变化率问题

变化率问题
学习目标 1.理解平均变化率的概念;
2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率.
学习重点： 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.
学习难点：
平均变化率的概念.
学习过程
一：问题提出
问题1气球膨胀率问题：
气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________.
如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________.
⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了___________.
气球的平均膨胀率为___________.
⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________.
气球的平均膨胀率为___________.
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? ___________.
问题2 高台跳水问题： 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的
时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时
间t （单位：s ）存在函数关系___________.
）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度. 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v
在5.00≤≤t 这段时间里，___________.；
在21≤≤t 这段时间里，___________.
探究：计算运动员在49
650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49
65(h h =， 所以___________.虽然运动员在49
650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
h t o
(1）计算和思考
（2）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；
二平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子
1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率
2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)
3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆x
f x y ___________. 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f 1
212)()(x x x f x f --表示什么? （1） 一起讨论、分析，得出结果；
（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量
Δx=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)；③求平均变化率2121
()()f x f x f x x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；
②x 2= x 1+Δx ；
③Δf=Δy=y 2-y 1；
三．典例分析
例1．已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x
y ． 解： 例2．求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

解：
四．有效训练
1．质点运动规律为32
+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1
时割线的斜率.
反思总结：1、平均变化率的概念
当堂检测
1、函数()2x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是（ ）
A 、4
B 、2
C 、41
D 、4
3 2、经过函数22x y -=图象上两点A 、B 的直线的斜率（1,5.1==B A x x ）为_______;函数22x y =在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________
3、如果质点M 按规律23t s +=运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______。