切平面和法线

解
则
设
F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 14
Fx 2 x, Fy 2 y, Fz 2z Fx (1,2,3) 2, Fy (1,2,3) 4, Fz (1,2,3) 6
所以在点 (1, 2, 3) 处 球面的切平面方程为
2( x 1) 4( y 2) 6( z 3) 0
在上式两端对 t 求导，得
(Fx ) x(t ) (Fy ) y(t ) (Fz )z(t ) 0
§5. 曲面的切平面与法线
n
M
T
曲线在M0的切向量为 x ' t0 , y ' t0 , z ' t0 , 法向量为 Fx

x0 , y0 , z0 , Fy x0 , y0 , z0 , Fz x0 , y0 , z0
F ( x, y, z ) f ( x, y ) z 0
于是曲面在 ( x0 , y0 , z0 ) （这里z0 f ( x0 , y0 ) ）点的切平面 方程为
f x( x0 , y0 )( X x0 ) f y( x0 , y0 )(Y y0 ) ( Z z0 ) 0
§5. 曲面的切平面与法线 证明
2 x,
球面 F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 2 0 的法线方向数为
2 y, 2z
即
x,
y, z
锥面 G( x, y, z ) x 2 y 2 tg2 z 2 0 的法线方向数为
x,
F ( x, y, z ) 0
则该曲面在 M 0 点的切平面方程为
(Fx )M0 ( X x0 ) (Fy )M0 (Y y0 ) (Fz )M0 ( Z z0 ) 0
过 M 0 点的法线方程为
X x0 Y y0 Z z0 ( Fx )M0 ( Fy )M0 ( Fz )M0
§5. 曲面的切平面与法线
§5. 曲面的切平面与法线
§5. 曲面的切平面与法线
§5. 曲面的切平面与法线
( Fy ) M 0
2 2 ( Fx )2 ( F ) ( F ) M0 y M0 z M0
( Fz ) M0
2 2 ( Fx )2 ( F ) ( F ) M0 y M0 z M0
§5. 曲面的切平面与法线
若曲面方程为
z f ( x, y )
容易把它化成刚才讨论过的情形：
2( x 1) 4( y 1) 6( z 1) 0,

法线方程为
x 2 y 3z 0,
x 1 y 1 z 1 . 2 4 6
§5. 曲面的切平面与法线
例 4 求曲面 z e 2 xy 3 在点 (1,2,0) 处的切
z
平面及法线方程. z 解 令 F ( x, y, z ) z e 2 xy 3,
法 向 量n {2 x0 ,4 y0 ,2 z0 }

切平面方程为
2 x0 ( x x0 ) 4 y0 ( y y0 ) 2z0 ( z z0 ) 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 2 z 0 , 1 1 2
2 x0 4 y0 z0 .
§5. 曲面的切平面与法线 在 M 0 点（设 M 0 点对应于参数 t t0 ）有
(Fx )M0 x(t0 ) (Fy )M0 y(t0 ) (Fz )M0 z(t0 ) 0
上式说明法向量n (( Fx ) M0 ,( Fy ) M0 ,( Fz ) M0 )与切向量
x ' t , y ' t , z ' t 正交。
§5. 曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F ( x, y, z ) 0
过曲面上点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 任作一条在曲面上的曲线 l ， 设其方程为
x x(t ),
显然有
y y(t ), z z(t )
F ( x(t ), y(t ), z(t )) 0
n
M
T
Fx (1, 2, 0 ) 2 பைடு நூலகம் (1, 2, 0 ) 4, Fy (1, 2 , 0 ) 2 x (1, 2 , 0 ) 2,
Fz (1, 2 , 0 ) 1 e z (1, 2 , 0 ) 0,
切平面方程 4( x 1) 2( y 2) 0 ( z 0) 0,
X x0 Y y0 Z z0 D( y , z ) D( z , x ) D( x , y ) D ( u, v ) M D ( u, v ) M D ( u, v ) M
0 0
0
§5. 曲面的切平面与法线 例 1 求球面 x 2 y 2 z 2 14 在点 (1, 2, 3) 的切平面 及法线方程.
§5. 曲面的切平面与法线
因为 ( x0 , y0 , z0 )是曲面上的切点， 2 , 满足方程 x0 11
所求切点为 切平面方程
2 1 8 11 , 22 , 11 ,
11 x y 2z 2
§5. 曲面的切平面与法线
§5. 曲面的切平面与法线
z z x z y u x u y u z z x z y v x v y v
解方程组，得
z D( y, z ) D(u, v ) x D( x , y ) z D( z , x ) , D(u, v ) y D(u, v ) D( x , y ) D(u, v )
法线方程为
X x0 Y y0 Z z0 f x ( x0 , y0 ) f y( x0 , y0 ) 1
§5. 曲面的切平面与法线 若曲面方程为参数形式：
x x(u, v ), y y(u, v ), z z(u, v )
如果由方程组 x x(u, v ), y y(u, v ) 可以确定两个函数： u u( x, y ), v v( x, y )
§5. 曲面的切平面与法线
例3
求 椭球面 x 2 y 3z 6
2 2 2
在点 (1,1,1) 处的切平面及法线方程 .
解
F ( x, y, z ) x 2 2 y 2 3z 2 6,
n (1,1,1) {2 x, 4 y, 6 z} (1,1,1)
切平面方程为
{2,4,6},
§5. 曲面的切平面与法线
设 , , 分别为曲面在 M 0 点的法线与 x , y , z 轴正向之 间的夹角，那末在 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 点的法线方向余弦为
cos cos cos ( Fx ) M0
2 2 ( Fx )2 ( F ) ( F ) M0 y M0 z M0
§5. 曲面的切平面与法线 于是曲面在 M 0 点的切平面方程为
D( y , z ) D( z , x ) D( x , y ) ( X x0 ) (Y y0 ) ( Z z0 ) 0 D ( u, v ) M D( u, v ) M D( u, v ) M
0 0 0
法线方程
2 x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0 . 2 1 0
§5. 曲面的切平面与法线
例5 求椭球面 x 2 2 y 2 z 2 1的切平面，使其与平面 x y 2z 0 平行. 解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点,
法线方程
x 1 y 2 z 3 2 4 6
§5. 曲面的切平面与法线 曲面的夹角 两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲 面在该点的夹角。 如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲面在 该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲 面为正交曲面。
2 2 2 2 例 2 证明对任意常数 , ，球面 x y z 与锥 2 2 2 2 面 x y =tg z 是正交的。
代入方程 z z( u, v ) ，得
z z( u( x, y ), v( x, y ) )
于是可以将 z 看成 x , y 的函数，从而可以将问题化为 刚才已经讨论过的情形。 因此需分别计算 z 对 x , y 的偏导数。
§5. 曲面的切平面与法线 将 z z( u( x, y), v( x, y ) ) 分别对 u, v 求导，注意到 x , y 为 的函数按隐函数求导法则有 u, v
§5. 曲面的切平面与法线
过 M 0 点与切平面垂直的直线，称为曲面在 M 0 点的 法线，其方程为
X x0 Y y0 Z z0 ( Fx )M0 ( Fy )M0 ( Fz )M0
该法线的一组方向数为：
(F )
x M0
, ( Fy ) M0 , ( Fz ) M0

§5. 曲面的切平面与法线 综上所述若曲面方程为
0 0 0
由于 l 的任意性，可见曲面上过 M 0 的任一条曲线 在 该点的切线都与 n 正交，因此这些切线应在同一平面 上，这个平面称为曲面在 M 0 点的切平面，而 n 就是 切平面的法向量。 从而曲面在 M 0 点的切平面方程为
(Fx )M0 ( X x0 ) (Fy )M0 (Y y0 ) (Fz )M0 ( Z z0 ) 0
y , z tg 2

在两曲面交线上的任一点 ( x0 , y0 , z0 ) 处，两法向量的内积
2 2 2 ( x0 , y0 , z0 ) ( x0 , y0 , z0 tg2 ) x0 y0 z0 tg2
因 ( x0 , y0 , z0 ) 在曲面上，上式右端等于 0 ，所以曲面与锥 面正交。