gksxnd13 难点13 数列的通项与求和
数列的通项与求和
数列的通项与求和数列是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在数列中，每一个数字都有其特定的位置和规律。
通项与求和是数列中两个基本问题，本文将围绕这两个问题展开探讨。
一、数列的通项数列的通项是指数列中任意一项与其位置之间的关系式。
通项可以用来计算数列中任意一项的值，从而更好地理解数列的规律和特点。
下面将以等差数列和等比数列为例，介绍数列的通项计算方法。
1. 等差数列等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
首先确定首项和公差的值，然后代入公式即可计算出任意一项的值。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，首项a1=1，公差d=2，第n项的值可以通过an = 1 + (n-1)x2求得。
2. 等比数列等比数列的通项公式为：an = a1 x r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
首先确定首项和公比的值，然后代入公式即可计算出任意一项的值。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32，首项a1=2，公比r=2，第n项的值可以通过an = 2 x 2^(n-1)求得。
二、数列的求和数列的求和是指将数列中所有项的值相加得到的结果。
通过求和，可以获得数列的总和，从而更好地了解数列的变化和特征。
下面将以等差数列和等比数列为例，介绍数列的求和计算方法。
1. 等差数列求和等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和，n表示项数，a1表示首项，an表示第n项。
根据公式，首先确定项数、首项和最后一项的值，然后代入公式即可计算出数列的总和。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，共有5项，首项a1=1，最后一项an=9，根据公式Sn = (5/2)(1 + 9)，可以得到数列的总和为25。
2. 等比数列求和等比数列的求和公式为：Sn = (a1(1-r^n))/(1-r)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比。
高中数学方法总结数列与数学归纳法的通项与求和解法
高中数学方法总结数列与数学归纳法的通项与求和解法高中数学方法总结：数列与数学归纳法的通项与求和解法在高中数学的学习过程中，数列与数学归纳法是十分重要且基础的部分。
数列是指按照一定规律排列的数字集合，而数学归纳法则是用来证明数学命题的一种常用方法。
在本文中，我们将对数列的通项与求和解法以及数学归纳法的应用进行总结与梳理。
一、数列的通项与求和解法：1. 等差数列：等差数列是指数列中的每个项与它的前一项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，aₙ为等差数列的第n项，a₁为首项，d为公差，n为项数。
求和公式：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，Sₙ为等差数列的前n项和，a₁为首项，aₙ为第n项，n 为项数。
2. 等比数列：等比数列是指数列中的每个项与它的前一项的比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ。
通项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，aₙ为等比数列的第n项，a₁为首项，r为公比，n为项数。
求和公式：Sₙ = (a₁ * (1 - r^n))/(1 - r)其中，Sₙ为等比数列的前n项和，a₁为首项，r为公比，n为项数。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每个项都等于它前两项之和的数列。
设斐波那契数列的首项为F₁，第n项为Fₙ。
通项公式：Fₙ = Fₙ₋₂ + Fₙ₋₁其中，Fₙ为斐波那契数列的第n项，F₁和F₂为前两项。
求和公式：由于斐波那契数列没有固定项数的和，故没有求和公式。
二、数学归纳法的应用：数学归纳法是一种证明数学命题的方法，其中包含三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
首先，在基础步骤中，证明命题在某个初始情况下成立。
然后，在归纳假设中，假设命题在某个特定情况下成立。
最后，在归纳步骤中，通过归纳假设推导得出命题在下一个情况下也成立。
例如，我们利用数学归纳法证明某个等式对所有正整数n成立。
高中数学知识点：数列通项与数列求和
⾼中数学知识点：数列通项与数列求和今天⼩编分享的是⾼中数学知识点：数列通项与数列求和，按⼀定次序排列的⼀列数称为数列，⽽将数列{an} 的第n项⽤⼀个具体式⼦(含有参数n)表⽰出来，称作该数列的通项公式。
这正如函数的解析式⼀样，通过代⼊具体的n值便可求知相应an 项的值。
⽽数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若⼲变换得到。
下⾯是⾼中数学知识点：数列通项与数列求和的具体内容。
点击查看：⾼中数学知识点之数列⾼中数学知识点之等差数列通项公式对于⼀个数列{an}，如果任意相邻两项之差为⼀个常数，那么该数列为等差数列，且称这⼀定值差为公差,记为d;从第⼀项a1到第n项an的总和，记为Sn 。
⾼中数学知识点之等差数列通项公式对于⼀个数列{an}，如果任意相邻两项之差为⼀个常数，那么该数列为等差数列，且称这⼀定值差为公差,记为d;从第⼀项a1到第n项an的总和，记为Sn。
即an=a1+(n-1)*d⾼中数学知识点之等⽐数列通项公式对于⼀个数列{an}，如果任意相邻两项之商(即⼆者的⽐)为⼀个常数，那么该数列为等⽐数列，且称这⼀定值商为公⽐q;从第⼀项a1到第n项an的总和，记为Tn。
那么，通项公式为an=a1*q(n-1)(即a1乘以q的(n-1)次⽅，其推导为“连乘原理”的思想：a2=a1*q,a3=a2*q,a4=a3*q,、、、、an=an-1*q,⾼中数学知识点：数列求和1.等差数列求和公式:(⾸项+末项)×项数÷22.等⽐数列求和公式：以上是⾼三⽹⼩编整理的⾼中数学知识点：数列通项与数列求和，供参考。
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数列的通项公式与求和公式
数列的通项公式与求和公式数列是数学中非常重要的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
在数列中，我们可以通过寻找规律，并找到数列的通项公式与求和公式。
本文将介绍数列的通项公式与求和公式的概念、推导方法以及实际应用。
一、数列的通项公式数列的通项公式是指可以通过一个通用的公式来表示数列中任意一项与项数之间的关系。
通项公式的推导方式因数列的特点而有所不同。
1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差是常数的数列，通常用字母a表示首项，d表示公差。
等差数列的通项公式可以通过以下步骤推导得出：我们知道，等差数列中相邻两项之间的差是常数d，可以表示为第n项与第n-1项之间的差：an - an-1 = d (1)又因为等差数列的首项为a，所以可以推出第n-1项为a + (n-1)d。
将第n项和第n-1项的表达式代入公式(1)，则有：an - (a + (n-1)d) = d整理后得到等差数列的通项公式：an = a + (n-1)d (2)其中，an表示等差数列中第n项的值。
等差数列的通项公式为一个关于n的一次函数，可以方便地计算出数列中任意一项的值。
2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比是常数的数列，通常用字母a表示首项，q表示公比。
等比数列的通项公式可以通过以下步骤推导得出：我们知道，等比数列中相邻两项之间的比是常数q，可以表示为第n项与第n-1项之间的比：an / an-1 = q (3)又因为等比数列的首项为a，所以可以推出第n-1项为a * q^(n-1)。
将第n项和第n-1项的表达式代入公式(3)，则有：an / (a * q^(n-1)) = q整理后得到等比数列的通项公式：an = a * q^(n-1) (4)其中，an表示等比数列中第n项的值。
等比数列的通项公式为一个关于n的指数函数，同样可以方便地计算数列中任意一项的值。
二、数列的求和公式数列的求和公式是指可以通过一个通用的公式来计算数列从第一项到第n项的和。
数列的通项与求和例题和知识点总结
数列的通项与求和例题和知识点总结一、数列的通项在数列中，通项公式是指第 n 项 an 与项数 n 之间的关系式。
（一）等差数列的通项公式若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
其通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中a1 为首项，d 为公差。
例如：数列 2，5，8，11，14，是一个首项 a1 ＝ 2，公差 d ＝ 3 的等差数列，其通项公式为 an ＝ 2 ＋（n 1)×3 ＝ 3n 1 。
（二）等比数列的通项公式若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
其通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，q 为公比。
例如：数列 2，4，8，16，32，是一个首项 a1 ＝ 2，公比 q ＝ 2 的等比数列，其通项公式为 an ＝ 2×2^（n 1) ＝ 2^n 。
（三）常见的求通项公式的方法1、观察法通过对数列前几项的观察，找出规律，从而推测出通项公式。
例如：数列 1，3，5，7，9，很容易观察出其通项公式为 an ＝ 2n1 。
2、累加法当数列的递推关系为 an an 1 ＝ f(n) 时，可用累加法求通项公式。
例如：已知数列｛an} 满足 a1 ＝ 1，an an 1 ＝ n ，求 an 。
因为 an an 1 ＝ n ，所以a2 a1 ＝ 2a3 a2 ＝ 3an an 1 ＝ n将上述式子相加得：an a1 ＝ 2 ＋ 3 ＋＋ n所以 an ＝ a1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＋ n ＝ 1 ＋（2 ＋ 3 ＋＋ n) ＝ 1 ＋ n(n＋ 1)／2 。
3、累乘法当数列的递推关系为 an ／ an 1 ＝ f(n) 时，可用累乘法求通项公式。
例如：已知数列｛an} 满足 a1 ＝ 1，an ／ an 1 ＝ n ，求 an 。
因为 an ／ an 1 ＝ n ，所以a2 ／ a1 ＝ 2a3 ／ a2 ＝ 3an ／ an 1 ＝ n将上述式子相乘得：an ／ a1 ＝ 2×3××n所以 an ＝ a1×2×3××n ＝ n! 。
理解数列的通项与求和公式
理解数列的通项与求和公式数列是数学中的一种重要概念，它是由一系列按照某种规律排列的数字所组成的序列。
数列的通项与求和公式是数列研究中的基础内容，它们能够帮助我们更好地理解和应用数列。
一、数列的通项公式数列的通项公式是指能够根据数列的位置n，直接求出该位置上的数值的公式。
通项公式的推导过程需要根据数列的规律进行分析，从而找到数列中的模式和规律。
以等差数列为例，等差数列是一种数列，其中每个数与它的前一个数之差相等。
如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，那么数列的通项公式可以表示为an =a1 + (n-1)d。
其中，an表示数列中第n个数的值。
同样地，等比数列也有其通项公式。
等比数列是一种数列，其中每个数与它的前一个数之比相等。
如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，那么数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)。
其中，an表示数列中第n个数的值。
通过数列的通项公式，我们可以根据数列的位置直接求出数列中对应位置上的数值，从而更方便地进行数列的计算和分析。
二、数列的求和公式数列的求和公式是指能够根据数列中的一定范围内的位置，直接求出该范围内所有数值的和的公式。
求和公式的推导过程需要根据数列的规律进行分析，从而找到数列中的模式和规律。
以等差数列为例，等差数列的求和公式可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)。
其中，Sn表示数列中前n项的和，a1表示数列的首项，an表示数列的第n项。
同样地，等比数列也有其求和公式。
等比数列的求和公式可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
其中，Sn表示数列中前n项的和，a1表示数列的首项，r表示数列的公比。
通过数列的求和公式，我们可以直接求出数列中一定范围内所有数值的和，从而更方便地进行数列的计算和分析。
三、数列的应用数列的通项与求和公式在实际应用中具有广泛的用途。
它们可以帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。
在数学中，数列的通项与求和公式可以用于解决各种数学题目，如求和、递推关系等。
高中数学公式大全数列的通项公式与求和公式
高中数学公式大全数列的通项公式与求和公式高中数学公式大全：数列的通项公式与求和公式数列是指按照一定规律排列的一组数，而数列的通项公式和求和公式则是研究数列的重要内容。
在高中数学中，数列的通项公式和求和公式是学习和应用数列的基础。
本文将详细介绍数列的通项公式和求和公式的定义、推导以及应用案例。
一、数列的通项公式数列的通项公式又称为数列的第n项公式，它可以用来表示数列的任意一项，是数列的核心公式。
对于通项公式的推导，我们先来看一个常见的数列——等差数列。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中的每一项与前一项的差等于同一个常数d。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ表示等差数列的第n项，n表示项数。
举例：对于数列1, 3, 5, 7, 9...来说，其通项公式为：aₙ = 2n - 12. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中的每一项与前一项的比等于同一个常数q。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示等比数列的第n项，n表示项数。
举例：对于数列2, 4, 8, 16, 32...来说，其通项公式为：aₙ = 2^(n-1)二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列前n项和的公式，对于不同类型的数列，求和公式也各不相同。
下面我们来介绍两种常见的数列求和公式——等差数列的求和公式和等比数列的求和公式。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列的前n项和，求和公式为：Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示等差数列的前n项和。
举例：对于等差数列1, 3, 5, 7, 9...来说，其前n项和的求和公式为：Sₙ = (n/2) * (1 + 2n - 1) = n^22. 等比数列的求和公式对于等比数列的前n项和，求和公式为：Sₙ = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)其中，Sₙ表示等比数列的前n项和。
数列的通项公式与求和公式的应用
数列的通项公式与求和公式的应用数学中的数列是有规律的一系列数字的集合，我们常常需要找到数列中的通项公式和求和公式来解决各种实际问题。
在本文中，我们将探讨数列的通项公式和求和公式的应用。
一、数列的通项公式数列的通项公式是指能够表示数列中第n个数（数列的一般项）与n之间关系的公式。
通过找到数列的通项公式，我们可以轻松地计算出任意位置的数。
例如，我们考虑一个等差数列：1, 4, 7, 10, 13, ...我们观察到，每个数与前一个数之间的差都是3。
根据这个规律，我们可以列出通项公式为an = 1 + 3(n - 1)，其中an表示等差数列中的第n个数。
这样，我们便可以轻松地计算出该等差数列中任意位置的数。
同样地，对于等比数列和其他类型的数列，我们也可以通过观察数列中数字之间的关系，得到相应的通项公式。
二、数列的求和公式数列的求和公式是指能够计算数列中一定范围内的数之和的公式。
通过找到数列的求和公式，我们可以快速计算出数列的和，从而解决各类实际问题。
考虑一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14, ...我们可以观察到每个数与前一个数之间的差是3。
根据这个规律，我们可以列出求和公式为Sn = n(2a1 + (n-1)d) / 2，其中Sn表示等差数列前n项的和，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
通过这个求和公式，我们可以计算出等差数列的前n项和，进一步推广到其他类型的数列。
三、数列的应用数列的通项公式与求和公式在各个领域中都有广泛的应用。
下面我们来看一些具体的例子。
1. 金融领域：复利的计算在金融领域中，我们常常需要计算复利。
复利是指求取一笔钱在多个周期中不断积累产生的利息。
假设我们有一笔本金P，年利率为r%，每年复利一次，求n年后的总金额A。
我们可以将这个问题转化为求和问题。
每一年的利息是本金的一部分，根据复利的计算公式，第k年的利息为P * (1 + r/100)^k - P。
因此，我们可以得到总金额A的计算公式为：A = P + P * (1 + r/100) + P * (1 + r/100)^2 + ... + P * (1 + r/100)^n利用等比数列的求和公式，我们可以简化这个计算过程，从而得到一个更简洁的计算公式。
数列的通项与求和
数列的通项与求和数列是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域中。
在数列中，通项与求和是两个重要的概念。
本文将详细介绍数列的通项与求和的概念、性质和计算方法。
一、数列的通项数列的通项是指数列中第n个数的一般表示式。
在数列中，通项通常使用公式或递推关系给出。
1.1 公式求通项对于一些特殊的数列，可以通过观察数列中数的规律来得到通项的公式。
常见的数列包括等差数列和等比数列。
1.1.1 等差数列如果数列中的相邻两项之差固定为常数d，则该数列为等差数列。
等差数列的通项公式可以通过以下公式计算得到：an = a1 + (n - 1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差，n表示项数。
1.1.2 等比数列如果数列中的相邻两项的比固定为常数q，则该数列为等比数列。
等比数列的通项公式可以通过以下公式计算得到：an = a1 * q^(n - 1)其中，an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比，n表示项数。
1.2 递推关系求通项对于一些数列，无法通过观察数列中数的规律找到通项的公式，可以通过递推关系来得到通项。
递推关系是指数列中的每一项与前面一项之间的关系。
递推关系通过以下公式表示：an = f(an-1)其中，an表示数列的第n项，an-1表示数列的第n-1项，f表示递推关系。
二、数列的求和数列的求和是指将数列中的一定项数的数相加的运算。
数列的求和可以使用两种方法进行计算，即通项法和递推法。
2.1 通项法求和通项法是指根据数列的通项公式，将数列的每一项相加来计算数列的求和。
使用通项法计算数列的求和需要明确求和的起始项和结束项。
例如，对于等差数列an = 2n + 1，求前10项的和，可以使用通项法：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示数列的前n项和，a1表示数列的首项，an表示数列的第n项，n表示项数。
2.2 递推法求和递推法是指通过数列的递推关系，将数列的前一项和当前项相加来计算数列的求和。
求数列通项公式与数列求和的几种方法
求数列通项公式与数列求和的几种方法数列是由一定规律形成的数的序列，通常可以用数学公式表示。
数列的通项公式是指能够表示数列中任意一项的公式。
数列的求和是指将数列中所有项相加的过程。
在数学中，有多种方法可以求解数列的通项公式和数列的求和问题。
下面将介绍一些常见的方法。
一、通过递推关系求解通项公式与求和递推关系是指数列中相邻项之间的数学关系。
通过观察数列中的规律，可以找到数列的递推关系，从而求解通项公式和数列的求和。
1.1等差数列等差数列是指数列中相邻项之间的差是一个常数。
设数列的第一项为a1，公差为d，则等差数列的递推关系可以表示为：an = a1 + (n-1)d。
通过该递推关系，可以求解等差数列的通项公式和求和。
1.2等比数列等比数列是指数列中相邻项之间的比是一个常数。
设数列的第一项为a1，公比为r，则等比数列的递推关系可以表示为：an = a1 * r^(n-1)。
通过该递推关系，可以求解等比数列的通项公式和求和。
1.3斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。
设数列的第一项为a1，第二项为a2，则斐波那契数列的递推关系可以表示为：an = an-1 + an-2、通过该递推关系，可以求解斐波那契数列的通项公式和求和。
二、通过数学工具求解通项公式与求和2.1代数方法对于一些特定的数列，可以使用代数方法求解通项公式和求和。
例如，对于等差数列和等比数列，可以使用代数方法推导出通项公式和求和公式。
2.2比较系数法比较系数法是一种常用的方法，适用于具体的数列。
通过对比数列中的系数和常数，可以列方程组求解通项公式和求和。
2.3拆分合并法对于一些数列，可以通过拆分合并法求解通项公式和求和。
该方法将数列分为不同的部分进行拆分和合并，从而得到整个数列的通项公式和求和。
三、通过数学工具和技巧求解通项公式与求和3.1差分法差分法是一种常见的求解通项公式和求和的方法。
对于一些特殊的数列，可以通过数列和数列之间的差值来推导出数列的特征，进而求解通项公式和求和。
初中数学教案 数列的通项与求和
初中数学教案数列的通项与求和初中数学教案：数列的通项与求和一、引言数学中的数列是由一列有序的数按照一定规律排列而成，研究数列的通项和求和是数学学习中的重要内容之一。
本教案将带领学生探索数列的通项和求和公式，让学生能够理解和应用数列的相关概念。
二、教学目标1. 理解数列的概念，了解数列的通项和求和的意义；2. 能够根据给定的数列规律得出其通项公式；3. 能够根据给定的数列规律求解数列的前n项和；4. 能够灵活运用数列的通项和求和公式解决问题。
三、教学过程1. 导入引导学生回顾数列的概念和相关性质，例如等差数列和等比数列的定义，并举例说明它们在现实生活中的应用。
2. 探究数列的通项公式将学生分成小组，每个小组通过观察数列的前几项，尝试找出数列的通项规律，并给出相关的解释。
鼓励学生在小组中进行讨论和思考，引导他们逐步发现数列的通项与数列项数之间的关系，进而得出通项公式。
3. 发展数列求和公式引导学生思考如何根据数列的通项公式求解数列的前n项和。
通过实例演示，引导学生分析数列项之和与项数之间的关系，推导出数列求和的通用公式。
4. 进一步应用通过举一些具体的例子，引导学生将所学的数列的通项和求和公式运用到实际问题的解决中。
例如，计算买票问题、购物清单问题等。
5. 综合评价设计一些综合性的题目，让学生利用所学的数列的通项和求和公式解答问题，并通过个人作业、小组讨论等形式进行评价。
四、教学资源和评价1. 教学资源- 数列的示例（等差数列和等比数列）- 小组讨论指导问题- 数列的通项和求和公式彩页- 实际问题练习题彩页2. 教学评价- 学生在小组讨论中的积极性和表现- 学生个人作业的完成情况和答案正确性- 学生在综合性问题解答中的运用能力和思维逻辑五、拓展应用通过介绍一些高中数学中更复杂数列的应用，如等差中项、等差数列前n项和的推导等，引导学生了解数列的更深层次内容，培养学生的数学思维能力和创造性思维。
六、教学反思在教学过程中，教师要注重引导学生探索数列的通项和求和公式的过程，注重学生发现和思考的能力培养。
数列的通项与求和公式
数列的通项与求和公式引言：数列是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
数列的通项与求和公式是数列研究中的重要内容，通过研究数列的通项与求和公式，我们可以更深入地理解数列的性质和规律。
本教案将详细介绍数列的通项与求和公式的概念、性质和应用，并通过实例进行讲解，帮助学生掌握这一内容。
一、数列的基本概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一列数，每个数称为数列的项。
数列可以用符号表示为{an}，其中an表示数列的第n项。
1.2 数列的分类数列可以分为等差数列、等比数列和其他数列。
等差数列的相邻两项之差相等，等比数列的相邻两项之比相等。
二、等差数列的通项与求和公式2.1 等差数列的通项公式对于等差数列{an}，如果相邻两项之差为d，则数列的通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2.2 等差数列的求和公式对于等差数列{an}，数列的前n项和可以表示为Sn=n(a1+an)/2，其中a1为首项，an为第n项。
2.3 等差数列的性质与应用等差数列具有许多重要的性质和应用，如等差数列的任意三项成等比数列、等差数列的前n项和与项数n的关系等。
等差数列的应用广泛，如在数学、物理、经济等领域中都有涉及。
三、等比数列的通项与求和公式3.1 等比数列的通项公式对于等比数列{an}，如果相邻两项之比为q，则数列的通项公式可以表示为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
3.2 等比数列的求和公式对于等比数列{an}，当公比q不等于1时，数列的前n项和可以表示为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比。
3.3 等比数列的性质与应用等比数列也具有许多重要的性质和应用，如等比数列的前n项和与项数n的关系、等比数列的任意三项成等差数列等。
等比数列的应用广泛，如在几何学、金融学、生物学等领域中都有涉及。
四、其他数列的通项与求和公式4.1 斐波那契数列的通项与求和公式斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
求数列通项公式与求和的基本方法
求数列通项公式与求和的基本方法数列通项公式是指能够用一个公式来表示数列中每一项的方法。
而数列的求和是指将数列中所有项相加的过程。
在数学中，两者都是非常重要且常用的技巧。
一、数列通项公式的求解方法通常情况下，我们可以根据规律和已知条件来推导数列的通项公式。
下面列举了一些常见的数列类型及其求解方法。
1.1等差数列等差数列是一种常见的数列类型，其每一项之间的差等于一个常数d。
求解等差数列通项公式的方法有两种：直接法和差法。
直接法：假设等差数列的首项为a_1，公差为d，则通项公式可以表示为a_n=a_1+(n-1)d，其中n代表数列的第n项。
差法：设等差数列第k项与第k+1项之差为d，首项为a_1，则通项公式可以表示为a_n=a_1+(n-1)(a_2-a_1)/d。
1.2等比数列等比数列是一种数列，其每一项与前一项之比等于一个常数q。
求解等比数列通项公式的方法有两种：乘法法和差法。
乘法法：假设等比数列的首项为a_1，公比为q，则通项公式可以表示为a_n=a_1*q^(n-1)，其中n代表数列的第n项。
差法：设等比数列第k项与第k+1项之比为q，首项为a_1，则通项公式可以表示为a_n=a_1*(a_2/a_1)^(n-1)。
1.3斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其前两项都为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的通项公式可以通过递推公式求解，即Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1其他类型的数列通项公式的求解方法也可以通过观察数列的规律和已知条件来进行推导。
数列求和是指将数列中所有项相加的过程。
根据不同的数列类型和已知条件，可以采用不同的求和方法。
2.1等差数列求和设等差数列的首项为a_1，末项为a_n,数列共有n项，公差为d。
则等差数列的和可以用求和公式Sn=(n/2)(a_1+a_n)来表示。
2.2等比数列求和设等比数列的首项为a_1，末项为a_n，数列共有n项，公比为q。
数列的通项与求和教案
数列的通项与求和教案数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按照一定规律排列的数构成。
在数列中，通项和求和是两个基本的概念和问题。
本教案将介绍数列的通项和求和的概念及求解方法，以帮助学生更好地理解和应用相关知识。
一、数列的通项数列的通项是指根据数列中的位置n，通过一个公式或规律来表示数列中的第n项。
通项是数列的核心概念，它不仅能描述数列中的每一项，还可以帮助我们求解其他与数列相关的问题。
在数列的通项的求解中，最常见的情况是等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差值都相等的数列。
设数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d其中，an表示数列中的第n项。
2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与前一项之间的比值都相等的数列。
设数列的首项为a₁，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * r^(n-1)其中，an表示数列中的第n项。
二、数列的求和数列的求和是指将数列中的所有项相加得到的结果。
数列的求和可以帮助我们更好地理解数列的性质，进一步推导出一些重要的结论。
同样地，在数列的求和中，最常见的情况是等差数列和等比数列。
1. 等差数列的求和对于等差数列，我们可以通过以下公式求解其前n项和Sn：Sn = (n/2) * (a₁ + an)其中，Sn表示等差数列的前n项和。
2. 等比数列的求和对于公比不为1的等比数列，我们可以通过以下公式求解其前n项和Sn：Sn = (a₁ * (1 - r^n)) / (1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和。
三、练习与应用在学习了数列的通项和求和的概念及求解方法后，学生可以通过多做题目来加深对相关知识的理解和掌握。
可以安排一些练习题，帮助学生在熟练掌握数列的通项和求和求解方法后，能够灵活应用于实际问题中。
例如，给定一个等差数列的首项a₁为2，公差d为3，求该数列的第10项和前10项的和。
高中数学备课教案数列的通项与求和
高中数学备课教案数列的通项与求和【高中数学备课教案】数列的通项与求和一、引言数列作为高中数学重要的内容之一，是初步学习数学分析的重要基础。
在高中数学学习中，掌握数列的通项公式和求和公式是必须掌握的基本知识。
本文将从数列的定义、数列的分类、数列的通项公式和数列的求和公式四个方面进行论述。
二、数列的定义数列是指由一列数字构成的有序集合。
其中，每一项的数值均可用公式表示出来，称为数列的通项公式。
数列的一般表示形式为：$$a_1,a_2,...,a_n,...$$其中，$a_n$表示数列中第n项的值。
三、数列的分类数列可以分为等差数列和等比数列两类。
1. 等差数列一般地，如果一个数列的相邻两项之差等于同一个常数$d$，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式为：$$a_n=a_1+(n-1)d$$其中，$a_1$表示数列的第一项，$d$表示公差。
2. 等比数列一般地，如果一个数列的相邻两项之比等于同一个常数$q$，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式为：$$a_n=a_1q^{n-1}$$其中，$a_1$表示数列的第一项，$q$表示公比。
四、数列的通项公式和求和公式1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：$$a_n=a_1+(n-1)d$$其中，$a_1$表示数列的第一项，$d$表示公差。
2.等差数列的求和公式设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，共有$n$项，则该等差数列的前$n$项和为：$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$其中，$a_n$表示数列的第$n$项。
3.等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：$$a_n=a_1q^{n-1}$$其中，$a_1$表示数列的第一项，$q$表示公比。
4.等比数列的求和公式设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，共有$n$项，则该等比数列的前$n$项和为：$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$其中，$q\neq 1$。
高考数学难点突破_难点13__数列的通项与求和
难点13 数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项。
通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.●难点磁场(★★★★★)设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项.(1)写出数列{a n }的前3项.(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)(3)令b n =)(2111+++n n n n a a a a(n ∈N *)，求lim ∞→n (b 1+b 2+b 3+…+b n －n ).●案例探究［例1］已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，都有nn c c b c b c +++ 2111=a n +1成立，求lim∞→n nn S S 212+. 命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n 项和，实质上是该数列前n 项和与数列{a n }的关系，借助通项与前n 项和的关系求解c n 是该条件转化的突破口.错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a 1、b 1、d 、q ，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{d n }，运用和与通项的关系求出d n ，丝丝入扣.解：(1)∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2， ∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)；又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2， ∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1(2)令nnb c =d n ，则d 1+d 2+…+d n =a n +1,(n ∈N *), ∴d n =a n +1－a n =2, ∴n n b c =2,即c n =2·b n =8·(－2)n －1；∴S n =38［1－(－2)n ］. ∴2lim ,1)21(2)21()2(1)2(121222212212-=--+-=----=+∞→++n n n n n nn n n S SS S［例2］设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =23(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n +3; (1)求数列{a n }的通项公式；(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{d n }的通项公式为d n =32n +1;(3)设数列{d n }的第n 项是数列{b n }中的第r 项，B r 为数列{b n }的前r 项的和；D n 为数列{d n }的前n 项和，T n =B r －D n ，求lim∞→n 4)(n na T . 命题意图：本题考查数列的通项公式及前n 项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力.知识依托：利用项与和的关系求a n 是本题的先决；(2)问中探寻{a n }与{b n }的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.错解分析：待证通项d n =32n +1与a n 的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r 与n 的关系，使T n 中既含有n ，又含有r ，会使所求的极限模糊不清.技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n 与r 的关系，正确表示B r ，问题便可迎刃而解.解：(1)由A n =23(a n －1)，可知A n +1=23(a n +1－1)， ∴a n +1－a n =23 (a n +1－a n )，即n n a a 1+=3，而a 1=A 1=23(a 1－1)，得a 1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =3n .(2)∵32n +1=3·32n =3·(4－1)2n =3·［42n +C 12n ·42n －1(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n ］=4n +3，∴32n +1∈{b n }.而数32n =(4－1)2n =42n +C 12n ·42n －1·(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n =(4k +1)， ∴32n ∉{b n }，而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n }，∴d n =32n +1.(3)由32n +1=4·r +3，可知r =43312-+n ，∴B r =)19(827)91(9127,273433)52(2)347(1212-=-⋅-=+⋅-=+=++++n n n n n D r r r r ，89)(lim ,3)(,433811389)19(827821349444241212=∴=+⋅-⋅=---⋅+=-=∴∞→++n n n n n n n nn n n r n a T a D B T ●锦囊妙计1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.2.数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n3.求通项常用方法①作新数列法.作等差数列与等比数列.②累差叠加法.最基本形式是：a n =(a n －a n －1+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1. ③归纳、猜想法.4.数列前n 项和常用求法 ①重要公式1+2+…+n =21n (n +1) 12+22+…+n 2=61n (n +1)(2n +1)13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)2②等差数列中S m +n =S m +S n +mnd ，等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n .③裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：等)!1(1!1)!1(1,C C C ,ctg2ctg 2sin 1,!)!1(!,111)1(111+-=+-=-=-+=⋅+-=++-n n n ααn n n n n n n n rn r n n nα④错项相消法⑤并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法. ●歼灭难点训练 一、填空题1.(★★★★★)设z n =(21i -)n，(n ∈N *)，记S n =｜z 2－z 1｜+｜z 3－z 2｜+…+｜z n +1－z n ｜，则lim ∞→n S n =_________.2.(★★★★★)作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________.二、解答题3.(★★★★)数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0,且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－na n +12=0，又知数列{b n }的通项为b n =2n －1+1.(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)猜想S n 与T n 的大小关系，并说明理由.4.(★★★★)数列{a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1－a n ,(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜,求S n ;(3)设b n =)12(1n a n -(n ∈N *),T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *),是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *均有T n ＞32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 5.(★★★★★)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =(m +1)－ma n .对任意正整数n 都成立，其中m 为常数，且m ＜－1.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q =f (m )，数列{b n }满足：b 1=31a 1,b n =f (b n －1)(n ≥2,n ∈N *).试问当m为何值时，)(3lim )lg (lim 13221n n n n n n b b b b b b a b -∞→∞→+++=⋅ 成立？6.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. (1)求数列{b n }的通项b n ； (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论. 7.(★★★★★)设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n －(2t +3)S n －1=3t (t ＞0,n =2,3,4…).(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1=1,b n =f (11-n b )(n =2,3,4…)，求数列{b n }的通项b n ；(3)求和：b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1.参考答案难点磁场解析：(1)由题意，当n =1时，有11222S a =+，S 1=a 1， ∴11222a a =+，解得a 1=2.当n =2时，有22222S a =+，S 2=a 1+a 2，将a 1=2代入，整理得(a 2－2)2=16，由a 2＞0，解得a 2=6.当n =3时，有33222S a =+，S 3=a 1+a 2+a 3，将a 1=2，a 2=6代入，整理得(a 3－2)2=64，由a 3＞0，解得a 3=10.故该数列的前3项为2，6，10.(2）解法一：由(1）猜想数列{a n }.有通项公式a n =4n －2.下面用数学归纳法证明{a n }的通项公式是a n =4n －2，(n ∈N *）.①当n =1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a 1=2，所以上述结论成立.②假设当n =k 时，结论成立，即有a k =4k －2，由题意，有k k S a 222=+，将a k =4k －2.代入上式，解得2k =k S 2，得S k =2k 2，由题意，有11222++=+k k S a ，S k +1=S k +a k +1，将S k =2k 2代入得(221++k a )2=2(a k +1+2k 2)，整理得a k +12－4a k +1+4－16k 2=0，由a k +1＞0，解得a k +1=2+4k ，所以a k +1=2+4k =4(k +1)－2，即当n =k +1时，上述结论成立.根据①②，上述结论对所有的自然数n ∈N *成立.解法二：由题意知n n S a 222=+，(n ∈N *).整理得，S n =81(a n +2)2,由此得S n +1=81(a n +1+2)2，∴a n +1=S n +1－S n =81［(a n +1+2)2－(a n +2)2］.整理得(a n +1+a n ）(a n +1－a n －4)=0，由题意知a n +1+a n≠0，∴a n +1－a n =4，即数列{a n }为等差数列，其中a 1=2，公差d =4.∴a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)，即通项公式为a n =4n －2.解法三：由已知得n n S a 222=+,(n ∈N *)①，所以有11222++=+n n S a ②，由②式得11222++=+-n n n S S S ，整理得S n +1－22·1+n S +2－S n =0，解得n n S S ±=+21，由于数列{a n }为正项数列，而2,211>+∴=+n n S S S ，因而n n S S +=+21，即{S n }是以21=S 为首项，以2为公差的等差数列.所以n S =2+(n －1)2=2n ,S n =2n 2，故a n =⎩⎨⎧≥-=-=-)2(,24)1(,21n n S S n n n 即a n =4n －2(n ∈N *).(3)令c n =b n －1，则c n =)2(2111-+++n n n n a a a a.1)1211(lim )(lim ,1211)121121()5131()311(,121121)]11212()11212[(21212121=+-=-+++∴+-=+--++-+-=+++=-++++--=-+-+--+=∞→∞→n n b b b n n n c c c n b b b n n n n n n n n n nn 歼灭难点训练一、,)22(|)21()21(|||:.1111+++=---=-=n n n n n n i i z z c 设解析22)22(1221])22(1[2121--=--=+++=∴nn n n c c c S 221222221lim +=+=-=∴∞→n n S 答案：1+222.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列{a n }，可得a n =12-n a ，正三角形的内切圆构成等比数列{r n }，可得r n =12163-n a ,∴这些圆的周长之和c =lim ∞→n 2π(r 1+r 2+…+r n )=233π a 2， 面积之和S =lim ∞→n π(n 2+r 22+…+r n 2)=9πa 2 答案：周长之和233πa ，面积之和9πa 2二、3.解：(1）可解得11+=+n na a n n ，从而a n =2n ，有S n =n 2+n ， (2)T n =2n +n －1.(3)T n －S n =2n －n 2－1，验证可知，n =1时，T 1=S 1，n =2时T 2＜S 2；n =3时，T 3＜S 3;n =4时，T 4＜S 4；n =5时，T 5＞S 5；n =6时T 6＞S 6.猜想当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2+1可用数学归纳法证明(略）.4.解：(1）由a n +2=2a n +1－a n ⇒a n +2－a n +1=a n +1－a n 可知{a n }d =1414--a a =－2,∴a n =10－2n . (2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5，当n ≤5时，S n =－n 2+9n ，当n ＞5时，S n =n 2－9n +40，故S n =⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+-540951 922n n n n n n(3)b n =)111(21)22(1)12(1+-=+=-n n n n a n n)1(2)]111()3121()211[(2121+=+-++-+-=+++=∴n n n n b b b T n n ；要使T n ＞32m总成立，需32m ＜T 1=41成立，即m ＜8且m ∈Z ，故适合条件的m 的最大值为7.5.解：(1）由已知S n +1=(m +1)－ma n +1S n =(m +1)－ma n ②,由①－②，得a n +1=ma n －ma n +1，即(m +1)a n +1=ma n 对任意正整数n 都成立.∵m 为常数，且m ＜－1∴11+=+m ma a n n ，即{1+n n a a }为等比数列. (2)当n =1时，a 1=m +1－ma 1，∴a 1=1，从而b 1=31. 由(1)知q =f (m )=1+m m，∴b n =f (b n －1)=111+--n n b b (n ∈N *,且n ≥2)∴1111-+=n n b b ，即1111=--n n b b ，∴{n b 1}为等差数列.∴nb 1=3+(n －1)=n +2，21+=∴n b n (n ∈N *). 910,101,11lg 1)211151414131(3lim )(3lim ,1lg ]1lg 21[lim )lg (lim ,)1(132211-=∴=+∴=+=+-+++-+-=++++=++-=⋅∴+=∞→-∞→∞→∞→-m m m m m n n b b b b b b m mm m n n a b m m a n n n n n n n n n n 由题意知而 6.解：(1)设数列{b n }的公差为d ，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1452)110(1010111d b b 解得b 1=1,d =3, ∴b n =3n －2.(2)由b n =3n －2,知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+231-n )］，31log a b n +1=log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小，取n =1时，有(1+1)＞3113+⋅取n =2时，有(1+1)(1+41)＞3123+⋅… 由此推测(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n①若①式成立，则由对数函数性质可判定：当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1，② 当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1，③下面用数学归纳法证明①式. (ⅰ)当n =1时，已验证①式成立. (ⅱ)假设当n =k 时(k ≥1），①式成立，即：313)2311()411)(11(+>-+++k k .那么当n =k +1时，333322223323331)1(3)1311)(2311()411)(11(1)1(343)23(1313,0)13(49)13()13)(43()23(]43[)]23(1313[).23(1313)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(++>++-+++++=+>+++∴>++=+++-+=+-++++++=+++>-++-+++k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 因而这就是说①式当n =k +1时也成立.由(ⅰ）(ⅱ）可知①式对任何正整数n 都成立. 由此证得：当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1；当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1.7.解：(1)由S 1=a 1=1,S 2=1+a 2，得3t (1+a 2)－(2t +3)=3t .∴a 2=tt a a t t 332,33212+=+. 又3tS n －(2t +3)S n －1=3t ，① 3tS n －1－(2t +3)S n －2=3t②①－②得3ta n －(2t +3)a n －1=0. ∴t t a a n n 3321+=-,n =2,3,4…,所以{a n }是一个首项为1公比为tt 332+的等比数列； (2)由f (t )=t t 332+=t132+,得b n =f (11-n b )=32+b n －1.可见{b n }是一个首项为1，公差为32的等差数列.于是b n =1+32(n －1)=312+n ; (3)由b n =312+n ,可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和35，公差均为34的等差数列，于是b 2n =314+n ,∴b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 =b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+…+b 2n (b 2n －1－b 2n +1)=－34 (b 2+b 4+…+b 2n )=－34·21n (35+314+n )=－94 (2n 2+3n )。
高中数学数列的求和与通项的关系推导
高中数学数列的求和与通项的关系推导数列是高中数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
在数列中，求和与通项是两个常见的问题。
本文将重点讨论数列的求和与通项的关系推导，并且通过具体题目举例，说明这些问题的考点和解题技巧。
一、数列的求和问题数列的求和是指将数列中的所有项相加的过程，通常用符号∑表示。
对于一个数列{an}，其前n项和表示为Sn，即Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an。
在求解数列的求和问题时，我们需要找到数列的规律，从而得到一个通用的求和公式。
以等差数列为例，等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
现在我们来推导等差数列的前n项和公式。
首先，我们将等差数列的前n项和表示为Sn。
根据等差数列的性质，我们可以得到以下等式：Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n-1)d)接下来，我们将等式两边的项按照相同的顺序排列，并将其相加：Sn = (a1 + a1 + ... + a1) + (d + d + ... + d) + ... + ((n-1)d + (n-1)d + ... + (n-1)d)可以观察到，等式右边的每一项都是由n个相同的数相加而成。
因此，我们可以将等式右边的每一项简化为：Sn = n(a1) + (1 + 2 + ... + (n-1))d其中，1 + 2 + ... + (n-1)表示从1到n-1的连续整数之和，可以用数学公式(n-1)n/2来表示。
将其代入上式，我们可以得到等差数列的前n项和公式：Sn = n(a1 + an)/2这个公式可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和，而不需要逐项相加。
举个例子来说明，假设我们要计算等差数列1，3，5，7，9的前10项和，则根据公式，我们可以得到：S10 = 10(1 + 9)/2 = 55二、数列的通项问题数列的通项是指能够表示数列中任意一项的公式。
初中数学知识归纳数列的通项与求和计算
初中数学知识归纳数列的通项与求和计算数列在初中数学中占据着重要地位，是数学学科中的基础概念之一。
其中，数列的通项与求和计算是数学学习中必须掌握和应用的内容。
本文将归纳总结初中数学中数列的相关知识，重点介绍数列的通项与求和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、数列的概念和表示方法数列是由一系列按照一定规律排列的数构成的有序集合。
一般情况下，数列用字母表示，如$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$。
其中，$a_1, a_2,a_3$等表示数列的前几项，$a_n$表示数列的第n项。
二、数列的递推关系与通项数列中的每一项都与它的前一项之间存在着特定的关系，这种关系被称为数列的递推关系。
通过分析数列中的递推关系，可以得到数列的通项公式，从而便于求解任意项的数值。
以等差数列为例，等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之间的差固定。
设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则它的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
通过这个通项公式，我们可以轻松地求解等差数列中的任意一项。
同样地，对于等比数列，它的通项公式为$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$，其中$a_1$为首项，$r$为公比。
除了等差数列和等比数列之外，还存在其他类型的数列，如斐波那契数列、等差-等比混合数列等。
不同类型的数列具有不同的通项公式，读者在学习时应注意记忆和区分。
三、数列的求和计算方法数列的求和是指将数列中的若干项进行加和的操作。
在解决实际问题时，往往需要计算数列的求和结果，以获取所需信息。
对于等差数列来说，其前n项和的计算公式为$S_n =\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中$S_n$表示前n项和。
而对于等比数列，其前n项和的计算公式为$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中$S_n$表示前n项和。
需要注意的是，以上计算公式仅适用于公差或公比不为1的数列，若公差或公比为1，应特别处理。
数列通项与求和公式的应用
数列通项与求和公式的应用数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
在数学中，数列通项与求和公式是数列研究中的重要内容，它们的应用涉及到数学、物理、工程等领域。
本文将介绍数列通项与求和公式的概念以及它们在实际问题中的应用。
一、数列通项的概念及应用数列通项是指数列中的每一项与项数之间的关系式，它可以用来表示数列中任意一项的数值。
数列通项的求解方法因数列的性质而异，下面将介绍几种常见的数列通项求解方法。
1.等差数列通项求解等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差值相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则该等差数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示数列的第n项。
等差数列通项公式的应用非常广泛，例如在物理中，当我们知道一个物体的初始位置和速度时，可以利用等差数列通项公式来求解物体在任意时刻的位置。
2.等比数列通项求解等比数列是指数列中的每一项与前一项之间的比值相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则该等比数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示数列的第n项。
等比数列通项公式的应用也非常广泛，例如在金融领域中，当我们知道一个投资项目的年收益率时，可以利用等比数列通项公式来计算项目在任意年份的价值。
二、求和公式的概念及应用求和公式是指将数列中的一定范围内的所有项相加的公式，它可以用来计算数列的和。
求和公式的求解方法因数列的性质而异，下面将介绍几种常见的求和公式。
1.等差数列求和公式对于等差数列，其前n项和可以表示为：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示前n项和。
等差数列求和公式的应用也非常广泛，例如在物理中，当我们知道一个物体的初始速度、加速度和时间时，可以利用等差数列求和公式来计算物体在这段时间内的位移。
2.等比数列求和公式对于等比数列，其前n项和可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)其中，Sₙ表示前n项和。
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高考数学难点突破难点13 数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项。
通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.●难点磁场(★★★★★)设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项.(1)写出数列{a n }的前3项.(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程) (3)令b n =)(2111+++n n nn a a a a (n ∈N *)，求lim ∞→n (b 1+b 2+b 3+…+b n －n ).●案例探究［例1］已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，都有nn c c b c b c +++ 2111=a n +1成立，求lim∞→n nn S S 212+.命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n 项和，实质上是该数列前n 项和与数列{a n }的关系，借助通项与前n 项和的关系求解c n 是该条件转化的突破口.错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a 1、b 1、d 、q ，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{d n }，运用和与通项的关系求出d n ，丝丝入扣.解：(1)∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2， ∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)；又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2， ∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 (2)令nn b c =d n ，则d 1+d 2+…+d n =a n +1,(n ∈N *),∴d n =a n +1－a n =2, ∴nn b c =2,即c n =2·b n =8·(－2)n －1；∴S n =38［1－(－2)n ］.∴2lim ,1)21(2)21()2(1)2(121222212212-=--+-=----=+∞→++n n n nnnn nn S S S S［例2］设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =23 (a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n +3;(1)求数列{a n }的通项公式；(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{d n }的通项公式为d n =32n +1;(3)设数列{d n }的第n 项是数列{b n }中的第r 项，B r 为数列{b n }的前r 项的和；D n 为数列{d n }的前n 项和，T n =B r －D n ，求lim∞→n 4)(n n a T .命题意图：本题考查数列的通项公式及前n 项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力.知识依托：利用项与和的关系求a n 是本题的先决；(2)问中探寻{a n }与{b n }的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.错解分析：待证通项d n =32n +1与a n 的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r 与n 的关系，使T n 中既含有n ，又含有r ，会使所求的极限模糊不清.技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n 与r 的关系，正确表示B r ，问题便可迎刃而解.解：(1)由A n =23(a n －1)，可知A n +1=23(a n +1－1)，∴a n +1－a n =23 (a n +1－a n )，即nn a a 1+=3，而a 1=A 1=23 (a 1－1)，得a 1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =3n .(2)∵32n +1=3·32n =3·(4－1)2n =3·［42n +C 12n ·42n －1(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n ］=4n +3，∴32n +1∈{b n }.而数32n =(4－1)2n =42n +C 12n ·42n －1·(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n =(4k +1)， ∴32n ∉{b n }，而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n }，∴d n =32n +1.(3)由32n +1=4·r +3，可知r =43312-+n ，∴B r =)19(827)91(9127,273433)52(2)347(1212-=-⋅-=+⋅-=+=++++nnn n n D r r r r ，89)(lim,3)(,433811389)19(827821349444241212=∴=+⋅-⋅=---⋅+=-=∴∞→++n n n nn nnnn n n r n a T a D B T●锦囊妙计1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.2.数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n3.求通项常用方法①作新数列法.作等差数列与等比数列.②累差叠加法.最基本形式是：a n =(a n －a n －1+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1. ③归纳、猜想法. 4.数列前n 项和常用求法 ①重要公式 1+2+…+n =21n (n +1)12+22+…+n 2=61n (n +1)(2n +1)13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)2②等差数列中S m +n =S m +S n +mnd ，等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n .③裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：等)!1(1!1)!1(1,C C C ,ctg2ctg 2sin 1,!)!1(!,111)1(111+-=+-=-=-+=⋅+-=++-n n n ααn n n n n nn n rn r nn nα④错项相消法 ⑤并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法. ●歼灭难点训练 一、填空题1.(★★★★★)设z n =(21i -)n ，(n ∈N *)，记S n =｜z 2－z 1｜+｜z 3－z 2｜+…+｜z n +1－z n ｜，则lim ∞→n S n =_________.2.(★★★★★)作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________.二、解答题3.(★★★★)数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0,且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－ na n +12=0，又知数列{b n }的通项为b n =2n －1+1.(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)猜想S n 与T n 的大小关系，并说明理由.4.(★★★★)数列{a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1－a n ,(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜,求S n ; (3)设b n =)12(1n a n -(n ∈N *),T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *),是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *均有T n ＞32m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.5.(★★★★★)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =(m +1)－ma n .对任意正整数n 都成立，其中m 为常数，且m ＜－1.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q =f (m )，数列{b n }满足：b 1=31a 1,b n =f (b n －1)(n ≥2,n ∈N *).试问当m为何值时，)(3lim )lg (lim 13221n n n n n n b b b b b b a b -∞→∞→+++=⋅ 成立？6.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. (1)求数列{b n }的通项b n ； (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论.7.(★★★★★)设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n －(2t +3)S n －1=3t (t ＞0,n =2,3,4…).(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1=1,b n =f (11-n b )(n =2,3,4…)，求数列{b n }的通项b n ；(3)求和：b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1.参考答案难点磁场解析：(1)由题意，当n =1时，有11222S a =+，S 1=a 1，∴11222a a =+，解得a 1=2.当n =2时，有22222S a =+，S 2=a 1+a 2，将a 1=2代入，整理得(a 2－2)2=16，由a 2＞0，解得a 2=6.当n =3时，有33222S a =+，S 3=a 1+a 2+a 3，将a 1=2，a 2=6代入，整理得(a 3－2)2=64，由a 3＞0，解得a 3=10.故该数列的前3项为2，6，10.(2）解法一：由(1）猜想数列{a n }.有通项公式a n =4n －2.下面用数学归纳法证明{a n }的通项公式是a n =4n －2，(n ∈N *）.①当n =1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a 1=2，所以上述结论成立.②假设当n =k 时，结论成立，即有a k =4k －2，由题意，有k k S a 222=+，将a k =4k －2.代入上式，解得2k =k S 2，得S k =2k 2，由题意，有11222++=+k k S a ，S k +1=S k +a k +1，将S k =2k 2代入得(221++k a )2=2(a k +1+2k 2)，整理得a k +12－4a k +1+4－16k 2=0，由a k +1＞0，解得a k +1=2+4k ，所以a k +1=2+4k =4(k +1)－2，即当n =k +1时，上述结论成立.根据①②，上述结论对所有的自然数n ∈N *成立.解法二：由题意知n n S a 222=+，(n ∈N *).整理得，S n =81(a n +2)2,由此得S n +1=81(a n +1+2)2，∴a n +1=S n +1－S n =81［(a n +1+2)2－(a n +2)2］.整理得(a n +1+a n ）(a n +1－a n －4)=0，由题意知a n +1+a n≠0，∴a n +1－a n =4，即数列{a n }为等差数列，其中a 1=2，公差d =4.∴a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)，即通项公式为a n =4n －2.解法三：由已知得n n S a 222=+,(n ∈N *)①，所以有11222++=+n n S a ②，由②式得11222++=+-n n n S S S ，整理得S n +1－22·1+n S +2－S n =0，解得n n S S ±=+21，由于数列{a n }为正项数列，而2,211>+∴=+n n S S S ，因而n n S S +=+21，即{S n }是以21=S 为首项，以2为公差的等差数列.所以n S =2+(n －1)2=2n ,S n =2n 2，故a n =⎩⎨⎧≥-=-=-)2(,24)1(,21n n S S n n n 即a n =4n －2(n ∈N *).(3)令c n =b n －1，则c n =)2(2111-+++n n nn a a a a.1)1211(lim )(lim ,1211)121121()5131()311(,121121)]11212()11212[(21212121=+-=-+++∴+-=+--++-+-=+++=-++++--=-+-+--+=∞→∞→n n b b b n n n c c c n b b b n n n n n n n n n n n歼灭难点训练一、,)22(|)21()21(|||:.1111+++=---=-=n nn n n n i i z z c 设解析22)22(1221])22(1[2121--=--=+++=∴nnn n c c c S221222221lim +=+=-=∴∞→n n S答案：1+222.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列{a n }，可得a n =12-n a ，正三角形的内切圆构成等比数列{r n }，可得r n =12163-n a ,∴这些圆的周长之和c =lim ∞→n 2π(r 1+r 2+…+r n )=233π a 2，面积之和S =lim ∞→n π(n 2+r 22+…+r n 2)=9πa 2答案：周长之和233πa ，面积之和9πa 2二、3.解：(1）可解得11+=+n n a a nn ，从而a n =2n ，有S n =n 2+n ，(2)T n =2n +n －1.(3)T n －S n =2n －n 2－1，验证可知，n =1时，T 1=S 1，n =2时T 2＜S 2；n =3时，T 3＜S 3;n =4时，T 4＜S 4；n =5时，T 5＞S 5；n =6时T 6＞S 6.猜想当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2+1可用数学归纳法证明(略）.4.解：(1）由a n +2=2a n +1－a n ⇒a n +2－a n +1=a n +1－a n 可知{a n }成等差数列， d =1414--a a =－2,∴a n =10－2n .(2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5，当n ≤5时，S n =－n 2+9n ，当n ＞5时，S n =n 2－9n +40，故S n =⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+-540951 922n n n n n n(3)b n =)111(21)22(1)12(1+-=+=-n n n n a n n )1(2)]111()3121()211[(2121+=+-++-+-=+++=∴n n n n b b b T n n ；要使T n ＞32m 总成立，需32m ＜T 1=41成立，即m ＜8且m ∈Z ，故适合条件的m 的最大值为7.5.解：(1）由已知S n +1=(m +1)－ma n +1 ①，S n =(m +1)－ma n ②,由①－②，得a n +1=ma n －ma n +1，即(m +1)a n +1=ma n 对任意正整数n 都成立.∵m 为常数，且m ＜－1∴11+=+m m a a nn ，即{1+n n a a }为等比数列.(2)当n =1时，a 1=m +1－ma 1，∴a 1=1，从而b 1=31.由(1)知q =f (m )=1+m m ，∴b n =f (b n －1)=111+--n n b b (n ∈N *,且n ≥2)∴1111-+=n nb b ，即1111=--n nb b ，∴{nb 1}为等差数列.∴nb 1=3+(n －1)=n +2，21+=∴n b n (n ∈N *).910,101,11lg1)211151414131(3lim )(3lim ,1lg]1lg 21[lim )lg (lim ,)1(132211-=∴=+∴=+=+-+++-+-=++++=++-=⋅∴+=∞→-∞→∞→∞→-m m m m m n n b b b b b b m m m m n n a b m ma n n n n n n n n n n 由题意知而6.解：(1)设数列{b n }的公差为d ，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1452)110(1010111d b b 解得b 1=1,d =3, ∴b n =3n －2.(2)由b n =3n －2,知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n )=log a ［(1+1)(1+41) (1)231-n )］，31log a b n +1=log a 313+n .因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较(1+1)(1+41) (1)231-n )与313+n 的大小，取n =1时，有(1+1)＞3113+⋅ 取n =2时，有(1+1)(1+41)＞3123+⋅…由此推测(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n ①若①式成立，则由对数函数性质可判定： 当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1，② 当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1，③下面用数学归纳法证明①式.(ⅰ)当n =1时，已验证①式成立.(ⅱ)假设当n =k 时(k ≥1），①式成立，即：313)2311()411)(11(+>-+++k k .那么当n =k +1时，333322223323331)1(3)1311)(2311()411)(11(1)1(343)23(1313,0)13(49)13()13)(43()23(]43[)]23(1313[).23(1313)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(++>++-+++++=+>+++∴>++=+++-+=+-++++++=+++>-++-+++k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 因而这就是说①式当n =k +1时也成立.由(ⅰ）(ⅱ）可知①式对任何正整数n 都成立. 由此证得： 当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1；当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1 .7.解：(1)由S 1=a 1=1,S 2=1+a 2，得3t (1+a 2)－(2t +3)=3t . ∴a 2=tt a a t t 332,33212+=+. 又3tS n －(2t +3)S n －1=3t ，① 3tS n －1－(2t +3)S n －2=3t ②①－②得3ta n －(2t +3)a n －1=0. ∴tt a a n n 3321+=-,n =2,3,4…,所以{a n }是一个首项为1公比为tt 332+的等比数列；(2)由f (t )=tt 332+=t132+,得b n =f (11-n b )=32+b n －1 .可见{b n }是一个首项为1，公差为32的等差数列.于是b n =1+32(n －1)=312+n ;(3)由b n =312+n ,可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和35，公差均为34的等差数列，于是b 2n =314+n ,∴b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 =b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+…+b 2n (b 2n －1－b 2n +1) =－34 (b 2+b 4+…+b 2n )=－34·21n (35+314+n )=－94 (2n 2+3n )。