即小汽车2秒行驶24米，即小汽车行驶速度为：43.2千米/时，43.2>40，所以小汽车超速行驶，超速3.2（千米/时）．【变式1】（2021·重庆期末）如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且30QPN ∠=︒，在A 处有一所中学，120AP =米，此时有一辆消防车在公路MN 上沿PN 方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．（1）学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，则影响时间是多长？【答案】（1）学校受到噪音影响，见解析；（2）32秒.【解析】解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：过A 作AB ⊥MN 于B ，∵PA =120，∠QPN =30°∴AB =12PA =60 而60<100，故消防车在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受到噪音影响；（2）以点A 为圆心，100m 为半径作圆交MN 于C 、D ，在Rt △ABC 中，AC =100，AB =60，由勾股定理得：BC =80同理，BD =80∴CD =160，拖拉机在线段CD 上行驶所需要的时间为：160÷5=32（秒），∴学校受影响的时间为32秒．【变式2】（2020·吉林长春市期末）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【答案】超速.【解析】解：根据题意，得AC =30m ，AB =50m ，∠C =90°，在Rt △ACB 中，BC =40m∴小汽车的速度为40÷2=20 m /s =72 km /h >70 km /h ；A C BAB∴这辆小汽车超速．最值问题【例1】（2021·江苏泰州市期末）已知△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，动点P 在线段BC 上从B 点向C 点运动，连接AP ，则AP 的最小值为等于________．【答案】4.【解析】解：过A 作AP ⊥BC 于P ，∵AB =AC =5，∴BP =12BC =3， 在Rt △ABP 中，由勾股定理得，AP =4由垂线段最短知，AP 的最小值为4故答案为：4．【例2】（2021·重庆渝北区期末）如图，在等腰ABC 中，13AB AC ==，AD 是ABC 的高，12AD =，10BC =，E 、F 分别是AC 、AD 上一动点，则CF EF +的最小值为______．【答案】12013. 【解析】解：作E 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，过C 作CN ⊥AB 于N ，∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10，AD 是BC 边上的高，∴BD ＝DC ＝5，AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，在Rt △ABD 中，AD ＝12，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ＝12×AB ×CN ， ∴CN ＝BC ×AD ÷AB ＝12013， ∵E 关于AD 的对称点M ，∴EF ＝FM ，∴CF ＋EF ＝CF ＋FM ＝CM ，根据垂线段最短得出：CM ≥CN ，即CF ＋EF ≥12013， 即CF ＋EF 的最小值是12013， 故答案为：12013． 【例3】（2021·江苏连云港市期末）如图，90MON ∠=︒，已知ABC ∆中，10AC BC ==，12AB =，ABC ∆的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，ABC ∆的形状保持不变，在运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）A ．12.5B ．13C ．14D ．15【答案】C .【解析】解：取AB的中点D，连接CD∵AC=BC=10，AB=12，∵点D是AB边中点，∴BD=12AB=6，CD⊥AB，∴CD=8，连接OD，OC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值=OD+CD，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=12AB=6∴OD+CD=6+8=14，即OC的最大值=14，故答案为：C．新定义问题【例1】（2020·渠县月考）阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华的说法：“等边三角形一定是奇异三角形”______正确（填“是”或“不是”）（2）在Rt ABC中，两边长分别是a=10c=，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．【答案】（1）是；（2）①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC 是奇异三角形．【解析】解：（1）设等边三角形的边长为a，∵a2+a2=2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，∴“等边三角形一定是奇异三角形”是正确的，故答案为：是；(2)①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形；理由如下，分两种情况：①当c为斜边时，b=∴a=b，∴a2+c2≠2b2(或b2+c2≠2a2)，∴Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，b ，∵a2+b2=200，∴2c2=200，∴a2+b2=2c2，∴Rt△ABC是奇异三角形．【例2】（2021·北京昌平区）定义：点P是ABC内部的一点，若经过点P和ABC中的一个顶点的直线把ABC平分成两个面积相等的图形，则称点P是ABC关于这个顶点的均分点．例如图中，点P是ABC关于顶点A的均分点．（1）下列图形中，点D一定是ABC关于顶点B的均分点的是________；（填序号）（2）如图，在ABC 中，9,010BAC BC ︒∠==，点P 是ABC 关于顶点A 的均分点，直线AP 与BC 交于点D ，当BP AD ⊥时，4BP =，求CP 的长．【答案】（1）④；（2）【解析】解：（1）①D 点在直线AE 上，故D 点不是△ABC 关于顶点B 的均分点． ②D 点在直线AE 上，故D 点不是△ABC 关于顶点B 的均分点．③不能推出AE =EC ，即不能说明△ABE 和△BCE 面积相等，故不能证明D 点是△ABC 关于顶点B 的均分点．④由AE =EC ，可知△ABE 和△BCE 面积相等，所以D 点是△ABC 关于顶点B 的均分点． 故答案为：④．（2）过点C 点作CE ⊥AP 于E ，∵点P是△ABC关于顶点A的均分点，BC=10，∴BD=CD=5，在Rt△BPD中，由勾股定理得：PD=3，易证：△BPD≌△CDE，∴PD=DE=3，PB=CE=4，∴PE=2PD=6在Rt△PEC中，由勾股定理得：PC【例3】（2020·浙江嘉兴市期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．（1）特例感知①等腰直角三角形_________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；②如图1，已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若AD=，试求线段CD的长度．BD=1（2）深入探究>，CD是AB边上试如图2，已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA CB探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；【答案】（1）①是；②2；（2）见解析．【解析】解：（1）是；②由题意知，CD⊥AB，BD AD=1，由勾股定理可得：BC2=DC2+BD2=DC2+5，AC2=CD2+1,∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，CD是AB边上的高，∴CD2=BC2－AC2，∴CD2=4，解得：CD=2（-2舍去）；（2）AD=CB，∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高，∴CD2=AC2-BC2，∵CD⊥AB∴AC2-CD2=AD2∴BC2=AD2∴BC=AD【变式1】我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．（1）如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P 是△APD的准外心；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC 的直角边上，试求AP的长．【答案】（1）见解析；（2）AP的长为32或2或78.【解析】解：（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠P AB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠P AB＝∠DPC，∴△ABP≌△PCD，∴AP＝PD，∴点P是△APD的准外心；（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC=4，当P点在AB上，P A＝PB，则AP12=AB32=；当P点在AC上，P A＝PC，则AP12=AC＝2，当P 点在AC 上，PB ＝PC ，如图，设AP ＝t ，则PC ＝PB ＝4﹣x ，在Rt △ABP 中，32+t 2＝(4﹣t )2，解得t 78=， 即此时AP 78=， 综上所述，AP 的长为32或2或78． 【变式2】（2021·浙江宁波市）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足290αβ+=︒，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若ABC 是“近直角三角形”，90B ∠>︒，50C ∠=︒，则A ∠=_____度；（2）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =．若CD 是ACB ∠的平分线，①求证：BDC 是“近直角三角形”；②求BD 的长．（3）在（2）的基础上，边AC 上是否存在点E ，使得BCE 也是“近直角三角形”？若存在，直接写出．．．．CE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）20，（2）①见解析；②53；（3）52或74． 【解析】解：（1）∠B 不可能是α或β，当∠A =α时，∠C =β=50°，此时，α+2β=90°，不成立当∠A =β，∠C =α=50°时，β=20°（2）①∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠BCD又∠BAC=90°∴∠ACB+∠B=90°即2∠BCD+∠B=90°∴△BCD是“近直角三角形”．②过点D作DH⊥BC于H在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC=5 可得：△ACD≌△HCD∴DH=AD，AC=CH=4，∴BH=1设BD=x，则DH=3-x，在Rt△BDH中，x2=（3-x）2+1，解得：x=53，即BD=5 3 .（3）①过点E作EF⊥BC于F，设CE=x，则AE=4-x，EF=4-x由AB=BF=3得：CF=2，在Rt△CEF中，x2=22+（4-x）2，解得：x=5 2②当∠ABE =∠C 时，延长EA 至G ，使得AE =AG ，根据条件可得：△ABG ≌△ABE ，∴∠GBA =∠C =∠EBA由∠GBA +∠G =90°，知∠C +∠G =90°，故∠GBC =90°设CE =x ，则AE =AG =4-x ，∴（4-x ）2+32=（8-x ）2-52，解得：x =74综上所述，满足题的CE 值为52或74． 【变式3】（2021·浙江宁波期末）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．（12，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；（3）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5BC =，CD 为ABC 的中线，若BCD △是平方倍三角形，求ABC 的面积．【答案】（1）是；（2）1：1；（3252. 【解析】解：（1）此三角形是平方倍三角形，理由如下：∵22223+=⨯，满足是平方倍三角形的定义，2的三角形是平方倍三角形；（2）在Rt ∆ABC 中，则a 2+b 2=c 2，∵Rt ∆ABC 是平方倍三角形，∴c 2+b 2=3a 2，∴a 2+b 2=3a 2－b 2∴a =b ，c a故该直角三角形的三边之比为1：1；（3）∵Rt △ABC 中，CD 为△ABC 的中线，∴CD =12AB =AD =BD ， 设CD =12AB =AD =BD =x ，则AB =2x ， ∵AB ＞BC ，∴2x ＞5，即：x ＞52， ∵△BCD 是平方倍三角形，①当BD 2+CD 2=3BC 2，即x 2+x 2=3×52，解得：x （舍负），∴AB =2x =AC =∴△ABC 的面积=152⨯= ②当BC 2+BD 2=3DC 2，则52+x 2=3x 2，解得：x =2（舍负），∴AB =2x =AC =5，∴△ABC的面积=2555122⨯⨯=，综上所述，△ABC 25 2．【题型二】勾股定理逆定理及其应用判断三角形形状【例1】（2021·江苏苏州市期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝3：4：5【答案】C.【例2】（2021·山西长治市期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则ABC∠的度数为（）A．45︒B．50︒C．55︒D．60︒【答案】A.【解析】解：如图，连接AC，由题意可得：22221310,125=AB AC BC=+==+=∴AC=BC，AB2=AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°，故答案为：A．【变式1】（2021·浙江绍兴市期末）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC．设AB=x，若ABC为直角三角形，则x=__．【答案】43或53.【解析】解：∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x ∴1+x＞3-x，1+3-x>x解得：1<x<2.①∵1＜x，∴AC不能为斜边，②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=53，满足1＜x＜2，③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=43，满足1＜x＜2，故答案为：43或53．【变式2】（2021·江西吉安市期末）如图，在四边形ABCD中，CD＝AD＝，∠D＝90°，AB＝5．BC＝3．（1）求∠C的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）135°；（2）10．【解析】解：连接AC，如图，∵∠D＝90°，∴AD2+CD2=AC2∵CD＝AD＝∴AC=4∵AB＝5．BC＝3∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°∵CD＝AD∴∠ACD=45°∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°. （2）S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=1122AC BC AD CD ⨯+⨯=114322⨯⨯+⨯=10.【变式3】（2021·广东佛山市期末）在△ABC中，（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．【答案】（1）150；（2）66.【解析】解：（1）∵AC＝15，AD＝9，CD＝12 ∴CD2+AD2=AC2，∴∠ADC=90°，∠BDC=90°在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=16∴AB=AD+BD=25∴S△ABC=112512150 22AB CD⋅=⨯⨯=.（2）过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90°设AD=x，则BD=x+11由勾股定理得：CD2=132-x2=202-（x+11）2，解得：x=5∴CD2=144，即CD=12，∴S△ABC=11111222AB CD⋅=⨯⨯=66.三角形存在性问题【例1】（2021·福建泉州市期末）Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5．图1 图2（1）如图1，点E在边BC上，且∠AEC=2∠B．①在图1中用尺规作图作出点E，并连结AE（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；②求CE的长．（2）如图2，点D为斜边上的动点，连接CD，当△ACD是以AC为底的等腰三角形时，求AD的长．【答案】（1）①见解析；②78；（2）2.5.【解析】解：（1）①作∠BAE=∠B②由勾股定理，得BC=4∵∠AEC=∠B+∠BAE，又∵∠AEC=2∠B，∴∠BAE=∠B ，∴BE=AE，．设CE=x，则BE=AE=4-x，在Rt△AEC中，x2+32=（4-x）2，∴x=7 8 .（2）AC为底时，AD=CD，∴∠A=∠DCA∵∠A+∠B=90°，∠DCA+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD，即AD =BD =2.5．【例2】（2021·广东佛山市期末）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，20AB cm =，16AC cm =，点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度向点C 运动，连接PB ，设运动时间为t 秒（0t >）（1）求BC 的长．（2）当PA PB =时，求t 的值．【答案】（1）12；（2）252. 【解析】解：（1）由勾股定理可得：BC 2+AC 2=AB 2，BC ；（2）由题意知P A =PB =t ，PC =16-t ，在Rt △PCB 中，（16-t ）2=t 2-122，解得：t =252， ∴当点P 运动到P A =PB 时，t 的值为252． 【变式1】（2020·南阳市月考）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，20AB =，15BC =，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止，若设点D 运动的时间为t 秒，点D 运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当2t =时，CD =______，AD =______；（请直接写出答案）（2）当t 为何值时，CBD 是直角三角形；（写出解答过程）（3）求当t 为何值时，CBD 是等腰三角形？并说明理由．【答案】（1）4，21；（2）92或252；（3）254或152或9．【解析】解：（1）t=2时，CD=2×2=4，∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，∴AC=，AD=AC-CD=25-4=21；故答案为：4，21；（2）①∠CDB=90°时，S△ABC=12AC•BD=12AB•BC，∴BD=12，CD=，∴2t=9，解得：t=92（秒）；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，∴2t=25，解得：t=252（秒）；综上所述，当t=92或252秒时，△CBD是直角三角形；（3）①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，则CE=BE，DE∥AB，∴CD=AD=12AC=252，∴2t=25 2，解得：t=254（秒）；②CD=BC时，CD=15，∴2t=15，解得：t=152（秒）；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，同理可得：CF=9，则CD=2CF=18，∴2t=18，t=9（秒）；综上所述，当t=254或152或9秒时，△CBD是等腰三角形．41。
(完整word版)勾股定理知识点+对应类型(良心出品必属精品)
第二章 勾股定理、平方根专题第一节 勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；勾股定理和 平方根勾股定理平方根 立方根 实数近似数、 有效数字判定直角三角形勾股定理的验证定义、性质 开平方运算开立方运算定义、性质（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
勾股定理(PPT)4-2.
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别 为a、b，斜边长为c。那么a2+b2=c2
两千多年来，人们对这个命题的证明颇感兴趣。 因为这个命题太贴近人们的生活实际，以至于古往今 来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究 它的证明，因此不断出现新的证法。你能对命题1加以 验证吗？
看书P73-74，再画一画，剪一剪，你能发现什么？
生树种的有元宝枫、栎类、桦木、侧柏等。木材富含松脂，耐腐，适作建筑、家具、枕木、矿柱、电杆、人造纤维等用材。树干可割取松脂，提取松节油， 树皮可提取栲胶，松节、针叶及花粉可入药，亦可采松脂供工业用。 栽培技术编辑 、整地作床：在整地前，先施硫酸亚铁斤，然后用锨深翻厘米，再耧平作 床，畦宽.米，长至米，打埂做畦，种植厘米左右的苗按.米×.米的株行距定点挖穴，每畦一行，每亩栽株。 、挖穴栽苗：栽植油松时，每畦一行，定点在畦 的中央，穴为×厘米，下留松土4至厘米，若是草绳包装的土球，可以不解开；若是尼龙绳和塑料包装的，必须解下，免得造成栽死苗的恶果。将苗栽好后， 平好畦面，就可以浇灌。若苗叶发黄，是缺铁，需施硫酸亚铁。 [] 培育管理 、油松栽上后，在一周内施两次水，以后可松土、保墒，到五月初再浇一次， 以后天气不旱不浇，到六月可施一次肥，八月施一次硫酸亚铁。在株边挖坑点施。在松土锄草上，可天进行一次，要求认真细致，一般深达4至厘米，要求锄 匀，土松无坷垃，草锄净、拾净。 、油松整形和换头：油松在管理过程中，需注意整形和换头工作，油松在生长过程中，有的重枝，头会损坏或处于弱势， 须用强健的侧技拉上、捆好，以后成为中心优势，这个过程就是换头。 ①、油松整形：.疏去过密的枝；.回缩过长的枝；.补充偏冠的缺枝。整形修剪整形修 剪是以保证油松树形优美、整齐一致、生长良好、不影响城市的公益设施建设和人们的生活为目的的必要管理技术。应采取哪些措施,要视绿化场所、位置、 占用空间及艺术造型等具体目的而定。一般都离不开去除冗枝、病虫枝、疏除生长方向不合适的旺长枝。油松塔状的树形属性一般来说适当保证中心领导干 的顶端优势较低为合适,对于塑造工艺型枝还
利用勾股定理求圆中弦四种常用技巧知识讲解
利用勾股定理求圆中弦四种常用技巧知识讲解勾股定理是数学中的一条基本定理，用于解决与直角三角形相关的问题。
它的原理是：在直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
利用勾股定理，我们可以计算圆的弦长和半径。
下面，我将介绍四种常用的技巧来利用勾股定理求圆中弦和半径。
1.已知圆心、半径和弦长求弦高：假设圆的半径为r，弦长为l，我们可以将弦分为两段，每段的长度为d。
根据勾股定理，可以列出方程：r^2=(d/2)^2+h^2，其中h为弦高。
解这个方程可以得到弦高h的值。
2.已知圆心、半径和弦高求弦长：假设圆的半径为r，弦高为h，我们可以将弦分为两段，每段的长度为d。
根据勾股定理，可以列出方程：r^2=(d/2)^2+h^2解这个方程可以得到弦长d的值。
3.已知圆心和两个弦长求半径：假设圆的半径为r，两个弦长分别为l1和l2，我们可以将两个弦分别分为两段，每段的长度为d1和d2、根据勾股定理，可以列出两个方程：r^2=(d1/2)^2+h^2，其中h为第一个弦的弦高；r^2=(d2/2)^2+h^2，其中h为第二个弦的弦高。
解这两个方程，可以得到d1和d2的值。
由于d1和d2之和等于两个弦长之和l1+l2，因此我们可以通过解这个方程组求得r的值。
4.已知圆心、弦长和弦高求半径：假设圆的半径为r，弦长为l，弦高为h，我们可以将弦分为两段，每段的长度为d。
r^2=(d/2)^2+h^2l=d1+d2解这两个方程组可以得到弦长l和半径r的值。
综上所述，通过利用勾股定理，我们可以解决圆中弦和半径的四种常用问题。
这些技巧在几何学和物理学等领域中经常被使用，可以帮助我们计算和解决各种与圆相关的问题。
证明勾股定理的四种方法
证明勾股定理的四种方法勾股定理是比较流行的一个数学定理，它最初由古希腊数学家几何学家勃兰特提出，他证明了任何三角形的一条直角边的平方等于另外两条斜边的平方之和。
公式表示为a2+b2=c2，其中c为直角边，a和b是斜边。
它也称为勾股等式。
本文介绍了勾股定理的四种证明方法：几何方法、三角计算法、数学归纳法以及数学建模法。
一、几何方法几何方法是最简单的证明方法之一，它是根据几何原理，从绘制三角形特点出发，推导出勾股定理。
因为在绘制三角形时，它有一条直角，因此其有两条斜边。
从直角三角形的形状可以看出，当任意给定三条边时，其内角都为90°，并且直角的两边是相等的。
两边的和等于直角的那一边的平方，这就是我们熟悉的勾股定理，即a2+b2=c2。
二、三角计算法三角计算法的依据是解决两个三角形的问题时要求它们的角度和边度要相等。
比如，要证明两个三角形等边相等，角度也相等，那么可以用两个三角形相等的理论定理，并借助相关公式推演出最终结论a2+b2=c2。
通过解决三角形的特殊问题，我们可以最终获得勾股定理。
三、数学归纳法数学归纳法是将一个定理进行分解分步证明，首先分析定理可能的情况，然后再逐步把它推导出来。
以解勾股定理为例，已知直角三角形的情况，首先确定定理在各种情况下是否有效。
用归纳法对elf0勾股定理可以完全证明，即c2=a2+b2。
四、数学建模法数学建模法主要是把实际的情况用数学模型表达出来，包括数学模型、函数模型甚至是动力模型等，来求解实际问题本质。
以勾股定理为例，首先可以确定定理表达式：a2+b2=c2，即c2可以表示为两个斜边的平方之和，这正是勾股定理的本质。
把它表示为动态变化的模型，则可以更清楚地演示它的意义，并从而有助于证明勾股定理。
专题02 勾股定理的四种实际应用(解析版)2021-2022学年八年级数学上(北师大版,成都专用)
专题02 勾股定理的四种实际应用【基础知识点】勾股定理的实际应用有很多，有梯子滑落问题、最短距离问题，树枝旗子折断问题，航海是否有影响问题等等，构造直角三角形是解决问题的关键。
类型一、梯子滑落高度问题例1.如图，一架梯子AB 斜靠在一竖直的墙OA 上，这时 2.5m AO =，30OAB ∠=︒．梯子顶端A 沿墙下滑至点C ，使60OCD ∠=︒，同时，梯子底端B 也外移至点D ．求BD 的长度．（结果保留根号）【解析】在Rt OAB 中， 2.5AO =，30OAB ∠=︒，2AB ∴=根据勾股定理知BO ，60OCD ∠=︒，30ODC ∴∠=︒，在AOB ∆和DOC ∆中，OAB ODC AOB DOC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB DOC AAS ∴∆≅∆，OA OD ∴=，OC OB =，52BD OD OB ∴=-==． 【变式训练1】如图所示，一架梯子AB 斜靠在墙面上，且AB 的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB 为1.5米，求这个梯子的顶端A 距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A 下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B 在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【答案】（1）梯子距离地面的高度为2米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米．【解析】（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO2==米；（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2.5﹣0.5）＝2米，根据勾股定理：OB′＝2米，所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米，答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．【变式训练2】如图，一架25米长的梯子AB，斜靠在竖直的墙MO上，梯子底端B到墙底端O的距离为7米．（1）若梯子的顶端A沿墙面下滑4米，那么底端B将向外移动多少米？请写出解题过程．（2）在梯子AB滑动过程中，AB上是否存在点P，它到墙底端O的距离保持不变？若存在，请求出OP 的长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）8米；（2）存在，252 OP m=【解析】如图，在直角△ABO中，已知AB=25米，BO=7米，则由勾股定理得：（米）；△AO=AA1+OA1△OA1=24米-4米=20米，△在直角△A1B1O中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，△由勾股定理得：OB1米，△BB1=OB1-OB=15米-7米=8米；答：梯足将向外移8米．（2）AB的中点P到O的距离始终不变，12522 OP AB m ==类型二、水杯中的筷子问题例1．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．0＜h≤11B．11≤h≤12C．h≥12D．0＜h≤12【答案】B【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB13cm，△h＝24﹣13＝11cm．△h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：B．【变式训练】如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________ cm．【答案】13【解析】如图所示：BC =3cm ，CD =4cm ，AB =12cm ，连接BD 、AD ，在Rt △BCD 中，BD （cm ），在Rt △ABD 中，AD （cm ）． 故吸管插在盒内部分的长度h 的最大值为13cm ．故答案为：13．类型三、最短距离问题例1．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A 出发，在盒子表面上爬到点G ，已知6AB =，5BC =，3CG =，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．【答案】10【解析】由题意，如图1所示，得AG == 如图2所示，得10AG ==，如图3所示，AG ==△蚂蚁爬行的最短路程是10．故答案为：10.【变式训练1】如图所示，ABCD 是长方形地面，长8m AB =，宽5m AD =，中间竖有一堵砖墙高2m MN =．一只蚂蚱从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________m 的路程．【答案】13【解析】如图所示，将图展开，图形长度增加2MN ，原图长度增加4米，则8412m AB =+=，连接AC ．△四边形ABCD 是长方形， 12m AB =，宽5m AD =，△13m AC ===．△蚂蚱从A 点爬到C 点，它至少要走13m 的路程．故答案为：13【变式训练2】如图，台阶阶梯每一层高20cm ，宽40cm ，长50cm ．一只蚂蚁从A 点爬到B 点，最短路程是____________．【答案】130cm【解析】如图所示，△楼梯的每一级的高宽长分别为20cm ，宽40cm ，长50cm ，△130AB ==(cm) 即蚂蚁从点A 沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是130cm ．故答案为：130cm ．类型三、是否有影响问题例1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB 由A 行驶向B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点A ，B 的距离分别为300AC km =，400BC km =，又500AB km =，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）求ACB ∠的度数．（2）海港C 受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E 处时，海港C 刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C 刚好不受影响，即250CE CF km ==，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）90︒；（2）海港C 受台风影响，证明见解析；（3）台风影响该海港持续的时间为7小时．【解析】（1）300AC km =，400BC km =，500AB km =，222AC BC AB ∴+=，ABC ∆∴是直角三角形，△△ACB=90°；（2）海港C 受台风影响，过点C 作CD AB ⊥，ABC ∆是直角三角形，AC BC CD AB ∴⨯=⨯，300400500CD ∴⨯=⨯，240()CD km ∴=， 以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域，∴海港C 受台风影响．（3）当250EC km =，250FC km =时，正好影响C 港口，70()ED km ==，140EF km ∴=，台风的速度为20千米/小时，140207∴÷=（小时）答：台风影响该海港持续的时间为7小时．【变式训练1】如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离是___米；重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间是____秒．【答案】80 12【解析】作AD ON ⊥于D ，30MON ∠=︒，160AO =m ，1802AD OA ∴==m ，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离80m ．如图以A 为圆心100m 为半径画圆，交ON 于B 、C 两点， AD BC ⊥，12BD CD BC ∴==，在Rt △ABD 中，60BD ==m ，120BC ∴=m ，重型运输卡车的速度为36千米/时10=米/秒，∴重型运输卡车经过BC 的时间1201012=÷=（秒)，故卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．故答案为：80，12．【变式训练2】如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160m 处有一所医院A ，当卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P 沿道路ON 方向行驶一次时，给医院A 带来噪声影响的持续时间是__分钟．【答案】0.48．【解析】作AD△ON 于D ，△△MON ＝30°，AO ＝160m ，△AD ＝12OA ＝80m ， 以A 为圆心100m 为半径画圆，交ON 于B 、C 两点，△AD△BC ，△BD ＝CD ＝12BC ，在Rt△ABD 中，BD 60m ==，△BC ＝120m ，△卡车的速度为250米/分钟，△卡车经过BC 的时间＝120÷250＝0.48分钟，故答案为：0.48．类型四、是否超速问题例1.“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方18米的C 处，过了2秒后到达B 处（BC △AC ），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB 为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？【答案】这辆小汽车超速，每小时超速3.2千米．【解析】根据题意，得18,30,90AC m AB m C ==∠=︒，在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得：24.BC ==小汽车2秒行驶24米，则1小时行驶243600432002m ⨯=， 即小汽车行驶速度为43.2千米/时，因为43.2＞40，所以小汽车超速行驶，超速43.240 3.2-=（千米/时）．【变式训练】《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A 正前方30米的C 处，过了2秒后，小汽车行驶至B 处，若小汽车与观测点间的距离AB 为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【答案】这辆小汽车超速【解析】根据题意，得AC=30m ，AB=50m ，△C=90°，在Rt△ACB 中， 40===BC m ， △小汽车的速度4020/72/70/2==>m m s km h km h s； △这辆小汽车超速．课后练习1．高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC 方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D （,,A C D 共线）处同时施工．测得30,8km,105CAB AB ABD ∠=︒=∠=︒，求BD 长．（结1.414≈≈）【答案】BD 长约为5.7km ．【解析】如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，30,8km CAB AB ∠=︒=，14km 2BE AB =∴=，60ABE ∠=︒，105ABD ∠=︒，45DBE ABD ABE ∴∠=∠-∠=︒，Rt BDE ∴是等腰直角三角形， 5.656 5.7(km)BD ∴==≈≈， 答：BD 长约为5.7km ．2．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点,A B ，其中AB AC =，由于某种原因，电C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A H B 、、在同一条直线上），并新修一条路CH ，已知CB =千米，2CH =千米，1HB =千米．（1）CH 是否为从村庄C 到河边的最近路？请通过计算加以说明．（2）求新路CH 比原路CA 少多少干米？【答案】（1）是，证明见解析；（2）12千米．【解析】（1）△在CHB 中，2,1,CH BH BC ===22221+=，CHB ∴是以BHC ∠为直角的直角三角形，CH AB ∴⊥，△点到直线垂线段的长度最短，CH ∴是村庄C 到河边的最近路．（2）设AC AB x ==，1BH =千米，(1)AH AB BH x ∴=-=-千米，在Rt ACH 中，由勾股定理得：222CH AH AC +=，2222(1)x x ∴+-=，解得52x =， 52AC AB ∴==千米，CH ∴比CA 少51222-=千米． 3．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠点A 的距离为800米，与公路上另一停靠点B 的距离为600米，且CA CB ⊥，如图，为了安全起见，爆破点C 周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．【答案】公路AB 段没有危险不需要暂时锁锁，见解析【解析】公路AB 段没有危险不需要暂时封锁，如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ．△CA CB ⊥，800AC =米，600BC =米，△1000AB =（米）．△8006004801000BC AC CD AB ⋅⨯===（米）． △450480<，△公路AB 段没有危险不需要暂时封锁．4．如图，小明家在一条东西走向的公路MN 北侧200米的点A 处，小红家位于小明家北500米（500AC =米）、东1200米（1200BC =米）点B 处．（1）求小明家离小红家的距离AB ；（2）现要在公路MN 上的点P 处建一个快递驿站，使PA PB +最小，请确定点P 的位置，并求PA PB +的最小值．【答案】（1）1300AB =米；（2）见解析，1500米【解析】（1）如图，连接AB ，由题意知AC =500，BC =1200，△ACB =90°，在Rt △ABC 中，△△ACB =90°，△AB 2=AC 2+BC 2=5002+12002=1690000，△AB ＞0，△AB =1300米；（2）如图，作点A 关于直线MN 的对称点A '，连接A 'B 交MN 于点P ．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A 'B ，由题意知AD =200米，A 'C △MN ，△A 'C =AC +AD +A 'D =500+200+200=900米，在Rt △A 'BC 中，△△ACB =90°，△A 'B 2=A 'C 2+BC 2=9002+12002=2250000，△A 'B ＞0，△A 'B =1500米，即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．5．某高速公路的同一侧有A ，B 两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为2km AE =，3km BF =，12km EF =，要在高速公路上E 、F 之间建一个出口Q ，使A 、B 两城镇到Q 的距离之和最短，在图中画出点Q 所在位置，并求出这个最短距离．【答案】见解析，13km【解析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，则点Q 为所建的出口；此时A 、B 两城镇到出口Q 的距离之和最短，最短距离为AC 的长．作AD BC ⊥于D ，则90ADC ∠=︒，AE△MN ，BF△MN ，△四边形AEFD 为矩形△12AD EF ==，2DF AE ==在t R ADC 中，12AD =，5DC DF CF =+=，△由勾股定理得：13AC ===△这个最短距离为13km ．6．如图，某工厂A 到直线公路l 的距离AB 为3千米，与该公路上车站D 的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C ，使CA ＝CD ，求物品中转站与车站之间的距离．【答案】258千米 【解析】由题意可得：AB=3，AD=5△在Rt△ABD 中，4BD ===设AC=CD=x ，则BC=4-x ，在Rt△ABC 中，2223(4)x x +-=，解得：x=258 △物品中转站与车站之间的距离CD 的长为258千米 故答案为：258千米。
(word完整版)勾三股四弦五-勾股定理介绍
(word完整版)勾三股四弦五-勾股定理介绍
勾三股四弦五——《勾股定理》
在中国古代,大约是公元前十一世纪战国时期,西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。
商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。
”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边)时，径隅（就是弦）则为5。
以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
这就是著名的勾股定理，也称为“商高定理”。
数学家刘徽（公元263年)作《九章算术注》时，依据其“割补术”为证勾股定理另辟蹊径而作“青朱出入图”。
刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类,因就其余不动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.”上述内容直白表达就是，青朱两个正方形经过分割、拼合成以弦长为边长的新正方形,重点在于新形成的正方形是在原来两个正方形基础上拼合而成，这就完全适合直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。
用勾（a)和股（b)相乘（a×b）等于两块红色三角形的面积，乘以二（2ab）即为四块红色三角形的面积，以勾(a）股（b）的差（b-a）再平方即为中间的黄色正方形,所有四个红色三角形的面积加这个黄色正方形的面积，即为弦(c）为边长的正方形的面积。
数学表达式为：c2=（a-b）2+2ab=a2+b2-2ab+2ab=a2+b2。
超全勾股定理公式大全
超全勾股定理公式大全我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股数。
二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。
设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊）整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１，又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ），故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕，故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17),(12，35，37)…其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数). 五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c=21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：34 5；512 13；6810；72425；81517；9 1215；940 41；102426；116061；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15112 113；16 30 34；1663 6517144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 3521 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24143 14525 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27120 123；27 364 365；28 45 53；2896 10028 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480 481；32 60 68；32126 13032 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35120 12535 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 24444 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；4864 8048 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 62651 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52 675 677；54 72 90；54240 24654 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105 119；56 192 200；56 390 394；56 783 78557 76 95；57176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80 100；60 91 109；60 144 15660 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899 901；62 960 962；63 84 105；63 216 22563 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510 514；65 72 97；65 156 169；65 420 42566 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576 580；69 92 115；69 260 269；69 792 79570 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154 170；72 210 222；72 320 328；72 429 43572 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560 565；75 936 939；76 357 365；76 720 72477 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504 510；80 84 116；80 150 170；80 192 20880 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360 369；84 112 140；84 135 159；84 187 20584 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880 884；85 132 157；85 204 221；85 720 72587 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234 250；88 480 488；88 966 970；90 120 15090 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588 595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128 160；96 180 204；96 247 265；96 280 29696 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99 132 165；99 168 195；99 440 451；99 540 549100 105 145；100240260；100 495 505；100621629.以下是大于100的勾股数：第223组：102 136 170第224组：102 280 298第225组：102 864 870第226组：104 153 185第227组：104 195 221第228组：104 330 346第229组：104 672 680第230组：105 140 175第231组：105 208 233第232组：105 252 273第233组：105 360 375第234组：105 608 617第235组：105 784 791第236组：108 144 180第237组：108 231 255第238组：108 315 333第239组：108 480 492第240组：108 725 733第241组：108 969 975第242组：110 264 286第243组：110 600 610第244组：111 148 185第245组：111 680 689第246组：112 180 212第247组：112 210 238第248组：112 384 400第249组：112 441 455第250组：112 780 788第251组：114 152 190第252组：114 352 370第253组：115 252 277第254组：115 276 299第256组：117 156 195 第257组：117 240 267 第258组：117 520 533 第259组：117 756 765 第260组：119 120 169 第261组：119 408 425 第262组：120 126 174 第263组：120 160 200 第264组：120 182 218 第265组：120 209 241 第266组：120 225 255 第267组：120 288 312 第268组：120 350 370 第269组：120 391 409 第270组：120 442 458 第271组：120 594 606 第272组：120 715 725 第273组：120 896 904 第274组：121 660 671 第275组：123 164 205 第276组：123 836 845 第277组：124 957 965 第278组：125 300 325 第279组：126 168 210 第280组：126 432 450 第281组：126 560 574 第282组：128 240 272 第283组：128 504 520 第284组：129 172 215 第285组：129 920 929 第286组：130 144 194 第287组：130 312 338 第288组：130 840 850 第289组：132 176 220 第290组：132 224 260 第291组：132 351 375 第292组：132 385 407 第293组：132 475 493 第294组：132 720 732 第295组：133 156 205 第296组：133 456 475 第297组：135 180 225 第298组：135 324 351第300组：135 600 615 第301组：136 255 289 第302组：136 273 305 第303组：136 570 586 第304组：138 184 230 第305组：138 520 538 第306组：140 147 203 第307组：140 171 221 第308组：140 225 265 第309组：140 336 364 第310组：140 480 500 第311组：140 693 707 第312组：140 975 985 第313组：141 188 235 第314组：143 780 793 第315组：143 924 935 第316组：144 165 219 第317组：144 192 240 第318组：144 270 306 第319组：144 308 340 第320组：144 420 444 第321组：144 567 585 第322组：144 640 656 第323组：144 858 870 第324组：145 348 377 第325组：145 408 433 第326组：147 196 245 第327组：147 504 525 第328组：150 200 250 第329组：150 360 390 第330组：150 616 634 第331组：152 285 323 第332组：152 345 377 第333组：152 714 730 第334组：153 204 255 第335组：153 420 447 第336组：153 680 697 第337组：154 528 550 第338组：154 840 854 第339组：155 372 403 第340组：155 468 493 第341组：156 208 260 第342组：156 320 356第343组：156 455 481 第344组：156 495 519 第345组：156 667 685 第346组：159 212 265 第347组：160 168 232 第348组：160 231 281 第349组：160 300 340 第350组：160 384 416 第351组：160 630 650 第352组：160 792 808 第353组：161 240 289 第354组：161 552 575 第355组：162 216 270 第356组：162 720 738 第357组：165 220 275 第358组：165 280 325 第359组：165 396 429 第360组：165 532 557 第361组：165 900 915 第362组：168 224 280 第363组：168 270 318 第364组：168 315 357 第365组：168 374 410 第366组：168 425 457 第367组：168 490 518 第368组：168 576 600 第369组：168 775 793 第370组：168 874 890 第371组：170 264 314 第372组：170 408 442 第373组：171 228 285 第374组：171 528 555 第375组：171 760 779 第376组：174 232 290 第377组：174 832 850 第378组：175 288 337 第379组：175 420 455 第380组：175 600 625 第381组：176 210 274 第382组：176 330 374 第383组：176 468 500 第384组：176 693 715 第385组：176 960 976 第386组：177 236 295第388组：180 240 300 第389组：180 273 327 第390组：180 299 349 第391组：180 385 425 第392组：180 432 468 第393组：180 525 555 第394组：180 663 687 第395组：180 800 820 第396组：180 891 909 第397组：182 624 650 第398组：183 244 305 第399组：184 345 391 第400组：184 513 545 第401组：185 444 481 第402组：185 672 697 第403组：186 248 310 第404组：186 952 970 第405组：189 252 315 第406组：189 340 389 第407组：189 648 675 第408组：189 840 861 第409组：190 336 386 第410组：190 456 494 第411组：192 220 292 第412组：192 256 320 第413组：192 360 408 第414组：192 494 530 第415组：192 560 592 第416组：192 756 780 第417组：195 216 291 第418组：195 260 325 第419组：195 400 445 第420组：195 468 507 第421组：195 748 773 第422组：196 315 371 第423组：196 672 700 第424组：198 264 330 第425组：198 336 390 第426组：198 880 902 第427组：200 210 290 第428组：200 375 425 第429组：200 480 520 第430组：200 609 641第432组：203 396 445 第433组：203 696 725 第434组：204 253 325 第435组：204 272 340 第436组：204 560 596 第437组：204 595 629 第438组：204 855 879 第439组：205 492 533 第440组：205 828 853 第441组：207 224 305 第442组：207 276 345 第443组：207 780 807 第444组：207 920 943 第445组：208 306 370 第446组：208 390 442 第447组：208 660 692 第448组：208 819 845 第449组：210 280 350 第450组：210 416 466 第451组：210 504 546 第452组：210 720 750 第453组：213 284 355 第454组：215 516 559 第455组：215 912 937 第456组：216 288 360 第457组：216 405 459 第458组：216 462 510 第459组：216 630 666 第460组：216 713 745 第461组：216 960 984 第462组：217 456 505 第463组：217 744 775 第464组：219 292 365 第465组：220 231 319 第466组：220 459 509 第467组：220 528 572 第468组：220 585 625 第469组：222 296 370 第470组：224 360 424 第471组：224 420 476 第472组：224 768 800 第473组：224 882 910 第474组：225 272 353第476组：225 540 585 第477组：225 924 951 第478组：228 304 380 第479组：228 325 397 第480组：228 665 703 第481组：228 704 740 第482组：230 504 554 第483组：230 552 598 第484组：231 308 385 第485组：231 392 455 第486组：231 520 569 第487组：231 792 825 第488组：232 435 493 第489组：232 825 857 第490组：234 312 390 第491组：234 480 534 第492组：235 564 611 第493组：237 316 395 第494组：238 240 338 第495组：238 816 850 第496组：240 252 348 第497组：240 275 365 第498组：240 320 400 第499组：240 364 436 第500组：240 418 482 第501组：240 450 510 第502组：240 551 601 第503组：240 576 624 第504组：240 700 740 第505组：240 782 818 第506组：240 884 916 第507组：240 945 975 第508组：243 324 405 第509组：245 588 637 第510组：245 840 875 第511组：246 328 410 第512组：248 465 527 第513组：248 945 977 第514组：249 332 415 第515组：250 600 650 第516组：252 275 373 第517组：252 336 420 第518组：252 405 477第519组：252 539 595 第520组：252 561 615 第521组：252 735 777 第522组：252 864 900 第523组：255 340 425 第524组：255 396 471 第525组：255 612 663 第526组：255 700 745 第527组：256 480 544 第528组：258 344 430 第529组：259 660 709 第530组：259 888 925 第531组：260 273 377 第532组：260 288 388 第533组：260 624 676 第534组：260 651 701 第535组：260 825 865 第536组：261 348 435 第537组：261 380 461 第538组：264 315 411 第539组：264 352 440 第540组：264 448 520 第541组：264 495 561 第542组：264 702 750 第543组：264 770 814 第544组：264 950 986 第545组：265 636 689 第546组：266 312 410 第547组：266 912 950 第548组：267 356 445 第549组：270 360 450 第550组：270 648 702 第551组：270 704 754 第552组：272 510 578 第553组：272 546 610 第554组：273 364 455 第555组：273 560 623 第556组：273 736 785 第557组：273 936 975 第558组：275 660 715 第559组：276 368 460 第560组：276 493 565 第561组：276 805 851 第562组：279 372 465第564组：280 294 406 第565组：280 342 442 第566组：280 351 449 第567组：280 450 530 第568组：280 525 595 第569组：280 672 728 第570组：280 759 809 第571组：280 960 1000 第572组：282 376 470 第573组：285 380 475 第574组：285 504 579 第575组：285 684 741 第576组：285 880 925 第577组：287 816 865 第578组：288 330 438 第579组：288 384 480 第580组：288 540 612 第581组：288 616 680 第582组：288 741 795 第583组：288 840 888 第584组：290 696 754 第585组：290 816 866 第586组：291 388 485 第587组：294 392 490 第588组：295 708 767 第589组：296 555 629 第590组：297 304 425 第591组：297 396 495 第592组：297 504 585 第593组：300 315 435 第594组：300 400 500 第595组：300 455 545 第596组：300 589 661 第597组：300 720 780 第598组：300 875 925 第599组：301 900 949 第600组：303 404 505 第601组：304 570 646 第602组：304 690 754 第603组：305 732 793 第604组：306 408 510 第605组：306 840 894 第606组：308 435 533第608组：308 819 875 第609组：309 412 515 第610组：310 744 806 第611组：310 936 986 第612组：312 416 520 第613组：312 459 555 第614组：312 585 663 第615组：312 640 712 第616组：312 910 962 第617组：315 420 525 第618组：315 572 653 第619组：315 624 699 第620组：315 756 819 第621组：318 424 530 第622组：319 360 481 第623组：320 336 464 第624组：320 462 562 第625组：320 600 680 第626组：320 768 832 第627组：321 428 535 第628组：322 480 578 第629组：324 432 540 第630组：324 693 765 第631组：324 945 999 第632组：325 360 485 第633组：325 780 845 第634组：327 436 545 第635组：328 615 697 第636组：330 440 550 第637组：330 560 650 第638组：330 792 858 第639组：333 444 555 第640组：333 644 725 第641组：335 804 871 第642组：336 377 505 第643组：336 385 511 第644组：336 448 560 第645组：336 527 625 第646组：336 540 636 第647组：336 630 714 第648组：336 748 820 第649组：336 850 914 第650组：339 452 565第652组：340 528 628 第653组：340 816 884 第654组：341 420 541 第655组：342 456 570 第656组：344 645 731 第657组：345 460 575 第658组：345 756 831 第659组：345 828 897 第660组：348 464 580 第661组：348 805 877 第662组：350 576 674 第663组：350 840 910 第664组：351 468 585 第665组：351 720 801 第666组：352 420 548 第667组：352 660 748 第668组：352 936 1000 第669组：354 472 590 第670组：355 852 923 第671组：357 360 507 第672组：357 476 595 第673组：360 378 522 第674组：360 480 600 第675组：360 546 654 第676组：360 598 698 第677组：360 627 723 第678组：360 675 765 第679组：360 770 850 第680组：360 864 936 第681组：363 484 605 第682组：363 616 715 第683组：364 585 689 第684组：364 627 725 第685组：365 876 949 第686组：366 488 610 第687组：368 465 593 第688组：368 690 782 第689组：369 492 615 第690组：369 800 881 第691组：370 888 962 第692组：372 496 620 第693组：372 925 997 第694组：375 500 625第696组：376 705 799 第697组：378 504 630 第698组：378 680 778 第699组：380 399 551 第700组：380 672 772 第701组：380 912 988 第702组：381 508 635 第703组：384 440 584 第704组：384 512 640 第705组：384 720 816 第706组：385 552 673 第707组：387 516 645 第708组：387 884 965 第709组：390 432 582 第710组：390 520 650 第711组：390 800 890 第712组：392 630 742 第713组：392 735 833 第714组：393 524 655 第715组：396 403 565 第716组：396 528 660 第717组：396 672 780 第718组：396 847 935 第719组：399 468 615 第720组：399 532 665 第721组：400 420 580 第722组：400 561 689 第723组：400 750 850 第724组：402 536 670 第725组：405 540 675 第726组：406 792 890 第727组：407 624 745 第728组：408 506 650 第729组：408 544 680 第730组：408 765 867 第731组：408 819 915 第732组：411 548 685 第733组：414 448 610 第734组：414 552 690 第735组：416 612 740 第736组：416 780 884 第737组：417 556 695 第738组：420 441 609第740组：420 560 700 第741组：420 637 763 第742组：420 675 795 第743组：420 832 932 第744组：420 851 949 第745组：423 564 705 第746组：424 795 901 第747组：425 660 785 第748组：426 568 710 第749组：429 460 629 第750组：429 572 715 第751组：429 700 821 第752组：429 728 845 第753组：429 880 979 第754组：432 495 657 第755组：432 576 720 第756组：432 665 793 第757组：432 810 918 第758组：435 580 725 第759组：438 584 730 第760组：440 462 638 第761组：440 525 685 第762组：440 825 935 第763组：441 588 735 第764组：444 592 740 第765组：447 596 745 第766组：448 720 848 第767组：448 840 952 第768组：450 544 706 第769组：450 600 750 第770组：451 780 901 第771组：453 604 755 第772组：455 504 679 第773组：455 528 697 第774组：456 608 760 第775组：456 650 794 第776组：456 855 969 第777组：459 612 765 第778组：460 483 667 第779组：462 616 770 第780组：462 784 910 第781组：464 777 905 第782组：464 870 986第784组：468 595 757 第785组：468 624 780 第786组：471 628 785 第787组：473 864 985 第788组：474 632 790 第789组：475 840 965 第790组：476 480 676 第791组：476 765 901 第792组：477 636 795 第793组：480 504 696 第794组：480 550 730 第795组：480 640 800 第796组：480 693 843 第797组：480 728 872 第798组：480 836 964 第799组：481 600 769 第800组：483 644 805 第801组：483 720 867 第802组：486 648 810 第803组：489 652 815 第804组：492 656 820 第805组：495 660 825 第806组：495 840 975 第807组：498 664 830 第808组：500 525 725 第809组：501 668 835 第810组：504 550 746 第811组：504 672 840 第812组：504 703 865 第813组：504 810 954 第814组：507 676 845 第815组：510 680 850 第816组：510 792 942 第817组：513 684 855 第818组：516 688 860 第819组：519 692 865 第820组：520 546 754 第821组：520 576 776 第822组：520 765 925 第823组：522 696 870 第824组：522 760 922 第825组：525 700 875 第826组：528 605 803第828组：528 704 880 第829组：531 708 885 第830组：532 624 820 第831组：533 756 925 第832组：534 712 890 第833组：537 716 895 第834组：540 567 783 第835组：540 629 829 第836组：540 720 900 第837组：540 819 981 第838组：543 724 905 第839组：546 728 910 第840组：549 732 915 第841组：552 736 920 第842组：555 572 797 第843组：555 740 925 第844组：558 744 930 第845组：560 588 812 第846组：560 684 884 第847组：560 702 898 第848组：561 748 935 第849组：564 752 940 第850组：567 756 945 第851组：570 760 950 第852组：573 764 955 第853组：576 660 876 第854组：576 768 960 第855组：579 772 965 第856组：580 609 841 第857组：580 741 941 第858组：582 776 970 第859组：585 648 873 第860组：585 780 975 第861组：588 784 980 第862组：591 788 985 第863组：594 608 850 第864组：594 792 990 第865组：595 600 845 第866组：597 796 995 第867组：600 630 870 第868组：600 800 1000 第869组：612 759 975 第870组：615 728 953第872组：616 735 959 第873组：620 651 899 第874组：621 672 915 第875组：624 715 949 第876组：638 720 962 第877组：640 672 928 第878组：650 720 970 第879组：660 693 957 第880组：680 714 986 第881组：696 697 985。
勾股定理-全章
第一章勾股定理勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明：若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
说明：根据勾股定理的逆定理，可以判定一个三角形是否是直角三角形：若已知三角形的三条边，只需验证最大边的平方是否等于另两边的平方和，若相等，则是直角三角形；若不等，则不是。
勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数），也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17等勾股定理的应用求两点之间的距离和线段的长度常构造直角三角形，利用勾股定理求解，求立体图形上两点之间的最短距离大致可分为：(1)圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；(2)长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题，直角三角形三边之间的关系不等量关系是：斜边的长大于每条直角边的长，其依据是“垂线段最短”；等量关系是：勾股定理，勾股定理是我们求直角三角形边长的依据，在直角三角形中，已知任意两边的长，可求第三边的长．直角三角形的判别直角三角形的判别有两种方法：(1)利用定义，判断一个三角形中有一个角是直角；(2)根据三角形一边的平方等于另外两边的平方和，来判定该三角形是直角三角形，勾股定理中的方程思想勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项．勾股定理中的转化思想在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解，【例题1-勾股定理及其逆定理的基本用法】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
与《勾股定理》有关的计算问题基本模型一、已知两边求第三边；
例1;在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
对应练习题
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为．
2．（易错题）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是
3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．
小结：
解决办法为：
二、已知两边的比（两边的关系）和第三边，求两边
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3:4且c=10，求a与b；对应练习题：
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC 的面积是=________。
2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt △ABC的面积是（）
小结：
解决办法为：
三、已知两边的比和周长，求第三边； 例3：已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a ∶b=3∶4，且a+b+c=60，求三边及面积；
对应练习题：
1.一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.
2.在△ABC 中,若△ABC 的面积等于6，则边长c=
3.在Rt △ABC 中，斜边AB=2，则AB 2＋BC 2＋AC 2=____．
小结：
解决办法为：
,90︒=∠C ,7=+b a
四、特殊直角三角形中，已知一边一角，求两边；
例4：已知Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°,a =3，求b与c边；
对应练习题：
1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,b =3，求a与c边；
2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,c =3，求a与b边；
3、已知正方形边长为2，求正方形对角线的长；
小结：
解决办法为：。