高三复习专题不等式讲义

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基本不等式教学讲义

基本不等式教学讲义ZHI SHI SHU LI 知识梳理 ) 1．重要不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )(当且仅当a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式ab ≤a ＋b2(均值定理)(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)ZHONG YAO JIE LUN重要结论 ) 常用的几个重要不等式(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(当且仅当a ＝b 时取等号) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)(3)(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)(4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(当且仅当a ＝b 时取等号)． (5)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b >0当且仅当a ＝b 时取等号)．SHUANG JI ZI CE双基自测) 1．下列结论正确的个数为( B ) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值为2.(2)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．(3)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )． (5)当x ∈(0，π2)时，函数f (x )＝sin x ＋4sin x ≥4.A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] (1)、(2)、(3)、(5)都不正确，(4)正确，故选B ． 2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( B ) A ．1 B ．14C ．12D ．22[解析] 因为a ，b ∈R ＋，所以1＝a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．故选B ．3．(2018·陕西渭南期中)已知x >0，则函数y ＝4x ＋x 的最小值是( D )A ．－18B ．18C ．16D ．4[解析] 因为x >0，所以y ＝4x ＋x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时取等号，所以函数y ＝4x＋x 的最小值是4，故选D ． 4．若x <0，则x ＋1x ( D )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2[解析] 因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2. 5．(教材改编)若f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝n 处取得最小值，则n ＝( B )A ．52B ．3C ．72D ．4[解析] 由f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x －2＝1x －2>0，即x ＝3时，取得等号，故选B ．6．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30. [解析] 总费用为4x ＋600x ×6＝4(x ＋900x )≥4×2900＝240，当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时等号成立．考点1 利用基本不等式求最值——多维探究角度1 配凑法求最值例1 (1)(2018·天津月考)已知a ，b 是正数，且4a ＋3b ＝6，则a (a ＋3b )的最大值是( C ) A ．98B ．94C ．3D ．9(2)已知x >54，则y ＝4x ＋14x －5的最小值为7，此时x ＝32.[解析] (1)∵a >0，b >0,4a ＋3b ＝6，∴a (a ＋3b )＝13·3a (a ＋3b )≤13(3a ＋a ＋3b 2)2＝13×(62)2＝3，当且仅当3a ＝a ＋3b ，即a ＝1，b ＝23时，a (a ＋3b )的最大值是3.(2)∵x >54，∴4x －5>0.y ＝4x ＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时上式“＝”成立．即x ＝32时，y min ＝7.[易错警示] 求最值时忽视两项和或积为定值致错利用基本不等式求最值，在保证各项为正数的情况下，必须考虑两项和或两项积为定值，本题解答易忽视两项和为定值的条件，即错误解法为：a (a ＋3b )≤(a ＋a ＋3b2)2，当且仅当a ＝a ＋3b ，且4a ＋3b ＝6，即a ＝32，b ＝0时，a (a ＋3b )的最大值为94，从而错选B ．[引申]把本例(2)中x >54，改为x <54，则y ＝4x ＋14x －5的最大值为3，此时x ＝1.[解析] 因为x <54，所以5－4x >0，则y ＝4x ＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋5≤－2(5－4x )15－4x＋5＝－2＋5＝3.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故y ＝4x －2＋14x －5的最大值为3.此时x ＝1.名师点拨 ☞拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性． (2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数．角度2 换元法求最值例2 求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．[解析] 令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0时，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．角度3 常数代换法求最值例3 (2018·辽宁师大附中期中)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值为( C ) A ．245B ．285C ．5D ．6[解析] ∵x >0，y >0,3x ＋y ＝5xy ， ∴3y ＋1x＝5. ∴4x ＋3y ＝15(3y ＋1x )(4x ＋3y )＝15(13＋12x y ＋3y x )≥15(13＋212x y ·3y x )＝5.(当且仅当x ＝12，y ＝1时取等号)．∴4x ＋3y 的最小值为5，故选C ．名师点拨 ☞常数代换法的技巧(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值．(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．〔变式训练1〕(1)(角度1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为23.(2)(角度1)(2018·山东临沂期中)设x >0，y >0，x ＋y ＝5，则1x ＋4y ＋1的最小值为32.(3)(角度2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)(4)(角度3)(2018·内蒙古集宁月考)已知a >0，b >0且a ＋2b ＝1，则2a ＋1b 的最小值为( A )A ．8B ．5C ．4D ．6[解析] (1)x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )，∵x <1，∴4－3x >0，∴x (4－3x )≤13[3x ＋(4－3x )2]2＝43，最小值为43，此时3x ＝4－3x 即x ＝23.(2)解法一：∵x >0，y >0，x ＋y ＝5，∴x ＋(y ＋1)＝6，∴1x ＋4y ＋1＝16 [x ＋(y ＋1)](1x ＋4y ＋1 )＝16 (5＋y ＋1x ＋4x y ＋1 )≥16 (5＋2y ＋1x ·4x y ＋1 )＝32(当且仅当y ＋1＝2x 即x ＝2，y ＝3时取等号)∴1x ＋4y ＋1的最小值为32.解法二：∵x >0，y >0，x ＋y ＝5， ∴1x ＋4y ＋1＝1x ＋46－x ＝6＋3x －x 2＋6x ，令x ＋2＝t ，则x ＝t －2(t >0)，从而1x ＋4y ＋1＝3t －t 2＋10t －16＝310－(t ＋16t). ∵t ＋16t≥2t ·16t＝8(当且仅当t ＝4时取等号)， ∴0<10－(t ＋16t )≤2，∴310－(t ＋16t )≥32，∴1x ＋4y ＋1≥32(当且仅当x ＝2，y ＝3时取等号)， ∴1x ＋4y ＋1的最小值为32. (3)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋2x －2＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．(4)∵a ＋2b ＝1，∴2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(a ＋2b )＝4＋4b a ＋ab≥4＋24b a ·a b ＝8，当且仅当4b a ＝ab且a ＋2b ＝1，即a ＝12，b ＝14时取等号，∴2a ＋1b的最小值为8，故选A ．考点2 利用基本不等式求参数的范围——师生共研例4 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求： (1)ab 的取值范围； (2)a ＋b 的取值范围．[解析] (1)∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab >0，∴t 2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0.∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． (2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b2)2.今t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0. ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． [答案] (1)[9，＋∞) (2)[6，＋∞)名师点拨 ☞利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b ＝a ＋3a －1>0，∴a －1>0，∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋a －1＋4a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥6.〔变式训练2〕(2018·齐鲁教科研协作体模拟)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是4. [解析] 解法一：∵x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8. ∴(2y ＋1)(x ＋1)＝9且x ＋1>0,2y ＋1>0 ∴x ＋2y ＝(2y ＋1)＋(x ＋1)－2≥2(2y ＋1)·(x ＋1)－2＝4.(当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)∴x ＋2y 的最小值为4.解法二：∵x >0，y >0，∴2xy ≤(2y ＋x 2)2＝(2y ＋x )42(当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)又x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴x ＋2y ＋(x ＋2y )42≥8∴(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0 ∴x ＋2y －4≥0，即x ＋2y ≥4 (当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号) ∴x ＋2y 的最小值为4.解法三：∵x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8 ∴x ＝8－2y 1＋2y ＝92y ＋1－1，∴x ＋2y ＝92y ＋1＋(2y ＋1)－2≥292y ＋1·(2y ＋1)－2＝4(当且仅当y ＝1时取等号) ∴x ＋2y 的最小值为4.秒杀解法：x ＋2y ＋2xy ＝8，即x ＋2y ＋x ·2y ＝8.由条件及结论关于x 、2y 的对称性知当x ＝2y ＝2时x ＋2y 取最小值为4.考点3 利用基本不等式解决实际问题——师生共研例5 (2018·山东寿光期末)已知正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，其所有顶点都在球O 的球面上，若该正四棱柱的侧面积为4，则球O 的表面积的最小值为22π.[解析] 正四棱柱的侧面积为4ah ＝4，故ah ＝1.体对角线长为外接球O 的直径，所以2R ＝a 2＋a 2＋h 2＝2a 2＋h 2≥22a 2h 2≥22，所以R ≥222，当且仅当2a 2＝h 2时等号成立，则球O 的表面积为4πR 2≥4π×224＝22π，所以球O 的表面积的最小值为22π.名师点拨 ☞应用基本不等式解决实际问题的步骤：①仔细阅读题目，深刻理解题意；②找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；③利用基本不等式求出最值；④再还原成实际问题，作出解答．特别强调的一点是，当利用基本不等式时，若等号成立的条件不具备，则利用函数的单调性求解．〔变式训练3〕(2018·云南师大附中月考)高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n ，则同学们认为最适宜的教室应在( B )A ．2楼B ．3楼C ．4楼D ．8楼[解析] 解法一：由题意知，同学们总的不满意度y ＝n ＋8n≥2n ·8n ＝42，当且仅当n ＝8n，即n ＝22≈3时，不满意度最小，所以同学们认为最适宜的教室应在3楼．解法二：代入法，分别n ＝2,3,4,8，比较n ＋8n的大小，即选C ．基本不等式的综合应用例6 (1)(2018·辽宁丹东五校协作体联考)已知函数f (x )＝|ln x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是( B ) A ．(4，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)(2)(2018·安徽淮南一中等五校联考)已知正项等比数列{a n }(n ∈N *)满足a 5＝a 4＋2a 3.若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝8a 1，则1m ＋9n 的最小值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)由题意知ln a ＝－ln b ，即ln(ab )＝0， ∴ab ＝1，∴a ＋4b ≥24ab ＝4(当且仅当a ＝2，b ＝12时取等号)故选B ．(2)由等比数列的性质可知q 2－q －2＝0(q 为等比数列的公比)，∴q ＝2，a m a n ＝8a 1⇒a 21q m ＋n －2＝64a 21，∴m ＋n －2＝6即m ＋n ＝8，又m 、n ∈N *，∴1m ＋9n ＝18·(m ＋n )(1m ＋9n )＝18(10＋nm＋9m n )≥18(10＋2n m ·9m n )＝2.(当且仅当m ＝2，n ＝6时取等号)．∴1m ＋9n的最小值是2.故选B ．名师点拨 ☞基本不等式的综合问题的解法：利用相关知识确定某等量关系，在此条件下用基本不等式求解某些最值问题．〔变式训练4〕(1)(2018·甘肃嘉峪关一中模拟)已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)－3＝0互相垂直，则ab 的最大值等于( B ) A ．0 B ．2 C ．4D ．2(2)(2018·河北衡水中学调研五)若在函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象上点(1，f (1))处的切线斜率为2，则8a ＋bab 的最小值是( B )A ．10B ．9C ．8D ．32[解析] (1)由题意知a 2＋(b －2)(b ＋2)＝0，即a 2＋b 2＝4. ∴ab ≤a 2＋b 22＝2(当且仅当a ＝b ＝2或－2时取等号)故选B ．(2)由题意知f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(1)＝2，∴2a ＋b ＝2， ∴8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12(2a ＋b )(1a ＋8b )，＝12(10＋b a ＋16a b )≥12(10＋2b a ·16ab)＝9 (当且仅当a ＝13，b ＝43时取等号)，故选B ．。

高三数学第一轮复习讲义不等式的概念和性质

芯衣州星海市涌泉学校高三数学第一轮复习讲义〔38〕不等式的概念与性质一．复习目的：1．掌握并能运用不等式的性质，灵敏运用实数的性质；2．掌握比较两个实数大小的一般步骤．二．知识要点：1．不等式的性质：①对称性：；②传递性：．③加法性质；．④乘法性质：，．⑤乘方性质：；开方性质．2．比较两数大小的一般方法是：．三．课前预习：1．命题〔1〕,n n ab ac bc n N *>⇒>∈，〔2〕22a b a b c c >⇒>，〔3〕11a b a b >⇒<，〔4〕0,0a b c d ac bd <<<<⇒>，〔5()a b n N *>⇒>∈ 〔6〕a b a c b d c d<⎧+<+⇔⎨<⎩，〔7〕220a b a ab b <<⇒>> 其中真命题的是．2．01x y a <<<<，那么〔〕()A log ()0a xy <()B 0log ()1a xy <<()C 1log ()2a xy <<()D log ()2a xy >．3．假设0m b a <<<，那么〔〕()C cos cos cos b m b b m a m a a m -+<<-+()D cos cos cos b m b m b a m a m a+-<<+-．四．例题分析：例1．比较11n n xy +++和*(,,)n n x y xy n N x y R ++∈∈的大小．例2．设0,1a a >≠，0t >，比较1log 2a t 和1log 2a t +的大小，并证明你的结论．例3．在等比数列{}n a 与等差数列{}nb 中，11330,0a b a b =>=>，且31a a ≠，比较2a 与2b ，5a 与5b 的大小．例4．设数列{}n a 的通项公式是21000n n n a =，〔1〕讨论数列{}n a 的单调性；〔2〕求数列中的最大项．五．课后作业：班级学号姓名1．设,(,0)a b ∈-∞，那么“a b >〞是“11a b a b ->-〞成立的〔〕()A 充分非必要条件()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 既不充分也不必要条件2．以下不等式：〔1〕232()xx x R +≥∈，〔2〕553223(,)a b a b a b a b R +≥+∈，〔3〕222(1)a b a b +≥--．其中正确的个数为〔〕3．给出以下条件①1a b <<；②01a b <<<；③01a b <<<．其中，能推出 11log log log b a a b b b<<成立的条件的序号是〔填所有可能的条件的序号〕． 4．函数()y f x =是(0,2)上的减函数，且关于x 的函数(2)y f x =+是偶函数，那么15(),(),(3)22f f f 的大小关系是． 5．,,,a x y b 依次成等差数列，,,,c x y d 依次成等比数列，其中,0,0xy x y ≠>>，比较a b +与c d +的大小．6．某人乘坐出租车从A 地到B 地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每Km 价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每Km 价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，那么此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较适宜？7．设()f x =，比较11|()()|f x f x -与1212||()x x x x -≠的大小． 8．设,m R x R ∈∈，比较21xx -+与222m mx --的大小． 9．设()1log 3,()2log 2x x f x g x =+=，其中0,1x x >≠，比较()f x 与()g x 的大小．。

高考数学复习讲义不等式(学生版)

高考数学复习讲义不等式【要点提炼】考点一不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值．【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________．专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b 0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<aq10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。

(完整版)不等式基本概念讲义

第五章不等式一、不等式的定义：1、一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有“〉”“<”“≤”“≥”及“≠”五种.2、不等号所表示的意义特征3、常见的符号表示:（1）a是正数表示为a>0，a是负数表示为a〈0，（2）a是非负数表示为a≥0，a是非正数表示为a≤0,(3）a，b同号表示为ab〉0，a，b是异号表示为ab〈0。

例1、在下列各式中，是不等式的有__________①—3x〉0; ②4x+3y〉0；③x=4；④a+b+c；⑤x+y=7；⑥1〉8；⑦2≠2提示：判断一个式子是不是不等式从形式上看，只要这个式子是用不等号连接的就是不等式（不管对错）例2、数学表达式中：①a2≥0;②5p—6q〈0;③x—6=0;④7x+7y-1>9；⑤x≠3；⑥800,是不等式的有_____________二、不等式的解与解集1、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解(不等式的解是一个具体的数值）2、不等式的解集:一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.（不等式的解集是一个集合,一个范围，包含不等式的每一个解）3、解不等式:求不等式解集的过程叫做解不等式。

例1、判断下列说法是否正确，并说明理由（1）x=3是不等式3x≥9的解集（）（2）不等式3x≥9的解为3（）（3）x=3是不等式3x≥9的一个解( ）（4）x≥3是不等式3x≥9的解（）（5）不等式3x≥9的解集是x≥3（ )三、不等式解集的表示方法（1）一般形式:用x〉a,或x<a或x≥a或x≤a的形式表示出来的形式。

（2）数轴表示法（最容易理解的方法）:不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解可以表示在数轴上。

注意！！！用数轴表示不等式的解集是首先要“两定”：①定边界点（注意是实心还是空心）有等号需要的是实心圆点,没有等号用空心圆圈；②定方向：大于号开口向右，小于号开口向左。

第2节基本不等式--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第二节基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2.(1)基本不等式成立的条件：01a >0，b >0．(2)等号成立的条件：当且仅当02a ＝b 时，等号成立．(3)其中03a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，04ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 205≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab 06≥2(a ，b同号)．(3)(a ，b ∈R )．(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为09a ＝b ．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当10x ＝y 时，和x ＋y 有最小值112P ．(简记：积定和最小)(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当12x ＝y 时，积xy 有最大值1314S 2．(简记：和定积最大)注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致．2．若a >0，b >0，则21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．常见求最值的模型模型一：mx ＋nx≥2mn (m >0，n >0，x >0)，当且仅当x ＝nm时，等号成立；模型二：mx ＋n x －a ＝m (x －a )＋nx －a ＋ma ≥2mn ＋ma (m >0，n >0，x >a )，当且仅当x －a ＝n m时，等号成立；模型三：xax 2＋bx ＋c ＝1ax ＋b ＋c x ≤12ac ＋b(a >0，c >0，x >0)，当且仅当x ＝ca时，等号成立；模型四：x (n －mx )＝mx (n －mx )m ≤1m ·>0，n >0，0<x 当且仅当x ＝n 2m时，等号成立．4．三个正数的均值不等式：若a ，b ，c >0，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(2)|b a ＋a b |≥2.()(3)已知0<x <12，则x (1－2x )的最大值为18.()(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)设a ＞0，则9a ＋1a 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案C 解析9a ＋1a≥29a ·1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，等号成立．(2)矩形两边长分别为a ，b ，且a ＋2b ＝6，则矩形面积的最大值是()A ．4 B.92C.322D ．2答案B解析依题意，可得a ＞0，b ＞0，则6＝a ＋2b ≥2a ·2b ＝22·ab ，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以ab ≤628＝92，即矩形面积的最大值为92.故选B.(3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数a >0，b >0，a ＋b ＝2，则1a ＋ab 的最小值为________．答案12＋2解析1a ＋a b ＝12×a ＋b a ＋a b ＝12＋b 2a ＋a b ≥12＋2b 2a ·a b ＝12＋2，当且仅当b 2a ＝ab，即a ＝22－2，b ＝4－22时，等号成立．(4)(人教A 必修第一册习题2.2T1(2)改编)函数y ＝x (3－2x )(0≤x ≤1)的最大值是________．答案98解析因为0≤x ≤1，所以3－2x ＞0，所以y ＝12·2x ·(3－2x )≤122x ＋(3－2x )22＝98，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号．(5)(人教A 必修第一册复习参考题2T5改编)已知a ，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．答案[9，＋∞)解析因为a，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．考点探究——提素养考点一利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1配凑法求最值例1(1)(2024·福建福州四校高三期中联考)已知0<x<2，则y＝x4－x2的最大值为() A．2B．4C．5D．6答案A解析因为0<x<2，所以y＝x4－x2＝x2(4－x2)≤x2＋(4－x2)2＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝2时，等号成立，即y＝x4－x2的最大值为2.故选A.(2)函数y＝x2＋3x＋3x＋1(x<－1)的最大值为()A．3B．2C．1D．－1答案D解析y＝x2＋3x＋3x＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)＋1x＋1＝－－(x＋1)＋1－(x＋1)＋1≤－1＝－1，当且仅当x＋1＝1x＋1＝－1，即x＝－2时，等号成立．故选D.【通性通法】配凑法求最值的关键点【巩固迁移】1．函数y ＝3x ()A ．8B ．7C ．6D ．5答案D解析因为x >13，所以3x －1>0，所以y ＝3x ＋43x －1＝(3x －1)＋43x －1＋1≥2(3x －1)·43x －1＋1＝5，当且仅当3x －1＝43x －1，即x ＝1时，等号成立，故函数y ＝3x 值为5.故选D.2．(2023·浙江杭州高三教学质量检测)已知a >1，b >1，且log 2a ＝log b 4，则ab 的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32答案C解析∵log 2a ＝log b 4，∴12log 2a ＝log b 4，即log 2a ＝2log 24log 2b ，∴log 2a ·log 2b ＝4.∵a >1，b >1，∴log 2a >0，log 2b >0，∴log 2(ab )＝log 2a ＋log 2b ≥2log 2a ·log 2b ＝4，当且仅当log 2a ＝log 2b ＝2，即a ＝b ＝4时取等号，所以ab ≥24＝16，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，故ab 的最小值为16.故选C.考向2常数代换法求最值例2(1)已知0<x <1，则9x ＋161－x 的最小值为()A ．50B ．49C ．25D ．7答案B解析因为0<x <1，所以9x ＋161－x ＝(x ＋1－x )25＋9(1－x )x＋16x 1－x ≥25＋29(1－x )x ·16x 1－x ＝49，当且仅当9(1－x )x＝16x 1－x ，即x ＝37时，等号成立，所以9x ＋161－x 的最小值为49.故选B.(2)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则1a ＋1b 的最小值为()A.223B.233C ．1＋223D ．1＋233答案C解析因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1，＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a≥1＋2a 3b ·2b3a＝1＋223，当且仅当a 3b ＝2b3a ，即a ＝3(2－1)，b ＝3(2－2)2时，等号成立．故选C.【通性通法】常数代换法求最值的基本步骤【巩固迁移】3．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝9，则－1x －4y 的最大值是()A.6＋429B ．－6＋429C ．6＋42D ．－6－42答案B解析因为1x ＋4y ＝19x ＋y )＋y x ＋8x y＋6＋429，当且仅当y x ＝8xy ，即x ＝9(2－1)2，y ＝9(2－2)时，等号成立，所以－1x －4y ≤－6＋429.故选B.4．(2024·湖北荆门三校高三联考)已知实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，则2a ＋b 的最小值是()A ．5B ．9C ．13D ．18答案B解析由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，可得lg (ab )＝lg (a ＋2b )，所以ab ＝a ＋2b ，即2a ＋1b ＝1，且a >0，b >0，则2a ＋b ＝(2a ＋b 5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2ab，即a ＝b ＝3时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为9.故选B.考向3消元法、换元法求最值例3(1)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是()A.14B.45C.255D ．2答案B解析因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以x 2＝1－y 45y 2，又x 2≥0，所以y 2∈(0，1]，所以x 2＋y 2＝y 2＋1－y 45y2＝4y 4＋15y 2＝y 2≥15×24y 2·1y 2＝45，当且仅当4y 2＝1y 2，即y 2＝12，x 2＝310时取等号，所以x 2＋y 2的最小值是45.故选B.(2)(2024·浙江嘉兴第一中学高三期中)若x >0，y >0，且1x ＋1＋1x ＋2y＝1，则2x ＋y 的最小值为()A ．2B ．23C.12＋3D ．4＋23答案C解析设x ＋1＝a ，x ＋2y ＝b ，则x ＝a －1，y ＝b －a ＋12，且a >0，b >0，则1a ＋1b ＝1，2x ＋y＝2(a －1)＋b －a ＋12＝3a ＋b 2－32，而3a ＋b ＝(3a ＋b 4＋3a b ＋ba ≥4＋23a b ·ba＝4＋23，当且仅当3a b ＝ba ，即a ＝3＋33，b ＝3＋1时，等号成立，则2x ＋y ≥4＋232－32＝12＋ 3.故选C.【通性通法】当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．【巩固迁移】5．(2023·江苏南京高三调研)设a ≥0，b ≥0，且2a ＋b ＝1，则ab 的最小值为__________．答案解析因为2a ＋b ＝1，所以a ＝(b －1)24，所以a b ＝(b －1)24b＝b 4＋14b －12≥2b 4·14b－12＝0，当且仅当a ＝0，b ＝1时取等号．6．(2024·湖北襄阳五中高三质量检测)若正数a ，b 满足2a ＋b ＝1，则a 2－2a ＋b2－b的最小值是________．答案223－12解析设u ＝2－2a ，v ＝2－b ，则a ＝2－u 2，b ＝2－v ，则u ＋v ＝3(u >0，v >0)，所以a 2－2a ＋b2－b＝1－12u u＋2－v v ＝1u ＋2v －32＝13(u ＋v 32＋v u ＋－32＋321＋223－32＝223－12，当且仅当v ＝6－32，u ＝32－3时，等号成立，所以a 2－2a ＋b 2－b 的最小值为223－12.考向4“和”“积”互化求最值例4(多选)设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么()A ．a ＋b 有最小值22＋2B ．a ＋b 有最大值22－2C ．ab 有最大值3－22D ．ab 有最小值3＋22答案AD解析∵a >1，b >1，∴ab －1＝a ＋b ≥2ab ，当a ＝b 时取等号，即ab －2ab －1≥0，解得ab ≥2＋1，∴ab ≥(2＋1)2＝3＋22，∴ab 有最小值3＋2 2.又ab ，当a ＝b 时取等号，∴1＝ab －(a ＋b )－(a ＋b )，即(a ＋b )2－4(a ＋b )≥4，则[(a ＋b )－2]2≥8，解得a ＋b －2≥22，即a ＋b ≥22＋2，∴a ＋b 有最小值22＋2.故选AD.【通性通法】“和”“积”互化求最值的方法(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．(2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．【巩固迁移】7．正实数x ，y 满足4x 2＋y 2＋xy ＝1，则xy 的最大值为________，2x ＋y 的最大值为________．答案152105解析∵1－xy ＝4x 2＋y 2≥4xy ，∴5xy ≤1，∴xy ≤15，当且仅当y ＝2x ，即x ＝1010，y ＝105时取等号．∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，∴(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y，即(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴2x ＋y ≤2105，当且仅当2x ＝y ，即x ＝1010，y＝105时取等号．考点二基本不等式的综合应用例5(2024·河南濮阳外国语学校模拟)若对任意正数x ，不等式2x 2＋4≤2a ＋1x恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．[0，＋∞) B.－14，＋∞C.14，＋∞ D.12，＋∞答案B解析依题意得，当x >0时，2a ＋1≥2x x 2＋4＝2x ＋4x恒成立，又x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号，所以2x ＋4x 的最大值为12，所以2a ＋1≥12，解得实数a 的取值范围为－14，＋故选B.【通性通法】1．利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围．2．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是为其他知识提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．【巩固迁移】8．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则△ABC 面积的最大值是()A ．6B ．12C ．18D ．24答案A解析设AB ＝AC ＝2m ，BC ＝2n ，因为∠ADB ＝π－∠CDB ，所以m 2＋9－4m 26m ＝－m 2＋9－4n 26m，整理得m 2＝9－2n 2.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12BC ＝12×2n ×4m 2－n 2＝3n 4－n 2＝3n 2(4－n 2)≤3×n 2＋4－n 22＝6，当且仅当n ＝2时，等号成立．故选A.考点三基本不等式的实际应用例6网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x (万件)与投入实体店体验安装的费用t (万元)之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．答案37.5解析由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．【通性通法】利用基本不等式解决实际应用问题的技巧【巩固迁移】9．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g ，则()A ．m >10B ．m ＝10C ．m <10D ．以上都有可能答案A解析由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a ≠b ，设先称得黄金为xg ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，∴x ＝5a b ，y ＝5b a ，∴x ＋y ＝5a b ＋5ba＝5×2a b ·b a ＝10，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b 时，等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10.因此顾客实际购得的黄金克数m >10.故选A.课时作业一、单项选择题1．当x ＜0时，函数y ＝x ＋4x ()A ．有最大值－4B ．有最小值－4C ．有最大值4D ．有最小值4答案A解析y ＝x ＋4x＝－(－x )－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立．故选A.2．(2023·陕西咸阳高三模拟)已知x >0，y >0，若2x ＋y ＝8xy ，则xy 的最小值是()A.18B.14C.24D.22答案A解析因为2x ＋y ≥22xy ，所以8xy ≥22xy ，解得xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立．故选A.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6答案C解析由椭圆的定义可知，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6.由基本不等式可得|MF 1|·|MF 2|＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，等号成立．故选C.4．(2024·浙江绍兴第一中学高三期中)已知直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆(x －1)2＋(y －2)2＝2024的圆心，则1a ＋1b 的最小值为()A ．3＋22B ．3－22C ．6D ．9答案A解析由圆的方程知，圆心为(1，2)．∵直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆的圆心，∴a ＋2b ＝1(ab >0)，∴1a ＋1b ＝(a ＋2b )＝3＋a b ＋2ba≥3＋2a b ·2b a＝3＋当且仅当a b ＝2ba，即a ＝2b ，∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.故选A.5．(2023·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则第一种方案：两次加油的平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y 2>xy ，第二种方案：两次加油的平均价格为400200x ＋200y ＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，第二种方案都比第一种方案更划算．故选B.6．(2023·浙江杭州调研)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为()A ．4 B.92C.2D ．22答案D 解析由m 2－amn ＋2n 2≥0得m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn＝m n ＋2n m 恒成立，因为m n ＋2nm≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm，即m ＝2n 时取等号，所以a ≤22，故实数a 的最大值为2 2.故选D.7．(2024·浙江名校协作体高三模拟)设x ，y 为正实数，若2x ＋y ＋2xy ＝54，则2x ＋y 的最小值是()A ．4B ．3C ．2D ．1答案D解析因为x ，y 为正实数，且54＝2x ＋y ＋2xy ＝(2x ＋1)(y ＋1)－1，令m ＝2x ＋1，n ＝y ＋1，则mn ＝94，所以2x ＋y ＝m ＋n －2≥2mn －2＝1，当且仅当m ＝n ，即y ＝12，x ＝14时取等号．故选D.8．(2024·湖北襄阳第四中学高三适应性考试)若a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，则2a ＋2b ＋3c 的最小值是()A ．2B ．1C.2D ．22答案A解析因为a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，所以a (a ＋2b )＋3c (a ＋2b )＝(a ＋2b )(a ＋3c )＝1，又a ，b ，c 均为正数，(a ＋2b )(a ＋3c )＝(2a ＋2b ＋3c )24，当且仅当a ＋2b ＝a ＋3c ＝1时取等号，所以(2a＋2b＋3c)24≥1，即2a＋2b＋3c≥2.故选A.二、多项选择题9．下列四个函数中，最小值为2的是()A．y＝sin xxB．y＝ln x＋1ln x(x＞0，x≠1)C．y＝x2＋6 x2＋5D．y＝4x＋4－x 答案AD解析对于A，因为0＜x≤π2，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，故y＝sin x x2，符合题意；对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋1ln x为负值，无最小值，不符合题意；对于C，y＝x2＋6x2＋5＝x2＋5＋1x2＋5，设t＝x2＋5，则t≥5，则y≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋14x≥24x·14x＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意．故选AD.10．(2024·湖北部分名校高三适应性考试)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是()A．ab的最大值为2B．a＋b的最小值为4C．a＋2b的最小值为62－3D.1a(b＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2ab，即(ab)2＋2ab－8≤0，解得0<ab≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；对于B，ab＋a＋b＝8≤(a＋b)24＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍去)，a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝8－aa＋1>0，解得0<a<8，a＋2b＝a＋2·8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D ，因为1a (b ＋1)＋1b ＝181a (b ＋1)＋1b [a (b ＋1)＋b ]＝182＋b a (b ＋1)＋a (b ＋1)b ≥18＋2)＝12，当且仅当b a (b ＋1)＝a (b ＋1)b ，即b ＝4，a ＝45时取等号，故D 正确，故选BCD.11．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D.a ＋b ≤2答案ABD解析对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.三、填空题12．(2023·山东滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________．答案3解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.13．(2024·河北衡水中学高三第三次综合素养评价)已知实数a >b >1，满足a ＋1a －1≥b ＋1b －1，则a ＋4b 的最小值是________．答案9解析由已知条件，得a －b ≥1b －1－1a －1＝(a －1)－(b －1)(b －1)(a －1)＝a －b (b －1)(a －1)，∵a －b >0，∴1≥1(b －1)(a －1)，又a －1>0，b －1>0，∴(b －1)(a －1)≥1，∴a ＋4b ＝(a －1)＋4(b －1)＋5≥2(a －1)·4(b －1)＋5＝9，－1＝4(b －1)，－1)(a －1)＝1，＝3，＝32时，等号成立．14．(2023·湖北荆宜三校高三模拟)已知正数a ，b 满足a ＋3b ＋3a ＋4b ＝18，则a ＋3b 的最大值是________．答案9＋36解析设t ＝a ＋3b ，则3a ＋4b ＝18－t ，所以t (18－t )＝(a ＋3b 15＋9b a ＋4ab≥15＋29b a ·4ab＝27，当且仅当2a ＝3b 时取等号．所以t 2－18t ＋27≤0，解得9－36≤t ≤9＋36，即a ＋3b 的最大值是9＋36，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝3＋6，b ＝2＋263时取等号．15．(2024·浙江名校联盟高三上学期第一次联考)已知正实数x ，y 满足1x ＋4y ＋4＝x ＋y ，则x＋y 的最小值为()A.13－2B ．2C ．2＋13D ．2＋14答案C解析因为正实数x ，y 满足1x ＋4y＋4＝x ＋y ，等式两边同乘以x ＋y ，可得(x ＋y )2＝4(x ＋y )＋5＋y x ＋4xy≥4(x ＋y )＋5＋2y x ·4xy ＝4(x ＋y )＋9，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－9≥0，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥2＋13，当且仅当y ＝2x 时，等号成立．因此x ＋y 的最小值为2＋13.故选C.16．已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点(不包括端点)，若AE →＝xAB →＋yAC →，则2x ＋1y 的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．9答案C解析设BE →＝λBD →(0<λ<1)，∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBD →＝AB →＋λ(AD →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →，∴x ＝1－λ，y ＝λ2(x >0，y >0)，∴2x ＋1y ＝21－λ＋2λ＝－λ)＋λ]＝4＋2λ1－λ＋2(1－λ)λ≥4＋22λ1－λ·2(1－λ)λ＝8，当且仅当2λ1－λ＝2(1－λ)λ，即λ＝12时取等号，故2x ＋1y 的最小值为8.故选C.17．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析由x 2＋y 2－xy ＝1得(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1得x 2＋y 2－1＝xy ，又x 2＋y 2≥2x 2·y2＝2|xy |，所以|x 2＋y 2－1|≤x2＋y 22即－x 2＋y 22≤x 2＋y 2－1≤x 2＋y 22，所以23≤x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时，x 2＋y 2＝2，当x ＝33，y ＝－33或x ＝－33，y ＝33时，x 2＋y 2＝23，所以C 正确，D 错误．故选BC.18．(多选)(2024·湖北襄阳第五中学高三月考)若a >b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．2a ＋2b ≥22B ．2a ＋ab ≥2＋22C ．(a 2＋1)(b 2＋1)<32D ．a 2a ＋2＋b 2b ＋1≥14答案BD解析因为a >b >0，且a ＋b ＝1，所以0b >0，所以等号取不到，故A 错误；对于B ，因为b a >0，a b >0，由基本不等式，得2a ＋a b ＝2a ＋2b a ＋a b ＝2＋2b a ＋a b ≥2＋22b a ·ab＝2＋22，当且仅当2b a ＝a b ，即a ＝2－2，b ＝2－1时，等号成立，所以2a ＋ab≥2＋22，故B 正确；对于C ，因为a ＋b ＝1，所以(a 2＋1)(b 2＋1)＝a 2b 2＋a 2＋b 2＋1＝a 2b 2＋(a ＋b )2－2ab ＋1＝a 2b 2－2ab ＋2＝(ab －1)2＋1，其中ab ≤(a ＋b )24＝14，当且仅当a ＝b 时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，所以0<ab <14，(a 2＋1)(b 2＋1)＝(ab －1)2＋1故C 错误；对于D ，a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝[(a ＋2)－2]2a ＋2＋[(b ＋1)－1]2b ＋1＝(a ＋2)＋4a ＋2－4＋(b ＋1)＋1b ＋1－2＝4a ＋2＋1b ＋1－2，因为a ＋b＝1，所以a ＋2＋b ＋1＝4，故a ＋24＋b ＋14＝1，所以4a ＋2＋1b ＋1＝＝1＋14＋b ＋1a ＋2＋a ＋24(b ＋1)≥54＋2b ＋1a ＋2·a ＋24(b ＋1)＝94，当且仅当b ＋1a ＋2＝a ＋24(b ＋1)，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，所以a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝4a ＋2＋1b ＋1－2≥94－2＝14，故D 正确．故选BD.19．(2024·湖北百校高三联考)已知正数x ，y 满足3x ＋4y ＝4，则y是________．答案1解析因为x ，y 是正数，所以＝y xy ＋3＋y 2xy ＋1＝1x ＋3y ＋12x ＋1y，且x ＋3y ＋2x ＋1y ＝3x ＋4y ＝4，所以y＝14＋3y ＋2x·＝＋2x ＋1y x ＋3y ＋≥14×(2＋2)＝1，当且仅当2x ＋1y x ＋3y ＝x ＋3y 2x ＋1y，即x ＝45，y ＝52，等号成立，所以y 1.20．(2023·广东深圳高三二模)足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的底线宽AB ＝72码，球门宽EF ＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得∠EPF 最大，这时候点P 就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O 处(OA ＝AB ，OA ⊥AB )时，根据场上形势判断，有OA →，OB →两条进攻线路可供选择．若选择线路OA →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置．答案72－165722－165解析若选择线路OA →，设AP ＝t ，其中0<t ≤72，AE ＝32，AF ＝32＋8＝40，则tan ∠APE ＝AEAP＝32t ，tan ∠APF ＝AF AP ＝40t ，所以tan ∠EPF ＝tan(∠APF －∠APE )＝tan ∠APF －tan ∠APE 1＋tan ∠APF tan ∠APE＝40t －32t 1＋1280t 2＝8t 1＋1280t2＝8t ＋1280t ≤82t ·1280t ＝520，当且仅当t ＝1280t ，即t ＝165时，等号成立，此时OP ＝OA －AP ＝72－165，所以若选择线路OA →，则甲带球72－165码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA →，AO →的方向分别为x ，y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B (－36，0)，O (36，72)，F (－4，0)，E (4，0)，k OB ＝7236＋36＝1，直线OB 的方程为y ＝x ＋36，设点P (x ，x ＋36)，其中－36<x ≤36，tan ∠AFP ＝k PF ＝x ＋36x ＋4，tan ∠AEP ＝k PE ＝x ＋36x －4，所以tan ∠EPF ＝tan(∠AEP －∠AFP )＝tan ∠AEP －tan ∠AFP1＋tan ∠AEP tan ∠AFP＝x ＋36x －4－x ＋36x ＋41＋x ＋36x －4·x ＋36x ＋4＝8(x ＋36)x 2－161＋(x ＋36)2x 2－16＝8(x ＋36)＋x 2－16x ＋36，令m ＝x ＋36∈(0，72]，则x ＝m －36，所以x ＋36＋x 2－16x ＋36＝m ＋(m －36)2－16m ＝2m ＋1280m －72≥22m ·1280m72＝3210－72，当且仅当2m ＝1280m，即m ＝810，即x ＝810－36时，等号成立，所以tan ∠EPF ＝82m＋1280m－72≤83210－72＝1410－9，当且仅当x＝810－36时，等号成立，此时|OP|＝2·|36－(810－36)|＝722－165，所以若选择线路OB→，则甲带球722－165码时，到达最佳射门位置．。

不等式讲义

不等式精品讲义一、不等式的基本性质（1）对称性：a >b ⇔b <a ；（2）传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；（3）可加性：a >b ，c ∈R ⇔a +c >b +c ；（4）加法法则：a >b ，c >d ⇒a +c >b +d ；（5）可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；（6）乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；（7）乘方法则：a >b >0⇒a n >b n （n ∈N ∗，且n >1）；（8）开方法则：a >b >0⇒√a n>√b n（n ∈N ∗，且n >1）；（9）倒数法则：110a b a b>>⇒<；（10）有关分数的性质：若 a >b >0，m >0，则①真分数的性质：b b m a a m +<+；b b ma a m −>−； ②假分数的性质：a a mb b m +>+；a a mb b m−<−；（11）**不等式的对称性（了解）设f(x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是一个n 元函数. 若将x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n 中任意的两个变元互相交换位置，得到的f 与原式是恒等的，则称 f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是完全对称的. 如xy +yz +zx ，a b cb c c a a b+++++等. 设f(x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是一个n 元函数. 若作置换 x 1→x 2,x 2→x 3,⋅⋅⋅,x n−1→x n ,x n →x 1，得到的f 与原式是恒等的，则称f(x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是轮换对称的. 如x 3y +y 3z +z 3x ，a b ca b b c c a+++++等. 显然，完全对称的一定是轮换对称的.二、重要不等式1.无理式化为有理式，分式化为整式（12()0()0() ()0()()g x g x g x f x f x g x <≥⎧⎧>⇔⎨⎨≥>⎩⎩或2()0()()0()()g x g x f x f x g x >⎧⎪<⇔≥⎨⎪<⎩()0(0()0 ()0g x f x g x f x >⎧≥⇔=⎨≥⎩或（2）()()()00()f x f xg x g x >⇔⋅> ()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩2.1. 含有绝对值的不等式（1）()()()() ()()f x g x f x g x f x g x ≥⇔≥≤−或；（2）|()|()()()()f x g x g x f x g x ≤⇔−≤≤；（3）对形如|x −a|+|x −b|≤(≥)c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．（4）含有绝对值的不等式的性质|a|−|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|.取等条件：不等式|a|−|b|≤|a +b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab ≥0，左侧“=”成立的条件是ab ≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|−|b|≤|a −b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab ≤0，左侧“=”成立的条件是ab ≥0，且|a|≥|b|.2.2. 一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)的解（设 Δ=b 2−4ac ）对于a <0的情况，先移项将系数变为正然后求解. 2.3．基本不等式（1）设a,b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立．（2）若 a,b >0，则2a b+≥，当且仅当a =b 时，等号成立．（3）若 a,b >0，则2112a b a b+≤≤≤+，当且仅当a =b 时，等号成立．其中，211a b+称为几何平均数，2a b +2.4. 柯西不等式（1）柯西不等式简单形式：,,,a b x y R ∈，()()22222()ab x y ax by ++≥+，()()22222()ax by a b x y −≥−−证：()()()2222222222222222222222()22()0ab x y ax by a x b y a y b x a x axby b ya yb x axby ay bx ++−+=+++−++=+−=−≥()()()()2222222222222222222222()22()0ax by a b x y a x axby b y a x a y b x b y a y b x axby ay bx −−−−=−+−−−+=+−=−≥ 得证. 当ay bx =时取等号.（2）柯西不等式向量形式：|α⃗⋅β⃗|≤|α⃗|⋅|β⃗|如图，设在平面直角坐标系xOy 中有向量α⃗=(a,b),β⃗=(c,d)，α⃗与β⃗之间的夹角为θ，0≤θ≤π. 根据向量数量积的定义，有α⃗⋅β⃗=|α⃗|⋅|β⃗|cosθ，因为|cosθ|≤1，所以|α⃗⋅β⃗|≤|α⃗|⋅|β⃗|. 当且仅当β⃗是零向量，或者α⃗//β⃗时取等. （3）二维形式的三角不等式：√x 12+y 12+√x 22+y 22≥√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2当且仅当P 1,P 2与原点O 在同一直线上，并且点P 1,P 2在原点O 两旁时，式中的等号成立.三、例题展示 3.1 比较法【例1】设a 、b 是非负实数，求证：)3322.a b a b +≥+【证明】3322)a b a b a b ++=+55]=−当a b ≥≥，从而55≥，得55]0−≥；当a b <<，从而55<，得55]0−<；所以)3322.a b a b +≥+【例2】已知,a b R +∈，证明：a bb aa b a b ≥.【证明】,a b R +∈，0b aa b ∴>，a ba b a b b a a b a b a a a b b b −−−⎛⎫== ⎪⎝⎭∴当a b ≥时，1a b ≥，0a b −≥，于是1a ba b −⎛⎫⎪⎝⎭≥；当a b <时，1a bb aa b b a −−⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎝⎭=>⎭.所以a bb aa b a b ≥.【例3】设1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则( )A ．abaa ab <=>，b aa a ∴<|,01,0,1aaa a a a a a ab b b b ⎛⎫⎛⎫=<<>∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a a b a a a b a a b ∴<∴<<，. 故答案为：C3.2 分析法1. 凑项【例4】设a >1，则2213M a a =+−的最小值是 ▲ ．【答案】5【解析】22133335M a a −+=−+≥= 当且仅当22133a a −=− ，即2a =时取等号. 【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型. 【练习】设x,y 为正实数，且43112x y+=++，则xy 的最小值为 ▲ ．【答案】27 【解析】因为43112x y +=++，所以3(3)1y x y +=−，,0x y >，1y ∴>因此3(3)43(1)5352711y y xy y y y ⎡⎤⎡⎤+==+−+≥=⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦当且仅当y −1=2,y =3时取等号，即xy 的最小值为27. 未知定值（没有形如“a +b =1”这样的定值式）【例5】设x,y 为正实数，则433x yM x y x=++的最小值为【答案】3【解析一】配凑434311333x y x x y x y x x y x ++=+−≥=++，当且仅当433x x yx y x+=+时，即x =3y 取等号.【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法，其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件，对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题，要灵活依据条件或待求式合理构造定值式．【解析二】比值换元令y =kx ，k >0则443(31)1131313M k k k k =+=++−≥=++. 当且仅当41313k k =++时，即13k =时取等号. 【点评】由于分子，分母皆为x,y 的一次方式子，通过减量换元的方法可将两个未知量x,y 减少为一个未知量k ，再通过一元函数求值域的方法或者基本不等式求出最值. 【例6】已知,0x y >，2811x y+=，则x y +的最小值为. 22818122x x k k x y k y k k k xy x y ⎛⎫+++−=++++−≥= ⎪⎝⎭取等条件：22822424811x x k x x k y y y k xy ⎧==⎪⎪=⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪+=⎪⎩所求最小值为6k =28186x x y x y y xy x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭取等条件：482x x y y x y =⎧==⇒⎨=⎩2. 凑系数【例7】当0<x <4时， y =x(8−2x)的最大值为 ▲ ．【答案】8【分析】由0<x <4知8−2x >0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x +(8−2x)=8为定值，故只需将y =x(8−2x)凑上一个系数即可．【解析】[]211282(82)2(82)8222x x y x x x x −−⎛⎫=−=⋅−≤= ⎪⎝⎭，当2x =8−2x ，即x =2时取等号，∴当x =2时，y =x(8−2x)的最大值为8．【评注】本题也可通过二次函数求最值的方法求解，当无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．【练习】已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =2，则3122M x y x y=++−的最小值是 ▲ ．【分析】将x y +凑出λ(x +3y)+μ(x −y)的形式（本质是换元法），即可使用均值不等式或者柯西不等式求出最小值：[]231(2)(2)2x y x y x y x y λμ⎛⎫+++−≥ ⎪+−⎝⎭【解析】31(2)(2)(2)(2),55x y x y x y x y λμλμλμλμ++−=++−=+⇒== 即31(2)(2)55x y x y x y +=++−， 313113119138(2)(2)2222225525555M x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤⎛⎫∴=+=+⋅++−≥++⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+−+−⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 取等条件：3222212x x y x y x y y ⎧=⎪−=+⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩ 或者直接换元：令x +2y =m ，2x −y =n ，可得1221,5555x m n y m n =+=−，即 122132155551010m nx y m n m n +=++−=⇒+=313139133811010101010105m n m n M m n m n n m ⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 3. 凑完全平方式凑完全平方式用于条件与问题皆为一次、二次式的情况. 【例8】已知4x 2+y 2+xy =5，求M =2x +y 的最大值. 解：取参数k ∈R ，M 2=(2x +y )2+k (4x 2+y 2+xy −5) =(4+4k)x 2+(4+k)xy +(1+k)y 2−5k当(4+4k)x 2+(4+k)xy +(1+k)y 2为完全平方式时， (4+k 2)2=(4+4k )(1+k )时，即k =−85时，有M 2=−35(2x −y)2+8≤8.于是{2x −y =04x 2+y 2+xy =5，{x =√22y =√2时，2x +y 有最大值2√2.【例9】若22425x xy y −+=，则223M x y =+的取值范围是 . 取参数k R ∈，有()()()222222342534125M x y k x xy y k x kxy k y k =++−+−=+−++−当()()22341k x kxy k y +−++为完全平方式时，有最值.于是令()()226341,235k k k x ⎛⎫++=⇒=−− ⎪⎝⎭当23x =−时，()22212125125253333333M x xy y x y =+++=++≥ 取等条件：0x y +=.即6666x x y y ⎧⎧==−⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=−=⎪⎪⎩⎩或当65x =−时，()222961130330305555M x xy y x y =−+−+=−−+≤取等条件：30x y −=，即x y ==于是所求的取值范围是25303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【评析】将问题中223x y +变为()212533x y ++的形式，可得最小值；变为()213305x y −−+的形式可得最大值. 变形过程需要利用已知条件凑成完全平方，于是设出参数，列方程求解即可. 4. 分离对于2ax bx cx d +++形式的分式函数，将分子降次，化为1m m+的形式运用不等式.【例10】求2710(1)1x x y x x ++=>−+的值域．【分析】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有x +1的项，再将其分离．【解析】22710(1)5(1)44(1)5111x x x x y x x x x ++++++===++++++，当x >−1，即x +1>0时，59y ≥=（当且仅当x =1时取“＝”号）．【练习】已知a ，b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是 . 【答案】2(√2−1)【解析】2()(2)(2)()2()222222a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b+−++−++++=+=+−≥++++++.【例11】已知,,0a b R ab ∈>，求4441a b M ab++=的最小值.【解析】442241141144a b a b M ab ab ab ab ab++++=≥==+≥.取等条件：44142144a a b ab b ab ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩【例12】已知0,0x y >>，且25x y +=的最小值为【解析】===≥取等条件：62531x yxy+=⎧=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩=⎨⎩【练习】变形：已知0,0x y>>的最小值为.【解析】拆开运用基本不等式：≥=≥或用柯西不等式：)2(1)(21)1x y++≥，21+≥=≥取等条件：12112x y xy=⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎩=.3.3 代换对于一些结构比较复杂，变元较多而变化关系不太清楚的不等式，可适当引进一些新的变量或等式进行代换，以简化其结构.主要目的：非标准问题标准化；复杂问题简单化；降次；化分式为整式；化无理式为有理式；化超越式为代数式.1. 消元【例13】已知实数,0x y>，且811x y+=，求2x y+的取值范围.【解析】由已知条件得8xyx=−，08y x>⇒>，22(8)161628101018888x xx y x x xx x x−++=+=+=−++≥=−−−，取等条件168128x x x −=⇒=−，38xy x ==−. 2. 整体代换（“1”的代换）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．【例14】已知x >0,y >0，且1x +9y =1，求x +y 的最小值．【错解】 x >0,y >0，且1x +9y =1， x +y =(1x +9y )(x +y)≥2√9xy 2√xy =12，故(x +y)min =12．【错因】解法中两次连用基本不等式，在x +y ≥2√xy 等号成立条件是x =y ，在1x +9y ≥2√9xy 等号成立条件是1x =9y ，即y =9x ，取等号的条件的不一致，产生错误．因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法．【正解】x >0,y >0,1x +9y =1∴x +y =(x +y)(1x +9y )=yx +9x y+10≥6+10=16 ，当且仅当y x =9x y时，上式等号成立，又1x +9y =1，可得x =4,y =12时，(x +y)min =16．【练习】已知正实数x,y 满足111x y +=，则3411x yx y +−−的最小值为________．【答案】7+4√3【解析】正实数x ，y 满足1x +1y =1，则：x +y =xy ，则：3473443111x y xy x yx y x y xy x y −−+==+−−−−+，1143(43)4377x y x y x y y x ⎛⎫∴++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭故3411x yx y +−−的最小值为7+4√3．【例15】已知a ，b 为正实数，2b +ab +a ＝30，求y =1ab 的最小值．【分析】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行．【解法一】由已知得a =30−2b b+1,ab =30−2b b+1⋅b =−2b 2+30b b+1．∵a ＞0，∴0＜b ＜15．∴令t ＝b +1，则1<t <16， ∴ab =−2t 2+34t−31t=−2(t +16t)+34．∵t +16t≥2√t ⋅16t=8，∴ab ≤18,∴y ≥118，当且仅当t ＝4，即a ＝6，b ＝3时，等号成立．【解法二】由已知得：30−ab =a +2b ．∵a +2b ≥2√2ab ，∴30−ab ≥2√2ab ．令u =√ab ，则u 2+2√2u −30≤0，−5√2≤u ≤3√2，∴√ab ≤3√2，ab ≤18，∴y ≥118．【点评】①本题考查不等式a+b 2≥√ab(a >0,b >0)的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式ab =a +2b +30 (a >0,b >0)出发求得ab 的范围，关键是寻找到a +b 与ab 之间的关系，由此想到不等式0,0)2a ba b +≥>>，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围．【例16】已知,0x y >且2312x y +=，求xy 的最大值.【解析】将24(06)3y x x =−<<代入得， 2224433x x x y x x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭=即可将二元变量问题转化为一元函数求值域问题，()()224,0,63f x x x x =−+∈ ()()36f x f ≤=即3,2x y ==时，xy 有最大值6. 部分使用“1的代换”若形如“已知1ma nb +=，求1(,,,,0am n a b k a kb+都是大于）的最小值”，只需部分使用“1的代换”，即1a ma nb a a kb a kb++=+ 【例17】设正实数b a , 满足ba ab a 81,2+=+则的最小值为．【答案】1 【解析】0,0a b >>，111111828228222a ab a b a a b a b a b +∴+=+=++≥+=+=．当且仅当28b a a b =即42,33a b ==时取得等号．【例18】设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值. 【答案】2−【解析】因为2a b +=，所以12a b+=所以1||||||||12||4||4||4||4|||4||a ab a a b a a a aa b a b a a b a b a ++=+=++≥+=+ 当且仅当||4||b a a b+，即2||b a =时取等号，当0a >时，1||15112||4||44a a a b a +≥+=+=；当0a <时，1||13112||4||44a a ab a +≥+=−+=；所以1||2||a a b +的最小值为34，此时2b a =− 又2a b +=，所以(2)2a a +−=，即2a =− 【例19】已知且，则的最小值是 . 【答案】32 【解析】222222222141414(2)(44)a b a ab b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222241684b a b a a b ab ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭44b a a b +≥=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取等号； 2222168b a a b +≥=，当且仅当222216b a a b+，即2b a =时取等号；所以2214844832a b +≥+⨯+=，当且仅当2b a =时取等号；所以2214a b +的最小值为32 【点评】在使用“1的代换”时，注意保持两和式是同次的.；在使用两次基本不等式时，注意两次等号成立,a b R +∈21a b +=2214a b+的条件是否一致.3. 判别式法（万能K 法）判别式法（万能K 法）并不万能，很容易出错，因此求出最值后，必须验证取等条件！！如果二次项系数不为0，此方程为关于x 的一元二次方程。

不等式及其性质讲义

学生：科目：数学第 1 阶段第次课教师：董英明知识框架考点一考点一：认识不等式1、像135＞120、X ＜30、5X ＞120这样用符号表示，不等关系的式子，叫做不等式，不等号有：＜、＞、≠、≤、≥类比概括：典型例题例1、判断下列各式中哪些是不等式：⑴ x ＋1＝2 ⑵ 5m －3＞1 ⑶ x －6⑷ 11a －4≤ 6 ⑸ 7＞ 4 ⑹2x －y ≥0课题不等式及其性质教学目标1、能用不等式表示一些不等式2、能运用不等式的基本性质对不等式进行简单变形重点、难点重难点：1、不等式的意义 2、能运用不等式的基本性质解不等式 3、能利用不等式解有关实际问题考点及考试要求 1、认识不等式2、不等式的基本性质教学内容等式不等式概念用等号连接表示相等关系的式子 “=” 用不等号连接表示不等关系的式子 “>”“<”“≥ ” “≤ ” “≠” 解使方程成立的未知数的值叫做方程的解使不等式成立的未知数的值叫做不等式的一个解性质不等式概念解及其数轴表示基本性质1 基本性质2基本性质3例2、（2008广州）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图所示，则他们的体重大小关系是（）例3、（2010.潍坊模拟）某年四月份某地区的最高气温是8°C ，最低气温是2°C ，那么这天气温t （°C ）是取值范围是例4、用不等式表示（1）a 的一半与3的和大于5 （2）x 的3倍与1的差不小于2注：用不等式表示不等关系的方法：（1）找准题中不等关系的两个量（2）正确理解题目中的关键细雨，如多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过等确切的含义；选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。

课堂练习1．下列数学式子中，不等式的个数是（）①—3＜0；②3=x ；③u ≤50；④x ≠－6；⑤a ＞9；⑥y ≥2；⑦12+x ．A ．3B ．4C ．5D ．62．用适当的不等号填空：① －2 －3； ② 5+（－2） 7+（－2）；③︱a ︱ 0； ④2a 0． ⑤2- 3-．3．如图1，数轴所表示的不等式，正确的是（）A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ≥2D ．x ≤24．下列数学式子中，不是不等式是（）A.a ＞0B.0＞1C.523=-xD.62-x ≤75．x 的2倍与3的差不小于1，用不等式表示为（）A.32-x ≥1B. 32-x ≤1C. 32-x ＜1D. 32-x ＞16．当2-=a 时，下列不等式成立的是（） A.a 3＞a 2 B.a -5＞a -7 C.3a ＞4a D.a ＜5+a 7．如图2，是小型客车的限速标志，设小型客车的速度为v （单位：km /h ），请用含v 的不等式表示这个限速的意义．2图18．要使代数式11-x 有意义，则x 应满足的条件是． 9．在数轴上表示下列不等式．①x ≥—1；②x ＜111．在数轴上表示不等式1-≤x ＜1和x 的下列值：21-=x ，12-=x ，03=x ，=4x 1．并利用数轴说明x 的这些取值中，哪些满足不等式1-≤x ＜1，哪些不满足．12．实数x ，y 在数轴上的位置如图所示：则下列不等式中正确的是（）A ．y x -＞0B ．y x +＜0C ．yx ＜0 D ．xy ＞0 13．我们知道同号两数之积大于0,异号两数之积小于0,现有一个不等式)1)(3(--x x ＜0，你能根据所学的知识，找出2个满足不等式的x 的值吗？请你试一试．14.实数a,b 在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空：(1) a b (2) |a| |b| (3) a+b 0 (4) a-b 0 (5) ab 015.小明的铅笔用完了,妈妈给了小明5元钱,商店里的铅笔是0.6元/支,你能猜猜小明最多能买几支吗? 考点二考点二：不等式的基本性质性质1：若a<b ，b<c ，则a<c ，这个性质也叫做不等式的传递性。

高中数学复习讲义第六章不等式

高中数学复习讲义第六章不等式【知识图解】【方法点拨】不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.1.掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。

2.一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化。

3.线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。

同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。

第1课基本不等式【考点导读】1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。

2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。

【基础练习】1.“a >b >0”是“ab <222a b +”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件)2.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为12-3.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为161 4.已知lg lg 1x y +=，则52x y+的最小值是2 【范例导析】例1.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 分析：由于450x -<，所以首先要调整符号. 解：∵54x <∴540x -> ∴y=4x-2+145x -=154354x x ⎛⎫--++ ⎪-⎝⎭≤-2+3=1 当且仅当15454x x-=-，即x=1时，上式成立，故当x=1时，max 1y =. 例2.（1）已知a ，b 为正常数，x 、y 为正实数，且1a b+=x y，求x+y 的最小值。

必修五基本不等式讲义

3.4 基本不等式ab ba ≥+2一、基本不等式：2ba ab +≤1、重要不等式：a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R) 当且仅当“a ＝b ”时“＝”成立。

注意：（1）不等式成立的条件是“a ＝b ”，如果a 、b 不相等，则“＝”不成立；（2）不等式的变形：①a b ≤222b a + ②a b ≤2)2(b a + ③222b a + ≥2)2(b a +≥ab ④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22、基本不等式：2b a +≥ab (a 、b ∈R ＋) 当且仅当“a ＝b ”时“＝”成立。

注意：（1）内容：a ＞0， b ＞0，当且仅当“a ＝b ”时“＝”成立；（2）其中2ba +叫做正数a 、b 的算术平均数，ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

例1：求证对于任意实数a ，b ，c ，有a 2＋b 2＋c 2≥a b ＋bc ＋c a ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立。

【证明】：∵ a 2＋b 2≥2ab c 2＋b 2≥2bc a 2＋c 2≥2ac∴ 2(a 2＋b 2＋c 2) ≥2ab ＋2bc ＋2ac ，∴ a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立。

变式练习1：若0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2a b ，a 2＋b 2中最大的一个是（） A ：a 2＋b2B ：2abC ：2a bD ：a ＋b变式练习2：下列不等式：（1）x ＋x 1≥2；（2）｜x ＋x1｜≥2；（3）若0＜a ＜1＜b ，则log a b ＋log b a ≤－2；（4）若0＜a ＜1＜b ，log a b ＋log b a ≥2。

其中正确的是_______________。

均值不等式推广：ba 112+ ≤ab ≤ 2ba + ≤ 222b a + 调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数当仅且当“a ＝b ”时“＝”成立。

第三节基本不等式复习讲义

第三节基本不等式(对应学生用书第50页)一、基本不等式基本不等式2a b +(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b 时取等号.(3)其中2a b+称为正数a,b 的算术平均数,a,b 的几何平均数.1.概念理解(1)基本不等式成立的条件是a,b 都是正数,在解题时,如果a,b 为负数,可提取负号,创造变量为正数的条件,再利用基本不等式解题. (2)在运用基本不等式解题时,注意一定要验证它们成立的条件是否满足.2.与之相关联的结论几个常用的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R).(2)ab ≤(2a b +)2(a,b ∈R). (3)(2a b +)2≤222a b +(a,b ∈R).(4)b a +ab≥2(ab>0).(5)211a b+2a b+≤(6)a+1a ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+1a≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号.二、利用基本不等式求最值问题1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b 为正实数,且a+b=M,M 为定值,则ab ≤24M ,等号当且仅当a=b 时成立.(简记:和定积最大)2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b 为正实数,且ab=P,P 为定值,则a+b ≥等号当且仅当a=b 时成立.(简记:积定和最小)1.理解辨析利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:一正、二定、三相等.(1)“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”即检验等号成立的条件,判断等号能否取到,只有等号能成立,才能利用基本不等式求最值. 2.与基本不等式相关联的结论用f(x)+()b f x ≥或f(x)+()b f x ≤求最值时,若使等号成立的条件不存在,常借助函数y=x+b x (b>0)的图象和单调性求式子的最值.1.已知a,b ∈R,a,b ≠0,则“a>0,b>0”是“2a b +≥( C )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a>0,b>0时,显然2a b +.当2a b +,有两个结论出现:0,0,a b ab ⎧+≥⎪⎨≥⎪⎩ 所以a>0,b>0. 故选C.2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( C ) (A)72 (B)4 (C)92(D)5 解析:依题意,得1a +4b =12(1a +4b )·(a+b)= 12[5+(b a+4a b )]≥1292,当且仅当2,4,0,0,a b b aa b a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪>>⎩即a=23,b=43时取等号,即1a +4b 的最小值是92.故选C. 3.若实数x,y 满足xy=1,则x 2+2y 2的最小值为 . 解析:因为x 2+2y 2≥当且仅当x 2=2y 2时取“=”, 所以x 2+2y 2的最小值为答案4.已知a,b 为正数且a+b=1,则(1+1a )(1+1b)的最小值为 . 解析:因为a+b=1,所以原式=(1+a b a +)(1+a b b +) =(2+b a )(2+a b ) =5+2(b a +a b)≥9, 当且仅当a=b=12时取等号, 所以最小值为9. 答案:9(对应学生用书第50～52页)考点一利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2018·浙江六校联考)已知x>0,y>0,且x+y+1x+1y =5,则x+y 的最大值是( )(A)3 (B)72 (C)4 (D)92(2)(2018·嘉兴高三测试)已知a>0,b>0,且满足3a+b=a 2+ab,则2a+b 的最小值为 ;(3)已知正实数a,b 满足1a +2b=3,则(a+1)(b+2)的最小值是 ;(4)已知实数x,y>0,且xy=2,则3322848x y x y +++的最小值是 .解析:(1)由x+y+1x+1y =5, 得5=x+y+x yxy +,因为x>0,y>0, 所以5≥x+y+2()2x yx y ++=x+y+4x y+, 所以(x+y)2-5(x+y)+4≤0, 解得1≤x+y ≤4,所以x+y 的最大值是4.故选C. (2)由a>0,b>0,3a+b=a 2+ab,可得b=231a aa-->0, 解得1<a<3. 故2a+b=2a+231a aa --=a-1+21a -+3 ≥当且仅当a-1=21a -, 即时取等号.故2a+b 的最小值为(3)因为a>0,b>0, 所以3 =1a+2b≥ab ≥89.当且仅当12,123,a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2,343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立, 所以ab 的最小值是89,又1a +2b=2b aab +=3, 所以2a+b=3ab,所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×89+2=509. (4)因为x,y>0,且xy=2,所以3322848x y x y +++=2222(2)(24)44x y x xy y x y xy +-+++=22(2)[(2)6](2)x y x y xy x y ++-+ =2(2)2x y x y++=(x+2y)-122x y+, 令x+2y=t,则t=x+2y ≥f(t)=t-12t在[4,+∞)上单调递增, 所以当t=4时有最小值4-124=1,当且仅当x=2,y=1时,取等号. 答案:(1)C(3)509(4)1 (1)利用基本不等式解决最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解;②条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过变形使之能运用基本不等式,常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因数法、分离常数法、换元法、整体代换法等.1.(2018·杭州二中月考)若正数a,b 满足1a +1b=1,则11a -+91b -的最小值为( B )(A)1 (B)6 (C)9 (D)16解析:因为正数a,b 满足1a +1b=1, 所以b=1a a ->0,解得a>1,同理b>1, 所以11a -+91b -=11a -+911aa --=11a -+9(a-1)≥=6,当且仅当11a -=9(a-1), 即a=43时等号成立, 所以11a -+91b -的最小值为6.故选B. 2.已知log 2(x+y)=log 2x+log 2 y,则1x+1y = ,x+2y 的最小值为 .解析:由log 2(x+y)=log 2 x+log 2 y 得, x+y=xy 且x>0,y>0,所以1x+1y =1. x+2y=(x+2y)(1x + 1y ) =3+x y +2y x≥当且仅当x y =2yx,即. 答案:1考点二利用基本不等式证明不等式【例2】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证:1a +1b+1c≥9. 证明:因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, 所以1a+1b +1c =a b c a +++a b c b +++a b c c ++=3+b a +c a +a b +c b +a c +b c =3+(b a +a b )+(c a +a c)+(c b +b c)≥3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c=13时,取等号.利用基本不等式证明不等式的策略(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;(2)若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换; (3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立.1.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1a +1b +1ab ≥8. 证明:1a +1b +1ab =2(1a +1b), 因为a+b=1,a>0,b>0.所以1a +1b =a b a ++a b b +=2+a b +ba≥2+2=4. 所以1a +1b +1ab ≥8(当且仅当a=b=12时等号成立).2.已知a>0,b>0,a+b=1,证明 2.证明:因为a>0,b>0,且a+b=1,≤1122a +++1122b ++=32a b ++=42=2.当且仅当a+12=1,b+12=1, 即a=b=12时等号成立. 考点三基本不等式的综合应用【例3】运货卡车以每小时x(50≤x ≤100)千米的速度匀速行驶130千米,假设汽油的价格是每升2元,而卡车每小时耗油(2+2360x )升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 解:(1)设所用时间为t=130x (小时), y=130x×2×(2+2360x )+14×130x,x ∈[50,100]. 所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y=2340x +1318x,x ∈[50,100]. (2)y=2340x +1318x=13018x ⨯+2130360⨯x ≥,当且仅当13018x ⨯=2130360⨯x,即时,等号成立.故当千米/时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为元.有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值;(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围;(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.1.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).(1)写出楼房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平)均购地费用=购地总费用建筑总面积解:(1) 依题意得y=(560+48x)+2160100002000x=560+48x+10800(x≥10,x∈N*).x(2)因为x>0,所以48x+10800x≥当且仅当48x=10800x,即x=15时取到“=”, 此时,楼房每平方米的平均综合费用的最小值为560+1 440=2 000(元).故当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2 000元.2.为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在某年年初举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t ≥0)万元满足x=4-21k t +(k 为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知这一年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).(1)将该厂家这一年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数;(2)该厂家这一年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?解:(1)由题意有1=4-1k ,得k=3,故x=4-321t +. 故y=1.5×612x x +·x-(6+12x)-t=3+6x-t =3+6(4-321t +)-t =27-1821t +-t(t ≥0). (2)由(1)知,y=27-1821t +-t=27.5-[912t ++(t+12)].912t ++(t+12)≥2故y=27-1821t +-t=27.5-[912t ++(t+12)]≤27.5-6=21.5. 当且仅当912t +=t+12,即t=2.5时,等号成立,y 有最大值21.5. 所以,该厂家这一年的年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大,最大利润为21.5万元. 考点四易错辨析【例4】已知x<54,求函数y=4x-2+145x -的最大值. 解:因为x<54,所以5-4x>0. y=4x-2+145x - =-(5-4x+154x -)+3≤当且仅当5-4x=154x -,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,y max =1.运用基本不等式求最值,当条件不满足和或积为定值时,可以通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的代数式化为ax+b x (ab>0)等形式,本题就是一个典型例子,盲目使用条件是本题的易错点.1.(2017·天津卷)若a,b ∈R,ab>0,则4441a b ab ++的最小值为 .解析:因为a,b ∈R,ab>0,所以4441a b ab ++≥2241a b ab +=4ab+1ab≥=4,当且仅当222,14,a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩即22a b ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩时取得等号. 故4441a b ab ++的最小值为4.答案:4 2.设常数a>0,若9x+2a x≥a+1对一切正实数x 成立,求a 的取值范围.解:常数a>0,若9x+2a x ≥a+1对一切正实数x 成立,故(9x+2a x )min ≥a+1, 又9x+2a x≥6a,当且仅当9x=2a x,即x=3a 时,等号成立. 故6a ≥a+1,解得a ≥15. 即a 的取值范围为[15,+∞).(对应学生用书第53页)类型一利用基本不等式比较大小1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是( B )2a b+2a b +<b2a b +2a b +<b解析:因0<a<b,所以a 2<ab0,y>0,且x+2y=xy,若x+2y-m 2-2m>0恒成立,则实数m 的取值范围是( B )(A)[-4,2) (B)(-4,2) (C)(-3,3) (D)[-3,3]解析:由x>0,y>0,x+2y=xy 变形得,2x+ 1y =1,所以x+2y=(x+2y)(2x +1y )=4y x +x y +4≥4+4=8,当且仅当4y x =x y ,即x=2y 时等号成立,又2x+1y =1,得x=4,y=2,即当x=4,y=2时,x+2y 取得最小值,且最小值为8.由x+2y-m 2-2m>0恒成立,得(x+2y)min >m 2+2m,从而8>m 2+2m,解得-4<m<2.所以实数m 的取值范围是(-4,2).故选B.3.(2018·杭州质检)已知正数x,y 满足x 2+2xy-3=0,则2x+y 的最小值是 . 解析:由题意得y=232x x-,所以2x+y=2x+232x x -=2332x x +=32(x+1x)≥3, 当且仅当x=y=1时,等号成立. 答案:34.函数f(x)=lg 2x x -,若f(a)+f(b)=0,则3a +1b的最小值为 .解析:依题意得0<a<2,0<b<2,且lg (2a a -·2b b-)=0, 即ab=(2-a)(2-b),2a b +=1, 3a+1b =2a b +(3a +1b )=12(4+3b a +a b )≥12,当且仅当3ba =ab ,即-1时取等号,因此3a +1b 的最小值是答案5.若a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3ma b+恒成立,则m 的最大值为 .解析:因为a>0,b>0,不等式3a +1b ≥3m a b +恒成立, 所以m ≤[(a+3b)( 3a +1b )]min .因为(a+3b)(3a +1b)=6+9b a +a b ≥=12,当且仅当a=3b 时取等号, 所以m 的最大值为12. 答案:12类型三基本不等式的综合应用6.(2018·天津卷)已知a,b ∈R,且a-3b+6=0,则2a +18b的最小值为 .解析:因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6, 所以2a +18b=2a +2-3b ≥×2-3=14, 当且仅当3,360a b a b =-⎧⎨-+=⎩时等号成立,即3,1a b =-⎧⎨=⎩时取到等号. 答案:147.规定一种运算:a ⊗为正实数).若1⊗k=3,则k 的值为 ,此时函数的最小值为 .解析:1⊗+1+k=3,即-2=0,=1=-2(舍去),所以k=1,≥1+2=3,当且仅当x=1时取“=”. 答案:1 38.已知a>0,b>0,设M=max(a,b a +9ab),则M 的最小值为 . 解析:在同一坐标系中作出函数y=a,y=9b ba+的图象(图略),可得M=09,,,b b a a a a ⎧+⎪⎪⎨⎪>⎪⎩0<a ≤a 0, 其中a 0是函数y=a,y=9b ba +图象的交点横坐标,即20a =b+9b ≥6(当且仅当b=3时,取得“=”),所以M 的最小值为a 0,而a 0所以M答案。

高三总复习讲义不等式

高三数学总复习讲义——不等式的性质知识清单：1．不等式的性质： ⑴(对称性或反身性)a b b a >⇔<; ⑵(传递性)a b b c a c >>⇒>，;⑶(可加性)a b a c b c >+>+⇒,此法则又称为移项法则; (同向可相加)a b c d a c b d ⇒>>+>+， ⑷(可乘性)0a b c ac bc ⇒>>>，；0a b c ac bc ⇒><<，.(正数同向可相乘)00a b c d ac bd ⇒>>>>>，⑸(乘方法则)00n n a b n N a b >>∈⇔>>（）⑹(开方法则)0,20nna b n N n a b >>∈⇔>>（≥）⑺(倒数法则)110a b ab a b⇒>><，注意：条件与结论间的对应关系，是“⇒”符号还是“⇔”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。

运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却是我们今后研究和认识不等式的基本手段. 2．定理1：如果a ,b ∈{x |x 是正实数}，那么2b a +≥ab （当且仅当a =b 时取“=”号）.注：该不等式可推出:当a 、b 为正数时,2221122a b a b ab a b+++≥≥≥（当且仅当a = b 时取“=”号）即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数 2.含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： ⑴3322a b a b ab ++≥⑵由3332223()()a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++--- 可推出3333a b c abc ++≥(0a b c ++>等式即可成立,0a b c a b c ==++=或时取等); ⑶如果a ,b ,c ∈{x |x 是正实数}，那么33a b c abc++≥.（当且仅当a =b =c 时取“=”号） 3.绝对值不等式：123123(0)a b a b a b ab a a a a a a --+++++⑴≤≤≥时,取等号⑵≤注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大), 特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等. 课前预习1．（06上海文，14）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（）（A ）11a b<（B ）a b -< （C ）22a b < （D ）||||a b >2．（06江苏，8）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa aa 1122+≥+（C ）21||≥-+-ba b a （D ）aa a a -+≤+-+2133．（2003京春文，1）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是A .a +c >b +dB .a －c >b －dC .ac >bdD.cb d a >4．（1999上海理，15）若a 和||1||1b a >均不能成立B .bba 11>-和||1||1b a >均不能成立C .不等式aba 11>-和（a +b 1）2>（b +a1）2均不能成立D.不等式||1||1b a >和（a +a1）2>（b +b1）2均不能成立5．（06浙江理，7）“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的（）(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件 6．（1）（2001京春）若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（）A .18B .6C .23D.2437．（2000全国，7）若a ＞b ＞1，P ＝b a lg lg ⋅，Q ＝21（lg a ＋lg b ），R ＝lg （2b a +），则（）A .R ＜P ＜QB .P ＜Q ＜RC .Q ＜P ＜R D.P ＜R ＜Q高三数学总复习讲义——不等式证明知识清单：一、常用的证明不等式的方法 1．比较法比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。

新高考数学基本不等式复习讲义

基本不等式复习讲义类型一：利用基础性质求解最值例1 函数y ＝x ＋1x(x >0)的最小值为________．【变式1】函数y ＝x ＋1x (x < 0)的最小值为________.【变式2】若x <54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最大值为________．【变式3】若0,0x y ≥≥，且26xy x y +-=，则x y +的最小值为_________．练习1．已知0x >，则下列说法正确的是（） A ．12x x+-有最大值0 B ．12x x+-有最小值为0 C ．12x x+-有最大值为－4 D ．12x x+-有最小值为－4 练习2．已知x >3，则对于43y x x =+-，下列说法正确的是（） A ．y 有最大值7B ．y 有最小值7C ．y 有最小值4D ．y 有最大值4练习3.（多选题）下列说法正确的是（） A ．()10x x x+>的最小值是2B 2C 2的最小值是2D ．423x x--的最小值是2-类型二：常数代换法求最值例2.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．【变式1】母题的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．【变式2】母题的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b 的最小值为________．【变式3】若母题条件变为“已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3”，则2a ＋1b 的最小值为________．例3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为________.【变式4】若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是________．【变式5】已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为__________.练习1若0m >，0n >，且2m n +=，则12m n+的最小值为（）．A ．3+BC ．3D ．52练习2已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3B.5C.7D.9练习3正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( )A.13B.1C.2D.59练习4．（多选题）若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列说法错误的是（）A ．ab 有最小值14B ．C ．11a b+有最小值4 D ．22a b +练习5．（多选题）已知正数a ，b 满足21a b +=，则（）A ．ab 的最大值为18B ．224a b +的最小值为12C ．12a b+的最小值为8D ．1a a+的最小值为2类型三：“和”与“积”的互换例4.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________.【变式1】已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________.【变式2】已知实数y x ,满足1422=-+xy y x ，则y x +2的最大值是_________.【变式3】已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.练习1若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________.练习2已知0,>y x 且满足3=++y x xy 则xy 的最大值是____________.类型四：二次一次或一次二次的处理方法例5.已知x >0，则xx 2＋4的最大值为________例6.当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．【变式1】已知b a ,为正实数，且2=+b a ，则1222+++b b a a 的最小值是___________.【变式2】设y x ,是正实数，且1=+y x ，则1222+++y y x x 的最小值是___________.类型五：基本不等式求解恒成立问题例7已知0a >，0b >，若不等式313n a b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为__________.【变式1】已知0a >，0b >，若不等式122ma b a b+≥+恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．10B ．9C ．8D ．7练习1 设102m <<，若2212k m m +≥-恒成立，则k 的最大值为___________.练习2 若两个正实数x ，y 满足141x y+=，且不等式28x y m m +≤-有解，则实数m 的取值范围是______．练习3 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8类型六：其它基本不等式题型综合1.设z y x ,,为正实数，032=+-z y x ，则xzy 2的最小值是____________.2. 若正实数z y x ,,满足02=+-z y x ，则zy xz+的最大值是____________.3. 已知实数x ，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1x －y 的最小值是____________.4.已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________.5.正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( ) A.13 B.1 C.2D.596.(多选题)若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋b ＋c ≤3 B.(a ＋b ＋c )2≥3 C.1a ＋1b ＋1c ≥23D.a 2＋b 2＋c 2≥17.2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足 x = 4−21m +. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为816xx+万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍. (1)将2022年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？课后作业1.（多选题）已知0,0x y >>，且2x y +=，则下列结论中正确的是（） A ．xy 有最小值1 B ．22x y +有最小值2 C ．22x y+有最小值4D ．x y +有最小值42.若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式恒成立的是（） A ．2ab ≥ B ．2a b +≤ C ．213a b+≥D ．222a b +≥3.（多选题）已知正数a ，b 满足21a b +=，则（）A ．ab 的最大值为18B ．224a b +的最小值为12C ．12a b+的最小值为8D ．1a a+的最小值为24.（1）已知a ＞0，b ＞0，且4a +b ＝1，求ab 的最大值；（2）若a ＞0，b ＞0，且a +b ＝4，求的最小值．5.如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽2m ，苗圃与通道之间由栅栏隔开．(1)若苗圃面积25000m ，求栅栏总长的最小值；(2)若苗圃带通道占地总面积为25000m ，求苗圃面积的最大值．。

不等式关系讲义

变式练习:下面给出了 5个式子：①3>0,②4x+3y>O,③x=3,④x —1,⑤x+2<3,其中不等式有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个a 、b 两数在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）为x 斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来是（）一所中学的男子百米赛跑的记录是11.7秒，假设一名男运动员的百米赛跑成绩为x 秒，如果这名运有如图所示的两种广告牌，其中图a ）是由两个等腰直角三角形构成的，图Q ）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母1. 2. 3. 4. 5. A. a>0, b<0B. a<0, b>0C. ab>0D.以上均不对a 是非负数的表达式是（ A. a>0B. a | >0C. a >0D. a<0下列不等关系一定正确的是（ A. a >0B.—x 2<0C. (x+1) 2>0D . a 2>0小林在水果摊上称了 2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的.”如果设苹果的实际质量A. x<2B. x<2C. x>2D. x<26. 如果a+b<0,且b>0,那么a 、b 、 —a 、一b 的大小关系为（） A. a<b<—a<—b B.—b<a<—a<b C. a<—b<—a<bD. a<—b<b<—a7.…… ，一小14 用不等号连接下列各对数：（1）—— ,(2) x 2 +18. y 的3倍与x 的4倍的和是负数用不等式表示为9. 动员破记录，则10. 若0<a<1,用“<”连接a,；如果这名运动员没破记录，则1,1，结果为 ______________a11. 从2, 3, 4, 5, 6中任取两个数就组成一组数，其中两数之和小于10的数组共有.组.12. a, b 的不等式表示b-(2)能力提升13.用适当的符号表示下列关系:(l) a的2倍比a与3的和小; (2)y的一半与5的差是非负数;(3)x的3倍与1的和小于x的2倍与5的差.14.用不等式表示下列关系：(1)一个数的平方是非负数；(2)某天的气温不高于25℃.15.用不等式表示下列关系：a与b的和大于a的2倍而小于b的3倍.16.有一个两位数，个位上的数字为a,十位上的数字为b,如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？17.某班同学去春游花了 250元包租了一辆客车，如果参加春游的同学每人交8元钱租车费，还不够，如果每人交9元，还用不了.用不等式表示出上述问题中存在的不等关系.工人小王4月份计划生产零件270个，前10天平均每天生产5个，后来改进技术，提前3天超额18.完成任务.设小王10天之后平均每天生产零件x个，请你试着写出x所满足的关系式.19.某次数学测验，共有16道选择题，评分方法是：答对一题得6分，不答或答错一题扣2分.某同学要想得分为60分以上，他至少应答对多少道题?（只列关系式）20.比较下面每小题中两个算式结果的大小（在横线上填“>”、“<”或" = "）.,.（3 丫 3⑴32+42 _____________ 2x3x4；⑵22+22 ______ 2x2x2；⑶ 12+ —_______ 2x1x-；14 ） 4小 (,11丫 (2 丫⑷(一2) 2+52 2x(—2)x5；⑸7 + -2) 13)1通过观察上面的算式，请你用字母来表示上面算式中反映的一般规律.聚沙成塔班级50名学生上体育课，老师出了一道题目：现在我拿来一些篮球，如果每5人一组玩一个篮球，有些同学没有球玩；如果每6人一组玩一个篮球，就会有一组玩篮球的人数不足6个.你们知道有几个篮球吗？甲同学说：如果有x个篮球，5x < 50.乙同学说：6x >50 .丙同学说：6（x—1）< 50 .你明白他们的意思吗？30分钟检测：一、选择题1、如图所示，对a, b, c三种物体的重量判断不正确的是（）vC a jC a X a）/ x I ^ I I ^ I x \ ~b \ ~b\ b / c /c\ /c\ /I ________ 工__________ I I°IA ZKA、a<cB、a<bC、a>c.D、b<c2、如果a<0,b>0, a+b<0,那么下列关系式中正确的是（）A、a>b>—b>—aB、a>—a>b>—bC、b>a>—b>—aD、一a>b>—b>a3、已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）A、ab>0 「B、|a| > |b bC、a—b>0D、a+b>0I I I I Ib -1 0 a 14、若a<b<0,则下列式子：①a + 1<b+2；②—> 1 ；③a+b<ab； @—< -中，正确的有（）b a bA、1个B、2个C、3个D、4个5、某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了 30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了 20斤，价格为每斤y 元.后来他以每斤三产元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（）A 、x <yB 、x >yC 、x<yD 、x>y6、对于命题“a 、b 是有理数，若a >b ,则a 2>b 2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题，给出下列以下四种说法：①a 、b 是有理数，若a >b >0,则a 2>b 2；②a 、b 是有理数，若a >b ,且a +b >0,则a 2>b 2；③a 、b 是有理数，若a b 2；④a 、b 是有理数，若a b 2。

不等式基本性质讲义

任意两个实数a、b的大小关系：①a-b>O⇔a>b；②a-b=O⇔a=b；③a-b<O⇔a<b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换;但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c。

二、例题分析：[例1]指出下面变形是根据不等式的哪一条根本性质。

〔1〕由2a＞5，得a＞〔2〕由a-7＞，得a＞7〔3〕由- a＞0，得a＜0 〔4〕由3a＞2a-1,得a＞-1。

[例2]设a＞b；用"＞"或"＜"号填空：〔1〕〔2〕a-5 b-5 〔3〕a b〔4〕6a 6b 〔5〕-〔6〕-a -b变式练习：1、设a<b，用“<〞或“>〞填空．〔1〕a－1____b－1；〔2〕a+1_____b+1；〔3〕2a____2b；〔4〕－2a_____－2b；〔5〕－a2_____－b2；〔6〕a2____b2．2．根据不等式的根本性质，用“<〞或“>〞填空．〔1〕假设a－1>b－1，那么a____b；〔2〕假设a+3>b+3，那么a____b；〔3〕假设2a>2b，那么a____b；〔4〕假设－2a>－2b，那么a___b．3．假设a>b，m<0，n>0，用“>〞或“<〞填空．〔1〕a+m____b+m；〔2〕a+n___b+n；〔3〕m－a___m－b；〔4〕an____bn；〔5〕am____bm；〔6〕an_____bn；4．以下说法不正确的选项是〔〕A ．假设a>b ，那么ac 2>bc 2〔c ≠0〕 B ．假设a>b ，那么b<a C ．假设a>b ，那么－a>－b D ．假设a>b ，b>c ，那么a>c [例3]不等式的简单变形根据不等式的根本性质，把以下不等式化为x>a 或x>a 的形式：〔1〕x －3>1；〔2〕132->-x ；〔3〕3x<1+2x ；〔4〕2x>4．[例4]［学科综合］1．实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图13－2－1所示，那么以下式子中正确的选项是〔〕A ．bc>abB ．ac>abC ．bc<abD ．c+b>a+b2．关于x 的不等式〔1－a 〕x>2变形为ax -<12，那么1－a 是____数． [例5]如下图，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a 和b ，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c ，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗？趣味数学〔1〕A 、B 、C 三人去公园玩跷跷板，如图13－2－3①中，试判断这三人的轻重．〔2〕P 、Q 、R 、S 四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②，试判断这四人的轻重．三、根底过关训练：1．如果m ＜n ＜0，那么以下结论中错误的选项是〔〕 A ．m －9＜n －9 B ．－m ＞－n C ．11n m > D ．1mn> 2．假设a －b ＜0，那么以下各式中一定正确的选项是〔〕A ．a ＞bB ．ab ＞0C ．0ab< D ．－a ＞－b 3．由不等式ax ＞b 可以推出x ＜ba，那么a 的取值范围是〔〕A ．a ≤0B ．a ＜0C ．a ≥0D ．a ＞0 4．如果t ＞0，那么a ＋t 与a 的大小关系是〔〕A ．a ＋t ＞aB ．a ＋t ＜aC ．a ＋t ≥aD ．不能确定 5．如果34a a<--，那么a 必须满足〔〕 A ．a ≠0 B ．a ＜0 C ．a ＞0 D ．a 为任意数6．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，那么以下式子正确的选项是〔〕 A ．cb ＞ab B ．ac ＞ab C ．cb ＜ab D ．c ＋b ＞a ＋b7．有以下说法：〔1〕假设a ＜b ，那么－a ＞－b ；〔2〕假设xy ＜0，那么x ＜0，y ＜0；〔3〕假设x ＜0，y ＜0，那么xy ＜0；〔4〕假设a ＜b ，那么2a ＜a ＋b ；cb 0 a 6题【课内练习】1．〔1〕用“＞〞号或“＜〞号填空，并简说理由。

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漫谈高考复习---以不等式复习为例
复习建议
1. 重视基础知识，落实通性通法
案例1.基本不等式
（1）（2012年文）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（） A.
245 B. 28
5
C.5
D.6 （2）已知圆心角为120的扇形AOB 半径为1，O 为
AB 中点．点,D E 分别在半径,OA OB 上．若
2225
2
OD OE DE ++=
，则OD OE +的取值范围是．（3）（2011浙江理）设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是．
案例2 （2013年浙江理）设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P
4
1
0=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P 00∙≥∙.则（）
A ．090=∠ABC
B ．0
90=∠BAC C ．AC AB =
D ．BC AC =
2．弥补知识缺陷，完善知识体系
案例3 不等式解法
（2012年浙江）设a R ∈，若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥成立，则a = ．
3．提练思想方法，提高解题能力课例一：含参数不等式的解法及其应用（一）含参数不等式的解法
1．解下列关于x 的不等式
（1）2
2
220x x a a ---<；（2）02)21(2>--+x a ax ；
（3（其中0a >）.
（二）应用
2
求()f x 的单调区间. A B O
E D C
3．已知函数()
2
()ln ()f x x a x x a R =--∈，求()f x 在[1,2]的最大值．
4．加强知识综合，提升数学素养课例二：不等式恒成立问题求解策略
1 函数3
21()3
f x x bx x =
++在(0,1]上单调递增，求b 的取值范围.
2 （2013年高考新课标1（理））已知函数()f x =2
x ax b ++,()g x =()x
e cx d +,若曲线
()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+
(Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值；
(Ⅱ)若2x ≥-时, ()()f x kg x ≤,求k 的取值范围. 3 设()ln a
f x x x x
=
+，32()3g x x x =--. （1）若存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（2）若对任意的1,,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，都有()()f s g t ≥，求实数a 的取值范围.
4．已知函数2
1()(22)(21)ln 2
f x x a x a x =
-+++．（1）求()f x 的单调区间；
（2）对任意的35,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12,[1,2]x x ∈恒有121211
|()()|f x f x x x λ-≤-，求正实数λ的
取值范围．
5. (10年样卷)已知函数a x a x a x a x f 4)125()49()21()(2
3
+-+-+-=(R ∈a ). (Ⅰ) 当0a =时, 求函数)(x f 的单调递增区间;
(Ⅱ) 若函数)(x f 在区间[0, 2]上的最大值为2, 求a 的取值范围. （备选题）（11浙江理科）设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2
（I ）若)(x f y e x ==为的极值点，求实数a ；
（II ）求实数a 的取值范围，使得对任意的]3,0(e x ∈，恒有)4(2
e x
f ≤成立．。