1.2集合的基本运算
示范教案(集合的基本运算并集、交集)
示范教案(集合的基本运算-并集、交集)第一章：集合的基本概念1.1 集合的定义与表示方法引入集合的概念，讲解集合的定义介绍集合的表示方法，如列举法、描述法等举例说明集合的表示方法及其应用1.2 集合的基本运算介绍集合的基本运算，包括并集、交集、补集等讲解并集的定义及其运算规则讲解交集的定义及其运算规则第二章：集合的并集运算2.1 并集的定义与性质讲解并集的定义及其表示方法介绍并集的性质，如交换律、结合律等举例说明并集的性质及其应用2.2 并集的运算规则讲解并集的运算规则，如两个集合的并集等于它们的交集的补集等举例说明并集的运算规则及其应用2.3 并集的计算方法介绍并集的计算方法，如列举法、Venn图法等讲解并集计算方法的步骤及其应用第三章：集合的交集运算3.1 交集的定义与性质讲解交集的定义及其表示方法介绍交集的性质，如交换律、结合律等举例说明交集的性质及其应用3.2 交集的运算规则讲解交集的运算规则，如两个集合的交集等于它们的并集的补集等举例说明交集的运算规则及其应用3.3 交集的计算方法介绍交集的计算方法，如列举法、Venn图法等讲解交集计算方法的步骤及其应用第四章：集合的混合运算4.1 混合运算的定义与性质讲解混合运算的定义及其表示方法介绍混合运算的性质，如分配律等举例说明混合运算的性质及其应用4.2 混合运算的运算规则讲解混合运算的运算规则，如并集与交集的运算规则等举例说明混合运算的运算规则及其应用4.3 混合运算的计算方法介绍混合运算的计算方法，如列举法、Venn图法等讲解混合运算计算方法的步骤及其应用第五章：集合的应用举例5.1 集合在实际问题中的应用举例说明集合在实际问题中的应用，如统计数据处理、网络管理等讲解集合运算在实际问题中的重要性5.2 集合运算的综合应用举例说明集合运算在实际问题中的综合应用，如数据挖掘、图论等讲解集合运算的综合应用的方法及其步骤5.3 集合运算的拓展与应用介绍集合运算的拓展与应用，如模糊集合、多集等讲解集合运算的拓展与应用的方法及其步骤第六章：集合运算的练习题与解答6.1 集合运算的基础练习提供一些基础的集合运算练习题，如并集、交集的计算等引导学生通过列举法、Venn图法等方法解答练习题6.2 集合运算的进阶练习提供一些进阶的集合运算练习题，如混合运算、集合的应用等引导学生通过列举法、Venn图法等方法解答练习题6.3 集合运算练习题的解答与解析对练习题进行解答，解释解题思路和方法分析练习题的难度和考察点，帮助学生掌握集合运算的知识点第七章：集合运算的常见错误与注意事项7.1 集合运算的常见错误分析学生在集合运算中常见的错误，如概念混淆、运算规则错误等举例说明这些错误的产生原因和解题方法7.2 集合运算的注意事项提醒学生在进行集合运算时需要注意的事项，如符号使用、运算顺序等讲解注意事项的重要性及其在解题中的应用7.3 集合运算的解题技巧与策略介绍学生在解题时可以采用的集合运算技巧与策略，如化简、分解等讲解技巧与策略的运用方法和适用场景第八章：集合运算在实际问题中的应用案例分析8.1 集合运算在图论中的应用介绍集合运算在图论中的应用，如图的连通性、网络流等分析实际案例，讲解集合运算在图论问题中的作用和意义8.2 集合运算在数据挖掘中的应用介绍集合运算在数据挖掘中的应用，如数据预处理、特征选择等分析实际案例，讲解集合运算在数据挖掘问题中的作用和意义8.3 集合运算在其他领域的应用介绍集合运算在其他领域的应用，如计算机科学、经济学等分析实际案例，讲解集合运算在其他问题中的作用和意义第九章：集合运算的拓展与研究动态9.1 集合运算的拓展介绍集合运算的拓展方向，如模糊集合、多集、粗糙集等讲解拓展领域的研究动态和应用前景9.2 集合运算的研究方法与技术介绍集合运算的研究方法，如逻辑推理、数学建模等讲解研究技术在集合运算中的应用方法和实例9.3 集合运算的学术交流与资源共享介绍集合运算领域的学术交流与资源共享平台，如学术会议、期刊等鼓励学生积极参与学术交流，分享研究成果和经验第十章：总结与展望10.1 集合运算的教学总结总结本课程的教学内容和目标，强调集合运算的重要性和应用价值回顾学生在学习过程中的收获和不足，提出改进教学方法的建议10.2 集合运算的学习展望鼓励学生继续深入学习集合运算及相关领域知识，提高解决问题的能力展望集合运算在未来的发展趋势和应用前景，激发学生的学习兴趣和动力重点和难点解析1. 第一章至第五章的章节内容，主要涉及集合的基本概念、基本运算以及应用举例。
1.2集合间的基本关系及运算
集合间的基本关系及运算【知识要点】1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集, 记作A B 或B A.2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B,记作A=B3、真子集：如果A B,且A B,那么集合A称为集合B的真子集,A B .4、设A S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作C S A5 、元素与集合、集合与集合之间的关系6 、有限集合的子集个数1 )n 个元素的集合有2n个子集2) n 个元素的集合有2n-1 个真子集3) n 个元素的集合有2n-1 个非空子集4) n 个元素的集合有2n-2 个非空真子集7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A Bo8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A B o9 、集合的运算性质及运用知识应用】1. 理解方法：看到一个集合A里的所有元素都包含在另一个集合里B,那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x A能推出x Bo【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系(1)A={-1,1} ，B=Z (2)A={1,3,5,15} ，B={x|x 是15的正约数}【L】例 2.已知集合A={x|-2 x 5},B={x|m+1x 2m-1},若B A,求实数m取值范围。
【C】例3.已知集合A {0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请一写出。
2. 解题方法：证明2个集合相等的方法：(1)若A 、B 两个集合是元素较少的有限集，可用【C 】例 3.集合 M={x|x=3k-2,k Z},P={y|y=3x+1,x Z},S={z|z=6m+1,m Z}之间的关列举法将元素一一列举出来，比较之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足 的条件是否一致，若均一致，则两集合相等。
大一离散数学知识点归纳
大一离散数学知识点归纳离散数学是大一学生在计算机科学和相关学科中最常接触的数学分支之一。
它涉及的知识点广泛且重要，对于学习和理解其他高级课程至关重要。
下面是对大一离散数学知识点的归纳。
1. 集合论1.1 集合的定义和表示1.2 集合的运算（并、交、差、补）1.3 子集、真子集、幂集1.4 集合的基本性质（交换律、结合律、分配律）1.5 集合的等价关系和等价类1.6 集合的基数和无限集2. 逻辑与命题2.1 命题的定义和性质2.2 命题的逻辑运算（与、或、非、异或、蕴含、等价）2.3 命题的真值表和简化2.4 谓词逻辑和量词2.5 命题逻辑的推理和证明方法2.6 命题逻辑的应用（布尔代数、逻辑电路）3. 数理归纳法3.1 数学归纳法的基本原理3.2 强归纳法和弱归纳法3.3 数学归纳法的应用（证明数学命题、计算算法复杂度）4. 图论4.1 图的基本概念（顶点、边、度、路径、环）4.2 连通图和孤立点4.3 树和森林4.4 图的遍历算法（深度优先搜索、广度优先搜索）4.5 最小生成树和最短路径问题4.6 图的应用（社交网络、路线规划）5. 关系与函数5.1 关系的定义和表示5.2 关系的性质（自反性、对称性、传递性、等价关系） 5.3 关系的闭包和传递闭包5.4 函数的定义和性质5.5 单射、满射和双射5.6 函数的复合和反函数6. 组合数学6.1 排列和组合的基本概念6.2 二项式系数和杨辉三角6.3 递归和递推关系6.4 置换和循环节6.5 容斥原理和鸽笼原理6.6 组合数学的应用（概率、计数问题）7. 布尔代数7.1 逻辑代数和布尔运算7.2 布尔函数和真值表7.3 极小项和主析取范式7.4 逻辑函数的化简和设计7.5 布尔代数的应用（逻辑电路、开关网络）这些是大一离散数学课程中的一些重要知识点，通过对这些知识点的学习和理解，学生将能够为将来的计算机科学和相关领域的学习打下坚实的基础。
同时，离散数学的思维方式和证明方法也会培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
集合的基本运算教案
集合的基本运算教案第一章：集合的基本概念1.1 集合的定义引入集合的概念，解释集合是由明确的、相互区别的对象组成的整体。
通过实例讲解集合的表示方法，如列举法、描述法等。
1.2 集合的元素介绍集合中元素的性质，如确定性、互异性、无序性。
解释元素与集合之间的关系，明确元素属于或不属于一个集合。
1.3 集合的类型分类介绍集合的常见类型，如自然数集、整数集、实数集等。
讲解集合的子集概念，即一个集合的所有元素都是另一个集合的元素。
第二章：集合的运算2.1 集合的并集介绍并集的定义，即两个集合中所有元素的集合。
讲解并集的表示方法，如用符号“∪”表示。
举例说明并集的运算规则和性质。
2.2 集合的交集解释交集的定义，即两个集合共有的元素的集合。
展示交集的表示方法，如用符号“∩”表示。
分析交集的运算规则和性质。
2.3 集合的补集引入补集的概念，即在全集范围内不属于某个集合的元素的集合。
讲解补集的表示方法，如用符号“∁”表示。
探讨补集的运算规则和性质。
第三章：集合的运算规则3.1 集合的德摩根定理讲解德摩根定理的内容，包括德摩根律的两种形式。
分析德摩根定理在集合运算中的应用。
3.2 集合分配律介绍分配律的概念，即集合的并集和交集的运算规律。
解释分配律在集合运算中的重要性。
3.3 集合恒等律讲解集合恒等律，即集合的并集和交集与集合本身的关系。
探讨集合恒等律在集合运算中的应用。
第四章：集合的应用4.1 集合的划分介绍集合的划分概念，即把一个集合分成几个子集。
讲解集合划分的表示方法，如用符号“÷”表示。
举例说明集合划分的应用。
4.2 集合的包含关系解释集合的包含关系，即一个集合是否包含另一个集合的所有元素。
探讨集合包含关系的性质和运算规则。
4.3 集合在数学中的应用分析集合在数学领域中的应用，如几何、代数等。
通过实例讲解集合在其他学科领域的应用。
第五章：集合的练习题及解答5.1 集合的基本概念练习题及解答设计关于集合定义、元素、类型等基本概念的练习题。
1.2 集合间的基本关系 教学设计(2)-人教A版高中数学必修第一册
1.2集合间的基本关系教学设计（人教A版）第一节通过研究集合中元素的特点研究了元素与集合之间的关系及集合的表示方法，而本节重点通过研究元素得到两个集合之间的关系，尤其学生学完两个集合之间的关系后，一定让学生明确元素与集合、集合与集合之间的区别。
课程目标1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2. 理解子集.真子集的概念．3. 能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
数学学科素养1.数学抽象：子集和空集含义的理解；2.逻辑推理：子集、真子集、空集之间的联系与区别；3.数学运算：由集合间的关系求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；4.数据分析：通过集合关系列不等式组，此过程中重点关注端点是否含“=”及 问题；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．难点：难点是属于关系与包含关系的区别．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、问题导入：实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本7-8页，思考并完成以下问题1. 集合与集合之间有什么关系？怎样表示集合间的这些关系？2. 集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符号表示？3. 空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 （一）知识整理 1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A BB A ⊆⊇或读作：A 包含于B(或B 包含A).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A B B A ⊆⊆且），那么我们称这两个集合相等.记作：A =B 读作：A 等于B.图示：2. 真子集若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集。
1.2.2集合的基本运算2
； ；M—N= 、 Cu B = 。
。
新疆部高中 2014 级数学教学案
§1.2.2 集合的基本运算（2）-----全集、补集
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§1.2.2 集合的基本运算（2）-----全集、补集
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§1.2.2 集合的基本运算（2）-----全集、补集
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§1.2.2 集合的基本运算（2）-----全集、补集
新疆部高中 2014 级数学教学案
学科 课型 数 学 新授课 编制人 课 题 于培勇 教学案编号 4
§1.2.2 集合的基本运算（2）全集、补集
教 学 过 程 设 计
一、学习目标：了解全集的意义,理解补集的概念. 二、知识梳理： 1.全集：如果集合 S 包含有我们所要研究的各个集合，这时 S 可以看作一个全集，全集通常记作 U. 2．补集：设 A S ,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集, 记作： C S A （读作 A 在 S 中的 补集）,即 CS A {x x S , 且x A}，补集的 Venn 图表示:
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新疆部高中 2014 级数学教学案
§1.2.2 集合的基本运算（2）-----全集、补集
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新疆部高中 2014 级数学教学案
§1.2.2 集合的基本运算（2）-----全集、补集
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新疆部高中 2014 级数学教学案
§1.2.2 集合的基本运算（2）-----全集、补集
8
S
U
A
A CUA
ðS A
三、例题： 例 1. 若 U={x∣x 是三角形}，P={ x∣x 是直角三角形}，则 A．{x∣x 是直角三角形} C．{x∣x 是钝角三角形}
1.2.2集合的基本运算(1)
例 2．已知全集 U={x|x 取不大于 30 的质数}，A、B 是 U 的两个子集，且 A∩CUB={5，13，23}，CUA∩B={11，19，29}， CUA∩CUB={3，7}，求 A，B.
例 3．设集合 A={|a+1|，3，5}，集合 B={2a+1，a +2a，a +2a—1}，当 A∩B={2，3}时，求 A∪B
n=
2、设集合 A={x|2x +3px+2=0}，B={x|2x +x+q=0}，其中 p，q，x∈R，且 A∩B={
2
2
1 }时，求 p 的值和 A∪B 2
3、设集合 A={x|x +2（a+1）x+a —1=0}，B={x|x +4x=0} ⑴若 A∩B=A，求 a 的值；⑵若 A∪B=A，求 a 的值
2
2
例 5．已知 A x x 3 , B x x a .⑴若 B A ,求 a 的取值范围;⑵若 A B ,求 a 的取值范围;
四、课堂练习： 1．设 A= 1,3 ，B= 2,4 ，求 A∩B 2．设 A= 0,1 ，B={0}，求 A∪B
3．在平面内，设 A、B、O 为定点，P 为动点，则下列集合表示什么图形 （1）{P|PA=PB} （2） {P|PO=1}
B，求实数 a 的取值范围 2．已知集合 A= 1,4 ， B= , a ，若 A ≠
3．求满足{1,3}∪A={1，3，5}中的集合 A
4．设 A={x|x —x—2=0}，B= 2,2，求 A∩B
2
5、设 A={（x,y）| 4x+m y =6},B={（x,y）|y=nx—3 }且 A∩B={（1，2）}，则 m= 六、课后作业： 2 1、已知 A={2，—1，x —x+1}，B={2y，—4，x+4}，C={—1，7}且 A∩B=C，求 x，y 的值
1.2集合间的基本关系(共42张PPT)
1．能正确表示集合 M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合 N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的
Venn 图是
()
解析：选 B.解 x2－x＝0 得 x＝1 或 x＝0，故 N＝{0，1}，易得 N M，其 对应的 Venn 图如选项 B 所示．
2．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当 的符号填空：
(多选)已知集合 A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B
A，则 m 的值为 A.13 C．0
B．－12 D．2
()
解析：选 ABC.A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}． 因为 B A 且 B＝{x|mx＋1＝0}，
所以 B＝{－3}或 B＝{2}或 B＝∅. 当 B＝{－3}时，
称集合 A 是集合 B 的子集 如果集合 A⊆B，但存在元素 真子集 __x_∈__B_，__且__x_∉__A___，就称集 合 A 是集合 B 的真子集
符号表示 A__⊆__B (或 B__⊇__A)
A____B (或 B____A)
图形表示
定义 如果集合 A 的_任__何___一__个__ 元素都是集合 B 的元素， 集合相等 同时集合 B 的__任__何__一__个__ 元素都是集合 A 的元素， 那么集合 A 与集合 B 相等
1．Venn 图 (1)定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称 为 Venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法． (2)适用范围：元素个数较少的集合． (3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
2．子集、真子集、集合相等 定义
如果集合 A 中_任___意__一__个__元 子集 素都是集合 B 中的元素，就
集合与函数的概念教案
集合与函数的概念教案教学目标：1. 理解集合的基本概念和运算。
2. 理解函数的定义和性质。
3. 能够运用集合和函数的概念解决实际问题。
教学内容：第一章：集合的基本概念和运算1.1 集合的定义和表示方法1.2 集合的运算（并集、交集、补集）1.3 集合的性质（交换律、结合律、吸收律）第二章：函数的定义和性质2.1 函数的定义和表示方法2.2 函数的域和像2.3 函数的性质（单调性、连续性、奇偶性）第三章：函数的图像3.1 函数图像的基本特征3.2 常见函数图像的绘制和识别3.3 函数图像的应用第四章：函数的计算4.1 函数的求值和解析式4.2 函数的复合和反函数4.3 函数的极限和连续性第五章：集合的应用5.1 集合在数学分析中的应用5.2 集合在概率论中的应用5.3 集合在其他学科中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解集合和函数的基本概念和性质。
2. 利用图形和实例，直观地展示函数的图像和应用。
3. 引导学生通过思考和练习，深入理解集合和函数的概念。
教学评估：1. 课堂练习：布置相关的练习题，检查学生对集合和函数概念的理解。
2. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对集合和函数概念的掌握。
3. 期中和期末考试：设置有关集合和函数的问题，评估学生的综合运用能力。
教学资源：1. 教学PPT：制作精美的PPT，展示集合和函数的概念和图像。
2. 教学案例：提供相关的实际案例，帮助学生理解集合和函数的应用。
3. 练习题库：准备丰富的练习题，供学生进行自主学习和练习。
教学建议：1. 在讲解集合的基本概念和运算时，注重与学生的生活实际相结合，让学生体会集合的意义和应用。
2. 在讲解函数的定义和性质时，注重引导学生理解函数的核心概念，如域、像和单调性等。
3. 在讲解函数的图像时，注重引导学生观察和分析函数图像的特征，提高学生对函数图像的理解和识别能力。
4. 在讲解函数的计算时，注重引导学生掌握函数的基本计算方法，如求值、复合和反函数等。
离散数学 第1章 集合的基本概念和运算
B A ( x) ( x B x A)
例：设A={1,2,3,4,5,6,}, B={2,4,5,}及C={1，2，3，4，5} 定义3.1.2（外延性原理）设A，B为集合，如果B⊆A且A⊆B， 则称A与B相等，记作A=B。相等的符号化表示为
x 则 x A B或x A C ， A且x B或x A且x C ，即 x A且x B C, 于是x A ( B C ) 所以 ( A B) ( A C ) A ( B C ) 因此 ( A B) ( A C ) A ( B C )
离散数学
第一章 集合的基本集合的基本概念和运算
1.1 1.2 1.3 1.4 集合的基本概念 集合的基本运算 集合中元素的计数 笛卡尔乘积
1.1 集合的基本概念
集合是不能精确定义的基本的数学概念，直观地讲，集合是 由某些可以相互区别的事物汇集在一起所组成的整体。对于给定 的集合和事物，应该可以断定这个特定的事物是否属于这个集合。 如果属于，就称它为这个集合的元素。 集合通常用大写的英文字母来表示。 集合有两种表示方法：枚举法和谓词表示法。前一种方法是 将集合中的所有元素罗列出来，元素之间用逗号隔开，并把它们 用花括号括起来。例如 A {a, b, c} ， {1, 2, 3, ...}， {春， 秋， }，都是合法的表示。 C 夏， 冬 B 谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性，例如 2 } F D {x | x是学生 ， {x | x是整数 ， {x | x R x 1 0} } E 一般的 A={x︱R(x)} R(x)表示x具有性质R，表示任何谓词 集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现 应该认为是一个元素。集合的元素也是无序的，元素的排列顺序 对集合没有影响。
集合的基本运算(全集与补集)
温故知新
（1）集合与集合之间的关系有几种？分别是什么？ （2）交集与并集的定义分别是什么？
交集：给定两个集合 A，B，由既属于 A 又属 于B 的所有公共元素构 成的集合，叫做 A，B 的交集．记作：AnB
并集：给定两个集合 A ，B ，由属于 A 或属 于B 的所有元素构成的 集合，叫做 A，B 的并集． 记作：AUB
作业
1、教材19页A组2、3，B组1 2、练习册：题组一、题组二、题组三
冬瓜、虾、毛豆
一.全集
新知全解
全集U
冬瓜、 虾、毛豆、
黄瓜、 鲫鱼、 茄子 猪肉、 芹菜、 土豆
全集的定义
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，
那么就称这个集合为全集，
通常记作U.
二.补集
冬瓜、虾、毛豆
A 在全集 U 中的补集
1、定义 如果 集合 A 是全集 U 的一个子集 ，由 U 中的所有不属于 A 的
U
．
补集的性质：
补集的性质
（1）A ∪ CU A＝ （2）A ∩ CU A = （3） CU(CUA)＝
U； ； A．
U A
CUA
互动探究（交并补的混合运算）
例1:设全集为R,A={x|x<5},B={x|x>3}.求值：
(1)A∩B;
(2)A∪B;
(4)(CRA) ∩ (CRB);
(3) CRA, CRB; (5) CR(A ∪ B);
补集的综合应用（多维训练）
例2：已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<3}，若AUCRB=R,求实数a的取值范围； 解：CRB={x|x≤1或x≥3}，结合数轴分析可得a≥3
高中数学第一章集合1.2集合之间的关系与运算1.2.2集合的运算教案新人教B版必修1
高中数学第一章集合1.2集合之间的关系与运算1.2.2集合的运算教案新人教B版必修1整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍补集和全集等概念．在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如归纳等．值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用Venn图的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用Venn图进行求补集的运算．三维目标1．理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高归纳的能力．2．通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想．重点难点教学重点：交集与并集，全集与补集的概念．教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5＋3＝8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题．思路2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．引导学生通过观察、归纳、思考和交流，得出结论．教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容．思路3.(1)①如下图甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B 有什么关系？②观察集合A与B与集合C＝{1,2,3,4}之间的关系．(2)①已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合C.②已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A 与B中的所有元素组成的集合C.学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的运算．推进新课新知探究提出问题①通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？②用文字语言来叙述上述问题中，集合A与B与集合C之间的关系．③用数学符号来叙述上述问题中，集合A与B与集合C之间的关系．④试用Venn图表示A∪B＝C.⑤请给出集合的并集定义．⑥求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？请同学们考察下面的问题，集合A与B与集合C之间有什么关系？(ⅰ)A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；(ⅱ)A＝{x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级男同学}，C＝{x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级同学}．⑦类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达．活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来显示．讨论结果：①集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集．集合C叫集合A与B的并集，记为A∪B＝C，读作A并B.②所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.③C＝{x|x∈A，或x∈B}．④如下图所示．⑤一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．其含义用符号表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．⑥集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.(ⅰ)A∩B＝C，(ⅱ)A∪B＝C.⑦一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．其含义用符号表示为：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．用Venn图表示，如下图所示．应用示例思路1例1设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求A∪B，A∩B.活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义，由于本例题难度较小，让学生自己解决，重点是总结集合运算的方法．根据集合并集、交集的含义，借助于Venn图写出．观察这两个集合中的元素，或用Venn图来表示，如下图所示．解：A∪B＝{4,5,6,8}∪{3,5,7,8}＝{3,4,5,6,7,8}．A∩B＝{4,5,6,8}∩{3,5,7,8}＝{5,8}．点评：本题主要考查集合的并集和交集．用列举法表示的集合，运算时常利用Venn图或直接观察得到结果．本题易错解为A∪B＝{3,4,5,5,6,7,8,8}．其原因是忽视了集合元素的互异性．解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.例2 设A ＝{x|－1＜x ＜2}，B ＝{x|1＜x ＜3}，求A∪B，A∩B.活动：学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义．利用数轴，将A 、B 分别表示出来，则阴影部分即为所求．用数轴表示描述法表示的数集．解：将A ＝{x|－1＜x ＜2}及B ＝{x|1＜x ＜3}在数轴上表示出来，如下图所示的阴影部分即为所求．由图得A∪B＝{x|－1＜x ＜2}∪{x|1＜x ＜3}＝{x|－1＜x ＜3}，A∩B＝{x|－1＜x ＜2}∩{x|1＜x ＜3}＝{x|1＜x ＜2}．点评：本类题主要考查集合的并集和交集．用描述法表示的数集，运算时常利用数轴来变式训练1．设A ＝{x|2x －4＜2}，B ＝{x|2x －4＞0}，求A∪B，A∩B.答案：A∪B＝R ，A∩B＝{x|2＜x ＜3}．2．设A ＝{x|2x －4＝2}，B ＝{x|2x －4＝0}，求A∪B，A∩B.答案：A∪B＝{3,2}，A∩B＝∅．3．设A ＝{x|x 是奇数}，B ＝{x|x 是偶数}，求A∩Z ，B∩Z ，A∩B.解：A∩Z ＝{x|x 是奇数}∩{x|x 是整数}＝{x|x 是奇数}＝A ，B∩Z ＝{x|x 是偶数}∩{x|x 是整数}＝{x|x 是偶数}＝B ，A∩B＝{x|x 是奇数}∩{x|x 是偶数}＝∅．4．已知A ＝{(x ，y)|4x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y)|3x ＋2y ＝7}，求A∩B.分析：集合A 和B 的元素是有序实数对(x ，y)，A ，B 的交集即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝6，3x ＋2y ＝7的解集．解：A∩B＝{(x ，y)|4x ＋y ＝6}∩{(x，y)|3x ＋2y ＝7}＝{(x ，y)|{ 4x ＋y ＝63x ＋2y ＋7}＝{(1,2)}．5．已知A ＝{x|x 是等腰三角形}，B ＝{x|x 是直角三角形}，求A∩B.解：A∩B＝{x|x 是等腰三角形}∩{x|x 是直角三角形}＝{x|x 是等腰直角三角形}.思路2例1 A ＝{x|x ＜5}，B ＝{x|x ＞0}，C ＝{x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C 分别是什么？活动：学生先思考集合中元素特征，明确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果的寻求就容易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．解：因A ＝{x|x ＜5}，B ＝{x|x ＞0}，C ＝{x|x≥10}，在数轴上表示，如下图所示，所以A∩B＝{x|0＜x ＜5}，B∪C＝{x|x ＞0}，A∩B∩C＝∅．点评：本题主要考查集合的交集和并集．求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素；②依据并集和交集的含义，借助于直观(数轴或Venn 图)写出结果. 变式训练1．设A ＝{x|x ＝2n ，n∈N ＋}，B ＝{x|x ＝2n ，n∈N }，求A∩B，A∪B.解：对任意m∈A，则有m ＝2n ＝2·2n －1，n∈N ＋，因n∈N ＋，故n －1∈N ，有2n －1∈N ，那么m∈B，即对任意m∈A 有m∈B，所以A ⊆B.而10∈B 但10A ，即A B ，那么A∩B＝A ，A∪B＝B.2．求满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B 的个数．解：满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B 一定含有元素3，B ＝{3}；还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3}；还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.3．设A ＝{－4,2，a －1，a 2}，B ＝{9，a －5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求a.解：因A∩B＝{9}，则9∈A，a －1＝9或a 2＝9，a ＝10或a ＝±3，当a ＝10时，a －5＝5,1－a ＝－9；当a ＝3时，a －1＝2不合题意；当a ＝－3时，a －1＝－4不合题意．故a ＝10，此时A ＝{－4,2,9,100}，B ＝{9,5，－9}，满足A∩B＝{9}．4．设集合A ＝{x|2x ＋1＜3}，B ＝{x|－3＜x ＜2}，则A∩B 等于… ( )A ．{x|－3＜x ＜1}B ．{x|1＜x ＜2}C ．{x|x ＞－3}D ．{x|x ＜1}解析：集合A ＝{x|2x ＋1＜3}＝{x|x ＜1}，观察或由数轴得A∩B＝{x|－3＜x ＜1}． 答案：A例2 设集合A ＝{x|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a∈R }，若A∩B＝B ，求a 的值．活动：明确集合A 、B 中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B＝B 的集合A 、B 的关系．集合A 是方程x 2＋4x ＝0的解集，可以发现，B ⊆A ，通过分类讨论集合B 是否为空集来求a 的值．利用集合的表示法来认识集合A 、B 均是方程的解集，通过画Venn 图发现集合A 、B 的关系，从数轴上分析求得a 的值．解：由题意得A ＝{－4,0}．∵A∩B＝B ，∴B ⊆A.∴B＝∅或B≠∅．当B ＝∅时，即关于x 的方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实数解，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1. 当B≠∅时，若集合B 仅含有一个元素，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时，B ＝{x|x 2＝0}＝{0}⊆A ，即a ＝－1符合题意． 若集合B 含有两个元素，则这两个元素是－4、0，即关于x 的方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的解是－4、0.则有⎩⎪⎨⎪⎧ －4＋0＝－2(a ＋1)，－4×0＝a 2－1.解得a ＝1，则a ＝1符合题意．综上所得，a ＝1或a≤－1.点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用．已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题．这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题. 变式训练1．已知非空集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a－5}，B ＝{x|3≤x≤22}，求能使A (A∩B)成立的所有a 值的集合．解：由题意知A ⊆(A∩B)，即A ⊆B ，A 非空，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a－5，2a ＋1≥3，3a －5≤22.解得6≤a≤9，即所有a 值的集合是{a|6≤a≤9}．2．已知集合A ＝{x|－2≤x≤5}，集合B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A ，试求实数m 的取值范围．分析：由A∪B＝A 得B ⊆A ，则有B ＝∅或B≠∅，因此对集合B 分类讨论．解：∵A∪B＝A ，∴B ⊆A.又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠∅，∴B＝∅，或B≠∅．当B ＝∅时，有m ＋1＞2m －1，∴m＜2.当B≠∅时，观察下图：由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m－1，－2≤m＋1，2m －1≤5.解得－2≤m≤3. 综上所述，实数m 的取值范围是m ＜2或－2≤m≤3，即m≤3.知能训练1．设a ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，(1)求A∩B，A∪B.(2)用适当的符号(⊇、⊆)填空：(A∩B)________A ，B________(A∩B)，(A∪B)________A ，(A∪B)________B ，(A∩B)________(A∪B)．解：(1)因A 、B 的公共元素为5、8，则A∩B＝{3,5,6,8}∩{4,5,7,8}＝{5,8}．又A 、B 两集合的元素为3、4、5、6、7、8，故A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．(2)(A∩B) ⊆A ，B ⊇ (A∩B)，(A∪B) ⊇A ，(A∪B) ⊇B ，(A∩B) ⊆ (A∪B)．2．设A ＝{x|x ＜5}，B ＝{x|x≥0}，求A∩B.解：因x ＜5及x≥0的公共部分为0≤x＜5，故A∩B＝{x|x ＜5}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x＜5}．3．设A ＝{x|x 是锐角三角形}，B ＝{x|x 是钝角三角形}，求A∩B.解：因三角形按角分类时，锐角三角形和钝角三角形彼此孤立，故A 、B 两集合没有公共部分．所以A∩B＝{x|x 是锐角三角形}∩{x|x 是钝角三角形}＝∅．4．设A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≥3}，求A∪B.解：在数轴上将A、B分别表示出来，得A∪B＝{x|x＞－2}．5．设A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，求A∪B.解：因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B＝{x|x是平行四边形}．6．已知M＝{1}，N＝{1,2}，设A＝{(x，y)|x∈M，y∈N}，B＝{(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.分析：M、N中元素是数，A、B中元素是平面内点集，关键是找其元素．解：∵M＝{1}，N＝{1,2}，则A＝{(1,1)，(1,2)}，B＝{(1,1)，(2,1)}，故A∩B＝{(1,1)}，A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}．7．若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有( )A．A⊆C B．C⊆A C．A≠C D．A＝∅解析：思路一：∵(B∩C)⊆B，(B∩C)⊆C，A∪B＝B∩C，∴(A∪B)⊆B，(A∪B) ⊆C.∴A⊆B⊆C.∴A⊆C.思路二：取满足条件的A＝{1}，B＝{1,2}，C＝{1,2,3}，排除B、D，令A＝{1,2}，B＝{1,2}，C＝{1,2}，则此时也满足条件A∪B＝B∩C，而此时A＝C，排除C.答案：A拓展提升观察：(1)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}时，A∩B、A∪B这两个运算结果与集合A、B 的关系；(2)当A＝∅时，A∩B、A∪B这两个运算结果与集合A、B的关系；(3)当A＝B＝{1,2}时，A∩B、A∪B这两个运算结果与集合A、B的关系．由(1)(2)(3)你发现了什么结论？活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集合A、B的关系．用Venn 图来发现运算结果与集合A、B的关系．(1)(2)(3)中的集合A、B均满足A⊆B，用Venn图表示，如下图所示，就可以发现A∩B、A∪B与集合A、B的关系．解：A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.可用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下：A∪B＝B∪A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆B⇔A∪B＝B；A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A⊆B⇔A∩B＝A.课堂小结本节主要学习了：1．集合的交集和并集．2．通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集．作业1．课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义．3．书面作业：课本习题1—2A 3、4、5.设计感想由于本节课内容比较容易接受，也是历年高考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容．设计中通过借助于数轴或Venn 图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法．(设计者：尚大志)第2课时导入新课问题：①分别在整数范围和实数范围内解方程(x －3)(x －3)＝0，其结果会相同吗？ ②若集合A ＝{x|0＜x ＜2，x∈Z }，B ＝{x|0＜x ＜2，x∈R }，则集合A 、B 相等吗？ 学生回答后，教师指明：在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题．推进新课新知探究提出问题①用列举法表示下列集合：A ＝{x∈Z |(x －2)(x ＋13)(x －2)＝0}； B ＝{x∈Q |(x －2)(x ＋13)(x －2)＝0}； C ＝{x∈R |(x －2)(x ＋13)(x －2)＝0}． ②问题①中三个集合相等吗？为什么？③由此看，解方程时要注意什么？④问题①，集合Z 、Q 、R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义．⑤已知全集U ＝{1,2,3}，A ＝{1}，写出全集中不属于集合A 的所有元素组成的集合B. ⑥请给出补集的定义．⑦用Venn 图表示U A.活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围．讨论结果：①A＝{2}，B ＝{2，－13}，C ＝{2，－13，2}． ②不相等，因为三个集合中的元素不相同．③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同．④在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U 表示．⑤B＝{2,3}．⑥对于一个集合A ，全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集.集合A 相对于全集U 的补集记为U A ，即U A ＝{x|x∈U，且x A}．⑦如下图所示，阴影表示补集．应用示例思路1例1设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求U A，U B.活动：让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出U A，U B.解：根据题意，可知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以U A＝{4,5,6,7,8}；U B＝{1,2,7,8}．点评：本题主要考查补集的概念和求法．用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果．常见结论：U(A∩B)＝(U A)∪(U B)；U(A∪B)＝(U A)∩(U B).变式训练1．已知U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}．求U A，A∩U A，A∪U A.解：U A＝{2,4,6}，A∩U A＝∅，A∪U A＝U.2．已知U＝{x|x是实数}，Q＝{x|x是有理数}，求U Q.解：U Q＝{x|x是无理数}．3．已知U＝R，A＝{x|x＞5}，求U A.解：U A＝{x|x≤5}.例2设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}．求A∩B，U(A∪B)．活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义．结合交集、并集和补集的含义写出结果．A∩B是由集合A、B中公共元素组成的集合，U(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合．解：根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.变式训练1．已知集合A ＝{x|3≤x＜8}，求R A. 解：R A ＝{x|x ＜3或x≥8}．2．设S ＝{x|x 是至少有一组对边平行的四边形}，A ＝{x|x 是平行四边形}，B ＝{x|x 是菱形}，C ＝{x|x 是矩形}，求B∩C，A B ，S A.解：B∩C＝{x|正方形}，A B ＝{x|x 是邻边不相等的平行四边形}，S A ＝{x|x 是梯形}．3．已知全集I ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋ax ＋12b ＝0}，B ＝{x|x 2－ax ＋b ＝0}，满足(I A)∩B＝{2}，(I B)∩A＝{4}，求实数a 、b 的值．答案：a ＝87，b ＝－127. 4．设全集U ＝R ，A ＝{x|x≤2＋3}，B ＝{3,4,5,6}，则(U A)∩B 等于…( )A ．{4}B ．{4,5,6}C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4}解析：∵U＝R ，A ＝{x|x≤2＋3}，∴U A ＝{x|x ＞2＋3}．而4、5、6都大于2＋3，∴(U A)∩B ＝{4,5,6}．答案：B思路2例1已知全集U ＝R ，A ＝{x|－2≤x≤4}，B ＝{x|－3≤x≤3}，求：(1)U A ，U B ；(2)(U A)∪(U B)，U (A∩B)，由此你发现了什么结论？(3)(U A)∩(U B)，U (A∪B)，由此你发现了什么结论？活动：学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决．依据补集的含义，借助于数轴求得．在数轴上表示集合A ，B.解：如下图所示，(1)由图得U A＝{x|x＜－2或x＞4}，U B＝{x|x＜－3或x＞3}．(2)由图得(U A)∪(U B)＝{x|x＜－2或x＞4}∪{x|x＜－3或x＞3}＝{x|x＜－2或x＞3}．∵A∩B＝{x|－2≤x≤4}∩{x|－3≤x≤3}＝{x|－2≤x≤3}，∴U(A∩B)＝U{x|－2≤x≤3}＝{x|x＜－2或x＞3}．∴得出结论U(A∩B)＝(U A)∪(U B)．(3)由图得(U A)∩(U B)＝{x|x＜－2或x＞4}∩{x|x＜－3或x＞3}＝{x|x＜－3或x＞4}．∵A∪B＝{x|－2≤x≤4}∪{x|－3≤x≤3}＝{x|－3≤x≤4}，∴U(A∪B)＝U{x|－3≤x≤4}＝{x|x＜－3或x＞4}．∴得出结论U(A∪B)＝(U A)∩(U B).变式训练1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(U A)∪(U B)等于( )A．{1,6} B．{4,5}C．{1,2,3,4,5,7} D．{1,2,3,6,7}答案：D2．设集合I＝{x||x|＜3，x∈Z}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1，2}，则A∪(I B)等于( )A．{1} B．{1,2} C．{2} D．{0,1,2}答案：D例2设全集U＝{x|x≤20，x∈N，x是质数}，A∩(U B)＝{3,5}，(U A)∩B＝{7,19}，(U A)∩(U B)＝{2,17}，求集合A、B.活动：学生回顾集合的运算的含义，明确全集中的元素．利用列举法表示全集U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的Venn图中即可．求集合A、B的关键是确定它们的元素，由于全集是U，则集合A、B中的元素均属于全集U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助于Venn图来解决．解：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，由题意借助于Venn图，如下图所示，∴A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．点评：本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力．借助于Venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，这正体现了数形结合思想的优越性.变式训练1. 设I为全集，M、N、P都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是( )A．M∩[(I N)∩P] B．M∩(N∪P)C．[(I M)∩(I N)]∩P D．M∩N∪(N∩P)解析：思路一：阴影部分在集合M内部，排除C；阴影部分不在集合N内，排除B、D.思路二：阴影部分在集合M内部，即是M的子集，又阴影部分在P内不在集合N内即在(I N)∩P 内，所以阴影部分表示的集合是M∩[(I N)∩P]．答案：A2．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(U A)∩B＝{3,7}，(U B)∩A＝{2,8}，(U A)∩(U B)＝{1,5,6}，则集合A＝________，B＝________.解析：借助Venn图，如下图，把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合A、B了．答案：{2,4,8,9} {3,4,7,9}知能训练1．设全集U＝R，A＝{x|2x＋1＞0}，试用文字语言表述U A的意义．解：A＝{x|2x＋1＞0}即不等式2x＋1＞0的解集，U A中元素均不能使2x＋1＞0成立，即U A中元素应当满足2x＋1≤0.∴U A即不等式2x＋1≤0的解集．2．如下图所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是________．解析：观察图可以看出，阴影部分满足两个条件：一是不在集合S内；二是在集合M、P的公共部分内．因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M、P的交集的交集，即(U S)∩(M∩P)．答案：(U S)∩(M∩P)3．设集合A、B都是U＝{1,2,3,4}的子集，已知(U A)∩(U B)＝{2}，(U A)∩B＝{1}，则A等于( )A．{1,2} B．{2,3} C．{3,4} D．{1,4}解析：如下图所示．由于(U A)∩(U B)＝{2}，(U A)∩B＝{1}，则有U A＝{1,2}．∴A＝{3,4}．答案：C4．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S＝{1,3,5}，T＝{3,6}，则U(S∪T)等于…()A． B．{2,4,7,8}C．{1,3,5,6} D．{2,4,6,8}解析：直接观察(或画出Venn图)，得S∪T＝{1,3,5,6}，则U(S∪T)＝{2,4,7,8}．答案：B5．已知集合I＝{1,2,3,4}，A＝{1}，B＝{2,4}，则A∪(I B)等于( )A．{1} B．{1,3} C．{3} D．{1,2,3}解析：∵I B＝{1,3}，∴A∪(I B)＝{1}∪{1,3}＝{1,3}．答案：B拓展提升问题：某班有学生50人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问：(1)至少解对其中一题者有多少人？(2)两题均未解对者有多少人？分析：先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型，然后根据题意写出它们的运算，问题便得到解决．解：设全集为U，A＝{只解对甲题的学生}，B＝{只解对乙题的学生}，C＝{甲、乙两题都解对的学生}，则A∪C＝{解对甲题的学生}，B∪C＝{解对乙题的学生}，A∪B∪C＝{至少解对一题的学生}，U(A∪B∪C)＝{两题均未解对的学生}．由已知，A∪C有34个人，C有20个人，从而知A有14个人；B∪C有28个人，C有20个人，所以B有8个人．因此A∪B∪C有N1＝14＋8＋20＝42(人)，U(A∪B∪C)有N2＝50－42＝8(人)．所以至少解对其中一题者有42个人，两题均未解对者有8个人．课堂小结本节课学习了：①全集和补集的概念和求法．②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．作业课本习题1—2A 9.设计感想本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法，因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合，本节也对此也予以体现，可以利用课余时间学习有关解不等式的知识．备课资料[备选例题]例1已知A＝{y|y＝x2－4x＋6，x∈R，y∈N}，B＝{y|y＝－x2－2x＋7，x∈R，y∈N}，求A∩B，并分别用描述法、列举法表示它．解：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，A＝{y|y≥2，y∈N}，又∵y＝－x2－2x＋7＝－(x＋1)2＋8≤8，∴B＝{y|y≤8，y∈N}．故A∩B＝{y|2≤y≤8}＝{2,3,4,5,6,7,8}．例2设S＝{(x，y)|xy＞0}，T＝{(x，y)|x＞0且y＞0}，则( )A．S∪T＝S B．S∪T＝TC．S∩T＝S D．S∩T＝解析：S＝{(x，y)|xy＞0}＝{(x，y)|x＞0且y＞0或x＜0且y＜0}，则T S，所以S∪T ＝S.答案：A例3 某城镇有1 000户居民，其中有819户有彩电，有682户有空调，有535户彩电和空调都有，则彩电和空调至少有一种的有________户．解析：设这1 000户居民组成集合U，其中有彩电的组成集合A，有空调的组成集合B，如下图所示．有彩电无空调的有819－535＝284户；有空调无彩电的有682－535＝147户，因此二者至少有一种的有284＋147＋535＝966户．答案：966差集与补集有两个集合A、B，如果集合C是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，那么C 就叫做A与B的差集，记作A－B(或A\B)．例如，A＝{a，b，c，d}，B＝{c，d，e，f}，C＝A－B＝{a，b}．也可以用维恩图表示，如下图甲所示(阴影部分表示差集)．特殊情况，如果集合B是集合I的子集，我们把I看作全集，那么I与B的差集I－B，叫做B在I中的补集，记作B.例如，I＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3}，B＝I－B＝{4,5}．也可以用维恩图表示，如上图乙所示(阴影部分表示补集)．从集合的观点来看，非负整数的减法运算，就是已知两个不相交集合的并集的基数，以及其中一个集合的基数，求另一个集合的基数，也可以看作是求集合I与它的子集B的差集的基数．。
高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合的运算教案(含解析)
§1.2集合的运算考情考向分析集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型主要为填空题，低档难度．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图由所有属于集合A且属于集合BA∩B＝{x|x∈A且x∈B}交集的元素组成的集合由所有属于集合A或属于集合BA∪B＝{x|x∈A或x∈B}并集的元素组成的集合设A⊆U，由全集U中不属于集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}补集A的所有元素组成的集合由运算A∩B＝A可以得到集合A，B具有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意非空集合A，B，都有(A∩B)(A∪B)．( ×)(2)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)(3)对于任意集合A，都有∅A.( ×)(4)对于任意集合A，B，∁S(A∪B)＝(∁S A)∩(∁S B)．( √)题组二教材改编2．[P14习题T11]若全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)＝________.答案{1,4,5}3．[P10习题T4]已知集合A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1,1，－3,3}，∁U B＝{－1,0,2}，则集合B＝________.答案{1,4,6，－3,3}解析 ∵∁U A ＝{－1,1，－3,3}，∴U ＝{－1,1,0,2,4,6，－3,3}． 又∁U B ＝{－1,0,2}，∴B ＝{1,4,6，－3,3}．4．[P14习题T10]设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个． 答案 3解析 ∵全集U ＝A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，A ∩B ＝{4,7,9}， ∴∁U (A ∩B )＝{3,5,8}，∴共有3个元素． 题组三 易错自纠5．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，若A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 答案 1解析 显然a 2＋4≠3，由a ＋2＝3得a ＝1，符合题意．6．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2<x <4}，则(∁R A )∪B ＝______________. 答案 {x |x ≤1或x >2}解析 由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}， 又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}， 所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．7．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素. 题型一 集合的运算1．已知集合A ＝{1,4}，B ＝{x |1≤x ≤3}，则A ∩B ＝________. 答案 {1}解析 依题意，根据集合交集的定义与运算， 可得A ∩B ＝{1}．2．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝________. 答案 {x |－3<x ≤－1}解析 由题意知，A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}． 因为B ＝{x |－1<x ≤5}， 所以∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}．所以A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}．3．已知M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y |x 2＋y 2＝1，x ∈R ，y ∈R }，则M ∩N ＝________. 答案 [0,1]解析 由题意得M ＝[0，＋∞)，由x 2＋y 2＝1，得到－1≤y ≤1，即N ＝[－1,1]，则M ∩N ＝[0,1]．4.已知集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是________． 答案 {x |0≤x <6}解析 由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6， 所以A ＝{x |－1<x <6}．由2x<1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}． 又图中阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ，因为∁U B ＝{x |x ≥0}，所以(∁U B )∩A ＝{x |0≤x <6}．思维升华在进行集合的运算时，若集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；若集合中的元素是连续的，可用数轴表示集合，要特别注意端点的取舍． 题型二 利用集合的运算求参数例1 (1)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________．答案 1解析 0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由a ＋1a≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.经检验，当a ＝1时满足题意．(2)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}， 由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图． 可知a ≥2.(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1} 解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华利用集合的运算求参数值或范围，要根据集合中元素的关系，灵活使用数轴工具，找出参数适合的条件，求参数的值要检验元素的互异性，求参数的取值范围要对端点的情况单独考虑．跟踪训练1(1)集合A ＝{1,3}，B ＝{a 2＋2,3}，若A ∪B ＝{1,2,3}，则实数a 的值为________． 答案 0解析 ∵A ＝{1,3}，B ＝{a 2＋2,3}，且A ∪B ＝{1,2,3}， ∴a 2＋2＝2，a 2＝0，a ＝0，即实数a 的值为0.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________． 答案 [－1，＋∞)解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．题型三 集合的新定义问题例2(1)(2018·江苏洪泽中学月考)对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝______________. 答案 [－3,0)∪(3，＋∞)解析 由题意知，A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}，A *B ＝(A －B )∪(B －A )＝[－3,0)∪(3，＋∞)．(2)设数集M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪n －13≤x ≤n，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________． 答案112解析 在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23≤x ≤34， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪14≤x ≤13， 长度为13－14＝112.综上，M ∩N 的长度的最小值为112.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练2(1)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为________． 答案 21解析 由x 2－2x －3≤0，x ∈N ，得(x ＋1)(x －3)≤0，x ∈N ，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B中的所有元素数字之和为21.(2)用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________. 答案 3解析 因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ>0，即a <－22或a >22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a <22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22<a <0或0<a <22时，C (B )＝2，不符合题意．综上，S ＝{0，－22，22}，故C (S )＝3.1．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{2,3,4}，A ∩B ＝{3}，则A ∪B ＝________. 答案 {1,2,3,4}解析 由集合A ＝{1，a }，B ＝{2,3,4}，A ∩B ＝{3}，则a ＝3，故A ∪B ＝{1,2,3,4}． 2．已知全集为R ，集合A ＝{x |2x≥4}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}，则A ∩(∁R B )＝________. 答案 [2,3)解析 A ＝{x |2x≥4}＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}＝{x |x ≤0或x ≥3}，∁R B ＝(0,3)， 则A ∩(∁R B )＝[2,3)．3．设全集U ＝{x |x ∈N *，x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1,3}，A ∩(∁U B )＝{2,4}，则B ＝________. 答案 {5,6,7,8,9}解析 因为全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∁U (A ∪B )＝{1,3}， 所以A ∪B ＝{2,4,5,6,7,8,9}，由A ∩(∁U B )＝{2,4}知，{2,4}⊆A ，{2,4}⊆∁U B . 所以B ＝{5,6,7,8,9}．4．已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |y ＝lg(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝________. 答案 (－2,2]解析 由题意得B ＝{x |y ＝lg(x －2)}＝(2，＋∞)，∴∁R B ＝(－∞，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－2,2]．5．(2018·苏州调研)已知集合A ＝{1,2a}，B ＝{－1,1,4}，且A ⊆B ，则正整数a ＝________. 答案 2解析 ∵A ＝{1,2a}，B ＝{－1,1,4}，且A ⊆B ， ∴2a ＝4＝22，a ＝2.6．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝________. 答案 {1,3}解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．7．已知全集U ＝{x ∈N |x 2－5x －6<0}，集合A ＝{x ∈N |－2<x ≤2}，B ＝{1,2,3,5}，则(∁U A )∩B ＝________. 答案 {3,5}解析 由题意知，U ＝{0,1,2,3,4,5}，A ＝{0,1,2}，则(∁U A )∩B ＝{3,5}．8．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________． 答案 －2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．9．已知集合P ＝{x |y ＝－x 2＋x ＋2，x ∈N }，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝________. 答案 {1,2}解析 由－x 2＋x ＋2≥0，得－1≤x ≤2，因为x ∈N ，所以P ＝{0,1,2}．因为ln x <1，所以0<x <e ，所以Q ＝(0，e)，则P ∩Q ＝{1,2}．10．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(∁U B )＝________________. 答案 {x |x <－1或x ≥2}解析 集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}， ∵log 3(2－x )≤1＝log 33，∴0<2－x ≤3， ∴－1≤x <2，∴B ＝{x |－1≤x <2}，∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥2}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥2}．11．设A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．若A ＝{x |y ＝x 2－3x }，B ＝{y |y ＝3x}，则A ×B ＝________. 答案 (－∞，3)解析 集合A 即为函数y ＝x 2－3x 的定义域，由x 2－3x ≥0⇒x ≤0或x ≥3，故集合A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，集合B 即为函数y ＝3x的值域，故B ＝(0，＋∞)，从而有A ∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)，由定义知A ×B ＝(－∞，3)．12．设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪(∁R B )＝∁R B ，则a 的取值范围是________． 答案 [－1,2]解析 由补集的定义知∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}， ∵A ∪(∁R B )＝∁R B ，∴A ⊆∁R B .由图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2.13．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________. 答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )，可知m ＝－1，则B ＝{x |－1<x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.14．已知集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 由题意知，A ＝[1，＋∞)， 当B ＝∅，即12a >2a －1时，a <23.符合题意．当B ≠∅时，令⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1<1，解得23≤a <1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，1)．15．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是____________． 答案 [－2，2]解析 由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22＝1上或在其内部，∴m 2≤2，∴－2≤m ≤ 2. 16．已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝log 36－xx －2，B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2≤0}(a >0)，若A ∪B ＝B ，则实数a的取值范围是______． 答案 [5，＋∞)解析 由6－xx －2>0可得(x －2)(x －6)<0，∴2<x <6，∴A ＝(2,6)．又x 2－2x ＋1－a 2≤0可化为[x －(1－a )][x －(1＋a )]≤0. 又a >0，∴B ＝[1－a,1＋a ]． 由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2≥1－a ，6≤1＋a ，∴a ≥5.∴实数a 的取值范围是[5，＋∞)．。
1.2集合的基本运算(第一课时)
课堂小结
1.含有 n 个元素的集合 A 有 2n 个子集,有 2n-1 个非空子集, 有 2n-1 个真子集,有 2n-2 个非空真子集.
2.元素与集合之间是“属于”和“不属于”的关系，用符号 ∈ 、 ∉ 表示；集合与集合之间是“包含”与“不包含”的关系，用符
号 = 、 ⊆ 、 ⫋ 表示. 3.解决含有参数问题的集合时，常借助画数轴的方法求解.
1.P9 习题 1.2 第 1 题.
课后作业
2.若{x|x≥a}⊆{x|x≥-1},求实数 a 的取值范围.
(1)5 ∈ {5};
(2){a,b,c} ⫌
{a,c};
(3) {1,2,3} = {3,2,1}; (4) ⫋ {0};
（5）a ∈{a,b,c};
（6）0 ∈ {x|x2=0};
（7） = {x|x2+1=0};
（8）{0,1} ⫋ N
4．已知集合 A={x|-1<x<2},B={x|2a≤x≤a+3},求 A⊆B 时,实数 a 的取 值范围.
[解] 提示（可先在数轴上将两个集合表示出来，再根据题目已知条件， 求出 m 的取值范围．） 因为 A⊆B，在数轴上表示集合 A，B，如图:
得 m2m－＋4<7≥－52，，解得－1≤m<2. 所以，m 的取值范围是{m|-1≤m≤2}.
规律方法:
解决用不等式表示的集合之间的关系问题可以使用数轴． 解题时易犯丢失等号的错误，避免此类错误发生的方法 是将取等号时的值代入原集合进行检验， 符合题意则结果有等号，反之舍去．
规律寻找：
① 的子集只有 1 个.
②{a}的子集有 2 个.
③{a,b}的子集有 4 个.
1.2集合间的基本关系 课件(共20张PPT)
新知探究1：子集
子集的定义： 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包 含关系，称集合A为集合B的子集. 记作：A B (或B A ). 读作：“A包含于B” (或“B包含A”). 符号语言：任意x A，有x B, 则A B.
新知探究1：子集
人教版数学课本必修一 第一章 第二节
集合间的基本关系
复习引入
1.集合中元素的三大特性：确定性 、互异性、无序性．
2.元素与集合的关系
意义
读法 符号表示
a 是集合 A 的元素 a 属于集合 A a∈A
a 不是集合 A 的元素 a 不属于集合 A a A
3.常用数集的表示
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
表示 N
N 或N
Z
Q
R
4.集合的表示法：列举法 、描述法．
新知探究1：子集
思考1：两个实数之间有相等关系，大小关系，如5=5，5＜7，5＞3， 等等.类比两个实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
新知探究1：子集
观察下面三组集合，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能 发现下面两个集合之间的关系吗？
(× ) (× ) (√ )
新知探究2：集合的相等
第三组集合
③ A={x| x是两条边相等的三角形}, B={x | x是等腰三角}. 集合A中的元素和集合B中的元素相同，集合A与集合B相等
思考2：能否仿照实数中的结论“若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”， 用集合的语言描述集合A和集合B相等?
a ≥b
BHale Waihona Puke Ab ≥aA Ba=b
A= B
新知探究2：集合的相等
1.1-1.2集合与映射 函数
1.6
以下内容（了解即可）：双曲函数、反双曲函数 双曲正弦 双曲正切
e x - e- x sh x = , 2 sh x th x = , ch x
e x + e- x , 双曲余弦 ch x = 2
悬链线
y ch x
y sh x
y 1 x e 2
1
1 y ex 2
O
y = th x
X (数集 或点集 )
f
R
f 称为定义在 X 上的函数
1.2 函数
实质上，函数 y f ( x) 就是映射 f : A R
一个规则 f，使得 1. 函数的定义 设A 为非空实数集。若存在 x A, 存在唯一的 y R，按照规则 f 与 x 对应， 则称 f 为定义在 A 上的函 数，记为 y f ( x)，x A。 其中，A 称为函数 f 的定义域。
)
(2) 反双曲余弦函数
双曲余弦函数
y = chx 是 (, ) 到 [1, )
上的映射, 但不是一一对应。
由
e x + e- x 解得 y = chx = 2
x ln y y 2 1 ,
)
y [1, )。
这里有两支, 单独来看, 这两支分别都可作为 双曲余弦的反函数。
注意：分段函数的定义域
几个特殊的分段Leabharlann 数(1) 符号函数 （克朗涅哥函数）
1
y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
D( f ) (,), R( f ) {1,0,1}
o -1
x
x sgn x x
(2) 最大取整函数 y=[x] : [x]表示不超过x的最大整数
1.2.2集合的基本运算练习
N 4,5,6,7,8,9,10 ,则Ｍ⊙Ｎ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
三、解答题
2 11.已知全集 U x N |1 x 6 ,集合 A x | x 6 x 8 0 , B 3, 4,5,6
(1)求 A B, A B ,(2)写出集合 (CU A) B 的所有子集.
Ａ ４.若集合Ａ,Ｂ,Ｃ满足 A B A, B C C ,则Ａ与Ｃ之间的关系一定是( Ａ A C Ｂ C A Ｃ
a a, b
(
)
)
AC
Ｃ ７个
பைடு நூலகம்
Ｄ
CA
Ｄ８个
５.设全集 U x | x 4, x Z , S 2,1,3 ,若 Cu P S ,则这样的集合Ｐ共有( ) Ａ ５个 Ｂ ６个 二、填空题 ６.满足条件 1, 2,3 A 1, 2,3, 4,5 的所有集合Ａ的个数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ７.若集合 A x | x 2 , B x | x a ,满足 A B 2 则实数 a ＝＿＿＿＿＿＿＿. ８.集合 A 0,2,4,6, CU A 1, 3,1,3, CU B 1,0,2 ,则集合Ｂ＝＿＿＿＿＿. ９.已知 U 1,2,3,4,5 , A 1,3,5 ,则 CUU ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 10.对于集合Ａ,Ｂ,定义 A B x | x A且 B ,Ａ⊙Ｂ= ( A B) ( B A) , 设集合 M 1, 2,3, 4,5,6 ,
【课堂练习】 １.已知全集 U 0,1,2,4,6,8,10, A 2,4,6, B 1 ,则 (CU A) B ( Ｂ 1,2,4,6 Ｃ 0,8,10 Ｄ 0,1,8,10 2 ２.集合 A 1, 4, x , B x ,1 且A B B ,则满足条件的实数 x 的值为 Ａ Ａ １或０ Ｂ １,０,或２ Ｃ ０,２或－２ 3.若 A 0,1,2 , B 1,2,3, C 2,3,4则(A B)(B C)＝ Ｂ 2,3 Ｃ 2,3,4 Ｄ 1, 2, 4 1, 2,3 4.设集合 A x | 9 x 1 , B x | 3 x 2则A B Ａ x | 3 x 1 Ｂ x |1 x 2 Ｃ x | 9 x 2 Ａ 【达标检测】 一、选择题 1.设集合 M x | x 2n, n Z , N x | x 2n 1, n N 则 M N 是 A B M C Z D ( ) )
1.2集合间的基本关系-2024-2025学年高一数学必修第一册+课件(人教A版2019)
(2)
集合
⌀
{a}
{a,b}
{a,b,c}
集合的子集
⌀
⌀,{a}
⌀,{a},{b},{a,b}
⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
子集的个数
1
2
4
8
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2 ?真子集的个数
及非空真子集的个数是2 -2.
确定集合的子集、真子集
设A={x(x-16)(x+5x+4)=0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集？
解：由(x2-16)(x2+5x+4)=0，得(x-4)(x+1)(x+4)2=0，解方程得x=-4或x=-1
或x=4.
故集合A={-4,-1,4}.由0个元素构成的子集为∅;
由1个元素构成的子集为{-4}，{-1}，{4};
由2个元素构成的子集为{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4};
由3个元素构成的子集为{-4,-1,4}.
因此集合A的子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4}，{4,-1,4}.
真子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4}.
知识讲解
2.填空
一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B
的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作
A=B.
也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
3.做一做
示范教案(集合的基本运算并集、交集)
示范教案(集合的基本运算-并集、交集)一、教学目标：1. 让学生理解并集和交集的定义。
2. 让学生掌握并集和交集的基本运算方法。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 并集的定义和运算方法。
2. 交集的定义和运算方法。
3. 并集和交集的性质。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：并集和交集的定义及其运算方法。
2. 教学难点：并集和交集的性质。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生思考并探索并集和交集的概念及运算方法。
2. 通过例题讲解，让学生掌握并集和交集的基本运算技巧。
3. 利用小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学准备：1. 教案、PPT、黑板。
2. 练习题及答案。
3. 学生分组合作的材料。
教案内容请稍等，我需要更多时间来为您编写。
六、教学过程：1. 导入：通过复习集合的基本概念，引导学生进入并集和交集的学习。
2. 新课讲解：讲解并集和交集的定义，通过示例演示并集和交集的运算方法。
3. 练习巩固：让学生独立完成练习题，检验对并集和交集的理解和掌握程度。
七、课堂练习：1.1 集合A = {1, 2, 3}, 集合B = {3, 4, 5}，求A∪B和A∩B。
1.2 集合C = {2, 4, 6}, 集合D = {4, 5, 6}，求C∪D和C∩D。
八、小组讨论：1. 让学生分组讨论并集和交集的性质，如：1.1 集合A∪B = 集合B∪A。
1.2 集合A∩B = 集合B∩A。
1.3 集合A∪B = 集合A + 集合B 集合A∩B。
九、总结与拓展：1. 总结并集和交集的概念及运算方法。
2. 引导学生思考并集和交集在实际生活中的应用。
3. 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣：如何求两个无限集合的并集和交集？十、布置作业：1.1 集合E = {1, 2, 3, 4}, 集合F = {3, 4, 5, 6}，求E∪F和E∩F。
1.2 集合G = {x | x 是正整数}, 集合H = {x | x 是偶数}，求G∪H和G∩H。
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【§1.2集合的基本运算】班级姓名学号
知识点：集合的交、并、补运算的定义；集合运算的性质；集合的韦恩图、数轴法表示的应用。
例1．（1）设A={0，1}，B={x|x ⊂A}，试用列举法表示集合B 。
（2）已知集合A={1,2,3},B={1,2,3,5,7,8}，若集合C 满足A C ⊂B ，求C 的个数。
例2、已知集合{}{},4|2||,017|,9|2<−=⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧≤+−=>=x x C x x x B x x A （1）求C A B A I I 、；（2）若全集)]([,C B C A R U U I I 求=。
例3．已知方程x 2－ax+b=0的二个根为x 1，x 2，方程y 2－by+c=0的二个根为y 1，y 2，且x 1,x 2,y 1,y 2
互不相等，集合A={x 1,x 2,y 1,y 2}，集合M={z|z=s+t,s ∈A ，t ∈A ，s ≠t}={5,7,8,9,10,12}，集合N={w|w=uv,u ∈A ，v ∈A,u ≠v}={6，10，14，15，21，35}，求a,b,c 的值.
例4．已知f(x)=x 2+ax+b(a,b,x ∈R)，集合A={x|x=f(x)}.B={x|x=f[f(x)]}。
（1）证明A ⊂B ；
（2）当A={－1，3}时，用列举法求集合B ；（3）当A 为单元集时，求证：A=B 。
【备用题】已知集合A={x|x 2－4mx+2m+6=0x ∈R}.若A ∩R －≠Φ，求实数m 的取值范围。
【基础训练】
1．设集合M={a,b}，则满足M ∪N ⊂{a,b,c}的集合N 的个数为（）
A ．1
B ．4
C ．7
D ．8
2．设S 为全集，S A B ⊂⊂，则下列结论中不正确的是（）
A ．
B
C A C S S ⊂B ．B B A =I C ．φ=）（B C A S I
D ．φ=B A C S I ）（（04山东）
3．已知集合A={x|x 2－5x+6=0},B={x|mx+1=0},且A ∪B=A ，则实数m 组成的集合___________.
4．设集合P={a,b,c,d}，Q={A|A P},则集合Q 的元素个数__________________.
5．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}，若M={1,2,3,4,5}，N={2,3,6}，则N －M 等于（）
A ．M
B ．N
C ．{1,4,5}
D ．{6}
【拓展练习】
1．已知集合P={x|(x －1)(x －4)≥0，x ∈R}，Q={n|(n －1)(n －4)≤0，n ∈N}，又知集合S ，且S ∩P={1,4},S ∩Q=S ，则S 的元素个数是（）
A ．2
B ．2或4
C ．2或3或4
D ．无穷多个
2．已知集合M={x|x 2+14x+48<0},S={x|2a 2+ax －x 2<0}，若M S ，则实数a ∈（）
A ．[)
03，−B ．[－3，6]C ．]6,0()0,3[U −D ．]6,0(3．设全集U={(x,y)|x 、y ∈R}，集合M={(x ，y)|2
3−−x y =1|N={(x ，y)|y ≠x+1}那么M ∪N 的补集等于A ．0B ．{（2，3）}C ．（2，3）D ．{(x ，y)|y=x+1}（）
4．设}4321{，，，=I ，A 与B 是I 的子集，若}31{，=B A I ，则称（A ，B ）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定（A ，B ）与（B ，A ）是两个不同的“理想配集”）
（04南京）
5．若集合=∈==∈==B A R y y y B R x x x A x I ，则，，，}1|{}32cos 3|{2π（05上海）
6．设全集I 含12个元素，A ∩B 含2个元素，C I A ∩C I B 含有4个元素.C I A ∩B 含3个元素，则集合A 含个元素，集合B 含个元素。
7．已知A={x|x=2k+1,k ∈Z}，B={y|y=(1)21−k ,k ∈Z }，求证A=B.
8．已知A={x|x 2+px+q=0},B={x|x 2－3x+2=0}，且A ∪B=B ，求p 、q 的关系或p 、q 的值。
.
9．记函数)32(log )(2−=x x f 的定义域为集合M ，函数)1)(3()(−−=
x x x g 的定义域为集
合N ，求（1）集合M 、N ；（2）N M N M U I ，10．已知集合,},,03)3(|{},1|||{2R N M R a a x a x x N a x x M =∈>++−=<−=U 若求实数a 的取值范围。
11．已知集合φ=∈=+++=+
R A R x x p x x A I },,01)2(|{2，求实数p 的取值范围。
（04湖南）12*．对于点集A={(x ，y)|x=m,y=－3m+2，m ∈N *},B={(x,y)|x=n,y=a(n 2－n+1),n ∈N *}，是否存在这样的非零整数a ，使A ∩B ≠φ？若存在，求出a 的值集，若不存在说明理由。