网路的最大流和最小截 12页PPT文档

(20,15)
(5,05) (5,05)
(10,0))
20
(10,05))
s (20,15) 4
(5,05)
7
虚发点
发 点2
20
9
6.4.5 最小费用最大流
• 双权网路：每条弧不但有容量，还有单位流量的通过费用 • 两种解法：一种基于最小费用路径算法；一种基于可行弧集
的最大流算法 • 基于最小费用路径算法：总是在当前找到的最小费用的路径
2
6.4.3 确定网路最大流的标号法
• 从任一个初始可行流出发，如 0 流 • 基本算法：找一条从 s 到 t 点的增广链(augmenting path) • 若在当前可行流下找不到增广链，则已得到最大流 • 增广链中与 s 到 t 方向一致的弧称为前向弧，反之后向弧
(5,1)
(1,1) (1,1) (3,0) (5,3)
• 以上算法是按广探法描述的，但在实际图上作业时，按深 探法进行更快捷
• 一次只找一条增广链，增广一次换一张图 • 最后一次用广探法，以便找出最小截集
5
最大流最小截集的标号法举例
(s+,)
1 (14,14) s (15,9)
(9,9)
(6,6)
(16,15)
(3,1)
(s+,6)
6 (13,12)
s
2
3
4
5
t
qs2=4
q32=1
q43=1 q45=3
q5t=2
qij

cij
fij
fij
前向弧 后向弧
增广量 q =minqij
= min(4,1,1,3,2)= 1
(5,2)
(1,0) (1,0) (3,1) (5,4)
s
2
3
4
5
t
• 增广过程：前向弧 fij=fij +q , 后向弧 fij=fij q
(9,9)
(6,5)
(5,5)(2+,2)
(6,3)
(19,11)
3
4
(4,4)
(5,2)
6
最大流最小截集的标号法举例
1 (14,14) s (15,10)
(9,9)
3
(6,5)
(16,15)
(3,1)
6 (13,12)
2 (12,10) 5
(6,3)
(5,5)
4
(4,4)
(7,5)
(22,22) t
• 增广后仍是可行流
3
最大流最小截的标号法步骤 第一步：标号过程，找一条增广链
1、给源点 s 标号[s+,q(s)=]，表示从 s 点有无限流出潜力
2、找出与已标号节点 i 相邻的所有未标号节点 j，若
(1) (i, j)是前向弧且饱和，则节点 j 不标号；
(2) (i, j)是前向弧且未饱和，则节点 j 标号为[i+,q(j)]，表示从节点 i 正 向流出，可增广 q(j)=min[q(i), cijfij] ；
6.4 网路的最大流和最小截
6.4.1 网路的最大流的概念
B(vi)
vi
A(vi)
• 网路流一般在有向图上讨论
• 定义网路上支路的容量为其最大通过能力，记为 cij ， 支路上的实际流量记为 fij
• 图中规定一个发点s，一个收点t
• 节点没有容量限制，流在节点不会存储
• 容量限制条件：0 fij cij
(2)节点 t 获得标号，找到一条增广链，由节点 t 标号回溯可找出该增
广链；到第二步
4
最大流最小截的标号法步骤 第二步：增广过程
1、对增广链中的前向弧，令 f=f+q(t)，q(t) 为节点 t 的标记值 2、对增广链中的后向弧，令 f=fq(t)
3、非增广链上的所有支路流量保持不变
第三步：抹除图上所有标号，回到第一步
• 克服这种缺点的经验方法：
– 尽量先用段数少的增广链
– 尽量不重复前面出现过的增广链
8
6.4.4 多端网路问题
2
收 点1
(15, 10)
15
5
(15,15)
虚收点
t
发 点1 (10,10) (5,,00))
20
1
(20,05)) 3(10来自05)) (5,05)(5,0)
(20,15)
6 ((1100,,100)) 8 收 点2
(3) (j, i)是后向弧，若 fji=0，则节点 j 不标号；
(4) (j, i)是后向弧，若 fji>0，则节点 j 标号为[i,q(j)]，表示从节点 j 流 向 i，可增广 q(j)=min[q(i), fji] ；
3、重复步骤 2，可能出现两种情况：
(1) 节点 t 尚未标号，但无法继续标记，说明网路中已不存在增广链， 当前流 v(f) 就是最大流；所有获标号的节点在 V 中，未获标号节 点在 V 中，V 与 V 间的弧即为最小截集；算法结束
(19,11)
最小截集
1
(16,15)
(s+,)
(14,14) s (15,12)
(3,1)
(s+,3)
2 (12,12)
6 (13,12) 5
(22,22) t
(7,5)
(6,1)
(9,9)
(6,5)
(5,5)
(19,13)
3
4
(4,4)
(2,3)
7
最大流标号法的复杂度讨论
2000 u 2000
s
1
t
2000 v 2000
• 找一条增广链的计算量是容易估计的，不会超过O(n2)
• 但是最多迭代多少次(即增广的次数)就很难估计，在最坏情 况下，与边的容量有关；如上图：先增广 s u v t , 然后增广 s v u t，每次只能增广 1 个单位，故要增 广4000次才能结束
• 一般包含 s 点的成分中的节点集合用V表示，包含 t 点
的成分中的节点集合用V表示
• 截集容量是指截集中正向弧的容量之和 C(V,V) cij
iV jV
(3,0) 2 (4,0) 4 (5,0)
s (1,0)
(1,0) (3,0) t
(5,0) 3 (2,0) 5 (2,0)
• 福特-富克森定理：网路的最大流等于最小截集容量
2 (12,10) 5
(6,3)
(5,5)
3
(2,6)
(4,3)
4
(3+,1)
(7,5)
(22,22) t
(19,10)
(4+,1)
1 (14,14)
(s+,) s (15,10)
(16,15)
(3,1)
(s+,5)
6 (13,12)
2 (12,10) 5
(22,22) t
(4+,2)
(7,5)
11
谢谢
v(f) is
• 平衡条件： fij fji 0 is,t
vjA(vi)
vjB(vi)
v(f) it
• 满足上述条件的网路流称为可行流，总存在最大可行流
• 当支路上 fij = cij ，称为饱和弧
• 最大流问题也是一个线性规划问题
1
6.4.2 截集与截集容量
定义：把网路分割为两个成分的弧的最小集合，其中一 个成分包含 s 点，另一个包含 t 点 。
上增广流；缺点是每次增广后要改变弧的费用，且出现负权 值费用的弧 • 基于可行弧集的最大流算法：从 0 费用弧集开始应用最大流 算法，然后根据计算信息提高费用的限界P，使可行弧集增 大，再应用最大流算法，直至所有弧都进入可行弧集。这种 算法是一种主-对偶规划的解法。使用这种方法的还有运输 问题、匹配问题
10
6.4.5 以最短路为基础汇总网路上的流
1
1
2
3
2
3
电路交换网
传输网
4
5
4
5
• 在电路网中每两点之间都有中继电路群需求，但并不是任 两点都有物理传输链路
• 根据两点间最短传输路径将该两点间的电路需求量加载到 这条传输路径上去：设 a25=10 是节点2 和 5 之间的电路需 求，节点2 和 5 之间的最短传输路径为 2135，则加载过 程为: T21=T21+10, T13=T13+10, T35=T35+10； Tij 是传输链路 ij 上加载的电路数；当所有点间电路都加载完则算法结束