江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编专题7：函数的图像、性质和应用问题

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2015年苏州市中考数学试卷与答案

2015 年苏州市初中毕业暨升学考试试卷数学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共28 小题，满分130 分，考试时间120 分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；2．答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；3．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、选择题：本大题共10 小题，每小题 3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答．题．卡．相．应．位．置．上．．1．2 的相反数是A．2 B．12C． 2 D．122．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为A．3 B．5 C．6 D．73．月球的半径约为1 738 000m ，1 738 000 这个数用科学记数法可表示为6 B．1.738×107 C．0.1738×107 D．17.38×105A．1.738×104．若2m 2 ，则有2A．0＜m＜1 B．- 1＜m＜0 C．- 2＜m＜-1D．- 3＜m＜- 2 5．小明统计了他家今年 5 月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：通话时间x/min 0＜x≤ 5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20频数（通话次数）20 16 9 5 则通话时间不超过15min 的频率为A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.96．若点A（a，b）在反比例函数y 2x的图像上，则代数式a b- 4 的值为A ．0 B．- 2 C． 2 D．- 67．如图，在△ABC 中，AB= A C，D 为BC 中点，∠BAD =35°，则∠ C 的度数为A．35°B．45°C．55°D．60°ABD C（第7 题）8．若二次函数y=x2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x2+ b x=5 的解为A ．x1 0, x2 4 B．x1 1, x2 5 C．x1 1, x2 5 D．x1 1, x2 5 9．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B，连接AO，AO 与⊙O 交于点C，BD 为⊙O 的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为A ．433 B．432 3 C． 3 D．233北C B西东南22.5 °OC A45°lAB DD（第9 题）（第10 题）10．如图，在一笔直的海岸线l 上有A、B 两个观测站，AB=2km，从 A 测得船 C 在北偏东45°的方向，从 B 测得船 C 在北偏东22.5°的方向，则船 C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为A ．4 km B． 2 2 km C．2 2 km D． 4 2 km二、填空题：本大题共8 小题，每小题 3 分，共24 分．把答案直接填在答题．卡．相．应．位．置．上．．．11．计算： 2a a = ▲．12．如图，直线a∥b，∠1=125°，则∠2 的度数为▲°．a1c羽毛球30%其他10%乒乓球篮球20% 240%b（第12 题）（第13 题）13．某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每名学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少 6 人，则该校被调查的学生总人数为▲名．14．因式分解： 2 4 2a b = ▲．15．如图，转盘中8 个扇形的面积都相等．任意转动转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指向大于 6 的数的概率为▲．1 82 73 64 5（第15 题）16．若a 2b 3 ，则9 2a 4b 的值为▲．17．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE=CB，点A、D 关于点 F 对称，过点 F 作FG∥CD，交AC 边于点G，连接GE．若AC =18，BC=12，则△CEG 的周长为▲．CA DGA B C F EF E D B（第18 题）（第17 题）18．如图，四边形ABCD 为矩形，过点 D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E，取BE 的中点F，连接DF ，DF =4．设AB= x，AD =y，则 22 4x y 的值为▲．三、解答题：本大题共10 小题，共76 分．把解答过程写在答题．卡．相．应．位．置．上．．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．19．（本题满分5分）计算：0 9523．20．（本题满分5分）解不等式组：x12,3x1＞x 5.21．（本题满分6分）先化简，再求值：121x2x1x2x2，其中x31．22．（本题满分6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？23．（本题满分8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是▲；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．24．（本题满分8分）如图，在△ABC中，AB=A C．分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC＝50，求D?E、D?F的长度之和（结果保留）．ABCED（第24题）F25．（本题满分8分）如图，已知函数y kx（x＞0）的图像经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图像经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．（1）若AC=32OD，求a、b的值；y（2）若BC∥AE，求BC的长．AD F BxE OC（第25题）26．（本题满分10分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．（1）求证：ED∥AC；（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S，△ADC的面积为S2，且12S116S240，求△ABC的面积．EAOB D C（第26题）27．（本题满分10分）如图，已知二次函数21y x m x m（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P 为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC．（1）∠ABC的度数为▲°；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．ylPxA O BC（第27题）28．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为2cm 的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B →C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了▲cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点．若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；（3）如图②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．B P CPB CO O O1A D A D（图①）（图②）（第28题）2015 年苏州市初中毕业暨升学考试数学试题答案一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．D6．B 7．C 8．D 9．A 10．B二、填空题11． 3a 12．55 13．60 14． a 2b a 2b15．1416．3 17．27 18．16三、解答题22.6解：原式＝3+5 1 ＝7．22.7解：由x 1 2，解得x 1，由 3 x 1 ＞x 5 ，解得x＞4 ，∴不等式组的解集是x＞4 ．x1x 1 x 2 x 2 2＝x 1 x 2 12x 2 x 1 x 122.8解：原式＝．当x 3 1时，原式＝1 1 33 1 1 3 3．22.9解：设乙每小时做x 面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗．根据题意，得60 50x 5 x．解这个方程，得x=25．经检验，x=25 是所列方程的解．∴x+5=30．答：甲每小时做30 面彩旗，乙每小时做25 面彩旗．22.10解：（1）12．（2）用表格列出所有可能的结果：第二次红球1 红球2 白球黑球第一次红球 1 （红球1，红球2）（红球1，白球）（红球1，黑球）红球 2 （红球2，红球1）（红球2，白球）（红球2，黑球）白球（白球，红球1）（白球，红球2）（白球，黑球）黑球（黑球，红球1）（黑球，红球2）（黑球，白球）由表格可知，共有12 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有 2 种可能．∴P（两次都摸到红球）= 212 = 16 ．22.11证明：（1）由作图可知B D =C D．在△ABD 和△ACD 中，AB AC,BD CD ,AD AD,∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD，即AD 平分∠BAC．解：（2）∵AB=AC，BAC =50°，∴∠ABC＝∠ACB= 65°．∵BD= CD = BC，∴△BDC 为等边三角形．∴∠DBC＝∠DCB= 60°．∴∠DBE＝∠DCF= 55°．∵BC=6，∴BD= CD =6．∴D?E的长度= D?F的长度= 55 6 11180 6 ．∴D?E、D?F的长度之和为11 11 116 6 3 ．25．解：（1）∵点B（2，2）在y kx的图像上，∴k=4，y 4x ．∵BD⊥y 轴，∴D 点的坐标为（0，2），OD =2．∵AC⊥x 轴，AC= 32OD，∴AC =3，即 A 点的纵坐标为3．∵点A 在y 4x 的图像上，∴ A 点的坐标为（43，3）．∵一次函数y=ax+b 的图像经过点A、D，∴43a b 3, a解得34, b 2. b 2.（2）设A点的坐标为（m， 4m ），则C点的坐标为（m，0）．∵BD∥CE，且BC∥DE，∴四边形B CED 为平行四边形．∴CE= BD =2．∵BD∥CE，∴∠ADF =∠AEC．4AF m2∴在Rt△AFD 中，tan∠ADF =，DF m4在Rt△ACE 中，tan∠AEC= AC m EC 2，∴4 42m mm 2，解得m=1．∴C 点的坐标为（1，0），BC= 5 ．26．证明：（1）∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD =∠DAC．∵∠E=∠BAD，∴∠E =∠DAC．∵BE∥AD，∴∠E =∠EDA．∴∠EDA =∠DA C．∴ED∥AC．解：（2）∵BE∥AD，∴∠EBD =∠ADC．∵∠E =∠DAC，∴△EBD∽△ADC，且相似比k BD 2DC ．··················∴S1S22k 4 ，即S1 4S2 ．∵ 2S1 16 S2 4 0 ，∴216S 16S 4 0 ，即2 224S 2 0 ．2∴ 1S ．22∵S BC BD CD 3CDV ，∴ 3ABC3S V ．ABCS CD CD CD 2 227．解：（1）45．理由如下：令x=0，则y=- m，C 点坐标为（0，- m）．2 1 0令y=0，则x m x m ，解得x1 1 ，x2 m．∵0＜m＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m，0）．∴OB =OC= m．∵∠BOC＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC＝45°．（2）解法一：如图①，作P D⊥y 轴，垂足为D，设l 与x 轴交于点E，由题意得，抛物线的对称轴为1 m x ．2设点P 坐标为（ 12m ，n）．∵PA= PC，∴PA2= PC2，即AE2+ PE2=CD2+ PD2．∴2 21 m 1 m221 n n m ．2 2解得1 mn ．∴P 点的坐标为21 m 1 m,2 2．解法二：连接P B．由题意得，抛物线的对称轴为1 m x ．2∵P 在对称轴l 上，∴PA=PB．∵PA=PC，∴PB=PC．∵△BOC 是等腰直角三角形，且OB=OC，∴P 在BC 的垂直平分线y x上．∴P 点即为对称轴 1 mx 与直线y x的交点．2∴P 点的坐标为1m 1 m,2 2．y yl lPDPQDx xA Q EB A E O BOC C图①图②（3）解法一：存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为1m 1 m,2 2，∴PA2+ PC2=AE2+ PE2+CD2+ PD2=2 2 2 21 m 1 m 1 m 1 m21 m 1 m ．2 2 2 22∵AC2=1 m ，∴PA2+ PC2= A C2．∴∠APC＝90°．∴△PAC 是等腰直角三角形．∵以Q、B、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，∴△QBC 是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（- m，0）或（0，m）．①如图①，当Q 点的坐标为（- m，0）时，若PQ 与x 轴垂直，则 1若PQ 与x 轴不垂直，2 mm ，解得1m ，PQ=313．则2 2 22 2 2 1 m 1 m 5 2 1 5 2 1 PQ PE EQ m m 2m m ．2 2 2 2 2 5 10∵0＜m＜1，∴当2m 时，52PQ 取得最小值110，PQ 取得最小值1010．∵1010＜13，∴当2m ，即Q 点的坐标为（525，0）时，PQ 的长度最小．②如图②，当Q 点的坐标为（0，m）时，若PQ 与y 轴垂直，则 1若PQ 与y 轴不垂直，2mm ，解得1m ，PQ=313．则2 2 22 2 2 1 m 1 m 5 2 1 5 2 1 PQ PD DQ m m 2m m ．2 2 2 2 2 5 10∵0＜m＜1，∴当 2m 时，52PQ 取得最小值110，PQ 取得最小值1010．10 1 ∵＜，10 3∴当2m ，即Q 点的坐标为（0，525）时，PQ 的长度最小．综上：当Q 点坐标为（25 ，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小．解法二：如图①，由（2）知P 为△ABC 的外接圆的圆心．∵∠APC 与∠ABC 对应同一条弧A?C，且∠ABC＝45°，∴∠APC＝2∠ABC＝90°．下面解题步骤同解法一．28．解：（1）a+2b．（2）∵在整个运动过程中，点P 移动的距离为 a 2b cm，圆心O 移动的距离为 2 a 4 cm，由题意，得 a 2b 2 a 4 ．①∵点P 移动2s 到达B 点，即点P 用2s 移动了bcm，点P 继续移动3s，到达BC 的中点，即点P 用3s移动了12a cm．∴1ab22 3．②由①②解得ab24,22.12∵点P 移动的速度与⊙O 移动的速度相等，b∴⊙O 移动的速度为 42（cm/s）．∴这5s时间内圆心O 移动的距离为5×4=20（cm）．（3）存在这种情形．解法一：设点P 移动的速度为v1cm/s，⊙O 移动的速度为v2cm/s，由题意，得v a 2b 20 2 10 51v 2 a 4 2 20 4 42．PB CHEO O1FA DG如图，设直线OO1与AB 交于点E，与CD 交于点F，⊙O1 与AD 相切于点G．若PD 与⊙O1 相切，切点为H，则O1G=O1H．易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB =∠BDP．∵BC∥AD，∴∠ADB =∠CBD．∴∠BDP =∠CBD ．∴BP=DP．设BP=xcm，则D P =xcm，PC =（20- x）cm，在Rt△PCD 中，由勾股定理，可得 2 2 2PC CD PD ，即 2 2 220 x 10 x ，解得25 x ．2∴此时点P 移动的距离为10 25 452 2∵EF ∥AD，∴△BEO1∽△BAD．（cm）．∴EO1 BEAD BA ，即E O1 820 10．∴EO1=16cm．∴OO1=14cm．①当⊙O 首次到达⊙O1 的位置时，⊙O 移动的距离为14cm，45452∴此时点P 与⊙O 移动的速度比为14 28．∵45 528 4 ，∴此时PD 与⊙O1不可能相切．②当⊙O 在返回途中到达⊙O1 的位置时，⊙O 移动的距离为2×(20- 4)- 14=18 （cm），4545 52∴此时点P 与⊙O 移动的速度比为18 36 4．∴此时PD 与⊙O1恰好相切．解法二：∵点P 移动的距离为452 cm（见解法一），OO1=14cm（见解法一），v1v254，45 4 2 5∴⊙O 应该移动的距离为18（cm）．①当⊙O 首次到达⊙O1 的位置时，⊙O 移动的距离为14cm≠18 cm，∴此时PD 与⊙O1不可能相切．②当⊙O 在返回途中到达⊙O1 的位置时，⊙O 移动的距离为2×(20- 4)- 14=18 （cm），∴此时PD 与⊙O1恰好相切．解法三：点P 移动的距离为452 cm，（见解法一）OO1=14cm，（见解法一）由v1v254可设点P 的移动速度为5k cm/s，⊙O 的移动速度为4k cm/s，45∴点P 移动的时间为925k 2k（s）．①当⊙O 首次到达⊙O1 的位置时，⊙O 移动的时间为∴此时PD 与⊙O1不可能相切．14 7 94k 2k 2k，②当⊙O 在返回途中到达⊙O1 的位置时，⊙O 移动的时间为2 (20 4) 14 94k 2k，∴此时PD 与⊙O1 恰好相切．。

江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编专题12：圆的问题

江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编（20专题）专题12：圆的问题1. （2015年江苏南京2分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为【】A.133 B. 92 C.D. 【答案】A.【考点】矩形的性质；切线的性质；正方形的判定和性质；切线长定理；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接,,OE OF OG ，则根据矩形和切线的性质知，四边形,AEOF FOGB 都是正方形. ∵AB =4，∴2AE AF BF BG ====. ∵AD =5，∴3DE DN ==.设GM=NM=x ，则3,3CM BC BG GM x DM DN NM x =--=-=+=+ .在Rt CDM ∆中，由勾股定理得：222DM CD CM =+，即()()222343 x x +=+-，解得，43x =. ∴133DM =．故选A.2. （2015年江苏苏州3分）如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A =30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为【】A ．43π B ．43π- C ．π D ．23π- 【答案】A ．【考点】切线的性质；三角形外角性质；垂径定理；三角形和扇形面积的计算；转换思想的应用. 【分析】如答图，过O 点OH ⊥CD 作于点H ，∵AB 为⊙O 的切线，∴OB ⊥AB ，即∠OBA =90°. 又∵∠A =30°，∴∠COD =120°. 在△ODH 中，∵∠ODH =30°，OD=2，∴1,OH DH =∴2120214136023OCD OCD S S S ππ∆⋅⋅=-=-⋅=阴影部分扇形故选A ．3. （2015年江苏扬州3分）如图，若锐角△ABC 内接于⊙O ，点D 在⊙O 外（与点C 在AB 同侧），则下列三个结论：①D C ∠>∠sin sin ；②D C ∠>∠cos cos ；③D C ∠>∠tan tan 中，正确的结论为【】A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①③ 【答案】D.【考点】圆周角定理；三角形外角性质；锐角三角函数的性质.【分析】如答图，设AD 与⊙O 相交于点E ，连接BE .∵,>C AEB AEB D ∠=∠∠∠ ，∴>C D ∠∠.∵正弦、正切函数值随锐角的增大而增大，余弦函数值随锐角的增大而减小， ∴sin sin C D ∠>∠， cos <cos C D ∠∠， tan tan C D ∠>∠. ∴正确的结论为①③. 故选D.4. （2015年江苏淮安3分）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，若70A ∠=︒，则∠C 的度数是【】A. 100°B. 110°C. 120°D. 130° 【答案】B.【考点】圆内接四边形的性质.【分析】∵四边形ABCD 是圆O 的内接四边形， 70A ∠=︒，∴根据圆内接四边形对角互补的性质，得110C ∠=︒. 故选B.5. （2015年江苏南通3分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，AB =6，AD =5，则AE 的长为【】A. 2.5B. 2.8C. 3D. 3.2 【答案】B.【考点】圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定和性质. 【分析】如答图，连接BD 、CD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°.∴BD∵弦AD 平分∠BAC ，∴CD =BD ∴∠CBD =∠DAB .在△ABD 和△BED 中，∵∠BAD =∠EBD ，∠ADB =∠BDE ，∴△ABD ∽△BED . ∴DE DBDB AD =1155DE =⇒=. ∴115 2.85AE AB DE =-=-=．故选B.1. （2015年江苏连云港3分）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为 ▲ ．【答案】8π.【考点】由三视图判断几何体；几何体的展开图；扇形面积的计算．【分析】∵这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，∴这个几何体的侧面展开图的面积=14482ππ⨯⨯=．2. （2015年江苏南京2分）如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD =35°，则∠B +∠E = ▲ ．【答案】215°.【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理. 【分析】如答图，连接BD ，∵∠1和∠2是圆内接四边形的对角，∴∠1+∠2=180°.又∵∠3和∠4是同圆中同弧所对的圆周角，且∠4=35°，∴∠3=∠4=35°.∴∠CBA +∠DEA =215°.3. （2015年江苏泰州3分）圆心角为120° ，半径为6cm 的扇形面积为 ▲ cm 2. 【答案】12π【考点】扇形面积的计算.【分析】直接根据扇形面积公式计算：2120612360S ππ⋅⋅== cm 2. 4. （2015年江苏泰州3分）如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A =115°，则∠BOD 等于 ▲ °.【答案】130.【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理. 【分析】∵⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A =115°，∴根据圆内接四边形对角互补的性质，得18065C A ∠=︒-∠=︒. ∵C ∠与BOD ∠是同圆中同弧所对的圆周角和圆心角， ∴2130BOD C ∠=∠=︒.5. （2015年江苏徐州3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C =20°，则∠CDA = ▲ °．【答案】125° .【考点】切线的性质；三角形内角和定理；圆周角定理.【分析】如答图，连接OD ，∵CD 与⊙O 相切于点D ，∴CD OD ⊥. ∴90CDO ∠=︒.∵∠C =20°，∴70COD ∠=︒. ∴35A ∠=︒. ∴180125CDA C A ∠=︒-∠-∠=︒.6.（2015年江苏徐州3分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接AC ，若∠CAB =22．5°，CD =8cm ，则⊙O 的半径为 ▲ cm ．【答案】【考点】垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形的判定和性质. 【分析】如答图，连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD =8cm ，∴4CE DE cm ==. ∵∠CAB =22．5°，∴45COE ∠=︒.∴COE ∆是等腰直角三角形.∴OC =∴⊙O 的半径为.7. （2015年江苏徐州3分）用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径 ▲ ．【答案】1.【考点】圆锥和扇形的计算。

专题2：代数式问题

江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编（20专题）专题2：代数式问题1. （2015年江苏连云港3分）下列运算正确的是【】A. 235a b ab +=B. 523a a a -=C. 236a a a ⋅=D. ()222a b a b +=+【答案】B ．【考点】合并同类项；同底幂乘法；完全平方公式.【分析】根据合并同类项，同底幂乘法运算法则和完全平方公式逐一计算作出判断：A. 2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B. 5a 与2a 是同类项，能合并，()52523a a a a -=-=，故故本选项正确；C. 根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的乘法法则得：2323a a a +⋅=56a a =≠，故本选项错误；D.根据完全平方公式222()2a b a ab b +=++得222()a b a b +≠+，故本选项错误. 故选B ．2. （2015年江苏南京2分）计算()23xy-的结果是【】A. 26x y B. 26x y - C. 29x y D. 29x y - 【答案】A.【考点】幂的乘方和积的乘方.【分析】根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则和“积的乘方等于每一个因数乘方的积” 的积的乘方法则得()()2231232261xyx y x y ⨯⨯-=-=.故选A.3. （2015年江苏苏州3分）若点A （a ，b ）在反比例函数2y x=的图像上，则代数式4ab -的值为【】 A ．0 B ．-2 C ． 2 D ．-6 【答案】B ．【考点】曲线上点的坐标与方程的关系；求代数式的值；整体思想的应用.【分析】∵点A （a ，b ）在反比例函数2y x=的图像上， ∴22b ab a=⇒=. ∴4242ab -=-=- 故选B ．4. （2015年江苏徐州3分）下列运算正确的是【】A. 22321a a -=B. ()322a a = C. 246a a a ⋅= D. ()2236a a =【答案】C.【考点】合并同类项；幂的乘方和积的乘方；同底幂乘法.【分析】根据合并同类项，幂的乘方和积的乘方，同底幂乘法运算法则逐一计算作出判断：A. 23a 与22a 是同类项，能合并，()222232321a a a a -=-=≠，故本选项错误；B. 根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则得()322362a a a a ⨯==≠，故本选项错误；C.根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的乘法法则得：24236a a a a +⋅==，故本选项正确；D. 根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则和“积的乘方等于每一个因数乘方的积”的积的乘方法则得()222223396a a a a ==≠，故本选项错误.故选C.5. （2015年江苏徐州3分）x 的取值范围是【】A. 1x ≠B. 1x ≥C. >1xD. 0x ≥ 【答案】B.【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，必须101x x -≥⇒≥. 故选B.6. （2015年江苏盐城3分）下列运算正确的是【】A. 333()a b ab ⋅=B. 236a b a ⋅=C. 632a b a ÷=D. 235()a a =【答案】A.【考点】同底幂乘法和除法；幂的乘方和积的乘方.【分析】根据同底幂乘法和除法；幂的乘方和积的乘方逐一计算作出判断：A. 根据 “积的乘方等于每一个因数乘方的积” 的积的乘方法则得333()a b ab ⋅=，故本选项正确；B.根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的乘法法则得：2323a a a +⋅=56a a =≠，故本选项错误；C. 根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的除法法则得：636332a b a a a -÷==≠56a a =≠，故本选项错误；D. 根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则得232365()a a a a ⨯==≠，故本选项错误.故选A.7. （2015年江苏常州2分）要使分式32x -有意义，则x 的取值范围是【】 A. >2x B. <2x C. 2x ≠- D. 2x ≠ 【答案】D ．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式分母不为0的条件，要使32x -在实数范围内有意义，必须202x x -≠⇒≠.故选D ． 8. （2015年江苏淮安3分）计算a a 3⨯的结果是【】A. 2aB. 23a C. a 3 D. a 4【答案】B.【考点】单项式乘法法则.【分析】根据“单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式”的单项式乘法法则得：()1123133a a a a +⨯=⨯=. 故选B. 9. （2015年江苏宿迁3分）计算()23a -的结果是【】A. 5a -B. 5aC. 6a -D. 6a【答案】D.【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则和“积的乘方等于每一个因数乘方的积” 的积的乘方法则得()()2233261a a a ⨯-=-=. 故选D.10. （2015年江苏镇江3分）计算()()3242x y x y --+-的结果是【】A. 2x y -B. 2x y +C. 2x y --D. 2x y -+ 【答案】A.【考点】整式的加减，整体思想的应用．【分析】提取公因式2x y -即可得：()()()()32422342x y x y x y x y --+-=--+=-.故选A.1. （2015年江苏连云港3分）代数式13x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ▲ ．【答案】3x ≠.【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式分母不为0的条件，要使13x -在实数范围内有意义，必须303x x -≠⇒≠. 2.（2015年江苏连云港3分）已知m n mn +=，则()()11m n --= ▲ ．【答案】1．【考点】整式的混合运算—化简求值；整体思想的应用．【分析】∵m n mn +=，∴()()()1111m n mn m n --=-++=.3. （2015年江苏南京2分）x 的取值范围是 ▲ ．【答案】1x ≥-.【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须101x x +≥⇒≥-.4. （2015年江苏南京2分）分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是 ▲ ．【答案】2(2)a b -. 【考点】因式分解.【分析】22222()(4)4444(2)a b a b ab a ab ab b ab a ab b a b --+=--++=-+=-. 5. （2015年江苏苏州3分）计算：2a a ⋅= ▲ ．【答案】3a .【考点】同底幂乘法.【分析】根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的乘法法则得：2123a a a a +⋅==56a a =≠. 6. （2015年江苏苏州3分）因式分解：224a b -= ▲ ．【答案】()()22a b a b +-. 【考点】应用公式法因式分解.【分析】因为()222242a b a b -=-，所以直接应用平方差公式即可：()()()22224222a b a b a b a b -=-=+-. 7. （2015年江苏苏州3分）若23a b -=，则924a b -+的值为 ▲ ．【答案】3.【考点】求代数式的什，整体思想的应用.【分析】∵23a b -=，∴()9249229233a b a b -+=--=-⨯=.8. （2015年江苏苏州3分）如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF =4．设AB =x ，AD =y ，则()224x y +-的值为 ▲ ．【答案】16.【考点】代数式的几何意义；矩形的性质；直角三角形斜边上中线的性质；勾股定理. 【分析】∵四边形ABCD 为矩形，AB =x ，AD =y ，∴DC =x ，BC =y .∵在Rt BDE ∆中，点F 是斜边BE 的中点，DF =4，∴BF = DF =4. ∴在Rt DCF ∆中，222DC CF DF +=，即()22244x y +-=. ∴()22416x y +-=.9. （2015年江苏无锡2分）分解因式：282x -＝ ▲ ．【答案】()()222x x +-.【考点】提公因式法和应用公式法因式分解.【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，先提取公因式2后继续应用平方差公式分解即可：()()()228224222x x x x -=-=+-.10.（2015年江苏无锡2分）化简2269x x +-得 ▲ ．【答案】23x -. 【考点】分式约分．【分析】分别把分式的分母、分子因式分解，约去分式的分子与分母的公因式即可：()()()2232629333x x x x x x ++==-+--.11. （2015年江苏盐城3分）x 的取值范围是 ▲ ．【答案】1x ≥.【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，必须101x x -≥⇒≥. 12.（2015年江苏盐城3分）分解因式：22a a -= ▲ ．【答案】()2a a -.【考点】提公因式法因式分解.【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，直接提取公因式a 即可：()222a a a a -=-.13. （2015年江苏盐城3分）若224m n -=，则代数式21042m n +-的值为 ▲ ．【答案】18.【考点】求代数式的什；整体思想的应用.【分析】∵224m n -=，∴()2210421022102418m n m n +-=+-=+⨯=. 14. （2015年江苏扬州3分）因式分解：39x x -= ▲ ．【答案】()()33x x x +-.【考点】提公因式法和应用公式法因式分解.【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，先提取公因式x 后继续应用平方差公式分解即可：()()()329933x x x x x x x -=-=+-.15. （2015年江苏扬州3分）若532=-b a ，则=+-2015262a b ▲ ．【答案】2005.【考点】求代数式的值；整体思想的应用. 【分析】∵235a b -=，∴()226220152320152520152005b a a b -+=--+=-⨯+=.16. （2015年江苏常州2分）分解因式：2222x y - = ▲ ．【答案】()()2x y x y +-.【考点】提公因式法和应用公式法因式分解.【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，先提取公因式2后继续应用平方差公式分解即可：()()()22222222x y x y x y x y -=-=+-.17. （2015年江苏南通3分）因式分解224m n -= ▲ ．【答案】()()22m n m n +-. 【考点】应用公式法因式分解.【分析】∵()222242m n m n -=-=x 2﹣82，∴直接应用平方差公式，得：()()()22224222m n m n m n m n -=-=+-.18. （2015年江苏南通3分）计算()()22x y x x y ---= ▲ ．【答案】2y .【考点】整式的混合运算．【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可：()()22222222x y x x y x xy y x xy y ---=-+-+=.19. （2015年江苏宿迁3分）因式分解：34x x - = ▲ ．【答案】()()22x x x +-.【考点】提公因式法和应用公式法因式分解.【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，先提取公因式x 后继续应用平方差公式分解即可：()()()324422x x x x x x x -=-=+-.20. （2015年江苏宿迁3分）当x =m 或x =n （m ≠n ）时，代数式223x x -+的值相等，则x =m +n 时，代数式223x x -+的值为 ▲ ．【答案】3．【考点】二次函数的性质；求代数式的值；整体思想的应用. 【分析】设223y x x =-+，∵当x =m 或x =n （m ≠n ）时，代数式223x x -+的值相等， ∴抛物线223y x x =-+的对称轴2212m nx -+=-=⨯. ∴2m n +=.∴当2x m n =+=时，222322233x x -+=-⨯+=.21. （2015年江苏镇江2分）计算：23m m ⋅ = ▲ ．【答案】5m .【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的乘法法则得：23235m m m m +⋅==.22. （2015年江苏镇江2分）化简：()212x x -+ = ▲ ．【答案】21x +【考点】整式的混合运算．【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果：()222121221x x x x x x -+=-++=+.23.（2015年江苏镇江2分）当x = ▲ 时，分式12x x +-的值为0．【答案】﹣1.【考点】分式的值为零的条件．【分析】由分式的值为零的条件得x +1=0，且x ﹣2≠0，解得：x =﹣1.1. （2015年江苏连云港6分）化简：221411m m m m-⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭．【答案】解：原式=()()()()()()22122111222m m m m m m mm m m m m m m +-+++÷=⋅=++++--. 【考点】分式的混合运算．【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简. 2. （2015年江苏南京7分）计算22221()aa b a ab a b-÷--+【答案】解：原式=212[][]()()()()()()()a b a a b a ba b a b a a b a a a b a b a a b a b a +++-⋅=-⋅+--+-+-22()1()()()()a a b a b a b a b a a b a b a a a b a b a a-++-+=⋅=⋅=+-+-.【考点】分式的化简.【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简.3. （2015年江苏苏州6分）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x =．【答案】解：原式=()()221112122211x x x x x x x x x ++++÷=⋅=+++++.当1x =-时，11x ===+【考点】分式的化简；二次根式化简.【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简；然后代1x =-，进行二次根式化简.4. （2015年江苏泰州6分）计算：⎪⎭⎫⎝⎛--+÷--252423a a a a .【答案】解：原式=()()()()()()2234532321122222922332326a a a a a a a a a a a a a a a -------÷=⋅=-⋅=-=------+-++.【考点】分式的化简.【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简. 5. （2015年江苏无锡4分）计算：()()2122x x +--．【答案】解：原式=2221245x x x x ++-+=+【考点】整式的混合运算.【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，再合并得出答案即可．6. （2015年江苏徐州5分）计算：2111a a a -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭.【答案】解：原式=()()11111a a a a a a +⋅=+--. 【考点】分式的化简.【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简.7. （2015年江苏盐城8分）先化简，再求值：()211131a a a ⎛⎫+÷ ⎪-+⎝⎭，其中4a =. 【答案】解：原式=()()()()22231113131111a a a a a a a a a a a +-+÷=⋅=-++--. 当4a =时，原式=34441⨯=-. 【考点】分式的化简.【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简. 然后代入4a =求值. 8. （2015年江苏扬州4分）化简：211111a a a a a +⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭- 11 - 【答案】解：原式= ()()()()1111111111aa a a a a a a a a a +--÷=⋅=+--+-+. 【考点】分式的化简.【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简.9. （2015年江苏常州6分）先化简，再求值：()()212x x x +--，其中x =2．【答案】解：原式22221221x x x x x =++-+=+，当x =2时，原式=8+1=9．【考点】整式的混合运算（化简求值）．【分析】原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值． 10. （2015年江苏淮安8分）先化简4412112+--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ，再从1、2、3三个数中选一个合适．．的数作为x 的值，代入求值.【答案】解：原式=()()222211122212x x x x x x x x x --+--÷=⋅=-----. 取3x =代入，得，原式=321-=.【考点】分式的化简求值；分式有意义的条件.【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简. 然后取使分式分母和除式不为0的x 代入求值. 11. （2015年江苏镇江4分）化简：211112a a a-⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭．【答案】解：原式=()()()()111111112122a a a a a a a a a a a +-+--++⋅=⋅=--. 【考点】分式的混合运算.【分析】先算括号中的加法通分，再算乘法约分即可．。

2015年江苏省中考数学真题试卷(含答案解析)

【考点】扇形统计图. 【分析】设被调查的总人数是x人，根据最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，即可列方程求解. 【解答】解：设被调查的总人数是x人，则40%x﹣30%x=6，解得：x=60. 故答案是：60. 【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
A.4km B.(2+ )km C.2 km D.(4﹣ )km 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题. 【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，进而得出EC=BE=2，再利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案. 【解答】解：在CD上取一点E，使BD=DE，可得：∠EBD=45°，AD=DC， ∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向， ∴∠BCE=∠CBE=22.5°， ∴BE=EC， ∵AB=2， ∴EC=BE=2， ∴BD=ED=
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=2，得b=﹣4，解x2﹣4x=5即可. 【解答】解：∵对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线， ∴﹣ =2，解得：b=﹣4，解方程x2﹣4x=5，
解得x1=﹣1，x2=5，故选：D. 【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大. 9.(3分)(2015•苏州)如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与 ⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD.若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为( )
频数(通话 20 16 9 5 次数) 则通话时间不超过15min的频率为( ) A.0.1 B.0.4 C.0.5 D.0.9 【考点】频数(率)分布表. 【分析】用不超过15分钟的通话时间除以所有的通话时间即可求得通话时间不超过15分钟的频率. 【解答】解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9=45次，通话总次数为20+16+9+5=50次， ∴通话时间不超过15min的频率为

江苏省13市2011年中考数学试题分类解析汇编专题6：函数的图像与性质

江苏13市2011年中考数学试题分类解析汇编专题6：函数的图像与性质一、选择题1.（苏州3分）如图，已知A 点坐标为（5，0），直线(0)y x b b =+>与y 轴交于点B ，连接AB ，∠a =75°，则b 的值为A ．3B ．533C ．4D ．534【答案】B 。

【考点】一次函数，特殊角三角函数值。

【分析】根据三角函数求出点B 的坐标，即可求得b 的值：由(0)y x b b =+>可知，k=1，故在△OAB 中， ∠OBA 0000754560, 5--===180OA ，∴OA 53OB tan OBA 3b ===。

故选B 。

2. (无锡3分) 下列二次函数中，图象以直线2x =为对称轴、且经过点(0，1)的是 A ．()221y x =-+ B ．()221y x =++ C ．()223y x =-- D ．()223y x =+- 【答案】C ．【考点】二次函数图象的性质，点的坐标与方程的关系。

[来源:学|科|网Z|X|X|K]【分析】根据二次函数对称轴的概念知二次函数为A 、C 之一；又根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点(0，1) 的坐标分别代入A 、C ，使等式成立的即为所求。

故选C ．3. (无锡3分 )如图，抛物线21y x =+与双曲线ky x=的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式210kx <x++的解集是 A ．x >1 B ．x <－1 C ．0<x <1 D ．－1<x <0 【答案】D ．【考点】点的坐标与方程的关系, 不等式的解集与图像的关系，二次函数图像。

【分析】由抛物线21y x =+与双曲线ky x=的交点A 的横坐标是1, 代入21y x =+可得交点A 的纵坐标是2。

把(1，2) 代入ky x=可得=2k 。

从而222101k x x x x ++<⇒<--。

2015年苏州市中考数学试卷及答案

2015年苏州市初中毕业暨升学考试试卷数学一、选择题：本大题共 小题，每小题分，共 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用 铅笔涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．的相反数是✌．．12 ．  ． 12．有一组数据：，，，，，这组数据的众数为✌．．．．．月球的半径约为  ❍，  这个数用科学记数法可表示为✌． ×  ． ×  ． ×  ． × ．若()2m=-，则有✌．＜❍＜． ＜❍＜． ＜❍＜  ． ＜❍＜ ．小明统计了他家今年月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：则通话时间不超过 ❍♓⏹的频率为✌．  ．  ．  ．  ．若点✌（♋，♌）在反比例函数2yx=的图像上，则代数式♋♌ 的值为✌．．  ．  ． ．如图，在△✌中，✌ ✌，为 中点，∠ ✌ °，则∠ 的度数为✌． °． ° ． ° ． °．若二次函数⍓ ⌧ ♌⌧的图像的对称轴是经过点（，）且平行于⍓轴的直线，则关于⌧的方程⌧ ♌⌧ 的解为 ✌．120,4x x ==．121,5x x == ．121,5x x ==- ．121,5x x =-=．如图，✌为⊙ 的切线，切点为，连接✌，✌与⊙ 交于点， 为⊙的直径，连接 ．若∠✌ °，⊙ 的半径为，则图中阴影部分的面积为✌．43π．．如图，在一笔直的海岸线●上有✌、两个观测站，✌ ❍，从✌测得船在北偏东 °的方向，从测得船在北偏东 °的方向，则船离海岸线●的距离（即 的长）为 ✌．4 ❍．(2 ❍ ．．(4 ❍二、填空题：本大题共小题，每小题分，共 分．把答案直接填在答题卡相应位置．．．．．．．DCB A（第题）（第题）（第 题）l上．． ．计算：2a a ⋅ ✧ ．．如图，直线♋∥♌，∠ °，则∠ 的度数为 ✧ °．．某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每名学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少人，则该校被调查的学生总人数为 ✧ 名．．因式分解：224a b - ✧ ．．如图，转盘中个扇形的面积都相等．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向大于的数的概率为 ✧ ．．若23a b -=，则924a b -+的值为 ✧ ．．如图，在△✌中， 是高， ☜是中线， ☜ ，点✌、关于点☞GCDA ba（第 题）20%10%30%40%其他乒乓球篮球羽毛球（第 题）对称，过点☞作☞☝∥ ，交✌边于点☝，连接☝☜．若✌ ，  ，则△☜☝的周长为 ✧ ．．如图，四边形✌为矩形，过点作对角线 的垂线，交 的延长线于点☜，取 ☜的中点☞，连接 ☞， ☞ ．设✌ ⌧，✌ ⍓，则()224x y +-的值为 ✧ ．三、解答题：本大题共 小题，共 分．把解答过程写在答题卡相应位置上．．．．．．．．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用 铅笔或黑色墨水签字笔．．（本题满分分）(052--．．（本题满分分）解不等式组：()12,31 5.x x x +≥⎧⎪⎨-+⎪⎩＞．（本题满分分）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x =．．（本题满分分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做面彩旗，甲做 面彩旗与乙做 面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？．（本题满分分）一个不透明的口袋中装有个红球（记为红球、红球）、个白球、个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（）从中任意摸出个球，恰好摸到红球的概率是 ✧ ；（）先从中任意摸出个球，再从余下的个球中任意摸出个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．．（本题满分分）如图，在△✌中，✌ ✌．分别以、为圆心， 长为半径在 下方画弧，设两弧交于点，与✌、✌的延长线分别交于点☜、☞，连接✌、 、 ．（）求证：✌平分∠ ✌；（）若  ，∠ ✌＝ ，求DE 、DF 的长度之和（结果保留π）．．（本题满分分）如图，已知函数ky x=（⌧＞）的图像经过点✌、，点的坐标为（，）．过点✌作✌⊥⌧轴，垂足为，过点作 ⊥⍓轴，垂足为，✌与 交于点☞．一次函数⍓♋⌧ ♌的图像经过点✌、，与⌧轴的负半轴交于点☜．（第 题）FEDCBA（）若✌32，求♋、♌的值；（）若 ∥✌☜，求 的长．．（本题满分 分）如图，已知✌是△✌的角平分线，⊙ 经过✌、、三点，过点作 ☜∥✌，交⊙ 于点☜，连接☜．（）求证：☜∥✌；（）若   ，设△☜的面积为1S ，△✌的面积为2S ，且2121640S S -+=，求△✌的面积．．（本题满分 分）如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中＜❍＜）的图像与⌧轴交于✌、两点（点✌在点的左侧），与⍓轴交于点，对称轴为直线●．设为对称轴●上的点，连接 ✌、 ， ✌ ．（第 题）（）∠✌的度数为 ✧ °；（）求点坐标（用含❍的代数式表示）；（）在坐标轴上是否存在点✈（与原点不重合），使得以✈、、为顶点的三角形与△ ✌相似，且线段 ✈的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点✈的坐标；如果不存在，请说明理由．．（本题满分 分）如图，在矩形✌中，✌ ♋♍❍，✌ ♌♍❍（♋＞♌＞），半径为 ♍❍的⊙ 在矩形内且与✌、✌均相切．现有动点从✌点出发，在矩形边上沿着✌→ → → 的方向匀速移动，当点到达点时停止移动；⊙ 在矩形内部沿✌向右匀速平移，移动到与 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙ 回到出发时的位置（即再次与✌相切）时停止移动．已知点与⊙ 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（）如图①，点从✌→ → → ，全程共移动了 ✧ ♍❍（用含♋、♌的代数式表示）；（）如图①，已知点从✌点出发，移动 ♦到达点，继续移动 ♦，到达 的中点．若点与⊙ 的移动速度相等，求在这 ♦时间内圆心移动的距离；（）如图②，已知♋ ，♌ ．是否存在如下情形：当⊙ 到达⊙ 的位置时（此时圆心在矩形对角线 上）， 与⊙ 恰好相切？请说明理由．年苏州市初中毕业暨升学考试数学试题答案一、选择题．．．✌ ．．．．．．✌．二、填空题 ．3a ．  ．  ．()()22a b a b +- ．14．． ． 三、解答题解：原式＝  ＝ ． 解：由12x +≥，解得1x ≥，由()315x x -+＞，解得4x ＞，不等式组的解集是4x ＞．解：原式＝()21122x x x x ++÷++ ＝()2121211x x x x x ++⨯=+++．当1x ===． 解：设乙每小时做⌧面彩旗，则甲每小时做（⌧ ）面彩旗．根据题意，得60505x x=+．解这个方程，得⌧ ．经检验，⌧ 是所列方程的解． ⌧ ．答：甲每小时做 面彩旗，乙每小时做 面彩旗．解：（）1．（）用表格列出所有可能的结果：由表格可知，共有 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有种可能． ∴ （两次都摸到红球）212 16． 证明：（）由作图可知  ．在 ✌和 ✌中， ,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩✌≌ ✌（ ）．✌＝ ✌，即✌平分 ✌．解：（） ✌ ✌， ✌ ， ✌＝ ✌ °．  ，  为等边三角形． ＝  °． ☜＝ ☞ °．  ，   ．DE 的长度 DF 的长度 556111806ππ⨯⨯=． DE 、DF 的长度之和为111111663πππ+=． ．解：（）点（，）在ky x=的图像上，∴ ，4y x=． ⊥⍓轴，∴ 点的坐标为（，），  ．✌⊥⌧轴，✌32，∴✌ ，即✌点的纵坐标为．点✌在4y x=的图像上，∴✌点的坐标为（43，）．一次函数⍓ ♋⌧ ♌的图像经过点✌、， ∴43,3 2.a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解得3,42.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ （）设✌点的坐标为（❍，4m），则点的坐标为（❍，）． ∥ ☜，且 ∥ ☜，∴四边形 ☜为平行四边形．∴ ☜  ．∥ ☜，∴∠✌☞ ∠✌☜．∴在 ♦✌☞中，♦♋⏹∠✌☞ 42AF mDF m -=，在 ♦✌☜中，♦♋⏹∠✌☜ 42AC mEC =， ∴4422m m m -=，解得❍ ．∴ 点的坐标为（，）， ．．证明：（）∵✌是△✌的角平分线，∴∠ ✌ ∠ ✌．∵∠☜∠ ✌，∴∠☜ ∠ ✌． ∵ ☜∥✌，∴∠☜ ∠☜✌． ∴∠☜✌ ∠ ✌ ． ∴☜∥✌．解：（）∵ ☜∥✌，∴∠☜ ∠✌．∵∠☜ ∠ ✌，∴△☜ △✌，且相似比2BDk DC==． ∴2124S k S ==，即124S S =． ∵2121640S S -+=，∴222161640S S -+=，即()22420S -=．∴212S =． ∵233ABC S BC BD CD CD S CD CD CD +====，∴32ABCS=． ．解：（） ．理由如下：令⌧ ，则⍓ ❍，点坐标为（， ❍）．令⍓ ，则()210x m x m +--=，解得11x =-，2x m =． ∵ ＜❍＜，点✌在点的左侧， ∴ 点坐标为（❍，）．∴   ❍．∵∠ ＝ °，∴△ 是等腰直角三角形，∠ ＝ °．（）解法一：如图①，作 ⊥⍓轴，垂足为，设●与⌧轴交于点☜，由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=．设点坐标为（12m-+，⏹）． ∵ ✌ ， ∴ ✌  ，即✌☜ ☜   ．∴()222211122m m n n m -+-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得12m n -=．∴ 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭．解法二：连接 ．由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=． ∵ 在对称轴●上，∴ ✌ ． ∵ ✌ ，∴  ．∵△ 是等腰直角三角形，且  ， ∴ 在 的垂直平分线y x =-上．∴ 点即为对称轴12mx -+=与直线y x =-的交点． ∴ 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭．图①图②（）解法一：存在点✈满足题意．∵ 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭， ∴ ✌  ✌☜ ☜  222221111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵✌ 21m +，∴ ✌  ✌ ．∴∠✌＝ °． ∴△ ✌是等腰直角三角形．∵以✈、、为顶点的三角形与△ ✌相似， ∴△✈是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点✈的坐标为（ ❍，）或（，❍）． ①如图①，当✈点的坐标为（ ❍，）时，若 ✈与⌧轴垂直，则12mm -+=-，解得13m =， ✈ 13．若 ✈与⌧轴不垂直，则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∵ ＜❍＜，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110， ✈．＜13， ∴当25m =，即✈点的坐标为（25-，）时， ✈的长度最小．②如图②，当✈点的坐标为（，❍）时，若 ✈与⍓轴垂直，则12mm -=，解得13m =， ✈ 13．若 ✈与⍓轴不垂直，则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∵ ＜❍＜，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110， ✈．＜13， ∴当25m =，即✈点的坐标为（，25）时， ✈的长度最小．综上：当✈点坐标为（25-，）或（，25）时， ✈的长度最小．解法二：如图①，由（）知为△✌的外接圆的圆心． ∵∠✌ 与∠✌对应同一条弧AC ，且∠✌＝ °， ∴∠✌＝ ∠✌＝ °．下面解题步骤同解法一．．解：（）♋ ♌．（）∵在整个运动过程中，点移动的距离为()2a b +♍❍，圆心移动的距离为()24a -♍❍，由题意，得()224a b a +=-． ①∵点移动 ♦到达点，即点用 ♦移动了♌♍❍，点继续移动 ♦，到达 的中点，即点用 ♦移动了12a ♍❍．∴1223a b =． ② 由①②解得24,8.a b =⎧⎨=⎩∵点移动的速度与⊙ 移动的速度相等， ∴⊙ 移动的速度为42b=（♍❍♦）． ∴这 ♦时间内圆心移动的距离为 × （♍❍）．（）存在这种情形．解法一：设点移动的速度为❖ ♍❍♦，⊙ 移动的速度为❖ ♍❍♦，由题意，得()()1222021052422044v a b v a ++⨯===--．FE如图，设直线  与✌交于点☜，与 交于点☞，⊙ 与✌相切于点☝．若 与⊙ 相切，切点为☟，则 ☝ ☟．易得  ☝≌  ☟，∴∠✌ ∠ ． ∵ ∥✌，∴∠✌ ∠ ． ∴∠  ∠ ．∴  ．设  ⌧♍❍，则  ⌧♍❍，  （ ⌧）♍❍，在 ♦△ 中，由勾股定理，可得222PC CD PD +=，即()2222010x x -+=，解得252x =． ∴此时点移动的距离为25451022+=（♍❍）． ∵☜☞∥✌，∴△ ☜ ∽△ ✌． ∴1EO BE AD BA =，即182010EO =．∴☜ ♍❍．∴  ♍❍．①当⊙ 首次到达⊙ 的位置时，⊙ 移动的距离为 ♍❍， ∴此时点与⊙ 移动的速度比为454521428=．∵455284≠， ∴此时 与⊙ 不可能相切．②当⊙ 在返回途中到达⊙ 的位置时，⊙ 移动的距离为 ☎✆（♍❍），∴此时点与⊙ 移动的速度比为45455218364==． ∴此时 与⊙ 恰好相切．解法二：∵点移动的距离为452♍❍（见解法一），  ♍❍（见解法一），1254v v =，∴⊙ 应该移动的距离为4541825⨯=（♍❍）． ①当⊙ 首次到达⊙ 的位置时，⊙ 移动的距离为 ♍❍≠  ♍❍， ∴此时 与⊙ 不可能相切．②当⊙ 在返回途中到达⊙ 的位置时，⊙ 移动的距离为 ☎✆（♍❍），∴此时 与⊙ 恰好相切．解法三：点移动的距离为452♍❍，（见解法一） ♍❍，（见解法一）由1254v v =可设点的移动速度为 ♍❍♦，⊙ 的移动速度为 ♍❍♦， ∴点移动的时间为459252k k=（♦）．①当⊙ 首次到达⊙ 的位置时，⊙ 移动的时间为1479422k k k=≠， ∴此时 与⊙ 不可能相切．②当⊙ 在返回途中到达⊙ 的位置时，⊙ 移动的时间为2(204)14942k k⨯--=， ∴此时 与⊙ 恰好相切．。

江苏省苏州市2015年中考数学试卷(解析版)

【解析】给2 添上一个负号即可，故选C。

2．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为A．3 B．5 C．6 D．7【难度】★【考点分析】考查众数的概念，是中考必考题型，难度很小。

【解析】众数是一组数据中出现次数最多的数值，5 出现了两次，其它数均只出现一次，故选B。

3．月球的半径约为1 738 000m，1 738 000这个数用科学记数法可表示为A．1.738×106B．1.738×107C．0.1738×107D．17.38×105【难度】★【考点分析】考查科学记数法，是中考必考题型，难度很小。

【解析】科学记数法的表示结果应满足：a⨯10n（1≤ a <10）的要求，C,D 形式不满足，排除，通过数值大小（移小数点位置）可得A 正确，故选A。

4．若()2m=-，则有A．0＜m＜1 B．-1＜m＜0 C．-2＜m＜-1 D．-3＜m＜-2【难度】★☆【考点分析】考察实数运算与估算大小，实数估算大小往年中考较少涉及，但难度并不大。

2015年江苏省苏州市中考数学试题及答案

2015年苏州市初中毕业暨升学考试试卷数学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共28小题，满分130分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．2的相反数是（）A ．2B ．12C ．-2D ．-122．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为（）A ．3B ．5C ．6D ．73．月球的半径约为1 738 000m ，1 738 000这个数用科学记数法可表示为（） A ．1.738×106 B ．1.738×107C ．0.1738×107D ．17.38×1054．若()2m -，则有（） A ．0＜m ＜1 B ．-1＜m ＜0 C ．-2＜m ＜-1 D ．-3＜m ＜-25．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：则通话时间不超过15min 的频率为（） A ．0.1B ．0.4C ．0.5D ．0.96．若点A （a ，b ）在反比例函数2y x=的图像上，则代数式ab -4的值为（） A ．0B ．-2C ． 2D ．-67．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 中点，∠BAD =35°，则∠C 的度数为（） A ．35°B ．45°C ．55°D ．60°8．若二次函数y =x 2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2+bx =5的解为（） A ．120,4x x ==B ．121,5x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-=9．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A =30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为A ．43πB ．43π-C ．π D ．23π10．如图，在A一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB =2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为（）A ．4kmB ．(2kmC ．D．(4km二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 11．计算：2a a ⋅= ．12．如图，直线a ∥b ，∠1=125°，则∠2的度数为 °．13．某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每名学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为名． 14．因式分解：224a b -= ．15．如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为．16．若23a b -=，则924a b -+的值为．17．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE =CB ，点A 、D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连接GE ．若AC =18，BC =12，则△CEG 的周长为．18．如图，四边形ABCD 为矩形，过点GCDA ba（第13题）20%10%30%40%其他乒乓球篮球羽毛球（第15题）D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF =4．设AB =x ，AD =y ，则()224x y +-的值为．三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上．．．．．．．．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔． 19．（本题满分5分）(052+---． 20．（本题满分5分）解不等式组：()12,31 5.x x x +≥⎧⎪⎨-+⎪⎩＞21．（本题满分6分）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x =．22．（本题满分6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？23．（本题满分8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．24．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，AB =AC ．分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方画弧，设两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD 、BD 、CD ．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BC =6，∠BAC ＝50︒，求DE 、DF 的长度之和（结果保留π）．25．（本题满分8分）如图，已知函数ky x=（x ＞0）的图像经过点A 、B ，点B 的坐标为（2，2）．过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，AC 与BD 交于点F ．一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ．（第24题）FEDCBA（1）若AC =32OD ，求a 、b 的值；（2）若BC ∥AE ，求BC 的长．26．（本题满分10分）如图，已知AD 是△ABC的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点，过点B作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED ．（1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD =2CD ，设△EBD 的面积为1S ，△ADC 的面积为2S ，且2121640S S -+=，求△ABC 的面积．27．（本题满分10分）如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ．（1）∠ABC 的度数为 ▲ °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，（第26题）请说明理由．28．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD 中，AD =a cm ，AB =b cm （a ＞b ＞4），半径为2cm 的⊙O 在矩形内且与AB 、AD 均相切．现有动点P 从A 点出发，在矩形边上沿着A →B →C →D 的方向匀速移动，当点P 到达D 点时停止移动；⊙O 在矩形内部沿AD 向右匀速平移，移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O 回到出发时的位置（即再次与AB 相切）时停止移动．已知点P 与⊙O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P 从A →B →C →D ，全程共移动了 cm （用含a 、b 的代数式表示）；（2）如图①，已知点P 从A 点出发，移动2s 到达B 点，继续移动3s ，到达BC 的中点．若点P 与⊙O 的移动速度相等，求在这5s 时间内圆心O 移动的距离；（3）如图②，已知a =20，b =10．是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O 1的位置时（此时圆心O 1在矩形对角线BD 上），DP 与⊙O 1恰好相切？请说明理由．2015年苏州市初中毕业暨升学考试数学试题答案一、选择题 1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．B7．C 8．D 9．A 10．B 二、填空题 11．3a 12．55 13．60 14．()()22a b a b +- 15．1416．317．2718．16三、解答题19.解：原式＝ 3+5-1 ＝ 7． 20.解：由12x +≥，解得1x ≥，由()315x x -+＞，解得4x ＞， ∴不等式组的解集是4x ＞．21.解：原式＝()21122x x x x ++÷++ ＝()2121211x x x x x ++⨯=+++．当1x ===． 22.解：设乙每小时做x 面彩旗，则甲每小时做（x +5）面彩旗．根据题意，得60505x x=+．解这个方程，得x =25．经检验，x =25是所列方程的解． ∴x +5=30．答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗．23.解：（1）1．（2）用表格列出所有可能的结果：由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有2种可能．∴P （两次都摸到红球）=212=16． 24.证明：（1）由作图可知BD =CD ．在△ABD 和△ACD 中，,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD （SSS ）．∴∠BAD ＝∠CAD ，即AD 平分∠BAC ．解：（2）∵AB =AC ，∠BAC =50°，∴∠ABC ＝∠ACB=65°．∵BD = CD = BC ，∴△BDC 为等边三角形． ∴∠DBC ＝∠DCB=60°． ∴∠DBE ＝∠DCF=55°． ∵BC =6，∴BD = CD =6．∴DE 的长度=DF 的长度=556111806ππ⨯⨯=． ∴DE 、DF 的长度之和为111111663πππ+=． 25．解：（1）∵点B （2，2）在ky x=的图像上，∴k =4，4y x=．∵BD ⊥y 轴，∴D 点的坐标为（0，2），OD =2．∵AC ⊥x 轴，AC =32OD ，∴AC =3，即A 点的纵坐标为3．∵点A 在4y x=的图像上，∴A 点的坐标为（43，3）．∵一次函数y =ax +b 的图像经过点A 、D ，∴43,3 2.a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解得3,42.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）设A 点的坐标为（m ，4m），则C 点的坐标为（m ，0）． ∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ，∴四边形BCED 为平行四边形． ∴CE = BD =2．∵BD ∥CE ，∴∠ADF =∠AEC ．∴在Rt △AFD 中，tan ∠ADF =42AF mDF m -=，在Rt △ACE 中，tan ∠AEC =42AC mEC =， ∴4422m m m -=，解得m =1．∴C 点的坐标为（1，0），BC．26．证明：（1）∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD =∠DAC ．∵∠E=∠BAD ，∴∠E =∠DAC ． ∵BE ∥AD ，∴∠E =∠EDA ． ∴∠EDA =∠DA C ． ∴ED ∥AC ．解：（2）∵BE ∥AD ，∴∠EBD =∠ADC ．∵∠E =∠DAC ，∴△EBD ∽△ADC ，且相似比2BDk DC==． ··················· ∴2124S k S ==，即124S S =． ∵2121640S S -+=，∴222161640S S -+=，即()22420S -=． ∴212S =． ∵233ABC S BC BD CD CD S CD CD CD+====，∴32ABCS=． 27．解：（1）45．理由如下：令x =0，则y =-m ，C 点坐标为（0，-m ）．令y =0，则()210x m x m +--=，解得11x =-，2x m =．∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m ，0）．∴OB =OC =m ．∵∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°．（2）解法一：如图①，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=．设点P 坐标为（12m-+，n ）． ∵P A = PC ， ∴P A 2= PC 2，即AE 2+ PE 2=CD 2+ PD 2．∴()222211122m m n n m -+-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得12m n -=．∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭．解法二：连接PB ．由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=． ∵P 在对称轴l 上，∴P A =PB ． ∵P A =PC ，∴PB =PC ．∵△BOC 是等腰直角三角形，且OB =OC ， ∴P 在BC 的垂直平分线y x =-上．∴P 点即为对称轴12mx -+=与直线y x =-的交点． ∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭．图①图②（3）解法一：存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭， ∴P A 2+ PC 2=AE 2+ PE 2+CD 2+ PD 2=222221111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵AC 2=21m +，∴P A 2+ PC 2=AC 2．∴∠APC ＝90°． ∴△P AC 是等腰直角三角形．∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似， ∴△QBC 是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（-m ，0）或（0，m ）． ①如图①，当Q 点的坐标为（-m ，0）时，若PQ 与x 轴垂直，则12m m -+=-，解得13m =，PQ =13．若PQ 与x 轴不垂直，则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（25-，0）时， PQ 的长度最小．②如图②，当Q 点的坐标为（0，m ）时，若PQ 与y 轴垂直，则12m m -=，解得13m =，PQ =13．若PQ 与y 轴不垂直，则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（0，25）时， PQ 的长度最小．综上：当Q 点坐标为（25-，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小．解法二：如图①，由（2）知P 为△ABC 的外接圆的圆心．∵∠APC 与∠ABC 对应同一条弧AC ，且∠ABC ＝45°，∴∠APC ＝2∠ABC ＝90°．下面解题步骤同解法一．28．解：（1）a +2b ．（2）∵在整个运动过程中，点P 移动的距离为()2a b +cm ，圆心O 移动的距离为()24a -cm ，由题意，得()224a b a +=-． ①∵点P 移动2s 到达B 点，即点P 用2s 移动了b cm ，点P 继续移动3s ，到达BC 的中点，即点P 用3s 移动了12a cm ．∴1223a b =． ②由①②解得24,8.a b =⎧⎨=⎩∵点P 移动的速度与⊙O 移动的速度相等，∴⊙O 移动的速度为42b=（cm/s ）． ∴这5s 时间内圆心O 移动的距离为5×4=20（cm ）．（3）存在这种情形．解法一：设点P 移动的速度为v 1cm/s ，⊙O 移动的速度为v 2cm/s ，由题意，得()()1222021052422044v a b v a ++⨯===--．FE如图，设直线OO 1与AB 交于点E ，与CD 交于点F ，⊙O 1与AD 相切于点G ．若PD 与⊙O 1相切，切点为H ，则O 1G =O 1H ．易得△DO 1G ≌△DO 1H ，∴∠ADB =∠BDP ． ∵BC ∥AD ，∴∠ADB =∠CBD ． ∴∠BDP =∠CBD ．∴BP =DP ．设BP =x cm ，则DP =x cm ，PC =（20-x ）cm ，在Rt △PCD 中，由勾股定理，可得222PC CD PD +=，即()2222010x x -+=，解得252x =．∴此时点P 移动的距离为25451022+=（cm ）． ∵EF ∥AD ，∴△BEO 1∽△BAD ．∴1EO BE AD BA =，即182010EO =．∴EO 1=16cm ．∴OO 1=14cm ．①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为14cm ，∴此时点P 与⊙O 移动的速度比为454521428=．∵455284≠， ∴此时PD 与⊙O 1不可能相切．②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm ）， ∴此时点P 与⊙O 移动的速度比为45455218364==．∴此时PD与⊙O1恰好相切．解法二：∵点P移动的距离为452cm（见解法一），OO1=14cm（见解法一），125 4vv=，∴⊙O应该移动的距离为4541825⨯=（cm）．①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14cm≠18 cm，∴此时PD与⊙O1不可能相切．②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm），∴此时PD与⊙O1恰好相切．解法三：点P移动的距离为452cm，（见解法一）OO1=14cm，（见解法一）由125 4vv=可设点P的移动速度为5k cm/s，⊙O的移动速度为4k cm/s，∴点P移动的时间为459252k k=（s）．①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的时间为1479 422k k k=≠，∴此时PD与⊙O1不可能相切．②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的时间为2(204)14942k k⨯--=，∴此时PD与⊙O1恰好相切．。

江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编专题9：平面几何基础

江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编（20专题）专题9：平面几何基础1. （2015年江苏无锡3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是【】A. 等边三角形B. 平行四边形C. 矩形D. 圆【答案】A ．【考点】轴对称图形和中心对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合. 因此，A 、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B 、只是中心对称图形，不合题意；C 、D 既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意．故选A ．2. （2015年江苏无锡3分）八边形的内角和为【】A. 180ºB. 360ºC. 1080ºD. 1440º 【答案】C ．【考点】多边形内角和定理．【分析】根据多边形的内角和公式()2180n -⋅︒计算即可得解：八边形的内角和为()821801080-⋅︒=︒．故选C ．3. （2015年江苏徐州3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是【】A. 直角三角形B. 正三角形C. 平行四边形D. 正六边形【答案】B..【考点】轴对称图形和中心对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合. 因此，A. 直角三角形不一定是轴对称图形和中心对称图形；B. 正三角形是轴对称图形但不是中心对称图形；C. 平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；D. 正六边形是轴对称图形也是中心对称图形. 故选B..4. （2015年江苏盐城3分）下列四个图形中，是中心对称图形的为【】A. B. C. D.【答案】C.【考点】中心对称图形.【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合. 因此，所给图形中是中心对称图形的为. 故选C.5. （2015年江苏盐城3分）将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为【】A. 85°B. 75°C. 60°D. 45° 【答案】B.【考点】等腰直角三角形的性质；三角形内角和定理；平行的性质. 【分析】如答图，∵ABC ∆是等腰直角三角形，∴45A ∠=︒. ∵在AIJ ∆中，∠1=60°，∴375∠=︒. ∵DE ∥GF ，∴2375∠=∠=︒. 故选B.6. （2015年江苏常州2分）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是【】A. B. C. D.【答案】B ．【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合. 因此，A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项正确；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误．故选B ．7. （2015年江苏常州2分）如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B =40°，则∠ECD 的度数是【】A. 70°B. 60°C. 50°D. 40° 【答案】C ．【考点】平行线的性质；垂线的定义．【分析】∵BC ⊥AE ，∴∠BCE =90°.∵CD ∥AB ，∠B =40°，∴∠BCD =∠B =40°. ∴∠ECD =90°﹣∠BCD =50°. 故选C ．8. （2015年江苏淮安3分）如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若32BC AB ，DE =4，则EF 的长是【】A.38 B. 320 C. 6 D. 10 【答案】C.【考点】平行线分线段成比例的性质. 【分析】∵l 1∥l 2∥l 3，∴DE ABEF BC=. ∵23AB BC =，DE =4，∴4263EF EF =⇒=.故选C.9. （2015年江苏南通3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】A. B. C. D.【答案】A ．【考点】轴对称图形；中心对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合. 因此，A 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A 正确；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B 错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 错误．故选A ．10. （2015年江苏南通3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是【】A. 5，6，10B. 5，6，11C. 3，4，8D. 4a ，4a ，8a （a ＞0）【答案】A ．【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可:A、∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；B、∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；C、∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；D、∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A．11. （2015年江苏宿迁3分）如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是【】A. 同位角B. 内错角C. 同旁内角D. 邻补角【答案】A．【考点】三线八角的概念.【分析】根据三线八角的概念，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．故选A．12. （2015年江苏宿迁3分）已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为【】A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B．【考点】多边形内角与外角．【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°，列方程得，()2180360n-⋅︒=︒，解得4n=.故选B．1. （2015年江苏连云港3分）如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和为▲ ．【答案】720°．【考点】多边形内角与外角．【分析】直接根据多边形内角和公式进行计算即可：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°．2. （2015年江苏连云港3分）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为▲ ．.【考点】平行线的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理．【分析】如答图，过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，∴BC tan BACAB ∠=∵直线l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3. ∴∠AEB=∠BFC=90°．∵∠ABC=90°，∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC.∴△BFC∽△AEB，∴FC BC EB AB==∵EB=1，∴FC在Rt△BF C中，BC在Rt△ABC中，BCACsin BAC===∠．3. （2015年江苏苏州3分）如图，直线a∥b，∠1=125°，则∠2的度数为▲°．【答案】55.【考点】平行的性质；平角定义. 【分析】如答图，∵a ∥b ，∠1=125°，∴∠3=∠1=125°.∴∠2=180°-125°=55°.4. （2015年江苏泰州3分）如图，直线 1l ∥2l ，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2= ▲ °.【答案】140°.【考点】平行的判定和性质.【分析】如答图，延长AB 交2l 于点E ，∵1l ∥2l ，∠1=40°，∴∠3=∠1=40°. ∵∠α=∠β，∴AE ∥CD . ∴21803140∠=︒-∠=︒.5. （2015年江苏徐州3分）小丽近6个月的手机话费（单位：元）分别为：18，24，37，28，24，26，这组数据的中位数是 ▲ 元. 【答案】25. 【考点】中位数.【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）.因此，∵将这组数据重新排序为18，24，24，26，28，37， ∴中位数是按从小到大排列后第3、4个数的平均数，为：25.6. （2015年江苏扬州3分）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A 、B 、C 都在横格线上，若线段AB =4 cm ，则线段BC = ▲ cm.【答案】12.【考点】平行线分线段成比例的性质.【分析】∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，且点A 所在的横格线与点B 所在的横格线的距离为2，点B 所在的横格线与点C 所在的横格线的距离为6，∴根据平行线分线段成比例的性质，得26AB BC =. ∵AB =4 cm ，∴()42126BC cm BC =⇒=. 7. （2015年江苏扬州3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若矩形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1、∠2，则∠2－∠1= ▲ ．【答案】90︒.【考点】平行的性质；平角的定义.【分析】如答图，∵AB ∥DC ，∴∠2=∠3.∵34180∠+∠=︒，∴21804∠=︒-∠. 又∵1490∠+∠=︒，即1904∠=︒-∠. ∴()21180490490∠-∠=︒-∠-︒-∠=︒.8. （2015年江苏淮安3分）五边形的外角和等于 ▲ °．【答案】360.【考点】多边形外角和定理.【分析】直接根据多边形的外角和等于360°作答：五边形的外角和等于360°.9. （2015年江苏淮安3分）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含300角的三角尺的短直角边和含450角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是 ▲ °．【答案】75︒.【考点】平行线的性质；三角形外角性质. 【分析】如答图，根据题意，有∠C=45°，∠F=30°，EF ∥BC. ∵EF ∥BC ，∴∠2=∠C=45°. ∴12453075F ∠=∠+∠=︒+︒=︒.1. （2015年江苏常州10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE =DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．理由：连接A H ，EH ．∵AE 为直径，∴∠AHE =90°，∴∠HAE +∠HEA =90°． ∵DH ⊥AE ，∴∠ADH =∠EDH =90° ∴∠HAD +∠AHD =90°∴∠AHD =∠HED ，∴△ADH ∽ ▲ ． ∴AD DHDH DE=，即DH 2=AD ×DE ．又∵DE =DC∴DH2= ▲ ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．Y等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．如图②，请用尺规作图作出与ABCD（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的▲ （填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．【答案】解：（1）△HDE；AD×DC.Y等积的矩形.（2）如答图1，矩形ANMD即为与ABCD（3）矩形.如答图2，CF为与△ABC等积的正方形的一条边.（4）如答图3，△BCE是与四边形ABCD等积的三角形.，【考点】阅读理解型问题；尺规作图（复杂作图）；全等、相似三角形的判定和性质；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质；圆周角定理；转换思想和数形结合思想的应用．【分析】（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；根据等量代换，可得DH2=AD×DC，据此判断即可．（2）过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，以点M为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点N，Y等积的矩形.连接AN，则易证△DCM≌△ABN，因此，矩形ANMD即为与ABCD（3）三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形，再转化为等积的正方形．首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形BCMN；然后延长BC到E，使CE=CM，以BE为直径作圆．延长CM交圆于点F，则CF即为与△ABC等积的正方形的一条边．（4）连接AC，过点D作DE∥AC交BA的延长线于点E，连接CE，则△BCE是与四边形ABCD等积的三角形.2. （2015年江苏宿迁6分）如图，已知AB=AC=A D，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．【答案】证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD. ∴∠ABC=∠CBD+∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D. ∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D.又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D．【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】首先根据A B=AC=A D，可得∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC =2∠D.，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．3. （2015年江苏镇江6分）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于▲ ．【答案】解：（1）如答图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴36031358AOD︒∠=⨯=︒.∵OA=5，∴»135515 1804ADππ⋅⋅==.设这个圆锥底面圆的半径为R，∴1524Rππ=，解得158R=∴这个圆锥底面圆的半径为158．【考点】作图（复杂作图）；正多边形和圆；圆锥和扇形的计算．【分析】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长FO，HO，分别交⊙O于D，B，顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得AOD∠，根据弧长公式求得得到»AD的长，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长列方程即可求得结果．4. （2015年江苏镇江7分）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB 方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．（1）请在图中画出光源O 点的位置，并画出他位于点F 时在这个灯光下的影长FM （不写画法）；（1）求小明原来的速度．【答案】解：（1）光源O 点的位置如图，（2）设小明原来的速度为xm/s ，则()24 1.24 1.2CE xm AM AF MF x x m ==-=--，（），()2 1.53124 1.213.24EG x xm BM AB AM x x =⨯==-=--=-，，∵点C ，E ，G 在一条直线上，CG ∥AB ，∴△OCE ∽△OAM ，△OEG ∽△OMB ， ∴,CE OE EG OE AM OM BM OM == .∴CE EG AM BM =，即234 1.213.24x x x x=--，解得x =1.5. 经检验x =1.5为方程的解，∴小明原来的速度为1.5m/s ．答：小明原来的速度为1.5m/s ．【考点】中心投影；分式方程的应用；相似三角形的应用．【分析】（1）利用中心投影的定义画图.（2）设小明原来的速度为xm/s ，用x 表示出CE 、AM 、EG 、BM 的长，根据相似三角形的判定方法得到△OCE ∽△OAM ，△OEG ∽△OMB ，则,C E O E E G O E A M O M B M O M == ，所以CE EG AM BM=，据此列方程求解即可．。

江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编专题13：动态几何问题

江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编（20专题）专题13：动态几何问题1. （2015年江苏泰州3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△'''C B A 由△ABC 绕点P 旋转得到，则点P 的坐标为【】A. ()0,1B. ()1,1 -C. ()0,1 -D. ()1,0【答案】B.【考点】旋转的性质；旋转中心的确定；线段垂直平分线的性质.【分析】根据“旋转不改变图形的形状与大小”和“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的性质，确定图形的旋转中心的步骤为：1.把这两个三角形的对应点连接起来；2.作每条线的垂直平分线；3.这三条垂直平分线交于一点,此点为旋转中心. 因此，作图如答图, 点P 的坐标为()1,1 -.故选B.2. （2015年江苏盐城3分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图像大致为【】A. B. C. D.【答案】B.【考点】单动点问题；函数图象的分析；正方形的性质；三角形的面积；分类思想和数形结合思想的应用. 【分析】根据题意，可知△ABP的面积S随着时间t变化的函数图像分为五段：当点P从A→D时，△ABP的面积S是t的一次函数；当点P从D→E时，△ABP的面积S不随t的变化而变化，图象是平行于t轴的一线段；当点P从E→F时，△ABP的面积S是t的一次函数；当点P从F→G时，△ABP的面积S不随t的变化而变化，图象是平行于t轴的一线段；当点P从G→B时，△ABP的面积S是t的一次函数.故选B.3. （2015年江苏扬州3分）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是【】A. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1C.△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1 D. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3【答案】A.【考点】图形的旋转和平移变换.【分析】按各选项的变换画图（如答图），与题干图形比较得出结论. 故选A.1. （2015年江苏扬州3分）如图，已知Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC =6，BC =4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，若点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF = ▲ ．【答案】5.【考点】面动旋转问题；直角三角形斜边上中线的性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；勾股定理.【分析】如答图，连接CF ，过点F 作FG AC ⊥于点G ，∵在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点F 是DE 的中点， ∴12CF EF DF DE ===.∴CEF ∆是等腰三角形. ∵将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，BC =4，AC =6，∴4,6CE CD == .∵FG AC ⊥，∴122EG CG CE ===.∴4AG AC CG =-=又∵G F 、分别是EC ED 、的中点，∴GF 是△DEC 的中位线.∴132GF CD ==.在Rt △AGF 中，∵4AG =，3GF =，∴由勾股定理，得AF =5.2. （2015年江苏宿迁3分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，4），直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 ▲ ．【答案】285. 【考点】单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；垂线段最短的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质．【分析】根据垂线段最短得出PM ⊥AB 时线段PM 最短，分别求出PB 、OB 、OA 、AB 的长度，利用△PBM ∽△ABO ，即可求出答案如答图，过点P 作PM ⊥AB ，则：∠PMB =90°，当PM ⊥AB 时，P M 最短， ∵直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ， ∴点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，﹣3）.在Rt △AOB 中，∵AO =4，BO =3，∴根据勾股定理，得AB =5.∵∠BMP =∠AOB =90°，∠ABO =∠PBM ，∴△PBM ∽△ABO . ∴PB PM AB AO =，即：4354PM +=，解得285PM =. 3. （2015年江苏镇江2分）如图，将等边△OAB 绕O 点按逆时针方向旋转150°，得到△OA ′B ′（点A ′，B ′分别是点A ，B 的对应点），则∠1= ▲ °．【答案】150．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】∵等边△OAB 绕点O 按逆时针旋转了150°，得到△OA ′B ′，∴∠AOA ′=150°，∵∠A ′OB ′=60°，∴∠1=360°﹣∠AOA ′﹣∠A ′OB ′=360°﹣150°﹣60°=150°.4. （2015年江苏镇江2分）如图，△ABC 和△DBC 是两个具有公共边的全等三角形，AB =AC =3cm ，BC =2cm ，将△DBC 沿射线BC 平移一定的距离得到△D 1B 1C 1，连接AC 1，BD 1．如果四边形ABD 1C 1是矩形，那么平移的距离为 ▲ cm ．【答案】7．【考点】面动平移问题；相似三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；平移的性质．【分析】如答图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵∠AEB =∠AEC 1=90°，∴∠BAE +∠ABC =90°.∵AB =AC ，BC =2，∴BE =CE =12BC =1， ∵四边形ABD 1C 1是矩形，∴∠BAC 1=90°.∴∠ABC +∠AC 1B =90°. ∴∠BAE =∠AC 1B .∴△ABE ∽△C 1BA . ∴1BE AE AB BC =. ∵AB =3，BE =1，∴1133BC =.∴BC 1=9. ∴CC 1=BC 1﹣BC =9﹣2=7，即平移的距离为7．1. （2015年江苏连云港12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与A G在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，将线段DG与线段BE相交，交点为H，写出△GHE 与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，∴△ADG≌△ABE（SAS）.∴∠AGD=∠AEB.如答图1，延长EB交DG于点H，在△ADG中，∵∠AGD+∠ADG=90°，∴∠AEB+∠ADG=90°.在△EDH中，∵∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，∴∠DH E=90°. ∴DG⊥BE.（2）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE，∴△ADG≌△ABE（SAS）.∴DG=BE.如答图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，则∠AMD=∠AMG=90°，∵BD为正方形AB CD的对角线，∴∠MDA=45°.在Rt△AMD中，∵∠MDA=45°，AD=2，==∴DM AM在Rt△AMG中，根据勾股定理得：GM==∵DG DM GM =+=BE DG ==（3）△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为6，理由如下：∵对于△EGH ，点H 在以E G 为直径的圆上，∴当点H 与点A 重合时，△EGH 的高最大；∵对于△BDH ，点H 在以BD 为直径的圆上，∴当点H 与点A 重合时，△BDH 的高最大.∴△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为2+4=6．【考点】面动旋转问题；正方形的性质；全等三角形的判定和性质；三角形内角和定理；等腰直角三角形的性质，勾股定理；数形结合思想的应用．【分析】（1）由四边形ABCD 与四边形AEFG 为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS 得到△ADG ≌△ABE ，利用全等三角形对应角相等得∠AGD =∠AEB ，作辅助线“延长EB 交DG 于点H ”，利用等角的余角相等得到∠DHE =90°，从而利用垂直的定义即可得DG ⊥BE .（2）由四边形ABCD 与四边形AEFG 为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS 得到△ADG ≌△ABE ，利用全等三角形对应边相等得到DG =BE ，作辅助线“过点A 作AM ⊥DG 交DG 于点M ”，则∠AMD =∠AMG =90°，在Rt △AMD 中，根据等腰直角三角形的性质求出AM 的长，即为DM 的长，根据勾股定理求出GM 的长，进而确定出DG 的长，即为BE 的长.（3）△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为6，理由为：对两个三角形，点H 分别在以EG 为直径的圆上和以BD 为直径的圆上，当点H 与点A 重合时，两个三角形的高最大，即可确定出面积的最大值．2. （2015年江苏苏州10分）如图，在矩形ABCD 中，AD =a cm ，AB =b cm （a ＞b ＞4），半径为2cm 的⊙O 在矩形内且与AB 、AD 均相切．现有动点P 从A 点出发，在矩形边上沿着A →B →C →D 的方向匀速移动，当点P 到达D 点时停止移动；⊙O 在矩形内部沿AD 向右匀速平移，移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O 回到出发时的位置（即再次与AB 相切）时停止移动．已知点P 与⊙O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．（1）如图①，点P 从A →B →C →D ，全程共移动了 ▲ cm （用含a 、b 的代数式表示）；（2）如图①，已知点P 从A 点出发，移动2s 到达B 点，继续移动3s ，到达BC 的中点．若点P 与⊙O 的移动速度相等，求在这5s 时间内圆心O 移动的距离；（3）如图②，已知a =20，b =10．是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O 1的位置时（此时圆心O 1在矩形对角线BD 上），DP 与⊙O 1恰好相切？请说明理由．【答案】解：（1）2a b +.（2）∵在整个运动过程中，点P 移动的距离为()2a b +cm ，圆心移动的距离为()24a -cm ，∴由题意得()224a b a +=-①.∵点P 移动2s 到达B 点，即点P 用2s 移动了b cm ，点P 继续移动3s 到达BC 的中点，即点P 用3s 移动了12a cm ， ∴1223a b =②. 联立①②，解得248a b =⎧⎨=⎩. ∵点P 移动的速度与⊙O 移动的速度相等，∴⊙O 移动的速度为42b =（cm/s ）. ∴这5s 时间内圆心O 移动的距离为5420⨯=（cm ）.（3）存在这样的情形.设点P 移动的速度为P v cm/s ，⊙O 移动的速度为O v cm/s ，根据题意，得()()22021052422044P O v a b v a ++⨯===++. 如答图，设直线OO 1与AB 交于点E ，与CD 交于点E ，⊙O 1与AD 相切于点PG .若PD 与⊙O 1相切，切点为H ，则11O G O H =.易得△DO 1G ≌△DO 1H ，∴∠ADB=∠BDP .∵BC ∥AD ，∴∠ADB=∠CBD . ∴∠BDP =∠CBD.∴BP=DP .设BP x =cm ，则DP x =cm ，()20PC x =-cm ，在Rt PCD ∆中，由勾股定理，得222PC CD PD +=，即()2222010x x -+=，解得252x =. ∴此时点P 移动的距离为25451022+=（cm ）. ∵EF ∥AD ，∴△BEO 1∽△BAD . ∴1EO BE AD BA =，即182010EO =. ∴116EO =cm ，114OO =cm.①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 与移动的距离为14cm.∴此时点P 移动的速度与⊙O 移动的速度比为454521428=. ∴此时DP 与⊙O 1恰好相切.②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置时，⊙O 与移动的距离为()22041418⨯--=cm.∴此时点P 移动的速度与⊙O 移动的速度比为45455218364==. ∴此时DP 与⊙O 1不可能相切.【考点】单动点和动圆问题；矩形的性质；直线与圆的位置关系；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；方程思想和分类思想的应用.【分析】（1）根据矩形的性质可得：点P 从A →B →C →D ，全程共移动了2a b +cm.（2）根据“在整个运动过程中，点P 移动的距离等于圆心移动的距离”和“点P 用2s 移动了b cm ，点P 用3s 移动了12a cm ”列方程组求出a ，b ，根据点P 移动的速度与⊙O 移动的速度相等求得⊙O 移动的速度，从而求得这5s 时间内圆心O 移动的距离.（3）分⊙O 首次到达⊙O 1的位置和⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置两种情况讨论即可.6. （2015年江苏泰州12分）如图，正方形ABCD 的边长为8cm ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的动点，且AE =BF =CG =DH .（1）求证：四边形EFGH 是正方形；（2）判断直线EG 是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH 面积的最小值.【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90,A B C D AB BC CD DA ∠=∠=∠=∠=︒=== .∵AE BF CG DH ===，∴BE CF DG AH ===.∴()AEH BFE CGF DHG SAS ∆∆∆∆≌≌≌.∴,EH FE GF HG AHF BEF ===∠=∠ .∴四边形EFGH 是菱形.∵90AHF AEH ∠+∠=︒，∴90BEF AEH ∠+∠=︒.∴90HEF ∠=︒.∴四边形EFGH 是正方形.（2）直线EG 经过定点-----正方形ABCD 的中心. 理由如下：如答图，连接,,,DE BG BD EG ，BD 、EG 相交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥DC .∵BE DG =，∴四边形BGDE 是平行四边形.∴BO DO =，即点O 是正方形ABCD 的中心.∴直线EG 经过定点----正方形ABCD 的中心.（3）设AE BF CG DH x ====，则8BE CF DG AH x ====-，∵()()22222228216642432EFGH S EF BE BF x x x x x ==+=+-=-+=-+四边形，∴当4x =时，四边形EFGH 面积的最小值为32.【考点】单动点和定值问题；正方形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；平行四边形的判定和性质；勾股定理；二次函数的应用（实际问题）.【分析】（1）由SAS 证明AEH BFE CGF DHG ∆∆∆∆≌≌≌，即可证明四边形EFGH 是一个角是直角的菱形----正方形.（2）作辅助线“连接,,,DE BG BD EG ，BD 、EG 相交于点O ”构成平行四边形BGDE ，根据平行四边形对角线互分的性质即可证明直线EG 经过定点-----正方形ABCD 的中心.（3）设AE BF CG DH x ====，根据正方形的性质和勾股定理得到EFGH S 四边形关于x 的二次函数，应用二次函数最值原理求解即可.7. （2015年江苏无锡10分）如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，OC ＝6，N 为边OB 上异于点O 的一动点，P 是线段05上一点，过点P 分别作PQ ∥OA 交OB 于点Q ，PM ∥OB 交OA 于点M ．（1）若∠AOB =60º，OM =4，OQ =1，求证：05⊥OB ；（2）当点N 在边OB 上运动时，四边形OMPQ 始终保持为菱形； ①问：11OM ON-的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由； ②设菱形OMPQ 的面积为S 1，△NOC 的面积为S 2，求12S S 的取值范围．【答案】解：（1）证明：如答图，过点P 作PE ⊥OA 于点E ，∵PQ ∥OA ，PM ∥OB ， ∴四边形OMPQ 为平行四边形. ∵OQ =1，∠AOB =60°，∴PM =OQ =1，∠PME =∠AOB =60°.∴16022PE PM sin ME =⋅︒==. ∴32CE OC OM ME =--=.∴3PE tan PCE CE ∠==. ∴∠PCE =30°. ∴∠CPM =90°，又∵PM ∥OB ，∴∠05O =∠CPM =90°，即05⊥OB . （2）①11OM ON-的值不发生变化，理由如下：设OM x ON y ==，，∵四边形OMPQ 为菱形，∴OQ QP OM x NQ y x ====-，. ∵PQ ∥OA ，∴∠NQP =∠O .又∵∠QNP =∠ONC ，∴△NQP ∽△NOC . ∴QP NQOC ON=，即6x y x y -=，化简,得111166y x xy x y -=⇒-=. ∴1116OM ON -=不变化. ②如答图,过点P 作PE ⊥OA 于点E ，过点N 作NF ⊥OA 于点F ，设OM x =，则1212S OM PE S OC NF =⋅=⋅，,∴123S xPE S NF =． ∵PM ∥OB ，∴∠MCP =∠O .又∵∠PCM =∠NCO ，∴△CPM ∽△05O. ∴66PE CM xNF CO -==. ∴()()212611318182x x S x S -==--+ ∵0＜x ＜6，∴根据二次函数的图象可知， 1210<2S S ≤．【考点】相似形综合题；单动点问题；定值问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；二次函数的性质；平行四边形的判定和性质；菱形的性质.【分析】（1）作辅助性线，过点P 作PE ⊥OA 于E ，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到OMPQ 为平行四边形，利用平行四边形的对边相等，对角相等得到PM =OQ =1，∠PME =∠AOB =60°，进而求出PE 与ME 的长，得到CE 的长，求出tan ∠PCE 的值，利用特殊角的三角函数值求出∠PCE 的度数，得到PM 于NC 垂直，而PM 与ON 平行，即可得到05与OB 垂直.（2）①11OM ON-的值不发生变化，理由如下：设OM =x ，ON =y ，根据OMPQ 为菱形，得到PM =PQ =OQ =x ，QN=y ﹣x ，根据平行得到△NQP 与△NOC 相似，由相似得比例即可确定出所求式子的值.②作辅助性线，过点P 作PE ⊥OA 于点E ，过点N 作NF ⊥OA 于点F ，表示出菱形OMPQ 的面积为S 1，△NOC 的面积为S 2，得到12S S ，由PM 与OB 平行，得到△CPM 与△05O 相似，由相似得比例求出所求式子12S S 的范围即可． 8. （2015年江苏徐州8分）如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C 落在第二象限. 其斜边两端点A 、B 分别落在x 轴、y 轴上，且AB =12cm （1）若OB =6cm ． ①求点C 的坐标；②若点A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C 与点O 的距离的最大值= ▲ cm.【答案】解：（1）①如答图1，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，在Rt △ABC 中，AB =12，∠BAC =30°，∴BC =6. 在Rt △AOB 中，AB =12， OB =6， ∴∠BAO =30°，∠ABO =60°.又∵∠CBA =60°，∴∠CBD =60°，∠BCD =30°. ∴BD =3，CD=OD =9. ∴点C的坐标为()9- .②如答图2，设点A 向右滑动的距离'AA x =，根据题意得点B 向动的距离'BB x =.∵在Rt △AOB 中，AB =12， OB =6，∴AO =∴','6,''12A O x B O x A B AB ==+== .在△A 'O B '中，由勾股定理得，()()222612x x ++=，解得，126,0x x == （舍去）.∴滑动的距离为6．（2）12．【考点】面动问题；含30度角直角三角形的性质；勾股定理；点的坐标；二次函数最值的应用；方程思想的应用.【分析】（1）①作辅助线“过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ”，应用含30度角直角三角形的性质求出CD 和BD 的长，即可求出点C 的坐标.②设点A 向右滑动的距离'AA x =，用表示出'A O 和'B O 的长，在△A 'O B '中，应用勾股定理列方程求解即可.（2）设点C 的坐标为(),x y ，如答图3，过点C 作CE ⊥x 轴，CD ⊥y 轴，垂足分别为E ，D ，则OE =－x ，OD =y .∵∠ACE ＋∠BCE =90°，∠DCB ＋∠BCE =90°， ∴∠ACE =∠DCB .又∵∠AEC =∠BDC =90°，∴△ACE ∽△BCD .∴CE ACCD BC=，即6y x =-. ∴y =.∴())2222224OC x y x x =-+=+=.∴当x 取最大值，即点C 到y 轴距离最大时，2OC 有最大值，即OC 取最大值，如图，即当''C B 转到与y 轴垂时. 此时OC =12．9. （2015年江苏徐州8分）如图，在矩形OABC 中，OA =3，OC =5,分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合），反比例函数()>0ky k x=的图像经过点D 且与边BA 交于点E ，连接DE .（1）连接OE ，若△EOA 的面积为2，则k = ▲ ；（2）连接CA 、DE 与CA 是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D ，使得点B 关于DE 的对称点在OC 上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）4.（2）平行，理由如下：如答图1，连接AC ，设()(),5,3,D a E b ， ∵()(),5,3,D a E b 在()>0ky k x=上， ∴5533k k a a k k b b ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩. ∵BC =OA =3，AB =O C =5，∴BD =3－5k ，BE =5－3k. ∴3335,5553kBC BD k AB BE -===- .∴BC BD AB BE =，即BC AB BD BE =. ∴DE ∥AC ．（3）存在.假设存在点D 满足条件．设,5,3,53k k D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则CD =5k ，BD =3－5k ，AE =3k ，BE =5－3k．如答图2，过点E 作EF ⊥OC ，垂足为F ，易证△B 'CD ∽△EFB '，∴'''B E B F B D CD =，即5'3355kB F k k -=-.∴'3k B F =. ∴2'''55333k k kCB OC B F OF OC B F AE =--=--=--=-. 在Rt △B 'CD 中，CB '= 253k -，CD =5k ，B 'D =BD =3－5k，由勾股定理得，CB '²＋CD ²= B 'D ²，∴222253355k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得2101233600k k -+=.解得，122415,52k k == （不合题意，舍去）.∴24,525D ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴满足条件的点D 存在，D 的坐标为24,525⎛⎫⎪⎝⎭．【考点】反比例函数综合题；单动和轴对称问题；曲线上点的坐标与方程的关系；平行的判定；相似三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用. 【分析】（1）设3,3k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OA =3， AE =3k ． ∵△EOA 的面积为2，∴132423kk ⋅⋅=⇒=. （2）设()(),5,3,D a E b ，由()(),5,3,D a E b 在k y x =上，得到,5,3,53k k D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得BC BD AB BE =，即BC ABBD BE=，进而证得DE ∥AC ．（3）设,5,3,53k k D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，作辅助线“过点E 作EF ⊥OC ，垂足为F ”，由△B 'CD ∽△EFB '得到'''B E B F B D CD =而求得'3kB F =，从而在Rt △B 'CD 中，应用勾股定理列方程求解即可. 10. （2015年江苏徐州12分）如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆，B 为半圆上一点，连接AB 并延长至C ，使BC =AB ，过C 作CD ⊥x 轴于点D ,交线段OB 于点E ，已知CD =8，抛物线经过O 、E 、A 三点.（1）∠OBA = ▲ °；（2）求抛物线的函数表达式；（3）若P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P 、O 、A 、E 为顶点的四边形面积记作S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有．．．．3个？【答案】解：（1）90.（2）如答图1，连接OC ，∵由（1）知OB ⊥AC ，又AB =BC ， ∴OB 是的垂直平分线. ∴OC =OA =10.在Rt △OCD 中，OC =10，CD =8，∴OD =6. ∴C (6，8)，B (8，4).∴OB 所在直线的函数关系为12y x =. 又E 点的横坐标为6，∴E 点纵坐标为3，即E (6，3)． ∵抛物线过O (0，0)，E (6，3) ，A (10，0)， ∴设此抛物线的函数关系式为()10y ax x =-，把E 点坐标代入得()36610a =-，解得18a =-. ∴此抛物线的函数关系式为()1108y x x =--，即21584y x x =-+．（3）设点15²84P p p p ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，， ①若点P 在CD 的左侧，延长OP 交CD 于Q ，如答图2，∵OP 所在直线函数关系式为：1584y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴当x =6时，31542y p =-+，即Q 点纵坐标为31542p -+. ∴3153934242QE p p =-+-=-+. ∴S 四边形POAE = S △OAE ＋S △OPE = S △OAE ＋S △OQE －S △PQE =()111222x x x OA DE QE D QE D P ⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅- =()()221139139393571036615622422428482p p p p p p ⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅-+⋅-⋅-+⋅-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②若点P 在CD 的右侧，延长AP 交CD 于Q ，如答图3，15²84P p p p ⎛⎫-+⎪⎝⎭，，A (10，0)， ∴设AP 所在直线方程为：y =kx ＋b ，把P 和A 坐标代入得，21001584k b pk b p p +=⎧⎪⎨+=-+⎪⎩，解得1854k p b p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴AP 所在直线方程为：1584y px p =-+. ∴当x =6时，651842y p p p =-+=，即Q 点纵坐标为12p .∴QE =132p -.∴S 四边形POAE = S △OAE ＋S △APE = S △OAE ＋S △AQE －S △PQE =()111222x x OA DE QE DA QE P D ⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅- =()()221111111103343648162222244p p p p p p ⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅-⋅-⋅-⋅-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴当P 在CD 右侧时，四边形POAE 的面积最大值为16，此时点P 的位置就一个，令239151684p p -++=，解得，3p =∴当P 在CD 左侧时，四边形POAE 的面积等于16的对应P 的位置有两个.综上知，以P 、O 、A 、E 为顶点的四边形面积S 等于16时，相应的点P 有且只有3个．【考点】二次函数综合题；单动点问题；圆周角定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理；待定系数洪都拉斯应用；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想、转换思想和方程思想的应用. 【分析】（1）根据直径所对的圆周角定理直接得出结论.（2）作辅助线：连接OC ，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理求出点E 、A 的坐标，从而应用待定系数法求出抛物线的函数关系式.（3）设点15²84P p p p ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，分点P 在CD 的左侧和右侧两种情况求出S 四边形POAE 关于p 的二次函数关系式，根据二次函数的最值原理求解即可.11. （2015年江苏盐城10分）如图，把△EFP 按图所示的方式放置在菱形ABCD 中，使得顶点E 、F 、P 分别在线段AB 、AD 、AC 上.已知EP =FP =4，EF =，∠BAD =60°，且AB >（1）求∠EPF 的大小；（2）若AP =6，求AE +AF 的值；（3）若△EFP 的三个顶点E 、F 、P 分别在线段AB 、AD 、AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值.【答案】解：（1）如答图1，过点P 作PG EF ⊥于点G ，∵EP =FP =4，PG EF ⊥，EF =，∴12EG FG FPG EPG EPF ==∠=∠=∠.在Rt FPG ∆中，sin 42FG FPG PF ∠===.∵60FPG ∠=︒.∴2120EPF FPG ∠=∠=︒.（2）如答图2，过点P 作PM AB ⊥于点M ，过点P 作PN AD ⊥于点N ，在菱形ABCD 中，∵,,AD AB DC BC AC AC === ，∴()ADC ABC SSS ∆∆≌.∴DAC BAC ∠=∠. ∴根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，得PM PN =.在Rt PEM ∆和Rt PFN ∆中，∵,PM PN EP FP == ， ∴Rt PEM ∆≌()Rt PFN HL ∆.∴EM FN =.∵在菱形ABCD 中，∠BAD =60°，∴1302PAM BAD ∠=∠=︒.在Rt PAM ∆中，∵30,6PAM AP ∠=︒= ，∴cos 62AM AP PAM =⋅∠=⨯=.同理，AN =∴()()AE AF AM EN AN FN AM AN +=-++=+=（3）AP 长的最大值是8，最小值是4.【考点】多动点问题；菱形的性质；全等三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；数形结合思想的应用.【分析】（1）作辅助线“过点P 作PG EF ⊥于点G ”，根据等腰三角形三线合一的性质，得到FG =，12FPG EPF ∠=∠，在Rt FPG ∆中，根据正弦函数定义和60°的三角函数值求得FPG ∠，进而求得EPF ∠.（2）作辅助线“过点P 作PM AB ⊥于点M ，过点P 作PN AD ⊥于点N ”，构成一对全等三角形Rt PEM ∆≌()Rt PFN HL ∆，得到EM FN =，在Rt PAM ∆和Rt PAN ∆中，分别求得AM AN ==根据()()AE AF AM EN AN FN AM AN +=-++=+求解即可.（3）如答图3，当EF AC ⊥，点P 在EF 的右侧时，AP 有最大值，当EF AC ⊥，点P 在EF 的左侧时，AP 有最小值.设EF 与AC 相交于点O ，∵EP =FP ，∴12OF EF ==∵60,4EPA PE ∠=︒= ，∴2OP =.∵30,PAE OE ∠=︒= ，∴6AO =. ∴628AP AO OP =+=+=. 同理，''624AP AO OP =-=-=. ∴AP 长的最大值是8，最小值是4.12. （2015年江苏盐城12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =的对称轴绕着点P （0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A 、B 两点，点Q 是该抛物线上的一点. （1）求直线AB 的函数表达式；（2）如图①，若点Q 在直线AB 的下方，求点Q 到直线AB 的距离的最大值；（3）如图②，若点Q 在y 轴左侧，且点T （0，t ）（t <2）是直线PO 上一点，当以P 、B 、Q 为顶点的三角形与△P AT 相似时，求所有满足条件的t 的值.【答案】解：（1）如答图1，设直线AB 与x 轴的交点为M ，∵45OPA ∠=︒，P （0，2），∴()2,0M - . 设直线AB 的解析式为y kx b =+，则202k b b -+=⎧⎨=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩. ∴直线AB 的解析式为2y x =+.（2）如答图2，过点Q 作x 轴的垂线QC ，交AB 于点C ，再过点Q 作直线AB 的垂线，垂足为点D ，根据条件可知，QDC ∆是等腰直角三角形.∴2QD =. 设()2,Q m m ，则(),2C m m + ， ∴22QC m m =+-.∴)22122228QD m m m ⎫=+-=--+⎪⎝⎭.∴当12m =时，点Q 到直线AB .（3）∵45APT ∠=︒，∴PBQ ∆中必有一角等于45°.①由图可知，45BPQ ∠=︒不合题意. ②若45PBQ ∠=︒，如答图3，过点B 作x 轴的平行线与y 轴和抛物线分别交于点F Q 、，此时，45PBQ ∠=︒.根据抛物线的轴对称性质，知45PQB ∠=︒， ∴BPQ ∆是等腰直角三角形.∵PAT ∆与BPQ ∆相似，且45APT ∠=︒， ∴PAT ∆也是等腰直角三角形. i ）若90PAT ∠=︒，联立22y x y x ⎧=⎨=+⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩.∴()1,1A - . ∴AP .∴2PT =，此时，0t =.ii ）若90PTA ∠=︒，1PT AT ==，此时，1t =.③若45PQB ∠=︒，②是情况之一，答案同上. 如答图4，5，过点B 作x 轴的平行线与y 轴和抛物线分别交于点1F Q 、，以点F 为圆心，FB 为半径画圆，则1P B Q 、、都在F e 上，设F e 与y 轴左侧的抛物线交于另一点2Q .∵根据圆周角定理，2145PQ B PQ B ∠=∠=︒，∴点2Q 也符合要求. 设()()22,2<<0Q n n n - ，由22FQ =得()222242n n +-=解得23n =或24n =，而2<<0n -，故n =∴()23Q . 可证2PFQ ∆是等边三角形，∴260PFQ ∠=︒. ∴221302PBQ PFQ ∠=∠=︒.则在2PQ B ∆中，2230,45PBQ PQ B ∠=︒∠=︒ .i ）若30PTA ∠=︒，如答图4，过点A 作AE y ⊥轴于点E ，则1ET OE ===，∴1ET OE ===.∴1OT =，此时，1t =ii ）若30PAT ∠=︒，如答图5，过点T 作TG AB ⊥轴于点G ，设TG a =，则,PG TG a AG === .∵AP ，∴a +a =.∴1PT =.∴)213OT OP PT =-=-=3t =-综上所述，所有满足条件的t 的值为0t =或1t =或1t =3t =【考点】二次函数综合题；线动旋转和相似三角形存在性问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；等腰直角三角形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；二次函数最值；勾股定理；圆周角定理；分类思想、数形结合思想、方程思想的应用.【分析】（1）根据旋转的性质得到等腰直角三角形PMO ，从而得到解决点M 的坐标，进而应用待定系数法即可求得直线AB 的解析式.（2）作辅助线“过点Q 作x 轴的垂线QC ，交AB 于点C ，再过点Q 作直线AB 的垂线，垂足为点D ”，设()2,Q m m ，求出QD 关于m 的二次函数，应用二次函数最值原理即可求解.（3）分45BPQ ∠=︒，45PBQ ∠=︒，45PQB ∠=︒三种情况讨论即可.13. （2015年江苏扬州10分）如图，已知⊙O 的直径AB =12cm ，AC 是⊙O 的弦，过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点P ，连接BC . （1）求证：∠PCA =∠B ；（2）已知∠P =40°，点Q 在优弧ABC 上，从点A 开始逆时针运动到点C 停止（点Q 与点C 不重合），当△ABQ 与△ABC 的面积相等时，求动点Q 所经过的弧长.【答案】解：（1）证明：如答图1，连接OC ，∵AB 是O e 的直径，∴2390ABC ∠=∠+∠=︒. ∵PC 是O e 的切线，∴OC PC ⊥. ∴1390PCO ∠=∠+∠=︒.∴12∠=∠. ∵OC OB =，∴2B ∠=∠. ∴1B ∠=∠，即PCA B ∠=∠.（2）如答图1，∵PC 是O e 的切线，∠P =40°，∴50POC ∠=︒.∵AB =12cm ，∴AO =6cm.当△ABQ 与△ABC 的面积相等时，动点Q 在优弧ABC 上有三个位置：①如答图2，在O e 上作点C 关于AB 的对称点，该点即是满足△ABQ 与△ABC 的面积相等的点Q ，由轴对称性知，50AOQ POC ∠=∠=︒，∴»50651803AQ ππ⋅⋅==. ②如答图3，在O e 上作点C 关于点O 的对称点，该点即是满足△ABQ 与△ABC 的面积相等的点Q ，由中心对称性知，50BOQ POC ∠=∠=︒，∴130AOQ ∠=︒.∴»1306131803AQ ππ⋅⋅==. ③如答图4，在O e 上作点C 关于AB 中垂线的对称点，该点即是满足△ABQ 与△ABC 的面积相等的点Q ，由轴对称性知，50BOQ POC ∠=∠=︒，∴优角230AOQ ∠=︒.∴优弧»2306231803AQ ππ⋅⋅==.综上所述，动点Q 所经过的弧长为53π或133π或233π.【考点】圆周角定理；切线的性质；等腰三角形的性质；同底等高三角形的性质；弧长的计算；轴对称和中心对称的性质；分类思想的应用.【分析】（1）如答图1，作辅助线“连接OC ”，一方面，由AB 是O e 的直径和PC 是O e 的切线得到2390ABC ∠=∠+∠=︒和1390PCO ∠=∠+∠=︒，从而得到12∠=∠；另一方面，由OC OB =，根据等腰三角形等边对等角的性质得到2B ∠=∠，进而得到PCA B ∠=∠的结论.（2）根据同底等高三角形面积相等的性质，分三种情况讨论即可：在O e 上作点C 关于AB 的对称点Q ，在O e 上作点C 关于点O 的对称点Q ，在O e 上作点C 关于AB 中垂线的对称点Q .14. （2015年江苏扬州12分）如图，直线l ⊥线段AB 于点B ，点C 在AB 上，且:2:1AC CB =，点M 是直线l 上的动点，作点B 关于直线CM 的对称点'B ，直线'AB 与直线CM 相交于点P ，连接PB . （1）如图1，若点P 与点M 重合，则PAB ∠= ▲ °，线段PA 与PB 的比值为 ▲ ；（2）如图2，若点P 与点M 不重合，设过P B C 、、三点的圆与直线AP 相交于D ，连接CD . 求证：①'CD CB =；②2PA PB =；（3）如图3，2,1AC BC == ，则满足条件2PA PB =的点都在一个确定的圆上，在以下两小题中选做一题： ①如果你能发现这个确定圆的圆心和半径，那么不必写出发现过程，只要证明这个圆上的任意一点Q ，都满足QA =2QB ；②如果你不能发现这个确定圆的圆心和半径，那么请取几个特殊位置的P 点，如点P 在直线AB 上、点P 与点M 重合等进行探究，求这个圆的半径.【答案】解：（1）30；2.（2）证明：①∵点B 关于直线CM 的对称点'B ，∴'BPC B PC ∆∆≌.∴'PBC PB C ∠=∠.∵'B DC ∠是圆内接四边形CBPD 的外角，∴'B DC PBC ∠=∠.∴''B DC PB C ∠=∠. ∴'CD CB =.②如答图1，连接'BB 交CM 于点E ，过点'B 作'B F ∥MC 交于点F ，∵点B 关于直线CM 的对称点'B ， ∴CM 是'BB 的垂直平分线. ∴'BE EB =，'BP B P =. ∴FC CB =.∵:2:1AC CB =，∴AF FC CB ==. ∴''AB B P =.∴''AB B P BP ==. ∴2PA PB =. （3）两小题中选做一题：①如答图2，在AB 的延长线上取点O ，使1OB =，以点O 为圆心，2为半径画圆，取圆上任一点Q ，连接,,QC QA QB ，在QA 上取点1B ，使1QB QB =，连接1BB ，作点B 关于直线QC 的对称点'B ，连接'BB 交QC 于点G ，过点'B 作'B F ∥QC 交于点F ，∵点B 关于直线QC 的对称点'B ， ∴QC 是'BB 的垂直平分线. ∴'BG GB =.又∵1QB QB =，∴11QB B QBB ∠=∠.∴点1B 、'B 重合. ∵1BC CF AF ===，∴''AB B Q BQ ==.∴2QA QB =.②若点P 在线段AB 上，由2PA PB =知，点P 与点C 重合，点'B 与点B 重合，这个圆的半径为2.若点P 在射线AB 的延长线上，由2PA PB =知，点'B 与点B 重合，这个圆的半径为2. 等.【考点】开放型；单动点和轴对称问题；轴对称的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；圆内接四边形的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的性质；平行线分线段成比例的性质. 【分析】（1）∵'1sin 2BM B C PAB AM AC ∠===，∴30PAB ∠=︒. ∵30PAB ∠=︒，∴线段PA 与PB 的比值为2.（2）①一方面证明'BPC B PC ∆∆≌得到'PBC PB C ∠=∠；另一方面，由'B DC ∠是圆内接四边形CBPD 的外角得到'B DC PBC ∠=∠，从而得到''B DC PB C ∠=∠，进而根据等角对等边的判定得证.②作辅助线“连接'BB 交CM 于点E ，过点'B 作'B F ∥MC 交于点F ”，应用线段垂直平分线的性质和平行线分线段成比例的性质证明.（3）①如答图2，在AB 的延长线上取点O ，使1OB =，以点O 为圆心，2为半径画圆，取圆上任一点Q ，连接,,QC QA QB ，在QA 上取点1B ，使1QB QB =，连接1BB ，作点B 关于直线QC 的对称点'B ，连接'BB 交QC 于点G ，过点'B 作'B F ∥QC 交于点F ，此圆即为所求定圆.②取特殊点探讨，答案不唯一.15. （2015年江苏常州10分）如图，一次函数4y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合．（1）写出点A 的坐标；（2）当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M 在直线l 上，且∠POM =90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是S 1、S 2，求1211S S +的值．。

2015年苏州市初中毕业暨升学考试(数学)试题及解析

【解析】给2 添上一个负号即可，故选C 。

2．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为 A ．3B ．5C ．6D ．7【难度】★【考点分析】考查众数的概念，是中考必考题型，难度很小。

【解析】众数是一组数据中出现次数最多的数值，5 出现了两次，其它数均只出现一次，故选B 。

3．月球的半径约为1 738 000m ，1 738 000这个数用科学记数法可表示为 A ．1.738×106B ．1.738×107C ．0.1738×107D ．17.38×105【难度】★【考点分析】考查科学记数法，是中考必考题型，难度很小。

【解析】科学记数法的表示结果应满足：a ⨯10n （1≤ a <10）的要求，C,D 形式不满足，排除，通过数值大小（移小数点位置）可得A 正确，故选A 。

4．若()222m =⨯-，则有 A ．0＜m ＜1 B ．-1＜m ＜0 C ．-2＜m ＜-1 D ．-3＜m ＜-2【难度】★☆【考点分析】考察实数运算与估算大小，实数估算大小往年中考较少涉及，但难度并不大。

【解析】化简得：m = - 2 ，因为- 4 < - 2 < - 1（A+提示：注意负数比较大小不要弄错不等号方向），所以-2 < - 2 < -1。

故选C 。

5．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：通话时间x /min 0＜x ≤5 5＜x ≤10 10＜x ≤1515＜x ≤20频数（通话次数）201695则通话时间不超过15min 的频率为 A ．0.1B ．0.4C ．0.5D ．0.9【难度】★【考点分析】考察概率，是中考必考题型，难度很小。

2015年中考数学试题(含答案)

2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题数学注意事项：1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。

2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。

答在试卷上的答案无效。

一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1. 下列各数中最大的数是（）A. 5B.3C. πD. －8 2. 如图所示的几何体的俯视图是（）3. 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数法表示为（） A.4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×10124. 如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（） A. 55° B. 60° C.70° D. 75°5. 不等式组⎩⎨⎧>-≥+13,05x x 的解集在数轴上表示为（）6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A. 255分B. 84分C. 84.5分D.86分7. 如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF =6，AB =5，则AE 的长为（）C DB A 正面第2题dc ba第4题-52 0 -520 -52 0 -520 CDBAA. 4B. 6C. 8D. 108. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（）A.（2014,0）B.（2015，－1）C. （2015,1）D. （2016,0）二、填空题（每小题3分，共21分） 9.计算：(－3)0+3－1=.10. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE //AC ，若DB =4，DA =2，BE =3，则EC = . 11. 如图，直线y =kx 与双曲线)0(2>=x xy 交于点 A （1，a ）,则k = .12. 已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （－2，y 3）都在二次函数y =(x －2)2－1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 . 13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 .14. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作CD 交OB 于点D ，若OA =2，则阴影部分的面积为 .15. 如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为 .E FCDBGA第7图第8题E CDBA第14题EFCDBA 第15题B ′三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（8分）先化简，再求值：)11(22222ab b a b ab a -÷-+-，其中15+=a ，15-=b .17.（9分）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A 、B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，使PC =PB ，D 是AC 的中点，连接PD ，PO . （1）求证：△CDP ≌△POB ；（2）填空：① 若AB =4，则四边形AOPD 的最大面积为； ② 连接OD ，当∠PBA 的度数为时，四边形BPDO18.（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。

2015苏州中考数学试题及答案

2015苏州中考数学试题及答案2015年苏州市初中毕业暨升学考试试卷数学（2015年6月16日）一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 2015年是抗日战争胜利70周年，下列年份中属于抗日战争胜利的年份是（）A. 1945年B. 1937年C. 1931年D. 1949年答案：A2. 一个数的绝对值是3，这个数是（）A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上答案都不对答案：C3. 一个等腰三角形的两边长分别为5和8，这个三角形的周长是（）A. 18B. 21C. 26D. 234. 将下列各数从小到大排列：-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9（）A. -2＜-1＜0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9B. -2＜-1＜0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9C. -2＜-1＜0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9D. -2＜-1＜0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9答案：A5. 已知a，b，c是三个实数，且a＞b，c＞0，则下列不等式中一定成立的是（）A. ac＞bcB. a+c＞b+cC. ac＞bcD. a-c＞b-c答案：B6. 已知a，b，c是三个实数，且a＞b，c＜0，则下列不等式中一定成立的是（）A. ac＞bcB. a+c＞b+cC. ac＞bcD. a-c＞b-c7. 已知a，b，c是三个实数，且a＞b，c＞0，则下列不等式中一定成立的是（）A. ac＞bcB. a+c＞b+cC. ac＞bcD. a-c＞b-c答案：A8. 已知a，b，c是三个实数，且a＞b，c＜0，则下列不等式中一定成立的是（）A. ac＞bcB. a+c＞b+cC. ac＞bcD. a-c＞b-c答案：C9. 已知a，b，c是三个实数，且a＞b，c＞0，则下列不等式中一定成立的是（）A. ac＞bcB. a+c＞b+cC. ac＞bcD. a-c＞b-c答案：B10. 已知a，b，c是三个实数，且a＞b，c＜0，则下列不等式中一定成立的是（）A. ac＞bcB. a+c＞b+cC. ac＞bcD. a-c＞b-c答案：D二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 已知一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数是60°。

江苏省苏州市2015年中考数学真题试题(含解析)

【解析】给2 添上一个负号即可，故选C 。

2．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为 A ．3B ．5C ．6D ．7【难度】★【考点分析】考查众数的概念，是中考必考题型，难度很小。

【解析】众数是一组数据中出现次数最多的数值，5 出现了两次，其它数均只出现一次，故选B 。

3．月球的半径约为1 738 000m ，1 738 000这个数用科学记数法可表示为 A ．1.738×106B ．1.738×107C ．0.1738×107D ．17.38×105【难度】★【考点分析】考查科学记数法，是中考必考题型，难度很小。

【解析】科学记数法的表示结果应满足：a 10n （1 a 10）的要求，C,D 形式不满足，排除，通过数值大小（移小数点位置）可得A 正确，故选A 。

江苏省13市中考数学试题分类解析汇编专题7 函数的图像、性质和应用问题

专题7：函数的图像、性质和应用问题1. （2015年江苏连云港3分）如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为()34- ，，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数()<0ky xx =的图象经过顶点B ，则k 的值为【】A. 12-B. 27-C. 32-D. 36- 【答案】 C ．【考点】菱形的性质；勾股定理；曲线上点的坐标与方程的关系.【分析】根据点A 的坐标以及勾股定理、菱形的性质求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值：如答图，过点A 作AD CO ⊥于点D ， ∵A 的坐标为()34- ，，∴3,4OD AD == . ∴在Rt AOD ∆中，根据勾股定理，得5OA =.∵菱形OABC 的顶点A 的坐标为()34- ，，顶点C 在x 轴的负半轴上，∴点B 的坐标为()84- ，. ∵函数()<0ky x x=的图象经过顶点B ，∴4328k k =⇒=-.故选C ．2. （2015年江苏连云港3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是【】A. 第24天的销售量为200件B. 第10天销售一件产品的利润是15元C. 第12天与第30天这两天的日销售利润相等D. 第30天的日销售利润是750元【答案】C ．【考点】一次函数的应用；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用．【分析】根据函数图象分别各选项进行分析判断：A 、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确.B ．设当0≤t ≤20，一件产品的销售利润z （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系为z kx b =+，把（0，25），（20，5）代入得：25120525b k k b b ==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，∴25z x =-+. 当x =10时，102515z =-+=. 故正确.C ．当0≤t ≤24时，设产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系为11y k t b =+，把（0，100），（24，200）代入得：1111125100624200100b k k b b ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎩，∴251006y x =+，当t =12时，y =150，122513z =-+=，∴第12天的日销售利润为；150×13=1950（元），第30天的日销售利润为；150×5=750（元）. 而750≠1950，故C 错误.D ．第30天的日销售利润为；150×5=750（元），故正确．故选C ．3. （2015年江苏苏州3分）若点A （a ，b ）在反比例函数2y x=的图像上，则代数式4ab -的值为【】 A ．0 B ．-2 C ． 2 D ．-6 【答案】B ．【考点】曲线上点的坐标与方程的关系；求代数式的值；整体思想的应用. 【分析】∵点A （a ，b ）在反比例函数2y x=的图像上， ∴22b ab a=⇒=. ∴4242ab -=-=- 故选B ．4. （2015年江苏苏州3分）若二次函数y =x 2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2+bx =5的解为【】A ．120,4x x ==B ．121,5x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-= 【答案】D ．【考点】二次函数的性质；解一元二次方程．【分析】由题意得：二次函数的对称轴为直线：2x =，∴242bb -=⇐=-． ∴关于x 的方程x 2+bx =5为245x x -=.解之，得方程的解为121,5x x =-= ．故选D ．5. （2015年江苏无锡3分）若点A (3，－4)、B (－2，m )在同一个反比例函数的图像上，则m 的值为【】A. 6B. 6-C. 12D. 12- 【答案】A ．【考点】曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用. 【分析】设反比例函数的解析式为ky x=， ∵A (3，－4)在反比例函数的图像上，∴把A （3，﹣4）代入得：4123kk -=⇒=-. ∴反比例函数的解析式为12y x=-. ∵B (－2，m )在反比例函数的图像上，∴把B (－2，m )代入得：1262m =-=-. 故选A ．6. （2015年江苏徐州3分）若函数y kx b =-的图像如图所示，则关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为【】A. <2xB. >2xC. <5xD. >5x 【答案】C.【考点】直线的平移；不等式的图象解法；数形结合思想的应用.【分析】如答图，将函数y kx b =-的图像向右平移3 个单位得到函数()3y k x b =--的图象，由图象可知，当<5x 时，函数()3y k x b =--的图象在x 轴上方，即()3>0y k x b =--. ∴关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为<5x . 故选C.7. （2015年江苏常州2分）已知二次函数()211y x m x =+-+，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是【】A. 1m =-B. 3m =C. 1m ≤-D. 1m ≥- 【答案】D ．【考点】二次函数的性质；解一元一次不等式．. 【分析】抛物线()211y x m x =+-+的对称轴为直线12m x -=-， ∵当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而增大， ∴1112m m --≤⇒≥-. 故选D ．8. （2015年江苏南通3分）在20km 越野赛中，甲乙两选手的行程y （单位：km ）随时间x （单位：h ）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km ；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km ；④甲比乙先到达终点．其中正确的有【】A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A ．【考点】一次函数的应用．【分析】由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km ，故②正确；出发0.5小时之内，甲的速度大于乙的速度，0.5至1小时之间，乙的速度大于甲的速度，故①错误；出发1.5小时之后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，乙的行程比甲多3km ，故③错误；乙比甲先到达终点，故④错误．正确的只有②．故选A ．9. （2015年江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，若直线y kx b =+经过第一、三、四象限，则直线y bx k =+不经过的象限是【】A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C ．【考点】一次函数图象与系数的关系．.【分析】∵一次函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限，∴k ＞0，b ＜0.∴直线y bx k =+经过第一、二、四象限，不经过第三象限. 故选C ．10. （2015年江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P 在反比例函数2y x=的图象上，若△PAB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为【】 A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个【答案】D ．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理；分类思想和数形结合思想的应用．【分析】如答图，若△PAB 为直角三角形，分三种情况：①当∠PAB =90°时，P 点的横坐标为﹣3，此时P 点有1个； ②当∠PBA =90°时，P 点的横坐标为3，此时P 点有1个； ③当∠APB =90°，以点O 为圆心AB 长为直径的圆与2y x=的图象交于4点，此时P 点有4个．综上所述，满足条件的P 点有6个．故选D ．11. （2015年江苏镇江3分）如图，坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（1，t ），AB ∥x 轴，矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，点O 为位似中心，点A ′，B ′分别是点A ，B 的对应点，A B k AB''=．已知关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+⎧⎨+=⎩（m ，n 是实数）无解，在以m ，n 为坐标（记为（m ，n ））的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上，则k t ⋅的值等于【】A.34B. 1C. 43D. 32【答案】D ．【考点】位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系．【分析】∵坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（1，t ），∴点C 的坐标为()1t -，-.∵矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，A B k AB''=， ∴点A ′的坐标为()k kt ，，点C ′的坐标为()k kt -，-.∵关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+⎧⎨+=⎩（m ，n 是实数）无解，∴由()323mn x n -=-得mn =3，且32n ≠，即3n m =（m ≠2）.∵以m ，n 为坐标（记为（m ，n ））的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上， ∴反比例函数3n m=的图象只经过点A ′或C ′. 而根据反比例函数的对称性，反比例函数3n m =的图象同时经过点A ′或C ′，只有在32,2A ⎛⎫' ⎪⎝⎭，32,2C ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭ 时反比例函数3n m =的图象只经过点C ′.∴3322kt kt =-⇒=-. 故选D ．1. （2015年江苏连云港3分）已知一个函数，当x ＞0时，函数值y 随着x 的增大而减小，请写出这个函数关系式 ▲ (写出一个即可）．【答案】22y x =--（答案不唯一）.【考点】开放型；一次函数、反比例函数和二次函数的性质．【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质写出符合条件的函数关系式即可：如：<0k 的一次函数：1,2,22,2y x y x y x =-=-+=--⋅⋅⋅ ； >0k 的反比例函数：123,,,2y y y x x x===⋅⋅⋅ ； <0,02b a a-≤ 的二次函数：()222,2,211,y x y x y x =-=-+=-++⋅⋅⋅ . 等等（答案不唯一）.2. （2015年江苏南京2分）如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1，y 2的图象在第一象限内分别交于点A 、B ，且A 为OB 的中点，若函数11y x=，则y 2与x 的函数表达式是 ▲ ．【答案】24y x=.【考点】反比例函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用. 【分析】设y 2与x 的函数表达式是2k y x=， ∵点B 在反比例函数y 2的图象上，∴可设,k B b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .∵A 为OB 的中点，∴,22b k A b ⎛⎫⎪⎝⎭.∵点A 在反比例函数11y x =的图象上，∴122k bb =，解得4k =. ∴y 2与x 的函数表达式是24y x=. 3. （2015年江苏泰州3分）点()1,1y a -、()2,1y a +在反比例函数()0>=k xky 的图像上，若21y y <，则a 的范围是【答案】1<<1a -.【考点】曲线上点的坐标与方程的关系；不等式的性质；分类思想的应用. 【分析】∵点()11,a y -、()21,a y +在反比例函数()0ky k x=>的图像上，∴22,11k k y y a a ==-+ . ∵12y y <，∴()()200111111k k k k ka a a a a a <⇒-<⇒<-+-+-+.∵0k >，∴1>01<0a a -⎧⎨+⎩或1<01>0a a -⎧⎨+⎩.解1>01<0a a -⎧⎨+⎩得>1<1a a ⎧⎨-⎩，无解；解1<01>0a a -⎧⎨+⎩得<11<<1>1a a a ⎧⇒-⎨-⎩.∴a 的范围是1<<1a -.4. （2015年江苏无锡2分）一次函数26y x =-的图像与x 轴的交点坐标为 ▲ ．【答案】（3，0）．【考点】直线上点的坐标与方程的关系．【分析】∵一次函数26y x =-的图象与x 轴的交点的纵坐标等于零，∴令0y =得：260x -=，解得：3x =． ∴函数图像与x 轴的交点坐标是（3，0）．5. （2015年江苏扬州3分）已知一个正比例函数的图像与一个反比例函数的图像的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是 ▲ ．【答案】()1,3-- .【考点】正比例函数和反比例函数图像的性质；关于原点对称的点的坐标特征. 【分析】∵正比例函数和反比例函数图像关于原点对称，∴两个函数图像的两个交点关于原点对称. ∵两个函数图像的一个交点坐标为（1，3），∴根据“关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数”的性质，另一个交点坐标是()1,3-- .6. （2015年江苏常州2分）二次函数223y x x =-+-图象的顶点坐标是 ▲ ．【答案】（1，﹣2）．【考点】二次函数的性质．【分析】∵()222312y x x x =-+-=---，∴二次函数223y x x =-+-图象的顶点坐标是（1，﹣2）．7. （2015年江苏淮安3分）若点P （－1，2）在反比例函数xky =的图像上，则=k ▲ ．【答案】2-.【考点】曲线上点的坐标与方程的关系. 【分析】∵点P （－1，2）在反比例函数ky x=的图像上， ∴221kk =⇒=--. 8. （2015年江苏淮安3分）二次函数322+-=x x y 的图像是顶点坐标是 ▲ ．【答案】()1,2 .【考点】二次函数的性质.【分析】∵()222312y x x x =-+=-+，∴二次函数223y x x =-+的图像是顶点坐标是()1,2 .9. （2015年江苏南通3分）关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】9<<24a --.【考点】一元二次方程与二次函数的关系；一元二次方程根的判别式；二次函数的性质；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】∵关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根，∴()()2009>94>341>04a a a a a ≠⎧≠⎧⎪⎪⇒⇒-⎨⎨-∆=--⋅⋅-⎪⎪⎩⎩且0a ≠. 设231y ax x =--∵实数根都在﹣1和0之间， ∴当a ＞0时，如答图1，由图可知，当0x =时，>0y ；但0011y =--=-，矛盾， ∴此种情况不存在. 当a ＜0时，如答图2，由图可知，当1x =-时，<0y ，即31<0<2a a +-⇒-. 综上所述，a 的取值范围是9<<24a --.10. （2015年江苏宿迁3分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，4），直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 ▲ ．【答案】285. 【考点】单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；垂线段最短的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质．【分析】根据垂线段最短得出PM ⊥AB 时线段PM 最短，分别求出PB 、OB 、OA 、AB 的长度，利用△PBM ∽△ABO ，即可求出答案如答图，过点P 作PM ⊥AB ，则：∠PMB =90°，当PM ⊥AB 时，P M 最短，∵直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ， ∴点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，﹣3）.在Rt △AOB 中，∵AO =4，BO =3，∴根据勾股定理，得AB =5.∵∠BMP =∠AOB =90°，∠ABO =∠PBM ，∴△PBM ∽△ABO . ∴PB PM AB AO =，即：4354PM +=，解得285PM =. 11. （2015年江苏宿迁3分）当x =m 或x =n （m ≠n ）时，代数式223x x -+的值相等，则x =m +n 时，代数式223x x -+的值为 ▲ ．【答案】3．【考点】二次函数的性质；求代数式的值；整体思想的应用.【分析】设223y x x =-+，∵当x =m 或x =n （m ≠n ）时，代数式223x x -+的值相等，∴抛物线223y x x =-+的对称轴2212m n x -+=-=⨯. ∴2m n +=.∴当2x m n =+=时，222322233x x -+=-⨯+=.12. （2015年江苏镇江2分）写一个你喜欢的实数m 的值 ▲ ，使得事件“对于二次函数()21132y x m x =--+，当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小”成为随机事件．【答案】﹣3（答案不唯一）．【考点】开放型；随机事件；二次函数的性质．【分析】二次函数()21132y x m x =--+的对称轴为()11122m y m --=-=-⨯， ∵当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小，∴1<3m --，解得<2m -.∴m ＜﹣2的任意实数即可，如m =﹣3（答案不唯一）．1. （2015年江苏连云港10分）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y -x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，P 是直线AB 上一动点，⊙P 的半径为1．（1）判断原点O 与⊙P 的位置关系，并说明理由；（2）当⊙P 过点B 时，求⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长；（3）当⊙P 与x 轴相切时，求出切点的坐标．【答案】解：（1）原点O 在⊙P 外．理由如下：∵直线y -x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点()(200A B - ，，，.在Rt △OAB 中，∵OA tan OBA OB ∠=== ∴∠OBA =30°，如答图1，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，在Rt △OBH 中，OH OB sin OBA =⋅∠=1，∴原点O 在⊙P 外.（2）如答图2，当⊙P 过点B 时，点P 在y 轴右侧时，∵PB =PC ，∴∠PCB =∠OBA =30°.∴⊙P 被y 轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°﹣30°﹣30°=120°. ∴弧长为：120121803ππ⋅⋅=. 同理：当⊙P 过点B 时，点P 在y 轴左侧时，弧长同样为：23π.∴当⊙P 过点B 时，⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长为：23π.（3）如答图3，当⊙P 与x 轴相切时，且位于x 轴下方时，设切点为D ，∵PD ⊥x 轴，∴PD ∥y 轴. ∴∠APD =∠ABO =30°.∴在Rt △DAP 中，130AD DP tan DPA tan =⋅∠=⨯︒=，∴2OD OA AD =-=-，∴此时点D 的坐标为：（2-0）.当⊙P 与x 轴相切时，且位于x 轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（2+0）.综上所述，当⊙P 与x 轴相切时，切点的坐标为：（2-，0）或（2+0）．【考点】圆和一次函数的的综合题；单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；点与圆的位置关系的判定；扇形弧长的计算；直线与圆相切的性质；分类思想的应用．【分析】（1）作辅助线“过点O 作OH ⊥AB 于点H ”，由直线y =-x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，可求得点A 、B 的坐标，从而根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求得∠OBA =30°，进而应用三角函数可求得OH 的长，继而根据点与圆的位置关系的判定求得结论.（2）分点P 在y 轴右侧和点P 在y 轴左侧两种情况讨论：求得⊙P 被y 轴所截的劣弧所对的圆心角，则可求得弧长.（3）分⊙P 位于x 轴下方和⊙P 位于x 轴上方两种情况讨论即可.2. （2015年江苏连云港14分）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线214y x =交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过线段AB 上一点P ，作P M ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN +3MP 的长度最大？最大值是多少？【答案】解：（1）∵点A 是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2， ∴()21214y =⨯-=.∴A 点的坐标为（2，﹣1）. 设直线AB 的函数关系式为y kx b =+，将（0，4），（﹣2，1）代入得421b k b =⎧⎨-+=⎩，解得324k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩.∴直线AB 的函数关系式为342y x =+. ∵直线与抛物线相交，∴联立，得234214y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：21x y =-⎧⎨=⎩或816x y =⎧⎨=⎩. ∴点B 的坐标为（8，16）.（2）如答图1，过点B 作BG ∥x 轴，过点A 作AG ∥y 轴，交点为G ，∴222AG BG AB +=，∵由A （﹣2，1），B （8，16）根据勾股定理，得AB 2=325．设点C （c ，0），根据勾股定理，得()22222145AC c c c =++=++， ()222281616320BC c c c =-+=-+，①若∠BAC =90°，则222AB AC BC +=，即223254516320c c c c +++=-+，解得：12c =-.②若∠ACB =90°，则222AB AC BC =+，即223254516320c c c c =+++-+，解得：c =0或c =6.③若∠ABC =90°，则222AB BC AC +=，即224516320325c c c c ++=-++，解得：c =32.∴点C 的坐标为（12-，0），（0，0），（6，0），（32，0）. （3）如答图2，设MP 与y 轴交于点Q ，设214M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，，在Rt △MQN中，由勾股定理得，2114MN m ==+，又∵点P 与点M 纵坐标相同， ∴231424x m +=，∴2166m x -= ∴点P 的横坐标为2166m -. ∴221661666m m m PM m --++=-=. ∴()2222161611313396184644m m MN PM m m m m -+++=++⋅=-++=--+.又∵1<04-，2≤6≤8， ∴当M 的横坐标为6时，3MN PM +的长度的最大值是18．【考点】二次函数综合题；待定系数的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；直角三角形存在性问题；勾股定理；二次函数的最值；分类思想和方程思想的应用．【分析】（1）首先求得点A 的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标.（2）作辅助线“过点B 作B G ∥x 轴，过点A 作AG ∥y 轴，交点为G ”，分若∠BAC =90°，∠ACB =90°，∠ABC =90°三种情况根据勾股定理列方程确定点C 的坐标.（3）设MP 与y 轴交于点Q ，设214M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，，，首先在R t △MQN 中，由勾股定理得2114MN m =+，然后根据点P 与点M 纵坐标相同得到点P 的横坐标2166m -，从而得到213394MN PM m m +=-++，根据二次函数的最值原理求解即可．3. （2015年江苏南京10分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1（单元：元）、销售价y 2（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系．（1）请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义．（2）求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式．（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元．（2）设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为111y k x b =+ ，∵111y k x b =+的图像过（0，60）与（90，42），∴111609042b k b =⎧⎨+=⎩，解得，110.260k b =-⎧⎨=⎩． ∴线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式为10.260(090)y x x =-+≤≤ ．（3）设y 2与x 之间的函数表达式为222y k x b =+ ，∵222y k x b =+的图像过（0，120）与（130，42），∴22212013042b k b =⎧⎨+=⎩，解得，220.6120k b =-⎧⎨=⎩ ．∴y 2与x 之间的函数表达式为20.6120(0130)y x x =-+≤≤．设产量为x kg 时，获得的利润为W 元，当090x ≤≤时，2[(0.6120)(0.260)]0.4(75)2250W x x x x =-+--+=--+，∴当x =75时，W 的值最大，最大值为2250.当90130x ≤≤时，2[(0.6120)42]0.6(65)2535W x x x =-+-=--+，∵当x =90时，20.6(9065)25352160W =--+=，由0.60-<知，当x>65时，W 随x 的增大而减小，∴90130x ≤≤时，2160W ≤．因此，当该产品产量为75kg 时获得的利润最大，最大利润是2250元．【考点】一次函数和二次函数的实际应用；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；由实际问题列函数关系式（销售问题）；二次函数的性质；分类思想的应用．【分析】（1）点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元．（2）根据A 、B 两点的坐标应用待定系数法即可求解．（3）应用待定系数法求出y 2与x 之间的函数表达式，根据“总利润＝单位利润⨯产量”分两种情况列出总利润关于x 的二次函数，应用二次函数的性质求解即可．4. （2015年江苏苏州8分）如图，已知函数k y x=（x ＞0）的图像经过点A 、B ，点B 的坐标为（2，2）．过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，AC 与BD 交于点F ．一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ．（1）若AC =32OD ，求a 、b 的值；（2）若BC ∥AE ，求BC 的长．【答案】解：（1）∵点B （2，2）在函数k y x =（x ＞0）的图象上，∴44,k y x== . ∵BD ⊥y 轴，∴点D 的坐标为（0，2），2OD =．∵AC ⊥x 轴，32AC OD =，∵3AC =，即点A 的横坐标为3. ∵点A 在函数4y x =（x ＞0）的图象上，∴点A 的坐标为4,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ， ∴4332a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得342a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩.（2）设点A 的坐标为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则点C 的坐标为(),0m . ∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ，∴四边形BCED 是平行四边形. ∴CE=BD=2.∵BD ∥CE ，∴∠ADF =∠AEC .∴在Rt AFD ∆中，42tan AF m ADF DF m -∠==；在Rt ACE ∆中，4tan 2AC m AEC EC ∠== ∴4422mm m -=，解得1m =. ∴点C 的坐标为()1,0,BC 【考点】反比例函数和一次函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；平行四边形的判定和性质；锐角三角函数定义；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，由函数k y x=（x ＞0）的图像经过点A 、B ，求出点A 、D 的坐标，进而由一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，求出a 、b 的值.（2）设点A 的坐标为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则点C 的坐标为(),0m ，根据∠ADF =∠AEC 和42tan m ADF m -∠=、 4tan 2m AEC ∠=，从而4422m m m -=，解之即可求解. 5. （2015年江苏苏州10分）如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接PA 、PC ，PA =PC ．（1）∠ABC 的度数为 ▲ °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）45.（2）如答图1，过P 点作PD y ⊥轴于点D ，设l 与x 轴交于点E ，根据题意，得抛物线的对称轴为12m x -=，设点P 的坐标为1,2m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵PA =PC ，∴22PA PC =.∴2222AE PE CD PD +=+，即()222211122m m n m n --⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得12m n -=. ∴P 点坐标为11,22m m --⎛⎫ ⎪⎝⎭ . （3）存在点Q 满足题意.∵P 点坐标为11,22m m --⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， ∴222222PA PC AE PE CD PD +=+++222221*********m m m m m m ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∵221AC m =+，∴222PA PC AC +=.∴090APC ∠=.∴PAC ∆是等腰直角三角形.∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，∴QBC ∆是等腰直角三角形.∴由题意知，满足条件的点Q 的坐标为(),0m - 或()0,m .①当点Q 的坐标为(),0m - 时，如答图2，若PQ 与x 垂直，则12m m -=-，解得13m =，即13PQ =. 若PQ 与x 不垂直，则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有，∵0＜m ＜1，∴当2m =时，2PQ 取得最小值110，PQ .1<03=1<3.∴当25m =时，点Q 的坐标为2,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，PQ . ②当点Q 的坐标为()0,m 时，如答图3，若PQ 与y 垂直，则12m m -=，解得13m =，即13PQ =. 若PQ 与y 不垂直，则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有，∵0＜m ＜1，∴当2m =时，2PQ 取得最小值110，PQ .1<03=1<3.∴当25m =时，点Q 的坐标为20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，PQ . 综上所述，点Q 的坐标为2,05⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭时，PQ 的长度最小. 【考点】二次函数综合题；相似三角形的存在性问题；二次函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的性质；实数的大小比较；分类思想的应用.【分析】（1）令0x =，则y m =-，点C 的坐标为()0,m - ，令0y =，即()210x m x m +--=，解得121,x x m =-= ， ∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴点B 的坐标为(),0m .∴OB OC m ==. ∵∠BOC =90°，∴BOC ∆是等腰直角三角形.∴∠OBC =45°.（2）过P 点作PD y ⊥轴于点D ，设l 与x 轴交于点E ，求出抛物线的对称轴为12m x -=，则可设点P 的坐标为1,2m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，由PA =PC 即22PA PC =，根据勾股定理得到2222AE PE CD PD +=+，解出n 即可求解.（3）根据相似和PAC ∆是等腰直角三角形证明QBC ∆是等腰直角三角形，由题意知，满足条件的点Q 的坐标为(),0m - 或()0,m ，从而分点Q 的坐标为(),0m - 或()0,m 两种情况讨论即可.6. （2015年江苏泰州10分）已知二次函数n mx x y ++=2的图像经过点()1,3-P ，对称轴是经过()0,1-且平行于y 轴的直线.（1）求m 、n 的值；（2）如图，一次函数b kx y +=的图像经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图像相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，5:1:=PB PA ，求一次函数的表达式.【答案】解：（1）∵二次函数2y x mx n =++的图像经过点()3,1P - ，对称轴是经过()1,0- 且平行于y 轴的直线，∴93112m n m -+=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得22m n =⎧⎨=-⎩.（2）如答图，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，易得APC ABD ∆∆∽，∴PC PABD BA=. ∵:1:5,1PA PB PC == ，∴116BD =.∴6BD =.∵点B 在二次函数222y x x =+-的图像上，∴2226x x +-=，解得122,4x x ==- . ∵点B 在点P 的右侧，∴()2,6B . ∵点B 、P 在一次函数y kx b =+的图像上，∴3126k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得14k b =⎧⎨=⎩.∴一次函数的表达式为4y x =+.【考点】二次函数和一次函数交点问题；二次函数性质；曲线上点的坐标与方程的关系；相似三角形的判定和性质；待定系数法和方程思想的应用.【分析】（1）根据二次函数的图像经过点()3,1P - ，对称轴是经过()1,0- 列方程组求解即可.（2）作辅助线“过点P 作PC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ”，构成相似三角形：APC ABD ∆∆∽，求出点B 的纵坐标，根据点在曲线上点的坐标满足于方程的关系代入222y x x =+-，求出点B 的横坐标，从而应用待定系数法求出一次函数的表达式.7. （2015年江苏泰州14分）已知一次函数42-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点P 在该函数图像上， P 到x 轴、y 轴的距离分别为1d 、2d . （1）当P 为线段AB 的中点时，求21d d +的值；（2）直接写出21d d +的范围，并求当321=+d d 时点P 的坐标；（3）若在线段AB 上存在无数个P 点，使421=+ad d （a 为常数），求a 的值.【答案】解：（1）∵一次函数24y x =-的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，∴()()2,00,4A B - 、.∵P 为线段AB 的中点，∴()1,2P - . ∴12123d d +=+=. （2）122d d +≥.∵设(),24P m m - ，.∴1224d d m m +=+-.当<0m 时，12244234d d m m m m m +=+-=-+-=-+，由343m -+=解得13m =，与<0m 不合，舍去.当0<2m ≤时，1224424d d m m m m m +=+-=+-=-+，由43m -+=解得1m =，此时()1,2P -.当2m ≥时，12242434d d m m m m m +=+-=+-=-，由343m -=解得73m =，此时72,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述，当123d d +=时点P 的坐标为()1,2 -或72,33⎛⎫⎪⎝⎭.（3）设(),24P m m - ，∴1224,d m d m =-= .∵点P 在线段AB 上，∴02m ≤≤.∴124,d m d m =-= . ∵124d ad +=，∴424m am -+=.∴()20a m -= ∵存在无数个P 点，∴2a =.【考点】阅读理解型问题；一次函数综合题；直线上点的坐标与方程的关系；绝对值的意义；分类思想的应用.【分析】（1）根据直线上点的坐标与方程的关系，由一次函数解析式，可求出点点A 、B 的坐标，从而求出中点P 的坐标，根据定义求出12d d +.（2）设(),24P m m - ，.∴1224d d m m +=+-，当<0m 时，122442344d d m m m m m +=+-=-+-=-+≥；当0<2m ≤时，1224424d d m m m m m +=+-=+-=-+，∴由1224d d ≤+≤；当2m ≥时，122424342d d m m m m m +=+-=+-=-≥. 综上所述， 12d d +的范围为122d d +≥. 同样分类讨论123d d +=时点P 的坐标.（3）设(),24P m m - ，则1224,d m d m =-= ，由点P 在线段AB 上得m 的范围，得到12,d d ，根据124d ad +=求解即可.8. （2015年江苏无锡8分）某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生产A 产品．甲车间用每箱原材料可生产出A 产品12千克，需耗水4吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A 产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半．已知A 产品售价为30元/千克，水价为5元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w 最大？最大利润是多少？（注：利润＝产品总售价－购买原材料成本－水费）【答案】解：设甲车间用x 箱原材料生产A 产品，则乙车间用()60x -箱原材料生产A 产品．由题意得()4260200x x +-≤，解得40x ≤．()30[121060]8060542605012 600w x x x x x =+-⨯-+-=+⎡⎤⎣⎦（）﹣，∵50＞0，∴w 随x 的增大而增大．∴当x =40时，w 取得最大值，为14 600元．答：甲车间用40箱原材料生产A 产品，乙车间用20箱原材料生产A 产品，可使工厂所获利润最大，最大利润为14 600元．【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．【分析】设甲车间用x 箱原材料生产A 产品，则乙车间用()60x -箱原材料生产A 产品，根据题意列出不等式，确定x 的取值范围，列出5012 600w x =+，利用一次函数的性质，即可解答． 9. （2015年江苏无锡10分）一次函数34y x =的图像如图所示，它与二次函数24y ax ax c =-+的图像交于A 、B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）设二次函数图像的顶点为D ．①若点D 与点C 关于x 轴对称，且△ACD 的面积等于3，求此二次函数的关系式； ②若CD ＝AC ，且△ACD 的面积等于10，求此二次函数的关系式．【答案】解：（1）∵()22424y ax ax c a x a c =-+=-+-c ，∴二次函数图象的对称轴为直线2x =.∵当2x =时，3342y x ==， ∴点C 的坐标为（2，32）.（2）①∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为（2，32-）.∴CD =3. 设()324A m m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，＜，由3ACD S =V 得：()13232m ⨯⨯-=，解得m =0. ∴A （0，0）．由A （0，0）、D （2，32-）得：0342c a c =⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得：380a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴二次函数的关系式为23382y x x =-. ②设()324A m m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，＜，如答图，过点A 作AE ⊥CD 于E ，则33224AE m CE m =-=-，，()524AC m ===-.∵CD =AC ，∴CD = ()524m -. 由10ACDS =V 得()()15221024m m ⋅-⋅-=，解得：m =﹣2或m =6（舍去）. ∴m =﹣2. ∴322A ⎛⎫--⎪⎝⎭，，CD =5. 当a ＞0时，则点D 在点C 下方， ∴722D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，-. 由322A ⎛⎫--⎪⎝⎭ ，、722D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，-得： 3122742a c a c ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩，解得：183a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． ∴二次函数的关系式为211382y x x =--. 当a ＜0时，则点D 在点C 上方，∴1322D⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由322A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，、1322D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，得：31221342a c a c ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得：1292a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴二次函数的关系式为219222y x x =-++. 【考点】二次函数综合题；二次函数与一次函数的交点问题；三角形的面积公式；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；二次函数的性质；轴对称的性质；方程思想和分类思想的应用. 【分析】（1）求出对称轴2x =，然后求出对称轴与一次函数34y x =的交点，即点C 的坐标. （2）①先求出点D 的坐标，设A 坐标为()324m m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，＜，然后根据面积为3，求出m 的值，得出点A 的坐标，最后根据待定系数法求出a 、c 的值，即可求出解析式.②作辅助线：过点A 作AE ⊥CD 于E ，设A 坐标为()324m m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，＜，由根据面积为10，求出m的值，然后求出点A 坐标以及CD 的长度，分a ＞0和a ＜0两种情况讨论：分别求出点D 的坐标，代入求出二次函数的解析式．10. （2015年江苏徐州8分）如图，在矩形OABC 中，OA =3，OC =5,分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合），反比例函数()>0ky k x=的图像经过点D 且与边BA 交于点E ，连接DE .（1）连接OE ，若△EOA 的面积为2，则k = ▲ ；（2）连接CA 、DE 与CA 是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D ，使得点B 关于DE 的对称点在OC 上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）4.。

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江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编（20专题）专题7：函数的图像、性质和应用问题1. （2015年江苏连云港3分）如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为()34- ，，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数()<0ky xx =的图象经过顶点B ，则k 的值为【】A. 12-B. 27-C. 32-D. 36-【答案】 C ．【考点】菱形的性质；勾股定理；曲线上点的坐标与方程的关系.【分析】根据点A 的坐标以及勾股定理、菱形的性质求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值：如答图，过点A 作AD CO ⊥于点D ， ∵A 的坐标为()34- ，，∴3,4OD AD == . ∴在Rt AOD ∆中，根据勾股定理，得5OA =.∵菱形OABC 的顶点A 的坐标为()34- ，，顶点C 在x 轴的负半轴上，∴点B 的坐标为()84- ，. ∵函数()<0ky x x=的图象经过顶点B ，∴4328k k =⇒=-.故选C ．2. （2015年江苏连云港3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是【】A. 第24天的销售量为200件B. 第10天销售一件产品的利润是15元C. 第12天与第30天这两天的日销售利润相等D. 第30天的日销售利润是750元【答案】C ．【考点】一次函数的应用；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用．【分析】根据函数图象分别各选项进行分析判断：A 、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确.B ．设当0≤t ≤20，一件产品的销售利润z （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系为z kx b =+，把（0，25），（20，5）代入得：25120525b k k b b ==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，∴25z x =-+. 当x =10时，102515z =-+=. 故正确.C ．当0≤t ≤24时，设产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系为11y k t b =+，把（0，100），（24，200）代入得：1111125100624200100b k k b b ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎩，∴251006y x =+，当t =12时，y =150，122513z =-+=，∴第12天的日销售利润为；150×13=1950（元），第30天的日销售利润为；150×5=750（元）. 而750≠1950，故C 错误.D ．第30天的日销售利润为；150×5=750（元），故正确．故选C ．3. （2015年江苏苏州3分）若点A （a ，b ）在反比例函数2y x=的图像上，则代数式4ab -的值为【】 A ．0 B ．-2 C ． 2 D ．-6 【答案】B ．【考点】曲线上点的坐标与方程的关系；求代数式的值；整体思想的应用.【分析】∵点A （a ，b ）在反比例函数2y x=的图像上， ∴22b ab a=⇒=. ∴4242ab -=-=- 故选B ．4. （2015年江苏苏州3分）若二次函数y =x 2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2+bx =5的解为【】A ．120,4x x ==B ．121,5x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-= 【答案】D ．【考点】二次函数的性质；解一元二次方程．【分析】由题意得：二次函数的对称轴为直线：2x =，∴242bb -=⇐=-． ∴关于x 的方程x 2+bx =5为245x x -=. 解之，得方程的解为121,5x x =-= ．故选D ．5. （2015年江苏无锡3分）若点A (3，－4)、B (－2，m )在同一个反比例函数的图像上，则m 的值为【】A. 6B. 6-C. 12D. 12- 【答案】A ．【考点】曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用. 【分析】设反比例函数的解析式为k y x=， ∵A (3，－4)在反比例函数的图像上，∴把A （3，﹣4）代入得：4123kk -=⇒=-. ∴反比例函数的解析式为12y x=-. ∵B (－2，m )在反比例函数的图像上，∴把B (－2，m )代入得：1262m =-=-. 故选A ．6. （2015年江苏徐州3分）若函数y kx b =-的图像如图所示，则关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为【】A. <2xB. >2xC. <5xD. >5x 【答案】C.【考点】直线的平移；不等式的图象解法；数形结合思想的应用.【分析】如答图，将函数y kx b =-的图像向右平移3 个单位得到函数()3y k x b =--的图象，由图象可知，当<5x 时，函数()3y k x b =--的图象在x 轴上方，即()3>0y k x b =--. ∴关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为<5x . 故选C.7. （2015年江苏常州2分）已知二次函数()211y x m x =+-+，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是【】A. 1m =-B. 3m =C. 1m ≤-D. 1m ≥- 【答案】D ．【考点】二次函数的性质；解一元一次不等式．. 【分析】抛物线()211y x m x =+-+的对称轴为直线12m x -=-， ∵当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而增大， ∴1112m m --≤⇒≥-. 故选D ．8. （2015年江苏南通3分）在20km 越野赛中，甲乙两选手的行程y （单位：km ）随时间x （单位：h ）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km ；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km ；④甲比乙先到达终点．其中正确的有【】A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A ．【考点】一次函数的应用．【分析】由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km ，故②正确；出发0.5小时之内，甲的速度大于乙的速度，0.5至1小时之间，乙的速度大于甲的速度，故①错误；出发1.5小时之后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，乙的行程比甲多3km ，故③错误；乙比甲先到达终点，故④错误．正确的只有②．故选A ．9. （2015年江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，若直线y kx b =+经过第一、三、四象限，则直线y bx k =+不经过的象限是【】A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C ．【考点】一次函数图象与系数的关系．.【分析】∵一次函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限，∴k ＞0，b ＜0.∴直线y bx k =+经过第一、二、四象限，不经过第三象限. 故选C ．10. （2015年江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P 在反比例函数2y x=的图象上，若△P AB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为【】 A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个【答案】D ．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理；分类思想和数形结合思想的应用．【分析】如答图，若△P AB 为直角三角形，分三种情况：①当∠P AB =90°时，P 点的横坐标为﹣3，此时P 点有1个； ②当∠PBA =90°时，P 点的横坐标为3，此时P 点有1个； ③当∠APB =90°，以点O 为圆心AB 长为直径的圆与2y x=的图象交于4点，此时P 点有4个．综上所述，满足条件的P 点有6个．故选D ．11. （2015年江苏镇江3分）如图，坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（1，t ），AB ∥x 轴，矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，点O 为位似中心，点A ′，B ′分别是点A ，B 的对应点，A B k AB''=．已知关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+⎧⎨+=⎩（m ，n 是实数）无解，在以m ，n 为坐标（记为（m ，n ））的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上，则k t ⋅的值等于【】A.34B. 1C. 43D. 32【答案】D ．【考点】位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系．【分析】∵坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（1，t ），∴点C 的坐标为()1t -，-.∵矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，A B k AB''=， ∴点A ′的坐标为()k kt ，，点C ′的坐标为()k kt -，-.∵关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+⎧⎨+=⎩（m ，n 是实数）无解，∴由()323mn x n -=-得mn =3，且32n ≠，即3n m =（m ≠2）.∵以m ，n 为坐标（记为（m ，n ））的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上， ∴反比例函数3n m=的图象只经过点A ′或C ′. 而根据反比例函数的对称性，反比例函数3n m =的图象同时经过点A ′或C ′，只有在32,2A ⎛⎫' ⎪⎝⎭，32,2C ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭ 时反比例函数3n m =的图象只经过点C ′.∴3322kt kt =-⇒=-. 故选D ．1. （2015年江苏连云港3分）已知一个函数，当x ＞0时，函数值y 随着x 的增大而减小，请写出这个函数关系式 ▲ (写出一个即可）．【答案】22y x =--（答案不唯一）.【考点】开放型；一次函数、反比例函数和二次函数的性质．【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质写出符合条件的函数关系式即可：如：<0k 的一次函数：1,2,22,2y x y x y x =-=-+=--⋅⋅⋅ ； >0k 的反比例函数：123,,,2y y y x x x===⋅⋅⋅ ； <0,02b a a-≤ 的二次函数：()222,2,211,y x y x y x =-=-+=-++⋅⋅⋅ . 等等（答案不唯一）.2. （2015年江苏南京2分）如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1，y 2的图象在第一象限内分别交于点A 、B ，且A 为OB 的中点，若函数11y x=，则y 2与x 的函数表达式是 ▲ ．【答案】24y x=. 【考点】反比例函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用. 【分析】设y 2与x 的函数表达式是2k y x=， ∵点B 在反比例函数y 2的图象上，∴可设,k B b b ⎛⎫⎪⎝⎭ .∵A 为OB 的中点，∴,22b k A b ⎛⎫⎪⎝⎭.∵点A 在反比例函数11y x =的图象上，∴122k bb =，解得4k =. ∴y 2与x 的函数表达式是24y x=.3. （2015年江苏泰州3分）点()1,1y a -、()2,1y a +在反比例函数()0>=k xky 的图像上，若21y y <，则a的范围是【答案】1<<1a -.【考点】曲线上点的坐标与方程的关系；不等式的性质；分类思想的应用. 【分析】∵点()11,a y -、()21,a y +在反比例函数()0ky k x=>的图像上，∴22,11k k y y a a ==-+ . ∵12y y <，∴()()200111111k k k k ka a a a a a <⇒-<⇒<-+-+-+. ∵0k >，∴1>01<0a a -⎧⎨+⎩或1<01>0a a -⎧⎨+⎩.解1>01<0a a -⎧⎨+⎩得>1<1a a ⎧⎨-⎩，无解；解1<01>0a a -⎧⎨+⎩得<11<<1>1a a a ⎧⇒-⎨-⎩.∴a 的范围是1<<1a -.4. （2015年江苏无锡2分）一次函数26y x =-的图像与x 轴的交点坐标为 ▲ ．【答案】（3，0）．【考点】直线上点的坐标与方程的关系．【分析】∵一次函数26y x =-的图象与x 轴的交点的纵坐标等于零，∴令0y =得：260x -=，解得：3x =． ∴函数图像与x 轴的交点坐标是（3，0）．5. （2015年江苏扬州3分）已知一个正比例函数的图像与一个反比例函数的图像的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是 ▲ ．【答案】()1,3-- .【考点】正比例函数和反比例函数图像的性质；关于原点对称的点的坐标特征. 【分析】∵正比例函数和反比例函数图像关于原点对称，∴两个函数图像的两个交点关于原点对称. ∵两个函数图像的一个交点坐标为（1，3），∴根据“关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数”的性质，另一个交点坐标是()1,3-- .6. （2015年江苏常州2分）二次函数223y x x =-+-图象的顶点坐标是 ▲ ．【答案】（1，﹣2）．【考点】二次函数的性质．【分析】∵()222312y x x x =-+-=---，∴二次函数223y x x =-+-图象的顶点坐标是（1，﹣2）．7. （2015年江苏淮安3分）若点P （－1，2）在反比例函数xky =的图像上，则=k ▲ ．【答案】2-.【考点】曲线上点的坐标与方程的关系. 【分析】∵点P （－1，2）在反比例函数ky x=的图像上， ∴221kk =⇒=--. 8. （2015年江苏淮安3分）二次函数322+-=x x y 的图像是顶点坐标是 ▲ ．【答案】()1,2 .【考点】二次函数的性质.【分析】∵()222312y x x x =-+=-+，∴二次函数223y x x =-+的图像是顶点坐标是()1,2 .9. （2015年江苏南通3分）关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】9<<24a --.【考点】一元二次方程与二次函数的关系；一元二次方程根的判别式；二次函数的性质；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】∵关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根，∴()()2009>94>341>04a a a a a ≠⎧≠⎧⎪⎪⇒⇒-⎨⎨-∆=--⋅⋅-⎪⎪⎩⎩且0a ≠. 设231y ax x =--∵实数根都在﹣1和0之间， ∴当a ＞0时，如答图1，由图可知，当0x =时，>0y ；但0011y =--=-，矛盾，∴此种情况不存在. 当a ＜0时，如答图2，由图可知，当1x =-时，<0y ，即31<0<2a a +-⇒-. 综上所述，a 的取值范围是9<<24a --.10. （2015年江苏宿迁3分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，4），直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 ▲ ．【答案】285. 【考点】单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；垂线段最短的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质．【分析】根据垂线段最短得出PM ⊥AB 时线段PM 最短，分别求出PB 、OB 、OA 、AB 的长度，利用△PBM ∽△ABO ，即可求出答案如答图，过点P 作PM ⊥AB ，则：∠PMB =90°，当PM ⊥AB 时，P M 最短， ∵直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ， ∴点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，﹣3）. 在Rt △AOB 中，∵AO =4，BO =3，∴根据勾股定理，得AB =5. ∵∠BMP =∠AOB =90°，∠ABO =∠PBM ， ∴△PBM ∽△ABO . ∴PB PM AB AO =，即：4354PM+=，解得285PM =. 11. （2015年江苏宿迁3分）当x =m 或x =n （m ≠n ）时，代数式223x x -+的值相等，则x =m +n 时，代数式223x x -+的值为 ▲ ．【答案】3．【考点】二次函数的性质；求代数式的值；整体思想的应用. 【分析】设223y x x =-+，∵当x =m 或x =n （m ≠n ）时，代数式223x x -+的值相等， ∴抛物线223y x x =-+的对称轴2212m nx -+=-=⨯. ∴2m n +=.∴当2x m n =+=时，222322233x x -+=-⨯+=.12. （2015年江苏镇江2分）写一个你喜欢的实数m 的值 ▲ ，使得事件“对于二次函数()21132y x m x =--+，当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小”成为随机事件．【答案】﹣3（答案不唯一）．【考点】开放型；随机事件；二次函数的性质．【分析】二次函数()21132y x m x =--+的对称轴为()11122m y m --=-=-⨯， ∵当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小，∴1<3m --，解得<2m -. ∴m ＜﹣2的任意实数即可，如m =﹣3（答案不唯一）．1. （2015年江苏连云港10分）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y =-x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，P 是直线AB 上一动点，⊙P 的半径为1．（1）判断原点O 与⊙P 的位置关系，并说明理由；（2）当⊙P 过点B 时，求⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长；（3）当⊙P 与x 轴相切时，求出切点的坐标．【答案】解：（1）原点O 在⊙P 外．理由如下：∵直线y -x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点()(200A B - ，，，.在Rt △OAB 中，∵OA tan OBA OB ∠== ∴∠OBA =30°，如答图1，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，在Rt △OBH 中，OH OB sin OBA =⋅∠=1，∴原点O 在⊙P 外.（2）如答图2，当⊙P 过点B 时，点P 在y 轴右侧时，∵PB =PC ，∴∠PCB =∠OBA =30°.∴⊙P 被y 轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°﹣30°﹣30°=120°. ∴弧长为：120121803ππ⋅⋅=. 同理：当⊙P 过点B 时，点P 在y 轴左侧时，弧长同样为：23π.∴当⊙P 过点B 时，⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长为：23π. （3）如答图3，当⊙P 与x 轴相切时，且位于x 轴下方时，设切点为D ，∵PD ⊥x 轴，∴PD ∥y 轴. ∴∠APD =∠ABO =30°.∴在Rt △DAP 中，130AD DP tan DPA tan =⋅∠=⨯︒=，∴2OD OA AD =-=，∴此时点D 的坐标为：（2，0）.当⊙P 与x 轴相切时，且位于x 轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（2+0）.综上所述，当⊙P 与x 轴相切时，切点的坐标为：（2-0）或（2+0）．【考点】圆和一次函数的的综合题；单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；点与圆的位置关系的判定；扇形弧长的计算；直线与圆相切的性质；分类思想的应用．【分析】（1）作辅助线“过点O 作OH ⊥AB 于点H ”，由直线y =-x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，可求得点A 、B 的坐标，从而根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求得∠OBA =30°，进而应用三角函数可求得OH 的长，继而根据点与圆的位置关系的判定求得结论.（2）分点P 在y 轴右侧和点P 在y 轴左侧两种情况讨论：求得⊙P 被y 轴所截的劣弧所对的圆心角，则可求得弧长.（3）分⊙P 位于x 轴下方和⊙P 位于x 轴上方两种情况讨论即可.2. （2015年江苏连云港14分）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线214y x =交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过线段AB 上一点P ，作P M ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN +3MP 的长度最大？最大值是多少？【答案】解：（1）∵点A 是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，∴()21214y =⨯-=.∴A 点的坐标为（2，﹣1）. 设直线AB 的函数关系式为y kx b =+，将（0，4），（﹣2，1）代入得421b k b =⎧⎨-+=⎩，解得324k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩.∴直线AB 的函数关系式为342y x =+. ∵直线与抛物线相交，∴联立，得234214y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：21x y =-⎧⎨=⎩或816x y =⎧⎨=⎩.∴点B 的坐标为（8，16）.（2）如答图1，过点B 作BG ∥x 轴，过点A 作AG ∥y 轴，交点为G ，∴222AG BG AB +=，∵由A （﹣2，1），B （8，16）根据勾股定理，得AB 2=325．设点C （c ，0），根据勾股定理，得()22222145AC c c c =++=++，()222281616320BC c c c =-+=-+，①若∠BAC =90°，则222AB AC BC +=，即223254516320c c c c +++=-+，解得：12c =-. ②若∠ACB =90°，则222AB AC BC =+，即223254516320c c c c =+++-+，解得：c =0或c =6. ③若∠ABC =90°，则222AB BC AC +=，即224516320325c c c c ++=-++，解得：c =32. ∴点C 的坐标为（12-，0），（0，0），（6，0），（32，0）.（3）如答图2，设MP 与y 轴交于点Q ，设214M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，，在Rt △MQN 中，由勾股定理得，2114MN m ==+，又∵点P 与点M 纵坐标相同，∴231424x m +=，∴2166m x -=∴点P 的横坐标为2166m -.∴221661666m m m PM m --++=-=. ∴()2222161611313396184644m m MN PM m m m m -+++=++⋅=-++=--+. 又∵1<04-，2≤6≤8，∴当M 的横坐标为6时，3MN PM +的长度的最大值是18．【考点】二次函数综合题；待定系数的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；直角三角形存在性问题；勾股定理；二次函数的最值；分类思想和方程思想的应用．【分析】（1）首先求得点A 的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标.（2）作辅助线“过点B 作B G ∥x 轴，过点A 作AG ∥y 轴，交点为G ”，分若∠BAC =90°，∠ACB =90°，∠ABC =90°三种情况根据勾股定理列方程确定点C 的坐标.（3）设MP 与y 轴交于点Q ，设214M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，，，首先在R t △MQN 中，由勾股定理得2114MN m =+，然后根据点P 与点M 纵坐标相同得到点P 的横坐标2166m -，从而得到213394MN PM m m +=-++，根据二次函数的最值原理求解即可．3. （2015年江苏南京10分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1（单元：元）、销售价y 2（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系．（1）请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义．（2）求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式．（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元．（2）设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为111y k x b =+ ，∵111y k x b =+的图像过（0，60）与（90，42）， ∴111609042b k b =⎧⎨+=⎩，解得，110.260k b =-⎧⎨=⎩．∴线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式为10.260(090)y x x =-+≤≤ ．（3）设y 2与x 之间的函数表达式为222y k x b =+ ，∵222y k x b =+的图像过（0，120）与（130，42）， ∴22212013042b k b =⎧⎨+=⎩，解得，220.6120k b =-⎧⎨=⎩ ．∴y 2与x 之间的函数表达式为20.6120(0130)y x x =-+≤≤．设产量为x kg 时，获得的利润为W 元，当090x ≤≤时，2[(0.6120)(0.260)]0.4(75)2250W x x x x =-+--+=--+， ∴当x =75时，W 的值最大，最大值为2250.当90130x ≤≤时，2[(0.6120)42]0.6(65)2535W x x x =-+-=--+，∵当x =90时，20.6(9065)25352160W =--+=，由0.60-<知，当x>65时，W 随x的增大而减小，∴90130x ≤≤时，2160W ≤．因此，当该产品产量为75kg 时获得的利润最大，最大利润是2250元．【考点】一次函数和二次函数的实际应用；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；由实际问题列函数关系式（销售问题）；二次函数的性质；分类思想的应用．【分析】（1）点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元．（2）根据A 、B 两点的坐标应用待定系数法即可求解．（3）应用待定系数法求出y 2与x 之间的函数表达式，根据“总利润＝单位利润⨯产量”分两种情况列出总利润关于x 的二次函数，应用二次函数的性质求解即可． 4. （2015年江苏苏州8分）如图，已知函数ky x=（x ＞0）的图像经过点A 、B ，点B 的坐标为（2，2）．过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，AC 与BD 交于点F ．一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ．（1）若AC =32OD ，求a 、b 的值；（2）若BC ∥AE ，求BC 的长．【答案】解：（1）∵点B （2，2）在函数k y x =（x ＞0）的图象上，∴44,k y x== . ∵BD ⊥y 轴，∴点D 的坐标为（0，2），2OD =． ∵AC ⊥x 轴，32AC OD =，∵3AC =，即点A 的横坐标为3. ∵点A 在函数4y x =（x ＞0）的图象上，∴点A 的坐标为4,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，∴4332a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得342a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. （2）设点A 的坐标为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则点C 的坐标为(),0m .∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ，∴四边形BCED 是平行四边形. ∴CE=BD=2. ∵BD ∥CE ，∴∠ADF =∠AEC .∴在Rt AFD ∆中，42tan AF m ADF DF m -∠==；在Rt ACE ∆中，4tan 2AC mAEC EC ∠== ∴4422m m m -=，解得1m =. ∴点C 的坐标为()1,0,BC = 【考点】反比例函数和一次函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；平行四边形的判定和性质；锐角三角函数定义；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，由函数ky x=（x ＞0）的图像经过点A 、B ，求出点A 、D 的坐标，进而由一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，求出a 、b 的值.（2）设点A 的坐标为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则点C 的坐标为(),0m ，根据∠ADF =∠AEC 和42tan m ADF m -∠=、 4tan 2m AEC ∠=，从而4422m m m -=，解之即可求解.5. （2015年江苏苏州10分）如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ．（1）∠ABC 的度数为 ▲ °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）45.（2）如答图1，过P 点作PD y ⊥轴于点D ，设l 与x 轴交于点E ，根据题意，得抛物线的对称轴为12m x -=，设点P 的坐标为1,2m n -⎛⎫⎪⎝⎭， ∵P A =PC ，∴22PA PC =. ∴2222AE PE CD PD +=+，即()222211122m m n m n --⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得12mn -=. ∴P 点坐标为11,22m m --⎛⎫⎪⎝⎭ .（3）存在点Q 满足题意.∵P 点坐标为11,22m m --⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，∴222222PA PC AE PE CD PD +=+++222221111112222m m m m m m ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∵221AC m =+，∴222PA PC AC +=.∴090APC ∠=. ∴PAC ∆是等腰直角三角形.∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似， ∴QBC ∆是等腰直角三角形.∴由题意知，满足条件的点Q 的坐标为(),0m - 或()0,m . ①当点Q 的坐标为(),0m - 时，如答图2，若PQ 与x 垂直，则12m m -=-，解得13m =，即13PQ =. 若PQ 与x 不垂直，则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有，∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ .1<03=1<3.∴当25m =时，点Q 的坐标为2,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，PQ .②当点Q 的坐标为()0,m 时，如答图3，若PQ 与y 垂直，则12mm -=，解得13m =，即13PQ =.若PQ 与y 不垂直，则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有，∵0＜m ＜1，∴当2m =时，2PQ 取得最小值110，PQ .1<03=1<3.∴当25m =时，点Q 的坐标为20,5⎛⎫⎪⎝⎭，PQ .综上所述，点Q 的坐标为2,05⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或20,5⎛⎫⎪⎝⎭时，PQ 的长度最小.【考点】二次函数综合题；相似三角形的存在性问题；二次函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的性质；实数的大小比较；分类思想的应用. 【分析】（1）令0x =，则y m =-，点C 的坐标为()0,m - ，令0y =，即()210x m x m +--=，解得121,x x m =-= ，∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴点B 的坐标为(),0m . ∴OB OC m ==.∵∠BOC =90°，∴BOC ∆是等腰直角三角形.∴∠OBC =45°.（2）过P 点作PD y ⊥轴于点D ，设l 与x 轴交于点E ，求出抛物线的对称轴为12m x -=，则可设点P 的坐标为1,2m n -⎛⎫⎪⎝⎭，由P A =PC 即22PA PC =，根据勾股定理得到2222AE PE CD PD +=+，解出n 即可求解.（3）根据相似和PAC ∆是等腰直角三角形证明QBC ∆是等腰直角三角形，由题意知，满足条件的点Q 的坐标为(),0m - 或()0,m ，从而分点Q 的坐标为(),0m - 或()0,m 两种情况讨论即可.6. （2015年江苏泰州10分）已知二次函数n mx x y ++=2的图像经过点()1,3-P ，对称轴是经过()0,1-且平行于y 轴的直线. （1）求m 、n 的值；（2）如图，一次函数b kx y +=的图像经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图像相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，5:1:=PB PA ，求一次函数的表达式.【答案】解：（1）∵二次函数2y x mx n =++的图像经过点()3,1P - ，对称轴是经过()1,0- 且平行于y 轴的直线，∴93112m n m -+=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得22m n =⎧⎨=-⎩.（2）如答图，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，易得APC ABD ∆∆∽，∴PC PABD BA=. ∵:1:5,1PA PB PC == ，∴116BD =.∴6BD =.∵点B 在二次函数222y x x =+-的图像上，∴2226x x +-=，解得122,4x x ==- . ∵点B 在点P 的右侧，∴()2,6B . ∵点B 、P 在一次函数y kx b =+的图像上，∴3126k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得14k b =⎧⎨=⎩.∴一次函数的表达式为4y x =+.【考点】二次函数和一次函数交点问题；二次函数性质；曲线上点的坐标与方程的关系；相似三角形的判定和性质；待定系数法和方程思想的应用.【分析】（1）根据二次函数的图像经过点()3,1P - ，对称轴是经过()1,0- 列方程组求解即可.（2）作辅助线“过点P 作PC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ”，构成相似三角形：APC ABD ∆∆∽，求出点B 的纵坐标，根据点在曲线上点的坐标满足于方程的关系代入222y x x =+-，求出点B 的横坐标，从而应用待定系数法求出一次函数的表达式.7. （2015年江苏泰州14分）已知一次函数42-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点P 在该函数图像上， P 到x 轴、y 轴的距离分别为1d 、2d . （1）当P 为线段AB 的中点时，求21d d +的值；（2）直接写出21d d +的范围，并求当321=+d d 时点P 的坐标；（3）若在线段AB 上存在无数个P 点，使421=+ad d （a 为常数），求a 的值.【答案】解：（1）∵一次函数24y x =-的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，∴()()2,00,4A B - 、.∵P 为线段AB 的中点，∴()1,2P - . ∴12123d d +=+=. （2）122d d +≥.∵设(),24P m m - ，.∴1224d d m m +=+-.当<0m 时，12244234d d m m m m m +=+-=-+-=-+，由343m -+=解得13m =，与<0m 不合，舍去.当0<2m ≤时，1224424d d m m m m m +=+-=+-=-+，由43m -+=解得1m =，此时()1,2P -.当2m ≥时，12242434d d m m m m m +=+-=+-=-，由343m -=解得73m =，此时72,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上所述，当123d d +=时点P 的坐标为()1,2 -或72,33⎛⎫⎪⎝⎭.（3）设(),24P m m - ，∴1224,d m d m =-= .∵点P 在线段AB 上，∴02m ≤≤.∴124,d m d m =-= . ∵124d ad +=，∴424m am -+=.∴()20a m -= ∵存在无数个P 点，∴2a =.【考点】阅读理解型问题；一次函数综合题；直线上点的坐标与方程的关系；绝对值的意义；分类思想的应用.【分析】（1）根据直线上点的坐标与方程的关系，由一次函数解析式，可求出点点A 、B 的坐标，从而求出中点P 的坐标，根据定义求出12d d +.（2）设(),24P m m - ，.∴1224d d m m +=+-，当<0m 时，122442344d d m m m m m +=+-=-+-=-+≥；当0<2m ≤时，1224424d d m m m m m +=+-=+-=-+，∴由1224d d ≤+≤；当2m ≥时，122424342d d m m m m m +=+-=+-=-≥. 综上所述， 12d d +的范围为122d d +≥. 同样分类讨论123d d +=时点P 的坐标.（3）设(),24P m m - ，则1224,d m d m =-= ，由点P 在线段AB 上得m 的范围，得到12,d d ，根据124d ad +=求解即可.8. （2015年江苏无锡8分）某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生产A 产品．甲车间用每箱原材料可生产出A 产品12千克，需耗水4吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A 产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半．已知A 产品售价为30元/千克，水价为5元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w 最大？最大利润是多少？（注：利润＝产品总售价－购买原材料成本－水费）【答案】解：设甲车间用x 箱原材料生产A 产品，则乙车间用()60x -箱原材料生产A 产品．由题意得()4260200x x +-≤，解得40x ≤．()30[121060]8060542605012 600w x x x x x =+-⨯-+-=+⎡⎤⎣⎦（）﹣，∵50＞0，∴w 随x 的增大而增大．∴当x =40时，w 取得最大值，为14 600元．答：甲车间用40箱原材料生产A 产品，乙车间用20箱原材料生产A 产品，可使工厂所获利润最大，最大利润为14 600元．【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．【分析】设甲车间用x 箱原材料生产A 产品，则乙车间用()60x -箱原材料生产A 产品，根据题意列出不等式，确定x 的取值范围，列出5012 600w x =+，利用一次函数的性质，即可解答． 9. （2015年江苏无锡10分）一次函数34y x =的图像如图所示，它与二次函数24y ax ax c =-+的图像交于A 、B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）设二次函数图像的顶点为D ．①若点D 与点C 关于x 轴对称，且△ACD 的面积等于3，求此二次函数的关系式； ②若CD ＝AC ，且△ACD 的面积等于10，求此二次函数的关系式．【答案】解：（1）∵()22424y ax ax c a x a c =-+=-+-c ，∴二次函数图象的对称轴为直线2x =.∵当2x =时，3342y x ==， ∴点C 的坐标为（2，32）.（2）①∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为（2，32-）.∴CD =3. 设()324A m m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，＜，由3ACD S =V 得：()13232m ⨯⨯-=，解得m =0. ∴A （0，0）．由A （0，0）、D （2，32-）得：0342c a c =⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得：380a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴二次函数的关系式为23382y x x =-. ②设()324A m m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，＜，如答图，过点A 作AE ⊥CD 于E ，则33224AE m CE m =-=-，，()524AC m ===-.∵CD =AC ，∴CD = ()524m -. 由10ACDS =V 得()()15221024m m ⋅-⋅-=，解得：m =﹣2或m =6（舍去）. ∴m =﹣2. ∴322A ⎛⎫--⎪⎝⎭，，CD =5. 当a ＞0时，则点D 在点C 下方， ∴722D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，-. 由322A ⎛⎫--⎪⎝⎭ ，、722D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，-得： 3122742a c a c ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩，解得：183a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩．∴二次函数的关系式为211382y x x =--. 当a ＜0时，则点D 在点C 上方，∴1322D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 由322A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，、1322D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，得：31221342a c a c ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得：1292a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴二次函数的关系式为219222y x x =-++. 【考点】二次函数综合题；二次函数与一次函数的交点问题；三角形的面积公式；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；二次函数的性质；轴对称的性质；方程思想和分类思想的应用. 【分析】（1）求出对称轴2x =，然后求出对称轴与一次函数34y x =的交点，即点C 的坐标. （2）①先求出点D 的坐标，设A 坐标为()324m m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，＜，然后根据面积为3，求出m 的值，得出点A 的坐标，最后根据待定系数法求出a 、c 的值，即可求出解析式.②作辅助线：过点A 作AE ⊥CD 于E ，设A 坐标为()324m m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，＜，由根据面积为10，求出m 的值，然后求出点A 坐标以及CD 的长度，分a ＞0和a ＜0两种情况讨论：分别求出点D 的坐标，代入求出二次函数的解析式．10. （2015年江苏徐州8分）如图，在矩形OABC 中，OA =3，OC =5,分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合），反比例函数()>0ky k x=的图像经过点D 且与边BA 交于点E ，连接DE .（1）连接OE ，若△EOA 的面积为2，则k = ▲ ；（2）连接CA 、DE 与CA 是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D ，使得点B 关于DE 的对称点在OC 上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.。

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