分式的性质和分式的乘除法
(完整版)分式加减乘除运算
（三）分式 的运算知识点一：分式 的乘法 ---分式乘分式，用分子 的积作为积 的分子，分母 的积作为积 的分母23bc 2a b 4、 ；3a 16b4b 9a 24x y2b 2a 1、； 2、； 3、； 3y 2x 3 5a 2 2b5a 2 3c 22x 2 2x 2 4；x y x y ；x y x y3a 3b 25a b 396、； 7、5、a 2b 2x 2x x 3x210ab知识点二：分式 的乘方 ---要把分式 的分子、分母分别乘方 23222222 y 2x y 24a b a1 b 2a 2； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、1、3y3x3zx y知识点四：分式 的除法 --分式除以分式，把除式 的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘2y 2 3x ab 22c 23a b 223x5y 220a y 4；3x512xy 5a28x y ；2、 3xy6xy16a y 321、；3、 ；4、 ；5、 4cd2x 2 y 2xyx 1 1 x x 2 4x 4 x 2；9、 x 4y 22x 2y2y x ；7、；8、6、x 2x xx 2xy y 2 2x 2xy2 2 x 1x 1知识点五：分式 的乘除混合运算322x 222322x 2 x x 2x x 21aab 2x y y 1、； 4、； 5、；2 x2b b4x2axay23232ab 3 6a 4 b 33c a b aba a ab 2；7、6、2b 22c db a1．下列各式计算结果是分式 的是( )． x 37x 2 n a m bn 3m m 2n(C) 3 5x x(A)(B)(D) 3y 24y32．下列计算中正确 的是()．－ 1(A)(－1)＝－ 1 (B)(－ 1)＝11 1 (C) 2a 33(D) ( a) ( a)72a 3a 43．下列各式计算正确 的是()．1 (A) m ÷n · m ＝m (B) m nmn(C) 1 m m 1m (D) n ÷m · m ＝n)．4．计算 ( a b )4 (a ) 5 的结果是 (ab a 1 a (A)－1(B)1(C) (D)aa b5．下列分式中，最简分式是( )．x 2xy y 2 2x y 2 2x 2y 221xy (A)(B)(C) (D) x yx y15 y 2x y2y 2 x x 9． ( ) ( )2 __________．3 10． [(x ) ]3 2__________．y 2 y知识点六：分式 的加减运算法则：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减②异分母分式相加减，先通分，变为同分母 的分式，再加减x 1 1； 2、a 2a 3c117102；1、； 3、； 4、22c d 3cd 222xxabc abc abcx yz x y xyza 2a 3a3 8 11 x y y2x y ；y x； 6、 ； 7、 y x x y 5、 x 1 x 1 x 2 2 21b 1 b 1 b 1 1 y 1 2xy 3 2m n 8、； 9、； 10、；2x y x 2 y 222x y2m ny 2x2m n4 x 2 y 2 x 2 y 211、 a 2；12、 xy2 axy知识点 7：分式 的混合运算 2x y x 2y 2 x 11x a 1 2 a ； ；2、x1 ；3、 1、2x y 2 x a 2a 3 a 9 a2 2y1 1x y 1 x 2 y 21 3 x 5 4、5、x 22x 4x 2知识点 8：化简求值 ---化简求值问题 的解题步骤一般都是先对式子进行化简，再将已知值代入求值 2x 2 x 2 2x 11x 2x 2 2x 2 1、先化简，再求值： (2x 3xx 9，其中 x 2．2、先化简，再求值： 1)÷x ，其中 x=．x321 x 1 x 3 5 )，其中 x ＝－ 4x 2x 3．4、先化简，再求值：2、先化简，再求值： 1，其中(x 2x 22x 4x 2a 1a 1a 1，其中aa 1 25、先化简，再求值：a 2 2a 1分式阶段水平测评（二）1．下列分式中是最简分式 的是（ ）.2x 4 x 1 1 x （D ）x 1（A ）（B ）（C ）22x 12xx 12．用科学记数法表示 0.000078，正确 的是（）.（A ）7.8×10-5 （B ）7.8×10-4 （C ）0.78×10-3（D ）0.78×10-41 3．下列计算：① ( 1)01；② ( 1) 1 1；③ 3a 35( x) ( x) 3 x 2．其；④3a 3中正确 的个数是（）．（A ）4 （B ）3（C ）1（ D ）0 1 1 1(R 1 R )，则表示 R 的公式是（ 4．已知公式1）．2R R 1 R 2R 2 RRR 2RR 2 R( R R )2（A ） R 1（C ） R 1） .（D ） R 1（） R 1B RR 2RR 2R 2RR 25．下列分式 的运算中，其中结果正确 的是（( a ) 231a 1 b2 a 3（A ）（ B ）abaa 2b 2a 3a 2 6a 91 （C ）a b（ D ）a b a 3a a ).a 24 a 2a6．化简 ( （A ）-4的结果是（）.a 2（B ） 4 （C ）2a(D)2a+4二、填空题（每小题 4分，计 16分）27．若 (a 1)0有意义，则 a ≠． 8．纳米是非常小 的长度单位， 1纳米 =0.00000000１米，那么用科学记数法表示 1纳米 =米．x y y 1 2 x y9．如果= ．，则 a b 2m dc10．若 a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数， m 的绝对值为 2，则 ．a b c三、解答题11．计算化简（每小题 5分，计 20分）x 2 4x 2(x 9)；（ 1） 2 x x 2；（2）2x 3x2 3a 4 1 a 1；（ 4） a（3） a 2 a 1.2a 4a 4 a 1 a 2 a 112．请将下面 的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢 的数（要合适哦！ ）代入求值：a 2 a 1 1.2a (a 1)2x 111 213.（10分）先化简，再求值,其中 x. 2x 2x 1 2x 2a x2bx 3 3 aba14．（10分）若关于 x 的方程的解是 x=2，其中 a b ≠ 0，求 的值． b快速练习21.①若 9x kxy 16y 2k =是一个完全平方式，则；2②若三项式 x 8xy m 是一个完全平方式，则 m = . 2.已知 a 2 ab 5,ab b 222,那么 a b 2．2x(x y 2 xy) y(x 2 x y) 2 34、 (3x 2y) (3x y)(3x y)5、211 2 23b c 27、 2m 26、 2a b 2ab c；2mnmn4 2228.已知 x y 3， xy 2，求 x 2 y ，x y的值。
八年级数学分式的乘除法知识点讲解
八年级数学分式的乘除法知识点讲解
八年级数学分式的乘除法知识点讲解
分式的乘除法
1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.
3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.
4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如
x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，
(x-y)3=-(y-x)3.
5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.
6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.。
分式的运算知识点总结
分式的运算知识点总结一、分式的含义和性质1. 分式的定义分式是指两个整数的比例，通常用a/b表示，其中a称为分子，b称为分母，b不等于0。
分式通常表示成有理数的形式，例如1/2、3/4等。
2. 分式的性质分式有以下性质：（1）分式的分母不可以为0，因为0不能作为除数。
（2）分式可以化简，即约分，将分子与分母的公因数约掉。
（3）分式可以相互转换，即通过乘以相同的数或者分式和分数的换算，可以将分式相互转换。
二、分式的加减法1. 分式的相加分式的相加即将两个分式的分子相加，分母不变，然后化简得到最简分式。
例如：1/2 + 1/3 = (1*3+1*2)/(2*3) = 5/6。
2. 分式的相减分式的相减即将两个分式的分子相减，分母不变，然后化简得到最简分式。
例如：2/3 - 1/4 = (2*4-1*3)/(3*4) = 5/12。
三、分式的乘除法1. 分式的相乘分式的相乘即将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母，然后化简得到最简分式。
例如：1/2 * 2/3 = (1*2)/(2*3) = 2/6 = 1/3。
2. 分式的相除分式的相除即将两个分式的分子相除作为新的分子，分母相除作为新的分母，然后化简得到最简分式。
例如：3/4 ÷ 1/2 = (3*2)/(4*1) = 6/4 = 3/2。
四、分式的乘方和括号的运算1. 分式的乘方分式的乘方即将分式的分子和分母分别进行乘方运算，得到新的分子和分母，然后化简得到最简分式。
例如：(1/2)^2 = 1^2/2^2 = 1/4。
2. 分式的括号运算分式的括号运算即根据括号内的运算顺序进行计算，先乘除后加减，然后化简得到最简分式。
例如：(1/2 + 1/4) ÷ (1/2 - 1/4) = (2/4 + 1/4) ÷ (2/4 - 1/4) = 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 * 2/1 = 3/2。
八年级数学下册《分式》教案北师大版
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猜灯谜作文篇1一年一度的中秋节快到了，中秋节的时候的习俗有：博饼，放孔明灯，敬田头，听香……看着妈妈忙忙碌碌地准备着，陷入美好的记忆中。
去年的中秋节，妈妈决定吃完饭后上天台边赏月边猜谜语，我们乐得直拍手叫好。
“一起赏月，猜谜语啦！”妈妈大喊。
我和弟弟都还在做自己的事。
妈妈提高嗓音：“快来一起赏月，猜谜语啦！”我和弟弟迅速打开房门，以最快的速度赶到天台上。
爸爸妈妈已经坐在天台的椅子上等我们了，我和弟弟也跟着坐在了旁边的椅子上。
开始猜谜语了，妈妈先下手为强：“我先出，听好了。
充耳不闻无话讲，打一茶叶名。
”妈妈话音刚落，爸爸马上接：“是龙井。
”爸爸平日里可爱喝茶了，这种简单的问题怎能难倒他。
“不能常喝浓茶，会生病哦！”我一本正经地说道，“书上就是这样写的！”爸爸微笑着说：“女儿长大了，懂事了！好吧，听你的，我以后要少喝浓茶。
”我们一家人就在这月光下，开始品尝月饼。
我们大口大口地往嘴里塞。
妈妈嘱咐我们：“吃慢点，别噎着了。
”我对妈妈说：“一定不会的，如果噎着了，我就是个大傻子。
”爸爸妈妈放声大笑。
吃完月饼后，爸爸说：“该我出了。
七品小官不明断，打一食品。
”妈妈马上反应过来，说：“是芝麻糊。
”弟弟急了：“现在该我出了。
谜语是话到嘴边又咽下，打一食品。
”“我知道，谜底是云吞。
”我高兴地大喊。
妈妈对我说：“小声点，别吵到人家赏月。
”“好吧，不过该我出了。
三两木耳，打一地理名词。
”我严肃地说。
这可把全家给难住了，“哈哈，不懂了吧？我来告诉你们吧，是森林。
”我得意地说道，爸爸妈妈哈哈大笑。
全家人沉浸在浓浓的月光中。
又是中秋月圆时，月儿圆，人团圆。
仰望夜空，昨夜星辰早已坠落，今日明月正当空。
分式分式及其基本性质分式
求解最值问题
通过建立分式方程，可以求解某 些数学问题的最值。
简化计算
分式方程可以用于简化某些计算 ，例如分数计算等。
05
分式的应用
分式在生活中的应用
物理学
分式在物理学中被广泛应用，例如用 于描述物体的运动状态、力的分解和 合成、能量转换等。
工程学
在工程学中，分式用于描述各种物理 量之间的关系，如电阻、电容、电感 等。
分式的乘除法
概念
分式的乘除法是指将两个或多个分式进行乘除运算的过程。
运算法则
分式的乘法是将分式的分子与分子相乘，分母与分母相乘；分式的除法是将除式 的分子与分母相乘，被除式的分子与分子相乘，分母与分母相乘。
分式的混合运算
概念
分式的混合运算是指将加减乘除等运算结合在一起进行计算的过程。
运算法则
混合运算先乘除后加减，有括号的先算括号。
分式在数学中有广泛的应用，如解方 程、求导数、计算面积和体积等等。
02
分式的基本性质
分式的约分
分子和分母同时除以最大公约数，化简为最简分式。
约分可以化简分数，使其更易于比较大小或计算。
分式的通分
01
找到几个分式的最简公分母。
02
将各个分式的分子与最简公分母相乘，得到通分后的分式。
通分可以将几个分式化为同分母分式，便于比较大小或进行运
分式的符号
一个分式可以表示成 a/b 的形式，其中 a 和 b 都是整式，b 不等于 0。
如果 b 是正数，那么分式的值是正数或负数 ；如果 b 是负数，那么分式的值是正数或负
数，具体取决于 a 和 b 的3
分式是一种数学运算的结果，表示两 个整式相除的结果。
分式的值可以是一个具体的数字，也 可以是一个未知数。
第3章 分式(第1—2节)
例6、如果把分式 中的x、y的值都扩大2倍，那么分式的值（）
A.扩大2倍B.扩大6倍C.扩大3倍D.不变
【思路分析】分子分母中的各项都扩大相同的倍数，实际就是将分子和分母同时乘以相同的数（不为零），分式的值不变.
解：D
方法与规律：理解分式的基本性质是解决问题的关键.
考点三：分式的乘除法
例7、计算：（1）
教师：_万老师_____学生：______时间:_____年___月___日段
课题：分式
授课目的与考点分析：1、分式的基本性质，相关概念及运算。2、正确运用分式乘除法则进行分式的乘除运算。
重、难点：1、分式的概念和分式的基本性质的理解和运用。
2、正确找出分式的分子、分母的最高公因式，用约分运算化简分式。
2、分式的基本性质：
（1） 分子、分母同时乘以c（c≠0）
分式的分子与分母都乘以这个c（c≠0）整式，分式的值没有改变，根据这条性质可以对分式进行变形.
（2） 分子、分母同时除以c（c≠0）
分式的分子与分母都除以这个c（c≠0）整式，分式的值没有改变，根据这条性质可以对分式进行变形.
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
最简分式：分式的分子与分母没有公因式的分式称为最简分式.
注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式.
3、分式的乘除法：
分式的乘法运算法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作积的分子，把分母相乘的积作积的分母.如果分式的分子与分母都是多项式，先给它们分解因式，约分，然后相乘.
分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
解：－1
方法与规律：分式值为零的条件是分子=0，分母≠0.
专题 分式性质与运算(知识点精讲)(学生版)
专题08分式性质与运算重难突破知识点一分式有意义及值为0的条件1、分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母．注意：三要素（1）形如A B 的式子；（2）A ，B 均为整式；（3）分母B 中含有字母.2、分式有意义、无意义的条件（1）当分母0B =时，分式A B无意义；（2）当分母0B ≠时，分式A B 有意义．注意：①分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0；②分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子的值是否为0无关.3、分式的值（1）分式值为0：分子为0且分母不为0，即00A B =⎧⎨≠⎩；（2）分式值为正：分子分母同号，即00A B >⎧⎨>⎩或00A B <⎧⎨<⎩；（3）分式值为负：分子分母异号，即00A B >⎧⎨<⎩或00A B <⎧⎨>⎩．注意：①分式的值为0必须同时满足两个条件：分子的值为0；分母的值不为0.②必须在分式有意义的前提下，才能谈分式的值是多少，也就是说，必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值是否等于0.典例1（2020•姑苏区一模）若分式3x x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围为()A ．3x >B ．0x ≠且3x ≠C ．0x D ．3x ≠典例2（2021春•罗湖区校级期中）已知分式2(3)(1)1x x x -+-的值为0，那么x 的值是()A ．1-B ．3C ．1D ．3或1-知识点二分式基本性质1、分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用字母表示：a a m b b m ⋅=⋅，a a m b b m÷=÷（0m ≠）其中m 是不等于0的整式．注意：（1）分式的符号法则将分式、分子、分母的符号改变其中的任意两个，其结果不变.速记口诀：分式变形用性质，变形牢记要两同；分子、分母同乘除，非零整式且相同.（2）分式的基本性质是分式约分和通分的依据.2、分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式．约分通常要把分式化为最简分式或整式．典例1（2021春•光明区期中）若把分式3xy x y -中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么分式的值()A ．扩大为原来的5倍B ．扩大为原来的10倍C ．不变D ．缩小为原来的15倍典例2（2020春•铜仁市期末）下列各式，正确的是()A ．632x x x=B ．a x a b x b +=+C ．1()x y x y x y -+=-≠-D ．22a b a b a b+=++知识点三分式的运算1、分式的乘除法（1）乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．用式子可以表示为：b d bd a c ac⋅=．（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子可以表示为：b d b c bc a c a d ad÷=⋅=．（3）乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方．用式子可以表示为：(n n n b b a a =（n 是正整数，b ≠0）2、分式的通分（1）根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.（2）通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式的乘除运算讲解
分式的乘除运算讲解1.引言1.1 概述分式是数学中重要且常见的概念，在解决实际问题中具有广泛的应用。
分式的乘除运算是我们在求解分式相关问题时必须掌握和应用的基础运算。
分式的乘法运算是指将两个分式相乘，得到一个新的分式。
而分式的除法运算则是将一个分式除以另一个分式，同样得到一个新的分式。
在实际生活中，我们经常遇到需要对分式进行乘除运算的情况，比如在购物中打折优惠、计算比例和比率等等。
为了正确进行分式的乘除运算，我们需要先了解分式的定义与性质。
分式可以看作是分子和分母之间带有分数线的数学表达式。
在分式中，分子表示分数的分子部分，而分母表示分数的分母部分。
分式的分子和分母都可以是整数、变量、或两者的组合。
在乘法运算中，我们将两个分式相乘，只需将它们的分子相乘，分母相乘，得到的积即为乘法结果的分子与分母。
而在除法运算中，我们将一个分式除以另一个分式，需要将被除数的分子与除数的分母相乘，被除数的分母与除数的分子相乘，从而得到商的分子与分母。
通过了解分式乘除运算的步骤和性质，我们可以更加灵活地对分式进行运算，解决实际问题中的各种分式运算题目。
分式的乘除运算不仅是数学中重要的基础知识，也是我们日常生活中的实际运用。
掌握了分式的乘除运算，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高数学解题的能力和运算的准确性。
综上所述，本文将详细介绍分式的乘除运算的定义、性质以及运算步骤，并总结其应用与拓展。
通过学习与掌握分式的乘除运算，我们可以在数学解题中更加得心应手，为日常生活中的计算和问题解决提供帮助。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行分析和讲解分式的乘除运算。
2. 正文2.1 分式的乘法运算2.1.1 定义与性质2.1.2 乘法运算的步骤2.2 分式的除法运算2.2.1 定义与性质2.2.2 除法运算的步骤3. 结论3.1 总结分式的乘除运算在本章节中，我们通过详细解释分式的乘法与除法运算，掌握了其定义、性质以及实际操作步骤。
分式的基本性质教案
分式的基本性质优秀教案一、教学内容本节课我们将探讨《数学》教材第十五章第一节“分式的基本性质”。
具体内容包括分式的定义、分式的基本性质、分式的乘除法运算以及分式的约分。
二、教学目标1. 理解并掌握分式的定义及基本性质。
2. 学会分式的乘除法运算，并能熟练运用。
3. 能够对分式进行约分，并解释其约分原理。
三、教学难点与重点教学难点：分式的乘除法运算及约分。
教学重点：分式的定义、基本性质以及相关运算法则。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、草稿纸、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示实际生活中分式的应用，如分数蛋糕、速度等，引发学生对分式的兴趣。
2. 分式的定义及性质（10分钟）讲解分式的定义，并通过例题讲解分式的基本性质。
3. 分式的乘除法运算（15分钟）介绍分式的乘除法运算规则，并进行例题讲解。
接着，布置随堂练习，让学生独立完成。
4. 分式的约分（10分钟）讲解分式约分的原理及方法，并进行例题演示。
随后，让学生进行随堂练习。
5. 小结与巩固（5分钟）6. 互动环节（10分钟）学生提问，教师解答。
针对学生在学习过程中遇到的问题进行解答。
七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：（1）2（2）5/4（3）3/2八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，学生对分式的定义、基本性质及运算法则有了更深入的理解，但仍有个别学生在约分环节存在困难，需要在课后进行个别辅导。
2. 拓展延伸：鼓励学生探索分式在其他数学领域的应用，如函数、不等式等，提高学生的综合运用能力。
重点和难点解析：1. 分式的定义及性质2. 分式的乘除法运算3. 分式的约分4. 互动环节5. 作业设计一、分式的定义及性质分式的定义：分式是由两个整式相除得到的表达式，其中被除数称为分子，除数称为分母。
分式的基本性质包括：1. 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个非零整式，分式的值不变。
分式及其运算
分式及其运算分式，也叫有理式，是由一个整式的形式分子和分母组成的表达式，分子与分母都可以是整数多项式，且分母不能为0。
分式的运算是数学中的重要内容之一，主要包括分式的加减乘除四则运算。
一、分式的基本概念分式由分子和分母两个部分组成，用横线隔开。
分子表示分子部分的表达式，分母表示分母部分的表达式。
分式的形式可以用以下表示方法：$\frac{a}{b}$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 。
例如，$\frac{3}{5}$、$\frac{x^2+1}{2x}$ 都是分式。
其中，3是分式的分子，5是分式的分母；$x^2+1$是分式的分子，2x是分式的分母。
二、分式的加减运算1.同分母分式的加减运算：将同分母分式的分子相加（或相减），分母保持不变，得到的结果即为所求。
例如，$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3+2}{5}=\frac{5}{5}=1$；$\frac{7x}{4} - \frac{3x}{4} = \frac{7x-3x}{4}=\frac{4x}{4}=x$。
2.异分母分式的加减运算：先找到它们的最小公倍数（简称最小公倍数），然后将分子通分，再进行加减运算。
最后将结果化简到最简形式。
例如，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}$；$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{8-3}{12}=\frac{5}{12}$。
三、分式的乘除运算1.分式的乘法：将分式的分子与分母分别相乘，得到的结果即为所求。
例如，$\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}=\frac{3 \times 2}{4 \times5}=\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$；$(\frac{a}{b}) \times(\frac{c}{d})=\frac{a \times c}{b \times d}$。
分式的基本性质及其运算
分式的基本性质及其运算【知识点归纳】知识点一：分式的定义一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（）②分式无意义：分母为0（）③分式值为0：分子为0且分母不为0（）④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ、取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ、单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ、相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ、保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
八年级上册数学分式的乘除
在八年级上册的数学课程中，我们学习了一个重要的主题——分式的乘除。
分式是一种特殊的数学表达式，它包含了一个或多个字母，这些字母表示未知数。
分式的乘除运算与整数和小数的乘除运算有所不同，需要遵循一定的规则。
首先，我们来学习分式的乘法。
分式的乘法是将两个分式相乘，得到一个新的分式。
在进行乘法运算时，我们需要先将分子与分子相乘，然后将分母与分母相乘。
例如，计算2/3乘以4/5，我们可以得到(2*4)/(3*5)=8/15。
接下来，我们来学习分式的除法。
分式的除法是将一个分式除以另一个分式，得到一个新的分式。
在进行除法运算时，我们需要先将被除数的倒数乘以除数，然后进行乘法运算。
例如，计算2/3除以4/5，我们可以得到(2*5)/(3*4)=10/12=5/6。
在学习分式的乘除时，我们需要掌握一些基本的技巧和规律。
例如，我们可以将复杂的分式化简为最简形式，这样可以简化计算过程。
此外，我们还需要注意约分和通分的概念，这对于解决实际问题非常重要。
分式的基本性质
分式的形式
最简分式
分子和分母没有公共因子，且分子和分母的最高次数相同。
真分式
分子和分母都是多项式，且分子和分母的次数不同。
假分式
分子和分母的次数相同，或分子和分母有公共因子。
分式的基本性质
分式的值不等于零
分式的值是分子与分母相除的结果，当分母为零 时，分式的值不存在，即分式不等于零。
分式的除法
一个分式除以另一个分式，分子和分母分别除以 被除数的分子和分母，得到商的分式。
将分子和分母中相同的元素消去，简化分式。
分式的加减法
同分母分式相加减
将同分母的分式相加减，结果作为分子，分母不变。
异分母分式相加减
将异分母的分式先通分，然后按照同分母分式的加减法进行计算。
分式的乘除法
分子乘分子，分母乘分母
将两个分式的分子和分母分别相乘，得到新的分式。
分式的乘方
将分式的分子和分母分别进行乘方运算，得到新的分式。
在进行除法运算时，需要将结果化简，使分母和分子都 保持最简形式。
05
分式的应用
分式在物理中的应用
要点一
电力计算
分式在电力计算中有着广泛应用，如计算电力的消耗、 电量的分配等。
要点二
物理定律的表达
很多物理定律可以用分式来表达，如牛顿第二定律、欧 姆定律等。
分式在数学中的应用
代数方程的解
分式可以用于解代数方程，特别是那些难以求解的高次 方程。
注意事项
在进行加法运算时，需要将结果化简，使分母和分子都保持最简形式。
分式的乘法运算
运算法则
分式的乘法运算是在保持分母不变的情况下，将分子相乘。
注意事项
在进行乘法运算时，需要将结果化简，使分母和分子都保持最简形式。
分式的加减乘除乘方混合运算
分式的加减乘除乘方混合运算在数学中，分式是由分子和分母组成的表达式，表示两个数的商。
分式可以进行加、减、乘、除以及乘方等混合运算。
本文将介绍和讲解如何进行分式的加减乘除乘方混合运算。
一、分式的加法运算分式的加法运算是指将两个分式相加的操作。
要进行分式的加法运算，需要保证两个分式的分母相同，然后分别将分子相加，再将分子写在分式的分子位置上，分母不变。
例如：1/3 + 2/3 = （1+2）/3 = 3/3 = 1二、分式的减法运算分式的减法运算是指将两个分式相减的操作。
同样地，要进行分式的减法运算，也需要保证两个分式的分母相同，然后分别将分子相减，再将分子写在分式的分子位置上，分母不变。
例如：5/6 - 1/6 = （5-1）/6 = 4/6 = 2/3三、分式的乘法运算分式的乘法运算是指将两个分式相乘的操作。
要进行分式的乘法运算，只需要将两个分式的分子相乘，将两个分式的分母相乘，然后将得到的新分子写在新分式的分子位置上，得到的新分母写在新分式的分母位置上。
例如：2/5 * 3/4 = （2*3）/（5*4） = 6/20 = 3/10四、分式的除法运算分式的除法运算是指将一个分式除以另一个分式的操作。
要进行分式的除法运算，需要将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数，也就是将第一个分式的分子乘以第二个分式分数倒数的分子，将第一个分式的分母乘以第二个分式分数倒数的分母。
例如：1/2 ÷ 2/3 = （1/2）*（3/2） = 3/4五、分式的乘方运算分式的乘方运算是指将一个分式进行指数运算的操作。
要进行分式的乘方运算，需要将分式的分子和分母分别进行指数运算，然后将得到的新分子写在新分式的分子位置上，得到的新分母写在新分式的分母位置上。
例如：（1/2）^2 = 1^2 / 2^2 = 1/4六、分式的混合运算分式的混合运算是指将分式的加减乘除以及乘方运算混合在一起进行的操作。
在进行混合运算时，需要根据运算法则依次进行各个运算的步骤，最终得到结果。
分式的乘除法
分式的乘除法分式的乘除法是数学中常见的运算方法，它通过对分数进行乘法和除法的操作，进一步简化和计算分数。
本文将介绍分式的乘除法的基本概念、运算规则和示例，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
1. 分式的基本概念在分数中，分子和分母分别表示了一个有理数的部分和全体，两者之间用一条水平的线隔开。
通常情况下，分子在上方，分母在下方，如a/b的形式表示。
其中，分子a表示被分的数，分母b表示分成的份数。
2. 分式的乘法分式的乘法实质上是两个分数相乘的运算。
具体来说，分式a/b与分式c/d相乘的结果是(a * c) / (b * d)。
即分子相乘，分母相乘。
下面是一个例子，演示了分式乘法的运算步骤：例: 计算分式 2/3 * 5/6解:分子相乘：2 * 5 = 10分母相乘：3 * 6 = 18结果为 10/18，可进一步简化为 5/9。
从例子中可以看出，我们可以将2/3和5/6的分子相乘，再将分母相乘，最后得到结果。
3. 分式的除法分式的除法是两个分数相除的运算。
具体来说，分式a/b除以分式c/d的结果是(a/b) / (c/d)。
即将除法转换为乘法运算，即a/b * d/c。
下面是一个例子，演示了分式除法的运算步骤：例: 计算分式 3/4 ÷ 2/5解:将除法转换为乘法：3/4 ÷ 2/5 = 3/4 * 5/2相乘后分子为：3 * 5 = 15相乘后分母为：4 * 2 = 8结果为 15/8，可进一步简化为 1 7/8。
从例子中可以看出，我们可以将除法转换为乘法，然后按照分式乘法的规则计算，最后得到结果。
4. 分式乘除法的综合运算在实际运算中，分式的乘法和除法经常同时出现，需要综合运用。
在进行综合运算时，首先按照分式的乘法和除法规则进行运算，然后再进行加法或减法。
下面是一个例子，演示了分式乘除法的综合运算：例: 计算分式 1/2 ÷ 3/4 * 2/5解:按照乘除法的运算顺序计算：1/2 ÷ 3/4 * 2/5 = (1/2 * 4/3) * 2/5= 4/6 * 2/5分子相乘后为：4 * 2 = 8分母相乘后为：6 * 5 = 30结果为 8/30，可进一步简化为 4/15。
第讲分式的基本性质及其运算
第3讲 分式的基本性质及其运算第一部分 知识要点一、分式的性质1. 形如A B（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式。
① 分式有意义⇔分母B ≠0②分式无意义⇔分母B=0③ 分式值为0⇔分子A=0且分母B ≠02. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。
3. 最简分式就是分子、分母中不含有公因式的分式。
4. 分式的符号变号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，用式子表示为：BA B A B A B A --=--=--=。
5. 约分是把分子、分母中的公因式约去的过程；通分是根据分式本身的性质，不改变分式的值，把几个分母不同的分式化为分母相同的分式的过程。
二、分式的运算1. 分式运算法则： ①bcad c d b a d c b a =⨯=÷ ②为正整数）n ba b a n nn ()(= ③bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± ④)0()1(1≠==-a a a a p p p 2. 分式的乘除运算其实就是约分，约分时，分子、分母如果是多项式的，先因式分解再约分；分式的加减运算其实就是通分，通分的关键在于确定公分母。
3. 分式的加减乘除乘方混合运算顺序，应注意选择合适的运算律改变运算顺序以使运算简便三 分式方程1、分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解2. 解分式方程组的基本思想是：化为整式方程（两种做法：去分母，换元；常见思路：取倒，方程叠加）。
3. 分式方程的应用主要是列方程解应用题。
做题步骤为：①审；②设；③列；④解；⑤检；⑥答。
八年级上册分式
八年级上册分式
摘要：
一、分式的基本概念
1.分式的定义
2.分式的构成
二、分式的性质
1.分式的基本性质
2.分式的运算性质
三、分式的运算
1.分式的加减法
2.分式的乘除法
四、分式的应用
1.实际问题中的应用
2.数学问题中的应用
正文：
在八年级上册的数学课程中，我们学习了分式这一新的数学概念。
分式是一个非常重要的数学工具，它在解决实际问题和数学问题中都发挥着关键的作用。
首先，我们学习了分式的基本概念。
分式是由分子和分母组成的，分子和分母都可以是整式或者代数式。
分式的定义是：如果A 和B 都是整式，并且B 不等于0，那么我们称A/B 为一个分式。
接着，我们学习了分式的性质。
分式的基本性质是指，当分式的分子和分母同时乘以或者除以一个非零整式时，分式的值不变。
而分式的运算性质则是指，分式可以进行加减乘除四种运算，运算的结果仍然是一个分式。
在学习完分式的性质后，我们开始学习如何进行分式的运算。
分式的加减法需要将分式通分，然后按照整式的加减法进行运算。
而分式的乘除法则需要将分式约分，然后按照整式的乘除法进行运算。
最后，我们学习了分式的应用。
在实际问题中，我们常常需要通过设立分式来表示一些量之间的关系。
例如，速度可以表示为路程除以时间，这就可以用一个分式来表示。
在数学问题中，分式也有着广泛的应用，例如在解方程时，我们常常需要使用分式来表示方程的解。
高一数学分式笔记
高一数学分式笔记摘要：1.分式的基本概念与性质2.分式的加减法3.分式的乘除法4.分式的恒等变换5.分式函数与导数6.分式不等式的解法7.实际问题中的应用正文：一、分式的基本概念与性质分式是指形如a/b的表达式，其中a和b均为数或变量，且b≠0。
分式具有以下基本性质：1.分式的值域：实数域、复数域。
2.分式的分母不能为0。
3.分式的分子、分母同时乘以同一个非零多项式，分式的值不变。
4.分式的分子、分母同时除以同一个非零多项式，分式的值不变。
二、分式的加减法1.通分：要进行分式的加减运算，首先要保证分母相同。
求分式通分的方法是将各个分式的分母分解因式，然后找出各个分母的公因式，并将公因式作为通分后的分母。
2.分式的加减运算：将分子相加（或相减）后，作为通分后的分子，分母保持不变。
三、分式的乘除法1.分式的乘法：分子相乘，分母相乘。
2.分式的除法：分子乘以倒数，分母相乘。
四、分式的恒等变换1.分子、分母同时乘以同一个非零多项式，分式的值不变。
2.分子、分母同时除以同一个非零多项式，分式的值不变。
五、分式函数与导数1.分式函数：分式可以看作是一种特殊的一元函数。
2.分式函数的导数：利用导数的定义，求解分式函数的导数。
六、分式不等式的解法1.通分：将分式不等式的分母进行通分，使不等式两边的分母相同。
2.移项：将不等式两边同时乘以分母，将不等式转化为分子的大小关系。
3.求解：根据分子的大小关系，求解分式不等式。
七、实际问题中的应用1.求解实际问题中的分式问题：将实际问题抽象为分式问题，然后运用分式的性质和运算方法求解。
2.提高解决实际问题的能力：通过训练，提高运用分式解决实际问题的能力。
通过掌握分式的基本概念、性质和运算方法，我们可以更好地解决实际问题，并提高数学素养。
分式通分、乘、除_.加、减法_及分式方程
复习： 1、如何进行分式的约分？请举例说明。 2、如何进行分式的通分？请举例说明。 3、请将下列各分式进行约分：
4a b (1) 2 6ab
2
3a b( x y ) (2) 3 9ab ( y x)
2
a 3 (3) 2 a 6a 9
a 4 (4) 2 a 4a 4
2
4、完成下列运算,你想到了什么?说出来与同学们分享.
A A M A A M , （ 其中M是不等于零的整式）。 B BM B B M
与分数类似，根据分式的基本性质，可 以对分式进行约分和通分.
做一做
1、约分 ：
16 x y (1) 4 20 xy
x ( 4) 2 x 2x
2
3
x 4 (2) 2 x 4x 4
2
x xy (3) 2 x
1 1 （2）求分式 的最简公分母。 2 与 2 4x 2x x 4
4 x 2 x 2 x ( 2 x ) 2 x( x 2)
2
x 4 ( x 2)( x 2)
2
把这两个分式的分母中所有的因式都取到， 其中，系数取正数，取它们的积，即 2 x( x 2)( x 2)就是这两个分式的最简公分母。
答：成立
a c ac b d bd a c a d ad b d b c bc
分式的乘除法运算法则：
这里abcd 都是整式， bcd都不 为零
你会用语言叙 述一下吗？
分式乘分式，用分子的积做积的分子， 分母的积做积的分母； 分式除以分式：把除式的分子、分母颠 倒位置后，与被除式相乘。
2
2 2
3
x y yx 3m n 4mn （7 ） ；（ 8 ） 。 3 2 yx x y 2mn 9m n
八年级分式的性质及乘除法课外辅导
八年级下期数学辅导资料一第一部份：分式的相关概念知识点一：分式的概念基本特征：1、是代数式；2、分母含有未知数（注意：л是常数）。
例：下列各数是分式的有___________个.24,4,2,7,,523,1,1,2322----+++x x x a a x ab b a y x a b x π，x x xy 13,+知识点二：分式有意义的条件（1）凡是有分式，则分母不为0，（2）凡是除数，则除数不为0；（3）凡是二次根式，则被开方数大于或等于0.例 当x 时，分式21++x x 无意义；当x 时，分式231-+x x 无意义；当x 时，分式354-+x x 有意义；当x 时，分式x ＋12-x －23+x 有意义；要使式子33-+x x ÷42-+x x 有意义，x 的取值应为 。
分式1122+-a a 有意义的a 的取值为_______ ，21xx -有意义的x 的取值范围是_________.知识点三：分式的值为0的条件必须考虑两点：（1）分子为0；（2）分母不为0例 当x 时，分式33+-x x 的值为0；当x ＝______时，分式)3)(2(2+-+x x x 值为0知识点四：分式的值为正或负（1） 分式的值为正，分子分母同号；（2）分式的值为负，分子分母异号；例 （1）当x 取什么值时，分式841--x x 的值为负？ （2）当x 取什么值时，分式25x x -值为正？ （3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.第2部分：分式的性质知识点一：分式的基本性质有两个关键词：（1）分子分母同时乘以同一个整式，（2）乘的整式一定要告诉或能判定不为0例 ：（1）填空①2)(2322+=+x x x x ②)(222ab a ab b a +=+ ③22)(yx y x y x -=+- ④x x x x +-=-22319)(13（2）下列等式从左到右的变形正确的是 （ ）A ．b a ＝11b a ++B b bm a am =C ．2ab b a a= D ．22b b a a = 例 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数。
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分式的性质和分式的乘除法综合培优
一、常考题型归类
(一)、 分式有无意义的条件
1、分式1
2-x 无意义，则x 的取值范围是________ 2、下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ (1)x 5； (2)33-+x x ； (3)423+x x ； (4)b a -1； (5)n m n m -+223； (6)1212+-a a .
(二)、 分式的值
1、若分式43+-x x 的值为0，则x 的值是______，若分式1
12--x x 的值为零，则x 的值为_______。
2、当x_____时，分51+-x 的值为正；当x 为_____时，分式1
42+-x 的值为负. (三)、 分式的基本性质
1、根据分式的基本性质填空： (1)(__)212822c b a c a =；(2)x
x x x 3(__)322+=+. 2、 约分：(1)4322016xy y x -； (2)b
b ab 22+； (3)y xy x 242+-； (4)99622-++a a a .
3、通分 (1)y x 2与232xy ； (2)33,22+-n n n n . （3）412-x 与x x 24-.
(四)、分式的乘除法
1.计算：(1)222343.2xz y y z x ； (2) 22
22154512z
xy z y x ÷； (3)x y y xy xy x --.22； (4)3
.196222-+-+-x x x x x x .
(5)1121222+-÷++-a a a a a a ； (6)1
2122+--x x x ÷(x+1).
(7) 34.91623432+-÷-x x x x x ； (8)2
1441.1222+÷++--+a a a a a a ；
(五)、 分式乘除法的应用
1、由甲地到乙地的一条铁路全长为s km ，运行时间为a h ；由甲地到乙地的公路全长为这条铁路全长的m 倍，汽车全程运行b h.那么火车的速度是汽车速度的_____倍.
2、甲乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修(a 2-4)米，乙工程队每天修(a-2)2米(其中a>2),则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？
二、培优训练
1、当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是( ) A.1+x x B.x 4 C.112+-x x D.1
2-x x 2、下列等式正确的是( ) A.22
b
a b a = B.b a ab b a += C.b c c a b a ++= D.2b ab b a = 3、根据分式的性质y x x --可变形为( ) A.x y x --- B.y x x - C.x y x - D.x
y x -- 5、已知分式
x
x -+21,当x 取a 时，该分式的值为0；当x 取b 时，分式无意义；则ab 值等于( ) A.-2 B.2
1 C.1 D.
2 6、已知b a M b a a -=÷-1222，则M 等于( ) A.b a a +2 B.a b a 2+ C.b a a -2 D.a b a 2- 7、如果分式2
31-2++x x x 的值等于0，那么x 的值为_________ 8、若分式2
3x x -的值为负数，则x 的取值范围是_____.
9、分式y
x xy +中的x ，y 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值( ) 10、计算：(1)(a-2)·44422+--a a a ； (2)(a 2+3a)÷3
92--a a ；
(3)x
x x 2622++÷(x+3)； (4)22222222y xy x y xy y xy y xy x +-+÷-++.
11、先将式子2
9232+-÷++x x x x 化简，再从-2，2，3，-3四个数中选取一个适当的数作为x 的值代入求值.
12、化简求值：1
11+2a -a 4-a .21222-÷+-a a a ,其中a 2-a=0.
13、有甲乙两筐水果，甲筐水果重(x-1)2千克，乙筐水果重(x 2-1)千克(其中x>1)，售完后，两筐水果都卖了50元.(1)哪筐水果的单价卖得低？(2)高的单价是低的单价的多少倍？
14、已知a+a 1=10，求a-a
1的值 15、已知0152=+-x x ，求241
x x +
16、若13+a 的值是一个整数，则整数a 17、已知等式M
Ma a a a --+=++621322， 可以取哪些值？ 求M 的值.
18、分式m 212+-x x 不论x 取何实数总有意义，求m 的取值范围.。