2018年高三数学(文)一轮复习课件 等差数列及其前n项和
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：6.2 等差数列及其前n项和(专题拔高配套PPT课件)
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3.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( A.100 B.99 C.98 D.97
)
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设等差数列{an }的公差为 d, 则由题意得 9×8 9������1 + 2 ������ = 27, ������ = -1, 解得 1 ������ = 1, ������1 + 9������ = 8, 故 C a100 =a1 +99d=-1+99=98.
解析
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答案
第六章
知识梳理 双击自测
6.2 等差数列及其前n项和
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
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4.(教材改编)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8= .
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由等差数列的性质,得 a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180. 180
=88.
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B
解析 答案
第六章
知识梳理 双击自测
6.2 等差数列及其前n项和
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2.(2017浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则 “d>0”是“S4+S6>2S5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2
第六章
知识梳理 双击自测
6.2 等差数列及其前n项和
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3.等差数列及其前n项和的性质 (1)若{an}为等差数列,m+n=p+q,则am+an=ap+aq (m,n,p,q∈N*). 特别地,当m+n=2p,则am+an=2ap . (2)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是等差 数列. (3)若Sn是等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也 是等差 数列. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差 数列.
2018届高三数学文一轮复习课件：5-2 等差数列及其前n项和 精品
解析：(1)方法一：设等差数列{an}的公差为 d，则aa11＋ ＋a31d＋＝47d，＝10， 即 2aa1＋1＋34d＝d＝71，0，
解得 d＝2。 方法二：由等差中项的性质知，a3＝a1＋2 a5＝5， 又∵a4＝7，∴公差 d＝a4－a3＝7－5＝2。
解析：(2)由等差数列前 n 项和公式知 S8＝8a12＋a8＝4(a1＋a8)＝4(a7＋a2)， 又 S8＝4a3， ∴4(a7＋a2)＝4a3。 ∴－2＋a2＝a3。 ∴公差 d＝－2。 ∴a9＝a7＋2d＝－6。
(3)关于等差数列奇数项与偶数项的性质：
①若项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝
nd ，S奇＝ an 。 S偶 an＋1
n
②若项数为 2n－1，则 S 偶＝(n－1)an，S 奇＝n
an，S 奇－S 偶＝an
，S奇＝ S偶
n－1
。
S2n－1
(4)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和 Sn，Tn 之间的关系为abnn＝ T2n－1 。
微考点
等差数列的判定与证明
【典例 2】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1 ＝12。
(1)求证：{S1n}是等差数列； 解析：(1)证明：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 又 an＝－2Sn·Sn－1， ∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0， ∴S1n－Sn1－1＝2(n≥2)。 由等差数列的定义知{S1n}是以S11＝a11＝2 为首项，以 2 为公差的等差数列。
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由。 解析：(2)由(1)知，bn＝n－72， 则 an＝1＋b1n＝1＋2n2－7， 设函数 f(x)＝1＋2x2－7，
2018高考数学(理)大一轮复习课件：第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和
解析： 设等差数列 {an} 的首项为 a1 ，公差为 d ，依题意有 4 2 a ＋ d ＝ 3 a ＋ 9 d ， 1 a1＝3， 1 解得 5 1 2a1＋d＝2， d＝－6， 答案：D 4 即甲得3钱，故选 D.
2.[考点一]设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝1，公差 d ＝2，Sn＋2－Sn＝36，则 n＝ A． 5 C． 7 B． 6 D． 8 ( )
第二节 等差数列及其 前n项和
本节主要包括 3 个知识点： 1.等差数列的性质及基本量的计算； 2.等差数列前 n 项和及性质的应用； 3.等差数列的判定与证明.
突破点(一)
基础联通
等差数列的性质及基本量的计算
抓主干知识的“源”与“流”
1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从 第 2 项 起，每一项与它的前 一项的 差 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数 列．符号表示为 an＋1－an＝d (n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是 a＋b A＝ 2 __________，其中A叫做a，b的 等差中项 ．
2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ a1＋(n－1)d .
na1＋an nn－1 na1＋ 2 d 2 (2)前n项和公式：Sn＝_______________＝__________.
3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈ N*)，则ak＋al＝ am＋an . (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列， 公差为 2d .
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
高考数学一轮复习第四章第二讲等差数列及其前n项和课件
考向 2 等差数列前 n 项和的性质
[例 3](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，
则 S15 等于( )
A.35
B.42
C.49
D.63
解析：由题意知，S5，S10－S5，S15－S10 成等差数列，即 7， 14，S15－21 成等差数列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42.故选 B.
答案：C
2.(2023 年全国甲卷文科)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若
a2＋a6＝10，a4a8＝45，则 S5＝( )
A.25
B.22
C.20
D.15
解析：等差数列{an}中，a2＋a6＝2a4＝10， 所以 a4＝5.所以 a4a8＝5a8＝45，故 a8＝9，则 d＝a88－－4a4＝1， 所以 a1＝a4－3d＝5－3＝2，则 S5＝5a1＋5×2 4d＝10＋10＝20. 故选 C.
2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式 是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*). 3.等差中项
如果 A＝a＋2 b，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
4.等差数列的前 n 项和公式
设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝n(a12＋an)或 Sn＝na1＋n(n2－1)d(n∈N*).
适合题型
解答题中 证明问题
选择、填 空题中的 判定问题
【变式训练】 (2022 年全国甲卷文科)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知2nSn＋
n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若 a4，a7，a9 成等比数列，求 Sn 的最小值.
(1)证明：由已知得2Sn＋n2＝2nan＋n，①
2018年高三数学(文)一轮复习课件 数列求和
1 1 1 1 = ������(������+������) ������ ������ ������+������ 1 1 ; 2������-1 2������+1 1 1 ; ������(������+1) (������+1)(������+2)
;
− ������).
第六章
知识梳理 双基自测 自测点评
������ -1 ������-1 ������+1
(5)已知等差数列{an}的公差为 d,则有������ ������ = ������ ������ - ������ . ������ ������+1 ������ ������+1
) (1)(× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)√
6.4
数列求和
知识梳理 核心考点
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1
2
3
3.常用求和公式 (1)1+2+3+4+…+n=
������(������+1) ; 2
(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2;
������(������+1)(2������+1) 2 2 2 2 (3)1 +2 +3 +…+n = ; 6 ������(������+1) 2 . 2
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2(1-2������ ) ������(1+2������-1) n+1 Sn= + =2 -2+n2. 2 1-2
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C
解析
答案
第六章
知识梳理 双基自测 自测点评
2018年高考数学一轮复习： 等差数列及其前n项和(讲)
等差数列及其前n 项和【知识清单】一．等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA +=. a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 对点练习：【2017届浙江省温州市二模】在等差数列中，若，则_______.【答案】二、等差数列的前n 项和等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 对点练习：【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14k S -=，9k S =，则k a =__________， 1a 的最大值为__________．【答案】 5 4.【解析】15k k k a S S -=-=，因为()1592k k a S +==，又k 的最小值为2，可知1a 的最大值为4.三、等差数列的相关性质 1.等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，2m p q=+时，则2m p q a a a =+，m a 是p q a a 、的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等差数列. （6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①-S S nd =奇偶； ②1n n S a S a +=奇偶；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S S -偶奇n a a ==中(中间项)；②1S nS n =-奇偶. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若{}n a 与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 6．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值． 对点练习：1.在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则753a a += （ ） A ．10 B ．18 C ．20 D ．28 【答案】C2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（ ） A ．6S B ．7S C ．8S D ．15S 【答案】B【解析】由95S S =,得()67897820a a a a a a +++=+=,由01>a 知,0,087<>a a ,所以7S 最大，故B 正确.【考点深度剖析】等差数列的性质、通项公式和前n 项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．【重点难点突破】考点1 等差数列的定义、通项公式、基本运算【1-1】【2017全国卷1（理）】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，68S =，则{}n a 的公 差为（ ）. A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【1-2】【2017全国卷2（理））】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 【答案】21nn + 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．则3123a a d =+=，414610S a d =+=，求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=，()()112222122311nk kS n n n n ==++++⨯⨯-+∑11111112122311n n n n ⎛⎫=-+-++-+-= ⎪-+⎝⎭122111n n n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭. 【1-3】【2017届天津市耀华中学二模】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且2142S=，若记2119132a a a n b --=，则数列{}n b （ ）A. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列又不是等比数列 【答案】C【领悟技法】1．等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(5){}n a 是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 2．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用123,,a a a 验证即可． 5.等差数列的前n 项和公式 若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 【触类旁通】【变式一】【2018届甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三一调】在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ） A.尺 B. 尺 C.尺 D.尺【答案】C【变式二】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列{}n a 满足1111,021n n n a a a a ++=+=-.（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1122,1n nn n b a b b a +==+，求{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）()12326n n S n +=-⋅+【解析】试题分析：（1）先依据题设条件将11021n n n a a a +++=-变形为1112n na a +-=，进而借助等差数列的定义证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）借助（1）的结论可求得()112121n n n a =+-=-,进而依据112n n n n b a b a ++=⋅求得1222n n n n a b -=⨯= 从而求得()212nn b n =-⋅，然后与运用错位相减法求得()12326n n S n +=-⋅+：解：（Ⅰ）若10n a +=，则0n a =，这与11a =矛盾， ∴10n a +≠，由已知得1120n n n n a a a a ++-+=， ∴1112n na a +-=， 故数列{}n a 是以111a =为首项，2为公差的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1112121n n a =+-=-， 由112n n n n b ab a ++=⋅可知112n n n n a b a b ++=.又112a b = ∴1222n n n n a b -=⨯= ∴()212nn b n =-⋅， ∴()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅， 则()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，∴()()231122222222123226n n n n S n n ++-=+⋅+⋅++⋅--⋅=-⋅-，∴()12326n n S n +=-⋅+考点2 等差数列的性质【2-1】【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）】数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+()2n ≥，且1359a a a ++=， 24612a a a ++=，则345a a a ++=（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【2-2】【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】在数列{}n a 中， 28a =， 52a =，且122n n n a a a ++-=（*n N ∈），则1210a a a +++的值是（ ）A. -10B. 10C. 50D. 70 【答案】C【解析】由122n n n a a a ++-=得122n n n a a a ++=+，即数列{}n a 是等差数列，由2582a a ==，，可得1102a d ==-，，，所以212n a n =-+，，当1n 6≤≤时， 0n a ≥，当7n ≥时， 0n a <，所以1210610250a a a S S +++=-=，选C ．【2-3】 【2017届宁夏石嘴山市第三中学高三三模】已知函数()f x 在()1,-+∞上单调,且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()5051f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A. 200-B. 100-C. 0D. 50- 【答案】B【领悟技法】1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略. 【触类旁通】【变式一】【2017届湖南省衡阳市高三下第二次联考】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()355134a a -+=， ()388132a a -+=，则下列选项正确的是（ ）A. 1212S =， 58a a >B. 1224S =， 58a a >C. 1212S =， 58a a <D. 1224S =， 58a a < 【答案】A【解析】由()355134a a -+=， ()388132a a -+=可得：()()33558813(1)1,13(1)1a a a a -+-=-+-=-，构造函数3()f x x x =+，显然函数是奇函数且为增函数，所以5858(1)11(1)11f a f a a a -=>-=-⇒->-， 58a a >，又58(1)(1)0f a f a -+-=所以58(1)(1)a a -=--所以582a a +=，故112125812()6()122a a S a a +==+=【变式二】【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列{}{},n n a b 满足1211,2,1a a b ===-，且对任意的正整数m,n,p,q ，当m n p q +=+时，都有m n p q a b a b -=-，则()2018112018i i i a b =∑-的值是__________． 【答案】2019【解析】由题意可得2112a b a b -=-， 22b =-， 3122,a b a b -=-得33a =，又11n n n n a b a b ++-=-，11110n n n n a b a b a b +++=+==+=，即,2n n n n n a b a b a =--=，原式可化为当m+n=p+q 时m n p q a a a a +=+，即{}n a 为等差列， n a n =，()2018112018i i i a b =∑-=()20181122018i i a =∑=2019，填2019. 考点3 等差数列的前n 项和公式的综合应用【3-1】【2017届陕西省黄陵中学高三（重点班）模拟一】若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( )A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】C【3-2】【2017届浙江嘉兴市高三上基础测试】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知316a =，610a =，则公差d = ；n S 为最大值时的n = ． 【答案】2d =- 10n =或11【解析】63(63),10163,2a a d d d =+-∴=+∴=-，因为31(31)a a d =+-，1162(2)a ∴=+⨯-，120a ∴=，221n S n n ∴=-+，当212(1)n =-⨯-，由n ∈Z 得10n =或11时，n S 为最大值．【3-3】【2017届安徽省池州市东至县高三12月联考】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >，其中正确命题的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B【领悟技法】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 【触类旁通】【变式一】【2017浙江卷6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【变式二】【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设等差数列{}n a 满足3736a a +=，46275a a =，且1n n a a +有最小值，则这个最小值为__________．【答案】-12【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且3736a a +=，所以4636a a +=，4646275,,a a a a =∴是一元二次方程2362750t t -+=的二根，由2362750t t -+=得()()25110t t --=， 125t ∴=或211t =，当4625,11a a ==时， 6411257642a a d --===--， ()44753n a a n d n ∴=+-=-+，当10,0n n a a +><时， 1n n a a +取得最小值，由()7530{ 71530n n -+>-++<解得465377n <<， 7n ∴=时， 1n n a a +取得最小值，此时()781min 4,3,12n n a a a a +==-=-，当4611,25a a ==时， 6425117642a a d --===-， ()44717n a a n d n ∴=+-=-，当10,0n n a a +时， 1n n a a +取得最小值，由()7170{ 71170n n -<+->解得101777n <<， 2n ∴=时， 1n n a a +取得最小值，此时()231min 3,4,12n n a a a a +=-==-， 故答案为12-. 【易错试题常警惕】易错典例：在等差数列{}n a 中，已知a 1＝20，前n 项和为n S ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，n S 有最大值，并求出它的最大值．【错解一】 设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142 d.得d ＝－53，a n ＝20－(n －1)·53. 当a n ＞0时，20－(n －1)·53＞0，∴n＜13.∴n＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.【错解二】 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53，令⎩⎪⎨⎪⎧20＋（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＞0， ①20＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53≤0， ② 由①得n ＜13，由②得n≥12，∴n＝12时，S n 有最大值S 12＝130.易错分析： 错解一中仅解不等式a n ＞0不能保证S n 最大，也可能a n ＋1＞0，应有a n ≥0且a n ＋1≤0. 错解二中仅解a n ＋1≤0也不能保证S n 最大，也可能a n ≤0，应保证a n ≥0才行．正确解析： 解法一：∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142 d.∴d＝－53. ∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0.即当n≤12时，a n ＞0，n≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 解法二：同解法一，求得d ＝－53，∴S n ＝20n ＋n （n －1）2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 解法三：同解法一，求得d ＝－53，又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∴5a 13＝0，即a 13＝0.又a 1＞0，∴a 1，a 2，…，a 12均为正数．而a 14及以后各项均为负数，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.温馨提醒：1.解决等差数列前n 项和最值问题时一般利用通项不等式组法，即①当a 1＞0，d ＜0时，S n 最大⇔100n n a a +≥⎧⎨≤⎩；②当a 1＜0，d ＞0时，S n 最小⇔100n n a a +≤⎧⎨≥⎩.2.在关于正整数n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．3.等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．【学科素养提升之思想方法篇】----函数思想在数列求最值问题中的应用数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题1．等差数列的前n 项和与函数的关系等差数列的前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，则S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题．2．等差数列前n 项和的最值(1)若等差数列的首项a 1>0，公差d <0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n 项和有最大值，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0. (2)若等差数列的首项a 1<0，公差d >0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n 项和有最小值，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0.3．求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．【典例】【2018届吉林省吉林市五十五中开学考试】已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求{}n a 前n 项和n S 的最大值．【答案】（1）25n a n =-+；（2）n S 的最大值为4.【解析】方得()224n S n =--+，根据二次函数图象及性质可知，当2n =时，前n 项和取得最大值，最大值为4.等差数列前n 项和22n S An Bn =+，因此可以看出二次函数或一次函数（0d =时）来求最值，考查数列与函数.试题解析：（1）525125252a a d ---===---， 所以()()()2212225n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+；（2）13a =，()()213242n n n S n n n -=+⨯-=-+ 当2n =时，前n 项和取得最大值，最大值为4。
高考数学(文科)大一轮精准复习课件：§6.2 等差数列及其前n项和
∴ + = = = = =1.
答案 1
考点三
考向基础
1.等差数列的前n 项和公式
等差数列的前n 项和
设等差数列{an}的公差为d ,则其前n 项和Sn=
2.等差数列的前n 项和公式与函数的关系
最 小值. 4.与等差数列各项的和有关的性质
(1)若{an}是等差数列,则 也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,
公差是{an}公差的.
(2)Sm ,S2m ,S3m 分别为等差数列{an}的前m 项,前2 m 项,前3 m 项的和,则Sm ,S2m
-
Sm ,S3m -S2m 成等差数列.
(3)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质
考向突破 考向 等差数列基本量的计算
例1 (2017湖南娄底二模,4)已知数列{an}是首项为1,公差为d (d ∈N *)的
等差数列,若81 是该数列中的一项,则公差不可能是 ( ) A.2 B. 3 C. 4 D.5
解析 ∵数列{an}是首项为1,公差为d (d ∈N *)的等差数列, ∴an=1+( n -1)d .
考点清单
考点一 等差数列的定义及通项公式
考向基础 1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数,那 么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常
用字母d 表示.
2.等差中项
如果A = ,那么A 叫做a与b 的等差中项.
3.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d ,那么它的通项公式是an= a1+( n 1)d .
2018届高三数学文一轮复习课件：5-2 等差数列及其前n
(3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的。( √)
解析：正确。当 d＞0 时为递增数列；d＝0 时为常数列；d＜0 时为递减 数列。 (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数。 ( ×) 解析： 错误。 根据等差数列的通项公式， an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)， 只有当 d≠0 时，等差数列的通项公式才是 n 的一次函数，否则不是。
第五章 数 列
第二节
等差数列及其前n项和
微知识
微考点 微考场
小题练
大课堂 新提升
微知识
小题练
教材回扣 基础自测
一、知识清单 微知识❶ 等差数列的定义 如果一个数列从第 二 项起， 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 ， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差，通常用字母
d 表示。
(5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数。(×)
nn－1 d 解析：错误。根据等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na1＋ 2 d＝2n2
d ＋a1－2n，显然只有公差 d≠0 时才是关于 n 的常数项为 0 的二次函数，
否则不是(甚至也不是 n 的一次函数，即 a1＝d＝0 时)。
解析：由 an＋1＝an＋2 知{an}为等差数列其公差为 2。 故 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1。 答案：2n－1
微考点
大课堂
考点例析 对点微练
微考点
等差数列的基本运算
【典例 1】 (1)等差数列{an}中， a1＋a5＝10， a4＝7， 则数列{an}的公差为( B ) A．1 C．3 A．－6 C．－2 ＝( C ) A．3 B．4 C．5 D．6
2018-2019年高三一轮：5.2《等差数列及其前n项和》课件
(2)Sm，S2m，S3m 分别为{an}的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，Sm，S2m－Sm，
□ S3m－S2m 成 17 _等__差___数列。
(3)关于等差数列奇数项与偶数项的性质：
□ □ ①若项数为
2n，则
S
偶－S
奇＝
18
___n_d______，SS奇偶＝
4．等差数列的常用性质
□ (1)通项公式的推广：an＝am＋ 7 __(_n_－__m_)_d_____，(n，m∈N*)。
□ (2) 若 {an} 为 等 差 数 列 ， 且 k ＋ l ＝ m ＋ n ， (k ， l ， m ， n ∈ N*) ， 则 8
______a_k_＋__a_l＝__a_m_＋__a_n______。
□ 在等差数列{an}中，若 a1＞0，d＜0，则 Sn 存在最 14 __大____值；若 a1＜0，d＞0，
□ 则 Sn 存在最 15 __小____值。
8．等差数列与等差数列各项的和有关的性质 (1)若{an}是等差数列，则{Snn}也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}
□1
□ (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 9 _2_d____。
□ (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}是 10 _等__差__数__列_____。
□ (5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 11
答案：C
2．在等差数列{an}中，a2＋a6＝32π，则 sin2a4－π3＝(
)
3
1
A. 2
2018高考一轮数学(课件)第5章 第2节 等差数列及其前n项和
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第十六页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
[变式训练 2] (1)若{an}是公差为 1 的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是( ) A．公差为 3 的等差数列 B．公差为 4 的等差数列 C．公差为 6 的等差数列 D．公差为 9 的等差数列
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＋an＋2.(
)
(3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．( )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
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第四页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝6，a3＝0，则公差 d 等于( )
法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这 9 个数均相同， 显然满足题意，所以有 63÷9＝7，即 a52＝7，故选 C.]
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第二十一页，编辑于星期六：二十二点 三十三 分。
高三一轮总复习 (2)法一：由 S3＝S11，可得 3a1＋3×2 2d＝11a1＋11×2 10d，4 分
a12＝a1＋11d＝－8， 由已知，得S9＝9a1＋9d× 2 8＝－9，
解得da＝1＝－3，1.
∴S16＝16×3＋16×2 15×(－1)＝－72.]
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第十三页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
等差数列的判定与证明
已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－an1－1(n≥2，n∈N*)，数列
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(4)等差数列的前 n 项和公式:Sn=
������(������1 +������������ ) ������(������-1) =na d. 1+ 2 2
第六章
知识梳理 双基自测 自测点评
6.2
等差数列及其前n项和
知识梳理 核心考点 学科素养
-3-
1
2
3
4
2.等差数列及其前n项和的性质 am+an=ap+aq (1)若m+n=p+q,则 (m,n,p,q∈N*);m+n=2p,则 am+an=2ap(m,n,p∈N*). (2)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差 为 md 的等差数列. (3)若{an},{bn}是等差数列,p,q∈R,则{pan+qbn}也是等差数列. (4)设Sn是等差数列{an}的前n项和,则数列 Sm,������2 ������ -Sm,S3m-������2 ������ ,… 也是 等差 数列. (5)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数,则 S 偶-S 奇=������������ ;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
A
21(������1 +������21 ) S21= =21a11=42. 2
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解析
答案
第六章
知识梳理 双基自测 自测点评
6.2
等差数列及其前n项和
知识梳理 核心考点 学科素养
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4.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则 S6= .
关闭
∵{an}是等差数列,∴a3+a5=2a4=0.∴a4=0.
解析
关闭
答案
第六章
知识梳理 双基自测 自测点评
6.2
等差数列及其前n项和
知识梳理 核心考点 学科素养
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3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a10+a11+a12=6,则S21=( A.42 B.21 C.23 D.44
)
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由 a10+a11+a12=6,得 3a11=6,解得 a11=2. 故
16 则在 100 以内有 16 个能被 6 整除的数.
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等差数列及其前n项和
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1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的 三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常 数”. 2.等差数列与函数的区别:当公差d≠0时,等差数列的通项公式是n 的一次函数;当公差d=0时,an为常数. 3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数 项为0. 4.等差数列的前n项和公式有两种表达形式,要根据题目给出的 条件判断使用哪一种表达形式.
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1.等差数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从 第2项 起,每一项与它的前 同一个常数 一项的 差 等于 ,那么这个数列就叫做等 公差 ,公差通常用字母d表 差数列,这个常数叫做等差数列的 示.数学语言表示为 an+1-an=d (n∈N*),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件 ������+������ A= 是 ,其中A叫做a,b的 等差中项 . 2 a1+(n-1)d (3)等差数列的通项公式:an= ,可推广为 am+(n-m)d an= .
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∴a4-a1=3d=-6.∴d=-2.∴S6=6a1+15d=6×6+15×(-2)=6. 6
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5.(教材例题改编P16例7)在100以内的正整数中有 能被6整除的数.
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由题意知,能被 6 整除的数构成一个等差数列{an}, 则 a1=6,d=6,得 an=6+(n-1)6=6n. 由 an=6n≤100,即 n≤163,
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3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的 一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列. ������ 2 ������ (2) Sn= n + ������1 - n. 当d≠0时,它是关于n的二次函数.数列{an}是 2 2 等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
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2.(2016河南商丘三模)在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0,若 ak=a1+a2+a3+…+a7,则k=( ) A.22 B.23 C.24 D.25
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∵数列{an}为等差数列且首项a1=0,公差d≠0, ∴ak=(k-1)d. 又ak=a1+a2+a3+…+a7=21d.∴(k-1)d=21d. ∴ A k=22,故选A.
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4.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最 大 则Sn存在最 小 值.
值;若a1<0,d>0,
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则 这个数列是等差数列. ( ) (2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列 {an}一定是等差数列. ( ) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. ( ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有 2an+1=an+an+2. ( ) (5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. ( ) 关闭 (6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. ( ) (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×