第一章 振动-2

2 2
=5
9
A sinϕ1 + A sinϕ2 3 1 2 tanϕ = =− A cosϕ1 + A cosϕ2 4 1 2
得： 振动方程为
ϕ = 4π 5
x = 5cos ( 2π t + 4π / 5) (cm)
时同相， 时同相，
(2) 当
即 当 即
) ϕ3 − ϕ1 = ± 2kπ (k = 0, 1, 2, L
11
12
例3（5315）两个同方向、同频率 （ ）两个同方向、 t =0 A合 的简谐振动， 的简谐振动，其合振动的振 A2 ϕ 幅为20cm，与第一个简谐振 幅为 ， 动的位相差为ϕ − ϕ1 = π / 6 。 ϕ2 A 1 ϕ1 若第一个简谐振动的振幅为 x o 17.3cm，则第二个简谐振动的振幅为？ 17.3cm，则第二个简谐振动的振幅为？ 第一、 第一、二两个简谐振动的位相差 ϕ1 − ϕ 2 = ? 解：
同振向倍频 倍频谐振动的合成 三、同振向倍频谐振动的合成
x
1 2
合振动
O
t
Байду номын сангаас
ν1 = 5 s-1 ;ν2 = 15 s-1 ; ν = 5 s-1
21
* §1.5 相互垂直振向简谐振动的合成
一、相互垂直的同频率谐振动的合成
x = A cos (ω t + ϕ1 ) 1
y = A2 cos (ω t + ϕ2 )
x1 = 4cos ( 2π t + π ) cm x2 = 3cos ( 2π t + π 2 ) cm
(1) 求合振动方程； 求合振动方程；
x = Acos ( 2π t + ϕ )
A = A2 + A2 + 2A A cos(ϕ2 − ϕ1 ) 1 2 1 2
= 4 + 3 + 2× 4× 3× cos(π 2 − π )
得轨迹方程： 消去参数 t ，得轨迹方程：
2xy + 2− cos (ϕ 2 −ϕ 1 ) = sin2 (ϕ 2 −ϕ 1 ) 2 A A2 A A2 1 1
是一个椭圆类二次曲线方程。 是一个椭圆类二次曲线方程。 椭圆类二次曲线方程
x2
y2
22
讨论： ★ 讨论： 1.
y
(两个分振动同相 两个分振动同相) 两个分振动同相
相位差随时间变化；合振动不再是简谐振动。 ★ 相位差随时间变化；合振动不再是简谐振动。
x1 = Acos(ω1t +ϕ) = Acos(2πν1t +ϕ)
则有： 则有： 合振动方程为： 合振动方程为：
x2 = Acos(ω2t +ϕ) = Acos(2πν2t +ϕ)
x = x1 + x2 = Acos(2πν1t +ϕ) + Acos(2πν2t +ϕ)
(2) 另有一同方向的谐振动 x3 = 2cos ( 2π t + ϕ 3 ) cm 为何值时， 问：当 ϕ 3 为何值时，x1+x3 的振动为最大值 ？当 ϕ 3 为何 值时， 值时，x1+x3 的振动为最小值 ？ 解：(1) 同振向、同频率谐振动合成后还是谐振动： 同振向、同频率谐振动合成后还是谐振动：
两振动步调相同，振动加强，同相。 两振动步调相同，振动加强，同相。
x1 x2
x
同相
o
x
t
(2) 反相：∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = (2k + 1)π 反相：
x1 反相
( k = 0 , ± 1, ± 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) ⇒ A = A − A2 合振幅最小 1
两振动步调相反，振动减弱，反相。 两振动步调相反，振动减弱，反相。 当
① +②
2
2
A = A 2 + A22 + 2A A2 cos(ϕ 2 −ϕ 1 ) 1 1
②①
A sinϕ1 + A sinϕ2 2 ϕ = arctan 1 A cosϕ1 + A cosϕ2 1 2
4
2. 旋转矢量法 r
r r A= A + A 1 2
A2
2 + A2
A
t = 0 时刻的矢量图
A2 y=− x A 1
2 S = A2 + A2 cos(ω t + ϕ) 1
S A2
A1 x
是谐振动，角频率与初相不变。 谐振动，角频率与初相不变。
∆ϕ = π
23
3.
ϕ2 − ϕ1 =
轨 迹：
π
2
( y 比 x 相位超前π / 2 )
y
A2 A1
x2 A 1
+ 2
y2 A2 2
=1
∆ϕ =
y
同一直线上、同频率谐振动的合成 一、同一直线上、同频率谐振动的合成
x1 = A cos (ω t + ϕ1) , 1
1. 数学分析法
x = x1 + x2 = A cos (ω t + ϕ1) + A cos (ω t +ϕ2) 1 2
令
= ( A1cosϕ1 + A cosϕ2 )cosω t 2 − ( A sinϕ1 + A sinϕ2 )sinω t 1 2 Acosϕ = A cosϕ 1 + A2 cosϕ 2 1 1
— 拍现象。
18
x1 x2 x t
★ 拍频
t t
单位时间内合振幅极大出现的次数。 — 单位时间内合振幅极大出现的次数。
ν拍 = ν2 −ν1
振幅变化的周期为： 振幅变化的周期为：
1 T拍 = ν2 −ν1
19
20
拍现象的应用： 拍现象的应用： 用音叉振动校准乐器 测定超声波 测定无线电频率 调制高频振荡的振幅和频率等
17
x = 2Acos 2π （
ν2 −ν1
2
t) cos(2π
ν2 +ν1
2
t +ϕ)
低频振动
高频振动
= A′ cos(2πν t + ϕ) ν2 +ν1 合振动频率： 合振动频率： ν = 2
合振动振幅： 合振动振幅：
A′ = 2Acos 2π
ν2 −ν1
2
t
讨论: 两频率都较大, ★ 讨论: 两频率都较大, 而频率差很小的情况 合振幅出现时大时小的现象
第一章
振 动
（Vibration） ）
1
本章目录
§1.1 引 言 ∆§1.2 简谐振动 § §1.3 描述简谐振动的特征量 Δ§1.4 同振向简谐振动的合成 §1.5 相互垂直振向简谐振动的合成 §1.6 阻尼振动 受迫振动 共振
2
§1.4
同一直线上简谐振动的合成
x2 = A cos (ω t + ϕ2 ) 2
o
x
x
x2 x1 x2
7
t
A1 = A2
时，静止。 静止。
o
t
5. 超前和落后
若 或
∆ϕ = ϕ 2 −ϕ 1 > 0
x
O
x2 x1 t x2 比 x1 超前 r A r A3 ϕ 3 r r A2 ϕ2 A 1
则称： 超前； 则称： x2 比 x1 超前；
x1 比 x2 落后。 落后。 超前 / 落后以 ∆ϕ < π
ϕ3 = ± 2kπ + π (k = 0, 1, 2, L ，振幅最大。 ) 振幅最大。
) 时反相， ϕ3 − ϕ1 = ± 2(k + 1)π (k = 0, 1, 2, L 时反相，
振幅最小。 ϕ3 = ± 2kπ (k = 0, 1, 2, L ， ) 振幅最小。
10
例2：两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质 ：两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。 且向左运动时，另一个质点2在 点1在x1=A/2 处，且向左运动时，另一个质点 在x2= -A/2 在 且向右运动。求这两个质点的相位差。 处，且向右运动。求这两个质点的相位差。 解：
3π ∆ϕ = 2
24
2xy + 2− cos (ϕ 2 −ϕ 1 ) = sin2 (ϕ 2 −ϕ 1 ) 2 A A2 A A2 1 1
x2
y2
∆ϕ = 0
π 4
π 2
3π 4
π
5π 4
3π 2
7π 4
25
二、垂直方向不同频率简谐振动的合成
1. 两分振动频率相差很小
∆ϕ = (ω 2 −ω 1) t + (ϕ 2 −ϕ 1)
A2 = A12 + A2－2 A1 A cos(ϕ − ϕ1 ) = 10cm
A A2 = sin[π − (ϕ 2 − ϕ1 )] sin(ϕ − ϕ1 )
ϕ1 − ϕ 2 = −π / 2
13
例4（3043） （ ） 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振 一质点同时参与两个同方向的简谐振动， x1 = 5 × 10−2 cos(4t + π / 3) (SI) , 动方程分别为 x 2 = 3 × 10 − 2 sin(4 t − π / 6) (SI) . 画出两振动的旋转矢量图， 画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动 方程． 方程． v −2 解： x 2 = 3 × 10 sin(4 t − π / 6) A 1
d y k总 + y =0 2 dt m
2
k总 2 =ω m
1 ω 频率 ν = = 2π 2π
k总 1 = m 2π
6k m
16
二、同一直线、不同频率谐振动的合成 拍
x1 = A cos(ω1t + ϕ1 ) , x2 = A cos(ω2t + ϕ2 ) 2 1
∆ϕ = (ω2t + ϕ2 ) − (ω1t + ϕ1 ) = (ω2 − ω1 )t + (ϕ2 −ϕ1 )
Asinϕ = A sinϕ 1 + A2 sinϕ 2 1
2
x = Acosϕ cosω t − Asinϕ sinω t
x = Acos (ω t + ϕ)
3
结论： ★ 结论： (1) 同振向同频率谐振动的合成仍为谐振动。 同振向同频率谐振动的合成仍为谐振动。 (2) 合振动的频率与两分振动的频率相同。 合振动的频率与两分振动的频率相同。 (3) 合振动振幅和初相由下式决定： 合振动振幅和初相由下式决定： 振幅 由下式决定
∆ϕ = (ϕ 2 −ϕ 1 )
(初相差 初相差) 初相差
5
∆ϕ = (ω t + ϕ2 ) − (ω t + ϕ1) = ϕ2 − ϕ1
两同频率谐振动的相位差： 两同频率谐振动的相位差： 相位差
6
(1) 同相：∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 同相：
4. 同相和反相
x
= 2kπ
( k = 0 , ± 1, ± 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) ⇒ A = A + A2 合振幅最大 1
A2
x
3π 4. ϕ2 − ϕ1 = ( y 比 x 相位落后π / 2 ) 2 x2 y2 轨 迹： + 2 =1 2 A A2 1
左旋) 是椭圆运动，方向时逆时针 (左旋 。 椭圆运动， 左旋
椭圆运动， 右旋)。 是椭圆运动，方向时顺时针 (右旋 。 右旋
π
2
A1
x
A1= A2 时，为圆轨道， 即作圆周运动。 为圆轨道， 即作圆周运动。 圆周运动
3. 相位差
+ 2A A2 cos(ϕ2 − ϕ1) ϕ2 1 A1 ϕ A sinϕ1 + A2 sinϕ2 ϕ1 ϕ = arctan 1 O x2 x1 x x A cosϕ1 + A2 cosϕ2 1 A=
2 A 1
x1 = A cos (ω t + ϕ1) , x2 = A2 cos (ω t + ϕ2 ) 1
ϕ2 − ϕ1 = 0
轨 迹：
A y= 2x A 1
2 A2 + A2 cos(ω t +ϕ) 1
A2 S A1 x
运动方程： 运动方程： S = 2.
是谐振动，角频率与初相不变。 谐振动，角频率与初相不变。
∆ϕ = 0
ϕ2 − ϕ1 = π
轨 迹： 运动方程： 运动方程：
(两个分振动反相 两个分振动反相) 两个分振动反相
＝3 × 10 cos(4t − 2π / 3)
−2
v A合
作两振动的旋转矢量图，如图： 作两振动的旋转矢量图，如图：
A合 = 5 − 2 = 3cm , ϕ = π 3
合振动方程为： 合振动方程为：
x = 2 × 10 cos(4t + π / 3)
−2
v A 2
o
x
14
的轻弹簧截成三等份， 例5（3006）一倔强系数为k的轻弹簧截成三等份，把 （ ） 其中的两条并联起来，下挂一质量为m的物体， 其中的两条并联起来，下挂一质量为m的物体，求振 动系统的频率。 动系统的频率。 解： 每一份 k1 = k2 = k3 = 3k
1 1 1 1 = + +⋅⋅⋅ + 弹簧串 弹簧串联公式 k总 k1 k2 kn
弹簧并 弹簧并联公式
k总 = k1 + k2 + ⋅ ⋅⋅kn
15
两根并联
k总 = k1 + k 2 = 6k
y0 （k总 y0 = mg）
物体在平衡位置处弹簧伸长量 合外力
F合 = −k总 y + y0） mg = −k总y （ +
的相位角来判断。 的相位角来判断。
多个同振向、 6. 多个同振向、同频率谐振动的合成
r r r r A = A + A2 + A3 +L 1
采用旋转矢量法： 采用旋转矢量法： 各分振动矢量首尾依次相接。 各分振动矢量首尾依次相接。
ϕ ϕ1
O
8
x
例1：有两个振动方向相同的谐振动，其振动方程分别为： ：有两个振动方向相同的谐振动，其振动方程分别为：