线性代数与解析几何试题(附解析)-中国科技大学

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中 国 科 学 技 术 大 学 2005—2006学年第2学期考试试卷

考试科目:

线性代数 得分: 学生所在系:

姓名:

学号:

一、判断题（30分，每小题6分）。判断下列命题是否正确，并简要说明理由。

1. 三维空间向量c b,a,共面的充要条件是0det =⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅c c b c a c c b b b a b c a b a a a 。

2. 设A 为n 阶实正交方阵，I 为n 阶单位阵，则I A 2-为可逆方阵。

3. 设n m ⨯阶非零实矩阵A 和B 满足0='B A ，则A 的行向量线性相关，

并且B 的行向量也线性相关。

4. 设)(R M n 是n 阶实方阵全体按矩阵的加法与数乘运算构成的线性空间，则

满足0tr =A 的n 阶实方阵A 的全体构成)(R M n 的子空间。

5. 设B A ,为方阵，且⎪⎪⎭⎫

⎝⎛B A 是实正定对称方阵，则B A ,也是实正定对称方阵。

二、计算题（62分）。

1. （15分）b a ,为何值时，下列线性方程组有解？当有解时，求出该方程组的通解。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-+++=+++=-+++=++++b

x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325

432154321334536223231

2. （15分）设n 阶实方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=211

211

2O O A n O O O ，求n A det 和1

4-A 。

3. （17分）设V 是由所有2阶实方阵构成的实线性空间。在定义内积Y X Y X '=tr ),(后，

V 成为一个欧氏空间。现定义V 上的变换X X X '+α: A 。

（1）证明： A 是一个线性变换；（2）求 A 在基⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000,0100,0010,0001下的表示矩阵；

（3）求 A 的所有特征值与特征向量；（4）求V 的一组标准正交基，使得 A 在此基下的表示矩阵为对角阵。

4. （15分）通过正交变换化二次型222)()()(),,(x z z y y x z y x f -+-+-=为标准形；并

判断三维欧氏空间中的曲面3)()()(222=-+-+-x z z y y x 是哪一类曲面。

三、证明题（8分）。以下两小题任选一题。

1. 设n m R A ⨯∈，m n R B ⨯∈，I 是n 阶单位方阵。证明：

（1）)rank(0rank AB n B I

A

+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-。 （2）n B A AB -+≥)rank()rank()rank(。

2. 设实对称方阵A 满足3A A =，证明：A 正交相似于对角形⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-0s

r

I I 。

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参考答案及评分标准

一、判断题（30分，每小题6分，判断命题是否正确2分，说明理由4分。）

1．正确。c b,a,共面⇔使得0=++c b a z y x 有非零解0)()(=++⋅++⇔c b a c b a z y x z y x

有非零解0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇔z y x c c b c a c c b b b a b c a b a a a 有非零解0det =⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇔c c b c a c c b b b a b c a b a a a

（把c b,a,当作数组向量，扣2分）

2．正确。00420)2(=⇒='⇒'=''⇒=⇒=-x x x x x x x x x x A A A I A 。 3．正确。B 有非零列向量⇒='⇒0A ββA 的行向量线性相关。

A 有非零列向量⇒='⇒0

B ααB 的行向量线性相关。 4．正确。集合关于加法、数乘封闭。

5．正确。⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 正定对称()y x y x y x ,0∀>⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛''⇒，B A 不全为零 B A B A ,0000⇒≠∀>'≠∀>'⇒y y y x x x ，；，正定对称。

二、计算题（共62分）

1． （15分）写出方程组的矩阵形式或增广矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--b a 1

3345

362210

31123

111111 （3分）

对其作初等行变换⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛→→-----20

00000

3

62210

251101b a Λ

（6分）

当2,0==b a 时，方程组有解。 （3分） 通解⎩⎨⎧+---=-++=3622255432

5431x x x x x x x x

（3分） 2． 令n n A det =∆，则有212--∆-∆=∆n n n

（4分） 由3,221=∆=∆，

（2分）

得11211+=∆==∆-∆=∆-∆---n n n n n n ，Λ （3分） 由*det 1

1A A

A =

-，或经初等变换，

（3分）

求得⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=-43

2136422463

12341451A （3分）

3． （17分）（1）A 保持向量的加法和数乘。

（3分） （2）由基的象得A 的表示矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=21

1112

A

（4分）

（3）所有特征值为2、2、2、0 （3

分）

所有特征向量分别为“2阶非零对称实方阵”和“2阶非零反对称实方阵” （3分） （没有考虑特征值重数，扣2分；没有考虑特征向量非零，扣2分）

（4）⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00

100000

00012

12

12

12

1，，， （4分）

（基向量没有标准化，扣2分；基向量没有写成2阶方阵形式，扣1分）

4． （15分）二次型的表示矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=------2

11

121

112

A （3分） A 的特征值为3、3、0

（3分） A 的特征向量，，，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--1113

132116

120112

11ααα

（3分） 令()()P z y

x

w v u =，()321ααα=P ，得2233),,(v u z y x f +=

（3分） 曲面为圆柱面 （回答椭圆柱面，扣1分）

（3分）

三、证明题（8分）。以下两小题任选一题。

1． （1）)rank(00

rank 0rank 0rank AB n I AB B I AB B I

A

+=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- （4分）