haar小波与傅里叶变换在大系数逼近中的恢复效果比较
小波变换与傅里叶变换的对比异同
小波变换与傅里叶变换的对比异同IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。
而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。
展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。
这也就是相似性检测的思想。
但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。
因此，小波在实轴上是紧的。
而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。
而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。
此外，两者相似的还有就是PARSEVAL 定理。
（时频能量守恒）。
二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。
但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。
第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。
第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。
这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。
借此，计算机的处理才成为可能。
所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。
小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。
但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。
用更为专业的俗语，叫再生核。
也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。
这就叫冗余性。
这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。
但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。
为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。
haar小波特征提取 -回复
haar小波特征提取-回复什么是haar小波特征提取？Haar小波特征提取是一种用于图像处理和模式识别的方法，它使用了一种特殊的小波变换技术。
Haar小波变换是由Alfred Haar在20世纪20年代提出的，它是离散小波变换的一种形式。
Haar小波变换被广泛应用于图像处理领域，特别是在特征提取和面部识别中。
Haar小波变换的原理是将一个信号分解为不同尺度和不同频率的小波系数。
它通过对信号的不同尺度的图像块进行比较，来提取图像的特征。
在图像处理中，Haar小波变换通常被用来检测图像中的边缘、纹理和形状等特征。
Haar小波特征提取的步骤如下：步骤一：图像预处理首先，对待处理的图像进行必要的预处理工作。
这包括缩放、灰度化或二值化等操作，以便将图像转换为适合处理的形式。
灰度化可以将彩色图像转换为灰度图像，使得后续的处理更加简单和高效。
步骤二：计算积分图像Haar小波特征提取需要使用到积分图像。
积分图像是将原始图像每个像素点的灰度值进行累加得到的，它被广泛应用于图像处理中的快速特征提取算法。
计算积分图像可以大大加快Haar小波特征提取的速度。
步骤三：定义Haar小波特征在Haar小波特征提取中，定义不同类型的Haar小波特征是非常重要的。
通常，Haar小波特征由矩形和对角矩形组成。
矩形特征是由相邻像素的灰度值之差组成的，而对角矩形特征则是由两个相邻矩形区域之间的灰度值差异组成的。
根据需要，可以定义不同大小和形状的矩形和对角矩形特征。
步骤四：应用Haar小波滤波器Haar小波特征提取的关键步骤是应用Haar小波滤波器。
滤波器可以通过对图像的各个部分进行卷积运算来计算出Haar小波变换的结果。
这个过程将会得到一系列的小波系数，每个系数对应一个特定的小波特征。
步骤五：选择关键特征在得到所有的小波系数后，需要通过一些特定的指标或算法来选择关键的Haar小波特征。
这些关键特征可以用于后续的图像分类、目标检测等任务。
小波与傅里叶的区别
小波级数是两重求和，小波系数的指标不仅有频率的指标 ，而且还有时间的指标 。也就是说，小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标 ，在不同时刻 ，小波系数也是不同的。这样就克服了上面所述的第一个不足。
由于小波函数具有紧支撑的性质，即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息，从而克服了上面所述的第二个不足。
小波变换的“时间—频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽，这正是时间—频率分析所希望的。
根据小波变换的“时间—频率窗”的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。如，选择从高频到低频的检测次序，首先选择最窄的时间窗，检测到最高频率信息，并将其分离。然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中的次高频信息。再分离，再放宽时间窗，再检测次次高频信息，依次类推。
为了检测到不同频率水平信息，即求出不同频率水平下不同时刻的小波系数，首先要选好小波函数。
选择小波函数的“四项原则”。
小波分析的最重要的应用是滤波，为了保证滤波不失真，小波函数必须具有线性相位，至少具有广义线性相位。小波分析的另一重要应用是捕捉、分析突变信号，这就要使用函数的导数，小波函数至少是 连续。由前面分析可知，小波函数必须具有紧支撑的性质。所以，正交、线性相位、连续、紧支撑是选择小波函数的“四项原则”。
为了克服以上两点局限性，这就要求：
（1） 将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重。
（2） 使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只能使用有所谓紧支撑的函数，即“小波函数”或 加窗傅立叶变换的窗函数。
小波分析之前，大家曾尝试着用加窗傅里叶变换，加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的宽度对于观察所有的频率是不变的。在较长的时间窗内，对于高频信号，可能经过了很多周期，因而求出的Fourier 变换系数是很多周期的平均值，局部化性能不能得到体现。若减小时间窗（减小 ），高频信号局部化性能得到体现，但对于很低的频率信号来讲，检测不到。总上所述，加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍不是很有效的。
小波变换基础以及haar小波.资料
傅里叶变换
这幅图可形象的表示傅里 叶变换的不足之处。
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是 频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同 频率的四个成分。 做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅 值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上 无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一 样的，只是出现的先后顺序不同。
f (t) k1e1(t) k2e2(t) ...... knen(t)
如果 n ， 那么 f (t) kiei (t)
i 1
小波对于分析瞬时时变信号非常有用. 它有效地从信号中提取信 息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析.
为什么叫小波？？？ 小波分析所用的波称为小波，小波的能量有限，有限长且会衰减，集 中在某一点附近. 即小波是一种能量在时域非常集中的波.
CWT（连续小波变换）
设函数
(t) L1(R) L2(R) ，若其FT满足条件:
|ˆ() |2 d
R | |
则称φ(t)为一个小波母函数.
φ(t) ∈L1(R)意味着小波函数具有衰减性. φ(t) ∈L2(R)意味着小波函数的能量有限.
φ(t) 满足 R(t) dt 0 意味着小波函数具有波动性.
⑷等内积特性
Wf (a, b) f (t), a,b (t) F (), Φa,b ()
⑸能量守恒特性
R
R|Wf
(a,
b)
|2
a,b (t )
dadb a2
C
||
R
f (t) ||2dt
⑹具有可变的时间频率窗
连续小波的窗口面积是不随参数a，b而变化的，即时频 窗口的形状变化，而窗口面积固定不变.
小波变换与傅里叶变换的对比与区别
小波变换与傅里叶变换的对比与区别在信号处理领域，小波变换和傅里叶变换是两种常见的数学工具。
它们在信号分析、图像处理以及数据压缩等方面有着广泛的应用。
本文将对小波变换和傅里叶变换进行对比与区别的探讨。
1. 傅里叶变换的基本原理傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
它将信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加，通过计算每个频率分量的幅度和相位信息来描述信号的频谱特征。
傅里叶变换的基本公式为：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt其中，F(ω)表示频域中的信号，f(t)表示时域中的信号，ω表示频率，e^(-jωt)表示复指数函数。
2. 小波变换的基本原理小波变换是一种将信号分解为不同尺度和频率的小波基函数的线性组合的数学工具。
与傅里叶变换不同，小波变换能够提供信号在时域和频域上的局部信息。
小波变换的基本公式为：W(a, b) = ∫[f(t) * ψ((t-b)/a)] dt其中，W(a, b)表示小波变换系数，f(t)表示时域信号，ψ((t-b)/a)表示小波基函数，a表示尺度参数，b表示平移参数。
3. 对比与区别3.1 分辨率傅里叶变换将信号分解为不同频率的正弦和余弦函数，无法提供时间信息。
而小波变换则能够提供时域和频域上的局部信息，具有更好的分辨率。
3.2 局部性傅里叶变换是全局变换，将整个信号转换为频域表示。
而小波变换是局部变换，通过不同尺度和频率的小波基函数对信号进行分解。
3.3 多分辨率分析小波变换具有多分辨率分析的特点，可以通过不同尺度的小波基函数对信号进行多尺度分解。
而傅里叶变换只能提供全局的频域信息。
3.4 时间-频率局限性傅里叶变换具有时间和频率的互换性，无法同时提供信号的时间和频率信息。
而小波变换则能够提供信号在时间和频率上的局部信息。
3.5 稀疏性在信号压缩方面，小波变换通常能够提供更好的稀疏性，即用更少的系数表示信号。
而傅里叶变换在稀疏性方面相对较差。
haar小波特征提取 -回复
haar小波特征提取-回复什么是haar小波特征提取？Haar小波特征提取是一种用于图像处理和模式识别的技术。
它基于小波变换的原理，并利用Haar小波基函数进行特征提取。
通过Haar小波特征提取，我们可以有效地从原始图像中提取出有用的特征，用于目标检测、人脸识别、表情分析等应用领域。
首先，让我们来了解一下Haar小波变换。
Haar小波变换是一种多尺度分解方法，可将输入信号分解成不同尺度的频带。
它通过比较邻近像素的强度差异来定位图像中的边缘特征。
Haar小波基函数是一组定义在不同尺度上的矩形波形，它们分别用于提取图像的水平、垂直和对角边缘特征。
在进行Haar小波特征提取之前，首先需要将输入图像进行预处理。
常见的预处理步骤包括将彩色图像转换为灰度图像、对图像进行平滑或增强等。
然后，将预处理后的图像分解成多个尺度的频带。
利用Haar小波基函数对每个尺度的频带进行卷积操作，可以得到对应尺度上的Haar小波响应。
Haar小波响应反映了图像在不同尺度上的边缘特征。
接下来，我们需要选择合适的Haar小波特征。
常见的Haar小波特征包括水平边缘、垂直边缘、对角边缘和线性特征。
这些特征可以通过计算Haar小波响应的差值和比值来得到。
例如，水平边缘特征可以通过计算两个邻近水平矩形区域的灰度差值得到。
在选择合适的Haar小波特征后，我们可以将它们组合成特征向量。
特征向量将图像中的不同特征结合在一起，形成了一个高维特征空间。
接着，我们可以利用这个特征向量进行目标检测或者模式识别任务。
常见的方法包括使用支持向量机（SVM）进行分类或者使用神经网络进行训练和预测。
Haar小波特征提取的好处在于其计算简单、速度快，并且具有良好的特征表达能力。
它能够提取出图像中的局部特征，并通过特征向量的组合，捕捉图像的全局信息。
这使得Haar小波特征在许多计算机视觉任务中都得到了广泛应用。
总结起来，Haar小波特征提取是一种基于小波变换原理的图像处理技术。
(完整版)数字图像处理简答题
1. 图像处理的主要方法分几大类?答：图字图像处理方法分为大两类：空间域处理（空域法）和变换域处理（频域法）。
空域法：直接对获取的数字图像进行处理。
频域法：对先对获取的数字图像进行正交变换，得到变换系数阵列，然后再进行处理，最后再逆变换到空间域，得到图像的处理结果2. 图像处理的主要内容是什么?答：图形数字化（图像获取）：把连续图像用一组数字表示，便于用计算机分析处理。
图像变换：对图像进行正交变换，以便进行处理。
图像增强：对图像的某些特征进行强调或锐化而不增加图像的相关数据。
图像复原：去除图像中的噪声干扰和模糊，恢复图像的客观面目。
图像编码：在满足一定的图形质量要求下对图像进行编码，可以压缩表示图像的数据。
图像分析：对图像中感兴趣的目标进行检测和测量，从而获得所需的客观信息。
图像识别：找到图像的特征，以便进一步处理。
图像理解：在图像分析的基础上得出对图像内容含义的理解及解释，从而指导和规划行为。
3. 名词解释：灰度、像素、图像分辨率、图像深度、图像数据量。
答：灰度:使用黑色调表示物体,即用黑色为基准色，不同的饱和度的黑色来显示图像.像素：在卫星图像上，由卫星传感器记录下的最小的分立要素(有空间分量和谱分量两种)。
通常，表示图像的二维数组是连续的，将连续参数 x,y ，和 f 取离散值后，图像被分割成很多小的网格，每个网格即为像素 图像分辨率：指对原始图像的采样分辨率，即图像水平或垂直方向单位长度上所包含的采样点数。
单位是“像素点/单位长度”图像深度是指存储每个像素所用的位数,也用于量度图像的色彩分辨率.图像深度确定彩色图像的每个像素可能有的颜色数,或者确定灰度图像的每个像素可能有的灰度级数.它决定了彩色图像中可出现的最多颜色数,或灰度图像中的最大灰度等级（图像深度：位图图像中，各像素点的亮度或色彩信息用二进制数位来表示，这一数据位的位数即为像素深度，也叫图像深度。
图像深度越深，能够表现的颜色数量越多，图像的色彩也越丰富。
小波变换与傅里叶变换的对比
小波变换与傅里叶变换的对比在信号处理领域，小波变换（Wavelet Transform）和傅里叶变换（Fourier Transform）是两种常见的数学工具。
它们在信号的时频分析、数据压缩等方面有着广泛的应用。
本文将对小波变换和傅里叶变换进行对比，探讨它们的异同点以及各自的优势。
一、基本原理1.1 小波变换小波变换是一种多尺度分析方法，它通过将信号分解为不同频率和时间分辨率的小波基函数来描述信号。
小波基函数是一组具有局部性质的函数，可以在时域和频域上进行变换。
小波变换的核心思想是将信号分解为不同尺度的频率成分，从而实现对信号的时频局部分析。
1.2 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它将信号表示为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶变换可以将信号的时域特征转化为频域特征，从而实现对信号频率成分的分析。
二、分析方法2.1 时频局部分析小波变换具有时频局部分析的能力，可以精确地描述信号在时间和频率上的变化。
由于小波基函数具有局部性质，它可以在时域和频域上进行变换，从而能够更好地捕捉信号的瞬态特征和频率变化。
傅里叶变换则是一种全局分析方法，它将信号转换为频域表示，无法提供信号在时间上的局部信息。
虽然傅里叶变换可以得到信号的频谱信息，但无法获得信号在不同时间段内的频率变化情况。
2.2 分辨率小波变换可以通过选择不同的小波基函数来实现不同的时间和频率分辨率。
具有高频率分辨率的小波基函数可以更好地描述信号的瞬态特征，而具有低频率分辨率的小波基函数则适用于分析信号的低频成分。
傅里叶变换的频率分辨率是固定的，无法根据需要进行灵活调整。
因此，在需要同时分析信号的瞬态特征和频率变化时，小波变换具有更大的优势。
三、应用领域3.1 信号去噪小波变换在信号去噪方面有着广泛的应用。
由于小波基函数具有局部性质，它可以将信号分解为不同频率和时间分辨率的成分。
通过滤除小波变换后的高频细节成分，可以实现对信号中的噪声进行消除。
小波变换与傅里叶变换的比较与应用
小波变换与傅里叶变换的比较与应用在信号处理领域，小波变换和傅里叶变换是两种常用的数学工具。
它们都可以将信号从时域转换到频域，从而帮助我们分析和处理信号。
然而，它们在原理、性质和应用方面存在一些差异。
本文将对小波变换和傅里叶变换进行比较，并探讨它们在实际应用中的差异和优势。
首先，让我们来了解一下小波变换和傅里叶变换的基本原理。
傅里叶变换是一种将信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的方法。
它通过将信号与一系列正弦和余弦函数进行内积运算，得到信号在频域上的表示。
傅里叶变换的优势在于它可以提供信号的频谱信息，帮助我们了解信号的频率成分。
与之相比，小波变换是一种将信号分解成不同尺度和位置的小波基函数的方法。
小波基函数是一组具有局部性质的函数，它们可以在时域和频域上同时提供信息。
通过对信号进行小波变换，我们可以得到信号在时域和频域上的局部特征，从而更好地理解信号的时频性质。
在性质方面，傅里叶变换具有平移不变性和线性性质。
也就是说，傅里叶变换可以保持信号的相对位置和线性叠加关系。
这使得傅里叶变换在信号滤波、频谱分析和图像处理等领域有着广泛的应用。
然而，傅里叶变换的一个缺点是它无法提供信号的时间信息，这在某些应用中可能是不可忽视的。
相比之下，小波变换具有多尺度分析和局部性质。
小波变换可以提供信号在不同尺度上的时频信息，因此在信号分析和处理中具有更高的分辨率和精度。
此外，小波变换还可以捕捉信号的瞬时特征，对于非平稳信号的处理更加有效。
因此，小波变换在信号压缩、图像处理和模式识别等领域有着广泛的应用。
在实际应用中，小波变换和傅里叶变换可以相互结合，发挥各自的优势。
例如，在音频信号处理中，我们可以使用傅里叶变换来获取信号的频谱信息，然后使用小波变换来对频谱进行分析和处理。
这种组合可以帮助我们更好地理解和处理音频信号的时频特性。
此外，小波变换还可以应用于图像处理和压缩。
由于小波变换具有多尺度分析的特性，它可以提供更好的图像细节保留和压缩效果。
小波变换与傅里叶变换的比较及应用优势
小波变换与傅里叶变换的比较及应用优势在信号处理领域，小波变换和傅里叶变换都是常用的数学工具。
它们在不同的应用场景下发挥着重要的作用。
本文将比较小波变换和傅里叶变换的特点，并探讨它们各自的应用优势。
一、小波变换和傅里叶变换的基本原理小波变换是一种多尺度分析方法，它将信号分解成不同的频率成分，并提供了时间和频率的局部信息。
小波变换通过对信号进行多尺度分解和重构，可以有效地捕捉信号的瞬态特征。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它将信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，得到信号在不同频率上的振幅和相位信息。
傅里叶变换可以帮助我们理解信号的频谱特性。
二、小波变换和傅里叶变换的比较1. 时间-频率分辨率小波变换具有良好的时间-频率分辨率特性。
它可以提供信号在不同时间和频率上的局部信息，能够更准确地定位信号的瞬态特征。
而傅里叶变换的时间-频率分辨率是固定的，无法提供信号的局部信息。
2. 多尺度分析能力小波变换通过多尺度分解和重构，可以将信号分解成不同频率成分，并提供每个频率成分的时间信息。
这使得小波变换在分析非平稳信号和瞬态信号时具有优势。
而傅里叶变换只能提供信号的频率信息，对于非平稳信号的分析能力较弱。
3. 时域和频域信息的平衡小波变换将时域和频域信息平衡地融合在一起，使得分析结果更加全面。
它可以提供信号的时域特征和频域特征，有助于更好地理解信号的性质。
而傅里叶变换只能提供信号的频域特征，无法提供时域信息。
三、小波变换和傅里叶变换的应用优势1. 信号处理小波变换在信号处理领域广泛应用。
它可以用于信号去噪、信号压缩、图像处理等方面。
小波变换的时间-频率分辨率和多尺度分析能力使得它在处理非平稳信号和瞬态信号时更加准确和有效。
2. 数据压缩小波变换在数据压缩领域有着重要的应用。
它可以将信号分解成不同频率成分，并根据各个频率成分的重要性进行压缩。
由于小波变换具有良好的时间-频率分辨率，它可以更好地保留信号的重要信息，实现更高效的数据压缩。
小波变换与傅里叶变换的对比与选择
小波变换与傅里叶变换的对比与选择在信号处理领域，小波变换和傅里叶变换是两种常用的数学工具。
它们可以用来分析和处理各种类型的信号，包括音频、图像和视频等。
虽然它们都是频域分析的方法，但是它们在处理信号时具有不同的特点和优势。
本文将对小波变换和傅里叶变换进行对比，并讨论在不同情况下的选择。
首先，让我们来了解一下傅里叶变换。
傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的方法。
它将信号表示为一系列正弦和余弦函数的和，这些正弦和余弦函数称为频谱成分。
傅里叶变换可以帮助我们理解信号中的频率成分，并且可以用于滤波、降噪和频谱分析等任务。
然而，傅里叶变换有一个明显的缺点，即它无法提供关于信号在时间上的局部特征的信息。
相比之下，小波变换是一种同时提供时域和频域信息的方法。
小波变换将信号分解为一系列不同尺度和位置的小波函数，这些小波函数可以表示信号的局部特征。
小波变换可以帮助我们捕捉信号中的瞬时变化和局部特征，对于非平稳信号的分析更具优势。
小波变换在图像处理、语音识别和压缩等领域有广泛的应用。
那么，在实际应用中，我们应该选择使用哪种变换方法呢？这取决于信号的性质和我们关注的问题。
如果我们只关心信号的频率成分，而不需要考虑信号的局部特征，那么傅里叶变换是一个简单而有效的选择。
例如，在音频信号的频谱分析中，傅里叶变换可以帮助我们确定音频信号中的主要频率分量，从而实现音乐识别和音频合成等任务。
然而，对于非平稳信号或需要考虑信号的局部特征的情况，小波变换更适合。
例如，在图像处理中，我们经常需要检测和分析图像中的边缘、纹理和细节等局部特征。
小波变换可以提供关于图像不同频率和不同位置的局部特征信息，从而帮助我们实现图像增强、边缘检测和纹理分析等任务。
此外，小波变换还具有多分辨率分析的特点。
通过选择不同尺度的小波函数，我们可以在不同的频率范围内对信号进行分析。
这种多分辨率分析可以帮助我们从不同的角度理解信号的特征。
例如，在语音识别中，我们可以使用小波变换来提取不同频率范围内的声音特征，从而提高语音识别的准确性。
傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换和小波变换都是信号处理领域中常见的数学工具。
傅里叶变换能够将一个信号分解成若干个正弦和余弦函数，这些正弦和余弦函数在频域中表示了信号的频率和振幅特征。
小波变换则是通过将信号与一组基函数进行内积运算，得到各个频带上的信号能量，从而实现信号的时频分析。
相较于傅里叶变换，小波变换具有多分辨率的特点，能够更细致地描述信号的时域与频域信息。
在信号处理、图像处理、通信等领域，这两个变换被广泛地使用。
小波变换与傅里叶变换的比较
小波变换与傅里叶变换的比较在信号处理领域中，小波变换（Wavelet Transform）和傅里叶变换（Fourier Transform）是两种常用的数学工具。
它们都可以用于分析和处理信号，但在某些方面有着不同的优势和应用场景。
本文将对小波变换和傅里叶变换进行比较，探讨它们的异同点和适用范围。
一、基本原理傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
它通过将信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加来表示原始信号。
傅里叶变换可以提供信号的频谱信息，帮助我们了解信号中不同频率成分的强度和相位。
小波变换是一种时频分析方法，它在时域和频域上都具有一定的局部性。
小波变换通过将信号与一组特定的小波函数进行卷积，得到信号在不同尺度和位置上的时频信息。
小波变换可以提供信号的时频局部特征，能够更好地捕捉信号中短时变化和非平稳性。
二、分辨率和局部性傅里叶变换具有较好的频率分辨率，可以准确地分析信号的频率成分。
然而，傅里叶变换对于时域信息的分辨率较低，不能提供信号的时域局部特征。
这使得傅里叶变换在处理非平稳信号时存在一定的局限性。
小波变换具有较好的时频局部性，可以同时提供信号的时域和频域信息。
小波变换通过选择不同的小波函数，可以在不同尺度上分析信号的时频特征。
这使得小波变换在处理非平稳信号和瞬态信号时更加有效。
三、多分辨率分析傅里叶变换只能提供全局频率信息，无法对信号进行多尺度分析。
而小波变换可以通过多分辨率分析，将信号分解成不同尺度的小波系数。
这使得小波变换能够更好地揭示信号的局部细节和结构。
四、应用领域傅里叶变换广泛应用于频谱分析、滤波器设计、图像处理等领域。
通过傅里叶变换，我们可以了解信号的频率成分、频域滤波和频谱特性。
傅里叶变换在数字音频处理、图像压缩、通信系统等方面有着重要的应用。
小波变换在信号处理领域的应用也非常广泛。
小波变换可以用于信号去噪、特征提取、图像压缩、模式识别等方面。
小波变换在非平稳信号处理、图像分析和模式识别等领域有着独特的优势。
Matlab小波变换与傅立叶变换的效果对比(可打印修改)
Matlab小波变换与傅立叶变换的效果对比程序原始时域信号是由两个不同的频率信号叠加而成，为了明确原始信号的频率突变点，分别采用傅立叶变换和db5小波进行处理。
程序如下：clearload freqbrk;whos;figure(1);plot(freqbrk)xlabel('时间');ylabel('幅值');title('频率突变信号');f=fft(freqbrk);figure(2);plot(abs(f));title('傅立叶变换后的示意图');[d,a]=wavedec(freqbrk,3,'db5');a3=wrcoef('a',d,a,'db5',3);d3=wrcoef('d',d,a,'db5',3);d2=wrcoef('d',d,a,'db5',2);d1=wrcoef('d',d,a,'db5',1);figure(3);subplot(411);plot(a3);ylabel('近似信号');title('小波分解后示意图');subplot(412);plot(d3);ylabel('细节信号');subplot(413);plot(d2);ylabel('细节信号');subplot(414);plot(d1);ylabel('细节信号');xlabel('时间');程序的运行结果：图1原始信号示意图..图2 傅立叶分解后的示意图利用傅立叶变换对原始信号进行处理，可以得到如图2所示的图像。
从图2可以看出：信号经过傅立叶变换后，能够清楚确定出原始信号包含的两个频率值的大小，但是对于确定频率突变点的位置，傅立叶变换却没有这种能力。
haar小波与傅里叶变换在大系数逼近中的恢复效果比较
1.Haar 多级与Fourier 比较 图1.1出Haar 多级和Fourier 变换的大系数重构的PSNR 比较图，这里的haar 变换进行2级、3级和4级分解，从图中可以分析出在大系数点数在10000点以上时，haar 不同级在图片复原中的效果大致相同。
大系数点数小于2000时，DFT 变换在图像重建时的表现好过haar 变换。
图1.1图1.2画出了10000点大系数恢复图，此时PSNR 大约为30db ，几种变换的图像复原都达到可以接受的视觉效果。
图1.210002000300040005000600070008000900010000大系数个数P S N R 值DFT 恢复haar 小波2级分解恢复haar 小波3级分解恢复haar 小波4级分解恢复2.Haar 小波与不同bior 小波的同级比较 上一实验中，我们挑选重构效果较好的haar 小波4级分解和不同长度bior 小波的4级分解进行比较，这里的不同长度的bior 小波参数分别为bior1.3、bior2.6、bior3.5。
画出PSNR 图如下：图2.1图2.2和2.3分别画出了300点和7000点大系数重构图：图 2.2100020003000400050006000700080009000100000510152025303540大系数个数P S N R 值haar4级分解重建bior1.3小波4级分解重建bior2.6小波4级分解重建bior3.5小波4级分解重建图 2.3 3.bior 小波的多级比较 接下里选择试验2中重构效果最好的bior 小波，进行多级分解，这里我选取bior 小波长度参数为bior3.5，进行2级、3级和4级分解，画出PSNR 图如下：图 3.1图3.2和图3.3分别画出了300点和7000点大系数重建图形，从左到右依次是bior3.5进行2级、3级和4级分解后的重建图。
haar4级分解重建bior1.3小波4级分解重建bior2.6小波4级分解重建bior3.5小波4级分解重建100020003000400050006000700080009000100000510152025303540大系数个数P S N R 值图3.2图 3.34.三种变换的比较 这里对傅里叶变换、haar 4级分解、bior3.5 4级分解的重构效果进行比较，画出大系数恢复的PSNR 曲线图如下：图 4.1图4.2和图4.3分别画出了300点和7000点大系数重建图形，从左到右依次是进行DFT 、4级haar 分解、4级bior3.5分解后的恢复图。
FFT与小波变换的区别---FFT的缺陷
分段平稳信号这两种波形的FFT完全一样！完全分不出信号出现的位置，说明傅里叶变换缺乏时间对频率的定位功能。
小波则可以还原。
经过傅里叶变换之后得到的是频域的信息，时间信息完全丢失，很多人会问那为什么逆变换可以完全恢复原始信号？其实，这个可以理解为三维空间离得变换，这里涉及到泛函的一些知识，其通俗理解方法也将在下边进行解释。
傅里叶逆变换同样可以理解为相关，只是此时需保证变换时t不变，也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之间的相关，积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。
可以知道所有有关时间的信息都是由e^(ift)导出的。
傅里叶变换：1）首先傅里叶变换是傅里叶级数（有限周期函数）向（无限周期函数）的扩展，将该函数展开成无限多个任意周期的正弦或余弦函数的和（或积分）。
2）傅里叶级数中各项系数例如cosx项系数是原函数与其在某一定义域的积分，显然我们可以将该过程理解为对这两个函数进行相关，将相关系数作为该频率处的强度。
3）经过傅里叶变换之后得到的是频域的信息，时间信息完全丢失，很多人会问那为什么逆变换可以完全恢复原始信号？其实，这个可以理解为三维空间离得变换，这里涉及到泛函的一些知识，其通俗理解方法也将在下边进行解释。
傅里叶逆变换同样可以理解为相关，只是此时需保证变换时t不变，也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之间的相关，积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。
可以知道所有有关时间的信息都是由e^(ift)导出的。
4）从泛函的角度，我们可以把傅里叶级数中的三角函数{1/sqrt(2π),sin(t)/sqrt(π),cos(t)/sqrt(π),...}看做一个线性函数空间的一个基，这里与线性代数里的线性空间有两点不同，第一该处是函数空间，每个元素都是一个函数而不是一个数，第二这里是无限维空间，基有无限多个元素。
但是这并不影响我们的理解。
我们可以像在有限维线性空间中那样将傅里叶变换理解为这个函数在以三角函数为基的空间的展开，而将傅里叶逆变换理解为一个旋转（或其他变换），举个例子：一个立方体，正着放的时候我们看到的是正面（频域），当我们旋转一下，我们可能看到其他面比如反面（时域）。
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1.Haar 多级与Fourier 比较 图1.1出Haar 多级和Fourier 变换的大系数重构的PSNR 比较图，这里的haar 变换进行2级、3级和4级分解，从图中可以分析出在大系数点数在10000点以上时，haar 不同级在图片复原中的效果大致相同。
大系数点数小于2000时，DFT 变换在图像重建时的表现好过haar 变换。
图1.1
图1.2画出了10000点大系数恢复图，此时PSNR 大约为30db ，几种变换的图像复原都达到可以接受的视觉效果。
图1.2
100020003000
40005000600070008000900010000
大
系数个数
P S N R 值
DFT 恢复haar 小波2级分解恢复
haar 小波3级分解恢复haar 小波4级分解恢复
2.Haar 小波与不同bior 小波的同级比较 上一实验中，我们挑选重构效果较好的haar 小波4级分解和不同长度bior 小波的4级分解进行比较，这里的不同长度的bior 小波参数分别为bior1.3、bior2.6、bior
3.5。
画出PSNR 图如下：
图2.1
图2.2和2.3分别画出了300点和7000点大系数重构图：
图 2.2
100020003000
40005000600070008000900010000
0510152025
303540大系数个数
P S N R 值
haar4级分解重建bior1.3小波4级分解重建
bior2.6小波4级分解重建bior3.5小波4级分解重建
图 2.3 3.bior 小波的多级比较 接下里选择试验2中重构效果最好的bior 小波，进行多级分解，这里我选取bior 小波长度参数为bior3.5，进行2级、3级和4级分解，画出PSNR 图如下：
图 3.1
图3.2和图3.3分别画出了300点和7000点大系数重建图形，从左到右依次是bior3.5进行2级、3级和4级分解后的重建图。
haar4级分解重
建bior1.3小波4级分解重
建
bior2.6小波4级分解重
建bior3.5小波4级分解重建
1000
2000
3000
4000500060007000
8000
900010000
0510152025
303540大系数个数
P S N R 值
图3.2
图 3.3
4.三种变换的比较 这里对傅里叶变换、haar 4级分解、bior3.5 4级分解的重构效果进行比较，画出大系数恢复的PSNR 曲线图如下：
图 4.1
图4.2和图4.3分别画出了300点和7000点大系数重建图形，从左到右依次是进行DFT 、4级haar 分解、4级bior3.5分解后的恢复图。
100020003000
40005000600070008000900010000
0510152025
303540大系数个数
P S N R 值
图4.2
图4.3。