(全面突破)高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 12.2古典概型学案
高考数学(文)一轮复习备考学案：《古典概型》(北师大版)
第二节古典概型对应学生用书P149古典概型(1)特点：①试验中所有可能出现的结果个数只有有限个，即有限性． ②每个结果发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n.1．在计算古典概型中试验的所有可能结果数和事件发生结果数时，易忽视他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.[试一试]1．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是( ) A.45 B.35 C.25D.15解析：选B P ＝3×210＝35.2．从1,2,3,4,5,6六个数中任取3个数，则取出的3个数是连续自然数的概率是( ) A.35 B.25 C.13D.15 解析：选D 取出的三个数是连续自然数有4种情况，则取出的三个数是连续自然数的概率P ＝420＝15.古典概型中试验发生结果个数的探求方法(1)枚举法：适合给定的试验结果个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题的试验结果数的探求，注意在确定结果数时(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．[练一练]从集合A ＝{2,3，－4}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2，－3,4}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限的概率为( )A.29B.13C.49D.59解析：选C 依题意k 和b 的所有可能的取法一共有3×3＝9种，其中当直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限时应有k ＞0，b ＜0，一共有2×2＝4种，所以所求概率为49.对应学生用书P149考点一古典概型1．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132B.164C.332D.364解析：选D 试验所有结果为(1,1)，(1,2)，…，(1,8)，(2,1)，(2,2)，…，(8,8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7,8)，(8,7)，(8,8)，∴所求概率为364.2．(2013·温州调研)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A.15B.310C.25D.12 解析：选C 共有(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑1，红1)、(黑1，红2)、(黑2，黑3)、(黑2，红1)、(黑2，红2)、(黑3，红1)、(黑3，红2)、(红1，红2)10个结果，同色球为(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑2，黑3)、(红1，红2)共4个结果，∴P＝410＝2 5.3．(2013·深圳第一次调研)一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的概率是多少？解：(1)连续取两次的结果有：(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)；(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16个．连续取两次都是白球的结果有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4个，故所求概率为416＝1 4.(2)连续取三次的结果有：(红，红，红)，(红，红，白1)，(红，红，白2)，(红，红，黑)；(红，白1，红)，(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白1，黑)，…，共64个．因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的结果如下：(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白2，白1)，(红，白2，白2)，(白1，红，白1)，(白1，红，白2)，(白2，红，白1)，(白2，红，白2)，(白1，白1，红)，(白1，白2，红)，(白2，白1，红)，(白2，白2，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共15个．故所求概率为1564.[类题通法]计算古典概型事件的概率三步法第一步：算出试验可能结果的总个数n；第二步：求出事件A所包含的结果个数m；第三步：代入公式求出概率P.考点二古典概型的交汇命题问题古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识面全，能力要求较高，归纳起来常见的交汇命题角度有：(1)古典概型与平面向量相结合； (2)古典概型与直线、圆相结合； (3)古典概型与函数相结合.角度一 古典概型与平面向量相结合1．(2013·济南模拟)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)．(1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率．解：(1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种． 使得a ⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，共有2种：(3,1)、(6,2)，所以事件a ⊥b 的概率为236＝118. (2)|a |≤|b |，即m 2＋n 2≤10，共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种使得|a |≤|b |，其概率为636＝16.角度二 古典概型与直线、圆相结合2．连掷骰子两次得到的点数分别记为a 和b ，则使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2－(y －b )2＝4相切的概率为( )A.16B.118C.19D.13解析：选B 连掷骰子两次总的试验结果有36种，要使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝4相切，则|3a －4b |5＝2，即满足|3a －4b |＝10，符合题意的(a ，b )有(6,2)，(2,4)，共2种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P ＝118.角度三 古典概型与函数相结合3．(2014·安徽省级示范高中一模)设a ∈{2,4}，b ∈{1,3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率．解：(1)f ′(x )＝ax ＋b ，由题意f ′(－1)≤0，即b ≤a ，而(a ，b )共有(2,1)，(2,3)(4,1)，(4,3)四种，满足b ≤a 的有3种，故概率为34.(2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法． ∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，∴这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足， ∴概率为16.[类题通法]解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为试验结果个数，求出m 、n 的值．然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．对应学生用书P150[课堂练通考点]1．(2013·江南十校联考)第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115 B.25 C.35D.1415解析：选C 记2名来自A 大学的志愿者为A 1，A 2,4名来自B 大学的志愿者为B 1，B 2，B 3，B 4.从这6名志愿者中选出2名的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1， B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共15种．其中至少有一名A 大学志愿者的事件有9种．故所求概率P ＝915＝35.故选C.2．(2014·亳州高三质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：选C 易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14.3．我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为( )A.710B.15C.14D.12解析：选A 用a i 表示男性，其中i ＝1,2,3，b j 表示女性，其中j ＝1,2.记“选出的2名全都是男性”为事件A ，“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B ，“选出的2名全都是女性”为事件C ，则事件A 包含(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，共3个结果，事件B 包含(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6个结果，事件C 包含(b 1，b 2)，共1个结果．事件A ，B ，C 彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B 和C ，所以所求事件的概率为6＋13＋6＋1＝710.4．(2013·南京模拟)在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.答案：135．(2013·江西高考)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解：(1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有2OA u u u u r ·5OA u u u r，共1种； 数量积为－1的有1OA u u u r ·5OA u u u r ，1OA u u u r ·6OA u u u r ，2OA u u u u r ·4OA u u u r ，2OA u u u u r ·6OA u u u r ，3OA u u u u r ·4OA u u u r，3OA u u u u r ·5OA u u u r ，共6种；数量积为0的有1OA u u u r ·3OA u u u u r ，1OA u u u r ·4OA u u u r ，3OA u u u u r ·6OA u u u r ，4OA u u u r ·6OA u u u r，共4种； 数量积为1的有1OA u u u r ·2OA u u u u r ，2OA u u u u r ·3OA u u u u r ，4OA u u u r ·5OA u u u r ，5OA u u u r ·6OA u u u r，共4种． 故所有可能的情况共有15种． 所以小波去下棋的概率为P 1＝715；因为去唱歌的概率为P 2＝415，所以小波不去唱歌的概率P ＝1－P 2＝1－415＝1115.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·惠州模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45 B.35 C.25D.15解析：选D 从{1,2,3,4,5}中选取一个数a 有5种取法，从{1,2,3}中选取一个数b 有3种取法．所以选取两个数a ，b 共有5×3＝15种取法．满足b >a 的取法共有3个．因此b >a 的概率P ＝315＝15.2．高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，所有可能结果个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 设这4个学习小组为A ，B ，C ，D ，“从中任抽取两个小组”的所有可能结果有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个．3．文科班某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A 和获得等级不是A 的机会相等，物理、化学、生物获得等级A 的事件分别记为W 1，W 2，W 3，物理、化学、生物获得等级不是A 的事件分别记为W 1，W 2，W 3.则该同学参加这次学业水平测试获得两个A 的概率为( )A.38B.18C.35D.45解析：选A 该同学这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩所有可能的结果有8种，分别为(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)．有两个A 的情况为(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，(W 1，W 2，W 3)，共3种，从而其概率为P ＝38.4．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )A.112B.110C.325D.1125解析：选D 小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为81 000＝1125. 5．(2014·浙江联考)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．解析：列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P ＝1036＝518.答案：5186．(2014·宣武模拟)曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝________.解析：试验中所有可能结果个数为36；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x 轴上，则m ＞n ，又只剩下一半情况，即有15种，因此P (A )＝1536＝512.答案：5127．某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)在抽取的20(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．解：(1)由频率分布表得0.05＋m ＋0.15＋0.35＋n ＝1， 即m ＋n ＝0.45.由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个， 得n ＝220＝0.1，所以m ＝0.45－0.1＝0.35.(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x 1，x 2，x 3；等级为5的零件有2个，记作y 1，y 2.从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10种．记事件A 为“从零件x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取2件，其等级相等”． 则A 包含的可能结果有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)，共4种． 故所求概率为P (A )＝410＝0.4.8．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋b i.(1)若集合A ＝{z |z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的概率． 解：(1)A ＝{6i,7i,8i,9i}．(2)满足条件的所有可能结果的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的事件为B.当a＝0时，b＝6,7,8,9满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝1时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝2时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝3时，b＝6满足a2＋(b－6)2≤9.即B为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个结果．所以所求概率P＝1124.第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：(2) 在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率p ＝418＝29. 2．已知集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}，Q ＝{y |y ＝2n －1，1≤n ≤2，n ∈N ＋}，M ＝P ∪Q .在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，试计算：(1)点A 正好在第三象限的概率；(2)点A 不在y 轴上的概率；(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的概率．解：由集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}可得P ＝{－6，－4,0}，由Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N ＋}可得Q ＝{1,3}，则M ＝P ∪Q ＝{－6，－4,0,1,3}，因为点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，所以满足条件的点A 的所有情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6,0)，(－6,1)，(－6,3)，…，(3,3)，共25种．(1)点A 正好在第三象限的可能情况为(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4种，故点A 正好在第三象限的概率P 1＝425. (2)点A 在y 轴上的可能情况为(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5种，故点A不在y 轴上的概率P 2＝1－525＝45. (3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的可能情况为(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，(0,3)，(1,1)．共8种，故点A 落在区域x 2＋y 2≤10上的概率P 3＝825. 3．(2014·莱芜模拟)中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x ，y ，且x ＜y ”．(1)共有多少个可能结果？并列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．解：(1)共有36个结果，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)，共36个．(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A ，即事件A 为“x ，y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且11≤x ＋y ＜17，其中x ＜y ”，由(1)可知事件A 共含有15个结果，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，共15个．“都是男记者”记作事件B ，则事件B 为“x ＜y ≤5”，包含：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个．故P (A )＋P (B )＝1536＋1036＝2536.。
高考数学一轮复习学案：12.2 古典概型(含答案)
高考数学一轮复习学案：12.2 古典概型（含答案）12.2古典概型古典概型最新考纲考情考向分析1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.全国对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件.对立事件一起考查在高考中单独命题时，通常以选择题.填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题.1基本事件的特点1任何两个基本事件是互斥的；2任何事件除不可能事件都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型1试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2每个基本事件出现的可能性相等3如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率PAmn.4古典概型的概率公式PAA包含的基本事件的个数基本事件的总数.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”2掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件3从市场上出售的标准为5005g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型4有3个兴趣小组，甲.乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.5从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.6在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为nm.题组二教材改编2P127例3一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是A.14B.13C.12D.23答案D解析抽取两张卡片的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6种，和为奇数的事件有1,2，1,4，2,3，3,4，共4种所求概率为4623.3P145A组T5袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为A.25B.415C.35D.23答案A解析从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P61525.4P134A组T6已知5件产品中有2件次品，其余为合格品现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________答案0.6解析从5件产品中任取2件共有C2510种取法，恰有一件次品的取法有C12C136种，所以恰有一件次品的概率为6100.6.题组三易错自纠5将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为A.12B.13C.23D.56答案C解析设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b，则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种因此2本数学书相邻的概率P4623.6xx合肥检测已知函数fx2x24ax2b2，若a4,6,8，b3,5,7，则该函数有两个零点的概率为________答案23解析要使函数fx2x24ax2b2有两个零点，即方程x22axb20有两个实根，则4a24b20，又a4,6,8，b3,5,7，即ab，而a，b的取法共有339种，其中满足ab的取法有4,3，6,3，6,5，8,3，8,5，8,7，共6种，所以所求的概率为6923.题型一题型一基本事件与古典概型的判断基本事件与古典概型的判断1下列试验中，古典概型的个数为向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；在线段0,5上任取一点，求此点小于2的概率A0B1C2D3答案B解析中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；的基本事件都不是有限个，不是古典概型；符合古典概型的特点，是古典概型2xx沈阳模拟有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验用x，y表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数，y表示第2个正四面体玩具出现的点数试写出1试验的基本事件；2事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；3事件“出现点数相等”包含的基本事件解1这个试验的基本事件为1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,42事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为1,3，1,4，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,43事件“出现点数相等”包含的基本事件为1,1，2,2，3,3，4,43袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号_________，从中摸出一个球1有多少种不同的摸法如果把每个球的编号_________看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型2若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型解1由于共有11个球，且每个球有不同的编号_________，故共有11种不同的摸法又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号_________为基本事件的概率模型为古典概型2由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A“摸到白球”，B“摸到黑球”，C“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球.红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型题型二题型二古典概型的求法古典概型的求法典例1xx全国从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C.310D.25答案D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所求概率P102525.2袋中有形状.大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________答案56解析基本事件共有C246种，设取出两个球颜色不同为事件A.A包含的基本事件有C12C12C11C115种故PA56.3我国古代“五行”学说认为“物质分金.木.土.水.火五种属性，金克木.木克土.土克水.水克火.火克金”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A发生的概率为________答案112解析五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为A55120，满足事件A“排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如金，第二个位置除去金本身只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有C15C1210种可能，所以事件A出现的概率为10120112.引申探究1本例2中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率解基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为1,2，1,4，2,3，3,4，共4种，所以PA4623.2本例2中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率解基本事件数为C14C1416，颜色相同的事件数为C12C11C12C126，故所求概率P61638.思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法.列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择跟踪训练xx山东某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游1若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；2若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率解1由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3个，则所求事件的概率为P31515.2从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P29.题型三题型三古典概型与统计的综合应用古典概型与统计的综合应用典例某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额单位万元的茎叶图如图所示，其中茎为位数，叶为个位数1根据茎叶图计算样本数据的平均数；2若网购金额单位万元不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；3从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率解1由题意知，样本数据的平均数x4612121820612.2样本中优秀服务网点有2个，概率为2613，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有901330个3样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有a1，a2，a1，b1，a1，b2，a1，b3，a1，b4，a2，b1，a2，b2，a2，b3，a2，b4，b1，b2，b1，b3，b1，b4，b2，b3，b2，b4，b3，b4，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有a1，b1，a1，b2，a1，b3，a1，b4，a2，b1，a2，b2，a2，b3，a2，b4，共8种，故所求概率PM815.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表.频率分布直方图.茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键跟踪训练从某学校xx届高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组第一组155,160，第二组160,165，，第八组190,195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同1求第六组.第七组的频率并补充完整频率分布直方图；2若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|xy|5的概率解1由频率分布直方图知，前五组的频率为0.0080.0160.040.040.0650.82，所以后三组的频率为10.820.18，人数为0.18509，由频率分布直方图得第八组的频率为0.00850.04，人数为0.04502，设第六组人数为m，则第七组人数为m1，又mm129，所以m4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示2由1知身高在180,185内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在190,195的男生有两名，设为A，B.若x，y180,185，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y190,195，只有AB1种情况；若x，y分别在180,185，190,195内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，所以基本事件的总数为68115，事件|xy|5包含的基本事件的个数为617，故所求概率为715.六审细节更完善典例12分一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号_________分别为1,2,3,4.1从袋中随机取两个球，求取出的球的编号_________之和不大于4的概率；2先从袋中随机取一个球，该球的编号_________为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号_________为n，求nm2的概率1基本事件为取两个球两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示把取两个球的所有结果列举出来1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4两球编号_________之和不大于4注意和不大于4，应为小于4或等于41,2，1,3利用古典概型概率公式求解P26132两球分两次取，且有放回两球的编号_________记录是有次序的，用坐标的形式表示基本事件的总数可用列举法表示1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,4注意细节，m是第1个球的编号_________，n是第2个球的编号_________nm2的情况较多，计算复杂将复杂问题转化为简单问题计算nm2的概率nm2的所有情况为1,3，1,4，2,4P1316注意细节，P1316是nm2的概率，需转化为其对立事件的概率nm2的概率为1P11316.规范解答解1从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个从袋中取出的球的编号_________之和不大于4的事件有1,2，1,3，共2个因此所求事件的概率P2613.4分2先从袋中随机取一个球，记下编号_________为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号_________为n，其一切可能的结果有1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,4，共16个6分又满足条件nm2的事件为1,3，1,4，2,4，共3个，所以满足条件nm2的事件的概率P1316.10分故满足条件nm2的事件的概率为1P113161316.12分第 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2014高考数学最新一轮复习必考题型巩固提升12.2《古典概型》学案
12.2古典概型考情分析1．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．2．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主． 基础知识1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 3．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.注意事项1.从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝A I ＝mn. 2. (1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同． 题型一 基本事件数的探求【例1】做抛掷两颗骰子的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数，写出： (1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和大于10”． 解 (1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)(4, 1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)(2)事件“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件(3,6)，(4,5)，(4,6)(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(3)事件“出现点数相等”包含以下6个基本事件(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．(4)事件“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件(5,6)，(6,5)，(6,6)．【变式1】用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“3个矩形颜色都相同”；(3)事件“3个矩形颜色都不同”．解(1)所有可能的基本事件共27个．(2)由图可知，事件“3个矩形都涂同一颜色”包含以下3个基本事件：红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝．(3)由图可知，事件“3个矩形颜色都不同”包含以下6个基本事件：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．题型二古典概型【例2】现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有C13C13C12＝18个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事件，事件M由C13C12＝6，因而P(M)＝618＝13.(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个结果，事件N有3个基本事件组成，所以P (N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得 P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.【变式2】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )． A.13 B.12 C.23 D.34解析 甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9(种)情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况．∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P ＝39＝13.答案 A题型三 古典概型的综合应用【例3】在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第66(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90， 这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.【变式3】 一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个． 事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个． 故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.重难点突破【例4】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任取2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解析 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种，从中选出2名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，选出的2名教师性别相同的概率为P ＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出2名教师来自同一学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种， 选出的2名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25.巩固提高1．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件．那么( )A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析：由互斥、对立事件的含义知选B 答案：B2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8解析：因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.答案：B3．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115 B.35C.815D.1415解析： 记4听合格的饮料分别为A 1、A 2、A 3、A 4,2听不合格的饮料分别为B 1、B 2，则从中随机抽取2听有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9种，故所求概率为P ＝915＝35.答案：B4．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )A.16 B.15 C.13D.25解析：由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为55＋4＋3＋2＋1＝13.答案：C5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是( )A.16 B.13 C.12D.34解析：要使△ABC有两个解，需满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b sin A ，b ＞a 因为A ＝30°，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＜2a ，b ＞a 满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b ＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16.答案：A。
高中高三数学古典概型教案
高中高三数学古典概型教案教学目标：
1. 理解古典概型的基本概念和应用。
2. 解决实际问题中的概率计算。
3. 提高学生的数学思维和应用能力。
教学重点：
1. 古典概型的定义和特点。
2. 古典概型在实际问题中的应用。
3. 概率计算和概率分布。
教学难点：
1. 复杂问题的古典概型解题方法。
2. 概率计算过程中的逻辑性。
教学准备：
1. 教师准备课件和教学素材。
2. 学生准备相关教材和笔记。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师简要介绍古典概型的概念和应用，并提出学习目标。
二、知识讲解（20分钟）
1. 古典概型的定义和特点。
2. 古典概型的应用举例。
3. 概率计算公式和概率分布。
三、示范演练（15分钟）
教师通过几个案例演示古典概型的解题方法和计算过程。
四、分组讨论（15分钟）
学生分组讨论并解决几个古典概型的实际问题。
五、小结（5分钟）
教师复习本节课的重点内容，并总结学习收获。
六、作业布置（5分钟）
布置相关练习和作业，巩固学生对古典概型的理解和运用能力。
教学反思：
本节课通过理论讲解、示范演练和实际问题解决的方式，帮助学生深入理解古典概型的概念和应用，提高了他们的数学思维和实际问题解决能力。
在教学中要注重培养学生的逻辑推理能力和分析问题的能力，引导他们灵活运用数学知识解决实际问题。
高三一轮复习(古典概型导学案).doc
教材回归1. 基本事件的特点(1) 任何两个基本事件是 ________ 的.(2) 任何事件(除不可能事件)都可以表示成 ___________ 的和.2. 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件 __________⑵每个基本事件出现的可能性 ______________3. 如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每 一个基本事件的概率都是+ ;如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P(A)=半・(V 三基强化9^^^^^77777777777777777777777^1. (2010年北京高考)从｛1,2,3,4,5｝屮随机选取一个数为a,从｛1,2,3｝屮随机选取一个数为b,则b>a 的概率是()2. 掷一枚均匀的硬币两次，事件M ： —次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是()A. P(M)=*, P(N)=*B ・ P(M)=*, P(N)=|C ・ P(M)=|, P(N)=|] 3古典概型A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数A5 c i4.古典概型的概率公式P(A) =D. P(M)=^ P(N)=[3.老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为()A 箱B10 C5 D44.(2010年莆出模拟)一袋中装有大小相同，编号为123,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次収一个球，共収2次，则収得两个球的编号之和不小于15的概率为()A 丄R 丄Ay 氐64 匕32 °*64r考点分类讲练p Yi'MiNGSnZDUJ/fUA考点一简单的古典概型问题例1在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种洗涤剂时，需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为123,4,5,6 的六种添加剂可供选用•根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度Z和.求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于6的概率.【归纳拓展】(1)计算古典概型事件的概率可分三步：①算出基本事件的总个数n；②求出事件A所包含的基本事件个数m；③代入公式求出概率P.⑵含有“至多至少”等类型的概率问题，从正而突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质P(A)=1—P(7j进一步求解.变式迁移将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求:(1)两数之和为5的概率；(2)两数中至少有一个奇数的概率.考点二复杂事件的古典概型问题例2袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率：(1M：取出的2个球都是白球；(2)B：取出的2个球中1个是白球，另1个是红球.【归纳拓展】在古典概型条件下，当基本事件总数为n吋，每一个基本事件发生的概率均時，要求事件A的概率，关键是求出基本事件总数n和事件A中所含基本事件数m, 例3甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题.⑴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人屮至少有一人抽到选择题的概率是多少【归纳拓展】含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面求解比较闲难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质P(A)=1—P(W)进一步求解.區易错盘点1.误解基本事件的等可能性致误纠错训练1若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有123,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为______________ .2.互斥与对立相混淆致误纠错训练2判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1〜10各10张)中，任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；⑶“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”・1.用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A屮的基本事件，利用公式玖小=半求出事件A的概率.这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏.2.事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少.回答好这三个方面的问题，解题才不会出错。
高考数学(人教A)一轮课件：12-2古典概型与几何概型
考点
考纲要求
考查角度
1.掌握古典概型的特点及 1.用列举法求概率
古典概型 概率的计算公式
2.用排列组合知识
2.用列举法求概率
求事件的概率(理)
几何概型
了解几何概型的概念，会 解决与长度、面积、体 积、角度相关的几何概型 的问题
考查几何概型和线 性规划、圆等综合 知识
1.从近几年高考试题来看，古典概型、几何概型是高考热点． 2．从题型上看，既有选择题、填空题，又有解答题，题目 难度中低档． 3．命题切入点：直接考查古典概率的运算与平面图形面积 计算结合等知识，考查几何概率的计算．
答案：B
2．从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们
作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
1
1
A.10
B.8
C.16
D.15
解析：设正六边形为 ABCDEF，从 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，可以看作随机选取 2 个顶点，剩下的 4 个顶点构成四边 形，有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE， CF，DE，DF，EF 共 15 种．若要构成矩形，只要选相对顶点即 可，有 AD，BE，CF，共 3 种，故其概率为135＝15.
特别提醒：应用古典概型计算概率时，要验证试验中基本事 件的两个条件．
3．几何概型
(1) 定 义 ： 如 果 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域
的 长度(面积或体积)
成比例，则称这样的概率模型为几何概率
模型，简称为几何概型．
(2)计算公式：
构成事件A的区域
P(A)＝ 试验的全部结果所构成区域
高中高三数学《古典概型》教案、教学设计
5.教学过程中，注重启发式教学，引导学生自主探究、发现规律，提高学生的自主学习能力。
-例如：在讲解古典概型计算方法时，教师给出部分提示，让学生自主完成计算过程。
6.设计丰富的课堂练习，巩固所学知识，并及时给予反馈，帮助学生查漏补缺。
-请学生尝试解决以下问题：一个袋子里有5个白球、4个黑球和1个红球，随机取出两个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要注重理解古典概型的概念和计算方法，避免死记硬背。
2.在设计生活实例时，要尽量选择有趣、富有挑战性的问题，提高自己的实际应用能力。
3.完成作业后，要进行自我检查，确保解答过程正确无误，并对自己的作业进行适当的批改和反思。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师以一个生动的实际例子引入新课，如“一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求取出红球的概率。”
2.提出问题：通过上述例子，教师引导学生思考以下问题：
-概率是什么？如何计算概率？
-在这个问题中，为什么红球和蓝球的个数会影响概率的计算？
3.过渡：通过讨论，引出古典概型的概念，指出古典概型是解决此类问题的有效方法。
（三）学生小组讨论
1.教学活动：学生分成小组，针对以下问题进行讨论：
-生活中还有哪些问题可以用古典概型来解决？
-在解决古典概型问题时，如何运用排列组合知识？
2.讨论过程：小组成员相互交流，共同解决问题，教师巡回指导。
3.分享与评价：各小组汇报讨论成果，其他小组进行评价，教师给予点评。
（四）课堂练习
1.教学活动：学生完成以下练习题，巩固所学知识。
【三维设计】高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)古典概型教学案
古_典_概_型[知识能否忆起]一、基本事件的特点1．任何两个基本事件是互斥的．2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 二、古典概型的两个特点1．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． 2．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．[提示] 确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性． 三、古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[小题能否全取]1．(教材习题改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.12 B.13 C.23D ．1解析：选C 基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共三种，甲被选中共2种．则P ＝23.2．(教材习题改编)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( )A.35 B.25 C.13D.23解析：选D 从六个数中任取2个数有15种方法，取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－515＝23. 3．甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是( )33C.12D.14解析：选B 记甲同学的两本书为A ，B ，乙同学的两本书为C ，D ，则甲同学取书的情况有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种，有一本自己的书，一本乙同学的书的取法有AC ，AD ，BC ，BD 共4种，所求概率P ＝23.4．(2012·南通一调)将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率为________．解析：依题意得，甲、乙两球各有3种不同的放法，共9种放法，其中有1,2号盒子中各有一个球的放法有2种，故有1,2号盒子中各有一个球的概率为29.答案：295．(教材习题改编)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．解析：P ＝3×210＝35.答案：351.古典概型的判断：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型．2．对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去求．典题导入[例1] (2012·安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.2555[自主解答] (文)设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)共6个．因此其概率为615＝25.(理)从6个球中任取两球有C 26＝15种取法，颜色一黑一白的取法有C 12C 13＝6种，故概率P ＝615＝25.[答案] B在本例条件下，求两球不同色的概率．解：两球不同色可分三类：一红一白，一红一黑，一白一黑． 故P ＝1×2＋1×3＋2×315＝1115.由题悟法计算古典概型事件的概率可分三步：(1)算出基本事件的总个数n ；(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)代入公式求出概率P .以题试法1．“≺数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如 1 469)，在两位的“≺数”中任取一个数比36大的概率是( )A.12 B.23 C.34D.45解析：选A 在两位数中，十位是1的“≺数”有8个；十位是2的“≺数”有7个；……；十位是8的“≺数”有1个．则两位数中，“≺数”共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，比36大的“≺数”共有3＋5＋4＋3＋2＋1＝18个．故在两位的“≺数”中任取一个数比36大的概率是1836＝12.典题导入[例2] (2012·江西高考)如图所示，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0，1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0，1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．[自主解答] (文)从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种； y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)法一：选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.法二：选取的这3个点与原点不共面的所有可能的结果有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种，因此这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1－820＝35.(理)从这6个点中任取3个点可分三类：在x 轴上取2个点、1个点、0个点，共有C 22C 14＋C 12C 24＋C 34＝20种取法．(1)选取的3个点与原点O 恰好是正三棱锥项点的取法有2种，概率P 1＝220＝110.(2)法一：选取的3个点与原点O 共面的取法有C 22·C 14·3＝12种，所求概率P 2＝1220＝35.法二：选取的3个点与原点不共面的取法有C 12·C 12·C 12＝8种，因此这3个点与原点O 共面的概率P 2＝1－820＝35.由题悟法求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．以题试法2．一个小朋友任意敲击电脑键盘上的0到9十个键，则他敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A.425B.215C.25D.29解析：选A 任意敲击两次有10×10＝100种方法，两次都是3的倍数有4×4＝16种方法，故所求概率为P ＝16100＝425.1．(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )A.12B.13C.14D.25解析：选A 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1，红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P ＝816＝12.2．(2012·鸡西模拟)在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )A.34 B.310C.25D ．以上都不对解析：选B 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为310.3．(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( )A.112 B.118 C.136D.7108解析：选A 基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1,1,1)，(1,2,3)，(3,2,1)，(2,2,2)，(1,3,5)，(5,3,1)，(2,3,4)，(4,3,2)，(3,3,3)，(2,4,6)，(6,4,2)，(3,4,5)，(5,4,3)，(4,4,4)，(4,5,6)，(6,5,4)，(5,5,5)，(6,6,6)共18个，所求事件的概率P ＝186×6×6＝112.4．已知某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件，n 件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．则第一天通过检查的概率为( )A.25 B.35 C.23D.67解析：选B 因为随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有1件次品，所以第一天通过检查的概率P ＝C 49C 410＝35.5．(2012·宁波模拟)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12 B.58 C.1116D.34解析：选C 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )＞0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有a ＝1，2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8；a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.6．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115 B.35 C.815D.1415解析：选B 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 7．(2012·南京模拟)从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．解析：从0,1,2,3,4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝15.答案：158．(2012·重庆高考)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析：基本事件是对这6门课排列，故基本事件的个数为A 66.“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”就是“任何两节文化课不能相邻”，利用“插空法”，可得其排列方法种数为A 33A 34.根据古典概型的概率计算公式可得事件“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”发生的概率为A 33A 34A 66＝15.答案：159．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35.答案：3510．暑假期间，甲、乙两个学生准备以问卷的方式对某城市市民的出行方式进行调查．如图是这个城市的地铁二号线路图(部分)，甲、乙分别从太平街站(用A 表示)、南市场站(用B 表示)、青年大街站(用C 表示)这三站中，随机选取一站作为调查的站点．(1)求甲选取问卷调查的站点是太平街站的概率；(2)求乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率．解：(1)由题知，所有的基本事件有3个，甲选取问卷调查的站点是太平街站的基本事件有1个，所以所求事件的概率P ＝13.(2)由题知，甲、乙两人选取问卷调查的所有情况见下表：由表格可知，共有9种可能结果，其中甲、乙在相邻的两站进行问卷调查的结果有4种，分别为(A ，B )，(B ，A )，(B ，C )，(C ，B )．因此乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率为49.11．(2012·济南模拟)将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋b i.(1)若集合A ＝{z |z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的概率． 解：(1)A ＝{6i,7i,8i,9i}． (2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的事件为B . 当a ＝0时，b ＝6,7,8,9满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝1时，b ＝6,7,8满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝2时，b ＝6,7,8满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝3时，b ＝6满足a 2＋(b －6)2≤9.即B 为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个．所以所求概率P ＝1124.12．(2012·福州模拟)已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球．(1)若用数组(x ，y ，z )中的x ，y ，z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．解：(1)数组(x ，y ，z )的所有情形为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i ＝3,4,5,6)，易知，事件A 3包含有1个基本事件，事件A 4包含有3个基本事件，事件A 5包含有3个基本事件，事件A 6包含有1个基本事件，所以，P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18.故所摸出的两球号码之和为4或5的概率相等且最大．故猜4或5获奖的可能性最大．1．(2012·温州十校联考)从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1,2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12 B.47 C.23D.34解析：选B 当方程x 2m －y 2n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2n＝1表示椭圆双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n )有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(－1，－1)共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，则m ＞0，n ＞0，有(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)共4种，所以所求概率P ＝47.2．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m 、n 则直线y ＝m nx 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为________．解析：由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种．由直线与圆的位置关系得，d ＝|3m |m 2＋n2＜1，即mn ＜24，共有13，14，15，16，26，5种，所以直线y ＝m n x 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为536.答案：5363． (2012·天津高考)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.因此，从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}共3种．所以P (B )＝315＝15.1．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，a ∈A ，b ∈A ，则A ∩B ＝B 的概率是( ) A.29 B.13 C.89D ．1解析：选C ∵A ∩B ＝B ，∴B 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}．当B ＝∅时，a 2－4b ＜0，满足条件的a ，b 为a ＝1，b ＝1,2,3；a ＝2，b ＝2,3；a ＝3，b ＝3.当B ＝{1}时，满足条件的a ，b 为a ＝2，b ＝1.当B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的a ，b .当B ＝{1,2}时，满足条件的a ，b 为a ＝3，b ＝2.当B ＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的a ，b .∴A ∩B ＝B 的概率为83×3＝89. 2．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a 、b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．解析：圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d ＜2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2＜2，得b ＞a ，满足题意的b ＞a ，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512. 答案：5123．(2012·福建高考)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8， 解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.。
高考数学一轮复习 12-2 古典概型课件 新人教A版
有的基本事件构成集合 I，则事件 A 的概率为ccaarrdd（（AI））.
(√ )
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课堂总结
(4)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一
袋，测其重量，属于古典概型．
(×)
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课堂总结
2．(2014·陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任
取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率
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课堂总结
4．(人教A必修3P127例3改编)同时掷两个骰子，向上点数不 相同的概率为________．
解析 掷两个骰子一次，向上的点数共 6×6＝36 个可能的
结果，其中点数相同的结果共有 6 个，所以点数不同的概
率 P5 6
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课堂总结
5．从分别写1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，假设每 张卡片被取到概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则 取到的两张卡上的数字之和为偶数的概率为________． 解析 法一 从分别写有 1，2，3，4，5 的五张卡片中任 取两张，可能情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1， 6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3， 6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共 15 种，其中和为偶数的情 况有(1，3)，(1，5)，(2，4)，(2，6)，(3，5)，(4，6)，共 6 种，所以所求的概率是25.
为
()
A.15
B.25
C.35
D.45
解析 根据题意知，取两个点的所有情况为 C25种，2 个点
的距离小于该正方形边长的情况有 4 种，故所求概率 P＝1
高考数学一轮总复习 12.2 古典概型课件(含高考真题)文 新人教版
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(1)这个试验的基本事件为:
(3)事件“朝下面的点数相等”.
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(2)事件“朝下面的点数之和大于 3”包含以下 13 个基本事件:
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所有情况共有 6 种,而其中一个数为另一个数两倍的有 2 种情况.
1
3
2
6
1
3
关闭
故所求概率为 = .
解析
解析
(jiě
第八页，共21页。
答案
答案
(dá àn)
第十二章
12.2 古典概型
考纲要求
梳理(shūlǐ)
梳理自测
自测
探究突破
9
巩固提升
5.盒子中共有大小相同的 3 个白球,1 个黑球,若从中随机摸出两个球,则它
可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是
的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A)=
1
;如果某个事件 A 包含
.
想一想怎样理解古典概型中每个基本事件的等可能性?
答案:就是试验的每种结果出现的可能性是均等的.例如先后抛
掷两枚均匀的硬币,共出现“正、正”,“正、反”,“反、正”,“反、反”
基本(jīběn)事件及其事件的构成
【例 1】有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字 1,2,3,4,下面做
投掷这两颗正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中 x 表示第 1 颗正四
面体玩具朝下面的点数,y 表示第 2 颗正四面体玩具朝下面的点数.试写出:
高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第二节 古典概型、几何概型(课件)
3．几何概型 (1)几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长__度____(__面__积____ 或___体_积____)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为 _几__何_概__型__． (2)在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
P(A)＝_________________________________________.
(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群 众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率．
答案：A
答案：A
反思感悟 与体积有关的几何概型的求法
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间) 以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件 求解．
(三)易错易混 4．(分类不清出错)现有7名成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2， C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优 秀，C1，C2的化学成绩优秀．从数学、物理、化学成绩优秀的人中各 选1人，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1中有且仅有1人被
第二节 古典概型、几何概型
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．结合具体实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计 算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
2．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，初步体会几何概 型的意义．
3．了解
考情分析：古典概型及其与平面向量、函数、解析几何、统计等知 识综合是考查的热点．
学科素养： 通过古典概型、几何概型的应用，考查数据分析的核心 素养．
必备知识—基础落实
一、必记3个知识点 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是__互__斥____的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_基__本_事__件__的和． 2．古典概型 (1)古典概型的定义及特点
人教版高三数学一轮复习精品课件3：12.2 古典概型
相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为
________(用数字作答)．
[解析] (1)当 n≤3 时，易知不成立．当 n≥4 时，两个数之和 为 5 有两种情况：(1,4)，(2,3)．
由题意知C22n＝114，即 n(n－1)＝56，解得 n＝8. (2)当每两节文化课之间都有一节艺术课时，共有 2A33A33＝72 种排法； 当有两节文化课排在一起时，共有 C23C13A22A22A33＝216 种排 法； 当三节文化课排在一起时，共有 A33A44＝144 种排法．
01何两个基本事件是 互斥 的． 2. 任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的 和．
[想一想] 在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能 的吗？
提示：不一定等可能．如试验一粒种子是否发芽，其发芽和 不发芽的可能性是不相等的．
[填一填] (1)某校高一年级学生要组建书法、绘画、舞蹈、 音乐四个兴趣小组，某学生只选报其中的 2 个，则基本事件共有
1．理解古典概型及其概率计算公式． 2. 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
1点必知关键——解决古典概型问题的关键 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的 两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的 概型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的 关键．
限时规范特训
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
第十二章 第2讲
第3页
2种必会方法——古典概型的两种破题方法 (1)树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及 较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，(x， y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无 序的，如(1,2)与(2,1)相同． (2)含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比 较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用P(A) ＝1－P( A )求解较好．
(全国统考)2022高考数学一轮复习 第十二章 概率 12.2 古典概型与几何概型学案(理,含解
12.2古典概型与几何概型必备知识预案自诊知识梳理1.基本事件在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为.2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.3.古典概型(1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:试验中所有可能出现的基本事件.②等可能性:每个基本事件出现的可能性..(2)古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数4.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(面积或体积)成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)特点:①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P(A)=.5.随机模拟方法使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.1.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有:列举法、列表法和树状图法.3.与面积有关的几何概型,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在一次古典概型试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.();如果某个事件A包括的结果有m个,则(4)在古典概型中,每个基本事件的概率都是1n.() P(A)=mn(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率. ( ) 2.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中,任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为( )A.23 B.12C.13D.143.如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形,图中△ABC 为直角三角形,四边形DEFC 为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,在△ABC 上任取一点,则此点取自正方形DEFC 的概率为( )A.19 B.29 C.49D.594.(2020江苏,4)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 .5.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ,作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于16 cm 2的概率为 .关键能力学案突破考点古典概型的概率【例1】(1)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,齐王获胜的概率是 ( )A.23B.35C.59D.34(2)在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参加,赛前用抽签的方法决定出场的顺序,则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是()A.110B.15C.25D.310解题心得求有关古典概型的概率问题的解题策略(1)求古典概型的概率的步骤是:①判断本次试验的结果是否是等可能的,设所求的事件为A;②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m;③利用古典概型的概率公式P(A)=mn,求出事件A的概率.(2)对与顺序相关的问题处理方法为:若把顺序看作有区别,则在求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数时都看作有区别,反之都看作没区别.(3)基本事件个数的确定方法方法适用条件列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求对点训练1(1)(2020云南大理高三模拟)掷硬币实验是很常见却又非常有名的一个概率实验,许多著名的科学家都做过这个实验,比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的实验,可以让人们感受到随机事件的发生,形成概率的观念.若抛掷一枚硬币出现正面向上记为1,反面向上记为0.现抛掷一枚硬币6次,出现两个0和四个1的概率为()A.1564B.516C.916D.58(2)(2020河北保定模拟)我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”.右图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”,其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”,若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点,则该两点取自同一片“风叶”的概率为()A.37B.47C.314D.1114考古典概型与统计点的综合应用【例2】某中学组织了一次数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男生、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(注:分组区间为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀,则男生、女生的优秀人数各为多少?(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.解题心得求古典概型与统计问题的一般步骤第一步:根据概率统计的知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型;第二步:将所有基本事件列举出来(可用树状图);;第三步:计算基本事件总数n,事件A包含的基本事件数m,代入公式P(A)=mn 第四步:回到所求问题,规范作答.对点训练2某县共有90个农村淘宝服务网点,随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位:万元)的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数;(2)若网购金额(单位:万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数;(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.考点几何概型(多考向探究)考向1与长度、角度有关的几何概型【例3】(1)(2020广西壮族自治区高三模拟)在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为()A.12B.13C.√24D.√23(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB=√3,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧DE⏜,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为.解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.(1)当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度之比计算;(2)当考察对象为线时,一般用角度之比计算.对点训练3(1)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为()A.15B.14C.13D.12(2)如图所示,在平面直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为.考向2与面积、体积有关的几何概型【例4】(1)(2020山东潍坊高三检测)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形,例如三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等,若用七巧板拼成一只雄鸡,在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为()A.14B.17C.18D.116(2)(2020河南南阳高三模拟)灯笼是传统的照明工具,在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆,某庭院挂着一盏表面积为4π平方分米的西瓜灯(看成球),灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为2厘米,高为4厘米的圆锥,若在该灯笼内任取一点,则该点取自灯焰内的概率为()A.0.004B.0.012C.0.024D.0.036解题心得求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A对应的区域,在图形中画出事件A对应的区域,然后用公式P(A)=构成事件A的区域面积(或体积)试验的全部结果所组成的区域面积(或体积)求出概率.对点训练4(1)(2020江西南昌二中高三月考)如图是折扇的示意图,A为OB的中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分的概率是()A.14B.12C.58D.34(2)已知在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB=2,现在该四棱锥内部或侧面任取一点O,则四棱锥O-ABCD的体积不小于23的概率为.考向3与线性规划有关的几何概型【例5】(2020湖南衡阳八中高三月考)若不等式组{x +2y -3≤0,2x -y +4≥0,y ≥0表示的区域为Ω,不等式x 2+y 2-2x-2y+1≤0表示的区域为T ,则在区域Ω内任取一点,则此点落在区域T 中的概率为( )A.π4B.π8C.π5D.π10解题心得几何概型与线性规划的交汇问题:先根据约束条件作出可行域,再确定形状,求面积大小,进而代入公式求概率.对点训练5两位同学约定下午5:30~6:00在图书馆见面,且他们在5:30~6:00之间到达的时刻是等可能的,先到的同学需等待,15分钟后还未见面便离开,则两位同学能够见面的概率是( )A.1136B.14C.12D.34考点随机模拟方法【例6】从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1,x 2,…,x n ,y 1,y 2,…,y n ,构成n 个数对(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn解题心得将π看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与正方形面积之比等于m 与n 之比,从而用m ,n 表示出π的近似值.对点训练6(2020湖北金字三角高三线上联考)“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3 072边形,并由此求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.826 9,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为()(参考数据:√30.8269≈2.094 6)A.3.141 9B.3.141 7C.3.141 5D.3.141 312.2 古典概型与几何概型必备知识·预案自诊知识梳理1.基本事件2.(1)互斥 (2)基本事件3.(1)①只有有限个 ②相等4.(1)长度 (3)构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√2.B 4本名著选两本共有C 42=6种,选取的两本中含有《红楼梦》的共有C 31=3种,所以任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为36=12.故选B .3.C 由图形得,△ABC 为直角三角形,四边形DEFC 为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,设CD=x ,由DE ∥BC 则有AD AC=DE CB,即4-x 4=x 2,解得x=43,设在△ABC 上任取一点,则此点取自正方形DEFC 为事件A ,由几何概型中的面积比得P (A )=S 正方形DEFC S △ABC=(43)212×4×2=49.故选C .4.19 本题考查古典概型.第1,2次向上的点数分别记为a ,b ,每个样本点记为(a ,b ),则所有的样本点为 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共36个,其中,点数和为5的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故所求概率为436=19.5.25 设线段AC 的长为x cm,则线段CB 长为(10-x )cm,那么矩形面积为x (10-x )<16,解得x<2或x>8,又0<x<10, 所以该矩形面积小于16cm 2的概率为P=410=25.关键能力·学案突破例1(1)A (2)B (1)因为双方各有3匹马,所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种,满足“齐王获胜”的这一条件的情况为:齐王派出上等马,则获胜的事件数为3;齐王派出中等马,则获胜的事件数为2;齐王派出下等马,则获胜的事件数为1;故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种,根据古典概型公式可得,齐王获胜的概率P=69=23,故选A .(2)在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参加,赛前用抽签的方法决定出场的顺序,基本事件总数n=A 55=120,“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的基本事件个数m=A 22A 33+A 22A 32=24,所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率p=mn =24120=15.故选B .对点训练1(1)A (2)A (1)抛掷一枚硬币6次的基本事件总数n=26=64,这六次恰好有两个0和四个1包含的基本事件的个数为m=C 62=15,所以概率是P=mn =1564.(2)由题意,从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有C 82=28(种),其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有4C 32=12,根据古典概型的概率计算公式,可得所求概率为1228=37.例2解(1)由题可得,男生优秀人数为100×(0.01+0.02)×10=30, 女生优秀人数为100×(0.015+0.03)×10=45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115,所以样本中包含的男生人数为30×115=2,女生人数为45×115=3.则从5人中任意选取2人共有C 52=10种,抽取的2人中没有男生有C 32=3(种),则至少有一名男生有C 52−C 32=7(种).故至少有一名男生的概率为710,即选取的2人中至少有一名男生的概率为710. 对点训练2解(1)由题意知,样本数据的平均数x =4+6+12+12+18+206=12.(2)样本中优秀服务网点有2个,频率为26=13,由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×13=30(个).(3)样本中优秀服务网点有2个,分别记为a 1,a 2,非优秀服务网点有4个,分别记为b 1,b 2,b 3,b 4,从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有:(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 1,b 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(a 2,b 4),(b 1,b 2),(b 1,b 3),(b 1,b 4),(b 2,b 3),(b 2,b 4),(b 3,b 4),共15种,记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M ,则事件M 包含的可能情况有:(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 1,b 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(a 2,b 4),共8种,故所求概率P (M )=815.例3(1)C (2)13(1)因为圆心(0,0),半径r=1,直线与圆相交,所以圆心到直线y=k (x+3)的距离d=|3k |√1+k2≤1,解得-√24≤k ≤√24,所以所求的概率为√222=√24,故选C.(2)连接AC ,如图所示,tan ∠CAB=CB AB =1√3=√33,所以∠CAB=π6,直线AP 在∠CAB 内时,直线AP 与线段BC 有公共点,所以所求事件的概率为π6π2=13.对点训练3(1)B (2)16 (1)由题意可知,第二节课的上课时间为8:40~9:20,时长40分钟.若听第二节课的时间不少于20分钟,则需在8:50~9:00之间到达教室,时长10分钟. 所以听第二节课的时间不少于20分钟的概率为1040=14,故选B .(2)因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的,所以射线OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°=16.例4(1)C (2)A (1)设包含7块板的正方形边长为4,其面积为4×4=16.则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块,其面积为S=2×1=2.所以在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为216=18. (2)设该灯笼的半径为R ,则4πR 2=4π,解得R=1(分米),所以该灯笼的体积V=4π×133=4π3(立方分米)=4000π3(立方厘米),该灯笼内的灯焰的体积V 1=13×π×22×4=16π3(立方厘米),所以该点取自灯焰内的概率为V 1V =16π34000π3=0.004.对点训练4(1)D (2)2764 (1)设扇形的圆心角为α,大扇形的半径长为R ,小扇形的半径长为r ,则S 大扇形=α2R 2,S 小扇形=α2r 2,R=2r.根据几何概型,可得此点取自扇面(扇环)部分的概率为α2R 2-α2r 2α2R 2=R 2-r 2R 2=3r 24r 2=34.(2)当四棱锥O-ABCD 的体积为23时,设点O 到平面ABCD 的距离为h ,则13×22×h=23,解得h=12.如图所示,在四棱锥P-ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ,且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为PA ⊥底面ABCD ,且PA=2,所以PH PA=34,所以四棱锥O-ABCD 的体积不小于23的概率为V 四棱锥P -EFGHV四棱锥P -ABCD=PH PA 3=343=2764. 例5D 作出不等式组{x +2y -3≤0,2x -y +4≥0,y ≥0表示的区域Ω,不等式x 2+y 2-2x-2y+1≤0化为(x-1)2+(y-1)2≤1,它表示的区域为T ,如图所示:则区域Ω表示△ABC ,由{2x -y +4=0,x +2y -3=0,解得点B (-1,2).又A (-2,0),C (3,0), ∴S △ABC =12×(3+2)×2=5,又区域T 表示圆面,且圆心M (1,1)在直线x+2y-3=0上,在△ABC 内的面积为12π×12=π2, ∴所求的概率为π25=π10.对点训练5D 因涉及两人见面时间,故考虑到是几何概型,建立平面直角坐标系列出满足条件的式子,计算出最终的概率.因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙各自到达的时刻)组成;以5:30作为时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系:设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω={(x ,y )|0≤x ≤30,0≤y ≤30},画成图为一正方形;会面的充要条件为|x-y|≤15,即事件A 可以会面所对应的区域是图中的阴影部分,故由几何概型公式知所求概率为面积之比,即P (A )=302-152302=34,故选D .例6C如图,两数的平方和小于1的数对所在的区域为图中阴影部分(不含边界),n 个数对所在的区域为边长为1的正方形.由题意利用几何概型可知,14S 圆S 正方形=14π×1212≈m n,所以π≈4m n.故选C .对点训练6A 设圆的半径为r ,则圆的面积为πr 2,正六边形的面积为6×12×r×√32r=3√32r 2,因而所求该实验的频率为3√32r 2πr 2=3√32π=0.8269,则π=3√32×0.8269≈3.1419.。
2021届高考数学一轮必备 12.2《古典概型》考情分析学案(1)
古典概型考情分析1．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．2．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主． 基础知识1．大体事件的特点(1)任何两个大体事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都能够表示成大体事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)实验中所有可能显现的大体事件只有有限个． (2)每一个大体事件显现的可能性相等． 3．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.注意事项1.从集合的角度去看待概率，在一次实验中，等可能显现的全数结果组成一个集合I ，大体事件的个数n 确实是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包括m 个元素的子集．故P (A )＝card A card I ＝mn .2. (1)列举法：适合于较简单的实验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的大体事件的探求．另外在确信大体事件时，(x ，y )能够看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也能够看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同． 题型一 大体事件数的探求【例1】做抛掷两颗骰子的实验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子显现的点数，y表示第二颗骰子显现的点数，写出：(1)实验的大体事件；(2)事件“显现点数之和大于8”；(3)事件“显现点数相等”；(4)事件“显现点数之和大于10”．解(1)那个实验的大体事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)(4, 1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)(2)事件“显现点数之和大于8”包括以下10个大体事件(3,6)，(4,5)，(4,6)(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(3)事件“显现点数相等”包括以下6个大体事件(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．(4)事件“显现点数之和大于10”包括以下3个大体事件(5,6)，(6,5)，(6,6)．【变式1】用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每一个矩形只涂一种颜色，写出：(1)实验的大体事件；(2)事件“3个矩形颜色都相同”；(3)事件“3个矩形颜色都不同”．解(1)所有可能的大体事件共27个．(2)由图可知，事件“3个矩形都涂同一颜色”包括以下3个大体事件：红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝．(3)由图可知，事件“3个矩形颜色都不同”包括以下6个大体事件：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．题型二 古典概型【例2】现有8名2021年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3知晓日语，B 1，B 2，B 3知晓俄语，C 1，C 2知晓韩语．从当选出知晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．解 (1)从8人当选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的大体事件共有C 13C 13C 12＝18个．由于每一个大体事件被抽取的机遇均等，因此这些大体事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，事件M 由C 13C 12＝6，因此P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，那么其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N 包括(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)3个结果，事件N 有3个大体事件组成，因此P (N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.【变式2】有3个爱好小组，甲、乙两位同窗各自参加其中一个小组，每位同窗参加各个小组的可能性相同，那么这两位同窗参加同一个爱好小组的概率为( )．解析 甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9(种)情形，甲、乙两人参加同一爱好小组共有3种情形．∴甲、乙两人参加同一爱好小组的概率P ＝39＝13.答案 A题型三 古典概型的综合应用【例3】在某次考试中，有6位同窗的平均成绩为75分．用x n表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同窗所得成绩，且前5位同窗的成绩如下：编号n12 3 4 5 成绩x n 7076727072(1)求第6位同窗的成绩x 6，及这6位同窗成绩的标准差s ；(2)之前5位同窗中，随机地选2位同窗，求恰有1位同窗成绩在区间(68,75)中的概率． 解 (1)∵这6位同窗的平均成绩为75分，∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90， 这6位同窗成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)之前5位同窗中，随机地选出2位同窗的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同窗成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝，即恰有1位同窗成绩在区间(68,75)中的概率为.【变式3】 一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A 轿车B 轿车C舒适型 100 150 z标准型300450600类轿车10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方式在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个整体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方式从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,,,,,,,，把这8辆轿车的得分看成一个整体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过的概率．解 (1)设该厂那个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300，因此n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a5，那么a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，那么大体事件空间包括的大体事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个．事件E 包括的大体事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个． 故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18＋＋＋＋＋＋＋＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过”，那么大体事件空间中有8个大体事件，事件D 包括的大体事件有：,,,,,，共6个，因此P (D )＝68＝34，即所求概率为34.重难点冲破【例4】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)假设从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)假设从报名的6名教师中任取2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解析 (1)甲校两男教师别离用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师别离用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种，从当选出2名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，选出的2名教师性别相同的概率为P ＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从当选出2名教师来自同一学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种， 选出的2名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25.巩固提高1．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件．那么( ) A ．甲是乙的充分但没必要要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析：由互斥、对立事件的含义知选B 答案：B2．从某班学生中任意找出一人，若是该同窗的身高小于160 cm 的概率为，该同窗的身高在[160,175]的概率为，那么该同窗的身精湛过175 cm 的概率为( )A．B．C ．D ．解析：因为必然事件发生的概率是1，因此该同窗的身精湛过175 cm 的概率为1－－＝.答案：B3．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，那么检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )解析： 记4听合格的饮料别离为A 1、A 2、A 3、A 4,2听不合格的饮料别离为B 1、B 2，那么从中随机抽取2听有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9种，故所求概率为P ＝915＝35. 答案：B4．前后两次抛掷一枚骰子，在取得点数之和不大于6的条件下，前后显现的点数中有3的概率为( )解析：由题意可知，在取得点数之和不大于6的条件下，前后显现的点数中有3的概率为55＋4＋3＋2＋1＝13. 答案：C5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边别离是a 、b 、c ，A ＝30°，假设将一枚质地均匀的正方体骰子前后抛掷两次，所得的点数别离为a 、b，那么知足条件的三角形有两个解的概率是( )解析：要使△ABC 有两个解，需知足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞b sin A ，b ＞a 因为A ＝30°，因此⎩⎪⎨⎪⎧ b ＜2a ，b ＞a 知足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b ＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情形，因此满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16. 答案：A。
高三数学大一轮复习 12.2古典概型教案 理 新人教A版
§12.2 古典概型2014高考会这样考 1.考查古典概型概率公式的应用；2.考查古典概型与事件关系及运算的综合题；3.与统计知识相结合，考查解决综合问题的能力． 复习备考要这样做 1.掌握解决古典概型的基本方法，列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总个数，随机事件所含有的基本事件的个数；2.复习时要加强与统计相关的综合题的训练，注重理解、分析、逻辑推理能力的提升．1． 基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2． 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3． 如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝ m n. 4． 古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数. [难点正本 疑点清源]1． 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．2． 从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝card A card I ＝m n. 1． 甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是__________．答案 13解析 甲共有3种站法，故站在中间的概率为13. 2． 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．答案 25解析 从6个数中任取2个数的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率是25. 3． 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15 答案 D解析 基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b >a 的有3种，所以b >a 的概率为315＝15. 4． 一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是( ) A.23B.14C.25D.15答案 C解析 先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为25. 5． (2012·广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19 答案 D解析 个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数．(2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.题型一基本事件例1有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”；(3)事件“出现点数相等”．思维启迪：由于出现的结果有限，每次每颗只能有四种结果，且每种结果出现的可能性是相等的，所以是古典概型．由于试验次数少，故可将结果一一列出．解(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．探究提高基本事件的确定可以使用列举法和树形图法．用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．解所有可能的基本事件共有27个，如图所示．(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图，知事件A的基本事件有1×3＝3(个)，故P(A)＝327＝1 9.(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图，可知事件B的基本事件有2×3＝6(个)，故P(B)＝627＝2 9.题型二古典概型问题例2有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．思维启迪：确定基本事件总数，可用列举法．确定事件所包含的基本事件数，用公式求解．解 (1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，记“从10个零件中，随机抽取一个，这个零件为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35. (2)①一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②“从一等品零件中，随机抽取2个，这2个零件直径相等”记为事件B ，则其所有可能结果有{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共6种，所以P (B )＝25.探究提高 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．答案 23解析 三位同学每人选择三项中的两项有C 23C 23C 23＝3×3×3＝27(种)选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C 23C 13C 12＝3×3×2＝18(种)选法．∴所求概率为P ＝1827＝23. 题型三 古典概型的综合应用例3 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率．思维启迪：先根据统计图确定样本的男生人数，身高在170～185 cm 之间的人数和概率，再确定身高在180～190 cm 之间的人数，转化成古典概型问题．解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5.故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率P ＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率P ＝915＝0.6. 探究提高 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A 轿车B 轿车C 舒适型100 150 z 标准型 300 450 600A 类轿车10辆．(1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000， 则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400.(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a 5，则a ＝2. 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个．事件E 包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个．故P (E )＝710，即所求概率为710. (3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9. 设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34. 六审细节更完善典例：(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．审题路线图(1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取两个球的所有结果列举出来↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4)↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式P ＝26＝13(2)两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)基本事件的总数可用列举法表示↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m 是第一个球的编号，n 是第2个球的编号)n <m ＋2的情况较多，计算复杂(将复杂问题转化为简单问题)↓计算n ≥m ＋2的概率↓n ≥m ＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)↓P 1＝316↓注意细节，P 1＝316是n ≥m ＋2的概率，需转化为其对立事件的概率 n <m ＋2的概率为1－P 1＝1316.规范解答解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.[4分] (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[6分]又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.[10分] 故满足条件n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.[12分] 温馨提醒 (1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善．如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4等；第(2)问，有次序．(2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，第(1)问应写成{1,2}的形式，表示无序，第(2)问应写成(1,2)的形式，表示有序．(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．在第(2)问中，由于不能将事件n <m ＋2的概率转化成n ≥m ＋2的概率，导致数据复杂、易错．所以按要求规范解答是做好此类题目的基本要求．方法与技巧1． 古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个．2． 确定基本事件的方法列举法、列表法、树形图法．失误与防范1． 古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的．2． 概率的一般加法公式：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A ∪B 的概率，当A ∩B ＝∅时，A 、B 互斥，此时P (A ∩B )＝0，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；(2)要计算P (A ∪B )，需要求P (A )、P (B )，更重要的是把握事件A ∩B ，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2011·课标全国)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 A解析 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 2． (2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A.136B.19C.536D.16答案 D解析 最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P ＝636＝16，所以选D. 3． (2011·浙江)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A.15B.25C.35D.45 答案 B解析 第一步先排语文书有A 22＝2(种)排法．第二步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A 24＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有A 55＝120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是48120＝25. 4． 一个袋中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( ) A.15B.310C.25D.12答案 C解析 从袋中任取两个球，其一切可能结果有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，黑3)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，(红1，红2)共10个，同色球为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)共4个结果，∴P ＝25. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2011·福建)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．答案 35解析 从5个球中任取2个球有C 25＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C 13C 12＝6(种)，故所求概率为610＝35.6．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．答案3 4解析从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为3 4 .7．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三个，则这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)．答案4 5解析从五个点中任取三个点有10种不同的取法，其中A、C、E和B、C、D共线．故能构成三角形10－2＝8(个)，所求概率为P＝810＝45.三、解答题(共22分)8． (10分)(2012·天津)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种，所以P (B )＝315＝15.9． (12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设集合P ＝{－1,1,2,3,4,5}，Q ＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数的概率．解 分别从集合P 和Q 中任取一个数作为a 和b ，则有(－1，－2)，(－1，－1)，…，(－1,4)；(1，－2)，(1，－1)，…，(1,4)；…；(5，－2)，(5，－1)，…，(5,4)，共36种取法． 由于函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a，要使y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 必有a >0且2ba≤1，即a >0且2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－2，－1；若a ＝2，则b ＝－2，－1,1； 若a ＝3，则b ＝－2，－1,1；若a ＝4，则b ＝－2，－1,1,2； 若a ＝5，则b ＝－2，－1,1,2.故满足题意的事件包含的基本事件的个数为2＋3＋3＋4＋4＝16. 因此所求概率为1636＝49.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.112答案 C解析 复数(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，则n 2－m 2＝0⇒m ＝n ，而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概率为66×6＝16. 2． 宋庆龄基金会计划给西南某干旱地区援助，6家矿泉水企业参与了竞标．其中A 企业来自浙江省，B ，C 两家企业来自福建省，D ，E ，F 三家企业来自河南省．此项援助计划从两家企业购水，假设每家企业中标的概率相同．则在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是( ) A.45B.35C.12D.15答案 A解析 在六家矿泉水企业中，选取两家有15种情况，其中至少有一家企业来自河南的有12种情况，故所求概率为45.3． 连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512B.712C.13D.12答案 A解析 ∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)． ∴P ＝1536＝512，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·重庆)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 ________(用数字作答)． 答案 35解析 6节课随机安排，共有A 66＝720(种)方法．课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，分三类： 第1类：文化课之间没有艺术课，有A 33·A 44＝6×24＝144(种)．第2类：文化课之间有1节艺术课，有A 33·C 13·A 12·A 33＝6×3×2×6＝216(种)． 第3类：文化课之间有2节艺术课，有A 33·A 23·A 22＝6×6×2＝72(种)． 共有144＋216＋72＝432(种)． 由古典概型概率公式得P ＝432720＝35. 5. 如图在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点．在A 、P 、M 、C 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG →＝OE →＋OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为________． 答案 34解析 基本事件的总数是4×4＝16，在OG →＝OE →＋OF →中，当OG →＝OP →＋OQ →，OG →＝OP →＋ON →，OG →＝ON →＋OM →，OG →＝OM →＋OQ →时，点G 分别为该平行四边形各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34.6． 若集合A ＝{a |a ≤100，a ＝3k ，k ∈N *}，集合B ＝{b |b ≤100，b ＝2k ，k ∈N *}，在A ∪B中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A ∩B 中的概率为________． 答案1667解析 易知A ＝{3,6,9，…，99}，B ＝{2,4,6，…，100}， 则A ∩B ＝{6,12,18，…，96}，其中有元素16个．A ∪B 中元素共有33＋50－16＝67(个)，∴所求概率为1667.三、解答题7． (13分)(2012·北京)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(注：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)解 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )≈400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.即s 2的最大值为80 000.。
【步步高】（广东专用）2021高考数学大一轮温习 12.2古典概型导学案 理(1)
古典概型导学目标： 1.明白得古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的大体事件数及事件发生的概率．自主梳理1．大体事件有如下特点：(1)任何两个大体事件是________的．(2)任何事件(除不可能事件)都能够表示成______________． 2．一样地，一次实验有下面两个特点(1)有限性．实验中所有可能显现的大体事件只有有限个；(2)等可能性．每一个大体事件显现的可能性相同，称如此的概率模型为古典概型．判定一个实验是不是是古典概型，在于该实验是不是具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性． 3．若是一次实验中可能显现的结果有n 个，而且所有结果显现的可能性都相等，那么每一个大体事件的概率都是________；若是某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P(A)＝________.自我检测1．(2020·滨州模拟)假设以持续掷两次骰子别离取得的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，那么点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为( )A .16B .14C .112D .192．(2020·临沂高新区期末)一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，假设将这些小正方体均匀地搅混在一路，那么任意掏出一个，其两面涂有油漆的概率是( )A .112B .110C .325D .121253．(2020·辽宁)三张卡片上别离写上字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．4．有100张卡片(编号从1号到100号)，从中任取1张，取到卡号是7的倍数的概率为________． 5．(2020·大理模拟)在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能组成三角形的概率是________(用分数表示).探讨点一 大体事件的概率例1 抛掷六个面别离记有1,2,2,3,3,3的两颗骰子．(1)求所显现的点数均为2的概率；(2)求所显现的点数之和为4的概率．变式迁移1 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．问：(1)共有多少个大体事件？(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？探讨点二古典概型的概率计算例2班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人别离编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每一个人的号别离写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地掏出一张卡片，掏出谁的编号谁就参与演出节目．(1)为了选出2人来演出双人舞，持续抽取2张卡片，求掏出的2人不满是男生的概率；(2)为了选出2人别离演出独唱和朗诵，抽取并观看第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人演出的概率．变式迁移2 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．探讨点三古典概型的综合问题例3(2020·山东)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型30045060010辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方式在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个整体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方式从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个整体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．变式迁移3 为了了解《中华人民共和国道路交通平安法》在学生中的普及情形，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情形如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个整体．(1)求该整体的平均数；(2)用简单随机抽样方式从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与整体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．分类讨论思想的应用例 (12分)甲、乙二人用4张扑克牌(别离是红桃二、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，反面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i ，j)别离表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情形； (2)假设甲抽到红桃3，那么乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：假设甲抽到的牌的牌面数字比乙大，那么甲胜，反之，那么乙胜．你以为此游戏是不是公平，说明你的理由．多角度审题 此题属于求较复杂事件的概率，关键是明白得题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，联想掷骰子实验，把红桃二、红桃3、红桃4和方片4别离用数字2,3,4,4′表示，抽象出大体事件，把复杂事件用大体事件表示，找出整体I 包括的大体事件总数n 及事件A 包括的大体事件个数m ，用公式P(A)＝mn求解．【答题模板】解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情形(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情形．[6分](2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23.[9分](3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情形有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的概率P 1＝512，同理乙胜的概率P 2＝512.因为P 1＝P 2，因此此游戏公平．[12分]【冲破思维障碍】(1)对一些较为简单、大体事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用列举法即可计算一些随机事件所含的大体事件数及事件发生的概率，但应专门注意：计算时要严防遗漏，绝不重复．(2)取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，好多实际问题都能够归结到取球模型上去，专门是产品的抽样查验，解题时要分清“有放回”与“无放回”，“有序”与“无序”等条件的阻碍．【易错点剖析】1．题目中“红桃4”与“方片4”属两个不同的大体事件，应用不同的数字或字母标注． 2．注意“抽出的牌不放回”对大体事件数量的阻碍．一、选择题(每题5分，共25分)1．(2020·浙江宁波十校联考)将一枚骰子抛掷两次，假设前后显现的点数别离为b ，c ，那么方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为( )A .1936B .12C .59D .17362．(2020·福建)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采纳随机模拟的方式估量该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估量，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.153．(2020·西南名校联考)连掷两次骰子别离取得点数m 、n ，那么向量(m ，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A .512B .712C .13D .124．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，别离从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确信平面上的一个点P(a ，b)，记“点P(a ，b)落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n≤5，n ∈N)，假设事件C n 的概率最大，那么n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2,5D ．3,45．在一个袋子中装有别离标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机掏出2个小球，那么掏出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.112B.110C.15D.310二、填空题(每题4分，共12分)6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人演出节目．假设选到男教师的概率为920，那么参加联欢会的教师共有________人．7．(2020·上海十四校联考)在集合{x |x ＝n π6，n ＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好知足方程cos x ＝12的概率是________．8．(2020·江苏)现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)别离为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，假设从中一次随机抽取2根竹竿，那么它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2020·北京朝阳区模拟)袋子中装有编号为a ，b 的2个黑球和编号为c ，d ，e 的3个红球，从中任意摸出2个球．(1)写出所有不同的结果；(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率； (3)求至少摸出1个黑球的概率．10．(12分)(2020·天津滨海新区五校联考)某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次掏出后放回，持续取两次，掏出的两个小球号码相加上和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．(1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．11．(14分)(2020·广州模拟)已知实数a ，b ∈{－2，－1,1,2}． (1)求直线y ＝ax ＋b 不通过第四象限的概率； (2)求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率． 学案61 古典概型 自主梳理1．(1)互斥 (2)大体事件的和 3.1n mn自我检测1．A 2.D 3.13 4.0.14 5.45课堂活动区例1 解题导引 确信古典概型的大体事件有两条：一、每一个事件发生的可能性相等；二、事件空间Ω中的任一个事件都能够表示为这些大体事件的和，大体事件的确信有必然的相对性，并非一成不变的．解 因为掷骰子显现1,2,3的概率不一样，因此，记6个面为1，a ，b ，x ，y ，z ，其中a ，b 都表示2，x ，y ，z 都表示3，那么抛掷两颗骰子，大体事件为(1,1)，(1，a)，(1，b)，(1，x)，(1，y)，(1，z)，(a,1)，(a ，a)，(a ，b)，(a ，x)，(a ，y)，(a ，z)，…，(z,1)，(z ，a)，(z ，b)，(z ，x)，(z ，y)，(z ，z)共36种结果．(1)掷两颗骰子显现点数均为2的大体事件有(a ，a)，(a ，b)，(b ，a)，(b ，b)共4种，∴概率为P 1＝436＝19.(2)显现点数之和为4，说明有两种情形，即1＋3或2＋2，大体事件有(1，x)，(1，y)，(1，z)，(x,1)，(y,1)，(z,1)，(a ，a)，(a ，b)，(b ，a)，(b ，b)共10种，∴概率为P 2＝1036＝518.变式迁移1 解 (1)别离记白球为1,2,3号，黑球为A ，B 号，从中摸出2只球，有如下大体事件： (1,2)，(1,3)，(1，A)，(1，B)，(2,3)，(2，A)，(2，B)，(3，A)，(3，B)，(A ，B)，因此，共有10个大体事件．(2)上述10个大体事件发生的可能性相同，且只有3个大体事件是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝310.例2 解题导引 古典概型的概率计算公式是P(A)＝mn .由此可知，利用列举法算出所有大体事件的个数n和事件A 包括的大体事件数m 是解题关键．必要时能够采纳画树状图或列表法辅助列举大体事件．解 (1)利用树形图咱们能够列出持续抽取2张卡片的所有可能结果(如以下图所示)．由上图能够看出，实验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，因此这20种结果显现的可能性是相同的，实验属于古典概型．用A 1表示事件“持续抽取2人一男一女”，A 2表示事件“持续抽取2人都是女生”，那么A 1与A 2互斥，而且A1∪A2表示事件“持续抽取2张卡片，掏出的2人不满是男生”，由列出的所有可能结果能够看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝1220＋220＝710＝0.7，即持续抽取2张卡片，掏出的2人不满是男生的概率为0.7.(2)有放回地持续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被掏出，而且它被掏出的可能性和其他卡片相等，咱们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次掏出2号，第二次掏出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果能够用下表列出.用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人演出”，由上表能够看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人演出的概率P(A)＝525＝0.2.变式迁移2 解方式一同时抛掷两枚骰子，所有大体事件如下表：共有36个不同的结果，其中“至少有一个5点或6点”的大体事件数为20，因此至少有一个5点或6点的概率为P ＝2036＝59.方式二 利用对立事件求概率．“至少有一个5点或6点”的对立事件是“没有5点或6点”，如上表，“没有5点或6点”包括16个大体事件，没有5点或6点的概率为P ＝1636＝49.∴至少有一个5点或6点的概率为1－49＝59.例3 解题导引 此题要紧考查抽样的方式及古典概型概率的求法，考查用概率知识解决实际问题的能力． 解 (1)设该厂那个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300，因此n ＝2 000.那么z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a5，即a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车．用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，那么大体事件空间包括的大体事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10个．事件E 包括的大体事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7个．故P(E)＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，那么大体事件空间中有8个大体事件，事件D 包括的大体事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，因此P(D)＝68＝34，即所求概率为34. 变式迁移3 解 (1)整体平均数为16×(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5.(2)设A 表示事件“样本平均数与整体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从整体中抽取2个个体全数可能的大体结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个大体结果．事件A 包括的大体结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个大体结果． 因此所求的概率为P(A)＝715.课后练习区 1．A2．B [由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：19一、27一、93二、81二、393，共5组随机数，故所求概率为520＝14＝0.25.]3．A [由题意知，(m ，n)·(－1,1)＝－m ＋n<0， ∴m>n.大体事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P＝1536＝512.]4．D [落在直线x ＋y ＝2上的概率P(C 2)＝16，落在直线x ＋y ＝3上的概率P(C 3)＝26；落在直线x ＋y ＝4上的概率P(C 4)＝26；落在直线x ＋y ＝5上的概率P(C 5)＝16，故当n 为3和4时，事件C n 的概率最大．]5．D [由袋中随机掏出2个小球的大体事件总数为10，掏出小球标注数字和为3的事件为1,2.掏出小球标注数字和为6的事件为1,5或2,4.∴掏出的小球标注的数字之和为3或6的概率为 P ＝1＋210＝310.]6．120解析 设男教师有n 人，那么女教师有(n ＋12)人． 由已知从这些教师当选一人，选到男教师的概率 P ＝n2n ＋12＝920，得n ＝54，故参加联欢会的教师共有120人． 7.15解析 cos π3＝cos 5π3＝12，共2个．x 整体共有10个，因此概率为210＝15.8．0.2解析 从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿共有10(种)抽取方式，而抽取的两根竹竿长度恰好相差0.3 m 的情形是2.5和2.8,2.6和2.9两种，∴概率P ＝210＝0.2.9．解 (1)ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de.共10种不同结果．(2分)(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A ，那么事件A 包括的大体事件为ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共6个大体事件．因此P(A)＝610＝0.6.因此恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.(7分)(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B ，那么事件B 包括的大体事件为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共7个大体事件，因此P(B)＝710＝0.7.因此至少摸出1个黑球的概率为0.7.(12分)10．解 设“中三等奖”的事件为A ，“中奖”的事件为B ，从四个小球中有放回的取两个共有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)16种不同的方式．(2分)(1)两个小球号码相加上和等于3的取法有4种：(0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)．故P(A)＝416＝14.(6分) (2)由(1)知，两个小球号码相加上和等于3的取法有4种．两个小球号码相加上和等于4的取法有3种：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(8分)两个小球号码相加上和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)，P(B)＝416＋316＋216＝916.(12分) 11．解 由于实数对(a ，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．(3分)设“直线y ＝ax ＋b 不通过第四象限”为事件A ，“直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点”为事件B. (1)假设直线y ＝ax ＋b 不通过第四象限，那么必需知足⎩⎪⎨⎪⎧ a≥0，b≥0，即知足条件的实数对(a ，b)有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种．∴P(A)＝416＝14. 故直线y ＝ax ＋b 不通过第四象限的概率为14. (6分)(2)假设直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，那么必需知足|b|a 2＋1≤1，即b 2≤a 2＋1.(8分) 假设a ＝－2，那么b ＝－2，－1,1,2符合要求，现在实数对(a ，b)有4种不同取值；假设a ＝－1，那么b ＝－1,1符合要求，现在实数对(a ，b)有2种不同取值；假设a ＝1，那么b ＝－1,1符合要求，现在实数对(a ，b)有2种不同取值，假设a ＝2，那么b ＝－2，－1,1,2符合要求，现在实数对(a ，b)有4种不同取值．∴知足条件的实数对(a ，b)共有12种不同取值．∴P(B)＝1216＝34.故直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为34. (14分)。
高三数学一轮复习学案3.2 古典概型
3.2 古典概型考试要求1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率.基本概念1.基本事件：(1)定义：__________________________________________________________________________________________________________________________________ （2）特点：①______________________________________________________②___________________________________________________________2.等可能性事件：___________________________________________________________________________________________________________________________________如果某个事件A含有m个结果，则事件A发生的概率为P(A)=____________________3.古典概型（1）特点：①_____________________________________________________②_______________________________________________________(2)古典概型的概率公式P(A)=___________________________________________ 基础自测：1.从一副扑克牌(54张)中抽一张牌，抽到牌“K”的概率是 .2.将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是 .3.同时掷两枚骰子,所得点数之和为5的概率为；点数之和大于9的概率为 .4.一个口袋里装有2个白球和2个黑球,这4 个球除颜色外完全相同,从中摸出2个球,则1个是白球,1个是黑球的概率是 .例题解析：例1.盒中有5个大小相同的球，其中白球2个，红球3个，从中任取两个，（1）共有多少个基本事件？（2）取到的2个都是红球的概率；（3）取到的2个中白球、红球各一个的概率；（4）取到的2个中至少有一个白球的概率.例2.把一个体积为27的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1的小正方体，从中任取一块，计算：(1) 恰有3个面涂有颜色的概率？(2) 恰有2个面涂有颜色的概率 (3)至少有1个面涂有颜色的概率？例3.在装有相等数量的白球、黑球的口袋中放入1个白球，此时由这个口袋中取出1个白球的概率比原口袋中取出1个白球的概率大0.1，求原口袋中共装有多少个球？巩固练习1.先后抛3枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为 。
高三数学一轮复习精品教案2：古典概型教学设计
10.5.1 古典概型考纲传真1.理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． 有限性试验中所有可能出现的基本事件只有有限个等可能性每个基本事件出现的可能性相等3．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．1．(人教A 版教材习题改编)甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A.16 B.12 C.13D.23『解析』 甲、乙、丙三名同学站成一排，有6个基本事件，其中甲站在中间的基本事件有2个，故所求概率为P ＝26＝13.『答案』 C2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34『解析』 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有3种．故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13.『答案』 A3．三张卡片上分别写上字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．『解析』 三张卡片随机排成一行的基本事件有BEE ，EBE ，EEB ，共3个， 故所求概率为P ＝13.『答案』 134．(2013·徐州调研)从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．『解析』 从1，2，3，4中随机取两个数，不同的结果为{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共有6个基本事件．满足一个数是另一个数两倍的取法有{1，2}，{2，4}共两种，∴所求事件的概率P ＝26＝13.『答案』 135．(2012·浙江高考)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是________． 『解析』 如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，∵正方形的边长为1，∴两点距离为22的情况有(O ，A )，(O ，B )，(O ，C )，(O ，D )4种， 故P ＝4C 25＝25.『答案』 25简单古典概型的概率(2012·山东高考)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．『思路点拨』 依题意，所求事件的概率满足古典概型，分别求基本事件总数与所求事件所包含的基本事件个数m ，进而利用古典概型概率公式计算．『尝试解答』 (1)从5张卡片中任取两张，共有n ＝C 25＝10种方法，记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件A ，则A 包含基本事件m ＝C 12C 12－1＝3个，由古典概型概率公式，P (A )＝m n ＝310.(2)从6张卡片中任取两张，共有n ＝C 26＝15个基本事件，记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件B ，则事件B 包含基本事件总数m ＝C 11(C 12＋C 13)＋(C 12C 12－1)＝8，∴所求事件的概率P (B )＝m n ＝815.,1．有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．2．(1)用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率．『解』 (1)从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有n ＝C 13×C 13＝9种选法． 记“2名教师性别相同”为事件A ，则事件A 包含基本事件总数m ＝C 12·1＋C 12·1＝4，∴P (A )＝m n ＝49. (2)从报名的6人中任选2名，有n ＝C 26＝15种选法．记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B ，则事件B 包含基本事件总数m ＝2C 23＝6.∴选出2名教师来自同一学校的概率P (B )＝615＝25.复杂古典概型的概率为振兴旅游业，某省2012年“国庆、中秋黄金周”面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．『思路点拨』 首先求出省内、省外游客人数及持金卡、银卡人数，然后求出基本事件总数及所求事件包含的基本事件数，最后代入公式求解．『尝试解答』 (1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件A 为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，则P (A )＝C 16C 130C 236＝27，所以“采访该团2人，恰有1人持银卡”的概率是27.(2)设事件B 为“采访该团2人，持金卡人数与持银卡人数相等”．事件B 1“采访该团2人，持金卡的有0人，持银卡的有0人”；事件B 2“采访该团2人，持金卡的有1人，持银卡的有1人”．则事件B 1，B 2互斥，且B ＝B 1＋B 2，∵P (B 1)＝C 221C 236，P (B 2)＝C 19C 16C 236.∴P (B )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 221C 236＋C 19C 16C 236＝44105，所以采访2人中，持金卡与持银卡人数相等的概率是44105.,1．本题属于求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成互斥事件或对立事件的概率． 2．(1)在解决与互斥事件有关问题时，首先分清所求事件是哪些事件组成的，是否具备互斥的条件，一个事件是由几个互斥事件组成的，做到不重、不漏．(2)在求基本事件总数和所求事件包含基本事件的数目时，要保证计数的一致性，用排列时都按排列计数；用组合时，均用组合计数．本例中条件不变，在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率．『解』 由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件C 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件C 1为“采访该团3人中 ，1人持金卡，0人持银卡”， 事件C 2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．P (C )＝P (C 1)＋P (C 2)＝C 19C 221C 336＋C 19C 16C 121C 336＝934＋27170＝3685. 所以“在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”的概率是3685.古典概型与统计的综合应用(2013·徐州质检)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X 1 2 3 4 5 fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．『思路点拨』 对于第(1)问，由频率分布表可得出a 、b 、c 的关系a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，再根据等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件的条件分别得出b ，c 的值，从而求出a 的值．对于第(2)问，从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件结果等可能，为古典概型，利用公式就可求得结果．『尝试解答』(1)抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝220＝0.1.由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，∴a＝0.35－b－c＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能情况为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．又基本事件的总数为10，故所求的概率P(A)＝410＝0.4.,1．本题综合考查概率与统计的知识，数学应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想．2．(1)此类问题求解的关键是准确提炼数据信息，正确运算，注重思想方法的培养．(2)注重正反两方面的思维训练，提升自己的思维水平．(2012·天津高考)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．『解』(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有等可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种，所以P (B )＝315＝15.一条规律从集合的角度看概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝card （A ）card （I ）＝m n. 两种方法1.列举法：适用于较简单的试验．2．树状图法：适用于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x ，y )若看成是有序的，则(1，2)与(2，1)不同；{x ，y }若看成无序的，则{1，2}与{2，1}相同．从近两年的高考试题来看，古典概型是高考的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计等知识渗透综合考查，但题目一般不超过中等难度，以考查基本概念和基本运算为主，求解的关键在于正确计算随机试验不同的结果及事件A 包含的基本事件数．易错辨析之十八 古典概型的基本事件计算不准致误(2013·成都模拟)在集合{1，2，3，4，5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量α＝(a ，b )，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形(记所有作成的平行四边形的个数为n )，若平行四边形的面积等于2，记为事件A ，则P (A )等于( )A.215B.15C.415D.110『错解』 ∵以原点为起点的向量α＝(a ，b )有(2，1)、(2，3)、(2，5)、(4，1)、(4，3)、(4，5)共6个．从中任取两个为邻边作平行四边形， 则n ＝6×52＝15个．其中由(2，1)与(4，1)，(2，1)与(4，3)确定的平行四边形面积为2， 因此事件A 含有基本事件数m ＝2. 根据古典概型，P (A )＝m n ＝215.『答案』 A错因分析：(1)没能结合图形确定面积为2的平行四边形的个数，遗漏(2，3)与(4，5)导致结果错误．(2)本题还易出现错误地认为是n ＝6×5＝30，错将取两个向量作平行四边形看成是有顺序的，导致错选D.防范措施：(1)准确理解题意，正确确定事件类型．(2)计算基本事件总数时，可画出几何图、树形图，利用枚举法、列表法、坐标网格法是克服此类错误的有效手段．『正解』 以原点为起点的向量α＝(a ，b )有(2，1)、(2，3)、(2，5)、(4，1)、(4，3)、(4，5)共6个．从中任取两个为邻边作平行四边形， 则n ＝6×52＝15个．如图所示，结合图形进行计算，其中由(2，1)与(4，1)，(2，1)与(4，3)，(2，3)与(4，5)确定的平行四边形面积为2.∴面积为2的平行四边形的个数m ＝3.根据古典概型，P (A )＝m n ＝315＝15.『答案』 B1．(2012·广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19『解析』 依题设，个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.『答案』 D2．(2013·南京调研)为预防H 1N 1病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2 000个流感样本分成三组，测试结果如下表：分组 A 组 B 组 C 组 疫苗有效 673 a b 疫苗无效7790c已知在全体样本中随机抽取1个，抽取B 组疫苗有效的概率是0.33.(1)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取样本多少个？(2)已知b ≥465，c ≥30，求通过测试的概率． 『解』 (1)∵a2 000＝0.33，∴a ＝660，∴b ＋c ＝2 000－673－77－660－90＝500， ∴应在C 组抽取样本个数是360×5002 000＝90(个)．(2)∵b ＋c ＝500，b ≥465，c ≥30，∴(b ，c )的可能性是(465，35)，(466，34)，(467，33)，(468，32)，(469，31)，(470，30)．若测试没有通过，则77＋90＋c ＞2000×(1－90%)＝200，c ＞33，(b ，c )的可能性是(465，35)，(466，34)．记“疫苗通过测试”为事件A ，∵P (A )＝26＝13，∴疫苗通过测试的概率为P (A )＝1－P (A )＝23.。
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12.2古典概型考情分析1．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．2．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主． 基础知识1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 3．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.注意事项1.从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝A I ＝mn. 2. (1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．题型一 基本事件数的探求【例1】做抛掷两颗骰子的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和大于10”． 解 (1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)(4, 1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)(2)事件“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件(3,6)，(4,5)，(4,6)(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(3)事件“出现点数相等”包含以下6个基本事件(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．(4)事件“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件(5,6)，(6,5)，(6,6)．【变式1】用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“3个矩形颜色都相同”；(3)事件“3个矩形颜色都不同”．解(1)所有可能的基本事件共27个．(2)由图可知，事件“3个矩形都涂同一颜色”包含以下3个基本事件：红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝．(3)由图可知，事件“3个矩形颜色都不同”包含以下6个基本事件：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．题型二古典概型【例2】现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有C13C13C12＝18个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件， 事件M 由C 13C 12＝6， 因而P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N 包含(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)3个结果，事件N 有3个基本事件组成，所以P (N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得 P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.【变式2】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )． A.13 B.12 C.23 D.34解析 甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9(种)情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况．∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P ＝39＝13.答案 A题型三 古典概型的综合应用【例3】在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第66(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90， 这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.【变式3】 一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：类轿车10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个． 事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个． 故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.重难点突破【例4】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任取2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解析 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种，从中选出2名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，选出的2名教师性别相同的概率为P ＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出2名教师来自同一学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种， 选出的2名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25.巩固提高1．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件．那么( )A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析：由互斥、对立事件的含义知选B 答案：B2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8解析：因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.答案：B3．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115B.35C.815D.1415解析： 记4听合格的饮料分别为A 1、A 2、A 3、A 4,2听不合格的饮料分别为B 1、B 2，则从中随机抽取2听有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9种，故所求概率为P ＝915＝35.答案：B4．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )A.16 B.15 C.13D.25解析：由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为55＋4＋3＋2＋1＝13.答案：C5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是( )A.16 B.13 C.12D.34解析：要使△ABC有两个解，需满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b sin A ，b ＞a因为A ＝30°，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＜2a ，b ＞a 满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b ＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16.答案：A。