高中数学二轮复习正弦定理和余弦定理教案含答案(全国通用)

第27课正弦定理和余弦定理[最新考纲]
1．正弦定理和余弦定理
(1)S＝1
2a·h a(h a表示边a上的高)；
(2)S＝1
2ab sin C＝
1
2ac sin B＝
1
2bc sin A.
(3)S＝1
2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC 中，若A ＞B ，则必有sin A ＞sin B ．( )
(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 为锐角三角形．( )
(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝45°或135°.( )
(4)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C
.( ) [解析] (1)正确．A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .
(2)错误．由cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＞0知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．
(3)错误．由b ＜a 知，B ＜A .
(4)正确．利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可知结论正确．
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是________．
钝角三角形 [由正弦定理，得a 2R ＝sin A ，b 2R ＝sin B ，c 2R ＝sin C ，代入得到
a 2＋
b 2＜
c 2
，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＜0，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]
3．(2016·全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已
知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝________.
3 [由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，
解得b ＝3或b ＝－13(舍去)．]
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝1，
b ＝3，则B ＝________.
π3或2π3 [由正弦定理a sin A ＝b sin B ，代入可求得sin B ＝32，故B ＝π3或B ＝2π3.]
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．
23[由题意及余弦定理得cos A＝b2＋c2－a2
2bc＝
c2＋16－12
2×4×c
＝
1
2，解得c＝2，
所以S＝1
2bc sin A＝
1
2×4×2×sin 60°＝2 3.]
在△ABC中，∠BAC＝3π
4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，
AD＝BD，求AD的长. 【导学号：62172148】
[解]设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC
＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4
＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.
又由正弦定理得sin B＝b sin∠BAC
a＝
3
310
＝
10
10，
由题设知0＜B＜π
4，
所以cos B＝1－sin 2B＝1－1
10＝
310
10.
在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得
AD＝AB·sin B
sin(π－2B)＝
6sin B
2sin B cos B＝
3
cos B＝10.
[规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．
2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判
定中的应用．
[变式训练1] (1)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边， 且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为________．
(2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.
(1)30° (2)2113 [(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝
(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°
. (2)在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，
∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.
又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×63653
5＝2113.]
(1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为________．
(2)(2017·镇江期中)在△ABC 中，若cos A ＝12，sin B ＋sin C ＝2sin A ，则△ABC
的形状为________．
(1)等腰三角形或直角三角形 (2)等边三角形 [(1)∵a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，
即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
(2)∵sin B ＋sin C ＝2sin A ，∴b ＋c ＝2a ，
又cos A ＝12，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝12，
∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，
又b ＋c ＝2a ，则(b ＋c )2－a 2＝3bc ＝3a 2，
∴a 2＝bc ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋c 22，∴(b －c )2＝0，即b ＝c ， ∴b ＝c ＝a ，∴△ABC 为等边三角形．]
[规律方法] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．
2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．
[变式训练2] (1)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B <C ”是“△ABC 是钝角三角形”的________条件．
(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是________三角形. 【导学号：62172148】
(1)充分不必要 (2)等腰 [(1)由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B <C ，可得C >π2，故三角
形ABC 为钝角三角形，反之不成立．
(2)法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .
法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 2
2ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .]
2sin A sin
C . (1)若a ＝b ，求cos B ；
(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．
[解] (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .
又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .。