圆的方程易错题
高考数学备考复习 易错题十：直线与圆的方程
高考数学备考复习易错题十：直线与圆的方程一.单选题（共13题；共26分）1.直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有公共点，则过点(m,n)的直线与椭圆的交点的个数是（）A. 至多一个B. 2个C. 1个D. 0个2.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by-4=0对称，则a2+b2的最小值是（）A. 2B.C.D. 13.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围是（）A. B. k<0或 C. D. 或4.已知圆C:（x+1)2+(y-1)2=1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C 的切线方程是（）A. y=x+2-B. y=x+1-C. y=x-2+D. y=x+1-5.（2015·湖南）已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 96.（2015·安徽）直线3x+4y=b与圆相切，则b=（）A. -2或12B. 2或-12C. -2或-12D. 2或127.（2015全国统考II）已知三点,则外接圆的圆心到原点的距离为（）A. B. C. D.8.若原点到直线3ax＋5by＋15＝0的距离为1，则的取值范围为（）A. [ 3，4]B. [3，5]C. [1，8]D. (3，5]9.一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A. ﹣或﹣B. ﹣或﹣C. ﹣或﹣D. ﹣或﹣10.（2016•全国）圆的圆心到直线的距离为1，则a=( )A. B. C. D. 211.已知点P（1，2）和圆C：x2+y2+kx+2y+k2=0，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是（）A. k∈RB. k＜C. ﹣＜k＜0D. ﹣＜k＜12.直线L圆x2+（y﹣2）2=2相切，且直线L在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线L的条数为（）A. 1B. 2C. 3D. 413.平行于直线2x﹣y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A. 2x﹣y+5=0B. x2﹣y﹣5=0C. 2x+y+5=0或2x+y﹣5=0D. 2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0二.填空题（共4题；共4分）14.已知方程x2+y2+4x﹣2y﹣4=0，则x2+y2的最大值是________15.（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．16.（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为________．17.一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是________．三.综合题（共2题；共20分）18.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，4），直线l：x﹣2y+1=0．(1)求过点A且平行于l的直线的方程；(2)若点M在直线l上，且AM⊥l，求点M的坐标．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案解析部分一.单选题1.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】直线与圆没有公共点，，在圆内部，在椭圆内部，所以过的直线与椭圆有两个交点【分析】判断直线与椭圆的交点个数，需判断直线过的定点与椭圆的位置关系，求解本题利用到了数形结合法，此法在一些选择填空题目中经常用到，可使计算简化，难度适中2.【答案】A【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，圆的一般方程，直线与圆的位置关系【解析】【解答】因为圆：关于直线对称，所以直线过圆心（－1,2)，所以－2a+2b－4=0,a=b－2,=2,的最小值是2，故选A。
历年中考数学易错题汇编-圆的综合练习题含详细答案
历年中考数学易错题汇编-圆的综合练习题含详细答案一、圆的综合1．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)63 8.【解析】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= 12 PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
（2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，∵AM＝BM∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9，当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝2∴点Q的坐标为（2，9）（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）∴M1M2＝92－3＝32， Q1Q2＝6－4＝2线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1其面积为：12×(32＋2)×4.5＝638.【解析】【分析】根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接解答此题.【详解】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
《易错题》小学数学六年级上册第五单元《圆》检测(含答案解析)
《易错题》小学数学六年级上册第五单元《圆》检测（含答案解析）一、选择题1．下图的周长是（）A. （π+1）dB. πd+dC. dD. πd2．用油漆在一块大标语牌上均匀地涂出下面三种标点符号：句号、逗号、问号。
已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r，那么（）用的油漆最多。
A. B. C.3．下图中，正方形的面积是16平方厘米，圆的面积是（）cm2。
A. 50.24B. 47.1C. 43.98D. 37.68 4．计算如图阴影部分面积，正确的列式是（）A. 62×3.14﹣（）×3.14B. ×62×3.14﹣（）2×3.14C. ×[62×3.14﹣（）2×3.14]D. ×（6×2×3.14﹣6×3.14）5．如图，沿半圆形草坪外围铺一条4m宽的小路．求小路的面积，正确的列式是（）A. 3.14×42÷2B. 3.14×202÷2C. 3.14×（202﹣42）÷2D. 3.14×242÷2﹣3.14×202÷2 6．用一块长12米、宽8米的长方形铁皮剪成半径是2米的小圆（不能剪拼），至多能剪（）个。
A. 7B. 8C. 6D. 137．下图是一个半圆，它的半径是5cm，周长是（）cm。
A. 5π +10B. 5πC. 10πD. 10π+108．长方形、正方形、圆的周长都相等，则面积最大的是（）。
A. 长方形B. 正方形C. 圆D. 无法比较9．一个蒙古包所占地面的周长是31.4米，它的占地面积是（）平方米。
A. 10平方米B. 314平方米C. 78.5平方米10．周长相等的长方形、正方形、圆中，（）的面积最大。
A. 长方形B. 正方形C. 圆11．两个圆的周长之比是2：5，则它的面积之比是（）。
(易错题)初中数学九年级数学上册第四单元《圆》检测卷(答案解析)
解析：D
【分析】
利用垂径定理可对A进行判断；根据圆周角定理得到∠AOC=2∠D=60°，则△OAC为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出 ，则可对B进行判断；利用AB=AC=OA=OC=OB可对C进行判断；通过判断△AOB为等边三角形，再根据扇形的面积公式可对D进行判断．
【详解】
24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
（1）画出将绕点O顺时针旋转 后的图形，记为 ；
（2）在题（1）旋转过程中线段OA扫过的面积为_______（直接写出答案）
25．如图， 中， ， ， 与 交于点 ．求证 ．
26．已知：如图， 是 的直径，弦 于点 ， 是 上一点， 与 的延长线交于点 ．
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝ （180°﹣∠AOB）＝36°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
设AC=a，BC=b，由勾股定理可求得a2+b2=102，由三角形的面积公式和圆的面积公式分别求出空白部分图形面积和阴影部分图形面积，利用阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍可求得ab，进而可求得△ABC的面积．
【分析】
根据切线的性质得到∠OPB＝90°，证出OP//BC，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结果．
【详解】
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP//BC，
∴∠CBD＝∠POB＝40°，
故选D．
【点睛】
小学五年级数学《圆》易错题
小学五年级数学《圆》易错题第一篇：小学五年级数学《圆》易错题《圆》易错题集锦一、填空1、在一个长8厘米、宽4厘米的长方形纸片上剪下一个最大的半圆，半圆的周长是（）厘米。
2、如果一个圆的半径由2厘米增加到4厘米，周长要增加（）厘米。
3、两圆半径的比为4:5，则直径的比为（）:（），周长比为（）:（），面积比为（）:（）。
4、李平想在一个长5厘米、宽6厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。
二、判断1、因为d=2r，所以同一个圆的任何两条半径都能组成一条直径。
（）2、周长相等的两个圆，面积也一定相等。
（）3、圆的半径扩大3倍，面积也扩大3倍。
（）4、半径是2厘米的圆，它的周长和面积相等。
（）5、圆的位置是由圆心决定的，圆的大小是由半径决定的。
（）6、两圆的半径比是2:1，则其周长的比是4:1。
7、圆规两脚间的距离是3厘米，所画的圆的直径就是3厘米。
（）8、两端都在圆上的线段中，直径最长。
（）9、圆周率π=3.14.（）10、圆的直径扩大到原来的2倍，周长也扩大到原来的2倍。
（）11、半圆的周长就是圆周长的一半。
（）12、圆有无数条对称轴。
（）13、圆的周长与它直径的比的比值是π。
（）14、两端在圆上的线段是圆的直径。
（）15、圆规两脚间的距离是4厘米，画出的圆的周长是12.56厘米。
（）三、画图1、画一个半径是1.5厘米的圆。
（1）用字母标出圆心、半径和直径。
（2）画出它的一条对称轴。
2、四、计算阴影部分的面积。
（单位：dm）五、解决问题1、依墙而建的鸡舍围城半圆形，其直径是5米。
（1）需要多长的篱笆才能把鸡舍全围起来？（2）如果将鸡舍的直径增加2米，需要增加多长的篱笆？2、用20米的钢筋制作直径为20米的铁环，最多能制作多少个？如果铁环的直径是35厘米，要制作20个铁环，至少需要多少米的钢筋？3、圆形水池四周种了40棵树，每两棵树之间的距离是1.57米。
这个水池的半径是多少米？4、一张桌面直径为2米的桌子，如果要给桌面铺上同样大小的玻璃，这块玻璃的面积是多少平方米？如果在桌面周围镶上金属条，需要多少米？5、用一张长是3米，宽是2米的长方形铁板，切割出一个最大的圆，圆的面积是多少？剩余部分的面积是多少？6、一个圆形旱冰场的直径是30米，扩建后半径增加了5米。
人教中考数学圆的综合-经典压轴题附详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 12，求AB 和FC 的长．【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF =【解析】 分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：⑴证明：连结OC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠BAC=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠B=∠FCA∴∠FCA+∠OCA=90°即∠OCF=90°∵C 在⊙O 上∴CF 是⊙O 的切线⑵∵AE=4，tan ∠ACD12AE EC = ∴CE=8∵直径AB ⊥弦CD 于点E∴AD AC =∵∠FCA ＝∠B∴∠B=∠ACD=∠FCA∴∠EOC=∠ECA∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE ⊥AB ∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE= 即106=8CF ∴40CF 3= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.2．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别为A （6，0）、B （0，2），点C （x ，y ）在线段AB 上，计算（x+y ）的最大值。
(易错题)小学数学六年级上册第五单元《圆》测试题(有答案解析)(1)
（易错题）小学数学六年级上册第五单元《圆》测试题（有答案解析）(1)一、选择题1．下面图案中，对称轴条数最多的是（）。
A. B. C. D.2．下图的周长是（）A. （π+1）dB. πd+dC. dD. πd3．将半径分别为2厘米和3厘米的两个半圆如图那样放置，则阴影部分的周长是（）A. 18.7厘米B. 19厘米C. 10厘米D. 19.7厘米4．用油漆在一块大标语牌上均匀地涂出下面三种标点符号：句号、逗号、问号。
已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r，那么（）用的油漆最多。
A. B. C.5．关于圆，下列说法错误的是（）.A. 圆有无数条半径B. 圆有无数条对称轴C. 半径越大，周长越大D. 面积越大，周长越小6．下图中，正方形的面积是16平方厘米，圆的面积是（）cm2。
A. 50.24B. 47.1C. 43.98D. 37.68 7．已知圆的周长是18.84厘米，它的直径是（）A. 6厘米B. 12.56厘米C. 12厘米8．如图，两只蚂蚁分别选择甲、乙两条线路从A地爬向B地．下面说法正确的是（）A. 甲线路路程多B. 乙线路路程多C. 两条线路的路程一样多D. 不能确定9．东方公园有一个圆形的喷水池，经测量得出这个喷水池的周长是37 .68m。
这个喷水池占地（）m2。
A. 37.68B. 113.04C. 452.1610．如果一个圆的半径由1分米增加到2分米，它的周长增加了（）分米。
A. 2B. 6.28C. 12.56D. 18.84 11．两个圆的周长之比是2：5，则它的面积之比是（）。
A. 2：5B. 5：2C. 4：25D. 25：4 12．一个圆和一个正方形的周长相等，他们的面积比较（）A. 圆的面积大B. 正方形的面积大C. 一样大二、填空题13．一个半圆的周长是25.7 cm，这个半圆的面积是________cm2.14．如图，阴影部分的周长是________cm，面积是________cm2。
五年级下数学(第六单元)易错题答案解析
五年级下数学(第六单元)易错题答案解析【易错题1】判断：直径是半径的2倍，把圆的半径扩大为原来的2倍，则直径扩大为原来的4倍。
（）【错因分析】学生没有考虑清楚直径和半径之间的关系，认为是√的。
【思路点拨】我们可以举例验证：原来半径是3厘米，那么直径就是3×2=6（厘米）；半径扩大2倍，就是3×2=6（厘米），直径是半径的2倍，直径就是6×2=12（厘米）。
比较直径，12÷6=2，直径也是扩大了2倍。
此题为×。
【易错题2】一个圆的直径是3厘米，如果它的半径增加1厘米，那么它的周长增加多少厘米？【错因分析】同学们没有关注到是半径增加1厘米，算出增加后的直径为3+1=4（厘米），增加后的周长是4×3.14=12.56（厘米），原周长是3×3.14=9.42（厘米），增加的周长12.56-9.42=3.14（厘米）。
【思路点拨】仔细审题会发现已知条件是“它的半径增加1厘米，”说明直径增加的就是2厘米，增加后的直径为3+2=5（厘米），增加后周长是5×3.14=15.7（厘米），原周长是3×3.14=9.42（厘米），周长增加15.7-9.42=6.28（厘米）。
【易错题3】用三根同样长的铁丝分别围成一个长方形、一个正方形和一个圆，（）的面积最大。
A.圆B.长方形C.正方形【错因分析】部分同学按照之前学习的内容，周长相等时，正方形的面积大，选择了C。
【思路点拨】此题是已有知识与新知相关联的题目，根据已有知识可知，在周长相等的情况下，正方形的面积大于长方形的面积，那么本题我们就要研究周长相等的情况下，圆和正方形谁的面积大？假设铁丝长31.4米，即圆和正方形的周长都是31.4米。
圆的直径：31.4÷3.14=10（米），圆的面积：3.14×（10÷2）²=78.5（平方米）。
正方形边长：31.4÷4=7.85（米），正方形的面积：7.85×7.85=61.6225（平方米）。
(易错题)小学数学六年级上册第五单元《圆》测试(答案解析)
25．用一根铁丝刚好围成一个边长是 4.71 分米的正方形。如果用这根铁丝围成圆形，这个 圆形的面积有多大？（接头处铁丝长度不计） 26．在一块正方形钢板上如下图 1、图 2 裁剪圆片。
（1）按照图 1、图 2 这两种方法裁剪后，分别算一算剩下多少平方米的钢板。 （2）照这样的剪法，如果剪去 16 个圆后，算一算剩下的面积是多少平方米。 （3）通过上面的计算，你发现了什么？
a2 倍。
二、填空题
13．π2-1【解析】【解答】解：90π×1×2360-1=π2-1 所以无阴影的两部分的面积 之差为 π2-1 故答案为：π2-1【分析】先把这个图形中每一部分编号即从图中可 以看出以 AB 和 CD 为半径的扇形=2S
解析： -1
【解析】【解答】解：
-1= -1，所以无阴影的两部分的面积之差为 -1。
17．B；F【解析】【解答】解：淘气应该选择的最合适的数据是半径 4 厘米 4×2×314=2512 厘米所以他所画的圆的周长是 2512 厘米故答案为：B；F【分 析】用圆规画图时圆规两脚之间的距离是所画的圆的半径所
解析： B；F 【解析】【解答】解：淘气应该选择的最合适的数据是半径 4 厘米，4×2×3.14=25.12 厘 米，所以他所画的圆的周长是 25.12 厘米。 故答案为：B；F。 【分析】用圆规画图时，圆规两脚之间的距离是所画的圆的半径，所以淘气应该选择的最 合适的数据是半径 4 厘米，圆的周长=2πr。
=12.56+12.56 =25.12（cm）
3.14×4²÷2 =3.14×16÷2 =50.24÷2 =25.12（cm²） 故答案为：25.12；25.12。 【分析】阴影部分的周长分成大的半圆和两个小的半圆，两个小的半圆合起来是一个小
(易错题)最新人教版小学数学六年级上册第五单元《圆》测试(包含答案解析)
（易错题）最新人教版小学数学六年级上册第五单元《圆》测试（包含答案解析）一、选择题1．下面图案中，对称轴条数最多的是（）。
A. B. C. D.2．如图，正方形的周长是16分米，则这个圆的面积是（）A. 50.24平方分米B. 12.56平方分米C. 25.12平方分米D. 803.84平方分米3．下面图（）中的阴影部分可能是圆心角为100°的扇形．A. B. C.D.4．观察如图，随着圆的个数增多，阴影的面积（）A. 没有改变B. 可能不变C. 越变越大D. 越变越小5．已知圆的周长是18.84厘米，它的直径是（）A. 6厘米B. 12.56厘米C. 12厘米6．一个圆的半径为r，直径为d，这个半圆的周长是（）。
A. 2πr＋dB. πd＋dC. （πd＋d）÷2D. r（π＋2）7．在长4厘米，宽3厘米的长方形内画最大半圆，这个半圆的周长是（）A. 6.28厘米B. 7.71厘米C. 10.28厘米D. 12.56厘米8．大圆的半径是小圆的直径，则大圆面积是小圆面积的（）。
A. 2倍B. 4倍C. 12D. 14 9．把一个直径是2cm的圆平分成2个半圆后，每个半圆的周长是（）。
A. 6.28cmB. 3.14cmC. 4.14cmD. 5.14cm 10．一个蒙古包所占地面的周长是31.4米，它的占地面积是（）平方米。
A. 10平方米B. 314平方米C. 78.5平方米11．一个圆形花坛的半径是2.5米，在花坛一周铺了一条宽0.5米的碎石小路，小路的面积是（）平方米。
A. 27.475B. 9.42C. 8.635D. 28.26 12．将圆的半径按3：1放大后，面积将扩大到原来的（）。
A. 9倍B. 6倍C. 3倍二、填空题13．如图，正方形的面积是20平方厘米，则圆的面积是________平方厘米。
14．笑笑告诉淘气自己画的一个圆的相关数据：直径8厘米，半径4厘米，面积50.24平方厘米．如果淘气想用圆规很快画出这个圆，他应该选择的最合适的数据是________，他所画的圆的周长是________．A．直径8厘米 B．半径4厘米 C．面积50.24平方厘米D.18.84厘米E.12.56厘米F.25.12厘米15．把一个由草绳编织成的圆形茶杯垫沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形（如图所示），在剪拼的过程中面积保持不变，这个平行四边形的面积是________cm2．16．半径为4cm的圆比直径为6cm的圆周长多________cm；面积多________cm2．17．在一个长6dm，宽4dm的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的面积是________dm2。
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第一章 空间向量与立体几何易错点一：空间向量的加减运算1．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 1的中点为O ,则下列命题中正确的是( ) A ．OA OD +与11OB OC +是一对相等向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量 C ．1OA OA -与1OC OC -是一对相等向量D ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量2．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M 为空间任意两点，如果1111764PM PB BA AA A D =++-，那么点M 必（ ） A ．在平面1BAD 内 B ．在平面1BA D 内 C ．在平面11BA D 内D ．在平面11AB C 内3．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:①AB CB AC -=;②''''AC AB B C CC =++;③''AA CC =;④'''AB BB BC C C AC +++=. 其中正确的是_____.易错点二：空间向量的数量积1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（ ） A ．31-B ．21-C ．32-D ．32-2．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9B ．7C ．5D ．33．设a b c ，，是单位向量，且0⋅＝a b ，则()()a cbc -⋅-的最小值为__________． 易错点三：用空间基底表示向量1．在三棱柱111A B C ABC -中，D 是四边形11BB C C 的中心，且1,,AA a AB b AC c ===，则1A D =（ ）A ．111222a b c ++B ．111222a b c -+C ．111222a b c +-D ．111222a b c -++2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+B ．a b c +-C ．a b c -+D ．1122a b c -+-3．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.易错点四：空间向量的坐标运算1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23AC AB = ,则点C 的坐标为( ) A ． 715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 7(,1,1)3--D ． 573(,,)222-2．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP 与13PP 的夹角是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．903．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{}1,,AB AD AA 为基底，则向量AE 的坐标为___，向量AF 的坐标为___，向量1AC 的坐标为___.易错点五：空间向量运算的坐标表示1．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定2．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA ·DB 取最小值时，点D 的坐标为A ．444,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________． 易错点六：空间位置关系的向量证明1．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱BC 的中点，则在棱1CC 上存在点F ，使得（ ） A ．1//AF D E B ．1AF D E ⊥ C ．//AF 平面11C D ED ．AF ⊥平面11C D E2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M=AN=23a，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是（ ） A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定3．若直线l 1的方向向量为1u =(1,3,2),直线l 2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____. 易错点七：异面直线夹角的向量求法1．如图所示，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已知PA =BC =2，AB =4，CB ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为A ．3010-B ．305-C ．305D ．30102．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 为11D C 的中点，则11AC →与DE →所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．13C ．24D ．553．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO ≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是___________.易错点八：线面角的向量求法A ．6πB ．3π C ．2π D ．56π2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A ．215B ．25 C ．35D ．453．在正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是________．易错点九：面面角的向量求法1．如图，在空间直角坐标系D xyz -中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，12AA AB AD ==，点E ，F 分别为11C D ，1A B 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33-B ．32-C ．33D ．322．如图，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体， 12AA AB AD ==，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33-B ．32-C ．33D ．323．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．第二章 直线和圆的方程易错点一：两条直线平行和垂直的判定1．若过点A (2,-2)，B (5,6)的直线与过点P (2m ,1)，Q (-1,-m )的直线平行，则m 的值为（ ） A ．-1B ．-513C ．2D ．122．若直线a ，b 的斜率分别为方程2410x x --=的两个根，则a 与b 的位置关系为（ ） A ．互相平行B ．互相重合C ．互相垂直D ．无法确定3．经过点A (1,2)和点B (-3,2)的直线l 1与经过点C (4,5)和点D (a ,-7)的直线l 2垂直，则a =________. 易错点二：直线的方程1．在x 轴和y 轴上的截距分别为4-和5的直线方程是（ ） A ．154x y +=- B ．145x y +=- C ．145x y +=- D ．154x y +=- 2．直线()2(2)232m x m m y m ++--=在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为（ ）A ．65B ．6-C ．65-D ．63．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________. 易错点三：两条直线的交点坐标1．直线x －2y ＋3＝0与2x －y ＋3＝0的交点坐标为（ ） A ．(－1，1) B ．(1，－1) C ．(1，1)D ．(－1，－1)2．两条直线1l ：x =2和2l ：32120x y +-=的交点坐标是 A ．(2,3)B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)-3．已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______． 易错点四：两点间的距离公式1．点()2,5P -为平面直角坐标系内一点，线段PM 的中点是()1,0，那么点M 到原点O 的距离为（ ） A ．41B ．41C ．39D ．392．光线从点(3,5)A -射到x 轴上，经x 轴反射后经过点(2,10)B ，则光线从A 到B 的距离为 A ．52B ．25C ．510D ．1053．已知点()2,1A ，点()5,1B -，则AB =________． 易错点五：圆的方程1．以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是 A ．2280x y x y +---= B ．2290x y x y +---= C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=2．圆224630x y x y ++--=的标准方程为（ ） A ．22(2)(3)16x y -+-= B ．22(2)(3)16x y -++= C ．22(2)(3)16x y ++-=D ．22(2)(3)16x y +++=3．圆心为直线20x y -+=与直线280x y +-=的交点，且过原点的圆的标准方程是________． 易错点六：直线与圆的位置关系 1．直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为 A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A ．12-B ．1C ．2D ．123．直线()0kx y k k R --=∈与圆222x y +=交点的个数为______. 易错点七：圆与圆的位置关系1．圆M ：x 2+y 2+4x ＝0与圆N ：(x +6)2+(y ﹣3)2＝9的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离2．已知圆C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣1＝0，则圆C 1与圆C 2（ ） A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离3．已知圆221:1C x y +=，圆222:2210C x y x y +--+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为______.第三章 圆锥曲线的方程易错点一：利用椭圆定义求方程1．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ） A ．22+169144x y ＝1 B ．2144x +2169y ＝1C ．2169x +225y ＝1D ．2144x +225y ＝12．已知ABC 的两个顶点分别为(4,0),(4,0),A B ABC -的周长为18，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．221(0)259x y y +=≠B ．221(0)259y x y +=≠C ．221(0)169x y y +=≠D ．221(0)169y x y +=≠3．已知圆221:(2)36F x y ++=，定点2(20)F ，，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是_____________. 易错点二：求椭圆的焦点1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 等于（ ） A ．1B ．±1C ．－1D ．±22．已知12,F F 分别为椭圆221169x y+=的左，右焦点，A 为上顶点，则12AF F △的面积为（ ）A ．6B ．15C ．67D ．373．设椭圆221129x y +=的短轴端点为1B 、2B ，1F 为椭圆的一个焦点，则112B F B ∠=________.易错点三：求椭圆的长轴、短轴1．已知椭圆9x 2+4y 2＝36，则其长轴长为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．92．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（ ） A ．2B ．4C ．12D ．143．已知椭圆()2222:111x y C a a a +=>-的左，右焦点分别为1F ，2F ，点()0,6A ，椭圆C 短轴的一个端点恰为12AF F △的重心，则椭圆C 的长轴长为________. 易错点四：求椭圆的离心率或离心率的取值范围1．在Rt ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过A ､B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =（ ）A ．32-B ．21-C ．31-D ．63-2．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若椭圆C 上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．1443．已知椭圆M ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从F 1，F 2，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为__． ①512-；②312-；③32；④22． 易错点五：根据离心率求椭圆的标准方程 1．焦点在y 轴上的椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率为32，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,a b ，则椭圆的面积公式为S ab π=.若椭圆C 的离心率为32，面积为8π，则椭圆的C 的标准方程为（ ） A ．221164x y +=或221164y x +=B ．2211612x y +=或2211612y x += C ．221124x y +=或221124y x +=D ．221169x y +=或221916x y +=3．已知焦点在x 轴上的椭圆2215x y m +=的离心率105e =，则m 的值为______．易错点六：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题1．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则||OH = A ．1B ．2C ．4D ．122．已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．323．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________.易错点七：根据方程表示双曲线求参数的范围1．若方程22191x y k k +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围为（ ）A ．9k >B ．1k <C ．19k <<D ．(1,5)(5,9)k ∈⋃2．已知方程2211-2x y m m +=+表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．(-1，+∞)B ．(2，+∞)C ．(-∞，-1)∪(2，+∞)D ．(-1，2)3．已知双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为，则实数的值是_______．易错点八：根据a,b,c 求双曲线的标准方程1．过双曲线2222:1x y C a b-=的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A ､O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为（ ） A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．22126x y -=2．已知双曲线的渐近线方程为y=±2x,焦点坐标为(-6,0),(6,0),则双曲线方程为( ) A ．22x y 28-=1B ．22x y 82-=1C ．22x y 24-=1D ．22x y 42-=13．已知双曲线中心在原点，一个焦点为1(5,0)F -，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________________. 易错点九：求双曲线的焦点坐标1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．77y x =±B ．7y x =±C ．55y x =±D ．5y x =±2．过双曲线221169x y -=的一个焦点F 作弦AB ，则11||||AF BF +的值等于（ ） A ．92B ．89C ．49D ．293．若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为________.易错点十：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程1．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切，则p 的值为 A ．12B ．1C ．2D ．42．以坐标轴为对称轴，焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） A ．216x y =或212y x = B ．216y x =或212x y = C ．216y x =或212x y =-D ．216x y =或212y x =-3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为____．第四章 数列易错点一：判断或写出数列中的项 13,5,7,3,11,,21,n +51 ） A ．第12项B ．第13项C ．第14项D ．第25项2．已知数列{}n a 的通项公式为21nn a =+，则257是这个数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项3．已知数列210，4，…()231n -…，则8是该数列的第________项 易错点二：判断等差数列1．若{}n a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是 A ．{}2n aB ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}3n aD ．{}n a2．数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是（ ） A ．31n -B ．32n +C ．32n -D ．31n +3．给出下列命题，正确命题的是（ ）(多选题） A ．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； B ．数列1,23a a a a ---,,是公差为1-的等差数列；C ．等差数列的通项公式一定能写成n a kn b =+的形式(k ，b 为常数)；D ．数列{}()21n n N*+∈是等差数列．易错点三：等差数列通项公式的基本两计算1．在等差数列{a n }中，a 3＝2，d ＝6.5，则a 7＝（ ） A ．22B ．24C ．26D ．282．已知数列{}n a 是等差数列，若35715a a a ++=，8212a a -=，则10a 等于（ ） A ．10B ．12C ．15D ．183．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小16，则公差为__________． 易错点四：利用等差数列的性质计算1．在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5＝6，则a 1+a 7＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．在等差数列{}n a 中，2510a a +=，3614a a +=，则58a a +=（ ） A ．12B ．22C ．24D ．343．在等差数列{}n a 中，194a a +=，那么238a a a ++⋅⋅⋅+等于______. 易错点五：等差数列前n 项和的基本量计算1．已知等差数列{}n a 的前5项和为25，且11a =，则7a =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．132．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若254a a +=，7S =21，则7a 的值为 A ．6B ．7C ．8D ．93．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若63511a a =，则115SS =__________. 易错点六：等比数列通项公式的基本量计算1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为2，若415S =，则6a 的值为（ ） A ．16B ．32C ．48D ．642．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．23．设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若423S S =，则q =_______________. 易错点七：求等比数列前n 项和1．已知数列{}n a 的通项公式212n n n a -=，则数列{}n a 的前5项和5S 等于（ ）A ．3132B ．2516C ．12932D ．211322．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列.若11a =，则3S =（ ） A ．15B ．7C ．8D ．163．对于数列{}n a ，若点()()n n a n ∈*N ,都在函数()2x f x =的图象上，则数列{}n a 的前4项和4S =___________.第五章 一元函数的导数及其应用易错点一：平均变化率1．设函数2()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A ．2.1B ．0.21C ．1.21D ．0.1212．函数1y x=在1x =到3x =之间的平均变化率为（ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．133．函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为_________. 易错点二：瞬时变化率的概率及辨析1．如果一个物体的运动方程为()()30s t t t =>，其中s 的单位是千米，t 的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（ ） A ．12千米/小时B ．24千米/小时C ．48千米/小时D ．64千米/小时2．已知某物体的运动方程是39t s t =+，则当3t s =时的瞬时速度是A ．2/m sB ．3/m sC ．4/m sD ．5/m s3．质点M 按规律()()21s t t =-做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在3t s=时的瞬时速度为______（单位：/m s ）. 易错点三：导数定义中极限的简单计算 1．已知函数()sin f x a x =-，且0()()lim 2x f x f xππ∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（ ）A ．2πB ．2π-C ．2D ．2-2．已知(1)1f '=，0(13)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．133．已知()03f x '=，则()()0002limx x x f x f x∆→+∆-=∆______.易错点四：求曲线切线的斜率（倾斜角）1．已知函数()32f x x x =-，则()f x 在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为 （ ）A ．34π B ．3π C ．4πD ．6π2．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ）A ．4πB ．3π C ．34π D ．23π 3．已知函数()321313f x x x x =---+，则在曲线()y f x =的所有切线中，斜率的最大值为______.易错点五：基本初等函数的导数公式 1．若函数()31f x x =--，则()f x '=（ ） A ．0B ．3x -C ．3D ．3-2．函数()3ln 2x f x =+的导数为（ ） A ．3ln 3xB ．13ln 32x+C ．132x+D ．3x3．若()()23,f x x g x x ==，则满足()1()f x g x ''+=的x 值为________.易错点六：导数的运算1．已知函数2()2x f x x x xe =+-，则(0)f '=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．22．下列导数运算正确的是（ ） A ．()122x x x -'=⋅ B ．(sin cos 1)cos2x x x +=' C ．1(lg )x x'=D ．()12x x --'=3．已知函数2()x f x x e =，'()f x 为()f x 的导函数，则(1)f '的值为___________. 易错点七：用导数判断或证明已知函数的单调性 1．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞,＋∞)上是（ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．不确定2．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（ ）A ．(2)(1)2f f >B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()f x x f x ⋅<，()30f =，则()0f x x>的解集为_________. 易错点八：求已知函数的极值1．函数y ＝x ＋1x(－2<x <0)的极大值为（ ）A ．－2B ．2C ．－52D ．不存在2．函数f (x )＝1－x ＋x 2的极小值为（ ） A ．1 B ．34C ．14D ．123．已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为______． 易错点九：由导数求函数的最值1．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ） A ．f （1），f （2） B ．f （2），f （5） C ．f （1），f （5）D ．f （5），f （2）2．关于函数3()f x x x =+，下列说法正确的是（ ） A ．没有最小值，有最大值 B ．有最小值，没有最大值 C ．有最小值，有最大值D ．没有最小值，也没有最大值3．已知函数2 ()2ln f x x x =-，则() f x 在[1,]e 上的最大值是__________．第六章 计数原理易错点1：分步标准不清致错典例 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有__64__种．易错点2：忽视排列数公式的隐含条件致误典例 解不等式A x8<6A x －28．由排列数公式得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解之得7<x <12．∵x ∈N *，∴x ＝8,9,10,11．易错点3：重复计数与遗漏计数致误典例 6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有__720__种．易错点4：混淆“排列”与“组合”的概念致错典例 某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法共有__2_520__种(用数字作答)．易错点5：计数时重复或遗漏致错典例 将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有__144__种(用数字作答)．易错点6：混淆项的系数与二项式系数典例 设(x －2)n (n ∈N *)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x 2的项．易错点7：错用二项式系数的性质致误典例 (1＋2x )20的展开式中，x 的奇次项系数的和与x 的偶次项系数的和之比为__(320－1)∶(320＋1)__．第七章 随机变量及其分布列易错点1：误认为条件概率P (B |A )与积事件的概率P (AB )相同典例 袋中装有大小相同的6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，每次抽取一球，取后不放回，连取两次，求在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球的概率．易错点2：概率计算公式理解不清而致误典例(多选题)若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子中成立的为__BCD__．A．P(A|B)＝P(AB) P(A)B．P(AB)＝P(A)P(B|A)C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)D．P(A|B)＝P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)易错点3：离散型随机变量的可能取值搞错致误典例小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．易错点4：对离散型随机变量均值的性质理解不清致误典例若X是一个离散型随机变量，则E(E(X)－X)＝(A)A．0 B．1C．2E(X) D．不确定易错点5：要准确理解随机变量取值的含义典例某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差．易错点6：审题不清致误典例9粒种子分别种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．易错点7：对超几何分布的概念理解不透致错典例 盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X 的分布列．易错点8：对正态曲线的性质理解不准确致错典例 设ξ～N (1,4)，那么P (5<ξ<7)＝__0.021_5__．第八章 成对数据的统计分析易错点1：概念不清致误典例 (2021·陕西西安高三月考)在一组成对样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( D )A ．－1B ．0C ．12D ．1易错点2：生搬硬套求回归直线方程的步骤致错．典例 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点数值如下表：x 0.25 0.5 1 2 4 y1612521试建立y 与x 之间的经验回归方程．易错点3：没有准确掌握公式中参数的含义致误典例 有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表班级与成绩列联表试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？。
圆的方程(含答案)
圆的方程【知识清单】： 1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.注意：对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．【考点突破】：考点一 圆的方程(基础送分型考点——自主练透)1．(易错题)(2015·潍坊模拟)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4解析：选D 由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b )，因此有(2－1)2＋(b －0)2＝2，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.2．(2016·石家庄一检)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．.53B ．213C ．253D ．43解析：选B 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233， 故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为12＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.[谨记通法]：1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第1题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒]：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 考点二 与圆有关的最值问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有： 角度一：斜率型最值问题1．(2016·抚顺模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 角度四：建立目标函数求最值问题4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1 和两点A (－m,0), B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选B 由(x －3)2＋(y －4)2＝1知圆上点P (x 0，y 0)可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3＋cos θ，y 0＝4＋sin θ.∵∠APB ＝90°，即 AP ·BP ＝0，∴(x 0＋m )(x 0－m )＋y 20＝0，∴m 2＝x 20＋y 20＝26＋6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝34， ∴0＜m ≤6，即m 的最大值为6.[方法归纳]：求解与圆有关的最值问题的2大规律(1)借助几何性质求最值：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(2)建立函数关系式求最值：根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的． 考点三 与圆有关的轨迹问题(重点保分型考点——师生共研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ，则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1得(x 0＋1)2－x 20＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3， ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3；②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1得(x 0－1)2－x 20＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1， ∴r 2＝3，∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.已知 OP ＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量 OQ 满足 OP ＋OQ ＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：设Q (x ，y )，由 OP ＋OQ ＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y )＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α， ∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 答案：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4[由题悟法]：与圆有关的轨迹问题的4种求法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【三维演练】：一抓基础，多练小题做到眼疾手快3．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A ．2 B ．22C ．1D ． 2解析：选D 已知圆的圆心是(1，－2)，到直线x －y ＝1的距离是|1＋2－1|12＋12＝22＝ 2.4．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝2；又因为y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.5．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为________． 解析：(x ，y )关于原点P (0,0)的对称点为(－x ，－y )， 则(－x ＋2)2＋(－y )2＝5，即(x －2)2＋y 2＝5. 答案：(x －2)2＋y 2＝5二保高考，全练题型做到高考达标3．(2016·深圳五校联考)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：选D 因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.4．(2016·济南模拟)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 设圆C 1的圆心坐标C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点为(a ，b )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.5．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( ) A ．(4,6) B ．[4,6] C ．[4,6)D ．(4,6]解析：选A 易求圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离为5.令 r ＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r ＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r 取值范围在(4,6)之间符合题意．6．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝27．直线x －2y －2k ＝0与2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9 的外部，则k 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －2k ＝0，2x －3y －k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝－3k .∴(－4k )2＋(－3k )2＞9，即25k 2＞9， 解得k ＞35或k ＜－35.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞ 8．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线 x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为________． 解析：如图所示，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：49．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求 PQ ·MQ 的最小值．解：(1)设圆心C (a ，b )， 由已知得M (－2，－2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ ·MQ ＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2) ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴ PQ ·MQ ＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2， 所以 PQ · MQ 的最小值为－4.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝52．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积． 解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)， MP ＝(2－x,2－y )，由题设知 CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，所以直线l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，点O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.【拓展延伸】：题型一：利用基本量的数学思想求圆的方程1、 已知方程22240x y x y m +--+=，（1）若此方程表示圆，求圆心坐标及m 的取值范围. （2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于11(,)M x y 、22N(,)x y 两点，且OM ON ⊥,求圆的方程 .2、 已知方程222610x y x y ++-+=，直线:m 3l x y += （1）若直线l 和圆C 相切，求实数m 的值；（2）是否存在m 的值，使直线l 和圆C 相交于A,B 两点，且0OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点)，若存在，试求出m 的值；否则，请说明理由 .题型二：与圆有关的最值问题1、 过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且面积最大的圆的方程为________．. 2、（1）已知点P(,)x y 在圆2211x y +-=（）上运动，则12y x --的最大值为________；最小值为________． （2）已知实数x 、y 满足010y 221x y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩________． 题型三：点与圆的位置关系1、已知圆22:640C x y x y +-+=，试判断点T(1-，-2）与圆C 的位置关系.2、已知21a (y c M ，）、22a (y cM ，），其中222a - c ,a b c 0b =>且，，， ，点F (c ，0）在以MN 为直径的圆P 上，试判断原点与圆P 的位置关系.题型四：直线与圆的位置关系：1、直线1+=ax y 与圆03222=--+x y x 的交点的个数是2、已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆C ：222x a y b r -+-=（）（）覆盖.(1) 试求圆C 的方程；若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同的两点A 、B ，满足CA CB ⊥,求直线l 的方程.3、 已知：以点2C(t t，）(t R 0∈≠，t ）为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B .（1）求证：AOB ∆面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于M 、N 两点，若OM ON =,求圆C 的方程.题型五：与（动）圆有关的定点、定直线问题1、 已知圆C 方程：228m 6m+26+10m m x y x y m +--+=∈≠（）（R,0） （1）证明：圆C 恒过一个定点M ，并求出此定点M 坐标；（2）判断直线4330x y +-=与圆C 的位置关系，并证明你的结论.2、已知圆C ：221316x y -+-=（）（） ，直线:(2m 3)(m 4)220l x y m ++++-=（1）求证：无论m 取任何实数，直线l 必经过一个定点，请求出这个定点坐标； （2）当m 取任意实数时，直线l 与圆C 的位置关系有无不变性？试说明理由；（3）请判断直线l 被圆C 截得的弦何时最短？试求出截得的弦最短时，m 的值以及弦的长度a.3、已知圆C ：221x y += ，直线1l 过点A(3，0）,且与圆C 相切 （1）求直线1l 的方程；（2）设圆C 与x 轴相交于P 、Q 两点，M 是圆C 上异于P 、Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线记为2l ，直线PM 交2l 于 'P ，直线QM 交2l 于 'Q ，试证明：以'P 'Q 为直径的圆'C 总经过定点，请求出定点坐标.。
圆的易错题汇编含解析
圆的易错题汇编含解析一、选择题1．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A ．12B ．1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 31③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD 的最小值为31故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．如图，在矩形ABCD 中，6,4AB BC ==，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交AB 于点E ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．13πB ．1324π+C ．1324π-D ．524π+【答案】C【解析】【分析】 先分别求出扇形FCD 和扇形EAD 的面积以及矩形ABCD 的面积，再根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）即可得解．【详解】解：∵S 扇形FCD 29036096ππ==⨯⨯，S 扇形EAD 24036094ππ==⨯⨯，S 矩形ABCD 6424=⨯=， ∴S 阴影＝S 扇形FCD ﹣（S 矩形ABCD ﹣S 扇形EAD ）＝9π﹣（24﹣4π）＝9π﹣24+4π＝13π﹣24故选：C ．【点睛】本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）是解答本题的关键．3．已知锐角∠AOB 如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作»PQ，交射线OB 于点D ，连接CD ； （2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交»PQ于点M ，N ； （3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD【答案】D【解析】【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【详解】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；∵OM=ON=MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=13∠MON=20°，故B选项正确；∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，∴∠OCD=∠OCM=80°，∴∠MCD=160°，又∠CMN=12∠AON=20°，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN ＞MN ，且CM=CD=DN ，∴3CD ＞MN ，故D 选项错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．4．如图，弧 AB 等于弧CD ，OE AB ⊥于点E ，OF CD ⊥于点F ，下列结论中错误．．的是（ ）A ．OE=OFB ．AB=CDC ．∠AOB =∠COD D ．OE ＞OF【答案】D【解析】【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系可得B 、C 正确，根据垂径定理和勾股定理可得A 正确，D 错误．【详解】解：∵»»AB CD =，∴AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ，∵OE AB ⊥，OF CD ⊥，∴BE ＝12AB ，DF ＝12CD ， ∴BE ＝DF ，又∵OB ＝OD ， ∴由勾股定理可知OE ＝OF ，即A 、B 、C 正确，D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理，熟练掌握基本性质定理是解题的关键．5．如图，用半径为12cm ，面积272cm π的扇形无重叠地围成一个圆锥，则这个圆锥的高为（ ）A ．12cmB ．6cmC ．6√2 cmD ．63 cm【答案】D【解析】【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角，再利用周长公式计算出底面圆的周长，得出半径．再构建直角三角形，解直角三角形即可．【详解】 72π=212360n π⨯ 解得n=180°，∴扇形的弧长=18012180π⨯=12πcm ． 围成一个圆锥后如图所示：因为扇形弧长=圆锥底面周长即12π=2πr解得r=6cm ，即OB=6cm根据勾股定理得22126=63-，故选D ．【点睛】本题综合考查了弧长公式，扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长，及勾股定理等知识，所以学生学过的知识一定要结合起来．6．已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为（ ）A ．5B ．5C ．5或5cmD ．3或3【答案】C【解析】连接AC ，AO ，∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=12AB=12×8=4cm,OD=OC=5cm,当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM=222254OA AM-=-=3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=22224845AM CM+=+=cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5−3=2cm，在Rt△AMC中,AC=22224225AM CM+=+=cm.故选C.7．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（）A3cm B．2cm C．23cm D．4cm【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图所示，正六边形的边长为2cm，OG⊥BC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°÷6=60°，∵OB=OC ，OG ⊥BC ，∴∠BOG=∠COG=12∠BOC =30°， ∵OG ⊥BC ，OB=OC ，BC=2cm ， ∴BG=12BC=12×2=1cm ， ∴OB=sin 30BG o=2cm ， ∴OG=2222213OB BG -=-=，∴圆形纸片的半径为3cm ，故选：A ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．8．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛只角形(图1)，它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧．三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法中错误的是( )A ．勒洛三角形是轴对称图形B ．图1中，点A 到¶BC上任意一点的距离都相等 C ．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等 D ．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等【答案】C【解析】【分析】根据轴对称形的定义，可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合，则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°，半径为DE 的扇形的重叠，根据其特点可以进行判断选项的正误.【详解】鲁列斯曲边三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确；点A 到¶BC上任意一点的距离都是DE ，故正确; 勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等，1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍，故错误；鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DE DE ππ⨯=⨯ ,圆的周长=22DE DE ππ⨯=⨯ ,故说法正确.故选C.【点睛】主要考察轴对称图形，弧长的求法即对于新概念的理解．9．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，点P 是AB 边上的一个动点，以BP 为直径的圆交CP 于点Q ，若线段AQ 长度的最小值是3，则ABC ∆的面积为（ ）A ．18B ．27C ．36D ．54【答案】B【解析】【分析】 如图，取BC 的中点T ，连接AT ，QT ．首先证明A ，Q ，T 共线时，△ABC 的面积最大，设QT=TB=x ，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，取BC 的中点T ，连接AT ，QT ．∵PB 是⊙O 的直径，∴∠PQB=∠CQB=90°，∴QT=12BC=定值，AT 是定值， ∵AQ ≥AT-TQ ， ∴当A ，Q ，T 共线时，AQ 的值最小，设BT=TQ=x ，在Rt △ABT 中，则有（3+x ）2=x 2+62，解得x=92， ∴BC=2x=9，∴S △ABC =12•AB•BC=12×6×9=27， 故选：B ．【点睛】 本题考查了圆周角定理，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，则有中考选择题中的压轴题．10．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O e 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（ ）A ．BCE ∆B ．ABC ∆ C ．ABD ∆ D ．ABE ∆【答案】A【解析】【分析】 根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽．【详解】解：BCE BDA ∠=∠Q ，CEB DEA ∠=∠ADE BCE ∴∆∆∽，故选：A ．【点睛】考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．11．如图，O e 中，若66OA BC AOB ⊥∠=o 、，则ADC ∠的度数为（ ）A ．33°B ．56°C ．57°D ．66°【答案】A【解析】【分析】 根据垂径定理可得»»ACAB =，根据圆周角定理即可得答案． 【详解】∵OA ⊥BC ，∴»»ACAB =， ∵∠AOB=66°，∠AOB 和∠ADC 分别是»AB和»AC 所对的圆心角和圆周角， ∴∠ADC=12∠AOB=33°， 故选：A ．【点睛】 本题考查垂径定理及圆周角定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握相关定理是解题关键．12．如图，ABC V 是O e 的内接三角形，且AB AC =，56ABC ∠=︒，O e 的直径CD 交AB 于点E ，则AED ∠的度数为（ ）A．99︒B．100︒C．101°D．102︒【答案】D【解析】【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠A，从而根据圆周角定理得出∠BOC，再根据OB=OC得出∠OBC，即可得到∠OBE，再结合外角性质和对顶角即可得到∠AED的度数.【详解】解：连接OB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=56°，∴∠A=180°-56°-56°=68°=12∠BOC，∴∠BOC=68°×2=136°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=（180°-136°）÷2=22°，∴∠OBE=∠EBC-∠OBC=56°-22°=34°，∴∠AED=∠BEC=∠BOC-∠OBE=136°-34°=102°.故选D.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是作出辅助线OB，得到∠BOC的度数.13．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）A ．183π-B ．183-πC ．32316π-D ．1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=3843⨯=， ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积=2120(43)84332316360ππ⨯⨯-=-． 故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23．则»BC的长为( )A ．3πB ．23πC ．33πD ．33π 【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到3CE DE ==，»»BCBD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23，∴3CE DE ==，»»BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，∴OD=2sin 60DE =o ， ∴»BC的长=»BD 的长=60221803ππ⨯=， 故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.15．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m 的半圆，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（ ）A ．3mB ．33C ．35D ．4m【答案】C【解析】【分析】【详解】 如图，由题意得：AP =3，AB =6，90.BAP ∠=o ∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=故小猫经过的最短距离是35.m故选C.16．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C 作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为（）A．53π﹣3B．533C．3πD353π【答案】A【解析】【分析】连接OE.可得S阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE.根据已知条件易求得BC=OC=CD=2,BO=OE=4.∠BOE=60o,CE=23所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.【详解】解：连接OE，可得S阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE，由已知条件可得，BC=OC=CD=2，又,BO=OE=4，∴∠BOE=o60，可得CE=23S扇形BOE=2604360π⋅⋅8=3π，S扇形BCD2902==360ππ⋅⋅，S△OCE=1=223=23 2⨯⨯∴S阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE=8--233ππ=533π故选A.【点睛】本题主要考查扇形面积公式、三角形面积公式，牢记公式并灵活运用可求得答案.17．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝26°，则∠COB的度数是（）A．52°B．64°C．48°D．42°【答案】A【解析】【分析】由OC⊥AB，利用垂径定理可得出，再结合圆周角定理及同弧对应的圆心角等于圆周角的2倍，即可求出∠COB的度数．【详解】解：∵OC⊥AB，∴，∴∠COB＝2∠ADC＝52°．故选：A．【点睛】考查了圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系，利用垂径定理找出是解题的关键．18．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.图1图2有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】B【解析】【分析】逐一对选项进行分析即可.【详解】①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误；②图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等，故②正确；③图2中，设圆的半径为r∴勒洛三角形的周长=12032180r r ππ⨯=g g 圆的周长为2r π∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确；④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误故选B【点睛】本题主要考查中心对称图形，弧长公式等，掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键.19．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD ，∠C=40°．则∠ABD 的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°【答案】B【解析】 试题分析：∵AC 为切线 ∴∠OAC=90° ∵∠C=40° ∴∠AOC=50°∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50° ∴∠ABD=∠ODB=25°. 考点：圆的基本性质.20．如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕一逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( )A．1463π-B．33π+C．3338π-D．259π【答案】D【解析】【分析】由旋转的性质可得△ACB≌△AED，∠DAB=40°，可得AD=AB=5，S△ACB=S△AED，根据图形可得S阴影=S△AED+S扇形ADB-S△ACB=S扇形ADB，再根据扇形面积公式可求阴影部分面积．【详解】∵将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，∴△ACB≌△AED，∠DAB=40°，∴AD=AB=5，S△ACB=S△AED，∵S阴影=S△AED+S扇形ADB-S△ACB=S扇形ADB，∴S阴影=4025360π⨯=259π，故选D.【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.。
圆的易错题汇编含答案解析
圆的易错题汇编含答案解析一、选择题1．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为（）A．2πB．3πC．6πD．8π【答案】B【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【详解】解：圆锥的侧面积为：12×2π×1×3＝3π，故选：B．【点睛】此题考查圆锥的计算，解题关键在于掌握运算公式.2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=22，则AB的长是（）A．πB．32πC．2πD．12π【答案】A【解析】【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．【详解】连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB=BC=DC=AD，∴AB BC CD DA===，∴∠AOB=14×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（）2，解得：AO=2，∴AB的长为902 180π=π，故选A．【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．3．已知下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．【详解】解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；②若a=1是真命题，逆命题是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；故选A．点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】B【解析】【分析】连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案.【详解】连接FB，则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，∴∠FEB＝12∠FOB=70°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.5．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C()A ．54°B ．27°C ．36°D ．46°【答案】C【解析】【分析】 先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB 的度数，然后利用圆周角解答即可.【详解】解：∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝54°，∴∠AOB ＝180°﹣54°﹣54°＝72°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝36°． 故答案为C ．【点睛】 本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.6．如图，O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为( )A 32πB 332πC ．23π-D 33π【答案】A【解析】【分析】【详解】 解：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB =60°，∴△OAB 是等边三角形，OA =OB =AB =2，设点G 为AB 与⊙O 的切点，连接OG ，则OG ⊥AB ，∴OG =OA •sin 60°=2×32=3， ∴S 阴影=S △OAB ﹣S 扇形OMN =12×2×3﹣260(3)360π⨯=32π-．故选A ．7．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 中点，且4AB =，CD ，AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠，交于D 点，则OD 的最小值为（ ）．A ．1B ．22C 21D ．222【答案】D【解析】【分析】 根据三角形角平分线的交点是三角形的内心，得到DO 最小时，DO 为三角形ABC 内切圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案．【详解】解： CD ，AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠，交于D 点，D ∴为ABC ∆的内心，OD ∴最小时，OD 为ABC ∆的内切圆的半径，,DO AB ∴⊥过D 作,,DE AC DF BC ⊥⊥ 垂足分别为,,E F,DE DF DO ∴==∴ 四边形DFCE 为正方形，O 为AB 的中点，4,AB =2,AO BO ∴==由切线长定理得：2,2,,AO AE BO BF CE CF r ======sin 4522,AC BC AB ∴==•︒=222,CE AC AE ∴=-=-四边形DFCE 为正方形，,CE DE ∴=222,OD CE ∴==-故选D ．【点睛】本题考查的动态问题中的线段的最小值，三角形的内心的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相关知识点是解题关键．8．已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为（ ）A ．25cmB ．45 cmC ．25cm 或45cmD ．23cm 或43cm【答案】C【解析】连接AC ，AO ，∵O 的直径CD=10cm ，AB ⊥CD ，AB=8cm ，∴AM=12AB=12×8=4cm,OD=OC=5cm, 当C 点位置如图1所示时，∵OA=5cm ，AM=4cm ，CD ⊥AB ， ∴222254OA AM -=-=3cm ，∴CM=OC+OM=5+3=8cm ，∴22224845AM CM +=+=；当C 点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm ，∵OC=5cm ，∴MC=5−3=2cm ，在Rt △AMC 中,AC=22224225AM CM +=+=cm.故选C.9．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ，下列说法错误的是（ ）A ．圆形铁片的半径是4cmB ．四边形AOBC 为正方形 C ．弧AB 的长度为4πcmD ．扇形OAB 的面积是4πcm 2【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：由题意得：BC ，AC 分别是⊙O 的切线，B ，A 为切点，∴OA ⊥CA ，OB ⊥BC ，又∵∠C=90°，OA=OB ，∴四边形AOBC 是正方形，∴OA=AC=4，故A ，B 正确；∴AB 的长度为：904180π⨯=2π，故C 错误； S 扇形OAB =2904360π⨯=4π，故D 正确． 故选C ．【点睛】本题考查切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算．10．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（ ）A ．BCE ∆B ．ABC ∆ C ．ABD ∆ D ．ABE ∆【答案】A【解析】【分析】 根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽．【详解】解：BCE BDA ∠=∠，CEB DEA ∠=∠ADE BCE ∴∆∆∽，故选：A ．【点睛】 考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．11．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.图1 图2有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形②图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】B【解析】【分析】逐一对选项进行分析即可.【详解】①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误；②图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等，故②正确；③图2中，设圆的半径为r∴勒洛三角形的周长=12032180r r ππ⨯= 圆的周长为2r π∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确；④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误故选B【点睛】本题主要考查中心对称图形，弧长公式等，掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键.12．如图，抛物线y ＝ax 2﹣6ax+5a （a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C 点．以C 点为圆心，半径为2画圆，点P 在⊙C 上，连接OP ，若OP 的最小值为3，则C 点坐标是（ ）A ．5252B ．（4，﹣5）C ．（3，﹣5）D ．（3，﹣4）【答案】D【解析】【分析】首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标，再由当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，列出关于a 的方程，即可求解．【详解】∵2650y ax ax a a +-=（＞） 与x 轴交于A 、B 两点， ∴A （1，0）、B （5，0），∵226534y ax ax a a x a =+=---（） ，∴顶点34C a （，-）， 当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，∴OC ＝OP+2＝5，5(0)a => ，∴1a = ，∴C （3，﹣4），故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长．13．下列命题中正确的个数是（ ）①过三点可以确定一个圆②直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米④三角形的重心到三角形三边的距离相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】①根据圆的作法即可判断；②先利用勾股定理求出斜边的长度，然后根据外接圆半径等于斜边的一半即可判断；③根据圆与圆的位置关系即可得出答案；④根据重心的概念即可得出答案．【详解】①过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故错误；②∵直角三角形的两条直角边长分别是5和12，13= , ∴它的外接圆半径为.113652⨯=，故正确； ③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米或1厘米，故错误； ④三角形的内心到三角形三边的距离相等，故错误；所以正确的只有1个，故选：A ．【点睛】本题主要考查直角三角形外接圆半径，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念，掌握直角三角形外接圆半径的求法，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念是解题的关键．14．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需．．（）个这样的正五边形A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】【详解】如图，∵多边形是正五边形，∴内角是15×（5-2）×180°=108°，∴∠O=180°-（180°-108°）-（180°-108°）=36°，36°度圆心角所对的弧长为圆周长的1 10，即10个正五边形能围城这一个圆环，所以要完成这一圆环还需7个正五边形.故选B.15．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（）A ．3mB ．33mC ．35mD ．4m【答案】C【解析】【分析】 【详解】 如图，由题意得：AP =3，AB =6，90.BAP ∠=∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=故小猫经过的最短距离是35.m故选C.16．如图，在圆O 中，直径AB 平分弦CD 于点E ，且CD=43，连接AC ，OD,若∠A 与∠DOB 互余，则EB 的长是（ ）A ．3B ．4C 3D ．2【答案】D【解析】【分析】 连接CO ，由直径AB 平分弦CD 及垂径定理知∠COB=∠DOB ，则∠A 与∠COB 互余，由圆周角定理知∠A=30°，∠COE=60°，则∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x ，再求出BE 即可.【详解】连接CO，∵AB平分CD，∴∠COB=∠DOB，AB⊥CD，CE=DE=23∵∠A与∠DOB互余，∴∠A+∠COB=90°，又∠COB=2∠A，∴∠A=30°，∠COE=60°，∴∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,∴CO2=OE2+CE2即(2x)2=x2+(23)2解得x=2，∴BO=CO=4，∴BE=CO-OE=2.故选D.【点睛】此题主要考查圆内的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理. 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】B【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵DF BC=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.18．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C 作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为（）A．53π﹣3B．533C．3πD353π【答案】A【解析】【分析】连接OE.可得S阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE.根据已知条件易求得BC=OC=CD=2,BO=OE=4.∠BOE=60o,CE=23所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.【详解】解：连接OE，可得S阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE，由已知条件可得，BC=OC=CD=2，又,BO=OE=4，∴∠BOE=o60，可得CE=23S扇形BOE=2604360π⋅⋅8=3π，S扇形BCD2902==360ππ⋅⋅，S△OCE=1=223=232⨯⨯，∴S阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE=8--233ππ=5-233π，故选A.【点睛】本题主要考查扇形面积公式、三角形面积公式，牢记公式并灵活运用可求得答案.19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，∴DM=12CD=4cm，OM=R-2,在RT△OMD中，OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm．故选B．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．20．如图，ABC ∆是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知15AB =，9AC =，12BC =，阴影部分是ABC ∆的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.A ．16 B ．6π C ．8π D ．5π 【答案】B【解析】【分析】由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB 2=BC 2+AC 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形，于是得到△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．【详解】解：∵AB=5，BC=4，AC=3，∴AB 2=BC 2+AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1， ∴S △ABC =12AC•BC=12×4×3=6， S 圆=π，∴小鸟落在花圃上的概率=6π ， 故选B ．【点睛】本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式.。
(易错题精选)初中数学圆的易错题汇编含答案
（易错题精选）初中数学圆的易错题汇编含答案一、选择题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD为⊙O的直径，则BD等于（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理求得∠C=∠ABC=30°，再根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得BD的长.【详解】∵∠BAC=120°，AB=AC=4，∴∠C=∠ABC=30°∴∠D=30°∵BD是直径∴∠BAD=90°∴BD=2AB=8.故选C.2．如图，已知AB是⊙O是直径，弦CD⊥AB，AC=22，BD=1，则sin∠ABD的值是()A．2B．13C．23D．3【答案】C【解析】【分析】先根据垂径定理，可得BC的长，再利用直径对应圆周角为90°得到△ABC是直角三角形，利用勾股定理求得AB的长，得到sin∠ABC的大小，最终得到sin∠ABD解：∵弦CD ⊥AB ，AB 过O ，∴AB 平分CD ，∴BC =BD ，∴∠ABC =∠ABD ，∵BD =1，∴BC =1，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由勾股定理得：AB =()22222213AC BC +=+=， ∴sin ∠ABD =sin ∠ABC =223AC AB = 故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为90°、勾股定理和三角函数，解题关键是找出图形中的直角三角形，然后按照三角函数的定义求解3．如图，在矩形ABCD 中，6,4AB BC ==，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交AB 于点E ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．13πB ．1324π+C ．1324π-D ．524π+【答案】C【解析】【分析】 先分别求出扇形FCD 和扇形EAD 的面积以及矩形ABCD 的面积，再根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）即可得解．【详解】解：∵S 扇形FCD 29036096ππ==⨯⨯，S 扇形EAD 24036094ππ==⨯⨯，S 矩形ABCD 6424=⨯=， ∴S 阴影＝S 扇形FCD ﹣（S 矩形ABCD ﹣S 扇形EAD ）＝9π﹣（24﹣4π）＝9π﹣24+4π故选：C ．【点睛】本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）是解答本题的关键．4．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( )A ．4B ．83C ．6D ．43【答案】B【解析】【分析】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ，∴∠OAB =60°，在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB 3∴光盘的直径为3故选：B ．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.5．如图，AB 是O e 的直径，C 是O e 上一点（A 、B 除外），132AOD ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A ．68︒B ．48︒C ．34︒D ．24︒【答案】D【解析】【分析】 根据平角得出BOD ∠的度数，进而利用圆周角定理得出C ∠的度数即可．【详解】解：132AOD ∠=︒Q ，48BOD ∴∠=︒，24C ∴∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半是解答此题的关键．6．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，点D 在BA 的延长线上，CD 与⊙O 交于另一点E ，DE=OB=2，∠D=20°，则弧BC 的长度为（ ）A ．23πB ．13πC ．43πD ．49π 【答案】A【解析】【分析】连接OE 、OC ，如图，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°，根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°，根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°，根据求弧长的公式得到结论.【详解】解：连接OE 、OC ，如图，∵DE=OB=OE，∴∠D=∠EOD=20°，∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°，∵OE=OC，∴∠C=∠CEO=40°，∴∠BOC=∠C+∠D=60°，∴»BC的长度=260?2360π⨯=23π，故选A.【点睛】本题考查了弧长公式：l=••180n Rπ（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），还考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．7．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2【答案】B【解析】【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，所以圆锥的母线长225+12=13，所以这个圆锥的侧面积=12×2π×5×13=65π（cm 2）． 故选B ．【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．8．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛只角形(图1)，它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧．三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法中错误的是( )A ．勒洛三角形是轴对称图形B ．图1中，点A 到¶BC上任意一点的距离都相等 C ．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等 D ．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等【答案】C【解析】【分析】根据轴对称形的定义，可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合，则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°，半径为DE 的扇形的重叠，根据其特点可以进行判断选项的正误.【详解】鲁列斯曲边三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确；点A 到¶BC上任意一点的距离都是DE ，故正确; 勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等，1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍，故错误；鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DE DE ππ⨯=⨯ ,圆的周长=22DE DE ππ⨯=⨯ ,故说法正确.故选C.主要考察轴对称图形，弧长的求法即对于新概念的理解．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC=3，AC=4，则sin ∠ABD 的值是（ ）A ．43B ．34C ．35D ．45【答案】D【解析】【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC ，再根据勾股定理求得AB=5，即可求sin ∠ABD 的值．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴弧AC=弧AD ，∴∠ABD=∠ABC ．根据勾股定理求得AB=5，∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=45． 故选D ．【点睛】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．10．如图，点E 为ABC ∆的内心，过点E 作MN BC P 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（ ）A ．3．5B ．4C ．5D ．5．5【答案】B【解析】连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．【详解】连接EB 、EC ，如图，∵点E 为△ABC 的内心，∴EB 平分∠ABC ，EC 平分∠ACB ，∴∠1=∠2，∵MN ∥BC ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴BM=ME ，同理可得NC=NE ，∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴MN AM BC AB = ，即767MN BM -=，则BM=7-76MN①， 同理可得CN=5-56MN②， ①+②得MN=12-2MN ，∴MN=4．故选：B ．【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．11．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（ ）A ．13B ．12C ．34D ．1【答案】B【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长．【详解】圆锥的底面周长是：π；设圆锥的底面半径是r，则2πr=π．解得：r=12．故选B．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．12．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（）A．32πB．83πC．6πD．以上答案都不对【答案】D【解析】【分析】从图中可以看出，线段AB扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC，小圆半径是BC，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积．【详解】阴影面积=() 603616103603π⨯-=π．故选D．【点睛】本题的关键是理解出，线段AB扫过的图形面积为一个环形．13．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F ，则FE EC ＝（ ）A ．12B ．13C ．14D ．38【答案】C【解析】【分析】连接OE 、OF 、OC ，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF ＝∠FOE ，证明△EOF ∽△ECO ，利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：连接OE 、OF 、OC ．∵AD 、CF 、CB 都与⊙O 相切，∴CE ＝CB ；OE ⊥CF ； FO 平分∠AFC ，CO 平分∠BCF ．∵AF ∥BC ，∴∠AFC+∠BCF ＝180°，∴∠OFC+∠OCF ＝90°，∵∠OFC+∠FOE ＝90°，∴∠OCF ＝∠FOE ，∴△EOF ∽△ECO ，∴=OE EF EC OE，即OE 2＝EF•EC ． 设正方形边长为a ，则OE ＝12a ，CE ＝a ． ∴EF ＝14a ． ∴EF EC ＝14． 故选：C ．【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．.14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是( )A．22°B．26°C．32°D．68°【答案】A【解析】试题分析：根据同弧所对的圆心角等于圆周角度数的两倍，则∠BOC=2∠A=136°，则根据三角形内角和定理可得：∠OBC+∠OCB=44°，根据OB=OC可得：∠OBC=∠OCB=22°.考点：圆周角的计算15．如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为()A．6 B．6C．8 D．8【答案】B【解析】【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，∵AB=CD=16，∴BM=DN=8，∴OM=ON==6，∵AB⊥CD，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP=．故选B．【点睛】本题考查的是垂径定理，正方形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD=43，连接AC，OD,若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（）A．3B．4 C3D．2【答案】D【解析】【分析】连接CO，由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB，则∠A与∠COB互余，由圆周角定理知∠A=30°，∠COE=60°，则∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x，再求出BE即可.连接CO，∵AB平分CD，∴∠COB=∠DOB，AB⊥CD，CE=DE=23∵∠A与∠DOB互余，∴∠A+∠COB=90°，又∠COB=2∠A，∴∠A=30°，∠COE=60°，∴∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,∴CO2=OE2+CE2即(2x)2=x2+(23)2解得x=2，∴BO=CO=4，∴BE=CO-OE=2.故选D.【点睛】此题主要考查圆内的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理.17．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A．2 B3C2D．1 2【答案】B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.【详解】∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA是圆的切线，∴∠PAO=90°，∵tan∠AOC =PA OA,∴PA= tan60°×1=3.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，∴DM=12CD=4cm ，OM=R-2, 在RT △OMD 中， OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB 的长为:2×5=10cm ． 故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．19．如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝26°，则∠COB 的度数是（ ）A ．52°B ．64°C ．48°D ．42°【答案】A【解析】【分析】由OC ⊥AB ，利用垂径定理可得出，再结合圆周角定理及同弧对应的圆心角等于圆周角的2倍，即可求出∠COB 的度数．【详解】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠COB ＝2∠ADC ＝52°．故选：A ．【点睛】考查了圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系，利用垂径定理找出是解题的关键．20．如图，ABC ∆是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知15AB =，9AC =，12BC =，阴影部分是ABC ∆的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.A ．16 B ．6π C ．8π D ．5π 【答案】B【解析】【分析】由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB 2=BC 2+AC 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形，于是得到△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．【详解】解：∵AB=5，BC=4，AC=3，∴AB 2=BC 2+AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1， ∴S △ABC =12AC•BC=12×4×3=6， S 圆=π，∴小鸟落在花圃上的概率=6π ， 故选B ．【点睛】本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式.。
(易错题)最新人教版小学数学六年级上册第五单元《圆》检测卷(有答案解析)
〔易错题〕最新人教版小学数学六年级上册第五单元?圆?检测卷〔有答案解析〕 一、选择题1 .下面图案中,对称轴条数最多的是〔〕.2 .圆是轴对称图形,它有〔 〕条对称轴. A. 一B.两C.无数D.四A. 〔 Z 兀 +1 dB.兀 d+dC. dD.兀 d4.半径是3cm 的圆,以下关于这个圆的数据正确的选项是〔 〕A.直径9cm 113.04cm 2B.周长 18.84cmC.周长 9.42cm। D.面积5.关于圆,以下说法错误的选项是〔 〕.A.圆有无数条半径B.圆有无数条对称轴周长越小 C.半径越大,周长越大D.面积越大,6.下面图〔〕中的阴影局部可能是圆心角为 100 °的扇形.9 .如图,沿半圆形草坪外围铺一条 4m 宽的小路.求小路的面积,正确的列式是〔〕A. 3.14 2«42B. 3.14 才202C. 3.14 绍02 — 42〕 +2D. 3.14x242— 3.14 X 20-210 .在圆内剪去一个圆心角为 45的扇形,余下局部的面积是剪去局部面积的〔 〕倍.A. 9B. 8C. 711 .半圆的周长是直径的〔〕.1 1A.兀倍B .兀倍C 〔2兀+1倍12 . 一个圆和一个正方形的周长相等,他们的面积比拟 〔〕A.圆的面积大耻方形的面积大Cr 样大二、填空题13 .如图,正方形的面积是 20平方厘米,那么圆的面积是 平方厘米.14 . 一个正方形边长10厘米,在这个正方形里画一个最大的圆,这个圆的周长是 厘米,面积是 平方厘米.15 .把一个由草绳编织成的圆形茶杯垫沿直径剪开,得到两个近似的三角形,再拼成平行 四边形〔如下图〕,在剪拼的过程中面积保持不变,这个平行四边形的面积是 2_______cm .C. 113.04D. 263.76条对称轴.B. 2C. 3D. 4A. 3.14B. 28.268.如图有〔A. 116 .如图,钢结构大棚每隔一米一根拱杆,每根拱杆都形成了直径 10米的半圆,这个大棚总长99米,所有拱杆的总长度是 米.17 .如图,正方形的对角线是 10厘米,圆的半径是 厘米.18 .如以下图,其中一个圆的周长是 dm,面积是 dm2 ,长方形的周长是19 .把一个圆柱平均分成 3段,变成了 3个完全相等的圆柱,这时外表积比原来增加了 50.24平方厘米,这个圆柱的底面积是 平方厘米.20 .钟面上时针和分针分别长 1cm 和3cm,当时针走了 45分时,分针走了 ；分 针扫过的面积是.三、解做题21 .在一个半径为3米的圆形花坛周围1米宽的小路上晒稻谷,如果每平方米可以晒 稻谷,这条路可以晒稻谷多少千克？22 .小明在纸上设计了一个图案〔图中阴影局部〕,这个图案的面积是多少？15. 7ctn25kg学校有一个圆形的花坛,它的周长为 62.8m,现在要沿花坛边修一条宽 1m 的环形小这条小路的面积是多少平方米？在一个半径10米的圆形的水池的周围铺上一条宽 2米小路,在这条小路的路面涂上 颜色,涂颜色的地方有多大？ 25 . 一根圆柱形木料的底面半径是0.5m,长是4m .如下图,沿横截面将它截成4段,这些木料的外表积比原木料增加了多少平方米？ 26 .用一根铁丝刚好围成一个边长是 4.71分米的正方形.如果用这根铁丝围成圆形,这个圆形的面积有多大？〔接头处铁丝长度不计〕【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1. . D解析：D【解析】【解答】解：A:有5条对称轴； B ：有1条对称轴； C:有2条对称轴； D:有无数条对称轴. 故答案为：Do【分析】一个图形沿着一条直线对折后两边能够完全重合,这个图形就是轴对称图形,折 痕所在的直线就是对称轴.根据图形的特征确定对称轴的条数即可.2. C解析：C【解析】【解答】解：圆是轴对称图形,它有无数条对称轴. 故答案为：C .【分析】圆的对称轴是圆的直径,圆的直径有无数条,那么它有无数条对称轴.3. A解析：A日【解析】【解答】解：兀xd + 2+d (二兀+1 do23. 路,24.故答案为：A.【分析】图形的周长包括一条半圆弧的长度和一条直径的长度,由此用字母表示图形的周长即可.4. B解析：B【解析】【解答】解：A:直径：3X2=6(cm).此选项错误；B:周长：3.14 X3X2=18.84m).此选项正确；C:周长的计算错误；D:面积：3.14/=28.26 (cm2).此选项错误.故答案为：Bo【分析】同一个圆内,圆的直径是半径的2倍,圆周长公式：C=2 ':r,圆面积公式:S7L,根据公式计算后选择即可.5. D解析：D【解析】【解答】解：A:圆有无数条半径.此选项正确；B:圆有无数条对称轴.此选项正确；C:圆的半径越大,周长越大.此选项正确；D:面积越大,周长越大.此选项错误.故答案为：Do【分析】圆有无数条半径和直径,圆的半径和直径决定了圆周长的长短和面积的大小.6. A解析：A【解析】【解答】A、这个阴影局部可能是圆心角为100.的扇形；B、这个圆心角接近一个平角,故不可能是圆心角为100 °的扇形；C、这个圆心角小于直角,故不可能是圆心角为100 °的扇形；D、这个角不是圆心角.故答案为：Ao【分析】圆心角是指以顶点为圆心,以两条半径为边的角.这个圆心角与它所对的弧围成的图形就是扇形.根据这个定义结合各选项看哪个图形的圆心角可能是100..7. B解析：B【解析】【解答】10+2=5( cm)3.14 X (5242)=3.14 * 25-16)=3.14 X9=28.26 (cm2)故答案为：B【分析】首先分别计算外面大圆和里面空白局部的圆的面积,圆的面积=兀r2然后计算圆环的面积,圆环的面积=大圆面积-小圆的面积.8. B解析：B【解析】【解答】解：如图,有2条对称轴.故答案为：Bo【分析】一个图形沿着一条直线对折,左右两边能够完全重合,这个图形就是轴对称图形,折痕所在的直线就是对称轴.9. D解析：D【解析】【解答】解：根据圆环的面积公式列式为： 3.14X24^ 2-3.14 >2-2(0故答案为：Do【分析】外圆半径是24米.内圆半径是20米,用外半圆的面积减去内半圆的面积即可求出小路的面积.10. C解析：C【解析】【解答】(360°-45 °) +45= 1.故答案为：C.【分析】在同一个圆内,扇形的面积比可用圆心角的比来求,即求余下局部的面积是剪去局部面积的几倍〞,可用余下局部扇形的圆心角是剪去局部扇形圆心角的几倍〞计算,即(360 -45) +45；11. C解析：C111【解析】【解答】解：设直径是1,那么周长是：F五X1+1 *')+1="’ '.故答案为：C.【分析】半圆的周长是圆周长的一半加上直径的长度,设直径是1,计算出半圆的周长,再除以直径即可求出半圆的周长是直径的几倍.12. A解析：A【解析】【解答】假设一个圆和一个正方形的周长都为4,那么圆的半径为：4+3.14 +2=0.64积为：3.14 X64X 0.64 = 1;29£方形的边长为：4+4=1 面积为：1X1= 1故圆的面积大.故答案为：A.【分析】先假设它们的周长为一个数,分别求出圆的半径和正方形的边长,然后根据它们面积计算公式求出它们的面积,进行比拟即可.二、填空题13. 7【解析】【解答】解：设圆的半径为r 那么正方形的边长是2r2rx 2r=20 4r2=204r2 +4=20+4 r2=5314 平宓骷来7 故答案为：157【分析】观察图可知正方形解析：7【解析】【解答】解：设圆的半径为r,那么正方形的边长是2r,2r x 2r=204r2=204r2+4=20+4 r2=53.14 X 5=15.7〔平方厘米〕故答案为：15.7 .【分析】观察图可知,正方形的边长是圆的直径,设圆的半径为r,那么正方形的边长是2r,根据条件“正方形的面积是20平方厘米〞可得,2rx 2r=20由此列方程可以求出r2 , 然后应用公式：S=Tt 2 ,求出圆的面积,据此列式解答.14. 4; 785【解析】【解答】10+2=5〔厘米〕314X 10=314〔厘米〕314X52=314X25=78拜方厘米〕故答案为：314; 785【分析】在一个正方形里画一个最大的圆这个圆的直径是正方解析：4；78.5【解析】【解答】10+2=5〔厘米〕,3.14 x 10=31.4〔厘米〕,3.14X2=3.14 X 25=78.5〔平方厘米〕.故答案为：31.4；78.5 .【分析】在一个正方形里画一个最大的圆,这个圆的直径是正方形的边长,要求这个圆的周长,根据公式：C=Ttd;要求圆的面积,先求出圆的半径,直径+2半径,然后用公式：S=Tt2r ,据此列式解答.15. 5【解析】【解答】157+314=5〔cm〕 314X52314X25=785cm2〕故答案为：785【分析】平行四边形的面积等于圆的面积平行四边形底边的长度157cm 就是圆的一半的周长圆的一半的解析：5【解析】【解答】15.7+3.14=5 cm〕3.14 X 52=3.14 X 25=78.5 (cm2)故答案为：78.5【分析】平行四边形的面积等于圆的面积,平行四边形底边的长度15.7cm就是圆的一半的周长,圆的一半的周长一兀=r圆的面积=兀「2求出了圆的面积也就是求出了平行四边形的面积.16. 【解析】【解答】解：314X10+2(^99+1+1 =314X10+2X10(1570 (米)故答案为：1570【分析】起点和终点处都有拱杆根据植树问题的知识可知拱杆的根数=间隔数+1因此用总长度解析：【解析】【解答】解：3.14X10+2899+1 + 1= 3.14 X 10+ 2X 100= 1570 (米)故答案为：1570.【分析】起点和终点处都有拱杆,根据植树问题的知识可知,拱杆的根数=间隔数+1,因此用总长度除以 1 ,再加上1求出拱杆的总根数.根据圆周长公式计算出每根拱杆的长度,再乘拱杆的根数即可求出所有拱杆的总长度.17. 【解析】【解答】解：10+2=5厘米)故答案为：5【分析】看图可知这个正方形对角线就是圆的直径因此用10除以2即可求出圆的半径解析：【解析】【解答】解：10+2=5(厘米)故答案为：5.【分析】看图可知,这个正方形对角线就是圆的直径,因此用10除以2即可求出圆的半径.18. 68; 11304; 84; 360【解析］【解答】解：半径：30+5=6dm) 一个圆的周长：314X 6X 2=3768 dm )面积：314X 62=11304 (dm2);长方形的宽：6+6=12 (dm)长解析：68; 113.04; 84; 360【解析】【解答】解：半径：30+5=6(dm), 一个圆的周长：3.14 X6X2=37.68dm),面积：3.14X2=113.04 (dm2)；长方形白^宽：6+6=12 (dm),长方形的周长：(30+12) X 2=84(dm),面积：30X 12=360 (dm2).故答案为：37.68; 113.04; 84; 360.【分析】30dm包含5个圆的半径,因此用30除以5即可求出圆的半径.圆周长：C="d,圆面积：§=长方形的宽是12dm,根据长方形的周长和面积公式计算即可.19. 56【解析］【解答】解：5024+4=1256¥方厘米所以这个圆柱的底面积是1256平方厘米故答案为：1256【分析】将把一个圆柱平均分成3段求就是分2次每分一次就会多出两个圆柱的底面所以这个圆柱的解析：56【解析】【解答】解：50.24+4=12.56平方厘米,所以这个圆柱的底面积是12.56平方厘米.故答案为：12.56.【分析】将把一个圆柱平均分成3段,求就是分2次,每分一次就会多出两个圆柱的底面,所以这个圆柱的底面积=增加的外表积-420. 270; 21195cm2【解析】【解答】解：分针走了：360°X 4560=270 °分针扫过的面积：314X 32X4560=21195cm2)故答案为：270; 21195cm2【分析】时针走了45解析：270; 21.195cm245 45【解析】【解答】解：分针走了：360°M；f；=270°;分针扫过的面积： 3.14 X 24=21.195 (cm2).故答案为：270; 21.195cm2.【分析】时针走了45分,那么分针走过一周的两,那么分针扫过的面积也是所在圆面积45的的.三、解做题21 . 3+1=4 (米)1.14 X (42-32)=3.14 X 16-9)=3.14 X7=21.98 (平方米)1.98 8 X 25=549.5千克)答：这条路可以晒稻谷549.5千克.【解析】【分析】根据圆环的面积公式：S=TT (R2-r2),据此求出小路的面积,然后用小路的面积沟平方米晒稻谷的质量=这条路可以晒稻谷的总质量,据此列式解答.22 .解：3.14 X(10 + 2 2—3.14 X(4 + 2 2= 3.14 X25- 3.14 X4= 78.5- 12.56= 65.94 (平方厘米)答：阴影局部的面积是65.94平方厘米.【解析】【分析】从图中可以看出,阴影局部的面积=大圆的面积-小圆的面积,圆的面积 = (圆的直径+2 2X算据此代入数据作答即可.23 . 8+ 3.14 +2=20 + 2=10 (m)10+1=11( m)3.14X (112-102)=3.14 X 121-100)=3.14 X 21=65.94(平方米)答：这条小路的面积是65.94 平方米.【解析】【分析】圆的周长C,要求圆的半径r,用公式：『C+兀亍我求出外圆的半径,用内圆的半径+路宽=外圆的半径,最后用圆环的面积公式：S=TT (R2-r2),据此列式解答.24 . 14X (122-102)=3.14 * 144-100)=3.14 X 44=138.16(平方米)答：涂颜色的地方138.16 平方米.【解析】【分析】此题主要考查了圆环的面积计算,根据圆环的面积公式：S=TT (R2-r2),据此列式解答.25 . 14X (0.5) 2X 6=0.785 X6=4.71 (平方米)答：这些木料的外表积比原木料增加了 4.71 平方米.【解析】【分析】从图中看出,这些木料的外表积比原木料增加了2X (4-1) =6个面,所以这些木料的外表积比原木料增加的平方米数=圆柱体的底面积X6其中圆柱体的底面积=兀2.26 .解：4.71 X 4+ 3.14 +2=18.84 +6.28=3(分米)27 14X2=28.26 (平方分米)答：这个圆形的面积有28.26 平方分米.【解析】【分析】用正方形边长乘 4 求出铁丝的长度,也就是圆的周长,用圆的周长除以28 14 再除以2 求出半径,然后根据圆面积公式计算圆面积即可.。
《易错题》小学数学六年级上册第五单元《圆》检测(有答案解析)(1)
《易错题》小学数学六年级上册第五单元《圆》检测（有答案解析）(1)一、选择题1．把一个直径10厘米圆分成两个相等的半圆，两个半圆的周长的和是（）A. 31.4B. 62.8C. 41.4D. 51.4 2．一个圆的周长扩大3倍，它的面积就扩大（）倍．A. 3B. 6C. 93．在长4厘米，宽3厘米的长方形内画最大半圆，这个半圆的周长是（）A. 6.28厘米B. 7.71厘米C. 10.28厘米D. 12.56厘米4．两个圆的周长不相等，是因为它们的（）。
A. 圆心位置不同B. 半径不相等C. 圆周率不相等5．大圆的半径是小圆的直径，则大圆面积是小圆面积的（）。
A. 2倍B. 4倍C. 12D. 14 6．东方公园有一个圆形的喷水池，经测量得出这个喷水池的周长是37 .68m。
这个喷水池占地（）m2。
A. 37.68B. 113.04C. 452.167．下图是一个半圆，它的半径是5cm，周长是（）cm。
A. 5π +10B. 5πC. 10πD. 10π+108．周长相等的长方形、正方形、圆中，（）的面积最大。
A. 长方形B. 正方形C. 圆9．如果一个圆的半径由1分米增加到2分米，它的周长增加了（）分米。
A. 2B. 6.28C. 12.56D. 18.84 10．下面两个图形阴影部分的周长和面积的大小关系是（）。
A. 周长相等，面积不相等B. 周长和面积都相等C. 周长和面积都不相等D. 周长不相等，面积相等11．修一个如图的羊圈，需要（）米栅栏。
A. 25.12B. 12.56C. 20.56D. 50.24 12．一个圆和一个正方形的周长相等，他们的面积比较（）A. 圆的面积大B. 正方形的面积大C. 一样大二、填空题13．一个圆形花坛的半径4米，周长是________米，面积是________平方米．14．如图，正方形ABCD的边AB=1，弧BD和弧AC都是以1为半径的圆弧，则无阴影的两部分的面积之差为________。
圆的易错题汇编附解析
算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．
【详解】
解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．
圆的直径正好是大正方形边长，
根据勾股定理，其小正方形对角线为 ，即圆的直径为 ，
大正方形的边长为 ，
则大正方形的面积为 ，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为 ．
故选： ．
【点睛】
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．
【详解】
解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；
②若a=1，则 =a是真命题，逆命题是假命题；
③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；
④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂径定理得到CH=BH， ，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．
【详解】
如图BC与OA相交于H
∵OA⊥BC，
∴CH=BH， ，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB⋅sin∠AOB= ，
∴BC=2BH=2 ，
故选D．
【点睛】
本题考查的是垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
故选C．
考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．
13．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD为⊙O的直径，则BD等于（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求得∠C=∠ABC=30°，再根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得BD的长.
人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (6)(含答案解析)
选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (6)一、单选题1．已知Rt PAB 的直角顶点P 在圆(()22:11C x y +-=上，若点(),0A t -，()(),00B t t >，则t的取值范围为（ ） A ．(]0,2B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[]1,32．设直线l 与圆()()221:2536C x y ++-=交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为()1,1M ，则圆()()222:341C x y -+-=上的点到直线l 的距离的最小值为（ ）A ．15B ．35C ．65D ．953．已知点P 为圆()()22121x y -+-=上动点，O 为坐标原点，则向量OP →在向量()2,1a →=方向上投影的最大值为（ ）A B 1 C 1 D 4．若,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则直线4cos 670x y α+-=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦5．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是（ ）A ．bB ．11b -<≤或b =C ．11b -≤≤D ．1b <≤-6．设a ，b 分别表示直线l 在x 轴和y 轴上的截距，k 为l 的斜率，p 为原点到l 的距离，且0abpk ≠，则有（ ）A ．()22221a k p k =+ B ．b k a =C ．11p a b+=D ．a kp =-二、多选题7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB =．设点P 的轨迹为C ，则（ ）． A ．轨迹C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得12PD PE=C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的角平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =8．点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（ ）A ．||PQ 的最小值为0B ．||PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=9．已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（ ） A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离10．（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-三、双空题11．函数21y x x =-+________，其中x =________．四、填空题12．已知圆()()22:124C x y ++-=，则过点()1,3P 作圆C 的切线l 的方程为___________.13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.14．直线y x b =+与曲线||1x -=b 的取值范围是_______；15．直线(5)1y k x =-+与曲线3y =k 的取值范围是________；16．已知在ABC 中，()1,1A ，(()14B m m <<，()4,2C ，则当ABC 的面积S 最大时，m =______． 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22430x y y +-+=，若直线20x ty -+=上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相切，则实数t 的取值范围为______．18．已知圆()22:116C x y ++=，过点()0,1P 的直线l 交圆C 于不同的两点，当圆上的点到直线l 的距离的最大值为6时，直线l 的方程为______．19．过圆22240x y y +--=与22420x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程是_______．20．光线从点(3,5)B -出发射到x 轴上，经反射后过点(2,10)A ，则光线从点B 到点A 经过的路程为___________.五、解答题21．已知直线1:210l x y -+=和22:0x y l --=的交点为P ．（1）若直线l 经过点P 且与直线343:50x y l --=平行，求直线l 的方程；（2）若直线m 经过点P 且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，求OAB 的面积（其中O 为坐标原点）．22．已知ABC 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M 所得的弦（1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC 面积的最小值.23．已知直线l 过点()0,4P ，并且点()1,3A 和点()3,5B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程． 24．已知圆C 过()0,0O ，()1,1A ，()4,2B ， （1）求圆C 的方程；（2）判断()3,2P 和圆C 的位置关系．25．如图所示，已知O 的方程为224x y +=，直线l 的方程为4x =，圆O 与x 轴的交点分别为A 、B ，P 是圆O 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交直线l 于M 、N 两点.求证：当点P 变化时，以MN 为直径的圆必过圆O 内一定点.26．实数x ，y 滿足222410x y x y ++-+=， 求（1）4yx -的最大值和最小值； （2）2x y +的最大值和最小值.27．四条直线1:3150l x y +-=，2:60l kx y --=，3:50l x y +=，4:0l y =围成一个四边形，问k 取何值时，该四边形有一个外接圆，并求出外接圆的方程.28．（蝴蝶定理）过圆AB 弦的中点M ，任意作两弦CD 和EF ，CF 与ED 交弦AB 于P 、Q ，求证：PM QM =.29．判别方程222(410)10200x y kx k y k ++++++=（k 为参数，1k ≠-）表示何种曲线?找出通过定点的坐标.30．求过两圆22640x y x ++-=与226280x y y ++-=的交点的直线方程和圆心在直线40x y --=上的圆的方程.31．已知ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=，A ∠的角平分线所在的直线方程为0y =，点C 的坐标为()12，． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点C 作函数(0)k y x x=>的图像，在图像上是否存在一点P 使得PAB △面积最小，如果存在求此时点P 的坐标及PAB △面积最小值，若不存在说明理由.32．一圆经过点()2,4--，且与直线3260x y +-=相切于点()8,6，试求该圆的方程．33)x ∈R ．34．求以相交两圆221:410C x y x y ++++=及222:2210C x y x y ++++=的公共弦为直径的圆的方程；35．求函数y =.36．过圆222x y r +=内部一点(,)M a b 作动弦AB ，过A 、B 分别作圆的切线，设两条切线的交点为P .求证：点P 恒在一条定直线上的运动. 37．已知224x y +≤，且0x ≥，求41y x ++的最大值与最小值.38．关于x 2kx =+只有一个实根，求k 的取值范围.39．ABC 的边,AC AB 上的高所在直线的方程分别为2310,0x y x y -+=+=，顶点(1,2)A ，求BC 边所在直线的方程．40．已知C 经过点(2,0)A -，(0,2)B ，且圆心在直线y x =上.又直线l ：1y kx =+与C 相交于P ，Q 两点.（1）求C 的方程；（2）过点(0,1)作直线1l 与l 垂直，且直线1l 与C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值. 41．（1）已知实数z 、y 满足方程22(2)1x y ++=，求12y x --的最小值； （2）若实数x 、y 满足方程222410x y x y +--+=，求代数式2yx +的取值范围. 42．已知10条直线，11:0l x y c -+=，1c 22:0l x y c -+=， 33:0l x y c -+=，……1010:0l x y c -+=，其中1210c c c <<<．这10条直线中，每相邻两条直线之间的距离依次为2，3，4，…，10． （1）求实数10c 的值；（2）求100x y c -+=与x 轴、y 轴围成的图形的面积． 43．已知点()2,1P -.（1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.44．已知过坐标原点O 的一条直线与函数9log y x =的图象交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作y 轴的平行线与函数3log y x =的图象交于C ，D 两点． （1）证明：点C ，D ，O 在同一条直线上； （2）当直线BC 的斜率为0时，求点A 的坐标．45．已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆()()22:231C x y -+-=交于M ，N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求OMN 的面积．46．已知方程()()()222321620m m x m m y m m --++-+-=∈R ．（1）若方程表示一条直线，求实数m 的取值范围；（2）若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m 的值，并求出此时的直线方程； （3）若方程表示的直线在x 轴上的截距为3-，求实数m 的值； （4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m 的值．47．求函数()f x .48．已知两直线2212:224,:224(02)l ax y a l x a y a a -=-+=+<<与两坐标轴的正半轴围成四边形.当a 为何值时，围成的四边形面积取最小值，并求此最小值. 49．已知ABC 的三个顶点(4,0),(8,10),(0,6)A B C . （1）求过点A 且垂直于BC 的直线方程； （2）求过点B 且与点A ，C 距离相等的直线方程.50．求两平行直线1:30l kx y k --=与2:40l kx y -+=之间距离的最大值.【答案与解析】1．D 【解析】首先根据题意得到点P 在以AB 为直径的圆222:M x y t +=上（去掉,A B 两点）.又因为P在圆(()22:11C x y +-=上，且2CM =，所以得到121t t -≤≤+，再解不等式即可.因为点P 为Rt PAB 的直角顶点，且点(),0A t -，()(),00B t t >， 所以点P 在以AB 为直径的圆222:M x y t +=上（去掉,A B 两点）. 又因为P在圆(()22:11C x y +-=上，所以圆C 与圆M 有交点，因为2CM =，所以121t t -≤≤+，解得13t ≤≤. 故选：D 2．A 【解析】求出直线l 的方程，并求出圆2C 的圆心到直线l 的距离，结合圆的几何性质可得出结果. 圆1C 的圆心为()12,5C -，由垂径定理可知1C M l ⊥， 直线1C M 的斜率为1514213C M k -==---，所以，直线l 的斜率为34k =，故直线l 的方程为()3114y x -=-，即3410x y -+=， 圆2C 的圆心为()23,4C ，半径为1r =， 圆心2C 到直线l 的距离为65d =， 因此，圆()()222:341C x y -+-=上的点到直线l 的距离的最小值为61155d r -=-=. 故选：A. 3．B 【解析】设向量a →所在直线为OA （A 为向量的终点），当点P 位于与直线OA 垂直且与圆相切的直线上时，投影取得最值，进而求出最大值.如图所示，向量a →所在直线为OA （A 为向量的终点），则12OA k =，则设与直线OA 垂直且与圆相切的直线为:2l y x t =-+，所以圆心到直线的距离14d t =⇒=根据图形可知，当t =:2l y x =-+OA 交于B ， 易得，直线OA ：12y x =，联立：212y x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得：((21,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(||1OB ==，则向量OP →在向量()2,1a →=方向上投影的最大值为1+. 故选：B. 4．B 【解析】求出直线4cos 670x y α+-=的斜率的取值范围，利用斜率与倾斜角的关系可出结果. 因为,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则cos α⎛∈ ⎝⎦， 所以，直线4cos 670x y α+-=的斜率为2cos 3k α⎡⎫=-∈⎪⎢⎪⎣⎭， 因此，直线4cos 670x y α+-=的倾斜角的取值范围是5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B. 5．B 【解析】首先根据题意得到曲线x y x b =+与曲线x =有且仅有一个公共点时b 的取值范围.将方程x ()2210x y x +=≥．当直线y x b =+与曲线221x y +=1=，即b ，解得b =由图可知，当b =11b -<≤时，直线y xb =+与曲线x = 故选：B. 6．A 【解析】根据题意，设出直线的截距式方程，进而求出斜率以及原点到直线的距离，最后得到答案. 由题意可得，直线的截距式方程为1x ya b+=，斜截式方程为y kxb =+，由点到直线的距离公式，得p =又1x y a b +=与y kx b =+表示同一条直线，所以b ak =-.将bak =-代入p =()222()1ak p k ⋅-=+，即()22221a k p k =+.故选：A. 7．BC 【解析】根据两点间的距离公式计算化简，逐一判断选项即可.A ：在平面直角坐标系xOy 中，()20A -，，()40B ，，点P 满足12PA PB =， 设()P x y ，12=，化简得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，所以A 错误；B ：假设在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得12PD PE=，设()0D m ，，()0E n ，化简得()2222338240x y m n x m n +--+-=，由轨迹C 的方程为2280x y x ++=，可得8224m n -=-，2240m n -=， 解得6m =-，12n =-或2m =-，4n =（舍去），所以B 正确； C ：当A ，B ，P 三点不共线时，12OA PAOBPB==， 可得射线PO 是APB ∠的角平分线，所以C 正确；D ：若在C 上存在点M ，使得2MO MA =，可设()M x y ，，，化简得221616033x y x +++=， 与2280x y x ++=联立，方程组无解，故不存在点M ，所以D 错误． 故选：BC ． 8．BC 【解析】求出圆心距12C C ，结合半径由圆的性质可得圆上两点的距离的最大值和最小值，判断AB ，得直线斜率，判断C ，根据两圆位置关系可判断D ．解：根据题意，圆221:1C x y +=，其圆心1(0,0)C ，半径1R =，圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=，其圆心2(3,4)C -，半径1r =，圆心距12||5C C ==，则||PO 的最小值为123C C R r --=，最大值为127C C R r ++=，故A 错误，B 正确； 对于C ，圆心1(0,0)C ，圆心2(3,4)C -，则两个圆心所在的直线斜率404303k --==--，C 正确， 对于D ，两圆圆心距125C C =，有122C C R r >+=，两圆外离，不存在公共弦，D 错误． 故选：BC ． 9．BC 【解析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r ，故选项A 不正确； 对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3=，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ==+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.10．BD【解析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误.当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∵直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m ，∵1tan 60m =︒=1tan120m =︒=∵m =或m =B 选项正确； 直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m -=，令0y =，得1x m =-， 令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确． 故选：BD ．11．9 2x =-或1x =【解析】将所求函数整理为2y =，设()2,P x x 是抛物线2y x 上的动点，()3,5-M，所求问题的几何意义是：点P 到直线10y x -+=的距离与到点M 计算点()3,5-M 到直线10y x -+=的距离即可求最小值，求出过点()3,5-M 与10y x -+=垂直的直线方程与2y x 联立可得x 的值.因为21y x x =-+所以2y ． 设()2,P x x 是抛物线2y x 上的动点，()3,5-M ，如图所示，设PQ ⊥直线1y x =-于Q PQ =PM ．所求问题的几何意义是：点P 到直线10y x -+=的距离与到点M 于是，当M 、P 、Q 三点共线时，PQ PM +取得最小值．此直线是过点M 且垂直于直线1y x =-的直线为()53y x -=-+即2y x =-．则PQ PM +的最小值就是点M 到直线1y x =-的距离．因为)21y x x PQ PM MQ =-++9==． 由22y x y x =-⎧⎨=⎩可得1x =或2x =-， 故最小值为9，且对应的2x =-或1x =．故答案为：9；2x =-或1x =.12．1x =或34150x y +-=【解析】本题考查求圆的切线方程，分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求解即得. 圆()()22:124C x y ++-=的圆心坐标()1,2C -，半径2r ,当切线l 的斜率不存在时，:1l x =，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线； 当切线l 的斜率存在时，设斜率为k ，():31l y k x -=-，即：30kx y k --+=,2=，解得34k =-， 故切线的方程为34150x y +-=，故答案为：1x =或34150x y +-=易错点睛：本题考查求过点作圆的切线，关键是由首先验证斜率不存在时是否是圆的切线，考查学生的分类讨论思想，属于易错题.13．403k ≤≤【解析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解. 由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， 只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤， 所以k 的取值范围是403k ≤≤， 故答案为：403k ≤≤.14．1b =或1b -或32b <+【解析】化简曲线||1x -=.曲线||1x -=22(||1)(1)1x y -+-=表示两个半圆，当1x 时，22(1)(1)1x y -+-=；当1x -时，22(1)(1)1x y ++-=，如图所示，当直线在1l 时，b =2l 时，1b =；当直线在3l 时，2b =4l 时，1b =-；当直线在5l 时，3b =.由图象可知，当1b =或1b -或32b <+.∵b 的取值范围是1b =或1b -或32b <+故答案为：1b =或1b <-或32b <+15．205k -< 【解析】化简曲线3y =.由3y =222)(3)4(3)x y y -+-=≤（， 其图象是以(2,3)为圆心，2为半径的半圆，(5)1y k x =-+是过定点(5,1)A 的直线，作出图象，如图所示，其中0AC k =，25AD k =-，有两个不同的公共点时，k 的取值范围是205k -<. 故答案为：205k -< 16．94 【解析】表示三角形面积12S AC d =⋅，其中d 为点(B m 到直线AC 的距离，可得2131224S ⎫=-⎪⎭，利用二次函数的最值即得解因为()1,1A ，()4,2C ，所以AC ==且直线AC 的方程为()211141y x --=⨯--，即320x y -+=．又点(B m 到直线AC 的距离d =，所以211131222224S AC d m ⎫=⋅=-=-⎪⎭．因为14m <<，所以12<<，所以131222-<<，所以231024⎫≤<⎪⎭，所以2113242S ⎡⎤⎫=⨯-⎢⎥⎪⎭⎢⎥⎣⎦，当94m =时，S 最大． 故答案为：9417．(],0-∞【解析】首先由题意求出圆C 的圆心到直线20x ty -+=的距离范围，再通过点到直线的距离公式即可求解. 由于圆C 的标准方程为()2221x y +-=，则圆C 的圆心坐标为()0,2，半径为1．要使直线20x ty -+=上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相切，则只需满足圆C 的圆心到直线20x ty -+=的距离2d ≥，即2d =≥，解得0t ≤．故答案为：(],0-∞．18．1y =【解析】由题知圆C 的圆心到直线l 的距离为2d =，进而分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可.由题意知，圆C 的圆心为()0,1C -，半径4r =，易知点()0,1P 在圆C 的内部．设圆C 的圆心到直线l 的距离为d ，则圆上的点到直线的距离的最大值为4d +，所以46d +=，可得2d =．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，所以2d ==，解得0k =，所以直线l 的方程为1y =；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，不满足题意．综上，直线l 的方程为1y =．故答案为：1y =19．22310x y x y +-+-=【解析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线l 的方程，从而求出圆的方程.设圆的方程为()222242(1)240x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则()()()221412240x x y y λλλλ+-+++--=，即2242240111x y x y λλλλλ-+-+-=+++，所以圆心坐标为21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 把圆心坐标21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入2410x y +-=，可得13λ=，所以所求圆的方程为22310x y x y +-+-=．故答案为：22310x y x y +-+-=.20．【解析】利用入射光线上的一点关于x 轴的对称点一定在反射光线的反向延长线上的性质，即可求解. 易知点(3,5)B -关于x 轴的对称点为(3,5)B '--，设直线AB '交x 轴于P 点，则'||||PB PB =，又∵A 点坐标(2,10)，∵'||||||||PA PB PA PB AB '+=+===故光线从点B 到点A 经过的路程为故答案为：21．（1）4330x y --=；（2）30【解析】（1）先求出交点P 的坐标和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程；（2）先求出A 、B 两点的坐标，再利用三角形的面积公式，求得OAB 的面积．解：（1）由21020x y x y -+=⎧⎨--=⎩， 解得：35x y =-⎧⎨=-⎩， 可得直线1:210l x y -+= 和22:0x y l --=的交点为()3,5P =--，由于直线l 3的斜率为43， 故过点P 且与直线343:50x y l --=平行的直线l 的方程为()4533y x +=⨯+， 即4330x y --=； （2）由题意知：直线m 的斜率存在且不为零，设直线m 的斜率为k ，则直线m 的方程为()53y k x +=+，由于直线m 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且()3,5P =--为线段AB 的中点，故：()53,0,0,35A B k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 53323552k k ⎧-⎪=-⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩， 解得53k =-， 故()()6,0,0,10A B -- ，故OAB 的面积为116103022OA OB ⨯⋅=⨯⨯=. 22．（1）22(1)1y x +-=；（2）2±（3）163. 【解析】（1）设ABC 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；（3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.（1）设ABC 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d =， 又因为直线截圆M所以221+=⎝⎭， 解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离1d =，解得2k = （3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111AC t t k MAO t t-=∠==---， 同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BC t t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221t y x t t =---， 直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ， 由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩， 即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭， 又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-， 当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83， 所以ABC 面积的最小值.18164233ABC S=⨯⨯=. 23．40x y -+=或4y =．【解析】 方法一：分点A 和点B 在直线l 的同侧和异侧两种情况求解；方法二：设直线l 的方程为()2200ax by c a b ++=+≠，再根据点到线的距离公式求解即可 方法一：当点A 和点B 在直线l 的同侧时，易得//AB l ． ∵53131AB k -==-，∵1l k =． 又知直线l 过点()0,4P ，∵直线l 的方程为()410y x -=⨯-，即40x y -+=．当点A 和点B 在直线l 的异侧，这时直线l 过AB 的中点()2,4．又因为直线l 过点()0,4P ，则直线l 的斜率为0，直线l 的方程为4y =． 综上所述，直线l 的方程为40x y -+=或4y =．方法二：设直线l 的方程为()2200ax by c a b ++=+≠． 由题设知，直线l 过点()0,4P ，并且点()1,3A 和点()3,5B 到直线l的距离相等，则40b c +=⎧=，于是可得3a b a b -=+． 从而可得3a b a b -=+或3a b a b -=--，解得a b =-或0a =．当a b =-时，4c b =-，0a ≠且0b ≠，此时直线方程为40x y -+=．当0a =时，0b ≠，此时直线方程为4y =．综上所述，直线l 的方程为40x y -+=或4y =．24．（1）()()224325x y -++=；（2）点()3,2P 在圆C 外． 【解析】（1）利用待定系数法求得圆C 的方程.（2）由()()2234232625-++=>判断出点P 与圆C 的位置关系.（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，因为圆C 过()0,0O ，()1,1A ，()4,2B ，则()()()()()()222222222001142a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得24325a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以所求圆C 的方程为()()224325x y -++=；（2）因为()()2234232625-++=>，所以点()3,2P 在圆C 外．25．证明见解析.【解析】设出直线PA 与PB 的方程，结合题意可求得,M N 的坐标，进而可求得以MN 为直径的圆C 的方程，再令0y =，可求出圆与x 轴的交点，即可求解由题意可知()2,0A -，()2,0B ，设直线l 与x 轴的交点为K ，设直线PA 的方程为()2y k x =+，则直线PB 的方程为()12y x k=--. 由题意可知()4,6M k 、24,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以MN 的中点坐标为14,3k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，123MN k k=+，所以以MN 为直径的圆的方程为：()22211433x y k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22182340x y x k y k ⎛⎫+---+= ⎪⎝⎭，令0y =，则2840x x -+=，解得4x =±点()4+在圆O 外部，点()4-在圆O 内部，所以以MN 为直径的圆C 必过O 内一定点()4-.26．（1）最大值为0，最小值为2021-；（2）最大值为- 【解析】先求出所给的圆的圆心和半径，（1）4yx - 表示圆上的点（x y ）与点A （4，0）连线的斜率 k ．设出过点A 的圆的切线方程，根据圆心C 到切线的距离等于半径，求得k 的值，可得k 的最大值和最小值． （2）将条件进行化简，转化为点和圆的位置关系进行求解即可. （1）4y x -表示圆上的点(),x y 与点()4,0A 连线的斜率， 设圆的切线斜率为k ，圆的切线方程为()04y k x -=-，即40kx y k --=，由2=0k =或2021-， 结合图形知，4yx -的最大值为0，最小值为2021-. （2）令2x y t +=，t 表示过圆上的点且斜率等于2-的直线在y 轴上的截距，当直线2x y t +=和圆相切时，有2=∵t =±故2x y +的最大值为-27．当47k =-时，该四边形有一个外接圆，外接圆方程为22151590x y x y +--=.【解析】设过该四边形4个顶点的二次曲线系方程为：(315)(5)(6)0x y x y kx y y λ+-++--⋅=，再根据二元二次方程表示圆的条件求得k 的值，进而再求出圆的方程.设过该四边形4个顶点的二次曲线系方程为：(315)(5)(6)0x y x y kx y y λ+-++--⋅=，即22(8)(15)15(756)0x k xy y x y λλλ+++--+--=，由151,80,k λλ-=⎧⎨+=⎩解得14,4.7k λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩∴所求圆的方程为22151590x y x y +--=.28．证明见解析 【解析】建立平面直角坐标系，设出圆、直线CD 、直线EF 的方程.结合曲线系与AB 的交点,P Q 的横坐标所满足的方程的根与系数关系，证得M 是PD 的中点，由此证得PM QM =. 如图所示，以M 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设圆方程为 222()(||)x y b r b r +-=<设直线CD 、EF 的方程分别为1y k x =，2y k x =.将它们合并为()()120y k x y k x --=，于是过点C 、D 、E 、F 的曲线系方程为()()22212()0x y b r y k x y k x λ+--+--=.令0y =，得()2221210k k x b r λ++-=，即过点C 、D 、E 、F 的曲线系与AB 交于点P 、Q 的横坐标是方程()2221210k k x b r λ++-=的两根.由韦达定理得0P Q x x +=，即M 是PQ 的中点，故PM QM =.29．圆心在(,25)k k ---1|k +的圆；定点的坐标为(1,3)- 【解析】由题通过配方整理可得方程表示圆，将原方程整理为关于k 的方程可得定点. 将原方程整理得222()[(25)]5(1)0x k y k k ++++-+=，即222()[(25)]1)]x k y k k ++++=+，∴方程表示圆心在(,25)k k ---1|k +的圆，将原方程整理为关于k 的方程：221020(2410)0x y y k x y ++++++=，由2210200,24100x y y x y ⎧+++=⎨++=⎩解得1,3,x y =⎧⎨=-⎩ 即圆过定点(1,3)M -.30．直线方程为：40x y --=；圆的方程为：227320x y x y +-+-=. 【解析】首先写出过两圆交点的圆系方程，当1λ=-时，求出直线方程；通过对圆系方程化简整理，求出圆心，再结合已知条件即可求得圆的方程.由题意，过两圆交点的圆系方程为：()2222646280x y x x y y λ++-+++-=，令1λ=-，得40x y -+=， 故所求直线方程为：40x y -+=；对圆系方程化简整理得：22(1)(1)664280x y x y λλλλ+++++--=， ∵圆心的坐标为33,11λλλ-⎛⎫- ⎪++⎝⎭，而圆心在直线40x y --=上， 从而334011λλλ-+-=++，解得，7λ=- 代入圆系方程得，227320x y x y +-+-=. 故所求圆的方程为：227320x y x y +-+-=.31．（1）()10A -，，()56B -，；（2）存在,3，P .【解析】（1）由条件解方程组2100x y y -+=⎧⎨=⎩得出点A 坐标，得出BC 边上得高所在得直线方程，求出AB 得方程，由联立BC ，AB 的直线方程得出点B 的坐标.（2）由点C 作函数(0)ky x x =>的图像上求出k ，设2(,),P a aP 到AB l距离为d =1||2ABDA d SB =⨯⨯得出面积的表达式，从而求出答案. ()1因为点A 在BC 边上的高210x y -+=上，又在角A 的角平分线0y =上,所以解方程组2100x y y -+=⎧⎨=⎩得(1,0).A -BC 边上得高所在得直线方程为210,x y -+= 所以2BC k =- 1,1,AC AB AC k k k =∴=-=-所以AB 得方程为x+y+1=010240x y x y ++=⎧⎨+-=⎩得(5,6),B - 所以：()10A -，，()56B -，． (2)因为C 在曲线k y x =上. 22,2,1k k y x∴=∴=∴=2(,),(0),:10AB P a a l x y a>∴++=则P 到AB l距离为d2111122||||1|3|1|2222ABDa AB d a a Sa a ++=⨯⨯==⨯++=++202a a >∴+≥当且仅当22,a =即a =2211|1|1,a a a a++≥∴++≥3PABS∴≥，此时P．32．22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】设圆的圆心为C ，()()2,4,8,6A B --，:3260l x y +-=，由CB l ⊥，得到直线CB 的方程， 再求导线段AB 的垂直平分线方程，联立求得圆心即可.设圆的圆心为C ，()()2,4,8,6A B --，:3260l x y +-=，则CB l ⊥， 所以直线CB 的方程为：()638y x -=-，即3180x y --=， 又AB 的中点为()3,1，且64182AB k +==+， 所以线段AB 的垂直平分线方程为()13y x -=--，即40x y +-=， 由318040x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得11232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以圆的圆心为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r =所以圆的方程是22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33．证明见解析【解析】=可知代数式的几何意义是抛物线2yx 上的点()2,M x x 到点()3,2A 、()0,1B 的距离之差，数形结合以及三点共线可求得MA MB -的最大值，即可证得结论成立.=2yx 上动点()2,M x x 与两定点()3,2A 、()0,1B 的距离之差，如下所示：左边MA MB AB -≤==当且仅当B 在线段AM 上时取等号． 34．226121055x y x y ++++=.【解析】先由两个圆的方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后设所求圆的方程为()2222412210x y x y x y x y λ+++++++++=，再由其圆心在公共弦上求解.两个圆的方程相减，得20x y -=，即为公共弦所在的直线方程.显然圆2C 的圆心(1,1)-不在此直线上.设所求圆的方程为()2222412210x y x y x y x y λ+++++++++=.即22(1)(1)2(2)(12)(1)0x y x y λλλλλ+++++++++=.其圆心M 的坐标为212,12(1)λλλλ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭，点M 在直线20x y -=上，2(2)12012(1)λλλλ++∴-+=++，解得72λ=-. 故所求圆的方程为22555360222x y x y -----=，即226121055x y x y ++++=.35 【解析】解法一：运用判别式法的前提是必须有一元二次方程，且该方程有实根，而此函数的定义域为R ，用判别式法求解是可以的.关键是把函数转化为一元二次方程，因此先将其中一个根式移项，然后两边平方，再将含有根式的项整理到方程的一边，再平方，进而整理成关于自变量x 的一元二次方程，方程有实根的充要条件是“0∆≥”，解关于y 的不等式即可求得其最小值. 解法二：根据解析式中蕴涵的几何意义，转化为求两点间的距离即可求解.解法一：函数y ==.y ∴又0y ，即2y >，对∵式两边平方，得222225413y x x x x --+=-+.整理，得2822y x -+=对∵式两边平方，得()()()2222228484425y x y x y x x -+-+=-+，再整理，得()()2224244123236640y x y x y y ----+-=.∵2440y ->，x 为实数，()()()22242123244436640y y y y ∴∆=----+-≥，化简并整理，得64228520y y y -+≥， 即()()()242222285202260yyy y y y -+≥⇔--≥，又2y >，226y ∴≥，y ≥当y =∵为21002801960x x -+=，即22570490x x -+=，解得75x =解法二：y =令(,0)P x ，(1,2)A ，()2,3B ，则||||y AP BP =+点A 关于x 轴的对称点为(1,2)A '-.则min ||||||||y AP BP AP BP A B '=+=+≥=（其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当A '、P 、B 三点共线时取“等号”）. 36．证明见解析 【解析】先求出切线PA 、PB 的方程，得到直线AB 的方程，再证明点P 恒在定直线上.证明：设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，不妨将A 、B 、P 都视为定点（视动为静），先求直线AB的方程.切线PA 的方程为211x x y y r +=，切线PB 的方程为222x x y y r +=.∵P 点在切线上，∵21010x x y y r +=，22020x x y y r +=，这表明点A 、B 都在直线200x x y y r +=上，故直线AB 的方程为200x x y y r +=.又∵点M 在直线AB 上，∵200x a y b r +=.任意()00,P x y 都满足上式，故动点P 必在直线2ax by r +=上（换静为动）.37．最大值为6 【解析】不等式224x y +≤（0x ≥）表示半圆,41y x ++表示半圆域上的点(,)x y 与点(1,4)--连线的斜率，通过画出图象，结合图形来看，问题就迎刃而解.如图所示，不等式224x y +≤（0x ≥）表示半圆域. 设41y k x +=+，41y x ++表示半圆域上的点(,)x y 与点(1,4)--连线的斜率，当直线过点(0,2)时，有max461y x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，当直线在切线位置时，k 值最小，由点(0,0)2=，解得k =. 又因为0k >，所以k =所以min41y x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 38．0k =或1k >或1k <-. 【解析】先将问题转化为两函数y 2y kx =+的图像只有一个交点，再画出图像，利用函数2y kx =+是过定点(0,2)且绕定点(0,2)转动的直线， 数形结合即得参数范围.依题意，函数y 2y kx =+的图像只有一个交点.函数y 2为半径的上半圆，而2y kx =+是过定点(0,2)斜率k 在变化的直线，也就是说直线绕(0,2)点转动， 因为(0,2)点在半圆上，所以动直线不可能与半圆再有其他交点（如图所示）.∵当0k =或1k >或1k <-时，两图像只有一个交点. 所以k 的取值范围为0k =或1k >或1k <-. 39．2370x y ++=． 【解析】已知直线AC 、AB 的高线方程可以得到对应的AC 、AB 的直线方程，联立方程AC 与AB 边上的高线方程可得到C 点坐标，联立方程AB 与AC 边上的高线方程可得到B 点坐标，求出BC 的斜率，然后利用点斜式带入求出方程.因为AC 边上的高所在直线的方程为2310x y -+=，所以AC 边所在直线的斜率为32-．所以AC 边所在直线的方程为32(1)2y x -=--，即3270x y +-=．同理，AB 边所在直线的方程为10x y -+=． 由32700x y x y +-=⎧⎨+=⎩得顶点C 的坐标为(7,7)-．由10,2310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得顶点B 的坐标为(2,1)--．所以BC 边所在直线的斜率为1(7)2273---=---．所以BC 边所在直线的方程为21(2)3y x +=-+，即2370x y ++=．40．（1）224x y +=；（2）7. 【解析】（1）由AB 的中垂线及圆心所在直线得圆心坐标，得半径，从而得圆方程；（2）用斜率k 的式子表示弦PQ 的长度，同理可得弦MN 的长度，也可用含k 的式子表示，结合图形特征得到函数()S f k =，运用不等式知识求其最大值.解：（1）由题设知QC 的圆心既在AB 的中垂线上，又在直线y x =上，易得圆心为原点，半径为2.∵C ：224x y +=.（2）设四边形PMQN 的面积为S ，当直线l 的斜率0k =时， 则1l的斜率不存在，此时142S =⋅=当直线l 的斜率0k ≠时，设1l ：11y x k=-+. 联立2214y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()221230k x kx ++-=.所以有()22122122441(3)02131k k k x x k x x k ⎧∆=-+->⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩.同理可得21MN k=+.211221S PQ MN k =⋅=+== 因为22212224k k k +++=，所以172122742S +=⨯=. 当且仅当1k =±时等号成立，所以S 的最大值为7. 41．（1）0；（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）转换为圆上动点与圆外一定点连线的斜率问题.通过数形结合求解即可；（2）转换为圆上动点与圆外一定点连线的斜率问题.通过数形结合求解即可. 解：（1）设12y k x -=-，则y -1=kx -2k ，y =kx -2k +1. 设(2,21)a x kx k =+-+，(,1)b k =-，则222222222()(221)1(2)(2)(21)||1||a b kx k kx k x y x kx k a k b ⋅+-+-=++=++-+==+ 22(41)1k k -=+，故22(41)1k k -+，(158)0k k -，解得8015k . 则12y k x -=-的最小值是0. （2）设2yk x =+，则2y kx k =+，∵ ∵方程222410x y x y +--+=可化为22(1)(2)4x y -+-=， 故可将∵式写成32(1)1(2)k k x y -=-⋅-+⋅-， 构造向量(1,2)m x y =--，(,1)n k =-，则||(1)2m x =-=，2||1n k =+32m n k ⋅=-. 由222()||||m n m n ⋅⋅，得()22(32)41k k -+，解得1205k， 故所求2y x +的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 42．（1）10c =；（2） 3025． 【解析】（1）先计算出O 到直线1l 的距离1d ，然后根据规律可计算出O 到直线10l 的距离10d ，结合点到直线。
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圆的方程易错题
1.与圆22(3)(3)8x y -+-=相切，且在x 轴，y 轴上截距相等的直线共有（ ）
（A ）4条 （B ）3条 （C ）2条 （D ）1条
2.
方程y = ）
（A ）一条射线 （B ）一个圆 （C ）两条射线 （D ）半个圆
3. 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ．
设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311
343322<=+-⨯+⨯=d ．
如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．
又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．
设所求直线为043=++m y x ，则14311
22=++=m d ，
∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即
06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．
设圆9)3()3(2
21=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=
d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．
∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=
d ． ∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．
显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．
到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．
4. 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．
∵圆心在0=y 上，故0=b ．
∴圆的方程为2
22)(r y a x =+-．
又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202=r ．
所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13
124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．
又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．
故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．
又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为
r PC d >=++==254)12(22．
∴点P 在圆外．
说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
5. 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．
解：∵点()42，P 不在圆O 上，
∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y
根据r d =
∴ 214
22=++-k k
解得 4
3=
k 所以 ()4243+-=x y 即 01043=+-y x
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．
6.设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，（3）圆心到直线02=-y x l ：
的距离为5
，求该圆的方程． 7. 设点),(y x P 是圆122=+y x 是任一点，求12+-=
x y u 的取值范围．
分析：1
2+-=x y u 的几何意义是过圆122=+y x 上一动点和定点)2,1(-的连线的斜率，利用此直线与圆122=+y x 有公共点，可确定出u 的取值范围．。