八年级数学实数复习2

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北师大版数学八年级上册第二章实数单元复习课课件

④8的立方根是___2____.
图Z2-2
6. (202X湘潭)在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为
_3_（__答__案__不__唯__一__）____.（任意写出一个即可）
7. 下列数中：①-|-3|；②-0.3；③
④
⑦0；⑧1.202 002 000 2…（每两个2之间依次多一个0），⑨
无理数是__③__④__⑧___，整数是__①__⑥__⑦___，负分数是___②__⑨____.（
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无理数概念：无限不循环小数
算术平方根
实
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即
数平方根 x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数a的算术平方根表示为读作
“根号a”
续表
平方根定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个数叫做a 的平方根（二次方根）. 平性质: 实方 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；数根 ②0只有一个平方根，它是0本身； ③负数没有平方根
运算：实数的运算法则及运算律对二次根式仍然适用
专题1 平方根、立方根
1. （202X南京）3的平方根是( D )
A. 9
B.
C.
D. ±
2.
的算术平方根的倒数是（ C ）
A.
B. ±
C.
D. ±
3.有理数8的立方根为（ B ）
A.-2
B.2
C.±2
D.±4
4. 下列计算正确的是（ D ）
A.
=-3 B.
+(7-c)2=0，求-2a-b-c的立方根.
解：因为|a+3|+

2024八年级数学上册期末复习2实数2易错专项训练习题课件新版北师大版

新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算
术平方根都是整数，则称这三个正整数为“和谐组合”，
其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整
数称为“最大算术平方根”.
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例如1，4，9这三个数， × ＝2， × ＝3， ×
＝6，其结果都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组
所以有 a ＝5， b ＝3和 a ＝－5， b ＝－3两种情况.
当 a ＝5， b ＝3时， a － b ＝5－3＝2；
当 a ＝－5， b ＝－3时， a － b ＝－2.
综上所述， a － b 的值为2或－2.
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易错点5概念理解不透致错
6. 【新视角·新定义题】喜欢探索数学知识的小明遇到一个
解：(2)因为 a ＝5， b ＝2，
所以3 a － b ＝3×5－2＝13.
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易错点3不理解平方根的概念导致缺少一个解
3. 解方程(1－ x )2＝9.
解：(1－ x )2＝9，即( x －1)2＝9，
所以 x －1＝±3，
解得 x ＝4或 x ＝－2.
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易错点4对＝理解不透导致化简错误
(1)求 a ， b 的值；
解：(1)因为5 a ＋2的立方根是3，3 a ＋ b －1的平方根
是±4，
所以5 a ＋2＝27，3 a ＋ b －1＝16，
解得 a ＝5， b ＝2.
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北师大版八年级数学上册第二章实数复习

第二章：实数知识梳理一．数的开方主要知识点：【1】平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

例1.（1）的平方是64，所以64的平方根是；（2）的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】：（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例2.（1）下列说法正确的是（）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±；（D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

北师大八年级数学上册第二章实数复习练习题

北师大八年级数学上册第二章实数复习练习题
一、口算
-12 ______； 1 7 ______； 3 0.0125 ______； 3 - 3 3 ______；
9
8
二、化简
0.81100 ______；三、定义
64b2 9a2
=______；
1 9 =______； 3
2. 比较 2， 5 ， 3 7 的大小，即_____＜_____＜_____；
3. （1） 5 - a _____ 3 a 6 ；
（2） 3 5 _____ 4 5 - 2 ；（作业）
（3） 17 1 _____ 9 ；（作业）
5
10
（4） 3 260 _____6 ；
六、数、轴结合
1.有理数 a 在数轴上的位置如图示，则 a 42 a 112 化简后为（）
2
7. 已知 a，b，c 满足 a 8 2 b 5 c 3 2 0 .①求 a，b，c 的值；②试
问以 a，b，c 为边能否构成三角形？若能，求出三角形的周长；若不能，说明理由。
五、比较大小
1. 比较大小： 5 - 3 _____ 5 - 2 .（填“＞”“＜”或“=”）； 2
A.-1
B.1
C. 32018
D. 32018
2. 已知实数 x，y 满足 x 4 y 8 0 ，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）
A.20
B.20 或 16
C.16 D.无法确定
3. 已知 m 1 2 ，n=1- 2 ，则代数式 m2 n2 3mn 的值为（）（作业）
A.9
B. 3
C.3 D.5

八年级数学上册第二章实数复习教案北师大

第二章课题第二章总复习课型教学目标掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念。

灵活运用二次根式的性质、运算法则。

重点二次根式的加减乘除的混合运算。

难点二次根式的加减乘除的混合运算。

新课导入这章我们已经学完，让我们复习这一单元的知识。

课程讲授第二章《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1.平方根的含义如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。

即ax=2，x叫做a的平方根。

2.平方根的性质与表示⑴表示：正数a的平方根用a±表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根，a-叫做a的负平方根。

⑵一个正数有两个平方根：a±（根指数2省略）0有一个平方根，为0，记作00=，负数没有平方根⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a的平方根的运算。

aa=2==⎩⎨⎧-aa<≥aa()aa=2（0≥a）⑷a 的双重非负性0≥a 且0≥a （应用较广）例：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

区分：4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方后，得____3.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数　＝非完全平方类＝完全平方类 773294*若0>>b a ，则b a >（二）立方根和开立方1．立方根的定义如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a2. 立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。

正数的立方根是一个正数。

负数的立方根是一个负数。

０的立方根是０.3. 开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。

()a a =33 a a =33 33a a -=- （a 取任何数）这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

*０的平方根和立方根都是０本身。

（三）推广： n 次方根１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。

第北师大版八年级数学二章实数复习课件(共31张PPT)

你
争
我
辩
，
快
第二章实数
乐
无
限
勇于质疑，敢于展示
正整数
有限
有理数和无
理数统称为
实数.
实数
有理数
正有理数零
负有理数
正分数
负整数
负分数
小数或无限循
环
正无理数无限不
无理数
循环小
小数
负无理数数
分类依据：按定义分类，
正实数
正有理数负无理数
实数
求 x y z 。 5.5
常考知识点：实数的三个非负性：
1.任何数的平方都是非负数：a2 0 2.任何数的绝对值都是非负数： a 0 3.任何非负数的算术平方根都是非负数： a 0且a 0
x 考考你：如果 y 1 2x 1 1 2x，你知道和 y 的值吗？ 2 都为0.5
⑵商的算术平方根：等于算术平方根的商；
a a a≥0,b＞0
bb
4、最简二次根式：满足以下三个条件的二次根式叫最简二次根式：
⑴被开方数不能含有开得尽方的因数；例如：54 ⑵被开方数不能含有分母；例如：1
2
⑶分母不能含有根号；例如：1 3
注意：二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简二次根式。
例3、
化 1
48 6
1;2
32
3
简：
3
6
3 2 3 27 ;4 1 28 700
3
7
例4：已知 x 2 3, y 2 3, 求x 2 xy y 2
解：x2 xy y2
易错题
(2 3)2 (2 3)(2 3) (2 3)2

北师大版初中八年级数学下册单元复习课第二章实数

天真的希伯索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害．但根号 2 很快就引起了数学思想的大革命．科学史上把这件事称为“第一次数学危机”．希伯索斯为根号 2 殉难留下的教训是：科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬．
【阅读收获】通过阅读了解了无理数的发现过程，希伯索斯因为发现了什么而被杀害？
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，记作± a ；其中正的那一个叫作算
术平方根，记作 a .
2．区别开平方运算和开立方运算
开平方开立方
正数
两个平方根，互为相反数
一个立方根，是正数
0
负数
一个平方根，是0 没有平方根
一个立方根，是0 一个立方根，是负数
二次根式的运算掌握二次根式的加、减、乘、除运算．还要明确怎样算能够条理清楚、步骤简洁．类比整式乘法解决较简单的混合运算问题，能够解决较简单的条件求值问题．
答：希伯索斯发现，边长为 1 的正方形，它的对角线(根号 2)却不能用整数之比来表达．
A．－1 B．14
C．0 D．－ 2
3．(2020·绥化中考)化简| 2 －3|的结果正确的是( D )
A． 2 －3 B．－ 2 －3 C． 2 ＋3 D．3－ 2
4．(2020·黔东南州中考)实数 2 10 介于( C )
A．4 和 5 之间 B．5 和 6 之间 C．6 和 7 之间 D．7 和 8 之间 5．(2020·遂宁中考)下列各数 3.141 592 6， 9 ，
开方运算
掌握开平方和开立方运算，明白它们之间的联系．考点主要集中在平方根和
算术平方根的概念区分、求值等方面．
1．(2020·攀枝花中考)下列说法中正确的是( C )

《实数》全章复习与巩固(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)

专题2.22 《实数》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【要点梳理】有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；（3().非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、与实数有关的概念1、把下列各数填入相应的大括号里．π，2，﹣12，|，2.3，30%(1)整数集：{…}；(2)有理数集：{…}；(3)无理数集：{…}．【答案】(1)2，﹣12，2.3，30%π，|【分析】根据有理数与无理数概念，运用实数的分类求解即可．(1)解：∵|22，∵整数集：{2…}故答案为：2(2)解：有理数集：{2，﹣12，2.3，30%…}；故答案为：2，﹣12，2.3，30%(3)解：无理数集：{π，|，…}；a aa2a≥0a≥a a故答案为：π，|．【点拨】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是熟记实数的分类．【变式】一个数值转换器，如图所示：(1)当输入的x 为9时，输出的y 值是；(2)若输入有效的x 值后，始终输不出y 值，请写出所有满足要求的x 的值，并说明你的理由；(3)若输出的y x 值：．【答案】或1，理由见分析(3)7或49 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可；（2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．(1)解：当x ＝9时，93，而3是有理数，3(2)0或1，理由如下：因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，无论进行多少次运算都不可能是无理数； (3)若1次运算就是无理数，则输入的数为7，若2次运算输出的数是无理数，则输入的数是49，故答案为：7或49．【点拨】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．2、若0,0a ab <<，化简433a b b a ----+【答案】【分析】由0,0a ab <<判断b ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值，再计算即可．解：∵0,0a ab <<，∵b ＞0，∵0,0a b b a ---+>∵a b b a ---((a b b a =-----a b b a =-+++=【点拨】本题考查二次根式的化简，正确的对含绝对值号的代数式的化简是解题的关键．分类的标准应按正实数，负实数，零分类考虑．掌握好分类标准，不断加强分类讨论的意识．【变式】实数a 在数轴上的对应点A 的位置如图所示，b ＝|a ＋|2−a |(1)求b 的值；(2)已知b ＋2的小数部分是m ，8－b 的小数部分是n ，求2m ＋2n ＋1的平方根．【答案】2(2)【分析】（1）先判断2<a <3，再判断a <0，2−a <0，再化简绝对值，合并即可；（2）先求解2,8,b b 再求解,m n 的值，再求解2m ＋2n ＋1，最后求解平方根即可． (1)解：∵2<a <3∵a ，2−a <0∵b -a ＋a -2(2)∵b ＋8－b =8）=10，3104,<<610107,∵m －3，n =10－6=4∵2m ＋2n ＋6+8－1=3∵2m ＋2n ＋1的平方根为【点拨】本题考查的是实数与数轴，化简绝对值，无理数的小数部分的理解，平方根的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键．类型二、二次根式双重非负性3、若a 、b 为实数，且b ＜222a a -+-+，化简：214422b b a b-++-．【答案】3【分析】首先由二次根式有意义的条件求得：a ＝2，b ＜2，再利用实数的运算法则求解即可求得答案．解：∵20 20aa-≥⎧⎨-≥⎩，解得：a＝2，∵b2＝2，即b＜2，221232bb-=+=+=-．【点拨】本题主要考查的是二次根式的非负性，以及二次根式的化简求值，利用非负性求得a值，以及b的取值范围是解本题的关键．【变式】已知实数，b，c满足3a+(2a b+的值．【答案】4【分析】根据二次根式的非负性求得b的值，然后根据非负数的性质求得,a c的值，最后代入代数式求解即可.解：∵3a+∵5050bb-≥⎧⎨-≥⎩，5b∴=，∴3a+0，3,2a c∴=-=，∴(2a b+()23504=-+-=.【点拨】本题考查了二次根式的非负性，非负数的性质，掌握二次根式的非负性是解题的关键．类型三、与二次根式有关的规律问题4、细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：11OA=；2OA = 1111122S =⨯⨯=；3==OA 2112S ==4==OA 3112S ==； (1)请用含有n （n 为正整数）的等式表示上述变化规律：2nOA =______，n S =______． (2)若一个三角形的面积是 (3)求出22221239S S S S +++⋅⋅⋅+的值．【答案】(1)n 它是第32个三角形；(3)11.25．【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；（2）利用（1）的规律代入Sn n 即可；（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．(1)解：因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OA 1，OA 2OA 3…，OAn所以OAn 2=n ．Sn =12故答案为：n(2)解：当Sn 解之得：n =32，即：说明它是第32个三角形； (3)解：S 12+S 22+S 32+…+S 92 =14+24+…+94=454=11.25．即：S 12+S 22+S 32+…+S 92的值为11.25．【点拨】本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．【变式】观察以下等式：第112=第223=第334== ．．．．．．．．．．．按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：；(2)写出你猜想的第n 个等式：（用含n 的等式表示，n 为自然数）(3)【答案】78=；1n n =+；(3)150 【分析】（1）根据所给的等式的形式求解即可；（2）分析所给的等式的形式，总结出规律即可；（3）利用（2）中的规律进行求解即可． (1)解：根据题意得第7个等式为：78==；78==；(2)解：第112；第223=；第334==；由以上等式可以猜想第n 个等式是：1nn +；1nn =+；(3)……＝1234923450⨯⨯⨯…… ＝150．【点拨】本题主要考查数字的变化规律、二次根式性质和运算法则，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．类型四、二次根式化简、求值5、计算：(1)⎛ ⎝ (2) )21+【答案】4+【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，去括号后再合并即可；（2）先利用平方差公式及完全平方公式进行计算，然后再合并即可．(1)解：原式=⎛ ⎝⎭=(2)解：原式=2221-++=3221-++ =4+【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【变式】计算：(1) (2) (1112π-⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】(1)10-2 【分析】(1)根据二次根式的运算法则进行计算即可；（2）根据运算法则进行计算即可．(1)解：===46=+-10=-(2)解：（2）原式112=+2=【点拨】本题考查二次根式的计算，实数的计算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．6、已知21x =+，21y =-，求2y xx y++的值．【答案】8【分析】根据x y ，求出x y +和xy 的值，然后对原式进行通分转化为x y +和xy 的形式．解：∵1x =，1y =∵x y +=1xy =，22282()2y x x y xy x x y y xy x y ++===++=+ 【点拨】此题考查了二次根式的加减乘除运算，涉及了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握二次根式的有关运算法则以及完全平方公式．【变式】（124x =．（2）已知x =y =22x xy y -+值．【答案】（1）（2）11 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．（2）先由x 与y 的值计算出x ﹣y 和xy 的值，再代入原式＝x 2﹣2xy +y 2+xy ＝（x ﹣y ）2+xy 计算可得．解：（1）原式==，当4x =时，原式6=（2）∵x =y =∵x y -231xy ==-=-，原式＝x 2﹣2xy +y 2+xy ＝（x ﹣y ）2+xy＝（2﹣1 ＝12﹣1 ＝11．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．类型四、二次根式大小比较7、请比较52和113的大小．【分析】先将两数通分，然后将分子中根号外的数字平方后移到根号内，通过比较被开方数的大小得出结论．解：，又∴．【点拨】本题主要考查了实数大小的比较，二次根式的性质．将两个无理数适当变形后，通过比较被开方数的大小进行解答是解题的关键．【分析】再进行作差运算，10>即可．=；解：1=1)1=，1，>，10【点拨】本题考查了无理数的比较大小，以及二次根式的分母有理化，解题的关键是将进行分母有理化，再进行作差运算比较大小．8、（1）观察各式：0.030.1732,3 1.732,30017.32≈≈≈．．．发现规律：被开方数的小数点每向右移动_________位，其算术平方根的小数点向______移动______位；（2 2.236≈_________________；（37.746≈≈的值．【答案】（1）2；右；1（2）0.2236；22.36（3）15.492，0.7347【分析】（1）观察分析已知式子中被开方数与算术平方根的小数点从小到位数，总结归纳出规律即可；（2）根据（1）发现的规律计算即可；（3=解：（1）0.1732≈17.32≈ 1.732≈，∵发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；故答案为：2，右，1；（2） 2.236≈，≈，0.2236≈，22.36故答案为：0.2236，22.36；（3）7.746≈，27.74615.492=⨯=，2.449≈30.24490.7347==≈⨯=【点拨】本题考查数字型规律，算术平方根，总结归纳出规律是解题的关键．【变式】阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若x a N =（0a >且1x ≠），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，比如指数式4216=可以转化为对数式24log 16=，对数式52log 25=，可以转化为指数式2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log ()log log a a a M N M N ⋅=+（0a >，1a ≠，0M >，0N >），理由如下：设log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =，∵m n m n M N a a a +⋅=⋅=，由对数的定义得log ()a m n M N +=⋅又∵log log a a m n M N +=+∵log ()log log a a a M N M N ⋅=+根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式4381=转化为对数式________；（2）求证：log log log a a a M M N N=-（0a >，1a ≠，0M >，0N >）（3）拓展运用：计算666log 9log 8log 2+-=________．【答案】（1）34log 81=；（2）详见分析；（3）2.【分析】（1）根据对数式的定义转化即可；（2）先设log a M m =，log a N n =，根据对数的定义可表示为指数式为：m M a =，n N a =，计算M N的结果，类比所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：log ()log log a a a M N M N ⋅=+和log log log M M N N ααα=-的逆用，计算可得结论．解：（1）34log 81=（或3log 814=），故答案为34log 81=；（2）证明：设log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =， ∵mm n n M a a N a-==，由对数的定义得log a M m n N -=，又∵log log a a m n M N -=-， ∵log log log a a a M M N N=-；（3）666log 9log 8log 2+-66log (982)log 362=⨯÷==．故答案为2．【点拨】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系，解题的关键是明确新定义，理解对数的运算法则，明白指数与对数之间的相互转化关系．。

中考数学复习第二节实数的运算及大小比较

第二节实数的运算及大小比较本节知识导图河北中考命题规律考什么怎么考考点年份题号题型考查方式考频命题趋势实数的大小比较2017 19 填空题与新定义结合，考查比较大小，一元二次方程5年2考实数的运算中常考0次幂和－1次幂，与运算结合的简便运算考查2次，形式新颖灵活；而实数的大小比较常与其他知识结合考查，不单独考查．预计2020年实数的运算及大小比较仍会继续考查2016 11 选择题结合数轴比较两数的大小，并判断代数式的正负实数的运算2019 20 解答题填运算符号并计算，比较结果的大小5年5考2018 10④选择题涉及2的0次幂2016 17 填空题8的立方根2015 2C选择题1的立方根河北中考考题试做实数的大小比较1．(2016·河北中考)点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论：甲：b－a<0; 乙：a＋b>0；丙：|a|<|b|; 丁：b a>0.其中正确的是(C)A．甲乙B．丙丁C．甲丙D．乙丁2．(2017·河北中考)对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1. 因此，min{－2，－3}＝__－3__；若min{(x－1)2，x2}＝1，则__－1或2__．实数的运算类型一纯运算3．(2017·河北中考)下列运算结果为正数的是(A)A．(－3)2B．－3÷2C．0×(－2 017) D．2－34．(2016·河北中考)计算：－(－1)＝(D)A．±1 B．－2 C．－1 D．15．(2015·河北中考)计算：3－2×(－1)＝(A)A．5 B．1 C．－1 D．66．(2017·河北中考)如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是(D) A．4＋4－4＝6B．4＋40＋40＝6C．4＋34＋4＝6D．4－1÷4＋4＝67．(2019·河北中考)有个填写运算符号的游戏：在“1269”中的每个内，填入＋，－，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果．(1)计算：1＋2－6－9；(2)若1÷2×69＝－6，请推算内的符号；(3)在“126－9”的内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．解：(1)原式＝3－6－9＝－12；(2)∵1÷2×6＝3，∴39＝－6.∴内的符号是“－”；(3)－20.类型二与规律结合8．(2018·河北中考)如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试(1)求前4个台阶上数的和是多少？(2)求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和；发现试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数．解：尝试(1)－5－2＋1＋9＝3；(2)由题意，得－5－2＋1＋9＝－2＋1＋9＋x.解得x＝－5；应用与(2)同理，得第6个到第8个台阶上的数依次是－2，1，9，可见台阶上的数从下到上按－5，－2，1，9四个数依次循环排列．∵31＝7×4＋3，∴前31个台阶上数的和为7×3＋(－5－2＋1)＝15；发现 4k －1.类型三与数轴结合 9．(2019·唐山路南区模拟)已知有理数－3，1.(1)在如图所示的数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用A ，B 表示；(2)若|m|＝2，在数轴上表示数m 的点介于点A ，B 之间；表示数n 的点在点A 右侧且到点B 距离为6. ①计算m ＋n －mn ；②解关于x 的不等式mx ＋3＜n ，并把解集表示在所给数轴上．解析：本题考查数轴与不等式的应用．(1)在数轴上表示出两点；(2)根据题目条件确定m ，n 的值．①代入m ，n 的值计算代数式的值；②代入m ，n 的值解不等式，并把解集在数轴上表示出来．解：(1)如图所示； (2)∵|m|＝2，∴m ＝±2.∵数m 的点介于点A ，B 之间，∴m ＝－2. ∵数n 在点A 右侧且到点B 距离为6，∴n ＝7. ①m ＋n －mn ＝－2＋7－(－2)×7＝5＋14＝19； ②由－2x ＋3＜7，解得x ＞－2.在数轴上表示：类型四根据已知方法进行运算 10．(2016·河北中考)利用运算律有时能进行简便计算．例1 98×12＝(100－2)×12＝1 200－24 ＝1 176；例2 －16×233＋17×233＝(－16＋17)×233 ＝233.请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1)999×(－15)；(2)999×11845＋999×⎝⎛⎭⎫－15－999×1835. 解：(1)原式＝(1 000－1)×(－15) ＝－15 000＋15＝－14 985；(2)原式＝999×⎣⎡⎦⎤11845＋⎝⎛⎭⎫－15－1835 ＝999×100＝99 900.平方根与立方根11．(2013·河北中考)下列运算中，正确的是( D )A .9＝±3B .3－8＝2C ．(－2)0＝0D ．2－1＝1212．(2016·河北中考)8的立方根为__2__．中考考点清单实数的运算1．加法：同号两数相加，取__相同__的符号，并把绝对值__相加__．异号两数相加，绝对值相等时和为__0__；绝对值不相等时，取__绝对值较大加数__的符号，并用较大的绝对值__减去__较小的绝对值．一个数同0相加，__仍得这个数__．2．减法：减去一个数，等于加上这个数的__相反数__．3．乘法：两数相乘，同号得__正__，异号得__负__，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，仍得0. 4．除法：除以一个数(不等于0)等于乘这个数的__倒数__． 5．乘方：求n 个__相同因数__的积的运算叫做乘方．6．混合运算的顺序：有括号的先算__括号里面的__，无括号则先算__乘方或开方__，再算__乘除__，最后算__加减__，同级运算则按__从左到右__顺序依次计算．7．有理数的一切运算性质和运算律都适用于__实数__运算． 8．运算律(1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)加法结合律：a ＋b ＋c ＝(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)； (3)乘法交换律：ab ＝ba ；(4)乘法结合律：(ab)c ＝a(bc)；(5)(乘法对加法的)分配律：a(b ＋c)＝ab ＋ac.【方法点拨】实数运算四步：(1)观察运算种类；(2)确定运算顺序；(3)把握每个小单元的运算法则及符号；(4)灵活运用运算律．零次幂、负整数指数幂9．若a ≠0，则a 0＝__1__；若a ≠0，n 为正整数，则a －n ＝__1an __．【易错警示】(1)防止出现以下类似的错误：①3－2＝－19；②2a －2＝12a 2；(2)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．特别地，－1的奇次幂为－1，偶次幂为1，如(－1)3＝－1，(－1)2＝1.实数的大小比较与非负数的性质10．实数的大小比较(1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．(2)性质比较法：①正数＞0＞负数；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．在一组数中，求最大的数时，一般在正数中找，求最小的数时，一般在负数中找．(3)差值比较法：a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＜0⇔a ＜b ；a －b ＝0⇔a ＝b.(4)平方比较法：a 2＞b ⇔a ＞b(a ＞0，b ＞0)(主要应用于无理数估算及含有无理数的大小比较)． (5)立方比较法：a 3＞b ⇔a ＞3b.11．非负数：常见的非负数有a 2，|a|，a(a ≥0)，最小的非负数是0. 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0.例如a 2＋|b|＋c ＝0，则a 2＝|b|＝c ＝0，有a ＝0，b ＝0，c ＝0，反之亦然．平方根、算术平方根、立方根及其性质12．平方根、算术平方根、立方根⎩⎪⎨⎪⎧a 的平方根为⎩⎨⎧±a （a ≥0），其中 a 为a 的算术平方根无意义（a<0）a 的立方根为3a （a 为任意实数）13．平方根的性质：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0的平方根是0；(3)负数没有平方根．14．立方根的性质：任意一实数都有立方根，且立方根与该实数符号相同；3a3＝__a__，(3a)3＝__a__，3－a＝__－3a__．典题精讲精练实数的运算【例1】(2019·陕西中考)计算：－2×3－27＋|1－3|－(12)－2.【解析】本题考查实数的混合运算．先求立方根，根据绝对值的概念去掉绝对值符号，写出负整数指数幂，再进行实数的混合运算．【解答】解：原式＝－2×(－3)＋(3－1)－4＝6＋3－5＝1＋ 3.1．(2019·淄博中考)比－2小1的数是(A)A．－3 B．3 C．－1 D．12．(2019·石家庄内四区模拟)下列运算结果是负数的是(D)A．(－2)×(－3) B．(－3＋2)2C．2－3D．－(－2)＋(－3)实数的大小比较【例2】(2019·扬州中考)下列各数中，小于－2的数是(A)A．－ 5 B．－ 3C．－ 2 D．－1【解析】本题考查实数的大小比较．比－2小的数应该是负数，且绝对值大于2的数，分析各选项可得－5＜－2＜－3＜－2＜－1.3．在－2，－1，0，1这四个数中，最小的数是(A)A．－2 B．－1 C．0 D．14．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(B)A．|a|>4 B．c－b>0 C．ac>0 D．a＋c>0与数轴有关的运算【例3】如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为－10，OB＝3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动(点M，N同时出发)．(1)数轴上点B对应的数是________；(2)经过几秒，点M，N到原点O的距离相等？【解析】(1)根据点A 表示的数及OB ＝3OA 可得点B 表示的数；(2)设运动时间为t s ．根据“路程＝速度×时间”可得点M ，N 在数轴上表示的数，分两种情况求出t 的值．【解答】解：(1)30；[∵点A 表示的数为－10，∴OA ＝10.∵OB ＝3OA ，∴OB ＝30.∴点B 对应的数是30.] (2)设运动时间为t s ，则点M 在数轴上表示的数为－10＋3t ，点N 在数轴上表示的数为2t.当M ，N 分别位于原点两侧时，由点M ，N 到原点的距离相等可得－10＋3t ＋2t ＝0，解得t ＝2；当M ，N 位于原点同侧，即在原点右侧M ，N 两点重合时，－10＋3t ＝2t ，解得t ＝10. ∴经过2 s 或10 s ，点M ，N 到原点O 的距离相等．5．如图，数轴上a ，b ，c 三个数所对应的点分别为A ，B ，C ，已知b 是最小的正整数，且a ，c 满足(c －6)2＋|a ＋2|＝0.(1)求代数式a 2＋c 2－2ac 的值；(2)若将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，则与点C 重合的点表示的数是________； (3)请在数轴上确定一点D ，使得AD ＝2BD ，则点D 表示的数是________．解：(1)∵(c －6)2＋|a ＋2|＝0，∴a ＋2＝0，c －6＝0，解得a ＝－2，c ＝6. ∴a 2＋c 2－2ac ＝4＋36＋24＝64；(2)－7；[∵b 是最小的正整数，∴b ＝1. ∵(－2＋1)÷2＝－0.5，∴6－(－0.5)＝6.5，－0.5－6.5＝－7.∴点C 与数－7表示的点重合．](3)0 或4.[设点D 表示的数为x.若点D 在点A 的左侧，则－2－x ＝2(1－x)，解得x ＝4(舍去)；若点D 在A ，B 之间，则x －(－2)＝2(1－x)，解得x ＝0；若点D 在点B 的右侧，则x －(－2)＝2(x －1)，解得x ＝4.综上所述，点D 表示的数是0或4.]平方根、算术平方根与立方根【例4】(1)4的平方根是±2； (2)3－27的绝对值是3； (3)|－9|的平方根是±3.【解析】根据平方根、立方根的定义和绝对值的性质求解填空．6．－18的立方根是－12.请完成限时训练A 本P A 3，选做B 本P B 2～B 3。

八年级上册期末章节复习第二章实数

第二章实数 1．平方根2．算术平方根3．立方根例题1、（1）平方根等于本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________．（2）一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，则这个数是________．例题2、判断下列各题，并说明理由（19±．（）（2）算术平方根一定是正数．（）（3（）（4）2a -没有算术平方根．（）（53=±．（）（6）若236x =，则6x ==±．（）（7）6-是2(6)-的平方根．（）（8）2(6)-的平方根是6-．（）（9）2a 的算术平方根是a ．（）（105，则5a =-．（）（11）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等．（）（12）如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等．（）例题3、（1|227|0xy x y -+-=，求①22x y +；②22444x y x y --．（2）（七初半期）已知：2y =-，则34x y +=_______．（3）已知x 、y为实数，y =________．（4）（育才期末）若x 、y为实数，且满足||4y x =-________．（5）（嘉祥2014-2015半期）已知x ，y 为实数，(0 y -=，那么20112011x y -=________．例题4、（1）若3x =-，则|1=________；计算|3π|-_______．（2）实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：||||a b b c ++________．（322000=，y =，求y x -的平方根．例题5、（1）求下列各数的立方根：①1-； ②8； ③338-； ⑤2(5)-（22±，27x y ++的立方根为4，求x y +的值．（3a =，2(0)y b y =<8(4)b a >18=，求xy 的值．实数的概念、估算和分类模块一：实数的估算和高斯记号1．估算法：（1）若120a a a ≤<<；（2）若12a a a <<<根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a 最近的两个平方数和立方数，916a <<，则34<<；827a <<，则23<．1.414 1.7322.236．2．高斯记号：任何实数都可以由整数部分和小数部分组成，整数部分指的是不超过这个实数的最大整数，小数部分是这个实数减去它的整数部分．的整数部分为223的整数部分为1，那么小4；4-，那么小数部分为4例题1、（1）若4m -，则估计m 的范围为（）．A ．12m <<B ．23m <<C ．34m <<D ．45m << （2）比较下列各数大小：0.5；②3-____-例题2、（1）对于一个无理数m ，我们把不超过m 的最大整数叫做m 的整数部分，把m 减去整数部分的差叫做m 的小数部分．设1x =，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分．求323a b ab ++的值．（2）（成外半期）若99的小数部分分别为a 与b ，则a b +=_______．（3）设[]x 表示不大于x 的最大整数，则[100]++++=________．模块三：实数的概念和分类1．无理数：叫无理数． 2．实数：和统称实数．3．实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是 .4．请你对实数进行分类：例题1、（1）227，，3.14，π，0π，0.61414，0.1001000100001……这9个实数中，无理数的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．4 （2）下面有四个命题：①有理数与无理数之和是无理数；②有理数与无理数之积是无理数； ③无理数与无理数之和是无理数；④无理数与无理数之积是无理数．请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由．例题2、计算：（1（2）2（3）202π)-+ （4）21)-例题3、已知x ，y 是有理数，且11 2.25034x y ⎛⎛++--= ⎝⎭⎝⎭，求x ，y 的值．。

北师大八年级上册数学第二章实数复习导学案

初二数学实数单元复习导学案目标认知一、知识网络：二、重难点聚焦：教学重点：算术平方根和平方根的概念及其求法；教学难点：平方根和实数的概念.三、知识要点回顾：4、实数的三个非负性：|a|≥0，a2≥0，≥0（a≥0）5、实数的运算：⑴加减法：类比合并同类项；⑵乘法：=（a≥0，b≥0）；⑶除法：（a≥0，b＞0）6、算术平方根与平方根的区别与联系．区别: ①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④取值范围不同.联系: ①具有包含关系；②存在条件相同；③0的算术平方根与平方根都是0.提示1. 正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；零的平方根和算术平方根都是零；负数没有平方根．2. 实数都有立方根，且一个数的立方根只有一个，它的符号与被开方数的符号相同．3. 所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．4. 无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…5. 有理数和无理数统称实数，实数和数轴上的点一一对应．6. 实数的运算：实数运算的基础是有理数运算，有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算．正确地确定运算结果的符号和灵活运用各种运算律来进行运算是掌握好实数运算的关键．规律方法整合1．有关概念的识别1下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数故选C【变式1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A、1B、1.4C、D【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．【变式3】例：已知那么a+b-c的值为___________【答案】初中阶段的三个非负数：;a2≥0;≥0a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-22．计算类型题2. 设，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.解析：（估算）因为，所以选B【变式1】1）1.25的算术平方根是___________；平方根是___________.2）-27立方根是__________. 3）___________，___________，___________.【答案】1）；. 2）-3. 3），，【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4【变式3】化简：【答案】=+-=3．数形结合3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______解析：在数轴上找到A、B两点，【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．A．－1B．1－C．2－D．－2【答案】选C4.易错题4.判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.（3）当x=0或2时，（4）是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，故的平方根是.（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.学习成果测评：A组（基础）一、细心选一选1．下列各式中正确的是（）A． B. C. D.2. 的平方根是( )A．4 B. C. 2 D.3. 下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是无理数。

【八年级】八年级数学上册第二章实数复习教案

【八年级】八年级数学上册第二章实数复习教案八年级（上）第二复习实数实数的构成实数又可分为正实数，零，负实数2.数字轴：数字轴的三个元素——原点、正方向和单位长度。

数字轴上的点一一对应于实数二相反数、绝对值、倒数1.相反的数字：只有两个符号不同的数字被称为相反的数字。

a的对立面是-a。

正数的对立面是负数，负数的对立面是正数，零的对立面是零性质：两个相对的数之和是0。

2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为3.倒数：乘积为1的两个数是相互倒数的。

非0实数a的倒数是。

0，并且没有相互作用。

4.相反数是它本身的数只有0,；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.三、平方根和立方根1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。

数a的平方根记作（a≥0）特征：正数有两个平方根，它们彼此相反。

零的平方根仍然是零。

负数没有平方根。

正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。

开方：求一个数的平方根的操作叫做开方。

2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。

数a的立方根用表示。

任何数字都有一个立方根，正数有一个正方根；负数有负的立方根，零的立方根是零。

开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。

正确理解：几个性质：、、、四实数运算1.有理数的加法法则：a）将两个符号相同的数字相加，取相同的符号，再加上绝对值；b)异号两数相加。

绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与零相加等于原数。

2.有理数的减法规则：减去一个数等于将这个数的相反数相加。

3.乘法法则：a）当两个数字相乘时，相同的符号为正，不同的符号为负，绝对值相乘；把任何数字乘以零b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c）当几个数相乘时，只要一个因子是0，乘积就是04.有理数除法法则：a）除以两个有理数（除数不是0）。